LECCIÓN 5LECCIÓN 5

Portadores fuera de equilibrioPortadores fuera de equilibrio

- Generación y recombinación de portadores.- Difusión y arrastre de portadores: Constante de

difusión. Relación de Einstein.- Ecuación de difusión unipolar. Longitud de difusión.- Ecuación de difusión bipolar. Recombinación por

trampas.

Generación y Recombinación Las características, eficiencia y limitaciones de los dispositivos están determinados por las propiedades de los portadores fuera de equilibrio. Los parámetros de los portadores minoritarios son los que juegan un papel principal en estas propiedades.

- Mecanismos de generación internos (excitación térmica) o externos (radiación electromagnética, campos intensos, inyección, …).

00 npp

pn

Generación y Recombinación Tasa de generación en procesos de absorción óptica

= coeficiente de = coeficiente de absorciónabsorción

0

R

T

0 RR

xT eR=x )1()( 0

x

(x) (x+dx)

S

dx

Fotones absorbidos en dV=SdxPortadores generados en dV=Sdx

dxeRSSddxxxSdN x )1()()( 0

dxxSdN )(

)()( xSdxdN

dVdN

xGG

Generación y Recombinación Las características, eficiencia y limitaciones de los dispositivos están determinados por las propiedades de los portadores fuera de equilibrio. Los parámetros de los portadores minoritarios son los que juegan un papel principal en estas propiedades.

Mecanismos de recombinación que tienden a hacer volver al sistema a su estado inicial de equilibrio.

EECC

EEVV

hh~E~Egg

+ h

- e

Radiativa Auger

+ h

- e

- E~Eg

+ h

- e

Por trampas

EETT

Recombinación lineal

Recombinación cuadrática

n

R

2nR

Recombinación cúbica (Auger)

3nR

Generación y Recombinación

Tiempo de relajación (colisiones)

Tiempo de vida (recombinación radiativa o no)

fon

fon

hh>E>Egg

- e

- e

+ h + h

Generación

Termalización

hh~ E~ Egg

Recombinación

Generación y Recombinación

En el equilibrio térmico, la velocidad de generación es igual a la de recombinación, manteniéndose constante la concentración de portadores.

)()(

)()(

2 tptnn=U

tptn=R

ir

r

R es la velocidad de recombinación de los portadores fuera de equilibrio,U sería la velocidad efectiva de recombinación de los portadores en exceso.

200 irrthth npnR=G

Tiempo de vida medio Si, por alguna causa externa, la concentración de portadores n aumenta con respecto a la de equilibrio n0, los portadores en exceso comienzan a recombinar hasta alcanzar la concentración de equilibrio (si desaparece la causa externa que los generó). Si n = n - n0 << n0 estamos en el caso de recombinación lineal, y:

ee

n=

nn=

tn

0

e --- tiempo de vida medio de recombinación de portadores en exceso

e

t

en=tn

)0()(

)0(;0 nt

)()(

)(

)()()(

002

2

tpptnnn=dt

tnd

tptnn=dt

tdn

ir

ir

n

rn

r

tntnp=

dttnd

R

tnpntn=dt

tnd

)()(

)(

)()()(

0

00

pn

00 ,nnp

Tiempo de vida medio

2)( n=tn

tnn

=tn)0(1

)0()(

Puede ocurrir también, especialmente a altas densidades de portadores fuera de equilibrio, p=n>>n0,p0, que la tasa de recombinación sea proporcional al cuadrado de la concentración en exceso. En ese caso hablamos de recombinación cuadrática:

Cnt

Ct=n

)0(/1;0

1

Si, por alguna causa externa, la concentración de portadores n aumenta con respecto a la de equilibrio n0, los portadores en exceso comienzan a recombinar hasta alcanzar la concentración de equilibrio (si desaparece la causa externa que los generó). Si n = n - n0 << n0 estamos en el caso de recombinación lineal, y:

ee

n=

nn=

tn

0

e --- tiempo de vida media de electrones e

t

en=tn

)0()(

n) (tipo

p) (tipo

ppn

npn

tp=RR

tn=RR

)(

)(

n p --- tiempos de vida medio de electrones y huecos (como portadores minoritarios)

pn

Corrientes de partículas

Ec. Continuidad La ecuación de continuidad expresa la conservación del número de partículas. Comencemos por la variación del flujo de corriente de partículas:

xp

eDpEe=J ppp

xn

eDnEe=J nnn

xp

DpE=e

Jppp

p

xn

DnE=e

Jnnn

n

Corrientes

(x+dx)(x)

dxdydzx

dydzxdxx=dxdydztp p

pp

)()(

(x+dx)(x)

