Resumen—En el siguiente trabajo se presenta una aplicación a la Medicina Legal, resolviéndolo a través de ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos, aplicando la Ley de Enfriamiento/Calentamiento de Newton.

Palabras claves—Enfriamiento de Cuerpos, Temperatura ambiente, Constante de proporcionalidad, Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.

I. INTRODUCCIÓN

En este documento introduciremos la idea de una

ecuación diferencial como un modelo matemático, en nuestro caso analizaremos el modelo especifico en Biología puntualmente en Medicina Legal, ya que hemos estudiado alguno de los métodos de solución de las ecuaciones diferenciales en los capítulos pasados, retomaremos lo aprendido para resolver el siguiente modelo.

Antes de empezar con el desarrollo de este trabajo, recordemos un poco de historia del desarrollo de las matemáticas centrándonos en el Físico-matemático Inglés Isaac Newton de cual nos basaremos en su ley.

Newton y Leibniz desarrollan el cálculo diferencial integral, que consiste en calcular la pendiente de la recta tangente a una curva y determinar el área limitada por una curva, respectivamente. A ellos se los conoce como los fundadores del cálculo, por la manera en como relaciona ambos problemas; tales relaciones se encuentran enunciadas en el resultado más importante del cálculo, denominado: Teorema fundamental del cálculo. Este fue el comienzo del análisis y dio ímpetu a las matemáticas así como también a la ciencia moderna vigente en la actualidad. De igual forma, el mayor número de aplicaciones matemáticas a la ciencia se concentran en el cálculo, en particular el estudio de las ecuaciones diferenciales.

II. LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON

De acuerdo con la empírica de Newton de enfriamiento/calentamiento, la rapidez con la que cambia la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo (t) y la del medio en que la rodea, que se llama temperatura ambiente (T). Si T (t) representa la temperatura del cuerpo al tiempo t, Tm es la temperatura del medio que lo rodea dT/dt, es la rapidez con

que cambia la temperatura del cuerpo, entonces la ley de Newton de enfriamiento/calentamiento traducida en expresión matemática es:

dTdt

α T−T m o dTdt

= k ¿),

Donde k es una constante de proporcionalidad. En ambos casos, enfriamiento o calentamiento, si Tm es una constante, se establece que k < 0 (que depende únicamente de la naturaleza de dicho objeto).

III. UNA APLICACIÓN A LA MEDICINA LEGAL: DETERMINAR LA HORA DE UN FALLECIMIENTO

Con la finalidad de poner estimar con cierta precisión la hora aproximada de fallecimiento de una persona es de suma importancia en la investigación de un homicidio, suicidio o muerte accidental. Para ello proponemos el siguiente modelo matemático para la resolución del mismo.

Supongamos que una persona x, fue asesinada por tratar de defenderse de un asaltante mientras el ingresaba a su domicilio, su muerte es instantánea, después de un balazo en la cabeza; imaginando que la temperatura corporal de la víctima en el momento del homicidio era de 36ºC; una agente forense haciendo uso de la ley de enfriamiento de Newton, analiza que sin más que hacer una segunda medida de la temperatura del cuerpo T1 algún tiempo después, es decir en el instante t1. Por consiguiente la condición inicial:

X(0) = T0

X (t) = Ta + (T0 – Ta)e−kt

Como X (t1) = T1, entonces:

T1 = Ta + (T0 – Ta)e−kt 1

T1 – Ta = (T0 – Ta) e−kt 1 (ecuación 1)

Despejamos la variable k:

T 1 – T aT 0 – T a

=e−kt 1

Aplicamos Logaritmo Natural para eliminar la variable Euler.

Ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos

Bosmediano Carrión, María Soledad; Ochoa Quezada Pablo David; Cuenca Macas, Silvio Javier.msbomediano@utpl.edu.ec; pdochoa1@utpl.edu.ec; sjcuenca2@utpl.edu.ec

Universidad Técnica Particular de Loja

1

k = 1t 1

lnT 1 – T aT 0 – T a

(ecuación 2)

Como X(Tm) = Tm, reemplazamos en la ecuación 1:

Tm = Ta + (T0 – Ta)e−kt m

Tm - Ta = (T0 – Ta)e−kt m(ecuación 3)

Despejamos la variable tm:

tm = 1k

lnT m−TaT 0 – T a

(ecuación 4)

Si por ejemplo la temperatura del cadáver cuando es descubierto es de 30,2ºC, tres horas después de 21,3 ºC y la temperatura ambiente es de 20º C.

k = 1

3 h∈( 30.2℃ – 20℃

21.3℃ – 20℃) ≈ 0.6866 h

Una vez conocida el valor de la constante o variable k procedemos a encontrar el tiempo de muerte (tm), en la ecuación 4:

tm ≈ 1

0.6866 h∈( 36℃ – 20℃

21.3℃ – 20℃) ≈ 3.656

h

Como conclusión sabemos que la persona ha fallecido aproximadamente en 3 horas, 39 minutos con 21.68 segundos.

Fig. 1:Gráfica de la ecuación 1.

IV. BIBLIOGRAFÍA

Zill, Dennis G, Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado, Latinoamérica 2009, novena edición, (pp 28).

Autores

Profesionales en formaciónMaría Soledad Bosmediano Carrión Pablo David Ochoa QuezadaSilvio Javier Cuenca Macas

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