LEYES DEPROBABILIDAD

LEYES DE PROBABILIDAD:

Las relaciones que se dan entre los eventos al ser aplicadas las operaciones que se presentaron, se facilitan y comprenden mejor haciendo uso de los axiomas y teoremas de probabilidad (Leyes de Probabilidad). Axioma: Es una verdad evidente que no requiere demostración.Teorema: Es una verdad que requiere ser demostrada.

AXIOMA 1:

Sea S un espacio muestral cualquiera y A un evento, tal que A S, entonces se cumple que

0 P(A) 1

esto significa que la probabilidad de cualquier evento no puede ser más grande que uno, ni ser menor que cero. Si es igual a 1 se llama evento seguro, y cuando es cero se llama evento imposible.

P(A)___________________________________ -2 -1 0 1 2

AXIOMA 2:

La probabilidad del espacio muestral S es un evento seguro y es uno:

P(S) = 1

Ejemplo.-Experimento.- Se lanza un dado.

Si A = S, es decir si el evento A coincide o es igual al espacio muestral, entonces:

1)(

)(

)(

)()(

SN

SN

SN

ANAP

TEOREMA 1:

Si es el conjunto vacío, entonces la probabilidad de es igual a cero:

Ejemplos:Una persona que quiere ganar la lotería nacional, pero no compra boleto.Que aparezca un siete al lanzar un dado.Que una persona viva 250 años.En estos casos los eventos son vacíos.

0)(

0

)(

)()(

SNSN

NP

AXIOMA 3:

Sea S un espacio muestral cualquiera y sean A y B dos eventos tales que: A S, B S y A B = , es decir, dos eventos mutuamente excluyentes, entonces

P(A B) = P(A) + P(B)

Experimento: “Se lanzan dos monedas”.

Espacio muestral: S = ss, aa, sa, as, N(S) = 4

Sean los eventos:

A: “Caen dos soles exactamente”.

B: “Cae un sol exactamente”.

Los elementos de A y B son: A = ss , B = sa, as.

Se puede ver que para A B = (vacío, no hay elementos en común), por lo que los eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos, por tanto

P(A B) = P(A) + P(B)

EJEMPLO:

( ) 1( )

( ) 4

( ) 2( )

( ) 4

1 2 3( ) ( ) ( )

4 4 4

N AP A

N

N BP B

N

P A B P A P B

CONTINUACIÓN DEL EJEMPLO:

Sean A1, A2, A3, A4, ..., An; eventos mutuamente excluyentes:

P(A1 A2 A3 A4, ... An) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4) + ...+ P(An)

Este axioma dice que la probabilidad de varios eventos mutuamente excluyentes (que no tienen elementos en común), es igual a la suma de sus probabilidades.

AXIOMA 4:

Si los eventos no son mutuamente excluyentes entonces para n eventos seria:

CONTINUACIÓN:

1 2 1 2

1 2

( ... ) ( ) ( ) ... ( )

( ) ( ) ... ( ... )

n n

n n

i j i j k ki j i j k

P A A A P A P A P A

P A A P A A A P A A A

Experimento: “Se lanza un dado”.Sean los eventos:A: “Que al lanzar un dado salga el 2 o el 4”.B: “Que al lanzar un dado salga un número mayor a

4”.C: “Que salga el 1 o 3”.

Los elementos de A, B y C son

A = 2, 4, N(A) = 2B = 5, 6, N(B) = 2C = 1, 3 , N(C) = 2

EJEMPLO:

Como A, B y C son mutuamente excluyentes, ya que:

A B = , A C = , B C = Por axioma 4:

P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C)( ) 2

( )( ) 6

( ) 2( )

( ) 6

( ) 2( )

( ) 6

2 2 2 6( ) ( ) ( ) ( ) 1

6 6 6 6

N AP A

N

N BP B

N

N CP C

N

P A B C P A P B P C

CONTINUACIÓN:

Sean A y B dos eventos no excluyentes, A B , entonces:

P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

TEOREMA2: LEY ADITIVA DE LA PROBABILIDAD.

