Lección 1.2: Interceptos, Valor MáXimo Valor MíNimo Ce L

INTERCEPTOS EN X y Y,

VALOR MÁXIMOY VALOR MÍNIMO

UNIDAD IFUNCIONES Y TRANSFORMACIONES

A.PR.11.2.2

J. Pomales CeLJ. Pomales

Objetivos

Al finalizar podrás identificar en una función de grado 1, 2 o 3:

– Ceros de la función (raíces)– Interceptos en “y” (ordenada en el origen)– Puntos máximos o mínimos (vértice)

Todas las gráficas presentadas aquí fueron creadas con el GeoGebra. A menos que se especifique lo

contrario todas son infinitas en sus extremos.

¿Cuál es el grado de cada función?

f(x) = 2x

g(x) = x2 + x + 1

h(x) = x3 + x2 + x + 1

¿Cuál es el grado de cada función?

f(x) = 2x

g(x) = x2 + x + 1

h(x) = x3 + x2 + x + 1

GRADO 1

GRADO 2

GRADO 3

¿Recuerdas cómo es la forma de las gráficas de estas funciones?

Gráficas

f(x) = 2x

LINEAL

Gráficas

g(x) = x2 + x + 1

CUADRÁTICA

Gráficas

h(x) = x3 + x2 + x + 1

CÚBICA

¿Qué son los ceros de la función?

J. Pomales

1. Es la solución de f(x) = 0

2. Se le llama también raíces de la función o interceptos en x.

3. La gráfica de f(x) cruza al eje x en el cero de la función.

4. Algunas funciones poseen una o más interceptos en x o no tienen raíces.

¿Cómo calcular los ceros de la función?

1. El grado del polinomio determina el máximo de ceros de la función.

2. Iguala la función a cero, f(x) = 0.

3. Despeja la variable. Siempre es favorable tratar de factorizar la función.

4. Puedes escribir la solución (si existe) usando pares ordenados. Siempre usarás este formato:

(x,0) La x corresponderá al valor obtenido en el Paso 3.

EjemplosCalcula los ceros de la función

4

4044

04

4)( )1

−=−+=−++

=++=

x

x

x

xxf

Intercepto en x(-4,0)

Representación gráfica de la solución

3 1

3033 1011

0)3( 0)1(

−=−=−+=−++−+=−++

=+=+

xx

xx

xx


0)3)(1(

0342

=++=++

xx

xx

Interceptos en x(-1,0) y (-3,0)

34)( )2 2 ++= xxxf


1

1011

0)1( 0

−=−+=−++

=+=

x

x

xx


0)1)(1(

0)12(

022

23

=++=++=++

xxx

xxx

xxx

Interceptos en x(0,0) y (-1,0)

xxxxf ++= 23 2)( )3


• Es el lugar donde la gráfica toca o corta el eje de y

• Se le conoce por ordenada en el origen.

• Valor de f(0) = y, esto es cuando la x = 0

¿Qué es intercepto en y?

¿Cómo calcular el intercepto en y?

• Evalúa la función f(0). Esto es, sustituir las x por 0 y luego resolver las operaciones.

• Escribir la solución usando pares ordenados. Siempre usarás este formato:

(0,y) La y corresponderá al valor obtenido en el Paso 1.

Ejemplos Calcula los interceptos en y

4)0(

40)0(

4)( )1

=+=+=

f

f

xxf

Intercepto en y(0,4)




3)0(

300)0(

3)0(40)0(

34)( )22

2

=++=

++=++=

f

f

f

xxxf




0)0(

000)0(

0)0(20)0(

2)( )323

23

=++=

++=++=

f

f

f

xxxxf


• Son los puntos más altos y más bajos en la gráfica de una función

• La función lineal y la cúbica tienen valores máximos y mínimos infinitos.

• La función cuadrática tendrá valor máximo o mínimo según su forma.

• También se le llama vértice.

¿Qué son valores máximos o mínimos?

Datos de la función cuadrática

• Forma general:f(x) = ax2 + bx + c , donde a ≠ 0

• Su gráfica es una curva en forma de U• Dependiendo del coeficiente de la variable

cuadrada (a) será la forma en que abre la gráfica– Coeficiente (+) : U abre hacia arriba, con un mínimo– Coeficiente (–) : ∩ abre hacia abajo, con un máximo

• Su gráfica se llama parábola

Orientaciones de las parábolas

0<a(negativa)

Orientaciones de las parábolas

0>a(positiva)

Datos de la función cuadráticaf(x) = ax2 + bx + c , donde a ≠ 0

• Eje de simetría: recta vertical que divide la gráfica en 2 partes iguales. Su ecuación es

• Esta ecuación me permite calcular los valores máximos o mínimos de la parábola

a

bx

2−=

¿Cómo calcular el

valor máximo o mínimo en

una parábola?J. Pomales

¿Cómo calcular el valor máximo o mínimo en una parábola?

• La ecuación cuadrática debe estar en la forma estándar:f(x) = ax2 + bx + c

• Calcula el eje de simetría y sustituye ese valor en la función dada.

• El valor obtenido forma parte del par ordenado que corresponde al valor máximo o mínimo según sea el caso.

EJEMPLOS

J. Pomales

f(x) = 3x2 – 5x + 2En la ecuación dada, a = 3 y b = -5, por lo

tanto la ecuación del eje de simetría es

Ahora sustituimos el valor del eje de simetría en la función y resolvemos

Halla el valor máximo o mínimo

6

5

)3(2

5

2=−=−=

−

xóa

bx

Ejemplo 1


f(x) = 3x2 – 5x + 2

Como la función tiene a > 0, la gráfica abre hacia arriba y tiene un punto mínimo en

12

1

12

24

12

50

12

25

1

2

6

25

12

25

26

5

1

5

36

25

1

3

26

55)(

36

253

26

55

6

53

6

52

−

−

−

−

−

=

++=

++=

+

+

=

+

+

=

+

−

=

f

−

12

1,

6

5

a

Ejemplo 1


f(x) = 3x2 – 5x + 2

Así se vería la gráfica de esta función:

Un valor mínimo en

−

12

1,

6

5

−

12

1,

6

5

Ejemplo 1

g(x) = -1.5x2 + 6x + 3En la ecuación dada, a = -1.5 y b = 6, por lo

tanto la ecuación del eje de simetría es

Ahora sustituimos el valor del eje de simetría en la función y resolvemos

Halla el valor máximo o mínimo de

21

2

3

6

)5.1(2

6

2===−=−= −a

bx

Ejemplo 2


g(x) = -1.5x2 + 6x + 3

Como la función tiene a < 0, la gráfica abre hacia abajo y tiene un punto máximo en

( ) ( ) ( )( )

9

36

3126

31245.1

32625.12 2

=+=

++=++=

++=

−

−

−f

( )9,2

a

Ejemplo 2


g(x) = -1.5x2 + 6x + 3

Así se vería la gráfica de esta función:

Un valor máximo en

( )9,2

Ejemplo 2

En resumen

• Ordenada en el origen – Punto donde la función toca o corta al eje y

• Raíces – Puntos donde la función toca o corta al eje x

• Vértice – Punto máximo o mínimo, en este caso de la parábola

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