Ley de GAUSS y Aplicaciones

Prof. Dr. Victor H. Rios

2009

Cátedra de Física Experimental II

Fisica III -09

Fisica III

Fisica III -09

- Fundamentos básicos

- Flujo de campo eléctrico.- Ley de Gauss.- Diferencia de potencial electrostático.- Relación entre campo y potencial eléctrico.- Superficies equipotenciales.- Conductores

Contenidos

- Aplicaciones

-Condensadores, Condensador plano – paralelo.- Campo y potencial de una esfera conductora.- Campo, Potencial y Energía de un condensador

cargado.- Condensador cilíndrico, capacidad y energía.- Dieléctricos

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Concepto de flujo del campo eléctrico

Cuando el vector campo eléctrico E es constante en todos los puntos de una superficie S, se denomina flujo al producto escalar del vector campo por el vector superficie Φ = E·S

El vector superficie es un vector que tiene:

c) por módulo el área de dicha superficied) la dirección es perpendicular al plano que la

contiene

• el vector campo E y el vector superficie S son perpendiculares el flujo es cero • E es variable en S se puede escribir:

Fig. 10 Esquema para el cálculo de Φ

∫=Φ SdE

.

Cuando

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Ley de Gauss

El teorema de Gauss afirma que :

• El flujo del campo eléctrico a través de una

superficie cerrada :

es igual

• al cociente entre la carga que hay en el interior de dicha superficie dividido en ε0, es decir : q / ε0 .

∫=ΦSE

SdE

.

0

.εq

SdES

=∫

Fig.11 Esquema para el uso del teorema de Gauss

Ley de Gauss

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1.- A partir de la simetría de la distribución de carga, deter- minar la dirección del campo eléctrico.

La dirección del campo es radial y perpendicular a la línea cargada

2.- Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo

Pasos a seguir para el cálculo de E

Tomamos como superficie cerrada, un cilindro de radio r y longitud L.

• Flujo a través de las bases del cilindro: el campo E y el vector superficie S1 o S2 forman 90º, luego el flujo es cero

• Flujo a través de la superficie lateral del cilindro: el campo E es paralelo al vector superficie dS y es constante en todos los puntos de la superficie lateral,

El flujo total es: E 2π r L⇒∫ ∫∫ ==°=S SS

LrEdSEdSEdSE π20cos.

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3.- Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada

La carga que hay en el interior de la superficie cerrada vale q = λ L, donde λ es la carga por unidad de longitud.

4.- Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico

Conclusión

El mismo resultado que hemos obtenido previamente, pero de una forma mucho más simple.

0

2ε

λπ LLrE =

rE

02 επλ=⇒

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Actualmente, los libros de texto no suelen mencionar el átomo de Kelvin-Thomson. Sin embargo, durante el periodo que va de 1902 a 1906 tuvo bastante éxito, hasta que Rutherford demostró que este modelo no podía explicar la dispersión de partículas alfa por los átomos de una lámina de oro.

Modelo del átomo de Kelvin-Thomson

Este modelo simple de átomo explica-ba bastante bien la valencia química, la emisión de partículas β por los núcleos de elementos radioactivos, etc.

Consideramos el caso más simple, un átomo o ion hidrogenoide con un solo electrón. Suponemos que el átomo tiene forma esférica de radio R, y que la carga positiva Q está uniformemente distribuida en dicha esfera.

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Campo eléctrico de una distribución esférica y uniforme de carga

El teorema de Gauss afirma :

0

.εq

SdES

=∫

Para una distribución esférica y uniforme de carga, la aplicación del teorema de Gauss requiere los siguientes pasos:

1.- A partir de la simetría de la distribución de carga, deter- minar la dirección del campo eléctrico.

La distribución de carga tiene simetría esférica, la dirección del campo es radial.

2.- Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo

Tomamos como superficie cerrada, una esfera de radio r.

