LECCION-8

1 Tema 8 Lneas de Transmisin: anlisis circuital y transitorio Electromagnetismo

TEMA 8:

LINEAS DE TRANSMISIN:

ANLISIS CIRCUITAL Y

TRANSITORIO Miguel Angel Solano Vrez

Electromagnetismo Tema 8 Lneas de transmisin: anlisis circuital y transitorio 2

1 INTRODUCCIN Las lneas de transmisin se usan bsicamente para conducir potencia elctrica y para transmitir, con ms o menos perfeccin, informacin y se utilizan en un rango de frecuencias desde aproximadamente 60 Hz, en electrnica de potencia, hasta 109 Hz (1 GHz) y superiores, en ingeniera de microondas. Algunos de los tipos de lneas de transmisin uniformes ms usuales, tales como la lnea de transmisin de dos conductores (lnea bifilar), la lnea coaxial y la gua de planos paralelos, se muestran en la figura 1. La lnea bifilar est formada por dos conductores paralelos muy prximos normalmente de seccin recta circular. Estas lneas operan, generalmente, en el espacio libre estando sujetadas mecnicamente en intervalos regulares por dielctricos aislantes. La lnea de transmisin coaxial consiste, como su propio nombre indica, en una regin dielctrica coaxial, que puede ser el vaco, entre la pared exterior del conductor interno y la pared interna del conductor externo hueco. Ambos conductores son de seccin transversal circular. La gua de planos paralelos consiste en una lmina de dielctrico, o regin del espacio libre, colocada entre dos conductores planos paralelos. En el caso de la lnea bifilar el campo electromagntico se extiende por todo el espacio; en todos los dems casos el campo electromagntico est confinado al espacio limitado por los contornos metlicos. La eleccin de un tipo u otro de lnea de transmisin, entre otros factores, depende de la frecuencia de operacin y la capacidad de potencia requerida.


La teora de lneas de transmisin se puede desarrollar desde el punto de vista de teora de campos electromagnticos o desde el punto de vista de teora de circuitos elctricos. La primera opcin, que veremos en un tema posterior, consiste en resolver las ecuaciones de Maxwell del problema concreto junto con las condiciones de contorno adecuadas. En la segunda opcin, que es la que seguiremos en este tema, la lnea de transmisin se trata como un circuito de parmetros distribuidos formado por ciertos valores de inductancias y resistencias en serie y capacitancia y conductancia en paralelo. Los valores de estos parmetros dependen de la geometra de la lnea de transmisin y se tienen que obtener, necesariamente, mediante la aplicacin de la teora de campos electromagnticos. Estudiaremos lneas de transmisin uniformes, esto es, todas y cada una de las secciones de una lnea son iguales entre s. Este requerimiento de uniformidad excluye lneas de transmisin de longitud finita, puesto que en ese caso una seccin cercana al final de la lnea no sera igual que una seccin en el medio, por ejemplo. As, la teora que vamos a ver es estrictamente aplicable slo a lneas de transmisin de longitud infinita. En la mayora de los casos prcticos, los "efectos de borde" son suficientemente pequeos y su omisin queda justificada. 2. MODELO CIRCUITAL DE UNA LNEA DE TRANSMISIN Segn vimos en el tema 2 dedicado a las ecuaciones de Maxwell en el dominio de la frecuencia, cuando la longitud de onda de la excitacin a una red es del orden de magnitud (o menor) que las dimensiones de la misma, o dicho de otra manera, cuando el perodo de la seal es del orden o menor que el tiempo de propagacin de la seal a lo largo del circuito, las leyes de Kirchoff correspondientes al anlisis de circuitos con parmetros localizados ya no son aplicables. En este caso el anlisis que debe llevarse a cabo para estudiar la transmisin de una seal electromagntica es el denominado de lnea de transmisin, en el que los parmetros usuales de la teora de circuitos resistencias, inductancias y capacidades (R, L, C), han de considerarse distribuidos a lo largo de ella, en lugar de localizados. Realmente, este modo de anlisis encontrar justificacin rigurosa a partir de las ecuaciones de Maxwell en captulos posteriores. Este es el caso de la lneas de transmisin, en las que la frecuencia de utilizacin es tal que la longitud de la lnea es comparable con la longitud de onda o incluso varias veces mayor. Como consecuencia, en nuestra representacin mediante un circuito equivalente, seleccionaremos una pequea seccin "dz" de lnea de transmisin uniforme, con objeto de que en ella s sean aplicables las leyes de Kirchoff para circuitos habituales. Adems, para que no haya radiacin de energa electromagntica, la seccin transversal de los conductores de la lnea de transmisin as como su separacin debe ser muy pequea comparada con la longitud de onda. El circuito en parmetros distribuidos de la lnea de transmisin total se puede obtener conectando en serie todos los circuitos equivalentes desarrollados para cada una de las secciones. 2.1 Ondas en una lnea de transmisin ideal En la figura 2a se muestra una lnea de transmisin uniforme de dos conductores


