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Matematicas II 1

Paz Jimenez Seral

curso 2013–2014 (version septiembre 2013)

1Asignatura del grado de ingenierıa informatica de la Universidad de Zaragoza

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Indice general

1. Lenguaje: Conjuntos, aplicaciones y relaciones. Cuerpos 2

2. Cuerpos finitos 8

3. Sistemas de ecuaciones lineales. Matrices 13

4. Espacios vectoriales. Dependencia e independencia lineal 21

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Capıtulo 1

Lenguaje: Conjuntos, aplicaciones

y relaciones. Cuerpos

Preliminares. Se recomienda la lectura inicial de Carlos D´ Andrea, (el algebra linealdetras de los buscadores de Internet ) que se encuentra poniendolo en Google.

No se preocupen si en principio no entienden todo. Esta primera lecci on es de lenguajey el lenguaje se aprende hablando, iremos viendo la necesidad de los conceptos que ahoraintroducimos a medias. Vamos a dar unicamente lo imprescindible para empezar.

Las matematicas son un lenguaje necesario para resolver problemas. Los numerosnaturales o los racionales, las letras para ecuaciones, simplifican la resolucion de pro-blemas. Imaginar la dificultad de algunos problemas sin la utilizacion del lenguaje queconocen hasta ahora. Si los problemas se complican hay que complicar el lenguaje inevi-tablemente.

Todos tenemos que entender exactamente lo mismo. Hay que ser muy claro y concisoen este lenguaje, y aclarar cualquier concepto dudoso.

Hablarles del algebra en general y la importancia en informatica, los datos, las trans-formaciones de los datos, los problemas que hay que resolver, a partir de unos datosencontrar otros.

Los datos pueden ser numeros naturales o enteros o listas de numeros, o signos olistas de ceros y unos.

Admitiremos la idea intuitiva de conjunto y elemento de un conjunto. Distinguimosentre lo que pertenece al conjunto y lo que no pertenece.

Notacion 1.1. Si llamamos A a un conjunto y a es un elemento de A, lo escribiremos

a ∈ A

que se lee a pertenece a A.Si a que es un elemento que no pertenece a A lo escribiremos

a ∈ A

Denotaremos ∅ al conjunto al que no pertenece ningun elemento.

Son ejemplos de conjuntos los siguientes: estudiantes de esta clase, numeros enteros,numeros reales, parejas de numeros reales. Tambien es conjunto ”los elefantes que hay

dentro de clase”.

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Es frecuente describir los elementos de un conjunto entre llaves, lo veremos conejemplos. Un conjunto esta bien definido cuando sabemos exactamente que elementospertenecen y que elementos no pertenecen a ese conjunto. Hay diversas formas de ex-

presarlo. Se propone poner ejemplos de conjuntos de n-tuplas.

Definicion 1.2. Dados dos conjuntos A y B, diremos que A esta contenido en B cuandose verifica que para todo a ∈ A se tiene a ∈ B . En este caso escribiremos

A ⊆ B

y en otro caso escribiremosA ⊆ B

Diremos que A = B si A ⊆ B y B ⊆ A.

Notar que los elementos de un conjunto no se repiten ni est an ordenados, se tiene

A = {1, 2, 3} = {1, 1, 2, 3} = {2, 1, 3}. Para ordenar y repetir haremos listas de elementosde un conjunto, la lista de elementos de A, 1, 1, 2, 3 es distinta que la lista 2, 3, 1

Definicion 1.3. Dados dos conjuntos A y B, el producto directo o cartesiano es otroconjunto que denotamos

A × B := {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B}

Analogamente si tenemos A1, A2, · · · , An conjuntos,

A1 × ·· · × An := {(a1, · · · an)|ai ∈ Ai}

Los elementos de un producto son listas ordenadasSi todos los conjuntos involucrados en un conjunto son iguales podemos escribir An

en vez de A × · · · A.

Definicion 1.4. Dados dos conjuntos A y B , la union es otro conjunto que denotamos

A ∪ B := {x|x ∈ A o x ∈ B}

La interseccion es otro conjunto que denotamos

A ∩ B := {x|x ∈ A y x ∈ B}

Si en vez de tener dos conjuntos tenemos un monton de conjuntos Ai tal que i ∈ I (I puede ser con dos elementos o con tres o tener muchos elemento, puede no ser finito),se define la union y la interseccion

i∈I

Ai := {x|x ∈ Ai para algun i ∈ I }

i∈I

Ai := {x|x ∈ Ai para todo i ∈ I }

Muchas veces necesitamos asociar a elementos de un conjunto elementos de otroconjunto. A una serie de ceros y unos hay que asociarle un cero o un uno. A un par de

numeros reales les asociamos su suma que es otro numero real.

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Notacion 1.5. Cuando a cada elemento de un conjunto A le asociamos un unico ele-mento de un conjunto B decimos que tenemos una aplicacion de A en B y si la llamamosf lo escribimos f : A → B.

Al elemento que le corresponde a un a ∈ A lo denotamos f (a).A f (a) se le llama imagen del elemento a.Al conjunto A se le llama (a veces) inicial y a B final.

Para tener una aplicacion bien definida tenemos que tener claro el conjunto inicialy el final y la imagen, que debe ser unica, de cada elemento del conjunto inicial.

Dos aplicaciones son iguales cuando tienen el mismo conjunto inicial y final y laimagen de cada elemento del inicial es la misma en las dos.

Ponemos ejemplos y comentamos otras formas de notacion (af ) que se pueden en-contrar en la literatura.

A veces a las aplicaciones se les llaman funciones, recuerden las funciones reales devariable real. Cuidado que para nosotros, cuando decimos aplicacion, todos los elementos

del conjunto inicial tienen imagen.

Definicion 1.6. Sea f : A → B (con esto ya suponemos que A y B son conjuntos yque f es una aplicacion.

Decimos que f es inyectiva o 1 − 1 cuando para todo x, y ∈ A, f (x) = f (y) implicax = y.

(no hay elementos distintos con la misma imagen)Decimos que f es suprayectiva o sobre si para todo b ∈ B, existe x ∈ A tal que

f (x) = b.Para cada X ⊆ A, f (X ) := {f (x)|x ∈ X }. Al conjunto f (A), que es un subconjunto

de B , se le llama conjunto imagen.

X ⊆ B , f

−1

(X ) := {a ∈ A|f (a) ∈ X }Definicion 1.7. Sean f : A → B y sea g : B → C . Definimos la composicion g ◦ f comola aplicacion

g ◦ f : A → C

dada por (g ◦ f )(x) = g(f (x) para todo x ∈ A.Para todo conjunto A = ∅ se define la aplicacion identidad, que se puede llamar I dA

a la aplicacion

IdA : A → A

dada por I dA(x) = x para todo x ∈ A.

Esta aplicacion verifica para toda f : A → B ,f ◦ IdA = f

yIdB ◦ f = f

Si f : A → B es biyectiva definimos f −1 : B → A dada por f −1(b) = a ∈ A tal quef (a) = b.

Es facil de ver que esta bien definida, que es tambien biyectiva y

f −1 ◦ f = I dA

y

f ◦ f −1

= I dB

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Definicion 1.8. Una operacion binaria interna en un conjunto A asocia a cada elementode A × A un elemento de A. Es pues una aplicacion de A × A en A. Al elemento de Aque le asocia a (a, b) se le puede llamar de distintas maneras, a ∗ b, a + b, a.b.

Ejemplos. + y . conocidas en Z,Q,R, ,C, polinomios en una letra con coefi-cientes en Z,Q,R, ,C, matrices 2 × 3 en R (?), matrices 2 × 2 en R

Definicion 1.9. En el conjunto F 2 = {0, 1} (luego veremos por que le llamamos ası),definimos las siguientes operaciones (observar que son efectivamente operaciones binariasinternas.