Sean A y B dos eventos: A - B = x | x A y x B

DIFERENCIA:

Experimento.- “Se lanza un dado y una moneda”.

S = 1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a N(S) = 12

Evento A: “Que aparezcan el número 2 o 3 con sol”.Evento B: “Que aparezcan números pares con sol”.

A = 2s, 3s , N(A) = 2B = 2s, 4s, 6s N(B) = 3 A B = 2s N(A B ) = 1

EJEMPLO:

3

1

12

1

12

3

12

2)()()()( BAPBPAPBAP

Sea A un evento cualquiera y S un espacio

muestral, tal que A S, si Ac es el

complemento del evento A, entonces la

probabilidad de Ac es igual a 1 menos la

probabilidad de A, es decir

P(Ac) = 1 – P(A)

TEOREMA 3:

Experimento.- “Se lanza un dado y una moneda”.

S = 1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a N(S) = 12

Evento A: “Que aparezcan el número 2 o 3 con sol”.Evento B: “Que aparezcan números pares con sol”.

A = 2s, 3s , N(A) = 2B = 2s, 4s, 6s N(B) = 3Ac = 1s, 4s, 5s, 6s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a Bc = 1s, 3s, 5s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a

12

9

12

31)(1)(

12

10

12

21)(1)(

BPBP

APAP

C

c

EJEMPLO:

Sea A un evento arbitrario de un espacio muestral S, con P(E) > 0. La probabilidad de que un evento A suceda una vez que E ha sucedido o en otras palabras, la probabilidad condicional de A dado E, se define como:

)(

)()/(

EP

EAPEAP

PROBABILIDAD CONDICIONAL:

Se dice que los eventos A y E son independientes si se cumplen:

Si no se cumplen, se dice que los eventos son dependientes.

)()()(

)()/(

)()/(

BPAPBAP

EPAEP

APEAP

EVENTOS INDEPENDIENTES

Ley Multiplicativa de la Probabilidad.

Ya que (A E) = (E A) y despejamos a P(A E), se tiene que la probabilidad de la intersección es:

)A P( )E/A P(

)()/()(

)(

)()/(

)(

)()/(

EPEAPEAP

AP

AEPAEP

EP

EAPEAP

PROBABILIDAD CONDICIONAL:

Si A y B son independientes:

P(E)P(A))A P( )E/A P(

)()()()/()(

EPAPEPEAPEAP

)()(

)()(

)(

)()/(

)()(

)()(

)(

)()/(

EPAP

APEP

AP

AEPAEP

APEP

EPAP

EP

EAPEAP

PROBABILIDAD CONDICIONAL:

Experimento: “Lanzar un dado”. Evento A: “Que al lanzar el dado caiga 3”.Evento E: “Que al lanzar un dado salga un impar”.

Encontrar la probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un 3 dado que se obtuvo un impar.

S = 1,2,3,4,5,6A = 3, E = 1,3,5, (AE) = 3,P(A) = 1/6

EJEMPLO:

3

1

36

61

6

36

1

x

x

EP

EAP

E

AP

Otra forma de calcular las probabilidades de la intersección y las probabilidades condicionales, de dos eventos A y B, tal que:

A AC = S B BC = S

es elaborando primero la tabla de número de elementos de los eventos y después la tabla de sus probabilidades.

B Bc Total

A A B A Bc A

Ac Ac B Ac Bc Ac

Total B Bc S

Se tienen los eventos A y B y sus complementos Ac, Bc

B Bc Total

A N(A B) N(A Bc) N(A)

Ac N(Ac B) N(Ac Bc) N(Ac)

Total N(B) N(Bc) N(S)

Tabla de número de elementos de A, B y sus complementos Ac, Bc

B Bc Total

A P(AB) P(ABc) P(A)

Ac P(AcB) P(AcBc) P(Ac)

Total P(B) P(Bc) P( Ω)

Tabla de probabilidades de A, B, Ac, Bc y sus intersecciones

P(A/B) = P(A B)/P(B) P(B/A) = P(A B)/P(A) P(A/Bc) = P(A Bc)/P(Bc) P(B/Ac) = P(Ac B)/P(Ac) P(Ac/B) = P(Ac B)/P(B) P(Bc/A) = P(A Bc)/P(A)