cilndricos (hilos) paralelos. Consideraremos los conductores perfectos, es decir, con conductividad infinita. Los conductores se extienden desde z=0 hasta infinito, formando una lnea de transmisin semiinfinita. En z=0 se aplica una tensin vg(t); si se conecta el generador en t=0, a lo largo del conductor superior fluye una corriente i(t). Adems, debe retornar una corriente -i(t) por el conductor inferior, ya que la corriente en el generador debe ser continua. Esta corriente que retorna, se produce por la accin del campo elctrico que se establece entre los dos conductores. Puesto que la lnea de transmisin es semiinfinita, no existe un camino directo entre los conductores superior e inferior, por lo que supondremos que hay una capacitancia distribuida "C", por metro, entre los dos conductores; as, tenemos una corriente de desplazamiento que fluye desde el conductor superior hacia el inferior. La corriente elctrica provoca un campo magntico alrededor de los conductores, por lo que la lnea de transmisin tambin tendr una inductancia serie distribuida L, por metro. Podemos, entonces, modelar una seccin diferencial dz de esta lnea de transmisin como una inductancia serie Ldz y una capacitancia paralelo Cdz, tal y como se muestra en la figura 2b. Si los conductores tuviesen conductividad finita, se debera incluir, adems, una resistencia serie en el circuito equivalente de una seccin diferencial C. Lo mismo sucedera si el espacio entre los conductores estuviera lleno con un material dielctrico con prdidas; tendramos, entonces, que considerar una conductancia paralelo "G" en el circuito equivalente. Sin embargo, no vamos a considerar, por ahora, estos dos ltimos efectos. Puesto que los efectos electromagnticos se propagan a una velocidad finita "c" (velocidad de la luz en el vaco), la tensin v(z,t) y la corriente i(z,t) en un punto arbitrario "z" de la lnea de transmisin sern cero hasta que haya pasado un tiempo z/c despus de que el generador se haya conectado. Veremos que el generador lanza ondas de tensin y corriente a la lnea de transmisin que se propagan con velocidad finita. Las ecuaciones que describen estas ondas se obtienen aplicando las leyes circuitales de Kirchoff al circuito equivalente de una seccin diferencial de la lnea de transmisin, junto con las relaciones terminales (condiciones de contorno) que se deben cumplir en el generador. Sean v(z,t) e i(z,t) la tensin y la corriente, respectivamente, en un punto arbitrario "z" de la lnea de transmisin. A una distancia diferencial "dz" ms all, la

tensin y la corriente habrn cambiado una pequea cantidad v( )dzz y

i( )dzz ; por lo

tanto, la tensin y la corriente en z+dz sern

v(z,t)v(z + dz,t) = v(z,t) + dz

z

i(z,t)i(z + dz,t) = i(z,t) + dz

z


Figura 2 La suma de todas las cadas de potencial a lo largo del circuito deben ser cero; entonces

y operando

La suma de las corrientes en el nudo de salida debe ser cero; por lo tanto podemos escribir

y operando

Estas dos ecuaciones diferenciales describen la relacin entre las ondas de

i v-v + Ldz + v + dz = 0t t

v(z,t) i(z,t) = - L

z t (1.a)

v ii - Cdz - i - dz = 0t t

i(z,t) v(z,t) = - C

z t (1.b)


tensin y de corriente en la lnea de transmisin. Podemos obtener una ecuacin para la tensin v(z,t) diferenciando la ecuacin (1.a) respecto a z y utilizando (1.b) para eliminar la corriente; as

o

De manera similar se obtiene la ecuacin diferencial para la corriente

El producto LC tiene dimensiones de inverso de velocidad al cuadrado. Estas dos ecuaciones son ecuaciones de onda unidimensionales y describen ondas propagndose a una velocidad (lnea de transmisin ideal en aire)

Consideremos la ecuacion

Dos funciones arbitrarias de la forma f+(t-z/c) y f-(t-z/c) son soluciones de esta ecuacin, es decir, de la ecuacin de ondas unidimensional, como ya demostramos en temas anteriores para una onda plana. La funcin f+(t-z/c) es la misma que la funcin f+(t) pero retrasada en el tiempo una cantidad z/c, que es igual al tiempo que tarda la seal desde que sale del generador hasta que alcanza la posicin marcada por la coordenada z. Esta solucin puede, entonces, interpretarse como una onda propagndose en la direccin z positiva, por lo cual se identifica con el superndice "+". La otra solucin representa una onda propagndose en la direccin -z, y se identifica con el superndice "-". La solucin general para la onda de tensin en la lnea de transmisin es

2 2 2

2 2v(z,t) i v= - L = - L (-C )

z tz t

2 2

2 2v(z,t) v(z,t)- LC = 0z t

(2.a)

2 2

2 2i(z,t) i(z,t)- LC = 0z t

(2.b)

1c = LC (3)

2 2

2 2 2v 1 v- = 0

z c t

+ -+ -z zv(z,t) = (t - ) + (t + )f fV Vc c (4)


donde V+ y V- son amplitudes constantes. Usando la ecuacin (1.b) podemos poner

Si consideramos que la corriente es de la forma

entonces

sin ms que utilizar la relacin

Inspeccionado estas ecuaciones, vemos que la solucin considerada para i(z,t) es compatible con que la de la tensin v(z,t) si escogemos

