Ley de Propagación del Error - Ejemplos · Resumen de cómo tratar errores 12 MEDICIONES...
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Ley de Propagación del Error
- Ejemplos -
Planteo del problema:
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MEDICIONES ELÉCTRICAS IDepartamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica
Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata
EI
A
Medida Directa Medida Indirecta
EI
A
VR
¿Cual será el error máximo en la medida de R?
I I Em limA
= ±I I Em limA
= ±
U U Em limV
= ±𝑅 =
𝑈𝑚
𝐼𝑚
• Se mide I directamente: • Se miden U e I de forma directa y con ellosse saca R:
Ley de propagación del error
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• La deducción de la ley de propagación del error esta basada en la serie de Taylor.
Ejemplo: Serie de Taylor para una función f(x) entorno a un punto “a”
(Permite estimar el error de una medida indirecta)
• La serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una
función en un punto “x” en términos del valor de la función en otro punto “a” y de sus
derivadas en ese punto “a”.
Donde :n! es el factorial de n
es la enésima derivada de f en el punto a.
Función exponencial
Ejemplo:
Serie de Taylor para valores de “a” entorno al punto 0, con n=3
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎 + 𝑑𝑓 𝑥
𝑑𝑥 𝑎
𝑥 − 𝑎 +1
2 𝑑𝑓2 𝑥
𝑑𝑥2 𝑎
(𝑥 − 𝑎)2 + ⋯ +1
𝑛! 𝑑𝑓𝑛 𝑥
𝑑𝑥𝑛 𝑎
(𝑥 − 𝑎)𝑛
𝑑𝑓𝑛 𝑥
𝑑𝑥𝑛 𝑎
Ley de propagación del error
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(Permite estimar el error de una medida indirecta)
Supóngase que se tiene una función w = f(u). Considere que la variable “u” se
mide y se obtiene un valor medido “um” que es una aproximación del verdadero
valor de u (“uv”).
Por lo tanto, como um y uv son valores próximos se podría aplicar la serie de
Taylor, entonces:
𝑓 𝑢𝑣 = 𝑓 𝑢𝑚 + 𝑑𝑓 𝑢
𝑑𝑢 𝑢𝑚
𝑢𝑣 − 𝑢𝑚 +1
2 𝑑𝑓2 𝑢
𝑑𝑢2 𝑢𝑚
(𝑢𝑣 − 𝑢𝑚 )2 + ⋯ +1
𝑛! 𝑑𝑓𝑛 𝑢
𝑑𝑢𝑛 𝑢𝑚
(𝑢𝑣 − 𝑢𝑚 )𝑛
Luego, si es pequeño, entonces es aún más pequeño.
Si se desprecian los términos de 2do orden y superior se tendría:
𝑓 𝑢𝑚 − 𝑓 𝑢𝑣 = 𝑑𝑓 𝑢
𝑑𝑢 𝑢𝑚
𝑢𝑚 − 𝑢𝑣
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑤 = 𝑑𝑓 𝑢
𝑑𝑢 𝑢𝑚
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑢
𝑢𝑣 − 𝑢𝑚 𝑢𝑣 − 𝑢𝑚 2
𝑓 𝑢𝑣 = 𝑓 𝑢𝑚 +𝑑𝑓 𝑢
𝑑𝑢 𝑢𝑚
𝑢𝑣 − 𝑢𝑚
Expresión general de la ley de propagación del error
para una función de una variable
Ley de propagación del error
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w f u v ( , )
De manera similar, si W es función de dos variables:
𝑓 𝑢𝑣 , 𝑣𝑣 = 𝑓 𝑢𝑚 , 𝑣𝑚 + 𝑑𝑓 𝑢, 𝑣
𝑑𝑢 𝑢𝑚
𝑢𝑣 − 𝑢𝑚 + 𝑑𝑓 𝑢, 𝑣
𝑑𝑣 𝑣𝑚
𝑣𝑣 − 𝑣𝑚
+1
2 𝑑𝑓2 𝑢, 𝑣
𝑑𝑢2 𝑢𝑚
(𝑢𝑣 − 𝑢𝑚 )2 + 𝑑𝑓 𝑢, 𝑣
𝑑𝑢 𝑢𝑚
𝑑𝑓 𝑢, 𝑣
𝑑𝑣 𝑣𝑚
(𝑢𝑣 − 𝑢𝑚 )(𝑣𝑣 − 𝑣𝑚 ) + 𝑑𝑓2 𝑢, 𝑣
𝑑𝑣2 𝑢𝑚
(𝑣𝑣 − 𝑣𝑚 )2 + ⋯
La serie de Taylor sería:
Y despreciando los términos de segundo orden y superior se tiene:
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑊 = 𝜕𝑊
𝜕𝑢 𝑢𝑚 ,𝑣𝑚
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑢 + 𝜕𝑊
𝜕𝑣 𝑢𝑚 ,𝑣𝑚
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑣
Expresión general de la ley de propagación del error para funciones de dos variables
Ley de propagación del error
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Si se aplica para propagar errores donde se conozca el signo de cada uno de
ellos, tanto los errores como las derivadas parciales se escriben con el signo
correspondiente. (Tal cual la expresión general de la transparencia anterior)