0 + 0 = 1 + 1 = 0 0 + 1 = 1 + 0 = 1

0 .0 = 0 .1 = 1 .0 = 0 1 .1 = 1

Definicion 1.10. Se llama grupo a un conjunto G dotado de una operacion binariainterna

∗ : G × G −→ G que asocia a (a, b) el elemento de G, a ∗ b y que verifica1) a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c para todos los a, b, c ∈ G (asociativa)2) Existe e ∈ G tal que e ∗ a = a = a ∗ e para todo a ∈ G (neutro)3) Para cada a ∈ G existe a ∈ G tal que a ∗ a = e = a ∗ a (inverso)El grupo se dice abeliano si a ∗ b = b ∗ a para todos los a, b ∈ G.

Ejemplos: de los conjuntos de numeros con +, y . quitando el cero. Podemosponerle a una operacion el nombre que queramos. A las operaciones conmutativas se lesllama con frecuencia +, si hay otra hay que llamarle . a la otra .

En general si a una operacion le llamamos + y tiene neutro, al neutro se le llama 0y si un elemento a tienen inverso, al inverso se le llama −a y se escribe a − b en lugarde a + (−b).

En general si a una operacion le llamamos . y tiene neutro, al neutro se le llama 1y si un elemento a tienen inverso, al inverso se le llama a−1 y se escribe ab en lugar dea.b.

Ejemplos 1.11. Sea A un conjunto y GA = {f : A −→ A|f biyectiva} y considaramos GA × GA −→ GA

(f, g) −→ f ◦ g. Se tiene que (GA, ◦) es un grupo.Si A tiene mas de dos elementos GA es un grupo no abeliano.

Ejemplos 1.12. El conjunto de matrices n × n en R que tienen inversa para . (las regulares, las de rango n) con la operaci on de multiplicar matrices son un grupo noconmutativo.

Definicion 1.13. Se llama cuerpo a un conjunto K con dos operaciones (binarias in-ternas) + y . tales que:

a) (K, +) es grupo abeliano.b) (K ∗ = K − 0, .) es grupo abeliano.c) a(b + c) = ab + ac para todos los a,b, c ∈ K .

Ejemplos: (Q, +, .),(R, +, .), (C, +, .), (F 2, +, .) (cuerpo de dos elementos)

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Ejercicio 1.18. Para cada 0 = n ∈ N, considera An = {1/x | 0 = x ∈ N ≤ n}.Describe

n∈N An y prueba que

n∈{1,2··· ,m} An = Am.

Ejercicio 1.19. Considera el conjunto K = {0, 1}.a) Cuantos elementos tiene K 5? Escrıbelos todos.b) Cuantos elementos tiene C = {(x,y ,z) | x,y ,z ∈ K, x = y = z}? Escrıbelos todos.

Ejercicio 1.20. Considera la aplicacion f : R3 → R2 definida por

f (x,y ,z) = (x + y, x2 + y2 + z2).

a) Es inyectiva?, es suprayectiva?b) Para A = {(a,a, 0) | a ∈ R}, describe f (A) y da un elemento de la imagen de f

que no este en f (A).c) Describe f −1(0, 1)

Ejercicio 1.21. Sea K = {0, 1}, para cada n ∈ N considera la aplicacion: f : K n → K definida del siguiente modo: para cada a ∈ K n, f (a) = 1 si el numero de unos queaparece en a es impar, y f (a) = 0 en otro caso.

Para n = 7 di cuantos elementos tiene f −1(0).

Ejercicio 1.22. Da ejemplos de aplicaciones entre los conjuntos A y D del ejercicio 1.Al menos dos que no sean ni inyectivas ni suprayectivas, dos que sean invectivas (sonsuprayectivas?). Da al menos una que sea inyectiva y no suprayectiva.

Ejercicio 1.23. Considera el conjunto K = {0, 1, a , b} con las siguientes operaciones,que se suponen conmutativas:

0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 0 + a = a, 0 + b = b, 1 + 1 = 0, 1 + a = b, 1 + b = a,a + a = 0, a + b = 1, b + b = 0;

0 . 0 = 0 . 1 = 0 . a = 0.b = 0, 1 . 1 = 1, 1 . a = a, 1 . b = b, a . a = b, a . b = 1,b . b = a.Son asociativas y la multiplicacion es distributiva respecto de la suma (no lo com-

pruebes que es muy largo).Prueba que es un cuerpo de carterıstica 2.

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Capıtulo 2

Cuerpos finitos

Preliminares. Recordar las definiciones de grupo, anillo y cuerpo.

Objetivo. Uno de los sistemas criptograficos mas empleados es el sistema AES (Ad-vanced Encription Standard). Suele utilizarse como complemento al sistema criptograrfi-co de clave publica RSA. Por ejemplo, ver las paginas web seguras de la FNMT (Fabri-ca Nacional de Moneda y Timbre), la web de SAGE o las interioridades de un correoelectronico. AES utiliza en su mecanismo interno un cuerpo finito de 256 elementos.

En Informatica los cuerpos finitos se utilizan tambien en la construccion de otrosalgoritmos, por ejemplo, algunos de los relacionados con c odigos correctores de errores.Actualmente los CDs y DVDs estan dotados de algoritmos de ese tipo.

El problema 6 de la primera hoja de practicas presentaba un cuerpo finito de 4elementos. En este capı

’

tulo aprenderemos como construir y trabajar con cuerpos finitos

mas grandes.

Ejercicio 2.1. a) Dar un ejemplo de un grupo que no sea anillo, de un anillo que nosea cuerpo y de un cuerpo.

b) ¿Por que para dar ejemplos de grupos, anillos o cuerpos no se acude a dar las tablasde las operaciones?

c) ¿Que es lo que exactamente aparece en la web de SAGE sobre AES?

A vueltas con los enteros.

El conjunto Z tiene dos operaciones, la suma y el producto, que le dotan de estructurade anillo, pero no es un cuerpo: le falta el inverso de cada elemento. La gracia de losnumeros enteros es que permite la division:

Proposicion 2.2. Dados D, d ∈ Z (dividendo, divisor), existen q, r ∈ Z (cociente, resto)con |r| < |d|, tales que

D = dq + r.

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Maximo comun divisor y algoritmo de Euclides. El maximo comun divisor dedos numeros es el mayor de los divisores comunes. La forma mas practica de calcular elmcd es mediante el algoritmo de Euclides. Veamoslo con un ejemplo, 192 y 162.

Q 1 5 2 2

R 192 162 30 12 6 0

Ası el mcd(192, 162) = 6.

Identidad de Bezout y algoritmo de Euclides extendido. Identidad de Bezout:Si mcd(a, b) = d, entonces existen u y v tales que

au + bv = d.

Los coeficientes u y v se calculan mediante el algoritmo de Euclides extendido:

Q 1 5 2 2

R 192 162 30 12 6 0

U 1 0 1 -5 11

V 0 1 -1 6 -13

Ası se obtienen u = 11 y v = −13. Es decir

192 · 11 + 162 · (−13) = 6.

Ejercicio 2.3. Demostrar la propiedad del algoritmo de Euclides extendido.

Ejercicio 2.4. Aplicar el algoritmo de Euclides extendido a la pareja (2 272, 716).

Clases de restos modulo n. Dado un numero entero n no nulo, se considera elconjunto

Zn = {0, 1, 2, . . . , n − 1}.

Las operaciones ordinarias de sumar y multiplicar en Z se trasladan a Zn de la siguienteforma

a + b = r(a + b, n)

a · b = r(a · b, n),

donde r(x, n) es el resto (positivo) de dividir x por n. Por ejemplo en Z12 se tiene 4·3 = 0.

Estas operaciones heredan de manera natural las propiedades de las operacionesordinarias de Z, por lo que (Zn, +, ·) es un anillo.

Proposicion 2.5 (Cuerpos finitos sencillos). Si n es n´ umero primo, Zn es cuerpo.

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Demostracion. Bastara ver que todo elemento no nulo a de Zn tiene inverso. Para elloconsiderar el conjunto

{1 · a, 2 · a , . . . , (n − 1) · a}.