El parmetro cC tiene dimensiones de admitancia y es tambin igual a C C =

LLC . La admitancia caracterstica Yc de la lnea de transmisin viene definida por

este parmetro. Su inverso se denomina impedancia caracterstica de la lnea de transmisin, y vale1

Utilizando este parmetro, la solucin para las ondas de corriente en la lnea de

1 Puesto que Zc est aqu definida como un nmero real, es ms lgico llamarla "resistencia caracterstica", ya que el concepto de impedancia implica el uso de formas fasoriales apropiadas para el estado estacionario con excitacin sinusoidal. ste es un caso especial e importante que veremos en el tema posterior; sin embargo, an utilizando lneas de transmisin con pulsos u otras seales genricas, es muy comn referirse al parmetro definido Zc como impedancia caracterstica.

+ -

+ -i(z,t) f f= - C ( + )V Vz t t

+ -+ -z zi(z,t) = (t - ) - (t + )f fI Ic c

+ -

+ -i 1 f f= - ( + )I Iz c t t

z(t ) 1f f fc = = zz z c t(t )c

+ -+ -= c C = c C I IV V

cc

L 1= = Z C Y (5)


transmisin se puede expresar como

Como puede observarse de las ecuaciones (4) y (6) la impedancia caracterstica de la lnea es el cociente entre la tensin y la corriente para una de las ondas que viajan en un punto e instante dados. El signo negativo para la onda viajando en el sentido negativo de z es lgico, puesto que la onda se propaga hacia la izquierda y nuestro convenio de corriente positiva es viajando hacia la derecha. 2.2 Lnea de transmisin semiinfinita Para el circuito en lnea de transmisin de la figura 2a, el generador enva ondas de tensin y corriente propagndose en la direccin z. Puesto que la lnea de transmisin se extiende hasta el infinito, no existirn ondas propagndose en el sentido z negativo. Las ondas de tensin y corriente en la lnea sern

con V+=I+Zc. En el generador colocado en z=0, las condiciones terminales requieren que

donde Ig es la corriente proporcionada por el generador y Rg es la resistencia de generador. Estas condiciones terminales se pueden expresar de la forma

de donde se obtiene

La onda de tensin que se propaga por la lnea de transmisin viene, entonces, dada por

+ -+ -

c c

1 z 1 zi(z,t) = (t - ) - (t + )f fV Vc cZ Z (6)

++ zv(z,t) = (t - ) fV c

++ zi(z,t) = (t - ) fI c

g g gg 0

g

(t) = (t) = + v(o,t)v IV V Ri(0,t) = I

++ ++g gg 0

c+

+ gc

V(t) = (t) = (t) + (t)v f fV V VRZ

V (t) = f IZ

c c++ gg 0

c cg g

Z Z (t) = (t) = (t)vfV V V + + Z ZR R (7)


con la correspondiente onda de intensidad

En cualquier punto de la lnea de transmisin, la forma de onda de la tensin es la misma que la que produce el generador pero retrasada en el tiempo y reducida en su

amplitud por el factorc

c g

Z + Z R . La reduccin de tensin es la habitual divisin de

tensin asociada al circuito equivalente de la figura 2c. Para una lnea de transmisin semiinfinita, un generador ve una impedancia igual a la impedancia caracterstica de la lnea de transmisin. 3 LNEAS DE TRANSMISIN TERMINADAS: TRANSITORIO 3.1 Carga resistiva En la figura 3 se muestra una lnea de transmisin terminada a una distancia "l" del generador por una resistencia de carga RL. En el plano de la carga las condiciones terminales son

Si escogemos RL igual a la impedancia caracterstica Zc, entonces

Para una onda propagndose en el sentido positivo del eje z

por lo que en en plano z=l

que satisface la condicin terminal en el plano z=l. Por lo tanto, escogiendo RL=Zc la onda positiva (la que se propaga en la direccin z positiva) ser absorbida completamente por la resistencia de carga y no se generar ninguna onda reflejada (la que se propaga en la

c c

gg 0c cg g

z zZ Zv(z,t) = (t - ) = (t - )vV V + c + cZ ZR R (8.a)

gg 0c cg g

1 z 1 zi(z,t) = (t - ) = (t - )vV V + c + cZ ZR R (8.b)

LL Lv(l,t) = = v i R (9.a)

Li(l,t) = i (9.b)

L LL cL= = v i i ZR

cv(z,t) = i(z,t)Z

cv(l,t) = i(l,t)Z


direccin z negativa) al final de la lnea de transmisin. Como consecuencia, para evitar la presencia de una onda reflejada, como por ejemplo en aplicaciones con circuitos digitales, la lnea de transmisin debe estar acabada en su impedancia caracterstica.