Si se aplica para propagar errores donde no se conozca su signo (por ejemplo
para propagar errores límite de instrumentos), se puede adoptar un criterio
pesimista usando las derivadas y los errores en módulo, quedando la expresión
de la siguiente forma:
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑊 = 𝜕𝑊
𝜕𝑢 𝑢𝑚 ,𝑣𝑚
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑢 + 𝜕𝑊
𝜕𝑣 𝑢𝑚 ,𝑣𝑚
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑣
±𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑊 = ± 𝜕𝑊
𝜕𝑢 𝑢𝑚 ,𝑣𝑚
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑢 + 𝜕𝑊
𝜕𝑣 𝑢𝑚 ,𝑣𝑚
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑣
Ley de propagación del error
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Ejemplo 1:
Se quiere medir la superficie “S” de una placa calefactora cuyas dimensiones
verdaderas son 200 mm de ancho y 100 mm de largo.
Un operario usa una regla y obtiene un valor medido para el ancho de 201 mm y
para el largo de 99 mm. ¿Cuál sería el error en la medida de la superficie?
S
Ancho (a)
Largo (l)
Solución sin usar la ley de
propagación del error𝑎𝑛𝑐𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜: 𝑎𝑣 = 200 𝑚𝑚
𝑎𝑛𝑐𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜: 𝑎𝑚 = 201 𝑚𝑚
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑎 = 𝑎𝑚 − 𝑎𝑣 = +1 𝑚𝑚
𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜: 𝑙𝑣 = 100 𝑚𝑚
𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜: 𝑙𝑚 = 99 𝑚𝑚
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑙 = 𝑙𝑚 − 𝑙𝑣 = −1 𝑚𝑚
𝑆𝑣 = 𝑎𝑣 . 𝑙𝑣 = 20000 𝑚𝑚2
𝑆𝑚 = 𝑎𝑚 . 𝑙𝑚 = 19899 𝑚𝑚2
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑆 = 𝑆𝑚 − 𝑆𝑣 = −101 𝑚𝑚2
Veamos si llegamos a este mismo resultado aplicando la ley de propagación
Ley de propagación del error
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Ejemplo 1:
S
Ancho (a)
Largo (l)
Solución usando la ley de propagación del error𝑎𝑛𝑐𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜: 𝑎𝑣 = 200 𝑚𝑚
𝑎𝑛𝑐𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜: 𝑎𝑚 = 201 𝑚𝑚
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑎 = 𝑎𝑚 − 𝑎𝑣 = +1 𝑚𝑚
𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜: 𝑙𝑣 = 100 𝑚𝑚
𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜: 𝑙𝑚 = 99 𝑚𝑚
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑙 = 𝑙𝑚 − 𝑙𝑣 = −1 𝑚𝑚
Comentario:En lugar de dar -101mm2 dio -102mm2
La diferencia se debe a que en la deducción de la ley de propagación del error se
despreciaron términos de la serie de Taylor.La diferencia es mínima por lo que no
invalida su uso.
𝑆 = 𝑎 . 𝑙
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑠 = 𝑙𝑚 . 𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑎 + 𝑎𝑚 𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑙
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑠 = 99𝑚𝑚 . +1𝑚𝑚 + 201𝑚𝑚 . (−1𝑚𝑚)
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑠 = −102 𝑚𝑚2
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑆 = 𝜕𝑆
𝜕𝑎 𝑎𝑚 ,𝑙𝑚
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑎 + 𝜕𝑆
𝜕𝑙 𝑎𝑚 ,𝑙𝑚
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑙
Ley de propagación del error
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Ejemplo 2:
Se quiere medir la misma superficie “S” de una placa calefactora pero ahora los
datos son:
Ancho medido 201 mm ± 1 mm
Largo medido 99 mm ± 1 mm
¿Cuál sería la superficie y el error en la medida de la superficie?
