HISTORIA

Los comienzos de las matrices y los determinantes datan del siglo II AC, aunque hay indiciosdesde IV siglos AC. Sin embargo, no fue hasta fines del siglo XVII que las ideas reaparecieron y sedesarrollaron con fuerza. Los comienzos de las matrices y los determinantes surgen a travs delestudio de sistemas de ecuaciones lineales. En Babilonia se estudiaron problemas queinvolucraban a ecuaciones lineales simultneas y algunos de estos son conservados en tabletasde arcilla que permanecieron en el tiempo. Por ejemplo, una tableta que data alrededor de 300 aosAC contiene el siguiente problema:

"Hay dos terrenos cuya rea total es de 1800 metros cuadrados. Uno produce granos en unaproporcin de 2/3 de una medida por yarda cuadrada mientras el otro produce granos en unaproporcin de 1/2 de una medida por metro cuadrado. Si la produccin total es 1100 medidas,Cul es el tamao de cada terreno?"

Los Chinos, entre los aos 200 AC y 100 AC, estuvieron mucho ms cerca de las matrices que losbabilonios. Verdaderamente es justo decir que el texto "Nueve Captulos de Arte Matemtico",escrito durante la Dinasta Han, da el primer ejemplo conocido sobre mtodos matriciales. Porejemplo, el problema siguiente es muy similar al ejemplo anterior dado en Babilonia:

"Hay tres tipos de cereal, de los cuales tres fardos del primero, dos del segundo, y uno del tercerohacen 39 medidas. Dos del primero, tres del segundo y 1 del tercero hacen 34 medidas. Y uno delprimero, dos del segundo y tres del tercero hacen 26 medidas. Cuntas medidas de cereal soncontenidas en un fardo de cada tipo?"

Ahora, para resolver este problema, el autor hace algo realmente extraordinario. Coloca loscoeficientes del sistema de tres ecuaciones lineales en una especie de "tablero contador".

En nuestro siglo XX, escribimos las ecuaciones lineales por medio de filas ms que por columnaspero, naturalmente, el mtodo es idntico. Ms extraordinario, es que hace 200 aos AC, el autorescribi instrucciones al lector:

Multiplicar la columna dos por tres y la columna tres por dos, restar la nueva columna tres a lacolumna dos, generando una nueva columna dos. Luego, multiplicar la columna uno por tresy restarle la columna tres generando una nueva columna uno. El tablero contador queda as:

1.

Multiplicar la columna uno por cinco y la columna dos por cuatro, restar la nueva columna dosa la columna uno, generando una nueva columna uno. El tablero contador queda as:

2.

Con esto, tenemos la solucin para el tercer tipo de cereal, de este modo se puede encontrar lasolucin para el segundo y por ltimo para el primero por medio de la sustitucin hacia atrs. Estemtodo, conocido ahora como Eliminacin Gaussiana, no se volvera a retomar sino hasta iniciosdel siglo XIX.

Cardan, en "Ars Magna" (1545), da una regla para resolver un sistema de dos ecuaciones linealesque llama regla de modo. Resulta que esta regla corresponde en esencia a nuestra conocidaRegla de Cramer para la resolucin de un sistema de (2 x 2). Aunque Cardan no daba an el paso final, no alcanz la definicin de determinante pero, ahora podemos ver que su mtodoconduca a la definicin.

Muchos resultados estndar de teora de matrices elementales aparecieron antes de que lasmatrices fueran objeto de investigacin matemtica. Por ejemplo, de Witt en "Elementos decurvas", publicado como una parte de la comentada "Versin Latina de la Geometra deDescartes" en 1660, muestra como una transformacin de ejes reducen una ecuacin dada deuna cnica a la forma cannica. Esto resultaba de la diagonalizacin de una matriz simtrica pero,de Witt nunca pens en estos trminos.

La idea de determinante apareci en Japn y Europa casi al mismo tiempo, aunque Seki en Japnciertamente lo public primero. En 1683, Seki escriba "Mtodos de Resolucin de problemasDisimulados" que contienen mtodos matriciales escritos exactamente como en las tablas delmtodo chino descrito anteriormente. Sin tener alguna palabra que correspondiera a 'determinante',Seki los introdujo y dio mtodos generales para calcularlos basados en ejemplos. Usando sus'determinantes' Seki fue capaz de encontrar determinantes en matrices de orden (2 x 2), (3 x 3), (4x 4) y (5 x 5) y los aplic para resolver ecuaciones pero, no sistemas de ecuaciones lineales. Msextraordinario an, es que la aparicin del primer determinante en Europa coincida con el mismoao 1683. En ese ao Leibniz escriba a de l'Hpital.

10+11x+12y =020+21x+22y =030+31x+32y =0

Tena una solucin porque:

10.21.32+11.22.30+12.20.31=10.22.31+11.20.32+12.21.30

Esta es exactamente la condicin para que el coeficiente de la matriz tenga determinante cero.Note que Leibniz no estaba usando coeficientes numricos pero...

"dos caracteres, el primero marcando en que ecuacin ocurre, el segundo marcando a quecolumna pertenece."

As, 21 significa lo que nosotros escribimos como a21.

Leibniz estaba convencido de que una buena notacin matemtica era la llave hacia el progreso,as, experiment con diferentes notaciones para sistemas de coeficientes. Sus inditosmanuscritos contienen mas de 50 formas diferentes para escribir sistemas de coeficientes.Trabaj con esto durante un perodo de 50 aos, comenzando en 1678. Solo dos publicaciones(1700 y 1710) contienen resultados sobre sistemas de coeficientes y estos usaron la mismanotacin como en su nota a de l'Hpital. mencionada anteriormente.

Leibniz us la palabra 'resultante' para cierta suma combinatorial de trminos de un determinante.Prob resultados diversos en resultantes, incluyendo lo que en esencia corresponde a la Regla deCramer. El tambin saba que un determinante poda ser expandido usando alguna columna,mtodo que es llamado ahora "Expansin de Laplace". As como estudi sistemas de coeficientesde ecuaciones que lo guiaron a los determinantes, Leibniz tambin estudi sistemas decoeficientes de formas cuadrticas que lo llevaron, naturalmente, hacia la teora de matrices.

Por los aos 1730, Maclaurin escribi "Tratados de lgebra" el cual no fue publicado sino hasta1748, dos aos despus de su muerte. Este tratado contiene los primeros resultados publicadossobre determinantes probando la regla de Cramer para sistemas de (2 x 2) y (3 x 3) e indicandocomo trabajar para sistemas de (4 x 4). Cramer daba la regla general para sistemas de (n x n) en"Introduccin al anlisis de curvas algebraicas" (1750). Esto surgi motivado por el deseo deencontrar la ecuacin de una curva plana pasando a travs de un nmero dado de puntos. La reglaaparece en un apndice del documento, pero la prueba no aparece:

"Se encuentra el valor de cada incgnita formando n fracciones de las cuales el comndenominador tiene tantos trminos como hay permutaciones de n cosas."

Cramer explica precisamente el clculo de estos trminos como el producto de ciertoscoeficientes en las ecuaciones y como se puede determinar el signo. El tambin explica como losn numeradores de las fracciones pueden ser encontrados reemplazando ciertos coeficientes eneste clculo por trminos constantes del sistema.

Los trabajos sobre determinantes empezaban a aparecer con regularidad. En 1764 Bezout dabamtodos para calcular determinantes como lo hacia Vandermonde en 1771. En 1772, Laplaceafirma que los mtodos introducidos por Cramer y Bezout eran impracticables y, en un escritodonde l estudiaba las rbitas de planetas, discuta la solucin de sistemas de ecuaciones linealessin calcularlos pero, usando determinantes. Ms sorprendente an, Laplace usaba la palabra'resultante para denotar determinantes. Es ms sorprendente que Laplace usara la mismapalabra que Leibniz, ms an, teniendo presente que Laplace no conoca el trabajo de Leibniz.Laplace daba la expansin de un determinante como se conoce actualmente y por ello lleva sunombre.

Lagrange, en un escrito de 1773, estudia la identidad para determinantes de (3x3). Sin embargo,este comentario es hecho en restrospectiva a partir de que Lagrange mismo no vio ningunaconexin entre su trabajo y el de Laplace y Vandermonde. Sin embargo, este escrito de 1773 sobremecnica, contiene por primera vez lo que nosotros conocemos ahora como la interpretacin delvolumen de un determinante. Lagrange mostr que el tetraedro formado por O(0,0,0) y los trespuntos:

M(x,y,z), M( x,y,z), M"( x", y", z")

tiene volumen

1/6 [z(x,y" - y x") +z (yx" -xy") +z(xy-yx)]

El trmino 'determinante' fue introducido por primera vez por Gauss en "DisquisicionesAritmticas" (1801) mientras se discutan formas cuadrticas. Gauss us este trmino porque eldeterminante determina las propiedades de la forma cuadrtica. Sin embargo, este concepto dedeterminante no era el mismo que conocemos ahora. En el mismo trabajo, Gauss pone loscoeficientes de sus formas cuadrticas en arreglos rectangulares. Describe la multiplicacin dematrices (la cual piensa como una composicin, lo que implica que no haba alcanzado aun elconcepto de lgebra de matrices) y la inversa de una matriz en el contexto particular de losarreglos de coeficientes de formas cuadrticas.

La Eliminacin Gaussiana, que primero aparece en el texto" Nueve Captulos de Arte Matemtico"escrito 200 aos AC, era usada por Gauss en sus estudios de la rbita del asteroide Pallas.Usando las observaciones de Pallas tomadas entre 1803 y 1809, Gauss obtuvo un sistema de seisecuaciones lineales con seis incgnitas. Gauss ide un mtodo sistemtico para resolver talesecuaciones, el que precisamente conocemos ahora como "Eliminacin Gaussiana" con loscoeficientes de una matriz.

Fue Cauchy en 1812 quien us el trmino 'determinante' en el sentido moderno. El trabajo deCauchy es el ms completo de los primeros trabajos sobre determinantes. l desaprobaba losprimeros resultados y daba nuevos resultados propios sobre menores. En este escrito, de 1812,por primera vez fue probada la multiplicacin de determinantes aunque, en la misma reunin delInstituto de Francia, Binet lee un escrito que contena la

prueba del teorema de la multiplicacin pero que fue menos satisfactoria que la realizada porCauchy.

En 1826 Cauchy, en el contexto de formas cuadrticas en n variables, us el trmino 'tableau' parala matriz de coeficientes. l encuentra el autovalores de matrices y dio resultados sobrediagonalizacin de una matriz en el contexto de convertir una forma cuadrtica a la suma decuadrados. Cauchy tambin introdujo la idea de matrices similares (pero no el trmino) y mostrque si dos matrices son similares ellas tienen la misma ecuacin caracterstica. Tambin prob,nuevamente en el contexto de formas cuadrticas, que toda matriz simtrica real esdiagonalizable.

Jacques Sturm dio una generalizacin del problema de los autovalores en el contexto de resolversistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. De hecho, el concepto de autovalores apareci80 aos antes en trabajos sobre sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, hechos porD'Alembert acerca de la generalizacin del movimiento de una cuerda con masas pegadas a l endiversos puntos.

Es una pena que ni Cauchy ni Jacques Sturm realizaron la generalidad de las ideas que ellosestaba introduciendo, las mostraron solo en los contextos especficos en que ellos estabantrabajando. Jacobi, alrededor 1830 y luego Kronecker y Weierstrass en los aos 1850 y 1860tambin miraron resultados matriciales pero otra vez en un contexto especial, esta vez relativo a laidea de un transformacin lineal.

Jacobi public tres tratados sobre determinantes en 1841. Esto fue de gran importancia, ya que porprimera vez la definicin de determinante fue hecha en forma algortmica y las entradas en losdeterminantes no fueron especificados. As, sus resultados fueron aplicados igualmente bien acasos donde las entradas eran nmeros o eunciones. Estos tres escritos de Jacobi hicieron la ideade determinante ampliamente conocido.

Cayley, tambin public en 1841, la primera contribucin Inglesa a la teora de determinantes. Eneste escrito, uso dos lneas verticales en ambos lados del arreglo para denotar el determinante,una notacin que ahora es comn.

Eisenstein en 1844 denot las sustituciones lineales con una simple letra y mostr como sumarlasy multiplicarlas como nmeros ordinarios excepto porque no hay commutatividad. Es justo decirque Eisenstein fue el primero en pensar las sustituciones lineales como la formacin de un lgebracomo puede ser visto en la siguiente cita de su escrito de 1844:

"Un algoritmo para clculo puede ser basado en esto, consiste en aplicar las reglas normales paralas operaciones de multiplicacin, divisin y exponenciacin a ecuaciones simblicas. Entresistemas lineales, ecuaciones simblicas correctas son obtenidas siempre, teniendo enconsideracin que el orden de los factores no puede ser alterado."

El primero en usar el trmino "matriz" fue Sylvester en 1850. Sylvester defini matriz como unarreglo rectangular de trminos y vio como algunas matrices contenan dentro de ellas variosdeterminantes representados como arreglos cuadrados. Despus de dejar Amrica, Sylvestervolvi a Inglaterra en 1851, y se form como abogado. Ms tarde junto a Cayley, un abogado comol, comparti sus intereses matemticos. Cayley rpidamente vio el significado del concepto dematriz y en 1853 haba publicado una nota dando, por primera vez, la inversa de una matriz.

Cayley, en 1858, public "Memorias sobre la teora de matrices" que contiene la primeradefinicin abstracta de matriz. l muestra que los arreglos de coeficiente estudiadostempranamente para formas cuadrticas y para transformaciones lineales son casos especialesde su concepto general. Cayley daba una definicin algebraica sobre adicin de matrices,multiplicacin, multiplicacin por un escalar y matriz inversa. l daba una construccin explcita dela inversa de una matriz en trminos del determinante. Cayley tambin prob que, en el caso dematrices de orden (2 x 2), la matriz satisface su ecuacin caracterstica propia. l declaraba quehaba comprobado el resultado para matrices de orden (3 x 3), indicando su prueba, pero dice:

"Yo no tengo la condicin necesaria para llevar adelante el trabajo de probar formalmente elteorema para el caso general de una matriz de cualquier grado."

Que una matriz satisfaga su ecuacin caracterstica propia es lo que se conoce como el "Teoremade Cayley-Hamilton". Es razonable preguntarse que tiene que ver esto con Hamilton. En efecto, eltambin prob un caso especial del teorema, para matrices de orden (4 x 4), en el curso de susinvestigaciones sobre cuaterniones.

En 1870, la forma cannica de Jordan aparece en " Tratado sobre sustituciones y ecuacionesalgebraicas" por Jordan. Aparece en el contexto de una forma cannica para sustitucioneslineales sobre un campo finito de orden primo.

Frobenius, en 1878, escribi un importante trabajo sobre matrices en "Sustituciones lineales yformas bilineales" cuando el no estaba consciente del trabajo de Cayley. Frobenius trabajaba en suartculo con coeficientes de formas cuadrticas y no usa el trmino matriz. Sin embargo probimportantes resultados sobre matrices cannicas como representaciones de clases deequivalencia de matrices. l menciona a Kronecker (1874) y Weierstrass (1868) como casosespeciales de sus resultados respectivamente. Frobenius adems prob el resultado general deque una matriz satisfaga su ecuacin caracterstica. Este escrito de 1878 tambin contiene ladefinicin del rango de una matriz el cual usaba en sus trabajos sobre formas cannicas y ladefinicin de Matrices Ortogonales.

La nulidad de una matriz cuadrada fue definida por Sylvester en 1884. l defina la nulidad de A,n(A), como el mayor i tal que cada de A de orden (n-i+1) es nula. Sylvester estaba interesado eninvariantes de matrices, esto es, propiedades que cumplen algunas matrices y que no sonalteradas bajo ciertas transformaciones. Sylvester prob que:

max(n(A),n(B))

Un importante texto que abre un espacio para las matrices dentro de las matemticas fue"Introduccin al lgebra lineal" escrito por Bcher en 1907. Turnbull y Aitken escribieron textosinfluyentes en los aos 1930 y Mirsky con "Una introduccin al lgebra lineal", en 1955, mostr laTeora de Matrices establecindola como uno de los ms importantes tpicos matemticos paraestudiantes de pregrado.

Articulo de: J J O'Connor and E F RobertsonTraduccin desde la pgina: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Matrices_and_determinants.html