Corrientes de partículas

Ec. Continuidad La ecuación de continuidad expresa la conservación del número de partículas y hay que tener en cuenta, además, los procesos de generación y recombinación,

Ecuación de continuidad para electrones y huecos

pp

p pG

x=

tp

nn

n nG

x=

tn

pppp

pG

x

pD

xpE

=tp

2

2)(

xp

DpE=e

Jppp

p

xn

DnE=e

Jnnn

n

nnnn

nG

x

nD

xnE

=tn

2

2)(

tp

=p

GxE

pxp

Ex

pD

pppp

)()()(

2

2

tn

=n

GxE

nxn

Ex

nD

nnnn

)()()(

2

2

tp

=p

GxE

pxp

Ex

pD

pppp

)()()(

2

2

tn

=n

GxE

nxn

Ex

nD

nnnn

)()()(

2

2

Difusión Unipolar

El exceso de carga desaparece en un intervalo de tiempo del orden de ε/σ=M, que es el llamado tiempo de relajación de Maxwell. En un semiconductor dicho tiempo es del orden de 10-14 s. Se puede eliminar el término que contiene la divergencia del campo eléctrico en la ecuación de difusión.

= e=(t) =E=)E(=J=

tM

t

0M

0/

00

tn

npp

pn

0=Dp

dxpd

D

E

dx

pd

ppp

p2

2

0=p

dxpd

Edx

pdDp

p2

2

p

- Semiconductor de tipo n

- Condiciones estacionarias

Difusión Unipolar ecuación de difusión pura unipolar

0=L

pdx

pd

L

L

dx

pd 22

E2

2

2LL

L4L+1

L1

=1

L

1+

L4L

L2L=

1

E2

2E

24

2E

2E

x

x

x

Ae=dx

pd

Ae=dx

pd

Ae=p

22

2 1

1

0=LL

L 22

E2

111

0=Dp

dxpd

DE

dx

pd2

2

D=L E=L E

longitud de difusión

longitud de arrastre

(portadores minoritarios)

Difusión Unipolar

La longitud de difusión es una cantidad positiva. Si E = 0 (no hay corriente de arrastre) LE = 0 y l = L, por lo que la distribución de portadores fuera de equilibrio viene controlada por L.

2LL

L4L+1

L1

=1 E

2

2E

x

en=n

)0(

L=

LD

=v

nev=L

neD=

xn

eD=J

D

DD )(

En el caso de que el campo eléctrico sea muy intenso, y positivo (LE>>L), de modo que las corrientes de arrastre y difusión tengan el mismo sentido, es fácil ver que l = LE. Los portadores en exceso pueden penetrar muy profundamente en el semiconductor, dándose una situación a la que se llama inyección de portadores, en la que hay exceso y extracción, si hay defecto de portadores. Si el campo eléctrico es negativo e intenso, l = L2/LE. La longitud efectiva de difusión, l, disminuye al aumentar el campo y se da una situación llamada acumulación (exceso) o exclusión (defecto) de portadores.

E

E

agotamiento acumulación

Difusión Unipolar

ExperimentoHaynes-Shockley

Difusión Bipolar Para introducir los conceptos, hemos planteado la difusión para un solo tipo de portador. Ahora bien, los portadores en exceso, salvo algunas excepciones, son generados como pares electrón-hueco, y la condición de neutralidad impone restricciones muy estrictas a la difusión independiente de cada tipo de portador. El proceso de difusión será simultáneo y los portadores interactuarán entre sí, de manera que los mas rápidos arrastrarán a los más lentos y estos frenarán el movimiento de aquellos. Los coeficientes de difusión efectivos serán un promedio de los coeficientes de cada tipo de portador.

tp

=p

GxE

pxp

Ex

pD

pppp

)()()(

2

2

tn

=n

GxE

nxn

Ex

nD

nnnn

)()()(

2

2

Los portadores de signo contrario se atraerán (Eint) lo que permite, como consecuencia positiva, que queden arrastrados por el campo aplicado o difundan de forma simultánea. Para ello basta un campo interno muy débil (que la condición de neutralidad eléctrica no se verifique al 100%).