S
Ancho (a)
Largo (l)
𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜: 𝑙𝑚 = (99 ± 1) 𝑚𝑚
𝑎𝑛𝑐𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜: 𝑎𝑚 = (201 ± 1)𝑚𝑚
Solución usando la ley de propagación del error
𝑆 = 𝑎 . 𝑙
±𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑠 = ± 99𝑚𝑚 . 1𝑚𝑚 + 201𝑚𝑚 . 1𝑚𝑚
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑠 = ±300 𝑚𝑚2
𝑆 = (19899 ± 300) 𝑚𝑚2
±𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑆 = ± 𝜕𝑆
𝜕𝑎 𝑎𝑚 ,𝑙𝑚
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑎 + 𝜕𝑆
𝜕𝑙 𝑎𝑚 ,𝑙𝑚
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑙
Clasificación de los Errores
- Ejemplos -
Clasificación de los Errores
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Groseros Sistemáticos Accidentaleso fortuitos
Clasificación de los errores
Errores Groseros:
Son aquellos que por una cuestión inadvertida llevan a una evaluación
fallida de la medición.
Errores Sistemáticos:
Son aquellos que se repiten en magnitud y signo en una serie de
mediciones equivalentes (en igualdad de condiciones). Son desafectables
del resultado, bajo ciertas condiciones.
Errores Accidentales:
Son aquellos que no se repiten siempre con la misma intensidad y signo
sino que siguen leyes del azar. Se los suele llamar residuales. No se
pueden desafectar del resultado.
Resumen de cómo tratar errores
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Groseros Sistemáticos Accidentaleso fortuitos
Clasificación de los errores
Se deben detectar y eliminar.
De ser posible se deben determinar y
desafectar de la medida usando
alguna corrección.
De no ser posible desafectarlos
contribuirán a la incertidumbre.
Se deben estimar y
considerar en la
incertidumbre.
Entonces una medición tendrá esta forma general:
Valor medido + Corrección ± Incertidumbre
(por errores sistemáticos)
(por errores fortuitos o sistemáticos no corregidos
por falta de alguna información)
Clasificación de los Errores
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Ejemplos:
Groseros
Método
Instrumento
Tendencia del Operador
Condiciones ambientales
Sistemáticos
Paralaje
Poder separador del ojo
Apreciación
Accidentales o fortuitos
Clasificación de los errores
•Transposición de cifras: 21.5 25.1
•Leer en escalas incorrectas
•Utilizar fórmula inapropiada
•No efectuar el ajuste del cero mecánico o infinito previo a la medición
Inserción
Error sistemático de inserción
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E=300V
R1=2000 R1
R2
Veamos un ejemplo: Se quiere medir la caída de tensión en R2
R2=2000
𝑉2 = 𝐼 𝑅2 =𝐸
(𝑅1 + 𝑅2)𝑅2 = 150 𝑉
Podríamos decir que V2 es el valor verdadero
de la magnitud que queremos medir.
𝑉𝑣 = 𝑉2 = 150 𝑉
I
Es el error que se produce al incorporar un instrumento en un circuito, producto de
su resistencia interna (o impedancia), que modifica el circuito original que se quiso
medir.
Error sistemático de inserción
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E=300V
R1=2000
R2=2000
Supongamos que usamos un voltímetro
cuya resistencia interna (Rv) es 2000 Ω.
Entonces (si el instrumento fuera exacto) la
tensión medida será:
I
V Rv=2000
1000 1003000
med
EV V
VVVVVE vmedinserciónabs 50150100
33,0150
50
V
V
V
Ee
V
inserciónabs%33100.
V
inserciónabs
V
Ee
Cuanto más resistencia interna tenga el voltímetro menos error de inserción.
Error sistemático de inserción
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E=300VR=100
Veamos otro ejemplo: Se quiere medir la corriente en el siguiente circuito:
Podríamos decir que el valor verdadero de la
magnitud que queremos medir es 3A.