Todos los elementos de este conjunto son distintos, porque si fuese i · a = j · a, se tendrı’a(i − j) · a = 0, es decir, (i − j)a = n, y como i,j, a < n y n es primo, se sigue que i = j.Por tanto el conjunto anterior tiene n − 1 elementos, alguno de ellos tendran que ser el1, luego existe b tal que b · a = 1, es decir, a tiene inverso.

Informacion. Los cuerpos finitos del tipo Z p se utilizan en los sistemas de criptografıade clave publica basados en curvas elıpticas.

Ejercicio 2.6. Demostrar que si Zn es cuerpo, entonces n es primo.

Ejercicio 2.7. Calcular el inverso de 776 en el cuerpo Z2273. (Ayuda: utilizar el algo-ritmo de Euclides extendido.)

Ejercicio 2.8. (Z p − {0}, ·), con p primo, es grupo multiplicativo.

El anillo de los polinomios.

El conjunto de los polinomios (en la variable x) con coeficientes en un cuerpo K tienedos operaciones, suma y multiplicacion, respecto de las cuales adquiere la estructura deanillo conmutativo.

Con el fin de fijar ideas, a partir de ahora supondremos que el cuerpo K es Z2 =F 2 = {0, 1}, aun cuando lo que sigue es valido para cualquier otro cuerpo. El conjuntode polinomios en la variable x sobre Z2 lo llamaremos Z2[x].

Division entre polinomios. Los polinomios tienen grandes similitudes con los nume-ros enteros. Ambos tienen dos operaciones, suma y multiplicacion, respecto de las cualesson anillos conmutativos. Pero las similitudes continuan. Lo que permite la division denumeros enteros es el valor absoluto, pues a la hora de dividir, los restos parciales tienenvalor absoluto estrictamente menor que el anterior. Entre polinomios el papel del valorabsoluto lo juega el grado de un polinomio.

Proposicion 2.9. Dados los polinomios D(x), d(x) (dividendo, divisor), existen poli-nomios q (x), r(x) (cociente, resto) con grad r(x) < grad d(x), tales que

D(x) = d(x)q (x) + r(x).

Ejercicio 2.10. a) Dividir f (x) = x6

+ x2

+ x y g(x) = x4

+ x2

+ x en Z2[x].b) Dividir x5 + x4 + x3 + x2 y x4 + x3 + x + 1 en Z2[x].

Esta propiedad de division de polinomios nos permite trasladar a Z2[x] (mutatis mutandis) las cosas vistas para los enteros, en particular el m aximo comun divisor, laidentidad de Bezout y el algoritmo de Euclides extendido.

Ejercicio 2.11. a) Hallar el mcd de los polinomios f (x) y g (x) del ejercicio anterior.

b) Aplicar el algoritmo de Euclides extendido a los polinomios de las apartados a) y b)del ejercicio anterior

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Cuerpos finitos

Polinomios irreducibles. El concepto de numero primo tambien tiene su paralelismoentre los polinomios. Un polinomio se dice irreducible si no se puede descomponer enotros dos polinomios no constantes.

Son ejemplos de polinomios irreducibles: x, x+1, x3+x+1. En cambio x2+1, x3+1son polinomios no irreducibles.

Ejercicio 2.12. a) Demostrar que los polinomios x4 + x + 1 y x8 + x4 + x3 + x +1 sonirreducibles.

b) Encontrar todos los polinomios irreducibles de grado 4.

Dado un polinomio p(x), designaremos con Z2[x]/ p(x) el conjunto de todos lospolinomios de grado menor que el de p(x). Por ejemplo, si p(x) = x3 + 1, entonces

Z2[x]/x3 + 1 = {0, 1, x , x + 1, x2, x2 + x, x2 + 1, x2 + x + 1}.

Las operaciones ordinarias de sumar y multiplicar en Z2[x] se trasladan a Z2[x]/ p(x)de la siguiente forma

a(x) + b(x) = r(a(x) + b(x), p(x))

a(x) · b(x) = r(a(x) · b(x), p(x)),

donde r(f (x), p(x)) es el resto de dividir f (x) por p(x).

Estas operaciones heredan de manera natural las propiedades de las operacionesordinarias de Z2[x] por lo que Z2[x]/ p(x) es un anillo.

Proposicion 2.13. Si p(x) es irreducible, Z2[x]/ p(x) es cuerpo.

Demostracion. Bastara ver que todo elemento no nulo a(x) de Z2[x]/ p(x) tiene inverso.Puesto que mcd(a(x)), p(x)) = 1, aplicando la identidad de Bezout, existen polinomiosu(x) y v(x) tales que

a(x)u(x) + p(x)v(x) = 1.

Luego r(a(x)u(x), p(x)) = 1, y por tanto en Z2[x]/ p(x) el inverso de a(x) es u(x).

Proposicion 2.14. El n´ umero de elementos del cuerpo Z2[x]/ p(x) es 2n, siendon =grad ( p(x)).

Demostracion. Basta contar el numero de polinomios de grado menor que n.

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Capıtulo 3

Sistemas de ecuaciones lineales.

Matrices

Definicion 3.1. Un sistema de ecuaciones lineales en R esa11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2· · · · · · · · · · · · · · ·am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

donde aij ∈ R y bi ∈ R para todos los i, jLas soluciones son los valores en R para x1, · · · , xn que hacen que todas las igualdades

sean ciertas.

Analogamente cambiando R por K un cuerpo cualquiera. En toda la leccion traba- jamos con un cuerpo K , y a los elementos de K les llamaremos escalares.

Definicion 3.2. Las operaciones elementales para un sistema de ecuaciones lineales sonlas siguientes:

i) Multiplicar una ecuacion por un escalar no nulo.ii) Intercambiar dos ecuaciones.iii) Sumar a una ecuacion otra multiplicada por un escalar.El sistema que resulta despues de hacer operaciones elementales es equivalente al de

partida (tiene exactamente las mismas soluciones). Razonado en clase.

Definicion 3.3. Sea

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2· · · · · · · · · · · · · · ·am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

un sistema de m ecuaciones con n incognitas en R (K ) . Los coeficientes forman unamatriz

A =

a11 a12 · · · · · · · · · a1na21 a22 · · · · · · · · · a2n· · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · ·

am1 am2 · · · · · · · · · amn

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que llamaremos asociada al sistema.Llamaremos matriz ampliada del sistema a la que resulta de anadirle a la asociada

la columna de los terminos independientes, es decir

a11 a12 · · · · · · · · · a1n b1a21 a22 · · · · · · · · · a2n b2· · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · ·am1 am2 · · · · · · · · · amn bm

Definicion 3.4. Las operaciones elementales de filas para una matriz son:i) Multiplicar una fila por un escalar no nulo (cada componente se multiplica por el

escalar).ii) Intercambiar dos filas.iii) Sumar a una fila otra multiplicada por un escalar (cada componente se suma con

la correspondiente).Si a una matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales le hacemos operaciones

elementales de filas, el sistema con coeficientes y terminos independientes los de la nuevamatriz es equivalente al de partida (tiene exactamente las mismas soluciones). Notar quetodas las operaciones elementales son de ida y vuelta.

Notar que las operaciones que podemos hacer con un sistema para cambiar a otroequivalente son en realidad operaciones de las filas de su matriz ampliada .

Las filas de la matriz asociada al sistema son elementos de Rn (K n)y las de la matrizampliada son elementos de Rn+1 ( K n+1).

Una matriz escalonada es una matriz no nula tal que en cada fila el primer elementono nulo esta mas a la derecha que en la anterior. (El primer elemento no nulo de cadafila tiene ceros debajo)

Notar que si un sistema tiene como matriz ampliada una matriz escalonada se tieneque es compatible (tiene solucion) si y solo si el numero de filas nulas es igual en lamatriz asociada que en la matriz ampliada.

