LEY DE SENOS Y COSENOS

ACT. J. JAVIER SEGURA RAMÍREZ

LEY DE SENOSEn todo triángulo, los lados son proporcionales a los senos de

los ángulos opuestos: senCc

senBb

senAa B

C A

D

a

c

bE

Se tiene el triángulo ABC y se trazan las alturas y .

En el triángulo ABE: Sen A =

Por lo que = c Sen A

En el triángulo CBE: Sen (180°-C)= Sen C

Sen C = . Por lo que = a Sen C

CD BE

cBE

BE

aBE

BE

Entonces = c Sen A = a Sen C

Y despejando: ---(1)

En el triángulo BCD: Sen B =

Por lo que = a Sen B

En el triángulo ACD: Sen A =

Por lo que = b Sen A

Entonces = a Sen B = b Sen A

Y despejando: ---(2)

De (1) y (2) y la propiedad transitiva de la igualdad:

BE

SenCc

SenAa

aCD

CD

bCD

CD

CD

SenBb

SenAa

senCc

senBb

senAa

LEY DE COSENOSa2 = b2 + c2 – 2bc Cos A

b2 = a2 + c2 – 2ac Cos B c2 = a2 + b2 – 2ab Cos C

Ab

C

B

a

c

D

En el ABC, se traza la altura

En el BCD, a2 = 2 + 2 ---(1)

En el ACD, b2 = 2 + 2

Y despejando: 2 = b2 - 2 ---(2)

En el segmento : ---(3)

Sustituyendo (2) y (3) en (1) :

a2 = ( c - ) 2 + b2 - 2

BD CD

AD CD

CD AD

AB ADcBD

AD AD

CD

a2 = c2 – 2c + 2 + b2 - 2

a2 = b2 + c2 – 2c ---(4)

Pero cos A =

Y despejando: = b cos A

Por lo que sustituyendo en (4):

a2 = b2 + c2 – 2c ( b cos A )

a2 = b2 + c2 – 2bc cos A

AD AD AD

AD

bAD

AD

1. Resuelve el triángulo oblicuángulo cuyos lados miden: a = 80, b = 65, c = 74.

Debemos hallar la medida de los tres ángulos: A, B y C.

Calculamos el ángulo A aplicando la Ley de Cosenos: a2 = b2 + c2 – 2bc cos A

Despejando: cos A =

Entonces Cos –1 0.343139 = 69.931765° , y para obtener minutos y segundos:

60(.931765) = 55.9059 y 60(.9059) = 54.354 por lo que A = 69° 55’ 54’’.

Calculamos el ángulo B aplicando la Ley de Senos:

Despejando: sen B =

Entonces sen –1 0.763169 = 49.744372° por lo que B = 49° 44’ 39’’.

Calculamos el ángulo C aplicando la Ley de Senos:

Despejando: sen C =

Entonces sen –1 0.868839 = 60.324003° por lo que C = 60° 19’ 26’’.

Comprobación: A + B + C = 179° 59’ 59’’. La diferencia es 1’’ por redondeo.

343139.0)74)(65(2

7465802

222222

bccba

senBb

senAa

763169.080

931765.6965 sena

bsenA

senCc

senAa

868839.080

931765.6974 sena

csenA

2. Resuelve el triángulo oblicuángulo con datos: a = 50, b= 40, C= 76°42’

Debemos hallar la medida del tercer lado (c) y de los otros dos ángulos A y B.

Calculamos el lado c aplicando la Ley de Cosenos: c2 = a2 + b2 – 2ab cos C

c2 = 502 + 402 – 2(50)(40) cos 76°42’. Como 42 / 60 = 0.7, entonces:

c2 = 2500 + 1600 – 4000 cos 76.7° = 3179.8 Así que c = = 56.39

Calculamos el ángulo A aplicando la Ley de Senos:

Despejando: Sen A =

Entonces Sen –1 0.862900 = 59.643771° por lo que A = 59° 38’ 37’’

Calculamos el ángulo B aplicando la Ley de Senos:

Despejando: Sen B =

Entonces Sen –1 0.69032 = 43.655445° por lo que B = 43° 39’ 19’’ .

Comprobación: A + B + C = 179° 59’ 56’’ . La diferencia es de 4’’ por redondeo.

8.3179

senCc

senAa

862900.039.56

7.7650 Senc

aSenC

SenBb

SenAa

69032.050

643771.5940 Sena

bSenA

3. Un túnel se va a construir a través de una montaña.Se fija un punto de referencia que se observa desde los puntos de entrada y de salida. La distancia de este punto al de entrada es de 253 m y al de salida es de 462 m. El ángulo formado por estas distancias con vértice en el punto de referencia es de 75° 30’. Calcula la longitud del túnel.

Según la figura, tenemos que C = 75° 30’ y el lado opuesto será c, que representa la longitud del túnel.

Como 30 / 60 = 0.5, entonces C = 75.5° a = 462 m y b = 253 m

A B

253462

C

c

Calculamos el lado c aplicando la Ley de Cosenos: c2 = a2 + b2 – 2ab cos C

c2 = 4622 + 2532 – 2(462)(253) Cos 75.5°

c2 = 218921.17 por lo que c =

c = 467.89

Entonces, la longitud del túnel es 468 m.

17.218921

4. Dos personas situadas en puntos opuestos de una ciudad ubicada en un terreno plano, observan que sobre la ciudad hay un objeto que parece ser un OVNI. Los ángulos de elevación del punto de observación de cada persona con respecto al objeto son de 25° y 30°. Si la distancia entre las dos personas es de 2 km, ¿a qué altura se encuentra el objeto?

A B

C

D

ab

c

El ángulo A= 25° y el ángulo B= 30°.

En el ABC, el lado c mide 2000 m y queremos hallar la medida de la altura .

Como A + B + C = 180°, entonces C = 125° Calculamos el lado a, aplicando la Ley de Senos:

CD

senCc

senAa

Despejando: a =

a = 1031.84 m

Ahora, el BCD es rectángulo y respecto al ángulo B, conocemos la hipotenusa a y queremos hallar el cateto opuesto . Por lo que

Sen B = y despejando:

= a Sen 30° = 1031.84 (0.5)

= 515.92

Por lo que el objeto se encuentra a una altura de 516 m.

125252000

SenSen

SenCcSenA

CD

aCD

CD

CD

Practica con estos ejercicios:

1. Resuelve el triángulo oblicuángulo siguiente: b = 50, A = 57° 7’, C = 78° 28’.

2. La magnitud de la resultante de dos fuerzas de 115 kg y 215 kg es de 275 kg. Encuentra el ángulo formado por las direcciones de las dos componentes.

No veas las respuestas hasta que estés seguro de tus resultados.

Respuestas a los ejercicios:Recuerda: No veas estas respuestas hasta que estés

seguro de tus resultados.

1. B = 44° 25’ , a = 60 , c = 70 .

2. = 109° 5’ 33’’

Si deseas ampliar el tema, puedes consultar:

• Aurelio Baldor. Geometría y Trigonometría.

• Abelardo Guzmán. Geometría y Trigonometría.

• Burrill-Cummins et al. Geometría.

• Francisco Ortíz. Matemáticas II, Geometría y Trigonometría.

• www.acienciasgalilei.com

• www.monografias.com