Fig. 12 Geometría para usar Gauss

El campo eléctrico E es paralelo al vector superficie dS , y el campo es constante en to-dos los puntos de la superficie esférica como se ve en la figura, por lo que:

El flujo total es : E 4π r 2⇒∫ ∫ ∫ ==°=S S S

rEdSEdSESdE 240cos. π

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3.- Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada

Para r < R. (figura de la izquierda)

Si estamos calculando el campo en el interior de la esfera uni-formemente cargada, la carga que hay en el interior de la su- perficie esférica de radio r es una parte de la carga total ( en color naranja), que se calcula multiplicando la densidad de carga por el volumen de la esfera de radio r.

Fig.13 Superficies de Gauss usadas.

Para r > R ( figura de la derecha)

⇒

Si estamos calculando el campo en el exterior de la esfera unifor-memente cargada, la carga que hay en el interior de la superficie esférica de radio r es la carga total

⇒ q = Q

3

3

R

rQq =

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4.- Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico

se obtiene

El campo en el exterior de una esfera cargada con carga Q, tiene la misma expre-sión que el campo producido por una carga puntual Q situada en su centro para r > R .

Concluímos

0

24ε

π qrE =

)(4 3

0

RrR

rQE <=

επ

)(4 2

0

Rrr

QE >=

επ

r = R r

E

)(4 3

0

RrR

rQE <=

επ)(

4 20

Rrr

QE >=

επ

Potencial

Para calcular el potencial en un punto P a una distancia r del centro de la esfera carga-da V ( r ) , lo haremos de la siguiente manera:

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Representamos el módulo del campo eléctrico E, en función de la distancia r al centro de la esfera cargada, en los intervalos 0 < r < R y r > R

Fig.14 Grafico del campo E = E ( r )

r > R

• Para hallar el potencial en un punto P que está fuera de la esfera cargada basta hallar el área sombreada (figura de la derecha)

)(4 2

0

Rrr

QE >=

επ

∫∫∞

∞

==−=r

r

r

Q

r

QrdEV

02

0 44.

επεπ

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Fig.14 Grafico del cam-

po E = E ( r )

• Para calcular el potencial en un punto P, en el interior de la esfera cargada, es necesario sumar dos áreas, por ser la función que describe la dependencia del campo E con r, dis- continua en el punto r = R. (figura de la izquierda)

Potencial en r < R

)(4 3

0

RrR

rQE <=

επ )(4 2

0

Rrr

QE >=

επ

drr

Qdr

R

rQrV

R

R

r ∫∫∞

+=2

03

0 44)(

επεπ

)22

3(

4)(

2

2

0 R

r

R

QrV −=

επ

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Energía de ionización

La energía de ionización, es la energía mínima necesaria para sacar al electrón situado en el origen de la esfera cargada hasta el infinito.

Para un átomo con un electrón q = Q = e = 1.6 10-19 C, R~ 10-10 m, WI =3.456 10-18 J = 21.6 eV.

Es algo mayor que la energía de ionización del electrón en un átomo de hidrógeno en el estado fundamental, 13.6 eV.

)22

3(

4)(

2

2

0 R

r

R

QrV −=

επ R

QV

042

3)0(

επ=

La energía de Ionización será:R

QqVqWIonización

042

3)0(

επ==

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Energía de la esfera cargada

La energía vale entonces

drr

dq

∫=R

formacion dqrVW0

)(2

1¿ Como calculamos dq ?

3

3

4r

πτ = drrdrrd 22 433

4 ππτ ==

τρ ddq = drR

rQd

Qdq

3

23== ττ

)22

3(

4)(

2

2

0 R

r

R

QrV −=

επ

R

Qdr

R

rQ

R

r

R

QW

R

formacion0

2

03

2

2

2

0 45

33)

2

1

2

3(

42

1

εππε=−= ∫

1) Volumen

2) Carga

3) Potencial

4) Energia

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Energía total del átomo de Kelvin-Thomson

La energía total de nuestro modelo de átomo de hidrógeno Q = q = e, es la diferencia entre dos energías:

• la energía necesaria para formar la distribución uniforme de carga positiva Wformacion

• la energía necesaria para sacar el electrón de la atracción de dicha carga Wionizacion.

R

eWWW ionizacionformación

0

2

410

9

επ−=−=

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Conductores

Localización del exceso de carga en un conductor

Un conductor se caracteriza por que los portadores de carga se pueden mover libremente por el interior del mismo.

Si las cargas en un conductor en equilibrio están en reposo, la intensidad del campo eléctrico en todos los puntos inte-riores del mismo deberá ser cero, de otro modo, las cargas se moverían originando una corriente eléctrica.

Dentro de un conductor de forma arbitraria se traza una superficie cerrada S:

Fig. 15 Conductor • El campo eléctrico E = 0 en todos los puntos de dicha superficie. • El flujo a través de la superficie cerrada S es cero.* La carga neta q en el interior de dicha superficie es nula.

Como la superficie cerrada S la podemos hacer tan pequeña como queramos, concluímos que en todo punto P del interior de un conductor no hay exceso de carga, por lo que esta deberá situarse en la superficie del conductor.

∫ =S

SdE 0.

CONCLUSION

Aplicaciones de Campo y Potencial eléctrico

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Campo producido por un conductor esférico de cargado

El teorema de Gauss afirma que:0

.εq

SdES

=∫

Consideremos una esfera metálica de radio R cargada con una carga Q.

1.-A partir de la simetría de la distribu-ción de carga, determinar la dirección del campo eléctrico.

La distribución de carga tiene sime-tría esférica luego, la dirección del campo es radial

2.-Elegir una superficie cerrada apro-piada para calcular el flujo

Tomamos como superficie cerrada, una esfera de radio r.

El campo E es paralelo al vector superficie dS, y el campo es constante en todos los puntos de la superficie esférica por lo que,

Fig. 21 Esfera metálica

El flujo total es : E·4π r2⇒

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3.- Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada

• r < R No hay carga en el interior de la esfera de radio r < R, q = 0

• r > R Si estamos calculando el campo en el exterior de la esfera cargada, la carga que hay en el interior de la superficie esférica de radio r es la carga total q = Q.

4.- Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico

En la fig. 22, se muestra la represen-tación del módulo del campo eléctri-co E en función de la distancia ra-dial r.

Fig.22 Gráfico E = E (r)

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Potencial de la esfera conductora

Se denomina potencial a la diferencia de potencial entre un punto P a una distancia r del centro de la esfera y el infinito.

Como el campo en el interior de la esfera conductora es cero, el potencial es constante en todos sus puntos. El potencial en la superficie de la esfera es el área sombreada (fig. de la derecha)

Se denomina capacidad de la esfera (más adelante definiremos esta magnitud) al cociente entre la carga y su potencial:

C = Q / V = 4 π ε0 R

Capacidad

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CondensadorSe denomina condensador al dispositivo formado por dos conductores cuyas cargas son iguales pero de signo opuesto.

La capacidad C de un condensador se define como el cociente entre la carga Q y la diferencia de potencia V-V’ existente entre ellos.

La unidad de capacidad es el farad o faradio F, aunque se suelen emplear submúltiplos de esta unidad como el microfaradio µF=10-6 F, y el picofaradio, pF=10-12 F.

Un condensador acumula una energía U en forma de campo eléctrico. La fórmula como demostraremos más abajo es

Condensador plano-paralelo

En primer lugar, calculamos el campo creado por una placa plana indefinida, cargada con una densidad de carga σ , aplicando la ley de Gauss.

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Campo creado por una placa plana indefinida, cargada.

Para una placa indefinida cargada, la aplicación del teorema de Gauss requiere los siguientes pasos:

1.- A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección del campo eléctrico.

La dirección del campo es perpendicular a la placa cargada, hacia afuera si la carga es positiva y ha-cia la placa si la carga es negativa.

