ley de composicion
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Un espacio vectorial es una estructura matemática creada a partir de un conjunto no vacío con una operación suma interna al conjunto y una operación producto externa entre dicho conjunto y un cuerpo, cumpliendo una serie de propiedades o requisitos iniciales.
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A los elementos de un espacio vectorial se les llamará vectores y a los elementos del cuerpo se les llamará escalares
VSEDENOTA
K= ESCALAR
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Sea una estructura algebraica formada por un conjunto A, sobre cuyos elementos se ha definido una operación o ley de composición interna binaria denotada por “ ". Se dice que la estructura es un … (VEAMOS)
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En matemática una operación matemática es la acción de un operador sobre los elementos de un conjunto. El operador toma los elementos iniciales y los relaciona con otro elemento de un conjunto final que puede ser de la misma naturaleza o no; esto se conoce técnicamente como ley de composición.
Elementos de un conjunto de entrada
Operación
Elemento conjunto salida
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Una operación o ley de composición es la aplicación de un operador (un operador es un símbolo matemático que indica que debe ser llevada a cabo una operación especificada sobre un determinado número de operandos como serían los números, funciones, vectores, etc.) Sobre una selección de elementos pertenecientes a un conjunto. El operador toma los elementos originales y los relaciona con otro elemento de un conjunto final el cual puede ser de la misma naturaleza o no. Esto es lo que se conoce concluyentemente como ley de composición.
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a*b=3.a.bEn donde * es el operador que indica que los elementos 1 y 2, o sea en mi caso a y b se relacionan de tal manera que es igual a tres veces el producto del primer elemento por el segundo elemento
POR EJEMPLO:
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VEAMOS OTRO EJEMPLO:X * y = x * yEn donde el operador nos indica que los conjuntos formados por los elementos x y y, ambos vectores se relacionan de tal manera que sera igual a la suma del primer elemento mas el segundo elemento, es decir dicha ley relaciono un conjunto de salida con un conjunto de llegada
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LEY DE CIERRE:
Esta dice que al operar dos elementos el resultado debe pertenecer al conjunto asignado en la operación
A* AA
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Una ley de composición interna (l.c.i) es una ley que asocia a cada (todo), par de elementos de A otro elemento de A.
Ejemplos: La suma en N y la suma en Z. La suma de vectores. El producto en N y en Z. La resta en Z.
3 N y 5 N 3+5=8 y 8 N
123456789
Conjunto deNúmeros naturales
N SOLO INTERVIENE UNA CONJUNTO
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PROPIEDADES DE LAS LEYES DE COMPOSICIÓN INTERNAS
Una l.c.i () en un conjunto A es:
1. Asociativa Se dice que la ley de composición * es asociativa cuando para cualquier elementos x,y,z pertenecientes al conjunto A se verifica: Si x, y, z A(a * b) * c = a * (b * c)
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DEMOSTRAR SI:a * b = 3 . a . b ES Asociativa:
letra 1 * letra 2 = 3 . letra 1 . Letra 2Nuestra propiedad dice que: a*(b*c)=(a*b)*cSustituyendo:a*(3.b.c)b*c = 3 . Letra 1 . Letra 2 = o sea que:a*(3.b.c) =Pero quien es a*Tengo que a*b=3.a.b y me queda que:a*=3.a
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Sustituyo
3.a.(3.b.c)=(3.a.b)3c=Pero 3.a.b por ley es 3*a*b, entonces(a*b)3c=Y quien es 3c, por ley sabemos que 3c= *c, entonces nos queda que(a*b)*c=Por tanto comoa*(b*c)=(a*b)*c
queda demostrado el teorema y la ley a*b=3.a.b
Si goza de la propiedad asociativa
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2. Conmutativa
Si x, y A(x + y) A
Se dice que la ley de composición * es conmutativa cuando para cualquier elementos x , y pertenecientes al conjunto A se verifica: x * y = y * x
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SI ES CONMUTATIVA, SE CUMPLE QUE ES
SIMÉTRICA RESPECTO A LA DIAGONAL PRINCIPAL