I
𝐼 =𝐸
𝑅=
300𝑉
100Ω= 3𝐴
Error sistemático de inserción
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E=300VR=100
I
Supongamos que usamos un amperímetro
cuya resistencia interna (RA) es 0,5 Ω.
Entonces (si el instrumento fuera exacto) la
corriente medida será:
A
𝐼 =𝐸
𝑅 + 𝑅𝐴=
300𝑉
100Ω + 0,5Ω= 2,985𝐴
AAAIIE vmedabs 0149,03985,2
0049,03
0149,0
A
A
I
Ee
V
inserciónabs%49,0100.
V
inserciónabs
I
Ee
Cuanto menos resistencia interna tenga el amperímetro menos error de inserción.
Error sistemático de inserción
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¿Cómo determinar las resistencias internas de los instrumentos a partir de los consumos específicos?
AA
A
2
AA
A
AA IR
I
IR
I
Pp
V
A
v
v
v U
R
pVS
1
V
V
2
VV
2
V
V
VV
R
U
RU
U
U
Pp Alcance
Potenciap
Consumo específico
Error sistemático de inserción
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Existen técnicas para “eliminar” el error de inserción: LA TECNICA DE OPOSICION
La técnica de oposición permite construir por ejemplo un voltímetro de
resistencia interna “infinita”
• Se varía la resistencia variable
hasta lograr que el galvanómetro
indique cero.
• Cuando eso ocurra el potencial
del punto A es igual al potencial del
punto B.
•Entonces, el voltímetro indica la
tensión en R2 pero sin tomar
corriente del circuito que se quiere
medir sino de la fuente auxiliar, no
cometiendo error de inserción.
Ig = 0
-
V+
G
E=300V
I
R variable
Iaux
Fuente
auxiliar
+
-
R1=2000
R2=2000
AB
Error sistemático de inserción
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Existen técnicas para “eliminar” el error de inserción: LA TECNICA DE OPOSICION
La técnica de oposición permite construir por ejemplo un amperímetro de
resistencia interna “nula”
• Se varía la resistencia variable hasta lograr
que el galvanómetro indique cero.
• Cuando eso ocurra el punto A está al mismo
potencial que B (como si no se hubiese
conectado ningún amperímetro allí). Entonces:
• Esto quiere decir que la caída de tensión en el
amperímetro (I x RA) se igualó a una subida de
tensión en Rp producto de la presencia de Iaux.
• Entonces la corriente I se mide en el
amperímetro sin cometer error de inserción.Fuente auxiliar
RA
Ig = 0
E=300VR=100
I
+
G
-
ARP
R variable
II
I
Iaux
A B
𝐼 𝑅𝐴 + 𝐼𝑅𝑝 − 𝐼𝑎𝑢𝑥 𝑅𝑝 = 0𝑉
AAAIIE vmedabs 0149,03985,2
0049,03
0149,0
A
A
V
Ee
V
inserciónabs%49,0100.
V
inserciónabs
V
Ee
Error sistemático de método
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a) Método Corto
b)Método Largo
Veamos un ejemplo: Se quiere medir la resistencia Rx con un voltímetro y un
amperímetro. Existen dos alternativas:
Es el error que se produce de acuerdo a donde se conecten los instrumentos que
se usen.
Error sistemático de método
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a) Método Corto
E R
mA
V I I Im v r
R Rm
Es el valor verdadero
Es el valor
medido
Ir
Iv
Im
𝑅 =𝑈𝑟
𝐼𝑟
𝑈𝑚 = 𝑈𝑟
𝑅𝑚 =𝑈𝑚
𝐼𝑚=
𝑈𝑟
𝐼𝑟 + 𝐼𝑣
Ur
Error sistemático de método
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a) Método LargoEs el valor verdadero
Es el valor
medidoIm
E R
mA
V IrIv I Im r
R Rm
𝑅 =𝑈𝑟
𝐼𝑟
𝑅𝑚 =𝑈𝑚
𝐼𝑚=
𝑈𝑟 + 𝑈𝑎
𝐼𝑟
Ur
U U I R m r a m
Error sistemático de método
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a) Método CortoE R
mA
V IrIv
Im
vr
rm
II
UR
r
r
I
UR
m
v
mr
vr
vrr
vrrrrr
r
r
vr
rmcortométodoabs
I
IR
II
IU
III
IUIUUI
I
U
II
URRE
)(
m
v
m
vcortométodoabs
I
I
R
R
I
I
R
Ee
v
m
r
r
m
vcortométodoabs
R
R
U
U
I
I
R
Ee
v
mmcortométodoabs
m
cortométodoabs
R
RReE
R
Ee
2
O bien:
Rv = Resistencia del voltímetro
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Error sistemático de métodoa) Método Largo
Im
E R
mA
V IrIv
a
r
arm RR
I
UUR
𝑒 =𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑚é𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜
𝑅=
𝑅𝑎
𝑅𝑚 − 𝑅𝑎=
1
𝑅𝑚
𝑅𝑎− 1
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑚é𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 = 𝑅 + 𝑅𝑎 − 𝑅 = 𝑅𝑎
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¿Que método conviene?
