Lecciones de Física 2-Mecánica

8/15/2019 Lecciones de Física 2-Mecánica

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Lecciones de Física

Mecánica 1

M.R. Ortega



Esta colección está constituida por lossiguientes tomos:

Lecciones de Física (Mecánica 1)

Autor: Manuel R. Ortega Girón.

Ilustrado, xii+360 pág., 17×24 cm, rústica.

Contenido: Introducción. Álgebra vectorial.Vectores deslizantes. Análisis vectorial. Cine-mática de la partícula. Cinemática del sólido

rígido. Principios de la Mecánica Clásica. Laley de la inercia. Segunda y tercera leyes de

Newton. Conservación de la cantidad de movi-miento. Las fuerzas de la Naturaleza. Sistemasde referencia en rotación. Trabajo y energía.Conservación de la energía. Momento angular.Fuerzas centrales.



Ilustrado, xii+386 pág., 17×24 cm, rústica.Contenido: Movimiento armónico simple.Oscilaciones amortiguadas y forzadas. Super-

posición de movimientos armónicos simples.Geometría de masas. Sistemas de partículas.Sistemas de masa variable. El problema de doscuerpos. Colisiones. Estática del sólido rígido.Dinámica del sólido rígido. Trabajo y energíaen el movimiento general del sólido rígido.Ecuaciones de Euler. Dinámica impulsiva delsólido rígido.



Ilustrado, x+332 pág., 17×24 cm, rústica.

Contenido: La ley de la Gravitación Univer-sal. El campo gravitatorio. Elementos deelasticidad. Elastostática. Estática de los flui-dos. Tensión super ficial. Cinemática de losfluidos. Dinámica de los fluidos ideales. Diná-

mica de los fl

uidos reales. Flujo viscoso.



Ilustrado, x+238 pág., 17×24 cm, rústica.

Contenido: Ondas progresivas. Fenómenosondulatorios. Ondas estacionarias. Acústicafísica. Acústica musical y arquitectónica.Apéndices.

Lecciones de Física (Termología 1)

Autores: Manuel R. Ortega Girón.

José A. Ibáñez Mengual


Contenido: Conceptos previos. Temperatura ydilatación. Gases ideales y reales. Ecuacionestérmicas de estado. El calor y su medida.Propagación del calor. Primer principio de laTermodinámica. Segundo Principio de la

Termodinámica.

Lecciones de Física (Termología 2)

Autores: Manuel R. Ortega Girón

José A. Ibáñez Mengual


Contenido: Potenciales termodinámicos.Transiciones de fase. Teoría cinética de losgases. Física estadística. Apéndices matemáti-cos. Tablas.

Prácticas de Física (Física General)

Autor: Manuel R. Ortega Girón

Ilustrado, viii+328 pág., 21×29 cm, rústica.

Contenido: Un total de 50 prácticas de Mecá-nica, Ondas, Termología, Electricidad y Mag-netismo, Electrónica y Óptica apropiadas paralos laboratorios de Física de Primer Ciclo delas Facultades y Escuelas Técnicas.



L e c c i o n e s d e F í s i c a ( M

e c á n i c a 1 )

M . R .

O r t e g a




Mecánica 1

Manuel R. Ortega Girón

Departamento de Física Aplicada.

Universidad de Córdoba.



LeccionesLecciones dede FísicaFísica (Mecánica(Mecánica 1)1)

Impresión: octubre 2006

© Copyright . Reservados todos los derechos.

Ninguna parte de este libro puede ser reproducida por cualquier medio, incluidas las fotocopias, sin el

permiso por escrito del autor.

© Copyright: Manuel R. Ortega Girón

Editor: Manuel R. Ortega Girón

CL Santa Cruz, 10

14.012 Córdoba. España.

Tfnos.: +34 957 280051 (particular)

+34 957 218483 (departamento)

Fax: +34 957 218483e-mail: [email protected]

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Impresión: Reprografía Don Folio

14.013 Córdoba. España.

I.S.B.N. 84-404-4290-4

Depósito legal: CO. 1160-1989

ii Mecánica



A Estela y Olga

Desde la infancia he sido criado en el estudio de las letras y, comoquiera que me aseguraban que por medio de éstas se podía adquirir unconocimiento claro y seguro de todo aquello que es útil para la vida, yotenía un vivísimo deseo de aprenderlas. Pero cuando acabé el curso delos estudios, al finalizar los cuáles es costumbre ser admitido en la

jerarquía de los doctos, cambié enteramente de opinión. Por que meencontraba turbado y confuso entre tantas dudas y errores que me

parecía no haber obtenido otro provecho, al procurar instruirme, que eldescubrir cada vez mejor mi ignorancia.

R ENÉ DESCARTES (1596-1650)

El Discurso del Método.

Manuel R. Ortega Girón iii



iv Lecciones de Física.



Prólogo del autor

Este libro está destinado a los alumnos de Primer Ciclo de las Facultades deCiencias y Escuelas Técnicas. Durante su elaboración he pretendido la consecuciónde dos objetivos principales que entiendo que deben orientar la docencia de lasasignaturas de Física de Primer Ciclo de los estudios universitarios: familiarizar alalumno con el conjunto de los conceptos y leyes básicas que constituyen la esencia

de la Física y desarrollar en el estudiante la habilidad para manejar esas ideas y paraaplicarlas a situaciones concretas. Además, creo que estas asignaturas, y muyespecialmente la asignatura correspondiente al Primer Curso Universitario, deben

proponerse unos objetivos de cimentación y estructuración de los conocimientosadquiridos en los cursos de enseñanza media.

A lo largo de los sucesivos cursos en los que he participado en la docencia dela Física de Primer Ciclo, en las Universidades de Sevilla, Autónoma de Barcelonay Córdoba, he tenido ocasión de ir perfilando los programas de las asignaturas quese imparten a este nivel, tratando de encontrar el punto de equilibrio entre la

extensión de los programas y el nivel y profundidad en el tratamiento de cada unode los temas. Durante este proceso de estructuración y perfeccionamiento, siemprehe tenido muy presente que los programas de estas asignaturas, aunque pueden

plantearse de muy diversas formas, con enfoques diferentes, con una gran variedaden cuanto a sus contenidos, ... de ningún modo pueden ser una simple suma de temasinconexos o poco relacionados entre sí, por muy interesantes y bien estructurados queestén cada uno de ellos. Entiendo que el propósito primario de estas asignaturas debeser dar al estudiante una visión unificada de la Física a través de la compresión delos conceptos, leyes y principios que constituyen el aspecto más fundamental de estaciencia.

Por supuesto que conozco muchos y excelentes libros adecuados a este nivel, quesatisfacen en gran medida los requisitos anteriormente expuestos; pero la mayor partede ellos son de procedencia foránea, lo que los distancia, hasta cierto punto, de la

problemática de la enseñanza en nuestras Universidades. Para soslayar esteinconveniente, los profesores suelen recurrir a recomendar a sus alumnos varios librosde texto, como complemento de los apuntes que éstos tomen en clase. Sin embargo,

pienso que se facilita enormemente el aprovechamiento de las clases cuando elalumno puede disponer de un texto de base, aunque ello no implique la renuncia ala consulta de otros libros de texto y de obras más especializadas. Fruto de esta

convicción es el presente libro, que será completado con otros tomos, preparados encolaboración con colegas de otras Universidades españolas, hasta cubrir los

Manuel R. Ortega Girón v



vi Prólogo

contenidos que normalmente se desarrollan en las disciplinas de Física de Primer Ciclo de nuestras Facultades y Escuelas Técnicas.

No debería considerarse esta obra como un libro más de Física General, en laacepción que tradicionalmente tiene esta denominación, ya que tanto su nivel comosu extensión son notablemente superiores a los que encontramos normalmente en los

libros de texto de tal denominación. Mi intención ha sido desarrollar un programa enel que tengan cabida aquellos temas de la Física Clásica que configuran loscontenidos de la Física que se enseña en los primeros cursos universitarios, en susvertientes científica y técnica, prestando una atención especial a la asignatura dePrimer Curso, de modo que los profesores puedan seleccionar los temas que seanapropiados a los Planes Docentes de sus Centros.

Incluso algunas Lecciones de esta obra, que normalmente se incluyen en el programa de la asignatura de Primer Curso, tienen un nivel algo superior al quenormalmente encontramos en los textos de Física General. De este modo, el profesor

podrá graduar el nivel de sus enseñanzas al de la preparación previa de sus alumnos,evitando así que la Física que se enseña en los primeros cursos universitarios sea, enalgunos casos, una mera repetición de la correspondiente al Curso de OrientaciónUniversitaria.

No puedo dejar de expresar mi agradecimiento a todos aquellos compañeros quede un modo u otro han colaborado en la preparación de este libro, muy especialmentea mis amigos y colegas los Dres. José A. Ibáñez Mengual (U. Murcia) y Alejo

Vidal-Quadras Roca (UAB), cuyas acertadas sugerencias y útiles intercambios de puntos de vista me han resultado muy provechosos, y a mis compañeros en las tareasdocentes, los Dres. C. Baixeras (UAB), D. Baró (UAB), S. Bordas (UAB),

A. Coronas (U. Tarragona), C. Domingo (UAB), F. González (U. Granada),F. Fernández (UAB), A. Hernández (U. Valladolid), J.I. Jiménez (U. Granada),E. Martín (U. Murcia), R. Perea (E.U. Jaén), L.F. Sanz (U. Valladolid),S. Suriñach (UAB) y M.A. Villamañán (U. Valladolid), por la buena acogida quehan dispensado a estas Lecciones de Física y por sus útiles comentarios ysugerencias.

Córdoba, Enero 2006.




Mecánica 1

Manuel R. Ortega Girón vii



viii Índice de materias.

I. 1. Álgebra vectorial.

2. Vectores deslizantes.

3. Análisis vectorial.4. Cinemática de la partícula.

5. Cinemática del sólido rígido.6. Principios de la Mecánica Clásica. La ley de la inercia.7. Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación de la cantidad de

movimiento.

8. Las fuerzas de la Naturaleza.9. Sistemas de referencia en rotación.

10. Trabajo y energía.11. Conservación de la energía.12. Momento angular. Fuerzas centrales.

II. 13. Movimiento armónico simple.14. Oscilaciones amortiguadas y forzadas.15. Superposición de movimientos armónicos simples.16. Geometría de masas.17. Sistemas de partículas.18. Sistemas de masa variable. El problema de 2-cuerpos.19. Colisiones.20. Estática del sólido rígido.21. Dinámica del sólido rígido.

22. Trabajo y energía en el movimiento general del sól. ríg.23. Ecuaciones de Euler.24. Dinámica impulsiva del sólido rígido.

III. 25. La ley de la Gravitación Universal.

26. El campo gravitatorio.

27. Elementos de elasticidad.28. Elastostática.29. Estática de los fluidos.30. Tensión superficial.

31. Cinemática de los fluidos.32. Dinámica de los fluidos ideales.33. Dinámica de los fluidos reales.34. Flujo viscoso.

IV. 35. Ondas progresivas.36. Fenómenos ondulatorios en medios ilimitados.37. Fenómenos ondulatorios en medios limitados.38. Ondas estacionarias.39. Acústica física.40. Acústica musical y arquitectónica.

Apéndices.



Índice de materias

Prolegómenos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

§1. La Ciencia (1); §2. La Naturaleza (1); §3. La Física (2); §4. Nuestra visión delMundo Natural (3); §5. El método científico (5); §6. La ciencia como descripción(6); §7. La ciencia como creación (7); §8. La ciencia como comprensión (8); §9. Losmodelos (9); §10. Los conceptos físicos (10); §11. Las ramas de la física (12);§12. La Física y las otras Ciencias (13); §13. La Ciencia y la Tecnología (14);§14. La Física y las Matemáticas (14)

VECTORES.

1.- Álgebra vectorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

§1.1. Escalares y vectores (19); §1.2. Formulación vectorial (20); §1.3. Suma ydiferencia de vectores (21); §1.4. Producto de un vector por un escalar (22);§1.5. Versores (22); §1.6. Componentes de un vector. Base vectorial (22);§1.7. Producto escalar de dos vectores (24); §1.8. Producto vectorial de dos vectores(27); §1.9. Representación vectorial de superficies (29); §1.10. Producto mixto detres vectores (30); §1.11. Doble producto vectorial (32); §1.12. Definiciónaxiomática del vector (32); §1.13. Cambio de base vectorial (34); §1.14. Vector de posición. Sistemas de referencia (37); Problemas (38)

2.- Vectores deslizantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

§2.1. Momento de un vector respecto a un punto (41); §2.2. Momento de un vector respecto a un eje (42); §2.3. Sistemas de vectores deslizantes (43); §2.4. Invariantesdel sistema (44); §2.5. Par de vectores (45); §2.6. Eje central (46); §2.7. Centro deun sistema de vectores paralelos (47); §2.8. Sistemas de vectores equivalentes (48);§2.9. Reducción de sistemas (49); §2.10. Virial de un vector (53); §2.11. Virial deun sistema de vectores (54); §2.12. Plano central (55); §2.13. Punto central (56);Problemas (57)

3.- Análisis vectorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

§3.1. Campos escalares y vectoriales (61); §3.2. Derivada de un vector respecto aun escalar (63); §3.3. Integral de un vector con respecto de una variable escalar (65);§3.4. Circulación de un vector (66); §3.5. Flujo de un campo vectorial (69);§3.6. Gradiente de un campo escalar (71); §3.7. Función potencial (73); §3.8. Di-vergencia de un campo vectorial (74); §3.9. Teorema de Gauss (76); §3.10. Rota-cional de un campo vectorial (77); §3.11. Teorema de Stokes (78); §3.12. Eloperador nabbla (80); Problemas (82)

CINEMÁTICA.

4.- Cinemática de la partícula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

§4.1. Cinemática (88); §4.2. Relatividad del movimiento. Referenciales (88);§4.3. Movimiento de la partícula (90); §4.4. Velocidad (91); §4.5. Aceleración (93);§4.6. Componentes intrínsecas de la aceleración (95); §4.7. Triedro móvil (97);

Manuel R. Ortega Girón ix



x Índice de materias

§4.8. Discusión de algunos tipos de movimiento (98); §4.9. Velocidad y aceleraciónrelativas (102); Problemas (104)

5.- Cinemática del sólido rígido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

§5.1. Concepto de sólido rígido (109); §5.2. Condición cinemática de rigidez (110);§5.3. Movimiento de traslación (111); §5.4. Movimiento de rotación. Vector velocidad angular (113); §5.5. Principio de superposición de movimientos (114);§5.6. Composición de rotaciones (115); §5.7. Movimiento rototraslatorio (117);§5.8. Movimiento helicoidal (118); §5.9. Eje instantáneo de rotación y deslizamiento(119); §5.10. Teorema de Chasles (120); §5.11. Axoides. Representación de Poncelet(121); §5.12. Aceleración. Vector aceleración angular (122); §5.13. Contacto entresólidos: deslizamiento, rodadura y pivotamiento (126); §5.14. Movimiento plano delsólido rígido (127); §5.15. Base y ruleta (129); §5.16. Velocidad de sucesión del CIR (133); §5.17. Movimiento de rotación alrededor de un eje fijo (134); Problemas(136)

DINÁMICA DE LA PARTÍCULA.

6.- Principios de la Mecánica Clásica. La ley de la Inercia. . . . . . . . . . . . . . . . . 143§6.1. Mecánica Clásica (144); §6.2. Las Leyes de la Mecánica (145); §6.3. Las leyesdel movimiento (146); §6.4. La ley de la inercia (147); §6.5. Referenciales inercialy no-inercial (149); §6.6. Buscando un referencial inercial (151);§6.7. Transformación de Galileo (154); §6.8. Principio de Relatividad de Galileo(156); Problemas (159)

7.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación de la cantidad de movimien-to. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

§7.1. Fuerza (161); §7.2. Masa (163); §7.3. Segunda ley de Newton (164);§7.4. Peso. Peso aparente e ingravidez (165); §7.5. Sistemas de unidades mecánicas

(166); §7.6. Cantidad de movimiento (168); §7.7. Impulsión (169); §7.8. Invarianciade las leyes de la Mecánica (171); §7.9. Tercera ley de Newton (175);§7.10. Conservación de la cantidad de movimiento (177); §7.11. Acción a distancia(179); §7.12. Limitaciones de la ley de la acción-reacción (180); Problemas (182)

8.- Las fuerzas de la Naturaleza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

§8.1. Las leyes de las fuerzas (187); §8.2. Las fuerzas fundamentales (188);§8.3. Fuerzas gravitatorias (189); §8.4. Fuerzas electromagnéticas (191);§8.5. Fuerzas nucleares (194); §8.6. Interacción débil (196); §8.7. Fuerzasmoleculares (196); §8.8. Fuerzas de rozamiento (198); §8.9. Rozamiento. Estudioexperimental (199); §8.10. Ángulos de rozamiento (202); §8.11. Rozamiento.Estudiomicroscópico (203); §8.12. Fuerzas de rozamiento en los fluidos (205);

§8.13. Fuerzas de ligadura (206); §8.14. Fuerzas de inercia (209); §8.15. Estática dela partícula. Principio de D’Alembert (214); Problemas (216)

9.- Sistemas de referencia en rotación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

§9.1. Movimiento relativo (222); §9.2. Velocidad (222); §9.3. Aceleración (224);§9.4. Fuerzas ficticias en un referencial en rotación (227); §9.5. Fuerza centrífuga(228); §9.6. Fuerza de Coriolis (231); §9.7. Movimiento relativo a la Tierra (232);§9.8. Desviación de una partícula en caída libre (235); §9.9. Péndulo de Foucault(237); Problemas (240)

10.- Trabajo y energía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

§10.1. Trabajo y energía (245); §10.2. Trabajo de una fuerza (247); §10.3. Potencia

(250); §10.4. Unidades de trabajo y potencia (250); §10.5. Energía (251);§10.6. Energía cinética (252); §10.7. Campos de fuerzas. Fuerzas conservativas(255); §10.8. Energía potencial (259); §10.9. La energía potencial como energía deconfiguración (264); §10.10. Teorema del virial (265); Problemas (267)



Índice de materias xi

11.- Conservación de la energía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

§11.1. Fuerzas conservativas. Conservación de la energía mecánica (274);§11.2. Sistemas conservativos en una dimensión (276); §11.3. Discusión de curvasde energía potencial. Estabilidad del equilibrio (277); §11.4. Sistemas conservativosen dos y tres dimensiones (280); §11.5. Equilibrio en dos y en tres dimensiones(282); §11.6. Fuerzas que dependen explícitamente del tiempo (284); §11.7. Fuerzasno conservativas (284); §11.8. Conservación de la energía (286); §11.9. Crítica delconcepto de energía (288); §11.10. Principio de conservación de la masa (289);§11.11. Masa y energía (289); Problemas (293)

12.- Momento angular. Fuerzas centrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

§12.1. Momento de una fuerza (297); §12.2. Momento angular (298); §12.3. Im- pulsión angular (300); §12.4. Conservación del momento angular de una partícula(301); §12.5. Fuerzas centrales. Órbitas planas y ley de las áreas (302); §12.6. Des-cripción del movimiento de la partícula en coordenadas polares planas (303);§12.7. Movimiento producido por una fuerza central (306); §12.8. Energías potenciales centrífuga y efectiva (311); §12.9. Análisis de diagramas de energía

(312); §12.10. Fuerza central inversamente proporcional al cuadrado de la distancia(315); §12.11. Órbitas elípticas: Leyes de Kepler (320); §12.12. Órbitas hiperbólicas:El problema de Rutherford (322); §12.13. Sección eficaz de dispersión (324);Problemas (327)

APÉNDICES.

A.- Resultados de los problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

B.- Índice alfabético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351



xii Índice de materias



Prolegómenos.

§1. La Ciencia (1); §2. La Naturaleza (1); §3. La Física (2); §4. Nuestra visión del Mundo Natural (3); §5. El método científico (6); §6. La ciencia como descripción (6); §7. Laciencia como creación (7); §8. La ciencia como comprensión (8); §9. Los modelos (9);§10. Los conceptos físicos (10); §11. Las ramas de la física (12); §12. La Física y las otrasCiencias (13); §13. La Ciencia y la Tecnología (14); §14. La Física y las Matemáticas (14)

§1. La Ciencia.- Desde la más remota antigüedad, el hombre ha sentidocuriosidad por conocer y comprender el mundo que le rodeaba. Los primerostestimonios gráficos de que disponemos nos demuestran que el hombre ha estado

preocupado, desde siempre, por imponer un orden en la gran diversidad de cosas yfenómenos que observaba. En la búsqueda de ese orden, el hombre ha adoptado tres

vías o actitudes: una de ellas es la Religión, otra el Arte y otra la Ciencia.La palabra Ciencia proviene de la voz latina scientia y ésta deriva del verbo

latino scio que significa conocer o saber . En la actualidad, el significado que ledamos al vocablo Ciencia es más restringido, pues ha dejado de significar meramenteun conocimiento para referirse más específicamente al conocimiento del mundonatural y, lo que resulta más importante, a un conocimiento metódicamente formado

y ordenado.

§2. La Naturaleza.- Los antiguos se valían de dos palabras para designar el

conjunto de todas las cosas: los griegos decían Cosmos (χοσµος ) y los latinos Mundus, que nosotros traducimos por Mundo. Estas voces han perdido en parte susignificación primitiva, pues siendo en la antigüedad inseparables de las ideas de

belleza, ornamento y armonía, en contraposición con el Caos (χαος ) que representa- ba el estado de desorden y confusión en que se encontraban las cosas en el momentode su Creación, hoy sólo designan el conjunto de las cosas que existen, enlazadasentre sí en función de su mutua dependencia.

"Las lenguas tienen a veces expresiones felicísimas. ¿Puede encontrarse otro apelativo queexprese, mejor que las palabras cosmos y mundo, las cuales significan orden, adorno,ornamento, la impresión experimentada por los helenos y latinos a la vista de este vasto

conjunto que se mueve con extraordinaria regularidad y que despliega por la noche su mantode estrellas? En nuestras lenguas derivadas se ha perdido el significado primitivo de esos

Manuel R. Ortega Girón 1



2 Prolegómenos.

vocablos, y el mundo, cualquiera que fuera la idea fundamental que los latinos le atribuyeran,no es hoy más que el conjunto de las cosas del Universo."

LITTRÉ: La Ciencia bajo el punto de vista filosófico.

Por otra parte, la significación de la palabra Mundo depende de las circunstanciasen las que se aplica. Podemos designar con ella sólo la Tierra, aislada del resto del

Universo, o también utilizarla como sinónima de Universo, esto es, como el conjuntode todas las cosas que existen.

Pero también utilizamos frecuentemente la palabra Naturaleza para designar elconjunto de las cosas. A veces tomamos la palabra Naturaleza como sinónima deUniverso o Mundo; otras veces damos a este vocablo una acepción filosófica,significando con él el orden o el sistema de leyes que regulan la existencia de lascosas y sus cambios; pero también la consideramos como una especie de personifica-ción de la materia universal, como la potencia o fuerza activa en virtud de la cualse desarrollan en sucesión ordenada los fenómenos observables. Bajo este último

punto de vista la consideró SCHELLING cuando escribió ..."La Naturaleza no es una masa inerte; para el que sabe comprender su sublime grandeza, es lafuerza creadora del Universo, fuerza siempre eficiente, primitiva, eterna, que engendra en su

propio seno todo cuanto existe, perece y renace eternamente."

Así pues, Mundo o Cosmos, Universo y Naturaleza, son las denominaciones deque nos servimos comúnmente para designar el conjunto de las cosas, de losfenómenos, de sus leyes y hasta de sus causas.

§3. La Física.- Hemos hecho esa disquisición sobre el significado de las

palabras Cosmos o Mundo, Universo y Naturaleza, para comprender cual es elcontenido de la Física. La palabra física (ϕυσιχη) proviene del término griegoϕυσις , que significa naturaleza, y por ello la Física debería ser una cienciadedicada al estudio de todos los fenómenos naturales. En verdad, hasta principios delsiglo XIX se entendía la Física en ese sentido amplio, y se la denominaba Filosofía

Natural . Recordemos que la célebre obra de Isaac NEWTON (1642-1727), publicadaen 1686, en la que se presentaban, entre otras grandes ideas, las leyes del movimientoy la ley de la Gravitación Universal, se titulaba Principia Mathematica Philosophiæ

Naturalis.

Hace cinco siglos, el conjunto de todos los conocimientos científicos era losuficientemente reducido como para que una persona pudiera estar familiarizada contodas las facetas de la ciencia. En aquellos días, era denominado como un filósofo dela Naturaleza y se dedicaba al estudio general de los fenómenos naturales. Laacumulación de conocimientos científicos, desde el Renacimiento hasta nuestros días,ha sido tal que este tipo de hombre ha desaparecido, y un Leonardo DA VINCI (1452-1519) o un GALILEO GALILEI (1564-1642) no se pueden dar en nuestros días.Actualmente tenemos físicos, químicos, biólogos, matemáticos, geólogos,... y otrasmuchas designaciones para los diferentes campos de la actividad científica.

La restricción del campo de la Física comenzó, como ya decíamos, a principios

del siglo XIX, y durante ese siglo, y hasta muy recientemente, la Física se limitó alestudio de los llamados fenómenos físicos, definidos sin precisión alguna comoaquellos procesos que tienen lugar sin que cambie la naturaleza de las sustancias que



§3.- La Física. 3

participan en ellos. Esta definición ha sido abandonada gradualmente para regresar al concepto más amplio y fundamental de antes.

La Física tiene como objetivo el estudio de los fenómenos naturales paraesclarecer la estructura de la realidad que nos rodea. Pero este interés por losfenómenos naturales es común a todas las ciencias. También la Química, la Biología

o la Psicología, por citar algunas ciencias, se interesan por los procesos reales eintentan explicarlos de un modo racional. ¿Qué distingue, entonces, a la física de lasotras ciencias? Si tuviéramos que responder con una sola frase diríamos que

La Física estudia los procesos más fundamentales de la Naturaleza.

Esto no significa que la Física sea una ciencia más noble que las demás, o queel objeto de su estudio sean los fenómenos auténticamente interesantes. No hay queentender así la expresión procesos más fundamentales que hemos empleado.Trataremos de clarificar el significado de esa expresión.

Cuando un psicoanalista estudia la neurosis de angustia, un biólogo las formas

vivientes o un geólogo la formación de un terreno, describen el comportamiento desistemas muy complejos. Manejan conceptos tales como subconsciente, protoplasmao erosión cuyo grado de precisión es limitado. Las leyes que rigen estos fenómenosno pueden ser enunciadas de forma exacta y rigurosa y difícilmente podránexpresarse de una manera cuantitativa precisa. El físico, en cambio, cuando estudiala interacción entre los nucleones del núcleo atómico, o cuando intenta clasificar las

partículas elementales de acuerdo con ciertas simetrías, se halla ante el límite deelementalidad de los procesos y debe tratarlos con todo rigor, enunciando las leyesque los rigen de modo que se excluya toda ambigüedad, y definiendo magnitudes que

pueden ser medidas con precisión. No deja de ser interesante considerar que cuandoun biólogo estudia la vida de manera fundamental , acercándose a la base molecular de la misma, dice que hace Biofísica. En la Filosofía, la parte de ella que trata delser como tal, de sus propiedades, principios y causas primeras, recibe el nombre de

Metafísica.

Ese es el significado de la fundamentalidad de un proceso. Cuando los conceptosque intervienen en él son simples y admiten una definición rigurosa, cuando las leyesque lo rigen pueden ser enunciadas de forma exacta y las magnitudes que aparecenson susceptibles de ser medidas con precisión, diremos que el proceso es fundamen-tal , y el grado de simplicidad, exactitud y rigor de su tratamiento nos proporciona su

grado de fundamentalidad.El físico trata, pues, de comprender la manera en que operan los sistemas

elementales de la Naturaleza. Pero no hay que pensar que "elemental" sea sinónimode "pequeño" y que el físico esté absorbido por lo microscópico dejando de lado lomacroscópico. La interacción entre los planetas y el Sol, objetos enormes a la escalahumana, es uno de los procesos fundamentales que la Física ha estudiado hace siglos,y en cuyo esclarecimiento se empeñaron físicos de la talla de GALILEO, NEWTON Y

EINSTEIN (1879-1955).

§4. Nuestra visión del Mundo Natural.- En el momento actual consideramosque la materia está constituida por unas pocas clases de partículas elementales y quetodos los cuerpos, vivientes e inertes, están formados por diferentes agrupamientosy ordenamientos de dichas partículas. De entre ese puñado de partículas elementales



4 Prolegómenos.

hay tres que son especialmente importantes, por estar presentes en muchos fenómenoscomunes: el electrón, el protón y el neutrón.

Las demás partículas elementales sólo tienen una vida muy fugaz, creándose ydestruyéndose continuamente (son inestables) de modo que, aparentemente, no

participan en la mayor parte de los fenómenos que observamos. Para detectarlas es

necesario recurrir a dispositivos experimentales altamente sofisticados. Sin embargo,no debemos pasar por alto su importancia; así, una de esas partículas, el mesón π,es la partícula de intercambio en la interacción nuclear fuerte que hace posible quelos protones y los neutrones se agrupen para formar el núcleo atómico.

Para hacernos una idea de los órdenes de magnitud que utilizamos en la Física,diremos que la masa del electrón es 9.1×10-31 kg y que la del protón y la del neutrón(que son casi iguales) es 1.67×10-27 kg, esto es, unas 1840 veces superior a la delelectrón.

Los electrones, protones y neutrones se agrupan para formar estructuras bien

definidas que llamamos átomos. Los neutrones y protones constituyen el núcleoatómico, de unas dimensiones del orden de 10-15 m; los electrones se muevenalrededor de ese núcleo. El radio atómico es del orden de 10-10 m. Se conocen en laactualidad 104 especies diferentes de átomos (elementos químicos) y casi 1400variedades atómicas que reciben el nombre de isótopos.

Los átomos, a su vez, se agrupan para formar moléculas. Actualmente se hanidentificado varios millones de moléculas distintas (compuestos químicos) y esenúmero crece de día en día con las nuevas moléculas que se van sintetizando en loslaboratorios. Las distancias que separan a los átomos que forman las moléculasvienen a ser del mismo orden que el radio atómico. Existen moléculas constituidas

por muy pocos átomos, como las del ácido clorhídrico (ClH), del agua (H2O)..., perotambién existen moléculas gigantes, formadas por centenares, millares e inclusomillones de átomos, como es el caso de las proteínas, de las enzimas, de los ácidosnucléicos (ADN y ARN) y las de algunos polímeros orgánicos (polietileno, clorurode polivinilo, ...).

Finalmente, las moléculas se agrupan para formar los cuerpos materiales, que se pueden presentar en tres estados de agregación: sólidos, líquidos y gases, aun cuandoesta clasificación no es del todo rigurosa. Existe un cuarto "estado de agregación" dela materia, el estado de plasma, que corresponde al de un gas fuertemente ionizado

(gas de iones); la mayor parte de la materia del Universo se encuentra en este estado.Una parte de la materia, la menos abundante, se encuentra organizada en la

forma que llamamos materia viviente o protoplasma, compuesta por moléculasaltamente organizadas que exhiben unas propiedades que, aparentemente, no presentala materia inerte. Encontramos la materia viviente bajo formas muy diversas, desdelas más elementales (como los protozoos) hasta las más complicadas y perfectas(como el ser humano). Se han descrito y dado nombre a más de un millón deespecies diferentes que existen en nuestro planeta. El ser humano es una de lasmanifestaciones vitales más complicadas y perfectas. Está compuesto, aproximada-mente, por unas 1016 células. Cada célula es una unidad fisiológica que contiene entre1012 y 1014 átomos. Puede estimarse que el cuerpo humano está compuesto por unos1029 átomos, principalmente de carbono (C), hidrógeno (H), oxígeno (O) y nitrógeno(N).



§4.- Nuestra visión del Mundo Natural. 5

La materia inerte también se nos presenta bajo formas muy diversas. Laacumulación de materia forma planetas, como la Tierra, cuya masa es 6×1024 kg ycuyo radio es 6.3×106 m. Puede estimarse que la Tierra está constituida por 1051

átomos.

La Tierra, junto con ocho planetas más (algunos de ellos gigantescos en

comparación con la Tierra), unas decenas de satélites, algunos cometas y un grannúmero de cuerpos asteroideos, se mueve alrededor de una estrella de regular tamaño,el Sol , de 2×1030 kg de masa (1057 átomos) y 7×108 m de radio, constituyéndose asínuestro Sistema Solar. Podemos estimar en unos 1013 m el radio de tal sistema.

Pero nuestro Sistema Solar forma parte de un sistema mayor, constituido quizás por unas 1010 estrellas (muchas de las cuales pudieran tener sus propios sistemas planetarios). Esta agrupación de estrellas recibe el nombre de Galaxia y tiene formade disco, de unas dimensiones de unos 1021 m de radio y un espesor máximo de 1020

m. Estimamos que nuestra Galaxia está formada por 1070 átomos.

Existe un gran número de galaxias, de diferentes formas y tamaños. Las galaxiastienen la tendencia a agruparse en racimos o cúmulos. Nuestra Galaxia forma partede un grupo, llamado Grupo Local , compuesto por una veintena de galaxiasdistribuidas en una esfera de un radio aproximado de 1022 m (un millón de años-luz).En extremos opuestos de este agrupamiento se encuentran nuestra Galaxia y la Gran

Nebulosa de Andrómeda, una galaxia muy semejante a la nuestra en cuanto a formay tamaño; entre las dos representan casi el 70% de la masa total del Grupo Local, demodo que las demás galaxias de nuestro grupo son muy pequeñas.

Se estima que en el Universo pueden existir unas 1020 estrellas, agrupadas enunas 1010 galaxias que se agrupan, a su vez, en un número no definido de cúmulos(algunos de ellos, como el de Virgo, compuesto por miles de galaxias), con un totalde 1080 átomos. Toda esta materia existiría en una región cuyo radio pudiera ser deunos 1026 m (1010 años-luz), magnitud que se ha dado en llamar "radio del Universo",aun cuando su significado real no se conozca y sea una simple lucubración a caballoentre la Física y la Metafísica.

A la vista de toda esta grandiosa estructura, algunas preguntas acuden a nuestramente. ¿Por qué y cómo se unen los electrones, protones y neutrones para formar losátomos? ¿Por qué y cómo se agregan los átomos para formar las moléculas? ¿Por quéy cómo se agrupan las moléculas para formar desde las partículas de polvo hasta un

planeta, desde una célula hasta esa máquina excelsa que es el hombre? Podemosresponder a esas preguntas fundamentales introduciendo el concepto de interacción.Decimos que las partículas que constituyen los átomos interaccionan entre sí para

producir una configuración estable de orden superior, que los átomos interaccionancon otros átomos y configuran moléculas, ... ...

¿Cuál debe ser el trabajo del Físico? A la vista de lo anteriormente expuesto escasi obvio que el primer objetivo del físico será descubrir las diferentes interaccionesde la materia. A continuación deberá expresarlas cuantitativamente y, por último,formular las reglas, esto es, establecer las leyes que rigen el comportamiento de lamateria, comportamiento que nos es sino el resultado de aquellas interaccionesfundamentales.



6 Prolegómenos.

§5. El método científico.- Hemos intentado establecer la peculiaridad de laFísica frente a las demás ciencias a través de la noción de "proceso fundamental". Acontinuación, vamos a destacar algo que es común a la Física y a cualquier actividad:su método de trabajo. Las formas en que un biólogo o un astrónomo atacan un

problema que les sea propio son muy distintas en ciertos aspectos, pero hay undenominador común, que constituye lo que se ha venido a denominar el métodocientífico. Al igual que el grado de fundamentalidad de un proceso distingue entresí a las distintas ciencias, el método científico marca una neta separación entre laCiencia y otras formas de estudio de la realidad, como la Filosofía, la Historia, laEconomía o la Sociología. Estas últimas serán "ciencias", y se hablará así de"Ciencias Económicas" o "Ciencias Sociales" en la medida en que utilicen el métodocientífico para tratar cuestiones de sus campos respectivos.

Aunque las raíces de la Ciencia son tan profundas como las de la Religión y las

del Arte, sus tradiciones son mucho más recientes. Sólo a partir de los tres últimossiglos se han desarrollado métodos para estudiar sistemáticamente la Naturaleza.Como dice John G. TAYLOR en su libro La Nueva Física (1971):

"Para todos los que vivimos en una sociedad científica el método científico constituye el únicomedio válido de adquirir un conocimiento cada vez más completo de la Naturaleza; un medioque, además, ha demostrado su valía al proporcionar a la humanidad poderes sobrecogedores.Hemos de hacer notar, sin embargo, que sólo durante los tres últimos siglos ha sido utilizadode forma consciente y eficaz. Antes de la revolución científica, acaecida en el siglo XVII, eraalgo así como un juego de azar".

El estudio de un problema lleva consigo un esfuerzo descriptivo, un esfuerzo

creativo y un esfuerzo cognoscitivo. Veamos, pues, sucesivamente a la ciencia comodescripción, creación y comprensión.

§6. La ciencia como descripción.- Desde la Antigüedad, numerososfenómenos han llamado la atención de los hombres por su espectacularidad o por suscaracterísticas peculiares. Un ejemplo es el movimiento de los cuerpos celestes, esdecir, la Luna, el Sol, los planetas y las estrellas. Los movimientos de los astros enel firmamento se intentaron relacionar con el conocimiento del futuro y ciertos

planetas y estrellas fueron identificados con divinidades diversas por las distintas

civilizaciones del pasado. Un primer paso para el conocimiento de los movimientosde los cuerpos celestes fue la cuidadosa observación de sus posiciones en las distintashoras de la noche a lo largo del año. Se llegó así a establecer que los movimientosde las estrellas eran regulares y los de los planetas extrañamente caprichosos. Durantesiglos, numerosos astrólogos y astrónomos confeccionaron cartas celestes que fueroncreciendo en complejidad y exactitud. Paralelamente se intentaron explicaciones máso menos ingeniosas de los movimientos de los astros. Las primeras teorías serias nofueron enunciadas hasta el siglo XVI e Isaac Newton resolvió la cuestión casicompletamente en el siglo XVII con su teoría de Gravitación Universal. COPÉRNICO,K EPLER , GALILEO y NEWTON pudieron resolver el tremendo problema del

movimiento de los planetas gracias a las cuidadosas observaciones y medidas de losque les habían precedido y a las que ellos mismos realizaron. Dispusieron de unmaterial pacientemente acumulado, con el que pudieron trabajar. Sus contribucionesa una mejor comprensión del Universo fueron posibles gracias a la descripción de un



§6.- La ciencia como descripción. 7

fenómeno natural realizada tras cuidadosas observaciones del mismo. Los que les precedieron no acertaron a explicar el fenómeno o dieron explicaciones de carácter fantástico, como la afirmación de PLATÓN (siglo IV a.C.) de que el movimiento

perfecto e inmutable de las estrellas se debía a su "sustancia divina". Sin embargo,los resultados de sus observaciones, convenientemente transmitidos, permitieron

llegar a la solución del misterio.Así pues, en el estudio de un proceso natural es indispensable la observación y

la expresión de las observaciones en un lenguaje transmisible y coherente. Por eso,la Física y la Ciencia en general es, en primer lugar, descripción.

§7. La ciencia como creación.- Además del movimiento de los cuerposcelestes, también el movimiento de los objetos sobre la superficie de la Tierra, suscausas y su naturaleza, había preocupado a los pensadores desde tiempos antiguos.A diferencia del movimiento de los astros, que por su periodicidad regular y lentitud

a los ojos del observador terrestre, admitía una descripción relativamente fácil, en laque los únicos requerimientos eran una vista aguda y paciencia, los movimientos delos cuerpos sobre la superficie de la Tierra eran de tal variedad y complejidad quesu observación sistemática parecía una tarea abrumadora. Una piedra arrojada desdeuna ventana, las olas del océano, el viento, un caballo al galope, ... ¿Por dóndeempezar? Los filósofos especularon durante la Antigüedad Clásica y la Edad Mediasobre el movimiento y sus causas. Pero el progreso en el conocimiento real delfenómeno fue nulo hasta el Renacimiento. En la segunda mitad del siglo XVI,Galileo realizó la siguiente experiencia: Tomó objetos pesados y los abandonó encaída libre desde cierta altura. Comprobó, realizando medidas de espacio y de tiempo,

que los espacios recorridos eran proporcionales a los cuadrados de los tiempostranscurridos. Atacó el problema creativamente; hizo experimentos.

Cuando la Naturaleza ofrece una situación enormemente compleja, los físicos,y los científicos en general, tratan de reducirla al caso más sencillo posible yobservan y miden. Realizan lo que conocemos como un experimento. Si arrojamosen una dirección cualquiera una cadena, ésta describirá antes de caer al suelo unacierta trayectoria al tiempo que se doblará y girará de manera aparentementeimprevisible. Reduzcamos la situación a su máxima simplicidad. Tomemos un únicoeslabón, subamos a una azotea, y dejémoslo caer libremente. Obtendremos el

resultado que obtuvo Galileo. Intentemos comprender este movimiento sencillo y silo conseguimos habremos dado un paso importante en el conocimiento delmovimiento de la cadena, el viento o las olas del océano. Este es el lado creativo dela ciencia: la realización de experimentos.

Los científicos no se conforman con la observación y descripción del mundo;sino que imitan las situaciones reales en los laboratorios, simplificándolas yadaptándolas a las preguntas que les preocupan. Pero no solo imitan a la Naturaleza,sino que llevan a cabo experiencias nuevas con el fin de hallar respuestas rápidas y

precisas a las incógnitas que intentan esclarecer. Para que un experimento sea válido,reproducido en las mismas condiciones, debe conducir a idénticos resultados cada

vez que se realice.La experimentación ocupa gran parte de los esfuerzos de los físicos en su

búsqueda de una comprensión más clara del mundo. Gracias a ella se han establecido



8 Prolegómenos.

o confirmado las leyes físicas que constituyen la expresión condensada de nuestrosconocimientos sobre los procesos fundamentales de la Naturaleza.

§8. La ciencia como comprensión.- La observación y la experimentaciónllevan a los científicos y a los físicos en particular a establecer con claridad y

concisión ciertos hechos, ciertas leyes que rigen el comportamiento de la Naturaleza:Dos cargas eléctricas de igual signo se repelen con una fuerza inversamente

proporcional al cuadrado de la distancia que las separa; si sobre un cuerpo enmovimiento no actúa ninguna fuerza su trayectoria es rectilínea; cuando se mantieneconstante la temperatura de un gas, su presión es inversamente proporcional a suvolumen, ... El paso siguiente es buscar una explicación a estos hechos y a estasleyes. Para una comprensión más completa del mundo, los físicos construyen teoríasque respondan a los resultados de sus observaciones y experiencias. Este es unterreno resbaladizo. Si bien los resultados de las mediciones y observaciones admiten

poca discusión (cualquiera que repita lo mismo en las mismas condiciones debeobtener idéntico resultado), no sucede lo mismo con las teorías.

En ocasiones, más de una teoría ha intentado la explicación de un mismofenómeno, originándose apasionadas polémicas. Es interesante preguntarse: ¿cuálesson las características de una buena y una mala teoría?, ¿cuáles son los métodos paradecidir si una teoría es correcta o falsa? La dilatación de los sólidos, así como otrosmuchos fenómenos relacionados con el calor, fue explicada en un principio mediantela teoría del calórico. Según esta teoría, el calor es un fluido que penetra y sale delos cuerpos. Si un cuerpo contiene mucho calor, su temperatura es alta, y si contiene

poco, baja. Al poner en contacto un cuerpo caliente con otro frío, el calórico pasa del

uno al otro y al penetrar en el más frío provoca el desplazamiento de unas partes deéste respecto de las otras, dando lugar a su dilatación. Sin embargo, además deaumentar de tamaño, el cuerpo que se ha dilatado debería aumentar de peso, ya queen su interior existiría un fluido en mayor proporción que antes de ser calentado. Lasdeterminaciones rigurosas de la masa de los cuerpos a distintas temperaturas dieroncomo resultado indiscutible que la masa era independiente de la temperatura. Este yotros experimentos hicieron que la teoría del calórico fuese rechazada por estar encontradicción con la experiencia. Ninguna teoría correcta puede llevar aconsecuencias que contradigan a la experiencia. La teoría actual sobre la dilataciónde los sólidos se sitúa en un marco general en el que se explican otras muchas

propiedades eléctricas y magnéticas de los sólidos, la fusión y los sistemas cristalinos.Utilizando un punto de vista similar para los líquidos y gases aparecen clarasnumerosas leyes a las que se ajustan la presión y la temperatura, la viscosidad y latensión superficial.

La validez de una teoría se comprueba cuando un pequeño número dehipótesis permite explicar gran número de fenómenos sin relación aparente.

Por último, una de las comprobaciones más espectaculares de la bondad de unateoría es su capacidad para predecir fenómenos aún no observados. Cuando estos se

detectan y sus características responden a lo que la teoría había enunciado, aportanun sólido fundamento a su validez.

El examen de los hechos experimentales y el ensayo de diversas hipótesis hastaencontrar las adecuadas no es la única forma de construir una buena teoría. Existe



§8.- La ciencia como comprensión. 9

un método más directo, relacionado con lo que podríamos llamar intuición genial ogenio creador. Cuando en los años 1920 los mejores físicos teóricos se concentrabanen los problemas suscitados por los nuevos experimentos a nivel atómico, Werner HEISENBERG (1901-1976) se desvió del procedimiento normal de reunión de datos y

búsqueda de relaciones entre ellos para construir una teoría que fuera estética en el

sentido matemático. Esta persecución de la belleza y de la simplicidad, como en elantiguo Canon griego, llevó a Heisenberg a establecer la que se denominó MecánicaMatricial, base de la moderna Teoría Cuántica. El tratamiento paralelo de losfenómenos cuánticos que hizo Erwin SCHRÖDINGER (1881-1961), en todo equivalenteal de Heisenberg en cuanto a resultados de los cálculos, no tuvo la mismasimplicidad y belleza, y no ha conducido a consecuencias tan profundas sobre elconocimiento de la estructura íntima de la materia como la formulación deHeisenberg.

§9. Los modelos.- Es interesante destacar que, en su estado embrionario, unateoría se apoya frecuentemente en un modelo. En un modelo se intenta la descripciónde un sistema físico en el espíritu de que las cosas pasan "como si ...". Así, por ejemplo, ciertos fenómenos nucleares se explican asimilando el núcleo a una gotalíquida de materia nuclear que vibra y gira. Otros aspectos de la estructura nuclear son explicados, en cambio, mediante un modelo de filosofía radicalmente opuesta,en la que cada nucleón se mueve independientemente de los demás. Este ejemploilustra el límite de validez de los modelos, que no suelen explicar todos losfenómenos observados, sino que suelen estar especializados en una cierta parcela deaquéllos.

Los modelos que utilizan los físicos suelen ser matemáticos o básicamentemecánicos. Muchos físicos piensan con mayor claridad en términos concretos que entérminos abstractos. Una característica de la mente humana es su ansia por loconcreto, lo que la incita a una constante preocupación por los modelos mecánicosen el campo de la ciencia, ya que este tipo de modelo, que cabe considerarlo comoel tipo más primitivo de explicación, le permite aprehender intuitivamente la realidadde las cosas. Recordemos la famosa expresión de Lord K ELVIN (1824-1907):

"Nunca estoy satisfecho hasta que consigo el modelo mecánico de una cosa. Si puedo construir un modelo mecánico, entiendo el fenómeno."

En efecto, un modelo mecánico afortunado puede ser muy clarificador en laformulación incipiente de una teoría y resulta ser una ayuda considerable en lostanteos preliminares del físico para establecerla. Recordemos la primera teoría delátomo que tuvo éxito, la de Niels BOHR en 1913: los átomos se describen como sifuesen pequeños sistemas solares en miniatura, en los que las fuerzas gravitatoriasson sustituidas por las fuerzas eléctricas. Los electrones girarían alrededor del núcleoen órbitas circulares o elípticas, como se deducía directamente de las leyes de

Newton de la Mecánica.

Pero aunque los modelos mecánicos pueden ser de una gran ayuda en la

formulación de las teorías hay que recurrir a ellos con ciertas reservas. Hay ejemplosfamosos en los que se pone de manifiesto que una fe demasiado firme en un modelo puede llevar a conclusiones erróneas y ser un obstáculo serio en el progresocientífico. Por ejemplo, es mucho más fácil imaginar un haz luminoso como una



10 Prolegómenos.

vibración mecánica que se propaga en un medio material (el éter postulado por losantiguos) que como una energía inmaterial propagándose en el vacío, ya que estasegunda forma de representar el fenómeno es menos intuitiva que la primera. Por ello, hubo que esperar mucho tiempo, hasta finales del siglo XIX, para desechar elmodelo del éter, por no encontrarse de acuerdo con las observaciones experimentales.

El desarrollo de la Física, desde Newton (siglo XVII) y hasta finales del sigloXIX, ha estado guiado por modelos mecanicistas. Pero conforme la Física Modernase ha enfrentado con problemas que han ido escapando más y más del marco denuestra experiencia común, los físicos han debido recurrir a modelos abstractos ymatemáticos. Pero tampoco este tipo de modelos está libre de los peligros inherentesa los modelos mecanicistas. Sin embargo, y a pesar de ello, no podemos prescindir de los modelos y debemos reconocer la importancia capital que han jugado y jueganen el desarrollo del conocimiento científico.

§10. Los conceptos físicos.- Una característica de la actividad científica esel rigor en la definición de los conceptos. En la Física se manejan conceptos talescomo temperatura, energía, velocidad, longitud de onda ... y otros muchos. Estosconceptos deben ser definidos con rigor y existe un aspecto en la definición de losconceptos físicos que es muy característico y determina una neta diferencia entre laforma en que un físico define el concepto de "temperatura" y un filósofo el de"trascendencia" o el de "libertad".

La definición del concepto físico de "temperatura" debe reflejar el hecho deobservación diaria de que unos cuerpos están más calientes que otros y debe hacerloen forma cuantitativa, simple y precisa, sin dejar margen alguno a la ambigüedad o a la interpretación subjetiva.

Decir, por ejemplo, que "la temperatura es la propiedad de los cuerpos que reflejasu mayor o menor capacidad para transmitir calor", no respondería a las exigenciasmencionadas. Un termómetro está formado por una ampolla (o bulbo) de paredesmuy delgadas que contiene un líquido (mercurio, alcohol coloreado ...) y quecomunica con un tubo capilar, en el que previamente se ha hecho el vacío. Cuandocolocamos el bulbo del termómetro en contacto con un cuerpo, la altura de lacolumna líquida en el tubo capilar es una medida de la temperatura del cuerpo. Paraello es preciso que calibremos el termómetro, marcando un cero y un cien (como se

hace en la escala de Celsius) en los puntos que corresponden a la fusión del hielo ya la ebullición del agua a presión normal, y dividiendo dicha distancia en cien partesiguales. De este modo, podemos expresar la temperatura de un cuerpo mediante unnúmero. Nos aparece así claramente el aspecto operacional del concepto detemperatura y, por extensión el de cualquier otro concepto físico. La temperatura esalgo definido a través de una serie de operaciones que tienen como resultadoasignar un número a un estado del cuerpo. La temperatura es esa serie deoperaciones. El "cómo" y el "qué" se confunden. Podríamos pensar que estadefinición no nos dice realmente qué es la temperatura, sino que nos dice simple-mente cómo medirla de acuerdo a unos convenios preestablecidos. Eso es cierto, y

debemos aceptar las limitaciones de la Física y de la Ciencia en general, cuya tareano es hallar lo que las cosas son realmente. Recordemos como el gran matemáticoy filósofo de la ciencia, Henri POINCARÈ (1854-1912) explicaba la actitud operacionalfrente a los conceptos físicos:



§10.- Los conceptos físicos. 11

"Cuando decimos que la fuerza es la causa del movimiento, hablamos en términos metafísicos,y esta definición, si nos satisficiera, sería completamente estéril. Pues una definición útil debeenseñarnos cómo medir la fuerza; esto nos basta; no es absolutamente necesario que nos digalo que la fuerza es en sí , ni si es la causa o el efecto del movimiento".

Podría objetarse que la definición operacional de los conceptos físicos está, en

muchos casos, lejos del significado que comúnmente damos a las palabras que loexpresan. Puede servirnos como ejemplo la definición operacional que hemos dadodel concepto de temperatura que nos puede parecer desligada de la significaciónordinaria que le damos, relacionada con la sensación de "caliente" o de "frío". Parececomo si los conceptos de la vida corriente fueran más claros que los conceptoscientíficos, que se nos podrían antojar como misteriosos o enigmáticos, cuando enrealidad ocurre todo lo contrario. El carácter operacional de los conceptos científicoslos hace unívocos e inequívocos en su significado, en tanto que las palabras queusamos en la vida corriente son, frecuentemente, flexibles y poco definidas ysusceptibles de matices emocionales y subjetivos. En este sentido, vale la penadestacar que una de las características más notables de la Ciencia, y de la Física en

particular, es la facilidad con que desaparecen posibles desacuerdos, a diferencia delo que ocurre con otras disciplinas donde el núcleo de acuerdo general esextraordinariamente más reducido que en la Física. Como ejemplo de lo queacabamos de decir nos permitimos entresacar el siguiente párrafo del libro de VON

WEIZSÄCKER titulado La importancia de la Ciencia (1959):

"Que la Física es ciencia y el materialismo dialéctico no lo es, por ejemplo, se hizo claro en1955, en la primera Conferencia de Ginebra sobre el uso pacífico de la energía atómica. Enaquella reunión muchos físicos occidentales y soviéticos se encontraron por primera vez, y

entonces se hizo pública una gran masa de información clasificada. Fue una valiosa experienciacomprobar que los valores de las mismas constantes atómicas, medidos en el más rigurososecreto en diferentes países, bajo sistemas y credos políticos opuestos, al ser comparados,resultaron idénticos hasta la última cifra decimal. Nada parecido ocurrió respecto de las teoríassobre la sociedad. El físico soviético y su colega del Oeste se encuentran unidos por un vínculoque ninguna disensión puede alterar; están unidos por una verdad común."

De cuanto hemos dicho se desprende que un concepto que no pueda ser definidooperacionalmente carecerá de significado, al menos desde el punto de vista científico.Esto es realmente así. Uno de los resultados del trabajo de Einstein fue despertar enlos científicos el sentimiento de que los conceptos físicos de los que se sirven en sus

argumentaciones deben tener una base operacional, ya que de no ser así se puedellegar a serias contradicciones. Como ejemplo de esto podemos referirnos a lasdefiniciones de tiempo y espacio absolutos que aparecen en los Principia de Newton:

"El tiempo matemático, verdadero, absoluto, transcurre en sí y por su propia naturaleza de modouniforme sin relación a nada externo, y se llama, por otro nombre, duración."

"El espacio absoluto, por su propia naturaleza, permanece siempre igual e inmutable, y sinrelación a nada externo."

Para que estos conceptos adquieran un sentido físico es necesario quedispongamos de una experiencia de medida con la que puedan ser comprobados; pero

observemos que, en ambas definiciones aparece la expresión "sin relación a nadaexterno", esto es, que debemos descartar "las manecillas de un reloj" o una "reglagraduada". Hoy en día, a estas definiciones sin ningún significado operacional



12 Prolegómenos.

inherente se les llama "sin sentido", un término que nos puede parecer excesivamenteriguroso, pero necesario desde el punto de vista científico.

En cambio, Einstein se preocupa de dar definiciones precisas y operacionales delos conceptos de tiempo y espacio, definiendo con todo rigor el proceso de medidadel tiempo y de las longitudes. Y el resultado es inesperado y sorprendente: la

longitud de un cuerpo depende de la velocidad con que se mueve con respecto alobservador, hecho que explica algunas cosas que no podían explicarse hasta entonces.

¿Debemos pensar que la ciencia de Newton estaba invalidada por el hecho de partir de unos postulados básicos "sin significado" científico? No, porque realmente Newton no hizo uso explícito de dichos postulados; su formulación obedecía más bien a una inquietud filosófica que a una necesidad científica.

§11. Las ramas de la física.- En los últimos años la Física ha vuelto aconvertirse en una disciplina unificada. Parece ser que los mismos principios básicos

permiten explicar tanto los procesos que tienen lugar en las ínfimas dimensiones delnúcleo atómico como aquéllos que tienen lugar a escala galáctica. Sin embargo, nosiempre ha sido así, y la Física se ha presentado, hasta fechas muy recientes, divididaen unas pocas ciencias o ramas con muy poca o ninguna conexión entre ellas.

Esta división de la Física en diversas ramas ha sido consecuencia de los diversosconductos cognoscitivos de que se ha servido el hombre para indagar sobre elsignificado de los fenómenos naturales. Se comprende que, inicialmente, el hombresólo dispuso de sus sentidos para recabar información del mundo natural y clasificaselos fenómenos naturales de acuerdo con el sentido con que los percibía. Así, la luzfue relacionada con la visión y la Óptica se desarrolló como una ciencia más omenos independiente ligada con ella. El sonido fue relacionado con el sentido deloído y la Acústica fue otra ciencia que se desarrolló con una cierta autonomía. Lomismo podemos decir del calor , relacionado con otra sensación física, que dio lugar al desarrollo de otra ciencia, la Termología, con muy pocas conexiones con lasdemás. Naturalmente, el fenómeno más familiar, el más corrientemente observadofue, desde un principio, el del movimiento, de cuyo estudio se ocupó otra ciencia, la

Mecánica, que fue de las primeras en desarrollarse y en adquirir una cierta madurez.El movimiento de los planetas y el de caída de los cuerpos pudo ser explicadosatisfactoriamente por las leyes de la Mecánica y, por ello, la Gravitación ha sido

considerada tradicionalmente como un capítulo de la Mecánica. El Electromagnetismo, al no estar relacionado directamente con ninguna experienciasensorial, y a pesar de que los fenómenos eléctricos y magnéticos ya habían sidoobservados en la Antigüedad Clásica, no apareció como una ciencia organizada hastaentrado el siglo XIX.

De esta manera en el siglo XIX, la Física aparece dividida en las llamadas ramasclásicas o tradicionales: Mecánica, Acústica, Termología, Electromagnetismo yÓptica. Las descripciones teóricas de estas áreas parecían esencialmente completasal terminar el siglo y se creía que todos los descubrimientos básicos estaban yahechos. Incluso se habían establecido unos nexos o puentes entre estas áreas o ramasclásicas de modo que, aunque la Física se seguía enseñando dividida en esas ramas,se reconocía que esa división atendía tan sólo a aspectos diferentes del mismo campogeneral de la Física. El cuerpo de doctrina firmemente reconocido hasta esa fechasuele conocerse como FÍSICA CLÁSICA.



§11.- Las ramas de la física. 13

En los últimos años del siglo XIX y en las tres primeras décadas del siglo XXsurgen una serie de ideas nuevas y sorprendentes en el campo de la Física. Sedescubre la Radiactividad y se comienza a explorar el núcleo atómico. El desarrollode la teoría de la Relatividad exigió que los conceptos de espacio y tiempo fueranreexaminados y modificados. Se formuló la teoría cuántica, que pudo explicar la

estructura atómica y molecular con enorme precisión. Durante estos años decisivostodo el edificio de la Física fue remodelado y ampliado, conociéndose este periodocomo el de la FÍSICA MODERNA.

La década de 1930 vio las primeras observaciones de la radioemisión estelar yel descubrimiento del neutrón, de la fisión nuclear y de las primeras partículaselementales no existentes en los átomos. Todos estos resultados dieron lugar a untremendo estallido de resultados y de nuevos campos de investigación que seencuentran en plena actividad, constituyendo lo que se conoce como FÍSICA

CONTEMPORÁNEA.

§12. La Física y las otras Ciencias.- Ya hemos establecido anteriormente queuna disciplina será científica si ha adoptado el método científico para tratar los

problemas que le son propios. Pero aquí precisamente, en saber cuáles son los problemas inherentes a cada una de las ciencias, nos encontramos ante una ciertaindeterminación. En principio, la Ciencia estudia la Naturaleza, los fenómenosnaturales, y su división en distintas disciplinas o ciencias obedece, principalmente,a una motivación de índole práctica. Anteriormente hemos caracterizado la Física por su grado de fundamentalidad : su objetivo es el estudio de los componentes básicoso elementales de la materia y sus interacciones mutuas, explicando los fenómenos

naturales y las propiedades de la materia en su conjunto. La Química se ocupa tansólo de un aspecto parcial de ese vasto intento; el estudio de los elementos y loscompuestos que resultan de combinarlos y de las leyes que rigen esas combinaciones.Para ello utiliza las leyes de la Física para comprender la formación de las moléculasy los variados métodos prácticos que llevan a la transformación de unas moléculasen otras. La Biología estudia la vida y los seres vivientes; se basa fundamentalmenteen las leyes de la Física y de la Química para explicar los procesos vitales. LaGeología estudia la composición, estructura y evolución de la Tierra; para ello sesirve de las leyes y métodos de la Física y de la Química. Vemos pues que la Física,como ciencia fundamental, aparece en la base de las otras Ciencias Naturales,

proporcionándoles una soporte conceptual y una estructura teórica, además de unaserie de técnicas. Así, el geólogo utiliza en sus investigaciones métodosgravimétricos, acústicos, nucleares y mecánicos; un moderno laboratorio de biologíautiliza un instrumental sofisticado apoyado en las más refinadas técnicas de la Física.Podemos asegurar que hoy día sería difícil avanzar en cualquier actividad científica,teórica o experimental, sin recurrir al uso de las refinadas técnicas de la Física.

Decíamos en el artículo anterior que la Física está encontrando en los últimosaños su unidad. Esta idea la podemos hacer extensiva a las Ciencias de la Naturalezaen general, ya que cada día resulta más difícil delimitar con precisión los campos de

las diferentes Ciencias Naturales. Y ello se debe a la aplicación de un método comúnen todas ellas (el método científico) y a la utilización de unas técnicas comunes(pensemos en las técnicas microscópicas o electrónicas que se utilizan en Biología,Geología, Química, Física ...). Que las fronteras entre las diferentes ciencias naturales



14 Prolegómenos.

van borrándose más y más, lo demuestra el hecho de que cada día vayan aumentandoel número de científicos y de revistas especializadas en temas interdisciplinares, comoson la Química-Física, la Biofísica, la Bioquímica, la Geofísica, la Astrofísica, ... Hoydía sabemos que ninguna de las ciencias naturales es completamente independientede las demás y que es necesario que un científico, sea cual sea su campo de

especialización, esté familiarizado, cuanto menos, con las otras disciplinas. Estainterdependencia entre las diferentes disciplinas de la Ciencia Natural ha sidomaravillosamente expresada por el poeta inglés Francis THOMPSON en los siguientesversos:

"Todas las cosas por fuerza inmortal,cerca o lejos,ocultamente,

están ligadas entre sí de tal maneraque no se puede agitar una flor

sin perturbar una estrella."

§13. La Ciencia y la Tecnología.- La aplicación de los principios de la Físicay de la Química a los problemas prácticos han dado lugar a las diferentes ramas dela Ingeniería. Muchos de los trabajos de investigación en Ingeniería pueden ser considerados como científicos, por cuanto se utiliza el método científico; sinembargo, la práctica de la ingeniería debe ser considerada como una cienciaaplicada, esto es, como la aplicación de unos conocimientos científicos a unassituaciones prácticas, acompañada de un arte, o sea, un saber hacer (construir,

manejar, ...). Por la misma razón, podemos decir que la práctica de la Medicina esuna ciencia biológica aplicada, acompañada de un arte (a veces en un grado mayor que la Ingeniería).

La Ciencia y la Tecnología se necesitan y se apoyan mutuamente. La una no podría existir sin la otra. Es verdad que el desarrollo científico ha posibilitado eldesarrollo tecnológico, pero no es menos cierto que la Ciencia moderna necesita dela tecnología tanto como ésta de aquélla. Ciencia y Tecnología pueden compararsea dos árboles gemelos, brotados de distintas semillas y que mantienen aún algunasraíces y algunas ramificaciones separadas, pero cuyos troncos se han juntado y cuyas

hojas forman una única e inmensa copa.

§14. La Física y las Matemáticas.- El lenguaje es un ingrediente esencial del pensamiento abstracto. Las Matemáticas, que permiten expresar los conceptos y leyesfísicas en una forma compacta, concisa y fácilmente comunicable, constituyen ellenguaje natural de la Física.

Las Matemáticas constituyen una forma de razonamiento altamente organizadoque emplea ciertos símbolos estipulados y ciertas convenciones con el fin de

potenciar la facultad intelectual de que hemos sido dotados por la Naturaleza. Para

Galileo, para algunos de sus contemporáneos y para los físicos modernos, lasMatemáticas son la herramienta por excelencia para ordenar y comprender la Naturaleza. Esta convicción la expresaba Galileo del modo siguiente:



§14.- La Física y las Matemáticas. 15

"La filosofía (ahora decimos la Ciencia) está escrita en este gran libro que tenemos ante los ojos- quiero decir, el Universo -, pero no podemos comprenderlo si no aprendemos su lenguaje yel significado de los símbolos en que está escrito. Su lenguaje es el de las matemáticas, y sussímbolos, triángulos, círculos y otras figuras geométricas (ahora añadimos otros símbolosmatemáticos) sin cuya ayuda es imposible comprender ni una sola palabra, y en vanointentaríamos atravesar este oscuro laberinto."

En la medida en que en el Universo existe un orden susceptible de ser comprendido, este orden aparecerá bajo la forma de estructuras matemáticas. Ningúnfísico puede desenvolverse cómodamente sin un considerable bagaje matemático.

Las relaciones existentes entre las magnitudes físicas u observables puedenexpresarse en forma funcional. En algunas ocasiones, las leyes físicas establecen quealguna combinación funcional de las magnitudes físicas relacionadas con unfenómeno presenta un valor constante (por ejemplo, el cociente s/t 2, entre el espaciorecorrido por un cuerpo en caída libre, partiendo el reposo, y el cuadrado del tiempoempleado, tiene un valor constante). En otras ocasiones, algunas combinaciones

funcionales de los observables tienden a alcanzar un valor máximo o mínimo(principio de Fermat del camino óptico, por ejemplo). El alto aprecio que sienten losfísicos hacia estos tipos de leyes o postulados se debe a que combinan dos de lascaracterísticas más sobresalientes de la ciencia: la formulación matemática de losconceptos y el descubrimiento de características permanentes en el caos de laexperiencia.

La formulación matemática del trabajo científico impone a éste ciertascondiciones. Una relación entre magnitudes observables no debe considerarse comouna relación causa-efecto. Así, una relación matemática entre los observables X , Y

y Z de la forma Z = XY es totalmente equivalente a expresar que Y = Z / X o que X = Z /Y ; esto es, no cabe asignar a ninguno de los observables un papel especial. Así,la primera de las relaciones, Z = XY , debemos interpretarla en el sentido de que elobservable Z está relacionado con los X e Y , y no en el de pensar que los observables X e Y sean la causa del Z .

Expresar las ideas, conceptos y leyes científicas en términos matemáticos es degran ayuda para la comprensión rápida de esos mismos conceptos y leyes, sinambigüedad alguna, y es una invitación a buscar nuevas relaciones entre las distintasmagnitudes.

En definitiva, la Física es una ciencia experimental en la que el progreso haciauna comprensión más profunda de la Naturaleza se realiza mediante la aplicación del método científico a los procesos más fundamentales.

Los modelos y las teorías físicas se constituyen para relacionar entre sí, de formacoherente, los distintos hechos que han sido descubiertos sobre el mundo real.

Ninguna teoría es verdadera, sino que tan sólo representa en un cierto momentonuestro grado de comprensión de determinados fenómenos naturales. Toda teoríafísica debe estar abierta a modificaciones o a su total desaparición cuando laaparición de nuevos hechos experimentales así lo exijan.

La Física es un intento de aprehensión de la Naturaleza de manera precisa y

ordenada, mediante la reducción de las observaciones y las teorías a números que pueden ser comparados entre sí.



16 Prolegómenos.



Capítulo I.

Vectores.

1.- Álgebra vectorial. 19

2.- Vectores deslizantes. 41

3.- Análisis vectorial. 61




18 Lecciones de Física



1.- Álgebra vectorial.

§1.1. Escalares y vectores (19); §1.2. Formulación vectorial (20); §1.3. Suma y diferenciade vectores (21); §1.4. Producto de un vector por un escalar (22); §1.5. Versores (22);§1.6. Componentes de un vector. Base vectorial (22); §1.7. Producto escalar de dos vectores(24); §1.8. Producto vectorial de dos vectores (27); §1.9. Representación vectorial desuperficies (29); §1.10. Producto mixto de tres vectores (30); §1.11. Doble productovectorial (32); §1.12. Definición axiomática del vector (32); §1.13. Cambio de basevectorial (34); §1.14. Vector de posición. Sistemas de referencia (37); Problemas (38)

§1.1. Escalares y vectores.- Frente a aquellas magnitudes físicas, tales comola masa, la presión, el volumen, la energía, la temperatura, ... que quedan completa-mente definidas por un número y las unidades utilizadas en su medida, aparecenotras, tales como el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, la fuerza, el campoeléctrico, ... que no quedan completamente definidas dando un dato numérico, sino

que llevan asociadas una dirección y un sentido. Estas últimas magnitudes sonllamadas vectoriales en contraposición a las primeras que son llamadas escalares.

Las magnitudes escalares quedan representadas por el ente matemático mássimple; por un número. Las magnitudes vectoriales quedan representadas por un entematemático que recibe el nombre de vector .

En un espacio euclidiano, de no más de tres dimensiones, un vector se representa por un segmento orientado1. Así, un vector queda caracterizado por los siguienteselementos: su longitud o módulo, siempre positivo por definición; su dirección,determinada por una recta (directriz) a la cual el vector es paralelo; y su sentido, que

podrá ser coincidente u opuesto con un sentido predeterminado sobre la direcciónantes mencionada. Así pues, podemos enunciar:

Un vector es una magnitud que tienen módulo, dirección y sentido.

Las magnitudes vectoriales se representan en los textos impresos por letras en negrita, para diferenciarlas de las magnitudes escalares. En la pizarra representaremoslas magnitudes vectoriales colocando una flechita sobre la letra que designa su

1 Este significado de la palabra vector es una ampliación natural de su utilización inicial en

la astronomía, hoy en desuso: "recta imaginaria que une a un planeta, moviéndose alrededor delcentro o foco de una circunferencia o elipse, con dicho centro o foco".




20 Lec. 1.- Álgebra vectorial.

módulo (que es un escalar). Así, por ejemplo; A, V , W , ... representan, respectiva-mente, las magnitudes vectoriales de módulos A, V , W , ... También representaremosel módulo de una magnitud vectorial encerrando entre barras la notación correspon-diente al vector: A , V , W , ... Cuando nos convenga, representaremos lamagnitud vectorial haciendo referencia al origen y al extremo del segmento orientado

que la representa geométricamente; así, designaremos los vectores representados enla Figura 1.1 en la forma A=MN, B=OP, ... resultando muy útil esta notación para losvectores desplazamiento.

Para que dos vectores sean iguales (equipolentes) no basta que tengan el mismo

Figura 1.1

módulo, sino que además es preciso que actúen según la misma dirección y sentido.En lo que sigue, mientras que no se advierta otra cosa, consideraremos los llamadosvectores libres, para los cuales dos direcciones son equivalentes con tal de que sean

paralelas. Por consiguiente, diremos que dosvectores libres son iguales si tienen el mismomódulo, la misma dirección y el mismo sentido,aunque sus rectas de acción (directrices) seandiferentes. De este modo, en la Figura 1.1 es

A = B = C = D = E.

Por el contrario, en los llamados vectoresdeslizantes, el criterio de igualdad exige que losvectores tengan el mismo módulo y que actúen enun mismo sentido sobre una misma recta de acción,siendo indiferente el punto de la recta en que esténaplicados. Así, en la Figura 1.1, tan sólo es C = D.

Veremos más adelante que las fuerzas queactúan sobre un sólido rígido tienen carácter de vectores deslizantes, mientras que losmomentos de tales fuerzas son vectores libres.

§1.2. Formulación vectorial.- La formulación vectorial de la Física presentados grandes ventajas:

(a) La formulación de una ley física en forma vectorial es independiente delos ejes coordenados que se escojan. La notación vectorial ofrece unaterminología en la que los enunciados tienen un significado físico claro sinnecesidad de introducir en ningún caso un sistema coordenado.

Así, la relación existente entre la fuerza F aplicada a un cuerpo de masa m y la aceleración a que dichocuerpo adquiere, dada por la segunda ley de Newton, F = m a, es una ecuación intrínseca, válida encualquier sistema de coordenadas.

(b) La notación vectorial es compacta y concisa. Muchas leyes físicas tienenformulaciones sencillas y diáfanas que se desfiguran cuando se escribenreferidas a un sistema coordenado particular.

Así, La segunda ley de Newton, F=m a, cuando se escribe en coordenadas polares planas, toma la formade las dos ecuaciones siguientes: F r =m(¨ r -r θ2) y F θ=m(r θ+2r θ).

Aunque al resolver un problema físico concreto puede convenir la utilización desistemas coordenados particulares, siempre que sea posible deberemos establecer laleyes de la física en notación vectorial.



§1.2.- Formulación vectorial. 21

La utilidad y aplicación de los vectores a los problemas físicos está basadaesencialmente en la Geometría Euclidiana, de modo que el enunciado de una leyfísica en términos vectoriales conlleva la hipótesis de la validez de dicha geometría 2.Si la geometría no es euclidiana no es posible sumar dos vectores de un modosencillo y sin ambigüedad. Para el espacio curvo existe otra formulación mucho más

general, la Geometría Métrica Diferencial , que es el lenguaje de la RelatividadGeneralizada, dominio de la Física en el que la Geometría Euclidiana no tiene validezgeneral.

§1.3. Suma y diferencia de vectores.- Dados dos vectores A y B, llamamos

Figura 1.2

suma o resultante de los mismos, y la designaremos por A+ B, al vector obtenidocomo diagonal del paralelogramo formado por losvectores A y B (Figura 1.2). Evidentemente, el mismoresultado se obtiene si se sitúan los vectores uno a

continuación de otro y se define la suma de amboscomo el vector que va desde el origen del primeroal extremo del segundo. Para más de dos vectores,la generalización de estas reglas es inmediata.

De la definición geométrica de la suma se siguenlas siguientes propiedades de esta operación:

(1) Propiedad conmutativa (Figura 1.2):

Figura 1.3

[1.1] A B B A

(2) Propiedad asociativa (Figura 1.3):[1.2]( A B ) C A ( B C )

(3) Existencia del vector opuesto:

[1.3] A ( A) 0

En virtud del teorema del coseno, el módulo dela suma es,

[1.4] A B A2 B2 2 AB cosθ

siendo θ el ángulo que forman entre sí las direcciones de los vectores A y B.

Dados dos vectores A y B, definimos la diferencia entre el primero y el segundo,y la designamos por A - B, como el vector obtenido como suma del vector A con elvector opuesto de B (mismo módulo y dirección, pero sentido opuesto) (Figura 1.4):

[1.5] A B A ( B)

2 El análisis vectorial, tal como lo conocemos hoy, es fundamentalmente el resultado deltrabajo realizado hacia finales del siglo XIX por el físico-ingeniero electrotécnico inglés Josiah W.GIBBS (1839-1903) y por el matemático americano Oliver HEAVISIDE (1850-1925).




Si llevamos los vectores A y B a un mismo origen,

Figura 1.4

el vector A - B es el que va desde el extremo de B alextremo de A, y su módulo viene dado por

[1.6] A B A2 B2 2 AB cosθ

§1.4. Producto de un vector por un escalar.-Dado un escalar p y un vector A, llamaremos productode los dos, y lo representaremos por p A, a un vector

cuyo módulo es el producto del valor absoluto del escalar p por el módulo del vector A, de la misma dirección que el vector A y de sentido coincidente u opuesto al delvector A según que el escalar p sea positivo o negativo (Figura 1.5). Este productotienen las siguientes propiedades:

(1) Propiedad asociativa:

Figura 1.5

[1.7] p (q A) ( pq ) A q ( p A)

(2) Propiedad distributiva respecto a la suma de escala-res:

[1.8]( p q) A p A q A

(3) Propiedad distributiva respecto a la suma de vectores:

[1.9] p ( A B) p A p B

El cociente de un vector por un escalar es, por definición, el producto del vector A por el escalar 1/ p, de modo que

[1.10] A

p1

p A

y tiene las mismas propiedades (1) y (3) enunciadas anteriormente, aunque no la propiedad (2).

§1.5. Versores.- Si dividimos un vector por su propio módulo se obtiene unvector de módulo unidad, al que llamaremos vector unitario o versor , cuya direccióny sentido coinciden con la dirección y sentido del vector de partida. Existiráninfinitos versores, correspondientes a las infinitas direcciones que podemos considerar en el espacio. Un vector cualquiera A puede expresarse como el producto de sumódulo A por el versor de su misma dirección y sentido, esto es,

[1.11]e A

A y A Ae

§1.6. Componentes de un vector. Base vectorial.- Dadas tres rectasconcurrentes no coplanarias siempre es posible descomponer un vector dado A en tresvectores, A1, A2, y A3, de forma que cada uno de ellos sea paralelo a una de las tres



§1.6.- Componentes de un vector. Base vectorial. 23

rectas dadas, y que sumados tengan al vector A como resultante. Esta descomposiciónes única y se obtiene construyendo un paralelepípedo cuyas aristas sean paralelas alas tres rectas dadas y del cual es diagonal el vector A que descomponemos(Figura 1.6). Definidos tres versores, e1, e2, e3, en las direcciones de las tres rectasdadas, podemos escribir

[1.12] A A1 A2 A3 A1 e1 A2 e2 A3 e3

siendo Ai los vectores componentes de A y

Figura 1.6

Ai las componentes del vector A en la basevectorial 3 definida por los versores e1, e2,e3.

Tomando las tres rectas anteriores per-

Figura 1.7

pendiculares entre sí (ortogonales) y esco-giendo los versores e1, e2 y e3, de forma

que constituyan un triedro directo, es decir de tal modo que un tornillo que gire deuno de ellos al siguiente en orden crecientede permutación circular avance en el senti-

do del otro vector (regla de tornillo, Figura 1.7, o de la manoderecha, Figura 1.12), entonces, a cada vector A corresponderá unadescomposición única en la forma expresada en [1.12]. Si ahoratomamos las tres rectas anteriores como ejes coordenados x, y, z,y llamamos i, j, k, a los correspondientes versores e1, e2, e3,según convenio prácticamente universal, entonces la descomposi-ción anterior la escribiremos en la forma

[1.13] A A x i A y j A z k

siendo A x, A y, A z las componentes cartesianas del vector A

Figura 1.8

(Figura 1.8). De este modo vemos que una magnitud vectorial, adiferencia de una magnitudescalar, requiere el conoci-miento de tres números para

quedar completamente definida. Para el vector tridimensional A = ( A x, A y, A z) cada una de lascantidades contenidas en el paréntesis representauna de sus componentes. Obsérvese que esimportante el orden en que demos las com-

ponentes del vector, ya que la terna numérica(m,n,p) no representa el mismo vector que laterna (n,p,m).

Resulta conveniente escribir las componentes

3 Obsérvese que una base vectorial queda definida exclusivamente por las direcciones de tresvectores no coplanarios; i.e., no hacemos mención a algún punto del espacio, por lo que no cabehablar del "origen" de la base vectorial.




del vector A utilizando la notación matricial ; esto es, en forma de matriz columna o dematriz fila:

[1.14] A

A x

A y

A z ij k

o A A x A y A zi jk

donde los subíndices añadidos a las matrices indican (cuando sea necesario evitar am- bigüedades) la base vectorial en la que están expresadas las componentes del vector A.

Dada la ortogonalidad del triedro cartesiano definido por los versores i, j, k, esfácil comprobar que el módulo del vector A viene dado por

[1.15] A A2 x A2

y A2 z

y que, dados los vectores A = A x

i + A y

j + A z

k y B = B x

i + B y

j + B z

k, de acuerdocon la propiedad asociativa para la suma (y diferencia) vectorial, es

[1.16] A± B ( A x± B x ) i ( A y± B y ) j ( A z± B z ) k

y que, de acuerdo con la propiedad distributiva del producto de un escalar respectoa la suma de vectores, tenemos

[1.17] p A pA x i p A y j pA z k

quedando definida tanto la suma (y diferencia) vectorial como el producto de un

vector por un escalar en forma analítica, i.e., en función de sus componentescartesianas, con independencia de la correspondiente representación geométrica.

Con notación matricial escribiremos:

[1.18] A ± B

A x

A y

A z

±

B x

B y

B z

A x± B x

A y± B y

A z± B z

y [1.19] p A p

A x A y

A z

pA x pA y

pA z

§1.7. Producto escalar de dos vectores.- Se define el producto escalar delos vectores A y B, y lo representaremos por A B, como el escalar que se obtienemultiplicando el módulo del vector A por el módulo del vector B y por el coseno delángulo que forman entre sí los dos vectores. Esto es (Figura 1.9):

[1.20] A B A B cosθ

siendo esta definición de naturaleza puramente geométrica y, por lo tanto, indepen-diente del sistema de coordenadas elegido. El producto escalar de dos vectores es unnúmero (escalar) y, si ninguno de los vectores es nulo, dicho producto será un



§1.7.- Producto escalar de dos vectores. 25

número positivo, nulo o negativo, según que el

Figura 1.9

ángulo formado por los dos vectores (0≤θ≤π) seaagudo, recto u obtuso.

Puesto que B cos θ representa el módulo de la proyección del vector B sobre la dirección del vector

A, esto es B cos θ = proy A B, será

[1.21] A B A proy A

B

de modo que el producto escalar de dos vectores también puede definirse como el producto del módulo de uno deellos por la proyección del otro sobre él.

Se puede demostrar fácilmente que el producto escalar de dos vectores tiene lassiguientes propiedades:

(1) Propiedad conmutativa:

A B B A

(2) Propiedad distributiva respecto a la suma vectorial:

[1.23] A ( B C ) ( A B) ( A C )

(3) Propiedad asociativa respecto al producto por un escalar:

[1.24] p ( A B ) ( p A ) B A ( p B)

(4) Ya que ( A B) C no se ha definido (el signo se usa sólo entre vectores) la propiedad asociativa no ha lugar a considerarla. Obsérvese, sin embargo, que engeneral es

[1.25]( A B ) C ≠ A ( B C )

(5) Si los vectores A y B son perpendiculares entre sí, será cos θ=0, y resulta

[1.26] A B 0

Esta relación expresa la condición de perpendicularidad entre dos vectores.Obsérvese, que el producto escalar de dos vectores puede ser nulo sin que lo seanuno ni otro vector.

(6) En particular, para los vectores cartesianos i, j, k, tenemos

[1.27]

i i j j k k 1i j i k j k 0

(7) Expresión analítica del producto escalar: Si los vectores A y B se expresan enfunción de sus componentes cartesianas rectangulares, o sea, A = A xi + A y j + A z k y

B = B x i + B y j + B z k, entonces, teniendo en cuenta las propiedades anteriores, setiene

[1.28] A B A x B x A y B y A z B z




de modo que el producto escalar de dos vectores es igual a la suma de los productosde las componentes cartesianas rectangulares correspondientes.

Con notación matricial, el producto escalar A B es, simplemente, el productomatricial de la matriz fila de A por la matriz columna de B; esto es,

[1.29] A B

A x

A y

A z

B x

B y

B z

A x A y A z

B x

B y

B Z

A x B x A y B y A z B z

Ejemplo I.- Calcular el producto escalar de los vectores A = i + 2 j + 3 k y B = 4i - 5 j + 6 k.

1

2

3

4

5

6

1 2 3

4

5

6

1 4 2 ( 5) 3 6 4 10 18 12

(8) Módulo de un vector : Para el vector A = A x i + A y j + A z k se tiene

[1.30] A A A2 A2 x A2

y A2 z

(9) Ángulo formado por dos vectores: De la definición del producto escalar se sigue

[1.31]cosθ A B

AB e

A e

B

expresión que nos permite determinar el ángulo formado por dos vectores dados.

(10) Cosenos directores: Se llaman cosenos

Figura 1.10

directores a los cosenos de los ángulos direc-tores formados por el vector con los ejescoordenados (Figura 1.10). Tenemos

[1.32]

cos α A i A

A x

A

cos β A j

A

A y

A

cos γ A k

A

A z

A

de modo que es [1.33] A A (cosα i cosβ j cosγ k)

con [1.34]e A

cosα i cosβ j cosγ k

siendo e A el versor en la dirección del vector A. Evidentemente, se verifica que la



§1.7.- Producto escalar de dos vectores. 27

suma de los cuadrados de los cosenos directores es igual a la unidad; esto es,

[1.35]cos2 α cos2 β cos2 γ 1

(11) El producto escalar de dos vectores no tienen operación inversa; esto es,si A X = c, no existe una solución única para X . Dividir por un vector es unaoperación sin definir y carente de sentido (Problema 1.17).

§1.8. Producto vectorial de dos vectores.- Existe otro tipo de producto de

Figura 1.11

dos vectores ampliamente utilizado en la Física. Este producto no es un escalar sinomás bien un vector; i.e., un vector encierto sentido restringido. El productovectorial de A y B, que representare-mos por A × B, es un vector cuyomódulo se define como el producto de

los módulos de A y B por el seno delángulo que forman entre sí los dosvectores, cuya dirección es perpendicu-lar al plano determinado por ambosvectores, y cuyo sentido es tal que losvectores A, B y A × B constituyan untriedro directo (regla del tornillo,Figura 1.7, o de la mano derecha, Figu-

ra 1.12). Escribiremos

Figura 1.12

[1.36] A × B A B senθ e

siendo e el versor normal al plano determinado por losvectores A y B. Por ser esta definición de naturaleza pura-mente geométrica, el producto vectorial es independiente delsistema coordenado elegido4.

Se demuestra fácilmente que el producto vectorial dedos vectores tiene las siguientes propiedades:

(1) Propiedad anticonmutativa:

[1.37] A × B B × A

(2) Propiedad distributiva respecto a la suma vectorial:

[1.38] A × ( B C ) ( A× B) ( A×C )

(3) Propiedad asociativa respecto al producto por un escalar:

4 En un sistema de coordenadas inverso (-i,- j,- k), las componentes de los vectores A y B

cambian de signo. Sin embargo, las componentes del vector A× B no cambian de signo en lainversión. A los vectores que no cambian de signo en la inversión del sistema coordenado se lesllama seudovectores o vectores axiales. Así pues, el producto vectorial es un vector axial.




[1.39] p ( A × B ) ( p A) × B A × ( p B)

(4) Como veremos más adelante (§1.11), el producto vectorial no tienen la propiedadasociativa; esto es, en general será

[1.40] A ×( B×C ) ≠ ( A × B)×C

(5) Si los vectores A y B son mutuamente paralelos, entonces, por ser sen θ=0, será

[1.41] A × B 0

relación que expresa la condición de paralelismo entre dos vectores. Obsérvese queel producto vectorial de dos vectores puede ser nulo sin que lo sea ninguno de ellos.

(6) En particular, para los versores i, j, k, tenemos

[1.42]

i × i 0 i × j k i × k j j × i k j × j 0 j × k i

k× i j k× j i k× k 0

(7) Expresión analítica del producto vectorial : Si los vectores A y B se expresan enfunción de sus componentes cartesianas, esto es A = A x i + A y j + A z k y B = B x i

+ B y j + B z k , entonces, teniendo en cuenta las propiedades anteriores, será

[1.43] A × B ( A y B z A z B y) i ( A z B x A x B z) j ( A x B y A y B x) k

expresión que puede escribirse de un modo más compacto en forma de determinante

[1.44] A × B

i j k

A x A y A z

B x B y B z

o bien con notación matricial

[1.45] A × B

A x

A y

A z

×

B x

B y

B z

A y B z A z B y

A z B x A x B z

A x B y A y B x

pudiéndose encontrar directamente las componentes del vector A × B, sin necesidadde escribir el determinante, mediante la regla operativa que se ilustra en el esquema



§1.8.- Producto vectorial de dos vectores. 29

siguiente, donde los círculos oscuros ( ) indican productos con signo positivo y loscírculos claros ( ) indican productos con signo negativo:

Ejemplo II.- Calcular el producto vectorial de los vectores A = i + 2 j + 3 k y B = 4i - 5 j + 6 k.

1

2

3

×

4

5

6

2 6 3 ( 5)

3 4 1 6

1 ( 5) 2 4

12 15

12 6

5 8

27

6

13

(8) De la definición del producto vectorial

Figura 1.13

[1.36] se sigue una importante propiedad geo-

métrica del mismo: El módulo del productovectorial A × B representa el área del paralelo-gramo determinado por los vectores A y B. Enefecto, como se apreciará en la Figura 1.13, es

[1.46] A × B A B senθ

A h área del paralelogramo

(9) El producto vectorial no tiene operación inversa; esto es, si A × X =C , no existe unasolución única para X . Dividir por un vector es una operación sin definir y carente desentido (Problema 1.18).

§1.9. Representación vectorial de superficies.- Hemos visto anteriormente que

Figura 1.14

el módulo de A × B representa el área del paralelogramo definido por los vectores A y B.Esta propiedad nos permite representar el área del paralelogramo por un vector S perpen-dicular a su plano cuyo módulo S sea igual a suárea. Esta representación puede extenderse a cual-quier superficie plana (Figura 1.14), ya que siempre la

podremos imaginar descompuesta en un cierto

número de paralelogramos.Una vez definido el módulo y la dirección del

vector superficie S, sólo nos queda fijar su sentidoque será el del avance de un tornillo que girase enel sentido atribuido al contorno de la superficie(regla de la mano derecha).

Las componentes del vector S tienen unsignificado simple. Supongamos que el plano de la superficie S forma un ángulo θ con el

plano coordenado xy (Figura 1.15). La proyección de la superficie S sobre el plano coordena-

do xy es S cos θ. Pero la dirección normal al plano de la superficie S también forma unángulo θ con el eje z. Por consiguiente, la componente del vector S en la dirección del eje z es S z = S cosθ. De este modo, podemos asegurar que las componentes del vector S sobrelos ejes coordenados representan las proyecciones de la superficie plana S sobre los tres




planos coordenados respectivos.

Figura 1.15

Si la superficie no es plana (Figura 1.16),siempre será posible dividirla en un númeromuy grande de pequeñas superficies elemen-tales, cada una de las cuales podrá ser consi-

derada como plana y representable por unvector ∆Si. De este modo, el vector S querepresenta a una superficie curva será:

[1.47]S ∆S1 ∆S2 ... ∆S i

Obsérvese que, en este caso, el módulode S no es igual al área de la superficiecurva, ya que dicha área es ∆Si ; sin

embargo, los valores de las tres componentes del vector S según los ejes coordenados si

que serán iguales a las áreas de las proyecciones de la superficie sobre los tres planoscoordenados.

Finalmente, consideremos unasuperficie cerrada y dividámoslaen pequeños elementos

Figura 1.16 Figura 1.17

casi planos, cada uno de ellos representado por un vector ∆Si en la dirección hacia afuera(Figura 1.17). Podemos tomar estos elementos por parejas de modo que la proyección netade cada una de estas parejas sobre cualquier plano coordenado sea nula. De este modollegamos a la conclusión de que las componentes del vector superficie que representa a una

superficie cerrada son nulas; o sea que el vector que representa a una superficie cerrada esS=0; aunque, obviamente, el área de dicha superficie cerrada no es nula.

§1.10. Producto mixto de tres vectores.- Llamamos producto mixto de los vecto-res A, B y C , en este orden, al escalar que resulta de multiplicar escalarmente por A el

producto vectorial de B y C . Esto es

[1.48] A B C A ( B × C )

y expresando los tres vectores en función de sus componentes y desarrollado los productos

indicados resulta



§1.10.- Producto mixto de tres vectores. 31

A i

B y B z

C y C z A j

B x B z

C x C z A k

B x B y

C x C y

A x A y A z

B x B y B z

C x C y C z

o bien[1.49]

A B C

A x

A y

A z

B x

B y

B z

C xC yC z

A x B x C x A y B y C y A z B z C z

de modo que el producto mixto de tres vectores es igual al valor del determinante formado por las componentes de los tres vectores. Entonces, teniendo en cuenta que el valor de undeterminante no varía cuando se realiza un número par de permutaciones entre sus filas (ocolumnas), se deduce fácilmente que

[1.50] A B C B C A C A B

o sea [1.51] A ( B × C ) B (C × A) C ( A × B)

de modo que el producto mixto admite la permutación circular entre los vectores que lointegran sin modificar el resultado. Pero, en cambio, será

[1.52] A B C B A C → A ( B×C ) B ( A×C )

de modo que cuando la permutación entre los vectores que integran el producto mixto noes circular el resultado cambia de signo.

Por otra parte, de la expresión [1.51] se deduce que

[1.53] A ( B × C ) ( A × B) C

de modo que podemos intercambiar el punto ( ) y el aspa (×).

Una importante propiedad geométrica del producto mixto es que representa el volumen

Figura 1.18

del paralelepípedo determinado por los vectores A, B y C . En efecto (Figura 1.18)

[1.54] A B C A ( B × C ) A S A S cosθ ( A cosθ) S

= hs = volumen del paralelepípedo

En particular, para el paralelepípedo definido por los versores cartesianos i, j, k, tenemos

i j k = 1 (triedro directo)

en tanto que para el definido por los versorescartesianos -i, - j, - k, se tiene

(-i)(- j)(- k) = -1 (triedro inverso)

Una consecuencia inmediata de lainterpretación geométrica del producto mixtoes la condición de coplanaridad (dependencia




lineal) de tres vectores del espacio, expresada por

[1.55] A B C 0

§1.11. Doble producto vectorial.- Llamamos doble producto vectorial de tresvectores a la expresión A × ( B × C ) y es un vector contenido en el plano definido por losvectores B y C , ya que se puede demostrar que se verifica

[1.56] A × ( B × C ) B ( A C ) C ( A B )

Evidentemente, el producto vectorial no tienen la propiedad asociativa, ya que

[1.57]( A × B)× C B ( A C ) A ( B C )

es un vector contenido en el plano definido por los vectores A y B, por lo que, en general,

será[1.58] A × ( B × C ) ≠ ( A × B)× C

resultando fundamental la colocación de los paréntesis.

§1.12. Definición axiomática del vector.- Anteriormente hemos definido un vector como una magnitud caracterizada por su módulo, su dirección y su sentido y que tiene la

propiedad de sumarse con otras de su misma naturaleza según la regla del paralelogramo.Esta última precisión es importante ya que, como veremos más adelante, no todas las

magnitudes dotadas de módulo, dirección y sentido son necesariamente vectoriales, puestoque dichas magnitudes deben satisfacer, además, las reglas del álgebra vectorial. Estasreglas son las correspondientes a la estructura algebraica, llamada espacio vectorial , quedefiniremos a continuación.

Sea un grupo abeliano G, es decir un conjunto entre cuyos elementos A, B, ... se hadefinido una operación, que llamaremos suma vectorial y representaremos por el signo +,que cumpla las leyes siguientes:

(1) Existe un elemento neutro, 0 ∈ G, tal que para ∀ A ∈ G se verifica

[1.59]

0 A A 0(2) Para ∀ A ∈ G existe un único elemento, que designaremos por - A ∈ G y llamaremosopuesto de A, tal que

[1.60] A ( A) 0

(3) Para tres elementos cualesquiera A, B,C ∈ G es válida la ley asociativa; i.e.,

[1.61] A ( B C ) ( A B) C

(4) Para dos elementos cualesquiera A, B ∈

G es válida la ley conmutativa; i.e.,

[1.62] A B B A

Consideremos ahora un conjunto F dotado de estructura de cuerpo. Definamos una



§1.12.- Definición axiomática del vector. 33

operación, que llamaremos producto, entre los elementos m,n,o, p ∈ F y los elementos A, B,C , ∈ G, de modo que (m, A) → m A sea un elemento que pertenezca al grupoabeliano G, y que dicha operación cumpla con las siguientes leyes:

(5) Ley distributiva respecto a la suma de elementos del cuerpo F; esto es,

[1.63](m n) A m A n A

(6) Ley distributiva respecto a la suma de elementos del grupo G; esto es,

[1.64]m ( A B ) m A m B

(7) Para ∀ A ∈ G, existe un elemento único del cuerpo F, que representaremos por 1 yllamaremos elemento unidad , tal que

[1.65]1 A A

(8) Ley asociativa respecto al producto de elementos del cuerpo F, esto es[1.66](mn) A m (n A)

Decimos entonces que el conjunto de los elementos A, B,C , ∈ G tiene una estructura

Figura 1.19

de espacio vectorial y dichos elementos son los vectores de ese espacio. Estos elementosno son necesariamente entes que puedan ser representados por segmentos orientados. Así,

por ejemplo, el conjunto delas matrices cuadradas desegundo orden sobre el

cuerpo de los númerosreales tiene una estructurade espacio vectorial; perosus elementos no sonrepresentables por segmen-tos orientados.

La importancia de estadefinición axiomática esque amplía la idea geomé-trica de vector. Cualquier conjuntode elementos entrelos cuales puedan definirselas operaciones anteriorescon las propiedades [1.59]-[1.66] será un espaciovectorial y sus elementos

podrán considerarse comovectores. Sin embargo, esconveniente que tengamos

bien claro que el conceptode vector que vamos amanejar en la Física es másrestringido que el definido




en el Álgebra, pues no sólo debe satisfacer las leyes algebraicas sino que también debeestar caracterizado por tener módulo, dirección y sentido.

Pero también debemos tener muy en cuenta que no todas las magnitudes físicas quetienen módulo, dirección y sentido serán necesariamente magnitudes vectoriales.

Así, por ejemplo, la rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo en el espacio tiene módulo

(el ángulo de rotación), dirección (la del eje) y sentido. Pero dos rotaciones como éstas no se combinande acuerdo con las leyes de la suma vectorial, a no ser que los ángulos de rotación sean infinitesimales.Esto se comprueba fácilmente si los dos ejes son perpendiculares entre sí y las rotaciones son de 90°(Figura 1.19a). Evidentemente estas rotaciones no cumplen la ley conmutativa de la suma vectorial. Así,a pesar del hecho de que las rotaciones finitas tienen módulo, dirección y sentido, estas rotaciones notienen carácter vectorial. Pero si en lugar de rotaciones de 90° realizamos rotaciones angulares menores(de 45° en la Figura 1.19b y de 20° en la Figura 1.19c) los resultados de combinar estas rotaciones endistinto orden, aunque siguen siendo distintos, presentan menos diferencia. Si los desplazamientos angu-lares se hacen infinitesimales, el orden de adición ya no afecta al resultado; por lo que las rotacionesinfinitesimales admiten una representación vectorial .

§1.13. Cambio de base vectorial.- Consideremos un vector A expresado en unsistema de coordenadas cartesianas ( x, y, z); i.e.,

[1.67] A

A x

A y

A z i jk

A i A j A k

ij k

ya que, por ser ( A x, A y, A z) las proyecciones de

Figura 1.20

dicho vector sobre los correspondientes ejes

coordenados (i.e., las componentes del vector enla base vectorial (i, j, k) asociada al sistema decoordenadas), es A x = A i, A y = A j y

A z = A k.

Ahora, supongamos quedejamos invariablela dirección del vector A y que giramos el siste-ma de ejes coordenados alrededor del origen delmismo, de modo que tendremos un nuevo trie-dro ortogonal de ejes ( x′, y′, z′), con una base

vectorial asociada definida por los versores (i′, j′, k′). En esta nueva base vectorial las compo-nentes del vector A serán ( A x′, A y′, A z′); i.e.,

[1.68] A

A x

A y

A z i j k

A i A j A k

i j k

Las nuevas componentes ( A x′, A y′, A z′) están relacionadas con las antiguas por




y para la transformación inversa

Figura 1.21

[1.75]

A x

A y

A z

cos θ sen θ 0sen θ cos θ 0

0 0 1

A x

A y

A z

La longitud o módulo del vector A debe ser independiente de la orientación de la base vectorial,de modo que deberá ser

[1.76] A2 x A2

y A2 z A2

x A2 y A2

z

siendo este nuestro primer ejemplo de una forma invariante. La expresión del módulo deun vector es la misma en todos los sistemas de coordenadas cartesianas obtenidos por

rotación de los ejes.Como consecuencia de su definición geométrica como proyección, el producto escalar

de dos vectores

[1.77] A B A x B x A y B y A z B z A x B x A y B y A z B z

es un segundo ejemplo de forma invariante ante las rotaciones de la base vectorial dereferencia.

También, en virtud de su definición geométrica, el producto vectorial de dos vectores proporciona una tercera forma invariante ante las rotaciones de la base vectorial de

referencia; esto es,

[1.78] A × B

i j k

A x A y A z

B x B y B z

i j k

A x A y A z

B x B y B z

Vemos, pues, que los vectores y las operaciones definidas entre ellos tienen unsignificado intrínseco, i.e., independiente del sistema de coordenadas utilizado. Este carácter intrínseco resulta evidente cuando los vectores se definen geométricamente, pero deja de

serlo cuando se definen analíticamente a partir de sus componentes. Las componentes deun vector se transforman de un modo simple cuando giramos la base vectorial en la queestán expresadas. Por lo tanto, no son tres números cualesquiera los que definen un vector ,sino tres números que se transforman en las rotaciones de la base vectorial de referenciade acuerdo con la relación [1.70]. Así, para verificar si una magnitud es vectorial deberemosver como se transforman sus componentes cuando giramos la base vectorial de referencia;si la ley de transformación es la expresada por [1.70], la magnitud representada por elconjunto de componentes ( A x, A y, A z) es un vector.

