Matematicas II (GIC y GITI, curso 2015–2016)

Leccion 1. GRAFICAS

Graficas de las funciones elementales (anonimo coreano).

1. GRAFICA DE UNA FUNCION

Las matematicas son un lenguaje fundamental para los procesos de concepcion y diseno inherentes ala ingenierıa y, ademas, la caja que contiene las herramientas que ayudan a resolver los problemasque se generan en dichos procesos. A lo largo de las asignaturas de matematicas de la carrerairas completando la coleccion de objetos matematicos, junto con sus propiedades y las tecnicaspara trabajar con ellos, que son esenciales en la ingenierıa. Dentro de este grupo ocupa un lugardestacado el calculo diferencial e integral de funciones de una y varias variables reales, —la relacionentre derivacion e integracion en una y varias variables, el calculo de longitudes, areas y volumenes,la resolucion de ecuaciones diferenciales y los teoremas de la integracion vectorial— que ha sidoparte nuclear de la formacion matematica de los ingenieros desde finales del siglo xviii.

Variables y funciones. Los objetos mas importantes de los modelos matematicos que aparecenen las ciencias naturales y la ingenierıa son cantidades o magnitudes cuyos valores son susceptiblesde variar, como el tiempo, la distancia recorrida por un movil, la curvatura de una carretera o lacantidad de gasolina que se inyecta en el cilindro de un motor, por lo que se llaman variables.

Se dice que una magnitud variable es funcion de otra si el valor de la primera depende exclu-sivamente del valor de la segunda. Por ejemplo, el area A y el perımetro P de un cırculo sonfunciones de su radio r: el valor del area es A = πr2 y el valor del perımetro es P = 2πr; en otraspalabras, conocido el valor de r, estas formulas nos proporcionan, respectivamente, los valores delarea A y del perımetro P de una circunferencia de radio r. En este contexto, como ya sabes, sedice que el radio es la variable independiente y el area o el perımetro son variables dependientes;

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esta idea de dependencia se pone de relieve escribiendo A(r) = πr2 y P (r) = 2πr, notacion queresalta los papeles de las variables dependiente e independiente.

Las funciones son una herramienta esencial de las ciencias naturales y la ingenierıa ya que permitenformular, con alto grado de precision, los modelos de los fenomenos y situaciones que se quierenestudiar, expresando en terminos matematicos las relaciones entre las causas y los efectos.

En el ejemplo del area, la igualdad A(r) = πr2 contiene solo una variable dependiente y unavariable independiente y decimos, entonces, que A(r) es una funcion de una variable; estas fun-ciones de una variable son las que has empezado a estudiar en el bachillerato. Una situacion mascompleja es, por ejemplo, el caso del volumen V de un cilindro circular de altura h cuya base tieneradio r, que viene dado por V (r, h) = πr2h. En este caso, hay una variable dependiente V y dosvariables independientes r y h; decimos entonces que V (r, h) es una funcion de dos variables.

La asignatura de Matematicas II es la continuacion natural del estudio de las funciones realesde una variable (lımites, continuidad, derivadas, graficas, integrales) realizado en las asignaturasde matematicas del bachillerato, mientras que el estudio de las funciones de dos o mas variableslo llevaremos a cabo en la asignatura de Matematicas III. Naturalmente, los contenidos de estasasignaturas se basaran en los conocimientos previos que debes haber adquirido en los cursos ante-riores; los textos basicos que se recomiendan en el proyecto docente de la asignatura incluyen todosestos conocimientos matematicos que es necesario dominar. Te sugiero, en este punto, que leas loscapıtulos iniciales de cualquiera de ellos, mas que nada para refrescar lo que ya has estudiado. Noobstante, a lo largo del curso iremos repasando estos conocimientos, fundamentalmente a travesde su uso pero tambien, a veces, recogiendolos explıcitamente.

Funcion real de una variable real. La definicion formal habitual en los libros de texto es queuna funcion real f definida en un conjunto S de numeros reales es una regla que a cada punto xde S le asocia un unico numero real que denotamos por f(x). Esto se suele escribir†

f :x ∈ S → f(x) ∈ R o, simplemente, f :S → R.

Si ahora introducimos la variable y diciendo que y = f(x), entonces x es la variable independientee y es la variable dependiente de la funcion f . El conjunto S se llama dominio de definicion de fy, habitualmente, sera un intervalo o una coleccion de intervalos.

Normalmente, la forma de asociar f(x) a x es mediante una formula que contiene la propia x,otros numeros reales que son constantes, operaciones aritmeticas y otras funciones previamenteconocidas. Habra situaciones en las que nos den esta formula de manera concreta como datoinicial para calcular otras cosas, por ejemplo, f(x) = 2 + 3 sen(2πx). En otras ocasiones, no nosdan la formula explıcita sino que el objetivo es, precisamente, hallarla a partir de otros datos,por ejemplo, de f ′(x) = 2x podemos deducir que f(x) = x2 + c, donde c es una constante. Enel contexto teorico, cuando formulemos resultados, nos referiremos a funciones que, si cumplendeterminadas condiciones, entonces tiene determinadas propiedades; en estos casos, la formulaexplıcita no suele intervenir en el razonamiento sino que se trabaja con el concepto de funcioncomo nocion abstracta.

Grafica de una funcion. Si tenemos una funcion f :x ∈ S → f(x) ∈ R, su grafica es el conjuntodel plano cartesiano XOY dado por

{(x, f(x)

): x ∈ S

}. Como ya sabes, esto significa que

la grafica es la curva que se construye tomando, para cada valor x ∈ S, el punto (x, y) cuyascoordenadas cartesianas son la abscisa x y la ordenada y = f(x). Por eso, la grafica de f tambien

†El sımbolo ∈ expresa que un punto o una variable pertenece a un cierto conjunto de puntos o variables; ası, x ∈ Sse puede leer, segun el contexto, como “x pertenece a S”, “x esta en S”, “x en S” o “x de S”.

1. Graficas 3

se suele llamar curva de ecuacion y = f(x). En esta representacion, el dominio de definicion S seidentifica con una parte (o, en su caso, todo) del eje de abscisas.

Grafica de una funcion.

En los proyectos de ingenierıa, las representaciones de sus variables principales y las relaciones entreestas son esenciales, por eso las graficas de las funciones son una de sus herramientas centrales.En la representacion grafica quedan recogidas las caracterısticas mas importantes de la funcion:continuidad, derivabilidad, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos, simetrıas, cortescon los ejes coordenados, tendencias a largo plazo, etc.

