Lección 1Teoría Semiclásica de las propiedades de transporte

• Velocidad de fase-velocidad de grupo.• Modelo semiclásico: paquetes de ondas. • Dinámica del electrón. • Contribución de las bandas llenas al transporte de carga. • Huecos: propiedades dinámicas. • Modelo de Drude para semiconductores.• Resistividad y efecto Hall.• Magnetorresistencia.• Conductividad en corriente alterna.• Resonancia ciclotrónica

Velocidad de fase / velocidad de grupo

)sin(),( 1101 txkAtxA ω−=

−

−−

+

−+

= txkktxkkAtxA22

cos22

sin2),( 212121210

ωωωω

( ) ( )txktxkAtxA ωω ∆−∆−= cossin2),( 000

0=∆−∆ txk ωkdt

dx∆∆

=ω

dkd

kv kg

ωω=

∆∆

= →∆ 0lim

Los máximos corresponden a cierto valor de la fase

)sin(),( 2202 txkAtxA ω−=

)sin()sin(),( 220110 txkAtxkAtxA ωω −+−=

Velocidad de fase

2

22

1

11 k

vk

v ffωω

==

Ondas sinusoidales

Interferencia

Velocidad de fase / velocidad de grupo

dkekAtxu tkkxi ))(()(),( ω−∫=

)()()()()( 00000

kkvkkkdkdkk g

kk

−+=−

+=

=

ωωωω

dkekAetxu ktvxittvki gg )()( )(),( 00 −− ∫= ω

dkekAxu ikx∫= )()0,(

)0,(),( )( 00 tvxuetxu gttvki g −= −ω

Paquete de ondas

∑ −Ψk

)t)k(R.ki(knn e)r()kg(=t),R+r( n

rh

rrr

rrrrr ε

φ

tki

k

n

e)r(kn)kg(=t),r(n h

r

rrrr)(ε

φ−

∑Ψg(k) solo es distinto de cero para un intervalo pequeño de k0,|k-k0| < ∆k ~π/a ∆R >> a

APROXIMACIÓN SEMICLÁSICA DE LOS ESTADOS ELECTRÓNICOS EN EL SÓLIDO: PAQUETE DE ONDAS

Velocidad electrón = Velocidad de grupo del paquete de ondas

Teoría cuántica

)()()()(

)()()()(2

22

reRrrURrU

rkrrUm

knRki

kn

knnkn

rrrrrr

rrrrh

rrr

r

rr

φφ

φεφ

⋅=+=+

=

+∇−

Aproximación semiclásica: paquete de ondas

k)k(1=

k=)k(v n

n r

r

hr

rr

∂∂

∂∂ εω

dP dk= = F = ( e)(E +vxB)dt dt

−rr

r r rrh )()( rUkH extn

rr+= ε

En la aproximación semiclásica el paquete de ondas se mueve de acuerdo con las leyes de la macánica clásica

TRANSPORTE DE CARGA

( )∫∫

∫∫

∂∂

∂∂

∂∂

−=−

kn

3knn

3E

kn

3k3

dkk

41=dk

kk

41=J

dkk

41e)(dv

41e)(=J

rr

rr

r

r

h

rr

r

h

r

r

r

h

rr

τεπ

τεεπ

τεπ

τπ

2)(21)()(1

)(1

LAS BANDAS LLENAS NO CONTRIBUYEN AL TRANSPORTE DE ELECTRONES.

kx

ky

2π/a

π/a

π/a

k

-k)()(

)(1)(1)()(

kvkvk

kkk

kk

nn

nn

rrrr

r

r

hr

r

h

rr

−−=∂

−∂−=

∂∂

−=

εε

εε

LAS INTEGRALES, EXTENDIDAS A TODOS LOS VALORES DE k (dentro de la 1ª zona de Brillouin) SE ANULAN (ver Ashcroft-Mermim).

En ausencia de campo eléctrico

0)(1=

∂∂

−=− ∫∫ ZB kn

3ZB k3 dkk

41e)(dv

41e)(=J rr r

r

h

rrτε

πτ

π

LAS BANDAS LLENAS NO CONTRIBUYEN AL TRANSPORTE DE ELECTRONES.

En presencia de campo eléctrico

kx

ky

2π/a

1

2 3

1'

2'3'

K1

K2K3

E

ja

ia

K

ja

K

ia

K

rrr

rr

rr

ππ

π

π

22

2

2

3

2

1

−−=

−=

−=

tEektk

Eedtkd

∆−=∆

−=

r

h

rs

rr

h

0)(

0)(1=

∂∂

−=− ∫∫ ZB kn

3ZB k3 dkk

41e)(dv

41e)(=J rr r

r

h

rrτε

πτ

π

CONTRIBUCIÓN DE BANDAS CASI VACÍAS (ELECTRONES)

