LENGUAJES , GRAMATICA Y AUTÓMATAS
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LENGUAJES , GRAMATICA Y AUTÓMATAS. INTRODUCCIÓN I Fundamentos de Computación II
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LENGUAJES , GRAMATICA Y AUTÓMATAS.
INTRODUCCIÓN
I
Fundamentos de Computación II
Conceptos y Relaciones
Toda comunicación involucra la utilización de un lenguaje. Así, por ejemplo, las personas se
comunican con el resto en los diferentes idiomas (lenguajes naturales) o con las máquinas
(lenguajes artificiales) a través de conjuntos de símbolos.
Lenguaje:
Conjunto de palabras, también llamadas cadenas o sentencias, que están formadas por
símbolos de un alfabeto. Los símbolos normalmente son letras (a,…z), dígitos (0,…9) y
otros caracteres (+,-,?..). También pueden estar formado por varias letras o caracteres
como por ejemplo, las palabras reservadas de un lenguaje de programación (begin, end,
else, etc.)
Gramática:
Se refiere a la estructura de un lenguaje, es decir, de las sentencias que lo forman,
proporcionando las formas válidas en que se pueden combinar los símbolos del alfabeto.
En el caso del español, las oraciones deben ajustarse a una gramática.
Lenguajes formales:
Obedecen a reglas preestablecidas y se ajustan a ellas, no evolucionan y han sido
creados para un fin especifico. Ejemplo: los lenguajes de programación.
Los lenguajes naturales:
Utilizados por el hombre y las reglas gramaticales que rigen su estructura han sido
desarrolladas con posterioridad para explicar esta última. Ejemplo: lenguaje inglés,
español, etc.
Lenguajes formales y naturales
Un poco de historia
El primer trabajo que desarrollo teorías formales sobres gramáticas y lenguajes fue
Chomsky (1928) quien desarrollo teorías sobre el origen y la naturaleza de los lenguajes
naturales.
En el campo de la informática, el concepto de gramática formal adquirió importancia para
la especificación de lenguajes de programación. Con las teorías de Chomsky se definió la
sintaxis del lenguaje ALGOL 60 usándose gramática libre de contexto. Esto llevó al diseño
riguroso de algoritmos de traducción y compilación.
La teoría de lenguajes formales es de gran utilidad en otros campos de la informática
como por ejemplo en informática teórica, inteligencia artificial, procesamiento de
lenguajes naturales y reconocimiento del habla.
La teoría de los lenguajes y gramáticas formales tiene una relación directa con la Teoría de
autómatas, siendo posible establecer entre ambas una correspondencia llamada en
Algebra isomorfismo.
La teoría de los autómatas proviene del campo de la ingeniería eléctrica.
El científico Shannon publicó varios trabajos donde mostraba las bases para la aplicación
de la lógica matemática a los circuitos combinatorios y secuenciales.
En las décadas siguientes las ideas de Shannon se desarrollaron dando lugar a la Teoría
de Autómatas.
¿Que son los autómatas?
Los autómatas son sistemas que reciben información, la transforman y producen otra
información que trasmite al entorno.
Notaciones
Conjunto: {x / ... } significa el conjunto de los x tales que …
Pertenencia: x ∈ ∑ significa que el elemento x pertenece al conjunto ∑
Inclusión: C ⊂ C' significa que el conjunto C es un subconjunto del C’
Cardinalidad: | C | representa el número del conjunto C
Unión de conjuntos: C U C’ significa la unión de los conjuntos C y C'.
Intersección de conjuntos: C ∩ C' , significa la intersección de los conjuntos C y C'.
Simplificación de notación de elementos de conjunto: a .. z ó a, . ... z .significa todas las
letras entre a y z.
Aplicación entre conjuntos: f : E1 X E2 X . .. x En S1 X S2 X ... X Sm significa que la función f
(aplicación) está definida entre los conjuntos Ei y los conjuntos Sj.
También se puede entender desde el punto de vista computacional como que recibe a la
entrada un elemento de cada uno de los conjuntos Ei y genera como salida un elemento de
cada uno de los conjuntos Sj.
Alfabeto: conjunto no vacío y finito de elementos. Para definir que un elemento pertenece o
no aun alfabeto se utiliza el símbolo ∈. Los alfabetos se definen por enumeración de los
símbolos que lo contienen. Por ejemplo:
V1 = { A,B,C, …Z}
V2= {a, b, c, 0, 1…+,-}
V3={0,1}
V4={ if, then, begin, end, else, a, b, :, =, >}
Símbolos y Alfabetos
NOTACION
ELEMENTOS Letras, símbolos o
caracteres
V ó ∑
Símbolo o carácter: es el elemento constructivo básico, es la entidad fundamental, indivisible
a partir de la cual se forman los alfabetos. Ejemplos: a,…z, 0,…9 ,+,-,?.. end, else, etc.)
También se puede definir las tablas ASCII y EBCDIC como los alfabetos de distintos ordenadores
La letra a es un símbolo que forma parte del alfabeto español, del alfabeto inglés, del
alfabeto francés, etc.
Los símbolos >, = y & son elementos del alfabeto de operadores del lenguaje C.
El alfabeto ∑ = {0,1} proporciona los caracteres utilizados en la construcción de números
binarios
Los símbolos gráficos , , y representan entidades que pueden ser elementos de
diferentes alfabetos gráficos.
Los símbolos if, for y while forman parte del alfabeto de palabras reservadas del lenguaje C
Los números enteros con signo en base 10 se construyen con símbolos del siguiente
alfabeto: ∑ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.-,+}
Ejemplos
V = {a,b,c} alfabeto formado únicamente por las símbolos a,b,c
V= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} alfabeto formado por los dígitos del 0 al 9. No se puede armar
el 10 como una letra debido al concepto de alfabeto. (yuxtaposición)
V= {x, y, 0, 1, +, -, *, /} alfabeto formado por otros caracteres, símbolos y números.
∑ = {0,1} alfabeto formado únicamente por el cero y el uno
El código ASCII proporciona la representación interna de los caracteres que
constituyen el alfabeto mas utilizado en computación.
Palabra hilera o cadena: es una secuencia finita de caracteres colocados uno a
continuación de otro y tomados de un cierto alfabeto. Una cadena se construye
concatenando caracteres de un alfabeto dado. String es sinónimo de cadena de caracteres.
PALABRA
HILERA O CADENA
Secuencia finita de letras
CH es una palabra porque es una secuencia de dos letras.
abac es una cadena formada con caracteres del alfabeto {a,b,c}
10011101 es una cadena construida con caracteres del alfabeto {0,1}
a es una cadena formada por un solo símbolo de cualquier alfabeto que contenga el carácter a
Cadenas
Ejemplos:
NOTA: recordar la diferencia entere ‘a’ y “a”. Es la misma diferencia que existe entre un
carácter de un alfabeto y una cadena compuesta por ese solo carácter.
V1 = { A,B,C, …Z}
V2= {a, b, c, 0, 1…+,-}
V3={0,1}
V4={ if, then, begin, end, else, a, b, :, =, >}
abcd
a+2*b
000111
if a > b then b=a;
ZAJK
Ejercicio: Indicar a que alfabeto pertenecen las siguientes cadenas:
Longitud de una cadena
La longitud de una cadena S se representa como |S| y es la cantidad de caracteres que la
componen.
La longitud de la cadena abac es : |abac|= 4
La longitud de la cadena b es : |b|= 1
|a+2*b|=
|000111|=
|if a>b then a=b;|=
Cadena vacía
No tiene símbolos y se denota con la letra griega λ o ε
La longitud de la cadena vacía es de longitud 0.
NOTACION: | λ |= 0
Concatenación de cadenas
La operación de concatenación aplicada a cadenas (S1 • S2) produce una nueva cadena por
yuxtaposición de caracteres. La concatenación se puede escribir sin utilizar el operador •
(S1 • S2) = (S1 S2) .
