UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE HONDURAS MATEMATICAS I

6.8.6.- División Sintética

Cuando el divisor es un polinomio de la forma x - a, la división puede

realizarse de un modo más sencillo, empleando un algoritmo conocido

como la división sintética

Ejemplo: Calcular P (x)÷ Q(x) , siendo P (x)= 3x3+7x2-3 y Q(x) = x +

3

Obsérvese que el polinomio divisor puede escribirse también como Q(x)

= x - (-3) , adoptando la forma x - a con a = -3 .

Para realizar la división Sintética se emplea un cuadro.

En la primer fila del cuadro se escriben los coeficientes del polinomio

dividendo P(x) , que debe estar ordenado y completo.

P (x)= 3x3+7x2-3

En la primera columna sólo se escribe el valor de a, que en este caso es

-3 .

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Los valores que figuran en el segundo y tercer renglón se obtienen

realizando los cálculos auxiliares que se indican en el cuadro que figura

a la derecha.

El último número que figura en el tercer renglón es el resto R(x) = -21.

Los números anteriores son los coeficientes del polinomio cociente C(x)

3 -2 6 cuyo grado es una unidad menor que el grado del polinomio

dividendo P(x) .

C(x) = 3x2- 2x + 6 y R(x) = -21

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Ejemplo:

(x4 − 3x2 + 2 ) ÷ (x − 3)

Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los

términos que faltan con ceros.

Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.

Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término

independiente del divisor.

Trazamos una recta y bajamos el primer coeficiente.

Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos

debajo del siguiente término.

Sumamos los dos coeficientes.

Repetimos el proceso anterior.

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Volvemos a repetir el proceso.

Volvemos a repetir.

El último número obtenido 56, es el residuo.

El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al

dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido.

x3 + 3 x2 + 6x +18

Ejemplo:

Dividir: (x5 − 32) ÷ (x − 2)

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Actividad # 8

Usar la división sintética para indicar el cociente y el residuo

de las siguientes divisiones:

1.- (x3 + 4x2 + x − 2) ÷ (x + 1)

2.-  (x4 − 2x3 + 3x − 6) ÷ (x − 3)

3.- (4x7 − 2x6 + 3x) ÷ (x + 2)

Teorema del residuo

Si se divide un polinomio P(x) por otro de la forma x - a , se verifica que:

P(x) = (x - a) C(x) + R(x) .

Si x = a, resulta:

P(a)=(a - a) C(x) + R(x)

P(a) = 0 C(x) + R(x)

P(a) = R(x)

El residuo R(x) que resulta de dividir un polinomio P(x) por otro de la

forma x - a , es igual al valor numérico de P(x) en x = a , es decir P(a) =

R(x) .

Ejemplo: Para calcular el residuo de la división entre

P ( x )=3 x3−5x2+7 x−2Q ( x )=x−2

basta con determinar el valor numérico de P(x) en x = 2

P (2 )=3.23−5.22+7.2−2

P (2 )=16entonces elresiduo R (x )=16

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Actividad # 9

Calcule el residuo de la división de polinomios P(x) ÷ Q(x) en

cada caso, usando el teorema del residuo:

1.- P(X) = 5x2 − x + 1 Q(x) = x – 1

2.- P(x) = x3 + 7x2 – 1 Q(x) = x − 5

3.- P(x) = x2 − 9  Q(x) = x + 3

4.- P(x) = (x + 27) · (x + 5) · (x − 9) Q(x) = x + 6

Concepto de raíz de un polinomio

Un valor de x es raíz de P(x), si el polinomio se anula (se hace 0) para

ese valor.

x = a es raíz de P(x) si y sólo si P(a) = 0 .

Ejemplo : x=3 esraiz de P ( x )=x3−3 x2+x−3 porque

P (3 )=33−3.32+3−3

P (3 )=0

Divisibilidad de polinomios

Si al realizar la división entre dos polinomios P(x) y Q(x) , el residuo es

nulo (0), se dice que P(x) es divisible por Q(x) , o que Q(x) divide a P(x) ,

o que P(x) es múltiplo de Q(x) .En ese caso P(x) puede expresarse como:

P(x) = Q(x). C ( x)

Ejercicio compruebe que P (x )=x3−3 x2+x−3es divisible por x−3

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Observación

Teniendo en cuenta el Teorema del residuo y los conceptos de

divisibilidad y raíz de un polinomio se puede afirmar que las condiciones

que se enuncian a continuación son equivalentes:

• a es raíz del polinomio P(x) .

• P(a) = 0 .

• P(x) es divisible por x - a .

• El residuo que resulta de dividir P(x) por x - a es igual a cero.

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Actividad # 10

Elegir la opción correcta:

1.- Si x = 5 es raíz del polinomio P(x) entonces...

a. P(x) es divisible por (x + 5) 

b. P(5) = 0

c. Las dos respuestas anteriores son correctas.

2.- Hallar las raíces de un polinomio consiste en...

a. hacer la raíz cuadrada de dicho polinomio.

b. buscar los números x = a tales que P(a) = 1

c. buscar los números x = a tales que P(x) es divisible por (x

− a)

3.- Dado un polinomio del tipo P(x) = x5 + kx3 − 2x + c,

podemos afirmar que...

a. siempre tiene alguna raíz.

b. todas sus raíces serán divisores de k.

c. todas sus raíces son divisores de c.

4.- Dado un polinomio del tipo P(x) = ax3+ bx2 + cx, podemos

afirmar que...

a. una de sus raíces es x = 0.

b. todas sus raíces son divisores de c.

c. todas sus raíces son divisores de a.

5.- Un polinomio primo es aquel que...

a. sólo es divisible por 1.

b. sólo puede descomponerse en un factor de la forma (x −

a).

c. no puede descomponerse en factores.

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6.- El grado del polinomio que tiene por factorización

(x − 4) (x − 5)2 (x2 + 1) es...

a. 5

b. 4

c. 3

7.- Un ejemplo de polinomio que admite el cero como factor es...

a. (x + 3) (x − 2)

b. (x + 4) x (x − 2)(x3 - 1)

c. 2x3 − 3x + 5

8.- De los siguientes polinomios aquel que tiene por raíces −4, 4

y −5 es...

a. (x2 − 4)(x − 5)

b. 7(x2 − 4)(x + 5)

c. 10(x2 − 16)(x + 5)

9.- A(x) = x2 − 3x + 2 tiene...

a. una raíz doble x1 = 1 y otra simple x2 = 2

b. dos raíces simples x1 = 3 y x2 = 2

c. dos raíces simples x1 = 1 y x2 = 2

10.- P(x) = 2x3 − 2x2 − 10x − 6 tiene...

a. una raíz doble x1 = −1 y otra simple x2 = 3

b. una raíz simple x1 = −1 y otra doble x2 = 3

c. una raíz doble x1 = 1 y otra simple x2 = 3