PROBABILIDADES CONDICIONALES:

En cierta ciudad, las mujeres representan el 50% de la población y los hombres el otro 50%. Se sabe que el 20% de las mujeres y el 5% de hombres están sin trabajo. Un economista estudia la situación de empleo, elige al azar una persona desempleada. Si la población total es de 8000 personas, ¿ Cuál es la probabilidad de que la persona escogida sea ?:a).- Mujer.b).- Hombre.c).- Mujer dado que está empleado.d).- Desempleado dado que es hombre.e).- Empleado dado que es mujer.

EJEMPLO:

Sean los eventos:M: “Que sea Mujer”.H: “Que sea Hombre”.D: “Que sea Desempleado”.E: “Que sea Empleado”

Tabla de elementos de los eventos M, H, D, E Y S.

SOLUCIÓN:

Desempleados : D

Empleados: E Total

Mujeres: M 800 3200 4000

Hombres: H 200 3800 4000

Total 1000 7000 8000

D E Total

M 800/8000 = 0.1 3200/8000= 0.4 4000/8000= 0.5

H 200/8000= 0.025

3800/8000= 0.475 4000/8000= 0.5

Total 1000/8000= 0.125

7000/8000= 0.875 8000/8000= 1

TABLA DE PROBABILIDADES:

P(M) = 0.50P(H) = 0.50P(E) = 0.875P(D) = 0.125P(M/E) = P(ME)/P(E) = 0.40/0.875 = 0.4571P(D/H) = P(DH)/P(H) = 0.025/0.5 = 0.05P(E/M) = P(ME)/P(M) = 0.40/0.5 = 0.8P(M/D) = P(MD)/P(D) = 0.10/0.125 = 0.8P(H/D) = P(HD)/P(D) = 0.025/0.125 = 0.2

CONTINUACIÓN:

Eventos dependientes e independientesEn el ejemplo anterior se tiene que:

P(M) = 0.50P(H) = 0.50P(E) = 0.875P(D) = 0.125P(ME) = 0.40 P(M) P(E) = 0.4375P(DH) = 0.025 P(D) P(H) = 0.0625P(MD) = 0.10 P(M) P(D) = 0.0625P(EH) = 0.475 P(E) P(H) = 0.4375

CONTINUACIÓN:

Por tanto los eventos M y E , D y H, M y D, E y H son dependientes.

CONTINUACIÓN:

1 2 3 1 2 1 3 1 2 1 2 1( ... ) ( ) ( \ ) ( \ )... ( \ ... )k k kP A A A A P A P A A P A A A P A A A A

1 2 3 1 2 3( ... ) ( ) ( ) ( )... ( )k kP A A A A P A P A P A P A

INDEPENDENCIA DE n EVENTOS

LEY MULTIPLICATIVA:

Sean A1, A2, A3..., An eventos disjuntos (mutuamente excluyentes), que forman una partición de S. Esto es Ai Aj = para toda i y toda j, y además

S = A1 A2 A3 An

A1

A2

A3A4

A5

A6

An

PROBABILIDAD TOTAL:

Y sea E otro evento tal que E S y E Ai

A1

A2

A3A4

A5

A6

An

E

E

Entonces: E = S E = (A1 A2 A3 An) E

= (A1 E) (A2 E) (A3 E) (An E)

Al aplicar la función de probabilidad a ambos eventos, se tiene que:

P(E) = P(A1E) + P(A2E) +P(A3E) ++P(An E)

Ya que (Ai E) es ajeno a (Aj E) para i ≠ j

Como (Ai E) = (E Ai) entonces

P(Ai E) = P(E Ai) = P(E/Ai) P(Ai)

Entonces la probabilidad completa de E es:

P(E) = P(E/A1) P(A1) + P(E/A2) P(A2) + P(E/A3)P(A3)+...+ P(E/An) P(An)

En una pequeña empresa de tejidos, la producción se obtiene con tres máquinas hiladoras M1, M2 y M3 que producen respectivamente 50%, 30% y el 20% del número total de artículos.