Para realizar un dibujo como el anterior, tendrıamos que hacer lo siguiente: a partir de la formulaque da la funcion, ir tomando valores de x para calcular f(x) y dibujar el punto (x, f(x)). Comox puede tomar infinitos valores, necesitamos, en principio, dibujar un numero infinito de puntoslo que, naturalmente, es imposible. Afortunadamente, basta dibujar un numero suficientementegrande de puntos para que la grafica sea lo suficientemente buena y en esto se basan las diversas apli-caciones informaticas que permiten dibujar curvas. Al final del guion hay un listado de aplicacionesque funcionan bastante bien; te sugerimos que las pruebes y aprendas a dominar alguna de ellas loque te sera muy util, aunque no sea obligatorio ni objeto de evaluacion, en esta y otras asignaturas.

No obstante, la aplicacion de este tipo de herramientas para dibujar la grafica de una funcion puededejar de lado la determinacion de elementos de interes. Por ejemplo, en la grafica anterior se veque el maximo absoluto parece valer algo menos de 5 y alcanzarse cerca de −0.7. Si necesitamosconocer con mas precision el maximo y el punto en el que se alcanzan, entonces o bien hacemosla grafica con mucha mas resolucion, lo que puede ser muy costoso en terminos de tiempo decomputacion, o bien utilizamos la propiedad de que en los maximos la primera derivada vale cero.

De hecho, ya sabes de los cursos anteriores que para obtener la grafica de una funcion y = f(x),sin tener que calcular los valores f(x) en un numero grande de puntos x del dominio de definicion,el procedimiento es determinar sus elementos principales: dominio, simetrıas, periodicidad, cortescon los ejes, asıntotas, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, intervalos de concavidad y deconvexidad, maximos y mınimos y puntos de inflexion. Con esta informacion representada en unplano cartesiano se completa el esbozo de la curva en cuestion. Este procedimiento tradicional paratrazar graficas en un plano cartesiano, el unico hasta la aparicion de las herramientas informaticas,tiene un alto valor formativo ya que permite relacionar de manera directa los elementos importantesde la grafica, los que proporcionan la informacion cuantitativa y cualitativa relevante, con conceptosfundamentales del calculo infinitesimal como los lımites o las derivadas.

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El final de esta seccion lo dedicaremos a hacer un repaso breve de estos elementos. Los ejerciciosque se proponen tienen como objetivo principal que recuerdes las herramientas que se empleanen el trazado de una curva dada por y = f(x), y que necesitaras a lo largo de las asignaturas dematematicas. Si, como te hemos sugerido, aprendes a manejar alguno de los programas citadosantes, podras comprobar las respuestas que obtienes por el metodo tradicional.

Las funciones elementales. En los ejemplos con los que vamos a trabajar, ası como en la mayorıade las aplicaciones practicas, las funciones que aparecen se conocen con el nombre generico defunciones elementales. La familia de las funciones elementales tiene como componentes basicos lospolinomios; el valor absoluto; las raıces y otras potencias no enteras; las funciones trigonometricasy sus inversas (los arcos); la funcion exponencial y el logaritmo†. Estas funciones las has estudiadoen cursos anteriores y debes conocer bien sus propiedades y sus graficas; por cierto, una de lasgraficas de la imagen inicial no es correcta, ¿cual? Las funciones elementales son las que se cons-truyen a partir de las anteriores usando las operaciones algebraicas —suma, resta, multiplicaciony division— o mediante composicion.

La derivada de una funcion elemental tambien es una funcion elemental, pero no ocurre ası conla primitiva; algunas de las funciones no elementales mas usuales aparecen como primitivas defunciones elementales. De hecho, trataremos en ocasiones con alguna funcion no elemental, esdecir, que no puede ser construida combinando funciones elementales del modo descrito antes. Lasfunciones no elementales tienen su aplicacion, normalmente, en problemas muy especıficos; a lolargo de la carrera veras algunos ejemplos.

Insistimos en que es necesario manejar muy bien las funciones elementales estudiadas en los cursosanteriores: dominios de definicion, graficas, continuidad, derivadas y primitivas.

Elementos principales de la grafica de una funcion. Como hemos recordado antes, hayuna serie de elementos de la grafica de una funcion f :x ∈ S ⊂ R → f(x) ∈ R, cuya determi-nacion permite obtener un esbozo lo suficientemente bueno de la curva y = f(x) y que, ademas,proporcionan informacion cuantitativa relevante.

Dominio de definicion. Aunque en ocasiones el dominio de definicion S viene dado, es mas habitualque tengamos una funcion dada por una formula f(x), en cuyo caso se sobreentiende que el dominiode definicion viene dado por todos los numeros reales x salvo aquellos valores de x para los que laformula carece de sentido; por ejemplo, valores que anulen un denominador, valores que hagan queaparezca la raız cuadrada o el logaritmo de un numero negativo, etc. En general, en estos casos eldominio de definicion S suele ser un intervalo (finito o infinito; abierto, semiabierto o cerrado) ouna coleccion finita de intervalos sin puntos en comun.

Simetrıas. Una curva y = f(x) es simetrica con respecto al eje OY cuando f(x) = f(−x) paracada x ∈ S y se dice, en este caso, que f es una funcion par.

Una curva y = f(x) es simetrica con respecto al origen de coordenadas O cuando se cumple quef(x) = −f(−x) y se dice, en este caso, que f es una funcion impar.

La ventaja de saber que una curva es simetrica es que podemos dibujarla solo en el semiplanoderecho y extender el dibujo al semiplano izquierdo por simetrıa.

Periodicidad. Una funcion es periodica de perıodo p > 0 cuando f(x+ p) = f(x) para cada x ∈ S.La ventaja de saber que una funcion es periodica es que podemos dibujarla solo en un intervalo detamano p y, luego, extender la grafica obtenida repitiendola una y otra vez a izquierda y derecha.

Los ejemplos mas habituales de funciones periodicas son las funciones sen(x) y cos(x), que son

†El angulo de las funciones trigonometricas se mide siempre en radianes, y el logaritmo log(x) sera siempre ellogaritmo neperiano de x (aunque puedes usar las notaciones Ln(x) o ln(x) si te resulta mas comodo).

1. Graficas 5

periodicas con perıodo 2π o, mas generalmente, las funciones sen(2πωx) y cos(2πωx) que sonperiodicas con perıodo ω−1; en este caso el numero ω se llama frecuencia.

Puntos de corte con los ejes. Cuando 0 ∈ S, el punto (0, f(0)) esta a la vez en la curva y = f(x) yen el eje OY , por lo que se llama punto de corte con el eje OY . Usualmente se pueden determinarotros puntos con valores simples de la abscisa, como (1, f(1)), (2, f(2)), (−1, f(−1)), . . . , queayudan a situar la curva.

