Lectura6

ESPACIOS VECTORIALES

Hugo Eduardo Ramirez

ESPACIOS VECTORIALES DEFINICION Y EJEMPLOS

Seccion 1: DEFINICION Y EJEMPLOS

La idea de esta nueva unidad es generalizar lo visto en R2, R3 y en general en Rn en una estructura mas amplia quellamaremos, espacios vectoriales.

Definicion. Una estructura V,+, donde V es un conjunto y las operaciones + y cumplen las siguientes propiedades.Supongamos que u, v, w V y que , R

S1. V es cerrado bajo +, es decir si u, v V entonces u+ v V

S2. Conmutativa de la suma u+ v = v + u

S3. Asociativa de la suma u+ (v + w) = (u+ v) + w

S4. Existe un elemento llamado el ~0 talqueu+~0 = u u V

S5. Para cada elemento u V existe un elemento llamado u tal que

u+ (u) = ~0

M1. V es cerrado bajo , es decir si u V y R entonces u V

M2. Distributiva sobre la suma vectorial (u+ v) = u+ v

M3. Distributiva sobre la suma escalar (+ ) u = u+ u

M4. Triple producto ( u) = () u

M5. Unidad 1 u = u

se llama un espacio vectorial, los elementos de V se llaman vectores y las operaciones + y se llaman suma vectorialy multiplicacion por escalar, en general la operacion de multiplicacion no se escribe, es decir u = u.

En los siguientes ejemplos, para ver que son espacios vectoriales, se debe demostrar que cumple las 10 propiedades de ladefinicion anterior.

Ejemplo. Como vimos en anteriores lecturas R2 y R3 son espacios vectoriales con la suma y multiplicacion escalar usuales.

Ejemplo. Mnm las matrices con las operaciones de suma y multiplicacion escalar usuales. Es facil ver que la matriz0nm es el vector ~0, ademas que el opuesto de una matriz A es A el opuesto de cada una de sus componentes. El estudiantepuede verificar que se cumplen las 10 propiedades.

Ejemplo. Rn, si vemos que los elementos de Rn son precisamente matrices 1 n entonces podemos pensar las operacionescomo la suma y multiplicacion por escalar de matrices, y as sera un caso particular del ejemplo anterior.

Ejemplo. Pn los polinomios de grado menor o igual que n, donde los polinomios constantes, al igual que el polinomio 0,se consideran de grado 0. Recordemos que un polinomio en x, p(x) es una funcion que puede expresarse de la forma

p(x) = a0 + a1x+ a2x2 + + anxn

donde el grado es la mayor potencia cuyo coeficiente no sea nulo.NOTA. Consideraremos solo polinomios en x, por eso no haremos enfasis en la variable.si p, q son dos polinomios de grado menor o igual que n, la suma se hace componente a componente es decir

p = a0 + a1x+ a2x2 + + anxn

q = b0 + b1x+ b2x2 + + bnxn

p+ q = (a0 + b0) + (a1 + b1)x+ (a2 + b2)x2 + + (an + bn)xn

1


y la multiplicacion por escalar es multiplicar cada coeficiente por el escalar es decir:

p = (a0) + (a1)x+ (a2)x2 + + (an)xn

Con estas operaciones Pn es un espacio vectorial. Este espacio se parece mucho a Rn+1 Por que?

Ejemplo. P todos polinomios, con la suma y multiplicacion de polinomios del ejemplo anterior tambien es un espaciovectorial.

Ejemplo. R+, , , es de notar que aunque el conjunto de vectores es el conjunto de reales positivos, se comporta muydiferente de los reales porque la suma y multiplicacion por escalar estan definidos de la siguiente forma:

u, v R+ Definimos u v = uvu R+, R Definimos u = u

La suma de este espacio vectorial es la multiplicacion usual y la multiplicacion por escalar es la potenciacion. Veamos comose demostraran varias de las propiedades de la definicion de espacio vectorial.

S1. R+ es cerrado bajo .Sean u, v R+ entonces u v = uv R+ porque la multiplicacion de positivos es positiva.

S2. Conmutativa de la suma u v = uv = vu = v u

S3. Asociativa de la suma u (v w) = uvw = (u v) w

S4. Existe un elemento llamado el ~0 = 1 tal que:

u~0 = u1 = u u R+

o sea que el vector ~0 es el numero 1.

S5. Para cada elemento u R+ existe un elemento llamado u = 1u

tal que

u (u) = u 1u

= 1 = ~0

o sea que el opuesto, es el reciproco.

Las propiedades de multiplicacion las puede verificar el lector.

Teorema 1.1 Si V es un espacio vectorial, entonces

1. 0u = ~0 para todo u V

2. ~0 = ~0 para todo R

3. S u = 0, entonces = 0 o u = ~0

4. (1)u = u para todo u V

Demostracion. 1. Para demostrar esto haremos uso de la propiedad del numero 0, 0 + 0 = 0.Note que a priori no se sabe cuanto es el resultado de 0u y queremos demostrar que es ~0.

0u = (0 + 0)u Distributiva (M3)

0u = 0u+ 0u Sumo el opuesto de 0u

0u 0u = (0u+ 0u) 0u Asociativa0u 0u = 0u+ (0u 0u) Opuesto dos veces (S5)

~0 = 0u+~0 Modulo (S4)

~0 = 0u

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2. La demostracion es muy parecida a la anterior.

3. Para demostrar este ejercicio es suficiente asumir que cu = ~0 y que c 6= 0 para demostrar que entonces u = ~0 (Porque?)

u = ~0 Multiplicamos por el opuesto de 1

(u) =

1

~0 Usando la propiedad anterior

1

(u) = ~0 Triple producto M4

(1

)u = ~0

1u = ~0 Unidad M5

u = ~0

4. Note que en este numeral se pretende demostrar que (1)u es el elemento u de la propiedad S5, la demostracionpuede hacerla el lector.

Ejemplo. Demostrar que V = {a0 + a1x + + anxn : a0 + a1 + + an} (El conjunto de polinomios cuyos coeficientessuman 0) es un espacio vectorial.Para tal fin vamos a probar las diez propiedades. Sean P1 = a0 + a1x + + anxn, P2 = b0 + b1x + + bpxp, P3 =c0 + c1x + + ckxk polinomios arbitrarios de V y sean , R. Supongamos que la maxima potencia se encuentra enP1, es decir n y de ahora en adelante escribiremos P2 y P3 con coeficientes hasta el n sencillamente anadiendo el resto decoeficientes (bp+1, . . . ; ck+1 . . . ) como el numero 0.

S1 Queremos ver que P1 + P2 V es decir que la suma de los coeficientes da cero.

P1 + P2 = (a0 + a1x+ + anxn) + (b0 + b1x+ + bnxn)= (a0 + b0) + (a1 + b1)x+ + (an + bn)xn

donde

(a0 + b0) + (a1 + b1) + + (an + bn) = (a0 + a1 + + an) + (b0 + b1 + + bn)= (a0 + a1 + + an) + (b0 + b1 + + bp) + (bp+1 + . . . bn)= 0 + 0 + 0 = 0

Por lo que P1 + P2 V

S2 Asociativa:

P1 + (P2 + P3) = (a0 + (b0 + c0)) + (a1 + (b1 + c1))x+ + (an + (bn + cn))xn

= ((a0 + b0) + c0) + ((a1 + b1) + c1)x+ + ((an + bn) + cn)xn

= (P1 + P2) + P3

S3 Conmutativa:

P1 + P2 = (a0 + b0) + (a1 + b1)x+ + (an + bn)xn

= (b0 + a0) + (b1 + a1)x+ + (bn + an)xn

= P2 + P1

S4 El modulo es ~0 = 0 = 0 + 0x+ . . . 0xn.

S5 P1 = (ao) + (a1)x+ + (an)xn.

M1 Queremos ver que P1 V para esto recordemos que P1 = (a0)+(a1)x+ +(an)xn y veamos que sus coeficientessuman cero:

a0 + a1 + + an = (a0 + a1 + + an) = 0 = 0

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ESPACIOS VECTORIALES SUBESPACIOS

M2 Distributiva:

(P1 + P2) = ((a0 + b0) + (a1 + b1)x+ + (an + bn)xn)= (a0 + b0) + (a1 + b1)x+ + (an + bn)xn

= (a0 + b0) + (a1 + b1)x+ + (an + bn)xn

= P1 + P2

M3 Distributiva:

(+ )P1 = (+ )a0 + ((+ )a1)x+ + ((+ )an)xn

= (a0 + a0) + (a1 + a1)x+ + (an + an)xn

= P1 + P1

M4 Triple producto:

(P1) = (a0 + (a1)x+ + (an)xn)= (a0) + (a1)x+ + (an)xn

= ()P1

M5 Unidad:

1P1 = 1(a0 + a1x+ + anxn)= a0 + a1x+ + anxn

= P1

Por lo que concluimos que V es un espacio vectorial.

Seccion 2: SUBESPACIOS

Definicion. Sea V un espacio vectorial y W un subconjunto V . Decimos que W es un subespacio de V si W en s mismoes un espacio vectorial.

Note que al ser W espacio vectorial en si mismo, debe contener al vector ~0.

Ejemplo. El subespacio trivial es subespacio vectorial mas pequeno que podra tener un espacio vectorial V ; es el espacioque solo contiene al ~0, es decir, {~0} es un espacio vectorial.

Teorema 2.1 Para saber si un subconjunto no vaco W de un espacio vectorial V es un subespacio, es suficiente conprobar las propiedades (S1) y (M1).

Demostracion. Note que la mayora de propiedades se tienen en W porque se cumplen en V .

Ejemplo. En R3 un plano que pasa por el origen es un subespacio vectorial.Sea 1 : v1x + v2y + v3z = 0 y recordemos que esta igualado a 0 porque el plano contiene el origen (ahora llamado ~0) yen su forma vectorial la ecuacion del plano queda 1 : (v1, v2, v3) (x, y, z) = 0, lo que significa que son todos los vectoresortogonales al vector normal v = (v1, v2, v3). Probemos entonces las propiedades.

S1. Sean x = (x1, x2, x3),y = (y1, y2, y3) dos vectores del plano, lo que quiere decir que v x = 0 y v y = 0, entonces lasuma x + y tambien esta en el plano, pues cumple la ecuacion del plano v (x + y) = v x + v y = 0.

M1. Si R un escalar, el vector x, esta en el plano gracias al triple producto v (x) = (v x) = 0

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ESPACIOS VECTORIALES COMBINACION LINEAL

Teorema 2.2 La interseccion de subespacios es tambien un subespacio.

Demostracion. Sean S, T dos subespacios del espacio vectorial V , queremos demostrar que ST es un subespacio vectorialde V , para esto probaremos las dos propiedades de clausura:

S1. Sean x1, x2 S T , lo que quiere decir que x1, x2 S por lo que como S es un subespacio de V es cerrado bajo lasuma, es decir x1 + x2 S y x1, x2 T y por un argumento similar tenemos x1 + x2 T , entonces x1 + x2 S T .

M1. Sea R como x1 S entonces x1 S y como x1 T entonces x1 T , por lo que concluimos x1 S T

Ejemplo. Sea V =M2 espacio vectorial de matrices 2 2 y sean S ={A M2 | a12 = 0

}las matrices que en la primera

fila y segunda columna tienen 0, y T =

{A M2 | A =

(a bb a

)}Tanto S, como T son subespacios vectoriales de M2, veamos para S.

S1. Sean A =

(a11 0a21 a22

)y B =

(b11 0b21 b22

)entonces A+B =

(a11 + b11 0a21 + b21 a22 + b22

) S pues tiene la componente (12)

en 0.

M1. Sea R, entonces A =(a11 0a21 a22

) S pues su componente (12) es 0.

Ahora para T :

S1. Sean A =

(a1 a2a2 a1

)y B =

(b1 b2b2 b1

), entonces A + B = A =

(a1 + b1 (a2 + b2)a2 + b2 a1 + b1

)si llamamos a = a1 + b1 y

b = a2 + b2 vemos que A+B T

M1. Sea R, entonces A =(a1 a2a2 a1

)la cual vemos que esta en T .

Por lo tanto S y T son subespacios del espacio de matrices 2 2 y la interseccion por el teorema anterior tambien es un

subespacio, el siguiente subespacio S T ={A M2 | A =

(a 00 a

)}, es decir las matrices I.

Seccion 3: COMBINACION LINEAL

Definicion. Sean v1, v2, . . . , vn vectores de V espacio vectorial. El vector v es una combinacion lineal de v1, v2, . . . , vnsi

v = c1v1 + c2v2 + + cnvnpara ciertos numeros reales c1, c2 . . . , cn.

Ejemplo. En R3 todos los vectores son combinaciones lineales de , , k, es claro porque (a, b, c) = a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) +c(0, 0, 1)

Definicion. Sean v1, v2, . . . , vn vectores de V espacio vectorial. El espacio generado por {v1, v2, . . . , vn} es

gen{v1, v2, . . . , vn} = {c1v1 + c2v2 + + cnvn | c1, c2, . . . , cn R}

Es decir, el generado por {v1, v2, . . . , vn} es el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores v1, v2, . . . , vn.

Note que gen{v1, v2, . . . , vn} podra ser todo el espacio V en este caso se dice que v1, v2, . . . , vn generan todo el espacio V

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ESPACIOS VECTORIALES COMBINACION LINEAL

Teorema 3.1 Sean v1, v2, . . . , vn vectores de V espacio vectorial. El gen{v1, v2, . . . , vn} es un subespacio vectorial de V .

Demostracion. La prueba es muy sencilla, pues

u = a1v1 + a2v2 + + anvnv = b1v1 + b2v2 + + bnvn

u+ v = (a1 + b1)v1 + (a2 + b2)v2 + + (an + bn)vn

yv = (a1)v1 + (a2)v2 + + (an)vn

Ejemplo. En R3, , , k generan todo R3

Ejemplo. En Pn, los vectores 1, x, x2, . . . xn generan Pn; es claro por la forma misma de los polinomios, es decir a0 +a1x+a2x

2 + + anxn

Ejemplo. En R3 encontraremos cual es gen

12

1

,20

1

Por definicion el generado esgen

12

1

,20

1

=

121

+ 20

1

, , R

Es decir que la apariencia de un vector (x, y, z) del generado debe ser

121

+ 20

1

=xyz

+ 22+

=xyz

solucionando el sistema para y 1 2 | x2 0 | y

1 1 | z

R2 R12 0 | y1 2 | x

1 1 | z

R1 1/2(R1)1 0 | y21 2 | x

1 1 | z

R2 R2 R11 0 | y20 2 | x y2

1 1 | z

R3 R3 R1

1 0 | y20 2 | x y20 1 | z y2

R3 R21 0 | y20 1 | z y2

0 2 | x y2

R3 R3 2R21 0 | y20 1 | z y2

0 0 | x+ y2 2z

Para que este sistema tenga solucion debe ocurrir que x+ y2 2z = 0, es decir que 1 : 2x+ y 4z = 0 es la ecuacion de unplano, el generado por (1, 2, 1) y (2, 0, 1).Cuanto da (1, 2, 1) (2, 0, 1) ? Justifique su respuesta.

Ejemplo. En P2 generan todo el espacio los vectores 1+x, 1x2, x+x2? Es decir todos los vectores a0 +a1x+a2x2 P2se pueden escribir como combinacion lineal de 1 + x, 1 x2, x+ x2?, veamos si se puede solucionar el sistema:

a0 + a1x+ a2x2 = (1 + x) + (1 x2) + (x+ x2)

a0 + a1x+ a2x2 = (+ )1 + (+ )x+ ( + )x2

Resolver el sistema

a0 = + Para 1

a1 = (+ ) Para x

a2 = ( + ) Para x2

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ESPACIOS VECTORIALES EJERCICIOS PROPUESTOS

Resolver para , y 1 1 0 | a01 0 1 | a10 1 1 | a2

R2 R2 R11 1 0 | a00 1 1 | a1 a0

0 1 1 | a2

R3 R3 R21 2 0 | a00 1 1 | a1 a0

0 0 0 | a2 + a0 a1

El sistema tiene solucion siempre que a2 + a0 a1 = 0, pero si no pasa, el sistema no tiene solucion. Si la condicion no secumple, como es el caso de a0 = 1, a1 = 1, a2 = 1 el polinomio a0 + a1x + a2x

2 = 1 + x + x2 no se puede escribir comocombinacion lineal de 1 + x, 1 x2, x + x2 y por tanto no esta en el generado de {1 + x, 1 x2, x + x2}, en conclusiongen{1 + x, 1 x2, x+ x2} 6= P2

Seccion 4: EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Demostrar que en R3 una recta que pasa por el origen es un subespacio.

2. En R2 si cambiamos la suma por (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2 + 1, y1 + y2), sigue siendo R2 un espacio vectorial?

3. En Pn , sea H el conjunto dado por H = {p Pn : p(0) = 0} es H un subespacio?



6. Demostrar que las matrices simetricas n n, es un subespacio de Mnn

7. Sea W =

{(a bc d

)M22

( a bc d)(

1 21 1

)=

(1 21 1

)(a bc d

)}a. Mostrar que W es subespacio de M22b. Que forma deben tienen las matrices de W ? (Condiciones sobre a, b, c, d)

8. * Sea V un espacio vectorial de dimension finita y H V subespacio vectorial de V . Demostrar que existe un subespaciovectorial de V , K tal que H K = V y H K = {0}Nota. H K es el menor espacio que contiene a H y a K.

9. Si u, v V espacio vectorial, demostrar que existe un unico w V tal que u+ w = v.

10. Encuentre un conjunto generador para el plano x+ 2y z = 0.

11. Encuentre la ecuacion del plano gen{(1, 1, 1), (1, 0, 1)}.

12. Encuentre un conjunto generador de las matrices diagonales en Mnn.

13. Encuentre un conjunto generador de las matrices simetricas en Mnn.

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