Si cL ZR las condiciones terminales en la carga no se pueden cumplir sin la introduccin de una onda reflejada. La onda incidente en z=l viene dada por

donde V+ es la amplitud de la onda de tensin incidente vi relativa a Vg. Para que la onda reflejada se pueda combinar con la incidente de manera que se puedan cumplir las condiciones terminales dadas en las ecuaciones (9), la onda reflejada debe tener la misma dependencia temporal que la onda incidente. Por lo tanto, la onda reflejada tendr la forma

El argumento debe contener el factor t+z/c ms factores adicionales de retardo, de forma que en z=l la onda reflejada tenga la forma vg(t-l/c). La onda de corriente reflejada viene dada por

En el plano de la carga la corriente total de la lnea de transmisin debe ser igual a la corriente iL que fluye a travs de RL, es decir

c +i g g0c g

i ic

l lZ(l,t) = (t - ) = (t - )v v vV V+ c cZ R1(l,t) = (l,t)vi

Z

- -r g g

l z - l z 2l(z,t) = (t - + ) = (t + - )v v vV Vc c c c

r rc

1(z,t) = - (z,t)viZ


y la tensin total en la lnea de transmisin debe ser igual a la tensin en la carga, es decir

Dividiendo estas dos ltimas ecuaciones entre s se obtiene

que proporciona

El parmetro L se llama coeficiente de reflexin en la carga. V- es la amplitud de la onda reflejada y V+ es la amplitud de la onda incidente y su cociente est determinado nicamente por las condiciones en la carga. Una vez que la carga ha producido la onda reflejada, la onda de tensin total en la lnea de transmisin ser la suma de la onda de tensin incidente ms la onda de tensin reflejada, y sto ser as hasta el momento en que la onda reflejada alcance el plano donde est el generador. Si la impedancia interna Rg del generador es igual a la impedancia caracterstica Zc de la lnea, el generador absorbe por completo la onda reflejada. Si, por el contrario, cg ZR el generador refleja la onda reflejada produciendo una nueva onda propagndose en la direccin z positiva. Las condiciones lmites en el plano del generador se obtienen cortocircuitndolo; entonces, la onda reflejada ve una terminacin Rg y se reflejar con un coeficiente de reflexin g dado por

El proceso continuar indefinidamente con ondas que viajan en ambos sentidos de la direccin z y que se reflejan en la carga y en el generador cada t=nT (n=1,2,3,...) con T el tiempo que tarda cada onda en recorrer la longitud de la lnea de transmisin, es decir, T=l/c. Es conveniente hacer notar dos cosas. La primera es que las ondas que se van reflejando en la carga y el generador pueden tener amplitud negativa puesto que L o g (o ambos) pueden ser negativos. La segunda es que, excepto para cargas correspondientes a circuito abierto o cortocircuito, L y g son menores que la unidad.

+ - Lg

c

1 l( - ) (t - ) = vV V icZ

+ - Lg L L

l( + ) (t - ) = = v vV V i Rc

+ - L+ - c

+ RV V = - ZV V

- cL

L+ cL

- ZRV = = + ZRV

(10)

cg

gcg

- ZR =

+ ZR (11)


Como consecuencia, las sucesivas ondas reflejadas lo hacen con cada vez menor amplitud dando lugar a un proceso convergente. Es interesante calcular el valor final de la tensin entre los terminales de la resistencia de carga VL. Si V1+ es la amplitud en la carga de la onda de tensin que enva el generador, es decir

con las sucesivas reflexiones en el generador y la carga podremos escribir

Anlogamente encontramos la intensidad en la carga IL como

3.1.1 Diagramas de reflexin El procedimiento anterior "paso a paso" para calcular la tensin y la corriente en un punto y tiempo dados de la lnea de transmisin terminada en una carga resistiva arbitraria llega a ser tedioso y difcil de visualizar cuando es necesario considerar muchas reflexiones. En estos casos, es muy til emplear una construccin grfica denominada diagrama de reflexin. Comenzaremos por construir un diagrama de reflexin en tensin. En tal diagrama se dibuja el tiempo transcurrido despus del cambio en las condiciones del circuito en funcin de la distancia z al plano del generador. El diagrama de reflexin en tensin para la lnea de transmisin de la figura 3 se muestra en la figura 4. El diagrama comienza con una onda V1+ en t=0 que viaja desde el generador (z=0) en la direccin z positiva con velocidad u = 1/ LC (u=c en el vaco). Esta onda est representada por la lnea recta desde el origen marcada con V1+ y tiene una pendiente positiva igual a 1/u. Cuando V1+ alcanza la carga situada en z=l, se crea una onda reflejada V1- = L V1+ siempre que RL no sea igual a Zc. La onda V1- viaja en la direccin z negativa y viene representada por la lnea recta marcada con L V1+, y tiene una pendiente negativa igual a -1/u. Esta onda alcanza el generador cuando ha transcurrido un tiempo t=2T (T=l/u) dando lugar a una onda reflejada V2+ = g V2+= g L V1+, y que viene representada

c+

01 c g

Z= V V + Z R

+ - + - + -L 1 2 31 2 3

+ 32 2 2 2L g L g g g1 L L L+ 2 2 2 2g L L g Lg g1 L L

L+1 g L g L

= + + + + + + ...V V V V V V V = (1 + + + + + + ...V

= [(1 + + + ...) + (1 + + + ...)]V1 = ( + V 1 - 1 -

L+1 g L

)

1 + = ( )V 1 -

(12)

+

L 1L

g L c

V1 - = ( ) I 1 - Z

(13)


por la segunda lnea con pendiente positiva. Este proceso continua en un sentido y otro indefinidamente. El diagrama de reflexin en tensin se puede utilizar para obtener la distribucin de tensin a lo largo de la lnea de transmisin en un tiempo dado as como la variacin de tensin en funcin del tiempo en un punto arbitrario de la lnea.