Un vector es una entidad física independiente de la orientación del sistema de ejes,

aunque sus componentes variarán al cambiar la base vectorial en la que se expresan; i.e.,un vector es un objeto descrito en forma diferente en sistemas de coordenadas distintos.Supongamos que tenemos dos vectores iguales: F y m a. Una ecuación del tipo F = m a escorrecta cualquiera que sea el sistema de coordenadas utilizado para especificar las



§1.13.- Cambio de base vectorial. 37

componentes de los vectores F y m a; la ecuación F = m a es una ecuación intrínseca.

El hecho de que una relación entre fenómenos físicos pueda ser expresada como unaecuación vectorial nos asegurará que la relación seguirá siendo válida cuando se produzcauna rotación del sistema de coordenadas. Esta es una razón por la cuál los vectores sonimportantes en la Física; su uso nos asegura la invarianza de las ecuaciones de la Física por

rotaciones y, obviamente, por traslaciones del sistema de coordenadas.En efecto5, si consideramos un sistema de coordenadas xyz, en el cual el vector MN tendrá las

Figura 1.22

componentes ( x N- xM, y N- yM, z N- zM), siendo ( xM, xM, xM) y ( x N, y N, z N) las coordenadas de los puntos origen(M) y extremo (N) del vector, y hacemos una traslación de los ejes coordenados, las coordenadas ( x′M, y′M, z′M) y ( x′ N, y′ N, z′ N) de los puntos M y N respecto a losnuevos ejes son distintas; pero

[1.79]

A x x N xM x N xM A x

A y y N yM y N yM A y

A z z N zM z N zM A z

esto es, las componentes de un vector son invariantes antelas traslaciones de los ejes coordenados. Es decir, los tresnúmeros que definen un vector en el espacio no cambian altrasladar los ejes de coordenadas.

La definición de vector del Álgebra sóloatiende al aspecto estructural y no se interesa a priori por los sistemas de referencia y suscambios. Hemos visto también que la definición del vector como "una magnitud conmódulo, dirección y sentido" resulta incompleta. Entonces; ¿qué es un vector en la Física?

Diremos que una magnitud física es vectorial si, además de satisfacer la definición delÁlgebra ([1.59]-[1.66]):

(1) posee módulo, dirección y sentido,

(2) es representable mediante un segmento orientado,

(3) se suma con otras de la misma categoría de acuerdo con laregla del paralelogramo,

(4) puede expresarse mediante tres números (componentes) que:

(a) son invariantes frente a las traslaciones de los ejescoordenados,

(b) frente a las rotaciones de los ejes coordenados setransforman según la relación [1.70].

§1.14. Vector de posición. Sistemas de referencia.- Frecuentementenecesitaremos definir la posición de un punto del espacio respecto a un sistema deejes coordenados. Podemos conseguir esto dando las coordenadas cartesianas ( x,y,z)del punto o bien definiendo el vector de posición de dicho punto respecto al origenO del sistema de coordenadas (Figura 1.23). Dicho vector de posición se define comoel vector que tiene como origen el punto O y como extremo el punto P, o sea el

5 En realidad, la demostración que sigue es superflua, ya que los dos sistemas de ejescoordenados comparten una misma base vectorial , puesto que ésta queda completamente definida por la orientación de los ejes coordenados y no por el origen del sistema de ejes considerado.




vector aplicado en el punto O que tiene como compo-

Figura 1.23

nentes las coordenadas x, y, z, del punto P. Escribire-mos

[1.80] r OP x i y j z k

x

y zi jk

En general, un sistema de referencia queda

Figura 1.24

definido por un origen y una base vectorial asociada.Si la base vectorial es ortogonal (i.e., si los tresversores que la definen son perpendiculares entre sí),el sistema de referencia también es ortogonal.

Merece particular atención considerar el vector de posición cuando cambia por traslación el sistema de

referencia, pues entonces cambia el vector de posicióndel punto P. Entre los vectores de posición del puntoP respecto a los sistemas de referencia de origen en Oy en O′ existe la relación

r OO r

y, consecuentemente, las componentes del vector de posición no son invariantes en las traslaciones del sistema de referencia.

Problemas

1.1.- Decir cuáles son las propiedades de los

vectores A y B, tales que: a) A + B = A - B;b) A + B = C y A + B = C ; c) A + B = C y A2

+ B2 = C 2; d) A + B = A - B .

1.2.- Dados cuatro puntos A, B, C y D en elespacio, demostrar que los puntos medios delos segmentos AB, BC, CD, y DA son losvértices de un paralelogramo.

1.3.- Un vector forma ángulos iguales concada uno de los ejes coordenados. Expresar dicho vector en función de sus componentescartesianas.

1.4.- Determinar la ecuación de la bisectriz delángulo formado por los vectores concurrentes A y B.

1.5.- Demostrar que las diagonales de un

paralelogramo se bisecan, y que sólo son perpendiculares entre sí cuando el paralelogra-mo es un rombo.

1.6.- Demostrar que si A ⊥ ( B - C ) y B ⊥ (C - A), entonces es C ⊥ ( A - B).

1.7.- Demostrar vectorialmente las relacionestrigonométricas para el seno y el coseno de lasuma de dos ángulos.

1.8.- Descomponer el vector A = 3i + 5 j + 4 ken las direcciones de los vectores u(1,1,0),

v(1,0,1), w(0,1,1).1.9.- Descomponer el vector A = 5i + 10 j + 7 ken las direcciones del vector unitario e = 0.8,i+ 0.6 j y del normal al vector e.



Problemas 39

1.10.- a) Demostrar que los tres vectores:

A = 51i + 42 j - 26 k

B = 18i + 19 j + 66 k

C = 46i - 54 j + 3 k

son perpendiculares entre sí y que forman untriedro directo. b) Establecer una base vectorialortogonal y positiva que tenga las mismasdirecciones que los vectores anteriores.

1.11.- Hacer uso del cálculo vectorial parademostrar que todo ángulo inscrito en unasemicircunferencia es un ángulo recto.

1.12.- Dados los vectores A = 3i + 4 j + k y B = i + 2 j + 5 k, calcular: a) sus módulos;b) su suma; c) su producto escalar; d) el

ángulo formado entre ambos; e) la proyeccióndel vector A sobre el B; f) su producto vecto-rial; g) el versor perpendicular a A y a B.

1.13.- Diagonales interiores del cubo. Calcu-lar el ángulo formado por dos diagonalesinteriores de un cubo.

1.14.- Dados los tres vectores:

A = 2i - j + 3 k

B = xi + 2 j + z k

C = i + y j + 2 k

determinar x, y, z, para que los tres vectoressean mutuamente perpendiculares.

1.15.- Expresar el vector A = 2i + j - 3 k comocombinación lineal de los vectores u = i + j,v = j + k y w = i + k.

1.16.- Ecuaciones vectoriales. Dado el sistemade ecuaciones vectoriales:

a + b = 3i - 2 j + 5 k

a - b = i + 6 j + 3 k

determinar a y b.

1.17.- Hallar la forma general del vector X quesatisface la relación A X = c.

1.18.- Hallar la forma general del vector X quesatisface la relación A × X = C .

1.19.- Hallar el vector X que satisface simultá-neamente las relaciones A X = c y A × X = C .

1.20.- Demostrar las relaciones siguientes:

a) ( A + B) ( A - B) = A2 - B2

b) ( A + B) × ( A - B) = 2 B × A

Si A y B representan los lados de un paralelo-gramo, ¿cuál es la interpretación geométrica deesas identidades?

1.21.- Área del triángulo. Calcular el área del

triángulo determinado por los puntos A(3,0,0),B(0,2,0) y C(0,0,4).

1.22.- Ec. de la recta I. Determinar la ecua-ción de la recta que pasa por los puntosA(2,4,5) y B(3,6,4).

1.23.- Ec. de la recta II. Determinar laecuación de la recta que pasa por el puntoP(1,5,3) y es paralela al vector u = 2i + j + 3 k.

1.24.- Distancia entre punto y recta. Calcular la distancia del punto P(1,1,0) a la recta que

pasa por los puntos A(2,3,7) y B(1,4,3).1.25.- a) Calcular el producto vectorial OP× A, siendo P un punto cualquiera de la recta

x2

y 11

z 23

y sabiendo que A tiene la misma dirección quela recta, que su módulo es igual a 2 y que sucomponente en la dirección del eje z es negati-

va. b) Demostrar que OP× A es invariante alconsiderar diferentes puntos P sobre la rectadada.

1.26.- Ec. del plano I. Determinar la ecuacióndel plano determinado por los puntosA(2,3,-1), B(3,5,1) y C(1,-2,3).

1.27.- Ec. del plano II. Determinar la ecua-ción del plano que pasa por el punto P(2,5,3)y es normal al vector N = i + 2 j + 3 k.

1.28.- Intersección de dos planos. Dada la

recta definida por la intersección de dos pla-nos, de ecuaciones 2 x - y - z - 5 = 0 y 2 x+ 9 y + 6 z + 5 = 0, expresar dicha recta enforma cartesiana; esto es, determinar un vector director de la recta y un punto de la misma.

1.29.- Ec. del plano III. Encontrar la ecuacióndel plano determinado por la recta [2 x + y - z+ 3 = 0; x - 3 y + z + 1 = 0] y el punto(1,2,3).

1.30.- Distancia de un punto a un plano.Calcular la distancia del punto P(1,1,0) al

plano determinado por los puntos A(1,3,2),B(4,1,0) y C(-2,3,1).

1.31.- Distancia entre dos rectas. Determinar la distancia más corta entre dos rectas que




pasan, respectivamente, por los puntos[A(2,-4,3); B(1,2,-1)] y [C(0,3,4); D(1,2,4)].

1.32.- Si representamos por los vectores S1, S2,S3, S4 cada una de las caras de un tetraedro, demodo que cada uno de dichos vectores seanormal a la cara respectiva y su módulo sea elárea de dicha cara, demostrar que S1 + S2 + S3

+ S4 = 0.

1.33.- Proyección de una superficie. Deter-minar la proyección de la superficie represen-tada por el vector S = 3i + 2 j + k sobre el plano normal a la dirección del vector N = i+ j + k.

1.34.- Volumen definido por tres vecto-res. a) Calcular el volumen del paralelepípedodefinido por los vectores:

A = 3i

B = 2i + 3 j

C = i + 2 j + 3 k

b) Ídem por los vectores - A, B y C . Interpretar el signo negativo en el resultado.

1.35.- Doble producto vectorial. a) Demostrar la expresión [1.56] del doble productovectorial, utilizando los vectores:

A = A x i

B = B x i + B y j

C = C x i + C y j + C z k

b) Demostrar que el doble producto vectorialno posee la propiedad asociativa.

1.36.- Efectuar el doble producto vectorial A×( B×C ), siendo A, B y C los vectores dadosen la primera parte del Problema 1.34.

1.37.- Consideremos el vector A y la direccióndefinida por el vector B. Descompongamos elvector A en dos: uno paralelo y otro perpendi-cular a la dirección del vector B. Demostrar que los vectores componentes de A son( A B/ B)eB y ( B×( A× B)/ B2.

1.38.- Sean P, Q y R tres puntos no alineadosy O cualquier punto del espacio. Demostrar que el vector

OP×OQ + OQ×OR + OR×OP

es perpendicular al plano definido por los puntos P, Q y R

1.39.- Cambio de base I. Dado el vector A = 3i + 2 j + 4 k, expresarlo en función de losvectores unitarios e1 = j, e2 = k, e3 = i.

1.40.- Cambio de base II. a) Encontrar lascomponentes del vector A = 2i + 3 j + 4 k enun sistema de ejes coordenados x′ y′ z′ obtenido por rotación del sistema de ejes xyz un ángulode 30° alrededor del eje z, en el sentido positi-vo. b) Encontrar las componentes del vector A′

obtenido por rotación del vector A, dado ante-riormente, un ángulo de 30° alrededor del eje z, en el sentido positivo.

1.41.- Dada la ecuación de la elipse, referida asus ejes principales,

x2

A 2

y2

B2 1

obtener la expresión de dicha elipse cuando sueje mayor forma un ángulo θ con el eje x.

1.42.- Comprobar que el par de funcionesdefinidas por f 1 = 0, f 2 = x2 + y2 , cualquieraque sea el sistema de coordenadas usado en el plano, no son las componentes de un vector.



2.- Vectores deslizantes.

§2.1. Momento de un vector respecto a un punto (41); §2.2. Momento de un vector respecto a un eje (42); §2.3. Sistemas de vectores deslizantes (43); §2.4. Invariantes delsistema (44); §2.5. Par de vectores (45); §2.6. Eje central (46); §2.7. Centro de un sistemade vectores paralelos (47); §2.8. Sistemas de vectores equivalentes (49); §2.9. Reducciónde sistemas (50); §2.10. Virial de un vector (54); §2.11. Virial de un sistema de vectores(55); §2.12. Plano central (56); §2.13. Punto central (56); Problemas (57)

Hemos visto en la lección anterior como la definición de igualdad (equipolencia)entre vectores nos permite clasificarlos en dos categorías: la de los vectores libres yla de los vectores deslizantes.

En la lección anterior hemos establecido las reglas del Álgebra Vectorial bajo elsupuesto de que nos referíamos a los vectores libres. Así, cuando se definía la sumavectorial, no teníamos inconveniente alguno en desplazar los vectores de modo que

tuviesen un punto de origen común. Esta operación, obviamente, no la podemos rea-lizar con los vectores deslizantes, a menos que sus rectas de acción concurran en unmismo punto. Así pues, debemos ampliar nuestras definiciones de modo que podamosdar cabida en el Álgebra Vectorial a los llamados vectores deslizantes.

§2.1. Momento de un vector respecto a un punto.- Definimos el momento

Figura 2.1

de un vector deslizante F con respecto a un punto O del espacio como el vector OP× F, siendo P un punto cualquierade la recta de acción del vector F;

esto es,[2.1] M O OP × F

Esta definición exige que el mo-mento de F con respecto al punto Osea independiente de la posición de

F sobre su recta de acción. En efec-to, imaginemos el vector F despla-zado a lo largo de su recta de ac-

ción, de modo que sea P′ su punto de aplicación (Figura 2.1)

. La definición [2.1]

signifi-ca que, llamando M ′O al momento de F, aplicado en P′, con respecto al punto O es




42 Lec. 2.- Vectores deslizantes.

[2.2] M O OP × F

de modo que restando [2.1] y [2.2] miembro a miembro resulta

[2.3] M O M O (OP OP ) × F P P × F 0

por ser P′P F. Por lo tanto es M O = M ′O.

Es obvio que el módulo del momento de un vector F con respecto a un puntoO puede expresarse por

[2.4] M O F b

donde b es la distancia del punto O a la recta de acción del vector. Dicha distanciarecibe el nombre de brazo del vector deslizante con respecto al punto O.

Por otra parte, de la propiedad

Figura 2.2

geométrica del producto vectorial, por la que representa el área del paralelo-gramo determinado por los dos vecto-res, se sigue una propiedad geométricaanáloga para el momento de un vector,que queda representado por el doble delárea de los triángulos sombreados en laFigura 2.1 y en la Figura 2.2

El momento de un vector, aunque

es independiente de su punto de aplica-ción sobre su propia recta de acción, depende del punto con respecto al cuál se toma.Esto es, si en lugar de tomarlo con respecto al punto O lo tomamos con respecto aotro punto O′ (Figura 2.2), en general, será M O′≠ M O. En efecto

[2.5] M O′ O P × F (O O OP) × F M O O O × F

de modo que M O′ sólo es igual a M O cuando O′O × F = 0, lo que ocurre cuando seescoge O′ sobre una recta que pasando por O sea paralela a la dirección del vector

F.

§2.2. Momento de un vector respecto a un eje.- Consideremos un vector deslizante F y un eje en la dirección del versor e (Figura 2.3). Definimos el momentodel vector F con respecto al eje e como la proyección sobre dicho eje del momentodel vector con respecto a un punto cualquiera del eje. Esto es

[2.6] M eje M O e (OP × F ) e

o bien [2.7] M eje M ejee

Esta definición sólo tendrá sentido si logramos demostrar que, cualquiera que seael punto elegido sobre el eje, la proyección sobre el eje del momento del vector conrespecto a dicho punto del eje es siempre la misma (invariante). En efecto, consi-derando otro punto del eje, O′, tenemos



§2.2.- Momento de un vector respecto a un eje. 43

[2.8] M eje M O e (O P × F ) e

y restando miembro a miembro [2.6] y [2.8] resulta

[2.9] M

eje M

eje [(OP × F ) (O P × F )] e

[(OP O P) × F] e (OO × F ) e 0

ya que OO′ e. Por lo tanto es

Figura 2.3

M ′eje= M eje.

El momento de un vector con respecto a un eje sólo será nulo cuandola recta de acción del vector corte aleje o cuando sea paralela a él; estoes, cuando el vector sea coplanario

con el eje, puesto que entonces elmomento del vector con respecto a un

punto del eje será perpendicular al ejey no dará proyección sobre él.

§2.3. Sistemas de vectores

Figura 2.4

deslizantes.- Consideramos unsistema de vectores deslizantes, Fi (i=1,2, ... n), aplicados respectivamente en los

puntos Pi (Figura 2.4).

Llamaremos resultante general de un sistema de vectores deslizantes al vector que se obtiene sumando todos los vectores del sistema como si fuesen libres. Esdecir, designando por R tal resultante

[2.10] Rn

i 1 F i

Llamaremos momento resultante general deun sistema de vectores deslizantes, con respectoa un punto dado O, al vector obtenido sumando

todos los momentos individuales, de cada unode los vectores que integran el sistema, conrespecto al punto O. Es decir, designando por

M O tal momento resultante, es

[2.11] M O

n

i 1 M O,i

n

i 1(OP i × F i )

Obsérvese que la resultante R es independiente del punto elegido como polo ocentro de reducción; pero no sucede lo mismo con el momento resultante M O, que

varía de un punto a otro. Si elegimos otro centro de reducción, O′, tendremos




[2.12] M O

n

i 1(O P i × F i)

n

i 1(O O OP i) × F i

n

i 1OP i × F i

n

i 1O O × F i M O O O ×

n

i 1 F i

o sea [2.13] M O M O O O × R

de modo que el momento resultante con respecto al punto O′ es igual al momentoresultante con respecto al punto O más el momento de la resultante del sistema, su-

puesta aplicada en el punto O, con respecto al punto O′.Debemos advertir que el momento de un vector con respecto a un punto, tal como el O, es un

vector aplicado en dicho punto, de modo que cuando sumamos los dos términos del segundomiembro de [2.13], el primero de ellos aplicado en O y el segundo en O′, lo deberemos hacer comosi de vectores libres se tratara y luego trasladaremos el resultado al punto O′.

Si las rectas de acción de todos los vectores del sistema concurren en un puntoO, entonces es obvio que M O=0 y que

[2.14] M O O O × R

de modo que:

el momento resultante de un sistema de vectores deslizantes concurrentes enun punto es igual al momento de su resultante aplicada en dicho punto deconcurrencia.

Este enunciado corresponde al llamado Teorema de VARIGNON (1654-1722), que puede enunciarse también en esta otra forma equivalente:

El momento de la resultante de un sistema de vectores deslizantes concu-rrentes en un punto es igual a la suma de los momentos individuales decada vector .

§2.4. Invariantes del sistema.- Hemos visto que la resultante R de un sistemade vectores es independiente del punto elegido como centro de reducción; se dice quela resultante R es un invariante del sistema que, dado su carácter vectorial, recibe el

nombre de invariante vectorial o primer invariante del sistema.Podemos encontrar un segundo invariante del sistema si multiplicamos escalar-mente por R ambos miembros de la expresión [2.13]; entonces se sigue

[2.15] R M O R M O R (O O × R)

pero como (O′O× R) R = 0, resulta que

[2.16] R M O R M O

que es el segundo invariante del sistema que, dado su carácter escalar, recibe el

nombre de invariante escalar .El significado de este segundo invariante se hace más evidente si lo escribimos

en la forma



§2.4.- Invariantes del sistema. 45

[2.17] R M O

R cte.

expresión que suele recibir el nombre de tercer invariante del sistema, aunque enrealidad es sólo otra forma de escribir la expresión del segundo invariante. Vemosque el invariante escalar expresa la constancia de la proyección del momentoresultante en la dirección de la resultante general del sistema de vectores deslizantes.

§2.5. Par de vectores.- Llamamos par de vectores a todo sistema formado por dos vectores del mismo módulo y dirección (i.e., situados sobre rectas de acción

paralelas entre sí), pero en sentidos opuestos.

Evidentemente, la resultante de un par de vectores es nula ( R = O), pero no asísu momento, que goza de la propiedad de ser independiente del punto elegido comocentro de reducción. Esto es, el momento resultante de un par de vectores es

invariante.En efecto, sea O un punto cualquiera del espacio (Figura 2.5); entonces, tomando

momentos con respecto a dicho punto, tenemos

[2.18] M O OP × F OQ × ( F) QP × F

de modo que resulta ser independiente (invariante) del punto elegido como centro dereducción.

El momento de un par de vectores es un

Figura 2.5

vector perpendicular al plano definido por losdos vectores y su sentido es el del avance de untornillo que girase en el sentido indicado por losvectores, esto es, el que impone la regla de lamano derecha explicada en la lección anterior.El módulo del momento de un par de vectoreses

[2.19] M F QP senθ F b

siendo b la distancia entre las rectas de acción de los vectores que forman el par ; i.e.,el brazo del par .

Las propiedades más importantes del par de vectores son las siguientes:

(1) El momento de un par es un invariante.

(2) El momento de un par es un vector libre; esto es, no vinculado a ningunarecta de acción.

(3) Dos pares son equivalentes si tienen el mismo momento. Esto es, al ser nula la resultante R del par, su momento lo caracteriza completamente.

(4) Un par puede girarse en su plano o trasladarse paralelamente a sí mismo,sin alterar su momento.




(5) Si un sistema de vectores está formado por varios pares, de momentosindividuales M i (i=1,2,...), el momento del par resultante es M = M i.

(6) Dos pares se equilibran si M 1=- M 2.

§2.6. Eje central.- Hemos visto que el momento resultante general de unsistema de vectores deslizantes (en lo sucesivo lo llamaremos simplemente elmomento resultante) no es un invariante del sistema, ya que depende del punto delespacio que elijamos como polo o centro de reducción. Existirán, por lo tanto, unos

puntos del espacio en los que el momento del sistema presente un valor mínimo; ellugar geométrico de tales puntos (que demostraremos que es una recta) recibe elnombre de eje central del sistema. Esto es:

Llamamos eje central de un sistema de vectores deslizantes al lugar

geométrico de los puntos del espacio en los que el momento resultante delsistema presenta un valor mínimo.

Para determinar dicho lugar geomé-

Figura 2.6

trico, partiremos del invariante escalar,ya que este invariante expresa laconstancia de la proyección del mo-mento resultante, cualquiera que sea el

punto de reducción, sobre la direcciónde la resultante R del sistema. En con-secuencia, el momento será mínimo en

aquellos puntos en los que sea paraleloa dicha dirección. Esto es, puesto que

[2.20] M R M R cosθ cte.

y como R=cte, se sigue que M será mínimo cuando cos θ sea máximo, o sea cuandoel ángulo θ determinado por los vectores M y R sea nulo. Entonces, el momento enlos puntos del eje central será paralelo a la resultante R del sistema, lo que nos

permite dar esta otra definición del eje central:

Llamamos eje central de un sistema de vectores deslizantes al lugar geomé-trico de los puntos del espacio en los que el momento del sistema es paraleloa la resultante R.

Esta segunda definición del eje central, en todo equivalente a la primera, nos permite identificar fácilmente dicho lugar geométrico. En efecto, multiplicandovectorialmente por R ambos miembros de la ecuación [2.13] se sigue

[2.21] R× M O R× M O R×(OO × R)

R× M O OO ( R R) R(OO R)

o sea [2.22] R × M O R × M O R2 OO m R

donde m=OO′ R es un parámetro escalar cuyo valor depende de la posición del



§2.6.- Eje central. 47

punto O′ respecto al punto O.

Si consideramos que O′ sea un punto del eje central, i.e., O′≡E, la condición de paralelismo entre R y M E es R× M E=0, de modo que la ecuación (vectorial) del lugar geométrico buscado es

[2.23]OE R × M O

R2 λ R

donde λ es un parámetro escalar (λ =m/ R2) que es simplemente un transformado del parámetro m anteriormente definido. La ecuación [2.23] lo es de una recta paralela ala dirección del vector R y que pasa por un punto definido por el vector de posición

R× M O/ R2. La ecuación de dicha recta puede escribirse también en la forma

[2.24] x x0

R x

y y0

R y

z z0

R z

donde ( x0, y0, z0) representan las coordenadas cartesianas de un punto del eje central(el R× M O/ R2, por ejemplo) y donde R x, R y y R z son las componentes cartesianas dela resultante R del sistema de vectores.

Otro método.- Conocido el momento resultante en el origen de coordenadas,determinamos el momento resultante en un punto genérico E mediante la expresión

[2.25] M E M O EO× R

Este momento resultante será función de las coordenadas ( x, y, z) del punto E; i.e., M E( x, y, z). Imponemos la condición de que el punto E pertenezca al eje central, por lo que M E deberá ser paralelo a R; esta condición se expresa en la forma

[2.26] M E, x

R x

M E, y

R y

M E, z

R z

que es la ecuación de la recta asociada al eje central del sistema de vectores

deslizantes.

Obviamente, el módulo del momento mínimo puede calcularse proyectando elmomento resultante en un punto cualquiera del espacio sobre la resultante general delsistema de vectores deslizantes; i.e.,

[2.27] M mín

R M

R

y su dirección es la del vector R (i.e., la del eje central).

§2.7. Centro de un sistema de vectores paralelos.- Dado un sistema devectores paralelos entre sí, no necesariamente coplanarios, definimos el centro de tal




sistema como el punto de intersección de todos los ejes centrales correspondientesa todas las posibles orientaciones en el espacio que pudiera presentar dicho sistemade vectores, de modo que se mantengan constantes el módulo y el punto deaplicación de cada uno de los vectores que lo integran.

Sea un sistema de vectores paralelos a una cierta dirección que indicaremos me-

diante el versor e. Cada uno de los vectores que componen el sistema podráexpresarse en la forma

[2.28] F i F i e

con F i≠0, y, obviamente, tendremos un versor e para cada orientación del sistema enel espacio1.

Supongamos que sea G el punto

Figura 2.7

que buscamos, esto es el centro delsistema (Figura 2.7). Por pertenecer dicho

punto al eje central del sistema deberáser M G R. Pero, por otra parte, al estar constituido el sistema sólo por vectores

paralelos entre sí (sistema de vectoresconcurrentes en el punto impropio), envirtud del teorema de Varignon [2.14],deberá ser M G⊥ R. De modo que, paraque esas dos condiciones puedan satis-facerse simultáneamente deberá ser

M G=0. En consecuencia podemos

enunciar:

El centro de un sistema de vectores paralelos es un punto tal que elmomento del sistema con respecto a él es nulo.

Para cualquiera de las orientaciones del sistema, tomando momentos con respectoal punto O (origen de un sistema de ejes coordenados) tenemos

[2.29] M Oi

OP i × F ii

OP i × F i e (i

OP i F i ) × e

y tomando momentos con respecto al punto G resulta

[2.30] M G M O OG × R (

iOP i F i ) × e OG × (

i F i )e

[i

( F i OP i) OGi F i ] × e 0

y como esta ecuación deberá satisfacerse para cualquier orientación del sistema devectores, o sea para cualquier e, nos queda

1 Obsérvese que F i puede ser positivo o negativo, según que el sentido del vector Fi seacoincidente u opuesto al del versor e. Así, estrictamente, F i no es el módulo del vector Fi, ya queéste es esencialmente positivo.



§2.7.- Centro de un sistema de vectores paralelos. 49

[2.31]OG i F i OP i

i F i

que nos determina la posición del centro buscado.

En coordenadas cartesianas, siendo ( xi, yi, zi) el punto de aplicación del vector Fi,la ecuación [2.31] da lugar a tres ecuaciones escalares

[2.32] xGi F i xi

i F i

yGi F i yi

i F i

zGi F i zi

i F i

que, como veremos en una lección posterior, son las mismas expresiones que definenla posición del centro de gravedad de un cuerpo en un campo gravitatorio uniforme.

§2.8. Sistemas de vectores equivalentes.- Decimos que dos sistemas devectores son equivalentes cuando tienen la misma resultante R y el mismo momentoresultante M O con respecto a un punto cualquiera del espacio.

Para que la definición anterior tenga sentido, deberemos demostrar que si dossistemas de vectores deslizantes tienen la misma resultante y el mismo momentoresultante con respecto a un cierto punto del espacio, también lo tendrán con respectoa cualquier otro punto. En efecto, dados dos sistemas de vectores, el V i (i=1, 2, ... m)con puntos de aplicación Ai y el W j ( j=1, 2, ... n) con puntos de aplicación B j, ysuponemos que ambos sistemas tengan la misma resultante y el mismo momentoresultante con respecto al punto O; es decir,

[2.33] M V

m

i 1OA i × V i

n

j 1OB j × W j M

W

entonces, para otro centro de reducción, O′, será

[2.34] M V M V

O O × RV

y M W M W

O O × RW

y como por hipótesis es M V = M W y RV = RW será también M ′V = M ′W .

De acuerdo con la definición de equivalencia entre dos sistemas de vectoresdeslizantes, tenemos:

(a) Un sistema de vectores concurrentes en un punto es equivalente a unvector único (i.e., la resultante R del sistema), cuya recta de acción pasa por dicho punto de concurrencia.

(b) Un sistema de vectores cuya resultante R sea nula, no siéndolo elmomento resultante M , es equivalente a un par de vectores que tenga elmismo momento.

Diversas operaciones nos permiten transformar un sistema de vectores en otroque le sea equivalente. Las operaciones elementales que consiguen ese objetivo son:

(1) La incorporación al sistema de vectores de dos vectores de igual módulo




y recta de acción común, pero de sentidos opuestos.

(2) La supresión de dos vectores en las mismas condiciones anteriores.

(3) La sustitución de dos vectores concurrentes en un punto por su sumaefectuada y situada sobre una recta de acción que pase por el punto deconcurrencia.

(4) La sustitución de un vector por otros dos en las mismas condicionesanteriores.

(5) Y, naturalmente, la traslación de un vector a lo largo de su recta deacción.

§2.9. Reducción de sistemas.- Reducir un sistema de vectores es sustituirlo

por otro sistema de vectores más sencillo que le sea equivalente. La reducción de unsistema de vectores puede llevarse a cabo mediante las operaciones elementalesenumeradas anteriormente.

Para la reducción de un sistema de vectores resulta sumamente interesante laconsideración de los siguientes teoremas:

TEOREMA I.- Todo sistema de vectores deslizantes puede reducirse a un vec-tor único cuya recta de acción pasa por un punto arbitrario más un par cuyomomento sea el momento resultante del sistema con respecto a dicho punto.Esto es, elegido un cierto punto O como centro de reducción, el sistema es equivalente al formado

por la resultante general R aplicada en O y a un par, constituido por los vectores F y - F, que podemoselegir arbitrariamente con tal de que el momento del par sea igual al momento resultante general delsistema dado con respecto al centro de reducción O.

Podemos conseguir una reducción de esa forma sin más que aplicar en el centro de reducción Oelegido un vector igual a cada uno de los Fi (i=1, 2, ... n) y otro, - Fi, igual y opuesto Figura 2.8. Losvectores Fi aplicados en el punto O dan (sumados) la resultante R del sistema total así constituido, en tantoque los vectores - Fi se agrupan por parejas con los dados inicialmente para formar n pares de vectores que,una vez sumados nos dan el momento resultante M O, esto es, el momento del par resultante ( F, - F).


TEOREMA II.- Todo sistema de vectores deslizantes puede reducirse a sólodos vectores, para uno de los cuales podemos elegir la recta de acción.



§2.9.- Reducción de sistemas. 51

En efecto, puesto que un par de momento M está compuesto por dos vectores, uno de los cuales puede tener la recta de acción que se desee, uno de ellos puede ser elegido de modo que esté aplicado enel punto O (centro de reducción arbitrario) del caso precedente, de modo que podrá sumarse a la resultantegeneral R aplicada en O (Figura 2.9). En consecuencia, nos quedará, además de esa suma, el otro vector que formaba parte del par de momento M ; esto es, dos vectores en total.

TEOREMA III.- Reducción canónica2

. Todo sistema de vectores deslizantescuyo invariante escalar sea distinto de cero, puede reducirse a un vector único y a un par cuyo momento sea paralelo a dicho vector único. Talreducción se llama canónica.En efecto, si tomamos el centro de reducción sobre

Figura 2.10

el eje central del sistema de vectores, la resultante y elmomento resultante del sistema serán paralelos entre sí,como se muestra en la Figura 2.10. El sistema asíconstituido, equivalente al dado, se llama torsor y el ejedel par (i.e., el eje central del sistema) recibe el nombrede flecha del torsor .

Evidentemente la condición necesaria ysuficiente para que la reducción canónica sea

posible (i.e. que el sistema pueda reducirseen un par de momento M mín paralelo a laresultante R) es que el invariante escalar nosea nulo, o sea R M ≠0, pues así ni R ni M

son nulos ni perpendiculares entre sí.

Cuando el invariante escalar del sistema de vectores es nulo, es decir M R=0,siendo M el momento en un punto cualquiera, se pueden presentar los casos

siguientes:

(a) Si R=0 y M =0, esta situación se presentará para cualquier centro dereducción y el sistema es equivalente a cero (sistema nulo).

(b) Si R=0 y M ≠0, el sistema se reduce a un par de vectores de momento M cualquiera que sea el centro de reducción.

(c) Si R≠0 y M =0, el sistema se reduce a un vector único cuya recta de ac-ción pasa por ese centro de reducción. Esta situación se presenta tanto si los

vectores son concurrentes (sean coplanarias o no) (Figura 2.11), como si losvectores que constituyen el sistema son paralelos entre sí (punto deconcurrencia impropio) (Figura 2.12). En todo caso, en los puntos que no perte-necen a la recta de acción de la resultante R (eje central del sistema)aparecerá un cierto momento M ≠0, pero dicho momento será siempre

perpendicular a la resultante R, ya que dicho momento será igual al momentode la resultante en esos puntos (teorema de VARIGNON).

(d) Si R≠0 y M ≠0 pero es R M =0, deberá ser M ⊥ R cualquiera que sea el

2 En la Física, el adjetivo canónico significa adaptado o ajustado lo mejor posible. El conceptose aplica a las magnitudes, fórmulas y procedimientos que sirven para describir los fenómenosfísicos.




centro de reducción. Como caso particular, si el centro de reducción se tomasobre el eje central del sistema de vectores, deberá ser M mín R, de modo que

para que puedan satisfacerse simultáneamente las dos condiciones anteriores(perpendicularidad y paralelismo entre M y R) y al ser R≠0 e invariante,deberá ser M mín=0, reduciéndose el sistema a un vector único (la resultante

R del sistema) dirigido a lo largo del eje central.


Ejemplo I.- Dado el sistema de vectores deslizantes:

a = i + 2 j + 3 k aplicado en A(1,2,3)

b = i - j + k aplicado en B(-1,0,1)

c = -i + 2 j - 2 k aplicado en C(2,0,-1)

hallar: a) su resultante; b) su momento resultante respecto al origen de coordenadas; c) el móduloy componentes del momento mínimo del sistema; d) la ecuación del eje central; e) el torsor delsistema.

a) La resultante es R = a + b + c = i + 3 j + 2 k y su módulo vale .1

R 12 32 22 14

b) El momento resultante es M O = M O( a) + M O( b) + M O( c), o sea

M O

12

3

×

12

3

10

1

×

11

1

20

1

×

12

2

000

121

254

375

c) El invariante escalar es R M O= 3 + 21 + 10 = 34, de modo que el momento mínimo vale

M mín

R M O

R34

14

17

7 14

en la dirección de R, por lo que será:



§2.9.- Reducción de sistemas. 53

M mín

17 147

R

R17 14

71

14

132

177

132

d) El punto R× M O

R 2

114

132

×

375

114

112

pertenece al eje central, por lo que la ecuaciones cartesianas de éste serán

14 x 11

14 y 13

14 z 22

Otro método: Calculamos el momento resultante en un punto genérico E( x, y, z) perteneciente al ejecentral

M E M O EO× R

375

132

×

x y z

3 z 2 y 32 x z 7

y 3 x 5

de modo que la ecuación de la recta asociada al mismo será

3 z 2 y 31

2 x z 73

y 3 x 52

e) El torsor del sistema es R ; M mín (1,3,2) ; 17

7 (1,3,2)

Ejemplo II.- La resultante de un sistema de vectores deslizantes es R = 2i - 3 j + k y su momentoresultante con respecto al punto P(1,-1,2) vale M P = i + 2 j - k. Determinar el eje central del sistema.

Podemos evaluar el momento resultante en el origen de coordenadas O(0,0,0); esto es,

M O M P OP× R

1

21

1

12 ×

2

31

6

52

de modo que la ec. vectorial (ec. paramétricas) del eje central será

OE R × M O

R 2 λ R 1

14

231

×

652

λ

231

1/14 2λ 5/7 3λ

2 λ

o bien, en forma continua x 1

14

2

y 5

7

3

z 2

1También podemos encontrar directamente las ec. del eje central a partir del momento resultante

del sistema en P; esto es,




OE OP PE OP R× M

P

R 2 λ R

1

1

2

114

2

3

1

×

1

2

1

λ

2

3

1

15/14 2λ

11/14 3λ 5/2 λ

o bien en forma continua x 15

14

2

y 11

14

3

z 5

2

1

que es la misma recta que antes, como el lector comprobará fácilmente.

§2.10. Virial de un vector.- Definimos el virial de un vector F, aplicado en un

Figura 2.13

punto P, respecto al punto O del espacio, como el producto escalar del vector OP por el vector F. Esto es

[2.35]V O OP F

El virial de un vector respecto a un punto es, evidentemente, una magnitudescalar. La definición del virial de un vector

presenta una cierta analogía con la delmomento de un vector, ya que intervienenlos mismos elementos (los vectores OP y F),si bien el producto vectorial ha sido reem-

plazado ahora por un producto escalar.

Obsérvese que en la definición del virialde un vector hemos omitido el carácter deslizante de éste; en su lugar, hemos desta-cado la palabra "aplicado". En efecto, el virial de un vector respecto a un punto dadodel espacio no es independiente de la posición del vector F sobre su recta de acción(Figura 2.13). Si calculamos el virial del vector F, aplicado en otro punto (P′) de su

recta de acción, respecto al punto dado O, tenemos

[2.36]V O OP F ( OP PP ) F

o sea [2.37]V O V O PP F

de modo que V O′≠V O. Consideraremos, pues, el vector F como un vector ligado.Establecemos, así, una nueva clase de vectores, la de los vectores ligados, junto a lasdos anteriores definidas de los vectores deslizantes y de los vectores libres. En los

sistemas de vectores ligados, el criterio de igualdad entre dos vectores (equipolencia)exige que los vectores tengan el mismo módulo, la misma dirección y sentido y elmismo punto de aplicación.

El virial de un vector depende del punto del espacio respecto al cual se tome.



§2.10.- Virial de un vector. 55

Esto es, si en lugar de tomarlo respecto al punto O

Figura 2.14

lo tomamos respecto al punto O′, será, en generalV O′≠V O.

En efecto;

[2.38]V O O P F (O O OP) F

o sea [2.39]V O V O O O F

de modo que V O′ sólo será igual a V O cuandoO′O F=0, lo que ocurre cuando se escoge O′ sobreuna recta que pasando por O sea perpendicular a ladirección del vector F. Así pues, el virial de unvector tiene el mismo valor en todos los puntos de un plano normal al vector (Figu-ra 2.14.)

§2.11. Virial de un sistema de vectores.- Consideremos un sistema devectores ligados, Fi (i=1, 2, ...). aplicados respectivamente en los puntos Pi (Figu-

ra 2.15). Llamaremos virial del sistema de vectores ligados, respecto a un punto dadoO, al escalar que resulta de sumar todos los viriales individuales (i.e., de cada unode los vectores que integran el sistema) respecto al punto O. Esto es, si designamos

por V O el virial del sistema, tenemos

[2.40]V Oi

OP i F i

El virial de un sistema de vectores depende del punto del espacio respecto al cualse calcula. El virial del sistema en un punto O′ será

[2.41]V O

iO Pi F i

i(O O OP i ) F i

iOP i F i O O

i F i

o sea

Figura 2.15

[2.42]V O V O O O R

donde R= Fi es la resultante generaldel sistema de vectores ligados (sumade todos los vectores del sistema comosi fuesen libres), de modo que el virialdel sistema en el punto O′ es igual alvirial del sistema en el O más el virial de la resultante del sistema, supuestaaplicada en el punto O, en el punto O′.

De la expresión [2.42] se deduce

fácilmente que el virial del sistematiene el mismo valor en todos los puntos de cualquier plano perpendicular a la direc-ción de la resultante general del sistema de vectores (Figura 2.16), puesto que entonceses Q′Q R=0.




§2.12. Plano central.- Hemos visto que el virial de un sistema de vectores liga-dos no es un invariante del sistema, ya que su valor depende del punto del espacioen el que se calcula; dicho valor variará de forma continua desde -∞ a ∞, al pasar deun punto a otro. También hemos visto que el virial de un sistema de vectores ligados

toma un valor constante en todos los puntos de cualquier plano perpendicular a ladirección de la resultante general ( R) del sistema. Existirá, por lo tanto, un plano encuyos puntos el virial será nulo; tal plano recibe el nombre de plano central ; i.e.,

Llamamos plano central de un sistema de vectores ligados al lugar geométri-co de los puntos del espacio en los que se anula el virial del sistema.

Para determinar la ecuación del plano

Figura 2.16

central, consideraremos un punto genérico Qde dicho lugar geométrico, en el que seráV Q=0. Entonces, de acuerdo con la expresión[2.42], será

[2.43]V Q V O QO R 0

o sea [2.44]OQ R V O

que es la ecuación de un plano normal a ladirección de la resultante general del sistemade vectores (i.e., normal al eje central), en

cuyos puntos se anula el virial del sistema; la expresión [2.44] es la ecuación vectorialdel plano central del sistema de vectores ligados.

En coordenadas cartesianas ( x,y,z), tomando el origen en el punto O, comose indica en la Figura 2.16, la ecuación del plano central se escribe en la forma

[2.45] x R x y R y z R z V O

donde ( R x, R y, R z) son las componentes de la resultante general del sistema sobre losejes coordenados y V O es el virial del sistema en el origen de coordenadas.

§2.13. Punto central.- Hemos definido en esta lección el eje central de un

Figura 2.17

sistema de vectores deslizantes y el plano central de un sistema de vectoresligados. Consideremos ahora un sistemade vectores dado, Fi (i=1, 2, ... n),cuyas rectas de acción pasen por los

puntos Pi correspondientes. Con-siderémoslo, primero, como un sistemade vectores deslizantes y determinemosel eje central del sistema. A continua-ción, consideraremos cada uno de losvectores del sistema ligados a los

puntos Pi correspondientes y determina-remos el plano central del sistema (para



§2.13.- Punto central. 57

los puntos de aplicación dados). El punto de intersección del eje central con el planocentral (Figura 2.17) recibe el nombre de punto central del sistema de vectores, paraunos puntos de aplicación dados. Para encontrar el punto central bastará, evidente-mente, resolver el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones del eje central[2.23] o [2.24] y la ecuación del plano central [2.44] o [2.45].

De acuerdo con la definición anterior, es obvio queel punto central de un sistema de vectores es aquél en el que el virial esnulo y mínimo el momento.

Deberá quedar bien claro que el punto central sólo tiene significado para unsistema de vectores ligados o para un sistema de vectores deslizantes para unconjunto de puntos de aplicación dado (lo que equivale a considerar los vectorescomo ligados).

No debemos confundir el concepto de punto central de un sistema de vectoresligados con el de centro de un sistema de vectores paralelos; sin embargo, en el caso

de un sistema de vectores ligados paralelos, ambos coinciden en un mismo punto delespacio (vide Problema 2.25). Podemos considerar el punto central como una generaliza-ción del centro de un sistema de vectores paralelos (deslizantes o ligados).

Problemas

2.1.- Determinar el momento del vector F = 2i- j + 3 k, aplicado en el punto P(2,5,3): a) conrespecto al origen de coordenadas; b) conrespecto al punto O′(1,2,-1); c) comprobar que M O′= M O + O′O × F.

2.2.- Dado el vector deslizante F = i + 2 j +3 k, aplicado en el punto P(3,4,2), calcular sumomento: a) con respecto a cada uno de losejes coordenados; b) con respecto al eje deter-minado por el origen de coordenadas y el punto Q(2,3,1); c) con respecto a la recta deecuación ( x-1)/2 = ( y+2)/3 = ( z-4)/(-5).

2.3.- Dado el vector deslizante F = 2i - 3 j +2 k, cuyo momento con respecto al origen decoordenadas es M O = 5i + 6 j + M z k, deter-minar M z y la ecuación de la recta de accióndel vector F.

2.4.- Demostrar que el momento resultante deun sistema de vectores deslizantes no es igualal momento de la resultante del sistema salvoque los vectores sean concurrentes en un puntoo paralelos entre sí.

2.5.- Demostrar que, si el momento de unsistema de vectores deslizantes es nulo conrespecto a tres puntos no alineados, el sistemade vectores es equivalente al sistema nulo.¿Qué ocurre si los tres puntos están alineados?

2.6.- Un sistema de vectores deslizantes estádefinido por sus momentos respecto a tres puntos del espacio, en la forma siguiente

M 1 = i + 2 j - k respecto a O1(2,0,1)

M 2 = ai + 4 j + 3 k O2(0,0,1)

M 3 = bi - j + c k O3(1,-1,0)

Hallar el vector resultante y completar lasexpresiones de los momentos.

2.7.- El módulo de la resultante de un sistemade vectores es R = 6, el invariante escalar del

sistema es M R=30 y la ecuación del ejecentral del sistema es 2 x = y = 2 z. Hallar: a) elmomento mínimo; b) la resultante; c) elmomento respecto al origen; d) el momentocon respecto al punto (2,1,0).




2.8.- a) Determinar el centro de un sistema devectores deslizantes paralelos, formado por losvectores de módulos 2, 4 y 5, respectivamente,y aplicados en los puntos (1,1,0), (2,3,1) y(2,1,3). b) Determinar la resultante del sistemay el momento resultante con respecto al origen

de coordenadas.2.9.- Demostrar que el sistema de vectores: F1

= 2i, F2 = -i y F3 = -i, aplicados en los puntos(0,0,0), (0,1,0) y (0,0,1), respectivamente, se puede reducir a un par y determinar dicho par.

2.10.- Dado un vector deslizante F = -i + 2 j +3 k cuya recta de acción pasa por el puntoP(2,1,1), y el par de momento M = 4i + 2 j,reducir dicho sistema a un vector único (de ser posible) aplicado en un punto del plano xy,cuyas coordenadas deben determinarse.

2.11.- Dado el

Prob. 2.11

sistema de vecto-res deslizantesque se representaen la figura, re-ducirlo a un vec-tor que pase por el origen decoordenadas y aun par. Determi-nar los módulos

de dichos vecto-res para que el sistema se pueda reducir: a) aun vector único y b) a un par.

2.12.- Sobre un cuerpo rígido actúan dos fuer-zas, F1 = 3i - 2 j + k y F2 = i - j, aplicadasrespectivamente en los puntos (0,1,1) y (2,0,1),y un par de fuerzas de momento M = 3i - k.Sustituir ese sistema de fuerzas por: a) unafuerza que pase por el punto (1,1,1) y un par;b) por una fuerza y un par de eje paralelo a lafuerza.

2.13.- Dados los vectores deslizantes a = i + j + k aplicado en A(1,1,0)

b = i - j - k aplicado en B(0,0,2)

c = 2i + j aplicado en C(1,1,1)

d = 2 k aplicado en D(0,3,0)

reducirlo a dos vectores, uno aplicado en elorigen de coordenadas y otro de módulounidad aplicado en un punto del plano xycuyas coordenadas deberán determinarse.

2.14.- Sea el sistema de vectores deslizantesformado por los vectores

a = j aplicado en A(0,0,1)

b = k aplicado en B(1,0,0)

Determinar un sistema equivalente al dado queesté constituido por dos vectores, de modo queuno de ellos tenga el eje y como recta direc-triz.

2.15.- Determinar el eje central del sistema devectores deslizantes definidos de la siguienteforma:

A = 2i + j + 3 k; PA(0,0,1)

B =6; B x>0; 2( x-1)= y= z

C =3; C x>0; PC(3,0,0);

2cosα=cosβ=cosγ

2.16.- Dado el sistema de vectores deslizantes:

a = i - j aplicado en A(0,0,1)

b = k aplicado en B(1,0,0)

determinar un tercer vector, de módulo 2 ycomponentes enteras, que junto con los dosanteriores constituya un sistema cuyo ejecentral sea la recta x = y = z.

2.17.- Consideremos el sistema de vectoresdeslizantes

F1 = j - k aplicado en P1(0,1,0)

F2 = - j aplicado en P2(1,0,0)

Determinar un tercer vector tal, que junto conlos dos anteriores, constituya un nuevo sistemaequivalente a un par cuyo momento tenga ladirección del eje z.

2.18.- Consideremos el sistema de vectores

Prob. 2.18

deslizantes infinitesimales definido por d A =λ d s, donde λ es una constante y d s es el vector arco de la curva:

x = 3 a cos θ y = 3 a sen θ z = 4aθ para O≤θ≤2π, como se muestra en la figura.a) Calcular la resultante y el momento del sis-tema respecto al origen de coordenadas. b) De-



Problemas 59

terminar el eje central y el torsor del sistema.

2.19.- Sean dos sistemas de vectores deslizan-tes definidos por sus torsores R; M respecti-vos:

T1 = (1,2,1);(2,4,2) P1(1,0,0)

T2 = (0,1,1);(0,3,3) P2(0,1,0)

Determinar el torsor resultante del sistema devectores constituido por los dos dados.

2.20.- Demostrar que el momento resultante deun sistema de vectores deslizantes es el mismo para todos los puntos de una recta paralela a ladirección de la resultante general del sistema.

2.21.- Demostrar que un vector y un par copla-narios equivalen a un vector único y que, recí-

procamente, un vector único equivale a otroequipolente que pase por el punto que se deseey a un par.

2.22.- En el §2.6 hemos obtenido la ecuaciónvectorial del eje central de un sistema devectores deslizantes [2.23], en la que apareceun parámetro escalar λ que depende del puntoO elegido como centro de reducción. Normal-mente, dicho punto será el origen de un siste-ma de coordenadas, de modo que O(0,0,0),adoptando entonces la ec. vectorial del ejecentral su forma más simple [2.23]. Sin embargo, si conocemos el momento resultante delsistema de vectores deslizantes en un puntocualquiera P, podemos obtener la misma ec.vectorial del eje central en la forma

OE OP PE OP R × M

P

R2 λ

P R

siendo λ P un nuevo parámetro, asociado alnuevo centro de reducción P, relacionado con

el anterior por

λ P

λ OP R

R 2

Demostrar estas dos expresiones y comprobar que se reducen a la [2.23] cuando el punto Pcoincide con el origen de coordenadas.

2.23.- a) Calcular el virial en el origen decoordenadas y determinar el plano centralcorrespondiente al sistema de vectores ligados

dado en el Ejemplo I de esta lección. b) De-terminar el punto central de dicho sistema devectores.

2.24.- a) Consideremos el sistema de vectores

paralelos al eje z, formado por los vectores demódulo 2, 4 y 5, respectivamente y aplicadosen los puntos (1,1,0), (2,3,1) y (2,1,3), co-rrespondientes. Determinar la posición delcentro y del punto central de este sistema devectores. b) Ahora, giremos el sistema de

vectores para colocarlo paralelo al eje x, sin al-terar los módulos ni los puntos de aplicaciónde los vectores. Determinar de nuevo la posi-ción del centro y del punto central del sistema.Interpretar los resultados.

2.25.- Demostrar los teoremas siguientes:a) Dado un sistema de vectores ligados y paralelos entre sí, el punto central de talsistema queda definido como el punto deintersección de todos los planos centrales co-rrespondientes a todas las posibles orientacio-nes que pudiera presentar dicho sistema devectores en el espacio. b) El centro y el puntocentral de un sistema de vectores paraleloscoinciden en un mismo punto del espacio.



3.- Análisis vectorial.

§3.1. Campos escalares y vectoriales (61); §3.2. Derivada de un vector respecto a un escalar (63); §3.3. Integral de un vector con respecto de una variable escalar (65); §3.4. Circulaciónde un vector (66); §3.5. Flujo de un campo vectorial (69); §3.6. Gradiente de un campoescalar (71); §3.7. Función potencial (73); §3.8. Divergencia de un campo vectorial (74);§3.9. Teorema de Gauss (76); §3.10. Rotacional de un campo vectorial (77);§3.11. Teorema de Stokes (78); §3.12. El operador nabbla (80); Problemas (82)

§3.1. Campos escalares y vectoriales.- Consideremos una función tal que

Figura 3.1

haga corresponder a cada punto del espacio el valor de una cierta magnitud física (función unívoca de

punto); decimos, entonces, que ese espacio, comosoporte de dicha magnitud física, es un campo; así,

hablaremos de campos gravitatorios, eléctricos, de presiones, de temperaturas, ...

De acuerdo con el carácter de la magnitudfísica que define al campo distinguiremos dos tiposde campos:

Campo escalar: Toda función que haga corres-

Figura 3.2

ponder a cada punto del espacio el valor de unamagnitud escalar define un campo escalar (Figu-

ra 3.1). Como ejemplos de campos escalares tenemos

los campos de temperatura, de presión, de densidad...

Campo vectorial: Toda función que haga corresponder a cada punto del espacio el valor de unamagnitud vectorial, esto es, un vector, define uncampo vectorial (Figura 3.2). Como ejemplos decampos vectoriales tenemos el campo gravitatorio( g), el eléctrico ( E), el magnético ( B), el de veloci-dades en una corriente fluida (v) ....

En general, el valor de la magnitud física quedefine al campo (escalar o vectorial) será función




62 Lec. 3.- Análisis vectorial.

tanto de las coordenadas del punto como del tiempo. Así, escribiremos para loscampos escalares y vectoriales anteriormente definidos

[3.1]φ ( r,t ) y A( r,t )

o bien, en coordenadas cartesianas,

[3.2]φ ( x, y, z,t ) y A( x, y, z,t )

Si el campo sólo es función de la posición, o sea si es φ( x,y,z) ó A( x,y,z),diremos que se trata de un campo estacionario; esto es, independiente del tiempo. Si,

por el contrario, sólo es función del tiempo, y, por tanto, toma el mismo valor en uninstante dado en todos los puntos del espacio en el que está definido, diremos quese trata de un campo uniforme y escribiremos φ(t ) ó A(t ).

Los campos escalares y los vectoriales admiten una representación gráfica que,si la realizamos de un modo adecuado, nos permitirá obtener una idea inmediata dealgunas de las características del campo.

En el caso de un campo escalar,

Figura 3.3

representado analíticamente por lamagnitud escalar φ, función continuaen todo el espacio (salvo, eventualmen-te en algunos puntos, líneas o superfi-cies aisladas), se define la superficieequiescalar como el lugar geométricode los puntos del espacio en los que la

función φ toma un determinado valor.Obsérvese que si en lugar de considerar

un espacio ordinario de 3 dimensiones considerásemos un espacio de sólo 2dimensiones, entonces hablaríamos de líneas equiescalares o isolíneas.

Es conveniente dibujar las superficies (o líneas) equiescalares correspondientesa valores del escalar φ regularmente espaciados, esto es, tales que

[3.3]φ 2 φ 1 ∆φ ; φ 3 φ 2 ∆φ ; ...

En la Figura 3.3 se representan las líneas equiescalares correspondientes a un cierto

Figura 3.4

campo escalar bidimensional. En las regio-nes donde las líneas (o superficies) equies-calares están más apretadas la variación delescalar φ por unidad de desplazamiento (elgradiente) es más acusada. En algunoscampos, como es el caso del representado enla Figura 3.3, pueden existir más de una líneao superficie equiescalares correspondientes aun mismo valor del escalar; pero las líneas osuperficies equiescalares correspondientes adistintos valores de la magnitud escalar φen ningún caso pueden cortarse, ya que φ esuna función unívoca de punto (i.e., en cada

punto del espacio la función φ( x,y,z) sólo



§3.1.- Campos escalares y vectoriales. 63

toma un valor).

Cuando la magnitud física que define al campo tenga carácter vectorial, como por ejemplo la función vectorial A( x,y,z), se dibujarán unas líneas de modo que seantangentes en cada uno de sus puntos a la dirección del vector A en esos puntos; estaslíneas son llamadas líneas vectoriales y nos mostrarán la dirección del vector A en

cada uno de los puntos del espacio donde el campo vectorial esté definido. Larepresentación del módulo del vector A en cada punto puede conseguirse espaciandolas líneas vectoriales de modo que el número de ellas que atraviesen la unidad desuperficie situada perpendicularmente a la dirección del campo en dicho punto seaigual a la intensidad del campo (módulo del vector A) en dicho punto. También aquí,al ser A( x,y,z) una función unívoca de punto, las líneas vectoriales no pueden cortarseentre sí.

Puesto que el campo vectorial A en cualquier punto del espacio es tangente a lalínea vectorial que pasa por ese punto, si consideramos un desplazamiento elemental

d r sobre la línea vectorial será A×d r =0 (condición de paralelismo), de modo que

[3.4]d x A x

d y A y

d z A z

son las ecuaciones diferenciales de la familia de líneas vectoriales asociadas al campovectorial A( x, y, z).

Ejemplo I.- Líneas vectoriales.- Dado el campo vectorial A = - yi + x j, obtener la ecuación generalde las líneas vectoriales y representarlas gráficamente.

Aplicaremos la expr. [3.4] para obtener las eces.dif es. de las

Figura 3.5

líneas vectoriales; i.e.,

d x y

d y x

d z0

de donde se sigue

x d x y d y 0d z 0

⇒

x 2 y2 cte. z cte.

de modo que las líneas vectoriales son circunferencias concéntricascon el eje z, contenidas en los planos z=cte y recorridas en elsentido antihorario, como se ilustra en la Figura 3.5. Obsérvese que A2 = y2+ x2 = r 2, de modo queel radio de cada una de las circunferencias es igual al módulo del vector campo en los puntos dela misma, que permanece constante.

§3.2. Derivada de un vector respecto a un escalar.- En el párrafo anterior hemos tratado con vectores variables; esto es, función de una o más variablesindependientes, que bien pueden ser las coordenadas cartesianas ( x,y,z) del espacioy el tiempo t . El estudio de estos vectores variables puede reducirse al de las fun-




ciones ordinarias sin más que referirlos a un sistema de ejes fijos. En un tal sistema,las componentes de un vector variable resultan ser funciones, en el sentido más usualde la palabra, de las variables independientes. Se estudian así, sin dificultad, losconceptos de continuidad, derivación, integración, ...

Así, en el caso de un vector que sea función

Figura 3.6

de una única variable independiente u, esto es,una función (que supondremos continua) de lavariable escalar u, A(u), si el escalar experi-menta un incremento ∆u, el vector experimen-tará una variación ∆ A = A(u+∆u) - A(u), cuyosignificado queda explícito en la Figura 3.6. Encompleto paralelismo con la definición ordinariade derivada, definimos la derivada del vector

A(u) con respecto al escalar u como

[3.5]d A

du lim

∆u→0

∆ A

∆u

en el supuesto de que dicho límite exista.

La derivada d A/du es un vector que tiene la dirección hacia la que tiende elvector ∆ A cuando ∆u tiende a cero. Como ∆ A es la cuerda del arco descrito por elextremo del vector A, resulta que la derivada d A/du está dirigida según la tangentea la curva descrita por el extremo del vector A cuando se va incrementando el valor del escalar u, pues en el límite dicha cuerda pasa a la posición tangente a la curva.

Si es A = A x(u)i+ A y(u) j+ A z(u) k, por la propiedad distributiva de la derivacióntenemos

[3.6]d A

du

d A x

du i

d A y

du j

d A z

du k

y con notación matricial escribiremos

[3.7]d A

dud

du

A x(u)

A y(u) A z(u)

d A x(u)/du

d A y(u)/dud A z(u)/du

De la definición de derivada de un vector y del álgebra vectorial se siguen confacilidad las siguientes propiedades, que damos sin demostrar, siendo A(u), B(u) ...vectores funciones de la variables escalar u, m un escalar y φ(u) una función escalar:

[3.8]ddu

( A ± B) d A

du ±

d B

du

[3.9]ddu

(m A) m d Adu

ddu

(φ A) φ d A

du A

dφdu



§3.2.- Derivada de un vector respecto a un escalar. 65

[3.10]ddu

( A B ) A d B

dud A

du B

ddu

( A× B) A× d Bdu

d A

du × B

[3.11]d

du

d A

du

d2 A

du 2

d2 A x

du2 i

d2 A y

du 2 j

d2 A z

du2 k

Si en lugar de una sola variable independiente aparecen dos o más, habrá queintroducir derivadas parciales con respecto a ellas. Las fórmulas anteriores setransforman con cambios evidentes sustituyendo las derivadas totales por parciales.

En el caso de un campo vectorial A( x,y,z,t ), esto es

A = A1( x,y,z,t )i + A2( x,y,z,t ) j + A3( x,y,z,t ) k

tendremos

[3.12]

∂ A∂ x ∂ A1

∂ x i ∂ A2

∂ x j ∂ A3

∂ x k ∂ A

∂ y ∂ A1

∂ y i ∂ A2

∂ y j ∂ A3

∂ y k

∂ A

∂ z

∂ A1

∂ z i

∂ A2

∂ z j

∂ A3

∂ z k

∂ A

∂t

∂ A1

∂t i

∂ A2

∂t j

∂ A3

∂t k

Como suponemos que los versores (i, j, k) son fijos, se tiene como definición dediferencial del vector A

[3.13]d A d A1 i d A2 j d A3 k

siendo [3.14]d Ai

∂ Ai

∂ x d x

∂ Ai

∂ y d y

∂ Ai

∂ z d z

∂ Ai

∂t dt

con i = 1,2,3. En particular, si es A = A(u), será

[3.15]d Ai

d Ai

du du

§3.3. Integral de un vector con respecto de una variable escalar.- De ladefinición de derivada de un vector respecto de una variable escalar se sigue, comooperación inversa, la integración. Así, dado un vector variable A= A(u), definiremosla integral indefinida de A(u) como

[3.16]⌡⌠ A(u)du i ⌡

⌠ A1(u)du j ⌡⌠ A2(u)du k ⌡

⌠ A3(u)du C

o sea [3.17]⌡⌠ A(u)du B(u) C

siendo B(u) el vector cuyas componentes son las integrales anteriores y C un vector constante arbitrario. Evidentemente es




[3.18] A(u) d B(u)

du

Análogamente se define la integral definida de A(u) entre los valores u=α y u=β,obteniéndose la siguiente generalización de la regla de BARROW:

[3.19]⌡⌠

β

α

A(u)du ⌡⌠

β

α

d B(u)du

du [ B(u) C ]β

α B(β ) B(α)

§3.4. Circulación de un vector.- Supongamos definido un arco de curva

Figura 3.7

regular por el vector de origen fijo O, r(t ), siendo t un parámetro escalar (nonecesariamente el tiempo), y dado un campo vectorial A( r), función continua de

punto. Podemos definir la integral del producto escalar A d r; esto es,

[3.20]⌡⌠β

αC

A d r

donde C es la curva sobre la que se efectúa laintegración, α y β, son los puntos inicial y finalsobre dicha curva y d r es un desplazamiento infinite-simal sobre la misma. Puesto que A d r es un escalar,está claro que la integral [3.20] dará como resultadoun escalar. Dicha integral se denomina circulación

del vector A( r) sobre la curva C, entre los puntos αy β.

La definición de una integral de esta clase,llamada integral curvilínea, es muy semejante a la

definición de R IEMANN de la integral definida. El trozo de curva, entre los puntos αy β se divide en un gran número de pequeños elementos ∆ ri; en cada elemento setoma un punto interior al mismo y se determina el valor de A( r) en dicho punto; y,finalmente, se calcula el producto escalar de cada incremento ∆ ri por el valor correspondiente de Ai, y se suman todos esos productos. La integral curvilínea queda

entonces definida como el límite de dicha suma (en el supuesto de que dicho límiteexista) a medida que el número de elementos se hace cada vez mayor, tendiendo ainfinito, de tal manera que cada elemento tenderá a cero. Esta definición puede expre-sarse en forma compacta por

[3.21]⌡⌠

β

αC

A d r lím N →∞

N

i 1

A i ∆ r i

La evaluación de una integral curvilínea puede llevarse a cabo de la formasiguiente. Consideremos un sistema de coordenadas cartesianas ( x,y,z) de modo que,siendo A( x,y,z) = A(t ), será




Si coinciden los puntos inicial y final, esto es si la integral curvilínea se evalúasobre una curva cerrada, es costumbre emplear una notación especial,

[3.27]C

A d r

Por otra parte, si A es un vector constante, esto es, si se trata de un campovectorial uniforme, entonces tenemos que

[3.28]⌡⌠

β

αC

A d r A ⌡⌠

β

αC

d r A PαPβ

de modo que [3.29] A d r 0

ya que PαPβ = 0.

Figura 3.9

Generalmente la circulación del vector A

entre los puntos α y β es función de la curvaque una dichos puntos; i.e., del camino seguido

para ir del primer punto al segundo; es decir,

[3.30]⌡⌠

β

αC1

A d r ≠ ⌡⌠

β

αC2

A d r

y será preciso especificar el camino seguidoentre los puntos α y β para calcular la circula-

ción del campo vectorial A entre dichos puntos (Figura 3.9).

No obstante, en la física, o lo que es lo mismo, en la Naturaleza, existen algunoscampos sumamente importantes en los que se verifica que su circulación es indepen-diente del camino que se siga para realizar la integración de [3.20] entre los puntosα y β. Tales campos vectoriales reciben el nombre de campos conservativos oirrotacionales (por las razones que se verán más adelante). En un campo conservati-vo, a causa de que su circulación no depende del camino seguido entre dos puntos

dados, ésta puede calcularse como la diferencia de valores que toma una cierta unafunción escalar de punto llamada función potencial . Son campos conservativos elgravitatorio y el electrostático. No son conservativos el campo eléctrico de inducción,ni el campo de velocidades en una corriente fluida con remolinos.

La condición necesaria y suficiente para que un campo vectorial A seaconservativo es que sea nula la circulación de A a lo largo de cualquier línea cerradadel espacio en el que está definido el campo. O sea que

[3.31] A d r 0



§3.4.- Circulación de un vector. 69

ya que entonces [3.32] A d r ⌡

⌠β

αC1

A d r ⌡⌠

α

βC2

A d r 0

lo que implica que [3.33]⌡⌠β

αC1

A d r ⌡⌠β

αC2

A d r

o sea que la circulación del campo entre dos puntos dados no depende del caminoque sigamos para unir dichos puntos.

§3.5. Flujo de un campo vectorial.-

Figura 3.10

Imaginemos un elemento de superficie

suficientemente pequeño como para que podamos considerarlo como plano; dichoelemento de superficie es representable medianteun vector, dS, cuyo módulo es el área del ele-mento, cuya dirección es normal al plano delmismo y cuyo sentido es el del avance de untornillo que girase según el sentido atribuido arbitrariamente al contorno del elementode superficie (Figura 3.10).

Consideremos un campo vectorial A y un tal elemento de superficie dS; al ser infinitesimal dicho elemento, el vector A puede considerarse constante en toda laextensión de dicho elemento de superficie (Figura 3.11). Se define el flujo elemental del campo vectorial A a través del elemento de superficie dS como el productoescalar

[3.34]dΦ A dS

o sea [3.35]dΦ A dS cos θ A dS ′

Puesto que dS ′ es la proyección del ele-

Figura 3.11

mento de superficie dS en la direcciónnormal al campo vectorial A, y recor-dando lo que dijimos para la repre-sentación de los campos vectorialesmediante líneas vectoriales, vemos queel flujo elemental dΦ es igual al núme-ro de líneas vectoriales que atraviesanla superficie dS .

Ahora, consideremos una superficie S colocada en una región cualquiera delespacio en el que existe un campo vectorial A. Dividamos dicha superficie en

superficies elementales ∆S 1, ∆S 2, ... y tracemos los versores normales e1, e2, ... a cadauna de dichas superficies elementales (Figura 3.12), de modo que



§3.5.- Flujo de un campo vectorial. 71

(+) que entrante (-), de modo que salen más líneas vectoriales desde el interior de lasuperficie que las que entran en la misma; diremos que dentro de la superficie hayuna fuente o creación de líneas vectoriales. Por el contrario, si el flujo a través de unasuperficie cerrada es negativo, diremos que hay un sumidero o desaparición de líneasvectoriales en el interior de la superficie cerrada, ya que entran más líneas que las

que salen. Por último, si el flujo a través de una superficie cerrada es nulo, todas laslíneas vectoriales que penetran en la superficie saldrán por otros puntos de la misma,de modo que el efecto neto es que ni se crean ni se destruyen líneas vectoriales enel interior de la superficie cerrada.

La integral de superficie A dS

Figura 3.14

depende, en general, de la superficie deintegración y los casos en que nodepende de dicha superficie son par-ticularmente interesantes.

Diremos que un campo vectorial es solenoidal si

[3.41]S

A dS 0

para cualquier superficie sumergida enel campo. Ya hemos dicho que estoequivale a afirmar que el número delíneas vectoriales que salen por unos

puntos de la superficie es igual al

número de las que entran por otros puntos de la misma, de modo que ni nacen ni mueren líneas vectoriales en el interior de la superficie cerrada. El campo gravitatorio sólo es solenoidal en aquellas regionesque no contienen masas gravitatorias, pues éstas actúan como sumideros de líneas defuerza gravitatoria. Lo mismo ocurre con el campo electrostático (Figura 3.14): sólo essolenoidal donde no existan cargas eléctricas. El campo magnético B es solenoidalen todos los puntos del espacio, ya que las líneas de inducción magnéticas soncerradas.

De lo anteriormente expuesto se sigue fácilmente que las fuentes y sumideros de

un campo representan las fuentes escalares (positivas, fuentes; negativas, sumideros)del campo. Así, la fuente u origen escalar del campo gravitatorio es la masa gravi-tatoria, que se comporta como sumidero del campo. La fuente u origen escalar delcampo electrostático es la carga eléctrica: las cargas positivas representan las fuentesy las negativas los sumideros de campo. Obviamente, el campo magnético B no tienefuentes escalares; i.e., su origen no es de naturaleza escalar, sino vectorial (cargas enmovimiento).

§3.6. Gradiente de un campo escalar.- Dada una función escalar φ( x, y, z),función continua y derivable de las coordenadas espaciales ( x, y, z), su diferencial

[3.42]dφ ∂φ∂ x

d x ∂φ

∂ y d y

∂φ∂ z

d z




puede expresarse como el producto escalar de dos vectores: uno de componentes(d x,d y,d z), que es el diferencial (d r) del vector de posición r = xi + y j + z k; el otroel vector de componentes (∂φ/∂ x, ∂φ/∂ y, ∂φ/∂ z), que se denomina gradiente de φ,y se designa por grad φ, o bien por ∇φ; es decir

[3.43]grad φ ∇ φ ∂φ∂ x i ∂φ∂ y

j ∂φ∂ z k

y es [3.44]dφ ∇ φ d r

Una interpretación geométrica del gradiente se obtiene observando que laecuación

φ ( x, y, z) cte.

representa una familia de superficies (una superficie para cada valor de la constante);la superficie S de la familia que pasa por el punto P0( x0, y0, z0) tendrá de ecuación

φ φ ( x0, y0, z0)

Entonces, para cualquier punto en un entorno suficientemente restringido de P0


(Figura 3.15), será dφ=0, esto es, ∇φ d r = 0; lo que indica que ∇φ es perpendicular

a d r. Por tanto, el vector ∇φ0 (i.e., el gradiente en el punto P0) es perpendicular atodas las tangentes a la superficie S en el punto P0, i.e., normal a la superficie endicho punto.

Además, obsérvese que de dφ = ∇φ d r se sigue que

[3.45]dφd s

∇ φ d r

d s ∇ φ e ∇ φ cos θ

siendo d s = d r (i.e., d r/d s=e es un versor en la dirección del desplazamientoelemental d r) y θ el ángulo formado por los vectores ∇φ y d r (Figura 3.16). La

expresión anterior se denomina derivada direccional o derivada de φ en la direcciónde e. De aquí se sigue que dφ/ds varía con el valor del ángulo θ, presentándose suvalor máximo (igual a ∇φ ) para θ=0. Esto es:

la variación máxima de φ en el punto P0 se presenta en la dirección de ∇φ



§3.6.- Gradiente de un campo escalar. 73

en el punto P0; o sea, en la dirección normal a la superficie equiescalar S enel punto P0.

El resultado anterior nos permite definir el gra-

Figura 3.17

diente de un campo escalar como un vector cuyadirección y sentido corresponden al del máximo

crecimiento de φ y cuyo módulo es el valor dedicho crecimiento por unidad de desplazamiento enesa misma dirección (derivada direccional ).

Obsérvese que, dado un campo escalar φ( x,y,z), podemos obtener a partir de él un campo vectorial

[3.46] A( x, y, z) ∇ φ ( x, y, z)

que hace corresponder a cada punto del espacio (enel que está definido el campo escalar φ) un vector A( x,y,z) que es el gradiente del

campo escalar en ese mismo punto.Como consecuencia de la

Figura 3.18

representación de los camposescalares y vectoriales por superficies (o líneas) equiesca-lares y líneas vectoriales,respectivamente, y al ser elvector gradiente en un punto

perpendicular a la superficie (o

línea) equiescalar que pasa por dicho punto, resulta que laslíneas vectoriales (que son tan-gentes a ∇φ) cortarán ortogo-nalmente a las superficies (olíneas) equiescalares (Figu-

ras 3.17 y 3.18).

§3.7. Función poten-cial.- Ahora podemos calcular

la circulación del vector A=∇φa lo largo de un caminocualquiera que una dos puntosdados, α y β, del espacio (Figu-

ra 3.19). Tenemos

[3.47]⌡⌠

β

αC

A d r ⌡⌠

β

βC

∇φ d r ⌡⌠

β

α

dφ φ β φ α

de modo que la circulación del vector ∇φ es independiente del camino seguido parair desde el punto α al puntos β, ya que dicha circulación sólo depende de los valoresque toma la función escalar de punto φ (i.e., el campo escalar) en los puntos α y β.Así, podemos afirmar que el campo de gradiente es un campo vectorial conservativo.




Si tenemos un campos vectorial A tal que se

Figura 3.19

pueda obtener a partir de un campo escalar φ,mediante la operación A = ∇φ, el campo vecto-rial A será conservativo y la función φ( x,y,z) sedenomina su función potencial 1. Inversamente,

todo campo vectorial A que sea conservativo se podrá obtener a partir de un campo escalar ofunción potencial φ mediante la operación A =∇φ.

Ejemplo III.- El campo vectorial A definido en el Ejemplo II es conservativo (se demostrará enel Ejemplo IV). Obtener su función potencial.

Calculamos la circulación del campo vectorial a lo largo del camino definido por la línea

quebrada determinada por los puntos (0,0,0), ( x,0,0), ( x, y,0) y ( x, y, z); esto es,

⌡⌠

( x, y, z)

(0,0,0)C

A d r ⌡⌠

x

0 y 0 z 0

(2 xy)d x ⌡⌠

y

0 x x z 0

( x2 2 yz3)d y ⌡⌠

z

0 x x y y

(3 y2 z 2)d z

⌡⌠

x

0

(0)d x ⌡⌠

y

0

x 2 d y ⌡⌠

z

0

3 y 2 z 2d z x 2 y y 2 z 3

de modo que φβ - φα = x2 y + y2 z3, y puesto que las coordenadas del punto β son genéricas, será

φ ( x, y, z) x 2 y y 2 z 3 cte.

§3.8. Divergencia de un campo vectorial.- Consideremos un campo vectorial A y un elemento de volumen que contiene al punto P. Definiremos la divergencia delcampo vectorial en el punto P como el límite a que tiende el cociente entre el flujodel campo vectorial a través de la superficie S que delimita al elemento de volumen∆V y dicho elemento de volumen, cuando ∆V →0 encerrando siempre al punto P(Figura 3.20). Esto es, designándola por div A o bien por ∇ A, será

[3.48]div A ∇ A lím∆V →0

1∆V S

A dS

donde la integral se extiende a la superficie S que delimita al elemento de volumen∆V . Conforme tiende a cero el elemento de volumen, el punto P siempre permaneceen su interior. Se puede demostrar que esta definición es independiente de la formadel elemento de volumen. De la definición anterior, y si consideramos ∆V como la

1 Cuando el campo vectorial conservativo es un campo de fuerzas, se define el potencial (Φ)de modo que su diferencia de valores en dos puntos es igual a la circulación del campo de fuerzasentre esos puntos, cambiada de signo. De este modo, resulta ser Φ = -φ. Ampliaremos esteconcepto en la Lec. 10.



§3.8.- Divergencia de un campo vectorial. 75

unidad de volumen, se puede interpretar la

Figura 3.20

divergencia de un campo vectorial en un punto Pcomo el flujo de dicho campo a través de unasuperficie que delimita la unidad de volumen entorno al punto P. De otro modo, la div A en un

punto representa el número de líneas vectorialesque nacen o mueren en la unidad de volumencolocada en dicho punto. Evidentemente, la diver-gencia de un campo vectorial es una funciónescalar de punto.

El campo vectorial A será solenoidal cuando en todos los puntos del espaciodonde está definido se verifica que div A=0; es decir, que en ningún punto de dichoespacio nacen ni mueren líneas vectoriales. Ya vimos anteriormente que el campomagnético es solenoidal en todo el espacio, ya que las líneas de inducción magnéticason cerradas.

Puesto que en la definición de la divergencia de un campo vectorial no hemoshecho mención a algún sistema de coordenadas, resulta obvio que ésta es indepen-diente del sistema de coordenadas elegido; sin embargo, su expresión si depende delsistema de coordenadas y deberá determinarse a partir de la evaluación de ladefinición [3.48] en dicho sistema de coordenadas.

Ahora buscaremos la expresión de div A en coordenadas cartesianas. Para ello, elegiremos laforma del elemento de volumen ∆V del modo más conveniente para que la integral de superficiede la ec. [3.48] resulte lo más sencilla posible. Así, tomaremos como elemento de volumen un paralelepípedo de aristas ∆ x, ∆ y, ∆ z, como se muestra en la Figura 3.21, de modo que ∆V = ∆ x ∆ y ∆ z.

Para calcular A dS calcularemos el flujo de A a través de cada una de las seis caras del paralelepípedo y sumaremos los resultados. Así, el flujo a través de la cara 1 es sólo debido a lacomponente A y del vector A y, como es un flujo entrante en el elemento de volumen, lo conside-ramos negativo:

Figura 3.21

A y(1) ∆ x ∆ z

y a través de la cara 2 tenemos un flujo positivo (saliente)dado por

A y(2) ∆ x ∆ z

A y(1)

∂ A y

∂ y 0∆ y ∆ x ∆ z

de modo que el flujo ligado a esas dos caras es

∂ A y

∂ y 0

∆ x ∆ y ∆ z

y, de modo análogo, se tiene para las otras dos parejas de caras

∂ A

x∂ x 0

∆ x ∆ y ∆ z

∂ A

z∂ z 0

∆ x ∆ y ∆ z

de modo que, sumando las expresiones anteriores, obtenemos el flujo total a través de las seis carasdel paralelepípedo;




S

A dS

∂ A x

∂ x

∂ A y

∂ y

∂ A z

∂ z 0

∆ x ∆ y ∆ z

entonces, de la definición de div A, se sigue

∇ A lím∆V →0

1∆V S

A dS

∂ A x

∂ x

∂ A y

∂ y

∂ A z

∂ z

de modo que la expresión cartesiana de la divergencia del campo vectorial A es

[3.49]div A ∇ A∂ A x

∂ x

∂ A y

∂ y

∂ A z

∂ z

§3.9. Teorema de Gauss.- Consideremos un campo vectorial A definido entodos los puntos de un volumen V y de la superficie S que lo delimita. Subdividamosdicho volumen en pequeños elementos ∆V i, como se ilustra en la Figura 3.22; entonces,

para cada uno de esos elementos de volumen, podemos escribir

Figura 3.22

[3.50](∇ A) ∆V i S i A dS

estando extendida la integral a la superficie S i total(i.e., bases y caras laterales) que delimita al elemento

de volumen ∆V i. Tendremos una ecuación como la[3.50] para cada uno de los elementos de volumen enque hemos descompuesto el volumen total V . Cuandosumamos miembro a miembro todas esas ecuaciones,tenemos

[3.51]i

(∇ A) ∆V ii S i

A dS

Los términos que aparecen en el segundo miembro de la expresión anterior representan el flujo a través de cada una de las superficies que delimitan cada unode los elementos de volumen ∆V i. Se observará que al sumar todos esos flujos, loscorrespondientes a las caras comunes de dos elementos vecinos (Figura 3.22) secompensarán, de modo que la suma del segundo miembro de [3.51] representasimplemente el flujo a través de las caras exteriores de los elementos de volumen∆V i; o sea, el flujo a través de la superficie S que delimita al volumen total V . Si

pasamos al límite, para elementos de volumen ∆V i cada vez más pequeños, elsumatorio del primer miembro de [3.51] se convierte en una integral, y nos queda

[3.52]⌡⌠

V ∇ A dV

S A dS

donde las integrales de volumen y de superficie se extienden, respectivamente, alvolumen total V y a la superficie S que lo delimita. El resultado anterior constituyela expresión del TEOREMA DE GAUSS, que se enuncia en la siguiente forma:



§3.9.- Teorema de Gauss. 77

La integral de la divergencia de un campo vectorial en un volumen V esigual al flujo de dicho campo a través de la superficie S que delimita alcitado volumen V .

El teorema de Gauss nos permite asegurar que en un campo solenoidal la

divergencia del campo es nula en todos los puntos del espacio. Esto es, para uncampo solenoidal es

[3.53]∇ A 0

§3.10. Rotacional de un campo vectorial.- Consideremos, de nuevo, uncampo vectorial A y un elemento de volumen ∆V que contiene al punto P.Definiremos el rotacional del campo vectorial en el punto P, y lo designaremos por rot A o bien por ∇× A, como

[3.54]rot A ∇ × A lím∆V →0

1∆V S

dS × A

donde la integral se extenderá a la superficie S

Figura 3.23

que delimita al elemento ∆V considerado, elcuál, al tender a cero, deberá contener siempreal punto P (Figura 3.23). Si comparamos estadefinición con la dada anteriormente para div A,veremos que existe un cierto parecido entre

ambas. Obsérvese que en tanto que, en ciertomodo, la div A es una medida de la componentenormal del campo en la superficie del elemento∆V , el rot A lo es de la componente tangenciala dicha superficie. Evidentemente, el rot A es una función vectorial de punto.

La definición que hemos dado para el rot A es independiente del sistema de

Figura 3.24

coordenadas considerado; sin embargo, su expre-sión depende del sistema de coordenadas queelijamos y se determinará evaluando la definición[3.54] en dicho sistema de coordenadas.

Buscaremos ahora la expresión del rot A en coordena-das cartesianas. Para ello, debemos elegir la forma delelemento del volumen ∆V de modo que la integral desuperficie que aparece en [3.54] sea fácil de calcular.Tomaremos como elemento de volumen un paralelepípedorectangular de aristas ∆ x, ∆ y y ∆ z, de modo que ∆V =∆ x ∆ y ∆ z.

Para la componente x de rot A sólo contribuyen lascaras perpendiculares a los ejes y y z; entonces será

(∇ × A) x lím∆V →0

1∆V [ A y( x, y,∆ z) A y( x, y,0)] ∆ x∆ y [ A z( x,∆ y, z) A z( x,0, z) ] ∆ x∆ z

y desarrollando en serie de TAYLOR y pasando al límite se tiene




(∇ × A) x∂ A z

∂ y

∂ A y

∂ z

y, análogamente, para las componentes y y z de rot A se tiene

(∇ × A) y ∂ A x

∂ z ∂ A z

∂ x (∇ × A) z ∂ A y

∂ x ∂ A x

∂ y

de modo que rot A se expresa en coordenadas cartesianas en la forma

rot A ∇ × A

∂ A z

∂ y

∂ A y

∂ z i

∂ A x

∂ z

∂ A z

∂ x j

∂ A y

∂ x

∂ A x

∂ y k

o bien [3.55]rot A ∇ × A

i j k

∂∂ x

∂∂ y

∂∂ z

A x A y A z

§3.11. Teorema de Stokes.- Veamos ahora una definición alternativa delrotacional de un campo vectorial, equivalente a la dada en el apartado anterior, queresulta más conveniente en ciertas aplicaciones.

Sea un campo vectorial A y un elemento

Figura 3.25

de superficie ∆S (suficientemente pequeñocomo para que podamos considerarlo plano)que contiene a un punto P. Calculemos lacirculación del campo vectorial A a lo largodel contorno de dicho elemento de superficiey calculemos el límite a que tiende el coefi-ciente entre dicha circulación y el área delelemento de superficie cuando ∆S →0 conte-niendo siempre al punto P. Ese valor límite

es, por definición, la proyección del rotacional del campo vectorial A en el punto Pen la dirección de la normal, en = ∆S/∆S , al elemento de superficie considerado;

[3.56](∇ × A) e n lím∆S →0

1∆S C

A d r

Consideremos, ahora, un campo vectorial A definido en todos los puntos de unasuperficie arbitraria S y en los puntos de la curva C que la limita, en la que elegimosun sentido de circulación, como se muestra en la Figura 3.26. Subdividamos esasuperficie en elementos ∆Si, en los que el sentido de circulación en sus respectivos

contornos viene impuesto por el establecido anteriormente; entonces, en virtud de ladefinición anterior de ∇× A, para cada uno de esos elementos podemos escribir



§3.11.- Teorema de Stokes. 79

[3.57](∇ × A) ∆S i C i

A d r

efectuándose la integral a lo largo del contorno del elemento de superficie correspon-diente. Tendremos una ecuación como la anterior para cada uno de los elementos de

superficie en que hemos descompuesto la superficie total S . Si sumamos miembro amiembro todas esas ecuaciones, tenemos

[3.58]i

(∇ × A) ∆S ii C i

A d r

Los términos que aparecen en el segun-

Figura 3.26

do miembro de [3.58] representan la circula-ción del campo a lo largo de cada una de laslíneas que delimita cada uno de los elemen-

tos de superficie ∆Si. Se observará que alsumar todas esas circulaciones, las correspondientes a los recorridos interiores secompensan, ya que cada uno de ellos escomún a dos circuitos vecinos y es recorridodos veces en sentidos opuestos, de modo queel sumatorio del segundo miembro de [3.58]

representa simplemente la circulación delcampo sobre el contorno exterior C de lasuperficie S . Si pasamos al límite, para

elementos de superficie cada vez más pequeños, el sumatorio del primer miembro de[3.58] se convierte en una integral, y nos queda

[3.59]⌡⌠

S

(∇ × A) dSC

A d r

donde las integrales se extienden a la superficie total S y a su contorno C. Elresultado anterior constituye la expresión del TEOREMA DE STOKES, que se enunciaen la forma siguiente:

La circulación de un campo vectorial sobre una línea cerrada es igual al flujo

del rotacional del campo a través de una superficie cualquiera limitada por dicha línea cerrada.

Como ya sabemos, el rotacional de un campo vectorial es una función vectorialde punto. Cuando en todos los puntos del espacio donde está definido el campo vec-torial A se verifica que rot A=0, se dice que el campo vectorial A es irrotacional .

Si es A = grad φ, esto es, si el campo vectorial deriva de un campo escalar (potencial), A será un campo irrotacional, pues por aplicación del teorema de Stokesa una superficie arbitraria situada en el campo, se tiene

[3.60]⌡⌠S (∇ × A) dS

C A d r

C∇ φ d r

Cdφ 0

de modo que, puesto que S es arbitraria, deberá ser rot A=0, o sea que




[3.61]rot ( gradφ ) ∇ × (∇ φ ) 0

lo que significa que

todo campo vectorial irrotacional es conservativo, y todo campo vectorial

conservativo es irrotacionalde modo que decir campo conservativo o campo irrotacional es equivalente.

Ejemplo IV.- Demostrar que el campo vectorial A definido en el Ejemplo II es conservativo.

Simplemente, verificaremos si su rotacional es nulo; esto es,

∇ × A

∂/∂ x∂/∂ y∂/∂ z

×

2 xy

x 2 2 yz3

3 y2 z2

6 yz2 6 yz2

0 02 x 2 x

000

0

§3.12. El operador nabbla.- Las notaciones ∇ φ, ∇ A y ∇× A que hemosutilizado anteriormente para designar operadores tan diversos como el gradiente deun campo escalar (grad φ), la divergencia de un campo vectorial (div A) y elrotacional de un campo vectorial (rot A) se explican considerando el signo operativo

∇ de HAMILTON, que se denomina nabbla, que puede considerarse como un operador vectorial diferencial de componentes ∂/∂ x, ∂/∂ y, ∂/∂ z; esto es

[3.62]∇ i ∂∂ x

j ∂∂ y

k ∂∂ z

conviniendo en considerar las derivadas parciales ∂φ/∂ x, ∂φ/∂ y, ∂φ/∂ z, como un producto simbólico de ∂/∂ x, ∂/∂ y, ∂/∂ z por la función φ( x, y, z), con lo que resulta queel operador ∇ puede multiplicarse escalar y vectorialmente por otros vectores,obteniéndose:

[3.63]grad φ ∇ φ

i ∂∂ x

j ∂∂ y

k ∂∂ z

φ ∂φ∂ x

i ∂φ

∂ y j

∂φ∂ z

k

div A ∇ A

i ∂∂ x

j ∂∂ y

k ∂∂ z

( A x i A y j A z k )

[3.64]∂ A x

∂ x

∂ A y

∂ y

∂ A z

∂ z

rot A ∇ × A

i ∂∂ x

j ∂∂ y

k ∂∂ z

× ( A x i A y j A z k )



Problemas 83

(0,0) hasta (1,1); b) la línea quebrada determi-nada por los puntos (0,0), (1,0) y (1,1);c) ídem por los puntos (0,0),(0,1) y (1,1);d) sobre la curva y= x2 entre los puntos (0,0) y(1,1); e) ídem sobre la curva x= y2; f) sobre latrayectoria cerrada definida por las curvas y= x2

y x= y2

; g) ¿Es conservativo este campo?3.16.- Calcular A d r, donde

A = (2 x- y+ z)i + ( x+ y- z) j + xyz k

sobre la elipse de ecuación x2/9+y2/4=1. ¿Esconservativo este campo?

3.17.- Calcular el flujo del campo vectorialdefinido por A = xi + y j + z k, a través de lassuperficies siguientes: a) la superficie de uncubo de arista unidad delimitado por los planos coordenados y los planos x=1, y=1 y z=1; b) la superficie esférica de radio unidady centrada en el origen de coordenadas.

3.18.- Calcular el flujo del campo eléctrico

a través de una superficie es- E q

4π 0

r

r 3

férica de radio R centrada en el origen decoordenadas.

3.19.- Hallar los gradientes de los camposescalares siguientes:

a) φ = x2 + y2 + z2

b) φ = xy3 + yz3 + zx3

c) φ = x2 y/ z3

d) φ = x sen( yz) + y cos( xz)

e) φ = x cos x + xyz

3.20.- Determinar la ecuación del plano tan-gente al paraboloide elíptico z= x2+2 y2, en el

punto de coordenadas (2,1,6).3.21.- a) Calcular la derivada direccional de lafunción φ = 2 xz - y2 en la dirección del vector 2i + j - k en el punto P(1,3,2). b) Determinar,en dicho punto, la dirección del máximo creci-miento de φ, así como el valor de dicho creci-miento por unidad de longitud en la citadadirección.

3.22.- Calcular grad ( A r), siendo A unvector constante y r el vector de posición.

3.23.- Dado el campo vectorial definido por A =( x3+ yz)i + ( y3+ xz) j + ( z3+ xy) k

calcular: a) div A; b) S A dS, siendo S lasuperficie de la esfera x2 + y2 + z2 = R2.

3.24.- a) Demostrar que el campo vectorial Adefinido en el Problema 3.23 es conservativo.b) Determinar una función escalar φ tal quesea A = grad φ. c) Calcular la circulación delcampo A entre los puntos (0,0,0) y (1,3,-2).

3.25.- Sea el campo vectorial

A = (1+ yz)i + (1+ xz) j + (1+ xy) k

a) Calcular la circulación de este campo vecto-rial entre los puntos (0,0,0) y (1,2,3) a lo largode la recta que los une. b) Demostrar que estecampo es conservativo y determinar la función potencial correspondiente. c) Recalcular el primer apartado mediante la función potencial.

3.26.- Sea el campo vectorial A = y i + z j + x k. a) ¿Es conservativo? b) Calcular sucirculación a lo largo de media vuelta de lahélice cuyas ecuaciones paramétricas son:

x = 2 cos θ, y = 2 sen θ, z = 3 θ

entre el punto (2,0,0) y el (-2,0,3π). c) Ídema lo largo de la recta que une esos dos puntos.d) Ídem a lo largo de la poligonal definida por los puntos (2,0,0), (2,2,0), (-2,2,0), (-2,0,0) y (-2,0,3π).

3.27.- Sea el campo vectorial

A = (2 x+ yz)i + (2 y+ xz) j + (2 z+ xy) k

a) Evaluar su circulación entre los puntos(0,0,0) y (1,1,1) a lo largo de la curva definida por y = x2; z = x. b) Demostrar que el campoes conservativo y determinar la función de potencial. c) Reavaluar el primer apartadoutilizando la función potencial.

3.28.- Sea A un campo vectorial que deriva deuna función potencial φ = 1/r , siendo r elvector de posición de los puntos del espacio enel que está definido dicho campo. Determinar

las coordenadas del punto del espacio en elque se verifica que A = r , teniendo Ala dirección del eje x y el sentido de las xdecrecientes, en dicho punto.

3.29.- Sea el campo vectorial A = r/r , donde res el vector de posición. a) Demostrar que elcampo es potencial y obtener su función poten-cial. b) Calcular la circulación del campo entrelos puntos (1,0,0) y (0,0,1) a lo largo de unarco de circunferencia que pasa por dichos puntos y cuyo centro es el origen de coordena-das: i) directamente; ii) utilizando la función

potencial.

3.30.- Verificar el teorema de Stokes para elcampo vectorial




A = (2 x- y)i - yz2 j - y2 z k

siendo S y C la superficie y el contorno,respectivamente, del hemisferio superior deuna esfera de radio unidad centrada en elorigen de coordenadas.

3.31.- Si es f(r ) una función arbitraria de r ,siendo r el vector de posición de un punto delespacio con respecto al origen de coordenadas,demostrar que:

a) ∇ f(r ) f r

r

b) ∇ [ f(r ) e r] 2 f

r f

c) ∇×[f(r )e r ] 0

d) ∇ 2 [f (r )] ∇ [∇ f (r )] f 2 f r

3.32.- Demostrar que:

a) ∇

1r

er

r 2

b) ∇

e r

r 2 0

c) ∇ ×

e r

r 2 0

d) ∇

∇

1r

0

3.33.- Dado el campo vectorial A = k er /r 2

,siendo k una constante: a) Demostrar quedicho campo es solenoidal en todos los puntosdel espacio salvo en el origen de coordenadas;b) Calcular el flujo del campo a través de unasuperficie cerrada cualquiera que rodea alorigen de coordenadas; c) Ídem para unasuperficie cerrada que no rodea al origen;d) Demostrar que el campo es conservativo;e) Encontrar una función escalar (potencial) talque A = -grad φ. f) Para el campo gravitato-rio es k =-Gm, y para el campo electrostático es

k =q/4π 0; aplicar los resultados anteriores aestos dos campos y discutir los resultados.

3.34.- Calcular el flujo del campo vectorial A = kr 3er a través de una superficie esférica,

de radio R, centrada en el origen de coordena-das. (Utilizar el teorema de Gauss).

3.35.- Consideremos un fluido en movimientoen el que tanto la densidad ρ como la veloci-dad de cada uno de sus elementos de volumensean función de las coordenadas espaciales ydel tiempo, esto es, ρ=ρ( x,y,z,t ) y v=v( x,y,z,t ).a) Demostrar que si no existen ni fuentes ni sumideros en un cierto volumen finito ocupado por el fluido se cumple

∇ (ρv) ∂ρ

∂t 0

que es la llamada ecuación de continuidad .b) ¿Qué ocurre si ρ =cte (fluido incompren-sible) y se verifica la ecuación de continuidad?



Capítulo II.

Cinemática.

4.- Cinemática de la partícula. 87

5.- Cinemática del sólido rígido. 109




4.- Cinemática de la partícula.

§4.1. Cinemática (87); §4.2. Relatividad del movimiento. Referenciales (88);§4.3. Movimiento de la partícula (90); §4.4. Velocidad (91); §4.5. Aceleración (93);§4.6. Componentes intrínsecas de la aceleración (95); §4.7. Triedro móvil (97);§4.8. Discusión de algunos tipos de movimiento (97); §4.9. Velocidad y aceleración relati-vas (102); Problemas (104)

En las lecciones anteriores hemos pasado revista a un conjunto de conceptosmatemáticos que nos resultarán sumamente útiles conforme vayamos desarrollandoeste curso. Nótese que hasta ahora no hemos considerado ningún fenómeno físico yque sólo hemos preparado las herramientas necesarias para trabajar en la Física.

El fenómeno físico más obvio y fundamental es el movimiento. La Mecánica esla ciencia del movimiento. En un principio, la Física pretendía dar imágenes

mecánicas de todos los fenómenos físicos y en tiempos de GALILEO (1564-1642) yase reconocía el papel hegemónico de la Mecánica, estando condensada esta idea enla proposición ignorato motu, ignoratur natura. Hoy en día se ha renunciado a ese

propósito pero, no obstante, los principios de la Mecánica encuentran aplicación entodos los campos de la Física y por ello deberemos comprenderlos bien antes de

pasar al estudio de la Termodinámica, del Electromagnetismo y de la Física Atómicay Nuclear.

La Mecánica es la rama de la Física que estudia los movimientos y las fuerzasque los producen. Atendiendo a la naturaleza de su contenido, la Mecánica puededividirse en dos partes: Cinemática o teoría geométrica del movimiento y Dinámicao estudio de las relaciones existentes entre las fuerzas y los movimientos que éstas

producen; esta última abarca a la Estática o teoría de las fuerzas y del equilibrio.

Comenzaremos el estudio de la Mecánica preocupándonos por describir adecua-damente el movimiento de los cuerpos (la Cinemática) y dejaremos para más adelanteel porqué de esos movimientos (la Dinámica). En la antigüedad se cometió el error de invertir el orden de esos dos problemas. ARISTÓTELES (384-322 AC) se preguntósobre las causas del movimiento antes de dar una descripción científica delmovimiento. Este error impidió el avance en el conocimiento del fenómeno delmovimiento durante muchos siglos, hasta que llegó el Renacimiento.




88 Lec. 4.- Cinemática de la partícula.

§4.1. Cinemática.- La Cinemática estudia en forma abstracta el movimiento,sin preocuparse de las causas del mismo. Los orígenes de la Cinemática hay que

buscarlos en el estudio de la cicloide realizado por TORRICELLI (1608-47),continuando con el enunciado de la ley fundamental del centro instantáneo de

rotación en el movimiento plano de BERNOULLI (1700-1782). D’ALEMBERT, EULER ,K ANT y CARNOT, entre otros, estudiaron el movimiento prescindiendo de sus causasy fundaron la Geometría del Movimiento. El vocablo Cinemática fue creado por AMPÈRE (1775-1836), quién delimitó el contenido de la Cinemática y aclaró su

posición dentro del campo de la Mecánica. Desde entonces y hasta nuestros días laCinemática ha continuado su desarrollo hasta adquirir una estructura propia.

Los elementos básicos de la Cinemática son: espacio, tiempo y móvil .

En la Mecánica Clásica1 se admite la existencia de un espacio absoluto; es decir,un espacio anterior a todos los objetos materiales e independiente de la existencia de

estos. Este espacio es el escenario donde ocurren todos los fenómenos físicos, y sesupone que todas las leyes de la física se cumplen rigurosamente en todas lasregiones de ese espacio. El espacio físico se representa en la Mecánica Clásicamediante un espacio puntual euclídeo.

Análogamente, la Mecánica Clásica admite la existencia de un tiempo absolutoque transcurre del mismo modo en todas las regiones del Universo y que esindependiente de la existencia de los objetos materiales y de la ocurrencia de losfenómenos físicos.