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3. Elemento neutro
0A, xAx+0=0+x=x
Se dice que la ley de composición * posee elemento neutro cuando existe un elemento n de A tal que cualquiera que sea a perteneciente al conjunto A se verifica: a * n = a
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4. Elemento simétrico
-xA, xA-x+x=0 = x +(-x) =0
Se dice que la ley de composición, que posee elemento neutro, es simetrizable cuando para cualquier elemento de a perteneciente al conjunto A existe un elemento a' de A tal que: a*a'=nDonde n es el elemento neutro
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DISTRIBUTIVA ENTRE DOS OPERACIONES
Se dice que la ley de composición * es distributiva respecto de la operación ¤ cuando cualquiera que sean los elementos a, b, c pertenecientes al conjunto A se verifica: a * (b ¤ c)= a * b ¤ a * c
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LEYES DE COMPOSICIÓNEXTERNAS
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dados dos conjuntos A y K, definimos una ley de composición externa cuyo conjunto de operadores es K si se cumple que,
Por ejemplo si A es un conjunto de vectores libres del plano y K=N.En particular una Ley de composición interna es un caso de ley de composición externa, en el cual los dos conjuntos A y K coinciden.
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Una ley de composición externa sobre un conjunto A con un conjunto B es una aplicación:
esta aplicación se dice que es una operación externa.
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Dado el conjunto de los vectores en el plano y el conjunto de escalares de números reales, tenemos que el producto de un número real por un vector en el plano es un vector en el plano:
Dado el vector:
Si lo multiplicamos por un escales 3:
podemos ver que los dos vectores son del plano:
POR EJEMPLO:
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VEMOS QUE PARTIMOS DE UN CONJUNTO (en este caso un vector) lo multiplicamos por un escalar (elemento perteneciente a otro conjunto) y obtuvimos un resultado perteneciente al primer conjunto o sea un vector
A . B AA es el vector
B es el escalar: 3
Nos devuelve Que pertenece al conjunto A, el conjunto de vectores
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Según las leyes que cumplan Las estructuras algebraicas de una operación asi tienen un nombre en particular así:
HAZ CLIC EN LA IMAGEN
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Estructuras algebraicas
Se llama estructura algebraica a todo conjunto en la que se han definido una o varias leyes de composición
HAZ CLIC EN LA IMAGEN
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DISTRIBUTIVA POR LA DERECHA
K , K , xV (+)x=x + x
DISTRIBUTIVA POR LA IZQUIERDA
K , xv , yv (x + y) = x + y
K , K , XV () x = (x)
UNICIDAD ELEMENTO NEUTRO
1K , xV 1.X = X.1 = X
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SEMIGRUPO
Se dice que el conjunto A con la ley de composición interna * tiene estructura de semigrupo si la ley es asociativa. Si la operación * posee la propiedad conmutativa o elemento neutro o ambas a la vez, el semigrupo se llama conmutativo, con elemento neutro o conmutativo con elemento neutro, respectivamente.
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GRUPO
Se dice que el conjunto A con la ley de composición interna * tiene estructura de grupo si la ley es asociativa, posee elemento neutro y es simetrizable.
Si la operación * posee la propiedad conmutativa, entonces el grupo se llama conmutativo o abeliano.
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SEMIANILLO
Se llama semianillo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composición interna que tienen estructura de semigrupo y además una ley de composición es distributiva respecto a la otra.
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ANILLO
Se llama anillo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composición interna una que tiene estructura de grupo y la otra de semigrupo y además una ley de composición es distributiva respecto a la otra.
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CUERPO
Se llama cuerpo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composición interna que tienen estructura de grupo y además una ley de composición es distributiva respecto a la otra.