Supongamos que queremos conocer la distribucin de tensin a lo largo de la lnea en t=t4 (3T


positiva en el punto P4. Todas las lneas por encima de P4 son irrelevantes en nuestro problema puesto que pertenecen a t>t4.

3.- Dibujar una lnea vertical por P4 hasta cortar al eje z (horizontal) en z1. El

significado de z1 es que en el rango 0


Figura 5 De la misma manera que hemos hecho para el diagrama de reflexin en tensin se puede construir un diagrama de reflexin en intensidad. La esencia en su construccin es exactamente la misma que para el diagrama en tensin con la nica diferencia del cambio de signo asociado con la corriente que viaja en la direccin z negativa. El diagrama de reflexin en intensidad se puede emplear para determinar la distribucin de corriente a lo largo de la lnea de transmisin as como la variacin de la corriente en funcin del tiempo en un punto particular de la lnea, sin ms que seguir los pasos arriba indicados. Para la lnea de la figura 3 y con los valores antes utilizados el diagrama de reflexin en intensidad se muestra en la figura 6 y el transitorio describiendo la variacin de la intensidad en z1 en funcin del tiempo en la figura 7.


3.2 Carga reactiva Hemos visto que cuando la resistencia de carga no es igual a la impedancia caracterstica de la lnea de transmisin, la tensin o corriente incidente produce una onda reflejada con su misma dependencia temporal y la razn entre las amplitudes de las ondas incidente y reflejada es una constante que hemos llamado coeficiente de reflexin. Sin embargo, si la terminacin es un elemento reactivo tal como una inductancia o una capacitancia, la onda reflejada no tendr la misma dependencia temporal (es decir, no tendr la misma forma) que la onda incidente. En tales casos, no es factible la utilizacin de un coeficiente de reflexin constante, siendo necesario resolver una ecuacin diferencial en la terminacin para determinar el comportamiento


transitorio. Consideremos una lnea de transmisin sin prdidas de impedancia caracterstica Zc (real) terminada en z=l en una inductancia L (figura 8a). Aplicamos una tensin de continua V0 en z=0 mediante un generador de impedancia interna Zg=Zc. Si en el instante t=0 se conecta dicho generador se produce una onda que se propaga en la direccin z positiva (viajando hacia la carga) cuya amplitud es

Cuando alcance la carga, una vez transcurrido un tiempo t=l/u=T, se produce una onda reflejada v-(t) y queremos encontrar la relacin entre v-(t) y V+. En z=l, se cumple que cuando Tt

De las dos primeras de estas ecuaciones se obtiene

Esta ecuacin describe la aplicacin de las leyes de Kirchoff de las tensiones al circuito mostrado en la figura 8b, que es el circuito equivalente en la carga para Tt . Sustituyendo el valor de vL(t) en la ecuacin (14) se obtiene la siguiente ecuacin diferencial de primer orden con coeficientes constantes

cuya solucin es

0+ V= V 2

+ -L

+ -Lc

LL L

(t) = + (t)v vV1(t) = [ - (t)]vi V

Zdi(t) = v L dt

+ LL c(t) = 2 - (t)v V Z i (14)

L +LcL(t)di + (t) = 2L Z i Vdt


que proporciona correctamente +L L c(T) = 0 e ( ) = 2 /i i V Z . La tensin en los

terminales de la inductancia es

La amplitud de onda reflejada es

Esta onda reflejada viaja en la direccin z negativa. La tensin en un punto cualquiera z=z1 de la lnea es V+ antes de que la onda reflejada por la carga alcance ese punto, t-T


Figura 9

La solucin de esta ecuacin es

y la corriente en la capacitancia es

A su vez la amplitud de la onda reflejada es

Los grficos de vL(t), iL(t) y v-L(t) en z=l se muestran en las figuras 11a,b,c. La distribucin de tensin para T


3.3 Solucin mediante la transformada de Laplace Aunque los diagramas de reflexin de la seccin anterior proporcionan una visin intuitiva del comportamiento transitorio de una lnea de transmisin, a veces es necesario o deseable obtener una solucin analtica del problema en concreto. En esta seccin veremos cmo utilizando el mtodo de la transformada de Laplace de la teora de circuitos se puede obtener la respuesta temporal de una lnea de transmisin sin prdidas. Para ilustrar el proceso de resolucin vamos a resolver el caso que se muestra en la figura 12, y que consiste en una lnea de transmisin sin prdidas cortocircuitada conectada a un generador adaptado que proporciona una tensin escaln de amplitud V0.

Figura 12

Las ecuaciones del telegrafista, que por comodidad vamos a repetir aqu, para


este caso son

La transformada de Laplace F(s) de una funcin f(t) se define como

Como referencia, algunas de los resultados bsicos de la transformada de Laplace son

En las ecuaciones anteriores se supone que f(t)=0 para t


En el dominio transformado las ecuaciones anteriores son

Tambin se requieren las condiciones iniciales. Debido a la velocidad finita de propagacin, podemos afirmar que la tensin y la corriente en t=0+ son cero en todos los puntos de la lnea de transmisin. Entonces

Con todo sto, las ecuaciones (25) se reducen a

de las que se puede obtener una ecuacin con slo V(z,s) como

cuya solucin general para V es

donde u es la velocidad de propagacin en la lnea (u=c en el vaco). Como ya hemos visto, estos dos trminos representan ondas viajando en las direcciones z positiva y negativa. Usando la ecuacin (28a) podemos despejar la onda de intensidad I

Ahora debemos determinar las constantes desconocidas A y B aplicando las dos condiciones de contorno dadas por las ecuaciones (27)

0

c-V + I(0, s) + V(0, s) = 0Zs (27a)

V(l, s) = 0 (27b)

+ +v(z, ) = i(z, ) = 0 para 0 < z l0 0

V + sLI = 0z

(28a)

I + sCV = 0z (28b)

2

22

V - LCV = 0sz

z z-s su uV(z, s) = A + B e e (29)

z z-s su u

c c

1 V A BI(z, s) = - = - e esL z Z Z (30)

2sV = A => 0 = B+ A+ B - A+

sV- 0=z en 00

ll l0s-s -2suu u

Ven z = l + = 0 => B = - eAe Be 2s


La solucin para V(z,s) es entonces

Utilizando las propiedades de la transformada de Laplace se obtiene la transformada inversa de la ecuacin anterior, es decir, la solucin en el dominio del tiempo

Para 0


embargo, una caracterizacin completa del dispositivo exige, a menudo, medidas sobre una banda ancha de frecuencias. Esta informacin banda ancha se puede obtener haciendo un barrido de la frecuencia en el rango deseado o aplicando un pulso o un salto de tensin. Basndose en la transformada de Fourier del pulso o el salto aplicado, se puede demostrar que la forma de onda contiene un espectro de frecuencias, que en el caso ideal de que la funcin tensin aplicada sea una funcin delta, la banda de frecuencias se extendera desde cero al infinito. Claramente, en la prctica es imposible generar una pulso de tensin en forma de funcin delta con un tiempo de subida nulo. Esta es la causa por la que un anlisis en el dominio del tiempo no proporciona informacin sobre un ancho de banda frecuencial infinito. A menor tiempo de subida mayor ancho de banda. Es claro, por lo tanto, que la informacin deseada en un rango de frecuencias dado se puede obtener bien a travs de tcnicas de barrido en frecuencia, bien por medidas de la respuesta del sistema a una entrada de tensin tipo pulso corto o salto de tensin. En otras palabras, la respuesta transitoria del dispositivo o componente microondas junto con un anlisis simple mediante la transformada de Fourier puede utilizarse para una caracterizacin completa y ancha banda del dispositivo, en lugar del repetitivo de medir frecuencia a frecuencia o bien con medidas de barrido de frecuencia. Otra ventaja de la caracterizacin en el dominio del tiempo es que facilita la separacin en el tiempo de la respuesta proporcionada por diferentes discontinuidades que se produzcan a lo largo del sistema en lnea de transmisin. En medidas en el dominio de la frecuencia, donde habitualmente se utilizan tensiones sinusoidales, se obtienen coeficientes de reflexin y transmisin compuestos de contribuciones de todas las discontinuidades, y es bastante difcil descomponer estos valores medidos en las contribuciones que cada una de las discontinuidades colocadas a lo largo de la lnea de tranmsisin hace al valor total. En medidas en el dominio del tiempo, las contribuciones debidas a varias discontinuidades a lo largo de la lnea estn todas separadas en el tiempo y, por tanto, se pueden reconocer individualmente. Por sto, se han utilizado durante mucho tiempo medidas en el dominio del tiempo para localizar fallos en cables a lo largo de lneas telefnicas. Los analizadores vectoriales modernos tienen posibilidad de aislar la informacin de varias discontinuidades y realizar un anlisis posterior en el dominio de la frecuencia. El sistema que se emplea para realizar medidas en el dominio del tiempo se conoce como reflectmetro en el dominio del tiempo (TDR). En la figura 14 se muestra un diagrama de bloques de un TDR, que bsicamente contiene los siguientes componentes 1.- Un generador de tensin que proporciona la entrada en forma de salto de tensin

a la lnea de transmisin. 2.- La cabeza de muestreo que incluye una sonda de alta impedancia para muestrear

la tensin a lo largo de la lnea de transmisin. 3.- Un osciloscopio donde ver la tensin a lo largo de la lnea de transmisin. 4.- El dispositivo a medir.


Hay que notar que la sonda de muestreo realmente mide la tensin total VG+VR a lo largo de la lnea. Por lo tanto, para obtener la funcin salto respuesta al dispositivo a medir, se debe restar el salto en tensin de la onda incidente de la seal mostrada en el osciloscopio.