RmRo
v
m
R
R
sce
1R
R
1e
a
msl
R R Ro a v
e
Error del instrumento
27
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Condiciones:
• Temperatura ambiente constante,llamada de calibración (20 a 25ºC)
• Reducción de campos magnéticosexternos
• Posición normal de trabajo• cc ó c.a (sinusoidal, 50 Hz) según
corresponda.• Permanencia de las lecturas • Constancia del cero• Relación de exactitud (RE) > 3:1
Se puede estimar el error de un instrumento con un gráfico llamado “quebrada
de calibración” que surge de un ensayo en el cual se compararon las lecturas
de ese instrumento con otro que actúa como elemento patrón.
Circuito para estimar el error de un amperímetro:
AcAp
RU
𝑅𝐸 =𝑖𝑛𝑐𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑢𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝐴𝑐
𝑖𝑛𝑐𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑢𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝐴𝑝
Es el error del propio instrumento (también se lo llama intrínseco).
Error del instrumento
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Condiciones:
• Temperatura ambiente constante,llamada de calibración (20 a 25ºC).
• Reducción de campos magnéticosexternos.
• Posición normal de trabajo.• cc ó c.a (sinusoidal, 50 Hz) según
corresponda.• Permanencia de las lecturas • Constancia del cero• Relación de exactitud (RE) > 3:1
Se puede estimar el error de un instrumento con un gráfico llamado “quebrada
de calibración” que surge de un ensayo en el cual se compararon las lecturas
de ese instrumento con otro que actúa como elemento patrón.
Circuito para estimar el error de un voltímetro:
Vp
UR
Vc
𝑅𝐸 =𝑖𝑛𝑐𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑢𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑉𝑐
𝑖𝑛𝑐𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑢𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑉𝑝
Error del instrumento
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Construcción de la quebrada de calibración. Se toman valores de Vp y Vc y se
los compara:
Vc [V]
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
Vp [V]
9,98
20,05
31,02
39,50
51,80
59,00
69,70
81,10
89,50
99,60
110,95
119,95
129,20
140,80
148,75
Eabs inst [V]
0,02
-0,05
-1,02
0,50
-1,80
1,00
0,30
-1,10
0,50
0,40
-0,95
0,05
0,80
-0,80
1,25
Cr [V]
-0,02
0,05
1,02
-0,50
1,80
-1,00
-0,30
1,10
-0,50
-0,40
0,95
-0,05
-0,80
0,80
-1,25
Ejemplo:
Vc es un IPBM de
alcance 150V
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑖𝑛𝑠𝑡 = 𝑉𝑐 − 𝑉𝑝
𝐶𝑟 = − 𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑖𝑛𝑠𝑡
corrección
Se obtiene así una
corrección que se
puede aplicar a cada
valor medido
Error del instrumento
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-1,50
-1,00
-0,50
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
Valor Medido
Co
rrecció
n
145 V-0.25
Quebrada de CalibraciónVc [V]
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
Cr [V]
-0,02
0,05
1,02
-0,50
1,80
-1,00
-0,30
1,10
-0,50
-0,40
0,95
-0,05
-0,80
0,80
-1,25
VVV 75,14425,0145 Ejemplo:
si con Vc mido 145V lo corrijo a:
El objetivo de una quebrada de calibración sería poder saber
que error se comete en cada punto de la escala, para poder así
hacer una corrección sobre un valor medido cualquiera:
31
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Error del instrumentoLa quebrada de calibración también sirve para
detectar el error máximo cometido por Vc y con él la clase.