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ESPACIO VECTORIAL
Se llama espacio vectorial a la estructura en la que se ha definido sobre el conjunto A una estructura de cuerpo conmutativo y una ley externa sobre el conjunto B que satisfacen las siguientes condiciones: A con la ley * es un grupo conmutativo Distributiva de la ley externa ¤ respecto de la interna * en A Distributiva de la ley externa ¤ respecto de la enterna * en B Asociativa mixta Neutralidad de la ley externa
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EJEMPLO:Sea E = {e, a, b, c} y definimos en dicho conjunto una ley de composición interna, representada por (•), para la que “e” es el elemento neutro y, además, la ley viene definida por las siguientes igualdades:
Demostrar que esta ley es asociativa y conmutativa.
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Con los datos dados formamos la tabla:
La ley es conmutativa por ser la tabla simétrica respecto a la diagonal principal.
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Cada elemento posee su simétrico:
Para ver si la ley es asociativa, debemos desarrollar todos los términos y comprobar que no existe ningún contraejemplo. Vg:
Es fácil comprobar que no existen contraejemplos, por lo que podemos concluir que la ley es asociativa.
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queda demostrado el teorema y la ley
Si goza de la propiedad conmutativa y asociativa
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Dado el conjunto Z, definimos en él las siguientes operaciones:
Determinar si es un grupo conmutativo y es un semigrupo conmutativo.
![Page 37: ley de composicion](https://reader037.fdocuments.es/reader037/viewer/2022102701/5571f9fb497959916990f038/html5/thumbnails/37.jpg)
En caso positivo para los apartados anteriores, determinar si es un anillo
![Page 38: ley de composicion](https://reader037.fdocuments.es/reader037/viewer/2022102701/5571f9fb497959916990f038/html5/thumbnails/38.jpg)
Estructura de grupo
Anillo
Estructura de semigrupo
además una ley de composición es distributiva respecto a la otra.
RECORDEMOS
![Page 39: ley de composicion](https://reader037.fdocuments.es/reader037/viewer/2022102701/5571f9fb497959916990f038/html5/thumbnails/39.jpg)
DEBEMOS PROBAR:ASOCIATIVIDADELEMENTO NEUTROSIMETRÍA
(a * b) * c = a * (b * c)a * n = a
a*a'=nDonde n es el elemento neutro
a * (b ¤ c)= a * b ¤ a * c
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se cumple la propiedad asociativa.
(a * b) * c = a * (b * c)
![Page 41: ley de composicion](https://reader037.fdocuments.es/reader037/viewer/2022102701/5571f9fb497959916990f038/html5/thumbnails/41.jpg)
Existencia de elemento neutro:
Por lo tanto, el elemento neutro es el 8. Como es distinto de 0 vemos que si existe
![Page 42: ley de composicion](https://reader037.fdocuments.es/reader037/viewer/2022102701/5571f9fb497959916990f038/html5/thumbnails/42.jpg)
Elementos simétricos:
Todos los elementos tienen simétrico por la izquierda y es de la forma indicada. Si se verifica la propiedad conmutativa no es necesario desarrollar las anteriores propiedades por la derecha
por lo tanto, sí se verifica la propiedad conmutativa
![Page 43: ley de composicion](https://reader037.fdocuments.es/reader037/viewer/2022102701/5571f9fb497959916990f038/html5/thumbnails/43.jpg)
TODOS LOS ELEMENTOS TIENEN SIMÉTRICO.
![Page 44: ley de composicion](https://reader037.fdocuments.es/reader037/viewer/2022102701/5571f9fb497959916990f038/html5/thumbnails/44.jpg)
Ley de simplificación:
Y puesto que se cumple la ley conmutativa, podemos decir que todos los elementos son regulares a izquierda y derecha.
![Page 45: ley de composicion](https://reader037.fdocuments.es/reader037/viewer/2022102701/5571f9fb497959916990f038/html5/thumbnails/45.jpg)
LA ESTRUCTURA ESTUDIADA ES,
POR CONSIGUIENTE,
UN GRUPO AVELIANO.