∫ =−ocupadok

k3 dv4

1e)(=Jr

rrr

0τπ

kx

ky

2π/a

π/a

π/a

0)()(

0

=

−−=

=

Jkvkv

simétricaónDistribuciE

r

rrrr

rEn ausencia de campo eléctrico

CONTRIBUCIÓN DE BANDAS CASI VACÍAS (ELECTRONES)

nm

tEed4m

tEedv4

1e)(=Jocupadoocupado k

k3k

k3 *

2

*

2 1 ∆=

∆=− ∫∫

rrrr

r

r

r

r τπ

τπ

En presencia de campo eléctrico

kx

ky

2π/a

π/a

π/a

E

∆k tmEe

mkv

tEek

simétricanoónDistribuciE

∆−=∆

=

∆−=∆

≠

**

0

rr

h

h

rr

r

CONTRIBUCIÓN DE BANDAS CASI LLENAS (HUECOS)

∫ =−ocupadok

k3 dv4

1e)(=Jr

rrr

0τπ

0)()(

0

=

−−=

=

Jkvkv

simétricaónDistribuciE

r

rrrr

rEn ausencia de campo eléctrico

kx

ky

2π/a

π/a

π/a

∫−ocupadok

k3 dv4

1e)(=Jr

rrr

τπ

∫∫

∫∫

−−=−

−−

vacíoocupado

vacíoocupado

kk3

kk3

kk3

kk3

dv4

1e)(dv4

1e)(

0=dv4

1e)(+dv4

1e)(

r

r

r

r

r

r

r

r

rr

rr

τπ

τπ

τπ

τπ

En presencia de campo eléctrico

CONTRIBUCIÓN DE BANDAS CASI LLENAS (HUECOS)

kx

ky

2π/a

π/a

π/a

E

∆k

tEek

simétricanoónDistribuciE

∆−=∆

≠

h

rr

r0

∫+vacíok

k3 dv4

1e)(=Jr

rrr

τπ

Las bandas parcialmente llenas si contribuyen al transporte de electrones y lo podemos representar como si se tratase del transporte de cargas positivas ficticias: HUECOS (su masa efectiva será diferente).

( )0**

20

2

0 2kk

m=

k)k(1=)k(v

mkk

)k(=)k(rrh

r

r

h

rrrr

hrr−−

∂∂−

−εεε

)Bxv+E(me=

dtkd

m=)k(v

dtd=a

rrrr

hrrr**

−

Transporte de carga en una banda LCAO

a)k+ak+ak2A(+E=)k( zyx coscoscosmin

rε

−==

∂∂=

−=⇒−=

ateEkAaakAak

)k(1v

teEkkeEdt

dk

xxx

xx

xxx

xx

)(sin2)sin(20

0

hhh

r

h

hh

ε

La velocidad resulta variar armónicamente, lo que indica que, en un sólido, un campo eléctrico uniforme daría lugar a una corriente alterna (esto si los portadores pudiesen alcanzar un k suficientemente grande). Este resultado es general dada la periodicidad de la relación ε(k) en el espacio recíproco.

MODELO DE DRUDE

τγγ v

mEe=v

mmEe=

dtvd vEe=

dtvdm

rrr

rrrrr

−−−***

*

E=Emev=

dtvd rrrr

µτ*0 =

mne=en= E=E

me(en)=ven=J

2

**

τµσστ rrrr

En el estado estacionario

LEY DE OHM: CONDUCTIVIDAD ELÉCTRICA

En este modelo se supone que todos los electrones (o huecos) son dispersados en promedio con un intervalo de tiempo τ (tiempo de relajación), perdiendo la energía adquirida en ese intervalo, lo que equivaldría al efecto de una fuerza disipativa

Campo magnético en la dirección del eje Z Campos eléctricos y corrientes en el plano perpendicular).

*

*

xx yc

yy c x

e v0 = vEme v0 = vE

m

ωτ

ωτ

−+

− −

τv

m)Bxve(

mEe=

dtvd rrrrr

−+ **

*

*

2

x xx yc

2

y yx yc

ne=J J E Emne=J J E Em

τω τ σ

τω τ σ

− =

=+

*meB

c =ω

frecuencia ciclotrónica de los electrones

EFECTO HALL

Multiplicando por (en) y sustituyendo envx=Jx y envy=Jy

x

y

z Br

xEr

yErJ

r

+ + + + +

- - - - - -

JBR=JenB=E

E=J

0=J

xHxy

xx

y

σ

Si la muestra tiene unos electrodos en las caras perpendiculares al eje X (campo eléctrico según X), que inyectan una corriente constante, y la muestra es finita entonces no puede haber flujo neto de carga en la dirección del eje Y.

Muestra paralelepipédica: medidas con “4 puntas”

l

h

d

hdI

SIJ x ==

lVEx =

hVE H

H =

IV

lhd=

lV=

hdI ρ

ρ1

IBdV

RdhIBR=

hV H

HHH =

En una muestra finita la conductividad es independiente del campo magnético: el campo de Hall compensa el efecto del campo magnético.

*

*

2

x xx yc

2

y yx yc

ne=J J E Emne=J J E Em

τω τ σ

τω τ σ

− =

=+

Si la muestra es infinita no se anula ninguna componente de la densidad de corriente (y no aparecerá ningún campo de Hall).

x c yx 2 2

c

c x yy 2 2

c

E E=J 1+

E E=J 1+

ω τσ

ω τω τ

σω τ

+

− +

)B21(1=)

21(1=)(B

+1=(B) E

+1=J

2222c0B

22c

22c

µστωσσ

τω

σστω

σ

−−→

Las trayectorias electrónicas entre choques son arcos de circunferencia y el recorrido libre medio en la dirección del campo eléctrico es menor, lo que equivale a una disminución de la conductividad.