2.-Elegir una superficie cerrada apropiada pa- ra calcular el flujo

Tomamos como superficie cerrada, un cilindro de base S, cuya generatriz es perpendi-cular a la placa cargada. El flujo tiene dos contribuciones

* Flujo a través de las bases del cilindro: el campo y el vector superficie son paralelos.

E·S1 + E·S2 = 2 E S cos0º = 2 E S

• Flujo a través de la superficie lateral del cilindro. El campo E es perpendicular al vector superficie dS, el flujo es cero. El flujo total es por tanto; 2 E S

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3.- Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada

La carga (en la figura de color rojo) en el interior de la superficie cerrada vale : q = σ S

donde σ es la carga por unidad de su-perficie

4.-Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico

⇒

El campo producido por una placa infinitamente grande es constante, su dirección es perpendicular a la placa. Esta fórmula la podemos considerar válida para distancias próximas a una placa en comparación con sus dimensiones.

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Campo creado por dos placas planas cargadas con cargas iguales y opuestas.

Supondremos que las placas son infinitamente grandes o bien, que la separación entre las placas es pequeña com-parada con sus dimensiones.

En la figura de arriba, se muestra el campo producido por cada una de las placas y en la figura de abajo, el campo resultante.

Sea un condensador formado por dos placas iguales de área S, separadas una distancia d, pequeña en compara-ción con las dimensiones de las placas.

• El campo se cancela en la región del espacio situado fuera de las placas, y se suma en el espacio situado entre las placas.

• Por tanto, solamente existe campo entre las placas del condensador, siendo despreciable fuera de las mismas.

Como el campo es constante, la diferencia de potencial entre las placas se calcula multiplicando el módulo del campo por la separación entre las mismas.

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La capacidad del condensador plano-paralelo será

donde Q = σ S es la carga total de la placa del condensador.

La capacidad del condensador solamente depende de su geometría, es decir, del área de las placas S y de la separación entre las mismas d.

Energía de un condensador cargado

Para cargar un condensador pasamos carga de la placa de menor a la de mayor potencial y requiere, por tanto, el consumo de energía.

Imaginemos que el proceso de carga comienza con ambas placas completamente descar-gadas y después, sacamos repetidamente cargas positivas de una de ellas y la pasamos a la otra.

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El trabajo total realizado en el pro-ceso de carga, mientras esta au-menta desde cero hasta su valor final Q.

El trabajo necesario para incrementar en dq la carga del condensador será : dW = V · dq

⇒

q = C·V

En un momento dado, tendremos una carga q en las placas y la diferencia de potencial entre las mismas será V tal que:

Energía de un condensador cargado

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Capacidad de un condensador cilíndrico

El campo existente entre las armaduras de un condensador cilíndrico de radio interior a, radio exterior b, y longitud L, cargado con cargas +Q y –Q, respectivamente, se calcula aplicando la ley de Gauss a la región a < r < b, ya que tanto fuera como dentro del conden-sador el campo eléctrico es cero.

La aplicación del teorema de Gauss, es similar al de una línea cargada requiere los siguientes pasos:

1.- A partir de la simetría de la distri- bución de carga, determinar la di- rección del campo eléctrico.

La dirección del campo es radial y perpendicular al eje del cilindro.

2.- Elegir una superficie cerrada a- propiada para calcular el flujo

Tomamos como superficie cerrada, un cilindro de radio r, y longitud L. Tal como se muestra

en la figura. El cálculo del flujo, tiene dos componentes

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• Flujo a través de las bases del cilindro: el campo y el vector superficie son perpendicu- lares, el flujo es cero.

El cálculo del flujo, tiene dos componentes

• Flujo a través de la superficie lateral del cilindro. El campo E es paralelo al vector superficie dS, y el campo es constante en todos los puntos de la superficie lateral, por lo que:

El flujo total es por tanto : E 2 π r L

3.- Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada

La carga en el interior de la superficie cerrada vale +Q, que es la carga de la armadura cilíndrica interior

4.- Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico

⇒

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Ahora, es fácil demostrar, aplicando el teorema de Gauss que el campo en las regionesr < a y r > b es nulo.