El móvil más simple que podemos considerar es el punto material o partícula.La partícula es una idealización de los cuerpos que existen en la Naturaleza, en elmismo sentido en que lo es el concepto de punto geométrico. Entendemos por puntomaterial o partícula un cuerpo de dimensiones tan pequeñas que pueda considerarsecomo puntiforme; de ese modo su posición en el espacio quedará determinada al fijar las coordenadas de un punto geométrico. Naturalmente la posibilidad de despreciar las dimensiones de un cuerpo estará en relación con las condiciones específicas del

problema considerado. Así, por ejemplo, podemos considerar la Tierra como un puntomaterial si sólo estamos interesados en su movimiento alrededor del Sol, pero nocuando estemos interesados en el movimiento de la Tierra en torno a su propio eje.

Es importante que no confundamos el concepto de punto material con el de punto

geométrico, pues aquél posee un tributo que éste no tiene; la masa inercial , que estáíntimamente ligada al movimiento de los cuerpos, como veremos al estudiar laDinámica. Dado un punto material, con una cierta masa inercial, se precisará uncierto esfuerzo para modificar su estado de movimiento; llamaremos fuerza acualquier agente capaz de modificar el estado de movimiento de los cuerpos.

§4.2. Relatividad del movimiento. Referenciales.- Estudiar el movimientode un cuerpo quiere decir determinar su posición en el espacio en función del tiempo,

1 La existencia de un espacio y de un tiempo absoluto son dos hipótesis de partida que están,en el ámbito de la Mecánica Clásica, fuera de toda posibilidad de experimentación, de modo quela verdad o falsedad de esas ideas salen del campo de la Mecánica Clásica para entrar en el de laMetafísica.



§4.2.- Relatividad del movimiento. Referenciales. 89

pero para ello necesitaremos un sistema de referencia.

En el espacio puntual euclídeo de la Mecánica Clásica un sistema de referencia(o, simplemente, referencial ) queda definido por los elementos siguientes (Figura 4.1):

un origen O, que es un punto del espacio físico.

una base vectorial del espacio vectorial asociado a dicho espacio físico.

de esta forma queda definido un triedro con vértice en el origen O y cuyos ejestienen las direcciones definidas por la base vectorial asociada.

Debemos destacar el hecho de que, en tanto

Figura 4.1

que un referencial queda definido por un origeny la orientación de un triedro, una base vecto-rial queda definida exclusivamente mediante laorientación de un triedro, por lo que resultairrelevante la posición del "origen" de ésta enlas representaciones gráficas.

Así, por ejemplo, tiene sentido hablar de latraslación de un referencial respecto a otro; perocarece de sentido hablar de la traslación entre

bases vectoriales, ya que entre éstas sólo tienesentido la rotación o cambio de orientación.Esto equivale a decir que las bases vectoriales asociadas a dos referenciales enmovimiento de traslación relativo son las mismas.

Decimos que una partícula o punto material se encuentra en movimiento con

Figura 4.2

respecto a un referencial si su posición con respecto a él cambia en el transcurso deltiempo. En caso contrario, si la posición del cuerpo no cambia con respecto al refe-rencial, el cuerpo está en reposo en dicho referencial. De las definiciones que acaba-mos de dar para el movimiento y el reposo de un cuerpo, vemos que ambosconceptos son relativos. En efecto, el pasajero queestá sentado en un vagón de ferrocarril se encuentraen reposo con respecto al vagón; pero como el trense mueve con respecto a la Tierra, el pasajero seencuentra en movimiento con respecto a los árboles

que bordean la vía. Estos se encuentran en reposocon respecto a la Tierra, pero están en movimientocon respecto al pasajero del tren.

En la Figura 4.2 hemos representado dos ob-servadores, S y S′, y una partícula P. Estos observa-dores utilizan los referenciales xyz y x′ y′ z′, respecti-vamente. Si S y S′ se encuentran en reposo entre sí,describirán del mismo modo el movimiento de la

partícula P. Pero si S y S′ se encuentran en movi-miento relativo, sus observaciones acerca del movi-

miento de la partícula P serán diferentes. Por ejemplo, consideremos dos observadores, uno deellos colocado en el Sol y el otro en la Tierra, queintentan describir el movimiento de la Luna. Para




el observador terrestre la

Figura 4.3

Luna describirá una órbitacasi circular en torno a laTierra. Para el observador solar la trayectoria de la

Luna será una línea ondu-lante, como se muestra enla Figura 4.3. Naturalmente,si los observadores conocensu movimiento relativo, po-drán reconciliar fácilmentes u s o b s e r v a c i o n e srespectivas.

Dejaremos para más adelante la discusión detallada de como comparar las ob-servaciones realizadas por observadores en movimiento relativo. Por ahora vamos asuponer que disponemos de un cierto referencial bien establecido y a él vamos areferir todas nuestras observaciones.

§4.3. Movimiento de la partícula.- Comenzaremos la Cinemática con elestudio del movimiento del punto material. La posición de una partícula en el espacioqueda determinada mediante el vector de posición r trazado desde el origen O de unreferencial xyz a la posición de la partícula P (Figura 4.4). Cuando la partícula semueve, el extremo del vector de posición r describe una curva C en el espacio, querecibe el nombre de trayectoria. La trayectoria es, pues, el lugar geométrico de las

sucesivas posiciones que va ocupando la partícula en su movimiento.(1) En un sistema coordenado de ejes rectangulares xyz, de origen O, las

componentes del vector r son las coordenadas ( x,y,z) de la partícula en cada instante.Así, el movimiento de la partícula P quedará completamente especificado si seconocen los valores de las tres coordenadas ( x,y,z) en función del tiempo. Esto es

[4.1] x x (t ) y y (t ) z z (t )

Estas tres ecuaciones definen una curva en el espacio (la trayectoria) y son llamadasecuaciones paramétricas de la trayectoria. Para cada valor del parámetro t (tiempo)

las ecuaciones [4.1] nos determinan las coordenadas de un punto de la trayectoria.Vemos que el movimiento real de la partícula puede reconstruirse a partir de losmovimientos (rectilíneos) de sus proyecciones sobre los ejes coordenados.

En el caso de que la trayectoria sea plana, esto es, contenida en un plano, siconvenimos en que dicho plano sea el xy, será z=0 y podemos eliminar el tiempo t entre las dos primeras ecuaciones de [4.1] para obtener la ecuación de la trayectoria

plana en forma implícita, f( x,y)=0, o en forma explícita, y= y( x).

(2) Las tres ec. [4.1] se pueden compactar en una sola ecuación vectorial

[4.2] r (t ) x (t ) i y (t ) j z (t ) k

que es la ecuación vectorial del movimiento.

(3) En ciertos casos puede ser conveniente proceder de un modo distinto,



§4.3.- Movimiento de la partícula. 91

tomando un punto arbitrario OO sobre la

Figura 4.4

trayectoria y definiendo un cierto sentido positivo sobre ella. La posición de la partículaP, en cualquier instante t , queda determinada

por la longitud del arco s = OOP. Entonces, a

cada valor de t le corresponde un valor de s, esdecir

[4.3] s s (t )

Al parámetro s se le llama intrínseco y laecuación [4.3] se denomina ecuación intrínsecadel movimiento. Evidentemente, dicha ecuaciónsólo describe el movimiento de la partícula siconocemos de antemano su trayectoria.

§4.4. Velocidad.- Consideremos una partícula que describe una trayectoria cur-

Figura 4.5

vilínea en el espacio, como la ilustrada en la Figura 4.5, y que durante un ciertointervalo de tiempo ∆t pasa de la posición P a la Q. Aunque la partícula se hadesplazado a lo largo del arco PQ=∆ s, el desplazamiento, que es un vector, lodefinimos como PQ=∆ r, de modo queel nuevo vector de posición esOQ= r+∆ r. Definimos, entonces, comovelocidad media de la partícula duranteese desplazamiento el cociente

∆ r/∆

t ,esto es

[4.4]v ∆ r

∆t

Es obvio que <v> es un vector quetiene la misma dirección y sentido queel vector desplazamiento ∆ r, o sea,secante a la trayectoria. Además, elvalor encontrado para <v> dependeráde la duración del intervalo de tiempo ∆t empleado para medirla. Evitaremos esteinconveniente considerando un intervalo de tiempo infinitesimal y definiendo lavelocidad en un instante dado como el límite a que tiende el cociente incremental∆ r/∆t , en el caso de que exista dicho límite, cuando ∆t →0; esto es, como la derivadadel vector de posición con respecto al tiempo2. Por tanto

[4.5]v lím∆t →0

∆ r

∆t d r

dt ˙ r

Cuando ∆t →0, el punto Q→P, como lo indican los puntos Q′, Q″ , ... en laFigura 4.6. Durante el proceso de paso al límite el vector PQ=∆ r cambia continuamente

2 Utilizaremos la notación ˙ r, ˙ x, ... para indicar derivación con respecto al tiempo.




en magnitud y en dirección, y de igual modo lo hace la velocidad media < v>. En ellímite, cuando el punto Q se confunde con el punto P, el vector ∆ r es tangente a latrayectoria y, por consiguiente, la velocidad instantánea será un vector tangente a latrayectoria.

Multiplicando y dividiendo la expresión [4.5] por ∆ s=arc PQ, obtenemos

[4.6]v lím∆t →0

∆ r

∆t ∆ s∆ s

lím∆ s→0

∆ r

∆ s lím∆t →0

∆ s∆t

Ahora bien, en la Figura 4.6 podemos ver que la magnitud del desplazamiento ∆ r

Figura 4.6

es casi igual a la longitud del arco PQ y que, a medida que Q se acerca a P, más seaproxima la magnitud ∆ r a la de ∆ s. Por lo tanto, el primer factor de [4.6] representaun vector unitario tangente a la trayectoria (versor tangente et). Esto es

[4.7]d r

d s

lím∆ s→0

∆ r

∆ s e t

El segundo factor de [4.6] es

[4.8]d sdt

lím∆t →0

∆ s∆t

v

de modo que

[4.9]v e t

d sdt

v e t

donde d s/dt =v representa el módulo dela velocidad (celeridad ) de la partícula.

En coordenadas cartesianas, teniendo en cuenta [4.2] y que los versorescartesianos (i, j, k) son constantes, tenemos para la velocidad

[4.10]v d r

dt d xdt

i d y

dt j

d zdt

k

o bien, con notación matricial,

[4.11]v

v x

v y

v z

d x/dt

d y/dt

d z/dt

de modo que las componentes del vector velocidad en las direcciones de los ejescoordenados son

[4.12]v x

d x

dt v y

d y

dt v z

d z

dt

y el módulo de la velocidad o celeridad es



§4.4.- Velocidad. 93

[4.13]v d s

dt v 2

x v 2 y v 2

z

§4.5. Aceleración.- En cada instante, o sea en cada punto de la trayectoria,

Figura 4.7

queda definido un vector velocidad que, en general, cambia tanto en módulo comoen dirección al pasar de un punto a otro de la trayectoria. La dirección de lavelocidad cambiará debido a que la velocidad es tangente a la trayectoria y ésta, por lo general, no es rectilínea. La dirección de la velocidad sólo permanece constante,y coincide con la trayectoria, en el movimiento rectilíneo; entonces, para espe-cificarla, será suficiente dar su valor numérico (la celeridad) con el signo adecuadoal sentido del movimiento.

En la Figura 4.7 se representan los vectores velocidad correspondientes a losinstantes t y t +∆t , cuando la partícula pasa por los puntos P y Q, respectivamente. El

cambio vectorial en la velocidad de la partícula durante ese intervalo de tiempo estáindicado por ∆v, en el triángulovectorial al pie de la Figura 4.7. Enestrecho paralelismo con nuestradefinición anterior de la velocidadmedia, definiremos ahora la acele-ración media de la partícula, en elintervalo ∆t , como el cociente

[4.14] a

∆v

∆t

que es un vector paralelo a ∆v, y,como aquélla, dependerá de laduración del intervalo de tiempo∆t empleado en medir el cambioen la velocidad.

La aceleración instantánea la definiremos, análogamente, como el límite a quetiende el cociente incremental ∆v/∆t cuando ∆t →0; esto es, como la derivada delvector velocidad con respecto al tiempo:

[4.15] a lím∆t →0

∆v

∆t dv

dt v

o bien, en función del vector de posición

Figura 4.8

[4.16] a d2 r

dt 2 ¨ r

La aceleración es un vector que tiene la

misma dirección que el cambio instantáneo enla velocidad. Como la velocidad cambia en ladirección en que la trayectoria se curva, laaceleración apuntará siempre hacia la concavidad de la curva, como se muestra en




la Figura 4.8, y en general no será ni tangente ni normal a la trayectoria.Si tomamos un punto arbitrario (A)

Figura 4.9

del espacio y trazamos desde él vectoresequipolentes a los vectores velocidad encada uno de los puntos de la trayectoria,el lugar geométrico de los extremos de

dichos vectores define una curva llamadahodógrafa3 del movimiento. Compa-rando la hodógrafa de la Figura 4.9b conla trayectoria de la Figura 4.9a es fácilcomprender que la derivada de la velo-cidad con respecto al tiempo, esto es, laaceleración, será un vector tangente a lahodógrafa y que la celeridad del punto

figurativo H sobre la hodógrafa seráigual al módulo de la aceleración.

En coordenadas cartesianas, teniendo en cuenta [4.15] y [4.16] y que los versores

cartesianos (i, j, k) son constantes, podemos escribir

[4.17] a dv

dt

dv x

dt i

dv y

dt j

dv z

dt k

[4.18] a d2 r

dt 2d2 x

dt 2 i

d2 y

dt 2 j

d2 z

dt 2 k

o bien, con notación matricial

[4.19] a

a x

a y

a z

dv x/dt

dv y/dt

dv z/dt

d2 x/dt 2

d2 y/dt 2

d2 z/dt 2

Las componentes de la aceleración en las direcciones de los ejes coordenados son

[4.20]a x

dv x

dt a y

dv y

dt a z

dv z

dt

[4.21]a x

d2 x

dt 2 a y

d2 y

dt 2 a z

d2 z

dt 2

y su módulo es [4.22]a a 2 x a2

y a2 z

3 De οδος =camino y grafo (=γραϕος , de la raíz γραϕω =escribir, elementocompositivo que significa «que escribe» o «que describe»). El término «hodógrafa» no aparece enel Diccionario de la Academia, en tanto que sí aparece «odómetro» (aparato para medir el caminorecorrido, taxímetro), por lo que entendemos que, en contra de la costumbre, debería escribirse sin«h».



§4.6.- Componentes intrínsecas de la aceleración. 95

§4.6. Componentes intrínsecas de la aceleración.- Consideremos una

Figura 4.10

partícula que describe una trayectoriacurva (Figura 4.10). En un instante t la

partícula se encuentra en el punto P y

tiene una velocidad v y una aceleración a. Sabemos que el vector velocidad estangente a la trayectoria y que lo pode-mos expresar como

[4.23]v v e t

siendo et el versor tangente a la trayec-toria en el punto considerado. Paraobtener la aceleración de la partícula

derivaremos con respecto al tiempo laexpresión anterior y obtendremos

[4.24] a dv

dt ddt

( v e t ) dv

dt e t v

de t

dt

Si la trayectoria es rectilínea, el versor et es constante y det/dt =0. Pero cuandola trayectoria es curvilínea la dirección del versor tangente et varía al pasar de un

punto a otro, de modo que det/dt ≠0. Para evaluar el segundo miembro de la ec. [4.24]

debemos calcular previamente el valor de det/dt .

Como el versor tangente et es de módulo constante (sólo su dirección cambia al pasar de un punto a otro de la trayectoria), la derivada de este versor es un vector perpendicular al dado y, por tanto, normal a la trayectoria en el punto P. En efecto, puesto que et et=1, por derivación se sigue 2et (det/dt )=0, de modo que los vectoreset y det/dt son perpendiculares entre sí. El vector det/dt está situado en el plano dedos tangentes consecutivas a la curva (Figura 4.11). Dicho plano recibe el nombre de

plano osculador . La dirección del vector det/dt es la de la normal principal (normala la curva que está contenida en el plano osculador) y su sentido es el de la conca-vidad.

Si trazamos las normales principales a la curva en dos puntos contiguos(separados por una distancia infinitesimal d s), estas normales se cortan en un puntoC llamado centro de curvatura, y forman entre sí un ángulo dθ. La distancia ρ=CPrecibe el nombre de radio de curvatura (su inversa la representamos por κ =1/ρ y lallamaremos curvatura) y representa el radio de la circunferencia osculatriz a la curvaen el punto P.

En la Figura 4.11, en el triángulo isósceles formado por los vectores et′, et″ y det,se observa fácilmente que

[4.25]de t e t dθ dθ

y, por otra parte, en el sector circular CP′P″ , es

[4.26]d s ρ dθ




de modo que combinando las dos

Figura 4.11

expresiones anteriores resulta que

[4.27]de t

1ρ

d s

o sea

[4.28]

de t

dt 1ρ

d sdt

vρ

que nos da el módulo del vector det/dt . Si llamamos en al versor enla dirección de la normal principal ala curva y en el sentido de la

concavidad podemos escribir

[4.29]de t

dt vρ

e n

y llevando este resultado a la expresión [4.24] de la aceleración obtenemos finalmente

[4.30] a dv

dt e t

v2

ρ e n

Así pues, en tanto que el vector velocidad v es tangente a la trayectoria, el vector aceleración a puede descomponerse en dos componentes (llamadas componentesintrínsecas) mutuamente perpendiculares (Figura 4.10): una componente tangencial at

(en la dirección de la tangente a la trayectoria), llamada aceleración tangencial , yuna componente normal an (en la dirección de la normal principal a la trayectoria),llamada aceleración normal o centrípeta (este último nombre en razón a que siempreva dirigida hacia el centro de curvatura). Las magnitudes de estas dos componentesde la aceleración son

[4.31]at

dv

dt a

n

v2

ρy la magnitud de la aceleración de la partícula es

[4.32]a a 2t a 2

n

Cada una de estas dos componentes de la aceleración tiene un significado físico bien definido. Cuando una partícula se mueve, su celeridad puede cambiar y estecambio lo mide la aceleración tangencial. Pero si la trayectoria es curva tambiéncambia la dirección de la velocidad y este cambio lo mide la aceleración normal.

Si en el movimiento curvilíneo la celeridad es constante (v=cte), la aceleracióntangencial será nula, pero habrá una cierta aceleración normal, dada por [4.31], demodo que en un movimiento curvilíneo siempre habrá aceleración. Si el movimientoes circular, entonces el radio de curvatura es el radio R de la circunferencia y la



§4.6.- Componentes intrínsecas de la aceleración. 97

aceleración normal se escribe an = v2/ R, como ya sabíamos por los cursos elementalesde Física.

Si la trayectoria es rectilínea, entonces el radio de curvatura es infinito (ρ→∞)de modo que an=0 (no hay cambio en la dirección de la velocidad) y la aceleracióntangencial at será nula o no según que la celeridad sea o no constante.

§4.7. Triedro móvil.- Anteriormente hemos definido los versores et (tangente)

Figura 4.12

y en (normal) a una curva alabeada (en el espacio). Definiremos ahora un nuevo ver-sor e b (binormal) mediante el producto vectorial de los dos anteriores; i.e.,

[4.33]e b e t × e n

de modo que los versores et, en y e b,en ese orden, definen un triedro direc-to llamado triedro intrínseco o de

Frenet . Este triedro acompaña a la partícula en su movimiento, por loque también se le llama triedro móvil (Figura 4.12).

Los versores (et, en) definen,como ya dijimos anteriormente, el

plano osculador . Los pares de vecto-res (en, e b) y (et, e b) definen los planosnormal y rectificante, respectivamen-

te. El vector aceleración está contenido en el plano osculador.Podemos servirnos de la relación a = at + an para calcular las componentes in-

trínsecas de la aceleración y el radio de curvatura en un punto de la trayectoria. Enefecto, multiplicándola escalar y vectorialmente por v obtenemos

[4.34]v a v ( a t a n) v at

[4.35]v × a

v0

0 tn b

×

v

v2/ρ

0 tn b

00

v 3/ρ tnb

v 3

ρ

e b v an e b

y de aquí se sigue

[4.36]at

(v a)v

an

v × a

v κ 1

ρv × a

v3

an

v 2

§4.8. Discusión de algunos tipos de movimiento.- Como aplicación de todo

lo anteriormente expuesto, estudiaremos a continuación algunos tipos de movimientode especial relevancia.

§4.8.a. Movimiento uniforme.- Cuando la velocidad es constante (en módulo,




dirección y sentido), o sea v = v0 = cte, el movimiento se llama uniforme. Entonces,integrando la ecuación diferencial [4.5] obtenemos

[4.37] r ⌡⌠v0 dt v0 ⌡

⌠dt v0 t r0

donde r0 es una constante de integración que representa el vector de posición de la partícula en el instante inicial t =0. Puesto que los vectores v0 y r0 son constantes, laec. [4.37] es la ecuación vectorial de una recta, o sea que la trayectoria de la partículaes rectilínea (Figura 4.13).

§4.8.b. Movimiento uniformemente acelerado.- Un tipo de movimiento especial-


mente interesante se presenta cuando la aceleración es constante, esto es a = a0 = cte.Este tipo de movimiento se llama uniformemente acelerado.

Integrando la ecuación diferencial [4.15] se tiene

[4.38]v ⌡⌠ a0 dt a0 ⌡

⌠dt a0 t v0

donde v0 es una constante de integración que representa la velocidad de la partículaen el instante inicial t =0. Sustituyendo este resultado en [4.5] y procediendo a unanueva integración se obtiene

[4.39] r ⌡⌠v dt ⌡⌠ ( a0 t v0 ) dt 12

a0 t 2 v0 t r0

donde el vector r0 representa, como en el caso anterior, el vector de posición de la partícula en el instante t =0.

De acuerdo con la ec. [4.38], la velocidad de la partícula se encuentra siempre enel plano definido por los vectores v0 y a0. Del mismo modo, la ec. [4.39] nos indicaque el vector r- r0 se encuentra siempre en ese mismo plano. Así, llegamos a laconclusión de que en el movimiento con aceleración constante la trayectoria de la

partícula está situada en un plano (plano osculador, Figura 4.14). Se pueden presentar

los siguientes casos:(1) Si la velocidad inicial es nula, o sea v0=0, la ec. [4.39] se reduce a



§4.8.- Discusión de algunos tipos de movimiento. 99

[4.40] r r01

2 a0 t

2

de modo que la trayectoria es rectilínea y el sentido del movimiento es el de a0.

(2) Si los vectores v0 y a0 tienen la misma dirección, entonces la trayectoria es

rectilínea y el movimiento será rectilíneo uniformemente acelerado o retardado segúnque los sentidos de ambos vectores sean iguales u opuestos.

(3) En el caso general, los vectores v0 y a0 tendrán direcciones diferentes.Entonces, la ec. [4.39] representa una parábola situada en el plano definido por losvectores v0 y a0 y que pasa por un punto del espacio cuyo vector de posición es r0.Uno de los problemas más interesantes en que se presenta esta situación es elmovimiento de los proyectiles.

§4.8.c. Movimiento de un proyectil.- Aplicaremos los resultados anteriores alestudio del movimiento de un proyectil, es decir de un objeto que es lanzado al airecon una cierta velocidad inicial y que se mueve sometido solamente a la acción delcampo gravitatorio. Utilizaremos las siguientes hipótesis simplificadoras: (a) Elalcance del proyectil es suficientemente pequeño como para poder despreciar la cur-vatura de la superficie terrestre (la aceleración gravitatoria g es normal a dichasuperficie); (b) la altura que alcanza el proyectil es suficientemente pequeña como

para poder despreciar la variación del campo gravitatorio terrestre con la altura; (c) lavelocidad del proyectil es suficientemente pequeña como para poder despreciar laresistencia que presenta el aire al movimiento del proyectil y (d) no tendremos encuenta el efecto de rotación de la Tierra que, como veremos más adelante, tiende a

desviar el proyectil hacia la derecha de su trayectoria cuando el movimiento tienelugar en el hemisferio Norte.

Supongamos que se dispara un proyectil con una velocidad inicial v0 que formaun ángulo θ0 con la horizontal. En este problema a= g, siendo g la aceleracióngravitatoria. Escogeremos el plano xy coincidiendo con el plano de la trayectoria(definido por v0 y g), con el eje y vertical y dirigido hacia arriba y el origen Ocoincidiendo con la posición de disparo del proyectil. Tenemos

[4.41] r0 0 v0

v0 cos θ0

v0 sen θ0

0ijk

a g

0

g 0ijk

De acuerdo con la ec. [4.38], la velocidad en un instante genérico t viene dada por

[4.42]v

v x

v y

0ijk

v0 cosθ0

v0 senθ0 gt 0

ijk

y el módulo de la velocidad es

[4.43]v v2 x v 2

y

formando el vector v (que es siempre tangente a la trayectoria) un ángulo θ con la




horizontal dado por

[4.44]tg θ v y

v x

Similarmente, de la ec. [4.39] se sigue para el vector de posición

[4.45] r

x y z

v0 t cosθ0

v0 t senθ01

2 g t 2

0

que nos proporciona las ecuaciones paramétricas de la trayectoria. Si eliminamos eltiempo t entre las expresiones de las componentes x e y del vector de posición, seobtiene la ecuación algebraica de la trayectoria; esto es,

[4.46] y x tg θ0

g

2v 20cos2θ0

x 2

que representa una parábola de eje vertical con la concavidad dirigida hacia abajo.

Figura 4.15

Así, pues, el movimiento es parabólico.A partir de las ecua-

ciones anteriores podemosobtener mucha informaciónacerca del movimiento del proyectil. Por ejemplo, eltiempo t h requerido para queel proyectil alcance lamáxima altura h lo encon-traremos anulando la segun-da componente de v en[4.42], ya que en ese puntola velocidad del proyectil eshorizontal. La altura máxi-ma h alcanzada por el proyectil y el recorrido

horizontal xh realizado hastaese instante los obtendremossustituyendo el tiempo t h enlas componentes del vector de posición r dado por [4.45]:

[4.47]t hv0 senθ0

g xh

v 20 sen 2θ0

2 g yh h

v20 sen2 θ

0

2 g

Resulta fácil comprobar que la máxima altura que adquiere el proyectil, para un determinado valor

de v0, presenta un valor máximo, para θ0=90° (disparo vertical, como es obvio).El tiempo t A que emplea el proyectil en retornar al plano horizontal de lanzamiento recibe elnombre de tiempo de vuelo y lo podemos calcular haciendo y=0 en [4.45]. El alcance xA es ladistancia horizontal cubierta durante ese tiempo y se determina sustituyendo el valor del tiempo devuelo en x(t) dada por [4.45]. Descartando la solución trivial (t =0, x=0, y=0) tenemos



§4.8.- Discusión de algunos tipos de movimiento. 101

[4.48]t A2v0 senθ0

g xA

v 20 sen 2θ0

g yA 0

Obsérvese que t A=2t h, que xA=2 xh y que, para un valor fijo de v0, el alcance será máximo para unángulo de disparo de 45°. Por otra parte, como sen 2(90°-θ0) = sen 2θ0, se obtiene el mismo

alcance para un ángulo de disparo dado y para su complementario.

§4.8.d. Movimiento rectilíneo.- La trayectoria de una partícula es rectilínea cuandosu aceleración es nula (sin serlo la velocidad) o cuando su aceleración no tiene com-

ponente normal a la velocidad. El movimiento rectilíneo es, pues, un caso particular del movimiento general en el espacio, pero debido a la abundancia de problemas ysituaciones en que lo encontraremos, le dedicaremos una atención especial.

Puesto que los vectores v y a están dirigidos a lo largo de la trayectoria, será

Tabla 4.1.- Expresiones para el movimiento rectilíneo.

Conocemos Se aplica Se obtiene O sea

a = a(t ) dv = a dt v = v0 + ∫ a dt v = v(t )

v = v(t ) d x = v dt x = x0 + ∫ v dt x = x(t )

a = a( x) v dv = a d x v2 = v20 + 2 ∫ a d x v = v( x)

v = v( x) dt = d x/v t = t 0 + ∫ d x/v t = t ( x)

a = a(v) d x = v dv/a

dt = dv/a

x = x0 + ∫ v dv/a

t = t 0 +∫ dv/a

x = x(v)

t = t (v)

conveniente escoger el origen O sobre ella de modo que el vector de posición r

también estará situado sobre ella. Entonces, al ser paralelos entre sí todos los vectoresque nos describen el movimiento de la partícula podemos prescindir de la notaciónvectorial. Si tomamos el eje x en la dirección de la trayectoria y especificamos uncierto sentido como positivo, las ecuaciones de definición de la velocidad y de laaceleración se reducen a la componente x, o sea

[4.49]v d xdt

a dvdt

d2 x

dt 2

de modo que, si conocemos x= x(t ), podemos obtener la velocidad y la aceleración de

la partícula, i.e., v=v(t ) y a=a(t ), mediante dos derivaciones sucesivas. En algunoscasos conoceremos a=a(t ) y, entonces, por integración (y conociendo las condicionesiniciales v0 y x0) podemos obtener v=v(t ) y x= x(t ).

Podemos encontrar otra relación cinemática importante aplicando a la definición




de la aceleración la regla de derivación de una función de función. Así, obtenemosla expresión

[4.50]a dv

dt dvd x

d xdt

v dvd x

que nos resultará de gran utilidad cuando conozcamos a=a( x) o v=v( x). En la Tabla 4.1

presentamos el modo de abordar diversos problemas de movimiento rectilíneo.

Las expresiones anteriores aplicadas al movimiento rectilíneo uniformementeacelerado (a=cte) nos llevan a las bien conocidas relaciones

[4.51]v v0 a t v 2 v 20 2a ( x x0 ) x x0 v0 t

1

2 a t 2

§4.9. Velocidad y aceleración relativas.- Ya hemos indicado anteriormente

Figura 4.16

que el movimiento es un concepto relativo porque debe referirse a un referencial particular escogido por el observador. Ya que diferentes observadores pueden utilizar referenciales distintos, es importante conocer la forma en que se relacionan las obser-

vaciones realizadas por aqué-llos. En este artículo sólovamos a introducir los concep-tos de velocidad y aceleraciónrelativas para observadores

ligados a referenciales enmovimiento que mantienenuna orientación fija en elespacio (i.e., traslación, sinrotación) y dejaremos para untema posterior el análisis delmovimiento relativo en el casomás general (i.e., traslación yrotación).

Consideremos dos partícu-

las A y B que se mueven en elespacio y sean rA y rB sus

vectores de posición con respecto al origen O de un referencial dado. Las velocidadesde A y B medidas en ese referencial son

[4.52]vA

d rA

dt vB

d rB

dt

Los vectores de posición de la partícula B con respecto a la A y de la A conrespecto a la B están definidos por

[4.53] rBA AB rB rA rAB BA rA rB

y las velocidades de B con respecto a A y de A con respecto a B son



§4.9.- Velocidad y aceleración relativas. 103

[4.54]vBA

d rBA

dt vAB

d rAB

dt

de modo que al ser rBA = - rAB también resulta que vBA = - vAB. Esto es, lasvelocidades relativas de B con respecto a A y de A con respecto a B son iguales yopuestas. Efectuando las derivadas indicadas en [4.54] resulta

[4.55]d rBA

dt

d rB

dt

d rA

dt

d rAB

dt

d rA

dt

d rB

dt

o sea que [4.56]vBA vB vA vAB vA vB

de modo que obtendremos la velocidad relativa entre las dos partículas restandovectorialmente sus velocidades con respecto a un mismo referencial (Ref. O xyz en la

Figura 4.16). Derivando de nuevo las expresiones [4.56] tenemos para las aceleracionesrelativas

[4.57]dvBA

dt

dvB

dt

dvA

dt

dvAB

dt

dvA

dt

dvB

dt

Los primeros miembros de [4.57] son las aceleraciones relativas de B con respectoa A y de A con respecto a B. Los otros términos son las aceleraciones de A y de Bcon respecto a un mismo observador. Tenemos

[4.58] aBA aB aA aAB aA aB

siguiéndose para las aceleraciones relativas la misma regla que para las velocidades.

Figura 4.17

Ejemplo I.- Navegando por el río.- Un hombre en un bote navega corriente arriba por un río ylleva una botella medio vacía de whisky sobre la popa del bote. Mientras el bote pasa bajo un puente, una ola reflejada por los pilares del puente choca contra la embarcación y la botella cae alagua, sin que lo advierta el tripulante. Durante 15 minutos, el botecontinúa aguas arriba, mientras la botella flota aguas abajo. Al cabo

de los 15 minutos, el hombre ve que la botella ha desaparecido,vuelve al bote (prescindamos del tiempo empleado en la maniobra) ynavega aguas abajo con la misma velocidad que antes respecto alagua. Coge la botella un kilómetro aguas abajo del puente. La pregunta es: ¿cuál es la velocidad del río? (Adaptado de Biografía dela Física, pág, 218, de George Gamow. Alianza Editorial. Madrid1980).

La resolución del problema es muy simple si lo planteamos en unreferencial (el del río) en el que la botella se encuentra en reposo. Eneste referencial, la velocidad de la barca es la misma (en módulo, noen dirección) cuando se aleja de la botella y cuando regresa pararecogerla. Puesto que la botella se encuentra en reposo respecto delrío, el tiempo que emplea la barca en regresar hasta la botella seráotros 15 min. Así, la botella ha permanecido en el agua 30 min.Durante ese tiempo, la botella ha recorrido 1 km, arrastrada por la




corriente; por consiguiente, la velocidad de la botella respecto a tierra, que es también la velocidadde la corriente, es

1 km30 min

1 km0.5 horas

2 km/h

Naturalmente, también podemos resolver el problema planteándolo en el referencial de tierra.Invitamos al lector a que así lo haga, aunque tan sólo sea para comprobar que no encontrará laelegante simplicidad del método descrito anteriormente.

Problemas

4.1.- Una pelota dejada caer desde la cornisade un edificio emplea 0.25 s en pasar frente auna ventana de 2 m de altura. ¿Qué distanciahay entre el borde superior de la ventana y lacornisa?

4.2.- Un niño lanza una bola verticalmentehacia arriba, con una velocidad inicial de

20 m/s. Transcurrido 1 s, el niño lanza otra bola, también verticalmente hacia arriba y conla misma velocidad inicial que la primera.a) ¿En qué instante y en qué posición secruzarán ambas bolas? b) ¿Cuáles serán susvelocidades en ese instante?

4.3.- El maquinista de un tren expreso quecircula con una velocidad v1 observa a unadistancia d el furgón de cola de un tren demercancías que marcha por delante del expre-so, sobre la misma vía y en el mismo sentido,

con una velocidad v2, menor que la del expre-so. El maquinista del expreso aplica inme-diatamente los frenos, produciéndose unadesaceleración constante a, mientras que elmercancías continúa su marcha a velocidadconstante. Determinar el menor valor de ladesaceleración para que pueda evitarse lacolisión.

4.4.- Una partícula se mueve sobre el eje x demodo que su velocidad es v = 2 + 3t 2 (cm/s).En el instante t =0 su posición es x=3 cm.Determinar: a) la posición de la partícula enun instante genérico t ; b) su aceleración; c) suvelocidad media en el intervalo de tiempot 1=2 s a t 2=5 s.

4.5.- Después de parar el motor de una canoa,

ésta tiene una aceleración en sentido opuestoa su velocidad y directamente proporcional alcuadrado de ésta. Determinar: a) la velocidadde la canoa en función del tiempo; b) ladistancia recorrida en un tiempo t ; c) la velo-cidad de la canoa después de haber recorridouna distancia x; d) Constrúyanse las gráficasdel movimiento. Aplicación numérica: supón-gase que cuando se para el motor la velocidadde la canoa es de 20 m/s y que 15 s despuésdicha velocidad se ha reducido a la mitad.Determinar el valor de la constante de propor-cionalidad que aparece en la definición de laaceleración.

4.6.- Vehículo quitanieves. La velocidad deun vehículo quitanieves es inversamente proporcional al tiempo transcurrido desde quecomenzó a nevar. Transcurrido un ciertotiempo, t 0, a partir del instante en que empezó

a nevar, el vehículo se pone en marcha yrecorre 2 km en la primera hora y 1 km en lasegunda. a) Determinar la ecuación del movi-miento del vehículo, i.e., x(t ). b) Calcular elvalor de t 0. c) ¿Qué distancia recorrerá elvehículo durante la tercera hora de funciona-miento?

4.7.- El movimiento rectilíneo de una partículaestá caracterizado por su aceleración a=-9 x,siendo x la distancia (en cm) que la separa deun cierto origen sobre la trayectoria. En el

instante inicial la partícula se encuentra en el punto x0=3 cm y tiene una velocidad de 2 cm/s(alejándose del origen). Determinar la posicióny la velocidad de la partícula en un instantecualquiera t .



Problemas 105

4.8.- En un cierto instante la celeridad de una partícula es de 20 m/s y el módulo de suaceleración es 3 m/s2. Los vectores velocidady aceleración forman, en ese instante, unángulo de 30°. Determinar la curvatura y elradio de curvatura de la trayectoria de la

partícula en ese instante.4.9.- El movimiento de una partícula quedadefinido por r = R cos ω t i + R sen ω t j,donde R y ω son constantes. a) Obtener laecuación f( x,y) de la trayectoria. ¿En quésentido se recorre dicha trayectoria? b) De-mostrar que la velocidad de la partícula es entodo momento perpendicular a su vector de posición. c) Demostrar que la aceleración de la partícula está siempre dirigida hacia el origeny que su módulo es proporcional al módulo delvector de posición. d) Demostrar que r×v esun vector constante.

4.10.- El movimiento de una partícula estádefinido por las ecuaciones x = a cosω t e y =b senω t , donde a, b y ω son constantes.a) Demostrar que la trayectoria es una elipse.b) Demostrar que, en general, la velocidad dela partícula no es perpendicular al vector de posición de la misma. c) Demostrar que laaceleración de la partícula está siempre dirigi-da al origen. d) Determinar las componentestangencial y normal de la aceleración. e) En-

contrar las expresiones de la curvatura y delradio de curvatura en los puntos de la trayec-toria.

4.11.- En el dispositivo que se muestra en la

Prob. 4.11

figura, las deslizadoras 1 y 2 están unidas por una cuerda flexible, de longitud l , que pasa por una pequeña polea P. Determinar la velocidady la aceleración de la deslizadora 2 en elinstante en que la deslizadora 1 se muevehacia la derecha con velocidad v1 y aceleración a1.

4.12.- El movimiento de una partícula en el plano xy está definido por las ecuaciones para-

métricas x = 2t , y = 4 sen ω t . a) Determinar la ecuación de la trayectoria y representarlagráficamente. b) Calcular la velocidad y laaceleración de la partícula en función deltiempo. c) ¿En qué instantes alcanzan la

velocidad y la aceleración sus valores extremos(máximos o mínimos)?

4.13.- Desde el pie de un plano inclinado, queforma un ángulo α con la horizontal, se dispa-ra un proyectil con una velocidad inicial v0 queforma un ángulo θ0 con la horizontal.Determinar el alcance del proyectil medido alo largo del plano inclinado.

4.14.- Justamente en el instante en que un

Prob. 4.14

indio dispara un dardo, apuntando con lacerbatana directamente hacia un mono que estácolgado de una rama de un árbol, el mono sesuelta y cae libremente (vide figura). a) De-mostrar que cualquiera que sea la velocidad v0

de salida del dardo, el mono será siemprealcanzado. b) El "siempre" anterior no es total-

mente cierto; hay un valor mínimo de v0 por debajo del cual el mono no será alcanzado.Determinar dicho valor.

4.15.- Sombrilla de cobertura. El piloto de

Prob. 4.15

un avión de caza que va a operar cerca delemplazamiento de un cañón antiaéreo debeconocer la sombrilla de cobertura del cañón,esto es, la envolvente de todas las posiblestrayectorias de las proyectiles disparados por elcañón, en el supuesto de que éste pueda cubrir todos los ángulos de disparo, desde el disparohorizontal al vertical (vide figura). Siconsideramos emplazado el cañón en el origen

de un sistema coordenado, como se indica enla figura, ¿cuál es la ecuación de la sombrillade cobertura del cañón? (Se supone que elcañón dispara un tipo único de proyectiles).

4.16.- Un esquiador se desliza por una pista de



Problemas 107

trayectoria calcúlense la velocidad del vientoy la del avión en aire en calma.

4.31.- Atravesando un río. Un bote partedesde el punto P en la orilla de un río y mar-cha con celeridad constante v (respecto alagua) siempre en dirección hacia un punto Qde la orilla opuesta, que se encuentra justa-mente enfrente del punto P de partida. Laanchura del río es D y la velocidad de lacorriente es V . Demostrar que la trayectoria del bote queda definida por

r D secθ

(secθ tgθ )vV

siendo r la distancia que existe en un instante

dado entre la posición del bote y el punto Q yθ el ángulo formado por r y QP.

4.32.- Un cochecito de juguete,

Prob. 4.32

autopropulsado, que se muevecon celeridad constante v, estáunido mediante una cuerdaflexible de longitud l a una co-lumna cilíndrica de radio R,como se ilustra en la figura.Cuando el cochecito se pone enmovimiento, la cuerda se enro-

lla en la columna, permane-ciendo siempre tensa. a) Obte-ner las ecuaciones horarias delmovimiento del cochecito, i.e., x(t ) e y(t ), a partir del momentoen que la cuerda comienza a enrollarse en lacolumna. b) Determinar el tiempo que tarda lacuerda en enrollarse completamente. c) Encon-trar la velocidad y la aceleración del punto detangencia entre la cuerda y la columna cuandoel ángulo de arrollamiento vale 90°.

4.33.- Persecución. Un fugitivo se encuentra

Prob. 4.33

en una barca en el centro de un lago circular de radio R, encontrándose su perseguidor en

un automóvil que circula por un sendero quesigue el borde del lago. La velocidad máximade la barca es vf y la del automóvil v p = kvf ,con k > π. Para alcanzar la orilla del estanque,escapando de su perseguidor, el fugitivo utilizala estrategia de colocarse en posición diame-

tralmente opuesta a la de su perseguidor, mien-tras sea posible. a) Determinar la ecuación dela trayectoria seguida por el fugitivo y lacurvatura de la misma. b) ¿Conseguirá llegar a la orilla? En caso contrario, ¿cuál será lamáxima separación del centro del lago queconseguirá? c) Si a partir de esa posición co-mienza a moverse radialmente, ¿para qué valor de k conseguirá escapar? ¿Cuál será el tiempoempleado en ese caso?

4.34.- Una rueda de radio R rueda sobre un

Prob. 4.34

camino horizontal embarrado, avanzando conuna velocidad constante v0. De la periferia dela rueda se desprenden partículas de barro.a) Determinar la altura máxima sobre el sueloque pueden alcanzar las partículas de barro.b) ¿De qué punto de la periferia de la rueda sedesprenden esas partículas de barro?



5.- Cinemática del sólido rígido.

§5.1. Concepto de sólido rígido (109); §5.2. Condición cinemática de rigidez (110);§5.3. Movimiento de traslación (111); §5.4. Movimiento de rotación. Vector velocidadangular (112); §5.5. Principio de superposición de movimientos (114); §5.6. Composiciónde rotaciones (115); §5.7. Movimiento rototraslatorio (117); §5.8. Movimiento helicoidal(118); §5.9. Eje instantáneo de rotación y deslizamiento (118); §5.10. Teorema de Chasles(120); §5.11. Axoides. Representación de Poncelet (121); §5.12. Aceleración. Vector aceleración angular (122); §5.13. Contacto entre sólidos: deslizamiento, rodadura y

pivotamiento (126); §5.14. Movimiento plano del sólido rígido (127); §5.15. Base y ruleta(129); §5.16. Velocidad de sucesión del CIR (133); §5.17. Movimiento de rotaciónalrededor de un eje fijo (134); Problemas (136)

§5.1. Concepto de sólido rígido.- En esta lección describiremos elmovimiento del sólido rígido, entendiendo por tal aquel sistema de partículas en elque la distancia entre dos cualesquiera de ellas permanece invariable en el transcursodel tiempo. Los cuerpos sólidos que manejamos se deforman siempre, en mayor omenor grado, cuando están sometidos a las acciones de las fuerzas; sin embargo, si

éstas son suficientemente pequeñas, las deformaciones producidas son despreciablesy, entonces, hablaremos de cuerpos rígidos o indeformables. La definición de sólidorígido es sólo conceptual, por cuanto que el sólido rígido, en todo rigor, no existe.En este sentido, el sólido rígido es sólo una idealización y extrapolación del sólidoreal, al igual que lo fue, en la lección anterior, el punto material.

Consideremos un sólido rígido y un sistema de coordenadas, xyz, como se

Figura 5.1

muestra en la Figura 5.1. Indicaremos por ri

y r j los vectores de posición de dos puntos,Pi y P j, del sólido; la condición geométricade rigidez se expresa por

[5.1]( r i r j )2 cte.

La posición del sólido con respecto alsistema de ejes coordenados queda perfecta-mente determinada si conocemos la posiciónde tres cualesquiera de sus puntos, no alinea-dos, como los puntos 1, 2 y 3 que se indicanen la Figura 5.1. Para especificar la posición decada uno de ellos se necesitan tres parámetroso coordenadas; de modo que en total necesi-




110 Lec. 5.- Cinemática del sólido rígido.

tamos, aparentemente, nueve parámetros o coordenadas para especificar la posición delsólido en el espacio. Los tres puntos que hemos tomado como referencia están ligados por las condiciones de rigidez expresadas por [5.1]; esto es

[5.2]

( x1

x2

)2 ( y1

y2

)2 ( z1

z2

)2 k 212

( x2 x3)2 ( y2 y3)

2 ( z2 z3)2 k 223

( x3 x1)2 ( y3 y1)

2 ( z3 z1)2 k 231

tres ecuaciones que nos permiten despejar tres incógnitas en función de las demás, de modoque el número mínimo de parámetros o coordenadas necesarias para especificar la posicióndel sólido es solamente seis. Decimos que el sólido rígido posee seis grados de libertad .Volveremos sobre este asunto en §20.6.

§5.2. Condición cinemática de rigidez.- Para describir el movimiento de un sólidorígido deberíamos describir el movimiento de cada uno de los puntos materiales que loconstituyen. La situación puede parecernos demasiado complicada pero, afortunadamente,la propia condición de rigidez impone ciertas restricciones al movimiento de los distintos

puntos materiales del sólido, de modo que la situación se simplifica enormemente.

Para cada pareja de partículas pertenecientes al sólido rígido, la (Pi,P j) por ejemplo,


podemos escribir la condición geométrica de rigidez, esto es, la ec. [5.1], que derivada conrespecto al tiempo nos conduce a

[5.3]2 ( r i r j )

d r i

dt

d r j

dt 0

que también podemos escribir en la forma

[5.4] rij vij 0

donde rij y vij representan, respectivamente, el vector de posición y la velocidad de la partícula Pi con respecto a la P j. La ec. [5.4] expresa un resultado importante: al no ser nulos

ninguno de los vectores que intervienen en el producto escalar, han de ser perpendicularesentre sí. Dicho de otro modo: todo vector que tenga sus extremos fijos en el sólido rígido(como el rij) es perpendicular a su derivada con respecto al tiempo (i.e., a vij).

La ec. [5.3] puede escribirse:



§5.2.- Condición cinemática de rigidez. 111

en la forma [5.5] r ij v i r ij v j

o también [5.6] r ij

r ijv i

r ij

r ijv j

ecuación que expresa la igualdad de las proyecciones de las velocidades de los puntos Pi

y P j sobre la recta que los une. Este resultado constituye la condición cinemática de rigidezque se enuncia así:

Las velocidades de los puntos alineados pertenecientes a un sólido rígido danidéntica proyección sobre la recta que definen.

Manifiestamente, la condición cinemática de rigidez expresa la imposibilidad de quese modifique la distancia entre dos puntos cualesquiera del sólido en el transcurso delmovimiento de éste.

§5.3. Movimiento de traslación.- Veremos más adelante que el movimiento másgeneral del sólido rígido puede considerarse como la superposición de dos tipos demovimiento: de traslación y de rotación. Estudiaremos, primero, cada uno de estos dosmovimientos básicos por separado.

El movimiento de traslación es el más sencillo que puede experimentar el sólidorígido. Desde un punto de vista geométrico lo podemos definir del modo siguiente:

Se dice que un sólido rígido está animado de un movimiento de traslación cuando

todo segmento rectilíneo definido por dos puntos de aquél permanece paralelo así mismo en el transcurso del movimiento.

Consideremos un sólido rígido animado de un movimiento de traslación, como se

Figura 5.4

muestra en la Figura 5.4. En virtud de la condición geométrica de rigidez, el vector rij= ri- r jha de mantener constante su módulo en el transcurso de cualquier movimiento y, además,en virtud de la definición geométrica delmovimiento de traslación, también ha demantener constante su dirección y sentido;entonces, siendo c un vector constante,

podemos escribir

[5.7] r i r j c

y derivando con respecto al tiempo

[5.8]d r i

dt

d r j

dt 0

o sea [5.9]v i v j

constituyendo esta igualdad la condición cinemática del movimiento de traslación, esto es:

Todos los puntos de un sólido rígido animado de un movimiento de traslacióntienen, en cada instante, la misma velocidad.



§5.4.- Movimiento de rotación. Vector velocidad angular. 113

Se dice que un sólido rígido está animado de un movimiento de rotaciónalrededor de un eje fijo cuando todos sus puntos describen trayectorias circularescentradas sobre dicho eje y contenidas en planos normales a éste.

El eje de rotación puede atravesar el cuerpo o ser exterior al mismo; en el primer caso,

Figura 5.7

los puntos del sólido que están sobre el eje permanecen en reposo en tanto que los demás puntos describen circunferencias en torno al eje; en el segundo caso, todos los puntos delsólido están en movimiento circular alrededor del eje exterior al sólido. En cualquier caso,la velocidad v de un punto P del sólido será tangente a la circunferencia descrita y, en uninstante dado, tendrá un módulo tantomayor cuanto mayor sea la distanciadel punto al eje de rotación. Dichavelocidad viene dada por

[5.13]v v e t

El módulo de la velocidad, esdecir, la celeridad, es

[5.14]v lím∆t →0

∆ s∆t

d sdt

pero se verifica que d s = r dθ, mi-diéndose el ángulo en radianes (rad),de modo que

[5.15]v d sdt

r dθdt

El cociente dθ/dt recibe el nombre de celeridad angular y podemos expresar la celeridadv de cualquier punto del sólido como el producto de la celeridad angular por la distanciar del punto al eje de rotación. Designando por ω la celeridad angular, podemos escribir

Figura 5.8

[5.16]v ω r

La introducción del concepto de celeridad angular

es de gran importancia por la simplificación quesupone en la descripción del movimiento de rotacióndel sólido, ya que, en un instante dado, todos los

puntos del sólido poseen la misma celeridad angular,en tanto que a cada uno de ellos le corresponde unaceleridad que es función de su distancia al eje derotación. Así pues, la celeridad angular caracteriza almovimiento de rotación del sólido rígido en torno a uneje fijo. La celeridad angular se mide en radianes por

segundo (rad/s).

Definiremos el vector velocidad angular ω , como un vector situado sobre el eje derotación, cuyo módulo es la celeridad angular anteriormente definida, o sea




[5.17]ω ω lím∆t →0

∆θ∆t

dθdt

y cuyo sentido coincide con el del avance de un tornillo que girase en el sentido en quelo hace el sólido (regla de la mano derecha). Si designamos por e al versor que indica la

dirección del eje, y cuyo sentido sea el definido por la regla anterior, tenemos

[5.18]ω dθdt

e ω e dθdt

donde hemos considerado al elemento de ángulo dθ como un vector dθ, de módulo dθ,cuya dirección y sentido están definidos por la regla del tornillo. Llamando et y en a losversores tangencial y normal, respectivamente, a la trayectoria del punto genérico P, lavelocidad de ese punto puede expresarse en la forma

[5.19]v v e t r ω (e n×e) (r e n)× (ω e) PO × ω de modo que podemos afirmar:

La velocidad v de un punto genérico P del sólido rígido en rotación es igual almomento del vector velocidad angular ω con respecto a dicho punto P.

Así pues, conocida la velocidad angular ω queda determinada la distribución develocidades en todos los puntos del sólido rígido en rotación. La expresión [5.19] puedeescribirse en la forma

[5.20]v ω × OP

o bien [5.21]v ω × r

donde r=OP es el vector de posición del punto genérico P con respecto a un puntocualquiera del eje de rotación. Las definiciones anteriores exigen que el vector velocidadangular ω tenga carácter deslizante sobre el eje de rotación; en efecto, se verifica que

[5.22]ω × OP ω × O1P ω × O2P

siendoO,O1 y O2 distintos puntosdel eje derotación, yaque esOP= O1P sen φ1 = O2P sen φ2.

§5.5. Principio de superposición de movimientos.- El principio de superposiciónde movimientos en un sólido rígido establece lo siguiente:

Si un sólido rígido está animado de varios movimientos simultáneos que originanvelocidades v′, v″ , ... en un punto genérico P del sólido, la velocidad resultantev de ese punto genérico es la suma vectorial de las velocidades que le correspondeen cada uno de los movimientos componentes por separado.En efecto, por el principio de superposición de los desplazamientos elementales originados por cada

uno de los movimientos simultáneos, se cumple que[5.23]d r d r′ d r″ v′dt v″ dt (v′ v″ ) dt

de modo que, en el instante t , la velocidad del punto genérico P es



§5.5.- Principio de superposición de movimientos. 115

[5.24]v v′ v″

Otra forma de enunciar el principio de superposición es la siguiente:

Si un sólido rígido esta animado de varios movimientos simultáneos, para cada

uno de los cuales se cumple la condición cinemática de rigidez, el movimientoresultante también cumple esa condición.En efecto, consideremos dos puntos del sólido, Pi y P j (Figura 5.9); por cumplirse la condición

Figura 5.9

cinemática de rigidez para cada uno de los movimientos componentes (simultáneos), podemos escribir:

[5.25]v i r ij

v j r ij

v i r ij v j r ij

que sumados dan

[5.26](v i′ v i″ ) r ij

(v j′ v j″ ) r ij

de modo que, teniendo en cuenta [5.24],resulta

[5.27]v i r ij v j r ij

que es la expresión de la condicióncinemática de rigidez para el movimientoresultante.

§5.6. Composición de rotaciones.- A partir de la definición del vector velocidadangular, y al quedar completamente representado por dicho vector el movimiento derotación del sólido, es fácil comprender que componer dos o más rotaciones se reducirá asumar los vectores de velocidad angular que las representan, sin olvidar que dichos vectoresson deslizantes. Consideraremos dos casos sencillos.

(1) Rotaciones cuyos ejes concurren en un punto.- Consideremos un sólido rígido animadode dos rotaciones simultáneas1, ω 1 y ω 2, cuyos ejes concurren en el punto O (Figura 5.10).La velocidad de un punto genérico P del sólido2 será la suma de las velocidades, v1 y v2,

que le corresponderían a ese punto en cada rotación por separado; i.e.,[5.28]v1 ω 1 × R v2 ω 2 × R

1 Podemos imaginar las dos rotaciones simultáneas del modo que se ilustra en la (Figura 5.10).Esto es, el sólido está en rotación con una velocidad angular ω 2 alrededor de un cierto eje; a suvez, este eje está rotando con una velocidad angular ω 1 alrededor de un eje fijo en el espacio. La

rotación ω 2 suele denominarse rotación intrínseca; la rotación ω 1 recibe el nombre de precesión.

2 Entenderemos que el punto P pertenece materialmente al sólido o que, en caso contrario, esun punto del espacio que se mueve como lo haría si perteneciese realmente al sólido (i.e., que semueve solidariamente con el sólido).




de modo que [5.29]v v1 v2 (ω 1 ω 2 ) × R ω × R

o sea que

el resultado de la superposición de dos o más rotaciones simultáneas cuyos ejes

concurren en un punto es igual a otra rotación cuyo eje pasa por dicho punto ycuya velocidad angular es la suma (vectorial) de las velocidades angularescorrespondientes a las rotaciones componentes.

(2) Par de rotaciones.- Consideremos un sólido rígido que esté animado simultáneamente


de dos movimientos de rotación, en torno a ejes paralelos entre sí y de modo que lasvelocidades angulares correspondientes, localizadas sobre dichos ejes, tengan el mismomódulo y sentidos opuestos (Figura 5.11); esto es, ω 1=ω y ω 2=-ω . Los vectores ω y -ω constituyen un par de rotaciones. La velocidad de un punto genérico P del sólido será

[5.30]v (ω × O1P) ( ω × O2P) ω × (O1P PO2)

o sea [5.31]v ω × O1O2

resultando ser independientes del punto P. En consecuencia, tenemos un movimiento enel que todos los puntos del sólido poseen, en un instante dado, la misma velocidad. Endefinitiva, podemos enunciar:

Un par de rotaciones equivale a una traslación

Figura 5.12

cuya velocidad es la expresada por [5.31], osea, el momento del par .

Y recíprocamente:

Una traslación equivale a un par de rotacionescuyo momento sea la velocidad de traslación.

Como puede parecernos algo difícil aprehender intuitiva-mente el enunciado anterior, recurriremos a un ejemplo sencillo.

Sea AB una recta del sólido (Figura 5.12); supongamos quesólo existiese la rotación ω 1=ω y giremos el sólido un ciertoángulo φ (=90° en la figura) alrededor del eje de ω 1, de modo

que la recta AB pase a la posición A′B′. A continuación consideremos la rotación ω 2=-ω , de modo quela recta A′B′ girará (en el mismo intervalo de tiempo) el mismo ángulo φ en sentido contrario al anterior,



§5.6.- Composición de rotaciones. 117

pasando a la posición A″ B″ . Se observa que la recta AB es paralela a la A″ B″ ; esto es, en el transcursodel movimiento combinado y simultáneo toda recta ligada al sólido permanece paralela a sí misma, por lo que se trata de un movimiento de traslación.

§5.7. Movimiento rototraslatorio.- El movimiento más general del sólido rígido es

el movimiento rototraslatorio; esto es, el originado por la superposición de los dosmovimientos básicos definidos anteriormente: el movimiento de traslación y el movimientode rotación.

Consideremos un sólido rígido que está animado simultáneamente de un cierto númerode movimientos de traslación y de rotación. Cada uno de los movimientos de traslaciónquedará completamente definido por la velocidad de traslación correspondiente; esto es, v1,v2, ... vm. Análogamente, cada una de las rotaciones quedará completamente definida por el vector velocidad angular correspondiente; esto es ω 1, ω 2, ... ω n. Teniendo en cuenta queun movimiento de traslación es equivalente a un par de rotaciones cuyo momento es iguala la velocidad de traslación, el estado de movimiento del sólido rígido estará definido por un conjunto de rotaciones simultáneas, ω 1, ω 2, ... ω n, ω n+1, ... ω n+2m, cuyos ejes de rotación

pasan por los puntos O1, O2, ... On+2m (Figura 5.13). En definitiva, el movimiento del sólidoestá descrito por un sistema de vectores deslizantes.

La velocidad de un punto genérico del sólido, P, viene dada por el momento resultantedel sistema de vectores deslizantes ω i (i=1, 2, ...) en el punto P; i.e.,

[5.32]vPi

PO i × ω ii

ω i × O i P

Por otra parte, el momento del

Figura 5.13

sistema de vectores deslizantes en otro punto, P′, del sólido (i.e., la velocidaddel punto P′) está relacionado con elanterior mediante la expresión

[5.33]vP v P ω × PP

siendo ω = Σ ω i la resultante generaldel sistema de vectores deslizantes (i.e.,la velocidad angular resultante) que es

un invariante del sistema (primer invariante o invariante vectorial ).

La expresión [5.33] nos permite decir que la velocidad que le corresponde a un punto P′ de un sólido rígido es igual a la que le corresponde a otro punto arbitrariodel mismo, P, más la velocidad que le correspondería al punto P′ en una rotacióninstantánea, ω , alrededor de un eje que pasase por el punto P. En definitiva, podemosenunciar:

El movimiento general de un sólido rígido (movimiento rototraslatorio) puede reducirse a una rotación de velocidad angular ω = Σ ω i alrededor de

un eje paralelo a ω y que pasa por un punto arbitrario del sólido, más unatraslación cuya velocidad es el momento resultante del sistema de vectoresω i (i=1, 2,...) con respecto a dicho punto arbitrario.




El enunciado anterior nos indica que cualquier movimiento del sólido rígido, por complejo que nos parezca, puede reducirse siempre a la superposición de dosmovimientos básicos: uno de traslación y otro de rotación.

Obsérvese que la velocidad de cualquier punto del sólido queda perfectamentedeterminada con el conocimiento de la velocidad angular ω del sólido y la velocidad

vP de un punto cualquiera del mismo; i.e., por los vectores ω y vP, a los quedenominaremos, conjuntamente, grupo cinemático en P.

§5.8. Movimiento helicoidal.- Un movimiento rototraslatorio de especial

Figura 5.14

interés es el que resulta de combinar un movimiento de rotación en torno a un ejedado con un movimiento de traslación a lo largo de ese mismo eje; el resultado esun movimiento helicoidal .

Sean vO la velocidad de traslación y ω la velocidad angular de rotación del sólido

rígido. La velocidad de un punto genéricoP, perteneciente al sólido y que no estásituado sobre el eje de rotación (Figura 5.14),viene dado por

[5.34]v P v O ω × OP

Como el vector ω × OP resulta ser perpendicular a ω y, por lo tanto, a vO, lavelocidad del punto P es la suma de dos

vectores perpendiculares entre sí; el vO, paralelo al eje y el ω ×OP, debido a larotación, perpendicular al eje y que depende de la posición del punto P con respectoa dicho eje.

Si tanto vO como ω son indepen-

Figura 5.15

dientes del tiempo (traslación y rotaciónuniformes), el punto P describe unatrayectoria que es una curva alabeadallamada hélice (Figura 5.15), cuyo eje esla recta soporte de ω , y el movimientodel sólido se llama helicoidal uniforme.El paso de la hélice estará dado por

[5.35]h vO T 2π vO

ω

Obsérvese que en el movimientohelicoidal el eje actúa como eje de rotación y deslizamiento, ya que el sólido rígido,al tiempo que gira en torno al eje se traslada o desliza a lo largo del mismo.

Si son vO(t ) y ω (t ) (i.e., funciones del tiempo), el movimiento sigue siendo heli-coidal, pero tanto el eje de rotación y deslizamiento como el paso de la hélicevariarán en el transcurso del tiempo.



§5.9.- Eje instantáneo de rotación y deslizamiento. 119

§5.9. Eje instantáneo de rotación y deslizamiento.- En los apartados ante-riores hemos visto como podemos reducir el estudio del movimiento general delsólido rígido al del sistema de vectores deslizantes, ω i (i=1, 2, ...), que lo representa.Así, la velocidad de un punto del sólido rígido puede considerarse como el momento

de dicho sistema de vectores con respecto al punto considerado [5.32], y la velocidadde un segundo punto del sólido está relacionada con la del anterior por la expresión[5.33]. A cada punto del sólido le corresponde una velocidad distinta (en general);

pero, en un instante dado, todas esas velocidades dan la misma proyección en ladirección de la velocidad angular resultante ω . En efecto, multiplicando escalarmente

por ω ambos miembros de la exp. [5.33], tenemos

ω vP ω v P ω (ω × PP ) ω v P

o sea

Figura 5.16

[5.36]

ω v cte.que es la expresión del segundo invariante o invariante escalar del sistema devectores deslizantes ω i (i=1, 2, ...). Por tanto, podemos enunciar que

en un instante dado, el producto escalar de los dos vectores del grupocinemático tiene el mismo valor en todos los puntos del sólido; i.e., esinvariante.

El módulo de la velocidad v de un punto del sólido rígido tendrá un valor mínimo sidicha velocidad es paralela a la velocidad angular resultante ω . Pero el lugar geométrico

de los puntos cuya velocidad (momento) es paralela a ω (resultante) sabemos que es unarecta definida por la ecuación(Figura 5.16):

[5.37]OE ω × v O

ω 2 λω

que es la ecuación del eje central delsistema de vectores deslizantes ω i(i=1, 2, ...), en un referencial de

origen en el punto O. Obviamente, vOrepresenta la velocidad que le corres-

pondería al punto O, en el caso deque perteneciera al sólido. Cuando elsistema de vectores deslizantes estáconstituido por vectores de velocidadangular ω i, el eje central del sistemade vectores recibe el nombre especialde eje instantáneo de rotación y deslizamiento (EIRD). Así pues, el EIRD quedadefinido como

el lugar geométrico de los puntos del sólido de velocidad mínima

o bien



§5.10.- Teorema de Chasles. 121

(propio o impropio). En los demás puntos del sólido, fuera de la recta deacción de ω , aparecerá una velocidad que será siempre perpendicular a ω ,

por ser ω v=0.

(4) Que sea ω ≠ 0 y v ≠ 0: En este caso deberá ser v⊥ω , de modo que cada punto del sólido se moverá en un plano perpendicular al eje instantáneo de

rotación (o sea, al vector ω ). Como para los puntos de dicho eje deberá ser,además, v ω , la velocidad de dichos puntos será nula. Por consiguiente, elsólido pasará en cada instante por un estado de rotación pura, con velocidadangular ω , alrededor del eje instantáneo de rotación, pero sin que existadeslizamiento alguno a lo largo de dicho eje. Este movimiento recibe elnombre de movimiento de rodadura y en él los puntos del eje instantáneode rotación se encuentran instantáneamente en reposo.

§5.11. Axoides. Representación de Poncelet.- Recordemos que todo cuanto

Figura 5.18

hemos estudiado hasta ahora ocurre en un instante determinado y, así, la ec. [5.37],que define al eje instantáneo de rotación y deslizamiento (eje central), depende de losvalores instantáneos de ω y de vO, de modo que representa una recta móvil en elespacio. En efecto, losvectores ω y vO puedenvariar de un instante a otrode modo que el eje instantá-neo, en general, cambiaráconstantemente de posición,en el transcurso del tiempo,

tanto con respecto a unsistema de ejes fijos en elespacio, como con respectoa otro sistema de ejes liga-dos al sólido rígido y que semueven solidariamente conél. El eje instantáneo sóloestará indefinido en aquellosinstantes en los que el movi-

miento del sólido sea unatraslación pura.

En el transcurso del movimiento del sólido, el eje instantáneo modifica su posición con respecto a un referencial de ejes fijos en el espacio ( xyz), generando unasuperficie reglada que recibe el nombre de axoide fijo. Por otra parte, el ejeinstantáneo, en su movimiento con respecto al referencial de ejes ligados al sólido( x′ y′ z′), genera otra superficie reglada que recibe el nombre de axoide móvil . Secomprende que, en cada instante, ambos axoides deben tener una recta común, quees el eje instantáneo correspondiente a dicho instante, de modo que ambos axoidesson tangentes a lo largo de la recta mencionada.

Pero además, en cada instante, el sólido rígido realiza una traslación odeslizamiento a lo largo de dicho eje o recta común a ambos axoides, con unavelocidad vd que es la velocidad de traslación del movimiento helicoidal tangente, yque es simplemente la proyección del vector velocidad v de cualquier punto del




sólido sobre el eje instantáneo de rotación y deslizamiento; i.e.,

[5.40]vd

ω v

ω

En definitiva, el movimiento general del sólido rígido (rototraslatorio) se puederepresentar de forma continua suponiendo que el sólido está ligado y se muevesolidariamente con una superficie móvil (axoide móvil) que rueda sobre unasuperficie fija (axoide fijo) al mismo tiempo que experimenta un deslizamiento a lolargo de la generatriz común instantánea. Tal representación del movimiento delsólido se debe al matemático y general francés Jean Victor PONCELET (1788-1867).

En el caso de que uno de los puntos

Figura 5.19

del sólido permanezca fijo durante elmovimiento, ambos axoides degeneran enconos tangentes entre sí a lo largo de una

generatriz y el movimiento continuo dePoncelet se reduce a una rodadura del conomóvil sobre el cono fijo, ya que no habrádeslizamiento por ser nula la velocidad deuno de los puntos del sólido. En laFigura 5.19 ilustramos este tipo de movi-miento. El sólido rígido (y el cono móvilal cual es solidario) gira con velocidadangular ω 1 al mismo tiempo que el eje deω 1 gira con una velocidad angular ω 2alrededor de un eje fijo en el espacio. El

resultado de estos dos movimientos combinados es una rodadura del cono móvilsobre el cono fijo, siendo el eje instantáneo de rotación (puntos de velocidadinstantánea nula con respecto al sistema de ejes fijos) la generatriz comúninstantáneamente a ambos conos. Obviamente, será ω = ω 1 + ω 2, como se ilustra enla Figura 5.19, siendo ω la velocidad angular instantánea del sólido.

§5.12. Aceleración. Vector aceleración angular.- Consideremos un puntogenérico P de un sólido rígido en movimiento y sea vP su velocidad. Si consideramos

un segundo punto, O, perteneciente al sólido, cuya velocidad sea vO, la relaciónexistente entre ambas velocidades es de la forma

[5.41]vP vO ω × OP

donde ω es la velocidad angular resultante, que la podemos considerar localizadasobre un eje que pase por el punto O. Derivando la expresión anterior con respectoal tiempo, obtenemos la aceleración aP del punto P; esto es,

[5.42] aP

dvP

dt

dvO

dt

dω

dt × OP ω × dOP

dt



§5.12.- Aceleración. Vector aceleración angular. 123

aO

dω dt

× OP ω × (vP vO) aO

dω dt

× OP ω × (ω × OP)

donde

es la aceleración del punto O; aO

es la aceleración tangencial del punto P en su rotación alrede-dω dt

× OPdor de un eje en la dirección de ω y que pasa por el punto O;

es la aceleración normal del punto P respecto al eje anterior-ω × (ω × OP)mente citado.

Obviamente, la suma de las aceleraciones tangencial y normal del punto P en surotación en torno al eje definido por ω y que pasa por el punto O es igual a a- aO, o

sea la aceleración (relativa) del punto P respecto al punto O.Definimos el vector aceleración angular , y lo representamos por α, de modo que

[5.43]α dω dt

ddt

(ω e ) dω

dt e ω de

dt

resultando que, en general, el vector α

Figura 5.20

no está localizado sobre el eje de rota-ción. La aceleración angular se mide enrad/s2.

En el caso particular de que el ejede rotación mantenga una orientaciónfija en el espacio (movimiento plano,vide §5.14), entonces será de/dt =0 y elvector aceleración angular α estarálocalizado sobre el eje de rotación. Estoes,

[5.44]α dω dt

e d2θ

dt 2 e α e

de modo que el módulo de la aceleración angular es la derivada de la celeridadangular con respecto al tiempo (o la derivada segunda del ángulo de rotación conrespecto al tiempo); su dirección es la del eje de rotación y su sentido es el de ω cuando la celeridad angular aumenta con el tiempo, pero es de sentido opuesto sidisminuye.

En el caso general, cuando el eje de rotación no mantiene una dirección fija enel espacio, será de/dt ≠0, aunque e =1, ya que el versor del eje cambia de direcciónen el transcurso del movimiento. Puesto que e es un versor (módulo unitario,constante), su derivada será un vector perpendicular a e, como se ilustra en laFigura 5.21, de la que se deducirá fácilmente que




[5.45]de dφ sen θ

de

dt dφdt

sen θ Ω sen θ

siendo Ω la velocidad angular instantánea

Figura 5.21

asociada a la rotación del eje (definido por e) en el espacio, lo que nos lleva a

[5.46]ω

de

dt Ω ω sen θ

o sea [5.47]ω de

dt Ω × ω

Así pues, en el caso más general, la acele-

ración angular α se expresará en la forma

[5.48]α dω dt

dω dt

e Ω × ω

en la que observaremos que la aceleración

Figura 5.22

angular α tiene dos componentes (Figu-

ra 5.22): una componente longitudinal (i.e.,en la dirección del eje de rotación) cuyomódulo es dω /dt y una componente trans-versal (i.e., perpendicular al eje de rota-ción) cuyo módulo es Ω×ω . Así pues,en general, el vector α no tendrá la mis-ma dirección que el vector ω ; dicho deotra manera, el vector α no tendrá ladirección del eje de rotación.

En definitiva, la dirección de la acele-ración angular sólo coincide con la delvector velocidad angular, o sea, con el eje

de rotación, en el caso de que dicho eje mantenga su orientación fija en el espacio

(Figura 5.34).En cualquier caso, de acuerdo con las anteriores definiciones, la expresión [5.42]

puede escribirse ahora en la forma

[5.49] a aO α × OP ω × (ω × OP)

y vemos que, puesto que at=α × OP, podemos considerar la aceleración tangencialdel punto P del sólido, en la rotación instantánea alrededor de un eje que pasa por el punto O, como el momento del vector α con respecto al punto P.

En realidad, una pequeña reflexión nos descubrirá que el resultado [5.48] es mas general de lo

que pudiera parecernos a primera vista, ya que podemos emplear cualquier magnitud vectorial en[5.48], en el lugar del vector velocidad angular ω , y la forma del resultado sería la misma. Así, laoperación de calcular la derivada temporal de cualquier magnitud vectorial, expresando el resultadodescompuesto en dos componentes asociadas, respectivamente, al cambio de su módulo




con

dω dt

dω 1dt

dω 2dt

α1 ω 1 × ω 2

00α

1

00

ω 1

×

ω 2

00

0ω 1 ω 2α1

dω dt

× OP

0ω

1ω

2

α1

×

R1

0 R2

ω 1ω 2 R2

α1 R1

ω 1ω 2 R1

ω × (ω × OP)

ω 2

0ω

1

×

0ω 1 R1 ω 2 R2

0

ω 21 R1 ω

1ω

2 R2

0

ω 1ω 2 R1 ω 22 R2

de modo que a P

ω 21 R1 2ω 1ω

2 R2

α1 R1

ω 22 R2

(b) También podemos partir del punto C, con

v C

0ω

1 R1

0

a C

ω 21 R1

α1 R1

0

CP

00

R2

y obtendremos los mismos resultados que antes, como el lector comprobará fácilmente.

§5.13. Contacto entre sólidos: deslizamiento, rodadura y pivotamiento.-Consideremos dos sólidos rígidos, S1 y S2, que se mueven de forma que sus

Figura 5.24

superficies mantienen en todo momento un punto (J) de contacto, como se ilustra enla Figura 5.24.

Aunque, en el caso más general, ambos sólidos pueden estar en movimiento,cuando solamente estemos interesados en el movimiento relativo entre las superficies

de los sólidos, podemos considerar uno de ellos(S2) en reposo (Figura 5.24). En estas condiciones,el movimiento instantáneo del sólido S1 conrespecto al S2 queda caracterizado por su grupocinemático en J; i.e., por los vectores ω y v(J).

En virtud de la indeformabilidad de los sóli-dos, el vector v(J) está contenido en el planotangente a ambas superficies en el punto decontacto J. Su existencia indica que existe un

deslizamiento relativo entre las superficies delos sólidos.

El otro vector del grupo cinemático en J,i.e., la velocidad angular ω , se puede



§5.13.- Contacto entre sólidos: deslizamiento, rodadura y pivotamiento. 127

descomponer en dos rotaciones concurrentes en J, en las direcciones ortogonalesdefinidas por la normal NN a ambas superficies en el punto de contacto y por la

proyección sobre el plano tangente:

[5.53]ω ω p ω r

La componente ω p recibe el nombre de rotación de pivotamiento; la componente ω r se denomina rotación de rodadura.

Consideramos ahora el caso particularmente importante en el que un sólido (S1)

Figura 5.25

rueda sin deslizar sobre otro sólido (S2) que se encuentra también en movimiento(Figura 5.25). La confluencia de las dos condiciones imponen la anulación de lavelocidad del punto de contacto perteneciente a un sólido en el referencial solidarioal otro; i.e.,

[5.54]vR.S2(JS1) 0 vR.S1(JS2) 0

de donde se sigue la igualdad de las velocidades deambos puntos en cualquier referencial:

[5.55]vRef (JS1) vRef (JS2)

expresión de gran utilidad ya que, si conocemos lacinemática del sólido S2 (en lo que concierne a lasvelocidades) y el estado de rotación del sólido S1

(i.e., ω 1), permite conocer la velocidad de los puntos del sólido S

1

partiendo de la del punto decontacto JS1.

§5.14. Movimiento plano del sólido rígido.- El movimiento del sólido rígidose simplifica considerablemente cuando todos sus puntos se mueven paralelamentea un plano fijo determinado. Este tipo de movimiento, que recibe el nombre demovimiento plano, se caracteriza por ser planas las trayectorias de todos los puntosdel sólido. Los planos de esas trayectorias, o cualquier otro plano paralelo a ellas,reciben el nombre de planos del movimiento (Figura 5.26).

El movimiento plano del sólido rígido implica:

(1) No hay deslizamiento a lo largo del eje instantáneo de rotación (rotación pura); i.e., la velocidad de deslizamiento es nula.

(2) El eje instantáneo de rotación mantiene una dirección fija en el espacio, perpendicular a los planos del movimiento, aunque puede trasladarsemanteniéndose paralelo a sí mismo; i.e., la velocidad angular, ω , del sólidoes un vector de dirección constante.

Por ser nula la velocidad de deslizamiento, el invariante escalar será ω v=0,siendo v (≠0) la velocidad de un punto genérico del sólido. Por consiguiente, elsólido pasará en cada instante por un estado de rotación pura alrededor del ejeinstantáneo de rotación (rodadura). El punto I, determinado por la intersección deleje instantáneo de rotación con un plano del movimiento, se denomina centroinstantáneo de rotación (CIR) o polo de velocidades, correspondiente a dicho plano



§5.14.- Movimiento plano del sólido rígido. 129

de dos puntos cualesquiera del sólido, y éstas no son paralelas entre sí, el polo develocidades (I) se encuentra en la intersección de las perpendiculares a ellas en los

puntos respectivos (A y B), como se ilustra en la Figura 5.28, de modo que será

[5.60]ω vA

IA

vB

IB

Obviamente, si las velocidades de los puntos A y B son paralelas entre sí, el punto de intersecciónde las perpendiculares a ellas se encontrará en el infinito (punto impropio) y el movimiento se reduce enese instante a una traslación pura.

(b) Si las direcciones de las velocidades de dos puntos dados, A y B, del sólido


son paralelas entre sí y las perpendiculares a ellas en A y B coinciden con la recta

AB, podemos localizar el CIR sobre la recta AB si conocemos los módulos de esasvelocidades. En efecto, por ser lineal la distribución de velocidades a lo largo de la

Figura 5.30

recta AB, el polo de velocidades quedará definido como el punto de dicha recta develocidad nula, localizándosele geométricamente como se indica en la Figura 5.29,cumpliéndose la relación [5.60].

§5.15. Base y ruleta.- Observemos que los axoides se reducen ahora asuperficies cilíndricas. Lasintersecciones de los axoides

fijo y móvil con un plano delmovimiento definen unascurvas que reciben los nombresde base y ruleta, respecti-vamente (Figura 5.30). En cada

plano del movimiento, la ruletarueda con velocidad angular ω sobre la base, siendo el puntode contacto entre ambas, encada instante, el polo de

v el oc i da de s o c en tr oinstantáneo de rotación.

Obviamente, también podemos dar las siguientes definiciones alternativas parala base y la ruleta:




La BASE es el lugar geométrico o trayectoria del polo de velocidades enel referencial de ejes fijos en el espacio ( xy).

La RULETA es el lugar geométrico o trayectoria del polo de velocidadesen el referencial de ejes ligados al sólido rígido ( x′ y′).

Consideraremos dos referenciales. Un referencial O xyz, con una base vectorialasociada B (i, j, k), que estará fijo en el espacio. Otro referencial O ′ x′ y′ z′, con una basevectorial asociada B′ (i′, j′, k′), que se mueve solidariamente con la sección planamóvil. La posición y orientación de este segundo referencial estarán determinadas encada instante por las coordenadas ( xO′, yO′) de su origen O′ en el referencial O xyz y

por el ángulo θ que forman las direcciones de los ejes O x y O′ x′, como se indica enla Figura 5.31.

La posición del centro instantáneo de rotación en el plano del movimiento vendrá

Figura 5.31

dada por

[5.61]OI ω × vO

ω 2

donde vO representa la velocidad que ten-dría el punto O (origen de coordenadasfijo) si perteneciera a la sección planamóvil (Figura 5.31). Corrientemente nosinteresa determinar el polo de velocidadesa partir de la velocidad de un punto que

realmente pertenezca a la sección planamóvil, tal como el punto P. Entonces, será

[5.62]PI ω × vP

ω 2

pudiéndose expresar las componentes de los vectores bien sea en la base vectorialasociada al referencial O xyz (fijo en el espacio) o en la asociada al referencial O′ x′ y′ z′(solidario a la sección plana móvil).

De acuerdo con las definiciones dadas para la base y la ruleta, las ecuacionesvectoriales de éstas serán respectivamente:

BASE: [5.63]OI B OP B PI B OP B

ω × vP B

ω 2

RULETA: [5.64]O I B O P B PI B O P B

ω × vP B

ω 2

donde la notación B y B′ nos indica la base vectorial en la que deben expresarse

las magnitudes vectoriales. De estas expresiones se siguen de inmediato lasecuaciones paramétricas de la base y de la ruleta.

Desarrollando la expr. [5.63], con P ≡ O′, se sigue




e igual a 2l ; en consecuencia, la BASE es una circunferencia de radio 2l y centro en O.

La distancia CI también se mantiene siempre constante e igual a l ; por consiguiente, la RULETA

es una circunferencia de radio l y centro en C.

La varilla se mueve como sí estuviese unida a la ruleta y fuese arrastrada por ésta en surodadura sobre la base.

Segundo método (vectorial):

Elegimos el punto A como punto del sólido de velocidad conocida. Entonces, la velocidad del punto B será:

vB vA ω × AB

vA

0

0

0

0

ω

×

2l senθ

2l cosθ

0

vA 2ω l cosθ

2ω l senθ

0

0

vB

0

de modo que será vA = 2ω l cosθ, o sea ω vA

2l cosθPOLO DE VELOCIDADES:

AI B

ω × vA

ω 21

ω 2

0

0

ω B

×

vA

0

0 B

0

vA/ω

0 B

0

2l cosθ

0 B

AI B

ω ×vA

ω 2

1

ω 2

0

0

ω B

×

vAcosθ

vAsenθ

0 B

vAsenθ/ω

vAcosθ/ω

0 B

2l senθ cosθ

2l cos2θ

0 B

l sen 2θ

l (1 cos 2θ )

0 B

BASE: OI B OA B AI B

2l senθ

0

0 B

0

2l cosθ

0 B

2l senθ

2l cosθ

0 B

de modo que la ecuaciones paramétricas de la BASE son: x 2l senθ y 2l cosθ

y eliminando el parámetro θ entre ellas se obtiene x2 + y2 = (2l )2, por lo que la BASE es unacircunferencia de radio 2l y centro en O.

R ULETA: O I B ≡ AI B

l sen 2θ

l ( 1 cos 2θ )

0 B



§5.15.- Base y ruleta. 133

de modo que las ecuaciones paramétrica de la RULETA son: x l sen2θ y l ( 1 cos2θ )

Para eliminar el parámetro θ, ponemos la segunda ecuación en la forma y′ - l = l cos 2θ, elevamosal cuadrado ambas ecuaciones y las sumamos miembro a miembro; resulta: x′2 + ( y′ - l )2 = l 2, i.e.,

una circunferencia de radio l y centro en C.

Tercer método (algebraico):

Tomamos el punto A del sólido como origen del referencial móvil ( i.e., A ≡ O′); esto es,

de modo que

xO 2l senθ yO 0

d xO

dθ 2l cosθ

d yO

dθ 0

Ecuaciones paramétricas de la BASE:

x xO

d yO

dθ 2l senθ

y yO

d xO

dθ 2l cosθ

y eliminando el parámetro θ entre ellas se obtiene x2 + y2 = (2l )2, por lo que la BASE es unacircunferencia de radio 2l y centro en O.

Ec. paramétricas de la R ULETA:

x

d xO

dθ senθ

d yO

dθ cosθ 2l senθ cosθ l sen 2θ

y d xO

dθ cosθ

d yO

dθ senθ 2l cos2θ l (1 cos 2θ)

y eliminando el parámetro θ entre ellas se obtiene x′2 + ( y′ - l )2 = l 2, por lo que la RULETA es unacircunferencia de radio l y centro en C.

§5.16. Velocidad de sucesión del CIR.- Sean I e I′ los centros instantáneos

de rotación en los instantes t y t +∆t ; llamaremos velocidad de sucesión del CIR allímite

[5.67]v s lím∆t →0

II′∆t

que corresponde a la de un punto ficticio cuya trayectoria fuese la base y cuya posición coincidiese en cada instante con la del centro instantáneo de rotación. Lavelocidad de sucesión vendrá representada por un vector tangente a la base en elCIR.

Aunque la velocidad de sucesión puede determinarse a partir de los recursosusuales de la cinemática, resulta interesante expresarla en función de la velocidad derotación del sólido y de las curvaturas de la base y de la ruleta en el CIR.

Puesto que la ruleta rueda sobre la base, el arco II′B tiene la misma longitud que




el arco II′R . Así pues, durante un intervalo de

Figura 5.33

tiempo infinitesimal tendremos

[5.68]d s arc IIB′ ρ B dφ B

d s arc IIR

′ ρR

dφR

donde ρB y ρR son los radios de curvatura de la base y de la ruleta, respectivamente. Así pues, elmódulo de la velocidad de sucesión será:

[5.69]vs

d sdt

ρ B

dφ B

dt ρ R

dφ R

dt

Por otra parte se verifica

[5.70]dθ dφ B dφ R

ω dθdt

dφ B

dt

dφ R

dt

y, sustituyendo [5.69] en esta expresión tenemos

[5.71]ω vs

ρ B

vs

ρ R

(κ B κ R ) vs

de donde [5.72]vsω

κ B κ R

que es la expresión que buscábamos.Préstese atención a que en la deducción de las expresiones anteriores hemos establecido

implícitamente un convenio de signos según el cual la curvatura de la ruleta (o el radio decurvatura) es positiva si el centro de curvatura de la ruleta (CR ) está a distinto lado de la tangentecomún base-ruleta que el centro de curvatura de la base (CB), como se ilustra en la Figura 5.33; enel caso contrario, será negativa.

§5.17. Movimiento de rotación alrededor de un eje fijo.- El movimiento derotación alrededor de un eje fijo es un caso particular del movimiento plano delsólido rígido. Cuando el sólido rígido gira en torno a un eje fijo en el espacio, sindeslizamiento a lo largo de dicho eje (rotación pura), resulta conveniente tomar el

punto de referencia O sobre dicho eje, pues entonces, al ser vO=0 y aO=0, se lograuna gran simplificación en la descripción del movimiento. Entonces, para un puntogenérico P del sólido, será

[5.73]v ω × OP

a α × OP ω × (ω × OP) α × OP ω × v

y tomando el punto O en la incidencia del eje de rotación y la perpendicular bajada



§5.17.- Movimiento de rotación alrededor de un eje fijo. 135

desde P, con lo que OP= r, podemos escribir

[5.74]v ω × r

a α × r ω × (ω × r ) α × r ω × v

con:

at=α× r componente tangencial de la aceleración en el movimientocircular que realiza el punto P.

an=ω ×v=ω ×(ω × r) componente normal de la aceleración del punto P.

Evidentemente, tenemos para los módulos

[5.75]v ω r sen 90° ω r

at α r sen 90° α r an ω v sen 90° ω v ω 2 r

En su rotación alrededor de un eje fijo, el sólido rígido posee solamente un grado


de libertad, de modo que su movimiento quedará definido cuando se conoce elángulo θ en función del tiempo, es decir θ=θ(t ). Sin embargo, en muchos problemas

prácticos se conocen ω (t ), ω (θ), α(t ), α(θ) ...; entonces, utilizando las expresiones

[5.76]ω dθdt

α dω dt

d2θdt 2

ω dω dθ

podemos encontrar las ecuaciones del movimiento (vide §4.8d).

Casos particulares:

(a) Si α=0, el movimiento es de rotación uniforme; esto es, ω es constante y elángulo θ viene dado por

[5.77]θ θ0 ω t

(b) Si α=cte., el movimiento de rotación es uniformemente acelerado, de modo que

[5.78]ω ω 0 α t ω 2 ω 20 2 α (θ θ0) θ θ0 ω 0t

12 α t 2

Cuando los valores de ω y de α tiene el mismo signo, la rotación es uniforme-mente acelerada; en el caso contrario, es uniformemente retardada.




La analogía formal entre las leyes del movimiento rectilíneo de la partícula y lasdel movimiento de rotación del sólido rígido alrededor de un eje fijo, que acabamosde obtener, nos permite establecer las siguientes correspondencias:

x (desplazamiento lineal) ←→ θ (desplazamiento angular)

v (celeridad lineal) ←→ ω (celeridad angular)a (aceleración lineal) ←→ α (aceleración angular)

Problemas

5.1.- Un sólido rígido se mueve con respectoa un sistema de ejes de referencia. En uninstante dado, el punto del sólido de coordena-das (2,3,1) tiene una velocidad v = (2 1 -1).Decir si es posible que el punto del sólido decoordenadas (5,4,6) tenga en ese instantealgunas de las velocidades siguientes: a) v =

(1 2 -2); b) v = (1 4 -1); c) v = (2 1 -1).

5.2.- Los extremos A y B de una varilla

Prob. 5.2

deslizan sobre sendos ejes como se muestra enla figura. Supóngase conocida la velocidad delextremo A y determínese la velocidad delextremo B en el instante que se indica en lafigura.

5.3.- A partir de la expresión vB = vA + ω ×AB,que nos relaciona las velocidades de dos puntos de un sólido rígido, obtener: a) la

condición cinemática de rigidez; b) la expre-sión del invariante escalar.

5.4.- Demostrar que la derivada con respectoal tiempo de un vector que tiene sus extremosen dos puntos de un sólido rígido animado de

un movimiento de rotación, es igual al produc-to vectorial de la velocidad angular por elvector.

5.5.- a) Para el movimiento general del sólidorígido, demostrar que todos los puntos delsólido que se encuentran sobre una recta

paralela a la dirección de la velocidad angular ω del sólido tienen la misma velocidad. b) Pa-ra el caso del movimiento plano del sólidorígido, demostrar la misma proposición ante-rior para la aceleración.

5.6.- Un sólido rígido está sometido a dosrotaciones simultáneas con respecto a ejesconcurrentes en el origen de coordenadas. Enun instante dado son ω 1 = (0 0 2) y ω 2 =(0 3 4). a) Determinar la velocidad de un punto del sólido de coordenadas P(0,2,1).

b) Ídem la aceleración de P, suponiendo que eleje de ω 1 permanece fijo en el espacio, entanto que el de ω 2 rota alrededor del de ω 1,con velocidad angular ω 1, siendo constanteslos módulos de ambas rotaciones.

5.7.- Un sólido se mueve con respecto a unsistema de ejes de referencia, de modo que suvelocidad angular en un instante dado valeω = (5 -2 3). Si la velocidad del puntoP(2,3,1) es en ese instante vP = (1 -1 2), ¿cuálserá la velocidad del punto Q(3,1,1) en eseinstante?

5.8.- En un instante dado, el movimiento de unsólido queda definido por las rotacionessimultáneas siguientes: ω 1 = (-3 0 2), ω 2 =(1 0 1) y ω 3 = (2 1 0), cuyos ejes pasan,



Problemas 137

respectivamente, por los puntos (0,0,0),(0,-9,6) y (-1,5,0). a) Reducir el movimiento alorigen de coordenadas y describir los movi-mientos elementales correspondientes. b) De-terminar el movimiento helicoidal tangente,hallando el eje instantáneo de rotación y

deslizamiento y la velocidad de deslizamiento.c) Determinar la velocidad de un punto delsólido de coordenadas (1,1,2).

5.9.- En un instante determinado, el movi-miento de un sólido rígido consiste en dosrotaciones simultáneas, ω 1 y ω 2, teniendolugar ω 1 alrededor de un eje paralelo al eje zy que pasa por el punto (0,1,0). En eseinstante, el movimiento del sólido se reduce auna traslación del punto "perteneciente" alsólido de coordenadas (0,0,0) y a una rotaciónalrededor de un eje que pasa por dicho punto.

Sean

vO = 2i + j + k y ω = i + j + k

a) Determinar ambas velocidades angulares derotación. b) Determinar el eje de ω 2.

5.10.- Demostrar que el movimiento de unsólido rígido queda completamente definido siconocemos las velocidades de tres de sus puntos no-alineados.

5.11.- En un instante determinado, lasvelocidades de tres de los puntos de un sólidorígido, de coordenadas A(0,0,0), B(1,10) yC(0,1,1) son, respectivamente, vA = (6 -2 6),vB = (4 0 5) y vC = (5 -2 6). a) Comprobar quedicho movimiento es posible. b) Determinar lavelocidad angular del sólido en dicho instante.c) Determinar la ecuación del eje instantáneode rotación y deslizamiento. d) ¿Qué tipo demovimiento tiene lugar?

5.12.- Repetir el Problema 5.11 con los si-

guientes datos: A(0,0,0), B(0,1,0), C(1,0,0),vA = (1 -2 1), vB = (0 -2 0), vC = (1 -1 1).

5.13.- En un instante dado, el movimiento deun sólido rígido está definido por tres rotacio-nes, dos de las cuales son: ω 1 = j y ω 2 = k,cuyos ejes pasan por los puntos O1 = (1,0,0) yO2 = (0,1,0), respectivamente. Determinar latercera rotación para que el movimientoresultante, en ese instante, sea una traslación pura cuyo módulo tenga el menor valor posible.

5.14.- En un instante dado, las velocidades detres de los puntos de un sólido rígido son:

vA = (a 0 0); A=(0,0,0)

vB = (b 1 0); B=(1,0,0)

vC = (-1 c 0); C=(0,2,0)

Determinar: a) los valores de los parámetros a,b y c; b) la velocidad angular y la velocidad

de deslizamiento; c) el eje instantáneo derotación y deslizamiento.

5.15.- Un sólido rígido está sometido a unarotación ω = (3t 0 2) cuyo eje pasa siempre por el origen de un referencial fijo en elespacio. Para el punto del sólido de coordena-das (1,1,0) y para los instantes t =0 y t =1,determinar: a) la velocidad y b) la aceleración.

5.16.- Demostrar que cuando un cuerpo partedel reposo y gira alrededor de un eje fijo conaceleración angular constante, la aceleración

normal de un punto del cuerpo es directamente proporcional a su desplazamiento angular.¿Qué ángulo habrá girado el cuerpo cuando suaceleración forme un ángulo de 60 con suaceleración normal?

5.17.- Una escalera de 250 cm de longitud estáapoyada en una pared vertical y en un suelo plano y horizontal. Si el pie de la escalera esempujado de modo que se desplacehorizontalmente con una velocidad constantede 12 cm/s, calcular la velocidad y aceleración

del otro extremo de la escalera en el instanteen que el pie de la misma dista 150 cm de la pared.

5 . 1 8 . - Una

Prob. 5.18

escalera AB,de longitud l ,está apoyadaen una paredvertical OA(vide figura).El pie de laescalera esempujado demodo que se desplaza a velocidad constante v0

alejándose de la pared. a) Demostrar que el punto medio de la escalera describe una cir-cunferencia de radio l /2 y con centro en el punto O. b) Determinar la velocidad y laceleridad de dicho punto medio en el instanteen que B dista una distancia x de la pared.c) ¿Cuál sería la función v x(t ) del pie de laescalera para que el movimiento del puntomedio de la misma sea circular uniforme?

5.19.- El extremo superior de la varilla ABdesliza a lo largo de una guía vertical (videfigura), en tanto que la varilla no pierdecontacto en C con el apoyo. a) Determinar elvalor del ángulo θ al que corresponde una




velocidad horizontal

Prob. 5.19

para el extremo libre,B, de la varilla. b) Su- pongamos que el puntoA d e s c i e n d e avelocidad constante vA.

D e t e r m i n a r l avelocidad angular de lavarilla y la velocidaddel extremo B enfunción del valor delángulo θ. c) Ídem laaceleración del puntoB.

5 . 2 0 . - U n a

Prob. 5.20

varilla, que estáapoyada sobreun cilindro de

radio r = 1 cm, puede deslizar a lo largo deuna guía tan-gente a dichocilindro, comose indica en laf igura . Lalongitud de la varilla es cuatro veces el radiodel cilindro. En el instante en que el centro dela varilla se apoya en el cilindro, la velocidaddel punto A es 10 cm/s. Calcular, en dicho

instante, las velocidades de los puntos B y Cy la velocidad angular de la varilla.

5.21.- En el me-

Prob. 5.21

canismo articuladoque se muestra enla figura, la varillaDB gira convelocidad angular constante ω alre-dedor del eje que pasa por D. De-

terminar la veloci-dad y la acelera-ción del extremoC de la varillaAC: a) en elinstante en queθ=60°; b) para un valor genérico del ánguloθ.

5.22.- Un disco de radio R rueda en línea rectasobre una superficie plana y horizontal. En uninstante dado, su velocidad angular es ω y su

aceleración angular es α. Determinar lavelocidad y aceleración en ese instante de un punto del disco situado sobre el diámetrovertical y a una altura h sobre el centro deldisco.

5.23.- Un cilindro de radio R rueda sin deslizar sobre una superficie plana y horizontal. Si lavelocidad angular al rodar es ω , determinar:a) el eje instantáneo de rotación; b) la veloci-dad y la aceleración de los puntos del eje delcilindro; c) ídem de un punto cualquiera del

cilindro; d) ídem de los puntos del cilindro queinstantáneamente están en contacto con el plano.

5.24.- Sobre un plano horizontal rueda sindeslizar un cono recto de sección circular, de20 cm de generatriz y 30° de semiángulo en elvértice. La rodadura es tal que el cono pisa5 veces/s un punto determinado del plano.Determinar: a) la velocidad angular del conoalrededor de su eje de simetría; b) el punto delcono cuya velocidad (con respecto al planofijo) es máxima, así como la velocidad yaceleración de dicho punto.

5.25.- El disco que se muestra en la figura está

Prob. 5.25

girando con velocidad angular ω 1 y acele-ración angular α1 alrededor de su eje derevolución, al tiempo que dicho eje es arras-trado por el movimiento de rotación de lahorquilla, con velocidad angular ω 2 y acelera-ción angular α2. Determinar la velocidad yaceleración de un punto genérico P de la

periferia del disco.

5.26.- Un disco de radio r está girando alrede-dor de su eje de simetría con velocidad angular ω y aceleración angular α. Simultáneamente,el disco está girando, con velocidad angular constante Ω, alrededor de un eje fijo en elespacio que está contenido en el plano deldisco y es tangente al perímetro de éste en un punto Q. a) Determinar la velocidad y acelera-ción del punto P del perímetro del discodiametralmente opuesto al punto Q de tangen-

cia. b) Ídem para un punto genérico de la periferia del disco.

5.27.- Las aspas principales de un helicópterogiran con una velocidad angular de 600 rpm.



Problemas 139

Determinar la posición del eje instantáneo derotación y deslizamiento de las aspas y calcu-lar la velocidad de un punto de una de lasaspas, situado a 1 m del eje de giro de lasmismas, cuando ésta es perpendicular a ladirección del movimiento, en cada uno de los

siguientes casos: a) El helicóptero se trasladahorizontalmente, en línea recta, con unavelocidad de 72 km/h; b) El helicópterodescribe una trayectoria circular, en un planohorizontal, de 200 m de radio, con la mismaceleridad que antes.

5.28.- La hélice de un avión gira a razón de6 000 rpm, en tanto que el avión tiene unavelocidad horizontal, en línea recta, de360 km/h. Determinar: a) El tipo de movi-miento que realiza un punto de la hélicedistante 1 m del eje de la misma; b) la veloci-

dad y aceleración de dicho punto.

5.29.- En el mecanismo de biela y manivelaque se muestra en figura la manivela gira convelocidad angular constante de 10 rad/s y sonl =90 cm y R=30 cm. Calcular la velocidad del pistón A y la velocidad angular de la biela(AB) para los siguientes valores del ángulo θ:a) 0°; b) 90°; c) 180°; d) para un valor genérico del ángulo θ.

5.30.- En la figura, AB es una biela de pistón

Prob. 5.30

de longitud l . Si A se mueve a lo largo de lalínea horizontal CD mientras que B se muevecon velocidad angular constante sobre unacircunferencia de radio R y centro O, calcular la velocidad y la aceleración del punto A paraun valor genérico del ángulo θ.

5.31.- Un sólido rígido gira en torno a un ejefijo, de modo que en el instante en que suvelocidad angular es 2 rad/s, su aceleraciónangular es 3 rad/s2. Determinar la velocidad yla aceleración de un punto del sólido situado a10 cm del eje de rotación.

5.32.- La aceleración angular de un volante

viene dada por α = -ω 2

/2. Si inicialmente suvelocidad angular es de 120 rpm, determinar eltiempo que debe transcurrir para que suvelocidad angular se reduzca a la mitad, y elnúmero de vueltas que habrá dado el volante

en ese tiempo.

5.33.- Un cilindro de radio r rueda sin deslizar

Prob. 5.33

sobre la superficie de otro cilindro de radio 2r ,de modo que se eje de simetría tiene permanentemente una velocidad de móduloconstante v0. Determinar las velocidades yaceleraciones de los puntos A y B de la perife-ria del cilindro en el instante que se indica enla figura.

5.34.- Un disco de radio R rueda con velocidadconstante sobre un plano horizontal.a) Demostrar que las ecuaciones paramétricasde la trayectoria de cualquier punto de su borde son

x = R (ω t - sen ω t ); y = R (1 - cos ω t )

donde ω es la velocidad angular del disco y eltiempo t se mide a partir del instante en que el punto estuvo en contacto con el plano.b) Representar gráficamente dicha trayectoria.c) Encontrar las componentes de la velocidady de la aceleración del punto. Interpretar losresultados.

5.35.- En el Problema 5.34, determinar: a) lascomponentes intrínsecas de la aceleración deun punto del borde del disco y b) la curvaturade la trayectoria del punto en la posición másalta de la misma.

5.36.- Un disco de radio R rueda en línea rectasobre una superficie plana y horizontal. En uninstante dado, su velocidad angular es ω y suaceleración angular es α. Determinar la velo-cidad y la aceleración de un punto genéricodel disco.

Prob. 5.37

5.37.- Una ruedade radio r ruedasin deslizar, con

una veloc idadangular constanteω , por el interior de otra (fija) deradio 2r (vide




figura). a) Determinar la trayectoria de un punto genérico de la rueda pequeña.b) Calcular la velocidad y aceleración de dicho punto.

5.38.- La escuadra que se muestra en la figura

Prob. 5.38

rea li za unmovimiento plano desli-zando sobrelos puntosfijos A y B.Determinar la base y lar ul eta de lmovimiento.

5.39.- El extremo A de una varilla desliza a lo

Prob. 5.39

largo de un aro circular fijo de radio R, en

tanto que la varilla está guiada por un pasador orientable fijado en un punto B del aro, comose muestra en la figura. Determinar la base yla ruleta del movimiento de la varilla.

5.40.- La varilla AC que se muestra en la

Prob. 5.40

figura tiene un movimiento plano tal que suextremo A desliza a lo largo de un eje hori-zontal, en tanto que la varilla pasa por unaabrazadera fija y orientable (B), situada a unadistancia h del eje. a) Determinar la base y la

ruleta del movimiento de la varilla. b) Supon-

gamos que el extremo A de la deslizaderadesliza con velocidad constante v y que seencuentra en O (θ=0) en el instante t =0.Expresar la rotación instantánea de la varillaen función del tiempo [i.e., ω =ω (t )]. c) Hallar

la velocidad y aceleración de punto de lavarilla que se encuentra en B en función deltiempo, expresando sus componentes en una base fija y en una base móvil.

5.41.- En el dispositivo que se muestra en la

Prob. 5.41

figura, el extremo A de la barra se mueve a lolargo del eje vertical sin que la barra pierdacontacto con el disco de radio R. a) Encontrar la velocidad de rotación de la barra en funcióndel ángulo θ. b) Determinar la base y la ruletadel movimiento de la barra.

5.42.- El piñón satélite de radio R que se

Prob. 5.42

muestra en la figura engrana con las dosruedas dentadas coaxiales de radios 2 R y 4 Rque giran con velocidades angulares constantes3ω y 2ω , respectivamente, en sentidos opues-tos, como se indica en la figura. El movimien-to del piñón produce la rotación del brazo OO′

alrededor del eje O. a) Determinar la rotaciónθ instantánea del piñón (indicando su sentido),así como la velocidad de su eje. b) Encontrar la velocidad angular φ del brazo OO′. c) Ob-tener la base y la ruleta del movimiento del piñón. d) Calcular la velocidad de sucesión delCIR del piñón.



Capítulo III.

Dinámica de la partícula.

6.- Principios de la Mecánica Clásica.

La Ley de la Inercia. 143

7.- Segunda y tercera leyes de Newton.

Conservación de la cantidad de movimiento. 161

8.- Las fuerzas de la Naturaleza. 187

9.- Sistemas de referencia en rotación. 221

10.- Trabajo y energía. 245

11.- Conservación de la energía. 273

12.- Monento angular. Fuerzas centrales. 297




6.- Principios de la MecánicaClásica. La ley de la Inercia.

§6.1. Mecánica Clásica (144); §6.2. Las Leyes de la Mecánica (145); §6.3. Las leyes delmovimiento (146); §6.4. La ley de la inercia (147); §6.5. Referenciales inercial y no-inercial (149); §6.6. Buscando un referencial inercial (151); §6.7. Transformación deGalileo (154); §6.8. Principio de Relatividad de Galileo (156); Problemas (159)

En las lecciones anteriores hemos aprendido a describir el movimiento de loscuerpos. Intentaremos ahora profundizar en las causas del movimiento investigandola razón por la cual los cuerpos se mueven del modo en que lo hacen. Nuestroestudio nos va a conducir a los conceptos de masa y de fuerza, conceptos que nospermitirán establecer leyes generales a las que obedecen todos los movimientos. Nos

remontaremos así desde la descripción de movimientos particulares a conclusionesde muy amplia validez sobre el funcionamiento del mundo físico.

La observación diaria nos permite distinguir movimientos muy diversos en losobjetos al alcance de nuestros sentidos. Los antiguos griegos clasificaron losmovimientos en tres categorías fundamentales:

(1) El movimiento de los cuerpos provocado por otros cuerpos en contactodirecto (v.g., un caballo tirando de un carro).

(2) El movimiento de los objetos que caen libremente hacia el suelo (v.g.,

fruta desprendida de un árbol).(3) El movimiento de los astros, unas veces regular e inmutable (estrellas)y otras veces aparentemente caprichoso (planetas).

Para la primera categoría de movimientos se disponía de una explicacióninmediata: Cuando el caballo tira del carro, éste se mueve bajo la acción directa dela tracción realizada por el caballo; cuando la tracción cesa el movimiento tambiéncesa. Es decir, en ausencia de fuerzas no podría haber movimiento y, además, unafuerza constante produciría un movimiento uniforme, ya que para mantener constantela velocidad del carro el caballo debería ejercer una fuerza constante sobre el carro.Estas afirmaciones se revelarían erróneas tras los trabajos de Galileo y Newton.




144 Lec. 6.- Principios de la Mecánica Clásica. La ley de la Inercia.

Se disponía también de una explicación simple para la segunda categoría demovimientos. ARISTÓTELES1 afirmaba que puesto que la Tierra era el centro delUniverso, todos los cuerpos "pesados" tendían a caer de una forma natural hacia éste.Así se explicaba la caída libre.

Por último, los cuerpos celeste estarían formados por una sustancia esencialmente

distinta de la de los cuerpos terrestres, de modo que tendrían la propiedad de auto-propulsarse. Esto es, la causa del movimiento de los cuerpos celestes estaría en ellosmismos. Tratándose de dioses (Venus, Marte, ...) esta entelequia no resultaba descabellada;lo menos que se le podía pedir a un dios es que se moviese por sí mismo.

Este primer intento de explicar las causas de los movimientos adolece de losdefectos de un tratamiento no científico de la realidad. Hipótesis distintas para losdiferentes tipos de movimientos, en lugar de sintetizar el fenómeno del movimientoen el marco de una teoría única. Hipótesis fantásticas, como la de la naturaleza divinade los astros, o simplemente erróneas, como la de que en ausencia de fuerza no hay

movimiento. En definitiva, ausencia total de experimentación en el examen delfenómeno y de un análisis riguroso de los resultados experimentales.Hoy sabemos que la materia de que están hechas las estrellas es la misma de la

que están hechos los objetos terrestres y hemos aprendido a prescindir de los dioses.Sin embargo, las explicaciones que dieron los griegos al fenómeno del movimiento,en las circunstancias de su época y con los medios a su alcance, merecen nuestrorespeto: el respeto que inspira la mente del hombre cuando se interroga sobre elsignificado de sí mismo y de su entorno.

§6.1. Mecánica Clásica.- El estudio de la relación existente entre elmovimiento de un cuerpo y las causas de dicho movimiento constituye una rama dela Física que se denomina Dinámica.

La experiencia nos muestra que el movimiento de un cuerpo es el resultadodirecto de sus interacciones con los demás cuerpos que lo rodean y que constituyensu medio ambiente. En general, sólo incluiremos en dicho medio ambiente loscuerpos cercanos pues los efectos de los cuerpos más alejados ordinariamente soninsignificantes. Así, cuando un jugador de golf golpea la pelota, su acción sobre ellamodifica el estado de movimiento de la pelota, y la posterior trayectoria parabólicade ésta no es sino el resultado de su interacción con la Tierra. Análogamente, el

movimiento de un electrón alrededor del núcleo de un átomo es el resultado de lasinteracciones del electrón con el núcleo y con los otros electrones. Las interaccionesse describen convenientemente introduciendo el concepto físico-matemático quedenominamos fuerza. De este modo,

la Dinámica es básicamente el análisis de la relación existente entre lasfuerzas y los cambios de movimiento de los cuerpos.

1 ARISTÓTELES (384-322 a.c.). Nació en Macedonia, por lo que se le llama «el Estagirita». Fuediscípulo de Platón y maestro de Alejandro el Magno. Fundó en Atenas (334) una escuelafilosófica. Gran investigador y pensador profundo, sólo construía sus teorías sobre hechosexperimentales. Fue el creador de la terminología filosófica y el fundador de la Lógica, de laPsicología, de la Poética, de la Historia Natural y de la Metafísica.




El concepto de fuerza, que no es más que una técnica para relacionar el medioambiente con el movimiento de la partícula, aparece tanto en la leyes del movimiento

(que nos dicen que aceleración experimentará un cuerpo bajo la acción de una fuerzadada) como en las leyes de las fuerzas (que nos permiten calcular la fuerza queactuará sobre un cuerpo dado al colocarlo en un medio ambiente determinado). Las

leyes del movimiento y las leyes de las fuerzas consideradas conjuntamenteconstituyen las leyes de la Mecánica.

§6.3. Las leyes del movimiento.- Las leyes del movimiento relacionan laaceleración de un cuerpo con su masa y con la fuerza que actúa sobre él. Hasta aquí estamos empleando los términos fuerza y masa de un modo bastante impreciso.Hemos identificado a la fuerza con la influencia del medio ambiente; intuitivamentepensamos que una fuerza es como un empuje o una tracción semejante a la queejercen nuestros músculos. Por otra parte, nos hacemos idea de un cuerpo de gran

masa como algo grande y pesado. Estas nociones intuitivas son correctas durante laconversación cotidiana, pero no lo son para un enunciado preciso de las leyes delmovimiento ni para la aplicación de dichas leyes a los problemas de la Física. Si que-remos comprender las leyes del movimiento, y si las queremos aplicar correctamente,debemos definir los conceptos con todo cuidado; lo que haremos más adelante,describiendo métodos para su medida, mediante lo que se denomina una definición

operacional. De momento vamos a limitarnos a enunciar y revisar en forma generallas leyes del movimiento, para estudiar después más profundamente sus contenidos.

Durante muchos siglos el problema del movimiento y de sus causas fue un temacentral de la Filosofía Natural. Las primeras ideas acerca del movimiento aceptadas

generalmente fueron las de ARISTÓTELES, que prevalecieron hasta el siglo XVII, enque fueron impugnadas por GALILEO2, quien negó que Aristóteles hubiera experi-mentado con los cuerpos en movimiento y demostró experimentalmente que todos loscuerpos caen con igual movimiento (experimentos en la torre inclinada de Pisa) encontra de lo dicho por Aristóteles de que los cuerpos más pesados caían más deprisa.NEWTON3, nacido en Inglaterra el mismo año en que muere Galileo, fue el granarquitecto de la Mecánica Clásica. Llevó a cabo una admirable fructificación y

2

GALILEO GALILEI (1564-1642). Físico, matemático y astrónomo italiano. Fue profesor enlas Universidades de Pisa (1587) y de Padua (1592-1610). Puso los cimientos de la ciencia delmovimiento de los cuerpos (Dinámica), base de la Mecánica actual. Descubrió las leyes de la caídade los cuerpos y la ley del péndulo y estableció el fundamento de la ley de la inercia. Realizóobservaciones astronómicas (con un anteojo de su invención) y descubrió los satélites de Júpiter,el anillo de Saturno y las fases de Venus. Sus descubrimientos astronómicos le llevaron a impugnarel Sistema Geocéntrico de Ptolomeo y a defender el Sistema Heliocéntrico de Coopérnico, lo quele creó graves problemas con la Inquisición (1633).

3Sir Isaac NEWTON (1642-1727). Físico, matemático y astrónomo inglés. Fue profesor de

Física en la Universidad de Cambridge (1669-1701) y presidente de la Royal Society de Londres

desde 1703. Por su extraordinarios méritos recibió el tratamiento de Sir (1705). Se le considera elfundador de la Mecánica Clásica y de la Mecánica Celeste. Estudió las leyes del movimiento delos planetas, descubrió la Ley de la Gravitación (1686) e ideó el cálculo de fluxiones (antecedentedel Cálculo Diferencial e Integral). Sus trabajos se extendieron también a los campos de la Ópticay de la Acústica.



§6.3.- Las leyes del movimiento. 147

síntesis de las ideas de Galileo y de otros sabios que le habían precedido y enunciólas tres leyes del movimiento, que hoy llevan su nombre, que fueron presentadas porprimera vez en 1686 en su obra Principia Mathematica Philolophiæ Naturalis.

Es interesante recordar la versión de Newton de dichas leyes del movimiento.

LEY I.- Todo cuerpo permanece en su estado de reposo o de movimientorectilíneo y uniforme a menos que se le obligue a variar dicho estadomediante fuerzas que actúen sobre él.

En otras palabras, sin la acción de las fuerzas no pueden haber aceleraciones.Hay dos ideas importantes contenidas en esta ley: La primera es una definicióncualitativa de fuerza como agente capaz de modificar el estado de movimiento de uncuerpo; la segunda es la de que el reposo (v=0) y el movimiento rectilíneo uniforme(v=cte.) son dos estados enteramente equivalentes para un cuerpo material.

LEY II.- La variación del movimiento es proporcional a la fuerza que actúa sobre

el cuerpo y se realiza en la dirección de la recta en que actúa la fuerza.Este enunciado es válido también en el marco de la Mecánica Relativista. De

nuevo nos aparece la fuerza como el agente capaz de modificar el estado demovimiento de un cuerpo, esto es de producir aceleraciones. La segunda ley delmovimiento de Newton constituye una definición dinámica de fuerza cuando seexpresa en la forma

[6.1] F m a

postulándose previamente el valor de la masa para una partícula material dada.

LEY III.- A toda acción se le opone siempre una reacción igual; o sea, lasacciones mutuas entre dos cuerpos, uno sobre otro, son siempre iguales y sedirigen en sentidos opuestos.

Dicho de otro modo: las fuerzas se presentan por parejas. Si el cuerpo 1 ejerceuna fuerza F21 sobre el cuerpo 2, el cuerpo 2 ejercerá una fuerza F12 sobre el cuerpo1, de modo que

[6.2] F12 F21

COROLARIO I.- Un cuerpo sobre el que actúan simultáneamente dos fuerzasse moverá según la diagonal de un paralelogramo en el mismo tiempo enque describiría los lados del mismo mediante la acción de dichas fuerzas porseparado.

Esto es, las fuerzas obedecen la ley de la suma del paralelogramo. Por tanto esteCorolario expresa el carácter vectorial de las fuerzas.

§6.4. La ley de la inercia.- Antes de Galileo se creía que para mantener un

cuerpo en movimiento, incluso en movimiento rectilíneo uniforme, era necesaria laacción continuada de una fuerza sobre él. El fundamento de esta idea radicaba en lacreencia de que el "estado natural" de un cuerpo era el reposo, de modo que si elcuerpo no era impulsado constantemente se detendría de un modo "natural".




La comprobación experimental de tales ideas deberá comenzar por encontrar elmodo de liberar un cuerpo de todas las influencias de su medio ambiente, esto es, detodas las fuerzas que pueden actuar sobre él, para ver posteriormente como secomporta bajo esta circunstancia de ausencia de acción exterior. Es difícil realizareste tipo de experiencia, en las que todas las fuerzas hayan sido eliminadas; ésta es

una idealización muy grande y fue necesario un genio como Galileo para percibir,a partir de experiencias relativamente burdas, que la Ley de la Inercia es válida.Una partícula libre es aquélla que no está sujeta a interacción alguna. Estric-

tamente no existe tal cosa, ya que toda partícula interacciona con el resto delUniverso; la partícula libre debería estar completamente aislada, o ser la únicapartícula en el Universo. Sin embargo es posible, en la práctica, considerar algunaspartículas como libres, ya sea porque se encuentren suficientemente alejadas de otraspartículas, de modo que las interacciones resulten suficientemente débiles para serdespreciadas o porque las interacciones con las otras partículas se cancelen, dandouna interacción neta nula. Por otra parte podemos estudiar el movimiento conformevamos consiguiendo que las fuerzas que actúan sobre el cuerpo sean cada vez másy más pequeñas, de modo que por extrapolación podamos hacernos una idea de cómosería el movimiento en la ausencia total de fuerzas.

Consideremos un objeto, digamos un bloque, descansando sobre una superficie

Figura 6.1

horizontal lisa, como la de una mesa. Observemos que si el bloque está en reposo(respecto a la mesa) permanecerá en esta situación a menos que le empujemos otiremos de él. En el sentido vertical podemos considerar el bloque como "libre" deacción exterior, ya que su peso P está exactamente compensado con la reacción

normal N de la mesa sobre él. Si lanzamos el

bloque de modo que deslice sobre la mesa podre-mos observar que su movimiento se irá haciendocada vez más lento hasta que finalmente se detiene.De hecho, esta observación era la base para soste-ner la idea de que el movimiento tenía que cesarcuando la fuerza exterior, en este caso la ejercidapor la mano que empujó al bloque, dejase deactuar. Sin embargo, Galileo arguyó contra estaidea atribuyendo la disminución de velocidad a la

fuerza de rozamiento entre el bloque y la mesa,debido a que ni el uno ni la otra son perfectamente lisos. De modo que, aunquepodemos considerar el bloque como "libre" de acción exterior en la dirección vertical,no es ese el caso en la dirección horizontal debido a la existencia de la fuerza derozamiento que no está compensada por ninguna otra fuerza horizontal.

Si repetimos el experimento puliendo previamente la superficie de la mesa y ladel bloque y utilizando un lubricante, notaremos que la velocidad disminuirá máslentamente que antes. Si apoyamos el cuerpo en un "colchón de aire" (esto es posiblecon una mesa o carril de aire) el cuerpo deslizará durante un tiempo considerable conuna variación casi imperceptible en su velocidad. Podemos extrapolar estas

experiencias a la de una superficie lisa ideal que no se oponga en absoluto almovimiento del bloque de modo que sobre dicha superficie la velocidad del mismono variará. Así pues, si todo el rozamiento pudiera eliminarse, el bloque seguiríamoviéndose indefinidamente en línea recta con celeridad constante. Esta fue la



§6.4.- La ley de la inercia. 149

conclusión a la que llegó Galileo4. A la vista de estos resultados experimentales,Galileo afirmó:

"Se requiere una cierta fuerza externa para cambiar la velocidad de uncuerpo; pero no se necesita fuerza externa alguna para conservar suvelocidad."

Dicho de otro modo, la materia presenta una cierta inercia u oposición a loscambios de movimiento. Así, para poner en movimiento el bloque de las experienciasanteriores debemos ejercer una fuerza sobre él, y lo mismo si luego lo queremosdetener o si queremos modificar su velocidad. Por ejemplo, nuestra mano debeejercer una fuerza sobre el bloque para ponerlo en movimiento y el plano ásperoejerce una fuerza sobre el bloque (la fuerza de rozamiento) que produce unareducción en su velocidad. Ambas fuerzas producen un cambio en la velocidad; estoes, una aceleración.

Este principio de Galileo fue adoptado por Newton como la primera de sus tresleyes del movimiento, que ya hemos enunciado anteriormente. El significado de laprimera ley, o ley de la inercia, consiste en que define por un procedimiento

operacional lo que queremos decir cuando afirmamos que no existe fuerza neta oresultante actuando sobre un cuerpo, ya que podemos determinar si existe una fuerzaexterna neta actuando sobre un cuerpo mediante la observación del movimiento delmismo. Si la velocidad del cuerpo es constante (movimiento rectilíneo uniforme)sacamos la conclusión de que no existe fuerza externa resultante actuando sobre elcuerpo. Pero si la velocidad del cuerpo no permanece constante, porque estécambiando su módulo (celeridad) o su dirección (movimiento curvilíneo) o ambas

cosas a la vez, podemos asegurar que sobre el cuerpo está actuando una fuerzaexterna neta no nula.La primera ley de Newton contiene una definición cualitativa de la fuerza como

agente capaz de modificar el estado de movimiento de los cuerpos; esto es, deproducir aceleraciones. Veremos más adelante, en la próxima lección, que la segundaley de Newton contiene una definición cuantitativa de la fuerza; lo que nos permitiráestablecer un método operacional para la medida de las fuerzas.

§6.5. Referenciales inercial y no-inercial.- La ley de la inercia es de

fundamental importancia ya que determina la naturaleza de los sistemas de referenciao referenciales que debemos utilizar en el desarrollo de la Mecánica; es decir, lascondiciones que deben cumplir tales referenciales para que en ellos sean válidas lasconclusiones que saquemos de las leyes enunciadas.

Recordemos, ante todo, que el movimiento es siempre relativo, de modo que laaceleración que pueda presentar un cuerpo depende del referencial en el que se mide.La primera ley del movimiento de Newton nos dice que si no hay objetos cercanos(y con ello entendemos que no hay fuerza, ya que toda fuerza debe estar asociadacon algún cuerpo en la vecindad) entonces es posible encontrar una familia dereferenciales en los que una partícula ( partícula libre) no presenta aceleración; es

4 En realidad, Galileo experimentó no como hemos expuesto anteriormente sino con esferasy planos inclinados.




decir, una familia de referenciales en los que la partícula libre se desplaza conmovimiento rectilíneo uniforme, entre los que existe uno (que viaja con la partícula)en el que la partícula se encuentra en reposo. Tales referenciales reciben el nombrede inerciales. En los demás referenciales, i.e., en los referenciales no-inerciales, lapartícula libre presentará una cierta aceleración, de modo que en tales referenciales

no se cumple la ley de la inercia. Es obvio que los referenciales no-inerciales estánacelerados con respecto a los referenciales inerciales. Para comprender mejor estosconceptos pondremos unos ejemplos.

Consideremos un observador en reposo en un cierto referencial inercial S y un

Figura 6.2

segundo observador en reposo en otro referencial S′ que se desplaza con una acelera-ción a0 con respecto al referencial S. Imaginemos, para fijar ideas, que el referencialS está ligado a tierra en tanto que el referencial S′ está ligado a un vagón deferrocarril que se mueve por una vía recta y horizontal con movimiento uniforme-

mente acelerado. Sobre laplataforma del vagón, quesupondremos horizontal yperfectamente lisa a fin deque no aparezcan fuerzasde rozamiento, se coloca unbloque unido mediante unmuelle dinamométrico a unpunto fijo del vagón, comose muestra en la Figura 6.2.El dinamómetro permitirá a

los observadores S y S′apreciar una fuerza real F

(el muelle del dinamómetro se alarga) que actúa sobre el bloque en el sentido de laaceleración a0. El observador S no se extrañará de la existencia de dicha fuerza, yaque con respecto a él el bloque está acelerado, con la misma aceleración a0 que poseeel vagón (i.e., a≠0), de modo que, de acuerdo con la primera ley del movimiento, esafuerza es necesaria para producir la aceleración del bloque. El observador S es unobservador inercial y para él es válida la ley de la inercia.

En cambio la situación es muy diferente para el observador S′. El observador S′

también puede apreciar la existencia de la misma fuerza F que actúa sobre el bloque,pero como éste se encuentra en reposo respecto al vagón tendrá que negar la validezde la primera ley del movimiento. El bloque permanecerá en reposo con respecto alobservador S′ (i.e., a′=0) a pesar de que una fuerza externa neta no nula actúa sobreél. El observador S′ es un observador no-inercial.

Liberemos ahora el bloque de modo que pueda moverse libremente y sin roza-miento sobre la plataforma del vagón (Figura 6.3). Cuando la velocidad de ésteaumenta, esto es, cuando está sometido a una aceleración, el bloque se moverá sobrela plataforma con velocidad creciente (movimiento acelerado) en sentido contrario alde la aceleración del vagón, de forma tal que si el vagón se encontraba inicialmente

en reposo respecto a la vía, el bloque permanecería en reposo con respecto alobservador S (es como si el vagón se "deslizase" por debajo del bloque, sinarrastrarlo, ya que no existe rozamiento).

De nuevo, como en el experimento anterior, el observador S acepta la validez de



§6.5.- Sistemas de referencia inercial y no inercial. 151

la ley de la inercia; puesto

Figura 6.3

que ninguna fuerza actúasobre el bloque, éstepermanece en reposo en elr e fe r e nc i al i n er c ia l .

También, de nuevo, elobservador S′ rechaza lavalidez de la ley de lainercia, ya que el bloquepresenta una aceleración

a′ = - a0 en el referencialdel vagón, pero no se puede detectar fuerza alguna actuando sobre él. El referencialS′, que está acelerado respecto al referencial inercial S, es un referencial no-inercial.

A partir de estas sencillas experiencias sacamos como conclusión que la ley de inerciasólo se cumple cuando las observaciones se efectúan desde lo que hemos llamado unreferencial inercial y que no se cumplen en los referenciales no-inerciales. Talesreferenciales están acelerados con respecto a los referenciales inerciales.

En los ejemplos anteriores hemos considerado un referencial ligado al vagón quese mueve con aceleración constante sobre una trayectoria rectilínea con respecto atierra. Como ya sabemos, en el movimiento curvilíneo (del que es un caso particularel movimiento circular) siempre existe aceleración, de modo que si un referencial seencuentra en rotación con respecto a un referencial inercial, entonces ese referencialserá no-inercial. Esto resulta claro a partir de nuestra experiencia cotidiana. Si nuestroreferencial está inmóvil sobre un tiovivo no tendremos aceleración cero en dicho

referencial en ausencia de fuerzas aplicadas. Únicamente podremos permanecerquietos sobre el tiovivo si ejercemos sobre nuestro propio cuerpo una cierta fuerza,dirigida hacia el eje de rotación, cuyo módulo viene dado por mω

2r , siendo m nuestramasa, ω la velocidad angular y r la distancia que nos separa del eje de rotación. Así pues, la plataforma del tiovivo constituye un referencial no-inercial.

Resumiendo, un referencial inercial es aquel con respecto al cual un cuerpo nopresenta aceleración cuando no actúa ninguna fuerza sobre él. Todo referencialacelerado con respecto a un referencial inercial será no-inercial y en él no será válidala primera ley del movimiento de Newton.

Es importante que observemos la necesidad de conocer todas las fuerzas queactúan sobre un cuerpo si queremos clasificar un determinado referencial comoinercial o no-inercial. Podemos identificar las fuerzas posibles buscando el agente,esto es, otros cuerpos, responsable de cada una de ellas.

Si observamos que en un cierto referencial un cuerpo presenta una ciertaaceleración pero no somos capaces de encontrar el agente de la fuerza quesuponemos produce esa aceleración, habremos de concluir que tal referencialno es inercial.

§6.6. Buscando un referencial inercial.- La ley de la inercia afirma que uncuerpo no sometido a fuerza alguna tiene una velocidad constante y hemos visto queeste enunciado sólo es válido en un referencial que definimos como inercial. Nuestroproblema es hallar un referencial que tenga la propiedad de ser inercial. Pero, ¿es eso




posible?El enunciado de la ley de la inercia puede parecernos ambiguo: ¿Cómo podemos

saber si sobre un cuerpo actúa o no una fuerza? No podemos estar seguros de quesobre un cuerpo no actúen fuerzas sólo porque no existan otros cuerpos próximos aél, ya que las fuerzas pueden actuar sobre el cuerpo no sólo por contacto directo con

otros cuerpos sino también mediante una acción a distancia. Este es el caso de lasfuerzas gravitatorias y electromagnéticas que pueden ser importantes incluso paradistancias considerables entre los cuerpos. Así pues, sólo podemos saber si actúa unafuerza sobre el cuerpo si medimos su aceleración; pero tal medida exige que hayamosestablecido previamente un referencial y, además, que ese referencial sea inercial parapoder aplicar la ley de la inercia. Pero, ¿cómo saber si dicho referencial es inercial?A poco que reflexionemos comprenderemos que nos encontramos en un circulovicioso.

Sin embargo, la situación no carece de esperanza porque sabemos que las fuerzas

ejercidas entre dos cuerpos decrecen muy rápidamente cuando aumenta la distanciaque los separa. Si no fuera así, sería imposible aislar un cuerpo de las interaccionesdebidas a los demás cuerpos del Universo. Todas las fuerzas conocidas entre laspartículas decrecen con la distancia al menos de manera inversamente proporcionalal cuadrado de la misma. En una descripción razonable, un cuerpo muy alejado decualquier otro no estará prácticamente sometido a ninguna fuerza y por tanto suaceleración será nula. Una estrella típica está separada por unos 1016 m de su vecinamás próxima, lo que supone sólo una pequeña aceleración. Por consiguiente,podemos esperar que las estrellas "fijas" definan un referencial no acelerado, esto es,un referencial inercial, dentro de una buena aproximación.

Ciertamente, para muchos problemas prácticos, resulta mucho más útil considerar

Figura 6.4

un referencial sujeto a la superficie de la Tierra. Tal referencial recibe el nombre dereferencial o Sistema del Laboratorio (S.L.). En la mayoría de los casos estereferencial es una aproximación suficientemente buena de un referencial inercial, aun-

que no lo es en sentido estricto. En efecto,debido a la rotación diaria de la Tierra, elSistema del Laboratorio presenta una acelera-ción dirigida hacia el eje de rotación que espequeña pero no despreciable en todos loscasos. Un punto en reposo en el Ecuador experi-menta una aceleración centrípeta dada por

[6.3]a v 2

RT

ω 2 RT

siendo ω =2π / T la velocidad angular de la Tierray RT el radio de la misma. Como el periodo derevolución es T ≈86160 s (i.e., un día sidéreo,vide Problema 6.1) la velocidad angular es

[6.4]ω ≈ 2π

86160 7.29 × 10 5 rad/s

y como RT≈ 6 400 km, la aceleración resulta ser



§6.6.- Buscando un sistema de referencia inercial. 153

[6.5]a ≈ (7.29 × 10 5)2 × 6.4 × 106 0.034 m/s2

Este valor explica parte del exceso observado en el valor de la aceleracióngravitatoria aparente en el Polo sobre la del Ecuador. La aceleración gravitatoriamedida en el Polo es de 9.832 m/s2 y la medida en el Ecuador es de 9.780 m/s2, lo

que representa una diferencia de 0.052 m/s2. El resto de la variación apreciable enel valor de la aceleración gravitatoria se debe principalmente a la forma del geoide,que corresponde a la de un esferoide achatado por los polos, de modo que, aún enla ausencia del efecto de la rotación terrestre, el valor de la aceleración gravitatoriaes mayor en los Polos que en el Ecuador.

Así pues, el referencial del laboratorio está acelerado y no constituye unreferencial inercial.

Una mejor aproximación a lo que es un referencial inercial nos la proporcionaun referencial cuyo origen está fijo en el centro de la Tierra, que se traslada con ésta

en su órbita alrededor del Sol y que mantiene fijas las direcciones de sus ejes conrespecto a las estrellas lejanas, de modo que no participa del movimiento de rotaciónde la Tierra alrededor de su eje polar. Tal referencial recibe el nombre de sistema

geocéntrico. La aceleración de la Tierra en su órbita resulta ser un orden de magnitudmenor que la aceleración debida a la rotación terrestre. Como 1 año ≈ 3.15×107s, lavelocidad angular de la Tierra alrededor del Sol es

[6.6]ω ≈ 2π

3.15 × 107 1.995 × 10 7 rad/s

y como el radio de la órbita terrestre es R ≈ 150 × 106

km, la aceleración de laTierra en su órbita resulta ser

[6.7]a ≈ (2 × 10 7 )2 × 150 × 109 0.006 m/s 2

de modo que el sistema geocéntrico también presenta una cierta aceleración, aunquepequeña, y no constituye un referencial inercial.

Es obvio que conseguiremos una gran mejora si adoptamos un referencial cuyoorigen esté cerca del centro del Sol (en el centro de masas del Sistema Solar) y cuyosejes no giran con respecto a las estrellas lejanas. Llamaremos sistema heliocéntrico

a un tal referencial. Pero el Sistema Solar participa en el movimiento de rotación dela Galaxia de modo que el sistema heliocéntrico presenta también una determinadaaceleración. La Galaxia (formada por unas 1010 estrellas) presenta una estructura dedisco con brazos espirales; en el centro de uno de ellos y hacia el borde de la Galaxiase encuentra el Sistema Solar (Figura 6.5). La aceleración del Sol hacia el centro de laGalaxia no se conoce experimentalmente; pero, a partir de los estudios realizadossobre los corrimientos por efecto Doppler de las líneas espectrales, se estima que lavelocidad del Sol respecto al centro de la Galaxia es de 300 km/s. Si el Sol describeuna órbita circular alrededor del centro de la Galaxia, que se encuentra a unadistancia aproximada de 3×1020 m del Sol (lo que representa un periodo de 2×108 a-

ños = 6.3×1015 s), entonces la aceleración de éste con respecto al centro de la Galaxiaes




[6.8]a ω 2 R v 2

R≈

9×1010

3×1020 3 × 10 10 m/s2

que es una aceleración muy

Figura 6.5

pequeña, de modo que elsistema heliocéntrico essatisfactorio para describir lagran mayoría de los fenóme-nos.

Sin embargo, con todorigor sería necesario escogerun nuevo referencial conorigen en el centro de nues-tra Galaxia y que probable-

mente sería inercial. Estesería el sistema galáctico.Pero incluso las mismasgalaxias no están completa-

mente distribuidas al azar sino que tienen una marcada tendencia a formar racimos.Nuestra Galaxia pertenece a un grupo de unos 19 miembros conocido como Grupo

Local, que forma un sistema físico ligado gravitatoriamente. Nuestra Galaxiaexperimenta una aceleración con respecto al centro de masas del Grupo Local.

Aparentemente no existe ningún sistema físico sencillo que nos pueda servircomo referencial inercial. Sin embargo, puede tomarse el sistema heliocéntrico comoinercial para los efectos prácticos de los problemas de la Mecánica dentro del SistemaSolar. Incluso el referencial del laboratorio constituye una aproximación suficientepara un gran número de problemas, como ya descubrió Galileo y como se utiliza hoydía en numerosas aplicaciones científicas y de ingeniería.

De todos modos es muy interesante, al menos desde un punto de vista puramenteformal, definir un patrón de referencial inercial. Es un convenio establecidoconsiderar las estrellas llamadas "fijas" como un referencial inercial patrón. Estemodo de hablar es algo metafísico, ya que asegurar que las estrellas fijas no estánaceleradas rebasa nuestro conocimiento experimental actual. Es imposible que

nuestros instrumentos puedan detectar una aceleración de una estrella lejana, o grupode estrellas, menor que 10-6 m/s2, aun cuando se realizaran rigurosas medidas duranteun centenar de años. Con fines prácticos es conveniente referir a las estrellas fijas lasdirecciones en el espacio.

§6.7. Transformación de Galileo.- La ley de la inercia establece la equivalen-cia de todos los referenciales inerciales, es decir de aquellos marcos en los que lapartícula libre no presenta aceleración. Puesto que esos marcos se mueven unos conrespecto a otros con velocidad constante, los distintos observadores ligados a cada

uno de esos referenciales describirán de distinto modo el movimiento de un cuerpoy estamos interesados en encontrar unas ecuaciones que nos permitan comparar esasdistintas descripciones. Tales ecuaciones son las llamadas ecuaciones de transforma-

ción de Galileo.



§6.7.- Transformación de Galileo. 155

Consideremos dos referenciales S y S′ que se mueven, uno con respecto a otro,

Figura 6.6

con movimiento relativo de traslación uniforme (sin rotación) de modo que elobservador O ve al observador O′ moviéndose con una velocidad v0 mientras que elobservador O′ ve al O moviéndose con una velocidad -v0. Por ejemplo, el observadorO puede encontrarse en el andén de una estación de ferrocarril y el O′ puede estar

situado en un tren que se desplaza sobre una vía recta con velocidad constante.Ambos observadores darándistintas descripciones delmovimiento de un automóvilque circula por una carreterapróxima.

Por simplicidad, escoge-remos los sistemas de ejescoordenados xyz y x ′ y′ z′ demodo que los ejes x y x ′

estén situados a lo largo dela línea del movimientorelativo (Figura 6.6 y que losejes yz e y′ z′ sean respectiva-mente paralelos entre sí. Losejes coordenados permane-cerán siempre paralelos debido a la ausencia de rotación relativa. También supondre-mos que en el instante inicial, t =0, los orígenes de ambos referenciales coinciden, demodo que al ser constante la velocidad relativa se puede escribir

[6.9]OO v0 t

Consideremos ahora una partícula P y sean r=OP y r′ = O′P los vectores deposición de dicha partícula con respecto a los orígenes O y O′ de sendos refer-enciales. Estos vectores de posición están relacionados en la forma

[6.10] r r v0 t

Esta ecuación vectorial da lugar a tres ecuaciones escalares que, tomando en con-sideración el hecho de que v

0

es paralela a x , podemos escribir

[6.11] x x v0 t y y z z t t

donde hemos añadido t =t ′ a las tres ecuaciones espaciales para hacer énfasis en queestamos suponiendo que ambos observadores están utilizando la misma escala detiempos; esto es, suponemos que las mediciones del tiempo son independientes delmovimiento del observador. Aunque esto nos parece razonable (al menos fue razona-ble hasta el año 1905) no deja de ser una suposición que debe ser confirmada (ydesvirtuada) por la experiencia. Por ahora la aceptamos como válida (hasta queabordemos el estudio de la Mecánica Relativista).

El conjunto de las ecuaciones [6.11], o la simple ecuación vectorial [6.10]

combinada con t =t ′, constituyen las ecuaciones de transformación de Galileo que nospermiten relacionar las coordenadas de una partícula en dos referenciales en




movimiento relativo de traslación uniforme.Las velocidades v y v′ de la particular P en los referenciales S y S′ se definen

respectivamente, por

[6.12]v d r

dt v

d r

dt

Obsérvese que no escribimos d r′ /dt ′ debido a que hemos supuesto que t =t ′, de modoque d/dt ′ es lo mismo que d/dt . Derivando la ec. [6.10] con respecto al tiempo yteniendo en cuenta que v0 es constante, tenemos

[6.13]v v v0

que es la ley de adición de velocidades, que proporciona la regla galileana paracomparar la velocidad de la partícula medida por dos observadores en movimiento

relativo.Las aceleraciones de la partícula P en los referenciales S y S′ son

[6.14] a dv

dt a

dv

dt

respectivamente, donde de nuevo hemos hecho uso de la igualdad t =t ′. Derivando laec. [6.13] con respecto al tiempo y teniendo en cuenta que dv0 /dt =0, por ser v0=cte,tenemos

[6.15] a a

de modo que ambos observadores miden la misma aceleración. Esto es, la aceleraciónde una partícula es la misma para todos los observadores en movimiento relativo detraslación uniforme. Este resultado nos ofrece un ejemplo de una magnitud física, laaceleración de una partícula, que parece ser independiente del movimiento delobservador; dicho de otro modo, hemos encontrado que

la aceleración permanece invariante cuando se pasa de un referencial a otroque se encuentra en movimiento relativo de traslación uniforme.

Es la primera vez que encontramos una magnitud física (la aceleración) quepermanece invariante bajo una transformación (la de Galileo). Más adelanteencontraremos otras magnitudes físicas que se comportan de la misma manera. Esteresultado tiene una profunda influencia en la formulación de las leyes de la Física.

§6.8. Principio de Relatividad de Galileo.- Como en el artículo anterior,consideremos de nuevo dos referenciales en movimiento relativo de traslaciónuniforme: uno de ellos, el S por ejemplo, lo podemos suponer en reposo, en tanto queel otro se encuentra en movimiento; pero igualmente podemos adoptar el criterioopuesto. En general, nos podemos plantear la siguiente pregunta: ¿Existe algún

procedimiento que nos permita decidir qué referencial está realmente en reposo y cuálde ellos está en movimiento? Es decir, ¿tiene algún significado la velocidad absoluta?

De acuerdo con todos los experimentos realizados hasta ahora la respuesta esnegativa. Esto es, no existe ningún procedimiento que nos pueda servir para detectar



§6.8.- Principio de Relatividad de Galileo. 157

el movimiento absoluto: El movimiento es siempre relativo. Este principio de

relatividad ya fue estudiado en el siglo XIV, pero sólo llegó a ser bien conocido apartir de los trabajos de Galileo en el siglo XVI. Es interesante leer las notas deGalileo sobre la imposibilidad de observar el movimiento absoluto:

"Encerrémosnos con algún amigo en la cabina

Figura 6.7

principal bajo cubierta de un barco grande y connosotros encerremos algunas moscas, mariposas, yotros pequeños animales voladores. También ten-gamos una vasija grande de agua con algún pez ensu interior; colguemos una botella que se está va-ciando gota a gota dentro de un recipiente grandedebajo de la misma. Cuando el barco estádetenido, se observa cuidadosamente que estospequeños animales vuelan con velocidad igual portodas partes de la cabina; el pez nada indiferen-

temente en todas direcciones; las gotas caen dentrodel recipiente que está debajo de la botella; y si selanza algún objeto hacia nuestro amigo, no esnecesario lanzarlo con más fuerza en una direcciónque en otra, siendo iguales las distancias; si sesalta con los dos pies juntos, se recorren espaciosiguales en todas direcciones. Una vez observadastodas estas cosas cuidadosamente (aunque noexiste ninguna duda de que cuando el barco estáquieto todo debe ocurrir de este modo), veamos loque ocurre cuando el barco se mueve con unavelocidad cualquiera, de modo que el movimiento

resulte uniforme y no fluctuando de un lado paraotro. No se descubrirá la menor variación en todoslos efectos mencionadas, ni podremos decir apartir de cualquiera de ellos si el barco se estámoviendo o está quieto. Al saltar se recorren sobreel suelo los mismos espacios que antes, y no seharán saltos mayores hacia popa que hacia la proa,aunque el barco se mueva con mucha rapidez, apesar del hecho de que durante el tiempo en quese está en el aire el suelo bajo nosotros se estámoviendo en una dirección opuesta a la del salto.Al arrojar un objeto a nuestro compañero, no senecesita más fuerza para alcanzarle, aunque él estéen dirección de la proa o de la popa, estandonosotros situados en el lado opuesto. Las gotitascaerán, como antes, dentro del recipiente que estádebajo de la botella sin caer hacia la popa, a pesarde que cuando las gotitas

están en el aire el barco recorre cierta distanciahacia adelante. El pez dentro del agua nadaráhacia la parte delantera de sus vasija con el mismoesfuerzo que hacia la parte trasera y se moverácon igual facilidad hacia el cebo que coloquemos

en cualquier punto a lo largo de los bordes de lavasija. Finalmente, las mariposas y las moscascontinuarán sus vuelos indiferentemente haciatodos los lados, y no ocurrirá nunca que se con-centren hacia popa como si estuviesen cansadas deluchar contra la marcha del barco, del cual estánseparadas durante largos intervalos de tiempomanteniéndose en el aire con sus alas. Y si sehace humo quemando algo de incienso, se veráque asciende hacia arriba en forma de nubecillasque permanecen estacionarias y sin moverse de unlado hacia otro."

Galileo Galilei: Diálogo respecto a los dos siste-

mas cosmogónicos principales - Ptoloméico y Co-

perniaco.

Vemos como Galileo comprendió que las leyes a que obedecen los fenómenosfísicos deben ser las mismas para un observador en reposo y para otro observadorque presenta un movimiento relativo de traslación uniforme, de modo que no sepuede disponer de ningún procedimiento que nos permita saber si nos encontramoso no en movimiento. Este principio de relatividad se puede enunciar del modosiguiente:




Las leyes básicas de la Física son idénticas en todos los referenciales que semueven con movimiento uniforme (velocidad constante) unos con respectoa otros.

De acuerdo con este principio, un observador encerrado en un vagón de

ferrocarril sin ventanas, viajando con velocidad constante sobre una vía recta a nivel,sin vibraciones, no podrá servirse de ningún experimento para averiguar si seencuentra o no en movimiento, pues cualquier experimento que realice dentro delvagón en marcha dará el mismo resultado que cuando lo realiza con el vagón parado.Únicamente mirando a través de una ventana puede saber si se encuentra enmovimiento, pero incluso entonces no puede decidir si es el vagón el que se mueveo si, por el contrario, es todo lo que ve a través de la ventana (incluido el paisaje)lo que se mueve en sentido opuesto.

El principio de Relatividad de Galileo (o de invarianza galileana, como tambiénse le conoce) fue uno de los primeros en ser introducidos en la Física. Era básico

para la visión que Newton tenía del Universo y ha sobrevivido después de numerososexperimentos. Se pensaba que una medida cuidadosa de la velocidad de la luz conrespecto a la Tierra revelaría la presencia del movimiento absoluto de ésta a travésdel espacio. Esta observación debería contradecir al principio de relatividad que noera aún aceptado como ley fundamental de la Naturaleza. Sin embargo, loscuidadosos experimentos realizados por MICHELSON y MORLEY, en los años 1881 a1887, dieron un resultado nulo para la velocidad absoluta de la Tierra; i.e., nopudieron detectar el movimiento de la Tierra midiendo la velocidad de la luz endistintas direcciones. El principio de relatividad fue enunciado de nuevo, en los

comienzos del siglo XX, por POINCARÈ (1854-1912) y EINSTEIN (1879-1955):El movimiento uniforme absoluto no puede detectarse mediante ningúnexperimento.

El principio de Relatividad de Galileo está totalmente de acuerdo con la Teoría dela Relatividad Especial.

¿Qué uso podemos hacer de este principio? La hipótesis de que la velocidadabsoluta no tiene significado en la Física restringe en parte la forma y contenido delas leyes físicas, tanto las conocidas como las aún por descubrir. Para dos observado-res que se muevan sin aceleración relativa las leyes de la Física han de ser las

mismas. Si ambos observadores estudian un mismo fenómeno, cada uno dará unadistinta descripción del mismo. A partir de las leyes físicas podemos predecir comoserán las observaciones del primer observador, a partir de esas observacionespodemos averiguar cuáles serán las observaciones del segundo observador y, a partirde ellas, establecer las leyes de la Física que rigen el fenómeno estudiado por elsegundo observador. Estas leyes son las mismas que las del primer observador.

Si combinamos el principio de relatividad con la definición de la transformacióngalileana llegaremos a la siguiente conclusión:

Las leyes básicas de la Física tienen la misma forma en dos referenciales

ligados por una transformación galileana.Este enunciado es algo más restrictivo que el dado anteriormente acerca de que lasleyes de la Física son idénticas en todos los referenciales que se mueven con




viene descrito en un cierto referencial por lasecuaciones: x = 8t , y = 6t - t 2. a) Escribir lasecuaciones que describen el movimiento de lapartícula en un segundo referencial que semueve con una velocidad constante v0=8i

respecto del primero y que coincide con él en

el instante t =0. b) Calcular la velocidad y laaceleración de la partícula respecto de ambosreferenciales.

6.8.- Trayectorias de colisión.- Dos barcos seaproximan entre sí sobre trayectorias que seinterceptan y con velocidades que conducen auna colisión. Examinar la situación desde unreferencial fijo en uno de los barcos. Explicarcómo los observadores situados en cualquierade los barcos pueden advertir el peligro decolisión por medio de mediciones sucesivas dela dirección en que ven al otro barco.

6.9.- Demostrar que la distancia entre dospuntos del espacio permanece invariante enuna transformación de Galileo.

6.10.- Dos referenciales no-inerciales, S′ y S″ ,coinciden en el instante t =0 con un referencialinercial S. Inicialmente el referencial S′ seencuentra en reposo en tanto que el referencialS″ tiene una velocidad v0 a lo largo del eje x .A partir del instante t =0 ambos referenciales S′

y S″ experimentan una misma aceleración

constante a

0 a lo largo del eje x . a) ¿Cuálesserán las posiciones de O′ y O″ respecto a Oen función del tiempo? b) Relacionar lasposiciones x ′ y x ″ de una partícula en S′ y S″

con la posición x en S. c) Relacionar lasvelocidades v′ y v″ de una partícula en S′ y S″

con la velocidad v de esa partícula en S.d) Ídem para las aceleraciones de la partícula.e) Supóngase que la partícula se mueve en ladirección del eje x de modo que x = a0t 2 /2,¿cómo quedará descrito el movimiento de lapartícula al estudiarlo desde los referenciales

S′

y S″

?6.11.- ¿Invariancia de las leyes del electro-magnetismo?.- En un referencial inercial, dosprotones se mueven sobre trayectorias parale-las y con una misma velocidad. Sea S′ unreferencial que viaja con los protones, demodo que éstos se encuentran en reposo endicho referencial. a) Expresar la fuerza eléc-trica que se ejerce entre los dos protones en elreferencial S y en el S′. b) Mostrar que en elreferencial S existen dos fuerzas, una elec-trostática y otra magnética, y calcular su suma.c) ¿Cómo es que siendo inerciales los referen-ciales S y S′ las fuerzas son distintas en ambosreferenciales?



162 Lec. 7.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación ...

1.00 m/s2 (para la medida de esta aceleración se utilizará una regla graduada y uncronómetro). En estas condiciones declaramos, por definición, que el muelle deldinamómetro está ejerciendo sobre el cuerpo patrón una fuerza constante quellamaremos "1.00 newton". Observaremos que mientras se está aplicando esa fuerzael muelle se mantiene estirado una cierta longitud ∆l 1 sobre su longitud normal.

Análogamente, si un alargamiento ∆l 2 del muelle está asociado con una aceleraciónde 2.00 m/s2, diremos que la fuerza ejercida sobre el cuerpo patrón es de 2.00 new-ton. En general, si observamos que nuestro cuerpo patrón adquiere una aceleracióna en un medio particular, diremos que dicho medio ejerce una fuerza F sobre elcuerpo patrón, tal que F (newtons) es numéricamente igual a a (m/s2).

El método anteriormente descrito nos ha permitido establecer una escala de fuer-


zas; esto es, hemos calibrado el dinamómetro en unidades de fuerza. La Figura 7.2

representa la curva de calibrado de un muelle ordinario, en el que la fuerza definida

de ese modo es proporcional a la deformación ∆l del muelle respecto de su longitudnatural, siempre que estas deformaciones no sean demasiado grandes, lo queconstituye la denominada LEY DE HOOKE. Observemos, sin embargo, que estecomportamiento de los muelles no es necesario para nuestra definición de una escalade fuerzas ya que ésta se ha definido en función de las aceleraciones y no en funciónde los alargamientos del muelle; i.e., la relación entre fuerza y alargamiento no tiene

porqué ser lineal.

Definido el módulo o magnitud de la fuerza, definiremos la dirección y sentidode la misma como la de la aceleración que produce sobre el cuerpo. De este modola fuerza queda caracterizada por su módulo, su dirección y su sentido. Parece comosi a priori estuviéramos aceptando el carácter vectorial de las fuerzas; pero, como yasabemos, para que una magnitud física tenga carácter vectorial (sea representable por vectores) no es suficiente que tenga esos tres atributos, sino que también debeobedecer las leyes de la adición vectorial. Solamente la experimentación nos pondráde manifiesto si las fuerzas, tal como las hemos definido, obedecen efectivamente lasleyes de la adición vectorial.

Utilicemos ahora dos muelles calibrados (dinamómetros) unidos al mismo cuerpo patrón de modo que obren sobre él fuerzas de 4.00 y 3.00 newtons, respectivamente,en direcciones perpendiculares entre sí. ¿Cuál será la aceleración del cuerpo patrón

cuando ambas fuerzas actúan simultáneamente sobre él? Experimentalmenteencontraremos que la aceleración es de 5.00 m/s2 un una dirección que forma unángulo de 37° con la fuerza de 4.00 newtons. En otras palabras, el cuerpo patrón estásometido a una fuerza resultante de 5.00 newtons en esa misma dirección. Este



§7.1.- Fuerza. 163

mismo resultado se obtiene sumando vectorialmente las fuerzas de 4.00 y 3.00 new-tons de acuerdo con la regla del paralelogramo. Los experimentos de esta naturalezademuestran de modo concluyente el carácter vectorial de las fuerzas. Este resultadoexperimental está contenido en el corolario de las leyes de Newton enunciado en lalección anterior.

§7.2. Masa.- Newton definió la masa de un cuerpo como el producto de suvolumen por su densidad. Evidentemente esta definición no puede ser correcta,

puesto que usualmente se define la densidad como la masa por unidad de volumen,de modo que la definición resulta ser circular. Entonces, podemos preguntarnos, ¿quées la masa?

En lugar de intentar responder directamente a la pregunta anterior, lo que podríaresultar muy complicado1, encontramos más conveniente definir operativamente elconcepto de masa. Esto es, vamos a establecer un procedimiento que nos permita

comparar las masas de distintos cuerpos de modo que, tras tomar uno de ellos como patrón asignándole una masa unidad, podamos asignar un valor numérico a la masade los demás cuerpos. De ese modo podremos comprender el significado de esenúmero, de esa etiqueta, que nos traduce cuantitativamente una de las propiedadesfundamentales de la materia.

Emplearemos uno de nuestros muelles calibrados (dinamómetros) para ejercer una determinada fuerza constante sobre diversos cuerpos en las mismas condicionesque en los experimentos descritos en el artículo anterior. Observaremos que aúncuando la fuerza aplicada a los distintos cuerpos sea la misma (lo que se traduce enun mismo alargamiento del muelle) las aceleraciones que éstos adquieren son

distintas en general. Los cuerpos "más masivos" (de acuerdo con el uso corriente deesta palabra) adquirirán aceleraciones menores que los cuerpos "menos masivos".Esto nos sugiere que podemos cuantificar el concepto de masa considerando lasaceleraciones que una misma fuerza origina al actuar sobre cuerpos diversos.

Definiremos como relación de las masas de dos cuerpos el recíproco de la rela-ción de las aceleraciones producidas en ambos cuerpos por la acción de una mismafuerza. Así, si una fuerza determinada produce una aceleración a cuando actúa sobrecierto cuerpo y una aceleración a0 cuando actúa sobre otro, las masas de esos cuerposse encuentran en la relación.

[7.1]mm0

a0

a

Una vez definido el cociente de las masas para dos cuerpos cualesquiera, podemos establecer una escala de masas escogiendo un cuerpo concreto2 como masa

1 En última instancia, siempre podemos afirmar que la masa representa la inercia u oposición

de la materia a los cambios de movimiento (vide más adelante).

2 Inicialmente se pretendía que fuese igual a la masa de 1000 cm3 de agua pura a latemperatura de 4°C; pero comprobaciones posteriores de gran exactitud demostraron que la relaciónes inexacta en un pequeña cantidad.




patrón y considerándolo arbitrariamente como unidad de masa. La unidad SI de masaes el kilogramo, que corresponde a la masa del kilogramo patrón mencionado en elartículo anterior. La masa de cualquier otro cuerpo puede compararse con la masa

patrón, por el procedimiento de aplicar a ambos cuerpos una misma fuerza y obtener el cociente de las aceleraciones producidas en cada uno de ellos. De este modo

podemos asignar a la masa de cada cuerpo un número apropiado. Así, por ejemplo,si una fuerza determinada produce una aceleración de 6 m/s2 al cuerpo patrón y lamisma fuerza produce una aceleración de 3 m/s2 a un cuerpo dado, la masa de esteúltimo cuerpo será m1 = (a0/a)m0 = 2 kg.

Si repetimos el experimento anterior aplicando una fuerza común diferente,encontraremos que las aceleraciones son diferentes de las obtenidas antes, pero quesu cociente permanece constante, o sea

[7.2]m

m0

a0

a

a0

aEsto es, el cociente de las aceleraciones producidas por una misma fuerza al actuar sobre cada uno de los cuerpos es independiente de la magnitud de la fuerza. Estambién independiente del tipo de fuerza utilizado; es decir, bien sea la fuerza debidaa la acción de muelles, a la atracción gravitatoria, a la atracción o repulsión eléctricao magnética, etc. Así pues, la masa es una propiedad intrínseca del cuerpo que nodepende del entorno del mismo, de ningún agente externo ni del tipo de fuerza queusemos para medirla.

Siguiendo con estos experimentos, podemos demostrar que si unimos dos cuerpos

de masas respectivas m1 y m2, el conjunto se comporta mecánicamente como si fueraun solo cuerpo de masa (m1 + m2). En otras palabras, la masa es una magnitud escalar que obedece las reglas ordinarias de la aritmética y el álgebra.

Hemos llegado al concepto de masa a través de la aceleración producida por unafuerza determinada. Cuanto mayor es la masa de un cuerpo menor será la aceleraciónque adquiere bajo la acción de dicha fuerza. Así pues, la masa de un cuerpo es unamedida cuantitativa de la inercia o resistencia que presenta ese cuerpo a modificar su estado de movimiento bajo la acción de las fuerzas. La masa es proporcional altamaño (para una misma sustancia), independientemente del estado físico (sólido,

líquido o gas), es aditiva, se conserva en las reacciones químicas y, dentro deldominio de la Mecánica Clásica o Newtoniana, es independiente del estado demovimiento del cuerpo.

§7.3. Segunda ley de Newton.- Podemos resumir todas las definiciones yexperiencias descritas anteriormente en la ecuación fundamental de la dinámicaclásica

[7.3] F m a

donde F es la suma (vectorial) de todas la fuerzas que actúan sobre un cuerpo demasa m y a es la aceleración que éste adquiere. La ecuación [7.3] puede considerarsecomo un enunciado de la segunda ley de Newton:

la fuerza neta o resultante que actúa sobre un cuerpo es proporcional a su



§7.3.- Segunda ley de Newton. 165

masa y a su aceleración.

La ecuación [7.3] resume el hecho experimental de que si la fuerza exterior resultante F actúa sobre un objeto de masa m, el objeto se acelerará en la dirección de la fuerza F y que la magnitud de dicha aceleración será tanto mayor cuanto menor sea la masadel cuerpo. Por esta razón, la masa del cuerpo es la medida de su inercia o resistenciaa los cambios de movimiento.

Observamos también que la primera ley del movimiento está contenida en lasegunda ley como un caso especial, porque si F=0, entonces a=0. Esto es, si es nulala fuerza neta o resultante exterior no hay aceleración y el cuerpo estará en reposoo se moverá con velocidad constante (movimiento rectilíneo uniforme), que es lo quedice la primera ley del movimiento. Por lo tanto, de las tres leyes del movimiento de

Newton sólo dos son independientes, la segunda y la tercera.

Conviene insistir en que la ecuación [7.3] es una ecuación vectorial que podemosescribir también descomponiéndola en tres ecuaciones escalares

[7.4] F x m a x F y m a y F z m a z

que relacionan las componentes x,y,z de la fuerza resultante ( F x, F y, F z) con lascomponentes x,y,z de la aceleración (a x,a y,a z).

Podemos considerar la ec. [7.3] como la expresión de la ley central de lamecánica, como la clave de la síntesis de Newton de una gran parte de la filosofíanatural de su época. Nuestras definiciones de fuerza y masa nos permiten describir una amplia variedad de fenómenos físicos utilizando pocas leyes de fuerzas yrelativamente simples. Así, por ejemplo, añadiendo a las tres leyes del movimiento

de Newton la ley de Gravitación Universal podemos explicar fenómenos tales comoel movimiento de planetas y satélites en el Sistema Solar, la variación del valor dela aceleración gravitatoria aparente con la latitud debida a la rotación de la Tierra,la trayectoria de los cohetes balísticos y muchos otros problemas que aparecen en laciencia y en la tecnología.

§7.4. Peso. Peso aparente e ingravidez.- La fuerza con la que estamos másfamiliarizados, por nuestra experiencia diaria, es la fuerza de atracción que ejerce laTierra sobre todos los cuerpos que están sobre ella. Esta fuerza se denomina peso del

cuerpo. Podemos determinar el peso de un cuerpo cualquiera, de masa m, midiendola aceleración que adquiere cuando se le deja caer libremente de modo que la únicafuerza que actúe sobre él sea su peso. La aceleración resultante para cualquier cuerpoen caída libre, que designaremos por g, es independiente de la masa del cuerpo entanto que se pueda despreciar la resistencia y la densidad del aire. El módulo de esaaceleración es aproximadamente de 9.81 m/s2 en el nivel del mar y para las latitudesmedias. Entonces el peso P de un cuerpo de masa m viene dado por

[7.5] P m g

y está dirigido hacia abajo (hacia el centro de la Tierra).La medida cuidadosa de la aceleración de caída libre de los cuerpos en diversoslugares de la Tierra pone de manifiesto que esta aceleración no es la misma en todosellos, sino que depende de diversos factores como son la latitud del lugar, la altura




sobre el suelo, la presencia de yacimientos minerales en el subsuelo, la presencia deformaciones montañosas en las proximidades, etc... Así pues, el peso, a diferencia dela masa, no es una propiedad intrínseca del cuerpo.

Dado que el peso de un cuerpo viene dado por el producto de su masa por elvalor de la aceleración gravitatoria del lugar, se deduce que si en un mismo lugar los

pesos de dos cuerpos son iguales, sus masas serán también iguales. La balanza de brazos iguales es un instrumento por medio del cual se puede determinar con un grangrado de precisión cuando son iguales los pesos de dos cuerpos y, en consecuencia,la igualdad de sus masas.

La sensación que tenemos de nuestro propio peso procede normalmente de lasfuerzas que lo equilibran. Así, cuando nos situamos sobre una balanza de resorte,nuestros pies aprecian la fuerza que ejerce sobre nosotros la balanza. El resorte dela balanza está calibrado de forma que registra la fuerza que debe ejercer (por compresión del resorte) para equilibrar nuestro peso. La fuerza que equilibra nuestro

peso se denomina peso aparente y es el peso que registra la balanza de resorte. Sino existe ninguna fuerza para equilibrar nuestro peso, como sucede en la caída libre,el peso aparente será cero. A esta situación se le denomina ingravidez.

Los tripulantes de un satélite en órbita experimentan la situación de ingravidez.Existe una creencia con respecto a este interesante fenómeno que se asocia con lacarencia de peso, ya que los tripulantes del satélite flotan dentro de la cápsula (ofuera de ella) sin necesidad de apoyarse en parte alguna. La idea es falsa, puessiempre existe una fuerza gravitatoria3 que actúa sobre la masa m del astronauta demodo que éste siempre tiene peso, de acuerdo con nuestra definición de estefenómeno. La única fuerza que actúa sobre el astronauta (y también sobre la cápsula)

es su peso que produce la aceleración de caída libre g = v2/r , o sea la aceleracióncentrípeta necesaria para que la órbita sea circular, con radio r y celeridad v. Comoesta fuerza no está equilibrada por ninguna otra, el peso aparente del astronauta (ytambién el de la cápsula) es cero. Una situación similar, aunque más artificial, se

presenta en un ascensor en caída libre: los objetos en el interior del ascensor parecenflotar y una balanza de resorte (un dinamómetro) suspendido del techo del ascensor no registrará peso alguno para un cuerpo enganchado a su otro extremo.

§7.5. Sistemas de unidades mecánicas.- Aunque para Newton la ecuación

F = m a no es una definición de fuerza (que podría ser definida entonces como producto de la masa por la aceleración), sino que ésta es más bien un conceptointuitivo análogo, en último análisis, al esfuerzo muscular, resulta bien evidente quese puede utilizar la ecuación anterior para medir las fuerzas. Si disponemos de unaunidad de masa y una unidad de aceleración podemos adoptar como unidad de fuerzaaquélla que proporciona a un cuerpo de masa unitaria una aceleración unitaria.

En el sistema mks de unidades mecánicas, que es un subconjunto del SistemaInternacional de Unidades (SI), la unidad de masa es el kilogramo (kg) y la unidadde aceleración es el m/s2, de modo que la unidad de fuerza en dicho sistema esaquella fuerza que comunica a la masa de 1 kg una aceleración de 1 m/s2. Dichafuerza se denomina newton (N). Así, en el SI de unidades

3 Para una altitud de 400 km, la intensidad del campo gravitatorio terrestre es 8.7 N/kg (m/s2).




§7.6. Cantidad de movimiento.- Si repasamos el enunciado original de Newton referente a la segunda ley del movimiento puede llamarnos la atención queen él no se haga referencia a la masa ni a la aceleración sino a la variación del movimiento. Lo que Newton llamaba movimiento hoy se denomina cantidad de

movimiento. La cantidad de movimiento de una partícula es una magnitud físicadefinida como el producto de la masa de la partícula por su velocidad. Designándola

por p, tenemos

[7.12] p m v

La cantidad de movimiento es una magnitud física vectorial, que tiene la mismadirección y sentido que la velocidad y, como ésta, depende del marco de referenciadel observador; siempre deberemos especificar dicho marco. Esta nueva magnitudfísica no debemos entenderla simplemente como el resultado de una operación

matemática, sino que representa un concepto físico de mucha importancia porquecombina los dos elementos que caracterizan el estado dinámico de una partícula: sumasa y su velocidad. Ya en el siglo XIV los escolásticos comprendieron laimportancia que tenía tanto la masa como la velocidad en el movimiento de loscuerpos e introdujeron el concepto de ímpetu, precursor de la actual cantidad demovimiento. Escribiendo a = dv/dt para la aceleración y admitiendo que la masa dela partícula sea independiente de su estado de movimiento y que permanece constanteen el transcurso del tiempo, tenemos

[7.13] F m

dv

dt

d

dt (mv)

de modo que, utilizando la definición de cantidad de movimiento, la fuerza que actúasobre la partícula viene dada por

[7.14] F d p

dt

La palabra "actúa" puede que no sea la apropiada, pues sugiere la idea de algoaplicado a la partícula. La fuerza es un concepto físico-matemático que, por

definición, mide el cambio por unidad de tiempo de la cantidad de movimiento deuna partícula dada y cuyo valor, a su vez, depende de la interacción de la partículacon su medio ambiente; por consiguiente, desde el punto de vista físico, debemosconsiderar la fuerza como la expresión de una interacción; i.e., como una técnica pararelacionar el medio ambiente con el movimiento de la partícula.

Si la fuerza resultante sobre la partícula es nula, bien porque la partícula esté libre de acción exterior o bien porque las distintas interacciones se equilibren, i.e., si F=0, entonces p=cte; o sea que la cantidad de movimiento de la partícula libre per-manece constante, que es otro modo de expresar la primera ley de Newton o ley dela inercia.

En la Mecánica Clásica la masa de una partícula siempre es independiente de su estado demovimiento y las ecuaciones [7.3] y [7.14] pueden considerarse equivalentes. Sin embargo, cuandouna partícula se mueve con una velocidad próxima a la de la luz, ( c ≈ 3 108 m/s), el cociente entrelos módulos de la fuerza y la aceleración depende de la velocidad de la partícula; esto es, la masa



§7.6.- Cantidad de movimiento. 169

es función de la velocidad. Como veremos más adelante en este libro, en el caso de partículas dealta velocidad, la Mecánica Clásica deberá modificarse de acuerdo con la teoría de la RelatividadEspecial de Einstein. En la Mecánica Relativista, la ley de Newton no es válida cuando se escribeen la forma F = m a; sin embargo, sigue siendo válida cuando se expresa en la forma F = d p/dt ,con tal de que definamos la cantidad de movimiento como

[7.15] p m0v

1 v 2/c2

donde m0 es la masa en reposo de la partícula y c es la velocidad de la luz en el vacío. Cuando lavelocidad de la partícula es mucho menor que la de la luz, el valor del denominador de la ec. [7.15]

es muy próximo a la unidad y las expresiones relativista y clásica de la cantidad de movimientoson aproximadamente iguales. Por otra parte, la ec. [7.15] sugiere una nueva definición de masa(relativista)

[7.16]m m0

1 v2/c 2

de modo que la cantidad de movimiento pueda seguir escribiéndose como p = mv. Volveremos atratar este asunto con más profundidad en temas posteriores dedicados a la Mecánica Relativista.

§7.7. Impulsión.- Consideremos una partícula, de masa m, sobre la que actúauna fuerza resultante F, que puede variar tanto en módulo como en dirección. Elefecto de dicha fuerza es producir un cambio en la cantidad de movimiento de la

partícula; dicho cambio viene expresado por la segunda ley del movimiento, ec. [7.14],que también podemos escribir en la forma

[7.17] F dt d p

que nos expresa el cambio elemental de la cantidad de movimiento durante unintervalo de tiempo infinitesimal. Podemos obtener el cambio de la cantidad demovimiento de la partícula durante un intervalo de tiempo finito, ∆t = t B-t A, bajo laacción de la fuerza resultante F, integrando [7.17]; así,

Figura 7.4

[7.18]⌡⌠

t B

t A

F dt ⌡⌠

pB

pA

d p

La integral del primer miembrorecibe el nombre de impulsión de la

fuerza F durante el intervalo de tiempot B-t A y es, manifiestamente, una magnitudvectorial que representaremos por Π. Estoes,

[7.19]Π ⌡⌠

t B

t A

F dt

y, naturalmente, esta integral sólo podrá ser evaluada si conocemos como varía lafuerza en función del tiempo; es decir, si conocemos F= F(t ). En realidad, estasituación nos la encontramos en muy contados problemas físicos de interés. Lo más




frecuente es conocer F en función de la posición de la partícula en su medioambiente. En otros casos, la información que tenemos acerca de como varía la fuerzaen función del tiempo resulta insuficiente para poder integrar el primer miembro de[7.18].

Pensemos en la pelota de golf que es golpeada violentamente con el palo; poco

Figura 7.5

antes de que el palo entre en contacto con la pelota la fuerza que actúa sobre ésta escero, después aumenta rápidamente hasta un cierto valor máximo para disminuir de

nuevo hasta cero cuando la pelota deja de estar en contacto con el palo. El tiempo total decontacto es muy corto, quizás del orden de losmilisegundos. La información que tenemossobre la intensidad (variable) de la fuerza ysobre el tiempo durante el cual actúa es muyescasa. Todo lo más, podemos dar una descrip-ción cualitativa de la fuerza representando sumódulo en función del tiempo, como se muestraen la Figura 7.5.

Las fuerzas, como la de este ejemplo, queson relativamente intensas y que actúan durante un intervalo de tiempo relativamentecorto reciben el nombre de fuerzas impulsivas.

Aunque el primer miembro de [7.18] sólo puede ser integrado en condiciones bienconcretas, la integral del segundo miembro conduce siempre al resultado

[7.20]

⌡⌠

p B

p A d p p B p A ∆ p

Así pues, la ecuación [7.18] puede escribirse en la forma

[7.21]Π ∆ p

que expresa el siguiente resultado importante:

La impulsión de la fuerza resultante que actúa sobre una partícula es iguala la variación de la cantidad de movimiento de la partícula.

Este es el enunciado del teorema de la cantidad de movimiento que, aunque es deuso general, se aplica fundamentalmente a las fuerzas impulsivas, como las queaparecen en las colisiones y explosiones, es decir, en aquellos casos en los que noconocemos, ni tenemos posibilidades de conocer, la dependencia de la fuerza(aplicada a la partícula) con el tiempo.

En cualquier sistema de unidades, la unidad de impulsión será el producto de launidad de fuerza por la unidad de tiempo. Así en los sistemas SI, cgs y técnico lasunidades de impulsión son, respectivamente, el newton segundo (N s), la dina segun-do (dyn s) y el kilogramo segundo (kg s), que no reciben nombres especiales.

Puesto que la impulsión consiste, esencialmente, en el producto de una fuerza por

un tiempo, es obvio que una fuerza muy intensa que actúe durante un corto intervalode tiempo puede producir el mismo cambio en la cantidad de movimiento de la

partícula que el que produzca una fuerza débil que actúe durante un largo intervalode tiempo. Así pues, podemos interpretar la impulsión de una fuerza como una



§7.7.- Impulsión. 171

medida de su efectividad para modificar la cantidad de movimiento de la partículasobre la que actúa.

Tanto la impulsión como la cantidad de movimiento son magnitudes vectoriales.La expr. [7.21] es una ecuación vectorial que puede desglosarse en tres ecuacionesescalares; en coordenadas cartesianas:

[7.22]Π x ⌡⌠

t B

t A

F x dt ∆ p x Π y ⌡⌠

t B

t A

F y dt ∆ p y Π z ⌡⌠

t B

t A

F z dt ∆ p z

Podemos representar gráficamente

Figura 7.6

la impulsión de cualquier componentede una fuerza (o de una fuerza cuyadirección sea contante) sin más quellevar los tiempo en abscisas y la mag-nitud de la fuerza en ordenadas (Figu-

ra 7.6). El área limitada por la curva,entre las ordenadas correspondientes at A y t B, representa la impulsión de lafuerza durante ese intervalo de tiempo.Así, el valor medio de la magnitud dela fuerza F, de dirección constante, durante el intervalo de tiempo ∆t = t B-t A, sedefine como

[7.23] F 1

t B t A⌡⌠

t B

t A

F dt

§7.8. Invariancia de las leyes de la Mecánica.- La segunda ley de Newtonrepresenta un enorme progreso en la comprensión del movimiento; sin embargo noes la única ley posible y, para establecerla, Newton fue influido sin duda por los estu-dios que se realizaron en su época sobre las colisiones entre sólidos, por Huygens

principalmente. Al decir que no es la única posible, queremos expresar la posibilidadde establecer una relación entre la fuerza y el cambio en la cantidad de movimiento

por unidad de distancia recorrida sobre la trayectoria (esto es, F=d p/d s), en lugar de

la que hemos adoptado ( F=d p/dt ); pero esa definición no sería útil y daría lugar amuchas dificultades.

Son, sobre todo, consideraciones de invariancia las que fijan la forma de lasegunda ley de Newton. Una ley, o un sistema, es invariante cuando no cambia alsometerla a una cierta operación. La invariancia está íntimamente ligada con la

simetría y pudiéramos haber titulado este artículo como "simetría de las leyes de la

Mecánica". Así, por ejemplo, un cilindro presenta simetría de rotación porque algirarlo alrededor de su eje no cambia su aspecto; permanece invariante ante larotación.

La invariancia de las leyes de la Mecánica con respecto a la transformación deGalileo no es, obviamente, el único tipo de invariancia que debe exigirse de ellas.Investigaremos en primer lugar la invariancia de la segunda ley de Newton ante la




traslación y la rotación del sistema de

Figura 7.7

referencia5.Consideremos dos referenciales S y S′

que tienen sus ejes coordenados correspon-dientes paralelos entre sí, como se muestra en

la Figura 7.7. Los vectores de posición de una partícula P con respecto a esos dos referencia-les están relacionados en la forma

[7.24] r r OO

Si sobre la partícula P actúa una fuerza F, las componentes de esa fuerza a lo largo delos ejes coordenados de cada uno de losreferenciales verifican obviamente las

relaciones

[7.25] F F ⇔

F x F x′

F y F y′ F z F z

Por otra parte, la masa es un escalar invariante por traslación; además, derivando [7.24] dosveces con respecto al tiempo se obtiene

[7.26]¨ r ¨ r → a a : ¨ x ¨ x ¨ y ¨ y ¨ z ¨ z

Por lo tanto se verifica

[7.27]

F x m ¨ x F y m ¨ y F z m ¨ z

F x m ¨ x F y m ¨ y F z m ¨ z

Entonces, si en el referencial S escribimos F = m a, en el S′ será F′ = m a′ y la segunda ley de Newton es invariante por traslación. Si esta ley pudiera dar cuenta de todos los fenómenosconocidos diríamos que en el Universo no hay un origen de coordenadas privilegiado. Aunque lasleyes de Newton no dan cuenta de todos los fenómenos conocidos, no existe hasta ahora ningunaevidencia en contra de la invariancia por traslación de las leyes de la Física. En consecuencia, podemos afirmar que el espacio físico es homogéneo.

Preocupémosnos ahora de la rotación. Consideraremos de nuevo dos referenciales S y S ′ con

una mismo origen pero girados uno con respecto al otro. Para mayor sencillez en el razonamientosupondremos que el giro tenga lugar alrededor del eje z, que será común para ambos referenciales,como se muestras en la Figura 7.8. Entre las componentes ( F x, F y, F z) de la fuerza en el referencial Sy ( F x′, F y′, F z′) en el S′ existen las relaciones

5 En general, no es necesario preocuparse de la invariancia de las leyes físicas por traslaciones

y rotaciones del sistema de referencia, porque se exige siempre que ambos miembros de unaecuación física tengan el mismo carácter (escalar o vectorial). Esta exigencia garantiza lainvariancia de las leyes físicas por esas operaciones (un vector o un escalar son independientes dela orientación de los ejes) ya que los dos miembros de una ecuación se transforman de la mismamanera.



§7.8.- Invariancia de las leyes de la Mecánica. 173

[7.28]

F x F x cosθ F y senθ F y F x senθ F y cosθ F z F z

que son las mismas que existen entre las componentes de los vectores de posición r y r′

[7.29]

x x cosθ y senθ y x senθ y cosθ z z

En el referencial S se verifica

[7.30] F x m ¨ x F y m ¨ y F z m ¨ z

y derivando [7.29] dos veces con respecto al tiempo (téngase en cuenta que θ=cte.) y sustituyendoel resultado, así como [7.28], en [7.30] se obtiene

[7.31]

F x cosθ F y senθ m ¨ x cosθ m ¨ y senθ

F x senθ F y cosθ m ¨ x senθ m ¨ y cosθ

F z m ¨ z

de modo que en el referencial S′ se verifica

[7.32] F x m ¨ x F y m ¨ y F z m ¨ z

Así pues, la segunda ley de Newton es

Figura 7.8

invariante por rotación del sistema de refe-rencia. Como en el caso anterior, si esta ley pudiera dar cuenta de todos los fenómenosconocidos diríamos que en el Universo nohay ninguna dirección privilegiada, por loque podemos afirmar que el espacio físicoes isótropo.

Hemos establecido la invarianciade las leyes de la Mecánica por tras-lación y giro del sistema de referen-

cia. Es un hecho probado que no sólolas leyes de la Mecánica, sino todaslas leyes de la Física son simétricas(invariantes) respecto a esas operaciones; esto equivale a decir que el espacio físicoes homogéneo e isótropo.

Investiguemos ahora la invariancia de la segunda ley de Newton por latransformación de Galileo. Consideremos dos referenciales S y S′ que se mueven, unocon respecto a otro, con movimiento relativo de traslación uniforme (sin rotación).Como ya vimos en la lección anterior, las aceleraciones de una partícula en cada unode estos referenciales son iguales, esto es

[7.33] a a

de modo que la aceleración permanece invariante cuando se pasa de un referencial



§7.8.- Invariancia de las leyes de la Mecánica. 175

de vista de la Mecánica estos dos fenómenos (caída del cuerpo y su lanzamiento hacía arriba) sonenteramente equivalentes.

§7.9. Tercera ley de Newton.- Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo

Figura 7.9

provienen de otros cuerpos que constituyen su medio ambiente. Por cada fuerza que

actúa sobre un determinado cuerpo A debe existir un agente externo B responsablede dicha fuerza. La tercera ley de Newton establece que el cuerpo A ejerce, a su vez,una fuerza igual y opuesta sobre el cuerpo B. Esto es,

[7.41] F AB F BA

Una fuerza sola es únicamente unaspecto parcial de la interacción mutuaentre dos cuerpos. Las fuerzas se

presentan siempre por parejas, de modo

que es totalmente imposible tener unafuerza aislada. Por ejemplo, la Tierraejerce una fuerza de atracción gravita-toria sobre una pelota de masa m; dichafuerza es el peso P de la pelota en elcampo gravitatorio de la Tierra. La

pelota adquiere una aceleración dirigidaverticalmente hacia abajo igual a g =

P/m ( g =9.8 m/s2). De acuerdo con latercera ley de Newton, la pelota ejerce

una fuerza P′ sobre la Tierra, que representa el peso de la Tierra en el campogravitatorio de la pelota. Ambas fuerzas, P y P′, son iguales en módulo y dirección

pero de sentido opuesto. La Tierra, en respuesta a esa fuerza, debe acelerarse. Debidoa la gran masa M de la Tierra esta contribución a su aceleración total resulta ser despreciable e inobservable. En efecto m/ M = aT/ g nos conduce a aT=(m/ M ) g ≈0.

Si a una de las dos fuerzas que intervienen en la interacción entre dos cuerposse le llama acción, a la otra la llamaremos reacción. No importa qué fuerza en dicha

pareja se llame acción y cuál reacción. En este proceso no se implica una relaciónde causa y efecto; lo único que se implica es una interacción mutua entre los dos

cuerpos. Lo importante es que las fuerzas siempre se presentan en parejas acción-reacción y que la una es siempre opuesta a la otra.

Nótese que las fuerzas de acción y reacción nunca pueden equilibrarse entre sídebido a que obran sobre cuerpos diferentes. Este último aspecto es de capitalimportancia pues si ambas fuerzas actuasen sobre el mismo cuerpo nunca se podríatener movimiento acelerado porque sería nula la fuerza resultante sobre el cuerpo.Aclararemos el significado de cuanto acabamos de decir con un ejemplo.

Supongamos que tenemos un bloque sobre una superficie horizontal y que tira-mos de el mediante una cuerda, como se indica en la Figura 7.10. No hemos represen-

tado en dicha figura ni el peso del bloque, ni la reacción normal de la mesa (que sos-tiene al bloque) ni el peso de la cuerda. El bloque puede estar o no en equilibrio; estoes, puede estar en reposo o moviéndose con velocidad constante o estar acelerado.Con la notación usada en la figura, las parejas acción-reacción son las ( F1, F1′) y




( F2, F2′). En cambio las parejas de fuerzas ( F1, F2′) y ( F1′, F2) no constituyen parejasde acción-reacción. Para comprenderlo, obsérvese que la fuerza F1 representa lafuerza ejercida por la mano sobre la cuerda; su reacción será la fuerza F1′ que ejercela cuerda sobre la mano. La fuerza F2 representa la fuerza que ejerce la cuerda sobreel bloque; su reacción es la fuerza F2′ que ejerce el bloque sobre la cuerda. En ambos

casos se cumple que

[7.42] F1 F′1 F2 F′2

Para comprender por qué

Figura 7.10

las fuerzas F1 y F2′ no consti-tuyen una pareja de acción-reacción observemos queambas fuerzas actúan sobre elmismo cuerpo (la cuerda),

mientras que una acción y sureacción deben ejercer necesa-riamente sobre cuerpos dife-rentes. Lo característico de la

pareja de acción-reacción es sureciprocidad . Por otra parte, las fuerzas F1 y F2′ no son necesariamente de igualmagnitud. Si el bloque y la cuerda se mueven hacia la derecha con velocidad cre-ciente, la cuerda no estará en equilibrio y necesariamente será F1 mayor que F2′. Enefecto, siendo m la masa de la cuerda y a la aceleración del sistema tenemos

[7.43] F1 F′2 m a

de modo que solo en el caso de que la cuerda no esté acelerada, por encontrarse enreposo o moviéndose con velocidad constante, son iguales las magnitudes de lasfuerzas F1 y F2′. Sin embargo, en cualquier caso, siempre serán iguales lasmagnitudes de las fuerzas F1 y F1′ y también las de F2 y F2′, aún cuando no lo seanlas de F1 y F2′.

En el caso de que la cuerda esté en equilibrio, esto es, no presente aceleración,al ser a=0 se deduce de [7.43] que será F1 = - F2′. Como por otra parte F2 es siempreigual a - F2′, resulta que, en esta situación especial, será F1 = F2 y cabe considerar que la cuerda transmite al bloque la totalidad de la fuerza ejercida sobre ella por lamano en su otro extremo. Este punto de vista tiene una gran utilidad práctica, peroconviene recordar que sólo es aplicable en las condiciones restringidas anteriores.

En principio, el mismo resultado anterior es válido si m =0. En la práctica nuncaencontraremos una cuerda sin masa, pero muy a menudo podremos considerar despreciable la masa de la cuerda o cuerdas que intervengan en un mecanismo frentea las masas de los demás cuerpos; en estas condiciones podemos suponer que estascuerdas ideales transmiten íntegramente las fuerzas.

Un cuerpo (como una cuerda, una varilla, ...) sometido a tracciones en sus

extremos decimos que está en tensión. La tensión en cualquier punto es igual a lafuerza en dicho punto. Podemos medir la tensión en cualquier punto de la cuerdacortándola en dicho punto e intercalando un dinamómetro; la tensión será la lecturadel dinamómetro. La tensión será la misma en todos los puntos de una cuerda



§7.9.- Tercera ley de Newton. 177

horizontal si ésta se encuentra en equilibrio o si su masa es despreciable.

§7.10. Conservación de la cantidad de movimiento.- A partir de la tercera

Figura 7.11

ley de Newton podemos llegar a una conclusión sencilla pero importante para el casode dos partículas aisladas del resto del Universo, de modo que estén sometidas

solamente a su interacción mutua. Como resultado de la interacción, la velocidad decada una de las partículas, y por lo tanto su cantidad de movimiento, no permanececonstante sino que cambia con eltiempo y la trayectoria será curvilí-nea en general, como se muestra enla Figura 7.11. En un cierto instante t ,la partícula 1 se encuentra en A ytiene una velocidad v1 y la partícula2 se encuentra en B y tiene una

velocidad v2. En un instante poste-rior t ′ las partículas se encuentranen A′ y B′ y tienen velocidades v1′y v2′, respectivamente. Evidente-mente, como resultado de la interac-ción, la cantidad de movimientoindividual de cada una de las partí-culas no se conserva en el trans-curso del tiempo.

De acuerdo con la segunda ley de Newton, la variación por unidad de tiempo de

la cantidad de movimiento de una partícula es igual a la fuerza que actúa sobre ella.Así, en nuestro caso de dos partículas sometidas solamente a su interacción mutuaactuará una fuerza única sobre cada una de ellas y las dos fuerzas, de acuerdo conla tercera ley de Newton, tendrán el mismo módulo y dirección pero sentidos opues-tos. Esto es

[7.44] F1

d p1

dt F2

d p2

dt

con F1 = - F2, de modo que

[7.45] F1 F2

d p1

dt

d p2

dt ddt

( p1 p2) 0

lo que significa que la variación de la cantidad de movimiento total, p1+ p2, es nula,esto equivale a decir que la cantidad de movimiento total permanece constante

[7.46] p1 p2 cte.

Este resultado lo podemos enunciar del modo siguiente:

La cantidad de movimiento total de un sistema compuesto por dos partículassujetas solamente a su interacción mutua permanece constante en eltranscurso del tiempo.




enunciado que constituye el principio de la conservación de la cantidad demovimiento, uno de las principios fundamentales y universales de la Física y que

podemos considerar como un enunciado equivalente de la tercera ley de Newton.Aunque en el enunciado anterior se hace referencia a sólo dos partículas el principio de

conservación de la cantidad de movimiento es mucho más general y se cumple para cualquiera que

sea el número de partículas que constituyan un sistema aislado; es decir, partículas sometidassolamente a sus interacciones mutuas y no a interacciones con otras partes del Universo. Por ello,el principio de la conservación de la cantidad de movimiento en su forma más general se enunciadel modo siguiente:

La cantidad de movimiento total de un sistema de partículas aislado se mantieneconstante.

En el caso concreto de dos partículas podemos reescribir la expr. [7.46] como

[7.47]∆ p1 ∆ p2 0

donde ∆ pi = pi′- pi representa el cambio que experimenta la cantidad de movimientode la partícula i-ésima durante el intervalo de tiempo ∆t = t ′-t ; así, podemos escribir

[7.48]∆ p1 ∆ p2

de modo que, en el caso de dos partículas interactuantes, la variación en la cantidadde movimiento de una de las partículas en un cierto intervalo de tiempo es igual yopuesta a la variación en la cantidad de movimiento de la otra durante el mismointervalo de tiempo, de modo que la variación en la cantidad de movimiento totalserá nula, como ya habíamos indicado anteriormente. El resultado anterior podemos

expresarlo igualmente diciendo queuna interacción produce un intercambio de cantidad de movimiento,

de manera que la cantidad de movimiento perdida por una de las partículasinteractuantes es ganada por la otra. Es ésta una interpretación interesante de lainteracción entre dos partículas, en la que vemos como la idea de fuerza queda encierto modo difuminada.

Podemos encontrar a nuestro alrededor numerosos

Figura 7.12

ejemplos del principio de conservación de la cantidad demovimiento. Al disparar un fusil se desarrolla en el sistema

constituido por el fusil y la bala fuerzas interiores quedeterminan la salida de la bala con una cierta cantidad demovimiento. El principio de conservación exige que el fusilretroceda con una cantidad de movimiento igual y opuestaa la de la bala. Debido a la masa relativamente grande delfusil frente a la de la bala, la velocidad de retroceso deaquél es pequeña frente a la de ésta. Cuando un núcleoradioactivo se desintegra, emitiendo por ejemplo una partícula α, la cantidad de movimiento total de la partículaα y del núcleo residual debe ser cero, ya que el sistema se

encontraba inicialmente en reposo en el referencial inercial del laboratorio (Figura 7.12). Así pues,

si consideramos la emisión de una partícula α por un núcleo de 212Po, la cantidad de movimientodel núcleo residual (208Pb), será igual y opuesta a la de la partícula α emitida.

No se conocen excepciones al principio de la conservación de la cantidad demovimiento. Es más, cuando ha parecido haber violación de este principio en un



§7.10.- Conservación de la cantidad de movimiento. 179

experimento, el físico siempre ha encontrado alguna partícula hasta entonces des-conocida que daba cuenta de esta aparente violación del principio. De este modo losfísicos han identificado el neutrón, el neutrino, el fotón y muchas otras partículaselementales.

§7.11. Acción a distancia.- Parece ser que Newton llegó a su enunciado de

Figura 7.13Isaac NEWTON (1642-1727)

la ley de acción-reacción a partir de los estudios realizados en su época sobre lacinemática de los choques. Durante el corto intervalo de tiempo en que se encuentranen contacto los cuerpos que chocan se ejercen entreellos fuerzas muy grandes de modo que aún cuandoexistieran otras fuerzas (como el peso o el rozamien-to), por ser éstas mucho menores que aquéllas, no

producirán efectos apreciables y pueden ser despreciadas. A partir de las medidas cuidadosas,

realizadas principalmentepor HUYGENS (1629-95), delas cantidades de movimiento de los cuerposcolisionantes, Newton sabía que, independientementede la clase de choque que tuviera lugar, la cantidadde movimiento total después del choque es la mismaque había antes. La ec. [7.46] describe este resultadoy sólo necesitamos derivarla con respecto al tiempoy sustituir d p1/dt por F1 y d p2/dt por F2 para estable-cer la ley de la acción-reacción. Sin embargo, laextrapolación de esta ley de acción-reacción para

cuerpos en contacto a cuerpos muy separados presen-ta dificultades conceptuales que Newton apenas habíasospechado.

Hemos visto que el enunciado de que la acción es igual a la reacción esequivalente a afirmar que la velocidad con la que un cuerpo adquiere cantidad demovimiento es igual a la velocidad con la que el otro la pierde. Esto es fácil deimaginar cuando los dos cuerpos están en contacto pero no cuando están muyseparados, ya que esto implicaría aceptar que la cantidad de movimiento se transmiteinstantáneamente a través del espacio que los separa. Este concepto, llamado accióna distancia, resulta difícil de aceptar. Por ejemplo, aplicado al sistema Sol-Tierra, elconcepto de acción a distancia implica que la cantidad de movimiento perdida por uno de estos dos cuerpos viaja instantáneamente a través de los casi 150 millones dekilómetros que los separan para ser adquirida por el otro. Newton justificaba suampliación de la ley de acción-reacción para cuerpos separados aceptando la hipótesisde la acción a distancia, debido a que ésta le permitía calcular correctamente lasórbitas de los planetas a partir de la ley de la Gravitación. Sin embargo Newton sedaba cuenta de que la acción a distancia constituía un fallo de su teoría y en 1692hizo un comentario famoso sobre este concepto:

"Es inconcebible que la materia inanimada y bruta pueda operar e influir, sin la mediación de

alguna otra cosa que no sea material, sobre la materia sin un contacto mutuo, como debesuceder si la gravitación, en el sentido de Epicuro, fuese esencial e inherente a ella. Y ésta esuna razón por la cual yo desearía no tener que adscribirme a la gravedad innata. El que la gra-vedad deba ser innata, inherente y esencial a la materia, de modo que un cuerpo pueda actuar sobre otro a distancia a través del vacío, sin la mediación de ninguna otra cosa, de modo que




mediante él y a través de él su acción y fuerza pueda transportarse de un cuerpo a otro, es paramí un absurdo tan grande que no creo que haya ninguna persona competente en temas filo-sóficos que pueda nunca coincidir en ello."Isaac Newton: Tercera carta a Bentley (25 Febrero 1692)

El hecho de que dos partículas interactúen

Figura 7.14

cuando las separa una cierta distancia significaque debemos considerar un mecanismo para latransmisión de la interacción. Hoy, resolvemosel problema de la acción a distancia introdu-ciendo el concepto de campo. Consideramos queuna partícula modifica en cierto modo las

propiedades del espacio que la rodea, es decir,crea en dicho espacio una alteración que llama-mos campo, y este campo produce una fuerza,expresión de la interacción, sobre una segunda

partícula colocada en dicho espacio. Así pues, el campo actúa como agente intermedio en la propagación de la interacción. Análogamente, la segunda partícula crea a su vez uncampo que produce una fuerza sobre la primera. Si repentinamente una de las

partículas se mueve a una nueva posición, se modifica el campo creado por ella, peroeste cambio no se propaga instantáneamente a todo el espacio sino que lo hace comomáximo con la velocidad de 3×108 m/s, que es también la velocidad de la luz(Figura 7.14). Si podemos despreciar el tiempo empleado en la propagación del campo,

podemos ignorar este agente intermedio y considerar que la interacción tiene lugar directamente entre las dos partículas. Por ejemplo, durante los 8 minutos que se

emplea en la propagación del campo gravitatorio entre la Tierra y el Sol, la Tierrase mueve sólo una pequeña fracción de su órbita (5.5 milésimas de grado) de modoque con una buena aproximación podemos considerar las fuerzas entre el Sol y laTierra como ejercida directamente entre ellos (acción a distancia).

En la forma en que está escrita la ec. [7.46] se presupone que la interacción entrelas dos partículas es instantánea. Sin embargo, puesto que las interacciones físicas se

propagan con una velocidad finita, se emplearía un cierto tiempo para que se produzca el intercambio de cantidad de movimiento entre las dos partículas de modoque el principio de la conservación de la cantidad de movimiento será solo aproxima-

do, ya que existirán fases durante la interacción en las que no se conservará lacantidad de movimiento. Sin embargo, la conservación de la cantidad de movimiento puede volverse a enunciar como una ley exacta introduciendo la idea de que el propio campo puede poseer cantidad de movimiento, de modo que durante el tránsitola cantidad de movimiento perdida por uno de los cuerpos es transportada por elcampo. Puede demostrarse que en la interacción electromagnética entre dos cargasmóviles el campo electromagnético transporta cantidad de movimiento; sin embargono es fácil probarlo en el caso de la interacción gravitatoria.

§7.12. Limitaciones de la ley de la acción-reacción.- De acuerdo connuestro análisis de la acción a distancia, la tercera ley de Newton es sólo una leyaproximada para la interacción a distancia entre dos cuerpos separados. Puesto quela interacción se "propaga" con una velocidad finita, en cualquier instante durante lainteracción no será F12 exactamente igual a - F21. En consecuencia,



Problemas 183

mente igual a la de un proyectil que se muevasometido solamente a la acción de su peso.¿Cómo puede conseguir dicha trayectoria?

7.14.- En un experimento típico destinado aconseguir las condiciones de "gravedad cero"(vide Problema 7.13), el piloto de un avión dereacción comienza una trayectoria balística auna altura de 6 000 m sobre el suelo, con unavelocidad de 800 km/h y un ángulo de 70°sobre la horizontal. Cuando regresa a los6 000 m de altura, abandona la trayectoria balística y recupera el control del aparato.a) ¿Durante cuánto tiempo se ha mantenido lacondición de ingravidez en el interior delaparato? b) ¿Cuáles fueron la velocidad y laaltura en el punto más alto de la trayectoria?

7.15.- Calcular cuál debería ser el periodo de

rotación de la Tierra para que el peso aparentede un cuerpo fuese nulo en el Ecuador.

7.16.- Una masa m colocada sobre una superfi-cie lisa horizontal está unida a una masa M mediante una cuerda ligera que pasa por unagujero practicado en la superficie. La masa mse mueve describiendo una trayectoria circular de radio r con una celeridad v. Determinar elvalor de la masa M para que ese movimientose mantenga.

7.17.- Una bola de 2 kg de masa está sujeta alextremo de una cuerda y se mueve en unacircunferencia de 1 m de radio. a) ¿Cuál ha deser la velocidad mínima de la bola en el puntomás alto de la trayectoria que permita comple-tar la trayectoria circular? b) Si la velocidaden el punto más alto de la trayectoria fuese eldoble de la calculada anteriormente, ¿cuálsería la tensión de la cuerda en dicho punto?c) Ídem cuando la partícula pasa por la posi-ción más baja.

7.18.- Un cazabombardero que está volando en

picado a la velocidad de 720 km/h sale del picado cambiando su trayectoria para describir una circunferencia vertical. a) ¿Cuál ha de ser el radio mínimo de ésta si la aceleración en el punto más bajo no debe exceder el valor de6 g . b) En esas condiciones, ¿cuál será el pesoaparente del piloto si su peso real es de 80 kg?

7.19.- Una partícula de masa m permanece enreposo en la cima de una hemiesfera de radio R que está apoyada por su base sobre unasuperficie horizontal. Cuando desplazamos

ligeramente la partícula de su posición deequilibrio, ésta comienza a deslizar sobre lasuperficie de la hemiesfera. a) ¿En qué posi-ción abandona la partícula la superficie de lahemiesfera? b) ¿Cuál es la velocidad de la

partícula en ese instante? c) ¿A qué distanciadel pie de la hemiesfera caerá la partículasobre el plano horizontal?

7.20.- Un automóvil cuyo peso es 1 200 kgcircula por una carretera recta con una veloci-dad constante de 72 km/h. El automóvil tomauna curva de 60° y 300 m de radio, mante-niéndose constante su celeridad. Calcular:a) El cambio en su cantidad de movimiento ala salida de la curva; b) la magnitud y direc-ción de la fuerza que actúa sobre el automóvil.¿Quién ejerce esa fuerza?

7.21.- Una pelota de baseball pesa 150 g ytiene una velocidad de 20 m/s un instante antesde ser golpeada con el bate. Después de ser bateada, su velocidad pasa a ser de 35 m/s ensentido contrario. a) Calcúlese el incremento

de su cantidad de movimiento y la impulsióndel golpe. b) Si la pelota está 2 ms en contactocon el bate, ¿qué valor tiene la fuerza mediadurante el golpe?

7.22.- Una bala de 2 g de masa sale de la bocade un fusil con una velocidad de 300 m/s. Lafuerza que actúa sobre la bala mientras recorreel cañón del fusil está dada por la expresión F = 400 - 400 000 t /3, estando F expresada ennewtons y t en segundos. a) Representar gráficamente F (t ). b) Calcular el tiempo que

emplea la bala en recorrer la longitud delcañón del fusil c) ¿Cuál es la longitud delcañón?

7.23.- Un automóvil pesa 1 000 kg y se muevecon una velocidad de 36 km/h cuando chocafrontalmente contra un muro muy resistente.¿Cuál es el cambio en la cantidad de movi-miento del automóvil y la fuerza promedio queactúa sobre el mismo si en 0.2 s: a) queda enreposo; b) si rebota con una velocidad de9 km/h. c) En ambos casos, discutir la conser-vación de la cantidad de movimiento durante

el choque.

7 . 2 4 . - Una

Prob. 7.24

corriente deagua va a dar cont ra unálabe perfec-tamente lisode una tur- b i n a , d emodo que lacorriente se

desvía, comose muestra en la figura, pero no se frena. Elcaudal de la corriente es y la sección cons-tante del chorro es A. Encontrar una expresiónque nos permita calcular la fuerza que ejerce




la corriente sobre el álabe.

7.25.- Una ametralladora dispara a un ritmo de4 proyectiles por segundo. Cada proyectil tieneuna masa de 10 g y lleva una velocidad de400 m/s en el instante en que incide sobre un blanco fijo en el que se detiene. a) ¿Cuál es lafuerza media ejercida sobre el blanco duranteun intervalo de tiempo grande en comparacióncon el que separa la llegada de los proyectiles?b) ¿Cuál es la fuerza media de retroceso queactúa sobre la ametralladora?

7.26.- Sobre el platillo de una balanza deresorte se coloca una caja y se ajusta la balan-za de modo que marque cero con la caja vacía.Dejamos caer un chorro de perdigones sobre elfondo de la caja, a razón de 20 perdigones por segundo. Cada perdigón pesa 200 mg y la

altura desde la que se dejan caer es 5 m. ¿Cuálserá la lectura de la balanza al cabo de 10 s deque los perdigones comenzasen a llenar lacaja?

7.27.- Una balanza de resorte está ajustada para leer el cero. Dejamos caer desde unaaltura de 5 m sobre el platillo de la balanza unchorro de perdigones, a razón de 20 perdigo-nes por segundo, que chocan contra el platillo,rebotan hacia arriba con la misma velocidad ysalen definitivamente del platillo. Si cada

perdigón pesa 200 mg, ¿cuál será la lectura dela balanza?

7.28.- Reloj de

Prob. 7.28

arena.- Sobre el plato de una balanzamonopla-to, muy sensible,colocamos unreloj de arena.Describir y expli-car la lectura dela balanza mien-

tras la arena pasad el d ep ós i tosuperior al infe-rior, en chorro constante, y cuando finalmenteya ha pasado al depósito inferior.

7.29.- Una partícula se mueve con una veloci-dad v0 = 40 m/s en el instante en que penetraen un medio resistivo que le presenta unafuerza resistente dada por F = -5v, con F medida en newtons y v en m/s. a) Calcular elvalor medio temporal de dicha fuerza durante

el tiempo necesario para que la velocidad de la partícula se reduzca a 1/e de su valor inicial.b) Ídem el valor medio espacial en eserecorrido.

7.30.- Dos partículas, A y B, limitadas amoverse sobre una recta, interaccionan entresí. La cantidad de movimiento de la partículaA viene dada en función del tiempo por pA = p0 - kt , donde p0 y k son constantes. a) Encon-trar la expresión de la cantidad de movimiento

de B suponiendo que ésta se encontrase inicial-mente en reposo. b) Ídem si la cantidad demovimiento inicial de B era - p0. c) Expresar lafuerza de interacción entre las partículas enfunción del tiempo.

7.31.- Un vagón con su carga pesa 15 Tm ycircula por una vía recta, sin rozamientos apre-ciables, con una velocidad de 18 km/h. Elvagón choca contra otro vagón vacío, de 8 Tm,que se encuentra en reposo sobre la misma víay queda enganchado a él. a) Calcular lavelocidad final del sistema. b) Suponiendo queel choque haya durado 0.1s, calcular la fuerza promedio durante el choque.

7.32.- Un núcleo radioactivo, inicialmente enreposo, se desintegra emitiendo un electrón yun neutrino en direcciones perpendicularesentre sí, cuyas cantidades de movimiento son10.3×10-21 kg m/s y 6.42×10-21 kg m/s, respec-tivamente. a) ¿En qué dirección retrocede elnúcleo residual? b) ¿Cuál es la cantidad demovimiento del núcleo residual?

7.33.- La masa del electrón es 9.11×10

-31

kg.Comparar las cantidades de movimiento delelectrón dadas por las expresiones clásicas yrelativista para velocidades de: a) 0.001c,b) 0.01c, c) 0.1c, d) 0.5c y e) 0.95c. Dato:velocidad de la luz en el vacío, c =2.998×108 m/s.

7.34.- Los dos blo-

Prob. 7.34

ques de la figuraestán unidos por una cuerda homo-génea que pesa2 kg. Las masas delos bloques sonm1 = 10 kg y m2 =5 kg. Calcular latensión en los ex-tremos y en el punto medio de lacuerda.

7.35.- En cada unode los sistemas representados en la figura, cal-cular las aceleraciones que adquieren cada uno

de los cuerpos que intervienen y las tensionesen las cuerdas. En todos los casos, supóngaseque las superficies son lisas (sin rozamiento),que las cuerdas son flexibles, inextensibles yde masas despreciables y que las poleas tienen



Problemas 185

masas despreciables y fricción nula. En todoslos casos, resolver primero el problema alge- braicamente y luego obtener la solución numé-rica para m1 = 5 kg, m2 = 3 kg, F = 40 N, α =30° y β = 60°.

7.36.- Las masas de los

Prob. 7.36

cuerpos A y B, en lafigura son 2 kg y 1 kgrespectivamente. Ini-cialmente ambas masasse encuentran en reposo sobre el suelo. Lacuerda que las une pasa por la garganta deuna polea ligera y sinfricción. Determinar laaceleración de cadamasa y la tensión de la

cuerda cuando se apli-ca una fuerza hacia arriba de: a) 1 kg, b) 2 kg,c) 3 kg y d) 5 kg.

7.37.- Un albañil, que pesa 70 kg, está de pie

Prob. 7.37

Prob. 7.35

sobre una plataforma de aluminio de 10 kg de peso. Una cuerda sujeta a la plataforma pasa por una polea fija a la parte alta de la casa, demodo que el albañil puede elevarse a símismo tirando delextremo libre de la

cuerda (vide figura).a) ¿Qué fuerza debeejercer el albañil sobrela cuerda para man-tenerse en reposo omoverse con velocidadconstante. b) Ídem paraacelerarse hacia arribaa razón de 0.5 m/s2.c) Ídem para descender con una aceleración de1 m/s2.



8.- Las fuerzas de la Naturaleza.

§8.1. Las leyes de las fuerzas (187); §8.2. Las fuerzas fundamentales (188); §8.3. Fuerzasgravitatorias (190); §8.4. Fuerzas electromagnéticas (191); §8.5. Fuerzas nucleares (194);§8.6. Interacción débil (195); §8.7. Fuerzas moleculares (196); §8.8. Fuerzas de rozamiento(198); §8.9. Rozamiento. Estudio experimental (199); §8.10. Ángulos de rozamiento (202);§8.11. Rozamiento. Estudio microscópico (203); §8.12. Fuerzas de rozamiento en losfluidos (205); §8.13. Fuerzas de ligadura (206); §8.14. Fuerzas de inercia (209);§8.15. Estática de la partícula. Principio de D’Alembert (214); Problemas (216)

§8.1. Las leyes de las fuerzas.- Las tres leyes del movimiento que hemosestudiado en las dos lecciones precedentes no resuelven por sí solas el problemacentral de la Mecánica Clásica de las partículas; esto es, dada una partícula cuyascaracterísticas físicas (masa, carga eléctrica, ...) conocemos, colocada en un cierto

ambiente del que tenemos una descripción completa, ¿cuál será el movimientosubsiguiente de la partícula?

De acuerdo con el método de trabajo que nos propusimos seguir, ya hemosdefinido el concepto de fuerza (en función de la aceleración que adquiere un ciertocuerpo patrón) y el concepto de masa (estableciendo un procedimiento que nos

permite asignar una masa a cada cuerpo). Sólo nos falta investigar las leyes de las fuerzas, esto es, los procedimientos que nos permitan calcular la fuerza que actúasobre la partícula a partir de las propiedades de la misma y de su medio ambiente.Entonces completaremos nuestro programa y podremos dar por resuelto el problema.

No debemos considerar la segunda ley del movimiento[8.1] F m a

como una ley de la Naturaleza, sino más bien como una definición de fuerza. Estáclaro que podemos utilizar la segunda ley de Newton para medir la fuerza F queactúa sobre la partícula de masa m, a través de una medida de su aceleración a. Peroel concepto de fuerza juega un papel central en la Física y la ec. [8.1] debeinterpretarse más bien del siguiente modo: conocida la fuerza, la ec. [8.1] nosdetermina la aceleración, o sea el movimiento de la partícula. Por consiguiente, el

papel del físico es descubrir cuáles son las fuerzas que existen en la Naturaleza yaque, una vez conocidas, el problema se reducirá a buscar la solución de la ec. [8.1],




§8.2.- Las fuerzas fundamentales. 189

expresiones de dichas leyes de fuerza habrá que suponerlas (como hipótesis detrabajo) y obtenerlas experimentalmente.

Como ejemplos, un bloque que se desliza sobre un tablero experimenta unafuerza de rozamiento que es aproximadamente proporcional a la fuerza normal quehace el bloque contra el tablero; una esferilla que cae en un fluido viscoso está

sometida a una fuerza viscosa que se opone a su movimiento y que es aproximada-mente proporcional a su velocidad; la fuerza que ejerce un muelle estirado esaproximadamente proporcional a su deformación. Todas estas leyes de las fuerzas sonleyes empíricas y, como vemos, aproximadas; i.e., no son leyes fundamentales de la

Naturaleza.

Sin embargo, las dos fuerzas fundamentales anteriormente mencionadas, lasgravitatorias y las electromagnéticas, no son suficientes para describir todos losfenómenos de la Física. El estudio de los fenómenos a escala nuclear y de partículaselementales pone de manifiesto la existencia de otras dos fuerzas fundamentales: la

asociada a la denominada interacción fuerte, que mantiene juntos los nucleones(protones y neutrones) del núcleo atómico y la asociada a la llamada interaccióndébil , que existe entre las partículas elementales.

Las fuerzas gravitatorias y las electromagnéticas son fuerzas de largo alcance;esto es, son efectivas a largas distancias y, por eso mismo, son responsables de losfenómenos a gran escala. Las fuerzas nucleares y las de interacción débil son fuerzasde corto alcance de modo que sus efectos sólo resultan evidentes a la escala nuclear.Sin embargo estas fuerzas desempeñan un papel crucial en nuestra existencia. La vidaen la Tierra es posible gracias a la energía que, en forma de radiación luminosa,recibimos del Sol, energía que en último análisis procede de los procesos nucleares

que tiene lugar en el Sol.Resumiendo, todas las fuerzas distintas observadas en la Naturaleza pueden

explicarse hoy día en función de cuatro interacciones fundamentales o básicas queocurren entre las partículas elementales:

(1) Fuerzas gravitatorias.

(2) Fuerzas electromagnéticas.

(3) Fuerzas de la interacción fuerte.

(4) Fuerzas de la interacción débil .

y parece ser que no hay necesidad de ninguna otra fuerza fundamental adicional paraexplicar todos los fenómenos conocidos hoy día. Es imposible, en el estado actual dela Física, decir porque existen estas fuerzas y nos contentamos con escribir losmovimientos en función de ellas.

Por otra parte, es posible que las interacciones fundamentales no seancompletamente independientes, pero la relación existente entre ellas no ha sidoestablecida aún de una forma satisfactoria. Experimentos recientes con partículaselementales en el dominio de muy altas energías parecen indicar una conexión entrela interacción electromagnética y la interacción débil. Quizás, con el tiempo, seamos

capaces de basar nuestra descripción de toda la Naturaleza en sólo una o dosinteracciones fundamentales, pero de momento tenemos que basarla en las cuatrointeracciones básicas descritas.



190 Lec. 8.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación...

§8.3. Fuerzas gravitatorias.- La fuerza de atracción gravitatoria entre doscuerpos es un fenómeno universal: todas las partículas ejercen entre sí una fuerzagravitatoria de atracción. La ley de gravitación universal fue descubierta por Newtony publicada en 1686. Esta ley puede enunciarse así:

Toda partícula material del Universo atrae a cualquier otra partícula con unafuerza que es directamente proporcional al producto de las masas de ambas

partículas, inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que lassepara y dirigida según la recta que las une.

Esto es, la fuerza F21 con que una partícula de masa m1 atrae a otra partícula de

Figura 8.1

masa m2 viene dada por

[8.3] F21 G m1m2

r

2

21

e21

donde r21 = r 21e21 es el vector de posición de la partícula 2 respecto a la 1, e21 es el vector dirigido de la partícula 1 a la 2 (Figura 8.1) y Ges una constante universal, denominada cons-tante de Gravitación Universal , cuyo valor,determinado experimentalmente, es

[8.4]G 6.672 0 × 10 11 N m2

kg 2

El signo negativo en la ec. [8.3] indica que la fuerza gravitatoria está dirigida haciam1, o sea que es una fuerza de atracción. La expr. [8.3] puede aplicarse para calcular la fuerza que m2 ejerce sobre m1 (bastará intercambiar todos los subíndices 1 y 2). Lafuerza F12, así obtenida, tiene el mismo módulo y dirección de la fuerza F21, pero susentido es opuesto al de ésta, ya que el versor e12 es opuesto al versor e21. Así, en

principio, la ley de gravitación de Newton cumple los requisitos de la ley acción-reacción.

La proporcionalidad inversa al cuadrado de la distancia que aparece en la ley de

la gravitación universal ya fue sospechada por HOOKE (1635-1703) y otros científicoscontemporáneos de Newton. Pero fue Newton1 quien consiguió deducir la ley de lagravitación universal a partir de las leyes de K EPLER (1571-1630) y de sus propiasleyes del movimiento.

La ley de gravitación de Newton se refiere a la fuerza entre dos partículas.¿Cómo puede aplicarse para calcular la fuerza gravitatoria entre dos cuerpos de uncierto tamaño?. Evidentemente, el procedimiento a seguir será aplicar la ec. [8.3] entretodas las parejas de partículas que podamos formar tomando una partícula de cadacuerpo y sumando los resultados parciales obtenidos (Figura 8.2). Esta operación exige

1 Parece existir alguna evidencia de que Newton llegase a la deducción de esta ley a partir desus reflexiones sobre la caída de una manzana, pero los primeros cálculos para justificar suexactitud se referían al movimiento de la Luna alrededor de la Tierra.



§8.3.- Fuerzas gravitatorias. 191

recurrir al calculo integral y, aunque no

Figura 8.2

es difícil, la pospondremos para cuandoestudiemos con más profundidad, enuna lección posterior, la ley degravitación. Por ahora nos confor-

maremos con aceptar la hipótesisformulada por Newton (que demostró

posteriormente tras inventar el cálculodiferencial e integral2) de que la fuerzagravitatoria ejercida por o sobre unaesfera homogénea es la misma que se tendría si toda la masa de la esfera estuvieraconcentrada en su centro. De acuerdo con este enunciado no tendremos ningunadificultad para calcular la fuerza gravitatoria entre un pequeño cuerpo y la Tierra, oentre ésta y la Luna.

Al ser tan pequeño el valor de la constante de gravitación universal, G, laatracción gravitatoria sólo puede apreciarse entre cuerpos de gran masa o si se toman

precauciones extremas para evitar cualquier otra perturbación que pueda actuar sobrelos cuerpos.

A modo de ejemplo calcularemos la magnitud de la fuerza gravitatoria existente entre dos bolas de plomo de 1 kg de masa cada una, cuando sus centros están separados 10 cm. Tratando las bolas como si la masa de cada una de ellas estuviese concentrada en su centro, obtendremos unafuerza extraordinariamente pequeña:

[8.5] F 6.672 × 10 11 1 1

0.12 6.672 × 10 9 N ≈ 10 µg

En cambio, si repetimos el cálculo para la fuerza gravitatoria entre la Tierra y la Lunaencontraremos una fuerza muy grande:

[8.6] F 6.672 × 10 11 7.35 1022 5.98 1024

(3.84 × 108)2 ≈ 2 × 1020 N

§8.4. Fuerzas electromagnéticas.- Las fuerzas ejercidas entre dos partículasa causa de su carga eléctrica se denominan fuerzas electromagnéticas. La descripciónde estas fuerzas es considerablemente más complicada que la correspondiente a lasfuerzas gravitatorias.

Por una parte, la fuerza electromagnética entre dos partículas cargadas en reposo,la llamada fuerza electrostática, puede ser atractiva o repulsiva, en tanto que la fuerzagravitatoria es siempre atractiva.

Una complicación aún mayor surge cuando las partículas se encuentran enmovimiento, pues entonces a la fuerza electrostática se superpone la llamada fuerzamagnética, que es función de las velocidades de las partículas cargadas interactuantesy que generalmente no actúa según la recta que une ambas partículas. Normalmenteutilizaremos el término de fuerza electromagnética para indicar que los dos efectos,

2 En realidad, Newton ideó el Cálculo de Fluxiones, antecedente del actual Cálculo Diferenciale Integral.



§8.4.- Fuerzas electromagnéticas. 193

Una importante propiedad de la carga eléctrica es que está cuantizada; esto es,la carga eléctrica siempre tiene la magnitud Ne, en donde N es un número entero ye una unidad fundamental de carga igual a la magnitud de la carga eléctrica de unelectrón o de un protón. Todas las partículas elementales conocidas poseen una carga+e, -e o nula. La unidad fundamental de carga, en unidades del sistema SI (mks), o

sea en coulombs (C) es[8.11]e 1.602 × 10 19 C

Las fuerzas coulombianas se superponen a las fuerzas gravitatorias, que estánsiempre presentes. Como ambas fuerzas, la electrostática y la gravitatoria, varían enrazón inversa al cuadrado de la distancia entre las partículas, la relación entre ellases independiente de la separación entre las partículas. Podemos así comparar lasintensidades relativas de estas dos fuerzas entre partículas elementales, tales comodos protones o dos electrones. La masa del protón es m p = 1.673×10-27 kg y su carga

es +e = 1.602×10-19

C, de modo que la relación entre la fuerza electrostática F e y lagravitatoria F g para dos protones a cualquier separación es:

[8.12] F e F g

k G

e 2

m 2 p

≈ 10 36

Como los electrones poseen una masa que es me ≈ m p/1836, la relación F e/ F g parados electrones es aún mayor (≈4×1042).

Así pues, la fuerza gravitatoria entre dos partículas elementales es tan pequeñafrente a la fuerza electrostática que puede despreciarse al describir la interacción. Por lo tanto, sólo la fuerza electrostática es importante en la descripción de los sistemasatómicos. En el núcleo atómico, la fuerza nuclear es aún más potente que la fuerzaelectrostática entre los protones que lo constituyen, pero no tanto como para que éstasea siempre despreciable. Muchos fenómenos importantes a nivel del núcleo atómicoson consecuencia de las fuerzas electrostáticas.

Cuando las cargas eléctricas están en movimiento, a las fuerzas electrostáticas se

Figura 8.4

superponen otras, las fuerzas magnéticas, que dependen de las velocidades de las partículas y que generalmente no actúan según la recta que une las partículasinteractuantes, por ser fuerzas deflectoras; esto es, que tienen siempre una dirección

normal a la velocidad de la partícula cargada sobre la que actúan. No vamos ahoraa entrar en más detalles acerca de esta fuerza, nitan siquiera nos va a preocupar la expresióncorrecta de la ley de fuerza entre dos cargaseléctricas puntuales que se mueven de modoarbitrario, la una con respecto a la otra, puestoque resulta demasiado complicado para hacerlosin entrar más a fondo en el tema. Nos confor-maremos con escribir la llamada fórmula de

Lorentz:

[8.13] F q ( E v × B )




que nos permite calcular la fuerza electromagnética que actúa sobre una carga q quese mueve con una velocidad v en un campo electromagnético definido por la intensi-dad eléctrica E y la inducción magnética B.

§8.5. Fuerzas nucleares.- Las dos interacciones que acabamos de describir,

la gravitatoria y la electromagnética, son las únicas que necesitamos tener en cuenta para explicar el movimiento de los objetos cotidianos y aun para explicar elcomportamiento de los sistemas atómicos. Sin embargo, cuando profundizamos dentrodel átomo e indagamos acerca de la naturaleza de las fuerzas que actúan entre loscomponentes de su núcleo, encontramos que las fuerzas gravitatorias yelectromagnéticas no son ya apropiadas para describir los fenómenos que observa-mos.

Como ya sabemos, el núcleo atómico es extraordinariamente pequeño, siendo suradio del orden de 10-15 m (1 fm) y está compuesto por protones (p), partículas ele-

mentales con carga positiva, y neutrones (n), que no tienen carga eléctrica. Entre los protones que constituyen el núcleo atómico existe una fuerza coulombiana repulsivamuy fuerte que no puede ser compensada por la fuerza gravitatoria (atractiva) entrelos componentes del núcleo (los nucleones) pues, como hemos visto anteriormente,la magnitud de ésta es despreciable frente a la de aquélla. Como observamos que ungran número de núcleos son estables, es obvio que debe existir una fuerza atractivaextraordinariamente fuerte que actúe en el interior del núcleo y compense a la fuerzade repulsión coulombiana que tiende a romperlo.

A modo de ejemplo numérico, calcularemos aproximadamente la magnitud de la fuerzaelectrostática entre dos protones en un núcleo típico. Así, consideramos el núcleo de helio (4He)

que está constituido por dos protones y dos neutrones, contenidos en un volumen de un radio de2×10-15 m, aproximadamente. A esa distancia, la fuerza electrostática entre los protones es

[8.14] F e k e2

r 2 9×109 (1.6×10 19)2

(2×10 15)2 ≈ 58 N ≈ 6 kg

que es una fuerza repulsiva enorme. Sin embargo, el núcleo 4He es muy estable.

El resultado anterior nos indica que debe existir una fuerza atractiva extraordina-riamente fuerte entre los componentes del núcleo. Esta fuerza es la que denominamos

fuerza nuclear , también llamada fuerza de interacción fuerte para distinguirla de la

fuerza de interacción débil que actúa entre todas las partículas elementales.La fuerza nuclear actúa entre dos protones (p-p), entre dos neutrones (n-n) yentre un protón y un neutrón (p-n), pero sólo si las partículas están muy próximas.Esto es, la fuerza nuclear es de corto alcance. Hoy sabemos que las fuerzas p-n y n-nson esencialmente idénticas y que, aparte la porción coulombiana, la fuerza p-p esla misma que la n-n o la p-n. Puesto que los protones y los neutrones tienen muchas

propiedades comunes (excepto, principalmente, la carencia de carga eléctrica en elneutrón), estas partículas reciben el nombre genérico de nucleones. En lo que siguehablaremos de fuerzas nucleón-nucleón, incluyendo así de una vez las tres posiblescombinaciones.

Cuando la distancia entre dos nucleones es del orden de 1 fm (fermi) la fuerzanuclear entre ellos es atractiva y unas 100 veces más intensa que la fuerza eléctricarepulsiva que existe entre dos protones a esa misma distancia. Pero la fuerza nuclear es de corto alcance, siendo su radio de acción como mucho del orden del radio nu-



§8.5.- Fuerzas nucleares. 195

clear, de modo que fuera de ese alcance deja de

Figura 8.5

existir bruscamente.

La fuerza nuclear no es enteramente atrac-tiva, ya que para distancias muy pequeñas esrepulsiva; de ese modo se evita que el núcleo

atómico se colapse. En la Figura 8.5 se representaesquemáticamente la variación de la fuerza nu-clear entre dos nucleones en función de ladistancia que los separa.

En el momento presente no existe una leyde fuerza para las fuerzas nucleares. Es más, enla Física Nuclear no pensamos en términos de fuerza al describir la interacción entredos nucleones sino que encontramos preferible utilizar el concepto de energía deinteracción. Cualquier fórmula que escribamos en términos de las fuerzas no será más

que una grosera aproximación que omitirá muchas complicaciones. Así ocurre cuandodecimos que las fuerzas nucleares no decrecen simplemente con el cuadrado de ladistancia, sino que incluyen un factor de decrecimiento exponencial con la distancia,de forma que escribimos

[8.15] F K

r 2 e

r r 0 ( para r > r 0 )

donde r 0≈10-15 m y, además, cuando r r 0 la fuerza nuclear desaparece. La ec. [8.15]

corresponde a la fuerza nuclear derivada del potencial de YUKAWA. En nuestro

estado actual de conocimientos, la ley de la fuerza nuclear resulta muy compleja yno podemos entenderla por un camino simple. Al tratar con partículas tan pequeñasy tan cortas distancias, las leyes de la Mecánica Newtoniana pierden validez y debenser sustituidas por las de la Mecánica Cuántica. El problema total de analizar elmecanismo íntimo que conduce a la aparición de las fuerzas nucleares está aún por resolver.

Para terminar nuestra breve y elemental exposición sobre las fuerzas nuclearesdiremos que este tipo de interacción no es exclusivo de los nucleones (protones yneutrones) sino que existe una amplia variedad de partículas elementales, llamadashadrones que interaccionan por medio de la fuerza nuclear fuerte. Los hadronesincluyen los mesones de muchos tipos ( piones, kaones, ...) y los bariones, que a suvez incluyen a los nucleones y a otras partículas pesadas. En cambio, otras partículaselementales más ligeras no participan de este tipo de interacción; son los leptones,que incluyen los electrones, positrones, muones y neutrinos.

§8.6. Interacción débil.- En el proceso radioactivo de desintegración β de unnúcleo, el núcleo padre emite un electrón y un neutrino; podemos expresar ese

proceso por

[8.16] A

Z (núcleo) → A

Z 1(núcleo) e νe




lo que equivale a considerar que un neutrón del núcleo padre ha experimentado una

Tabla 8.1.- Magnitudes relativas de las cuatro interacciones fundamentales. Hemos asignado lamagnitud unidad a la fuerza nuclear.

Tipo de interacción p-p p-n, n-n e-p e- ν

nuclear 1 1 0 0

electromagnética 10-2 0 10-2 0

débil 10-13

10-13

10-13

10-13

gravitatoria 10-38 10-38 10-41 0

desintegración β,

[8.17]n → p e νe

de modo que se obtiene un núcleo hijo con un protón más y un neutrón menos queel padre (isóbaro).

Del mismo modo que dos hadrones (dos nucleones por ejemplo) interaccionanfundamentalmente a través de la fuerza de la interacción fuerte, el electrón y elneutrino lo hacen (exclusivamente) por la fuerza de interacción débil . Esta fuerzadébil es la responsable de la desintegración β.

Se había pensado que la interacción débil no aparecería más que con la presenciade neutrinos y otros leptones, pero también parece dirigir las desintegraciones lentasde las llamadas partículas raras aun cuando no se detecte ningún leptón. Lainteracción débil existe entre todo par de partículas elementales, por lo que también

se la denomina interacción universal de Fermi. La interacción débil es la única queexiste entre los electrones y los neutrinos, pero también existe entre los nucleones,aunque es mucho más débil que la interacción fuerte y la interacción electromagnéti-ca. La relación entre la fuerza débil y la fuerza nuclear es 1:1013, lo que nos permitedespreciar las "fuerzas débiles" cuando están en juego las nucleares.

Para terminar, y a modo de resumen, en la Tabla 8.1 presentamos las magnitudesrelativas de las cuatro fuerzas fundamentales que actúan entre diversos pares de

partículas elementales, para pequeñas distancias del orden de 10-15 m. Arbitrariamen-te, hemos asignado la magnitud unidad a las fuerzas nucleares.

§8.7. Fuerzas moleculares.- Las fuerzas que actúan entre las moléculasreciben el nombre de fuerzas moleculares. Estas fuerzas no tienen carácter fundamental, en el sentido en que lo son las cuatro fuerzas básicas estudiadasanteriormente, ya que son manifestaciones complejas de la interacción electromagné-tica básica entre los electrones y núcleos de una molécula con los de otra. Lasfuerzas moleculares no han podido ser explicadas dentro del formulismo de la



§8.7.- Fuerzas moleculares. 197

Mecánica Clásica; sus detalles sólo pueden comprenderse dentro de la estructura dela Mecánica Cuántica. Sin embargo, podemos encontrar descripciones empíricassatisfactorias que nos pueden ser muy útiles en la comprensión de las fuerzasmoleculares. Se nos presentan diferentes casos.

Así, por ejemplo, en una molécula de agua (H2O), la carga negativa está más

ligada al átomo de oxígeno que a los átomos de hidrógeno, de modo que la posiciónmedia de las cargas eléctricas negativas y de las positivas no coinciden en un mismo

punto. Las moléculas que tiene esta propiedad se llaman moléculas polares y estáncaracterizadas por su momento dipolar , que se define como el producto de la carga

por la distancia entre sus centros. En el caso de las moléculas polares, la fuerzamolecular es relativamente intensa.

En otros casos, como en el de la molécula de oxígeno (O2) que es muy simétrica,la carga eléctrica está más distribuida, de modo que coinciden en un mismo puntolas posiciones medias de las cargas positivas y negativas. Estas son las llamadas

moléculas no-polares y para ellas las fuerzas intermoleculares son menos intensas.Para las moléculas no-polares cabría esperar que todas las fuerzas eléctricas seneutralizasen; sin embargo es un hecho bien comprobado la existencia de una fuerzaatractiva para distancias grandes en comparación con el tamaño de la molécula. Esafuerza, en primera aproximación, varía en razón inversa a la séptima potencia de ladistancia, esto es

Figura 8.6

[8.18] F k

r 7

donde k es una constante para cada especiemolecular. La ec. [8.18] corresponde a la lla-mada fuerza de Van der WAALS y para com-

prenderla se debe recurrir a los métodos me-cano-cuánticos. Cuando las moléculas son

polares la atracción es más fuerte.

Además, las fuerzas moleculares, aligual que vimos que ocurre con las fuerzasnucleares, no son estrictamente atractivas,sino que para pequeñas distancias son fuerzas repulsivas que tienden a alejar las

moléculas. Estas fuerzas repulsivas son las que nos permiten estar sobre el suelo sinque pasemos a través de él. En la Figura 8.6 representamos la variación de la magnitudde la fuerza molecular entre dos moléculas en función de la distancia que las separa.

Así pues, las fuerzas moleculares son atractivas a gran distancia (relativa altamaño de la molécula) y repulsivas cuando las moléculas están muy próximas. Parauna cierta distancia r 0 la fuerza molecular es nula, lo que significa que todas lascomplejas interacciones electromagnéticas se compensan, de modo que a esa distanciael sistema formado por las dos moléculas se encuentra en equilibrio. Si a partir deesa posición tratásemos de aproximarlas, aunque solo fuera ligeramente, enseguida

aparecerían las fuerzas repulsivas que se oponen a esa aproximación: se requeriríauna fuerza externa extraordinariamente grande para aproximar las moléculas más alláde su posición de equilibrio pues, como muestra la gráfica de la Figura 8.6, la fuerzarepulsiva aumenta rápidamente para distancias inferiores a r 0. Por otra parte, si




tratásemos de separarlas ligeramente, aparecería una fuerza atractiva que aumentaríaen intensidad conforme creciese la separación entre las moléculas; pero si la fuerzaexterna fuese suficientemente intensa, entonces podríamos separarlas definitivamente,esto es, romperíamos el enlace.

La gráfica de la Figura 8.6 nos muestra también que para pequeños desplazamien-

tos con respecto a la posición de equilibrio r 0, la fuerza molecular (atractiva orepulsiva) es proporcional al desplazamiento. Este resultado es conocido como ley de

Hooke o ley de la elasticidad, aplicable en muy diversas situaciones, y nos dice quecuando un cuerpo o un sistema experimenta una deformación aparece una fuerzarestauradora que trata de devolverlo a las condiciones originales, y que dicha fuerzaes proporcional a la magnitud de la deformación. La ley de Hooke puede escribirseen la forma

[8.19] F k ( r r 0 ) k ∆r

donde ∆r es la magnitud de la deformación y el signo negativo indica que la fuerzaes recuperadora. La constante k que aparece en la ec. [8.19] depende de la naturalezadel sistema y debe determinarse experimentalmente. La ley de Hooke sólo es válida

para deformaciones relativamente pequeña; si la deformación es relativamente grandeno existirá una relación lineal entre ésta y la fuerza recuperadora; y si es aún másgrande puede que ni tan siquiera exista fuerza recuperadora y que el sistemamantenga permanentemente la deformación o que se rompa.

Para terminar esta exposición de carácter general sobre las fuerzas molecularesdiremos que éstas son responsables de un gran número de fenómenos que se

presentan a escala macroscópica. Así, las llamadas fuerzas de contacto son, en últimoanálisis, fuerzas entre moléculas. También es ese el caso de las fuerzas de cohesiónque actúan entre las moléculas de una misma especie, de las fuerzas de adhesión queactúan entre moléculas de distinta especie (entre líquido y sólido, por ejemplo), delas fuerzas de tensión superficial en los líquidos, que junto con las anteriores danlugar a los fenómenos de capilaridad, de las fuerzas de rozamiento entre sólidos y delas fuerzas de viscosidad que se oponen al movimiento interno de los fluidos realesy al movimiento de los sólidos en el seno de aquéllos, de las fuerzas elásticas queaparecen en los muelles extendidos o comprimidos o en cualquier cuerpo realsometido a tensión o comprensión, etc ... Todas ellas son manifestaciones de las

fuerzas intermoleculares y, en último término, de la interacción electromagnética básica.

§8.8. Fuerzas de rozamiento.- Las fuerzas de rozamiento están clasificadasentre aquellas fuerzas pasivas que tratan de impedir o retardar el movimiento,independientemente de la dirección en que dicho movimiento tenga lugar o tienda atenerlo. Si lanzamos un bloque, de masa m, a lo largo del tablero horizontal de unamesa, con una velocidad inicial v0, la experiencia nos enseña que su velocidad no

permanece constante, sino que disminuye gradualmente hasta que el bloque se

detiene; esto es, el bloque experimenta una cierta aceleración a en sentido opuestoal de su movimiento. Si en un referencial inercial observamos que un cuerpo estáacelerado debemos pensar que sobre él está actuando una fuerza resultante en lamisma dirección y sentido que la aceleración. Evidentemente, sobre el bloque de



§8.8.- Fuerzas de rozamiento. 199

nuestro experimento están actuando dos fuerzas en la dirección vertical: el peso P del bloque y la reacción normal N del tablero sobre el bloque. Esas dos fuerzas debenequilibrarse ya que no se observa aceleración alguna en la dirección vertical. Comoexiste una aceleración en la dirección horizontal y en sentido opuesto al delmovimiento declararemos que sobre el bloque está actuando una fuerza de rozamien-

to, ejercida por el tablero, cuyo valor es m a.En realidad, siempre que la superficie

Figura 8.7

de un cuerpo desliza sobre la de otroaparecen las fuerzas de rozamiento, queson paralelas a las superficies y obransobre cada uno de los cuerpos en tal senti-do que se oponen al movimiento relativo.Las fuerzas de rozamiento siempre seoponen al movimiento y nunca lo ayudan.Aunque no haya movimiento relativo

puede haber rozamiento entre las superficies: basta con que haya una tendencia almovimiento como consecuencia de la acción de otras fuerzas que actúen sobre loscuerpos en contacto. En este último caso hablaremos de rozamiento estático encontraposición al rozamiento cinético que se presenta cuando hay movimientorelativo.

El rozamiento desempeña un papel muy importante en la vida diaria. En general, el rozamientoestático nos resulta útil y es difícil imaginar como sería la vida sin él. Sin el rozamiento estáticono podríamos caminar como lo hacemos, no podríamos sostener un lápiz entre nuestros dedos y,si lo consiguiéramos, no podríamos escribir con él, no sería posible el transporte sobre ruedas (talcomo lo conocemos) y ni siquiera sería posible fabricar cuerdas y tejidos ya que su resistencia ydurabilidad depende del rozamiento entres sus fibras. También la acción de las bandas, poleas ytransmisiones del movimiento en la maquinaria sería imposible sin el rozamiento estático. Encontrapartida, el rozamiento cinético es por lo general un inconveniente. Al actuar sólo la fuerzade rozamiento se detendrá cualquier cuerpo que se encuentre en movimiento. Tendremos queconsumir energía para mantener en movimiento uniforme un automóvil, un avión, un barco, ... ouna máquina cualquiera. Además, el rozamiento cinético hace que se desgasten las partes móvilesde las máquinas; en ingeniería se dedican muchas horas-hombre para reducirlo. En cambio, tenemosa favor del rozamiento cinético, entre otras pocas cosas, la acción del embrague de un automóvil(en la arrancada) y la de los frenos.

§8.9. Rozamiento. Estudio experimental.- Supongamos un bloque en repososobre un tablero horizontal, como se muestra en la Figura 8.8, y apliquémosle unafuerza horizontal cuya magnitud F podemos variar (tribómetro). Encontraremos quecuando la magnitud de la fuerza F es suficiente pequeña el bloque permanece enreposo sobre el tablero; la fuerza F está contrarrestada por una fuerza de rozamiento(estático), f s, en la misma dirección pero en sentido opuesto al de la fuerza aplicada,ejercida por el tablero y que obra en la superficie de contacto. Conforme vamosaumentando la magnitud de la fuerza aplicada F nos iremos acercando a un valor límite para el cual el movimiento es inminente. Hasta alcanzarse ese valor límite, lafuerza de rozamiento estático irá creciendo de modo que en todo momento contrarres-te exactamente a la fuerza aplicada F. En esa situación límite diremos que el tableroejerce una fuerza de rozamiento estático máxima sobre el bloque. Cuando aumen-temos, aunque sólo sea ligeramente, la intensidad de la fuerza aplicada por encimade ese valor límite, observaremos que el bloque se pone en movimiento, y que dicho




movimiento es acelerado. Se demuestra así

Figura 8.8

que, una vez iniciado el movimiento, lafuerza de rozamiento disminuye; esto es, lafuerza de rozamiento cinético es menor quela de rozamiento estático máxima. Si

después de iniciado el movimientoreducimos la intensidad de la fuerza F

aplicada a un valor conveniente, en-contraremos que es posible conservar el

bloque en movimiento uniforme; estafuerza puede ser pequeña pero no nula.

Quisiéramos ahora expresar las fuerzasde rozamiento en función de las propie-dades del cuerpo (el bloque) y de su medioambiente (el tablero); esto es, conocer laley de fuerza para el rozamiento. Comoveremos más adelante, al analizar el roza-miento a nivel microscópico, el rozamientoes un fenómeno extremadamente complejo,ya que representa a nivel macroscópico elvalor promedio de un enorme número deinteracciones que ocurre a nivel microscó-

pico. No podemos, pues, esperar una ley defuerza para el rozamiento que tenga la elegante simplicidad y exactitud de la ley de

gravitación universal o de la ley de la electrostática. Las leyes a que obedece lafuerza de rozamiento son leyes macroscópicas y empíricas que son sólo aproximadasen sus predicciones. Sin embargo, es notable que, considerando la gran variedad desuperficies que encontramos, podamos entender muchos aspectos de la forma en queocurre el rozamiento en base a un formulismo relativamente sencillo. En este artículoconsideraremos únicamente el deslizamiento (no la rodadura) entre dos superficiessecas (no lubricadas).

Los primeros antecedentes del estudio experimental del rozamiento se remontana Leonardo da VINCI (1452-1519), quien encontró que la fuerza de rozamiento entredos superficies es proporcional a la carga (fuerza normal entre las superficies) eindependiente de la superficie de contacto. El enunciado de da Vinci relativo a estasdos leyes es notable, sobre todo si consideramos que se hizo dos siglos antes de que

Newton desarrollarse por completo el concepto de fuerza. Estas leyes del rozamientofueron redescubiertas por AMONTONS (1663-1705) en 1699 y comprobadas en 1781en Charles A. COULOMB, que fue el primero en señalar la diferencia entre rozamientoestático y cinético. El trabajo de estos investigadores condujo a la formulación de lasdos leyes para la fuerza de rozamiento estático entre superficies no lubricadas:

El valor máximo de la fuerza de rozamiento estático ...

(1) ... es aproximadamente independiente del área (macroscópica) decontacto, dentro de unos límites muy amplios.

(2) ... es proporcional a la fuerza normal de presión entre las superficies encontacto.




esfuerzo para separarlas de nuevo. En estas condiciones la misma idea de coeficiente de rozamiento

Tabla 8.2.- Valores de los coeficientes de rozamiento estático y cinético para varios materiales.

material µs µk material µs µk

hielo - hielo 0°C 0.05 - 0.15 0.02 hierro-hierro 1.2 0.15

madera - madera 0.25 - 0.50 0.2 - 0.5 cobre-cobre 1.6 - 3 0.3

madera - metal 0.20 - 0.60 0.2 - 0.5 níquel-níquel 3.0 0.53

madera - ladrillo 0.30 - 0.40 0.2 - 0.3 caucho-sólido 1. - 4. 0.9 - 1.2

vidrio - metal 0.50 - 0.70 0.4 - 0.6 teflón-teflón 0.04 0.04

acero - acero 0.74 - 0.78 0.42 - 0.57

pierde todo significado. Incidentalmente, la propensión de las superficies a agarrarse aumenta conel tiempo de contacto y si queremos evitar un riesgo excesivo de agarrotamiento es conveniente quelas hagamos deslizar o separarse antes de que sea demasiado tarde. En general, el coeficiente derozamiento estático tiende a aumentar con el tiempo de contacto precedente. También, de ordinario,el coeficiente de rozamiento estático (para una misma carga) suele aumentar si las superficies encontacto han sido presionadas una contra otra con anterioridad.

La tercera ley del rozamiento dice que el coeficiente de rozamiento cinético es independientede la velocidad, pero esto sólo es cierto entre unos límites bastantes estrechos. La comprobaciónexperimental de esta ley exige una experimentación sumamente cuidadosa porque el rozamientoaparente entre dos superficies se reduce considerablemente si las superficies vibran muy rápidamen-te. Cuando el experimento se hace a muy altas velocidades debemos asegurarnos que el descensoque se observe en el valor del coeficiente de rozamiento no se deba precisamente a la existenciade esas vibraciones.

§8.10. Ángulos de rozamiento.- La superficie rugosa en contacto con el bloque B (Figura 8.9a) ejerce sobre éste dos fuerzas: la reacción normal N y la fuerzade rozamiento f . Aunque ambas fuerzas están distribuidas en toda el área de contacto,en la Figura 8.9 hemos representado las resultantes N y f de las mismas, aunquetambién podemos expresarlas en función de la resultante R y del ángulo derozamiento θ definido por la dirección de R y la normal a la superficie de contacto.De la Figura 8.9a se sigue:

[8.22] f R sen θ N R cos θ

de modo que,[8.23][8.23]8 3]

tg θ f N

El valor del ángulo θ cuando el movimiento es inminente se llama ángulo derozamiento estático (θs); su valor cuando existe movimiento relativo entre las dossuperficies se denomina ángulo de rozamiento cinético (θk ). De las definiciones delos coeficientes de rozamiento estático [8.20] y cinético [8.21] se siguen las relaciones



§8.10.- Ángulos de rozamiento. 203

existentes entre éstos y los respectivos ángulos de

Figura 8.9

rozamiento:

[8.24]tgθ s µs tgθ k µk

Las denominaciones de ángulos de rozamiento proceden del siguiente hecho, que el lector compro- bará fácilmente. En la Figura 8.9b, cuando vayamosaumentando gradualmente el ángulo de inclinacióndel plano sobre el que puede deslizar el bloque B, elmovimiento de éste será inminente cuando θ=θs. Enel caso más frecuente, una vez iniciado el movimien-to, éste será acelerado. Si deseamos que el bloque Bdescienda a velocidad constante, deberemos disminuir gradualmente el ángulo de inclinación del plano hasta

que sea θ=θk (vide Problema 8.5).

§8.11. Rozamiento. Estudio microscópico.-

Figura 8.10

A la escala molecular, incluso la superficie más finamente pulida está muy lejos deser plana (Figura 8.10). Resulta fácil aceptar que, cuando colocamos dos cuerpos encontacto, el área real (microscópica) de contacto sea mucho menor que el área decontacto aparente (macroscópico). En algunos casos estas áreas pueden encontrarseen la proporción 1:10 000. Comprenderemos entonces que la presión en los contactosreales debe ser enorme. Las investigaciones realizadas por BOWDEN, en la década delos 40, han demostrado que dichas presiones son suficientes para hacer que hasta unduro metal como el acero fluya plásticamente. De ese modo, las crestas de las ir-regularidades en las superficies en contacto son aplastadas de manera que aumentala superficie de contacto y la presión disminuye hasta que está justamente en el límiteque causaría el fluir del metal. De hecho, muchos puntos de contacto quedan sol-dados en frío entre sí. Este fenómeno de adherencia superficial se debe a que, en los

puntos de contacto, las moléculas en las caras opuestas de las superficies están tan próximas las unas a las otras que las fuerzas moleculares son extraordinariamenteintensas.

Ya sea que dichas soldaduras locali-

zadas ocurran o no, habrá siempre un con-siderable grado de trabazón entre las super-ficies reales, que, como ya hemos dicho,son rugosas a escala molecular. Cuando uncuerpo, como por ejemplo un metal, searrastra sobre otro, la fuerza de rozamientoestá relacionada con la ruptura de esosmillares de pequeñas soldaduras, que con-tinuamente se vuelven a formar en cuantose presentan nuevas oportunidades decontacto. Experimentos realizados conrastreadores radiactivos han permitidodemostrar que durante el proceso de ruptura de las pequeñas soldaduras existe unintercambio de fragmentos de materia de una superficie a otra.




Asociado a la extrema pequeñez de las áreas de contacto, se presenta un calenta-miento friccional localizado cuando ocurre el deslizamiento. Se ha obtenido evidenciade este calentamiento conectando dos metales diferentes, resbalando el uno sobre elotro, a un voltímetro de alta precisión y midiendo la fuerza electromotriz (f.e.m.)

producida por efecto termoeléctrico. Estas medidas han puesto en evidencia que se

alcanzan temperaturas considerablemente elevadas, hasta de 1 000°C y aún más, queincluso pueden producir una fusión local en algunas zonas de contacto, aun cuandola superficie en su conjunto pueda sentirse sólo ligeramente caliente.

El valor del coeficiente de rozamiento entre dos superficies depende de diversosfactores, como son la naturaleza de los materiales, el acabado de las superficies, la

presencia de películas superficiales, el grado de contaminación de las superficies, latemperatura, ...

Es un hecho notable que si intentamos medir el valor del coeficiente de rozamiento entre dossustancias puras, tales como cobre sobre cobre, nos encontramos con resultados erróneos puestoque, normalmente, la superficies en contacto no serán de cobre puro sino que estarán contaminadas

por óxidos y otras impurezas. Pero si intentásemos hacer nuestra medida para un contacto cobre-cobre puro, para lo cual deberíamos pulir y limpiar cuidadosamente las superficies a fin de eliminar cualquier película superficial de óxido o de grasa, e hiciéramos la experiencia en el vacío, paraevitar la oxidación superficial del cobre y que quedase atrapada una película de aire entre las super-ficies, entonces encontraríamos con sorpresa que los dos cuerpos quedan soldados firmemente entresí. La explicación de esta inesperada conducta es que cuando los átomos son todos de un mismoelemento no hay ningún procedimiento por el que puedan "saber" si pertenecen a una u otra pieza.Cuando existen otros tipos de átomos o moléculas (óxidos, grasas, ...) interpuestos entre las dos piezas en contacto, los átomos de cobre si "saben" a que pieza pertenecen y el rozamiento se reducea sus valores normales. El mismo fenómeno es fácilmente observable con láminas planas de vidrioconvenientemente desengrasadas.

Con todas estas complicaciones no nos debe extrañar que no exista una teoríaexacta del rozamiento en seco y que las leyes del mismo sean sólo empíricas y apro-ximadas. No es posible, dada su complejidad, establecerlas a partir de las fuerzasfundamentales, ni tan siquiera a partir de las fuerzas intermoleculares, pero la teoríamicroscópica del rozamiento (teoría de la adherencia superficial) ayuda a comprender las leyes enunciadas anteriormente.

A primera vista parecería lógico que la fuerza máxima de rozamiento estático (ylo mismo para el rozamiento cinético) fuese proporcional al área de contacto. Estosignificaría que cuando arrastramos un ladrillo apoyado sobre una de sus caras más

extensas el rozamiento debería ser mayor que cuando lo arrastramos sobre uno de sus bordes. Sin embargo, la primera ley del rozamiento, y la experiencia, nos dice queno es así, y que la fuerza de rozamiento es independiente, con buena aproximación,del área de contacto. Pero el área de contacto a la que se refiere esa ley es el áreade contacto macroscópica (aparente) que es mucho mayor que el área de contactomicroscópica (real). En realidad, la fuerza de rozamiento es proporcional al área decontacto real (microscópica), como parece lógico; pero esta área es proporcional alárea macroscópica y a la presión que se ejercen entre sí las superficies.

Cuando el ladrillo de nuestro ejemplo se apoya sobre una de sus caras extensas existen unnúmero grande de superficies de contacto microscópicas relativamente pequeñas; cuando el ladrillo

se apoya sobre uno de sus bordes el número de superficies de contacto microscópicas es menor pero, debido a la mayor presión, la extensión de cada una de ellas es mayor que en el caso anterior.De ese modo la disminución del número de contactos queda compensado con el aumento individualdel área de cada uno de ellos y el área total de contacto real es la misma en ambos casos.



§8.11.- Rozamiento. Estudio microscópico. 205

El rozamiento por deslizamiento entre superficies secas puede reducirseconsiderablemente utilizando lubricantes. En un mural egipcio, fechado en1900 A.C., se ve una gran estatua que es arrastrada mientras que un hombre vavertiendo aceite en su camino. Con el uso de los lubricantes se sustituyen las fuerzasde rozamiento entre sólidos por las de viscosidad , que son considerablemente

menores. Como veremos en el próximo artículo, los gases son las sustancias que alas temperaturas ordinarias presentan menor viscosidad, de modo que una técnicamuy eficaz para reducir el rozamiento entre dos superficies hasta un valor práctica-mente nulo es introducir una capa de gas (colchón de gas) entre ellas. Actualmentenos servimos de éstas técnicas en los laboratorios, utilizando discos de nievecarbónica (hielo seco, CO2), mesas y carriles de aire comprimido, ...

§8.12. Fuerzas de rozamiento en los fluidos.- Cuando un cuerpo se mueveen el seno de un fluido real, tal como un líquido o un gas, aparecen unas fuerzas que

actúan sobre el cuerpo y que se oponen a su movimiento. Estas fuerzas, al igual quelas estudiadas anteriormente, son fuerzas de rozamiento que tienen su origen en ungran número de interacciones entre las moléculas del cuerpo y las del fluido y,

principalmente, entre las del propio fluido. Como el fenómeno es demasiado complejo no podemos establecer una ley exacta para estas fuerzas de rozamiento y, al igualque hicimos en el artículo anterior, nos conformamos con buscar unas leyes empí-ricas, y por lo tanto aproximadas, que si bien no nos explican las causas del roza-miento interno en los fluidos, nos permiten resolver numerosos problemas prácticos.

Con frecuencia, es suficiente considerar que la fuerza que se opone al movimien-to de un cuerpo en el seno de un fluido sea proporcional a alguna potencia de la

velocidad. Entonces podemos expresar dicha fuerza en función de la velocidad como

[8.25] f k v n e v

donde k es una constante cuyo valor depende principalmente de la geometría delcuerpo y de la naturaleza del fluido. El movimiento de un cuerpo en un medio fluidoen el que la fuerza resistiva es proporcional a la velocidad o al cuadrado de la veloci-dad (o a una combinación lineal de ambas) fue estudiado por Newton en sus Princi-

pia en 1686. Una generalización de esos estudios para cualquier potencia de la velo-cidad fue llevada a cabo por J. BERNOULLI (1667-1748) en 1711. La denominación

de ley de rozamiento de Newton se aplica normalmente para las fuerzas de rozamien-to que son proporcionales al cuadrado de la velocidad; la de ley de rozamiento deStokes se suele reservar para cuando la fuerza de rozamiento es proporcional a lavelocidad.

Cuando un cuerpo se mueve en el seno de un fluido con una velocidad relati-vamente pequeña, podemos suponer, con buena aproximación, que la fuerza resistivaobedece a la ley de Stokes; esto es

[8 .26] f k v K η v

donde hemos descompuesto el coeficiente de rozamiento k en dos factores. El prime-ro de ellos depende de la forma del cuerpo: así, en el caso de una esfera de radio R,un cálculo laborioso demuestra que




Tabla 8.3.- Coeficientes de viscosidad para algunos fluidos a varias temperaturas.

fluido temperatura(°C)

viscosidad fluido temperatura(°C)

viscosidad

aire 02040

170.8 µP181.0 µP190.4 µP

glicerina 2030

14.90 P6.29 P

azúcar 109 28. kP

agua 02040

1.787 cP1.002 cP0.653 cP

aceite de motor

ligero 1638

100

113.8 cP34.2 cP4.9 cPalcohol 20 1.2 cP

aceite de

oliva

20

40

138.0 cP

36.3 cP

pesado 16

38

660.6 cP

127.4 cP

[8.27] K 6 π R

El segundo factor, η, es independiente del material y forma del cuerpo y dependede la naturaleza del fluido y de su temperatura. El coeficiente η representa la friccióninterna del fluido; esto es, la fuerza de rozamiento entre las diferentes capas fluidas

que se mueven con distinta velocidad. Esta fricción interna se llama viscosidad y ηes el coeficiente de viscosidad . En el sistema de unidades cgs, el coeficiente deviscosidad se expresa en dyn s/cm2, unidad que recibe el nombre de poise (P); nor-malmente se acostumbra a expresarla en centipoise (cP). La viscosidad de los gaseses mucho menor que la de los líquidos y aumenta con la temperatura, al contrario delo que ocurre con los líquidos. En la Tabla 8.3 presentamos los coeficientes deviscosidad de diferentes fluidos.

§8.13. Fuerzas de ligadura.- Cuando intentamos determinar la fuerza

resultante que actúa sobre una partícula hemos de poner cuidado en incluir nosolamente las fuerzas activas, tales como el peso, las fuerzas eléctricas, las fuerzaselásticas ejercidas por muelles, las tensiones en cuerdas ... sino también las llamadas

fuerzas de reacción vincular o de ligadura.

Decimos que un punto material está ligado o vinculado cuando existen unaslimitaciones físicas que constriñen sus movimientos; estas limitaciones físicas recibenel nombre de ligaduras. Así, por ejemplo, las bolas de un ábaco sólo pueden efectuar movimientos a lo largo de las varillas que las soportan; una bolita situada sobre lasuperficie de una esfera maciza está sometida a una ligadura tal que sólo puede mo-verse en dicha superficie o en la región exterior a la esfera; las moléculas de un gas

encerrado en un recipiente están sometidas a unas ligaduras tales que sólo les permiten moverse en el interior del recipiente ...

Las ligaduras son susceptibles de clasificarse atendiendo a muy diversos puntosde vista. Así, vemos que existe una gran diferencia entre la ligadura impuesta por la



§8.13.- Fuerzas de ligadura. 207

varilla del ábaco y la impuesta por la esfera de los ejemplos anteriores. En efecto, laligadura impuesta por la varilla del ábaco es eficaz en todas las direcciones perpen-diculares a la varilla (de hecho las bolas sólo pueden moverse a lo largo de la vari-lla), en tanto que la ligadura impuesta por la superficie de la esfera sólo es eficaz enun sentido de la dirección perpendicular a la superficie esférica, ya que nada nos

impide separar la bolita de dicha superficie (de hecho, la bolita abandonará la super-ficie tras hacer un cierto recorrido sobre ella).

De un modo general, la línea o la superficie a la que está vinculada la partícularecibe en nombre de guía y podemos clasificar las ligaduras en

Unilaterales: si la ligadura es eficaz en un solo sentido de la normal a laguía.

Bilaterales: si la ligadura es eficaz en los dos sentidos de la normal a laguía.

Bajo otro punto de vista, las ligaduras pueden clasificarse en

Holónomas: cuando la condición de ligadura es expresable mediante unaecuación de la forma

[8.28]f ( x, y, z; t ) 0

que relaciona las coordenadas de la partícula y, eventualmente, el tiempo.Un ejemplo de este tipo de ligaduras lo constituye una partícula obligada a moverse a lo largo deuna curva o una superficie, ya que la ecuación de esa guía relaciona las coordenadas de la partícula

en la forma de la ec. [8.28]. Así, por ejemplo, si la partícula está obligada a moverse a lo largo dela parábola de ecuación y = 3 x2, ésta ecuación expresa la condición de la ligadura.

No-holónomas: cuando la condición de ligadura no es expresable por unaecuación que relacione las coordenadas de la partícula y el tiempo, de laforma [8.28].

Las paredes de un recipiente que contiene un gas constituyen, para las moléculas del gas, unaligadura no-holónoma. La ligadura impuesta por la superficie de una esfera maciza a una bolita quese mueva en su exterior es también una ligadura no-holónoma, que puede expresarse por ladesigualdad

[8.29] x2 y 2 z2 ≥ R 2

siendo x, y, z las coordenadas de la partícula y R el radio de la esfera. Así, en el campo gravitatorio,la bolita se moverá inicialmente sobre la superficie de la esfera pero finalmente la abandonará.

Las ligaduras pueden clasificarse atendiendo a si son o no independientes deltiempo en:

Esclerónomas: cuando la ligadura es independiente del tiempo.

Constituye un ejemplo de este tipo la ligadura correspondiente a un punto material obligado amoverse a lo largo de una curva fija, f( x, y)=0, es decir que las coordenadas de la partícula deben

satisfacer en todo instante la ecuación de la curva.Reónomas: cuando la ligadura contiene explícitamente al tiempo.

Un ejemplo de este tipo de ligadura lo constituye una partícula obligada a moverse sobre una curvamóvil, f( x, y;t )=0.




Podemos transformar un sistema con ligaduras en un sistema libre sin más quesustituir las ligaduras por las llamadas fuerzas de ligadura; i.e., por unas fuerzas que

produzcan los mismos efectos sobre el movimiento de la partícula que las ligadurasa las que sustituyen. Este modo de operar se conoce con el nombre de Principio deliberación de LAGRANGE (1736-1818) que se enuncia del siguiente modo:

Todo sistema con ligaduras puede suponerse libre de ellas con tal de añadir a las fuerzas activas las llamadas fuerzas de ligadura que producen losmismos efectos que las ligaduras a las que sustituyen.

De este modo podemos obtener un diagrama en el que se incluyen el cuerpo ytodas las fuerzas que actúan sobre él, incluidas las de ligadura (una vez suprimidaslas propias ligaduras); dibujaremos así el llamado diagrama del cuerpo libre (deligaduras), que constituye un primer paso en la resolución de los problemas de laMecánica.

Así, por ejemplo, un bloque situado sobre el tablero horizontal de una mesa está sujeto a una

Figura 8.11

ligadura (unilateral, no-holónoma y esclerónoma) que constriñe sus movimientos: sólo podemosmoverlo deslizándolo sobre el tablero o levantándolo sobre él. La ligadura impuesta por el tableroa los movimientos del bloque puede sustituirse por la fuerza de ligadura correspondiente que, eneste caso, viene representada por la llamada fuerza de reacción normal , N , que ejerce el tablerosobre el bloque. Obsérvese que ésta fuerza y el peso, P, del bloque no forman una pareja de acción-reacción. El Principio de Liberación nos permite escribir:

[8.30] F P f N m a

En la Figura 8.11 hemos dibujado el diagrama del bloque libre, en el que hemos sustituido laligadura (tablero) por la fuerza de ligadura ( N ) que produce el mismo efecto que aquélla.

Las fuerzas de ligadura están caracterizadas por las propiedades siguientes:

(1) Las fuerzas de ligadura no producen movimiento; tan sólo impiden losmovimientos producidos por las fuerzas activas que no sean compatibles conlas ligaduras.

(2) La magnitud de las fuerzas de ligadura se considera ilimitada, dependien-do de las fuerzas activas y anulándose cuando éstas se anulan.



§8.13.- Fuerzas de ligadura. 209

(3) La dirección de las fuerzas de ligadura siempre es normal a la guía 4.

Las ligaduras introducen dos tipos de dificultades en la resolución de los problemas de la mecánica de la partícula.

(a) Las coordenadas de la partícula dejan de ser independientes entre sí, puesto que están relacionadas por las ecuaciones de las ligaduras.

(b) Las fuerzas de ligadura no son conocidas a priori, sino que se encuen-tran entre las incógnitas del problema.

Imponer ligaduras a una partícula (o a un sistema de partículas) es reconocer la existencia de unas fuerzas (las de ligaduras) que no podemos especificar directamente y que sólo conocemos por los efectos que producen en elmovimiento de la partícula (o del sistema de partículas).

Cuando las ligaduras tienen carácter holónomo, es relativamente fácil soslayar la dificultad que introduce el desconocimiento a priori de las fuerzas de ligadura.Bastará para ello introducir las ecuaciones que expresan las condiciones de ligadura

junto a la ecuación diferencial del movimiento en la que solo intervendrán lascomponentes de las fuerzas activas en la dirección del movimiento permitido por lasligaduras; de ese modo evitamos que aparezcan las fuerzas de ligadura en la ecuacióndiferencial del movimiento. En el caso de que las ligaduras sean no-holónomas noserá posible, en general, aplicar ese método y cada problema requerirá un tratamiento

propio.

§8.14. Fuerzas de inercia.- Todas las fuerzas que hemos considerado hastaahora son fuerzas reales, en el sentido de que podemos identificar a sus agentes; i.e.,otros cuerpos responsables de cada una de ellas. Conocidas las fuerzas que actúansobre la partícula, la segunda ley del movimiento nos permite calcular la aceleraciónque ésta adquiere. Pero, evidentemente, necesitamos un referencial con respecto alcual mediremos la aceleración de la partícula y, además, es necesario que dichoreferencial sea inercial, pues sólo en esos referenciales es válida la primera ley delmovimiento (como ya vimos) y la segunda ley del movimiento (como veremos).

Sin embargo, en muchas ocasiones puede ser conveniente aplicar las leyes del

movimiento desde el punto de vista de un observador no-inercial. Así, para describir el movimiento de un cuerpo sobre o cerca de la superficie terrestre puede resultar conveniente emplear un referencial ligado a la Tierra y que gira con ella (referencialo sistema de laboratorio) a pesar de que dicho referencial es no-inercial. En losreferenciales no-inerciales, la fuerza que actúa sobre la partícula no es igualsimplemente al producto de su masa por su aceleración, como ocurre en losreferenciales inerciales. No obstante, en los referenciales no-inerciales, podemosseguir escribiendo la segunda ley de Newton en la forma habitual, F = m a, si

4 En algunos textos, esta propiedad se enuncia haciendo referencia a los vínculos lisos, ya queincluyen las fuerzas de rozamiento entre las de ligadura. Nosotros preferimos, siguiendo latendencia más actual, considerar las fuerzas de rozamiento como fuerzas pasivas diferenciadas delas de ligadura, por lo que el enunciado que hemos dado es correcto.




consideramos, junto con las fuerzas reales, otras fuerzas, llamadas fuerzas inerciales,que dependen de la aceleración del referencial con respecto a un referencial inercial.

En este artículo vamos a centrar nuestra atención en los referenciales no-inerciales en movimiento de traslación (sin rotación) con respecto a un referencialinercial. En la siguiente lección nos ocuparemos ampliamente de los referenciales en

rotación.Imaginemos un referencial S, que consideraremos inercial, y un segundo

referencial S′ que se mueve respecto al primero con movimiento de traslaciónacelerado (uniformemente o no). Por simplicidad, escogeremos los ejes coordenados

xyz e x′ y′ z′ de modo que los ejes correspondientes sean paralelos entre sí, como semuestra en la Figura 8.12. Consideraremos ahora una partícula P y sean r y r′ losvectores de posición de dicha partícula con respecto a los orígenes O y O′ de cadauno de los referenciales. Estos vectores de posición están relacionados en la forma

Figura 8.12

[8.31] r rO

r

donde rO=OO′ es el vector de posición del origen del referencialS′ con respecto al referencial S.Las velocidades de la partícula encada uno de los referenciales, quedesignaremos por v y v′, respec-tivamente, están relacionadas por

[8.32]v vO

v

que se obtiene derivando con respecto al tiempo la ec. [8.31] y don-de vO representa la velocidad del referencial S′ con respecto al referencial S. A partir de la ec. [8.32], derivándola de nuevo con respecto al tiempo, encontramos la relaciónexistente entre las aceleración de la partícula P en ambos referenciales; esto es

[8.33] a a O a

donde aO representa la aceleración del referencial S′ con respecto al referencial S.

Esto es, los observadores S y S′ miden, en general, aceleraciones diferentes para elmovimiento de la partícula P.

Sabemos que en un referencial inercial se cumple

[8.34] F m a

siendo F la resultante de las fuerzas aplicadas a una partícula de masa m (quesuponemos constante) y a la aceleración de la misma en el referencial inercial.¿Cómo se transformará la ec. [8.34] cuando hagamos las observaciones desde unreferencial no-inercial?.

Puesto que la fuerza resultante F es la representación de las interacciones de la partícula con su medio ambiente, esto es, con los demás cuerpos existentes en las proximidades, el cambio de referencial no modificará, al menos en el ámbito de laMecánica Clásica, dichas interacciones, de modo que F permanecerá invariante. Del



§8.14.- Fuerzas de inercia. 211

mismo modo, la masa de la partícula se considera invariante al pasar de unreferencial al otro. En cambio, la aceleración medida en el referencial S ′ no es lamisma que la que se mide en el referencial S; por consiguiente, la aceleración no esinvariante. Obviamente, sustituyendo [8.33] en [8.34], podemos escribir

[8.35] F m ( a O a ) m a O m a

de modo que en el referencial S′ la resultante de las fuerzas aplicadas, F, no es igualsimplemente al producto de la masa de la partícula por su aceleración en esereferencial, sino que hay que añadir un término, m aO, que representa el efecto de laaceleración del propio referencial no-inercial. La ec. [8.35] no tiene la forma que

presenta habitualmente la segunda ley del movimiento, pero podemos conseguir quese le parezca si la escribimos en la forma

[8.36] F m a O m a

pues entonces tenemos en el segundo miembro el producto de la masa de la partícula por su aceleración en el referencial no-inercial. En cambio, en el primer miembro dela ec. [8.36] nos encontramos, además de con la resultante de las fuerzas aplicadas,con el término -m aO que, aunque no es una fuerza, tiene dimensiones de fuerza. Altrabajar en los referenciales no-inerciales es conveniente considerar el término -m aO

como si fuese una fuerza, a la que denominaremos fuerza de inercia y representare-mos por FO; esto es,

[8.37] F O m a O

de modo que la ec. [8.36] puede ahora escribirse como

[8.38] F F F O m a

que es la forma que adopta la segunda ley del movimiento en los referenciales no-inerciales. En el referencial no-inercial hay que considerar, junto con las fuerzasreales, las fuerzas de inercia, ya que de ese modo la suma F′ de todas las fuerzas(reales y de inercia) será igual al producto de la masa de la partícula por suaceleración en el referencial no-inercial.

Las fuerzas de inercia reciben también el nombre de fuerzas ficticias, encontraposición al de fuerzas reales, ya que a diferencia de éstas no las podemosasociar con ningún cuerpo particular en el medio ambiente de la partícula sobre laque actúan; i.e., no tienen agente. Representan la no-inercialidad del referencial y,naturalmente, al observar el movimiento de la partícula desde un referencial inerciallas fuerzas de inercia desaparecen. Las fuerzas de inercia son simplemente unatécnica que nos permite aplicar las leyes de Newton en su forma habitual a ciertosfenómenos cuando nos empeñamos en describirlos desde el punto de vista de unobservador no-inercial. Las fuerzas de inercia son simples ficciones que introducimos

para poder seguir escribiendo F = m a, aún cuando la aceleración se mida con

respecto a un referencial no-inercial. Aunque las fuerzas de inercia son ficticias(falsas), para un observador no-inercial parecen tan reales como las demás debido ala confianza que tiene el observador en la validez de las leyes de Newton.




Cualquier cosa ficticia tiende a parecernos confusa; para aclarar lo querepresentan las fuerzas de inercia volveremos a los experimentos idealizados, sobrela plataforma lisa de un vagón de ferrocarril acelerado, de los que nos servimos enla Lección 6 para comprender la diferencia existente entre los referenciales inercialesy no-inerciales.

En primer lugar considera-

Figura 8.13

remos un bloque liso unido me-diante un muelle dinamométrico aun punto fijo del vagón (Figu-

ra 8.13). El dinamómetro permite, alos observadores S y S′, medir unafuerza real F (debida a la tensióndel muelle) que actúa sobre el

bloque en la dirección y sentidode la aceleración a

O del vagón. El

observador S entenderá que esa fuerza F es la causante de la aceleración que tieneel bloque, a = aO (ya que el bloque tiene la misma aceleración que el vagón) yescribirá la segunda ley de Newton en la forma

[8.39] F m a O

Pero el observador S′, al ver que el bloque está en reposo con respecto a él,sospechará la existencia de una fuerza que equilibre a la fuerza F, de modo queincluirá una fuerza FO aunque no sepa identificar su agente. Así

[8.40] F F O 0 → F m a O 0

que es, a fin de cuentas, la misma que estableció el observador S. La fuerza deinercia FO=-m aO tiene sentido para el observador S′ pero no lo tiene para elobservador S; en consecuencia es una fuerza ficticia.

Liberemos ahora el bloque de

Figura 8.14

modo que pueda moverse sinfricción sobre la plataforma delvagón (Figura 8.14). Cuando aumen-ta la velocidad del vagón el blo-que se moverá sobre la plataformacon velocidad creciente (acelera-do) en sentido contrario a laaceleración del vagón, de tal modoque, si el vagón se encontraba ini-

cialmente en reposo sobre la vía, el bloque permanecerá en reposo con respecto alobservador S (ya que al no existir rozamiento no puede ser arrastrado por el movi-miento del vagón). El observador S entenderá que al no existir fuerza aplicada al

bloque (en la dirección horizontal) la aceleración de éste sea nula. En cambio, el

observador S′ observa que el bloque está acelerado en su propio referencial (elvagón), con a′=- aO, y sospechará la existencia de una fuerza, FO=-m aO, que sería laresponsable de esa aceleración. Evidentemente, como en el caso anterior, esa fuerzaes ficticia.



§8.14.- Fuerzas de inercia. 213

En definitiva, en la resolución de los problemas de la Mecánica podemos elegir entre dos alternativas:

(1) Escoger un referencial inercial y considerar únicamente las fuerzas reales.

(2) Escoger un referencial no-inercial y considerar no sólo las fuerzas reales

sino también las llamadas fuerzas de inercia, que vienen expresadas siempre por -m aO, siendo aO la aceleración del referencial no-inercial con respecto aun referencial inercial.

De ordinario escogeremos la primera alternativa, pero en ocasiones será másconveniente escoger la segunda; ambas son equivalentes.

Ejemplo I.- Una cuña de masa M y

Figura 8.15

ángulo θ desliza sin rozamientosobre un tablero horizontal fijo,como se muestra en la figura. Sobrela cuña desliza, también sinrozamiento, un bloque de masa m.a) Determinar la aceleración de lacuña. b) Determinar la aceleracióndel bloque respecto de la cuña yrespecto del tablero.

Asumimos que la cuñaexperimenta una aceleración de

retroceso a0 en la dirección que se indica en la Figura 8.15. En el referencial S (inercial), en lo queconcierne al movimiento horizontal de la cuña, escribiremos

N senθ Ma0

→ N Ma0

senθ

Para analizar el movimiento del bloque, resulta conveniente describirlo en el referencial S′ligado a la cuña, que posee una aceleración a0 (referencial no-inercial). Así, aplicaremos la segundaley de Newton al bloque, incluyendo todas las fuerzas que "actúan" sobre él, esto es: m g (peso), N (reacción vincular o fuerza de ligadura) y -m a0 (fuerza de inercia);

m g N ( m a0 ) m a′

de donde, tomando las componentes en la base vectorial 123 que se indica en la Figura 8.15,tenemos

mg senθ ma0 cosθ ma′ → a′ g senθ a0 cosθmg cosθ N ma0 senθ 0 → N m ( g cosθ a0 senθ)

Sustituyendo el valor de N en la segunda ecuación y despejando a0 obtenemos la aceleración de lacuña:

a0mg senθ cosθ M m sen2θ

⇒ a0 a0 0 0

xyz

entonces, de la primera ecuación obtenemos la aceleración a′ del bloque respecto de la cuña:




a′ g senθ a0 cosθ ( M m) g senθ M m sen2θ

⇒ a′ a′cosθ a′senθ 0 xyz

Para obtener la aceleración a del bloque respecto del tablero tendremos en cuenta que

a a′ a0

⇒

a x a x′ a0 a′ cosθ a0 Mg senθ cosθ M m sen2θ

a y a y′ a′ senθ ( M m) g sen2θ

M m sen2θ

cuyo módulo es

a a2 x a2

y 1

m senθ cosθ M m sen2θ

2

g senθ g 2 a20 senθ

y su dirección forma un ángulo φ con la horizontal, dado por

φ arctg a y

a x

arctg

M m M

tg θ

§8.15. Estática de la partícula. Principio de D’Alembert.- La relaciónexistente entre el movimiento de un cuerpo y sus causas es el objeto de estudio dela Dinámica, la cuál nos ha enseñado que el movimiento de un cuerpo depende de

su masa y de las acciones que sobre él ejercen otros cuerpos que constituyen sumedio ambiente; dichas acciones vienen representadas por el concepto físico-matemático que llamamos fuerza. Los efectos de dichas fuerzas pueden contrar-restarse entre sí, dando lugar a una situación análoga a la que se presentaría si no seejerciera fuerza alguna sobre el cuerpo. El capítulo de la Dinámica que trata sóloaquellos sistemas en los que la fuerza resultante es nula recibe el nombre de Estática.Ahora nos ocuparemos solamente del estudio de la Estática de la Partícula, dejando

para más adelante el estudio de la Estática de los Sistemas de Partículas, de los queel sólido rígido es un caso especial.

Decimos que una partícula se encuentra en equilibrio en un cierto referencialinercial cuando su aceleración es cero en ese referencial. En consecuencia,

el equilibrio implica que la resultante de todas las fuerzas aplicadas a la partícula debe ser nula;

esto es [8.41] Ri

F i 0

Podemos generalizar la definición anterior para los referenciales no inerciales, yaque la ecuación del movimiento en un referencial no inercial [8.36] puede escribirse

en la forma[8.42] R m a0 m a′ 0



§8.15.- Estática de la partícula. Principio de D’Alembert. 215

cuando la aceleración de la partícula es nula en ese referencial, i.e., cuando la partícula está en equilibrio en él. La ecuación anterior puede ser considerada comouna ecuación de «equilibrio» que establece que

la resultante de todas las fuerzas «aplicadas» a la partícula, incluidas lasfuerzas de inercia (en su caso), debe ser nula.

Este enunciado constituye la esencia del Principio de D’ALEMBERT. Bajo este puntode vista, la Dinámica se reduce a la Estática, ya que siempre podremos plantear nuestro problema (¿dinámico?) en un referencial en el que la partícula no presenteaceleración (i.e., se encuentre en equilibrio).

Puesto que la partícula es considerada como un cuerpo de dimensiones muy pequeñas (puntual), todas las fuerzas aplicadas a la partícula (reales e inerciales, ensu caso) serán concurrentes en un punto, de modo que no encontraremos dificultadal efectuar la suma vectorial indicada en la expr. [8.41] (o en la [8.42], en su caso).Esta ecuación expresa la condición de equilibrio para la partícula. Como consecuen-cia directa de ella se tiene que el equilibrio de una partícula no se altera si ...

(1) se suprimen dos fuerzas iguales y opuestas,

(2) se incorporan dos fuerzas iguales y opuestas,

(3) se sustituyen dos o más fuerzas por su suma efectuada,

(4) se sustituye una fuerza por otras que la tengan como resultante.

Es conveniente que no confundamos el concepto de equilibrio con el de reposo.

Una partícula puede estar en reposo en un cierto referencial y no hallarse en equilibrio en él.Así, por ejemplo, cuando lanzamos una piedra verticalmente hacia arriba, en el punto más alto desu trayectoria la piedra se encuentra instantáneamente en reposo, pero no en equilibrio puesto quela fuerza peso no está equilibrada por ninguna otra. Por esa razón la piedra comienza a caer (aceleradamente) hacia abajo.

Por otra parte, una partícula puede estar en equilibrio en un cierto referencial y no estar enreposo en ese referencial. Un ejemplo de este tipo lo constituye la partícula libre; al no actuar fuerzas sobre ella, su aceleración será nula, lo que significa que su velocidad será constante en unreferencial inercial. Por supuesto que siempre podemos encontrar un referencial inercial en el quela partícula libre estará en reposo.

La situación más corriente es aquella en la que la partícula se encuentra simultáneamente enreposo y en equilibrio en un referencial dado; por eso es frecuente que muchas personas consideren,erróneamente, ambos conceptos como sinónimos.




Problemas

8.1.- Utilizar la ley de gravitación universal yla segunda ley de Newton para demostrar queel periodo T de un planeta que se mueve en unórbita circular alrededor del Sol está relaciona-do con el radio de la órbita por la tercera leyde Kepler , T 2 = kr 3, y determinar la constantek .

8.2.- Dos esferillas idénticas cuelgan mediantesendos hilos de seda, de longitud L, de unmismo punto. Cuando se les suministra unamisma carga eléctrica a cada una de las esferi-llas, los hilos de suspensión forman entre síun ángulo θ. Expresar el valor de la carga decada esferilla en función de dicho ángulo.

8.3.- Una partícula de masa m que tiene unacarga eléctrica q se lanza desde una grandistancia, con una velocidad v0, directamentecontra otra partícula fija en el espacio, de masa M y carga eléctrica Q. a) Estudiar cualitativamente el movimiento de la partículam en los casos en que las cargas eléctricassean del mismo y de distinto signo. b) Deter-

minar la distancia mínima de aproximacióncuando ambas cargas son del mismo signo.

8.4.- El bloque A de la figura pesa 15 kg y el

Prob. 8.4

bloque B pesa 5 kg. El coeficiente de roza-miento entre todas las superficies en contactovale 0.20. Calcular la magnitud de la fuerza Fnecesaria para arrastrar el bloque B hacia la

derecha con velocidad constante, en cada unode los casos que se muestran en la figura.

8.5.- Un estudiante trata de encontrar experi-mentalmente el coeficiente de rozamiento entre

un ladrillo y un tablón. Para ello coloca elladrillo sobre el tablón y va aumentando gra-dualmente el ángulo de inclinación de éste.Cuando el ángulo es de 30° el ladrillo co-mienza a deslizar, acelerándose hacia abajo.Entonces comienza a reducir progresivamenteel ángulo de inclinación y observa que cuandoéste es de 25° se detiene. Obtener los coefi-cientes de rozamiento a partir de esas observa-ciones.

8.6.- En el sistema que se muestra en la figura,

Prob. 8.6

calcular la aceleración de cada uno de los dos bloques en los siguientes supuestos: a) no exis-te ningún rozamiento; b) el coeficiente derozamiento entre todas las superficies en con-tacto es µ.

8.7.- El bloque de la figura pesa 100 kg y se

Prob. 8.7

encuentra en reposo sobre una superficie hori-zontal. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y la superficie es 0.50. Mediante unacuerda ligera unida al bloque y que forma unángulo θ con la horizontal tratamos de mover e l b loque .Encontramos

que la magni-tud de lafuerza míni-ma necesaria para mover el b l o q u edepende delv al or d elángulo θ. a) Expresar la magnitud de dichafuerza mínima en función del ángulo θ.b) ¿Cuál es el valor del ángulo θ más eficaz para mover el bloque?

8.8.- En el sistema de la figura, la masa del bloque A es 20 kg y los coeficientes de roza-miento estático y cinético de cada bloque conlos planos inclinados valen 0.30 y 0.25, res-



Problemas 217

pectivamente.

Prob. 8.8

a ) ¿ C u á ldebe ser lamasa mínimadel bloque B para que el

sistema co-mience a mo-verse hacia lai z q u i e r d a ?b) Una vez iniciado el movimiento, ¿cuál serála aceleración del sistema?

8.9.- Dos bloques de madera se encuentran

Prob. 8.9

sobre un plano inclinado, unidos entre sí por una cuerda ligera que pasa por una polea derozamiento e inercia despreciables, como seindica en laf ig ur a. E l

coef ic ien tede rozamien-to entre todasl as s up er -f i c ie s e ncontacto vale0.30. Deter-minar: a) Elvalor críticodel ángulo deinclinación del plano que impide el desliza-miento de los bloques; b) la aceleración de los

bloques si el ángulo de inclinación es de 80°.

8.10.- Desde el pie de un plano inclinado 30°sobre la horizontal se lanza, hacia arriba a lolargo del plano inclinado, un bloque de 3 kg,con una velocidad inicial de 4 m/s. El coefi-ciente de rozamiento cinético entre el bloquey el plano vale 0.60. a) Calcular la distanciaque recorrerá el bloque sobre el plano.b) ¿Volverá a descender el bloque? En casoafirmativo, determinar la velocidad del bloquecuando llegue al pie del plano.

8 . 1 1 . - Dos

Prob. 8.11

bloques, demasas m1 =4 kg y m2 =8 kg, estánunidos me-diante unavarilla rígiday ligera yresbalan por un plano inclinado 30°, como semuestra en la figura. El coeficiente de roza-miento cinético entre el plano y cada uno delos bloques es 0.20 y 0.30, respectivamente.Calcular: a) la aceleración del sistema y b) latensión en la varilla, indicando si es tensora ocompresora.

8.12.- Un bloque de masa m resbala por un

Prob. 8.12

canal en forma de V, como se muestra en lafigura. Si los coeficientes estático y cinético derozamiento entre el bloque y las paredes delcanal valen 0.3 y 0.2, respectivamente, obte-

ner: a) El valor mínimo del ángulo θ para elque el bloque comienza a deslizar; b) la acele-ración del bloque si el ángulo θ vale el dobledel calculado en el apartado anterior.

8.13.- En el

Prob. 8.13

sistema que serepresenta en lafigura, el coefi-ciente de roza-miento entre

todas las super-ficies es µ.a) Escribir lasecuaciones delmovimiento decada una de lasc u ñ a s .b ) Encontrar las aceleraciones de las cuñas en el caso deque sean m1=m2, θ=45° y µ=0.1. c) ¿Para quévalores de µ no habrá movimiento?

8.14.- La resistencia que presenta el aire al

movimiento de caída de un paracaidista puedeconsiderarse proporcional a la velocidadinstantánea de éste. De acuerdo con estahipótesis: a) expresar la velocidad, la acelera-ción y el espacio recorrido en función deltiempo, para t >0, suponiendo que en elinstante t =0 (cuando se abrió el paracaídas) el paracaidista tenía una velocidad v0; b) demos-trar que el paracaidista alcanza una ciertavelocidad límite y obtener el valor de dichavelocidad.

8.15.- Dejamos caer una esferilla lisa y homo-génea, de radio r y densidad ρ, desde lasuperficie libre de un fluido viscoso, de coefi-ciente de viscosidad η y densidad δ(<ρ).a) Demostrar que la velocidad y el espacio




recorrido por a esferilla pueden expresarse enfunción del tiempo como

v vlím ( 1 e αt )

x vlím

t 1 e αt

α

donde y vlím es la velocidad α 9 η2ρ r 2

límite, dada por

vlím

29

r 2 g η

(ρ δ )

b) Calcular el tiempo que deberá transcurrir para que la esferilla alcance una velocidadigual al 95% de la velocidad límite y el espa-cio recorrido por la esferilla hasta ese momen-to.

8.16.- Una partícula de masa m se mueve hori-zontalmente con una velocidad v0. En un deter-minado momento penetra en un medioresistivo que le presenta una fuerza resistentedada por α2v3+β2v, donde α y β son constan-tes. Demostrar que, independientemente delvalor de la velocidad inicial de la partícula, su

alcance de penetración en el medio no serámayor que πm/2αβ y que sólo se detiene para t →∞.

8.17.- Un cuerpo

Prob. 8.17

de pequeñas di-mensiones desli-za por el interior de una oquedadhemiesférica lisa,de radio R, comose muestra en la

figura. El cuerpo partió del reposodesde el borde de la oquedad. a) Expresar lavelocidad del cuerpo y la reacción de la super-ficie sobre él en función del ángulo θ.b) Calcular la velocidad y la reacción de lasuperficie cuando el cuerpo pasa por el fondode la oquedad. Analizar el resultado.

8.18.- Una bolita está ensartada en un alambreliso (de modo que puede deslizar por él sinrozamiento) cuya forma es la de una parábolade eje vertical y ecuación y = x2. Supongamosque abandonamos la bolita (en reposo) en el punto de coordenadas ( x0, y0). Calcular lavelocidad de la bolita y la fuerza de ligaduracuando pasa por el fondo de la parábola.

8.19.- Sobre una plataforma de un camión seencuentra una caja que pesa 20 kg. Los coefi-cientes de rozamiento estático y cinético entrela caja y la plataforma valen 0.10 y 0.06,respectivamente. Calcular la aceleración queadquiere la caja con respecto al camión cuando

éste: a) tiene una aceleración de 0.5 m/s

2

;b) ídem de 1 m/s2; c) frena a razón de 2 m/s2.

8.20.- Una plomada cuelga del techo de unvagón de ferrocarril que circula por una víarecta a nivel, de modo que puede utilizarsecomo un acelerómetro. a) Deducir la fórmulaque relaciona la aceleración del tren con elángulo que forma la plomada con la vertical.b) Calcular la aceleración del tren cuandodicho ángulo es de 15°.

8.21.- El extremo

Prob. 8.21

inferior de lavarilla rígida yligera representa-da en la figuraestá articulado ala plataforma dela vagoneta. Enel otro extremode la varilla está sujeta una masa m de peque-ñas dimensiones. Expresar el valor del ánguloθ que forma la varilla con la horizontal enfunción de la aceleración de la vagoneta.

¿Cómo describirá la situación un observador que viaje en la vagoneta?

8.22.- Un hombre está de pie sobre la plata-forma de un autobús que marcha con unaceleridad constante de 36 km/h por una aveni-da recta. ¿Bajo que ángulo y en qué direccióndebe apoyarse el hombre para evitar caer cuando en 3 segundos la velocidad del autobúscambia: a) a 54 km/h; b) a 9 km/h y c) elautobús se detiene.

8.23.- a) ¿Qué aceleración deberá tener el va-

Prob. 8.23

gón de la figura para que el bloque A no cai-ga, si el coeficiente de rozamiento entre el blo-que y la pared es µ? ¿Cómo describirá el comportamiento del bloque un observador situadoen el vagón?b) Si la ace-leración delvagón es lamitad de lacalculada enel apartadoa n t e r i o r ,

¿cuál será laaceleracióndel bloquerespecto del




sobre cada uno de los ganchos? b) ¿Cuál es latensión en el punto más bajo de la cadena?

8.30.- Un pequeño bloque, de masa 3m, des-

Prob. 8.30

liza sin fricción sobre la superficie interior deun oquedad hemiesférica de radio r y estáunida, mediante sendos hilos ligeros, a dos

pesas, de masa m y 2m, como se muestra en lafigura. Determinar la posición de equilibrio delsistema (valor del ángulo θ) y la reacciónsobre la superficie de la oquedad.

8.31.- Una cuerda flexible rodea a un cilindro

Prob. 8.31

fijo de radio r , como se muestra en la figura.Sean µ el coeficiente de rozamiento estáticoentre la superficie del cilindro y la cuerda yθ0 el ángulo de contacto entre ellas.a) Demostrar que, en las condiciones críticasde deslizamiento de la cuerda, las tensiones de

la cuerda a cada lado del cilindro estánrelacionadas entre sí por F 2= F 1exp( µθ0), en elsupuesto de que sea F 2> F 1, de modo queresulta ser independiente del radio del cilindro,dependiendo tan sólo del valor del ángulo decontacto. b) ¿Es generalizable el resultadoanterior para θ0>2π?



222 Lec. 9.- Sistemas de referencia en rotación.

§9.1. Movimiento relativo.- En lo que sigue, consideraremos dos referenciales.Uno de ellos, al que llamaremos referencial absoluto o fijo, definido por el triedro

XYZ de direcciones "fijas" representadas por los versores ( I , J , K ) y con origen en el punto fijo O. El otro, al que llamaremos referencial relativo o móvil , definido por el

triedro xyz, de origen en o y cuyas direcciones están asociadas a los versores (i, j, k),que se mueve en forma general en el referencial fijo.

La posición de partícula P

Figura 9.1

quedará definida en el referencialfijo por el vector de posición R =

X I + Y J + Z K ; el extremo de dichovector describirá en el transcursodel tiempo una curva en dichoreferencial, llamada trayectoria

absoluta. Las derivadas d R/dt yd2 R/dt 2 son la velocidad y acelera-ción absolutas, respectivamente, dela partícula.

En el referencial móvil, la posición de la partícula P estarádefinida por el vector de posición r

= xi + y j + z k; el extremo de estevector describirá en el transcurso del tiempo una curva en el referencial móvil,llamada trayectoria relativa. Las derivadas d r/dt y d2 r/dt 2 son la velocidad y

aceleración relativas de la partícula, respectivamente.Por último, si la partícula P está en reposo en el referencial móvil (i.e., si sus

coordenadas xyz permanecen constantes), describirá en el referencial fijo una ciertatrayectoria a la que llamaremos trayectoria de arrastre. La velocidad y aceleraciónde la partícula en el referencial fijo son la velocidad y aceleración de arrastre,respectivamente.

Debemos observar que si Ro, i, j y k son constantes, el extremo de R recorre latrayectoria relativa, puesto que

[9.1]d Rdt ddt ( R o r ) d r

dt ˙ x i ˙ y j ˙ z k

§9.2. Velocidad.- Comenzaremos considerando dos referenciales con un mismoorigen. Uno de ellos, el XYZ , lo consideraremos como "fijo", y el otro, el xyz, como"móvil", pero manteniendo fijo su origen. El referencial xyz está en rotación y, encada momento, existirá un eje instantáneo de rotación que pasa por el origen comúna ambos referenciales. Sea ω el vector velocidad angular instantáneo que determinala rotación del referencial xyz en el referencial XYZ (i.e., la velocidad angular de

arrastre).Consideremos ahora una partícula P que se mueve solidariamente con el

referencial móvil (i.e., que está en reposo en dicho referencial), como si el referencial



§9.2.- Velocidad. 223

móvil junto con la partícula constituyeran un sólido rígido. La velocidad de la partícula P en el referencial fijo (i.e., la velocidad de arrastre) será:

Figura 9.2

[9.2]ω × r

Si ahora consideramos que la partícula P está libre para moverseen el referencial móvil, suvelocidad vF en el referencial fijoserá la suma de su velocidad ω × r

debida a la rotación del referencialmóvil respecto al fijo, más la velo-cidad relativa vM que tiene la

partícula en el referencial móvil; osea,

[9.3]v F v M ω × r

Esto es, la velocidad de la partícula en el referencial fijo (velocidad absoluta) es igual a su velocidad en elreferencial móvil (velocidad relativa) más la velocidad de arrastre ω × r.

Podemos escribir la expresión anterior en la forma

[9.4]d r

dt F

d r

dt M

ω × r

donde los subíndices F y M hacen referencia expresa a los referenciales en los que semiden las variaciones del vector de posición r de la partícula.

Una pequeña reflexión nos descubrirá que el resultado obtenido es más generalde lo que pudiera parecernos, puesto que cualquier vector puede ser empleado en[9.4], en lugar del vector de posición r, y la forma del resultado sería la misma. Así,la operación de calcular la derivada temporal de cualquier vector en el referencial

XYZ es equivalente a efectuar la operación en el referencial xyz.ddt M

ω ×

Podemos escribir simbólicamente

[9.5]ddt F

ddt M

ω ×

Aplicando la expresión [9.5], observaremos que dω /dt tiene el mismo valor enambos referenciales, ya que

[9.6]dω

dt F

dω

dt M

ω × ω dω

dt M

por ser ω ×ω =0. Debemos observar que el vector ω en el primer y en el últimomiembro de [9.6] es la velocidad angular del referencial móvil ( xyz) respecto al




referencial fijo ( XYZ ), aunque su derivada se calcule en el referencial fijo en el primer miembro y en el referencial móvil en el último. Obviamente, la velocidadangular del referencial fijo respecto al referencial móvil es -ω .

Podemos pasar ahora al caso más general en el que los dos referenciales notengan un origen común (Figura 9.1). Entonces, entre los vectores de posición de la

partícula P en a cada uno de los referenciales existe la relación

[9.7] R R o r

de modo que, aplicando [9.5], resulta

[9.8]d R

dt F

d R o

dt F

d r

dt F

d R o

dt F

d r

dt M

ω × r

esto es [9.9]v F v M v o ω × r

siendo:

vF; la velocidad de la partícula en el referencial fijo (velocidadabsoluta),

vM; la velocidad de la partícula en el referencial móvil (veloci-dad relativa),

vo; la velocidad del origen móvil en el referencial fijo (arrastrede traslación),

ω ; la velocidad angular del referencial móvil respecto al fijo(velocidad angular de arrastre),

ω × r; la velocidad de arrastre debida a la rotación (arrastre derotación).

Los dos últimos términos [9.9] constituyen la velocidad de arrastre total; i.e.,

[9.10]v arr v o ω × r

que coincide con la expresión que obtuvimos en §5.7 para la velocidad de un punto

de un sólido rígido en movimiento. Podemos escribir [9.9] en la forma

vF vM varr

§9.3. Aceleración.- ¿Cómo estarán relacionadas las aceleraciones absolutas yrelativas? Para averiguarlo, calcularemos la derivada temporal de vF, dada por [9.9],en el referencial fijo, esto es, aF:

dv

F

dt F

dv

M

dt F

dv

o

dt F

d(ω × r )dt F

[9.11]



§9.3.- Aceleración. 225

dv M

dt M

ω × v M

dv o

dt F

d(ω × r )dt M

ω × (ω × r )

[9.12]dv M

dt M

ω × v M

dv o

dt F

dω dt

× r ω × d r

dt M

ω × ( ω × r )

o sea

[9.13]dv F

dt F

dv M

dt M

dv o

dt F

dω dt

× r ω × ( ω × r ) 2 ω × d r

dt M

o bien [9.14] a F a M a o ω × r ω × ( ω × r ) 2 ω × v M

siendo:

aF; la aceleración de la partícula en el referencial fijo(aceleración absoluta).

aM; la aceleración de la partícula en el referencialmóvil (aceleración relativa),

ao; la aceleración del origen del referencial móvil enel referencial fijo (arrastre de traslación),

at=ω × r; la aceleración tangencial (arrastre de rotación), an=ω ×(ω × r); la aceleración normal o centrípeta (arrastre de rotación),

aC=2ω ×vM; la aceleración complementaria o de Coriolis.

O sea, [9.15] a F a M a o a t a n a C

Para una partícula que se encuentre en reposo en el referencial de ejes móviles,al ser vM=0 y aM=0, la aceleración que le corresponderá en el referencial fijo, o sea,la aceleración de arrastre, será

[9.16] a arr a o a t a n

que coincide con la aceleración que obtuvimos para un punto de un sólido rígido enmovimiento [5.42]. Entonces, podemos expresar la aceleración de la partícula en elreferencial fijo en la forma

[9.17] a F a M a arr a C

expresión que nos recuerda a la [9.11], pero ahora hemos tenido que añadir un tercer término en el segundo miembro; este tercer término es la aceleración complementaria

o de Coriolis.La aceleración de Coriolis será siempre perpendicular al eje instantáneo de

rotación y a la velocidad relativa y se anulará en los siguiente casos:




(1) Si ω = 0; arrastre de traslación pura.

(2) Si vM=0; la partícula se encuentre en reposo en el referencial móvil.

(3) Si ω y vM son paralelos; la partícula se mueve paralelamente al eje

instantáneo de rotación.Obsérvese que si el referencial móvil presentase una traslación pura respecto al

fijo, sería ω = 0, o sea, at = 0, an = 0 y aC = 0, de modo que

[9.18] a F a M a o

y que si dicha traslación fuese uniforme, al ser ao = 0, nos quedaría

[9.19] a F a M

de modo que se igualarían las aceleraciones absolutas y relativas.

Ejemplo I. Un disco circular, de radio R2, gira alrededor de un eje perpendicular a él y que pasa

Figura 9.3

por su centro, con una velocidadangular constante ω 2. A su vez, di-cho eje gira alrededor de otro eje, perpendicular al primero y que locorta a una distancia R1 del centrodel disco, como se ilustra en la Fi-

gura 9.3 con movimiento uniforme-mente acelerado. Determinar la ve-locidad y la aceleración del punto Pindicado en la figura.

a) Elegimos un referencial móvil xyz con el mismo origen O que elreferencial fijo XYZ , en rotación convelocidad angular ω =ω 1 y acele-ración angular α=α1 alrededor deleje Z , que coincidirá siempre con eleje z. Podemos escribir

v o 0 a o 0 ω

00

ω 1

ω

00α

1

r OP

R1

0 R2

La velocidad absoluta del punto P viene dada por [9.9]; esto es,

vF

0ω

2 R2

0

000

00

ω 1

×

R1

0 R2

0ω

1 R1 ω

2 R2

0

y su aceleración la calculamos a partir de [9.14]; esto es,



§9.3.- Aceleración. 227

aF

00

ω 22 R2

000

00α

1

×

R1

0 R2

00

ω 1

×

0ω

1 R1

0

2

00

ω 1

×

0ω

2 R2

0

o sea a F

ω 21 R1 2ω 1ω 2 R2

α1 R1

ω 22 R2

b) También podemos elegir el referencial móvil x′ y′ z′ con origen en el centro del disco (C) y lamisma rotación que antes. Entonces será

vo

vC

0

ω 1 R1

0

a o a

C

ω 21 R1

α1 R1

0

r CP

0

0

R2

de modo que al aplicar las expresiones [9.9] y [9.14] obtendremos los mismos resultados que antes,como el lector comprobará fácilmente.

c) Una tercera posibilidad de elección sería la del referencial móvil x′ y′ z′ con origen en C (comoantes), pero con la rotación ω =ω 1+ω 2, de modo que el punto P permanezca en reposo en elreferencial móvil. Entonces, teniendo en cuenta que

ω ω 1 ω 2 α1 ω 1 × ω 2

00

α1

00

ω 1

×

ω 2

0

0

0ω 1ω 2

α1

será vF

000

0ω 1 R1

0

ω 2

0ω

1

×

00

R2

a F

000

ω 21 R1

α1 R1

0

0ω 1ω 2α1

×

00

R2

ω 20

ω 1

×

0ω

2

0

2

ω 20

ω 1

×

000

obteniéndose los mismos resultados que en los apartados anteriores.

§9.4. Fuerzas ficticias en un referencial en rotación.- Si estamosobservando el movimiento de una partícula desde un referencial acelerado, o sea, noinercial, deberemos ser capaces de escribir correctamente las ecuaciones delmovimiento en ese mismo referencial. Esto es, deberemos conocer la forma del

producto m aM en ese referencial, siendo m la masa de la partícula.

Es conveniente comenzar escribiendo la ecuación del movimiento en unreferencial inercial; esto es,




[9.20] F m a F

donde F es la resultante de las fuerzas reales que actúan sobre la partícula y aF es laaceleración de dicha partícula respecto al referencial inercial. Como no siempre será

posible medir esa aceleración, sustituiremos en [9.20] el valor de aF dado por [9.14];el resultado es el siguiente:

[9.21] F m a M m a o m ω × r m ω × ( ω × r ) 2 m ω × v M

de donde podemos obtener la ecuación del movimiento en el referencial no-inercialsin más que aislar en el segundo miembro el término m aM; esto es,

[9.22] F m a o m ω × r m ω × ( ω × r ) 2 m ω × v M m a M

de modo que a la fuerza real F hay que añadirle unas fuerzas ficticias o inerciales

que aparecen en los referenciales acelerados en razón de su falta de inercialidad. Lafuerza ficticia total en el referencial no-inercial es

[9.23] Fin m a o m ω × r m ω × ( ω × r ) 2 m ω × v M

y la fuerza efectiva que actúa sobre la partícula, desde el punto de vista delobservador no-inercial, es la suma de la fuerza o fuerzas reales y de la fuerza ficticiao inercial total Fin. De este modo, podemos escribir la ecuación del movimiento enel referencial no-inercial en forma análoga a como se escribe en el referencial inercial[9.20]; esto es

[9.24] F ef m a M

con Fef = F + Fin. En la expresión [9.23] de la fuerza ficticia total Fin aparecen cuatrotérminos, o sea, cuatro fuerzas inerciales, relacionadas con las aceleraciones ao, at,

an y aC, respectivamente. La primera de estas fuerzas inerciales está relacionada conel movimiento de traslación acelerado del referencial móvil respecto al fijo, y seránula, evidentemente, si el origen del referencial móvil está en reposo en el referencialfijo o se mueve con velocidad contante en él. La segunda de estas fuerzas no recibeningún nombre especial y sólo aparece en los referenciales en rotación no uniforme;

la tercera y cuarta, reciben los nombres de fuerza centrífuga y de fuerza de Coriolis,respectivamente, y a ellas dedicaremos nuestra atención preferente en lo que sigue.

§9.5. Fuerza centrífuga.- Sabemos que la aceleración normal o centrípeta de

Figura 9.4

una partícula P viene dada por ω ×(ω × r) de modo que lafuerza inercial asociada cone st a a ce le ra ci ón s er á-mω ×(ω × r) y estará dirigida

perpendicularmente al eje de

rotación y hacia afuera, de ahíque reciba el nombre de fuerzacentrífuga. Esta fuerza centrí-fuga aparecerá siempre que las



§9.5.- Fuerza centrífuga. 229

observaciones se hagan desde un referencial en rotación. El calificativo de "cen-trífuga" significa que "huye del centro". En efecto, un observador situado sobre una

plataforma que gira con velocidad angular ω (observador no-inercial) entenderá queexiste una fuerza misteriosa que actúa sobre él y que le imposibilita a permanecer enreposo sobre la plataforma a menos que él mismo realice otra fuerza dirigida hacia

el eje de rotación, fuerza que debe tener de módulo mω 2

r , siendo r la distancia a laque se encuentra del eje de rotación.

Está bien claro que la fuerza centrífuga no es una fuerza en el sentido usual de

Figura 9.5

la palabra, sino que es una fuerza ficticia que aparece en los referenciales no-inerciales. Así, por ejemplo, si un cuerpo está girando alrededor de un centro defuerzas fijo, la única fuerza real que actúa sobre el cuerpo es la fuerza de atracciónhacia el centro de la trayectoria ( fuerza centrípeta) necesaria, desde el punto de vistade un observador estacionario (inercial) para que el cuerpo pueda describir unatrayectoria curvilínea. Dicha fuerza real (la tensión de la cuerda en los ejemplosilustrados en la Figura 9.4 y en la Figura

9.5) proporciona la aceleración centrí- peta característica de todo movimientocurvilíneo. Sin embargo, un observador situado en un referencial en el cual elcuerpo esté en reposo (referencial enrotación y, por tanto, no inercial) ob-servará que el cuerpo no presentaaceleración alguna en la dirección de lafuerza aplicada (que podrá medir inter-

calando un dinamómetro en la cuerdade la Figura 9.4 y en la Figura 9.5). Parareconciliar este resultado con el requerimiento de que la fuerza neta que actúa sobreel cuerpo sea nula, el observador imagina la existencia de una fuerza igual y desentido opuesto a la fuerza centrípeta; esto es, postula la existencia de una fuerzacentrífuga, que no tiene existencia real y que sólo resulta útil al observador no-inercial para poder escribir la segunda ley de Newton en la forma usual [9.24]. Elmismo comentario podemos hacer a la fuerza Coriolis que "aparece" cuandointentamos describir el movimiento del cuerpo desde un referencial no inercial.

En el caso de una partícula situada cerca de la superficie terrestre, la fuerzacentrífuga es una función lentamente variable con la latitud del lugar y proporcionala la masa de la partícula. Cuando medimos en el laboratorio la aceleración debida ala gravedad, lo que realmente medimos no es g, sino

[9.25] g g ω × ( ω × R o)

es decir, la composición vectorial del efecto gravitatorio y del efecto centrífugo, a laque llamaremos aceleración gravitatoria efectiva o aparente.

En los Polos no interviene el efecto centrífugo, de modo que g *P = g . En el

Ecuador el efecto centrífugo es máximo, de modo que g *E = g -ω

2

R. Cabría esperar que el valor medio para la aceleración de la gravedad (aparente) en los Polos fuese3.38 cm/s2 mayor que en el Ecuador. Sin embargo, la discrepancia real en la medidaes algo mayor:




[9.26]∆ g g P g E 5.2 cm/s2

Esta discrepancia se explica considerando que la Tierra no es una esfera perfecta,sino un esferoide achatado por los Polos, de modo que la aceleración gravitatoria real

g , excluyendo el efecto centrífugo, es mayor en los Polos que en el Ecuador. Estosdos efectos no son realmente independientes, ya que el achatamiento de la Tierra esuna consecuencia de su rotación.

Ejemplo II.- Péndulo cónico.- Un péndulo cónico está formado por una masa puntual suspendida

Figura 9.6

mediante un hilo ligero, de longitud l , de un punto fijo O, de modo que puede girar alrededor deun eje vertical. a) Encontrar la relación existente entre la frecuencia (velocidad) angular ω del péndulo cónico y el ángulo θ que forma el hilo con la vertical. b) Calcular la tensión del hilo.

Referencial inercial (S).- Sobre la masa pendular actúan sólo dos fuerzas: su propio peso (m g)

y la tensión ( N ) del hilo de suspensión. Bajo la acción de esas dos fuerzas, la masa pendular describe una trayectoria circular, contenida en un plano horizontal, de radio R, con centro en el punto C.Presenta, por tanto, una aceleración centrípeta ω 2 R, siendo ω la frecuencia angular o velocidad

angular (en este caso). Así, escribiremos la ec. delmovimiento en la forma

N senθ mω 2 R N cosθ mg 0

Referencial no-inercial (S′).- En un referencialen rotación en el que la masa pendular permanezca

en reposo tendremos que considerar que sobre éstaactúan, además de su peso (m g) y de la tensión ( N )del hilo, la fuerza centrífuga ( Fcf ), cuyo módulo esmω 2 R. En este referencial, las ec. del movimiento seescriben en la forma

N senθ mω 2 R 0 N cosθ mg 0

que son las mismas que las encontradas por elobservador inercial.

Así, sea cual sea el referencial que elijamos pa-ra plantear el problema, obtenemos las mismas ecuaciones del movimiento. Resolviéndolas, tenien-do en cuenta que R = l senθ, el lector obtendrá fácilmente

ω g l cosθ

N mg cosθ

Ejemplo III.- Desviación de la plomada.- Como consecuencia del efecto centrífugo, la plomadano apunta directamente hacia el centro de la Tierra, sino que está desviada (excepto en los Polos

y en el Ecuador) un pequeño ángulo β respecto de dicha dirección. Expresar la desviación de la plomada β en función de la latitud λ del lugar.

Consideremos un lugar de la Tierra de latitud λ ; entonces, puesto que en ese lugar es



§9.5.- Fuerza centrífuga. 231

ω

ω cosλ 0

ω sen λ xyz

R o

00

R xyz

g

00 g xyz

será

Figura 9.7

[9.27] g

ω 2 R senλ cosλ 0

ω 2 R cos2λ g xyz

de modo que el módulo de la aceleración gravitatoriaefectiva es

[9.28] g g 2 ω 2 R ( ω 2 R 2 g ) cos2λ ≈

≈ g 2 2 g ω 2 R cos2λ

ya que ω 2 R = 0.0338 m/s2 es mucho menor que 2 g =19.6 m/s2. El valor máximo de g * se presenta para λ =90° (i.e., en los Polos). El ángulo β determinado por la dirección de la plomada (dirección de g*)con la dirección radial (dirección de g) es

[9.29]tg β g x

g z

ω 2 R senλ cosλ g ω 2 R cos2λ

≈ ω 2 R2 g

sen2λ

que presenta un valor máximo para λ = 44°54’, siendo entonces βmáx = 0°6’.

Obsérvese que la plomada no marca exactamente la dirección del centro de la Tierra, aunque

si marca la dirección normal a su superficie (superficie de las aguas tranquilas).

§9.6. Fuerza de Coriolis.- La fuerza de Coriolis, FC = -2mω × vM, es unafuerza ficticia que "aparece" cuando intentamos describir el movimiento de la

partícula desde un referencial no-inercial.

Para comprender fácilmente su origen y significado físico, será útil considerar

Figura 9.8

una plataforma giratoria horizontal sobre la que se moverá un objeto (una pelota detenis, en la Figura 9.8). Para analizar el movimiento de ese objeto utilizaremos dos



§9.7.- Movimiento relativo a la Tierra. 235

[9.39]ω

ω cos λ 0

ω sen λ xyz

v

˙ x˙ y˙ z xyz

a d2 r

dt 2

¨ x¨ y¨ z xyz

[9.40]ω × v

ω y sen λ

ω x sen λ ω z cos λ

ω y cos λ xyz

g

ω 2 R sen λ cos λ

0

ω 2 R cos2λ g xyz

de modo que, al sustituir en [9.38], resulta para las componentes de d2 r

dt 2 M

[9.41]

¨ x ω 2 R sen λ cos λ 2ω y sen λ

¨ y 2ω x sen λ 2ω z cos λ ¨ z 2ω y cos λ ω 2 R cos2λ g

que son las ecuaciones del movimiento de una partícula en el referencial del laboratoriocuando sobre ella actúa únicamente la fuerza de atracción gravitatoria. Obsérvese en estasecuaciones la presencia bien diferenciada de los términos asociados al efecto centrífugo(contienen ω 2 R) y de los asociados con la fuerza de Coriolis (contienen 2ω x, 2ω y o 2ω z).

§9.8. Desviación de una partícula en caída libre.- La componente de la acelera-

Figura 9.13

ción centrífuga en la dirección Norte-Sur, en el hemisferio Norte, es la causa de que un

cuerpo que cae libremente, en dicho hemisferio, experimente una desviación hacia el Sur de la dirección radial PA(como se indica en la Figu-ra 9.13. En el hemisferioSur, la desviación tendrálugar hacia el Norte (Figu-ra 9.13b). En ambos casos, latrayectoria se mantiene enel plano meridiano NPS.

Por otra parte, cuando

Figura 9.14

un cuerpo cae librementehacia la Tierra, se produciráuna desviación respecto a latrayectoria vertical comoconsecuencia del efecto deCoriolis. Esta desviacióntiene lugar en la direcciónhacia el Este, tanto en elhemisferio Norte como enel hemisferio Sur, como secomprenderá fácilmente

analizando la Figura 9.14.Combinando los efec-tos anteriores, el efectocentrífugo y el de Coriolis,se comprende que un cuer-




po que caiga libremente chocará con la superficie terrestre en un punto situado al Surestedel pie de la dirección radial en el hemisferio Norte y al Noreste en el hemisferio Sur.

Ejemplo IV.- Deflexión en caída libre.- Calcular la posición del punto de impacto sobre la superficie

Figura 9.15

terrestre de un cuerpo que cae libremente, en ausencia de rozamiento, bajo la acción gravitatoria, abando-nado sin velocidad inicial (respecto a la Tierra) desde una altura h sobre la superficie terrestre.

Las condiciones iniciales están expresadas por

[9.42] x0 0 y0 0 z0 h ˙ x0 0 ˙ y0 0 ˙ z0 0

Puesto que la velocidad angular de la Tierra es ω = 7.292×10-5 rad/s, de modo que ω 2 =53×10-10 rad/s2 resulta ser muy pequeño, en primera aproximación podemos despreciar los términos delas ecuaciones [9.41] que contienen ω 2 (asociados al efecto centrífugo), de modo que se nos reducirán

a

[9.43]

¨ x 2ω y sen λ

¨ y 2ω x sen λ 2ω z cos λ ¨ z 2ω y cos λ g

Además, como la fuerza de Coriolis produce pequeñascomponentes de la velocidad de la partícula en las direcciones delos ejes x e y en comparación a la componente de la velocidad enla dirección vertical (eje z), podemos considerar

[9.44]˙ x ≈ 0 ˙ y ≈ 0

por lo que las ec. dif. del movimiento quedan en la forma

[9.45]¨ x ≈

0 ¨ y ≈

2ω

˙ zcosλ

¨ z ≈

g

y el efecto de la fuerza de Coriolis es producir una aceleración enla dirección del eje y. Integrando dos veces sucesivas la terceraecuación de [9.45] tenemos

[9.46]˙ z ≈ gt z ≈ h 12 gt 2

y sustituyendo esta expresión de ˙ z en la de ¨ y de [9.45], e integrado de nuevo dos veces, obtenemos

[9.47]¨ y ≈ 2ω gt cosλ ˙ y ≈ ω gt 2 cosλ y ≈ 13

ω gt 3 cos λ

El tiempo de caída (correspondiente a z=0) y la desviación δ y de la partícula en el instante de tocar lasuperficie terrestre vienen dados por

[9.48]t c

2h g

δ y

ω 3

8h3

g cos λ

Así, por ejemplo, para un cuerpo que cae desde una altura de 200 m en una latitud λ =45°, ladesviación hacia el Este viene a ser de 44 mm, que es una cantidad relativamente pequeña cuando se lacompara con la altura de caída.

Por otra parte, la primera ecuación de [9.43] nos indica que, simultáneamente a la desviaciónanterior, se presenta una desviación hacia el Sur, en el hemisferio Norte, como consecuencia de la fuerza

de Coriolis, si bien ésta desviación resultará considerablemente menor (vide Problema 9.27).Hay que añadir el efecto centrífugo que desvía a la partícula hacia el Sur, en el hemisferio Norte,como se manifiesta en la primera ec. de [9.41]. La aceleración centrífuga hacia el Sur es ω 2 R senλ cosλ y la desviación producida durante el tiempo de caída será




en estas condiciones, si sólo consideramos oscilaciones de pequeña amplitud, el vector de posición r dela masa pendular será prácticamente horizontal. Sobre la masa pendular actúan dos fuerzas; su peso (m g)y la tensión del hilo (T ), como se indica en la Figura 9.18. En el hemisferio Norte, la velocidad angular de la Tierra (ω ) tiene la dirección que se indica en la Figura 9.17. De acuerdo con lo anteriormenteexpuesto, la aceleración aL de la masa pendular en el referencial del laboratorio es

[9.50]d2 r

dt 2 L

T

m g ω × ( ω × R o) ω × ( ω × r ) 2ω × d r

dt L

donde ω ×(ω × Ro) = ao es la aceleración del origen del

Figura 9.17

referencial del laboratorio en el referencial geocéntrico(inercial). Sirviéndonos de la definición de aceleracióngravitatoria aparente [9.25] y teniendo en cuenta que eltérmino ω ×(ω × r)≈0, por ser ω 2 = 53×10-10 rad/s2 y rno muy grande, podemos simplificar la expresión [9.50]. Nos quedará

[9.51]d2

rdt 2 L

T m

g 2ω × d rdt L

que es la ecuación diferencial del movimiento del pénduloen el referencial del laboratorio (no-inercial). El último

Figura 9.18

término de la ecuación anterior (con el signo negativoincluido) corresponde, evidentemente, a la fuerza de

Coriolis; esta fuerza (ficticia) desaparecería si la Tierra no girase (ω =0). La fuerza de Coriolis esrealmente muy pequeña y representa tan sólo menos del 0.01% del peso del péndulo para una velocidaddel orden de 10 km/h; por eso, su componente vertical (que juntamente con el peso determina la tensióndel hilo) puede ser despreciada en una primera aproximación. Sin embargo, no podemos hacer otro tanto

con la componente horizontal dela fuerza de Coriolis, ya que alno estar compensada por ninguna otra modificará sustan-cialmente la naturaleza delmovimiento del péndulo. Dehecho, puesto que la componentehorizontal de la fuerza deCoriolis apunta siempre hacia laderecha del plano de oscilación(en el sentido del movimiento),tanto cuando el péndulo "va"como cuando "viene", su efectoserá una rotación de dicho plano,

en torno al eje vertical, en elsentido horario (en el hemisferio Norte).

El estudio cuantitativo del péndulo de Foucault pasa por laresolución de la ecuación dife-rencial [9.51]; pero es posiblehacer un estudio bastante com-

pleto de dicho movimiento sin necesidad de resolver realmente dicha ecuación diferencial. Utilizaremoscomo guía las consideraciones cualitativas anteriores acerca de la naturaleza del movimiento y trataremosde encontrar un nuevo referencial en el que permanezca inalterado el plano de oscilación del péndulo, estoes, en el que desaparezca el término de Coriolis, o al menos su componente horizontal. Supondremos que

tal referencial gira alrededor del eje vertical con velocidad angular constante Ω; lo designaremos por P(referencial del péndulo) y por ( x′, y′, z′) a sus ejes. Entonces, de acuerdo con las expresiones [9.4] y [9.13],tendremos



§9.9.- Péndulo de Foucault. 239

[9.52]d r

dt L

d r

dt P

Ω × r

y [9.53]d2 r

dt 2 L

d2 r

dt 2 P

Ω × ( Ω × r ) 2Ω × d r

dt P

Teniendo en cuenta las dos expresiones anteriores, la ec. [9.51] se convierte en

d r 2

dt 2 P

T

m g 2ω ×

d r

dt P

Ω × r Ω × ( Ω × r ) 2Ω × d r

dt P

[9.54]T

m g 2ω × ( Ω × r ) Ω × ( Ω × r ) 2 (ω Ω ) ×

d r

dt P

que es la ecuación diferencial del movimiento en el referencial P. Desarrollando los dobles productos

vectoriales y agrupando se obtiene finalmente

[9.55]d2 r

dt 2 P

T

m g (2ω r Ω r )Ω (2Ω ω Ω2 ) r 2 (ω Ω ) ×

d r

dt P

y puesto que Ω = Ω k, todos los vectores del segundo miembro, salvo el último, están en el plano verticalque contiene al péndulo. Como para oscilaciones de pequeña amplitud es vP prácticamente horizontal, elúltimo término de [9.55] estará también en el plano vertical si es horizontal el vector (ω +Ω); esto es, si

[9.56] k (ω Ω ) 0

de modo que [9.57]

Ω k ω ω sen λ donde (90°-λ′) es el ángulo formado por la vertical del lugar y el eje de rotación de la Tierra. Laaceleración gravitatoria aparente g* tiene la dirección de la vertical del lugar y como g* sólo estáligeramente desviada con respecto a g (0°6’, como máximo), el ángulo λ′ es muy aproximadamente iguala la latitud geográfica del lugar, esto es, λ≈λ′.

Así pues, en el referencial P, que gira alrededor del eje vertical con una velocidad angular dada por [9.57], en el caso de pequeñas oscilaciones, todos los términos del segundo miembro de [9.55] estáncontenidos en el plano de oscilación (plano y′ z′, en la Figura 9.18) de modo que dicho plano permaneceráinalterado en dicho referencial. (¿Es inercial dicho referencial?). Obviamente, el plano de oscilación del péndulo precesa en el referencial del laboratorio con una velocidad angular Ω dada por la expresión[9.57]. En el hemisferio Norte la precesión tiene lugar en el sentido horario (mirando hacia abajo).

Podemos interpretar del modo siguiente el resultado expresado por [9.57]:

en un lugar de la Tierra, de latitud λ , el suelo se comporta como una plataformagiratoria con una velocidad angular Ω = ω z = ω senλ

(componente vertical de la velocidad angular de la Tierra) de modo que el movimiento de precesión del péndulo de Foucault es el que corresponde a esa velocidad angular. De estemodo, el tiempo empleado por el plano de oscilación del péndulo en dar una vueltacompleta es

[9.58]T 2π

ω sen λ

24

sen λ horas

y el ángulo girado en una hora (ξ) es función de la latitud del lugar:




[9.59]ξ 15° sen λ

Por último, deberemos observar que, al ser muy pequeños los tres últimos términos delsegundo miembro de [9.55] en comparación con los dos primeros, el movimiento del

péndulo en el referencial P es prácticamente el mismo que el que tendría lugar en el caso

de que la Tierra no girase.La experiencia del péndulo de Foucault es una prueba efectiva de la rotación de laTierra. Aún si la Tierra estuviese y hubiese estado siempre cubierta de nubes, la experienciade Foucault nos permitiría demostrar que la Tierra está girando. Existe un péndulo deFoucault en la gran sala de entrada del edificio de las Naciones Unidas en Nueva York,y es frecuente encontrarlo en los grandes Museos de Ciencias.

Problemas9.1.- Comparar las expresiones [9.9] y [9.14], quenos expresan la velocidad y aceleración absolutas,respectivamente, de una partícula, con las expre-siones dadas en la Lección dedicada a la Cinemá-tica del Sólido Rígido para la velocidad y acelera-ción de un punto de un sólido en función de la

velocidad y aceleración de otro punto del mismo.¿Cómo podemos hacer "coincidir" estas expresio-nes?

9.2.- Un referencial xyz está girando con unavelocidad angular ω = 2t i + 3t 2 j + (1-t ) k conrespecto a un referencial inercial XYZ que tiene sumismo origen. El vector de posición de una partícula en el referencial xyz es r = (t 2-1)i + 3t j- 2 k. Calcular las velocidades absoluta y relativade la partícula y las distintas aceleraciones queintervienen (absoluta, relativa, centrífuga, deCoriolis, ...) en el instante t =2 s.

9.3.- Dispositivo experimental. Un método

Prob. 9.3

sencillo para demostrar el efecto de la aceleracióncentrífuga y de Coriolis consiste en colocar unahoja de papel sobre una plataforma que gira con

velocidad angular constante ω , como se muestraen la figura. Por encima del disco se dispone deun carril fijo por el que puede deslizar un rotula-dor que marcará un trazo sobre el papel. Supon-gamos que el rotulador se mueve de izquierda aderecha, desde un borde a otro de la plataforma,

con una velocidad constante v. a) Si v es tal queel rotulador recorre una distancia de un diámetro D en el tiempo en que la plataforma gira 90°, dibujar el trazo que quedará marcado sobre el papel. b) Repetir para una velocidad doble de laanteriormenteconsiderada. Ídemcuádruple. c) ¿Esconstante la velocidad del rotulador con respectoa la plataforma? d) Las trayectorias sobre la plataforma son, obviamente, curvilíneas. ¿Presen-tan una curvatura constante en todos sus puntos?¿Dónde se presentan las mayores curvaturas?¿Porqué?

9.4.- Una partícula se mueve en un referencialinercial de modo que su trayectoria queda defini-da por las ecuaciones paramétricas:

X = V 0 t Y = 0 Z = 0

¿Cuál es la trayectoria de la partícula en un refe-rencial que gira con velocidad angular constante,ω , en el sentido antihorario, alrededor del eje Z ?

9.5.- Piñón y corona. Un piñón de radio r ruedacon velocidad angular ω constante por el interior de una corona de radio R, como se indica en lafigura. Supongamos que la corona también estágirando, con velocidad angular Ω constante.a) Determinar la velocidad y aceleración del punto P que se indica en la figura. b) Ídem paraun punto genérico de la periferia del piñón.



Problemas 241

9.6.- En un tiovi-

Prob. 9.5

vo. Sobre la plataforma de untiovivo, que giracon una velocidadangular constanteω , se encuentra

u n c u b i l e t egiratorio, de radior , que está girandoalrededor de su ejecon una velocidadangular constante Ω, en la misma dirección queω . Sea Ro la distancia del eje del cubilete alcentro de la plataforma. a) Calcular la velocidady aceleración absolutas de un punto genérico dela periferia del cubilete. b) Determinar la relaciónque deberá existir entre los módulos de ω y Ω(i.e., el valor del cociente ω /Ω) para que el puntodel cubilete que en cada instante se encuentra

más próximo al centro de la plataforma tenga unavelocidad absoluta nula. En estas condiciones,¿cuál será la aceleración absoluta de ese punto?

9.7.- El disco que

Prob. 9.7

se muestra en lafigura está girandocon velocidadangular ω 1 yaceleración angu-lar α1 alrededor de su eje derevolución, altiempo que dicho

eje es arrastrado por el movimientode rotación de lahorquilla, con velocidad angular ω 2 y aceleraciónangular α2. Determinar la velocidad y aceleraciónde un punto genérico P de la periferia del disco.

9.8.- Una corredera P desliza a lo largo de un

Prob. 9.8

anillo de radio R con una velocidad v (de móduloconstante) respecto del anillo. A su vez, el anilloestá girando con velocidad angular constante, ω ,alrededor de un eje tangente al mismo, como semuestra en la figura. a) Determinar la velocidady la acele-

ración absolu-tas de lacorredera enuna posicióng e n é r i c a ,c o m o s eindica en lafigura. b) Par-ticularizar losresultados dela p a r t a d oanterior paraθ=0, 90°, 180° y 270°.

9.9.- Un disco de radio r rueda a lo largo de una

Prob. 9.9

guía diametral fija en una plataforma giratoria,acercándose al centro de ésta con celeridad cons-tante v0. Determinar la velocidad y la aceleracióndel punto P, en el instante que se indica en la

figura adjunta, cuando la plataforma está girandocon velocidad angular ω y aceleración angular α.

9.10.- Un disco de radio r rueda, manteniéndose

Prob. 9.10

siempre vertical, por una guía circular de radio Rfija en una plataforma horizontal, como se indicaen la figura adjunta. La celeridad de traslación del

disco (relativa a la plataforma) es vC=cte. Deter-minar la velocidad y la aceleración absolutas del punto P de la periferia del disco que se encuentraen posición diametralmente opuestaal de contactode éste con la plataforma, cuando ésta seencuentra en rotación con velocidad angular Ωconstante, en el instante que se ilustra en lafigura.

9.11.- La hélice de un avión gira con una veloci-dad angular constante ω , en tanto que el avión semueve en un plano horizontal, describiendo unatrayectoria circular de radio R, con velocidad v demódulo constante. Determinar la velocidad y

aceleración absolutas de un punto genérico de lahélice.

9 . 1 2 . - E l

Prob. 9.12

diámetro ABd el d is cocircular que semuestra en lafigura formaun ángulo de30° con lavertical. Eldisco está gi-r and o c onv e l o c i d a dangular cons-t a n t e , ω ,alrededor deun eje vertical




que pasa por el punto B. Una partícula P estárecorriendo la periferia del disco con velocidad v(de módulo constante) relativa al mismo. Deter-minar la velocidad y la aceleración de la partículaen la posición genérica indicada en la figura.

9.13.- Grúa telescópica. El brazo telescópico de

Prob. 9.13

la grúa que se muestra en la figura se está alar-gando de modo que su extremo P se aleja conceleridad constante v0 del centro O. Simultá-neamente, el brazo se eleva sobre la horizontal

con una celeridad angular constante ω 1 y la plataforma de apoyo está girando con una celeri-dad angular constante ω 2. Determinar la velo-cidad y la aceleración absolutas del extremo P enel instante que se muestra en la figura.

9.14.- En el hemisferio Norte, un automóvil, cuyamasa es 1000 kg, circula por una autopista conuna velocidad de 144 km/h. En un instante, elautomóvil avanza en la dirección Sur-Norte en unlugar de 40° de latitud. a) Determinar la veloci-dad y aceleración absolutas del automóvil en eseinstante, considerando tan sólo el movimiento dela Tierra como rotación pura alrededor de su eje polar. Calcular el valor (módulo y dirección) dela fuerza de Coriolis en ese instante. b) Repetir elapartado anterior cuando el automóvil avanzahacia el NE, formando un ángulo de 30° con ladirección del meridiano.

9.15.- Un autobús toma una curva (no peraltada)de 20 m de radio a una velocidad de 36 km/h.¿Qué ángulo formarán con la vertical las agarra-deras de mano que cuelgan libremente del techodel autobús?

9.16.- En un parque de atracciones las personas sesostienen "prendidas" de la pared de un grancilindro giratorio (de eje vertical) mientras que elsuelo se hunde bajo sus pies. Si el radio del cilin-dro es de 3 m y gira a razón de 30 rpm, calcular el valor mínimo del coeficiente de rozamientoentre la persona y la pared del cilindro queimpida la caída.

9.17.- Peralte. Una carretera está peraltada demodo que un vehículo que circula a 80 km/h pue-da tomar una curva de 30 m de radio aún en las

condiciones más desfavorables en que el roza-miento entre los neumáticos y el firme sea nulo(carretera helada). Determinar la velocidadmáxima a que un vehículo puede tomar esa curvaen el caso de que el coeficiente de rozamientovalga 0.25.

9.18.- En bicicleta. a) Calcular el radio mínimode la curva que puede tomar un ciclista que correa una velocidad de 25.2 km/h por una carreterano peraltada si el coeficiente de rozamientoestático entre los neumáticos y el suelo vale 0.30.b) Bajo esas condiciones, calcular el ángulo quedebe inclinarse el ciclista para tomar la curva.

9.19.- Superficie libre de los líquidos en rota-ción. Demostrar que la superficie libre de unlíquido en rotación uniforme en torno a un ejevertical es un paraboloide y escribir su ecuación.

9.20.- Desviación de la plomada I. Calcular el

ángulo que forma la dirección de la plomada conla dirección radial al centro de la Tierra en ellugar donde nos encontramos ahora mismo. ¿Cuáles la verdadera vertical del lugar?

9.21.- Desviación de la plomada II. Calcular lamáxima desviación de una plomada de la direc-ción radial en el planeta Júpiter, sabiendo que el periodo de revolución de dicho planeta es de9h 51min, que su radio es de unos 70 000 km yque el valor de la intensidad del campo gravita-torio en su superficie es de 26.5 N/kg.

9.22.- a) Demostrar que, si la Tierra girase con

una velocidad angular , el pesoω 2 g / Raparente de un cuerpo no dependería de la latitudλ del lugar. b) Demostrar que, en las condicionesanteriores, la desviación de la plomada sería β =180° - λ .

9.23.- Un tubo delgado de longitud 2l , gira en un plano horizontal alrededor de un eje vertical que pasa por su centro. Una bolita se encuentrainicialmente en reposo en el interior del tubo, auna distancia b de su centro. Suponiendo que noexistan rozamientos, calcular: a) el tiempo queemplea la bolita en salirse del tubo y su velocidaden ese instante; b) la fuerza que ejerce el tubosobre la bolita un instante antes de que ésta salgafuera del tubo.

9.24.- Una locomotora se mueve hacia el Norte,en un lugar de la Tierra de latitud λ , sobre unavía recta a nivel constante, con una velocidad v.a) Demostrar que la relación existente entre lasreacciones normales en los dos railes vale apro-ximadamente 1 + (8ω vh sen λ )/bg , donde h es laaltura del centro de gravedad de la locomotorasobre los railes y b es el ancho de la vía.b) ¿Cuál de los railes soporta un peso mayor?

9.25.- Orillas de un río. Un río de anchura Dcorre a lo largo de un meridiano, en el hemisferio Norte, a una latitud λ . Demostrar que existe undesnivel de agua entre las orillas derecha e iz-quierda dado por h ≈ 2 Dω v sen λ / g , donde ω esla velocidad angular de la Tierra y v la velocidad



Problemas 243

de la corriente. Efectuar los cálculos para D =1 km, v = 6 km/h y λ ≈ 45°.

9.26.- Desde un lugar de la Tierra de latitud λ lanzamos verticalmente hacia arriba un objetoconuna velocidad v0. a) Demostrar que caerá en un punto desplazado hacia el Oeste del punto de

lanzamiento a una distancia igual a4ω v03cosλ /3 g 2. b) Realizar el cálculo del des-

plazamiento si el lanzamiento tiene lugar en elEcuador y la velocidad de lanzamiento es de108 km/h. c) ¿Cuál debe ser, en el Ecuador, lavelocidad inicial del objeto para que caiga a 5 mdel lugar de lanzamiento?

9.27.- Se deja caer un cuerpo desde una altura h,en un lugar de la Tierra de latitud λ (en el hemis-ferio Norte). a) Demostrar que el efecto de Corio-lis produce una desviación del punto de impactocon respecto al pie de la vertical, hacia el Sur,

cuyo valor aproximado es ω 2h2 sen2λ

3 g b) Comparar esa desviación con la producidahacia el Este por el efecto de Coriolis y hacia elSur por el efecto centrífugo, para el caso en queλ = 45° y h = 200 m.

9.28.- Desviación de un proyectil. Se dispara un proyectil de 100 kg a lo largo de un meridiano,en dirección Norte, con una velocidad inicial de1 800 km/h y un ángulo de disparo de 25° sobrela horizontal, en un lugar de latitud 40° N.a) Calcular el valor de la aceleración y de lafuerza de Coriolis en el momento inicial.

b) ¿Hacia dónde se produce la desviación apa-rente de la trayectoria?

9.29.- Azafata. Un avión comercial vuela sobreel Ecuador, a una altura de 6 000 m, con unavelocidad de 900 km/h, en dirección hacia elEste. Una de las azafatas se pesa en una balanzade resorte, precisa y de buena fidelidad. En elviaje de vuelta, cuando el avión sobrevuela lamisma población, la azafata vuelve a pesarse ydescubre con horror que la balanza marca casimedio kilogramo más que en el viaje de ida. ¿Haengordado la azafata o podemos atribuir la dife-rencia de peso a otras causas? ¿A cuáles? Hacer

unos cálculos indicativos que justifiquen lasrespuestas anteriores.

9.30.- Un insecto que pesa 4 g se encuentrainicialmente en reposo sobre el plato de untocadiscos que está girando a razón de 45 rpm.a) Calcular el valor mínimo del coeficiente derozamiento que permita al insecto permanecer enreposo sobre el plato a 15 cm de su eje. b) Des-cribir y calcular las fuerzas que actuarán sobre elinsecto cuando éste comience a caminar hacia elcentro del plato, con una velocidad constante(respecto al plato) de 3 cm/s.

9.31.- Péndulo de Foucault. Un péndulo de Fou-cault de 50 m de longitud está situado en unlugar de la Tierra de latitud 45°N. a) Describir elmovimiento de la masa pendular. b) ¿Qué ángulogira el plano de oscilación del péndulo en cadaoscilación completa del mismo? c) ¿Qué tiempo

deberá transcurrir para que el péndulo oscile enun plano normal al inicial?



10.- Trabajo y energía.

§10.1. Trabajo y energía (245); §10.2. Trabajo de una fuerza (247); §10.3. Potencia (250);§10.4. Unidades de trabajo y potencia (251); §10.5. Energía (251); §10.6. Energía cinética(252); §10.7. Campos de fuerzas. Fuerzas conservativas (255); §10.8. Energía potencial(259); §10.9. La energía potencial como energía de configuración (264); §10.10. Teoremadel virial (266); Problemas (268)

El problema central de la Mecánica Clásica es, como ya hemos dicho reiterada-mente, averiguar como será el movimiento de un cuerpo dado, cuyas característicasfísicas conocemos (masa, carga eléctrica, ...) cuando lo colocamos en un cierto medioambiente del que tenemos una descripción completa (campo gravitatorio, campoeléctrico, ...). En las lecciones anteriores hemos visto como podemos abordar ese

problema. Para ello hemos definido un conjunto de magnitudes cinemáticas, talescomo la velocidad y la aceleración, que nos han permitido describir el movimientodel cuerpo, y hemos relacionado esas magnitudes cinemáticas con otras magnitudesdinámicas, tales como la masa y la fuerza, por medio de las llamadas leyes del movimiento (leyes de Newton). Por último, hemos indagado acerca de la naturalezade las fuerzas, i.e., de la relación que existe entre ese ente físico-matemático que nosrepresenta la interacción de la partícula con su medio ambiente y las característicasde aquélla y de éste.

§10.1. Trabajo y energía.- Pudiéramos pensar que con estos elementos estamosen condiciones de resolver cualquier problema de mecánica, ya que en últimoextremo todo se reduce a integrar una ecuación diferencial de segundo orden; laecuación diferencial del movimiento. En efecto, tanto en el caso de que la fuerza seaconstante como si es una función conocida del tiempo, F = F(t ), podemos calcular la aceleración de la partícula:

[10.1] a(t ) F(t )

m




246 Lec. 10.- Trabajo y energía.

y a partir de ella la velocidad y la posición de la misma, en función del tiempo,mediante dos integraciones sucesivas, teniendo en cuenta las condiciones iniciales v0

y r0.

Sin embargo, en la mayor parte de las situaciones físicas de interés, la fuerza queobra sobre la partícula ni es constante ni es una función conocida (a priori) del

tiempo; lo más frecuente es conocerla en función de la posición que ocupa la partícula en su medio ambiente.

Este es el caso, por ejemplo, de la acción gravitatoria sobre una partícula, ya que la ley de la fuerzacorrespondiente (la ley de gravitación) nos expresa la fuerza que actúa sobre la partícula en función de lasdistancias que la separa de las demás partículas que constituyen su medio ambiente. Así, en el problemaclásico de determinar la órbita de un planeta en el Sistema Solar, conocemos la fuerza que el Sol ejercesobre el planeta en función de la distancia Sol-planeta, que varía a medida que el planeta se desplaza sobresu órbita elíptica. La misma situación se nos presenta en el caso de la interacción electromagnética entredos partículas cargadas. Del mismo modo, en la descripción de fuerzas complejas, como puede ser lafuerza elástica que actúa sobre una masa sujeta a un muelle deformado, es frecuente que la fuerza vengaexpresada en función de la posición de la partícula y no en función del tiempo; así en el ejemplo anterior,

en una dimensión, la ley de la fuerza es F = -k ( x- x0), que es la ley de HOOKE.En esta lección vamos a desarrollar unos métodos generales que nos permitirán

abordar aquellos problemas en los que conocemos la fuerza como función de la posición de la partícula. Veremos la necesidad de introducir nuevos conceptos físicos,tal como el de energía, que juega un papel central en la Física, interviniendo comonexo de unión entre áreas de la misma que, en principio, pudieran parecer desconectadas entre sí, como la Mecánica, la Termología, el Electromagnetismo y laÓptica.

El desarrollo histórico del concepto de energía fue lento y sinuoso, ya que debió

transcurrir más de siglo y medio desde que se columbró hasta que se estableció enla forma en que lo formulamos actualmente. Las raíces de este concepto hay que buscarlas en el siglo XVII. Fue HUYGENS (1629-1695) a quien le cupo el gran honor de vislumbrarlo por primera vez cuando trataba de establecer las reglas por las quese regía el choque elástico entre dos cuerpos. Como ya vimos en la Lec. 7, NEWTON

(1642-1727) se basó en los trabajos de Huygens acerca de la cantidad de movimientode los cuerpos colisionantes para establecer la tercera ley del movimiento (ley de laacción-reacción). Se sabía que la cantidad de movimiento total después del choqueera la misma que la que había antes del mismo, con independencia del tipo decolisión que tuviera lugar. La tercera ley de Newton describe este resultado

experimental.Huygens sugirió otra magnitud física que también se conservaría en un cierto tipo

de colisiones, llamadas colisiones elásticas. En 1669 propuso la siguiente regla paratales colisiones: la suma, extendida a todos los cuerpos colisionantes, del productode la masa de cada uno por el cuadrado de su velocidad permanece constante en unacolisión elástica. A la magnitud mv2 se le dio el nombre de vis viva y fue utilizada

por LEIBNIZ (1646-1716) y en otros trabajos de Huygens publicados hacia el año1700 (en especial en su obra póstuma De motu corporum percussione, 1703). Lamagnitud entonces definida como vis viva es la precursora de la que hoy llamamos

energía cinética.Pero no es únicamente la necesidad de resolver la ecuación diferencial delmovimiento, en el caso de que la fuerza no sea función explícita del tiempo, sino dela posición de la partícula, la que nos lleva a introducir el concepto de energía; hay



§10.1.- Trabajo y energía. 247

algo más, pues el concepto de energía nos permitirá abordar problemas en los quedesconozcamos la ley de la fuerza, siempre que podamos formular suposicionesrazonables acerca de sus propiedades. Esa situación la encontramos en la Física

Nuclear, donde no existe, en el momento presente, una ley de fuerza exacta en elmismo sentido en que lo son la Ley de Gravitación o la de Coulomb. En tales

circunstancias encontraremos más apropiado utilizar el concepto de energía deinteracción en lugar del concepto de fuerza.

§10.2. Trabajo de una fuerza.- Uno de los conceptos más útiles y fundamen-tales de la Física es el de energía, pero este concepto está ligado de tal modo con elde trabajo que apenas sería posible hablar inteligiblemente de energía sin haber definido antes lo que entendemos por trabajo y esto a pesar de que históricamenteel concepto de energía se vislumbró antes que el de trabajo. Comenzaremos, por lotanto, definiendo este último.

Consideremos una partícula P sobre

Figura 10.1

la que actúa una fuerza F, función de la posición de la partícula en el espacio,esto es F = F( r), y sea d r un desplaza-miento elemental (infinitesimal) experi-mentado por la partícula durante un inter-valo de tiempo dt . Llamamos trabajo ele-mental, dW , de la fuerza F, correspon-diente al desplazamiento elemental d r, al

producto escalar de F por d r; i.e.,

[10.2]dW F d r

Si representamos por d s la longitudde arco (medido sobre la trayectoria de la partícula) en el desplazamiento elemental,esto es d s = d r , entonces el versor tangente a la trayectoria viene dado por et =d r/d s y podemos escribir [10.2] en la forma

[10.3]dW F d r F e t d s ( F cosθ ) d s F s d s

donde θ representa el ángulo determinado por los vectores F y et y F s es lacomponente de la fuerza F en la dirección del desplazamiento elemental d r.

El trabajo realizado por la fuerza F durante un desplazamiento elemental de la partícula sobre la que está aplicada es una magnitud escalar, que podrá ser positiva,nula o negativa, según que el ángulo θ sea agudo, recto u obtuso.

Si la partícula P recorre una cierta trayectoria en el espacio, su desplazamientototal entre dos posiciones A y B puede considerarse como el resultado de sumar infinitos desplazamientos elementales d r y el trabajo total realizado por la fuerza F

en ese desplazamiento será la suma de todos esos trabajos elementales; o sea

[10.4]W AB ⌡⌠B

AC

F d r ⌡⌠B

AC

F s d s




Esto es, el trabajo viene dado por la integral curvilínea de F a lo largo de la cur-va C que une los dos puntos; en otras palabras, por la circulación de F sobre la cur-va C entre los puntos A y B. Así pues, el trabajo es una magnitud física escalar quedependerá en general de la trayectoria que una los puntos A y B, a no ser que lafuerza F sea conservativa, en cuyo caso el trabajo resultará ser independiente del ca-

mino seguido para ir del punto A al punto B, siendo nulo en una trayectoria cerrada.La evaluación de una integral curvilínea como la [10.4] se hará por los métodos

estudiados en la lección dedicada al Análisis vectorial (vide Lec. 3). Téngase encuenta que antes de proceder a tal integración deberemos conocer F en función delas coordenadas ( x, y, z) de la partícula y que de igual manera deberemos conocer laecuación de la trayectoria seguida por la partícula (salvo en el caso de que la fuerzasea conservativa). En coordenadas cartesianas, la expresión [10.4] se escribe en laforma

[10.5]W AB ⌡⌠

B

AC F d r ⌡⌠

B

AC F x d x F y d y F z d z

donde ( F x ,F y ,F z) son las componentes de la fuerza F en las direcciones de los ejescoordenados y (d x,d y,d z) son las componentes del vector desplazamiento elementald r.

Si la curva C viene definida por sus ecuaciones paramétricas, x = x(t ), y = y(t ), z = z(t ), donde t es un parámetro que, incidentalmente, pudiera ser el tiempo,entonces podemos escribir [10.5] en la forma

[10.6]W AB ⌡⌠

t B

t A

F x (t ) d xdt

F y (t ) d ydt

F z (t ) d zdt

dt

siendo t A y t B los valores del parámetro t correspondientes a los puntos A y B.

En el caso particular de que la fuerza aplicada a la partícula sea constante (en


módulo, dirección y sentido, Figura 10.2), se tiene que

[10.7]W AB ⌡⌠

B

AC

F d r F ⌡⌠

B

A

d r F ∆ r




deberemos reservar el término de trabajo para el que se ajusta a

Figura 10.5

nuestra definición anterior. Pero la definición de trabajo, aunqueno está relacionada de un modo evidente con el trabajo fisiológico,está ligada con él mediante el concepto de energía, que comoveremos es una consecuencia de la definición de trabajo; todotrabajo fisiológico implica el consumo de una cierta energía.

§10.3. Potencia.- En la definición dada ante-riormente del trabajo realizado por una fuerza noimporta el tiempo que ésta invierte en realizarlo. Sinembargo, en las aplicaciones, y especialmente en laingeniería, es fundamental conocer la rapidez con quese realiza ese trabajo; esto es, el trabajo realizado por unidad de tiempo. La magnitud física que mide larapidez con que se realiza el trabajo recibe el nombre

de potencia y la designaremos por P .La potencia media se define como el cociente entre el trabajo realizado por unafuerza y el tiempo invertido en su realización; esto es,

[10.10]< P > W

∆t

El límite del cociente anterior 1, cuando consideramos un intervalo de tiempo quetiende a cero, nos define el concepto de potencia instantánea; esto es,

[10.11] P lím∆t →0

W ∆t

dW dt

De modo que, si conocemos P en función del tiempo, el trabajo realizado en elintervalo de tiempo ∆t = t 2-t 1 será

[10.12]W ⌡⌠

t 2

t 1

P dt

Teniendo en cuenta que dW = F d r, podemos escribir esta otra expresión parala potencia desarrollada por una fuerza:

[10.13] P dW dt

F d r

dt F v

donde v representa la velocidad de la partícula a la que está aplicada la fuerza.Vemos que la potencia desarrollada por la fuerza F será positiva, nula o negativasegún que los vectores F y v formen un ángulo agudo, recto u obtuso.

1 Rehusamos escribir ∆W en el numerador de la expresión [10.10] ya que el trabajo se realizao no se realiza, pero no se incrementa. Dicho de otra forma, el trabajo no es función de estadodel sistema. Insistiremos y desarrollaremos con más rigor esta idea en las Lecciones de Termología.



§10.4.- Unidades de trabajo y potencia. 251

§10.4. Unidades de trabajo y potencia.- La definición de trabajo de unafuerza nos muestra que el trabajo es dimensionalmente equivalente al producto de unafuerza por una longitud.

En el Sistema Internacional de unidades (SI o mks), el trabajo vendrá expresado

en newton-metro (N m), unidad que recibe el nombre de julio (joule) y cuyo símboloes J, en honor al científico británico James P. JOULE (1816-1869), famoso sobre todo

por sus investigaciones acerca de los conceptos de calor y energía.

En el sistema cgs la unidad de trabajo es la dina-centímetro (dyn cm), unidad querecibe el nombre de ergio, cuyo símbolo es erg.

En el sistema técnico la unidad de trabajo es el kilogramo-metro (kg m), unidadque recibe el nombre de kilográmetro, cuyo símbolo es kgm.

Es fácil encontrar los factores de conversión entre esas unidades de trabajo:

1 J = 107

erg y 1 kgm = 9.8 JEn cuanto a la potencia, dimensionalmente equivale al cociente de un trabajo por

un tiempo. En el sistema SI (mks), la potencia vendrá expresada en julios/segundo(J/s), unidad que recibe el nombre de watio (W), en honor al ingeniero británico J.WATT (1736-1819). En los sistemas de unidades cgs y técnico las unidades de

potencia son el erg/s y el kgm/s, respectivamente, que no reciben nombresespeciales.

En la técnica son de uso frecuente las siguientes unidades de potencia: el caballode vapor (CV), el horse power (HP) y el kilovatio (kW) (Cuadro 10.1).

Cuadro 10.1.- Equivalencias de unidades de potencia.

1 CV = 75 kgm/s = 736 W

1 HP = 550 lb pie/s = 746 W

1 kW = 1 000 W = 102.04 kgm/s

Naturalmente, el producto de una unidad de potencia por una unidad de tiempo

nos dará una unidad de trabajo. Así podemos definir la unidad de trabajo llamadakilovatio-hora (kWh), como el trabajo efectuado durante una hora por una máquinacuya potencia (constante) sea de un kilovatio; esto es

1 kWh = (103 W) (3.6×103 s) = 3.6×106 J

§10.5. Energía.- El término de energía, al igual que el de trabajo, tiene en laFísica un significado muy preciso. Aunque el concepto de energía es previo,históricamente, al de trabajo, debemos llegar a él mediante un proceso intuitivo ygradual, por lo que puede ser conveniente definirlo, de un modo general, de la formasiguiente:

La energía de un sistema material es una medida de su capacidad pararealizar trabajo. La energía es una magnitud física escalar y se mide en las




mismas unidades que el trabajo.

A partir de esa definición podemos pensar inmediatamente en muchos sistemasmateriales que poseen energía. Por ejemplo, a causa de encontrarse en movimiento.Así, un automóvil, un proyectil, el agua que cae por una cascada, el viento ... poseenenergía en el sentido de que tienen capacidad para realizar trabajo durante el procesoque los lleve al reposo.

La energía que posee un sistema material en razón de encontrarse enmovimiento recibe el nombre de energía cinética.

Pero también podemos concebir otros sistemas materiales que poseen energía enrazón de su posición o de su configuración. Por ejemplo, un metro cúbico de aguasituado en la parte superior de la presa de un pantano tiene, como consecuencia desu posición, capacidad para realizar trabajo, moviendo la turbina situada en la parteinferior de la presa, la cuerda tensa de un arco tiene capacidad para realizar trabajo,

impulsando a la flecha.La energía que posee un sistema material en razón de su posición o de suconfiguración, se denomina energía potencial .

El metro cúbico de agua mencionado en el ejemplo anterior posee una ciertaenergía potencial como consecuencia de su posición en el campo gravitatorioterrestre. A esa energía potencial la llamamos energía potencial gravitatoria.También el arco tenso tiene una cierta energía potencial. El sistema constituido por la armadura del arco y la cuerda constituye un sistema elástico y almacena una ciertaenergía cuando está tenso; dicha energía se llama energía potencial elástica. Los

ejemplos anteriores nos demuestran como podemos añadir diferentes calificativos ala energía potencial, de acuerdo con las características de cada sistema material.

Siempre podemos pensar en la energía como el resultado de la realización de untrabajo. Así, en el caso del metro cúbico de agua, la energía potencial la adquieremediante el trabajo que tendríamos que realizar para elevarlo hasta la parte superior de la presa; en el caso del arco, la energía potencial (elástica) la adquiere medianteel trabajo que hay que realizar para tensarlo. Para poner un cuerpo en movimientohay que realizar un trabajo, y el resultado es que el cuerpo adquiere energía cinética.Estas observaciones nos sugieren la posibilidad de definir operativamente el concepto

Figura 10.6

de energía, a través del trabajo que se ha realizado previamente sobre el cuerpo o sistema material . Estas definiciones operativas, que estudiaremos con detalle en losapartados que siguen, resultan más satisfactoriasque la definición general de energía dada al

principio de este artículo; aunque, comoveremos, son equivalentes a ella.

§10.6. Energía cinética.- Consideremosuna partícula de masa m sobre la que actúa unafuerza única F, o un conjunto de fuerzas cuyaresultante sea F, y describamos su movimientodesde un determinado referencial inercial, comose muestra en la Figura 10.6. Bajo la acción deesa fuerza, o de ese conjunto de fuerzas, la



§10.6.- Energía cinética. 253

partícula adquiere una aceleración, tal que F = m a. Calculemos el trabajo realizado por la fuerza F en un desplazamiento de la partícula entre dos puntos, A y B, de sutrayectoria:

[10.14]W

AB ⌡⌠

B

AC

F d r

⌡⌠

B

AC

m a d r m⌡⌠

B

AC

dv

dt d r m

⌡⌠

B

A

v dv

pero como de [10.15]d (v v) d (v 2) 2 v dv

se sigue que [10.16]v dv 1

2 d(v 2)

y la expresión [10.14] se transforma en

[10.17]W AB1

2 m⌡

⌠B

A

d(v 2) 1

2 mv2

B

A

1

2 mv2

B1

2 mv2

A

El término ½mv2, que reconoceremos como la mitad de la vis viva definida por Leibniz, aparece tan a menudo en las expresiones de la Física, que desde hace ya másde un siglo se estimó conveniente considerarlo como una magnitud física importante,a la que se le dio el nombre de energía cinética. Representaremos la energía cinética

por E k , de modo que la expresión [10.17] podemos escribirla como

[10.18]W AB ⌡⌠B

AC

F d r 12 mv2

B12 mv2

A E k (B) E k (A)

que constituye la expresión del llamado teorema de las fuerzas vivas2, que puedeenunciarse de la siguiente forma:

El trabajo efectuado sobre una partícula es igual a la variación que experimenta suenergía cinética.

El teorema de las fuerzas vivas, o teorema del trabajo y de la energía cinéticacomo se le conoce actualmente, es de validez general, cualquiera que sea la

naturaleza de la fuerza o fuerzas que obren sobre la partícula.La energía cinética de una partícula es una magnitud física escalar, esencialmente positiva, que se mide, obviamente, con las mismas unidades que el trabajo; esto es,en julios (J) en el sistema mks (SI) y en ergios (erg) en el sistema cgs.

La expresión [10.18], que relaciona el trabajo realizado sobre una partícula con la variaciónde su energía cinética, presenta un cierto parecido formal con la expresión

2 El nombre de fuerza viva se conserva por razones históricas. Fue asignado por Leibniza aquellas fuerzas que producen movimiento; en contraposición a las que él llamaba fuerzasmuertas, que no dan lugar a movimiento alguno, como es, por ejemplo, el peso de un cuerposituado sobre un tablero horizontal.




[10.19]Π ⌡⌠

B

A

F dt mv B mv A p B p A

que relaciona la impulsión de una fuerza con la variación de la cantidad de movimiento queexperimenta la partícula sobre la que actúa (vide §7.7). La diferencia radica en que la impulsión,

por ser una integral de tiempo, es útil si conocemos la fuerza en función del tiempo; en tanto queel trabajo, por ser una integral de espacio, es útil si conocemos el valor de la fuerza en función dela posición de la partícula sobre la que actúa, que es una situación que nos encontramos frecuente-mente y, por ello, los conceptos de trabajo y de energía desempeñan un papel tan importante enla Física.

Observemos que, por ser relativa al observador la velocidad de una partícula, laenergía cinética de la misma también será una magnitud física relativa al observador;esto es, cuando hablemos de la energía cinética de la partícula tendremos queespecificar el referencial en el cual se mide. Pero también debemos observar que eltrabajo realizado por una fuerza depende del referencial en el que describamos el

movimiento de la partícula a la que está aplicada; i.e., la integración es⌡⌠B

AC

F d r

función del referencial (inercial) elegido, ya que la trayectoria, y con ella A y B,resulta ser función del referencial que utilizamos para describir el movimiento. Deese modo resulta que el teorema de las fuerzas vivas es válido (de acuerdo con el

principio de relatividad de Galileo) en cualquier referencial inercial.

Ejemplo I.- Demostrar la validez del teorema de las fuerzas vivas en todos los referencialesinerciales.

Supongamos un vagón de ferroca-

Figura 10.7

rril que se mueve con velocidad cons-tante v0 sobre una vía recta y horizontal;consideremos dos observadores, S y S′,en reposo con respecto a tierra y enreposo en el interior del vagón, respec-tivamente, como se muestra en la Figu-ra 10.7. Evidentemente, al ser v0=cte, osea a0=0, si el observador S es conside-

rado como inercial, el S′ también loserá. Sea un cuerpo de masa m que seencuentre sobre la plataforma del vagón,y supongamos que se le aplica una fuer-za constante F en la dirección del movi-miento del vagón (para simplificar el problema, aunque ello no impida quesean generales los resultados que obten-gamos).

En todo instante, la energía cinéticadel cuerpo de masa m viene dada, en

cada uno de los referenciales S y S′ por

[10.20] E k 1

2 mv2 E k

1

2 mv 2




[10.29] F F( r ;t ) F( x, y, z;t )

En el caso particular de que F no sea función explícita del tiempo, esto es, de que

[10.30] F F( r) F( x, y, z)

el campo de fuerzas se llama estacionario. En lo que sigue, salvo que se diga locontrario, consideraremos sólo campos de fuerzas estacionarios.

Naturalmente, la fuerza que actuará sobre una partícula que esté situada en uncampo de fuerzas, dependerá no sólo de su posición (y eventualmente del tiempo)sino de la característica o propiedad de la partícula que la hace sensible al campo.Esto es: de su masa, si se trata de un campo gravitatorio; de su carga eléctrica, si setrata de un campo electrostático ... Por ello, es conveniente definir la intensidad del campo de fuerzas en cada punto del espacio donde esté definido como la fuerza a laque estará sometida una partícula que tenga la unidad de carga sensible al campo

(masa gravitatoria o carga eléctrica, en los ejemplos anteriores). Designando por g

y E las intensidades del campo gravitatorio y eléctrico, respectivamente, la fuerza ala que estará sometida una partícula, de masa m y carga eléctrica q, será

[10.31] F g m g F E q E

donde los subíndices g y E hacen referencia a la naturaleza de las fuerzas. Medianteel concepto de intensidad de campo conseguimos asignar a cada punto del espaciodonde está definido el campo de fuerzas un vector único; esto es, con independenciadel valor de la característica de la partícula sensible al campo. Así, tenemos definido

un campo vectorial , que podrá ser representado, como ya sabemos, mediante líneasvectoriales, que en este caso reciben el nombre de líneas de fuerza.

Consideremos, ahora, una partícula de

Figura 10.8

masa m situada en un campo de fuerzas alcual es sensible; por ejemplo, un campogravitatorio, o un campo eléctrico si la partí-cula tiene carga eléctrica. El trabajo realiza-do por el campo cuando la partícula sedesplaza entre las posiciones A y B, reco-

rriendo una cierta trayectoria C, viene dado por

[10.32]W AB ⌡⌠

B

AC

F d r

Generalmente ese trabajo depende de la trayectoria que sigue la partícula en sudesplazamiento entre los puntos A y B. No obstante, existen algunos campos defuerzas, sumamente importantes en la Física, en los que se verifica que la circulación(o sea el trabajo) entre dos puntos dados es independiente del camino que se siga al

hacer la integración curvilínea de [10.32]. Tales campos de fuerzas se llaman conser-vativos o irrotacionales (por las razones que ya vimos en la Lec. 3.- Análisis vec-torial ), y las fuerzas definidas por ellos se llaman fuerzas conservativas. En talescampos, la circulación, i.e., el trabajo realizado por el campo, cuando la partícula se



§10.7.- Campos de fuerzas. Fuerzas conservativas. 257

desplaza entre dos puntos dados se puede obtener calculando la diferencia de valoresque toma una cierta función escalar de punto que se llama función potencial . Comoveremos en el próximo epígrafe, la energía potencial está relacionada en los camposde fuerza conservativos con el trabajo realizado por el campo en un desplazamientodado de la partícula.

Un criterio alternativo para definir un campo de fuerzas (o una fuerza)conservativa es el siguiente:

Una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza sobre una partícula escero cuando la partícula recorre cualquier trayectoria cerrada y vuelve a la

posición de partida.

En efecto, se verifica que

[10.33]W AB F d r ⌡⌠

B

A C

F d r ⌡⌠

A

B C

F d r 0

y esto implica que

Figura 10.9

[10.34]⌡⌠

B

AC

F d r ⌡⌠

B

AC

F d r

o sea que la circulación (el trabajo) entre dos puntos dados, A y B, no depende del caminode integración.

Una fuerza no-conservativa es, por ejemplo, el rozamiento por deslizamiento.Como la fuerza de rozamiento se oponesiempre a la dirección del movimiento, resulta obvio que el trabajo realizado por ellaes siempre negativo. Así, cuando un objeto recorre una trayectoria cerrada y regresaa su posición inicial, el trabajo total realizado por la fuerza de rozamiento esnegativo. Evidentemente se trata de una fuerza no-conservativa que, puesto que eltrabajo realizado por ella es siempre negativo (disipa energía), se dice que es disipa-tiva.

Un caso muy importante de campo conservativo es el de una fuerza central ; es

Figura 10.10

decir, el campo de una fuerza cuya línea deacción pasa siempre por un punto deter-minado O, llamado centro de fuerzas ocentro del campo, y cuyo módulo es funciónúnicamente de la distancia entre su punto deaplicación (posición de la partícula sobre laque actúa) y el centro del campo. Si toma-mos como origen de coordenadas el centrodel campo, podemos expresar una tal fuerzacentral del modo siguiente:

[10.35] F F(r ) e r f (r ) r




donde no hacemos ninguna hipótesis sobre la forma funcional de F(r ) o f(r ). Natural-mente, si F y r tienen el mismo sentido, la fuerza F representa una repulsión,ejercida desde el origen, sobre la partícula; en caso contrario F representa unaatracción. Es fácil demostrar que

cualquier campo de fuerzas centrales es conservativo.

El campo gravitatorio y el campo electrostático, que son campos centrales, soncampos conservativos.

Ejemplo II.- Fuerzas centrales.- Demostrar que todos los campos de fuerzas centrales sonconservativos.

♦ Para demostrar que cualquier campo de fuerzas centrales es conservativo, bastará demostrar que es irrotacional , o sea que

∇ × F

∇ × [ f(r ) r

] 0En efecto, ya que es r = xi + y j + z k, tenemos

[10.37]

∇ × [ f(r ) r ]

∂/∂ x

∂/∂ y

∂/∂ z

×

x f(r )

y f(r )

z f(r )

z ∂f ∂ y

y ∂f ∂ z

i

x ∂f ∂ z

z ∂f ∂ x

j

y ∂f ∂ x

x ∂f ∂ y

k 0

ya que [10.38]∂f ∂ x

df dr

∂r ∂ x

df dr

∂∂ x

x2 y 2 z2 xr

df dr

y análogamente ∂f ∂ y

df dr

∂r ∂ y

yr

df dr

∂f ∂ z

df dr

∂r ∂ z

zr

df dr

♦ Resulta conveniente proceder de un modo más intuitivo, sin calcular el rotacional. Para ello,

Figura 10.11

evaluaremos el trabajo realizado por la fuerza central en un desplazamiento de la partícula entre los puntos A y B:

[10.39]W AB ⌡⌠B

AC

F d r ⌡⌠B

AC

F(r ) e r d r ⌡⌠B

A

F(r ) dr

ya que er d r representa la proyección dr del desplazamiento ele-mental d r en la dirección radial, i.e., dr . Obviamente, la últimaintegral de [10.39] no depende del camino seguido, ya que nosconduce al siguiente resultado

[10.40]W AB ⌡⌠

B

A

F(r ) dr φ (r )B

AφB φA

esto es, el trabajo (la circulación) realizado por el campo es fun-ción únicamente de los valores que toma una cierta función es-calar de punto en los extremos de la trayectoria.

[10.36]



§10.7.- Campos de fuerzas. Fuerzas conservativas. 259

Imaginemos, ahora, una fuerza que dependa de la velocidad con que se recorrela trayectoria; por ejemplo, la fuerza que actúa sobre una partícula cargada eléctrica-mente que se mueve en un campo magnético es función de su velocidad ( F=qv× B).¿Puede ser conservativa una fuerza de este tipo? En general no serán conservativas,

pero resulta que esas fuerzas fundamentales que dependen de la velocidad si que son

conservativas, ya que al ser la fuerza perpendicular a la velocidad ( i.e., a latrayectoria), el trabajo realizado siempre será nulo, tanto en una trayectoria cerradacomo en una trayectoria abierta.

Como sabemos, con independencia de los nombres que demos a las diferentesfuerzas que usamos o simplemente conocemos, existen solamente dos fuerzas

fundamentales que gobiernan el comportamiento de los cuerpos que encontramos ennuestra experiencia cotidiana. Estas dos fuerzas son las gravitatorias y laselectromagnéticas. Todas las otras fuerzas pueden considerarse como manifestacionescomplejas de esas dos fuerzas fundamentales; por consiguiente, todo proceso debe

ser conservativo si se analiza con suficiente detalle. Hemos dicho anteriormente quela fuerza de rozamiento es disipativa, esto es que el trabajo que realiza siempre esnegativo, de modo que cuando la partícula regresa a su posición inicial se ha disipado

parte de su energía. En realidad lo que ha ocurrido es que esa energía se hatransformado en algo que no nos es útil (energía calorífica) por lo que la considera-mos como perdida desde el punto de vista mecánico; todo es, según se ve, unacuestión de contabilidad.

§10.8. Energía potencial.- Consideremos un campo de fuerzas conservativo

Figura 10.12

en el que la fuerza que actúa sobre una partícula sea función tan sólo de la posición

de ésta; esto es, F = F( r) = F( x, y, z). Imaginemos un desplazamiento de la partículaentre los puntos A y B, a lo largo de una ciertatrayectoria C, y calculemos el trabajo realizado

por el campo,

[10.41]W AB ⌡⌠

B

AC

F d r ⌡⌠

B

A

F d r

que, por ser conservativo el campo, sólodepende de las posiciones extremas, A y B, dela partícula y no del camino recorrido por ésta.Es decir, podemos expresar dicho trabajo comola diferencia de valores que toma cierta funciónescalar en los extremos de dicha trayectoria;dicha función recibe el nombre de energía po-tencial y la designaremos por E p, de modo que

[10.42]W AB ⌡⌠

B

A

F d r [ E p(B) E p(A) ]

anteponiéndose el signo negativo para indicar que el trabajo realizado por el camporepresenta una disminución de su energía potencial; esto es, una disminución de sucapacidad para realizar más trabajo sobre la partícula. Evidentemente, la energía




potencial tiene las mismas dimensiones que el trabajo, y se medirá en las mismasunidades que éste. En definitiva, podemos dar la definición siguiente:

La energía potencial de una partícula en un campo (al cuál es sensible) esuna función (escalar) de las coordenadas de la posición que ocupa, de talmodo que el trabajo realizado por el campo durante un desplazamiento dela partícula es igual a la diferencia de valores de la energía potencial en la

posición inicial y en la posición final.

Obsérvese que el valor de E p(B) sólo estará definido si conocemos el valor de E p(A), pues entonces

[10.43] E p(B) E p(A) ⌡⌠

B

A

F d r

Esto es, la energía potencial no tiene carácter absoluto, ya que sólo podemos calcular

la diferencia de energías potenciales correspondientes a dos posiciones dadas de la partícula; sólo la diferencia E p(B) - E p(A) tiene siempre un significado físico. Sinembargo, podemos dar significado a la energía potencial en B, E p(B), haciendo queel punto A sea un punto de referencia conveniente al que le asignamos un valor arbitrario de energía potencial, ordinariamente igual a cero; entonces

[10.44] E p(B) E p(A) ⌡⌠

B

A

F d r ⌡⌠

B

A

F d r con E p(A) 0

Normalmente es conveniente escoger la posición de referencia a la que hacemos

Figura 10.13

corresponder (arbitrariamente) una energía potencial nula en una posición en la quees nula la fuerza que obra sobre la partícula. En el caso del campo gravitatorio y delcampo electrostático creado por una masa y una carga puntual, respectivamente, estacircunstancia se presenta a una distancia infinita de dicha masa o carga puntual, demodo que la energía potencial que le corresponde a una segunda masa o carga

puntual colocada en dichos campos viene dada por

[10.45] E p(B) ⌡⌠

B

∞

F d r ⌡⌠

∞

B

F d r

o sea que E p(B) representa el trabajo que realiza

el campo sobre la segunda masa o carga cuandoésta se desplaza desde el punto B hasta elinfinito. Lo que equivale a decir, que E p(B)representa el trabajo que tenemos que efectuar ,mediante la aplicación de una fuerza Fap = - F,que equilibre en todo instante a la fuerza intrín-seca del campo, para traer la masa o cargadesde el infinito hasta el punto B.

Naturalmente, en el caso de que la fuerza F no sea conservativa, el trabajo que

realiza en un desplazamiento desde A hasta B dependerá del camino que siga la partícula y, al no ser dicho trabajo función exclusiva de las posiciones inicial y finalde la partícula, no existirá una función energía potencial asociada con tal fuerza.



§10.8.- Energía potencial. 263

[10.56]W AB ⌡⌠

B

A

F d r ⌡⌠

B

A

mg d z ( mgzB mgzA )

resultando que dicho trabajo es independiente de la

Figura 10.16

trayectoria seguida por el cuerpo. En consecuencia, elcampo gravitatorio terrestre es conservativo y ladiferencia de energía potencial entre dos puntos vieneexpresada por el trabajo realizado por el campo en undesplazamiento del cuerpo entre esas dos posiciones. De[10.56] se sigue la expresión de la energía potencial enuna posición cualquiera;

esto es, [10.57] E p mgz

de modo que la diferencia de energía potencial entre dos puntos es

[10.58] E p(A) E p(B) mg ( zA zB) mgh

donde h representa la diferencia de alturas de las posiciones A y B con respecto a un nivel dereferencia arbitrario. Obsérvese que el nivel de referencia de energía potencial nula corresponde,de acuerdo con [10.57], a z = 0, aunque eso es irrelevante y podemos elegir cualquier otro nivel.

Ejemplo IV.- Energía potencial gravitatoria (II).- En el ejemplo anterior hemos considerado sólouna pequeña región del campo gravitatorio terrestre, a fin de poderlo considerar uniforme; lasexpresiones [10.55] a [10.58] sólo serán válidas dentro de esas limitaciones. Pero, ¿cómo abordaremosel problema en el caso más general?

La fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra ( M ) sobre una partícula de masa m que se encuentrasituada a una distancia r de su centro es una fuerza central y, por tanto, conservativa, que vienedada por

[10.59] F G Mm

r 2 e

r

La función energía potencial asociada a esta fuerza conservativa puede calcularse utilizandola expresión [10.45], escogiendo la posición de referencia a la que hacemos corresponder una energía potencial nula en el infinito, ya que cuando r →∞ la fuerza que actúa sobre la partícula tiende hacia

cero. Entonces

[10.60]W r →∞ E p(r ) ⌡⌠

∞

r

F d r GMm ⌡⌠

∞

r

dr

r 2 G Mm

r

esto es

Figura 10.17

[10.61] E p(r ) G Mm

r

que es la expresión de la energía potencial gravitatoriade la masa m en el campo gravitatorio creado por la

masa M (o viceversa), siendo r la distancia entre suscentros (en el caso de esferas homogéneas). La expre-sión [10.61] es muy diferente de la [10.57], pero podemosdemostrar que ésta es un caso particular de aquélla. Enefecto, a partir de [10.61] podemos escribir




[10.62] E p(r ) E p( R) G Mm R

G Mmr

GMm r R Rr

GM

R 2 m R

r (r R)

que, teniendo en cuenta que GM / R2 = g y que r - R = h, se reduce, en el caso de que R≈r , a

[10.63]

E p(r ) E p( R) mgh

Ejemplo V.- Energía potencial elástica.- Otro ejemplo de fuerza conservativa lo constituye la queejerce un muelle sobre un cuerpo sujeto a él. En el caso de que la deformación del muelle no seademasiado grande, la fuerza elástica, con el muelle estirado o comprimido con respecto a sulongitud natural x0 , viene dada con suficiente aproximación por la ley de Hooke, F = -k ( x- x0). Eltrabajo realizado por esa fuerza en un desplazamiento desde la posición de equilibrio ( x0) hasta una posición genérica ( x) viene dado por

[10.64]W x0→ x ⌡⌠

x

x0

F d r ⌡⌠

x

x0

k ( x x0 ) d x 1

2 k ( x x0)2

que depende tan sólo de las coordenadas x0 y x de los

Figura 10.18

puntos inicial y final. Por ser conservativa la fuerzaelástica así definida, dicho trabajo será igual a la dis-minución de la energía potencial elástica, quedandodefinida ésta por

[10.65] E p( x) 1

2 k ( x x0 )2

esto es, proporcional al cuadrado de la deformación delmuelle con respecto a su configuración natural. Obsér-vese que a la configuración de equilibrio ( x= x0) lecorresponde una energía potencial elástica nula.

§10.9. La energía potencial como energía de configuración.- En tanto quela energía cinética de una partícula viene expresada siempre por la fórmula mv2/2, no

ocurre lo mismo con la energía potencial. A cada fuerza conservativa podemosasociarle una energía potencial que, de acuerdo con la naturaleza de la fuerza, recibedistintos calificativos, tales como los de energía potencial gravitatoria o elástica,vistos en los ejemplos anteriores, y serán distintas sus expresiones; esto es, no existeuna fórmula única para expresar la energía potencial. Todo lo más que podemoshacer es definir la diferencia de energía potencial de la partícula, para dos posicionesdadas, como el trabajo que realiza el campo de fuerzas, cambiado de signo, en undesplazamiento de la partícula entre esas dos posiciones.

Pero hay una matización más que debemos hacer al concepto de energía potencial. En los apartados anteriores nos hemos referido a la energía potencial de

una partícula en un campo de fuerzas (conservativo) como si esa energía potencialestuviese "almacenada" en la partícula. Así, hablábamos de la energía potencialgravitatoria de un cuerpo de masa m en el campo gravitatorio terrestre como si dichaenergía estuviese exclusivamente ligada al cuerpo a través de la posición que ocupa



§10.9.- La energía potencial como energía de configuración. 265

en dicho campo. Esta es una forma simplificada de enfocar la cuestión. Comosabemos, hemos "inventado" el concepto de campo para que nos sirva como"vehículo" de la interacción a distancia entre dos (o más) partículas materiales; lafuerza que "actúa" sobre cada una de las partículas es simplemente un artificiocómodo para representar dicha interacción. Estrictamente hablando, la energía

potencial deberá depender tanto de las coordenadas de la partícula considerada comode las de todas las demás partículas que constituyen su medio ambiente. Esto es, laenergía potencial no debe asignarse a ningún cuerpo concreto, sino que debeconsiderarse como algo "perteneciente" a todo el sistema en su conjunto; es decir, atodas las partículas interactuantes. Unos ejemplos nos ayudarán a comprender estaidea.

Consideremos una piedra situada a una cierta altura sobre la superficie terrestre. Como hemos

Figura 10.19

visto anteriormente, podemos afirmar que "la piedra posee una cierta energía potencial", por cuantoque posee una cierta capacidad para realizar trabajo en virtud de su posición. Un poco de reflexiónnos descubrirá que debemos considerar esa energía potencial como una propiedad del sistema

piedra-Tierra, en su conjunto; es la posición relativa entre las partes del sistema la que determinasu energía potencial. La energía potencial es mayor cuanto más separadas están dichas partes.Supongamos que abandonamos el sistema; las partes se aproximan y disminuye la energía potencial.Durante esa "desaparición" de energía potencial se realiza un trabajo y se va incrementando laenergía cinética del sistema. La piedra "cae" hacia la Tierra, pero la Tierra "también cae" hacia la piedra, ya que en virtud de la ley de la acción-reacción, la piedra ejerce sobre la Tierra una fuerzaigual en módulo y de sentido contrario a la que la Tierra ejerce sobre la piedra. La Tierra adquiere, pues, una cierta aceleración, muy pequeña dada la enorme disparidad demasas, con respecto a algún marco de referencia inercial. Como el cambiode velocidad de la Tierra es sumamente pequeño, su energía cinéticaadicional (en su órbita) es despreciable en comparación a la de la piedra que

"cae"; ésta es la razón por la que tendemos a asignar la energía potencial ala piedra, por cuanto que es ella la que adquiere prácticamente toda laenergía cinética a expensas de la energía potencial del sistema.

Una situación muy distinta se nos presenta si consideramos dos cuerposde masas comparables. Imaginemos dos planetoides inicialmente unidos (por su atracción gravitatoria) y que ATLAS4 los separa una cierta distancia,interponiendo su cuerpo entre ellos, empujando a uno de ellos hacia arriba(?) con sus brazos y al otro hacia abajo (?) con sus piernas. El sistema habráadquirido una cierta energía potencial igual al trabajo que ha realizadoAtlas. Aquí resulta evidente que no debemos asignar esa energía potenciala ninguno de los dos planetoides en concreto, sino que debemos considerarla

como una propiedad del sistema en su conjunto; esto es, la energía potencialestá relacionada con la configuración del sistema.

Cuando consideramos el sistema total, es decir, la partículay su medio ambiente (en definitiva, otras partículas), la energía

potencial es una magnitud asociada con la configuración del sistema y no con una partícula en concreto. Cuando el sistema evoluciona, bajo la acción de las fuerzas deinteracción entre sus partes, desde una configuración a otra, la variación de la energía

potencial del sistema (con el signo cambiado) es igual al trabajo efectuado por las

4 ATLAS o ATLANTE: Divinidad griega que encabezó la lucha de los Titanes contra los dioses, por lo que fue condenado por ZEUS a sostener eternamente sobre sus hombros la bóveda celeste.Acabó su vida petrificado, convertido en la cadena montañosa africana de Atlas, cuando PERSEO

le mostró la cabeza de la GORGONA.




fuerzas de interacción durante ese periodo de tiempo. Podemos imaginar las cosasdesde un punto de vista ligeramente diferente. Si queremos modificar laconfiguración de un sistema (digamos, una masa sujeta a un muelle) deberemosaplicar una fuerza igual y opuesta a la de interacción. Entonces, podemos decir que

la energía potencial del sistema es igual al trabajo que debe hacerse por unagente externo para dar al sistema una cierta configuración a partir de unaconfiguración de referencia arbitrariamente elegida.

§10.10. Teorema del virial.- Consideremos una partícula de masa m que seencuentra en movimiento bajo la acción de una fuerza F, y sean r y v sus vectoresde posición y velocidad en un cierto instante en un referencial dado. La cantidad demovimiento de la partícula es p = mv y, como ya sabemos, d p/dt = F. Definamosahora el virial de la cantidad de movimiento (vide §2.10) como el escalar

[10.66]V r p

Como tanto r como p son funciones del tiempo, también lo será V . Calculemos laderivada temporal de V ; tenemos

[10.67]dV dt

r d p

dt d r

dt p r F mv2

o sea [10.68] dV dt

r F 2 E k

Calculemos ahora los promedios temporales correspondientes a los dos miembrosde la ecuación anterior; esto es:

[10.69]dV dt

r F 2 E k

El promedio temporal del primer miembro, en un intervalo de tiempo τ, es fácil deevaluar

[10.70]dV dt

1τ ⌡

⌠τ

0

dV dt

dt 1τ ⌡

⌠τ

0

dV V (τ ) V (0)τ

En el caso de que el movimiento de la partícula sea periódico, es decir, que tantosus coordenadas de posición como su velocidad se repitan simultáneamente al cabode un tiempo T (periodo), y si consideramos un tiempo τ que sea múltiplo del

periodo (τ = nT ), será V (τ) = V (0), de modo que <dV /dt > = 0. Llegaremos al mismoresultado, aun cuando el movimiento no sea periódico, con tal que supongamos quelos valores de r y de v estén acotados (entonces la partícula se moverá en una regiónlimitada del espacio). Ese es el caso, por ejemplo, de un electrón en un átomo o de

la Tierra en el Sistema Solar. En esas condiciones, puesto que V estará acotado, bastará considerar un tiempo τ suficientemente largo para que <dV /dt > sea tan pequeño como deseemos. En ambos casos se deduce de [10.69] que



§10.10.- Teorema del virial. 267

[10.71] E k 1

2 r F

El segundo miembro de esta igualdad recibe el nombre de virial de la partícula o deCLAUSIUS (1812-1888), y la ecuación anterior constituye la expresión del teorema del

virial , que en su forma más general (para una partícula) nos dice:El valor medio de la energía cinética de una partícula que tiene unmovimiento acotado es igual a su virial.

Si la fuerza F es conservativa, entonces existirá una función de energía potencialtal que F = -grad E p, y el teorema del virial adopta la forma

[10.72] E k 1

2 r ∇ E p

12

r ∂ E p∂r

Un caso particularmente interesante lo constituye el de una partícula que semueve en un campo de fuerzas centrales, cuya ley de fuerza es del tipo F ∝ r n;entonces, la energía potencial es función únicamente de la coordenada radial (r ), esdecir, E p = kr n+1, y será

[10.73]r ∂ E p∂r

r d E p

dr rk (n 1)r n (n 1) E p

y el teorema del virial expresa una relación entre los promedios temporales de lasenergías cinéticas y potencial de la partícula:

[10.74] E k n 1

2 E p

En el caso especialísimo de fuerzas inversamente proporcionales al cuadrado dela distancia (fuerzas gravitatoria, electrostáticas, ...), entonces es n = -2, y el teoremadel virial se reduce a su forma más familiar

[10.75] E k 1

2 E p

El teorema del virial puede extenderse a un sistema de partículas, y es entonces

cuando adquiere un mayor significado e interés práctico. Ello se debe a que esteteorema, a diferencia de los que hemos estudiado anteriormente, es de naturalezaestadística, es decir, se refiere a valores medios respecto a intervalos de tiempo muylargos de varias magnitudes físicas (fundamentalmente de las energías cinética y

potencial). Evidentemente, cuando estudiamos un sistema compuesto por muchas partículas, tal como un gas contenido en un recipiente, o un átomo de muchoselectrones, nos vemos forzados a utilizar ciertos métodos estadísticos para calcular los valores promedio de las magnitudes físicas, sin interesarnos por el comportamien-to de cada partícula individual. Una de las aplicaciones más interesantes del teoremadel virial es la deducción de la ecuación de estado de los gases ideales y no ideales;en este último caso, como veremos en una lección posterior, las fuerzas Fi, quedefinirán el virial del sistema abarcarán no sólo las de ligadura (que confinan al gasen el interior del recipiente, en uno de los ejemplos anteriores), sino también lasfuerzas de interacción intermoleculares.




Problemas

10.1.- Un cuerpo de 6 kg de masa se mueve alo largo del eje x bajo la acción de una fuerzaresultante dirigida a lo largo de dicho eje yque está definida en función del tiempo por laexpresión F = (3 + 2t ), estando F expresada ennewtons y t en segundos. En el instante t = 0 s

el cuerpo se encuentra en reposo y en elorigen de coordenadas. a) Expresar la acele-ración, velocidad y posición de la partícula enfunción del tiempo. b) Expresar la potenciadesarrollada por la fuerza en función deltiempo. c) Calcular el trabajo realizado por dicha fuerza durante los cinco primerossegundos del desplazamiento del cuerpo.

10.2.- Un cuerpo de 6 kg de masa se mueve alo largo del eje x bajo la acción de una fuerzaresultante dirigida a lo largo de dicho eje y

que está definida en función de la posición delcuerpo por F = (3 + 2 x), estando F expresadaen newtons y x en metros. En el instanteinicial, el cuerpo se encuentra en reposo en elorigen de coordenadas. a) Expresar la acelera-ción y la velocidad del cuerpo en función de lacoordenada x. b) Ídem para la potencia desa-rrollada por la fuerza. c) Calcular el trabajorealizado por dicha fuerza durante el despla-zamiento del cuerpo desde el origen hasta el punto x = 5 cm.

10.3.- Un proyectil de 5 g de masa que llevauna velocidad de 400 m/s penetra 6 cm en un bloque de madera. ¿Cuál fue la fuerza prome-dio que ejerció sobre el bloque?

10.4.- Una partícula de masa m se mueve bajola influencia de un campo de fuerzas definido por

F = A (cos ω t i + sen ω t j)

donde A y ω son constantes. Si la partícula se

encuentra inicialmente en reposo en el origende coordenadas, demostrar que el trabajo quese ha realizado sobre la partícula, transcurridoun tiempo t , viene dado por A2(1-cos ω t )/mω 2.

10.5.- Un disco que pesa 50 g está colocadosobre un tablero horizontal liso. El disco estásujeto a una cuerda flexible y ligera que pasa por un orificio practicado en el tablero. Inicial-mente, el disco describe una trayectoriacircular, de 40 cm de radio y con centro en el

orificio, con una celeridad angular de 30 rpm, para lo que es necesario que sujetemos con lamano el otro extremo de la cuerda. a) ¿Quéfuerza debemos ejercer sobre la cuerda paramantener ese movimiento circular? b) Tiramos poco a poco del extremo libre de la cuerdahasta reducir a la cuarta parte el radio de latrayectoria circular y observamos que laceleridad angular experimenta un aumentoconsiderable. ¿Qué trabajo hemos realizadosobre el disco? ¿Se conserva la energía cinéti-ca del disco?

10.6.- La fuerza que actúa sobre una partículacargada eléctricamente que se mueve en uncampo magnético viene dada por la fórmula deLorentz, F = qv× B, donde q es la carga de la

partícula, v su velocidad y B la inducciónmagnética. Supongamos que el campo mag-nético sea uniforme: a) Describir el movi-miento de la partícula. b) ¿Cuál es el trabajorealizado por la fuerza? ¿Cómo varía la ener-gía de la partícula?

10.7.- La fuerza que ejerce

Prob. 10.7

el gas contenido en uncilindro sobre el pistón deárea A (vide figura) estádada por F = pA, donde pes la presión del gas.a) Buscar una expresión para el trabajo que realizael gas durante una expan-sión elemental, esto es, unaumento de volumen dV .b) Si la expansión del gastiene lugar a temperatura constante (trans-

formación isotérmica, T =cte), la presión delmismo varía con la temperatura de acuerdocon la relación pV = nRT , donde n y R sonconstantes. Calcular el trabajo realizado por elgas al expandirse isotérmicamente desde un



Problemas 269

volumen V 1 hasta un volumen V 2. c) Si laexpansión tiene lugar de modo que no hayaintercambiado calorífico entre el gas y elmedio externo que lo rodea (transformaciónadiabática), la presión varía con el volumen demodo que pV γ = cte, donde γ es una

constante. Calcular el trabajo realizado por elgas durante una expansión adiabática.

1 0 . 8 . - U n

Prob. 10.8

a u t o m ó v i lq ue p es a750 kg circu-la por unacarretera anivel (vide fi-gur a) conuna veloci-dad 54 km/hcuando su motor desarrolla una potencia de10 CV. a) ¿Cuánto vale la suma de todas lasresistencias (rozamiento, resistencia del aire,...) que actúan sobre el automóvil? b) ¿Qué potencia deberá desarrollar el motor delautomóvil para subir a 54 km/h una cuesta del10% de pendiente? c) ¿Qué potencia seránecesaria para que el automóvil baje a54 km/h una pendiente del 3%? d) ¿Qué pen-diente permitirá que el automóvil baje a unavelocidad de 54 km/h sin que funcione elmotor? (Nota: supóngase que todas las fuerzas

de resistencia permanecen constantes).

10.9.- Supongamos que la potencia máximaque puede desarrollar el motor del automóvildel Problema 10.8 sea de 30 CV y que lasfuerzas de resistencia mantengan el mismovalor con independencia de la velocidad delautomóvil (esta es una suposición muy pocorealista). a) ¿Cuál será la velocidad máximadel automóvil en una carretera horizontal?b) ¿Cuál será la velocidad máxima delautomóvil cuando suba una pendiente del

10%? c) Ídem cuando baje una cuesta del 3%de pendiente? d) ¿Ídem cuando baje unacuesta del 10% de pendiente?

10.10.- Debemos construir un arrastre deesquiadores constituido por un cable del que puedan asirse, mediante las correspondientesmanillas, los esquiadores que han de ser remolcados cuesta arriba. La pendiente en laque ha de actuar nuestro aparato es de 30° y elángulo (θ) que forman, por término medio, lasmanillas con la dirección del cable es de 45°.El cable debe moverse con una velocidad de10 km/h y debe ser capaz de transportar simultáneamente 50 esquiadores. Suponemosque cada uno de los esquiadores pesa, por término medio, 75 kg y que el coeficiente derozamiento entre los skies y la nieve sea 0.10.

Si admitimos que la eficiencia mecánica delsistema en funcionamiento sea del 80%, ¿cuáldeberá ser la potencia del motor que prevea-mos en nuestro proyecto?

10.11.- Una persona que pesa 70 kg sube co-rriendo por las escaleras de un edificio, subien-do 100 escalones de 25 cm de alto cada uno,en 2 minutos. a) ¿Qué trabajo ha realizado?¿Cuál ha sido la potencia máxima desarro-llada? b) ¿Cuál sería la respuesta si en lugar de subir, baja por las escaleras?

10.12.- Un ascensor desciende con una veloci-dad constante de 0.75 m/s. Del techo delascensor se desprende una de las bombillas de50 g, que cae sobre el piso del ascensor. Laaltura de la caja del ascensor es 2.5 m. Calcu-lar el trabajo realizado por la fuerza gravitato-

ria sobre la bombilla y la variación de laenergía cinética de la misma, desde que sedesprende hasta que se estrella: a) en el ref-erencial ligado a la caja del ascensor y b) enel referencial ligado al edificio. c) Explicar lasdiferencias existentes entre los resultados delos aparatos a) y b).

10.13.- La fuerza que actúa sobre una partículaestá definida por la función

F = ( x + yz)i + z2 j + y2 k

donde las coordenadas están expresadas en cmy la fuerza en dyn. Calcular el trabajo realiza-do por dicha fuerza cuando la partícula setraslada entre los puntos A(0,0,0) y B(2,4,8) alo largo de las siguientes trayectorias: a) lalínea recta que une los dos puntos dados; b) lacurva cuyas ecuaciones paramétricas son x = t , y = t 2, z = t 3 ; c) la línea quebrada definida por los puntos (0,0,0), (2,0,0), (2,4,0) y (2,4,8), enese orden. d) ¿Es conservativa esa fuerza?

10.14.- Una partícula se encuentra en uncampo de fuerzas tal que la fuerza que actúasobre ella es

F = (2 xy+ z3)i + x2 j + 3 xz2 k S.I.

a) Demostrar que dicho campo de fuerza esconservativo. b) Obtener una expresión para laenergía potencial de la partícula en dicho campo. c) Calcular el trabajo que tenemos querealizar para llevar la partícula desde el punto(2,1,3) al (0,0,0).

10.15.- Dado el campo de fuerzas

F = ( x- y+ z)i + (2 x+ y+3 z) j + (5 x-2 y+ z) k




y una partícula sensible a dicho campo, calcu-lar el trabajo realizado por el campo cuando la partícula recorre una vez la circunferencia de4 unidades de radio, contenida en el plano xyy centrada en el origen de coordenadas.

10.16.- Una partícula es atraída por el origende coordenadas con una fuerza directamente proporcional a su distancia a dicho origen.a) ¿Es conservativa esa fuerza? b) Calcular eltrabajo que deberemos realizar sobre la partí-cula para trasladarla desde el punto (1,0,0) al(3,0,0) a lo largo de la circunferencia de radiounidad y centro en (2,0,0).

10.17.- La energía potencial de una partículade masa m está dada por la expresión

E p1

2 k ( x2

y2

)

donde k es una constante. a) Obtener las componentes cartesianas de la fuerza que actúasobre la partícula. b) Ídem las componentes polares y describir la fuerza en función de la posición de la partícula. c) ¿Cómo clasificare-mos esta fuerza? ¿Puede Vd. pensar en algúnmodelo físico que responda a una fuerza deesta forma?

10.18.- Sea una fuerza definida en coordenadas

polares planas por F = f(r )eθ, donde f(r ) esuna función arbitraria de la coordenada radialr . a) Demostrar que esa fuerza no esconservativa. b) Calcular el trabajo realizado por esa fuerza cuando su punto de aplicaciónrecorre una circunferencia de radio R centradaen el origen de coordenadas.

10.19.- Un bloque de masa m desliza haciaabajo por un plano inclinado que forma unángulo θ con la horizontal; el coeficiente derozamiento entre el bloque y el plano es µ <

tg θ. Considérese que el bloque se encuentreinicialmente en reposo sobre el plano inclina-do. a) Expresar en función del tiempo elaumento en la energía cinética del bloque.b) Ídem la disminución de su energía potencialgravitatoria. c) ¿Se compensan los resultadosanteriores? En caso negativo, ¿por qué?

10.20.- Una escalera

Prob. 10.20

homogénea, de masa my longitud L, está apo-yada sobre una paredvertical lisa y sobre un

suelo horizontal rugoso,formando un ángulo θ0

con la horizontal (videfigura). El coeficientede rozamiento entre el

suelo y el pie de la escalera es µ. Calcular eltrabajo que debemos realizar para llevar laescalera a la posición vertical, empujándolahorizontalmente a una distancia D de su pie.

10.21.- A partir de la ley de COULOMB para lafuerza electrostática, encontrar la expresión dela energía potencial electrostática.

10.22.- a) Consideremos dos cargas eléctricasidénticas, infinitamente alejadas la una de laotra. ¿Qué trabajo deberemos realizar paraaproximarlas, la una a la otra, hasta una ciertadistancia l ? b) Consideremos, ahora, unatercera carga eléctrica igual a las anteriores.¿Qué trabajo deberemos realizar para traerladesde el infinito y colocarla en una posicióntal que las tres cargas determinan un triánguloequilátero de lado l ?

10.23.- Unadescripciónsuficientemente exactade la interacción entre dos nucleones nos lasuministra el llamado potencial de YUKAWA

E pr 0r

E p,0 er r 0

donde r 0≈ 1.5×10-15m y E p,0≈ 50 MeV(1 eV = 1.6×10-19J). a) Encontrar la expresióncorrespondiente para la fuerza. b) Para poner

de manifiesto el corto alcance de la fuerzanuclear, calcular la relación de fuerza (y de potencial) con respecto a la fuerza (y al potencial) correspondiente a r = r 0, r = 2r 0 ,r = 4r 0 y r = 10r 0. c) Representar gráficamentelos resultados obtenidos en el apartadoanterior. ¿Tiene en cuenta el potencial deYukawa la repulsión entre los nucleones paradistancias muy pequeñas (hard-core)? d) Con-sideremos dos protones; obténgase las relacio-nes existentes entre las fuerzas electrostática ynuclear para las separaciones anteriormente

propuestas. ¿Para que separación son igualeslas intensidades de esas dos fuerzas?

10.24.- La energía potencial de una molécula biatómica viene dada, según LENNARD-JONES,en función de la distancia interatómica r , por la expresión

E p E p,0

r 0r

12

2

r 0r

6

donde r 0 y E p,0 son constantes. a) Demostrar que r 0 es la distancia interatómica cuando laenergía potencial es mínima, esto es, correspondiente a la separación de equilibrio. b) De-



Problemas 271

mostrar que el valor de la energía potencialmínima es - E p,0. c) Demostrar que la distanciainteratómica para la que E p = 0 es igual a0.89r 0 . d) Representar gráficamente la función E p(r ) frente a r , e) Obtener la expresión de lafuerza interatómica, esto es, F = F (r ), f) ¿Cuá-

ndo se anula la fuerza interatómica? ¿Cuándoes repulsiva? ¿Cuándo es atractiva?g) Demostrar que las fuerzas interatómicaalcanza su valor atractivo máximo para unaseparación r = 1.11 r 0.

10.25.- En el modelo de Niels BOHR (1885-1962) del átomo de hidrógeno, un electrón demasa m se mueve en una órbita circular alre-dedor de un protón estacionario, bajo la acciónde la fuerza central de Coulomb

F 14π 0

e2

r 2

donde e es la carga eléctrica del electrón y 0

es la permitividad del vacío. a) Obtener lasexpresiones, en función del radio de la órbita,de las energías cinéticas, potencial y total. Laenergía total resulta negativa; ¿por qué? b) Ve-rificar el teorema del virial en este sistema.

10.26.- Expresar en función del tiempo lasenergías cinéticas y potencial correspondientes

al sistema constituido por una masa m sujeta aun muelle de constante elástica k , que cumplela ley de Hooke. a) Calcular los valoresmedios de dichas energías en el transcurso deun periodo del movimiento. b) Verificar elteorema del virial en este sistema.

10.27.- Una partícula de masa m se mueve enuna trayectoria circular de radio R bajo laacción de una fuerza central atractiva directa-mente proporcional al cubo de la distancia alcentro de fuerza. a) Obtener la expresión de la

energía cinética de la partícula. b) Ídem de laenergía potencial. (Indicación: Utilizar elteorema del virial).

10.28.- Una partícula se mueve bajo la acciónen una fuerza central tal que F ∝ r n (n, real).a) Encontrar las expresiones de los valoresmedios de sus energías cinéticas y potencial enfunción de la energía total E . ¿Son válidasestas expresiones cualesquiera que sea el valor de E ? b) Aplicar los resultados anteriores alcaso de una fuerza central inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al centrode fuerzas. Analizar y discutir los resultados.



11.- Conservación de la energía.

§11.1. Fuerzas conservativas. Conservación de la energía mecánica (274); §11.2. Sistemasconservativos en una dimensión (276); §11.3. Discusión de curvas de energía potencial.Estabilidad del equilibrio (278); §11.4. Sistemas conservativos en dos y tres dimensiones(280); §11.5. Equilibrio en dos y en tres dimensiones (282); §11.6. Fuerzas que dependenexplícitamente del tiempo (284); §11.7. Fuerzas no conservativas (284);§11.8. Conservación de la energía (286); §11.9. Crítica del concepto de energía (288);§11.10. Principio de conservación de la masa (289); §11.11. Masa y energía (289);Problemas (293)

Se decía en la lección anterior que siempre podemos considerar la energía comoel resultado de la realización de un trabajo; pero también podemos adoptar el puntode vista inverso, y considerar que se produce trabajo cuando tiene lugar unatransformación de una forma de energía en otra. Así, cuando cae un objeto en elcampo gravitatorio terrestre, su energía potencial gravitatoria (o mejor, la del sistema)

disminuye; pero se produce un aumento concomitante de la energía cinética. Es decir,se produce una transformación de energía en forma potencial en energía en forma demovimiento (cinética); durante esa transformación la fuerza (el peso) realiza untrabajo. Nos podemos preguntar si, en el ejemplo precedente, el aumento de energíacinética compensa exactamente a la disminución de energía potencial.

Desde los tiempos de NEWTON (1642-1727) se reconoce que, bajo ciertascondiciones, la energía del movimiento (cinética) y la energía asociada con la con-

figuración o posición (potencial) cambia a medida que progresa el movimiento, peroque su suma (la energía mecánica total ) permanece constante. Sin embargo, bajo

otras circunstancias la energía mecánica total no se conserva. Así, por efecto delrozamiento, la energía se "disipa"; pero cuando eso sucede, se observa que haysiempre algún objeto que se calienta.

La generalización del concepto de energía y el establecimiento del principio deconservación fue un empeño al que se entregaron hombres de gran valía, como elingeniero norteamericano B. THOMPSON (1753-1814), el médico alemán J. R. MAYER

(1814-1878) y los físicos H. von HELMHOLTZ (1821-1894) y J. P. JOULE

(1818-1889), quienes clarificaron el concepto de energía y llegaron a demostrar quela energía no se disipa, sino que sencillamente se transforma de unas formas a otras.Desde entonces, el concepto de energía, como el de una magnitud física que se

conserva y que puede presentarse bajo apariencias muy diversas, pero que en ningún




274 Lec. 11.- Conservación de la energía.

caso puede ser creada ni destruida, quedó firmemente establecido como una de lasideas más útiles de todas las Ciencias de la Naturaleza.

Esta lección la dedicaremos al estudio de estas ideas importantes; las contenidasen el llamado Principio de la Conservación de la Energía, que junto con el de laconservación de la cantidad de movimiento (ya estudiado en lecciones anteriores) y

el de la conservación del momento angular (que estudiaremos en la lecciónsiguiente), constituyen los tres grandes Principios de Conservación de la Mecánica.En los tres casos nos limitamos a establecer y a analizar sus consecuencias para elcaso de una partícula (como corresponde al contexto de este Capítulo); más adelantelos generalizaremos para incluir los sistemas de partículas.

§11.1. Fuerzas conservativas. Conservación de la energía mecánica.-Cuando una partícula se mueve entre los puntos A y B, bajo la acción de una fuerzaresultante F (conservativa o no-conservativa), la variación de su energía cinética

viene dada por el trabajo realizado por dicha fuerza resultante en ese desplazamiento;esto es,

[11.1]∆ E k E k (B) E k (A) ⌡⌠

B

A

F d r

Por otra parte, en el caso de que la fuerza F sea conservativa, dicho trabajo, cambiado de signo, expresa la diferencia de energía potencial entre los dos puntos; i.e.,

[11.2]∆ E p E p(B) E p(A)

⌡

⌠B

A

F d r

de modo que, sumando las dos expresiones, resulta

[11.3]∆ E k ∆ E p ∆( E k E p) 0

lo que significa que la suma de las energías cinéticas y potencial de la partícula, osea su energía total que designaremos por E , es constante; así pues,

[11.4]∆ E 0 con E E k E p

de modo que podemos enunciar el Principio de Conservación de la Energía para una partícula del modo siguiente:

Cuando las fuerzas que actúan sobre una partícula son todas conservativas,la energía total de la partícula permanece constante en el transcurso delmovimiento, esto es, se conserva.

Esta es la razón por la que decimos que dichas fuerzas son conservativas.

Hemos definido la energía total de la partícula como la suma de sus energíascinética y potencial, como en [11.4], o mejor

[11.5] E ( r,v) E k (v) E p( r)

donde ponemos de manifiesto que la energía cinética es función exclusiva de lavelocidad y que la energía potencial lo es de la posición. La energía total será



§11.1.- Fuerzas conservativas. Conservación de la energía mecánica. 275

función, en general, tanto de la velocidad como de la posición de la partícula; perosi todas las fuerzas que actúan sobre la partícula son conservativas, la energía totalmantendrá un valor constante en el transcurso del tiempo. Este es el significado del

principio de conservación.

El principio de conservación de la energía nos dice que en tanto que la partícula

se mueve y van cambiando las diferentes magnitudes físicas (tales como la velocidad,la aceleración, la cantidad de movimiento, la energía cinética, la energía potencial,...), existe una magnitud física, la energía total , que permanece constante en el transcurso del movimiento; esto es,

La energía es una constante escalar del movimiento.

Naturalmente, el principio de conservación de la energía no nos proporciona nin-guna información que no esté contenida en la ecuación del movimiento1, F = m a.Entonces, ¿por qué tomarnos la molestia de establecerlo?

Con mucha frecuencia nos encontraremos con problemas cuya solución debere-mos abordar sin conocer el detalle de las fuerzas de interacción (i.e., la ley de lafuerza); esta situación se encuentra, en forma sobresaliente, en la Física Nuclear y dePartículas Elementales. Pero aun cuando conozcamos con exactitud las leyes de lasfuerzas, el principio de conservación de la energía (junto con el de la cantidad demovimiento y el del momento angular, que estudiaremos en la próxima lección)constituye una ayuda conveniente para la resolución de numerosos problemas deinterés teórico o práctico.

Las leyes de conservación son independientes de los detalles de la trayectoriay, a menudo, de los detalles de una fuerza particular; por consiguiente constituyen

un procedimiento para obtener consecuencias muy generales y significativas de laecuación del movimiento. Así, una ley de conservación nos puede asegurar que algoes imposible; de ese modo, no perderemos el tiempo analizando un pretendidoaparato que produzca trabajo sin consumir una cantidad equivalente de energía (móvil

perpetuo de primera especie).

Por otra parte, aun cuando un problema dado pueda resolverse a partir de lasleyes del movimiento, iniciar su resolución a partir de la ecuación [11.5] tiene laventaja de que esta ecuación es una ecuación diferencial de primer orden (en tanto

que la ecuación del movimiento de Newton, , lo es de segundo orden) lo F m d2 r

dt 2que significa que ya hemos avanzado un paso hacia la solución del problema; por ello decimos que la ecuación [11.5] constituye una integral primera del movimientode la partícula.

1 Esto puede comprobarse fácilmente sin más que diferenciar la energía total E ; i.e.,

d E d( E k E p) d E k d E p d E k F d r 0

que es idéntica a F = m a, ya que

d E k d( 1

2 mv 2) d( 1

2 mv v) mv dv m a d r

de modo que .m a d r F d r 0 → F m a




Naturalmente, lo anteriormente dicho es válido si son conservativas todas lasfuerzas que actúan sobre la partícula. En muchos problemas encontraremos que, auncuando algunas de las fuerzas no sean conservativas, éstas serán tan pequeñas que

podrán ser despreciadas. En otros problemas no será ese el caso, pero entonces podremos aplicar el principio de conservación en una forma más general, que

desarrollaremos en esta lección para una partícula y en una lección posterior para unsistema de partículas.

§11.2. Sistemas conservativos en una dimensión.- Como ejemplo deaplicación del principio de conservación de la energía, obtendremos la ecuación delmovimiento de una partícula que se mueve en una dimensión sobre una recta dada,que identificaremos con el eje x, bajo la acción de una fuerza dirigida a lo largo dedicha recta y que sólo depende de la coordenada de posición de la partícula (i.e., noes función explícita del tiempo, de la velocidad ...). Tal fuerza es conservativa

[∇× F( x)i = 0] y la energía potencial de la partícula sólo es función de la coordenadade posición de la misma; i.e.,

[11.6] E p( x) E p( xref ) ⌡⌠

x

xref

F ( x) d x

de modo que la ecuación de conservación de la

Figura 11.1

energía [11.5] puede escribirse como

[11.7] E 1

2mv 2 E p( x)

donde E (i.e., la energía total) es una constantedel movimiento. La ecuación [11.7] establece unarelación entre la velocidad de la partícula y sucoordenada de posición. Para completar la solu-ción del problema deberemos determinar la

posición de la partícula en función del tiempo.

Podemos resolver la ec. [11.7] respecto de lavelocidad v de la partícula y, teniendo en cuenta que en el movimiento rectilíneo esv = d x/dt , obtendremos

[11.8]v d x

dt 2

m [ E E p( x)]

que es una ecuación diferencial de primer orden, de variables separables, que nos permitirá determinar la función x(t ) siempre que conozcamos la función E p( x) y lascondiciones iniciales del movimiento, que en este caso se reducen al conocimientode E (que es una constante) y de x0 = x(t 0). La ec. [11.8] se escribe, pues

[11.9]⌡⌠ t

t0

dt m2 ⌡⌠

x

x0

d x E E p( x)



§11.2.- Sistemas conservativos en una dimensión. 277

o sea [11.10]t t 0m2 ⌡

⌠ x

x0

d x

E E p( x)

con lo que queda resuelto (al menos desde un punto de vista físico) el problema delmovimiento rectilíneo de la partícula. En consecuencia, siempre que conozcamos laenergía potencial en función de la posición (cosa que será relativamente fácil siconocemos F ( x)), el principio de conservación de la energía, expresado por [11.10] nosdará directamente la solución del problema del movimiento rectilíneo.

Ejemplo I.- Oscilaciones armónicas.- Una partícula, de masa m, se mueve a lo largo del eje x bajola acción de una fuerza F = -kx, donde k es una constante positiva. Determinar la posición de la

partícula en función del tiempo; i.e., x(t ).Comenzaremos determinando la expresión de la energía potencial:

E p( x) E p(0) ⌡⌠

x

0

( kx) d x ⌡⌠

x

0

kx d x 12

kx 2 con E p(0) 0

La energía total (constante) es E 12

mv 20

12

kx 20

siendo x0 y v0 la posición y velocidad de la partícula, respectivamente, en el instante inicial (t =0).

Aplicando el Principio de la Conservación de la energía, llegaremos a la ec. [11.10], i.e.,

t ⌡⌠

t

0

d t m2 ⌡

⌠ x

x0

dx

12

mv20

12

kx20

12

kx2

mk ⌡

⌠ x

x0

d x

mk v 2

0 x20 x2

1ω ⌡

⌠ x

x0

d x

A 2 x2

1ω

[arcsen x A

arcsen x0

A ]

donde ω 2 k m

A2 x 20

v20

ω 2

y poniendo ψ arcsen x0

A → sen ψ

x0

A

escribiremos finalmente x A sen (ω t ψ )

que es la función x(t ) pedida y que representa un movimiento armónico simple (vide Lec. 13).




§11.3. Discusión de curvas de energía potencial. Estabilidad delequilibrio.- La ecuación [11.10] puede resultar muy difícil de integrar; sin embargo,en ocasiones no será necesario realizar dicha integración, pues sólo estaremosinteresados en comprender cualitativamente algunas de las características más

conspicuas del movimiento de la partícula y, para ello, nos puede bastar con elanálisis de la curva que representa gráficamente a la función energía potencial, E p( x),frente a la coordenada posicional, x, de la partícula. En la Figura 11.2 hemosrepresentado una posible curva de energía potencial 2 para un movimiento unidimen-sional.

La fuerza que actúa sobre la partícula es función de la posición de ésta y vienedada por

[11.11] F d E p

d xPero d E p/d x es, precisamente, la pendiente de la curva E p = E p( x), que es positivacuando la curva crece (al aumentar x) y negativa cuando decrece. Por consiguiente,la fuerza será negativa (dirigida hacia la izquierda) cuando la energía potencial crecey será positiva (dirigida hacia la derecha) cuando la energía potencial decrece. Estacircunstancia ha sido indicada en la Figura 11.2 mediante flechas horizontales. En los

puntos en los que E p( x) presenta un valor máximo o mínimo relativo, es decir enaquellos puntos en los que es d E p/d x = 0, la fuerza será nula; tales posiciones lo seránde equilibrio.

Aquellas posiciones (como la x0) en las que E p( x) presenta un valor mínimo son posiciones de equilibrio estable. Una partícula en reposo en una de tales posiciones permanecerá en reposo en ella; si se la desplaza ligeramente de tal posición se verásometida a una fuerza recuperadora que tratará de devolverla a la posición deequilibrio, produciéndose oscilaciones alrededor de dicha posición. En aquellas otras

posiciones (como la x0′) en las que E p( x) toma un valor máximo, con respecto a las posiciones vecinas, el equilibrio es inestable. La partícula permanecerá en reposo enuna tal posición; pero si se la desplaza ligeramente de ella aparecerá una fuerza quetiende a alejarla aún más de la posición de equilibrio inestable. Por último, enaquellas regiones en las que E p( x) sea constante el equilibrio será neutro o

indiferente, puesto que no aparecerán fuerzas recuperadoras ni repulsivas al desplazar ligeramente la partícula que se encuentre en tal región3 (al ser E p = cte, será F = 0).

Consideremos ahora que la partícula tenga una energía total E (que permaneceráconstante durante el movimiento si sólo actúan fuerzas conservativas sobre ella) quevendría indicada por una línea horizontal en la representación gráfica de la Figura 11.2.En cualquier posición x, la energía potencial E p( x) de la partícula vendrá dada por laordenada de la curva E p = E p( x) y la energía cinética de la partícula, será E k = E - E p,

2

No debemos confundir la curva de energía potencial (movimiento unidimensional) con laslíneas equipotenciales (movimiento bidimensional).

3 Podemos hablar, aún, de otra clase de equilibrio: el equilibrio metaestable, que es unequilibrio estable para pequeñas perturbaciones, pero inestable cuando éstas son un algo mayores.



§11.3.- Discusión de curvas de energía potencial. Estabilidad del equilibrio. 279

de modo que vendrá representada por la distancia de la curva E p( x) (en el punto dado

Figura 11.2

x) a la línea E , como se ilustra en la Figura 11.2 para E = E 3. Puesto que la energíacinética es esencialmente positiva (una energía cinética negativa implicaría unavelocidad imaginaria), resulta evidente que, para una energía total dada E , la partícula

únicamente podrá encontrarse en aquellos puntos en los que E > E p. Así pues, en lagráfica de la Figura 11.2 se advierte inmediatamente que la menor energía posible es E 0; para esta energía la partícula sólo puede permanecer en reposo en x0.

Con una energía algo mayor, tal como la E 1, la partícula puede permanecer enreposo en x0" o bien puede moverse entre los puntos x1 y x2; su velocidad disminuyeal acercarse a los puntos x1 o x2, anulándose en ellos, de modo que la partícula sedetiene e invierte su sentido de movimiento cuando alcanza dichos puntos, llamados

puntos de retorno.

Si la energía es aún mayor, tal como E 2, la partícula podrá oscilar en la regióndefinida por los puntos x

3

y x4

o en la definida por los puntos x5

y x6

; en una o enotra, dependiendo de las condiciones iniciales, sin poder pasar de una región a otra,

porque ello exigiría pasar por la región x4- x5 en la que su energía cinética seríanegativa (región prohibida). Las regiones en las que queda confinada la partícularepresentan pozos de potencial ; las regiones prohibidas corresponden a barreras de

potencial .

Si la partícula tiene una energía aún mayor, tal como la E 3, existen solamente tres puntos de retorno, de modo que hay dos regiones de movimientos permitidos. Así,la partícula podrá estar confinada en la región delimitada por los puntos x7 y x8 ( pozode potencial ) o moverse a la derecha del punto x9 (región ilimitada por la derecha),

no pudiendo pasar de una región a otra (barrera de potencial ).Para el nivel de energía E 4 sólo existe un punto de retorno; si la partícula está

moviéndose inicialmente hacia la izquierda, al llegar al punto x11 "rebotará" y sedirigirá indefinidamente hacia la derecha, acelerándose al pasar por los pozos de




potencial y frenándose al pasar por las barreras de potencial. Para energías superioresa E 5 no hay puntos de retorno y la partícula se moverá sólo en un sentido (el inicial)acelerándose y frenándose al pasar por los pozos y las barreras de potencial,respectivamente, pero sin invertir nunca su sentido de movimiento.

§11.4. Sistemas conservativos en dos y tres dimensiones.- Podemosgeneralizar nuestro estudio de los dos apartados anteriores para incluir aquellassituaciones en las que la partícula puede moverse en dos o en tres dimensiones delespacio bajo la acción de una fuerza (resultante) conservativa, función de la posiciónde la partícula. En estas condiciones, la energía potencial será función de lascoordenadas de posición de la partícula, esto es, E p( x, y, z), o mejor diremos E p( r), sinnecesidad de referirnos a las coordenadas cartesianas.

El principio de conservación de la energía podemos expresarlo por

[11.12] E 1

2 mv2

E p( r)

donde E , que es una constante del movimiento, queda determinada por lascondiciones iniciales del movimiento. La ecuación anterior, al igual que la ec. [11.7]

en el caso del movimiento unidimensional, nos permite calcular la celeridad de la partícula en función de su posición. Pero obsérvese que ni la ec. [11.7], ni la ec.[11.12], nos suministran información alguna acerca de la dirección del movimiento.Este desconocimiento es mucho más grave en el caso del movimiento en dos o entres dimensiones, donde existen infinitas direcciones posibles, que en el caso delmovimiento unidimensional, donde la partícula sólo dispone de una dirección, con

dos sentidos posibles, para su movimiento. En el caso del movimiento unidimensio-nal, la partícula se moverá sobre una trayectoria fija. En el caso del movimiento endos o en tres dimensiones, la partícula podrá moverse sobre trayectorias muy diversasy, a menos que conozcamos la que realmente sigue, la ecuación [11.12] nos

proporcionará escasa información acerca del movimiento de la partícula, salvo quedicho movimiento sólo tendrá lugar en aquellas regiones del espacio en las que E >

E p( r), y que la celeridad

[11.13]v 2

m [ E E p( r)]

es función de la posición de la partícula en esas regiones permitidas.

Ejemplo II.- Movimiento del electrón en el campo de dos protones.- Como ejemplo de lo anterior-mente expuesto, analizaremos el movimiento de un electrón en el campo atractivo de dos protones(molécula de Hidrógeno ionizada, H2

+).

La energía potencial (electrostática) del electrón en dicho campo viene dada por

[11.14] E p e2

4π 0

1r 1

1r 2

donde r 1 y r 2 representan, respectivamente, las distancias del electrón a cada uno de los dos protones. En la Figura 11.3 se han representado algunas curvas equipotenciales, correspondientes



§11.4.- Sistemas conservativos en dos y tres dimensiones. 281

a la intersección de las superficies equipo-

Figura 11.3

tenciales con el plano del papel, estandolos protones separados por una distanciade 2 Å (1 Å = 10-10 m) y expresando lasenergías potenciales en electrón-voltios(1 eV = 1.602 × 10-19J). Obviamente, las

superficies equipotenciales se obtienenrotando la Figura 11.3 alrededor de lalínea que une a los dos protones.

Cuando la energía del electrón, queserá una constante del movimiento quevendrá impuesta por las condicionesiniciales, sea positiva, el electrón noquedará confinado en ninguna regiónlimitada del espacio; se tratará de unelectrón libre, i.e., no ligado. Para -29 eV

E < 0, el electrón estará confinado enel interior de una superficie casi-esférica,centrada en el punto O, de modo que sumovimiento será como sí estuviese ligadoa un solo centro atractivo de carga +2e. Para E < -29 eV, el electrón estará confinado en unvolumen finito que rodea a uno u otro de los protones pudiendo oscilar o girar alrededor del centrode atracción, según fuesen las condiciones iniciales. En el caso de que E -29 eV, el electrónestará confinado en un volumen casi esférico, centrado en uno u otro de los protones, y sumovimiento será como si solamente existiera uno de ellos.

Obsérvese que el electrón no puede encontrarse en equilibrio establece en ningún punto delcampo creado por los dos protones (el punto O es de equilibrio inestable4). Esta es una caracte-

rística interesante de los campos electrostáticos creados por una distribución de carga eléctrica.

Ejemplo III.- Salto de potencial.- Consideremos una separación plana entre dos regiones del

Figura 11.4

espacio. La energía potencial de una partícula de masa m en la región 1 es E p(1)=cte. y en la región2 es E p(2)=cte. Inicialmente, la partícula se mueve en la primera región con una velocidad v1, enuna dirección que forma un ángulo θ1 con la normal a la superficie de separación entre las dosregiones. a) Determinar la velocidad (módulo y dirección) de la partícula cuando penetra en lasegunda región. b) Representar gráficamente la situación para el caso en que sea E p(1)< E p(2).

a) El Principio de conservación de la energía nos permite escribir

[i]12

mv21 E p(1) 1

2mv2

2 E p(2)

o sea

[ii]v 22 v2

12m

[ E p(2) E p(1)] v21

2m ∆ E p

de modo que v2 < v1.

4 En realidad lo es de ensilladura, como veremos en el próximo artículo.




b) Para determinar la dirección de v2 tendremos en

Figura 11.5

cuenta que es

[iii] F ∇ E p( x)

F x∂ E p∂ x

≠ 0

F y∂ E p∂ y

0

de modo que el gradiente de la energía potencial, i.e.,la fuerza que actúa sobre la partícula al atravesar lasuperficie de separación entre las dos regiones, sólo

tiene componente en la dirección normal a dicha superficie. En consecuencia, podemos afirma que se conserva la componente transversal de la cantidad de movimiento de la partícula cuandoatraviesa dicha superficie; esto es,

[iv]mv y(1) mv y(2) → v1 sen θ1 v2 sen θ2

expresión que establece la relación entre los ángulos y las velocidades de la partícula en cada unade las regiones. Sirviéndonos de la expr. [ii], eliminaremos v2 y, después de fáciles operaciones,obtenemos

[v]sen θ1

sen θ2

1 2 [ E p(2) E p(1)]

mv21

1 E p(2) E p(1)

E k (1)

que escribiremos en la forma

[vi]sen θ1

sen θ2

v2

v1

n con n 1 2 ∆ E p

mv21

que nos recuerda, y de hecho es análoga, a la ley de S NELL para la refracción de la luz, en la quen sería el índice de refracción relativo. Esta analogía nos muestra por qué fue posible explicar losfenómenos de la refracción tanto en el marco de una teoría ondulatoria (ondas de Huygens) comoen el de una teoría mecanicista (corpúsculos mecánicos de Newton).

§11.5. Equilibrio en dos y en tres dimensiones.- Consideremos una partícula sobre la que actúa una fuerza resultante conservativa, función exclusiva dela posición de la partícula. La energía potencial de dicha partícula será función de su

posición, y, en coordenadas cartesianas, podemos expresarla por E p( x, y, z). Entre lafuerza conservativa, F( x, y, z), y la energía potencial, E p( x, y, z), existe la relación

[11.15] F ∇ E p

o sea [11.16] F x∂ E p

∂ x F y

∂ E p

∂ y F z

∂ E p

∂ zDefinido el equilibrio de la partícula como la ausencia de fuerza neta, la partícula

se encontrará en equilibrio en aquellos puntos del espacio en los que



§11.5.- Equilibrio en dos y en tres dimensiones. 283

[11.17]∂ E p∂ x

0 ∂ E p

∂ y 0

∂ E p∂ z

0

es decir, en los puntos en los que la energía potencial presente un valor extremo(máximo o mínimo) en las tres direcciones del espacio. En los puntos en los que∂ E p/∂ x sea nula, la partícula se encontrará en equilibrio traslacional en la dirección

x, ya que será nula la componente de la fuerza en esa dirección. Las mismasconsideraciones podemos hacer para las otras dos direcciones ( y, z) del espacio.

Obsérvese que la partícula podrá estar en equilibrio con respecto a unacoordenada, pero no estarlo necesariamente con respecto a las otras; esto es, podráser, por ejemplo, ∂ E p/∂ x = 0, pero ∂ E p/∂ y ≠ 0 y ∂ E p/∂ z ≠ 0. Por ello, cuando se tratede una partícula que pueda moverse en dos o en tres dimensiones del espacio,deberemos analizar sus posibilidades de equilibrio con respecto a cada una de las doso tres coordenadas que fijan su posición.

Como en el caso unidimensional, y para cada una de las coordenadas de posi-ción, el equilibrio de la partícula podrá se estable, inestable o indiferente, según quela energía potencial, en la posición de equilibrio, presente un valor mínimo, máximoo constante con respecto a los que toma en los puntos de un entorno infinitesimalalrededor de dicho punto. Las condiciones anteriores, de mínimo y de máximorelativos, quedan definidas analíticamente por un valor positivo y negativo,respectivamente de ∂2 E p/∂ x

2 (o de ∂2 E p/∂ y2 o ∂2 E p/∂ x

2). En el caso de que ∂2 E p/∂ x2 =

0, el análisis de la situación nos llevará a calcular las derivadas de orden superior, para decidir si se trata de un mínimo o máximo relativos o de un punto de inflexión.

En el caso de que

Figura 11.6

el movimiento de la partícula sea tan sólo bidimensional (en el plano xy, por ejemplo) puede resultar útilconsiderar las llama-das superficies deenergía potencial 5,que jugarán el mismo

papel que las curvasde energía potencial en el problema unidi-mensional. Para ello,representaremos sobre un eje perpendicular al del plano del movimiento (que excusa-mos ahora de llamarlo eje z) la energía potencial correspondiente a los puntos del

plano xy. En la Figura 11.6 hemos dibujado una tal superficie de energía potencial. Una partícula colocada en A, B, C o D permanecerá en reposo; los puntos correspondien-tes en el plano xy son puntos de equilibrio. El alumno comprenderá fácilmente queel punto A es de equilibrio estable (se trata de un pozo de potencial ), en tanto que

5 No debemos confundir las superficies de energía potencial (movimiento bidimensional) conlas superficies equipotenciales (movimiento tridimensional).




los puntos B y C lo son de equilibrio inestable. Obsérvese que el punto D es deequilibrio estable en la dirección aa′ pero que es de equilibrio inestable en ladirección bb′; se dice que el punto D es un punto de ensilladura o de silla de montar o de puerto de montaña, por la analogía que presenta con aquélla o con éste. En lafigura no hemos representado ningún plano horizontal (meseta), que correspondería

al equilibrio indiferente.

§11.6. Fuerzas que dependen explícitamente del tiempo.- Una fuerza quedependa solamente de la posición y cuyo rotacional sea nulo se dice que esconservativa, por conducir al principio de conservación de la energía (cinética +

potencial). Pero en ciertos casos nos encontraremos con fuerzas que serán funcióntanto de la posición como del tiempo, esto es F( r,t ). Si en un instante cualquiera(esto es, para cualquier valor de t ) se anula el rotacional de ese campo de fuerzas (noestacionario), podemos definir una función energía potencial E p( r,t ) (campo escalar

no estacionario) como[11.18] E p( r,t ) ⌡

⌠ F( r,t ) d r

de modo que un instante cualquiera, y siempre que ∇× F( r,t ) = 0, será

[11.19] F( r,t ) ∇ E p( r,t )

Pero hemos de observar que en estas condiciones no es posible demostrar el principio de conservación de la energía, por no cumplirse la relación [11.2]; esto es,

[11.20]∆ E p E p(B; t B) E p(A; t A) ≠ ⌡⌠

B

A

F( r,t ) d r

pues la integral, en [11.18], que define la energía potencial en el instante t se calculaa partir de la función de fuerza en ese instante; en tanto que el trabajo, en [11.20], secalcula utilizando en cada punto la función de fuerza en el instante en que la

partícula pasa por ese punto. En consecuencia, al combinar las expresiones [11.1] y[11.2], que nos dan los cambios en las energías cinética y potencial de la partícula,respectivamente, la energía E = E k + E p ya no se mantiene constante en el transcursodel movimiento; así, pues, una fuerza que dependa explícitamente del tiempo, estoes, F( r,t ), no es conservativa.

§11.7. Fuerzas no conservativas.- Hemos establecido el principio de laconservación de la energía mecánica (cinética + potencial) para una partícula bajo elsupuesto de que sobre ella sólo actúan fuerzas conservativas. Tales fuerzas recibenese nombre, precisamente, porque conducen al principio de conservación de la ener-gía. Pero es fácil encontrar fuerzas que no son conservativas; así, el rozamiento esuna de ellas. El rozamiento se opone siempre al desplazamiento de la partícula, demodo que el trabajo realizado, que es siempre negativo, dependerá de la trayectoria

seguida y no es nulo en una trayectoria cerrada, cuando la partícula vuelve a su posición inicial. En consecuencia, la energía mecánica de la partícula no seconservará cuando sobre ella actúen fuerzas no conservativas, como puede ser la derozamiento.



§11.7.- Fuerzas no conservativas. 285

Consideremos una partícula sobre la que actúan fuerzas conservativas (cuya

Figura 11.7

resultante representaremos por Fc) y fuerzas no conservativas (cuya resultanterepresentaremos por Fnc). El trabajo neto realizado sobre la partícula, cuando sedesplaza entre los puntos A y B bajo la acción de la fuerza resultante F = Fc + Fnc,es igual a la variación de su energía cinética; esto es

[11.21]W W c W nc ∆ E k

donde hemos representado por W c y W nc eltrabajo realizado por la resultante de las fuerzasconservativas y no conservativas, respectiva-mente. El trabajo W c realizado por las fuerzasconservativas puede expresarse como la varia-ción, cambiada de signo, de la energía potencial(asociada con dichas fuerzas conservativas)

cuando la partícula pasa del primer punto alsegundo; esto es

[11.22]W c ∆ E p

No podemos decir otro tanto del trabajo W nc realizado por las fuerzas noconservativas, pues, al depender dicho trabajo del trayecto seguido por la partículaentre los puntos A y B, no podemos asociarle ninguna energía potencial (i.e., ningunafunción de punto) a dichas fuerzas. Entonces, la expresión [11.21] puede escribirse enla forma

[11.23]W nc ∆ E k W c ∆ E k ∆ E p ∆( E k E p )

o sea [11.24]∆ E W nc

de modo que la energía mecánica (cinética + potencial) de la partícula no permanececonstante en el transcurso del movimiento, sino que experimenta un cambio igual altrabajo realizado por las fuerzas no conservativas. Si las fuerzas no conservativasrealizan un trabajo positivo, la energía mecánica de la partícula aumenta; en el casocontrario, disminuirá. Obsérvese, por otra parte, que hemos rehusado utilizar el

término de total para designar a la energía mecánica, E = E k + E p, de la partícula. Elconcepto de energía total de una partícula sólo tiene significado si son conservativastodas las fuerzas que actúan sobre ella; en el caso de que actúen fuerzas no conser-vativas, el concepto no será aplicable, por no incluirse todas las fuerzas presentes.

Si la fuerza no conservativa es el rozamiento, el trabajo realizado por ella essiempre negativo, de modo que, de acuerdo con [11.24], la energía mecánica de la

partícula disminuye en el transcurso del movimiento; esto es, la energía mecánica dela partícula se disipa. El rozamiento es un ejemplo de fuerza disipativa.

Pero, ¿qué ocurre con esa energía que se disipa? El trabajo realizado por la

fuerza de rozamiento representa una transformación de energía de una forma a otra;la energía mecánica que desaparece se transforma en energía interna, U int, y provocaun aumento en la temperatura. Esta transferencia de energía, por corresponder a un




movimiento molecular, será, en general, irreversible6. De este modo, el trabajorealizado por el rozamiento (que es siempre negativo) es igual al incremento de laenergía interna del sistema (la partícula y su medio ambiente) y podemos escribir

[11.25]W f ∆U int

donde el subíndice f hace referencia explícita a que se trata de la fuerza derozamiento (fricción). De esta forma, la expresión general [11.24], en el caso de quela única fuerza no conservativa que actúa sobre la partícula sea la de rozamiento,

puede escribirse como

[11.26]∆ E ∆U int 0

o sea [11.27]∆( E U int) 0

de modo que la suma de la energía mecánica (de la partícula) y de la energía interna(del sistema) permanece constante (i.e., se conserva) cuando sobre el sistema sóloactúan fuerzas conservativas y las de rozamiento.

§11.8. Conservación de la energía.- Hemos definido la energía potencial deuna partícula de modo que el trabajo realizado sobre ella por una fuerza conservativasea igual a la disminución de su energía potencial. En el primer artículo de estalección demostrábamos que la energía mecánica total de la partícula permanececonstante cuando tan sólo las fuerzas conservativas realizan trabajo sobre ella; elloera debido a que el aumento de su energía cinética quedaba exactamente compensado

por la disminución de su energía potencial. De ese modo, establecíamos el principiode conservación de la energía, aunque en una forma muy restrictiva.

Por otra parte, hemos visto en el artículo anterior que la energía mecánica de la partícula no permanece constante cuando sobre ella actúan fuerzas no conservativasque realizan un trabajo; pero, eso si, el trabajo realizado por dichas fuerzas es igualal aumento (o disminución) de la energía mecánica (cinética + potencial) de la

partícula [11.24].

Debido a que casi siempre hay presente algún tipo de fuerza no conservativa, principalmente el rozamiento, la importancia del concepto de energía, y el de su

conservación, no fue justipreciada hasta el siglo XIX. Entonces se comprendió quela desaparición de energía mecánica macroscópica va siempre asociada con laaparición de energía interna, que normalmente se pone de manifiesto por un aumentode la temperatura. Hoy, sabemos que esa energía interna no es más que la energíacinética y potencial de las moléculas de medio; esto es, energía mecánicamicroscópica. Con esta generalización del concepto de energía mecánica, de modoque quede incluida la energía interna, la energía mecánica de la partícula (o la de un

6 Los texto elementales suelen decir que "la energía mecánica que desaparece se transformaen calor ". Esta expresión no es rigurosamente correcta, aunque puede disculpársela al estudianteque se inicia en el estudio de la Física. Los conceptos de energía interna y de calor y temperatura,así como el de proceso irreversible, serán desarrollados con rigor en las Lecciones de Termología.



§11.8.- Conservación de la energía. 287

cuerpo o sistema de dimensiones finitas) más la de su medio ambiente permanececonstante, aún cuando esté presente el rozamiento.

Ahora, podemos generalizar nuestros razonamientos anteriores para considerar no sólo las fuerzas conservativas y las de rozamiento sino, también, otras fuerzas noconservativas que no sean precisamente las de rozamiento. Esto es, consideremos una

partícula sobre la que actúa una fuerza resultante F que podemos desglosar como

[11.28] F F c f F nc

donde Fc y Fnc representan, respectivamente, las resultantes de las fuerzas conservati-vas y no conservativas, y f la de las fuerzas de rozamiento. En el desplazamiento dela partícula, entre dos puntos dados A y B, los trabajos realizados por cada una deesas fuerzas son

[11.29]W W c W f W nc ∆ E k

o sea, el trabajo total es igual a la variación de la energía cinética de la partícula.Pero hemos visto que con toda fuerza conservativa se asocia una energía potencialy que con el rozamiento asociamos la variación de la energía interna, o sea

[11.30]W c ∆ E p W f ∆U int

de modo que la expresión [11.29] tomará la forma

[11.31]W nc ∆ E k W c W f ∆ E k ∆ E p ∆U int

o sea que el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas (exclusive elrozamiento) es igual a la variación de la energía mecánica de la partícula y de laenergía interna de su medio ambiente. Vemos que, cuando se incluye la energíainterna, la energía total del sistema no siempre permanece constante. Ahora bien,cualquiera que sea W nc siempre ha sido posible encontrar nuevas formas de energíarelacionadas con ese trabajo. Entonces podemos representar el trabajo W nc entérminos de la variación de alguna forma particular de la energía, de modo que

[11.32]

W nc = - ∆(alguna forma de energía)

de modo que la expresión [11.31] puede escribirse como

[11.33]

∆ E k + ∆ E p + ∆U int + ∆(alguna forma de energía) = 0

por lo que la energía total (cinética + potencial + interna + alguna otra ...) permanecerá constante, si nos cuidamos de incluir todas las formas posibles deenergía.

La energía puede ser transformada de una forma a otra, pero no puede ser

creada ni destruida; la energía total permanece constante.

Este enunciado, que es una generalización de la experiencia, constituye el Principio de la Conservación de la Energía. Fue formulado en el siglo XIX, y




aunque la prioridad de su descubrimiento fue un tanto polémica (se la disputaron J.R.MAYER (1814-1878) y J.P. JOULE (1818-1889), traeremos aquí una cita de la obra deMayer (Observaciones sobre las energías de la naturaleza inorgánica):

"En innumerables casos vemos que el movimiento cesa sin haber causado otro movimiento oelevado un peso; pero la energía, una vez que existe, no puede ser aniquilada, solamente puede

cambiar de forma; y entonces surge la pregunta: ¿qué otra forma de energía, aparte de las queya conocemos, cinética y potencial (en terminología moderna), es capaz de tomar? Solamentela experiencia puede conducirnos a una solución."

En ocasiones parecía que este principio de conservación iba a fallar; pero eseaparente fallo incitó a los físicos a la búsqueda de las causas; esto es, a la búsquedade nuevos fenómenos hasta entonces desconocidos. Y siempre los encontraron. Por ejemplo, la energía de un sistema puede "disiparse" en forma de radiación; así seforman ondas sonoras en un choque entre dos objetos, o se emite radiaciónelectromagnética por una carga eléctrica acelerada. En otras ocasiones, la aparenteno-conservación de la energía llevó al descubrimiento de nuevas partículaselementales; este fue el caso del descubrimiento teórico del neutrino (PAULI, 1930)

para explicar un aparente fallo del principio de conservación de la energía en losfenómenos de radiactividad β de los núcleos atómicos. Con posterioridad el neutrinofue detectado por COWAN y R EINES, en 1956.

Así pues, el concepto de energía se ha ido generalizando para incluir otrasformas, además de la cinética y potencial, y ha sido esta generalización la que ha

permitido relacionar la Mecánica de los cuerpos en movimiento con fenómenos nomecánicos, o en los que el movimiento no se detecta fácilmente. En este sentido, elconcepto de energía ha relacionado la Mecánica con las demás ramas de la Ciencia

Natural y se ha convertido en una de las grandes ideas unificadoras de la Física.

§11.9. Crítica del concepto de energía.- En estas dos últimas leccioneshemos visto como podemos abordar ciertos problemas sobre el movimiento de la

partícula cuando conocemos la fuerza en función de la posición de aquélla. Ha sido precisamente este problema el que nos ha llevado al concepto de energía.

Atribuimos el movimiento de la partícula a las interacciones que tienen lugar entre ella y su medio ambiente; esto es, otras partículas, en definitiva. Representamosdichas interacciones mediante los conceptos de fuerza y de energía. Tanto la fuerza

como la energía son, pues, simples entes físico-matemáticos que no tienen otro propósito que representar convenientemente las diferentes interacciones queobservamos en la Naturaleza, de modo que a través de ellas podemos analizar y

predecir el movimiento de las partículas y de los sistemas de partículas. El conceptode energía potencial, al igual que el de fuerza, nos permite asociar con cada formaespecífica de interacción una forma específica de energía, y es precisamente esarelación la que llena de contenido y significado físico a la idea de energía.

En las lecciones que siguen, iremos redundando en la idea de que la interacciónentre dos cuerpos puede ser descrita como un intercambio de energía o de cantidadde movimiento. Cualquiera de ambas descripciones puede resultar útil para

representar la interacción. De ese modo, parece como si relegásemos el concepto defuerza a un papel secundario. En muchos problemas realmente será así (es el caso,como ya hemos dicho varias veces de la Física Atómica y Nuclear), pero no debemosolvidar que, en último extremo, los conceptos de cantidad de movimiento y de



§11.9.- Crítica del concepto de energía. 289

energía han sido desarrollados a partir del concepto de fuerza, aunque no eranecesario proceder de ese modo, ya que tanto el concepto de cantidad de movimientocomo el de energía pueden considerarse como primarios y autosuficientes.

§11.10. Principio de conservación de la masa.- Desde un punto de vista

histórico, la primera ley de conservación en la ciencia fue la referente a laconservación de la materia. En su obra De rerum natura, el poeta romano LUCRECIO,contemporáneo de Julio Cesar y de Cicerón, enunciaba lo que puede considerarsecomo uno de los primeros indicios de un importante principio general de la Ciencia:

"Las cosas no pueden surgir de la nada y, una vez que son, no puedenregresar a la nada."

Sin embargo, hemos de hacer notar que existe una gran distancia entre el panegírico de Lucrecio y la moderna ley de conservación de la masa que establece

que"... a pesar de los cambios de posición, forma, aspecto, composición química..., la masa de un sistema cerrado permanece constante."

La idea de un sistema cerrado, que surge como una consecuencia del trabajo deGalileo sobre el movimiento de los cuerpos, fue un requisito previo a la formulacióndel principio de conservación de la masa. Aunque ya en tiempos de Newton seaceptaba que por encima de los cambios de forma, color, volumen, posición ... hayalgo que es duradero y constante (i.e., la masa), el principio de conservación de lamasa no fue establecido firmemente hasta mucho tiempo después. La contribución

experimental más importante fue hecha por el químico francés Antoine Laurent DELAVOISIER (1743-1794), quién demostró, por la incontrovertible evidencia de la

balanza, que

"Debe considerarse como un axioma incuestionable que en todas las acciones del Arte y de la Naturaleza, nada se crea; antes y después del experimento existe la misma cantidad de materia... y nada ocurre que no sean cambios y modificaciones en las combinaciones de estoselementos."

Sin embargo, a pesar del enfático enunciado de Lavoisier, todavía quedaba lugar a duda. Un químico moderno, que examinase los resultados cuantitativos de los

experimentos de Lavoisier y reparase en el grado de exactitud que éste pudo alcanzar con sus aparatos, quedaría en una actitud escéptica frente a la afirmación de que "elaumento de peso de uno coincide exactamente con la pérdida del otro". Sin embargo,la ley era plausible y la mayor parte de los científicos del siglo XIX la aceptaron. A

partir de 1890, otro químico, Hans LANDOLT (1831-1910), animado por las dudasexpresadas por Lothar MEYER (1830-1895), realizó una extensa investigaciónexperimental sobre la conservación de la masa en las reacciones químicas; en 1909estableció la siguiente condición:

" ... ningún cambio en el peso total puede determinarse en cualquier reacción química ... La prueba experimental de la ley de la conservación de la masa puede considerarse completa. Si

existe alguna desviación, deberá ser menor de una milésima de miligramo."

§11.11. Masa y energía.- Si no dispusiéramos de más evidencia válida que lareferente a los experimentos con sistemas que reaccionan químicamente, deberíamos




llegar a la conclusión de que la ley o principio de conservación de la masa escorrecta. Un químico moderno que repitiera los experimentos de Landolt, aun cuandoutilizarse el mejor equipo disponible, llegaría a la misma conclusión que aquél;únicamente conseguiría reducir su margen de error.

Sin embargo, existen otros tipos de procesos en los que cambia la masa del

sistema. Los más importantes son aquéllos que incluyen reacciones entre núcleos ató-micos (reacciones nucleares) y entre partículas elementales, tales como la desintegra-ción radiactiva, fisión, fusión, creación y aniquilación de pares partícula-antipartícula... En algunos de estos fenómenos, como en los de creación y aniquilación de pares,la masa del sistema puede ser creada y aniquilada por completo. En otros, la masadel sistema simplemente aumenta o disminuye, a partir de un cierto valor inicial.

Por otra parte, la masa de una partícula puede incrementarse extraordinariamentecuando se la acelera hasta velocidades próximas a la de la luz. Este efecto, que es unefecto relativista, ya era conocido antes de 1905, fecha en que se publica el primer

trabajo de Albert EINSTEIN (1879-1955) sobre la Teoría de la Relatividad Especial:"Sobre la electrodinámica de los cuerpos móviles" (Annalen der Physik 17 (1905) 891-921).El incremento de masa que experimentan las partículas aceleradas a altas velocidadeshabía sido descubierto experimentalmente por W. K AUFMANN, en 1902, desviandoen campos eléctricos los electrones de alta velocidad emitidos en la desintegraciónβ de los núcleos radiactivos.

En 1905, Einstein llega a la conclusión de que la masa ponderable y tangible deuna partícula, cargada o no, crece con la velocidad de acuerdo con la ecuación

[11.34]m

m0

1 v 2/c 2

en donde m0 es la masa de la

Figura 11.8

partícula en reposo con respec-to al observador, llamada masaen reposo, y m es la masa dela partícula cuando se muevecon una velocidad v conrespecto al mismo observador

y es llamada masa relativista.En la Figura 11.8 se representagráficamente el cociente m/m0

frente a la velocidad de la partícula, medida en unidadesde la velocidad de la luz (estoes, β=v/c). Obsérvese que para

velocidades tales que β > 0.9, la masa relativista es varias veces mayor que la masaen reposo, y que tiende hacia infinito a medida que β tiende hacia 1, o sea cuandola velocidad v de la partícula se aproxima a la velocidad c de la luz.

La Dinámica Relativista será objeto de atención en una lección posterior; ahorasólo trataremos de desprender, mediante un razonamiento sencillo, algunasconsecuencias interesantes de la ecuación [11.34]. Llamando β al cociente v/c, la ec.[11.34] puede escribirse en la forma



§11.11.- Masa y energía. 291

[11.35]m m0 (1 β 2 ) 1/2

de modo que desarrollando la expresión anterior por la fórmula del binomio

[11.36]m m0 ( 1 1

2

β 2 3

8

β 4 ...)

Entonces, si v c, o sea si β 1, con muy buena aproximación7 podemos escribir

[11.37]m ≈ m0 ( 1 1

2β 2 ) m0 ( 1

v 2

2c 2 ) m0

1

2m0v

2

c2

resultado que nos ofrece una sorprendente interpretación física del incremento demasa con la velocidad, ya que

[11.38]∆m m m0

1

2 m0v

2

c 2

donde podemos identificar el término ½m0v2 con la energía cinética clásica de la

partícula; esto es,

[11.39]∆m E k

c 2

y llegamos a la idea, al tratar de comprender el cambio de la masa con la velocidad,

de que la energía cinética adquirida durante el proceso de aceleración de la partículaha aumentado su masa o inercia en la cantidad E k /c2. Ese es el significado de la

ecuación [11.39]; decir que la energía tiene masa, que la energía es masa, o que esequivalente a la masa, sólo son expresiones del lenguaje que no añaden nada nuevoal significado físico de la ecuación [11.39].

Aunque hemos llegado a establecer la ecuación [11.39] mediante una aproxi-mación, la citada ecuación es cierta en general. Pero es más, la idea básica de quela energía es equivalente a la masa puede extenderse a otras energías distintas de lacinética. Así, por ejemplo, al comprimir un resorte, realizando un trabajo sobre él ysuministrándole, con ello, una energía potencial elástica E p, su masa se incrementaen E p/c2. Igualmente, un cuerpo incrementa su masa cuando lo calentamos; en estecaso si es Q la energía térmica (calor) que le hemos suministrado, su incremento demasa será Q/c2.

En resumen, el principio de equivalencia entre la masa y la energía estableceque por cada unidad de energía (1 joule) que suministramos a un objeto material sumasa se incrementa en

[11.40]1 J

( 3 × 108 m/s )2 1.1 × 10 17 kg

7 En general, es válida la aproximación (1 + )n = 1 + n , cuando 1.




y esto no significa que ahora haya más moléculas que antes; lo que se ha modificadoes la masa o inercia observable del objeto. Obsérvese que, debido al factor c2, loscambios de masa sólo serán apreciables cuando se pongan en juego energías muygrandes. Por esa razón, los cambios de masa no son apreciables en las reaccionesquímicas, en las que las energías puestas en juego son relativamente pequeñas, pero

tendrán una gran importancia en las interacciones nucleares o en la Física de AltasEnergías.

La equivalencia entre la masa y la energía, esto es la famosa expresión deEinstein

[11.41] E (∆m) c2

puede ser considerada como la contribución más significativa de la Teoría de laRelatividad. De hecho, como la masa en reposo es tan sólo una forma de energía,

podemos asignar una energía m0c2, llamada energía en reposo, a la partícula de masa

m0 y considerarla como un paquete de energía (este concepto puede generalizarseincluso para partículas, como el fotón, cuya masa en reposo es nula).

Teniendo en cuenta la equivalencia masa-energía, el principio de conservaciónde la energía (o el de la masa) deben reformularse. Una forma simple de hacer estoes considerar todo objeto del sistema como una fuente potencial de aniquilacióncompleta, esto es, como capaz de "desmaterializarse" para transformarse en energía"pura e inmaterial". De este modo, para un sistema cerrado y aislado, la cantidad deenergía en reposo ( m0c

2) más las restantes formas de energía ( E ), es constante;esto es

[11.42]( m0c2 E ) cte

expresión que podemos considerar como la generalización del principio deconservación de la energía total , o también como una generalización del principiode conservación de la masa, si preferimos escribir [11.42] en la forma

[11.43]( m0

E

c 2 ) cte

Las expresiones [11.42] y [11.43] tienen esencialmente el mismo contenido. Tal

como fue escrito por Einstein ..."La física prerrelativista contiene dos leyes de conservación de importancia fundamental; asaber: la ley de conservación de la energía y la ley de conservación de la masa; ambas aparecencon total independencia la una de otra. En la Teoría de la Relatividad, ambas se funden en unsolo principio."



Problemas 293

Problemas

11.1.- En la obra de Huygens, HorlogiumOscillatorum (1673), encontramos la proposición siguiente: "Cuando un péndulooscila de modo que su amplitud es de 90°, al pasar por la posición más baja resulta que latensión del hilo es el triple de la que le corres- pondería si el péndulo estuviese inmóvil."Demostrar esta proposición.

11.2.- En la

Prob. 11.2

f i g u r a , s erepresenta un péndulo simple,de longitud l ,c uy as o sc i-laciones estánlimitadas por laexistencia deun clavo hori-zontal situado auna distancia2l /3 del punto de suspensión y en su mismavertical. Determinar el ángulo Θ desde el quedebemos abandonar la masa pendular para queel hilo de suspensión se enrolle en el clavo.

11.3.- Colgamos un cuerpo de masa m del ex-tremo inferior de un muelle vertical que estásujeto del techo por su otro extremo, y lo deja-mos descender lentamente, soportándolo con lamano, lo que hace que el muelle se estire unadistancia d . ¿Cuál sería el máximo descensodel cuerpo si lo hubiéramos dejado caer bruscamente?

11.4.- Una partícula de masa m está situada en

la cima de una hemiesfera lisa, de radio R, queestá apoyada por su base sobre un plano hori-zontal. Cuando desplazamos ligeramente la partícula de su posición de equilibrio comienzaa deslizar sobre la superficie de la esfera. La posición de la partícula queda determinada encada instante por el ángulo θ que forma elradio-vector correspondiente con la vertical.a) Tomando el plano de la base como nivel dereferencia, expresar las energías potencial ycinética de la partícula en función del ánguloθ. b) Ídem las aceleraciones tangencial y

normal. c) Determinar el valor del ángulo parael cuál la partícula se despega de lahemiesfera. d) En el caso de que existieserozamiento, ¿el ángulo correspondiente a la

posición de despegue sería mayor o menor queel anteriormente calculado?

11.5.- Una partícula se mueve bajo la acciónde una fuerza única, que es conservativa. ¿Enqué condiciones, si es que las hay, es posibleque aumente la energía potencial de la partícu-la?

11.6.- Un cable flexible y uniforme, de longi-tud l , está colgado en una pared vertical pasando sobre un clavo fijo y liso. Inicial-

mente el cable se encuentra en equilibrio.Calcular la velocidad que adquiere el cable, enel instante en que abandona al clavo, cuandose le separa ligeramente de su posición deequilibrio.

11.7.- Considérese una masa puntual m suspen-dida de un punto fijo O mediante un hiloelástico de longitud natural l y constanteelástica k . Supongamos que abandonamos elsistema, con el hilo en su longitud natural yhorizontal. a) Demostrar que cuando el hilo

pasa por la posición vertical, se habrá alargadouna cantidad ∆l = 3mg /k ; siempre que ∆l pueda considerarse mucho más pequeña que l .b) Demostrar, en esas condiciones, que lavelocidad de la masa puntual, en el punto más bajo de su trayectoria, es

v 2 g (l 3mg 2k

)

que es menor que la que le correspondería parauna cuerda inelástica (k =∞). Explicar físicamente estos resultados.

11.8.- Un pequeño objeto desliza, sin roza-

Prob. 11.8

miento, por un carril situado en un plano verti-cal, que está compuesto por un tramorectilíneo seguido de un tramo circular de 4 mde radio, y que subtiende un ángulo θ=30° a




cada lado de la vertical, como se muestra en lafigura. Si el pequeño objeto pesa 20 g y partedel reposo de la posición H = 10 m, calcular laaltura máxima (h) que alcanzará después deabandonar el carril.

11.9.- Demostrar que el ritmo o velocidad devariación de la energía cinética de una partícu-la viene dado por d E k /dt = F v, siendo F lafuerza resultante que actúa sobre la partícula yv su velocidad. Interpretar este resultado.

11.10.- Un bloque de 5 kg comienza a subir por un plano inclinado de 30° con una veloci-dad inicial de 20 m/s. a) ¿Qué distancia reco-rrerá sobre el plano, antes de detenerse, si elcoeficiente cinético de rozamiento vale 0.25?b) Sea 0.45 el coeficiente estático de roza-miento. ¿Volverá a bajar el bloque, plano

hacia abajo, después de haberse detenido? Encaso afirmativo, ¿cuál será su velocidad alllegar de nuevo al pie del plano?

11.11.- Una pelota de ping-pong se deja caer sobre un suelo duro y rebota hasta el 90% desu altura original. a) Encontrar una expresióngeneral para la altura máxima de la pelota des- pués del n-ésimo rebote. b) Ídem para la pérdi-da de energía y la fracción de pérdida de ener-gía de la partícula después del n-ésimo rebote.c) ¿Cuántos rebotes se necesitarán para que la

altura máxima de la pelota se reduzca a un 5%de su valor inicial. d) Hacer una estimacióndel tiempo máximo durante el cuál estará botando la pelota, cuando se la deja caer desdeuna altura inicial de 5 m.

11.12.- Una masa puntual, m, está unida al ex-tremo superior de una varilla rígida y ligera,de longitud l , que puede girar alrededor de uneje horizontal que pasa por su extremoinferior. Se abandona el sistema a partir de la posición vertical (equilibrio inestable), enreposo. a) Expresar la tensión en la varilla enfunción del ángulo que forma ésta con lavertical. b) Calcular el ángulo que formará lavarilla con la vertical cuando la tensión en lamisma pasa de ser compresora a tensora.

11.13.- Una vagoneta, abierta por su partesuperior, que marcha con una velocidad cons-tante de 4 m/s es cargada con 10 t de carbón,mientras pasa bajo una tolva de descarga, enun tiempo de 5 segundos. a) ¿Qué fuerza extrahabrá que aplicar a la vagoneta para que suvelocidad permanezca constante durante el

proceso de carga? b) ¿Qué trabajo realizaráesa fuerza? c) ¿Qué aumento de energía cinéti-ca experimenta el carbón? d) Explicar ladiscrepancia entre los resultados de los dosapartados anteriores.

11.14.- Una

Prob. 11.14

bolita de pe-queñas di-m e n s i o n e srueda en uncarril circular

situado en un plano verti-cal, como semuestra en lafigura. Cuan-do la bolita pasa por el punto más bajo del carril lleva unavelocidad v0. a) ¿Cuál deberá ser el valor mínimo de v0 a fin de que la bolita complete latrayectoria circular sin despegarse del carril?b) Sea vmín el valor anteriormente calculado ysupóngase ahora que es v0 = 0.837 vmín. Bajo

estas condiciones determinar la posición angu-lar θ del punto P en el que la bolita sedespega del carril, así como su celeridad enese instante.

11.15.- Una bolita, de pequeñas dimensiones,

Prob. 11.15

de masa m, desliza sin rozamiento por uncarril, como se muestra en la figura. La bolitase abandona en reposo en un punto P, situadoa una altura h sobre el nivel de referencia, des-ciende por el carril y prosigue por el interior de la circunferencia vertical de radio R.Deseamos ajustar la posición del punto P demodo que la bolita abandone el carril circular en un cierto punto M y que, en el subsiguiente

movimiento sin ligaduras, vaya a pasar por elcentro de la circunferencia (punto O). a) De-terminar el valor del ángulo α correspondientea la posición M en que la bolita se despega delcarril circular, así como la velocidad de la bolita en ese instante. b) Determinar la alturah del punto P para conseguir el resultadodeseado. Aplicación numérica: R = 50 cm.

11.16.- Una partícula se mueve sobre el eje x

bajo la acción de una fuerza dada por F = -16 x+ 8 x3 (SI). a) Representar gráficamente la fun-ción energía potencial E p( x). b) Analizar elmovimiento de la partícula para diversosvalores de su energía total. c) Determinar los



Problemas 295

puntos de retorno para E = 4 J. d) Ídem para E = - 4 J.

11.17.- La energía potencial de una partículade 2 g de masa que se mueve sobre el eje xviene dada por E p = 24 x2e-2 x, donde x estáexpresada en cm y E p en ergios. a) Determinar las posiciones de equilibrio de la partícula, asícomo las energías potenciales correspondientesa esas posiciones. b) Represéntese gráfi-camente la función E p( x) y discútanse losmovimientos posibles de la partícula. c) ¿Cuá-les son los puntos de retorno correspondientesa una energía total de 2 erg? d) Considérese la partícula en reposo en el punto de coordenada x = 0.5 cm; ¿Cuál será la velocidad de la partícula cuando pase por el origen de coor-denadas? e) Calcular el periodo de las peque-ñas oscilaciones de la partícula alrededor de la posición de equilibrio estable.

11.18.- Una partícula, de masa m, se mueve bajo la acción de una fuerza conservativa quederiva de un potencial dado por

E p a2 E 0a2 x2

8a4 x4

donde a y E 0 son constantes. a) Representar gráficamente E p( x) y F ( x), determinar las posi-

ciones de equilibrio y discutir los movimientos posibles. b) La partícula parte con una veloci-dad inicial v∞ de un punto muy lejano y diri-giéndose hacia el origen; ¿qué velocidadtendrá cuando pase por el origen? c) Como enel apartado anterior, pero la partícula, al pasar por x=a sufre un choque con otra partícula,durante el cual pierde una fracción α de suenergía cinética. ¿Cuál ha de ser el valor míni-mo de α para que la partícula quede atrapadaen el pozo de potencial? d) ¿Cuál ha de ser elvalor mínimo de α para que la partícula quede

atrapada en una de las paredes del pozo?e) ¿Cuáles serán los puntos de retorno si α=1?

11.19.- Una partícula, de masa m, se muevesobre el eje x bajo la acción de una fuerza F dada por

F kx c

x 3

donde k y c son constantes. a) Expresar y

representar gráficamente la energía potencial E p( x) de la partícula y describir los rasgos másconspicuos del movimiento de la misma.b) Obténgase la solución x(t ). c) Determinar el

periodo de las pequeñas oscilaciones en tornoa la posición de equilibrio.

11.20.- Una partícula de 2 g de masa se mueve bajo la acción de una fuerza que vieneexpresada por

F = 2(3 x+ y)i + 2( x+4 yz) j + 4 y2 k

con x, y, z en cm y F en dyn. Cuando pasa por el punto de coordenadas (3,2,1) tiene unaceleridad de 5 cm/s. a) ¿Cuál será su celeridadcuando pase por el punto (2,3,5)? b) ¿Ídem por el punto (1,-3,0)?

11.21.- Encontrar y analizar las posiciones deequilibrio de una partícula cuya energía poten-cial está expresada por

a) E p = x3 + y3 - 3 x - 12 y

b) E p = 9 x2 - 4 y2 - 18 x + 24 y - 25

c) E p = ( x2 + y2 - 4)2

d) E p = ( x2 + y2 - 9) expr[-( x2 + y2)

11.22.- Agrupamiento α. La energía potencial

Prob. 11.22

de una partícula α en el interior de un núcleo pesado queda descrita cualitativamente, en fun-ción de su

distancia alcentro de lnúcleo, por lagráfica quese muestra enl a f ig ur a.a) Encontrar una funciónde r que seajuste a esag r á f i c a .b ) D e t e r -

minar la fuerza que actúa sobre la partícula αen función de r . c) Describir los movimientos posibles de la partícula α.

*11.23.- Pozo de potencial rectangular.Consideremos un pozo de potencial rectangu-lar, de profundidad U 0, i.e., una región delespacio en la que la energía potencial de una partícula venga dada por una función E p(r ) talque E p(r )=0 para r > R y E p(r )=-U 0 para r ≤ R.Una partícula, de masa m, incide con unavelocidad v0 sobre el pozo de potencial, con un parámetro de impacto s, como se ilustra en lafigura, atraviesa el pozo y, tras experimentar dos refracciones, emerge en una dirección queforma un ángulo θ con su dirección inicial.a) Determinar la velocidad de la partícula enel interior del pozo. b) Demostrar que entre el




parámetro de impacto y el ángulo de desvia-

Prob. 11.23

ción existe la relación

s2 R 2

n2 sen2 θ2

n2 1 2n cos θ2

con n 1 2 U 0

mv20

c) Comprobar que la desviación máxima de la partícula al atravesar el pozo de potencial se presenta para s= R y que su valor es

cos θmáx

21n

11.24.- El electrón-voltio.- En Física Atómicay Nuclear se utiliza preferentemente la unidadde energía llamada electrón-voltio (eV) y susmúltiplos (keV, MeV, GeV ...), que se definecomo el trabajo realizado sobre la carga de unelectrón cuando se desplaza entre dos puntoscuya diferencia de potencial es un voltio.Demostrar que 1 eV = 1.602 177×10-19 J.

11.25.- Unidad de masa atómica.- La unidadde masa atómica (u) se define como la docea-va parte de la masa del átomo de Carbono-12.a) Demostrar que 1 u = 1.660 540×10-27 kg(Recuérdese que el número de Avogadro es N A = 6.022 045×1023 moléculas/mol). b) De-mostrar que el equivalente energético de 1 u es931.494 MeV.

11.26.- Las masas del electrón, del protón ydel neutrón son, respectivamente

me = 9.109 396 ×10-31 kg

m p = 1.672 623 ×10-27 kg

mn = 1.674 928 ×10-27 kg

Expresar dichas masas en u y en MeV. (Lavelocidad de la luz es c=2.997 925×108 m/s).

11.27.- Un electrón se mueve con una veloci-

dad v = 0.99 c. a) ¿Cuál es su masa relativistaa esa velocidad? b) Encontrar la relación entrelas energías cinéticas relativista y clásica delelectrón para esa velocidad? c) Expresar laenergía cinética relativista del electrón enMeV.

11.28.- Un protón, con una energía cinética de100 keV se lanza frontalmente contra el núcleode un átomo de plomo ( Z =82), que considera-remos fijo. a) ¿Cuál será la distancia demáxima aproximación del protón al núcleo de plomo? b) ¿Son importantes, a esa distancia,las fuerzas nucleares?

11.29.- Energía de enlace de la partícula α.Las masas del protón, del neutrón y de la partícula α (núcleo del Helio-4) son, respec-tivamente, de 1.007 825 u, 1.008665 u y4.002 600 u. Con estos datos, calcular laenergía que debemos de suministrar a la partícula α para disociarla completamente ensus componentes. Esa energía recibe el nombrede energía de enlace.

11.30.- Se cree que el Sol obtiene su energíaradiante mediante un proceso de fusión en elcual, después de unos pasos intermedios, seforman núcleos de helio-4 a expensas de proto-nes y neutrones libres. El proceso esexoenergético y la energía se libera en formade radiación. a) Calcular la energía liberada encada proceso de fusión conducente a la for-mación de un núcleo de helio-4. b) Ídem con-ducente a la formación de un gramo de he-lio-4. Exprésense esas energías en MeV y enW h.

11.31.- En el proceso de creación de un par electrón-positrón, un rayo gamma (radiaciónelectromagnética) se materializa en un electróny en su antipartícula, el positrón, que tiene lamisma masa que aquél y cuya carga es de lamisma magnitud que la del electrón, sólo que positiva. Calcular, en MeV, la energía mínimadel rayo gamma para que pueda producirse lacreación del par electrón-positrón.



12.- Momento angular.Fuerzas centrales.

§12.1. Momento de una fuerza (297); §12.2. Momento angular (298); §12.3. Impulsiónangular (300); §12.4. Conservación del momento angular de una partícula (301);§12.5. Fuerzas centrales. Órbitas planas y ley de las áreas (302); §12.6. Descripción delmovimiento de la partícula en coordenadas polares planas (303); §12.7. Movimientoproducido por una fuerza central (306); §12.8. Energías potenciales centrífuga y efectiva(311); §12.9. Análisis de diagramas de energía (312); §12.10. Fuerza central inversamenteproporcional al cuadrado de la distancia (315); §12.11. Órbitas elípticas: Leyes de Kepler(320); §12.12. Órbitas hiperbólicas: El problema de Rutherford (322); §12.13. Seccióneficaz de dispersión (324); Problemas (326)

En las lecciones anteriores hemos definido magnitudes físicas tales como lacantidad de movimiento y la energía y hemos establecido, bajo ciertas condiciones,los principios de conservación correspondientes para una sola partícula. En estalección vamos a definir una nueva magnitud física, el momento angular , yestableceremos el correspondiente principio de conservación. Veremos que el

momento angular, al igual que la cantidad de movimiento y la energía es unaherramienta eficaz para la resolución de numerosos problemas que se plantean en laFísica. Con el principio de conservación del momento angular completaremos la ternade principios de conservación que constituyen la clave y el fundamento de laMecánica. Es más, estos tres principios de conservación pueden ser consideradoscomo las piedras angulares de la Física actual, siendo válidos en general en todas lasteorías físicas.

Como culminación de estas lecciones dedicadas a la Dinámica de la Partícula,abordaremos la resolución de un problema clásico: el del movimiento de unapartícula bajo la acción de una fuerza central. Nos serviremos de este problema parailustrar la forma en que los principios de conservación de la energía y del momentoangular nos permiten resolver un problema dinámico concreto.

§12.1. Momento de una fuerza.- Consideremos una fuerza F que actúa sobreuna partícula localizada en un punto P del espacio y un punto O fijo en un ciertoreferencial inercial. Utilizaremos nuestra definición previa del momento de un vectorcon respecto a un punto (Lección 2) para definir ahora el momento de la fuerza F

con respecto al punto O como el producto vectorial del vector de posición de lapartícula con respecto al punto O (esto es, r = OP) por el vector F; o sea que,

designando por M a dicho momento, tenemos




298 Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.

[12.1] M r × F

de modo que el momento M resulta ser un vector perpendicular, en cada instante yconforme se mueve la partícula, al plano determinado por el punto O y la línea deacción o recta directriz de la fuerza F (Figura 12.1), su sentido es el determinado por

la regla de la mano derecha o del tornillo para el producto vectorial y su módulovendrá dado por

[12.2] M r F senθ F b F

donde b F representa la

Figura 12.1

distancia del punto O a la rectadirectriz del vector F y esllamado brazo de la fuerza conrespecto al punto O.

La definición anterior presuponeque la fuerza F tenga carácter devector deslizante, asunto sobre el queno insistiremos ahora pero que tratare-mos en profundidad cuando estudiemoslas propiedades de las fuerzasaplicadas a un sólido rígido.

Obsérvese que el momentode una fuerza tiene las dimen-

siones que corresponden al producto de una fuerza por una longitud (ML2T-2) que son

las mismas que las del trabajo. Sin embargo el momento de una fuerza y el trabajorealizado por una fuerza son dos magnitudes físicas de significado muy diferente.Repárese, por lo pronto, en que el momento1 es una magnitud vectorial en tanto queel trabajo lo es escalar. Las unidades de momento en los sistemas cgs y mks (SI) sonel centímetro dina (cm dyn) y el metro newton (m N), respectivamente, que noreciben nombres especiales2.

§12.2. Momento angular.- El momento angular o cinético3 con respecto a unpunto arbitrario O (fijo en un cierto referencial) de una partícula de masa m yvelocidad v (en ese mismo referencial), o sea de cantidad de movimiento p = mv, sedefine como el producto vectorial

[12.3] L r × mv r × p

1 El momento de una fuerza recibe también el nombre de momento dinámico o el de momento,simplemente. En este texto preferiremos esta última denominación, siempre que no haya posibilidadde confusión.

2

En el sistema técnico, la unidad de momento es el metro kilogramo (m kg), que tampocorecibe nombre especial. Recordemos que la unidad de trabajo en este sistema es el kilogramo metro(kg m), que recibe el nombre de kilográmetro (kgm).

3 Las dos denominaciones son aceptables, aunque en este texto utilizaremos sólo la primera.



§12.2.- Momento angular. 299

donde r es el vector posición

Figura 12.2

de la partícula con respecto alpunto O ( r = OP). De acuerdocon la definición anterior, elmomento angular de una partí-

cula con respecto a un puntodado es el momento de lacantidad de movimiento de lapartícula con respecto a dichopunto (Figura 12.2). El momentoangular es un vector perpendi-cular al plano definido por elpunto arbitrario (O) elegidocomo origen de momentos y la recta directriz de la cantidad de movimiento de lapartícula, su sentido es el determinado por la regla de la mano derecha o del tornillopara el producto vectorial y su módulo es

[12.4] L r p senθ p b p

donde b p es el llamado brazo de la cantidad de movimiento con respecto al punto Oelegido y representa la distancia de dicho punto a la recta directriz del vector p.

La definición dada para el momento angular presupone que la cantidad de movimiento de unapartícula tenga el carácter de vector deslizante.

El momento angular, así como el momento de una fuerza, tiene todas laspropiedades correspondientes al momento de un vector deslizante, tal como las

estudiábamos en la lección correspondiente. Por ello no insistiremos ahora en esaspropiedades; únicamente recordaremos que podemos definir el momento de un vector con respecto a un eje como la proyección sobre el eje del momento de dicho vectorcon respecto a un punto cualquiera del eje y dejaremos al cuidado del alumno eldefinir el momento de una fuerza y el momento angular de una partícula con respectoa un eje.

Las unidades en que se mide el momento angular en los sistemas cgs y mks (SI)son el g cm2 /s y el kg m2 /s, respectivamente, que no reciben nombres especiales.

En general, el momento

Figura 12.3

angular4

de una partículacambia en módulo y en direc-ción conforme ésta se mueve.Sin embargo, si la trayectoriade la partícula está contenidaen un plano y elegimos comocentro u origen de momentosun punto O contenido en dichoplano (Figura 12.3), la direccióndel momento angular permane-

4 Aunque siempre es necesario especificar cual es el origen de momentos elegido, cuando nohaya posibilidad de confusión omitiremos dicha mención.



§12.3.- Impulsión angular. 301

De la ec. [12.8] se desprende que el cambio d L en el momento angular de lapartícula durante un intervalo de tiempo infinitesimal dt es igual al producto delmomento aplicado por el intervalo de tiempo (infinitesimal) durante el cual actúa,

[12.9] M dt d L

de modo que dicho cambio d L es paralelo al momento aplicado M . El cambio totalen el momento angular durante un intervalo de tiempo ∆t = t B - t A vendrá dado por

[12.10]ΛΛ ⌡⌠

t B

t A

M dt ⌡⌠

LB

LA

d L L B L A ∆ L

de modo que aun cuando el primer miembro de [12.9] sólo pueda ser integrado encondiciones muy concretas (cuando conozcamos M en función del tiempo), la integraldel segundo miembro conduce siempre a un resultado sencillo; i.e.,

[12.11]Λ ∆ L

El primer miembro de [12.10] se denomina impulsión del momento o impulsiónangular y la ecuación anterior expresa el siguiente resultado importante:

La impulsión del momento de la fuerza que actúa sobre una partícula esigual a la variación del momento angular de la partícula.

Este es el enunciado del teorema del momento angular , que se aplica fundamen-talmente a las fuerzas impulsivas, como las que aparecen en las colisiones ypercusiones, es decir en aquellos casos en los que no conocemos la dependencia con

el tiempo de la fuerza (y por ende del momento) aplicada a la partícula. Elsignificado del teorema anterior guarda una gran semejanza formal con el teoremade la cantidad de movimiento. La impulsión del momento es una magnitud vectorial(sus unidades son las mismas que las del momento angular) y mide, en cierto modo,la efectividad del momento de la fuerza para producir cambios en el momentoangular (o sea, en el estado de rotación).

§12.4. Conservación del momento angular de una partícula.- Si el

Figura 12.5

momento aplicado a una partícula es cero, o sea si M = r × F = 0, tendremos que

d L /dt = 0, de modo que el momento angular de la partícula permanecerá constanteen el transcurso del tiempo.

El momento angular de una partícula esconstante en ausencia de momento dinámico.

Esta es una forma de enunciar la ley de conserva-ción del momento angular de una partícula.

Naturalmente, el momento será nulo si la fuerzaaplicada (o la resultante de las fuerzas aplicadas) esnula; esto es, cuando se trata de una partícula libre.Sabemos que el movimiento de una partícula libre esrectilíneo y uniforme (Figura 12.5); esto es, v = cte, osea, p = cte. El módulo del momento angular de la




partícula libre con respecto a un punto fijo en un referencial inercial es

[12.12] L m r × v mr v senθ mvb

donde b = r sen θ. Al ser constantes todos los factores involucrados, el momentoangular de la partícula libre también será constante.

§12.5. Fuerzas centrales. Órbitas planas y ley de las áreas.- La condiciónde que el momento sea nulo también se satisface si F es paralela a r; en otraspalabras, si la recta directriz de la fuerza pasa siempre por el punto O elegido comocentro u origen de momentos. Una categoría especial de este tipo de fuerzas estáconstituida por las llamadas fuerzas centrales; entonces, el punto O recibe el nombrede centro de fuerza. Por ello podemos establecer que

cuando una partícula se mueve bajo la acción de una fuerza central, su

momento angular con respecto al centro de fuerzas es una constante delmovimiento, y viceversa.

Este resultado es muy importante en razón de que muchas fuerzas de laNaturaleza tienen carácter central. Así, por ejemplo, la Tierra se mueve en torno alSol bajo la acción de una fuerza central (la fuerza gravitatoria) cuya línea de acciónpasa siempre por el centro del Sol; en consecuencia, será constante el momentoangular de la Tierra con respecto al Sol. Una situación análoga se presenta en elmovimiento del electrón del átomo de Hidrógeno; en este caso, la interacción esesencialmente electrostática y la fuerza que actúa sobre el electrón está dirigidasiempre hacia el núcleo; en consecuencia, el momento angular del electrón conrespecto al núcleo será constante.

El movimiento de una partícula bajo la acción de una fuerza central tienecaracterísticas muy importantes. Como ya hemos visto, el momento angular de lapartícula con respecto al centro de fuerzas es constante. El que sea L = cte significa,debido a su carácter vectorial, que lo será en módulo, dirección y sentido. Laconstancia de la dirección del momento angular significa que la trayectoria de lapartícula estará confinada en un plano perpendicular a la dirección del momentoangular. En consecuencia, podemos enunciar:

La trayectoria de una partícula que se mueve bajo la acción de una fuerzacentral se encuentra en un plano que contiene al centro de fuerzas.

Este enunciado es de interés histórico en relación con el movimiento planetarioy se le conoce como Primera Ley de Kepler . En general, la trayectoria plana podráser cerrada o abierta; en principio, dichas trayectorias podrán ser muy variadas. Enel caso de que la fuerza central sea inversamente proporcional al cuadrado de ladistancia de la partícula al centro de fuerzas, esto es, F ∝ 1/ r 2, entonces esastrayectorias u órbitas serán secciones cónicas (circunferencias, elipses, parábolas ehipérbolas), como veremos más adelante.

Cuando la partícula experimenta un desplazamiento infinitesimal, d r, bajo laacción de una fuerza central, su vector de posición (radio vector ) barre un área dS (sombreada en la Figura 12.6). En virtud de la interpretación geométrica del productovectorial podemos escribir



§12.5.- Fuerzas centrales. Órbitas planas y ley de las áreas. 303

[12.13]dS 1

2 r × d r

donde dS es el vector elemento de superficie, que tiene la misma dirección que elmomento angular L. Entonces, el área barrida por unidad de tiempo, o velocidad

areolar es

[12.14]dS

dt 12

r × d r

dt 12

r × v

siendo v la velocidad de la

Figura 12.6

partícula y, como L = m r × v,se sigue que

[12.15]dS

dt

L

2m

que es la expresión de lavelocidad areolar en funcióndel momento angular. Como elmomento angular es una cons-tante del movimiento, también lo será la velocidad areolar, de modo que tenemos elsiguiente resultado importante:

En el movimiento bajo la acción de fuerzas centrales el radio vector de lapartícula barre áreas iguales en tiempos iguales. Esto es, el área barrida porunidad de tiempo (velocidad areolar ) es constante.

Este enunciado, que como vemos tiene validez general para el movimiento bajola acción de fuerzas centrales, tiene también interés histórico en relación con elmovimiento planetario; en ese contexto se le conoce como Segunda Ley de Kepler .

Los planetas se mueven en órbitas elípticas alrededor del Sol, el cual ocupa uno de los

Figura 12.7

focos de dichas elipses. Con objeto de que se conserve el momento angular del planeta conrespecto al Sol (que ocupa la posición del centro de fuerzas) aquél deberá moverse másrápidamente en el punto de máximaaproximación ( perihelio) que en aquel otrode máximo distanciamiento (afelio) al Sol.En tales puntos, llamados absidales, el radiovector r es perpendicular a la velocidad v,de modo que el módulo del momentoangular en ellos es L = mrv cumpliéndoseque

[12.16]r p vp r a va

§12.6. Descripción del movimiento de la partícula en coordenadas polaresplanas.- Para facilitar el análisis del movimiento de una partícula deberemos servirnos deun sistema de coordenadas que sea apropiado a las características generales de dicho




movimiento. Puesto que nos proponemos estudiar el movimiento de la partícula bajo laacción de una fuerza central, i.e., de una fuerza cuya recta directriz pasa siempre por unpunto fijo O (centro de fuerzas) y cuyo módulo es función únicamente de la distancia dela partícula a dicho punto, resultará muy conveniente la adopción de un sistema decoordenadas polares planas con origen en el centro de fuerzas. De ese modo, la fuerza

central quedará expresada en la forma

Figura 12.8

[12.17] F F(r ) e r

siendo er el versor en la dirección delvector de posición r, esto es

[12.18] r r e r

y donde F(r ) es una función querepresenta el módulo de la fuerza,que será una atracción (dirigida haciael centro de fuerzas) si es F(r ) < 0 ouna repulsión (desde el centro defuerzas) si es F(r ) > 0.

En coordenadas polares planas,la posición de la partícula en el plano del movimiento queda determinada por lacoordenada radial r (distancia al punto O tomado como origen) y por la coordenadaangular θ (ángulo que forma el vector r con una dirección o eje polar preestablecido). Losversores correspondientes son el er y el eθ. El versor er está dirigido desde el origen a la

posición que ocupa la partícula. El versor eθ es perpendicular al anterior y marca ladirección de crecimiento del ángulo polar (θ). Tomando el eje cartesiano x como eje polar ,las fórmulas de transformación de las coordenadas cartesianas de la partícula y de losversores cartesianos a polares son5:

[12.19]r x 2 y 2 θ arctg y x

[12.20]

e r cos θ i sen θ j

eθ sen θ i cos θ j

Para expresar la velocidad de la partícula en coordenadas polares planas calcularemosla derivada del vector de posición, dado por [12.18], con respecto al tiempo; se obtiene:

[12.21]v d r

dt ddt

(r e r ) dr

dt e r r

de r

dt

A partir de [12.20], por derivación y posterior sustitución, tenemos

5 Dejamos al cuidado del alumno la demostración de estas relaciones y la obtención de lasrelaciones de transformación inversas.



§12.6.- Descripción del movimiento de la partícula en coordenadas polares planas. 305

[12.22]

de r

dt ( sen θ i cos θ j )

dθdt

θ eθ

deθ

dt ( cos θ i sen θ j )

dθdt

θ e r

de modo que la velocidad de la partícula es

[12.23]v r e r r θ eθ

que puede escribirse como

[12.24]v vr e r vθ eθ

con [12.25]vr

r vθ

r θ

La componente vr = vr er es paralela al vector r y recibe el nombre de velocidad

Figura 12.9

radial 6, en razón a que representa el cambio que experimenta la distancia r de la partículaal punto O por unidad de tiempo. La componente vθ = vθ eθ es un vector perpendiculara r y está asociada al cambio queexperimenta la dirección delvector posición r de la partícula,por unidad de tiempo, conformeésta se mueve; recibe el nombre

de velocidad transversal . En elmovimiento circular, con centroen O, no hay velocidad radial(vr = 0) ya que r permanececonstante, de modo que dr /dt =0, y la velocidad es enteramentetransversal.

Utilizando las componentes radial y transversal de la velocidad podemos escribir paraun movimiento plano cualquiera

[12.26] L m r × v m r × (v r vθ) m r × vθ

ya que vr es paralelo a r. Además, teniendo en cuenta que r = r er y que vθ = r θeθ, laexpresión anterior también puede escribirse como

[12.27] L mr e r × r θ eθ mr 2θ (e r × eθ ) mr 2θ k mr 2 ω

que es la misma expresión que obtuvimos en [12.6].

6 No debemos confundir vr = dr /dt (velocidad radial) con d s /dt (celeridad o módulo de lavelocidad) ya que, en general, será dr /dt ≠ d s /dt . Recuérdese que d r = d s y que, en general,d r = dr ≠ d s.




Ahora derivaremos ambos miembros de [12.23] para obtener la expresión de laaceleración en coordenadas polares planas:

[12.28] a dv

dt ¨ r e r r

de r

dt r θ eθ r ¨ θ eθ r θ

deθ

dt

y sustituyendo [12.22] en [12.28] resulta

[12.29] a ( ¨ r r θ2) e r ( r ¨ θ 2 r θ ) eθ

que puede escribirse como

[12.30] a ar e r aθ eθ

siendo ar y aθ las componentes radial y transversal de la aceleración dadas por

[12.31]ar ¨ r r θ2 aθ r ¨ θ 2 r θ

El término ¨ r procede del movimiento en la dirección radial r ; el término -r θ2 = -vθ2 / r se

denomina aceleración centrípeta y procede del movimiento en la dirección de θ. En elmovimiento circular, referido al centro de la circunferencia, es r = cte, de modo que r =¨ r = 0, resultando que ar = -r θ2 = -vθ

2 / r (aceleración centrípeta) y aθ = r θ = r α(aceleración tangencial).

En coordenadas polares, la segunda ley del movimiento de Newton, desdoblada en lascomponentes radial y transversal, se escribe en la forma

[12.32] F r m ( ¨ r r θ2) F θ m (r ¨ θ 2 r θ )

y proporciona el punto de partida para resolver el problema del movimiento de la partículaen el plano, referido a un origen de coordenadas polares.

§12.7. Movimiento producido poruna fuerzacentral.- El estudio del movimientode los cuerpos bajo la acción de fuerzas centrales constituye una de las áreas más ricas einteresantes de la Mecánica. El análisis de tales movimientos ha representado en dosocasiones de la historia de la Física grandes avances en el conocimiento y comprensión de

las leyes fundamentales de la Naturaleza: una vez a escala macroscópica, a través de laexplicación del movimiento planetario, que condujo a la formulación de lo que hoyllamamos Mecánica Clásica o Newtoniana; y otra vez a escala subatómica, a través de losestudios de RUTHERFORD (1871-1937) sobre la dispersión de partículas alfa por los núcleosatómicos, lo que permitió crear una nueva imagen del átomo.

La situación que vamos a estudiar en este artículo se presenta frecuentemente en lainteracción entre dos partículas; la fuerza que actúa entre ellas está dirigida a lo largo dela recta que las une y depende solamente de la distancia que las separa. Entonces, siconvenimos en tomar como origen O una de las partículas, la fuerza que actúa sobre la otra

viene dada por [12.17]. Ejemplos de fuerzas centrales atractivas son las fuerzas gravitatoriasejercida por el Sol sobre los planetas o la fuerza electrostática entre un electrón y el núcleodel átomo a que pertenece. La fuerza que ejerce el núcleo atómico sobre una partícula alfaes una fuerza central repulsiva. En muchos casos importantes, el módulo de la fuerza



§12.7.- Movimiento producido por una fuerza central. 307

central, F (r ), es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa a las dospartículas. En otros casos, como en ciertos problemas referentes a la estructura einteracciones entre núcleos, átomos complejos y moléculas, se presentan otras formasfuncionales para F (r ).

En §12.5 hemos estudiado algunas características generales del movimiento de la

partícula bajo la acción de una fuerza central. Vimos que, en esas condiciones, latrayectoria de la partícula es plana y que su velocidad areolar es constante. Ahora nosproponemos dar más detalles acerca de ese movimiento, estableciendo los métodosgenerales para determinarlo.

Inicialmente, al menos, asumiremos que el cuerpo responsable de la fuerza que actúasobre nuestra partícula en movimiento es suficientemente másico como para que pueda serconsiderado como un centro de fuerzas fijo y que se encuentra en el origen del referencialen el que analizaremos el movimiento. De este modo idealizamos el problema general, elde la interacción mutua (tercera ley de Newton) entre dos partículas, reduciéndolo al del

movimiento de una partícula en un campo de fuerzas al cual es sensible. En una lecciónposterior veremos que, con una pequeña modificación, puede hacerse que la solución queahora obtendremos sea exacta para el problema general de interacción mutua entre dospartículas de masas similares; entonces ambas partículas estarán en movimiento y nopodemos considerar a una de ellas como un centro de fuerzas fijo.

Cuando la partícula se mueve bajo la acción de una fuerza central hay dos magnitudesfísicas que se conservan durante el movimiento; esto es, dos constantes del movimiento.Una, de carácter vectorial, es el momento angular de la partícula con respecto al centro defuerzas; la otra, de carácter escalar, es la energía total.

El momento angular de la partícula con respecto al centro de fuerza permanececonstante en dirección (perpendicular al plano de la trayectoria) y su módulo viene dadopor

[12.33] L m r 2 θ

Puesto que toda fuerza central, de la forma F (r )er , es conservativa, y la energíaasociada con ella es función tan sólo de la distancia a la que se encuentra la partícula delcentro de fuerzas, la conservación de la energía total de la partícula (cinética + potencial)se expresa en la forma

[12.34] E 12 m v 2 E p(r )

Cuando usamos coordenadas polares planas (r ,θ), el cuadrado del módulo de lavelocidad de la partícula puede expresarse en la forma

[12.35]v 2 v 2r v 2

θ r 2 r 2 θ2

de modo que la energía total se puede escribir como

[12.36] E 1

2

mr 2 1

2

mr 2 θ2 E

p

(r )

donde sustituiremos θ, obtenida de [12.33], para escribir la ec. dif. del movimiento radial ;i.e., una ec. dif. en la que no intervenga la coordenada angular θ:




[12.37] E 1

2 mr 2

L 2

2mr 2 E p(r )

de donde despejaremos r para obtener

[12.38]r

2m

E E p(r ) L 2

2mr 2

Supongamos que r = r 0 para t = 0; entonces, la integración de la ecuación diferencialanterior, desde el estado inicial hasta el correspondiente al tiempo genérico t , conduce a

[12.39]t m

2 ⌡

⌠r

r 0

dr

E E p(r ) L 2

2mr 2

que expresa t en función de la coordenada radial r de la partícula y de las constantes delmovimiento E y L y de r 0. En principio, la solución anterior puede invertirse para obtenerr como función de t y de las constantes, i.e., r (t ), obteniéndose así la solución de nuestroproblema dinámico en lo que concierne al movimiento radial.

Una vez obtenida la expresión r = r (t ) se puede obtener fácilmente la θ = θ(t )correspondiente al movimiento angular . Para ello, basta despejar θ de la expresión [12.33];

[12.40]θ L

mr 2

y proceder a una nueva integración, introduciendo en [12.40] la r (t ) obtenida anteriormente;de esa forma, se obtiene

[12.41]θ θ0 ⌡⌠

t

0

L

mr 2(t )dt

Así obtenemos θ en función del tiempo; esto es θ(t ). De esta forma queda completamenteresuelto nuestro problema dinámico, una vez que hemos podido expresar los movimientosradiales y angulares en función del tiempo. En las expresiones de dichos movimientosintervienen cuatro constantes: E , L, r 0 y θ0. Estas constantes no son las únicas que cabeconsiderar; igualmente pudiéramos haber tomado r 0, θ0, r 0 y θ0, pero siempre E y Lquedan determinadas por ese conjunto. Normalmente resulta más natural y convenientetomar el conjunto de cuatro constantes que contienen la energía y el momento angular.

En muchas ocasiones, la integral [12.39] resulta demasiado engorrosa de calcular y, enel caso de que podamos efectuarla, es difícil despejar r (t ) en la ecuación resultante.Generalmente resulta más fácil hallar la ecuación de la trayectoria, i.e., la relación existenteentre r y θ (ecuación polar), que determinar las ecuaciones paramétricas del movimientode la partícula, i.e., r (t ) y θ(t ). En ocasiones, puede que lo que nos interese realmente seala ecuación de la trayectoria r (θ). A fin de determinarla, escribiremos




[12.42]dθdr

dθ /dt dr /dt

θr

de modo que sustituyendo las expresiones de r y θ, dadas por [12.38] y [12.40], en laexpresión [12.42], resulta

[12.43]

dθdr

L

mr 2 2

m

E E p(r ) L2

2mr 2

y separando las variables r y θ e integrando se obtiene

[12.44]θ(r ) θ

0

L

2m ⌡⌠

r

r 0

dr

r 2 E E p(r ) L2

2mr 2

i.e., la ecuación de la trayectoria en coordenadas polares.Recíprocamente, si conocemos la ecuación de la trayectoria, de modo que podamos

calcular dθ /dr (o dr /dθ), la ecuación [12.43] nos permitirá calcular E p(r );

[12.45] E p(r ) E L 2

2mr 2

1 1

r 2

dr

dθ

2

y, a partir de ella, la fuerza, F(r ) = - grad E p.

Hemos resuelto el problema, en su aspecto formal, combinando las ecuaciones [12.33]

y [12.34] que expresan la conservación del momento angular y de la energía, ilustrando laforma en que los principios de conservación nos permiten abordar la resolución de losproblemas dinámicos. Naturalmente, también podemos abordar el problema a partir de lasleyes del movimiento de Newton. Para ello tomaremos coordenadas polares planas (r ,θ)en el plano del movimiento y con origen en el centro de fuerzas. Puesto que la fuerza es

central, tenemos que F r = F (r ) y F θ = 0, de modo que las ecuaciones del movimiento enlas direcciones r y θ son, según [12.32],

[12.46]m ¨ r m r 2 θ2 F (r ) m r ¨ θ 2 m r θ 0

Multiplicando por r la segunda ecuación de [12.46] tendremos

[12.47]m ( r 2 ¨ θ 2 r r θ ) ddt

( m r 2 θ ) d Ldt

0

de modo que esa ecuación expresa simplemente la conservación del momento angularrespecto al centro de fuerzas y, una vez integrada, puede escribirse como




[12.48] L m r 2 θ cte ⇒ θ L

mr 2

donde L es una constante que deberá ser evaluada a partir de las condiciones iniciales.Sustituyendo el resultado [12.48b] en [12.46a] tendremos la ecuación diferencial delmovimiento radial

[12.49]m ¨ r L 2

mr 3 F (r )

que puede escribirse de una forma más conveniente, para ciertas aplicaciones, si hacemosel siguiente cambio de variable

[12.50]u 1

r ⇒ r

1u

En efecto, derivado dos veces sucesivas la expr. [12.50b], y teniendo en cuenta [12.48a],tendremos

[12.51]r dr

dt 1

u2

dudt

1

u2

dudθ

dθdt

r 2 θ dudθ

Lm

dudθ

¨ r d

dt

dr dt

Lm

ddt

dudθ

Lm

d2u

dθ2

dθdt

Lm

θ d2u

dθ2

L2

m2r 2d2u

dθ2

de modo que, sustituyendo [12.51] en [12.49], ésta se transforma en

[12.52] L 2

mr 2

d2

dθ2

1r

1r

F (r )

que es la ecuación diferencial de la órbita7 si se conoce la ley de fuerzas F (r ).Recíprocamente, la ecuación [12.52] nos permitirá determinar la ley de fuerzas F (r ) siconocemos la ecuación de la órbita r = r (θ).

Obsérvese que la ecuación [12.52] carece de sentido si L = 0; pero entonces, teniendo en cuenta

[12.48], se ve que θ = cte y la trayectoria es una recta que pasa por el centro de fuerzas.

Ejemplo I.- Determinar la fuerza central bajo la cual una partícula se mueve en una órbita elíptica conel centro de fuerzas en unos de los focos de la órbita. Estas son las órbitas que describen los planetasalrededor del Sol (Primera Ley de Kepler).

Comenzamos expresando la ecuación de la trayectoria en coordenadas polares planas referidas a unode los focos de la elipse (vide página 318); i.e.,

7 También podemos llegar a la expresión [12.52] a partir de [12.45], sin más que desarrollar

, como el lector comprobará fácilmente. F(r ) d E p(r )

dr




Figura 12.10

r α1 cos θ

⇒ 1r

1α α

cos θ

de modo que

ddθ 1r α sen θ d

2

dθ2 1r α cos θ

Entonces, sustituyendo estos valores en la ec. dif. de laórbita [12.52] se obtiene

F (r ) L2

mr 2

α

cos θ 1α α

cos θ L 2

α mr 2 K

r 2

Así pues, se trata de una fuerza atractiva inversamente proporcional al cuadrado de la distancia dela partícula al centro de fuerzas. Esta es, en esencia, la ley de la gravitación universal descubierta porNewton a partir del conocimiento de las órbitas planetarias.

§12.8. Energías potenciales centrífuga y efectiva.- Aunque el problema hayaquedado formalmente resuelto, las integrales [12.39], [12.41] y [12.44] o la ecuación diferencial[12.52] suelen ser muy poco manejables en la práctica. No obstante, podemos obtenerbastante información cualitativa sobre el movimiento de la partícula en base sólo de lasecuaciones de conservación, aun cuando sea difícil obtener soluciones explícitas. Para elloes conveniente reducir el problema a otro unidimensional equivalente.

En la ecuación del movimiento radial [12.37], que no es más que la expresión de laconservación de la energía, aparecen tan sólo r y su derivada temporal r , así como lasconstantes del movimiento E y L. Esta ecuación se parece mucho a la ec. dif. para elmovimiento rectilíneo de una partícula bajo la acción de una fuerza conservativa (vide§11.2), con velocidad dr /dt , si suponemos que, en lo que al movimiento radial se refiere,la partícula dispone de una energía potencial efectiva

[12.53] E p(r ) L2

2mr 2 E p(r )

de modo que la ecuación [12.37] puede escribirse en la forma

[12.54] E 1

2 mr 2 E p(r )

donde la cantidad E p′(r ) desempeña el papel de una energía potencial equivalente en elproblema unidimensional radial. El término adicional L2 /2mr 2 tiene en cuenta, en lo que almovimiento radial se refiere, que el vector de posición r está cambiando no sólo enmagnitud sino también en dirección en el transcurso del movimiento. Evidentemente, susdimensiones son las de una energía, y recibe el nombre de energía potencial centrífugaporque la "fuerza" asociada con él, utilizando la expresión del gradiente en coordenadas

polares, es




[12.55] F cf

∂∂r

L 2

2mr 2 L2

mr 3 mr θ2

que, siendo positiva, apunta hacia afuera y que es idéntica a la fuerza centrífuga mr ω 2 en

un referencial que girase con una velocidad angular ω igual al valor instantáneo de dθ /dt .Por supuesto que no actúa ninguna fuerza centrífuga sobre la partícula, excepto la quepueda deberse a la energía potencial real E p(r ), en el caso de que la fuerza actuante searepulsiva. La fuerza centrífuga F cf = L2 / mr 3 no es una fuerza real; es una fuerza ficticia ode inercia, que describe la tendencia de la partícula a moverse en línea recta en lugar dehacerlo en una trayectoria curvilínea. Podemos comprender mejor el papel que juega estafuerza centrífuga si observamos que la ecuación [12.49] puede escribirse en la forma

[12.56]m¨ r F (r ) L2

mr 3

ecuación que tiene exactamente la misma forma que la correspondiente al movimiento deuna partícula bajo la "acción" de una fuerza real F (r ) más una fuerza centrífuga L2 / mr 3.Como ya sabemos, la fuerza centrífuga no es realmente una fuerza sino una parte delproducto masa × aceleración, traspuesta al segundo miembro de la ecuación delmovimiento.

Las mismas consideraciones podemos hacer para la energía potencial centrífuga, queno es sino una parte de la energía cinética de la partícula: la porción correspondiente almovimiento transversal con respecto a la dirección instantánea de vector posición r; i.e.,

½mvθ

2

= ½mr

2˙θ

2

. La circunstancia de que esta porción de la energía cinética puedaexpresarse como función exclusiva de la posición radial, (esto es, L2 /2mr 2) nos permitetratar el problema del movimiento radial como un problema unidimensional, independientedel movimiento rotacional (transversal).

§12.9. Análisis de diagramas de energía.- Podemos descubrir las propiedadesgenerales del movimiento de la partícula en un campo de fuerza centrales mediante elestudio de las curvas de energía potencial efectiva, en estrecha analogía a como hicimosen §11.3 para el movimiento rectilíneo de la partícula bajo la acción de una fuerzaconservativa. Sin embargo, a pesar de la analogía, existen dos diferencias notables entre la

utilización del método de las curvas de energía potencial en el problema del movimientounidimensional y su aplicación al problema bidimensional que es objeto de nuestro estudio,aun cuando dicho problema lo hayamos reducido a un problema unidimensionalequivalente (en la dirección radial) con la introducción del concepto de energía potencialefectiva.

En primer lugar, debemos observar que la energía E determina por sí sola el carácterdel movimiento rectilíneo producido por una fuerza conservativa. En cambio, en elmovimiento bidimensional producido por una fuerza central habrá que especificar tambiénel momento angular L de la partícula; i.e., el carácter del movimiento depende tanto de la

energía E como del momento angular L. Esto resulta evidente en el diagrama o repre-sentación gráfica de la energía potencial efectiva en función de la distancia radial, ya queresultan distintas curvas para distintos valores del momento angular (Figura 12.11). Así pues,tendremos una familia de curvas de energía potencial efectiva, correspondientes a distintos



§12.9.- Análisis de diagramas de energía. 313

valores de L. En cada problema

Figura 12.11

específico deberemos conocer elvalor de L (que es una constante delmovimiento determinada por lascondiciones iniciales), o discutir lo

que sucederá para diversos valoresdel momento angular.

Un segundo aspecto a tener en

Figura 12.12

cuenta es que no debemospreocuparnos exclusivamente deanalizar el movimiento radial de lapartícula (a través del método de laenergía potencial efectiva), sino quetambién debemos preocuparnos delmovimiento alrededor del centro defuerzas. Ambos movimientos tienen lugar simultáneamente y el movimiento real(bidimensional) es la superposición de ambos. La rotación del vector de posición r no esuniforme, salvo en el caso de que la trayectoria sea circular, ya que la velocidad angularviene dada por

[12.57]θ L

mr 2

de modo que θ disminuye cuando aumenta la distancia radial r .

Consideremos ahora un diagrama de energía típico, tal como el que mostramos en laFigura 12.12. La energía total E p(r ) corresponde a una fuerza central que es atractiva paracualquier valor de r ; i.e., -d E p /dr es siempre negativa y E p(r ) es una función creciente




( E p(r )→0 cuando r →∞), como se indica en la curva inferior de trazos. La curva superior detrazos representa la energía potencial centrífuga L2 /2mr 2 para un valor dado del momentoangular L; este término centrífugo es muy pequeño a grandes distancias pero aumentarápidamente para pequeñas distancias. La curva continua representa la energía potencialefectiva E p′(r ) = L2 /2mr 2 + E p(r ). En muchos casos de interés físico la energía potencial

centrífuga predomina sobre la energía potencial E p(r ) para pequeños valores de r , en tantoque predomina esta última para grandes valores de r ; en estas condiciones, la energíapotencial efectiva E p′(r ) presentará un valor mínimo relativo, como se muestra en laFigura 12.12, para r = r 0. Para ello será suficiente que el potencial atractivo

1) disminuya con más lentitud que 1/ r 2 cuando r → ∞;

2) tienda a infinito más despacio que 1/ r 2 cuando r → 0.

Obviamente, si el potencial es atractivo, la energía potencial efectiva presentará siemprealgún mínimo relativo.

Utilizando el diagrama de energías anterior podemos

Figura 12.13

obtener información cualitativa sobre el movimiento de lapartícula. Supongamos que la energía total de la partícula sea E a> 0, como se indica en la Figura 12.12. Está claro que r a será lamáxima aproximación de la partícula al centro de fuerzas; deotro modo, si fuese r < r a , E p′(r ) sería mayor que E a y laenergía cinética radial [½mr 2 = E a - E p′(r )] debería ser negativa,lo que representaría una velocidad radial imaginaria. Por otraparte, no existe límite superior para r , por lo que se tratará de

una órbita abierta e ilimitada. Una partícula que proceda delinfinito rebotará en la barrera centrífuga y regresará de nuevoal infinito (Figura 12.13). La diferencia entre E a y E p′ es ½mr 2, o sea proporcional al cuadradode la velocidad radial, anulándose en el punto de retorno r 1. Por otra parte, la distanciaentre E a y E p en el diagrama es la energía cinética E k = ½mv2, de modo que la distanciaentre las curvas E p′ y E p representa el término centrífugo ½mr 2θ2. Así pues, estas curvasproporcionan el módulo de la velocidad así como sus componentes radial y transversal.Basta con esta información para tener una idea aproximada de la forma de la órbita.

Para una energía E = 0 se obtiene una descripción análoga a la anterior. Pero si la

Figura 12.14

energía total de la partícula es negativa, tal como E = E b, la situación es muy diferente. Además dellímite inferior r 1 existe un límite superior r 2 que nopuede ser sobrepasado con energía cinética radialpositiva; el movimiento estará limitado a unasuperficie anular definida por las circunferencias deradios r 1 (mínima distancia) y r 2 (máxima distancia)que corresponden a los puntos de retorno, tambiénllamados puntos absidales. Se trata por lo tanto, deuna órbita limitada, aunque no necesariamente

cerrada, como se ilustra en la Figura 12.14. Elmovimiento radial será periódico, con periodo T r ,pero este periodo radial no será, en general, elmismo que el periodo de revolución T θ, por lo que




[12.61] K q1q2

4π 00 8.854 × 10 12 C2 /N m 2

donde la carga eléctrica se mide en

Figura 12.15

coulombs (C). En este caso, la fuerzaserá repulsiva o atractiva según que q1

y q2 sean del mismo o de distintosigno.

Comenzaremos determinando lanaturaleza de las órbitas correspon-dientes a la ley de fuerzas inversa-mente proporcional al cuadrado de ladistancia. Para ello, hemos repre-sentado en la Figura 12.15 la energía

potencial efectiva

[12.62] E p L2

2mr 2 K r

correspondiente a diversos valores de K y de L.Para una fuerza repulsiva ( K > 0), sólo son posibles energías totales E positivas y sólo

Figura 12.16

serán posibles las órbitas ilimitadas; i.e., la partícula viene desde el infinito hasta el puntoabsidal y regresa de nuevo al infinito. En ausencia de fuerza ( K = 0) la situación esanáloga a la anterior, si bien el punto absidal estará más próximo al centro de fuerzas, paraun mismo valor del momento angular L; la trayectoria será, obviamente, una recta. Si lafuerza es atractiva ( K < 0) con L ≠ 0, el movimiento será ilimitado si E > 0, pero en estecaso el punto absidal se halla más próximo del centro de fuerzas que para K > 0. Lasórbitas serán como se muestra en la Figura 12.16, donde los segmentos rectilíneos de trazodiscontinuo representan el radio vector en el pericentro (punto de la órbita de máxima

aproximación al centro de fuerzas).Para una fuerza atractiva ( K < 0) y

< E < 0, la órbita está limitada pordos puntos absidales: el pericentro y el apocentro

(punto de la órbita más alejado del centro defuerzas). Para K < 0, con L ≠ 0 y E = -mK 2 /2 L2, laórbita es una circunferencia de radio r 0 = - L2 / mK (demuéstrese). Por último, si K < 0 con L = 0, elproblema se reduce al movimiento unidimensionalsobre una recta que pasa por el centro de fuerzas.

Disponemos de diversos métodos para obtenerla ecuación de la órbita, siendo el más sencillo la

sustitución de [12.59] en la ecuación diferencial de la órbita [12.52]; se obtiene

[12.63]d2

dθ2

1r

1r

mK

L 2



§12.10.- Fuerza central inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. 317

Haciendo el cambio de variable , la ecuación anterior se convierte enw 1

r mK

L2

[12.64]

cuya solución inmediata es [12.65]w A cos(θ θ0 )

siendo A y θ0 las dos constantes de integración. Deshaciendo el cambio de variableobtenemos la ecuación de la órbita r (θ):

[12.66]1r

mK

L2 A cos(θ θ0 )

que puede escribirse en la forma

[12.67]r α

1 cos(θ θ0 )

con [12.68]α L 2

mK α A

L 2

mK A

que es la ecuación general de una sección cónica (hipérbola, parábola, elipse ocircunferencia) con un foco en el origen, en la que:

La constante θ0 determina la orientación de la órbita en el plano (en lo quesigue tomaremos θ0 = 0, sin perder generalidad en nuestro razonamiento).

La magnitud es la excentricidad de la cónica y determina su tipo, como semuestra en el Cuadro 12.1.

La cantidad 2α recibe el nombre de latus rectum (ascensión recta) de la órbita;corresponde al valor de r para θ = π /2 y su significado se comprenderáinmediatamente al inspeccionar la forma de los diversos tipos de cónicas (videpágina 318).

Cuadro 12.1.- Clasificación de las cónicas.

si > 1 es una hipérbola

si = 1 es una parábola

si 0< <1 es una elipse

si = 0 es una circunferencia




SECCIONES CÓNICAS.- Ecuación general:

Figura 12.17

Figura 12.18

Figura 12.19

r α1 cos θ

con 2α = ascensión recta; = excentricidad

ELIPSE: Lugar geométrico de los puntos del planocuya suma de distancias (2a) a dos puntos fijos(F,F′), llamados focos, es constante.

r + r ′ = 2a; a2 = b2 + c2; c = a; < 1

α = a(1- 2) = b2 / a

b a 1 2

α / 1 2

r mín= a - c = a(1- ) = α /(1+ );

r máx= a + c = a(1+ ) = α /(1- )

r máx r mín

r máx r mín

a r máx r mín

2

HIPÉRBOLA: Lugar geométrico de los puntos delplano cuya diferencia de distancias (2a) a dospuntos fijos (F,F′), llamados focos, es constante.

r ′- r = 2a; a2 = c2 - b2; c = a; > 1

α = a ( 2-1) = b2 / a; b a 2 1

cosφ 1

r +mín

= c - a = a( -1) = α /( +1); r máx

= ∞r -mín= c + a = a( +1) = α /( -1)

PARÁBOLA: Lugar geométrico de los puntos delplano que equidistan de un punto fijo F ( foco) y deuna recta DD′ fija (directriz).

r = d ; = 1

r mín = α /2; r máx = ∞



§12.10.- Fuerza central inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. 319

Deseamos ahora relacionar los parámetros y α de la órbita con las constantes delmovimiento E y L; esto es, con la energía total y el momento angular. El parámetro α yaquedó expresado en función del momento angular por [12.68a]; obsérvese que α es negativo(sin significado físico) para una fuerza central repulsiva ( K > 0). Por otra parte, como enlos puntos absidales (pericentro y apocentro) la energía cinética radial es nula, podemos

escribir

[12.69] E L 2

2mr 2mín

K r mín

L2

2mr 2máx

K r máx

y sustituyendo en esta ecuación las expresiones de r mín y de α, dadas por

[12.70]r mín

α1

α L 2

mK

(vide página 318) se obtiene, después de algunas operaciones,

[12.71] E mK 2

2 L 2 ( 2 1) → 2 1 2 EL2

mK 2

Tabla 12.1.- Fuerza central inversamente proporcional al cuadrado de la distancia

órbita excentricidad energía

hipérbola > 1 E mK 2

2 L 2 ( 2 1) > 0

parábola = 1 E = 0

elipse 0 < < 1 E mín < E

mK 2

2 L 2 ( 2 1) <0

circunferencia = 0 E E mín

mK 2

2 L 2

Podemos ahora clasificar las órbitas de acuerdo con la energía total E de la partículaen movimiento, como se muestra en la Tabla 12.1. Estos resultados concuerdan con losobtenidos en nuestra discusión cualitativa previa. Cuando la fuerza es atractiva ( K < 0), laórbita será una hipérbola (rama +), parábola, elipse o circunferencia según sea

E > 0, E = 0, E mín < E < 0 ó E = E mín. Cuando la fuerza es repulsiva ( K >0) habrá de ser E >0, y la órbita sólo puede ser una hipérbola (rama -).

En el caso de órbitas elípticas e hiperbólicas, el semieje mayor viene dado por

[12.72]a α1 2

K 2 E




que, como vemos, depende tan sólo de la energía total de la partícula y no de su momentoangular, resultado de gran importancia en la teoría del modelo atómico de Bohr. Encambio, en el caso de órbitas elípticas, el semieje menor

[12.73]b α

1 2

L

2m E

depende de las dos constantes del movimiento ( E , L).

§12.11. Órbitas elípticas: Leyes de Kepler.- Tras una laborioso análisis de lasnumerosas y precisas mediciones astronómicas realizadas por el gran astrónomo danésTycho BRAHE (1546-1601), el que fue su discípulo y asistente, el astrónomo alemánJohannes KEPLER8, enunció las leyes del movimiento planetario. Estas leyes empíricas,conocidas como leyes de Kepler , son una descripción cinemática del movimiento de los

planetas en el sistema solar y sirvieron de base a Isaac NEWTON (1642-1727) para ladescripción dinámica del movimiento planetario y para el descubrimiento de la ley de lafuerza responsable de dicho movimiento, esto es, la ley de la Gravitación Universal. Keplerenunció las tres leyes, esencialmente, en la forma siguiente:

(1) Los planetas describen órbitas elípticas, en las que el Sol se encuentra en unode sus focos.

(2) El vector de posición de cualquier planeta con respecto al Sol (radio vector )barre áreas iguales en tiempo iguales; i.e., la velocidad areolar es constante.

(3) Los cuadrados de los periodos de revolución de los diversos planetas alrededordel Sol son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de sus órbitas.

La segunda ley de Kepler (constancia de la velocidad areolar) es, como ya vimos en§12.5, un teorema general referente al movimiento bajo la acción de fuerzas centrales.Como acabamos de demostrar en el artículo anterior, la primera ley de Kepler se refiereexclusivamente a fuerzas inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia. Acontinuación vamos a deducir la tercera ley de Kepler.

Con el objetivo de calcular el periodo de revolución en una órbita elíptica, esconveniente escribir la ec. [12.15], referente a la velocidad areolar, en la forma

[12.74]dt 2m

L dS

8 Johannes KEPLER (1571-1630). Astrónomo alemán. Había de ser teólogo, pero estudiótambién Filosofía, Matemáticas y Astronomía. Fue profesor de Matemáticas y de Moral (1594-98)

y (1612-26). Fue ayudante de Tycho BRAHE en Praga (1600-01) y, al morir éste (1601), pasó a sermatemático y primer astrónomo del emperador. Bajo la influencia de Coopérnico y de las ideaspitagóricas, realizó sus primeros avances acerca de la armonía del sistema planetario. Recalculólas tablas planetarias de Brahe y, al investigar el movimiento de Marte, encontró sus dos primerasleyes (1609). Además, estudió la teoría de las lentes y los principios del anteojo astronómico.



§12.11.- Órbitas elípticas: Leyes de Kepler. 321

Ahora, integrado la ecuación anterior para un periodo completo, durante el cual el radiovector barre toda la superficie de la elipse, se tiene

[12.75]T ⌡⌠

T

0

dt 2m

L ⌡⌠

S

0

dS 2m

L S

y teniendo en cuenta que el área de la elipse es S = πab, donde a y b son los semiejesmayor y menor, respectivamente, y elevando al cuadrado la expresión [12.75], resulta que

[12.76]T 2 4π 2m2a 2b 2

L2

Los semiejes mayor y menor de la elipse vienen dados por

[12.77]a α

1 2

1

1 2

L 2

m K

b a 1 2

La expresión [12.77a] nos permite despejar L2

[12.78] L 2 a (1 2 ) m K

Entonces, sustituyendo [12.77b] y [12.78] en [12.76] se obtiene

[12.79]T 2 4π 2m

K a 3

La constante K , en la ley de la fuerza gravitatoria, viene dada por [12.60], de modo que

[12.80]T 2 4π 2

GM a 3

donde M representa la masa del Sol. El coeficiente de a3 es una constante para todos losplanetas del sistema solar, de acuerdo con la tercera ley de Kepler. La ecuación [12.80]

permite "pesar" el Sol, si se conoce el valor de G y si conocemos el semieje mayor y elperiodo de revolución de cualquier órbita planetaria.

Es interesante comprobar [12.80] para el caso de una órbita circular; puede hacerse fácilmente

porque en dicho tipo de órbita la aceleración del planeta es exclusivamente centrípeta, ya que el módulode la velocidad permanece constante, lo que nos permite escribir

[12.81]G Mm

r 2 mr ω 2 → ω 2 r 3 GM

que es la misma ec. [12.80].

Debemos destacar que la tercera ley de Kepler, al igual que la primera, es válidasolamente para fuerzas inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia; la segundaley de Kepler es menos restrictiva.

En este artículo y en el anterior hemos demostrado las leyes de Kepler a partir de lasleyes del movimiento de Newton y de la ley de Gravitación Universal; esto es, hemossupuesto conocida la ley de la fuerza. El problema inverso, esto es, deducir la ley de lafuerza a partir de las leyes de Kepler (vide Ejemplo I) es de mayor importancia histórica,pues así fue como dedujo Newton la ley de la gravitación.




Es de esperar que el movimiento de los planetas se aparte ligeramente del previsto por las leyes deKepler, ya que el problema que hemos resuelto en los artículos anteriores corresponde a una idealizaciónsimplificada del problema físico real. En primer lugar, hemos supuesto que el Sol, como objeto másmásico del sistema solar, permanece fijo, definiendo así un centro de fuerzas estacionario; de hecho, elSol deberá tener algún tipo de movimiento como resultado de las fuerzas con que es atraído por losplanetas que se mueven a su alrededor. Este efecto es realmente muy pequeño y puede corregirse por los

métodos que introduciremos en una lección posterior ( El problema de dos cuerpos). En segundo lugar,sobre un planeta dado actúan también los otros planetas, además del Sol. Como las masas de los planetas,incluso la de los más pesados, representan una pequeñísima proporción de la del Sol (la masa del planetaJúpiter, el mayor de todos, es 1042 veces menor que la del Sol), la acción de los demás planetas sobreuno dado representará tan sólo pequeñas desviaciones, aunque medibles, de las órbitas planetarias respectoa las predichas por las leyes de Kepler. De hecho, los planetas Neptuno (ADAMS y LEVERRIER, 1846) yPlutón (LOWEL, 1930) se descubrieron como resultado de sus efectos sobre las órbitas de los demásplanetas.

§12.12. Órbitas hiperbólicas: El problema de Rutherford.- Aunque desde un

punto de vista histórico el interés de las fuerzas centrales surgió con el estudio de lasórbitas planetarias, no hay razón alguna para considerarlas ligadas exclusivamente a esetipo de problemas; ya hemos mencionado el caso de las órbitas de Bohr. Otro problemainteresante susceptible de estudiarse por los métodos desarrollados en esta lección es el dela dipersión de partículas en un campo de fuerzas centrales. En particular, es de especialinterés histórico la dispersión de partículas cargadas (v.g., partículas α) por los núcleosatómicos, ya que fueron las experiencias de este tipo las que hicieron posible eldescubrimiento del núcleo atómico y la estimación de sus dimensiones, hacia 1910, porRUTHERFORD (1871-1937) y sus colaboradores GEIGER y MARSDEN.

Supongamos una partícula ligera, de carga ze, lanzada desde un punto lejanocontra otra partícula mucho más pesada, de carga Ze. La partícula pesadapermanecerá prácticamente estacionaria, pero la partícula ligera seguirá unatrayectoria hiperbólica, de acuerdo con los resultados de los artículos anteriores. Sila fuerza es atractiva (las dos cargas son de distinto signo) la partícula pesada (elcentro de fuerzas) quedará en el foco interior de la hipérbola (rama positiva); si lafuerza es repulsiva (las dos cargas son del mismo signo) la partícula pesada quedaráen el foco exterior de la hipérbola (rama negativa). Esencialmente el problema es elmismo en los dos casos; sin embargo, nosotros centraremos nuestra atención en elcaso de que la fuerza sea repulsiva; esto es,

[12.82] F K

r 2 con K

Zze2

4π 0

>0

En las colisiones entre partículas atómicas, la región en la que se desvía lapartícula ligera incidente, pasando de una asíntota a otra, es tan pequeña (del ordende 10-10 m) que no puede medirse directamente la distancia de máxima aproximación(pericentro). Lo que si puede medirse es el ángulo de dispersión Θ definido por lasdirecciones del movimiento de la partícula incidente antes y después de la interaccióncon la partícula pesada. El ángulo φ que forman las asíntotas de la hipérbola con el eje

polar viene dado por

[12.83]cos φ 1



§12.12.- Órbitas hiperbólicas: El problema de Rutherford. 323

y puesto que

Figura 12.20

[12.84]Θ π 2 φ ⇒ φ π2

Θ2

será

[12.85]ctgφ 1

2 1

tg Θ2

de modo que sustituyendo en [12.85] la ex-presión de la excentricidad [12.71], se tiene

[12.86]tg Θ

2

mK 2

2 EL2

Supongamos que la partícula incidentetuviese una velocidad inicial v0 cuya rectadirectriz pasase a una distancia s del centro de fuerzas; dicha distancia s recibe elnombre de parámetro de impacto. El momento angular y la energía total de lapartícula, esto es, las dos constantes de su movimiento, vendrán dadas por

[12.87] E 1

2 m v 2

0 L mv0 s s 2mE

que sustituidas en [12.86]

nos permiten calcular el ángulo de dispersión mediante laexpresión

[12.88]tg Θ2

K 2 E s

en la que podemos sustituir el valor de K , dado por [12.82b], para obtener finalmenteel ángulo de dispersión de Rutherford

[12.89]tg Θ2

Zz e2

8π0

E s Zz e2

4π 0 mv

2

0 sen función del parámetro de impacto s de la partícula incidente. Se ve que el ángulode dispersión será tanto mayor cuanto menor sea el parámetro de impacto.

En un experimento típico de dispersión, un haz de partículas cargadas (por ejemplo, partículasalfa, con z = 2) monoenergéticas atraviesa una lámina delgada (v.g., de oro, con Z = 79). Laexpresión anterior nos permite conocer (vide §12.13) la proporción de partículas del haz que serándesviadas con un ángulo de dispersión comprendido entre Θ y Θ + dΘ; todas aquellas cuyosparámetros de impacto estén comprendidos entre s y s + d s, como se ilustra en la Figura 12.21. Ala inversa, si conocemos la distribución experimental de los ángulos de dispersión, podemos conocerla de los parámetros de impacto correspondientes y a través de ellos hacer una estimación del

"tamaño del centro de dispersión". Este fue, en grandes líneas, el razonamiento de Rutherford paraexplicar la dispersión "de gran ángulo" de partículas alfa por los átomos y que le llevó a formularla teoría nuclear del átomo, en contraposición al modelo atómico de Thomson que imaginaba elátomo formado por electrones negativos en el seno de una masa de carga positiva extendida a todoel volumen del átomo.




§12.13. Sección eficaz de dispersión.- En los experimentos típicos dedispersión, un haz homogéneo de partículas monoenergéticas incide sobre un centrode dispersión. Para caracterizar el haz especificaremos la energía E de las partículasy la intensidad I del haz, definida como el número de partículas que por unidad de

tiempo atraviesan la unidad de superficie de una sección recta del haz. Puesto quelas diferentes partículas del haz presentan diferentes parámetros de impacto, serándispersadas bajo distintos ángulos Θ. En el caso de partículas atómicas o subatómi-cas, el parámetro de impacto s no es directamente medible, por lo que deberemoseliminarlo de la expresión [12.88]; en su lugar, haremos aparecer en ella la distribuciónexperimental de los ángulos de dispersión, i.e., la fracción de partículas dispersadasen función del ángulo de dispersión Θ.

Sea d N el número de partículas disper-

Figura 12.21

sadas por unidad de tiempo bajo ángulos

comprendidos entre Θ y Θ+dΘ, como seilustra en la Figura 12.21. El cociente

[12.90]dσ d N I

se denomina sección eficaz de dispersión ytiene dimensiones de una superficie, comoel lector comprobará fácilmente. Cabe

imaginarla como el área efectiva que rodea al centro dispersor por la que debe pasarla partícula incidente para ser dispersada un ángulo comprendido en el intervalo (

Θ,

Θ+dΘ). En el S.I. de unidades se mide en m2; en la Física Atómica y Nuclear seutiliza corrientemente un submúltiplo de esta unidad, que recibe el nombre de barn(b), que equivale a 10-28 m2. La sección eficaz de dispersión queda completamentedeterminada por la "forma" del campo de dispersión y constituye la característica másimportante del proceso de dispersión.

Supondremos que la dependencia entre el ángulo de dispersión (Θ) y e lparámetro de impacto ( s) sea biunívoca; así será si la función Θ=Θ( s) es monótonadecreciente, tal como ocurre con la expresada en [12.89]. En estas condiciones, tansólo se dispersan en el intervalo angular (Θ, Θ+dΘ) aquellas partículas del haz cuyos

parámetros de impacto están comprendidos en el intervalo ( s, s+d s), como se ilustraen la Figura 12.21. El número de estas partículas es igual al producto de la intensidaddel haz por el área de la corona circular de radio s y espesor d s; i.e.,

[12.91]d N (2π s d s) I ⇒ dσ 2π s d s

Encontraremos la relación existente entre la sección eficaz de dispersión y elángulo de dispersión escribiendo la expresión anterior en la forma

[12.92]dσ 2π s(Θ)

d s(Θ)

dΘ dΘ



§12.13.- Sección eficaz de dispersión. 325

donde hemos añadido el signo negativo para tener en cuenta que d s /dΘ eshabitualmente negativa, ya que un incremento d s del parámetro de impactocorresponde a una disminución dΘ del ángulo de dispersión.

Frecuentemente, dσ se refiere al elemento de

Figura 12.22

ángulo sólido dΩ, en lugar de al elemento de ángulo

plano dΘ. El ángulo sólido dΩ definido por dosconos de ángulos en el vértice Θ y Θ+dΘ vale

[12.93]dΩ 2π senΘ dΘ

por lo que de [12.92] se sigue

[12.94]σ(Θ) dσdΩ

s(Θ)sen Θ

d sdΘ

donde σ

(Θ

) recibe el nombre de sección eficaz diferencial de dispersión.En la Física Atómica y Nuclear tiene gran importancia el concepto de sección

eficaz total de dispersión, σt, definido como

[12.95]σ t ⌡⌠

4π

σ(Ω) dΩ 2π ⌡⌠

π

0

σ(Θ) sen ΘdΘ

que representa, obviamente, el área efectiva asociada al centro dispersor paradispersar las partículas incidentes un ángulo cualquiera.

Uno de los problemas más importantes en los que podemos utilizar las expresiones anterioreses el de la dispersión de partículas cargadas en un campo coulombiano, definido por la expr.[12.82]. Entonces, tal como hemos visto en §12.12, podemos obtener la relación existente entre elparámetro de impacto ( s) y el ángulo de dispersión (Θ); i.e., [12.88], que escribiremos en la forma

[12.96] s K

2 E 1

tg Θ2

κ

tg Θ2

con κ K 2 E

de la que se sigue por derivación

[12.97]d sdΘ

κ

2 sen2 Θ

2

que sustituimos en [12.94] para obtener

[12.98]σ(Θ)

κ

tg Θ2

senΘ

κ

2 sen2 Θ2

κ 2

4 sen4 Θ2

o sea [12.99]σ(Θ) K 2

(4 E )2 sen 4 Θ

214

Zz e2

8π 0 E

2

sen 4 Θ2

que es la célebre sección eficaz de Rutherford para la dispersión, deducida originariamente por éstepara la dispersión de partículas alfa por los núcleos atómicos. Obsérvese que σ(Θ) no depende delsigno de K ; i.e., las distribuciones de ángulos de dispersión tienen la misma forma para fuerzasatractivas y repulsivas. También debemos destacar que la Mecánica Cuántica, en el caso no




relativista, llega a un resultado completamente idéntico a éste, lo que cabe considerar como unaafortunada circunstancia, ya que, de no haber sido así, se hubiera retrasado notablemente eldesarrollo de la Física Nuclear.

Si intentamos calcular la sección eficaz total para la dispersión coulombiana, sustituyendo en[12.95] la expr. [12.99], encontraremos que el resultado es infinito. La razón física de ello es fácilde comprender, ya que el campo coulombiano es un ejemplo de "fuerzas de largo alcance"; i.e., susefectos se extienden hasta el infinito. Así, incluso las partículas del haz que incidan sobre el centrodispersor con un parámetro de impacto muy grande serán difundidas un pequeño ángulo, por lo quecontribuirán a la sección eficaz total.

Evidentemente, el valor infinito de la sección eficaz total σt no es exclusivo del campocoulombiano; se presentará siempre que el campo dispersor sea distinto de cero para cualquierdistancia, por grande que ésta sea. Sólo si el campo difusor se anula a partir de cierta distancia, lasección eficaz total de dispersión será finita. En el caso del campo coulombiano de un núcleoatómico, tal discontinuidad se produce como consecuencia del apantallamiento de la carga nuclearproducida por la presencia de los electrones atómicos.

Problemas

12.1.- En el instante t = 0, un cuerpo de 2 kg

de masa se encuentra en el punto r = 5i m ytiene una velocidad v = 3 j m/s. Sobre elcuerpo actúa una fuerza constante F = 4i N.a) Expresar la cantidad de movimiento y elmomento angular del cuerpo en función deltiempo. b) Calcular el momento de la fuerza ycompararlo con la derivada temporal delmomento angular.

12.2.- Una partícula de masa unidad se muevebajo la acción de una fuerza F = 6t i + 12t 2 j,donde t es el tiempo. En el instante inicial

(t =0) la partícula se encuentra en reposo en elorigen de coordenadas. a) Expresar en funcióndel tiempo el momento angular de la partículay el momento de la fuerza con respecto alorigen de coordenadas. b) Comprobar que M =d L /dt .

12.3.- El movimiento de una partícula de masam está definido, en función del tiempo, por r =a cos ω t i + b sen ω t j donde a, b y ω sonconstantes. a) Calcular, con respecto al origende coordenadas, el momento angular de lapartícula y el momento de la fuerza que actúasobre ella. b) Interpretar físicamente losresultados anteriores.

12.4.- Un cuerpo de pequeñas dimensiones, de

Prob. 12.4

20 g de masa, está unido a un extremo de una

cuerda ligera

y flexible quepasa a travésde un orificiopracticado enun t able roh o r i z o n t a lliso, como semuestra en laf i g u r a .Sujetamos elextremos inferior de la cuerda y hacemos quese mueva el cuerpo en una trayectoria circular

de 40 cm de radio, con una velocidad angularde 2 rad/s. a) Calcular la velocidad lineal delcuerpo, su momento angular y su energíacinética y la fuerza con que debemos tirarhacia abajo para que el movimiento seaposible. b) A continuación, vamos aumentandola tensión de la cuerda hasta que el radio de latrayectoria se reduce a 10 cm. Repetir loscálculos del apartado anterior. ¿Qué magnitu-des físicas han permanecido constantes?c) Calcular el trabajo que hemos realizado altirar de la cuerda y compararlo con el cambio

que ha experimentado la energía cinética.12.5.- Probar que el campo de fuerzas F = F (r )er es conservativo, demostrando por cálcu-lo directo que la integral ∫ A

B F d r a lo largo de



Problemas 327

una trayectoria cualquiera, entre los puntos Ay B, depende sólo de las distancias radiales dedichos puntos al centro de fuerzas.

12.6.- Una partícula se mueve con celeridadconstante a lo largo de la parábola de ecuación

, donde k es una constante.r cos2 θ2 k a) Dibujar la trayectoria, determinar la posi-ción del foco de la parábola y calcular losvalores del pericentro y del latus rectum.b) Hallar las componentes radiales y transver-sales de la velocidad y de la aceleración de lapartícula. c) Determínense las componentesintrínsecas (tangencial y normal) de la acelera-ción y el radio de curvatura de la trayectoriaen función de θ.

12.7.- Espirales. Encontrar la ley de fuerza

para el campo de fuerzas centrales en el queuna partícula se está moviendo sobre cada unade las trayectorias espirales que se indican acontinuación, siendo k y α constantes. a) r =k / θ. b) r = k / θ2. c) r = k θ (espiral de Arquí-medes) d) r = k θ2 e) r = k exp(αθ) (espiral logarítmica).

12.8.- Una partícula se mueve en un campo defuerzas centrales definido por F ∝r n. a) En-contrar las expresiones de los valores mediosde sus energías cinética y potencial en función

de la energía total E . ¿Son aplicables estasexpresiones para cualquier valor de E ? b) A-plicar los resultados anteriores para el caso deuna fuerza central inversamente proporcionalal cuadrado de la distancia al centro de fuer-zas. Analizar y discutir los resultados.

12.9.- La trayectoria de una partícula que semueve bajo la acción de un campo de fuerzascentrales (con centro en el origen de coordena-das) es la hipérbola equilátera xy = ½k 2.a) Determinar la ley de la fuerza central que

produce ese movimiento. b) Expresar laceleridad de la partícula en función de suvelocidad en el pericentro (v0) y de su distan-cia radial al origen de coordenadas. c) Encon-trar la expresión de la energía potencial efecti-va y analizar el diagrama correspondiente.

12.10.- Las ecuaciones paramétricas polaresque describen el movimiento plano de unapartícula de masa m en un campo de fuerzasvienen dadas por: r = k ·φ(t ) y θ = φ(t ),siendo k = cte y φ(t ) una función del tiempotal que φ(0) =0. Además, se sabe que lavelocidad transversal de la partícula es igual ala inversa de su distancia al origen de coorde-nadas. a) Demostrar que el movimiento escentral. b) Determinar la función φ(t ). c) En-contrar la ecuación polar, r =r (θ), de la

trayectoria y dibujarla. d) Hallar la ley de lafuerza, F = F(r ), que actúa sobre la partícula.e) Obtener las expresiones de la energíaspotencial y potencial efectiva y analizar, enfunción de ellas, el movimiento de la partícula.

12.11.- El comandante de una nave espacial,

Prob. 12.11

que ha apagado los motores y que se encuentrae n l a sproximidadesde una extra-ña nube degas, observaque su naveestá descri-biendo unat r a y e c t o r i acircular quep en et ra a

través de lanube, comose ilustra enla figura. También se percata de que el mo-mento angular de la nave con respecto alcentro de la nube permanece constante duranteel movimiento. Determinar la ley de la fuerzaatractiva que está actuando sobre la nave.

12.12.- Una partícula de masa m se muevebajo la acción de una fuerza F = - Kr 3er , con K >0. a) Obtener la expresión de la energía

potencial de la partícula. b) Dibujar el diagra-ma correspondiente a la energía potencialefectiva. c) ¿Para qué energía y momentoangular será la trayectoria una circunferenciade radio R y con centro en el origen?

12.13.- a) Estudiar por el método de la energíapotencial efectiva los tipos de movimientoposibles correspondientes a una fuerza centralatractiva inversamente proporcional a la cuartapotencia de la distancia radial al centro defuerzas y determinar la energía y el momento

angular correspondientes a una órbita circular.¿Es estable esa órbita? b) Ídem para unafuerza central atractiva directamente propor-cional a la distancia radial. ¿Puede Vd. pensaralgún modelo físico que corresponda a unafuerza de este tipo.

12.14.- a) Estudiar por el método de la energíapotencial efectiva los tipos de movimientoposibles correspondientes a una fuerza centralatractiva inversamente proporcional al cubo dela distancia radial al centro de fuerzas. b) De-terminar los intervalos de energías y de mo-

mentos angulares para cada tipo de órbitas.c) Resolver la ec. diferencial de la órbita paracada tipo de movimiento.




12.15.- Una partícula se mueve en una órbitaelíptica, de eje mayor 2a y excentricidad , demodo que el radio vector desde el centro de laórbita barre áreas iguales en tiempos iguales.a) Demostrar que la ecuación de la elipse encoordenadas polares referidas al centro de la

órbita es

r 2 a2 (1 2)

1 2 cos2θ

b) Demostrar que la fuerza que actúa sobre lapartícula es central y expresarla en función dela masa m de la partícula y del periodo T derevolución.

12.16.- Átomo de Bohr. En el modelo deNiels BOHR (1885-1962) del átomo de hidró-geno, un electrón de masa m se mueve en unaórbita circular alrededor de un protón estacio-nario, bajo la acción de la fuerza central deCoulomb

F 1

4π 0

e 2

r 2

donde e representa la carga eléctrica delelectrón y 0 es la permitividad del vacío(constante). a) Obténgase una expresión de lavelocidad del electrón en función del radio dela órbita. b) Expresar el momento angularorbital del electrón en función del radio de laórbita. c) Expresar las energías potencial,cinética y total del electrón en función de r . Laenergía total resulta negativa ¿por qué?d) Introducir el postulado de Bohr de que elmomento angular en una órbita circular ha deser un múltiplo entero de la cantidad h /2π,donde h es la constante de Planck (h =6.626×10-34 J s), para obtener las expresionesde los radios y energías totales permitidas parael electrón. e) Calcular el radio y la energíadel electrón permitidas para el estado funda-mental (el de menor energía) del átomo dehidrógeno. ¿Cuánto valdrá la energía deionización?

1 2 . 1 7 . - S o n d a

Prob. 12.17

espacial. Dossatélites artificia-les, de masas M 1 y M 2, están unidosm ed ia nt e u na

sonda de longitud L, como se indicaen la figura. Lossatélites describenórbitas circulares

de radios R1 y R2= R1+ L. a) Determinar elperiodo orbital (común) de los satélites.b) Determinar la tensión de la sonda. c) Eva-luar los resultados anteriores para el caso deun astronauta (70 kg) unido al Skylab(50000 kg, 6800 km) mediante una sonda de

10 m de longitud. d) Calcular la tensión de lasonda para el caso de dos satélites idénticoscon M 1 = M 2 = 50000 kg, R1 = 6 800 km y L= 1.0 km.

12.18.- Órbita geoestacionaria. Supóngaseque se desea establecer en el espacio una baseinterplanetaria que se mueva en una órbitacircular en el plano ecuatorial de la Tierra y auna altura tal que permanezca siempre sobre elmismo punto. ¿Cuál deberá ser el radio de esaórbita?

12.19.- Un satélite describe una órbita circularecuatorial, en el mismo sentido de rotación dela Tierra, a una altura de 800 km sobre susuperficie. ¿Durante cuanto tiempo permane-cerá visible (sobre el horizonte) desde un lugarcualquiera de la Tierra?

12.20.- Fricción atmosférica. Un satélite de4 000 kg describe una órbita circular de7 000 km de radio alrededor de la Tierra. a) Alcabo de algún tiempo como consecuencia de lafricción atmosférica, la órbita se reduce a otra

circular de 6 600 km. Calcular los cambios queexperimentan la velocidad, la velocidadangular, el periodo de revolución y lasenergías cinética, potencial y total. b) Su-poniendo que la resistencia del aire sobre elsatélite representa una fuerza promedio de 2 N,calcular el momento de dicha fuerza y estimarel tiempo necesario para la mencionadareducción del radio orbital. c) Hacer unaestimación del número de vueltas que ejecutael satélite durante ese tiempo.

12.21.- Imaginemos que fuese posible construir

una torre muy alta (629 km, puestos aimaginar) en el Polo Norte y que desde elpunto más alto de ella disparásemos "horizon-talmente" un proyectil. a) Discutir el movi-miento subsiguiente de dicho proyectil enfunción de la velocidad v0 que le suministre-mos en el instante del disparo y estudiar lanaturaleza de las órbitas, especificando losvalores de v0 que corresponden a las transi-ciones de unos tipos a otros. ¿Influye la rota-ción terrestre en los resultados anteriores?b) Ídem si construyésemos la torre en el

Ecuador terrestre.

12.22.- En el Problema 12.21, calcular lavelocidad inicial mínima que hay que dar alproyectil para que no caiga sobre la superficie



Problemas 329

terrestre; esto es, para ponerlo realmente enórbita.

12.23.- Desde un gran satélite en órbita circu-lar, situado a una altura de 629 km sobre lasuperficie terrestre, se dispara un pequeñoproyectil con una velocidad v0 respecto delsatélite, en dirección tangencial al movimientode éste y en el sentido de su movimiento.Discutir el movimiento subsiguiente del pro-yectil en función del valor de v0, analizando lanaturaleza de las posibles órbitas del mismo yespecificando los valores de v0 que correspon-den a las transiciones de unos tipos de órbitasa otros.

12.24.- Se pone en órbita un satélite artificialllevándolo a una distancia sobre la superficieterrestre igual al radio de la Tierra y propor-

cionándole una velocidad "horizontal" inicialigual a 1.10 veces la requerida para una órbitacircular a esa distancia. a) ¿De qué tipo deórbita se tratará? b) Calcular los parámetros(semiejes, excentricidad, perigeo, apogeo,velocidades ...) de esa órbita. c) Repetir losdos apartados anteriores para el caso de que lavelocidad inicial sea 0.90 veces la requeridapara la órbita circular.

12.25.- Demostrar que la ecuación general deuna cónica, en coordenadas polares planas

referidas a uno de sus focos y a sus ejes,puede escribirse en la forma

r r ±min1 ±

1 cosθ

donde el doble signo ± se refiere a las ramaspositiva y negativa, respectivamente, en elcaso de que la cónica sea una hipérbola.

12.26.- Excentricidad de la órbita terrestre.A finales de Diciembre el disco solar se ve

bajo un ángulo de 32’36" y a finales de Juniosubtiende un ángulo de 31’31". Con estosdatos, calcular la excentricidad de la órbitaterrestre.

12.27.- Una partícula se mueve en una órbitaelíptica bajo la acción de una fuerza centralinversamente proporcional al cuadrado de ladistancia. Sea n el cociente entre lasvelocidades angulares máxima y mínima en laórbita (n>1); demostrar que la excentricidad dela órbita viene dada por

n 1

n 1

12.28.- Sputnik III. La distancia máxima a lasuperficie terrestre a la que se movía el satéliteSputnik III fue 1880 km y la mínima 230 km.Calcular: a) los semiejes y la excentricidad desu órbita; b) el periodo de revolución delsatélite; c) las velocidades en el apogeo y en el

perigeo.12.29.- Explorer III. El satélite Explorer III tuvo una órbita elíptica con un perigeo de175 km sobre la superficie terrestre y unavelocidad de 29 620 km/h en su perigeo.Determinar: a) la excentricidad de su órbita,b) su semieje mayor, c) su periodo de revolu-ción y d) su velocidad y altura en el apogeo.

12.30.- Se dispara un proyectil desde un puntode la superficie terrestre con una velocidadabsoluta inicial v0 que forma un ángulo φ con

la horizontal del lugar de lanzamiento. Des-preciar la resistencia del aire y expresar losresultados en función de la masa y el radio dela Tierra ( M y R), de la constante de Gravita-ción G y de las condiciones iniciales φ yv0.a) Calcular excentricidad de la trayectoriadel proyectil. b) Determinar la altura máximasobre la superficie terrestre que alcanza elproyectil antes de caer de nuevo. c) APLICA-CIÓN NUMÉRICA: v0=3600 km/h y φ=45°.

12.31.- Una partícula de masa m interacciona

gravitatoriamente con otra partícula de masa M , siendo M m. Inicialmente, cuando esmuy grande la distancia de separación entreambas partículas, la partícula de masa m semueve con una velocidad v0 y con un paráme-tro de impacto s respecto de la partícula M ,que permanece estacionaria en todo el proceso.a) Calcular la distancia de máxima aproxi-mación entre ambas partículas. b) Determinarel ángulo que forman las direcciones inicialesy finales de la partícula incidente. c) ¿Qué tipode trayectoria sigue la partícula incidente?

¿Existe algún valor de v0 al que correspondauna trayectoria cerrada?

12.32.- Masa del Sol. Conocidos los semiejesmayores de las órbitas de la Tierra y de laLuna, 149.6×106 km y 384.0×103 m, respec-tivamente y los correspondientes periodos derevolución, 1 año y 27.32 días, calcular lamasa del Sol en unidades de la masa de laTierra.

12.33.- Lunas de Marte. Los semiejes mayo-res de las dos Lunas del planeta Marte, Phobos

y Deimos, miden 9.408×103 km y23.457×103 km, respectivamente. El periodo derevolución orbital de Phobos es de 4.65 horas.Con esos datos se deben calcular la masa del




planeta Marte y el periodo de revolución deDeimos.

12.34.- Transferencia de órbita. Un satélite

Prob. 12.34

artificial tripulado (S), provisto de un motorcohete, se encuentra en una órbita circular de7000 km alrededor de la Tierra y desea aco-plarse a una estación espacial (E) que seencuentra en otra órbita circular, de 10 000 kmde radio, coplanaria con la del satélite. Paraconseguir su objetivo, el astronauta enciendesu motor cohete durante un breve intervalo detiempo, a fin de incrementar su velocidad yalcanzar la estación espacial en el punto A,diametralmente opuesto al de ignición demotores. Obviamente, el astronauta tambiénpretende aproximarse a la estación espacialtangencialmente a la órbita de ésta. a) ¿Cuáldeberá ser la velocidad del satélite después delcorto periodo de funcionamiento del motorcohete? b) ¿Con qué velocidad llegará al puntoA de acoplamiento? c) ¿Qué deberá hacer paraacoplarse con la estación espacial? d) Calcularel valor del ángulo θ que forman los radio-vectores de la estación espacial y del satéliteen el instante en que éste enciende el motorcohete.

12.35.- Un planeta describe una órbita elíptica,

de excentricidad 2/2 y un periodo de π años.Calcular el tiempo que invierte el planeta paramoverse desde el extremo del latus rectum alextremo del eje menor de su órbita.

12.36.- Se observa un cometa a una distanciade 108 km del Sol y acercándose hacia él conuna velocidad de 60 km/s en una dirección queforma un ángulo de 45° con el radio-vector.a) Calcular la excentricidad y la ascensiónrecta de la órbita del cometa. b) ¿Qué tipo deórbita es? c) Calcular la distancia de máxima

aproximación del cometa al Sol.12.37.- a) Calcular el tiempo durante el quepermanecerá en el interior de la órbita terrestre(supuesta circular, de radio R) un cometa quedescriba una trayectoria parabólica en el plano

de la eclíptica. b) Calcular el tiempo máximode permanencia.

12.38.- Chatarra espacial. Un satélite artifi-cial se encuentra en una órbita circular deradio 2 R alrededor de la Tierra, siendo R elradio de la Tierra. Un trozo de chatarra espa-cial, cuya masa es el 5% de la del satélite, seencuentra describiendo la misma órbita pero ensentido contrario. Se produce una colisiónfrontal entre el satélite y la chatarra y, comoconsecuencia de ella, el satélite, con la chata-rra incrustada, cambia de órbita. a) ¿De quétipo será la nueva órbita? b) Calcular losparámetros de la nueva órbita (excentricidad,semiejes, perigeo, apogeo, ...) c) ¿Caerá elsatélite sobre la superficie terrestre?

12.39.- Precesión de la órbita. a) Discutir el

movimiento de una partícula en un campo defuerzas centrales atractivas de magnitud inver-samente proporcional al cuadrado de la distan-cia para el caso en que se superponga unafuerza atractiva cuya magnitud sea inversa-mente proporcional al cubo de la distancia dela partícula al centro de fuerzas; esto es,

F (r ) k

r 2λ r 3

siendo k y λ constantes positivas. Considerarlos casos L2>mλ , L2=mλ y L2<mλ . b) De-mostrar que las trayectorias limitadas de lapartícula son elipses con precesión y determi-nar la velocidad de precesión.

12.40.- Experimento de Rutherford. En elexperimento de Rutherford de dispersión departículas α al atravesar una delgada láminade oro ( Z =79) se utilizaron partículas αprocedentes del Polonio que son emitidas conuna velocidad del orden de 2×107 m/s. Calcu-

lar el valor límite del parámetro de impactopara que se produzca una dispersión Θ>6°. (Lamasa de la partícula α es 6.646×10-27 kg.)

12.41.- a) Determinar la sección eficaz dife-rencial en la dispersión de partículas por unaesfera perfectamente rígida, lisa y fija, de radio R; i.e., un potencial de fuerza central tal que

E p(r )

0 si r > R∞ si r < R

b) Obtener la sección eficaz total.

12.42.- Un potencial de fuerza central queencontramos frecuentemente en la Física



Problemas 331

Nuclear es el llamado pozo rectangular ,definido por

E p(r )

0 si r > RU 0 si r ≤ R

a) Demostrar que la sección eficaz diferencialde dispersión está dada por

σ (Θ) n2 R 2

4cos Θ2

ncos Θ2

1

n cos Θ2

n 2 2n cos Θ2

12

con n 1

2U 0

mv20

b) Obtener la sección eficaz total de disper-sión.

12.43.- a) Analizar la dispersión producida poruna fuerza central repulsiva inversamenteproporcional al cubo de la distancia (i.e., F =k / r 3, con k >0). b) Demostrar que la seccióneficaz diferencial de dispersión es

σ (Θ) π 2k 2 E

(π Θ)Θ2 (2π Θ)2 senΘ

donde E es la energía de la partícula.



Apéndices.

A.- Resultados de los problemas. 335

B.- Índice alfabético. 351




A.- Resultados de los problemas.

1.- Álgebra vectorial.

1.1. a) B=0 b) A B c) A⊥ B d) A⊥ B

1.2. s/c 1.3. 33

(i j k)

1.4. OP λ

A

A

B

B

1.5. s/c 1.6. s/c

1.7. sen(α β ) senα cosβ cosα senβ

cos(α β ) cosα cosβ senα senβ1.8. A = 2u+u+3w

1.9. A = 10e+ b con b=-3i+4 j+7 k

1.10. a) A B= B C =C A=0; A× B=71C b) eA=(1.39 0.82 -0.51)eB=(0.35 0.37 1.29)eC=(0.90 -1.06 0.06)

1.11. s/c

1.12. a) 5.48 b) (4 6 6) c) 16 d) 55°e) 2.92 f) (18 -14 2)g) (0.79 -0.61 0.087)

1.13. 70.53° 1.14. 52, 8, -34

1.15. 3.5u-2.5v-0.5w

1.16. a=(2 2 4); b=(1 -4 1)

1.17. V cualquiera X C

A 2 (V × A)

1.18. m cualquiera X C × A

A2 m A

1.19. X c

A2 A

1

A 2 (C × A)

1.20. a) prod. esc. diagonales b) prod.vect. diagonales.

1.21. 7.8 unid. de área

1.22. x 2

1 y 4

2 z 5

1

1.23. x 1

2 y 5

1 z 3

3

1.24. 3.7 1.25. a) 14

7 5 4 2

1.26. 18 x+6 y-3 z+18=0

1.27. x+2 y+3 z-21=0




336 Resultados de los problemas

1.28. x 20

3 y 1

14 z20

1.29. 6 x-11 y+3 z+7=0

1.30. -6/11 1.31. 25 / 57

1.32. s/c 1.33. 1.34. a) 27 b) -272 3

1.35. s/c 1.36. (0 -3 -18) 1.37. s/c

1.38. s/c 1.39. (2 4 3)

1.40. a) (3.23 1.60 4.00)b) (0.23 3.60 4.00)

1.41.

x′2

cos2θ A 2

sen2θ B 2

y′2

sen2θ A 2

cos2θ B 2

2 x′ y′

1

A2

1

B 2 senθ cosθ 1

1.42. s/c

2.- Vectores deslizantes.

2.1. a) (18 0 -12) b) (13 5 -7) c) s/c

2.2. a) 8, -7, 2 b) -3/14 (2 3 1)c) 15/19 (2 3 -5)

2.3. 4, x 3

25 2 y

6 z2

2.4. s/c 2.5. s/c

2.6. a=1, b=-2, c=5; (-4 2 -1)

2.7. a) 5 6

6 1 2 1

b) 6 1 2 1

c) 5 6

6 1 2 1

d) 6

6 1 22 13

2.8. a) (20/11, 19/11, 0) b) 11; no estádefinido.

2.9. (0 -1 1)

2.10. (-1 2 3); (5/3, 5/3, 0)

2.11. a) F 1=0, F 2, F 3= F 4 b) F 1= F 3, F 2=0, F 4=0

2.12. a) (4 -3 2), (3 1 1)

b) (4 -3 1), 5/13 (4 -3 1)2.13. (4.00 1.32 2.95) en (0, 0, 0);

(0.00 -0.32 -0.95) en(3.16, -8.43 0.00)

2.14. (0 1 0) en (0, 0, 0);(0 0 1) en (1, -1, 0)

2.15. 155 x 142

5155 y 59

7155 z 33

9

2.16. (0 2 0) en (0, 0, -0.50)

2.17. (0 0 1) en (0, 1, 0)

2.18. a) A=8πaλ k; M 0=6πa2λ (4 j+3 k)b) x=-3, y=0; 8πaλ k;18πa2λ k

2.19. (1 3 2); 2.5(1 3 2) en (9, -1, -3)/14

2.20. s/c 2.21. s/c 2.22. s/c

2.23. a) 14; x+3 y+2 z=14b) (1.07, 3.07, 1.86)

2.24. a) (20, 19, 19)/11; ídem b) lo mismo

2.25. s/c

3.- Análisis vectorial.

3.1. 3.2. s/c2 5 ; 8

11 33

3.3. s/c 3.4.s/c 3.5. s/c 3.6. s/c

3.7. a) (t 2/2+t t 3/3 t 2)+C b) (4.5 3 3)

3.8. ∂ A

∂ x 2 xyi z j 3 z 2 k

∂2 A

∂ x 2 2 yi

∂2 A

∂ x∂ y 2 xi ...

3.9. ; disparo de r r0

v0t

12

gt 2 k

un proyectil3.10. s/c

3.11. a) si b) esféricas concéntricas en (0,0,0)



Resultados de los problemas 337

3.12. paraboloides de revolución de eje z

3.13. a) si b) radiales

3.14. a) s/c b) φ( a) = -a2;

3.15. a) 4/3 b) 1 c) 1.5 d) 37/30 e) 17/12

f) -11/60 g) no3.16. 12π; no 3.17. a) 3 b) 4π c)

3.18. q/ 0 (ley de Gauss)

3.19. a) 2 r b) ( y3, z3, x3)c) (2 xy/ z3, x2/ z3, -3 x2 y/ z4)d) [sen( yz)- yzsen( xz), xzsen( yz)+cos( xz), xycos( yz)- xysen( yz)]e) (- xsen x+cos x+ yz, xz, yz]

3.20. 4 x+4 y- z=6

3.21. a) 0 b) 1

142 3 1 ; 2 14

3.22. A 3.23. a) 3r 2 b) (12/5)π R5

3.24. a) ∇× A=0 b) φ=( x4+ y4+ z4)/4+ xyz+φ0

c) 18.5

3.25. a) 12 b) φ= x+ y+ z+ xyz+φ0 c) 12

3.26. a) no b) -(12+2π) c) 0 d) -(8+6π)

3.27. a) 4 b) φ= x2+ y2+ z2+ xyz+φ0 c) 4

3.28. A=-er /r 2; (-1, 0, 0)

3.29. a) φ=r +cte b) 0

3.30. s/c 3.31. s/c 3.32. s/c

3.33. a) s/c b) 4πk c) 0 d) ∇× A=0e) φ=k /r f) s/c

3.34. 4πkR5

3.35. a) s/c b) ∇ v=0; Φ=0

4.- Cinemática de la partícula.

4.1. 2.34 m

4.2. a) 2.54 s, 19.18 mb) -4.90 m/s; +4.90 m/s

4.3. amín

(v1 v2)2

2d

4.4. a) x=3+2t +t 3 cmb) a=6t cm/s2 c) 41 cm/s

4.5. a) b)1v

1v0

kt x 1k

ln(1 kv0t )

c) d) s/c e) 1/300 m-1v v0 e kx

4.6. a) x k ln t t 0

2.078 ln t 0.618

(S.I.)

b) 37.08 min c) 672 m

4.7. x=3.07 sen(3t +1.35);v=9.21 cos(3t +1.35)

4.8. 3.75 10-3 m-1; 267 m

4.9. a) x2+ y2= R2; antihorario b) r v=0c) a=-ω 2 r d) r×v=ω R2 k=cte

4.10. a) b) r v≠0 c) a=-ω 2 r x 2

a2

y 2

b2 1

d)at

ω 2(a2 b2) senω t cosω t

a2sen2ω t b2cos2ω t

an

ω 2ab

a2sen2ω t b2cos2ω t

e) κ 1

ρ

ab

(a2

sen2

ω t b2

cos2

ω t )3/2

4.11. ˙ x2

x1˙ x1

h2 x 21

¨ x2

h2˙ x21 (h2 x 2

1) x1¨ x1

(h2 x21)3/2

4.12. a) y 4 sen

π2

x

b)v 4 16π 2cos2π t a 4π 2senπ t

4.13.2v 2

0cos2θ0

g cosα (tgθ

0 tgα)

4.14. a) tgθ0=h/ D b) v0 < Dg sen 2θ0

4.15. ysombv 20

2 g g

2v20

x 2

4.16. D 2 Hs sen θ0




5.9. a) (0 0 2) en (0,1,0); (1 1 -1) en(1,0,0) b) x-1 = y = - z

5.10. s/c

5.11. a) si b) (0 1 2) c) x=2; 2 y- z=6d) (0 1 2);2(0 1 2)

5.12. a) si b) (-1 0 1) c) x=1; x+ z=2d) (-1 0 1);(0 0 0), rodadura

5.13. (0 -1 -1) en (0,1,0), (1,1,0), ...

5.14. a) a=1, b=1, c=0 b) (0 0 1);(0 0 0)c) x=0, y=1

5.15. a) (-2 2 0); (-2 2 3)b) (-4 -4 3); (-4 -13 9)

5.16. 16.5° 5.17. 9 cm/s; 1.125 cm/s2

5.18. a) s/c

b)v

M

v0

2

1 x

l 2 x2

0

vM

l v0

2 l 2 x 2

c) vB 2 vM sen

θ0

2vM

l t

5.19. a) cos3θ0

al

b)

ω vA cos2θ0

a v B

l vA

a

senθ cos2θ

cos3θ a/l

0c)

a B

l vA

a2

2 3 cos2θ

3 senθ cosθ

0

cos3θ

5.20. 6 cm/s, 10 cm/s, 4 rad/s

5.21. a) vC=ω l , aC=ω 2l /2

b) vB

ω l

cos θ2

sen θ2

0

a C

ω 2l 2

sen θ2

cos θ2

0

5.22. (ω [ R+h] 0 0); (α[ R+h] -ω 2h 0)

5.23. a) generatriz de contactob) (ω R 0 0); (0 0 0)c) (ω y -ω x 0); (-ω 2 x -ω 2[ y- R] 0)d) (0 0 0); (0 ω 2 R 0)

5.24. a) ω 1=20π rad/s; ω 2=10π rad/sb) 628 cm/s; 45228 cm/s2

5.25. v

ω 2 R cosφ

ω 1 R senφ

ω 1 R cosφ

a

2ω 1ω 2 R senφ α2 R cosφ

(ω 21 ω 22) R cosφ α1 R senφ

ω 21 R senφ α1 R cosφ

5.26.

a)

v

0

ω r 2Ωr

a

(ω 2 2Ω2)r

αr 0

b)

v

ω r senφ

ω r cosφ

Ωr (1 cosφ )

a

αr senφ (ω 2 2Ω2)r cosφ

αr cosφ ω 2r senφ

05.27. a) x=-1/π; y=0; v=82.83 m/s

b) x=-20/(20π+0.1); y=0;v=82.93 m/s

5.28. a) mov. helicoidal tangenteb) 636.23 m/s; 394 784 m/s2

5.29. a) 0 cm/s; 3.33 rad/s b) 300 cm/s;0 rad/s c) 0 cm/s; 3.33 rad/s

d)vA

ω R senθ

1 cosθ

9 sen2θΩ ω cosω

9 sen2θ

5.30.

vA ω R senθ

1 R cosθ

l 2 R 2sen2θ

aA

ω 2 R

cosθ R l 2cos2ω t R 2sen4ω t

(l 2 R2sen2θ)3/2

5.31. 20 cm/s; 30 cm/s2

5.32. 0.16 s; 79.4°




5.33. a) 0 2v0 0 ;

4v20

3r 0 0

b) v0 0 0 ;

v30

3r

v 20

r

0

5.34. a) s/c b) vide figura

Prob. 5.34

c) v 2ω R sen ω t

2 a ω 2 R

5.35. a) at ω 2 R cos ω t

2 an ω 2 R sen

ω t 2

b) ρ 1κ

4 R sen ω t

2 ; ρ 4 R

5.36. v

ω y

ω x

0

a

ω 2 x α y

ω 2( y R) α x

0

5.37. a) OP 2r cos(ω t θ2

) e

con e

cos(ψ θ2

) sen(ψ θ2

) 0

b) v 2ω r sen(ω t θ2

) e

c) a ω 2 OP

5.38. base: circunferencia, radio h/2 ycentro en C; ruleta: circunferenciaradio h y centro en O′.

5.39. base: coincide con el aro;ruleta: circunferencia, radio 2 R, cen-tro en A.

5.40. a) base: y h 1h

x 2

ruleta: h2

x′2

y′2

( y′2

h2

)

b) ω hv

h2 v2t 2

c)

v B v senθ

senθ

cosθ

0 B

a B vω

sen2θ

cos2θ

0 B

v B v senθ

0

1

0 B′

a B vω

senθ

cosθ

0 B′

5.41. a) ω 2vA

R sen2 θ

2

b) base: y2=2 R( x- R/2);ruleta: y′2=2 R( x′+ R/2)

5.42. a) 7ω antihorario b) ω /3 antihorarioc) base: x2+ y2=(20 R/7)2;ruleta: x′2+ y′2=( R/7)2 d) vs=20ω R/21

6.- Principios de la MecánicaClásica. La ley de la Inercia.

6.1. 86 164 s6.2. a) permanece vertical b) hacia atrás:

tgθ=a/ g c) hacia adelante: tgθ=a/ g d) hacia el exterior

6.3. a) 45 m/s b) 15 m/s c) 33.54 m/s

6.4. a) 37 s b) 333 s c) 83 s

6.5. 3.11 s 6.6. 70.5 km/h, 45.3 km/h

6.7. a) x′=0, y′=-(6t +t 2) b) v′=(0 6-2t 0); a′=(0 -2 0)

6.8. verá al otro acercarse en una direc-ción constante.

6.9. s/c

6.10. a) OO′=½a0t 2; OO″ =v0t +½a0t

2

b) x′= x-½a0t 2; x″ = x-v0t -½a0t

2

c) v′=(v x-a0t v y v z); v″ =(v x-v0-a0t v y v z)

d) a′=(a x-a0 a y a z); a″ =(a x-a0 a y a z)

e) x=½a0t 2; x′=0; x″ =-v0t




6.11. a) S: ; S′: igual F e

14π 0

e 2

h2 k

b) S: ; S′: no F m

µ0

4πe 2v

h2 k

hay

7.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación de la

cantidad de movimiento.

7.1. x=(3t 2-2t 3) cm; v=(6t -6t 2) cm/s

7.2. r=(52/3 5 14) m; v=(8 8 12) m/s

7.3. a) s/c b) F=-mω 2 r 7.4. s/c

7.5. F tmg 2 x

v 40 g 2 x 2

F nmgv2

0

v 40 g 2 x2

7.6. a) 9.8 N b) 19.6 N

7.7. a) 55.36 m b) 9800 N

7.8. T 2π l g

7.9. a) v ± 2k

m1 x

1 x0

b) t π x0

2

mx0

2k

7.10. vf g L

L2 b2

t f L g

ln L L2 b2

b

7.11. 0.78 s

7.12. a) 22.3 kg b) a0=-3.2 m/s2 c) cero

7.13. a) "caída libre" b) parando motores

7.14. a) 42.6 s b) 273.6 km/h; 2 225 m7.15. 84.6 min 7.16. M = mv2/rg

7.17. a) 3.13 m/s b) 6 kg c) 18 kg

7.18. a) 680.3 m b) 560 kg

7.19. a) 48.19° con la vertical b) 2

3 gR

c) 0.125 R

7.20. a) (12000 20785 0) kg m/sb) 163.3 kg (centrípeta)

7.21. a) -8.25 kg m/s; -8.25 N s b) 4125 N

7.22. a) s/c b) 3 ms c) 60 cm

7.23. a) -100 000 kg m/s, -50 000 Nb) -12 500 KG M/S; -62 500 N c) seconserva cant. mov. Tierra-auto.

7.24. F 2ρ 2

A

7.25. a) 16 N b) -16 N 7.26. 44.041 g

7.27. 8.08 g 7.28.

7.29. a) 5v0(1/e-1)=-126.4 Nb) -(5v0/2)(1/e+1)=-136.8 N

7.30. a) pB=kt b) pB=kt - p0 c) F A=-k ; F B=k

7.31. a) 11.74 km/h b) 260.870 kN

7.32. a) 148° b) 12.13 10-21 kg m/s

7.33.a) 2.731 10-25 kg m/s; 2.731 10-25 kg m/s;b) 2.731 10-24 kg m/s; 2.731 10-24 kg m/s;c) 2.731 10-23 kg m/s; 2.745 10-23 kg m/s;d) 1.366 10-22 kg m/s; 1.577 10-22 kg m/s;e) 2.595 10-22 kg m/s; 8.309 10-22 kg m/s;

7.34. 8.23 kg; 5.88 kg; 7.06 kg

7.35.a) 3.68 m/s2; 1.88 kg b) 0.61 m/s2; 2.80 kgc) 0.12 m/s2; 2.56 kg d) 2.45 m/s2; 3.75 kge) 1.33 m/s2; 3.41 kg f) 7.45 m/s2; 5.28 kgg) 2.56 m/s2; 1.28 m/s2; 2.61 kgh) 3.46 m/s2; 6.92 m/s2; 0.88 kg; 1.76 kgi) 0.58 m/s2; 1.15 m/s2; 2.67 kg; 5.29 kg j) 2.45 m/s2; 3.75 kg

7.36. a) no hay mov. b) ídem c) 0;4.9 m/s2 d) 2.45 m/s2; 14.7 m/s2

7.37. a) 40 kg b) 42 kg c) 35.9 kg




8.- Las fuerzas de la Naturaleza.

8.1. k

4π 4

GM

8.2. q 2 L sen θ 4π0mg tgθ

8.3. a) s/c b) xmín

14π 0

2Qq

mv20

8.4. a) 5 kg b) 5 kg c) 6 kg

8.5. 0.466

8.6. a) a1

6 F 9m1 4m2

a2

23 a1

b) a1

6 F 3(3m1 2m2)

9m1 4m2

a2

23

a1

8.7. a) b) 26.6° F µ mg µ senθ cosθ

8.8. a) 84.6 kg b) 0.39 m/s2

8.9. a) 69.68° b) 1.01 m/s2

8.10. a) 80 cm b) no8.11. a) 2.64 m/s2 b) 2.26 N, tensora

8.12. a) 23° b) 5.12 m/s2

8.13.

a) N 1 N (senθ µ cosθ) µN 1 N (cosθ µ senθ) m1( g a1)

N (senθ µ cosθ) µN 2 m2a2

N 2 N (cosθ µ senθ) m2 g

a1 a2 tg θb) a1=a2=3.32 m/s2 c) µ>0.268

8.14. a)v mg

k

v0

mg k

ekt m

a

g mg k

ekt k

x vlímt

m(vlím v0)

k 1 e

kt m

b) vlím

mg k

8.15. a) s/c b) t 2.996

α x 2.046

vlím

α

8.16. s/c

8.17. a) v 2 gr senθ N 3mg senθ

b) v 2 gr N 3mg

8.18. v0 2 gy0 N 0 (4 y0 1)mg 8.19. a) 0 b) -0.412 m/s2 c) 1.412 m/s2

8.20. a) a0= g tgθ b) 2.63 m/s2

8.21. tgθ= g /a0

8.22. a) 9.7° b) 14.3° c) 18.8°

8.23. a) g / µ b) 4.9 m/s2; 2 h/ g

8.24. a) b)m2

m1

( M m1 m2) g m2 g

2 (m1 m2)8.25. s/c 8.26. 58.2 kg

8.27. a) 70.7 kg b) 100 kg; 141 kgc) 61 kg; 70.7 kg; 15 kgd) 200 kg; 173.2 kge) 173.2 kg; 200 kgf) 193.2 kg; 273.2 kg

8.28. 17.98°; 10.67° (con la vertical)

8.29. a) b) ½mg cotgθ

T mg

2 senθ8.30. 68.786°; 0.842mg 8.31. s/c

9.- Sistemas de referencia enrotación.

9.1. s/c

9.2. vabs=(-14 8 -12); aabs=(-149 59 140)

9.3. a) vide fig. b) vide fig. c) no d) no

9.4. x=V 0t cosω t ; y=-V 0t senω t : x2+ y2=(V 0t )2

Prob. 9.3




9.5.a) (0 Ω R+2ω r 0); (ω 2r -(Ω R+ω r )2/( R-r ) 0 0)b) (ω r senθ Ω R+ω r (1-cosθ) 0);(-ω 2r cosθ-(Ω R+ω r )2/( R-r ) -ω 2r senθ 0)

9.6.a) (-(Ω+ω )r senθ ω R0+(Ω+ω )r cosθ 0);(-ω 2 R0-(Ω+ω )2r cosθ -(Ω+ω )2r senθ 0)b) ω /Ω=r /( R0-r ); (-( R0

2/r - R0+2r )ω 2 0 0)

9.7.

vabs

ω 2 R cosφ

ω 1 R senφ

ω 1 R cosφ

aabs

α2 R cosφ 2ω 1ω 2 R senφ

α1 R senφ (ω 21 ω 22) R cosφ

α1 R cosφ ω 21 R senφ

9.8. a)

v abs

ω r (1 cosθ)

v senθ

v cosθ

a abs

2ω v senθ

v 2

r cosθ ω 2r (1 cosθ)

v2

r senθ

b) (-2ω r 0 v); (0 -v2/r -2ω 2r 0)c) (-ω r -v 0); (2ω v -ω 2r -v2/r )d) (0 0 -v); (0 v2/r 0) e) (-ω r v 0);(-2ω v -ω 2r v2/r )

9.9. (-ω R -2v 0); (4ω v-α R -ω 2 R -v2/r )

9.10. (2v-Ω R 0 0);(0 -3v2/ R-Ω2 R+4Ωv -v2/r )

9.11.

v abs

v(1 r R

cosθ

ω r senθ

ω r cosθ

aabs

2ω v r R

senθ

ω 2r cosθ v2

R (1

r R

cosθ)

ω 2r senθ

9.12.

v2

senθ ω r senθ

v cosθ ω r 2

(1 cosθ)

32 v senθ

v2

2r cosθ ω 2r

2 (1 cosθ) 2ω v cosθ

v 2

r senθ ω 2r senθ ω v senθ

32

v 2

r cosθ

9.13.

v

ω 2r cosθ

v0 cosθ ω 1r senθ

v0 senθ ω 1r cosθ

a

2ω 1ω 2r senθ 2ω 2v0 cosθ

(ω 21 ω 22)r cosθ 2ω 1v0 senθ

ω 21r senθ 2ω 1v0 cosθ

9.14. a) v v ω R cosλ 0

a

ω 2 R senλ cosλ

2ω v senλ

ω 2 R cos2λ

b) F cor 0 2mω v senλ 0

c) v=(-40 355.8 0) m/s; a=(-16.68 -3.75 -19.88) mm/s2; Fcor =(0 3.75 0) N

9.15. 27° 9.16. 0.33 9.17. 112.6 km/h

9.18. a) 16.7 m b) 16.7°

9.19. z ω 2

2 g ( x2 y 2)

9.20. 3’ 21"; plomada

9.21. λ =43° 46’; βmáx=2° 29’

9.22. s/c

9.23. a)

t 1ω

ln l l 2 b2

b

v ω l 2 b2




b) N cor 2mω 2 l 2 b2

9.24. s/c 9.25. 1.75 cm

9.26. a) s/c b) -2.73 cm c) 613 km/h

9.27. a) s/c b) 7.23 µm; 44 mm; 1.7 mm9.28. a) acor =0.0469 cm/s2, Oeste;

F cor =4.69 N, Este b) dcha. meridiano.

9.29. efecto Coriolis; si m=65 kg, dif.ida-vuelta=484 g

9.30. a) 0.34 b) F cf =1332 dyn; F cor =113 dyn

9.31. a) s/c b) 2’ 30" c) 8h 29min 7s

10.- Trabajo y energía.

10.1. a)a 1

213

t ;

v 1

2t

16

t 2 ; x 1

4t 2

118

t 3

b) P 32 t 32 t 2 13 t 3

c) 133.3 J

10.2. a) a 12

13 x ; v 3

3 3 x x2

b) P 33

(3 2 x) 3 x x 2

c) 152.5 mJ

10.3. 6.67 kN 10.4. s/c

10.5. a) 19.739 mN b) 592 mJ; no

10.6. a) helicoidal uniforme, R=mv/qB,

paso b) 0; noh 2π m

qB 2 (v B)

10.7. a) W = pdV b) nRT ln(V 2/V 1)c) ( p1V 1- p2V 2)/(γ -1)

10.8. a) 490.7 N b) 24.9 C.V. c) 5.5 C.V.d) 6.7%

10.9. a) 162 km/h b) 65 km/hc) 294 km/h d) no hay límite.

10.10. 68 kW 10.11. a) 143 W b) -143 W

10.12. a) 1.225 J; 1.225 J b) 1.488 J;1.488 J c) ref. inerciales.

10.13. a) 151.33 erg b) 131.52 ergc) 130 erg d) no

10.14. a) ∇× F=0 b) E p=-( x2 y+ xz3) c) 58 J

10.15. 48π 10.16. a) si b) 4k

10.17. a) F=-k ( x y 0) b) F=-k r c) central;ley de Hooke.

10.18. a) b) 2π Rf( R)C

F d r≠0

10.19. a) ∆ E k

12

m (senθ µ cosθ)2 g 2t 2

b) ∆ E p1

2m (senθ µ cosθ) g 2

t 2

senθc) no; ∆ E =W f

10.20. W 12

mgL (1 senθ0 2 µ cosθ0)

10.21. E p1

4π0

qq′r

10.22. a) b)1

4π 0

q2

l 1

4π 0

2q2

l

10.23. a) F r r 0

r 2 E p,0 e

r /r 0

b) vide tabla c) vide figura; no

d) 0.026; 0.047; 0.210; 38.443; 5.88r 0

10.24. a) s/c b) s/c c) s/c d) vide figura

Prob. 10.23

e) F (r )

12 E p,0

r

r 0

r

12

r 0

r

6

f) r =r 0; r <r 0; r >r 0 g) s/c




10.25. a)

Tabla Prob. 10.23

r /r 0 F (r )/ F (r 0) E p(r )/ E p(r )

2 1.38×10-1 1.84×10-1

4 7.78×10

-3

1.24×10

-2

10 6.79×10-6 1.23×10-5

Prob. 10.24

E k

18π 0

e 2

r E p

14π 0

e 2

r

E 1

8π 0

e 2

r

b) < E k > 1

2 < E p>

10.26. < E k > < E p> 1

4 mω 2 A2 1

4 kA 2

10.27. a) b) E k

12

kR 4 E p14

kR 4

10.28.

a) < E k > n 1

n 3 E < E p>

2n 3

E

b) < E k >=- E ; < E p>=2 E

11.- Conservación de laenergía.

11.1. s/c 11.2. 80.4° 11.3. 2d 11.4. a) E p=mgRcosθ; E k =mgR(1-cosθ)

b) at= g senθ; an=2 g (1-cosθ)c) 48.2° d) mayor

11.5. inicialmente es v F en sentidosopuestos

11.6. 11.7. a) s/c b) s/cv gl /2

11.8. 2.90 m 11.9. s/c

11.10. a) 28.48 m b) si; 12.58 m/s

11.11. a) hn= f nh0 b) -∆ E n=mg (1- f ) f n-1;

-∆ E n/ E n-1=1- f c) 28 botes d) 38.36 s

11.12. a) N =mg (2cosθ-2) b) 38.2°

11.13. a) 8 kN b) 160 kJ c) 80 kJ d) masavariable

11.14. a) b) 30°;vmín 5 gR gR/2

11.15. a) 54.74°; 1.68 m/s b) 0.93 m

11.16. a) vide figura b) pozo de potencial

Prob. 11.16

c) -1.848; -0.765; 0.765; 1.848d) -2.109; 2.109

11.17. a) x=0, E p=0, estable; x=1, E p=3.25,inestable b) vide c) -0.229; 0.455;1.866 d) 1.49 cm e) 1.28 s

11.18. a) -a√2; 0; +a√2

Prob. 11.17

F ( x) a2 E 016a4 x 4a2 x 3 2 x5

(8a4

x4

)2




b) c)v0 v2∞

E 04m

α > 1

1 4 E 20

9mv2∞

d) e) ±a; ±1.87aα >

1 E 0

4mv 2∞

1 4 E 20

9mv 2∞

11.19. a)

Prob. 11.18

Prob. 11.19

E pkx2

2c

2 x 2

b) x2 E k

E 2 ck

k 2 sen(ω t θ0)

c) ω 2πT

2 k m

11.20. a) 13.2 cm/s b) no pasa

11.21. a) (1,2), estable; (-1,-2), inestable;

Prob. 11.21

(-1,2), (1,-2), silla b) (1,3), sillac) (0,0), inestable; x2+ x2=4, establed) (0,0), estable; x2+ y2=9, inestable

11.22. a) E p (ar 2 b) e cr 2 A2 a bcac

b) c) s/c F 2acr (r 2 A2) e cr 2

11.23. a) b) s/c c) s/cv v 20

2 U 0m

11.24. s/c 11.25. a) s/c b) s/c 11.26. s/c

11.27. a) 7.089m0 b) 12.42 c) 3.11 MeV

11.28. a) 1.18 pm b) no

11.29. 28.3 MeV/c2




11.30. a) 28.3 MeV b) 4.26×1024 MeV;190 GW h

11.31. 1.022 MeV

12.- Momento angular.Fuerzas centrales.

12.1. a) p=(4t 6 0) kg m/s; L=(0 0 30-6t 2)kg m2/s b) (0 0 -12t ) m N; igual

12.2. a) (0 0 t 6); (0 0 6t 5) b) (0 0 6t 5)

12.3. a) (0 0 mabω ); (0 0 0) b) fuerza

central; tray. elíptica.

12.4. a) 80 cm/s; 64 kg cm2/s; 64 kerg;3.2 kdyn b) 320 cm/s; 64 kg cm2/s;1024 kerg; 205 kdyn c) 960 kerg

12.5. s/c

12.6. a) r mín=k ; 2α=4k

b)

Prob. 12.6.....a)

vr v sen θ2

vθ v cos θ2

c) ar v2

2k cos4 θ2 aθ v2

2k sen θ2 cos3 θ2

d) at 0 an

v 2

2k cos3 θ

2 ρ 2k

cos3 θ2

12.7. a) F L2

mr 3 K

r 3

b) F L2

mk

2

r 2k

r 3

c) F L2

m

2k 2

r 51

r 3

d) F L 2

m

6k

r 41

r 3

e) F L2 (1 α2)

mr 3 K

r 3

12.8. a) m< E k > n 1n 3

E < E p> 2n 3

E

óv. limitados

b) < E k > E < E p> 2 E

12.9. a) b) F L2

mk 4 r v

v0

k r

c) E p′ 1

2 mv 2

0

k 2

r 2r 2

k 4

12.10. a) L=cte b) c) r =k θ

Prob. 12.9.....c)

Prob. 12.10.....e)

φ (3t /k 2)1/3

d) F

2mk 2

r 5m

r 3

e) E pm2

k 2

r 41

r 2 E p′

mk 2

2r 4

12.11. F K

r 5

12.12. a) b) vide fig. E p14

Kr 4




c)

Prob. 12.12.....b)

E 3

4 KR 4 L R 3 mK

12.13.

a)

Prob. 12.13.....a)

E pk

3r 3 ; r 0

mk

L2 ;

E 0k

6r 30; L0

mk r 0

; inestable

b) E p

kr 2

2 ; r 0

L2

mk

1/4

;

E 0 kr 20 ; L0 r 20 mk ; estable

12.14. a)

Prob. 12.13.....b)

E p′ L 2 mk

2mr 2

b) órb. circular: L2=mk , E =0

c) L2>mk : 1/r = r sen[Ω(θ-θ0)]

L2=mk : 1/r = A (θ-θ0) (espiral)

L2<mk : 1/r = Aexp (Ωθ)+ A exp(-Ωθ)(espiral)

12.15. a) s/c b) F (r ) 4π 2

T 2 mr kr

12.16. a) b)v2 e2

4π 0r L2 me2r

4π 0

c) E p

e2

4π 0r ; E k

e2

8π 0r ;

E e2

8π 0r ; estado ligado

d)

r n 0

h2

πme2 n 2 5.292×10 11 n2 m

E nme4

8 20h

2

1

n2

13.6

n2 eV

e) 52.92 pm; -13.6 eV

12.17. a) T 2 4π 2

GM

M 1 R1 M 2 R2

M 1

R 21

M 2

R22

b) F GMM 1 M 2 M 1 R1 M 2 R2

R2

R 21

R1

R 22

c) 1.55 h; 2.66 mN d) 1.55 h; 95.1 N

12.18. 42 175 km = 6.62 RT

12.19. 16 min 26 s

12.20. a) 225 m/s; 9.95×10-5 rad/s; -8.2 min;6.9 GJ; -13.8 GJ; -6.9 GJb) 1.36×107 m N; 125.2 h c) 81

12.21. a) v0=0, rectilínea (vertical);0<v0<16 676 m/s, elipse, salvo parav0=16 676, circular; v0=16 676 m/s, parábola; v0>16 676 m/s, hipérbola;v0=∞, rectilínea (tangencial); nob) si; ±510 m/s

12.22. 7 369 m/s

12.23. v0>3 127 m/s, hipérbola;v0=3 127 m/s, parábola;v0<3 127 m/s, elipse.

12.24. a) elipseb) =0.21; a=2.53 R; b=2.48 R;r mín=2.00 R; r máx=3.06 R; α=2.42 R




c) =0.19; a=1.68 R; b=1.65 R;r mín=1.36 R; r máx=2.00 R; α=1.62 R

12.25. s/c 12.26. 0.0169 12.27. s/c

Prob. 12.24

12.28. a) 0.1111; 7 426 km; 7 380 mb) 1 h 46 min 6 sc) 6 556 m/s; 8 194 m/s

12.29. a) 0.1109 b) 7 362 km c) 1.75 hd) 6 586 m/s; 8 178 km

12.30. a)a

GMR

2GM Rv20

2 1 Rv2

0 ( Rv20 2GM cos2φ )

G 2 M 2

b) r máx R hmáx a (1 )

c) a=3 211 km; =0.9921; hmáx= 25.95 km

12.31. a) r mín

s 2v40

GM G 2 M 2 s 2v40

b) c) hipérbola (+); noθ 2 arctg GM

sv20

12.32. 330 813 M T

12.33. 1.758×1024 kg; 18.31 h

12.34. a) 8 188 m/s b) 5 732 m/s c) aumen-tar velocidad hasta 6 316 m/sd) 1 h 4 min 58 s e) 38.94°

12.35. t S ab

12.36. a) =1.401; α=135.5×106 km b) hi- pérbola (+) c) 56.44×106 km

12.37.

a) t T tierra

6π (1 cosΘ)3/2

3 tg Θ2

tg3 Θ2

b) Θ=90°; 77.51 d

12.38. a) elipse b) =0.181; α=1.637 R;

Prob. 12.38

r mín=1.386 R; r máx=2.000 R; a=1.693 R;b=1.665 R; c=0.307 R c) no

12.39. a)

Prob. 12.39

Prob. 12.39.....b)

E p

′ L 2 mλ

2mr 2

k

r




b)r

Ω1 cos β (θ θ

0)

con

Ω αβ 2 L2 mλ mk

> 0

α A L2

Amk

β 1 L

L2 mλ > 0

12.40. 262 fm

12.41. a) σ(Θ) = R2/4 b) σt = π R2

12.42. a) s/c b) σt = π R2

12.43. a) s/c b) s/c



B.- Índice alfabético

acción a distancia 152, 161, 179, 180aceleración absoluta 225, 241aceleración angular 109, 122-124, 136,

137, 138, 139, 226, 241aceleración centrípeta 152, 166, 229,

230, 306aceleración complementaria 225aceleración de arrastre 222, 225aceleración de Coriolis 225

aceleración debida a la gravedad 229aceleración gravitatoria aparente 153,165, 238, 239

aceleración gravitatoria efectiva 229,230, 234

aceleración instantánea 93aceleración media 93aceleración normal 96, 97, 123, 137,

225, 228aceleración relativa 158, 225aceleración tangencial 96, 97, 123, 124,

225, 306

acelerómetro 218ácidos nucléicos 4Adams 322adherencia 203, 204adhesión 198adiabática 268adición de velocidades 156afelio 303alcance del proyectil 99, 105álgebra vectorial 17, 19, 32, 41, 64, 335Ampère 88

análisis vectorial 17, 21, 61, 248, 256,261, 336

analogía 53, 136, 282, 284, 312ángulo de dispersión 323-325ángulo de rozamiento 202ángulo formado por dos vectores 26ángulo sólido 325ángulos directores 26aniquilación 290, 292anticiclón 233apantallamiento 326

apantallamiento de la carga nuclear 326

apocentro 317, 319apogeo 329-331área de contacto 202-204área de la elipse 321areolar 303, 307, 320, 321Aristóteles 87, 144, 146

Aristóteles (384-322 a.c.) 144armonía 1, 320Arquímedes 327

arrastre 222-225, 269ascensión recta 317, 318, 331asíntotas de la hipérbola 323astrofísica 14Atlante 265Atlas 265átomo de Hidrógeno 270, 302, 328, 329Avogadro 296axial 27axoides 109, 121, 122, 129 balanza 166, 182, 184, 243, 289

bariones 195 barn 324 barrera de potencial 279 base vectorial 19, 22-24, 34-39, 89, 130,

131, 213Bernoulli 88, 205Biología 2, 13, 14Bohr 9, 270, 319, 322, 328 borrasca 233 bóveda celeste 265Bowden 203

Brahe 320 brazo 42, 45, 140, 241, 298, 299 brazo de la fuerza 298 brazo del par 45caída libre 7, 15, 144, 165, 166, 221,

235, 236, 341cálculo de fluxiones 146, 191cálculo diferencial 146, 191cálculo vectorial 39cambio de base vectorial 19, 34, 35cambio de referencial 210

campo conservativo 68, 80, 257




352 Apéndice B.- Índice alfabético.

campo de fuerzas 74, 255-262, 264, 266,268, 269, 284, 307, 322, 327,328, 331

campo de fuerzas centrales 257, 258,266, 322, 327, 331

campo de potencial 261

campo eléctrico 19, 68, 83, 245, 256campo escalar 61, 62, 71-74, 79, 80, 82,

284campo estacionario 62campo gravitatorio 48, 61, 71, 84, 99,

175, 180, 207, 242, 245, 252,256, 257, 260, 262-264, 273

campo gravitatorio de la Tierra 175campo gravitatorio uniforme 48campo irrotacional 79, 80campo solenoidal 76, 77

campo uniforme 62campo vectorial 61, 63, 65-80, 82-84,256

campos de fuerzas centrales 258cantidad de movimiento 141, 161, 168,

169, 170, 171, 177-181, 183,184, 246, 253, 265, 274, 275,282, 288, 289, 297-301, 327,341

cantidad de movimiento de una partícula168, 177, 299, 300

Caos 1, 15

carga eléctrica 71, 187, 191, 192, 194,197, 216, 245, 256, 260, 270,281, 288, 316, 328

Carnot 88caucho 202celeridad 92-94, 97, 105, 107, 112, 113,

123, 136, 137, 139, 148, 149,159, 166, 183, 218, 237, 241,268, 280, 294, 295, 305, 327

celeridad angular 113, 123, 136, 237,241, 268

célula 4, 5centro de curvatura 96, 134centro de dispersión 324centro de fuerzas 229, 257, 262, 271,

302, 303, 304, 307, 309-311,313-317, 322, 323, 327, 328,331

centro de gravedad 48, 242centro de reducción 43-46, 49-51, 58,

120centro de un sistema de vectores parale-

los 41, 47, 48, 56

centro del campo 257centro instantáneo de rotación 88, 128,

130, 133Chasles 109, 120

choque 179, 183, 184, 246, 288, 295choques 179, 181cicloide 88Ciencia 1-3, 6-15, 87, 145, 146, 165,

288, 289Ciencia y Tecnología 14

cinemática de la partícula 85, 87, 337cinemática del sólido rígido 85, 109,

240, 338circulación 61, 66-69, 73, 74, 78, 79, 83,

233, 247, 256-258, 261circulación de un campo vectorial 79circunferencias absidales 315Clausius 266coeficiente de rozamiento 201, 202, 204,

205, 216-218, 220, 242, 243,269, 270

coeficiente de rozamiento cinético 201,202, 217coeficiente de rozamiento estático 201,

202, 220, 242coeficiente de viscosidad 206, 217cohesión 198cohetes 165colisión frontal 331colisiones 170, 171, 246, 301, 323colisiones elásticas 246combinación lineal 39, 205

cometas 5componentes de la fuerza 248, 261componentes de la velocidad 139, 236componentes de un vector 19, 22, 35,

36, 37, 40, 64componentes intrínsecas 87, 95-97, 106,

139, 327componentes intrínsecas de la aceleración

87, 95, 97, 106, 139composición de rotaciones 109, 115conceptos físicos 1, 10, 11, 246condición cinemática de rigidez 109,

110, 111, 115, 136condición de equilibrio 215condición de paralelismo 28, 47, 63condición de perpendicularidad 25condición geométrica de rigidez 109,

110, 111, 112condiciones iniciales 101, 236, 245, 276,

279-281, 310, 313, 330configuración de equilibrio 264cónicas 302, 317-319conmensurables 315

cono fijo 122cono móvil 122conservación de la energía 141, 273,

274, 275-277, 280, 281,



Apéndice B.- Índice alfabético. 353

284, 286, 287, 288, 292,297, 307, 311, 345

conservación de la masa 273, 289, 290,292

conservación del momento angular 274constante de Coulomb 192

constante de gravitación universal 190,191

constante de Planck 328constante del movimiento 276, 280, 281,

302, 303, 313constante elástica 270, 293coordenada radial 267, 269, 304, 308coordenadas cartesianas 34, 36, 38, 47,

48, 55, 62, 63, 66, 75, 77, 78,92, 94, 171, 248, 261, 280, 282,304

coordenadas polares 20, 261, 262, 269,297, 303, 304, 306, 307, 309,311, 312, 328, 329

coordenadas polares planas 20, 261, 262,269, 297, 303, 304, 306, 307,309, 311, 329

Copérnico 6corrientes marinas 233cosenos directores 26coulomb 192, 200, 247, 270, 328Cowan 288crítica del concepto de energía 273, 288

cuerda tensa 252curvatura 96, 97, 99, 105-107, 134, 139,

232, 240, 327D’Alembert 88, 187, 214, 215De Motu Corporum Percussione 246De Rerum Natura 289definición operacional 11, 146deformación elástica 201derivada de un vector 61, 63-65, 82derivada direccional 72, 83, 261derivada temporal 125, 223, 224, 266,

311, 327descubrimiento del neutrón 13desintegración radiactiva 290día sidéreo 152, 159día solar medio 159diagramas de energía 297, 312Diálogo 157diferencia de potencial 296diferencia de vectores 19, 21dina 167, 170, 251, 298dinámica de la partícula 141, 297

dinámica relativista 290dinamómetro 150, 161, 162, 166, 176,

212, 229dirección de la plomada 231, 242

direcciones ortogonales 127directriz 19, 58, 298, 299, 302, 304, 318,

323disociación 315dispersión 297, 306, 322-326, 331dispersión de partículas 306, 322, 325,

326, 331dispersión de partículas alfa 306, 326dispersión de partículas cargadas 322,

325divergencia de un campo vectorial 61,

74, 75, 76, 80doble producto vectorial 19, 32, 40Doppler 153Eclíptica 331ecuación de continuidad 84ecuación de estado 267

ecuación de la órbita 310, 317ecuación de la trayectoria 91, 105, 107,248, 309, 311

ecuación del movimiento 105, 214, 227,228, 232, 234, 275, 276, 311,312

ecuación diferencial de la órbita 310,317

ecuación diferencial de segundo orden187, 245

ecuaciones de transformación de Galileo155, 156

ecuaciones diferenciales 63Ecuador 152, 153, 183, 230, 231, 233,

242, 243, 329efecto Doppler 153efecto gravitatorio 229Einstein 3, 11, 12, 145, 158, 169, 290,

292eje de rotación de la Tierra 239eje de simetría 138, 139eje instantáneo de rotación 109, 119,

120, 121, 122, 127, 128, 137,

138, 139, 222, 225, 226eje instantáneo de rotación y deslizamien-

to 109, 119-122, 137, 139eje polar 153, 159, 242, 304, 323elasticidad 198electrón 3, 4, 144, 184, 193, 196, 266,

270, 280, 281, 296, 302, 306,328

electrón-Voltio 296elemento de superficie 69, 70, 78, 303elemento de volumen 74-77

elementos químicos 4elipse 19, 40, 83, 105, 107, 182, 311,317, 318-321, 328, 348, 349

energía cinética 245, 246, 252-255, 264,265, 266, 268-271, 273-275,




278, 279, 285-287, 291,294, 295, 296, 312, 314,319, 327

energía de disociación 315energía de enlace 296energía de interacción 195, 247

energía de ionización 329energía en reposo 292energía interna 285-287energía mecánica 273, 274, 284-287energía potencial 245, 252, 256, 259,

260, 261-267, 269-271, 273,274, 275-278, 280-288, 291,293, 294, 295, 311-316, 328

energía potencial centrífuga 312, 313energía potencial como energía de confi-

guración 245, 264

energía potencial efectiva 311-316, 328energía potencial elástica 252, 263, 264,291

energía potencial electrostática 270energía potencial gravitatoria 252, 262,

263, 264, 270, 273energía total 270, 271, 274-278, 285,

287, 292, 295, 307, 313, 314,319, 323, 327, 328

envolvente 106Epicuro 179equilibrio de la partícula 282, 283, 295equilibrio estable 278, 283, 295equilibrio indiferente 284equilibrio inestable 278, 281, 283, 294equilibrio metaestable 278ergio 251esclerónoma 208espacio absoluto 11, 88espacio curvo 21espacio vectorial 32, 33, 89espacio y tiempo 13espiral 327, 348espiral de Arquímedes 327espiral logarítmica 327estabilidad del equilibrio 273, 277estado fundamental 328estática de la partícula 187, 214estrellas fijas 154, 221estudio experimental del rozamiento 200éter 9, 10Euler 88excentricidad 107, 317, 318, 320, 323,

328, 329-331experimentación 7, 8, 88, 144, 162, 201,

202experimento de Rutherford 331

fenómenos físicos 2, 37, 50, 87, 88, 145,157, 165

Fermat 15fermi 194, 196Filosofía Natural 2, 146, 165Física Atómica 87, 145, 288, 296, 324,

325Física Atómica y Nuclear 87, 145, 288,

296, 324, 325Física Clásica 13Física Moderna 10, 13Física Nuclear 195, 247, 275, 326, 331fisión 13, 290flecha del torsor 50flujo de un campo vectorial 61, 69, 70flujo entrante 70, 75flujo saliente 70

foco 19, 317, 318, 323, 327focos de la elipse 311fórmula de Lorentz 193, 268fotón 179, 292Foucault 221, 237-240, 243Franklin 192frecuencia 205, 229, 230, 275frecuencia angular 230fricción 185, 188, 206, 212, 219, 220,

286, 329fuerza atractiva 192, 194, 197, 311, 317,

328, 331fuerza central 257, 258, 261-263, 270,271, 297, 302, 304, 306, 307,311, 312, 313, 315, 319, 320,327, 328, 330, 331, 346

fuerza centrífuga 221, 228-230, 232,312, 315

fuerza centrípeta 229fuerza conservativa 262-264, 282, 286,

287, 295, 311, 312fuerza de Coriolis 221, 228, 231-233,

235, 236, 238, 242, 243fuerza de inercia 211-213fuerza de ligadura 200, 208, 213, 218fuerza de reacción 208fuerza de rozamiento 148, 149, 182,

188, 198-206, 257, 259, 285,286

fuerza de van der Waals 197fuerza eléctrica 160, 191, 194fuerza electromagnética 191, 193fuerza electrostática 191-194, 270, 306,

316

fuerza externa 149, 150, 197fuerza ficticia 212, 228, 229, 231, 232,

312




fuerza gravitatoria 71, 166, 181,188-191, 193, 194, 263, 269,302, 321

fuerza inercial 228fuerza magnética 191, 192fuerza normal 188, 200, 201, 237

fuerza repulsiva 194, 197, 316fuerza resultante 162, 165, 168-170, 175,

198, 206, 210, 214, 267, 268,274, 282, 285, 287, 294

fuerza y masa 146, 165fuerzas activas 206, 208, 209fuerzas aplicadas a un sólido rígido 298fuerzas centrales 141, 181, 257, 258,

266, 297, 302, 303, 306, 321,322, 327, 331, 346

fuerzas conservativas 245, 255, 256,

273, 274, 278, 284-287fuerzas de cohesión 198fuerzas de contacto 188, 198fuerzas de corto alcance 189fuerzas de largo alcance 189, 326fuerzas de ligadura 187, 206, 208, 209fuerzas dependientes de la velocidad 181fuerzas elásticas 198, 206fuerzas fundamentales 187-189, 192,

196, 204, 258, 259fuerzas moleculares 187, 196-198, 203fuerzas muertas 253fuerzas no conservativas 273, 284-287fuerzas nucleares 187, 189, 194-197, 296fuerzas pasivas 198, 209fuerzas reales 209-211, 213, 221, 227,

228fuerzas vivas 253-255función arbitraria 84, 269función continua 62, 66, 71función escalar de punto 68, 73, 75, 256,

258, 261función potencial 61, 68, 73, 74, 83, 256función vectorial de punto 77, 79Galileo 2, 3, 6, 7, 14, 15, 87, 143-149,

154-160, 171, 173, 174, 254,289

Galileo Galilei (1564-1642) 146Geología 13, 14geometría euclidiana 20, 21Gibbs 21Gorgona 265grupo 5, 32, 33, 118, 119, 126, 127, 154grupo abeliano 32, 33

grupo cinemático 118, 119, 126, 127hadrones 195, 196Hamilton 80Heaviside 21

Heisenberg 9hélice 83, 118, 119, 139, 241Helmholtz 273hipérbola 317-320, 323, 327, 329, 348,

349hipótesis 8, 21, 49, 88, 99, 144, 158,

159, 173, 179, 188, 191, 217,257

hodógrafa 94, 107Hooke 162, 190, 198, 246, 263, 271,

344Horlogium Oscillatorum 293Huygens 171, 179, 246, 282, 293Ímpetu 168impulsión 161, 169-171, 183, 253, 297,

300, 301impulsión angular 297, 300, 301

ingravidez 161, 165, 166, 182, 183integral curvilínea 66, 67, 70, 247, 248integral de superficie 69, 70, 75, 77integral primera del movimiento 275intensidad de un campo de fuerzas 261intensidad del campo gravitatorio 242intensidad del haz 325interacción a distancia 180, 264interacción débil 187, 189, 194, 196interacción fuerte 189, 194, 196interacción mutua 175, 177, 307

interacción universal 196interacciones fundamentales 5, 188, 189,195

invariancia de las leyes de la mecánica161, 171, 173

invariante escalar 44-46, 50-52, 57, 119,120, 127, 136

invariante vectorial 44, 117isótopos 4Joule 251, 273, 288, 291 julio 251, 289

Júpiter 146, 242, 322kaones 195Kaufmann 290Kelvin 9Kepler 6, 190, 216, 297, 302, 303, 311,

320, 321, 322Johannes Kepler (1571-1630) 320

kilográmetro 251, 298kilogramo 161, 163, 166, 167, 170, 243,

251, 298kilogramo patrón 161, 163, 167kilopondio 167kilovatio 251kilovatio-hora 251La Nueva Física 6Lagrange 208




Landolt 289, 290latitud 165, 166, 229, 230, 236, 237,

239, 242, 243latus rectum 317, 327, 331Lavoisier 289Leibniz 246, 253

Lennard-Jones 270Leonardo da Vinci 2, 200leptón 196leptones 195, 196Leverrier 322ley asociativa 32, 33ley conmutativa 32, 34ley de adición de velocidades 156ley de Gauss 337ley de Hooke 162, 198, 246, 263, 271,

344

ley de la acción-reacción 161, 179-181,246, 265

ley de la elasticidad 198ley de la Gravitación Universal 2, 190,

311, 320ley de la inercia 141, 143, 146-152, 154,

161, 168, 340ley de las áreas 297, 302ley de Stokes 205ley distributiva 33leyes de conservación 275, 292

leyes de Kepler 190, 297, 320, 322leyes de la mecánica 12, 143, 145, 146,161, 171, 173, 195

leyes de las fuerzas 145, 146, 187-189,275

leyes de Maxwell 159, 174leyes del movimiento 2, 136, 143, 145,

146, 147, 149, 165, 181, 187,188, 190, 209, 221, 245, 275,309, 320, 322

leyes empíricas 189, 205, 320leyes macroscópicas 200ligadura 187, 200, 206-209, 213, 218,

267ligaduras 206-209, 294línea de acción 257, 298, 302líneas de fuerza 71, 256líneas equiescalares 62líneas vectoriales 63, 69-71, 73, 75, 82,

256longitud de onda 10Lorentz 159, 174, 193, 268Lowel 322

lubricantes 205Lucrecio 289Luna 6, 90, 188, 190, 191, 330macroscópico 3, 200, 203

magnitud vectorial 20, 23, 61, 125, 169,298, 301

magnitudes escalares 19, 70magnitudes vectoriales 19, 20, 34, 131,

171Marte 144, 320, 330

masa en reposo 169, 290, 292masa gravitatoria 71, 256, 260masa inercial 88masa relativista 290, 296masa variable 345masa y energía 273, 289matriz 24, 26, 35Maxwell 159, 174Mayer 273, 288Mecánica Clásica 88, 89, 141, 143-146,

159, 164, 168, 169, 187, 188,

196, 211, 245, 306, 340Mecánica Cuántica 145, 195, 196, 326Mecánica Matricial 9Mecánica Relativista 145, 147, 155, 169Mercurio 10, 181mesón 4mesones 195metales 204método científico 1, 5, 6, 13-15Meyer 289Michelson 158

microscópico 3, 187, 200, 203modelo mecánico 9modelos 1, 9, 10, 15modelos abstractos 10modelos mecánicos 9módulo de la aceleración 94, 123, 230módulo de la velocidad 92, 93, 100,

113, 119, 120, 134, 305, 307,314, 322

módulo de un vector 26, 36mol 4, 5, 13, 145, 188, 196-198, 203,

204, 205-207, 270, 280, 286,292, 296, 307molécula de Hidrógeno 280moléculas no-polares 197moléculas polares 196, 197momento angular 274, 275, 297-303,

307-310, 313, 315, 316, 319,323, 327, 328, 346

definición 298momento angular de una partícula 297,

299, 300, 301momento angular orbital 328momento cinético

véase: momento angular 298momento de la resultante 44, 51, 57momento de un par 45




momento de un vector 41-44, 53, 297,299

momento de un vector respecto a un eje41, 42

momento de un vector respecto a un punto 41

momento de una fuerza 297-299momento dinámico 298, 301momento dipolar 145, 197momento resultante 43-50, 52, 53, 57,

58, 117, 118momento resultante general 43, 46, 50Morley 158móvil perpetuo 275movimiento absoluto 157, 158movimiento angular 308movimiento armónico 277

movimiento armónico simple 277movimiento circular 113, 135, 151, 268,305, 306

movimiento curvilíneo 97, 149, 151, 229movimiento de los planetas 6, 12, 146,

320, 322movimiento de rodadura 121movimiento de rotación 109, 113, 115,

117, 118, 134-136, 138, 153,233, 237, 241, 300

movimiento de rotación del sólido rígido113, 136

movimiento de traslación 89, 109, 111,112, 117, 118, 128, 173, 210,228

movimiento de traslación del sólidorígido 112

movimiento de un proyectil 99movimiento del sólido rígido 109, 117,

118, 127, 128movimiento general del sólido rígido

119, 122, 136movimiento helicoidal 109, 118-120,

122, 137movimiento interno 198movimiento planetario 302, 303, 306,

320movimiento radial 308, 310-313, 315movimiento rectilíneo 93, 101, 102, 101,

105, 136, 147, 149, 150, 165,276, 277, 311, 312

movimiento relativo 90, 102, 126, 155,156, 158, 173, 199, 202, 221,222, 232, 237

movimiento relativo a la Tierra 221,232, 237

movimiento rototraslatorio 109, 117,118, 120

movimiento uniforme 98, 143, 158, 199

movimiento uniformemente acelerado125, 150, 226

muelle 150, 161-163, 181, 188, 189,212, 246, 263-265, 270, 293

Mundo 1-3, 7, 8, 12, 15, 143muones 195

Naturaleza 1-3, 6-8, 11, 13-15, 24, 27,32, 68, 71, 87, 88, 141, 144,145, 149, 158, 163, 181, 187,189, 194, 198, 201, 204-206,221, 238, 245, 253, 256, 264,267, 273, 288, 289, 302, 306,316, 329, 341

Neptuno 322neutrino 179, 184, 196, 288neutrón 3, 4, 13, 179, 194, 196, 296neutrones 4, 5, 189, 194, 195, 296 Newton 2, 3, 6, 9-12, 20, 141, 143, 144,

145-147, 149, 151, 158, 159,161-175, 177-181, 187, 189,190, 191, 200, 205, 209, 211,212, 213, 216, 221, 229, 245,246, 251, 273, 275, 282, 289,298, 306, 307, 309, 311, 320,322, 341

Sir Isaac Newton (1642-1727) 146nieve carbónica 205núcleo atómico 3, 4, 12, 13, 189, 193,

194, 306, 322, 326

nucleón 9, 194nucleones 3, 189, 194-196, 270número de Avogadro 296observación 6-8, 10, 143, 148, 149, 158,

201observador inercial 150, 230, 232, 237observador no-inercial 150, 209, 211,

228, 229, 232odómetro 94ondas sonoras 288operador 61, 80, 125

operador nabbla 61, 80operador vectorial 80órbitas circulares 9, 329órbitas elípticas 297, 303, 319, 320órbitas hiperbólicas 297, 322órbitas limitadas 315órbitas planas 297, 302origen de momentos 299, 300, 302 paquete de energía 292 par de fuerzas 57 par de rotaciones 116, 117

par de vectores 41, 45, 49, 51 parábola 99, 100, 106, 207, 218, 317,318, 319, 320, 327, 348

parámetro de impacto 295, 296, 323,324, 325, 326, 330, 331




partícula alfa 306 partícula libre 148-150, 154, 168, 215,

301, 302 partículas elementales 3, 13, 179, 188,

189, 193-196, 275, 288, 290 partículas raras 196

Pauli 288 péndulo cónico 229 péndulo de Foucault 221, 237-240, 243 péndulo simple 182, 293 pequeñas oscilaciones 112, 182, 239,

295 peralte 242 pericentro 316, 317, 319, 323, 327 perigeo 329-331 perihelio 181, 303 periodo 13, 152, 154, 182, 183, 216,

237, 242, 265, 266, 271, 295,315, 321, 322, 328-330 periodo de revolución 152, 242, 315,

321, 322, 329, 330 permitividad del vacío 192, 270, 328Perseo 265 peso aparente 161, 165, 166, 183, 242 peso real 183 piones 195 pivotamiento 109, 126, 127Planck 145, 328

planetas 3-6, 12, 143, 145, 146, 165,179, 303, 306, 311, 320-322 plano central 41, 55, 56, 59 plano de oscilación 237-239, 243 plano del movimiento 128-130, 283,

304, 309 plano normal 40, 54, 55, 243 plano osculador 95, 97, 99, 106 planos del movimiento 127, 128 plasma 4Platón 6, 144

plomada 218, 230, 231, 242, 343Plutón 322Poincaré 10, 158 poise 206 polea 105, 185, 217 polo 43, 46, 128-132, 153, 232, 233,

237, 329 polo Norte 232, 233, 237, 329Poncelet 109, 121, 122 positrón 296 potencia 2, 197, 205, 245, 250, 251,

267, 268, 269, 328 potencia instantánea 250 potencia media 250 potencial 61, 68, 73, 74, 79, 83, 84, 195,

245, 252, 256, 259-267,

2 6 9 - 2 7 1 , 2 7 3 - 2 8 8 ,291-296, 307, 311, 312,313 -316 , 327 -329 , 331 ,345

potencial de Yukawa 195, 270 pozo de potencial 279, 283, 295, 296,

345 pozo rectangular 331 precesión 115, 181, 237, 239, 331 precesión del péndulo de Foucault 239 precesión del perihelio 181 primera ley de Kepler 302, 311, 321 principio de conservación del momento

angular 297 principio de D’Alembert 187, 214, 215 principio de equivalencia 291 principio de Fermat 15

principio de liberación de Lagrange 208 principio de relatividad 143, 156-159,254

principio de relatividad de Galileo 143,156, 158, 254

principio de superposición 109, 114, 115 producto escalar 19, 24-27, 35, 36, 39,

53, 66, 69, 71, 110, 119, 247,248

producto mixto 19, 30, 31 producto vectorial 19, 27-30, 32, 36, 39,

40, 42, 53, 97, 136, 297, 298,299, 302

puntos absidales 315, 317, 319radiación 189, 288, 296radiación electromagnética 288, 296radio de curvatura 96, 97, 105, 106, 134,

327radio del universo 5radio vector 302, 303, 316, 320, 321,

328ramas de la Física 1, 12reacción normal 148, 175, 198, 202, 208

reacción química 289reacción vincular 206, 213reacciones 164, 242, 289, 290, 292reacciones nucleares 290reacciones químicas 164, 289, 292recta directriz 58, 298, 299, 302, 304,

323reducción canónica 50, 51referencial absoluto 222referencial del laboratorio 153, 154, 221,

232, 235, 237-239

referencial inercial 143, 150-154, 160,178, 198, 210, 211, 213-215,221, 227-229, 232, 234, 237,240, 252, 254, 297, 302

referencial móvil 133, 222-228, 232




referencial no-inercial 151, 210, 211,213, 221, 228, 230, 231

referencial relativo 222referencial solidario 127regla de la mano derecha 29, 45, 114,

298, 299

regla del tornillo 27, 114Reines 288relatividad del movimiento 87, 88representación vectorial de superficies

19, 29resultante de un sistema de vectores 44,

52, 57, 58rigidez 109-112, 115, 136rodadura 109, 121, 122, 126-128, 132,

138, 200, 338rotación de la Tierra 99, 153, 165, 183,

232, 237, 239, 240, 329rotación de pivotamiento 127rotación de rodadura 127rotación intrínseca 115rotacional 61, 77-80, 258, 284, 312rotacional de un campo vectorial 61, 77,

78, 79, 80rotaciones 34, 36, 37, 109, 115-117,

120, 121, 127, 136, 137, 172,221

rozamiento cinético 199, 201, 202, 204,217

rozamiento de Newton 205rozamiento de Stokes 205rozamiento estático 199-202, 204, 216,

218, 220, 242rueda sin deslizar 127, 138, 139Rutherford 297, 306, 322, 324, 326, 331satélites de Júpiter 146Schrödinger 9sección eficaz 297, 324-326, 331sección eficaz de dispersión 297, 324,

325

sección eficaz de Rutherford 326sección eficaz diferencial 325, 331sección eficaz total 325, 326, 331sección recta 324secciones cónicas 302, 318segunda ley de Kepler 303, 321, 322segundo 21, 33, 36, 44, 45, 68, 76, 79,

82, 92, 95, 113, 119, 122, 130,132 145 150 158-160 170

simetría 138, 139, 171simetría de las leyes de la mecánica 171sistema aislado 178sistema cerrado 289, 292sistema cgs 167, 251, 253sistema de fuerzas 57

sistema de referencia 38, 88, 89, 172,173, 174, 221

sistema de referencia inercial 221sistema del laboratorio 152Sistema Internacional 166, 192, 251sistema mks 166, 253sistema solar 5, 153, 154, 165, 232, 246,

266, 320-322sistema técnico 167, 251, 298sistemas de partículas 214, 274, 288sistemas de unidades 161, 166, 251

sistemas de vectores 41, 43, 48, 49, 54,58

sistemas de vectores deslizantes 41, 43,49, 58

sistemas de vectores equivalentes 41, 48Sobre la electrodinámica 290Sol 3, 5, 6, 88, 90, 153, 154, 159, 179,

180, 189, 216, 232, 246, 296,302, 303, 306, 311, 320-322,330, 331

sólido rígido 20, 85, 109-122, 125, 127,128, 130, 134-137, 139, 214,222, 224, 225, 240, 298, 338

Stokes 61, 78, 79, 83, 205suma de vectores 22, 24sumideros 71, 84superficie libre 217, 242superficie lisa ideal 148superficies equiescalares 62, 82superficies equipotenciales 280, 283superposición de movimientos 109, 114suspensión 216, 229, 237, 293Taylor 6, 77temperatura 8, 10, 11, 19, 61, 164, 204,

206, 268, 285, 286tensión 8, 176, 182-185, 198, 212, 217,

219, 229, 230, 237, 238, 293,294, 327, 329

tensión superficial 8, 198teorema de Chasles 109, 120teorema de Gauss 61, 76, 84t d l tid d d i i t

Lecciones de Física 2-Mecánica

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