Si para un valor x ∈ S se tiene que f(x) = 0, entonces el punto (x, f(x)) = (x, 0) esta a la vez enla curva y = f(x) y en el eje OX, por lo que se llama punto de corte con el eje OX. En otraspalabras, las abscisas de los puntos de corte de la curva y = f(x) con el eje OX son las solucionesde la ecuacion f(x) = 0, que tambien reciben el nombre de ceros de la funcion f .

En algunos casos, la ecuacion f(x) = 0 se puede resolver completamente. Por ejemplo, cuandof(x) = ax2 + bx + c es un polinomio de segundo grado, las abscisas de los puntos de corte se

obtienen mediante la conocida formula x =(−b±

√b2 − 4ac

)/2a. Si f es un polinomio cuyas

raıces son enteras, podemos emplear el metodo de Ruffini. Sin embargo, en otras ocasiones no seraposible hallar exactamente todas las soluciones de f(x) = 0. En estos casos, a menudo podemosusar el teorema del valor intermedio de Bolzano para localizar soluciones: si f es continua en elintervalo [a, b] y los valores f(a) y f(b) tiene signos opuestos, entonces podemos asegurar que enel intervalo [a, b] hay una solucion de f(x) = 0. En la segunda leccion veremos que para resolverestas ecuaciones se utilizan metodos de aproximaciones sucesivas, que consisten en generar valoresque se van aproximando tanto como queramos a una solucion de f(x) = 0.

Asıntotas. Grosso modo, puede decirse que una recta es una asıntota de la curva y = f(x) si lacurva y la recta se van acercando indefinidamente hasta hacerse indistinguibles.

La forma practica de determinar las asıntotas es ver si existen ciertos lımites. Mas concretamente,diremos que una curva y = f(x) tiene una

– asıntota vertical de ecuacion x = a si lımx→a

f(x) = ∞;

– asıntota horizontal de ecuacion y = b si lımx→∞

f(x) = b;

– asıntota oblicua de ecuacion y = ax+ b si lımx→∞

f(x)

x= a y lım

x→∞

(f(x)− ax

)= b.

Podemos afinar un poco mas y distinguir entre asıntotas verticales por la derecha y por la izquierdasi, respectivamente, calculamos los lımites laterales cuando x → a− y cuando x → a+, y tambiendistinguir entre asıntotas horizontales y oblicuas por la derecha y por la izquierda cuando x → +∞y cuando x → −∞, respectivamente.

Intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Recordemos que una funcion f es creciente en unintervalo I cuando f(a) ≤ f(b) siempre que a, b ∈ I con a < b; esto se refleja en que el trazadode la parte de la grafica de f que corresponde al intervalo I va hacia arriba al desplazarnos deizquierda a derecha.

Recıprocamente, se dice que f es decreciente en un intervalo I cuando f(a) ≥ f(b) siempre quea, b ∈ I con a < b; esto se refleja en que el trazado de la parte de la grafica de f que correspondeal intervalo I va hacia abajo al desplazarnos de izquierda a derecha.

La forma practica de determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de una funcionf es estudiar el signo de la derivada ya que se cumple que si f es derivable en I y f ′(x) ≥ 0 paracada x ∈ I, entonces f es creciente en I; mientras que si f ′(x) ≤ 0 para cada x ∈ I, entonces f esdecreciente en I.

Si cambiamos las desigualdades ≤ y ≥ por las correspondientes desigualdades estrictas < y >,obtenemos los conceptos de crecimiento y decrecimiento estricto que usaremos a veces.

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Maximos y mınimos. De interes especial son los puntos en los que una funcion f alcanza sus valoresmaximos o mınimos en un intervalo I, genericamente conocidos como extremos de la funcion. Sedistingue entre extremos absolutos o globales, que corresponden a los puntos mas altos y mas bajosde toda la grafica en I, y extremos relativos o locales, que corresponden a puntos que son mas altoso mas bajos que todos los puntos de la grafica de f que estan suficientemente cerca de ellos.

La determinacion de los maximos y los mınimos absolutos de una funcion derivable en un intervalose lleva a cabo usando las derivadas. En los cursos de bachillerato se ensena que los puntoscandidatos a que en ellos se alcance el maximo o el mınimo absoluto de una funcion son losextremos del intervalo y los puntos en los que la derivada primera vale cero; ademas, cuando estaderivada es cero, entonces que la derivada segunda sea positiva o negativa nos dice, respectivamente,si estamos ante un mınimo relativo o un maximo relativo.

Intervalos de concavidad y de convexidad. Recordemos que una funcion f es convexa en un intervaloI si para cada punto x ∈ I ocurre lo siguiente: a lo largo de todo el intervalo, el trozo de la graficade f esta por encima del trozo de la recta tangente en el punto (x, f(x)).

Recıprocamente, se dice que f es concava en un intervalo I si para cada punto x ∈ I se tiene quesobre el intervalo, el trozo de la grafica de f esta por debajo del trozo de la recta tangente en elpunto (x, f(x)). Observemos que f es concava cuando −f es convexa.

La utilizacion de la derivada segunda nos permite conocer la posicion de la grafica de la funcioncon respecto a la tangente a dicha grafica; es decir, si es convexa o concava. En efecto, como yasabes, si f ′′(x) ≥ 0 en I entonces f es convexa en I, mientras que si f ′′(x) ≤ 0 en I entonces f esconcava en I.

Puntos de inflexion. Un punto de inflexion es un punto en el que la curva pasa de ser convexa aser concava, o viceversa. Si f es dos veces derivable, entonces en un punto de inflexion se tiene quef ′′(x) = 0. En los puntos de inflexion, la recta tangente atraviesa la grafica de la curva.

Convexa. Concava. Punto de inflexion.

EJERCICIOS DE LA SECCION 1

Ejercicio 1. A partir del calculo de sus elementos principales, haz un esbozo de la grafica de lassiguientes funciones f(x) y comprueba si el dibujo que obtienes es correcto comparandolo con elgenerado por alguna de las aplicaciones informaticas que se recomiendan.

(1) f(x) = x4 − 4x2 + 9 (2) f(x) =x3

x2 − 4(3) f(x) =

3

x2 − 5x+ 4

(4) f(x) = x2e−x (5) f(x) =√x2 − 9 (6) f(x) = sen(x)− cos(x)

.

Ejercicio 2. Utiliza alguna de las aplicaciones informaticas que se recomiendan para dibujar lasgraficas de las funciones f(x) = cos(x − a) que se obtienen para los valores a = −2,−1, 0, 1, 2, 3.¿Puedes deducir, a la vista de lo obtenido, como se relacionan las graficas de una funcion f(x) yde la funcion f(x− a) segun los valores de a? Compruebalo con otras funciones como x2, x3 o ex.