Difusión Bipolar

tn

pn=n

pp

nGpn

xn

Epnx

npDnD

pnn

pp

npn

pnnppn

)(

)()(

)(2

2

nn

pp

tp

=p

GxE

pxp

Ex

pD

pppp

)()()(

2

2

tn

=n

GxE

nxn

Ex

nD

nnnn

)()()(

2

2

Difusión Bipolar

Da es el llamado coeficiente de difusión bipolar. Resulta obvio comprobar que en un semiconductor extrínseco el coeficiente de difusión bipolar, para bajos niveles de excitación, coincide con el de los portadores minoritarios.

np

a p+

npn

=

tnn

Gdx

ndE

dx

ndDa

a2

2

a

n

dxnd

Edx

ndDa

a2

2

a 0

pDnD

pnDD

pn

pDnDD

pn

pn

pn

nppna

)(

kT

eD pnpn

,,

p+n

p)+n(=

ppnn

pnpna

tn

pn=n

pp

nGpn

xn

Epnx

npDnD

pnn

pp

npn

pnnppn

)(

)()(

)(2

2

pn

L

ndx

nd

L

L

dx

nd E2

20

22

Trampas Estudiaremos el caso en que la recombinación no radiativa está controlada por una única trampa y definiremos los parámetros que regulan los procesos de emisión y captura de portadores libres por dicha trampa, procesos que determinan el tiempo de vida medio de los portadores limitados por este mecanismo.

Transiciones electrónicas en el sistema:

NT = concentración de trampasm = concentración de electrones en trampasNT-m = concentración de trampas vacías

(1) Creación de un par electrón-hueco.(2) Recombinación directa (radiativa) de un par electrón-hueco.(3) Emisión de un electrón desde la trampa a la banda de conducción.(4) Captura de un electrón libre por la trampa.(5) Captura de un electrón de la banda de valencia por la trampa (emisión de un hueco desde la trampa a la banda de valencia).(6) Emisión de un electrón desde la trampa a la banda de valencia (captura de un hueco libre por la trampa ).

EECC ,NC , n

ccee

hh>E>Egg

+ h

- e

+ h

- e

ET , NT, m

EEVV ,NV , p

eeee

- e

+ h

cchheehh

ET

hh~E~Egg

G R(1) (2) (4)(3)

(5) (6)

(3) Emisión de un electrón desde la trampa a la banda de conducción.(4) Captura de un electrón libre por la trampa.(5) Captura de un electrón de la banda de valencia por la trampa (emisión de un hueco desde la trampa a la banda de valencia).(6) Emisión de un electrón desde la trampa a la banda de valencia (captura de un hueco libre por la trampa ).

Trampas Estudiaremos el caso en que la recombinación no radiativa está controlada por una única trampa y definiremos los parámetros que regulan los procesos de emisión y captura de portadores libres por dicha trampa, procesos que determinan el tiempo de vida medio de los portadores limitados por este mecanismo.

(4) (6)

Trampas La recombinación por trampas equivale a la sucesión de los procesos 4 y 6. El proceso de captura dependerá de la densidad de electrones libres, n, y de la densidad de trampas vacías, NT-m, y de la sección eficaz asociada a la trampa. La variación de la concentración de electrones debida a las capturas será:

m)(Nv1

= n

= m)(Nnv = dtdn

Tnncm

cTTnn

c

tiempo medio de captura

Por otra parte, la velocidad de emisión debe ser proporcional a la densidad de electrones en la trampa, αnm. En el equilibrio térmico, ambos procesos deben compensarse, por lo que podemos escribir:

0

0

nv+1

N=m

nn

n

T

Si comparamos esta ecuación con la deducida a partir de la estadística de Fermi-Dirac para niveles localizados:

eg+1

N=m

kTEE

n

TFT 0gn = factor de degeneración de la trampa

(1/2 para un dador simple)

0=mNnvm=dtdn

Tnnneq

000

Trampas eNvg=eeNvg=envg= kT

EECnnnkT

EEkT

EECnnnkT

EEnnnn

TCFTFCFT 0

0=m)(N+mpv=dtdp

Tpppeq

Igualmente, podemos definir los parámetros de la captura y emisión de huecos por la trampa. Con la diferencia de que el tiempo de captura será proporcional a la concentración de trampas ocupadas (con electrones) y la velocidad de emisión a la concentración de trampas vacías:

Supongamos que existe una excitación exterior que da lugar a una tasa de generación G de pares electrón-hueco. Las ecuaciones que rigen la cinética de recombinación serán:

dtdn

dtdp

=dtdm

pmvm)(NNvg+G=dtdp

m)(NnvmNvg+G=dtdn

ppTVTppp

TnnCTnnn

eN=NNvg= kTE

CCTCTnnnnT

Nvg=eNvg= VTpppkT

EE

VppppTg

Trampas En régimen estacionario dm/dt =0, luego:

G=m)](NNg[pmv=m]Ngm)[n(Nv

G=m)(NNvgpmv=mNvgm)n(Nv

TVTpppCTnTnn

TVTpppppCTnnnTnn

TVTpppCTnnn

CTnnnppT

TVTpppCTnnn

VTpppnn

N)Ng+(pv+)Ng+(nv

Ngv+pv=mN

N)Ng+(pv+)Ng+(nv

Ngv+nv=m

Podemos despejar m y obtener expresiones para m y NT-m en función de NT:

Utilizando estas expresiones, obtenemos una relación entre las concentraciones de portadores y la tasa de generación de portadores G (ésta nos impondrá la cantidad de portadores en exceso en el sistema, pero tenemos un límite para NT):

)Ng+(pv+)Ng+(nv

NgvNgpvNgNgvpnvpvN=G

VTpppCTnnn

CTnnnVTpppVTpVTpppnnppT

Trampas

Si definimos el tiempo de vida medio a partir de una ecuación del tipo:

nnTn0

ppTp0

nVTp

pCTn

vN1

=vN

1=

n+p+n

Ng+n+p+

n+p+nNg+n+n

=

0

00

00

00

0

ya que gn gpNCTNVT = n0p0 . Por otra parte, np – n0p0 = (n0+p0+n)n, obtenemos, finalmente, para el tiempo de vida de los portadores:

tendremos, en el estado estacionario : = n/G. Si la concentración de trampas es pequeña, la concentración de portadores apenas cambia al cambiar m, ya que esá determinada por las concentraciones de otro tipo de centros (los niveles hidrogenoides).

n

G=dtdn

T

VTpppCTnnn

CTVTnpnnpp N)Ng+(pv+)Ng+(nv

NNggnpvv=G

Tnnpp

VTpppCTnnn

Npnnpvv

)Ng+(pv+)Ng+(nvn=

00

Trampas

Si el material es de tipo N y la trampa está mas cerca de la banda de conducción: n0 >> gnNCT >> gp NVT >> p0 .Si, además, el nivel de excitación es pequeño: = po, es decir, el tiempo de vida medio está determinado por el tiempo medio de captura de huecos por parte de la trampa.

EECC ,NC , n

ccee

- e

ET , m=NT

EEVV ,NV , p<<n+ h

cchh

Semiconductor de tipo n

EF

Trampa llena

Captura de

electrones

instantánea

Tiempo de vida

determinado por la

captura de huecos

Tppp Nv

1=

0

000

00

00

0n

VTpp

CTn

n+p+n

Ng+n+p+

n+p+nNg+n+n

=

Trampas

Semiconductor de tipo p

EECC ,NC , n

ccee

- e

ET , m=0

EEVV ,NV , p<<n+ h

cchh EF

Trampa vacía

Captura de

huecos

instantánea

Tnncn

Nv

1=

Recombinación Superficial

La superficie de cualquier semiconductor presenta una gran cantidad de defectos de diferentes tipos en mayor concentración que el interior. Así, existen defectos específicos de la superficie debido a la existencia de enlaces no saturados, que pueden dar lugar a la adsorción de átomos o moléculas. Por todo ello la recombinación en la superficie puede ser mucho mas intensa que en el interior del material. Si la superficie fuese perfecta, en presencia de una excitación exterior que crease portadores en exceso, la distribución de éstos en estado estacionario debe ser tal que la corriente de difusión (en condiciones de circuito abierto, es decir cuando no hay circulación de corriente) se anule sobre la superficie:

0=dx

pdD

0=xp

A S se le llama velocidad de recombinación superficial. Su magnitud es una medida del estado de la superficie y depende del procesamiento a que haya sido sometida.

0=x0=x

p pS=dx

pdD

Si en la superficie existe una alta concentración de defectos podrá existir un flujo neto de portadores hacia la superficie, ya que ésta actúa como sumidero de portadores: el flujo neto de portadores en la superficie es igual a la tasa de recombinación en ella y proporcional al exceso de portadores