• En el primer caso, si tomamos una superficie cilíndrica de radio r < a y de longitud L, dicha superficie no encierra carga alguna.

• En el segundo caso, si tomamos una superficie cilíndrica de radio r > b y longitud L, la carga total encerrada es +Q – Q = 0 , es nula, el flujo es cero y el campo es cero.

En la figura, se muestra la representación gráfica del campo E en función de la distancia radial r.

La diferencia de potencial entre las placas del conden-sador se calcula integrando, (área sombreada de la figura).

La capacidad es : ⇒

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La capacidad solamente depende de la geometría del condensador (radio a y radio b de sus armaduras, y longitud L del condensador)

Si el cilindro interior no está comple-tamente introducido en el exterior, sino solamente una longitud x, la capacidad del condensador será

Energía del condensador

⇒

⇒

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Efecto del dieléctrico en un condensador

La mayor parte de los condensadores llevan entre sus láminas una sustancia no conductora o dieléctrica. Un condensador típico está formado por láminas metálicas enrolladas, separadas por papel impregnado en cera. El condensador resultante se envuelve en una funda de plástico. Su capacidad es de algunos microfaradios.

• La botella de Leyden es el condensador más primitivo, consiste en una hoja metálica pegada en las superficies interior y exterior de una botella de vidrio.

• Los condensadores electrolíticos utilizan como dieléctrico una capa delgada de óxido no conductor entre una lámina metálica y una disolución conductora. Los condensadores electrolíticos de dimensiones relativamente pequeñas pueden tener una capacidad de 100 a 1000 mF.

La función de un dieléctrico sólido colocado entre las láminas es triple:

Resuelve el problema mecánico de mantener dos grandes láminas metálicas a dis-tancia muy pequeña sin contacto alguno.

Consigue aumentar la diferencia de potencial máxima que el condensador es capaz de resistir sin que salte una chispa entre las placas (ruptura dieléctrica).

La capacidad de un condensador de dimensiones dadas es varias veces mayor con un dieléctrico que separe sus láminas que si estas estuviesen en el vacío.

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Sea un condensador plano-paralelo cuyas láminas hemos cargado con cargas +Q y –Q, iguales y opuestas. Si entre las placas se ha hecho el vacío y se mide una diferencia de potencial V0, su capacidad y la energía que acumula serán

Si introducimos un dieléctrico se observa que la diferencia de potencial disminuye hasta un valor V La capacidad del condensador con dieléctrico será

donde k se denomina constante dieléctrica

La energía del condensador con dieléctrico es :

la energía de un condensador con dieléctrico disminuye respecto de la del mismo condensador en vacío.

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Dieléctrico Constante dieléctrica

Ámbar 2.7-2.9

Agua 80.08

Aire 1.00059

Alcohol 25.00

Baquelita 4-4.6

Cera de abejas 2.8-2.9

Glicerina 56.2

Helio 1.00007

Mica moscovita 4.8-8

Parafina 2.2-2.3

Plástico vinílico 4.1

Plexiglás 3-3.6

Porcelana electrotécnica 6.5

Seda natural 4-5

Fuente: Manual de física elemental, Koshkin N. I, Shirkévich M. G., Edt. Mir, págs 124-125

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Fisica III - 05

Idea molecular de las cargas inducidas

La disminución de la diferencia de potencial que experimenta el condensador cuando se introduce el dieléctrico puede explicarse cualitativamente del siguiente modo.

• Las moléculas de un dieléctrico pueden clasificarse en polares y no polares.

• Por el contrario, las moléculas N2O y H2O no son simétricas y los centros de distribución de carga no coinciden.

• Las moléculas son simétricas y el centro de distribución de las cargas positivas coincide con el de las negativas

• Las moléculas como H2, N2, O2, etc. son no polares.

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Bajo la influencia de un campo eléctrico, las cargas de una molécula no polar llegan a des-plazarse como se indica en la figura, las cargas positivas experimentan una fuerza en el sentido del campo y las negativas en sentido contrario al campo.

Dipolos Inducidos

La separación de equilibrio se establece cuando la fuerza eléctrica se compensa con la fuerza recuperadora ( como si un resorte uniese los dos tipos de cargas ). Este tipo de dipolos formados a partir de moléculas no polares se denominan dipolos inducidos.

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Las moléculas polares o dipolos permanentes de un dieléctrico están orientados al azar cuando no existe campo eléctrico, como se indica en la figura. Bajo la acción de un campo eléctrico, se produce cierto grado de orientación. Cuanto más intenso es el campo, tanto mayor es el número de dipolos que se orientan en la dirección del campo.

Moléculas polares en un campo eléctrico

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Sean polares o no polares las moléculas de un dieléctrico, el efecto neto de un campo exte-rior se encuentra representado en la figura inferior.

Al lado de la placa positiva del con-densador, tenemos carga inducida negativa y al lado de la placa nega-tiva del condensador, tenemos car-ta inducida positiva.

Efecto resultante de la aplicación de un campo a un dieléctrico

Algunas de las líneas de campo que abandonan la placa positiva penetran en el dieléctrico y llegan a la placa negativa, otras terminan en las cargas inducidas.

Como vemos en la parte derecha de la figura, debido a la presencia de las cargas inducidas el campo eléc-trico entre las placas de un conden-sador con dieléctrico E es menor que si estuviese vacío E0.

El campo y la diferencia de potencial disminuyen en proporción inversa a su constante dieléctrica k = є / є0 E = E0 / k⇒

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Ejemplo:

Se conecta un condensador plano-paralelo a una batería de 10 V. Los datos del condensador son:

* el área de cada una de sus placas es 0.07 m2, * la distancia entre las mismas es 0.75 mm.

1. Condensador en vacío

La capacidad del condensador vacío

La carga Q y densidad de carga σf en las placas del condensador es

Q = C0 · ( V - V’ ), Q = 8.25·10-9 C

El campo eléctrico en el espacio comprendido entre las placas del condensador es:

E0 = σf / є0 , E0 = 13333.33 N / C

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Se desconecta el condensador de la batería y se introduce un dieléctrico, por ejemplo, baquelita de k = 4.6

Capacidad con dieléctrico

La capacidad del condensador, aumenta : C = k ·C0, C = 3.80 ·10-9 F

La diferencia de potencial entre las placas, disminuye :

V - V’ = Q / C, V - V’ = 2.17 V

El campo eléctrico E en el espacio comprendido entre las pla-cas del condensador es:

E = E0 / k, E = 2898.6 N/C

Podemos considerar este campo E, como la diferencia entre el campo E0 producido por las cargas libres existentes en las placas, y el campo Eb producido las cargas inducidas en la superficie del die-léctrico, ambos campos son de signos contrarios.

E = E0 - Eb

La densidad de carga inducida en el dieléctrico es σb = 9.23·10-8 C/m2

Capacitores comerciales

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Capacitores en Serie

Los condensadores Ci conectados en serie a un potencial V adquieren la misma carga.

La carga +Q del primer condensador indu-ce una -Q en la otra placa, inicialmente des-cargada; esto sólo es posible si aparece o-tra carga +Q en el segundo condensador y así sucesivamente.

Por tanto:i

ii

i C

QV

V

QC =→=

La diferencia de potencial total es la suma de las caídas de potencial Vi en los distintos condensadores:

∑∑∑===

===n

i i

n

i i

n

ii C

QC

QVV

111

1

∑∑==

=== n

ii

n

ii CCQ

Q

V

QC

11

1

1

1y la capacidad equivalente:

o, lo que es lo mismo:

n

n

i i CCCCC

11111

211

+++== ∑=

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Capacitores en Paralelo

Probar que la capacidad equivalente es :

∑∑

=

= ===n

ii

n

ii

CV

CV

V

QC

1

1

La capacidad equivalente de un conjunto de condensadores unidos en para-lelo es la suma de las capacidades de los condensadores aislados.

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FIN