1. Graficas 7

Ejercicio 3. Las funciones seno hiperbolico y coseno hiperbolico se definen de la siguiente forma

senh(x) =ex − e−x

2y cosh(x) =

ex + e−x

2

(1) Prueba que ambas son derivables y (senh(x))′ = cosh(x) y (cosh(x))′ = senh(x).(2) Haz un esbozo de las correspondientes graficas.(3) Prueba que se dan las siguientes igualdades

cosh2(x)− senh2(x) = 1, cosh2(x) =cosh(2x) + 1

2, senh2(x) =

cosh(2x)− 1

2.

(4) Prueba que si y = senh(x), entonces x = log(y +

√y2 + 1

)La funcion cosh(ax) es de interes porque su grafica es la curva llamada catenaria, que es la formaque adopta una cadena o un cable que cuelga libremente de sus extremos.

Ejercicio 4. Sea la funcion f definida por f(x) =e−x

1− xpara x = 1.

(1) Estudia las asıntotas de la grafica de la funcion f .(2) Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los

intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f .(3) Haz un esbozo de la grafica de la funcion f .

Ejercicio 5. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento ası como los extremosrelativos y absolutos de la funcion f dada por f(x) = x

√4− x2 en el intervalo cerrado en el que

esta definida. Luego, haz un esbozo de la grafica de la funcion f .

Ejercicio 6. Sea la funcion f :R → R definida por f(x) = ex(x− 2).

(1) Calcula las asıntotas de la grafica de f .(2) Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los

intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f .(3) Determina, si existen, los puntos de inflexion de la grafica de f .(4) Haz un esbozo de la grafica de la funcion f .

Ejercicio 7. La concentracion de un cierto medicamento en la sangre, medida t horas despues de

ser administrado, viene dada por la funcion k siguiente k(t) =t

64 + 4t3para t ≥ 0.

(1) Halla el intervalo en el que aumenta la concentracion y el valor maximo que esta alcanza.(2) Razona si, con el tiempo, la concentracion se estabiliza o tiende a desaparecer.(3) Haz un esbozo de la grafica de la funcion k.

Ejercicio 8. Sea f : [−4, 2] → R la funcion definida por f(x) = x2ex.

(1) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f .(2) Halla los maximos y mınimos relativos y absolutos de f .(3) Haz un esbozo de la grafica de la funcion f .

Ejercicio 9. Halla la ecuacion de la recta r que corta perpendicularmente a la curva de ecuaciony = log(1 + x2) y a la recta y = 1 + x. Despues, dibuja y halla el area del recinto limitado en elprimer cuadrante por la recta r, la curva y = log(1 + x2) y el eje OY .

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Ejercicio 10. Considera las funciones f, g:R → R, definidas por f(x) = 2 − x2 y g(x) = |x|.Esboza sus graficas y calcula el area del recinto limitado por dichas graficas.

Ejercicio 11. Sea f la funcion definida como f(x) =ax2 + b

a− xpara x = a. Calcula a y b sabiendo

que la grafica de f pasa por el punto (2, 3) y tiene una asıntota oblicua con pendiente −4.

Ejercicio 12. Dada la funcion f :R → R definida por f(x) = ax3 + bx2 + cx, determina a, b y csabiendo que su grafica tiene un punto de inflexion en (1,0), y que la recta tangente en ese puntotiene por ecuacion y = −3x+ 3 y haz un esbozo de la grafica de la funcion f .

Ejercicio 13. Sea la funcion f :R → R definida por f(x) = log(x2 + 3x+ 3)− x.

(1) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (abscisasdonde se obtienen y valores que se alcanzan).

(2) Determina la ecuacion de la recta normal a la grafica de f en el punto de abscisa x = −2.(3) Haz un esbozo de la grafica de la funcion f .

Ejercicio 14. Sea f la funcion definida por f(x) =2x2

(x+ 1)(x− 2)para x = −1 y x = 2.

(1) Estudia y calcula las asıntotas de la grafica de f .(2) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f .(3) Calcula, si existe, algun punto de la grafica de f donde esta corte a la asıntota horizontal.(4) Haz un esbozo de la grafica de la funcion f .

2. GRAFICAS EN COORDENADAS POLARES

Coordenadas polares. Ademas del sistema de coordenadas cartesianas, existen otros sistemas decoordenadas que pueden ser mas apropiados para representar algunas curvas y magnitudes fısicas.El ejemplo mas importante en el plano R2 es el de las coordenadas polares. Las coordenadaspolares de un punto P ∈ R2 son (r, θ), donde r, la distancia polar, es la distancia de P al origende coordenadas O y θ, el angulo polar, es el angulo (medido en radianes y en sentido positivo) queforma el segmento OP con el semieje positivo de abscisas que, en este contexto, se llama eje polar .

Coordenadas polares.

1. Graficas 9

Relacion entre coordenadas cartesianas y coordenadas polares. Las coordenadas polares(r, θ) se relacionan con las coordenadas cartesianas (x, y) de la siguiente manera:

(1) Para pasar de polares a cartesianas: x = r cos(θ) e y = r sen(θ).

(2) Para pasar de cartesianas a polares: r =√x2 + y2 y θ = arctan(y/x).

Coordenadas polares y cartesianas.

Las coordenadas polares (r, θ) de un punto determinan sus coordenadas cartesianas (x, y) y lascoordenadas cartesianas de un punto P = (0, 0) determinan la distancia polar r de forma unica ydeterminan el angulo polar θ salvo multiplos enteros de 2π. Habitualmente la variacion de θ seconsidera en el intervalo [0, 2π) o en el intervalo (−π, π]. En particular, si se usa una calculadorapara hallar arctan(y/x), hay que tener en cuenta los signos de x e y para decidir, segun el cuadranteen el que este el punto (x, y), si el valor de θ es el dado por la calculadora o bien hay que sumar orestar π a dicho resultado.

Coordenadas polares y numeros complejos. Un numero complejo z, como se contempla en laasignatura de “Matematicas I”, puede representarse como un par ordenado (x, y) de numeros reales.Dichos numeros reales x e y se conocen, respectivamente, como parte real y parte imaginaria de z,que se puede escribir como z = x+ yi. Si usamos la representacion z = r

(cos(θ)+ i sen(θ)

)= reiθ,

donde r es el modulo y θ el argumento de z, entonces r y θ son, precisamente, las coordenadaspolares del punto (x, y) de R2.

Curvas en coordenadas polares. Una ecuacion de la forma r = r(θ) permite definir una curvaen el plano: la formada por aquellos puntos (x, y) cuyas coordenadas polares verifican r = r(θ),que se llama ecuacion de la curva en coordenadas polares. Para estos puntos, las coordenadascartesianas x e y son funcion del angulo x(θ) = r(θ) cos(θ) e y(θ) = r(θ) sen(θ).

Ejemplos. Algunas curvas se expresan de forma mas comoda en coordenadas polares que encoordenadas cartesianas. Para dibujarlas a mano alzada, es util contar con una plantilla como lade la pagina anterior, llamada papel polar. Veamos algunos ejemplos:

(1) La ecuacion r = r0 (constante) corresponde a la circunferencia de centro O y radio r0.

(2) La ecuacion θ = α (constante) corresponde a una semirrecta con extremo en O.

(3) La ecuacion r = aθ, con a > 0 es una espiral, llamada espiral de Arquımedes.

Espiral de Arquımedes r = θ/2π.

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(4) La curva de ecuacion r = 1− cos(θ) se llama cardioide porque parece un corazon.

Cardioide r = 1− cos(θ).

Al igual que con las curvas en coordenadas cartesianas, las cuestiones mas importantes con lascurvas en coordenadas polares son la determinacion de la recta tangente en un punto, saber esbozarsus graficas a partir de la ecuacion y saber calcular el area que encierran y su longitud. Las dosprimeras cuestiones las estudiaremos ahora, las otras dos se estudiaran en lecciones posteriores.

Recta tangente a una curva en polares. Sea r = r(θ) la ecuacion de una curva en coordenadaspolares y supongamos que r(θ) es derivable en el intervalo de definicion. Entonces la pendiente dela recta tangente a la curva en un punto P de coordenadas polares (r, θ) es

m =r′(θ) sen(θ) + r(θ) cos(θ)

r′(θ) cos(θ)− r(θ) sen(θ)

En esta expresion, si el numerador es 0 y el denominador es distinto de 0, entonces la pendiente esm = 0 y la recta tangente es horizontal. Si el numerador es distinto de 0 y el denominador es 0,entonces la pendiente es m = ∞ y la recta tangente es vertical. Si ambos son cero, entonces hayque resolver la indeterminacion 0/0 para hallar m.

La anterior expresion de la pendiente m tambien nos nos dice que el vector

t =

(dx

dθ,dy

dθ

)= (r′(θ) cos(θ)− r(θ) sen(θ), r′(θ) sen(θ) + r(θ) cos(θ))

es, si no es el vector cero, un vector tangente a la curva en P .

Esbozo de una curva en coordenadas polares. Los programas informaticos para dibujarcurvas suelen incluir la opcion de dibujar curvas en coordenadas polares (hay que tener un pocode cuidado porque, a veces, pueden admitir valores negativos de r, esto se arregla sustituyendor(θ) por (r(θ)+ |r(θ)|)/2); al final del guion se citan programas especıficos que puedes utilizar paracomprobar los esbozos que se piden en los ejercicios.

Para realizar un esbozo de una curva de ecuacion r = r(θ) pueden usarse los siguientes aspectos,que son similares a los que se utilizan para dibujar una curva en coordenadas cartesianas.

Dominio de definicion. Tenemos que determinar el dominio de definicion de r(θ), es decir los valoresdel angulo θ para los que esta definida la funcion r = r(θ). Ademas de las cautelas habituales(excluir denominadores nulos, raıces cuadradas o logaritmos de numeros negativos, etc.) tambiendebemos asegurar que, como r representa una distancia, r no puede ser negativo. Normalmente, eldominio de definicion I sera un intervalo, lo que corresponde a un sector angular en el plano XY ,o union de intervalos.

1. Graficas 11

Perıodo. Dado que las funciones trigonometricas son periodicas, hay muchos ejemplos en los quer(θ) tambien es periodica. Conocer el perıodo nos permite restringir el intervalo de dibujo a unperıodo completo para no repetir el trazado.

Simetrıas. Es util determinar si hay simetrıa respecto de los ejes cartesianos o el origen.

(i) La curva es simetrica respecto del eje OX si se verifica que r(θ) = r(−θ) para todo θ ∈ I.(ii) La curva es simetrica respecto del eje OY si se verifica que r(θ) = r(π−θ) para todo θ ∈ I.(iii) La curva es simetrica respecto del origen de coordenadas si se verifica que r(θ) = r(π + θ)

para todo θ ∈ I.

Tabla de valores y de tangentes. Calculamos los valores de r y de sus derivadas para algunos valoressignificativos de θ y dibujamos los puntos (x, y) =

(r(θ) cos(θ), r(θ) sen(θ)

)y las rectas tangentes

correspondientes. Tambien puede ser util hallar los puntos en los que la tangente es horizontal overtical.

Giros. Si conocemos la grafica de una curva en polares r = r(θ) y fijamos un angulo α, entoncesla grafica de la curva dada por r = r(θ − α) es la que se obtiene girando la primera grafica unangulo α en sentido positivo alrededor del origen. Esto tambien puede usarse con la propia curva:si sabemos que r(θ) = r(θ − α) para algun valor de α, entonces la grafica de la curva es la mismaque si la giramos un angulo α.

Asıntotas. Hay que tener en cuenta los valores de α tales que lımθ→α

r(θ) = ∞ porque la curva

pudiera tener una asıntota. Como se muestra en los Ejercicios 17 y 18, que lımθ→α

r(θ) = ∞ no

garantiza por sı mismo que la semirrecta θ = α sea una asıntota de la curva r = r(θ); es necesarioestudiar cada caso.

Otros comportamientos especiales de r. Puede ser util halllar los puntos de la curva mas alejadosy mas cercanos al origen, o sea, los extremos de r(θ).

EJERCICIOS DE LA SECCION 2

Ejercicio 1. Determina las coordenadas polares de los siguientes puntos dados en coordenadascartesianas: (1, 0), (1, 1), (0, 1), (−3, 4), (−2, 0), (−3,−3), (0,−2) y (1,

√3).

Ejercicio 2. Determina las coordenadas cartesianas de los puntos cuyas coordenadas polares (r, θ)son (1, 0), (2, π/3), (2, π/2), (3, 3π/4), (1, π), (2, 5π/4), (1, 3π/2), (2,−π/2) y (3,−π/6).

Ejercicio 3. Determina la ecuacion en coordenadas polares de la circunferencia de radio a > 0cuyo centro es el punto (a, 0). Lo mismo si el centro es el punto (0, a).

Ejercicio 4. Determina la ecuacion en coordenadas polares de la recta vertical x = a y lo mismopara la recta horizontal y = a (siendo a = 0 en ambos casos).

Ejercicio 5. Pasa la ecuacion en coordenadas polares r = a cos(θ) + b sen(θ) a coordenadas car-tesianas y comprueba que la curva que representa es una circunferencia que pasa por el origen,calculando su centro y su radio.