-1,50
-1,00
-0,50
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
Valor Medido
Co
rrecció
n145 V
-0.25
Vc [V]
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
Cr [V]
-0,02
0,05
1,02
-0,50
1,80
-1,00
-0,30
1,10
-0,50
-0,40
0,95
-0,05
-0,80
0,80
-1,25
100.)(
Alcance
VVclase
máximopm
Para el ejemplo:
Vc era un IPBM de alcance 150V
%2,1100.150
8.1
V
V
5,1clase
32
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Error del instrumento1. Sin embargo, hay algunas consideraciones sobre todo lo anterior que
convendría aclarar ahora…
Se consideró que el instrumento patrón indica el valor verdadero (y eso
sabemos que puede no ser cierto).
Tampoco se consideró ningún error de lectura, en ningún instrumento.
No sabemos que si al repetir la experiencia obtendríamos los mismos
valores.
Todo ello hace que tengamos que considerar también otros aspectos como
veremos más adelante, para mejorar nuestras conclusiones respecto del
error del instrumento.
2. Si el ensayo realizado que determinó la quebrada de calibración tuvo por
objetivo calcular la clase del instrumento, entonces el ensayo se llama de
“calibración” o de “contraste”.
En cambio, si tuvo por objetivo determinar si el error máximo del instrumento
está dentro del margen especificado por la clase que declaró un fabricante por
ejemplo, se denomina ensayo de “verificación”.
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Error del instrumento3. No siempre para calcular la clase se usa el alcance. En realidad, la clase se
calcula como:
100.FiduciarioValor
Eclase máximo
donde:
Valor fiduciario: es el valor que por convención se toma en un instrumento para
especificar su exactitud.
Ejemplos de valores fiduciarios:
• El límite superior del campo de medida (el alcance), en aparatos con „0‟ en un
extremo no fuera de escala.
• La suma absoluta de los valores extremos de la escala, en aparatos con „0‟
dentro de la escala.
• 90° eléctricos para cofímetros y fasímetros.
• La longitud total de la escala para aparatos con escala no lineal contraída
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Error del instrumentoEjemplos de valores fiduciarios:
Valor fiduciario: 1 A y 100 V
respectivamente
Valor fiduciario: 240V
0 +35-15
mV
Valor fiduciario: 50mV Valor fiduciario: 53Hz
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Error por tendencia del observador
Se refiere a la técnica experimental que posee el operador que se repite siempre
con la misma intensidad y signo.
Error por efectos circundantesSe refiere a los errores que se repiten en magnitud y signo al repetirse las mismas
condiciones experimentales ajenas al instrumento.
Ejemplos:Modificación de una resistencia interna de un instrumento alcambiar la temperatura.Modificación de una impedancia interna de un instrumento alcambiar la frecuencia. Presencia de vibraciones, presión, humedad, etc.
Volviendo a la Clasificación de los Errores
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Groseros Sistemáticos Accidentaleso fortuitos
Clasificación de los errores
Errores Groseros:
Son aquellos que por una cuestión inadvertida llevan a una evaluación
fallida de la medición.
Errores Sistemáticos:
Son aquellos que se repiten en magnitud y signo en una serie de
mediciones equivalentes (en igualdad de condiciones). Son desafectables
del resultado, bajo ciertas condiciones.
Errores Accidentales:
Son aquellos que no se repiten siempre con la misma intensidad y signo
sino que siguen leyes del azar. Se los suele llamar residuales. No se
pueden desafectar del resultado.
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Errores accidentales o fortuitos
Se refiere a los errores que inevitablemente están presentes, pero que siguen las
leyes del azar. No se los puede eliminar por eso se los llama “residuales”.
Estos errores no se repiten ni en magnitud ni en signo aunque se repitan las
condiciones experimentales, entonces solo un estudio estadístico puede
caracterizarlos.
Si se tiene información sobre mediciones repetidas se podrá conocer la
distribución de frecuencia de ocurrencia de esas mediciones. En general, dentro
de las mediciones eléctricas hay tres distribuciones que se usan comúnmente:
La distribución de Gauss La distribución rectangularo uniforme
La distribución triangular
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Errores accidentales o fortuitos
Al no repetirse en magnitud y signo no se puede hacer ninguna corrección, pero
sí gracias a la teoría estadística se puede encontrar algún índice de dispersión,
que con alguna probabilidad (también llamado nivel de confianza), defina un
intervalo dentro del cual se encuentre el valor verdadero de la medición.
Un índice de dispersión es sinónimo de incertidumbre
Valor verdadero
Índice de dispersión (con bajo nivel de confianza)
Índice de dispersión
(con alto nivel de confianza)
Índice de dispersión
(con medio nivel de confianza)
Recordando lo visto…
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Groseros Sistemáticos Accidentaleso fortuitos
Clasificación de los errores
Se deben detectar y eliminar.
De ser posible se deben determinar y
desafectar de la medida usando
alguna corrección.
De no ser posible desafectarlos
contribuirán a la incertidumbre.
Se deben estimar y
considerar en la
incertidumbre.
Entonces una medición tendrá esta forma general:
Valor medido + Corrección ± Incertidumbre
(por errores sistemáticos)
(por errores fortuitos o sistemáticos no corregidos
por falta de alguna información)
Ejemplo integrador
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Ejemplo:
Se mide una resistencia por el método corto con voltímetro y amperímetro.
El voltímetro indica 22,3 V es de clase 0,5 y alcance 25 V.
El amperímetro indica 145,5 mA es de clase 0,2 y alcance 150mA.
La resistencia interna del voltímetro (Rv)es 100 kΩ con un error límite de 0,5 kΩ.
Suponga además que no se comete error de lectura en ningún instrumento.
Determine el valor de la resistencia y su error límite.
Solución: En este caso tendremos las siguientes
fuentes de error relevantes:
1. El método empleado (error sistemático)
2. Inexactitud en la medida de V
(lo vamos a tratar como si fuese accidental
porque no tenemos la quebrada de calibración)
3. Inexactitud en la medida de I
(lo vamos a tratar como si fuese accidental
porque no tenemos la quebrada de calibración)
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Solución:
1. Ya vimos que para este caso:
I I Im v r 𝑈𝑚 = 𝑈𝑟
3. Necesitamos calcular la corrección por método para aplicarla al valor medido.
Podemos usar la expresión del error sistemático de método deducida en la
transparencia 24 o recalcularlo usando por ejemplo la ley de propagación del error:
m
mm
I
UR
𝐸𝑎𝑏𝑠 sistemático 𝑈𝑚= 𝑈𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 − 𝑈𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎 = 𝑈𝑚 − 𝑈𝑟 = 𝑈𝑟 − 𝑈𝑟 = 0
𝐸𝑎𝑏𝑠 sistemático 𝐼𝑚 = 𝐼𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 − 𝐼𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎 = 𝐼𝑚 − 𝐼𝑟 = (𝐼𝑣 + 𝐼𝑟 ) − 𝐼𝑟 = 𝐼𝑣
Aplicamos la ley
de propagación:
(con signo en este
caso)
𝐸𝑎𝑏𝑠 método corto = 𝜕𝑅𝑚
𝜕𝑈𝑚 𝐸𝑎𝑏𝑠 sistemático 𝑈𝑚
+ 𝜕𝑅𝑚
𝜕𝐼𝑚 𝐸𝑎𝑏𝑠 sistemático 𝐼𝑚
Ejemplo integrador
2. Vimos que se comete un error sistemático de método ya que:
R Rm Por ende
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Solución:
Calculamos las derivadas parciales de
Entonces:
m
mm
I
