Ley de Biot Savart - Espira Cuadrada
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1
Ley de Biot Savart. EjemplosSe dispone de una espira cuadrada de lado L, por la quecircula una intensidad de corriente i. Hallar el vector inducción magnética B producido por dicha espiraen el punto P situado sobre el eje de la espira a una distanciax del centro de la misma.
x
L/2
x
y
L
i
i
z
u
P
Resultado:
Eduardo Grumel - 2010
Ley de Biot Savart. EjemplosSolución:
Primeramente vamos a calcular el campo de inducción magnética B que genera uno de los lados de la espira cuadrada.
v
u
L/2i
r-L/2
α
γm
v
u
γB
dl
2
Ley de Biot Savart. Ejemplos
20
4 r
rldiBd
)rr ×⋅=
πµ
De la figura podemos deducir que:
20 sen
4 r
dlidB
απ
µ ⋅⋅=
22 vur +=
Recordemos la ley de Biot-Savart
Ley de Biot Savart. Ejemplos
v
utg =α
γγπα cos2
=
−= sensen
u
vtg =γ
( )γtguddvdl ⋅==
γγ dudv ⋅⋅= 2sec
r
u=γcos
3
Ley de Biot Savart. Ejemplos
20
20 cos
44 r
dvi
r
sendlidB
γπ
µαπ
µ ⋅⋅=⋅⋅=
Entonces:
2
20 cossec
4 r
duidB
γγγπ
µ ⋅⋅⋅⋅=
2
2
0
coscos
cos
4
⋅
⋅⋅⋅=
γγ
γγπ
µu
duidB
Ley de Biot Savart. Ejemplos
u
didB
γγπ
µ cos
40 ⋅⋅=
∫∫ ⋅⋅⋅⋅==
m
du
idBBlado
γ
γγπ
µ0
0 cos4
2
mlado senu
iB γ
πµ ⋅
⋅⋅=
20
De la figura encontramos que:
4
Ley de Biot Savart. Ejemplos
( )22
0
2/
2/
2 Lu
L
u
iBlado
+⋅
⋅⋅=
πµ
Con este resultado, hallamos el valor de la componente Bx,lado
( )22 2/
2/
Lu
Lsen m
+=γ
Ley de Biot Savart. Ejemplos
( )22
0
2/
2/
2 Lu
L
u
iBlado
+⋅
⋅⋅=
πµ
x
L/2
x
y
L
i
i
z
u
Blado
Bx,ladoβ
( )β
πµ
senLu
L
u
iB ladox ⋅
+⋅
⋅⋅−=
22
0,
2/
2/
2
5
Ley de Biot Savart. Ejemplos
u
Lsen
2/=β
x
L/2
x
y
L
i
i
z
u
Blado
Bx,ladoβPero:
( )22 2/Lxu +=
( ) ( ) ( ) u
L
LLx
L
Lx
iB ladox
2/
2/2/
2/
2/2 22
2222
0, ⋅
+
+
⋅+⋅
⋅−=π
µ
Ley de Biot Savart. Ejemplos
( ) 2/
4/
4/2 22
2
220
,Lx
L
Lx
iB ladox
+⋅
+⋅⋅−=
πµ
Considerando que cada lado contribuye al campo total de la misma forma.
( ) 2/
4/
4/244
22
2
220
,,Lx
L
Lx
iBB ladoxtotalx
+⋅
+⋅⋅−⋅=⋅=
πµ
( ) 2/
1
4/2 2222
20
,LxLx
LiB totalx
+⋅
+⋅⋅⋅−=
πµ