Vamos a ver algunas de las aplicaciones del TDR. 4.1 Localizacin de desadaptaciones resistivas Supongamos que el dispositivo test de la figura 14 es una lnea de transmisin terminada en su impedancia (resistencia) caracterstica Zc. Entonces, no se produce onda reflejada y lo que se ver en el osciloscopio es la onda de tensin incidente (un escaln) a medida que pasa por el punto de muestreo (figura 15). Pero si existe desadaptacin en la carga, parte de la onda incidente se refleja. Como ya se ha dicho, la onda reflejada aparecer en la pantalla del osciloscopio sumada algebraicamente a la onda incidente, como muestra la figura 16.


La onda reflejada se identifica fcilmente puesto que se ve, en el osciloscopio, separada en el tiempo de la incidente. Esta situacin proporciona informacin suficiente para determinar la separacin "D" entre el punto de muestreo y la desadaptacin. Si "u" es la velocidad de propagacin en la lnea y "T" el tiempo de trnsito desde el punto de muestreo hasta la carga y vuelta, que se puede medir en el osciloscopio como muestra la figura 16, se verifica la relacin

La velocidad de propagacin "u" se puede determinar mediante una experiencia con un cable de longitud conocida y del mismo tipo que el empleado anteriormente. Por ejemplo, si el tiempo, medido en el osciloscopio, empleado por la onda incidente en viajar hasta la carga ms el empleado por la onda reflejada en viajar desde una terminacin en circuito abierto hasta el principio de una lnea de 120 cm es de 11,4 nseg, se obtiene una velocidad u=2,1x1010 cm/seg. No slo se puede localizar la desadaptacin, tambin se puede calcular el valor de

TD = u 2 (33)


la carga resistiva. Supongamos por ejemplo que la amplitud de la onda incidente Ei (V+) es de 12 V y que la tensin detectada en el osciloscopio una vez que ha pasado por el punto de muestreo la onda reflejada es V2=8 V. Por tanto, Er=(V-)=V2-Ei=-4V. Esto da lugar a un coeficiente de reflexin de -1/3 (=Er/Ei=V-/V+); si la impedancia caracterstica de la lnea de transmisin es Zc=50, se obtiene el valor de la resistencia de carga como

4.2 Discontinuidades mltiples Una de las virtudes del TDR es su habilidad para manejar dispositivos con ms de una discontinuidad como, por ejemplo, el mostrado en la figura 17. La pantalla del osciloscopio mostrara en este caso un diagrama parecido al mostrado en la figura 18 (para el caso ZL>Zc1>Zc2). Como se puede observar en la figura 18 las dos desadaptaciones producen reflexiones que se pueden analizar separadamente. La desadaptacin debida a la unin de las dos lneas de transmisin genera una onda reflejada Er1 dada por

cL

LcL

- ZR = => = 25R - ZR

2 1

2 1

c c1r i ic c

Z - Z1 = = E E EZ Z

+ (34)


Anlogamente, la desadaptacin en la carga crea una reflexin con un coeficiente de reflexin

Es necesario apuntar que la onda que incide sobre ZL no es Ei sino (1+1)Ei. Como consecuencia, la reflexin producida en la carga es

que no es igual a Er2, ya que se produce una nueva reflexin en la unin de las dos lneas de transmisin. La onda que retorna hacia el punto de muestreo es

pero como

1 11 = - , Er2 se puede escribir como

La parte de ErL reflejada en la unin de las dos lneas de transmisin (es decir

E rL11 ) alcanza la carga y es reflejada por ella, y despus de ser parcialmente reflejada en la unin de las lneas alcanza el punto de muestreo. sto continua indefinidamente, aunque transcurrido un cierto tiempo las sucesivas reflexiones van aproximndose a cero. Por tanto, es conveniente indicar que aunque TDR es til para observar mltiples discontinuidades, hay que tener cuidado con las complicaciones que introducen cuando se analizan en la pantalla del osciloscopio. Afortunadamente, en la mayora de los casos

2

2

L c2

L c

- Z Z = + Z Z

(35)

2 1rL i= (1 + ) E E (36)

1 1 2 1r rL i1 12 = (1 + ) = (1 + ) [ (1 + ) ]E E E (37)

22r i12 = [ (1 - )] E E (38)


prcticos, las medidas se hacen sobre dispositivos que no presentan grandes discontinuidades (es decir 1 2c c Z Z ) y el efecto de todas estas mltiples discontinuidades es muy pequeo. Por ltimo, es importante conocer cul es el comportamiento de las ondas que llegan hasta el plano del generador. En general, la impedancia del generador puede no ser igual a la impedancia caracterstica de la lnea de transmisin. En este caso, las ondas de tensin que se producen en las desadaptaciones del dispositivo a medir, son reflejadas por el generador complicando el anlisis en la pantalla del generador. Por tanto, es "casi" esencial que el generador est adaptado a la lnea de transmisin. En esta situacin, todas las reflexiones provenientes del dispositivo a medir pasan por el punto de muestreo nicamente una vez, puesto que son absorbidas por la impedancia del generador. Todo esto se muestra en las figuras 19a,b. En la primera de ellas se muestra una foto de la pantalla del osciloscopio del TDR conectado a una lnea de transmisin (Zc=50) acabada en una capacitancia, con el generador adaptado a la lnea. En la foto de la figura 19b, se introduce entre el generador y la lnea otra de impedancia diferente (Zc=75) con lo que se desadapta el generador. La onda reflejada por la capacitancia alcanza el generador, siendo reflejada por l. sta onda llega a la carga, se refleja, vuelve hacia el generador, donde se refleja nuevamente y as sucesivamente. El proceso continua indefinidamente, a menos que cada coeficiente de reflexin tenga mdulo unidad, y las reflexiones decrecen en intensidad de manera que slo las primeras son importantes. 4.3 Limitaciones por el tiempo de subida del escaln El generador del TDR proporciona un escaln en tensin con un tiempo de subida finito. En la figura 20a se muestra un caso tpico de un generador de TDR con un tiempo de subida de aproximadamente 150 pseg; adems se puede apreciar tambin el sobredisparo (figura 20b). El tiempo de subida tiene una importancia significativa en la resolucin entre dos discontinuidades muy prximas entre s. Cuando dos discontinuidades estn tan prximas entre s que la onda de tensin que deja pasar una de ellas alcanza a la segunda antes de que el escaln haya "subido" totalmente, el resultado es que en la pantalla del osciloscopio no se pueden separar en el tiempo adecuadamente y, como consecuencia, no se pueden caracterizar cuantitativamente por separado. El tiempo de subida tambin influye en las formas de las reflexiones producidas por pequeas capacitancias o inductancias. Vamos a estudiar con detalle este caso.


Tratadas idealmente, las reflexiones producidas por pequeas capacitancias e inductancias poseen unas constantes de tiempo muy pequeas, es decir, el paso entre el estado en t=0 y t igual a infinito es muy rpido. Consideremos, por ejemplo, una combinacin serie R-L, con R=50=Zc (Zc impedancia caracterstica del cable que alimenta la combinacin R-L) y L=10-10 H. Idealmente, la pantalla del osciloscopio mostrara algo como lo de la figura 21a. En realidad lo que muestra es la figura 21b.


Cualitativamente, podemos interpretar lo que sucede en la figura 21b fijndonos en que la constante de tiempo de la onda reflejada es tan pequea que decae hasta su valor final antes de que el sistema TDR haya alcanzado su valor final. A pesar de esta limitacin, todava se puede obtener informacin cuantitativa sobre la magnitud del pequeo inductor que causa la reflexin. Recordando la ecuacin del coeficiente de reflexin, que escribimos a continuacin por comodidad

sustituyendo L c = R + j L = + j LZ Z

L crL ci

- E Z Z = = + Z ZE


Puesto que L es pequea, el producto L ser mucho menor que 2Zc a menos que sea muy grande. Sin embargo, el tiempo de subida finito (lo cual limita el ancho de banda) del TDR dicta que el espectro en frecuencia correspondiente al escaln no contiene frecuencias por encima de cierta frecuencia de corte. Por lo tanto, podemos despreciar L frente a 2Zc y escribir

Supongamos, ahora, que la onda incidente es de la forma

entonces

por lo que podemos escribir

Por lo tanto, la onda reflejada ser una versin diferenciada de la onda incidente y su magnitud proporcional a L/2Zc. Puesto que las seales er(t) (onda de tensin reflejada) y su derivada temporal dei/dt se pueden leer de la pantalla del osciloscopio (figura 22) se puede obtener el valor de L. Como ejemplo, examinemos la figura 23 correspondiente a la foto de la reflexin por un pequeo inductor en serie con una resistencia igual a la impedancia caracterstica de la lnea de transmisin que los alimenta. En la parte superior se muestra la pantalla del osciloscopio a escalas de 50 mv/cm se sensibilidad y 4 ns/cm de barrido. La parte inferior es una vista expandida de la onda reflejada con una sensibilidad de 10 mv/cm y un barrido de 400 ps/cm. De ella se obtiene que ermx es 34 mv y la pendiente aproximadamente 3 mv/ps. Si Zc=50

c c

c c c

+ j L - j LZ Z = = + j L + 2 + j LZ Z Z

r

r ic ci

j L LE = = => = (j )E E2 2Z ZE

j ti = E eE

ij ti

d Ej = j E = eE dt

i

rc

dL E = E 2 dtZ

-92 50L 34 mv = 1,1x H103 mv/ps


Figura 23


5 REFERENCIAS [1] Colllin, R.E.: "Foundations for Microwave Engineering", McGraw Hill, 1992. [2] Cheng, D.K.: "Field and Wave Electromagnetics", Addison-Wesley, 1989. [3] Hewlett Packard: "Time Domain Reflectometry", Application Note 62, 1964. [4] Iskander, M.F.: "Electromagnetic Fields and Waves", Prentice Hall, 1992. [5] Paul, C. and Nasar, S.: "Introduction to Electromagnetic Fields" McGraw Hill,

1987. [6] Pozar, D.M.: "Microwave Engineering", Addison-Wesley, 1990. [7] Rizzi, P.A.: "Microwave Engineering: Passive Circuits", Prentice Hall, 1988. [8] Seshadri, S.R.: "Fundamentals of Transmission Lines and Electromagnetics

Fields", Addison-Wesley, 1971.

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