EJEMPLO:

Los porcentajes de productos defectuosos producidos por estas máquinas son 3%, 4% y 5%. Si se selecciona un artículo al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que el artículo sea defectuoso?

Sea D el evento: “Que sea un artículo defectuoso”.P(M1) = 0.50 P(D/M1) = 0.03

P(M2) = 0.30 P(D/M2) = 0.04

P(M3) = 0.20 P(D/M3) = 0.05

P(D) = P(D/M1) P(M1) + P(D/M2) P(M2) + P(D/M3) P(M3)

= 0.03(0.50) + 0.04(0.30) + 0.05(0.20) = 0.037

SOLUCIÓN:

Máquina 1

Defectuoso

No defectuos

o

Maquina 2

Defectuoso

No defectuos

o

Maquina 1

Defectuoso

No defectuos

o

P(D) = 0.015 + 0.012 + 0.01 = 0.037

P(M1) = 0.50

P(D/M1) = 0.03

M1

D P(M1) x P(D/M1) = 0.5 x 0.03 = 0.015

NDP(ND/M1) =

0.97

P(M2) = 0.30

P(D/M2) = 0.04

M2

D P(M2) x P(D/M2) = 0.3 x 0.04 = 0.012

NDP(ND/M2) =

0.96

P(M3) = 0.20

P(D/M3) = 0.05

M3D P(M1) x P(D/M1) = 0.2 x 0.05

= 0.01

NDP(ND/M3) =

0.95

Supóngase que A1, A2, A3,...,An es una partición de un espacio muestral S. En cada caso P(Ai) ≠ 0. La partición es tal que A1, A2, A3,...,An, son eventos mutuamente excluyentes. Sea E cualquier evento, entonces para cualquier Ai,

)/()()/()()/()(

)/()()/(

2211 nn

Iii

AEPAPAEPAPAEPAP

AEPAPEAP

TEOREMA DE BAYES:

P(E)

))P(E/AP(A/E)P(A

entonces

))P(E/AP(A))P(E/AP(A))P(E/AP(AP(E)

:es E de completa adprobabilid la Como

Iii

nn2211

CONTINUACIÓN:

En una pequeña empresa de tejidos, la producción se obtiene con tres máquinas hiladoras M1, M2 y M3 que producen respectivamente 50%, 30% y el 20% del número total de artículos.

EJEMPLO:

Los porcentajes de productos defectuosos producidos por estas máquinas son 3%, 4% y 5%. Si se selecciona un artículo al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que el artículo sea defectuoso?

Sea D: “Que el artículo sea defectuoso”.ND: “Que el artículo no sea defectuoso”.M1: “Que haya sido producido por la máquina 1”.

M2: “Que haya sido producido por la máquina 2”.

M3: “Que haya sido producido por la máquina 3”.

P(M1) = .50 P(D/M1) = .03

P(M2) = .30 P(D/M2) = .04

P(M3) = .20 P(D/M3) = .05

SOLUCIÓN:

P(D) = 0.015 + 0.012 + 0.01 = 0.037

P(M1) = 0.50

P(D/M1) = 0.03

M1

D P(M1) x P(D/M1) = 0.5 x 0.03 = 0.015

NDP(ND/M1) =

0.97

P(M2) = 0.30

P(D/M2) = 0.04

M2

D P(M2) x P(D/M2) = 0.3 x 0.04 = 0.012

NDP(ND/M2) =

0.96

P(M3) = 0.20

P(D/M3) = 0.05

M3D P(M1) x P(D/M1) = 0.2 x 0.05

= 0.01

NDP(ND/M3) =

0.95

Por teorema de Bayes se tiene:

La probabilidad de que el artículo defectuoso se haya producido en la M1 es del 40.54%

4054.037.

)03)(.50(.

)(

)/()(

)/()()/()()/()(

)/()()/(

11

332211

111

DP

MDPMP

MDPMPMDPMPMDPMP

MDPMPDMP

CONTINUACIÓN: