LECCIONES DEL CURSO DE MODELACIÓN MATEMÁTICA Y...
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LECCIONES DEL CURSO DE MODELACIÓN MATEMÁTICA Y COMPUTACIONAL POSGRADOS DE CIENCIAS DE LA TIERRA Y DE CIENCIA E INGENIERÍA DE LA COMPUTACIÓN UNAM AUTOR: ISMAEL HERRERA REVILLA 1
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LECCIONES DEL
CURSO DE MODELACIÓN
MATEMÁTICA Y COMPUTACIONAL POSGRADOS DE
CIENCIAS DE LA TIERRA
Y DE
CIENCIA E INGENIERÍA DE LA
COMPUTACIÓN
UNAM
AUTOR:
ISMAEL HERRERA REVILLA 1
Basado en el Libro
‘‘Mathematical Modeling in
Science and Engineering:
An Axiomatic Approach’’ Por
Ismael Herrera y George F. Pinder
2
3
John Wiley
2012
CAPÍTULO 9
4
ELASTICIDAD LINEAL
5
BIBLIOGRAFÍA
6
1. Atanackovic, T.M. and A. Guran, Theory of Elasticity for Scientists and
Engineers, Springer-Verlag, Berlin, 2000.
2. Atkin, R.J., An Introduction to the Theory of Elasticity, 3. Longman, London,
1980.
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5. Coleman, B.D., M.E. Gurtin, I. Herrera, and C. Truesdell, Wave Propagation
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2001.
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1975.
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11. Grove, D.B. and K.G. Stollenwerk, Computer Model of One-Dimensional
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7
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13. Gurtin, M. E., An Introduction to Continuum Mechanics, Academic
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14. Herrera, I.and M.E. Gurtin, A correspondence principle for
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18. Marsden, J.E. and T.R.J. Hughes, Mathematical Foundations of
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19. Muskhelishvili, N.L., Some Basic Problems of the Mathematical
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20. Sokolnikoff, LS., Mathematical Theory of Elasticity, McGraw-Hill, New
York, 1956.
21. Yeh, H. and J.L. Abrams, Principles of Mechanics of Solids and
Fluids, Vol. 1: Particle and Rigid-Body Mechanics, McGraw-Hill, New
York, 1960.
PARTE I
8
TEORÍA GENERAL
DE LA
ELASTICIDAD LINEAL
9
A.
INTRODUCCIÓN
AL CAPÍTULO
CARACTERÍSTICAS COMPARTIDAS POR SÓLIDOS Y LÍQUIDOS
Son muchas. En particular, la familia de
propiedades extensivas en que se basan sus
modelos matemáticos son las mismas:
● Masa
● Momento lineal
● Momento angular
● Energía mecánica
● Energía interna
NOTA.- En lo que sigue el balance de momento
angular se reemplaza por la simetría del tensor
de esfuerzos
10
LAS DIFERENCIAS ENTRE SÓLIDOS Y FLUIDOS
Una diferencia fundamental entre sólidos y fluidos
radica en las características de las ecuaciones
constitutivas que tipifican a cada una de estas
amplias clases de sistemas continuos. Las fuerzas
cuando actúan tanto en los sólidos como en los
fluidos causan movimientos de las partículas que los
forman. A las relaciones que las especifican se les
llama ecuaciones constitutivas. La diferencia
fundamental que distingue a los sólidos de los
fluidos radica en las ecuaciones constitutivas que
gobiernan su comportamiento.
11
CONTENIDO DE ESTE CAPÌTULO
● Las relaciones esfuerzo deformación de los
sólidos pueden ser muy diversas
● Dos clases muy amplias de tales relaciones
corresponden a los materiales elásticos y visco
elásticos
● En este capítulo nos ocuparemos solamente de
materiales elásticos
● En particular, se presentará la teoría lineal de la
elasticidad. Sin embargo, el punto de partida será
la teoría general de los sólidos elásticos, llamada
‘Elasticidad Finita’
12
13
B.
DESPLAZAMIENTOS Y SU
CARACTERIZACIÓN
14
EL DESPLAZAMIENTO ES :
EL GRADIENTE DE LA POSICIÓN :
,
+, ,
, ,
EL GRADIENTE DEL DESPLAZAMIENTO
, , ,
X
X
F pX t
p X uX t X t
u p XX t X t
H u FX t X t X t
15
2
EL GRADIENTE DEL DESPLAZAMIENTO ES :
O SIMPLEMENTE
ADEMÁS
ES DECIR
,
,
i i k
j k j
i i k
j k j
i i
j j
X
O
u u pp X t
X p X
u u p
X p X
u uH
X x
u X t
2 ,
x Ou HX t
16
31 2
1 1 1
31 2
2 2 2
1
EL GRADIENTE INFINITESIMAL DE LAS DEFORMACIONES
Para el en elasticidad finita se usa la notación
X
gradiente del desplazamiento,
uu u
X X X
uu uH u
X X X
u
32
3 3 3
31 2
1 1 1
31 2
2 2 2
31 2
3 3 3
Sin embargo en la , se usa la notación
x
uu
X X X
teoría lineal de la elasticidad
uu u
x x x
uu uH u
x x x
uu u
x x x
A esta última matriz se le llama el
En lo sigue, en que tratamos la exclusivamente, reservamos para
el
gradiente infinitesimal del desplazamiento.
teoría lineal H
gradiente infinitesimal del desp
También, el subíndice en será
innecesario pues las derivadas espaciales se tomarán siempre con respecto a . xlazamiento. u
x
17
La descomposición de en su parte simétrica y antisimétrica la
escribiremos en la forma
=
Donde
1 1=
2 2
1 1=
2 2
T T
x x
T
x
H
H E W
E H H u u
W H H
DESCOMPOSICIÓN DE LAS DEFORMACIONES INFINITESIMALES
Además, se usará la notación
y
Por lo que
1 1 y
2 2
A los tensores y se les llama de de
T
x
ij ij
j ji i
ij ij
j i j i
u u
e wE W
u uu ue w
x x x x
E W
formaciones unitarias y
rotaciones infinitesimales, respectivamente
18
EL TENSOR FINITO DE DEFORMACIONES UNITARIAS
EL TENSOR INFINITESIMAL DE DEFORMACIONES UNITARIAS
1
, , 2
1
, , 2
T
T
D X t F F X t
E X t u u x t
19
00
00
DEFORMACIONES FINITAS UNITARIAS RÍGIDAS
AQUÍ ES UNA ROTACIÓN
DEFORMACIONES INFINITESIMALES UNITARIAS RÍGIDAS
LAS ROTACIONES INFINITE
, 0;
, 0;
Q
D X t p X y Q X X
E X t p X y W x x
SIMALES SATISFACEN = 0T
W W
20
DESCOMPOSICIÓN DEL GRADIENTE DE DESPLAZAMIENTOS
DONDE
Y
1 1
+ = 2 2
1 1
2 2
T T
T T
u u u u u E W
E u u W u u
21
C.
MATERIALES SIMPLES
EL TENSOR DE ESFUERZOS
22
11 12 13
21 22 23
31 32 33
Una clase general de materiales es la de los materiales simples. Un material es simple si y solo si su tensor de esfuerzos, en cada tiempo y en cada punto, está determinado univocamente por el gradiente de desplazamientos, en ese punto y en ese tiempo; así:
23
F HS S
24
RELACIONES ESFUERZO DEFORMACIÓN PARA
MATERIALES ELÁSTICOS
.
,
El esfuerzo sólo depende del gradiente del desplazamiento
Además los movimientos rígidos no
F HS S
NOTA :
0
producen esfuerzos
En lo que sigue se supone que la configuración de
referencia es libre de esfuerzos; es decir,
S
25
D.
EL SÓLIDO ELÁSTICO
LINEAL
26
Definimos al como
Cuando se le aplica a una matriz de 3 3 ( ),
la transforma en ot
ijpqCC
"tensor elástico"
u xq p
EL TENSOR ELÁSTICO
ra matriz de 3 3 ( ) ij
27
El esfuerzo producido por la rotación infinitesimal
1
2en notación indicial es :
1 1
2 2
T
x x
p q q p ijij ijpq
W u u
u x u x CCu
LAS ROTACIONES INFINITESIMALES NO PRODUCEN ESFUERZOS
=0
Luego la relación esfuerzo deformación linealizada está dada por
O en notación indicial:
pq ijqp p q
ij ijpq pq
C u x
CEu
C eu
28
: : + : :
La relación es lineal y el gradiente
de los desplazamientos infinitesimal
C u C E C W C E
esfuerzo-deformación
RELACIÓN ESFUERZO DEFORMACIÓN
,
1 1
2 2
1
2
y
Con
y
En notación indicial
ijpq ij ij
j ji i
ij ij
j i j i
p
ijpq
q
C w eC W E
u uu ue w
x x x x
uC
ij x
29
RESTRICCIONES DEL TENSOR ELÁSTICO
El se ha obtenido al linealizar las relaciones de
en su forma más general :
, o en forma equivalent
tensor elástico
esfuerzo deformación
HS
e
Sin embargo, no cualquier función es admisible. En primer
lugar, puesto que el tensor de esfuerzos es simétrico, necesariamente
Por otra part
ij ij
ij ji
HS
HS
H HS S
e, hay la condición de que los no
producen esfuerzos. Cuando se toma en cuenta esta última restricción
que la función de la teoría de la debe cumplir,
se obti
movimientos rígidos
HS elasticidad finita
ene la siguiente simetría del de la teoría
de la (para una demostración, ver Apéndice) :
Finalmente, hay restricciones
ijpq ijqp
tensor elástico
elasticidad lineal
C C
de carácter termodinámico que
también debe cumplir. Cuando se toman en cuenta todas las restricciones
de la función obtienen las siguientes simetrías
ijpq jipq ijqp pq
HS
HS
C C C C ij
30
D.
LINEALIZACIÓN DE LA
ELASTICIDAD FINITA
● La teoría lineal de la elasticidad es una de las
teorías más exitosas de la Física Matemática
● Por su efectividad para predecir ‘deformaciones
pequeñas’ de muchos materiales, en la práctica esta
teoría no tiene rival
● Aunque se origina a principios del Siglo XIX [12],
el desarrollo teórico continuó hasta mediados del
Siglo XX y su aplicabilidad a muchos problemas de
ingeniería se amplió grandemente con el progreso de
la computación
● Aquí la presentamos como una versión linealizada
de la elasticidad finita
31
LA TEORÍA DE LA ELASTICIDAD FINITA
32
La ecuación de balance de momento lineal (Lecc. 3)
es una ecuación no lineal. También la relación
esfuerzo deformación para sólidos elásticos
bt
vv v
es en general no lineal. El estudio e investigación
de problema completo en su forma no lineal se
conoce como "Elasticidad Finita". En este
capítulo sólo trataremos una versión simplificada
conocida c
HS
omo "Teoría lineal de la elasticidad"
LINEALIZACIÓN DE LA ECUACIÓN DE MOMENTO
33
La ecuación de balance de momento lineal
Cuando
1 y 1
entonces es de segundo orden, y la
ecuacón de momento lineal se reduce a
bt
bt
vv v
v v
v v
v
Si además el sólido es elástico lineal, esta
ecuación es lineal y constituye la base de
la teoría de la elasticidad lineal
34
2
2
Dado que las ecuaciones básicas de la
son :
=
Donde
u t teoría de la elasticidad
lineal
ubu
t
ECUACIONES BÁSICAS DE LA ELASTICIDAD LINEAL
v
O en notación indicial:
x
ij ijpq p q
C uu
C u xu
35
2
2
SÍNTESIS
TEORÍA LINEAL DE LA ELASTICIDAD
Como ya se vió, el balance de momento lineal se reduce a :
Donde la relación esfuerz
ubu
t
o deformación linealizada está
dada por
O en notación indicial:
ij ijpq pq
CEu
C eu
36
E.
COMPLEMENTACIÓN
DEL
EL MODELO LINEAL
37
Hasta ahora la derivación del modelo matemático elástico lineal
se ha basado en la ecuación de balance del momemnto lineal
exclusivamente, por lo que falta incoporar el balance de las demás
propiedades extensivas que forman parte de la familia que define
a los modelos de la mecánica clásica de medios continuos (los
sólidos y los fluidos). Así, esa tarea está pendiente y se realiza a
continuación. Se verá entonces que la parte más interesante y
esencial del modelo lineal es la que ya hemos visto, derivada del
balance de momento lineal. Aunque la versión linealizada del
transporte de energía interna tiene aplicaciones significativas y ha
sido estudiada ampliamente, ella y la de momento lineal están
desacopladas y en las aplicaciones se resuelven independientemente.
DERIVACIÓN DE LAS ECUACIONES
DEL
MODELO LINEAL COMPLETO
A continuación se enlistan los balances
de cada una de las propiedades
extensivas. Para cada uno de ellos se
pone una pareja de ecuaciones; primero
la ecuación tal como se derivó en la
Lección 3, no lineal, seguida de la
ecuación linealizada.
38
39
0
2
0 02
MASA
0
Ecuación linealizada
0
MOMENTO LINEAL
Ecuación linealizada
MOMENTO ANGULAR
Ecuación li
T
t
t
Db
Dt
uCu b
t
v
v
v
nealizada T
40
2
ENERGÍA
ENERGÍA CINÉTICA
1:
2
Ecuación linealizada : no hay ecuación
ENERGÍA INTERNA
Db b
Dt
vvv v v
0 0
:
Ecuación linealizada :
DUh q
Dt
Uh q
t
v
41
F.
PROBLEMAS
BIEN PLANTEADOS
42
2
2
Como se ha dicho, las ecuaciones linealizadas de
balance de momento lineal :
pueden resolverse por sí mismas, de manera
independiente de las correspondientes a las demás
uC u b
t
propiedades extensivas. Esto quiere decir que
cuando se sujetan a condiciones iniciales y de frontera
adecuadas dan lugar a problemas bien planteados. A
continuación se formulan algunos de los problemas
bien planteados más importantes que ocurren en la
ingeniería y la ciencia.
43
0
0
ELASTODINÁMICA
Los problemas bien planteados se formulan en un
dominio fijo en el espacio y requieren condiciones
iniciales y de frontera. Las son :
condiciones iniciales
u u
ut
v
21 1 2
1 2
on on .
Respecto a las ,
y
Aquí se entiende que la frontera se ha dividido en
dos partes : y una de las cuales puede ser vacía.
Otra
, en para 0
u u n T
condiciones de frontera
t
2 2n , con + = 1
s condiciones de frontera que con frecuencia se
consideran son las llamadas de Robin : ,
u n e
44
:
ELASTOSTÁTICA
Las ecuaciones de la elasticidad estática son
Los problemas bien planteados se formulan en un
dominio fijo en el espacio y requieren condici
C u b
ones
de frontera exclusivamente
EJERCICIOS
CAPÍTULO IX
45
46
1 1
2 2 2
3 3
Considere la ecuación no lineal
4 2 0 1 1
2 4 2 1 1 1
0 2 1 4 1
x x
x x x
x x
EJERCICIO 1
LINEALIZACIÓN DE ECUACIONES
1
2
3
1
= 10 2
3
n
x
x
x
47
EJERCICIO 2
DEMUESTRE QUE EL NÚMERO DE CONSTANTES
INDEPENDIENTES ES CUANDO MÁS DE 36