Ejercicio 6. Sea D la recta vertical de ecuacion x = 1, calcula las ecuaciones en coordenadascartesianas y en cooordenadas polares de las conicas formadas por los puntos P tales que

distancia de P al origen O = ε (distancia de P a la recta D)

en los casos ε = 0.5, 1 y 2. ¿Que conicas se obtienen?

12 Matematicas II (GIC y GITI, 2015–2016)

Ejercicio 7. Realiza un esbozo de las dos curvas llevan asociado el nombre de Jacob Bernoulli: lalemniscata, que es la curva dada por r = a

√cos(2θ), y la espiral logarıtmica, dada por r = aebθ.

Ejercicio 8. Haz un esbozo de la rosa de cuatro hojas, que es la curva dada en coordenadaspolares por r(θ) = 4 |cos(2θ)|.

Ejercicio 9. Realiza un esbozo de la curva de ecuacion r = 2+a cos(2θ) para los siguientes casos:a = 1, 4/3, 2, 8/3; estudiando para ello su dominio, simetrıas respecto de los ejes cartesianos yrespecto al origen de coordenadas, y los puntos donde las tangentes son horizontales o verticales.

Ejercicio 10. Sea C la curva dada en coordenadas polares por la ecuacion r = 3− cos(4θ).

(1) Estudia si la curva C es simetrica respecto al eje OX y al eje OY .(2) Encuentra los puntos de corte de la curva C con la circunferencia de centro el origen y

radio 4 y con la circunferencia de centro el origen y radio 2.(3) Calcula la ecuacion de las rectas tangentes a la curva C en los puntos obtenidos en el

apartado anterior que se encuentran en el primer cuadrante.(4) Con los datos obtenidos en los apartados anteriores esboza la curva C.

Ejercicio 11. Sea C la curva dada por r = 1 − 2 cos(2θ). Estudia el dominio y las simetrıasrespecto de los ejes cartesianos. Calcula las ecuaciones de las rectas tangentes a C en los puntoscorrespondientes a los angulos θ = π/6, π/4, π/3, π/2 y, con estos datos, haz un esbozo de la curva.

Ejercicio 12. Sea C la curva dada en polares por la ecuacion r = cos(3θ).

(1) Esboza la grafica de la curva, estudiando al menos los siguientes elementos: dominio,simetrıas, los puntos en cartesianas correspondientes a los angulos θ = 0, π/6, π/2, 2π/3 y5π/6 y las rectas tangentes en dichos puntos.

(2) A partir de la grafica de C, esboza la grafica de la curva dada por la ecuacion r = sen(3θ)sabiendo que sen(α) = cos(α+ 3π/2). Razona la respuesta.

Ejercicio 13. Haz un esbozo de la curva dada por r = 1 − 2 sen(θ), estudiando su dominio dedefinicion y si hay simetrıas, y calculando las coordenadas cartesianas de los puntos de la curvapara los angulos θ = −π/2,−π/6, 0, π/6 y las ecuaciones de las rectas tangentes en dichos puntos.

Ejercicio 14. Dibuja la region limitada por la circunferencia de ecuacion r = r1(θ) =√2 sen(θ)

y la lemniscata de ecuacion r = r2(θ) =√

cos(2θ).

Ejercicio 15. Realiza un esbozo de la curva de ecuacion r = 3/(2 + sen(θ)

).

Ejercicio 16. Dada la curva de ecuacion r = θ2/π2 para 0 ≤ θ ≤ 2π, se pide:

(1) Halla la recta tangente a la curva en el punto que se obtiene para el angulo θ = π/2.(2) Esboza la curva dibujando, en particular, la recta tangente obtenida en el apartado anterior.

Ejercicio 17. Haz un esbozo de la curva dada en coordenadas polares por la ecuacion r =√tan(θ)

estudiando previamente los siguientes elementos: dominio, simetrıas y rectas tangentes tantoverticales como horizontales. ¿Que ocurre cuando θ tiende a π/2?

Ejercicio 18. Determina las asıntotas y haz un esbozo de las graficas de las siguientes curvas:

r = tan(θ) y r =1 + tan(θ)

1− tan(θ).

1. Graficas 13

3. CURVAS PLANAS EN COORDENADAS PARAMETRICAS

La representacion de una curva plana mediante una ecuacion en cartesianas y = y(x) o en polaresr = r(θ) es demasiado restrictiva desde un punto de vista geometrico. Una nocion mas directay flexible de curva consiste en usar una representacion parametrica: En lugar de considerar unade las coordenadas como funcion de la otra, se consideran ambas coordenadas como funciones deuna variable independiente t, denominada parametro de la curva, como ocurre con la expresionparametrica de la recta que pasa por un punto (a, b) y tiene como vector director u = (u1, u2) que,segun conoces de los cursos anteriores, viene dada por

x(t) = a+ tu1, y(t) = b+ tu2 con t ∈ R.

Curva plana en coordenadas parametricas. Una curva plana en coordenadas parametricas o,simplemente, curva parametrica es la imagen C en el plano R2 formada por los puntos (x(t), y(t))cuando un parametro t recorre un intervalo I, siendo x, y: I → R funciones continuas de t.

Los ejemplos de curvas en cartesianas y en polares que ya conoces son casos particulares de curvasparametricas. Ası, la curva y = f(x), con x ∈ I, admite una representacion parametrica en la queel parametro es la propia variable x, o sea,

x(t) = t, y(t) = f(t) con x ∈ I.

Por otro lado, una curva dada por una ecuacion en coordenadas polares r = r(θ), con θ ∈ I, puedeverse tambien como una curva parametrica plana usando el angulo polar como parametro, es decir,

x(θ) = r(θ) cos(θ), y(θ) = r(θ) sen(θ) con θ ∈ I.

Desde el punto de vista de la cinematica, la representacion parametrica de una curva es la masnatural porque responde al concepto intuitivo de una curva como la trayectoria descrita por unobjeto movil. En este caso, el parametro t es el tiempo, en funcion del cual vienen dadas lascoordenadas cartesianas x = x(t) e y = y(t) de la posicion del objeto movil en cada instante, demanera que x(t)ı + y(t)ȷ es el vector de posicion en el instante t de una partıcula que se mueve.En la nomenclatura de “Fısica I”, la curva C es la trayectoria de la partıcula y las funciones x(t)e y(t) se llaman ecuaciones horarias del movimiento.

En esta leccion veremos algunos ejemplos de curvas parametrizadas. Dejaremos para la Leccion 5el estudio pormenorizado de las curvas parametricas en el plano y en el espacio tridimensional.

Ejemplos. Aparte de la expresion parametrica de una recta, que hemos recordado antes, recogemosahora algunos ejemplos importantes de curvas planas dadas en coordenadas parametricas.

(1) La circunferencia (x−a)2+(y−b)2 = r2 de centro (a, b) y radio r se obtiene con las ecuacionesparametricas

x(t) = a+ r cos(t), y(t) = b+ r sen(t) (0 ≤ t ≤ 2π).

Aquı, t representa el angulo polar cuando el polo es el centro de la circunferencia y el eje polares la semirrecta y = b con x ≥ a. Si quisieramos describir solo un arco de la circunferencia,bastarıa con considerar la variacion del angulo representado por el parametro t. Ası, por ejemplo,el arco correspondiente al primer cuadrante de la circunferencia queda descrito cuando t recorre elintervalo [0, π/2].

(2) La elipse de ecuacionx2

a2+

y2

b2= 1 se puede obtener mediante las ecuaciones parametricas

x(t) = a cos(t), y(t) = b sen(t) (0 ≤ t ≤ 2π).

14 Matematicas II (GIC y GITI, 2015–2016)

En esta expresion, t es un angulo, pero no es, salvo en sus vertices, el angulo polar del punto dela elipse (mira la figura).

La elipse de ecuacionx2

a2+

y2

b2= 1 y el parametro t cuando a > b.

(3) La rama derecha de la hiperbola de ecuacionx2

a2− y2

b2= 1 se puede obtener mediante las

ecuaciones parametricas

x(t) = a cosh(t), y(t) = b senh(t) (−∞ < t < ∞).

En esta expresion, el parametro t indica un area (mira la figura).

La rama derecha de la hiperbola de ecuacion x2 − y2 = 1 y el parametro t.

(4) Una de las primeras curvas en ser descritas de forma parametrica fue la cicloide, que es latrayectoria que sigue un punto marcado en una circunferencia de radio r cuando esta rueda a lolargo de una lınea recta sin deslizamiento.

La cicloide.

Usando el angulo de giro de la rueda como parametro, la cicloide puede ser parametrizada mediante

x(t) = rt− r sen(t), y(t) = r − r cos(t)), (0 ≤ t ≤ ∞).

(El primer arco se obtiene para 0 ≤ t ≤ 2π.)

1. Graficas 15

Recta tangente. Sea C una curva parametrizada por (x(t), y(t)) con t ∈ I. Si las funciones x ey son derivables en I, entonces el vector (x′(t), y′(t)) es, si no es el vector cero, tangente a la curvaen el punto P = (x(t), y(t)), en cuyo caso la recta tangente a la curva C en el punto P como larecta que pasa por P y tiene como vector director v = (x′(t), y′(t)).

Recta tangente a una curva parametrica.

Veremos en la Leccion 5 que sta definicion coincide con la definicion habitual de la recta tangentecomo el lımite, cuando Q se mueve sobre la curva tendiendo a P , de las rectas secantes a la curvaen los puntos P y Q.

Es facil comprobar que esta definicion de tangencia coincide con lo que ya conocemos para curvasdadas de forma explıcita por una ecuacion en coordenadas cartesianas y = y(x) o para curvasdadas en coordenadas polares.

En los puntos excepcionales P = (x(t), y(t)) en los que x′(t) = 0 e y′(t) = 0, la nocion de rectatangente puede perder su significado ya que en tales puntos la tangente puede no existir o no estardefinida en forma unica; ejemplos tıpicos son los picos o esquinas (como los vertices de un cuadradoo el origen para la cardioide).

EJERCICIOS DE LA SECCION 3

Ejercicio 1. Encuentra una parametrizacion de las siguientes curvas.

(1) El segmento que une los puntos (1, 1) y (2, 3).(2) La semirrecta y = 2x− 1 para y ≥ x.(3) El tramo de la parabola de ecuacion y = 1− x2 en el que y ≥ −3.(4) La circunferencia de centro (1, 3) y radio 4.(5) La elipse de ecuacion (x− 1)2 + 4y2 = 4.(6) La hiperbola de ecuacion (x− 2)2 − 3(y − 1)2 = 9.

Ejercicio 2. Determina la recta tangente a una cicloide en el punto en que la rueda ha recorridoun sexto de vuelta.

Ejercicio 3. Determina la recta tangente a una elipse en un punto generico.

Ejercicio 4. La astroide es la curva dada por la ecuacion x2/3 + y2/3 = 1.

(1) Prueba que la astroide puede parametrizarse tomando x(t) = cos3(t) e y(t) = sen3(t) para0 ≤ t ≤ 2π.

(2) Utiliza alguna de las herramientas de dibujo de curvas que se suguieren el final de esteguion para dibujar la astroide y vers que, efectivamente, se parece a una estrella de cuatropuntas; de ahı su nombre.

(3) Calcula la recta tangente a la astroide en el punto correspondiente a t = π/3.(4) ¿Que ocurre cuando se intenta calcular la tangente a la astroide en una de las cuatro puntas;

en t = 0, por ejemplo?

16 Matematicas II (GIC y GITI, 2015–2016)

Ejercicio 5. Utiliza alguna de las herramientas de dibujo de curvas que se suguieren el final deeste guion para dibujar las curvas dadas por

(cos(mπt), sen(nπt)

)con t ∈ [−1, 1] para diversos

valores naturales distintos de m y n; por ejemplo, m = 3 y n = 5, o bien m = 17 y n = 20.

Ejercicio 6. Encuentra una parametrizacion de la cisoide, que es el nombre de la curva plana quese genera del siguiente modo: Un rayo arbitrario OB intersecta la lınea recta de ecuacion x = a enel punto B. Sea C la proyeccion de B sobre el eje OY y M la proyeccion de C sobre OB. El puntoM es el que describe la cisoide cuando se mueve B sobre la recta vertical x = a. Utiliza alguna delas herramientas de dibujo de curvas que se suguieren el final de este guion para dibujar la cisoide.

Ejercicio 7. Encuentra una parametrizacion de la concoide, que es el nombre de la curva planaque se genera del siguiente modo: Dadas dos constantes a > 0 y b > 0, trazamos desde el puntoB = (0,−a) una semirrecta que corta al eje OX en el punto C y hallamos el punto A de lasemirrecta para el que la distancia entre A y C es igual a b. La concoide se obtiene con estospuntos A conforme vamos variando la semirrecta. Utiliza alguna de las herramientas de dibujo decurvas que se suguieren el final de este guion para dibujar la concoide.

Algunas notas historicas.

Sobre el concepto de funcion. Como muy bien describe Antonio Duran en su libro Historia, con personajes, delos conceptos del calculo, la nocion de funcion como un objeto matematico aparece a comienzos del siglo xvii,cuando empieza la revolucion cientıfica y se dan, entre otras, dos circunstancias especialmente relevantes para eldesarrollo posterior de las matematicas: por un lado, la invencion de la geometrıa analıtica por Rene Descartes y

Pierre de Fermat, que produce un cambio de mentalidad por el que las curvas pasan de ser objetos con propiedadesgeometricas a ser puntos del plano cuyas coordenadas cumplen una cierta ecuacion algebraica, y, por otro lado,el interes por el estudio de los movimientos, a partir del los trabajos de Galileo Galilei y Johannes Kepler, y las

leyes naturales que los gobiernan, que se expresan como relaciones de dependencia entre magnitudes variables. Porejemplo, una parabola deja de ser vista como la interseccion de un cono con un plano paralelo a su generatriz parapasar a ser la lınea formada por los puntos (x, y) del plano cartesiano que cumplen y = ax2 + bx+ c, siendo a = 0,b y c constantes, igualdad que, a su vez, tambien permite describir la trayectoria de un proyectil.

La idea de funcion como relacion de dependencia entre magnitudes variables acaba cristalizando a comienzos delsiglo xviii a traves de los trabajos de los precursores del calculo infinitesimal: Pierre de Fermat, Blaise Pascal,

John Wallis, James Gregory e Isaac Barrow; sus inventores: Isaac Newton y Gottfried Leibniz; y sus sucesores: losBernoulli (Jacques, Johann, Daniel y Nicholas), Leonhard Euler, Colin Maclaurin, Brook Taylor, Alexis Clairaut yJoseph-Louis Lagrange.

A efectos practicos, una funcion se identificaba con una formula que permite calcular el valor de la variable depen-diente que corresponde a un valor de la variable independiente o, a veces, como una expresion que liga los valores deambas variables. Sin embargo, a finales del siglo xviii y comienzos del xix, sobre todo en relacion con la funcion que

representa la temperatura en el estudio del problema de la difusion del calor en una varilla llevado a cabo por JosephFourier, se fue poniendo de manifiesto que la definicion de funcion como mera formula es demasiado restrictiva. SonNicolai Lobachevski y Gustav Dirichlet quienes, alrededor de 1835 y de forma independiente, proponen la definicionformal, que hemos recogido antes, de funcion numerica como una correspondencia cualquiera entre dos conjuntos

de numeros, que asocia a cada numero en el primer conjunto un unico numero del segundo, sin que haya necesidadde explicitar como se lleva a cabo dicha asociacion mediante una formula.

Sobre las coordenadas polares. Los conceptos de angulo y radio se conocen y manejan desde la antiguedad; porejemplo, Arquımedes describe la espiral haciendo el radio igual a un multiplo del angulo de giro. Por otro lado,el astronomo Hiparco (siglo ii a C) creo una tabla trigonometrica que daba la longitud de una cuerda (o sea, el

doble del seno) en funcion del angulo como herramienta para establecer la posicion de la Luna, el Sol, los planetasy las estrellas. Sin embargo, estas aplicaciones no hacıan uso de un sistema de coordenadas como medio de localizarpuntos en el plano.

Aunque Gregoire de Saint-Vincent, Bonaventura Cavalieri, Blaise Pascal e Isaac Newton usaron coordenadas polarespara resolver algunos problemas, sera Jacob Bernoulli, a finales del siglo xvii, el primer matematico que uso de formasistematica las coordenadas polares para estudiar algunas curvas aplicando el calculo infinitesimal, introduciendo el

sistema con un punto en una semirrecta, que llamo polo y eje polar respectivamente, en el que las coordenadas sedeterminaban mediante la distancia al polo y el angulo respecto al eje polar.

1. Graficas 17

Sin duda, las curvas que mayor atencion han recibido a lo largo de la historia son las conicas. Como has visto en“Matematicas I”, las conicas son las curvas que se obtienen al hacer la interseccion de un cono con un plano y sus

principales propiedades fueron descubiertas por los geometras griegos.

En coordenadas cartesianas, el propio Rene Descartes y Frans Van Schooten estudiaron algunas conicas como los

puntos (x, y) del plano que cumplen una relacion del tipo Ax2+Bxy+Cx2+Dx+Ey+F = 0 donde A,B,C,D,E, Fson constantes. En coordenadas polares, las conicas pueden definirse mediante la ecuacion r = ℓ/1 + ε cos(θ) dondeε ≥ 0, que se llama excentricidad, y ℓ > 0 son constantes. Si la excentricidad es ε = 0, entonces tenemos unacircunferencia; para ε < 1 tenemos una elipse; si es ε = 1, entonces tenemos una parabola y con ε > 1 tenemos una

hiperbola. Esta ecuacion corresponde a la siguiente definicion cuando la excentricidad no es cero: dados un puntoF , llamado foco, y una recta D, llamada directriz,, la conica es el lugar geometrico de los puntos P del plano talesque la distancia de P a F es ε veces la distancia de P a D.

Sobre las curvas parametrizadas. Una de las primeras curvas en ser descritas de forma parametrica fue la cicloideque es la trayectoria que sigue un punto marcado en una circunferencia de radio r cuando esta rueda a lo largo de

una lınea recta sin deslizamiento. Este tipo de curvas, llamadas en la epoca curvas mecanicas porque surgıan deproblemas de movimientos, se estudiaban mejor si sus coordenadas se expresaban como funcion de una variable, elparametro, que se determinaba de forma natural a partir de la descripcion del movimiento.

La generalizacion en el uso de representar curvas en el plano o el espacio, y tambien superficies en el espacio,mediante coordenadas parametricas se debe a Leonhard Euler y Carl F. Gauss.

Bibliografıa

G.L. Bradley y K.J. Smith, Calculo, Seccion 3.6 del vol. 1 y Capıtulo 9 del vol. 2.

A. Duran, Historia, con personajes, de los conceptos del calculo, Secciones 2.1, 3.1 a 3.5 y 4.1.

R.E. Larson, R.P. Hostetler y B.H. Edwards, Calculo,, Seccion 3.6 del vol. 1 y Capıtulo 9 del vol. 2.

G.B. Thomas, Jr., Calculo de una variable, Seccion 4.4, y Capıtulo 11.

Paginas web de interes para el dibujo de curvas con las que se trabaja on-line:

http://www.desmos.com/ (esta es especialmente recomendable)

http://www.geogebra.org/cms/es/

http://www.graphsketch.com/

La instruccion plot del paquete http://www.wolframalpha.com/

Tambien es muy recomendable, para Windows, la aplicacion GRAPES , un programa gratuito yde libre disposicion desarrollado en la Universidad de Tsukuba (Japon) que puede descargarsede la pagina http://www.criced.tsukuba.ac.jp/grapes/es/ y con el que se puede trabajardirectamente en el ordenador.

Finalmente, con la pagina http://incompetech.com/graphpaper/polar/ se puede generar undocumento pdf con una retıcula polar para, una vez impreso en papel, dibujar curvas en polaresa mano alzada.