La concatenación se puede extender a más de una cadena: (S1 S2 S3).
Ejemplos:
Sean las cadenas S1 = aab y S2 = aba entonces S1 S2 = aababa
Concatenación de tres cadenas (ab) • (ba) • (aab) = abbaaab
NOTA: la concatenación NO es conmutativa salvo en casos muy especiales
a • b = ab mientras que b • a = ba. Como ab != ba se prueba que la concatenación no es conmutativa.
Si los strings son idénticos, entonces la concatenación si es conmutativa.
Si la primer cadena es ab y la segunda cadena también es ab entonces:
ab • ab = ab • ab = abab
Otro caso de conmutatividad se da cuando ambas cadenas están compuestas por la repetición
del mismo carácter:
Sea S1 = aa y sea S2 = aaa. Entonces S1 S2 = a 2 a 3 = a 2+3 =a 5 y S2 S1 = a 3 a 2 = a 3+2 = a 5.
En consecuencia S1 S2 = S2 S1 = a 5 = aaaaa.
La cadena vacía λ es la identidad para la concatenación: para cualquier cadena S, S.λ = λ.S = S
Potenciación de una cadena
Si S es una cadena, entonces S n ( con >=1 y entero) representa la cadena que resulta de
concatenar la cadena S consigo misma, n-1 veces.
Por lo tanto, S 1 = S, S 2 = SS ,S 3 = SSS, etc.
NOTA: S 0 es λ - cadena vacía - para cualquier cadena S.
Ejemplo:
Simplificación: la potenciación de un símbolo
Hay veces en que una cadena contiene caracteres que se repiten un numero determinado
de veces. Ejemplo:
La cadena aaaaabbbbbbb construida sobre el alfabeto {a,b} esta formada por cinco aes
concatenadas con siete bes.
La potenciación de un símbolo simplifica la escritura de cadenas:
Sea c un carácter cualquiera, entonces c n representa la concatenación del carácter c
consigo mismo, n-1 veces. Por lo tanto c 1 = c, c 2 = cc, c 3 = ccc, etc
El operador supraíndice utilizado para potenciar un símbolo indica el número de veces
que aparece el símbolo “potenciado”.
Ejemplo: la cadena aaaaabbbbbbb puede escribirse sintéticamente como a 5 b 7 para
lograr una mayor comprensión de la cadena.
La cadena aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaabbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb es a 30 b 22.
Ejemplos
Sea S = ab, entonces S 3 = SSS = (ab) 3 = ababab
NOTA: observe la diferencia entre la cadena (ab) 3 y la cadena ab 3: el string (ab) 3 representa
la cadena ababab, mientras que ab 3 es la cadena abbb.
(abc) 0 = (1234) 0 = λ ¿Por qué?
Caso particular: λ n = λ para cualquier valor entero de n>=0
Prefijo, Sufijo y Subcadena
Un prefijo de una cadena es una secuencia de caracteres iniciales de esa cadena.
Un sufijo de una cadena es una secuencia de caracteres finales de esa cadena.
Una subcadena de una cadena es una secuencia de caracteres que se obtiene eliminando
uno o más caracteres iniciales y uno o mas caracteres finales de esa cadena.
Ejemplo:
Sea la cadena abcd
Sus prefijos son : a, ab, abc
Sus sufijos son: d, cd, bcd
Sus subcadenas son: b, c, bc
Resumen
Un símbolo o carácter es el elemento constructivo básico
Un alfabeto es un conjunto finito de símbolos
Una cadena es una secuencia finita de símbolos o una concatenación de símbolos
La longitud de una cadena es la cantidad de símbolos que la componen
La cadena vacía λ es la cadena de longitud 0
La potencia de un símbolo simplifica la escritura y la comprensión
La concatenación de dos cadenas produce una nueva cadena cuya longitud es la suma
de las longitudes
En general, la concatenación no es conmutativa
La cadena vacía es la identidad para la concatenación
La potencia de una cadena simplifica la escritura y la comprensión