MAGNETORRESISTENCIA

x

y

z Br

xEr

yErJ

r

+ + + + +

- - - - - -

En presencia de un campo eléctrico de la forma E0eiωt, es fácil ver que, si buscamos en la ecuación del movimiento soluciones de la forma v= v0eiωt:

La conductividad pasa a ser compleja. Dado el valor tan pequeño de los tiempos de relajación, este efecto solo se observa para frecuencias muy elevadas (microondas) y en semiconductores para los que la movilidad sea alta.

τω

ωωω

tititi ev

meEeevi=

dtvd 0

*0

0

rrr

r−=

ωττ

iE

mev

+=

11

0*0

rr

ωτσσi+

=1

0

CONDUCTIVIDAD EN CORRIENTE ALTERNA

En presencia de un campo eléctrico alterno de la forma E0eiωt

ωτσσi+

=1

0

CONDUCTIVIDAD versus SUSCEPTIBILIDAD (ELÉCTRICAS)

Conductividadmne=en= E=E

me(en)=ven=J

2

**

τµσστ rrrr

Susceptibilidad Eren=Prrr

χε 0= Jven=dtPd rrr

=

JPi=dtPd rrr

=ω

EEi=Pirrr

σχωεω =0 σχωε =0i )(1)(0

ωσωε

ωχi

=

)1(1

11)( *

2

0

0

0 ωττ

ωεωτσ

ωεωχ

imne

iii +=

+= *

0

22

mne

P εω =

2

2

1)(1)(ω

τω

ωωχωε−

+=+= iP

2

2

1)(ωωωε P−=

ωτ

<<1

La resonancia ciclotrónica es un fenómeno de absorción resonante de ondas de alta frecuencia (microondas), en presencia de un campo magnético intenso (campo eléctrico E0eiωt y soluciones de la forma v= v0eiωt):

τω 0

*0

*0

0v

m)Bxve(

mEe=vi

rrrrr −+

00 00 *

00 00 *

xx c yx

yy c xy

e vi v = vEme vi v = + vE

m

ω ωτ

ω ωτ

−−

−

20

0 00 *

20

0 00 *

xx c yx

yy c xy

e n Ji J = JEme n Ji J = + JEm

ω ωτ

ω ωτ

−−

−

0 0 00 0

0 0 00 0

x c y xx

y c x yy

i J = J JEi J = + J JE

ωτ σ τωωτ σ ω τ

−−−

000 0

00 0 0

( 1)( 1)

xc yx

yc x y

i J =J Ei J =J E

ωτ τ σωωτ σω τ

+ +− + +

x

y

zB

vFr

11

>>=>><<=<<

BTBT

cc

cc

µτωτµτωτCampo débil

Campo intenso

RESONANCIA CICLOTRÓNICA

La parte real del tensor conductividad tiene un máximo para ω = ωC , lo que indica que habrá un fenómeno resonante a esa frecuencia. Este fenómeno constituye la base del método más preciso utilizado para medir la masa efectiva (m*=eBres/ω) según diferentes direcciones:

0 00 00 0 02 2 2 2 2 2

0 00 00 0 02 2 2 2 2 2

(1 ) (1 )(1 ) 1 ( ) 2

(1 ) (1 )(1 ) 1 ( ) 2

y yC Cx xx

c c

C Cy yx xy

c c

i E i EE EJ =i i

E Ei E i EJ =

i i

ω τ ω τωτ ωτσ σ

ωτ ω τ ω ω τ ωτω τ ω τωτ ωτ

σ σωτ ω τ ω ω τ ωτ

− −+ +=

+ + + − +

+ ++ +=

+ + + − +

xxxx EEJP

EJEJP

σRe21Re

21

Re21

20

*

*

>=<=

>⋅<>=⋅=<rrrr

yyyxyxy

yxyxxxx

EEJEEJ

00

00

σσ

σσ

+=

+=

( )( )[ ]

+−+

++=

22222

222200

41

121

τωωω

τωωσc

cEP( )

+−++

=ωττωω

ωτσi

iEPc 21

1Re21

222200

Se han de producir dos condiciones: (i) campo intenso (ωCτ>>1), para que un electrón complete varias órbitas ciclotrónicas sin

ser dispersado, (ii) (ii) la energía que ganan los electrones al absorber las microondas ha de ser mayor que

su energía térmica media ( ).kTc >>ωh

Interpretación cuántica de la resonancia ciclotrónica

( )ixBA

rErAeim

rr

rrrh

=

Ψ=Ψ+∇− )()(2

1 2*

*

22

221)(

mknkE z

cznh

h +

+= ω

Interpretación cuántica de la resonancia ciclotrónica

b) Mínimo o máximo en k=0 (hexagonal o tetraédrico)

o k 0 (cúbico)≠

a) Mínimo o máximo en k=0 (cúbico)