UR
𝜕𝑅𝑚
𝜕𝑈𝑚=
1
𝐼𝑚
𝜕𝑅𝑚
𝜕𝐼𝑚= −
𝑈𝑚
𝐼𝑚2
(expresión que ya habíamos obtenido en la transparencia 24 por otro camino)
= −0,236692 Ω
𝐸𝑎𝑏𝑠 método corto = 1
𝐼𝑚 0 + −
𝑈𝑚
𝐼𝑚2 𝐼v
𝐸𝑎𝑏𝑠 método corto = −𝑈𝑚
𝐼𝑚2
𝑈𝑚
𝑅𝑣= −
𝑅𝑚2
𝑅𝑣
𝐸𝑎𝑏𝑠 método corto = 𝜕𝑅𝑚
𝜕𝑈𝑚 𝐸𝑎𝑏𝑠 sistemático 𝑈𝑚
+ 𝜕𝑅𝑚
𝜕𝐼𝑚 𝐸𝑎𝑏𝑠 sistemático 𝐼𝑚
𝐸𝑎𝑏𝑠 método corto = −
22,3 𝑉145,5 𝑚𝐴
2
100 𝑘Ω
Ejemplo integrador
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Solución:
4. Usando la ley de propagación del error determinamos como influyen los errores
de los instrumentos. Como no tenemos sus quebradas de calibración como para
corregir los valores medidos, calculamos el error límite de cada medida y lo
propagamos para calcular el error límite de R:
Aplicamos la ley
de propagación:
(sin signo definido en este caso)
𝐸𝑙í𝑚 𝑈𝑚=
𝐶𝑙𝑎𝑠𝑒𝑉𝐴𝑙𝑐𝑎𝑛𝑐𝑒𝑉
100=
0,5 25𝑉
100= 0,125𝑉
𝐸𝑙í𝑚 𝐼𝑚 =𝐶𝑙𝑎𝑠𝑒𝐼𝐴𝑙𝑐𝑎𝑛𝑐𝑒𝐼
100=
0,2 150 𝑚𝐴
100= 0,3 𝑚𝐴
±𝐸𝑙í𝑚 𝑅𝑚= ±
𝜕𝑅𝑚
𝜕𝑈𝑚 𝐸𝑙í𝑚 𝑈𝑚 +
𝜕𝑅𝑚
𝜕𝐼𝑚 𝐸𝑙í𝑚 𝐼𝑚
Ejemplo integrador
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Solución:
Entonces:
Finalmente, la resistencia R valdría:
𝐸lím 𝑅𝑚= ±
1
𝐼𝑚 𝐸𝑙í𝑚 𝑈𝑚 + −
𝑈𝑚
𝐼𝑚2 𝐸𝑙í𝑚 𝐼𝑚
𝐸lím 𝑅𝑚= ±
1
145,5 𝑚𝐴 0,125 𝑉 +
22,3 𝑉
(145,5𝑚𝐴)2 0,3𝑚𝐴
𝐸lím 𝑅𝑚= ± 0,859106 Ω + 0,316009 Ω = ± 1,175115 Ω
𝑅 =𝑈𝑚
𝐼𝑚+ 𝐶𝑜𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 sistemática de método 𝑅𝑚
± 𝐸lím 𝑅𝑚
Ejemplo integrador
(Es el error de método cambiado de signo)
45
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Solución:
𝑅 =𝑈𝑚
𝐼𝑚+ 𝐶sistemática 𝑅𝑚
± 𝐸lím 𝑅𝑚
𝑅 =22,3𝑉
145,5𝑚𝐴+ 0,236692 Ω ± 1,175115 Ω
𝑅 = 153,264604 Ω + 0,236692 Ω ± 1,175115 Ω
𝑅 = 153,501296 Ω ± 1,175115 Ω
𝑅 = 153,5 ± 1,2 Ω
Ejemplo integrador
¿Pero la corrección sistemática por el método es a su vez exacta? : No
¿Entonces como se tendría que haber resuelto realmente?
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Solución considerando la influencia de la corrección:
Función completa que habría que propagar sería:
Ejemplo integrador
v
m
m
m
m
v
m
m
mCm
R
I
U
I
U
R
R
I
UR
2
2
vmmCm Rlím
v
Cm
Ilím
m
Cm
Ulím
m
Cm
Rlím ER
RE
I
RE
U
RE
Cmm RlímRmétododeasistemátic
m
m ECorrecciónI
UR
Donde:
46
Y el resultado debería ser:
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Solución considerando la influencia de la corrección:
Ejemplo integrador
v
m
m
m
mCm
R
I
U
I
UR
2
ARI
U
IU
R
vm
m
mm
Cm 1...8939,6
212
23
2
2...5938,1056
2
A
V
RI
U
I
U
I
R
vm
m
m
m
m
Cm
6
2
2
10349,21
vm
m
v
Cm
RI
U
R
R
47
Resolviendo:
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Solución considerando la influencia de la corrección:
Ejemplo integrador
179889,1236692,05,145
3,22
mA
VR
50010349,23,059,1056125,0
18939,6 6
2mA
A
VV
AE
CmRlím
179889,1CmRlímE
Finalmente:
𝑅 = 153,5 ± 1,2 Ω 48
vmmCm Rlím
v
Cm
Ilím
m
Cm
Ulím
m
Cm
Rlím ER
RE
I
RE
U
RE