Ademas en este caso, de tener soluciones, es muy f acil encontrarlas.

Observar, creerse, describir el procedimiento, comprobar que toda matriz, con ope-raciones elementales de filas se puede trasformar en una matriz escalonada.

(se puede definir el rango de una matriz como el numero de filas no nulas que resultancuando se transforma mediante operaciones elementales de filas en una escalonada, perolo veremos de otro modo para asegurar la unicidad)

Una matriz escalonada reducida es una matriz escalonada tal que el primer elementono nulo de la fila i es aik = 1 y el resto de la columna k son ceros.

Si un sistema tiene matriz escalonada reducida aun es mas sencillo buscar las solu-ciones. Con operaciones elementales de filas tambien podemos llegar a una escalonadareducida.

Ejercicio 3.5. Considera los siguientes sistemas de ecuaciones lineales en R. Dı si tienen

solucion y hallarlas en su caso.

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a)x1 + 2x3 + 3x4 = 04x1 + x2 + x3 + 2x4 = 1

5x1 + x2 + 3x3 + 5x4 = 13x1 + x2 − x3 − x4 = 1b)−3x1 + x2 + 2x3 + 4x4 + 3x5 = 1x1 − x2 + x5 = 1−x1 + x3 + 2x4 + 2x5 = 0

Definicion 3.6. Recordar la operaciones con matrices. Las matrices seran con aij ∈ K para todo i, j siendo K cuerpo. Diremos que la matriz de abajo es de tamano m × n (mfilas y n columnas)

A =

a11 a12 · · · · · · · · · a1na21 a22 · · · · · · · · · a2n· · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · ·am1 am2 · · · · · · · · · amn

genericamente y si sabemos el tamano, podemos escribir A = (aij) y entenderemos queel primer subındice representa la fila y el segundo la columna, ası a3,4 representa alelemento de la tercera fila y cuarta columna.

M m×n(K ) es el conjunto de todas las matrices de tamano m × n con entradas en K .La suma de matrices que conocemos es una operaci on binaria interna con la que este

conjunto es un grupo abeliano.Recordar que (ai,j) + (bi,j) = (ci,j) con ci,j = ai,j + bi,j para todo i, j.

Definicion 3.7. Volviendo a los sistemas lineales, entendemos que una matriz

A =

a11 a12 · · · · · · · · · a1na21 a22 · · · · · · · · · a2n· · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · ·am1 am2 · · · · · · · · · amn

transforma a una n-tupla (x1, · · · , xn) en una m-tupla (y1, · · · , ym) siendo

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = y1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = y2· · · · · · · · · · · · · · ·am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = ym

Ahora la m-tupla (y1, · · · , ym), se puede transformar por otra matriz

B =

b11 b12 · · · · · · · · · b1mb21 b22 · · · · · · · · · b2m· · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · ·br1 br2 · · · · · · · · · brm

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Onteniendo ahora una r-tupla (z1, · · · , zr) siendob11y1 + b12y2 + · · · + b1mym = z1b21y1 + b22y2 + · · · + b2mym = z2

· · · · · · · · · · · · · · ·br1y1 + br2y2 + · · · + brmym = zr

Ası hemos transformado la n-tupla inicial (x1, · · · , xn) en una r-tupla (z1, · · · , zr) yhaciendo cuentas

b11(

a1ixi) + b12(

a2ixi) + · · · + b1m(

amixi) = z1b21(

a1ixi) + b22(

a2ixi) + · · · + b2m(

amixi) = z2· · · · · · · · · · · · · · ·br1(

a1ixi) + br2(

a2ixi) + · · · + brm(

amixi) = zr

Sacando factor comun a cada xi se tiene(b1 ja j1)x1 +

(b1 ja j2)x2 + · · · +

(b1 ja jn)xn = z1

(b2 ja j1)x1 +

(b2 ja j2)x2 + · · · +

(b2 ja jn)xn = z2· · · · · · · · · · · · · · ·

(brja j1)x1 +

(brja j2)x2 + · · · +

(brja jn)xn = zr

Exactamente la r-tupla (z1, · · · , zr) es la transformada de n-tupla inicial (x1, · · · , xn)por una matriz de tamano r × n, C = (ck,l) siendo ck,l =

bkja jl .

Definimos el producto de una matriz B (r × m) por una matriz A (m × n) como lamatriz C (r × n) dada por C = (ck,l) siendo ck,l =

bkja jl .

Notacion 3.8. Normalmente escribiremos las n-tuplas en vertical, ası las podemos

considerar una matriz n × 1. Para X =

x1x2· · ·· · ·xn

∈ K n,

la matriz A la transforma en una m-tupla

Y =

y1y2· · ·· · ·ym

∈ K m, la igualdad se puede escribir

AX = Y

Hemos vistoB(AX ) = BY = (BA)X

Proposicion 3.9. Sea A matriz ( m × n), B ( k × m) y C ( l × k). Se tiene que (CB)A =C (BA).

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Demostracion. Es claro que las matrices (CB)A y C (BA) tienen el mismo tamano.Para cada X ∈ K n la primera matriz la transforma en ((CD)A)X = (CD)(AX ) =C (D(AX )) y la segunda en (C (BA))X = C ((BA)X ) = C (B(AX ), lo mismo. Y esto

para toda n-tupla. Toda matriz transforma la nt-upla que tiene 1 en el lugar i y cerosen el resto, en su columna i. Luego nuestras dos matrices tienes sus columnas iguales ypor tanto son iguales.

Proposicion 3.10. La matriz I n cuadrada que tiene aii = 1 y aij = 0 si i = j , verifica I nA = A para toda matriz A de tama˜ no n × m y BI n = B para toda matriz B de tama˜ nom × n.

Definicion 3.11. A I n se le llama matriz identidad. Una matriz inversible o regular esuna matriz A cuadrada n × n y tal que existe B verificando AB = BA = I n. A la tal Bse le llama A−1. (ver que la inversa si existe es unica)

Una matriz que resulta de hacerle a I n una operacion elemental, se llama matriz

elemental.Una matriz escalar es una matriz cuadrada n × m con aii = k para todo i ∈

{1, 2, · · · , n} y aij = 0 si i = j .(multiplicar A = (aij) por una matriz escalar con k en la diagonal es lo mismo que

la conocida de bachillerato operacion de multiplicar un escalar k por una matriz, kA.)

Proposicion 3.12. a) Si A y B son cuadradas del mismo tama˜ no e inversibles, AB es inversible y su inversa es B−1A−1

b) Sea A inversible. Si AB = I n se tiene que B = A−1. Si BA = I n se tiene que B = A−1

c) Si A es inversible A−1 tambien lo es y su inversa es A.

Demostracion. a) (AB)(B−1A−1) = AI nA−1) = I n y (B−1A−1)(AB) = B−1I nB =B−1B = I n

b) Multiplicando A−1 por la izquierda se tiene lo primero y por la derecha se tienelo segundo.

c) Es claro con la definicion.

Ejercicio 3.13. Considera la matriz

A =

a11 a12 a13 a14 a15

a21 a22 a23 a24 a25a31 a32 a33 a34 a35

Escribe tres matrices concretas elementales 3 × 3, F 1, F 2 y F 3, una de cada tipo ycalcula F iA.

Escribe tres matrices concretas elementales 5 × 5, E 1, E 2 y E 3, una de cada tipo ycalcula AE i

Proposicion 3.14. Toda matriz elemental es inversible y su inversa tambien es ele-mental del mismo tipo.

Hacer a una matriz A una operaci´ on elemental de filas es lo mismo que multiplicarla por la izquierda por la correspondiente matriz elemental.

Hacer a una matriz A una operaci´ on elemental de columnas es lo mismo que multi-plicarla por la derecha por la correspondiente matriz elemental.

Comprobarlo con ejemplos y convencerse.

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Proposicion 3.15. Si tenemos una matriz A de tama˜ no n × m nos colocamos I n a la derecha y I m debajo, obtenemos un cuadro

A I nI m

Hacemos las operaciones elementales de fila que queramos a las n primeras filas (que ahora tienen m + n columnas) y hacemos las operaciones elementales de columna que queramos a las m primeras columnas (que ahora tienen m + n filas) y obtenemos ası un nuevo cuadro

B C D

Se tiene que CAD = B

Demostracion.En realidad lo que estamos haciendo es multiplicar por matrices elementales y por

tanto existen unas matrices elementales E 1, · · · , E r, F 1, · · · , F s tales que

B C D

=

E 1 · · · E rAF 1 · · · F s E 1 · · · E rI n

I mF 1 · · · F s

Esto nos da un procedimiento para encontrar la matriz inversa de una dada. Si dadaA cuadrada, con operaciones elementales de filas llegamos a I n pasamos de (A, I n) a(I n, C ) y se tiene que C es regular y I n = CA. Ası A = C −1 y tenemos que A es regulary su inversa es C .

Ademas de las matrices escalonadas ya descritas, son interesantes las siguientes.

Definicion 3.16. Una matriz es triangular inferior si aij = 0 para todo j > i (encimade la diagonal todo son ceros) (como en ingles inferior se dice lower, se les suele llamarmatrices L.)

Una matriz es triangular superior si aij = 0 para todo j < i (debajo de la diagonaltodo son ceros) (como en ingles superior se dice upper, se les suele llamar matrices U .)Las matrices escalonadas son triangulares superiores.

Observar que una operacion elemental de sumar a la fila i la fila j mutiplicada porα ∈ K (F i + αF j) da una matriz elemental que es triangular inferior (L) si i > j. Estasmatrices elementales tienen inversas del mismo tipo.

Observar tambien que el producto de matrices triangulares inferiores es triangularinferior.

Supongamos que A es una matriz de tamano m × n tal que la podemos transformaren una escalonada U con operaciones elementales de fila del tipo F i + αF j con i > j. Eneste caso se tiene

E 1 · · · E rA = U

y multiplicando por las inversas

A = E −1r · · · E −11

U

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y L = E −1r · · · E −11

es cuadrada, regular y triangular inferior, con todo unos en la dia-gonal.

y se tiene la llamada descomposicion LU , A = LU .

Dada una matriz A de tamano m × n podemos reordenar las filas de modo que lamatriz que resulte se pueda descomponer en LU .

Definicion 3.17. Una matriz permutacion es una matriz que resulta de I n reordenandolas filas.

Si P es una matriz permutacion que tiene en la fila i la fila j de I n y A es una matrizn × m, la matriz P A tiene en la fila i la fila j de A.

La inversa de una matriz permutacion es otra matriz permutacion.Para toda matriz A de tamano n × m, existe P matriz permutacion, L n × n, regular

y triangular inferior y U triangular superior, tales que A = P LU .Es facil convencernos de todas estas afirmaciones.

Ejercicio 3.18. Busca una condicion necesaria y suficiente para a,b, c ∈ R para que elsiguiente sistema en x e y (incognitas) tenga soluciones.

2x + y = a−x + y = bx + 2y = c

Ejercicio 3.19. Demuestra las siguientes afirmaciones.a) Una matriz regular no puede tener una fila de ceros.b) Si A es una matriz n × n y con operaciones elementales de filas llegamos a una

matriz con una fila de ceros, A no es regular.c) Si A es una matriz n × n y con operaciones elementales de filas llegamos a una

matriz escalonada sin filas nulas, podemos continuar haciendo operaciones elementaleshasta llegar a la matriz identidad y por tanto A es producto de elementales. En tal casoA es regular.

d) Toda matriz regular es producto de elementales.

Ejercicio 3.20. Considera las matrices siguientes y da una factorizacion LU con Lregular triangular inferior y U triangular superior en los casos que puedas. En los queno puedas, da una factorizacion P LU con L y U como antes y P una matriz permutacion.

A =

1 1 2 3 1−1 −1 −3 1 00 1 1 1 1

−1 0 −1 1 2

B =

0 −1 51 1 1

1 0 2

Ejercicio 3.21. Calcula la inversa de B anterior.

Ejercicio 3.22. Resolver el siguiente sistema en el cuerpo Z11.

1 4 10 62 1 1 51 4 6 80 4 3 6

xyzt

=

6103

.

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Ejercicio 3.23. El [7,4]–codigo binario de Hamming corrector de errores tiene comomatriz de control

H = 0 0 0 1 1 1 10 1 1 0 0 1 11 0 1 0 1 0 1

.

Encontrar una (4×7)–matriz generadora del codigo, G, sobre Z2, sabiendo que HGT = 0.(Ayuda: Las filas de G forman una base del nucleo derecho de H.)

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Capıtulo 4

Espacios vectoriales. Dependencia

e independencia lineal

Recordar que los coeficientes de una ecuacion lineal o las soluciones son n- tuplas,elementos de K n con K = R o de otro cuerpo. Recordar que hemos sumado n-tuplasy tambien hemos multiplicado una n-tupla por un numero. Recordar que la suma den-tuplas es una n-tupla (operacion binaria interna) y la multiplcacion de una n-nuplapor un numero sale otra n-tupla.

Definicion 4.1. Un espacio vectorial V sobre R (o K ) es un conjunto V de elementosque llamaremos vectores, dotado de una operacion binaria interna ,+, y una operacionexterna (la operacion interna asocia a cada par vectores a y b de V un vector a + b deV y la externa asocia a cada elemento t de R (o K ) y a cada vector a de V , un vector

ta de V ), y estas operaciones cumplen las siguientes propiedades

S1) (a + b) + c = a + (b + c) para todos los vectores a,b, c

S2) Existe un vector que denotaremos 0, que verifica 0 + a = a para todo vector a

S3) a + b = b + a para todos los vectores a, b.

S4) Para cada vector a, existe otro que denotaremos −a, que verifica a + (−a) = 0

P1) x(a + b) = xa + xb para todos los vectores a, b y para todo numero real (oelemento de K ) x.

P2) (x + y)a = xa + ya para todos los vectores a y para todos numeros reales (oelemento de K ) x, y

P3) (xy)a = x(ya) para todos los vectores a y para todos numeros reales (oelemento de K ) x, y

P4) 1a = a para todos los vectores a

A los numeros de R (o de un cuerpo K ) los llamaremos escalares. Diremos que V esun R-espacio vectorial o (K -espacio vectorial). Al vector 0 se le llama vector nulo.

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Ejemplos 4.2. 1.- Sea n ∈ N, Rn = {(x1, x2, · · · , xn)|x1, x2, · · · , xn ∈ R} es R-espacio vectorial con las operaciones

(x1, x2, · · · , xn) + (y1, y2, · · · , yn) = (x1 + y1, x2 + y2. · · · , xn + yn)

t(x1, x2, · · · , xn) = (tx1, tx2, · · · , txn), (siendo xi, y j , t ∈ R cualesquiera )

Notar que con R y n = 2 y 3 son espacios vectoriales conocidos.

2.-( Creo que esta es la forma en que lo ven en bachillerato).

Sea V = {t1i + t2 j + t3k|t1, t2, t3 ∈ R} con las operaciones

(t1i+t2 j+t3k)+(t1i+t2 j+t3k) = (t1+t1)i+(t2+t2) j+(t3+t3)k y t(t1i+t2 j+t3k) =(tt1i + tt2 j + tt3k).

3-Sea C un conjunto RC = {f |f : C → R} con las operaciones siguientes

(f + g)(c) := f (c) + g(c), (αf )(c) := αf (c)

(para f, g ∈ RC , c ∈ C y α ∈ R.

4.-Polinomios en x con coeficientes en R considerando la suma de polinomios que da polinomio y producto de polinomio por escalar que da polinomio, operaciones ya conocidas.

R[x] = {ao + a1x + · · · + anxn|ai ∈ K, n ∈ N}

5- {(b1, b2, b3) ∈ R3|x1+x2 = b1, 2x1−x2 = b2, 3x1+x2 = b3 es compatible } con las operaciones de R3 que se ha dicho en 1. Es un espacio vectorial que est´ a contenidoen R3

Notar que este conjunto se puede escribir

{

b1

b2b3

= x1

1

23

+ x2

1

−11

|x1, x2 ∈ R}

6- M m×n(R) matrices m × n en R con la suma de matrices y el producto de matriz por n´ umero real que ya conocemos.

Propiedades que verifican todos los espacios vectoriales, consecuencias de la

definicion .1.-Si a ∈ V , 0a = 0.2.- Sean a, b, c ∈ V . Si a + b = a + c, entonces b = c.3.- Si t ∈ R, t0 = 0.4.- Sean t ∈ R y a ∈ V . Si ta = 0, entonces t = 0 o a = 05.- Sean t ∈ R y a ∈ V , se tiene (−t)v = t(−a) = −ta, en particular (−1)a = −a

para todo vector a6.- En la expresion t1a1 + t2a2 + · · · + tnan con ti ∈ R y ai ∈ V , no importa donde

pongamos los parentesis.Demostracion.1.- 0a + 0a = (0 + 0)a = 0a luego 0a = 0a + (−0a) = 02.- Si a + b = a + c, entonces (−a) + (a + b) = (−a) + (a + c) y por la asociativa

((−a) + a) + b = ((−a) + a) + c, 0 + b = 0 + c luego b = c.3-0 + t0 = t0 = t(0 + 0) = t0 + t0, luego por 2. 0 = t0

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4.-Sea ta = 0 y supongamos que t = 0, existe t−1 tal que t−1t = 1 y t−1(ta) = t−10 =0 luego 0 = t−1(ta) = (t−1t)a = 1a = a

5.-(−t)a + ta = (−t + t)a = 0a = 0 luego (−t)a = −ta

t(−a) + ta = t(a + (−a)) = t0 = 0 luego t(−a) = −ta (con t = 1 se tienen las otrasigualdades.

6.-Por la propiedad asociativa.

Volvemos a considerar un sistema de ecuaciones, a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2· · · · · · · · · · · · · · ·am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bmun sistema de m ecaciones con n incognitas en K y pensamos en el conjunto de las

soluciones, que es un subconjunto de K n. Si llamamos B =

b1b2· · ·· · ·bm

∈ K m, el sistema

lo podemos escribirAX = B

y las soluciones son{X ∈ K n|AX = B}

Notar que cuando sumamos dos soluciones no sale una soluci on, esto solo ocurre siB = 0 si el sistema es homogeneo.

El conjunto de las soluciones de un sistema homogeneo siempre es un espacio vectorialcon las operaciones definidas en K n (repasamos que las operaciones estan bien definidas

y se cumplen las propiedades necesarias para ser espacio vectorial)

Definicion 4.3. Sea V un R-espacio vectorial. Un subespacio vectorial de V es unsubconjunto S no vacıo que verifica:

a) Para todos los vectores a, b ∈ S , a + b ∈ S b) Para todo vector a ∈ S y t ∈ R, ta ∈ S

Observacion: Si S es subespacio, el vector nulo de V esta en S y S es R-espaciovectorial con las operaciones de V que tambien son operaciones al considerarlas en S .

(demostracion: Sea a ∈ S que existe porque S no es vacio, por b) 0 = 0a ∈ S .Ademas para cada a ∈ S , −a = (−1)a ∈ S . El resto es claro.)

Ejemplos 4.4. Consideramos R3 = {x1, x2, x3)|xi ∈ R, i = 1, 2, 3} = V 1.- S = {(1, 2), (1, 3, 5)} ⊆ V porque (1, 2) ∈ V , luego no es subespacio.2.- S = {(1, 0, 2), (1, 3, 5)} ⊆ V pero (1, 0, 2) + (1, 3, 5) = (2, 3, 7) ∈ S ası que no se

cumple a), luego no es subespacio.3.- S = {(x,y ,y)|x, y ∈ R} ⊆ V sı es subespacio.En efecto, no es vacıo, por ejemplo (0, 0, 0) ∈ S y sean (x,y ,y), (x, y, y) ∈ S ,

(x,y ,y) + (x, y, y) = (x + x, y + y, y + y) ∈ S y para cualquier t ∈ R, t(x,y ,y) = (tx,ty,ty) ∈ S .4.- S = {(x,y ,z) ∈ R3|x = 0 o y = 0} ⊆ V . Se tiene que (0, 1, 1), (1, 0, 1) ∈ S pero

(0, 1, 1) + (1, 0, 1) = (1, 1, 2 ∈ S , luego no se cumple a) y no es subespacio.5.- S = {(x, +1, x − 2, x)|x ∈ R} ⊆ V . No es subespacio porque (0, 0, 0) ∈ S y si lo

fuese tendrıa que ser (0, 0, 0) = 0 ∈ S .

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6.- S = {(x,y ,z) ∈ R3|x + y + z = 0, x − z = 0} ⊆ V .No es vacio porque (0, 0, 0) ∈ S . Sean (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) ∈ S , es decir tales que

x1 + y1 + z1 = 0, x1 − z1 = 0, x2 + y2 + z2 = 0, x2 − z2 = 0 veamos si

(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) ∈ S x1+x2+y1+y2+z1+z2 = x1+y1+z1+x2+y2+z2 = 0+0 = 0 y (x1+x2)−(z1+z2) =

x1 − z1 + x2 − z2 = 0 + 0 = 0, luego (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) ∈ S Si t ∈ R, veamos si t(x1, y1, z1) ∈ S . t(x1, y1, z1) = (tx1, ty1, tz1) y tx1 + ty1 + tz1 =

t(x1 + y1 + z1) = t0 = 0. Adem´ as tx1 − tz1 = t(x1 − z1) = t0 = 0 luego t(x1, y1, z1) ∈ S 7.- S = {(x,y ,z) ∈ R3|x + y + z = 1, x − z = 0} ⊆ V . No es subespacio porque

(0, 0, 0) ∈ S y si lo fuese tendrıa que ser (0, 0, 0) = 0 ∈ S

V sera siempre un R-espacio vectorial (o un K -espacio vectorial).

Definicion 4.5. Si tenemos a1, · · · , ak vectores de V , una combinacion lineal de a1, · · · , akes un vector de la forma x1a1 + · · · + xkak con los x1, · · · , xk escalares (de R o de K ).

Notar que cuando en la matriz ampliada de un sistema lineal de ecuaciones tenemosuna fila que es combinacion lineal de otras, si quitamos la correspondiente ecuacion elsistema que resulta es equivalente. A veces se define el rango de una matriz como elmayor numero de filas entre las que no hay ninguna que es c.l de las demas. En unafamilia escalonada es muy facil de ver que no hay ningun vector que es c.l de los demas.

Ejemplos 4.6. Sean a1 = (1, 0, 1) y a2 = (0, 1, 0) de R3.El vector (1, 2, 1) es c.l. de a1 y a2 porque (1, 2, 1) = 1a1 + 2a2El vector (0, 3, 0) es c.l. de a1 y a2 porque (0, 3, 0) = 0a1 + 3a2Sea ahora (1, 1, 0)El vector (2, 2, 0) es c.l. de (1, 1, 0) porque (2, 2, 0) = 2(1, 1, 0)El vector (40, 40, 0) es c.l. de (1, 1, 0) porque (40, 40, 0) = 40(1, 1, 0)Sean ahora a1 = (1, 1, 0), a2 = (0, 1, 1) y a3 = (1, 2, 1)El vector (2, 4, 2) es c.l. de (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 2, 1) porque (2, 4, 2) = 1(1, 1, 0) +

1(0, 1, 1) + 1(1, 2, 1)El vector (0, 0, 1) no es c.l. de (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 2, 1) porque no existen escalares

t1, t2, t3 tales que (0, 0, 1) = t1(1, 1, 0) + t2(0, 1, 1) + t3(1, 2, 1)

Proposicion 4.7. Propiedades de los subespacios de V .1.- V y {0} siempre son subespacios de V .

2.- Si S i,i ∈ I son subespacios de V , tambien lo es

∩i∈I S i

( S 1 ∩ S 2 = {a|a ∈ S 1 y a ∈ S 2})3.- Si a1, · · · , ak ∈ V , K < a1, · · · , ak >:= {x1a1+ · · ·+xkak|x1, · · · , xk ∈ K } (todas

las combinaciones lineales de vectores de a1, · · · , ak) es un subespacio.4.-Si S 1 y S 2 son subespacios de V S 1+S 2 := {s1+s2|s1 ∈ S 1, s2 ∈ S 2} es subespacio

de V .

Demostracion. Se deducen directamente de la definicion de subespacio.

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Definicion 4.8. Familia generadora.Si tenemos una familia a1, · · · , ak ∈ V , el conjunto de todas sus combinaciones

lineales,

R < a1, · · · , ak >= {x1a1 + · · · + xkak|x1, · · · , xk ∈ R} es un subespacio vectorial deV y por tanto espacio vectorial. Diremos que a1, · · · , ak es una familia generadora deR < a1, · · · , ak >

Ejemplos 4.9. Sea V = R4 y a1 = (1, 0, 0, 0), a2 = (1, 1, 1, 1), a3 = (0, 1, 1, 1).Veamos que vectores est´ an en S = R < a1, a2, a3 >, es decir veamos que vectores

son combinaci´ on lineal de a1, a2, a3.0 = (0, 0, 0, 0) = 0a1 + 0a2 + 0a3 luego est´ a en S .a1 = (1, 0, 0, 0) = 1a1 + 0a2 + 0a3 luego est´ a en S .(3, 1, 1, 1) = 3a1 + 0a2 + 1a3 = 0a1 + 3a2 + (−2)a3 luego est´ a en S .(0, 5, 0, 0) no est´ a en S porque si intentamos ponerlo como combinaci´ on lineal de

a1, a2, a3,(0, 5, 0, 0) = x1(1, 0, 0, 0) + x2(1, 1, 1, 1) + x3(0, 1, 1, 1), nos encontramos 0 = x1 +

x2, 5 = x2 + x3, 0 = x2 + x3, 0 = x2 + x3 y es imposible encontrar tales x1, x2, x3n´ umeros reales porque el sistema que hemos obtenido es incompatible. Ası que (0, 5, 0, 0)no est´ a en S . Tampoco est´ an en S , (1, 7, 8, 7), (0, 1, 2, 3)

Se tiene que S = {x1a1+ x2a2 + x3a3|x1, x2, x3 ∈ R} = {x1(1, 0, 0, 0) + x2(1, 1, 1, 1) +x3(0, 1, 1, 1)|x1, x2, x3 ∈ R} = {(x1 + x2, x2 + x3, x2 + x3, x2 + x3)|x1, x2, x3 ∈ R} ={(s,t,t,t)|s, t ∈ R}

Si consideramos ahora la familia b1 = (3, 0, 0, 0 ) = 3a1, b2 = (2, 2, 2, 2 ) = 2a2,b3 = a3 = (0, 1, 1, 1) nos encontramos que b1, b2 y b3 son combinaci´ on lineal de los ailuego todos los vectores que sean combinaci´ on lineal de los bi ser´ an, combinaci´ on lineal de los ai, es decir

R < b1, b2, b3 >⊆ R < a1, a2, a3 >.Recıprocamente tambien los ai son combinaci´ on lineal de los bi porque a1 = 1/3b1,

a2 = 1/2b2 y a3 = b3 luego tambien R < a1, a2, a3 >⊆ R < b1, b2, b3 >, ası que los dos conjuntos son iguales y el subes-

pacio S tiene a1, a2, a3 familia generadora y b1, b2, b3 otra familia generadora distinta.

Proposicion 4.10. Diferentes familias generadoras de un mismo espacio.1.- Si en una familia generadora de un espacio cambiamos el orden de los vectores,

la familia que resulta genera el mismo espacio,a1, · · · , ak ∈ V , R < a1, a2, · · · , ak >= R < a2, a1, · · · , ak >.2.- Si en una familia generadora de un espacio cambiamos un vector por el que resulta

de multiplicarlo por un escalar no nulo, la familia que resulta genera el mismo espacio.R < a1, a2, · · · , ak = R < ta1, a2, · · · , ak > para 0 = t ∈ R

3.-Si en una familia generadora de un espacio cambiamos un vector por el que resulta de sumarle otro de la famila multiplicado por un escalar, la familia que resulta genera el mismo espacio.

R < a1, a2, · · · , ak >= R < a1, a2 + ta1, · · · , ak > para t ∈ R.

Demostracion.1. Se tiene por ser la suma de vectores conmutativa.2.- Por ser ta1, a2, · · · , ak combinaciones lineales de a1, a2, · · · , ak, sus combinaciones

lineales tambien lo son y por tanto,

R < ta1, a2, · · · , ak >⊆ R < a1, a2, · · · , ak >.

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Tambien se tiene que a1, a2, · · · , ak, son combinaciones lineales de ta1, a2, · · · , akporque a1 = t−1(ta1) y los demas es evidente. Ası tambien

R < a1, a2, · · · , ak >⊆ R < ta1, a2, · · · , ak > y se tiene la igualdad.

3.-Claramente R < a1, a2 + ta1, · · · , ak >⊆ R < a1, a2, · · · , ak > y como a2 =(−t)(a1)+a2+ta1, se tiene tambien que R < a1, a2, · · · , ak >⊆ R < a1, a2+ta1, · · · , ak >y se tiene la igualdad.

Ejemplo:S = R < (1, 0, 0, 0), (1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 1) >= R < (1, 0, 0, 0), (0, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 1) >=

R < (1, 0, 0, 0), (0, 1, 1, 1), (0, 0, 0, 0) >= R < (1, 0, 0, 0), (0, 1, 1, 1) > y hemos conseguidouna familia generadora de S con solo dos vectores.

NOTA: En una matriz m × n las filas son vectores de Rn. El subespacio que generanlas filas es el mismo que el que generan las filas despues de hacer una operacion elemental.

Definicion 4.11. Independencia lineal:Cometario inicial. Si en la familia a1, · · · , a p−1, a p, a p+1, · · · , ak se tiene que un vector

a p es combinacion lineal de los anteriores, se tiene claramente queR < a1, · · · , a p−1, a p, a p+1, · · · , ak >= R < a1, · · · , a p−1, a p+1, · · · , ak >.En esta situacion existen escalares x1, · · · , x p−1 tales que a p = x1a1 + · · · + x p−1a p−1

y por lo tanto0 = x1a1 + · · · + x p−1a p−1 + (−1)x p + 0x p+1 + · · · + xkakEn el ejemplo anterior se tenıa que a3 = (−1)a1 + 1a2 con lo que 0 = (−1)a1 + 1a2 +

(−1)a3.En general diremos que una familia de vectores a1, · · · , ak es linealmente dependiente

(o ligada) cuando existen x1, · · · , xk ∈ R con algun xi = 0 tales que x1a1+· · ·+xkak = 0

Ejemplos en R4.La familia a1 = (1, 0, 1, 0), a2 = (0, 1, 0, 0) y a3 = (1, 2, 1, 0) es ligada porque como

a3 = a1 + 2a2 tenemos 0 = a1 + 2a2 − a3.Veamos si la familia (1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 0) y (1, 2, 1, 1) es ligada. Tenemos que ver si

existen x1, x2, x3 ∈ R con alguno de ellos no nulo y tal que0 = x1(1, 0, 1, 0) + x2(0, 1, 0, 0) + x3(1, 2, 1, 1).De esta igualdad se tiene x1 + x3 = 0, x2 + 2x3 = 0, x1 + x3 = 0, x3 = 0.Pero la unica solucion de este sistema es x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0 y por tanto la familia

no es ligada.Comentario recıproco al inicial. Si tenemos una familia ligada,a1, · · · , ak, entonces

existen x1, · · · , xk ∈ R con algun xi = 0 tales que x1a1 + · · · + xkak = 0. Si consideramosel p mas grande que no sea nulo, es decir x p = 0 y x p+1 = · · · = xk = 0, se tiene

x1a1 + · · · + x pa p = 0 y despejando a p = −(x p)−1x1a1 + · · · − (x p)−1x p−1a p−1 = 0,ası que existe un a p que es combinacion lineal de los anteriores y podemos afirmar queuna familia es ligada si y solo si existe un vector en ella que es c.l. de los anteriores.

Definicion 4.12. Una familia de vectores se dice que es linealmente independiente (olibre) cuando no es ligada.

Observa que las filas no nulas de una matriz escalonada siempre son una familialibre.

Cuando hablamos de familia damos los vectores ordenados, si cambiamos el orden

es una familia distinta. En una familia de vectores puede haber vectores repetidos. Sin

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embargo si hablamos de un conjunto los elementos no estan ordenados ni puede haberrepeticiones

Cuando una familia genera un espacio y esa familia es ligada, como hay un vector

que es c.l. de otros de la misma familia, si lo suprimimos, la familia que resulta generael mismo espacio.

Ejemplos de familias generadoras. Observa que R < (0, 0), (0, 1), (1, 1), (1, 0) >= R2,ası que (0, 0), (0, 1), (1, 1), (1, 0) es una familia generadora de R2, (0, 1), (1, 1) tambien loes porque resulta de hacer a la primera operaciones como se ha dicho antes y eliminarel vector nulo.

R < (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) >= R3

Definicion 4.13. Un espacio vectorial V se dice finitamente generado si existe unafamilia finita a1, · · · , ak de vectores de V que lo genera.

Ejemplos 4.14. Rn es finitamente generado. Por ejemplo la familia

(1, 0, · · · , 0), (0, 1, 0, · · · , 0), · · · , (0, , 0, · · · , 1, 0), (0, 0, · · · , 0, 1)

genera todo Rn

R3[x] := { p ∈ R[x]|grad p ≤ 3}

es un subespacio del R- espacio vectorial R[x] y R3[x] = R < 1, x , x2, x3 > luego es finitamente generado.

M 2×3(R) =

= R <

1 0 00 0 0

,

0 1 00 0 0

,

0 0 10 0 0

,

0 0 01 0 0

,

0 0 00 1 0

,

0 0 00 0 1

>

luego este espacio tambien es finitamente generado.

En el R- espacio R[x] cualquier familia finita que cojamos, tiene un polinomio de grado m´ aximo. Las combinaciones lineales de los polinomios de esa familia son de gradomenor o igual que ese m´ aximo luego no son todos los polinomios. Esto prueba que este espacio no es finitamente generado.

Observaciones. 1.- La familia vacıa es libre.

2.- Toda familia que contiene a una familia que es ligada es ligada.3.- Toda familia contenida en una familia libre es libre.4.- En una familia libre no puede estar el 0 ni puede haber vectores repetidos.

Teorema 4.15. Si un espacio vectorial se puede generar con q vectores (q ∈ N), entoncestoda familia libre de mas de q vectores de V es ligada.

Demostracion. Sabemos que existen bi ∈ V tales que V = R < (b1, · · · , bq) > ysupongamos que a1, · · · , aq, aq+1, · · · , ak es libre.

Como a1 ∈ V = R < (b1, · · · , bq) >, a1, b1, · · · , bq es ligada y V = R < (b1, · · · , bq) >=R < (a1, b1, · · · , bq) >. Hay algun vector que es c.l. de los anteriores y lo podemos ex-pulsar. Pero a1 no es nulo luego no es c.l de los anteriores, ası que podemos expulsar

algun bi, supongamos que es el primero, se tiene

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V = R < (a1, b2, · · · , bq) >

Como a2 ∈ V es c.l de a1, b2, · · · , bq y tenemos V = R < (a1, a2, , b2, · · · , bq) > y

a1, a2, , b2, · · · , bq es ligada. tenemos un vector que es c.l. de los anteriores y no puedeser un a porque los a forman una familia libre, ası que hay un b combinacion lineal delos anteriores y que lo podemos expulsar, supongamos que es b2, ası

V = R < (a1, a2, b3, · · · , bq) >

Ası en cada paso introducimos un a en la famila generadora y expulsamos un b.Llegara un momento en que tendremos

V = R < (a1, a2, · · · , aq) >

y si nos queda aq+1 tendrıamos que a

q+1 ∈ V = R < (a1, a2, · · · , a

q) >, luego a

q+1 es

c.l. de a1, a2, · · · , aq y la familia no puede ser libre.

Ejercicio 4.16. Prueba que si V es finitamente generado y de dimension n, todo sus-bespacio suyo es tambien finitamente generado y de dimension menor o igual que n.Prueba que si ademas S es subespacio de V y dimension de S es n, entonces S = V .

Ejercicio 4.17. En un espacio vectorial V sobre K , dado a ∈ V , a veces se escribe K aen vez de K < a > (el subespacio generado por a).

En R3 se consideran S = R(−3, 1, 2), T = R(1, 2, −3) y U = R(2, −3, 1). Comprobarque (1, 0, −1) ∈ S +T +U y encontrar diversas formas de ponerlo como suma de vectoresen R, T y U .

Busca una base de S + T + U

Ejercicio 4.18. Sean S = { (x,y ,z) ∈ R3 | x = y = z } y T = { (0, a , b) | a, b ∈R } (subespacios de R3). Probar que dim(S + T ) = dimS + dimT , buscando bases.Comprueba que juntando bases de S y T hemos obtenido una base de S + T .

En estos casos se dice que la suma de S y T es directa.

Ejercicio 4.19. En R4 se consideran S = { (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | x1 = x2 = 0, x3+x4 =0 }, T = { (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | x1 = x2, x3 = x4 } y L el subespacio generado por(1, −1, 1, −1). Probar que juntando bases de S , T y L se obtiene una base de S + T + Ly que S + T + L es todo R4.

Ejercicio 4.20. Sea S = { (x1, . . . , xn) ∈ Qn

| x1 + · · · + xn = 0 } y T = { (x , . . . , x) |x ∈ Q }. Probar que S y T son subespacios de Qn. Busca bases de S y T y prueba queQn = S + T .

Ejercicio 4.21. Sean S y T subespacios de un V finitamente generado. Probar quedim(S + T ) = dimS + dimT si y solo si juntando bases de S y de T se tiene una familialibre.

Ejercicio 4.22. Considerar en R4 el subespacio S = { (x1, x2, x3, x4) | x1 + 2x3 = 0 }.Hallar una base de S y una base de un S 1 de dimension 4 − dimS tal que S + S 1 = R4

(se llama suplementario de S ).Lo mismo para el subespacio T = { (x1, x2, x3, x4) | x1 − 2x3 = x2 + 2x4 = 0}.

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Ejercicio 4.23. En R4 se considera el subespacio S generado por (1, 0, −1, 0), (0, 2, 1, 0)y (1, 4, 1, 0) y el subespacio T = { (x,y ,z ,t) | x − y + z − t = x + y + z − 3t = 0 }. Hallarbases de S , T , S + T , S ∩ T y busca un U que verifique S + U = T + U = R4

Ejercicio 4.24. Calcula el rango de filas de las siguientes matrices A y mira si puedes

encontrar matrices regulares P y Q tales que P AQ =

I r 0

0 0

(0 es una matriz nula)

1 1 2 3 1

−1 −1 −3 1 00 1 1 1 1

−1 0 −1 1 2

,

0 −1 5

1 1 11 0 2

,

1 −1 0 0

1 2 2 −13 3 4 −2

,

5 2 32 0 −7

−1 −2 31 3 2

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