Álgebra lineal Básica · PDF file · 2015-11-12Transformaciones...

Transformaciones Lineales

PREGUNTA: Que significa que T : A → B sea una funcion del conj A alConj B?.

Algebra Lineal Basica


PREGUNTA: Que significa que T : A → B sea una funcion del conj A alConj B?.

Recuerde que al subconjunto de B formado por todas las imagenes de loselementos de A lo llamamos conjunto imagen de T y lo denotamosIm(T).



DEF Dados dos espacios vectoriales V y W , diremos que la funcionT : V → W es una transformacion lineal de V en W , si y solo si,

1 T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) para todo v1, v2 ∈ V . (Prop aditiva)





2 T(λv1) = λT(v1) para todo v1 ∈ V y todo λ ∈ R. (Prophomogenea)






EJEM Consideremos la funcion T : R3 → R2, tal que

T

x

y

z

=

(

x − 2y2z − x

)

. Verifiquemos que T es una transformacion lineal.






EJEM Sea T : R3 → P2, tal que T

a

b

c

= (a+ c)x + 2bx2. Verifique

que T es una transformacion lineal.






EJEM Sea T : R2 → P2, tal que T

(

a

b

)

= 1 + ax + 2bx2. Determine si

T es una transformacion lineal.






EJEM Sea A una matriz m × n y sea T : Rn → Rm la funcion tal que

T(x) = Ax . Determinemos si T es una transformacion lineal.








OBS A las transformaciones lineales, T(x) = Ax , las llamamostransformaciones matriciales.








OBS A las transformaciones lineales, T(x) = Ax , las llamamostransformaciones matriciales.

Por ejemplo

T

(

x

y

z

)

=

(

x − 2y

2z − x

)

= x

(

1

−1

)

+ y

(

−2

0

)

+ z

(

0

2

)

=

(1 −2 0

−1 0 2

)

︸︷︷︸

A

(

x

y

z

)






EJEM Verifique que la funcion que a cada punto de R2 le asigna el punto

de su reflexion a traves del Eje X es una transformacion lineal.








De aqui, es facil ver que la funcion en cuestion es T : R2 → R2, donde

T

(

a

b

)

=

(

a

−b

)

.








De aqui, es facil ver que la funcion en cuestion es T : R2 → R2, donde

T

(

a

b

)

=

(

a

−b

)

= a

(

1

0

)

+ b

(

0

−1

)

=

(1 0

0 −1

)

︸︷︷︸

(

a

b

)

.






EJEM Sea T : V → W la funcion tal que T(v) = 0 para todo v ∈ V .Verifique que T es una transformacion lineal.







SOL Sean v1 y v2 vectores de V . Por ser V un espacio vectorial,v1 + λv2 ∈ V y por tanto, T(v1 + λv2) = 0. De otro lado,T(v1) + λT(v2) = 0+ λ0 = 0.







SOL Sean v1 y v2 vectores de V . Por ser V un espacio vectorial,v1 + λv2 ∈ V y por tanto, T(v1 + λv2) = 0. De otro lado,T(v1) + λT(v2) = 0+ λ0 = 0.

OBS A esta transformacion lineal la llamamos transformacion nula.






EJEM Sea T : V → V la funcion tal que T(v) = v para todo v ∈ V .Verifique que T es una transformacion lineal.







SOL Sean v1 y v2 vectores de V . Por ser V un espacio vectorial,v1 + λv2 ∈ V y por tanto, T(v1 + λv2) = v1 + λv2. De otro lado,T(v1) + λT(v2) = v1 + λv2.







SOL Sean v1 y v2 vectores de V . Por ser V un espacio vectorial,v1 + λv2 ∈ V y por tanto, T(v1 + λv2) = v1 + λv2. De otro lado,T(v1) + λT(v2) = v1 + λv2.

OBS A esta transformacion lineal la llamamos transformacion identica.


Teoremas de Transformaciones Lineales

TEO Sean T : V → W una transformacion lineal, v1, v2, . . . , vn vectoresde V y λi ∈ R. Entonces,

T(λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λnvn) = λ1T(v1) + λ2T(v2) + · · ·+ λnT(vn).





CORO Sean T : V → W una transformacion lineal, entonces,

T(0) = 0.





CORO Sean T : V → W una transformacion lineal, entonces,

T(0) = 0.

OBS: El TEO anterior tambien establece que, para el caso de lastransformaciones lineales de R

n a Rm, las rectas son enviadas en rectas o

puntos y los planos son enviados en planos, rectas o puntos. Es decir,

Una T .L envia subespacios de dimension k en un subespacio dedimension igual o menor a k



TEO Sean B = {v1, v2, . . . , vn} una base del espacio vectorial V yT : V → W y S : V → W dos transformaciones lineales.

T = S, si y solo si, S(v1) = T(v1),S(v2) = T(v2), . . . ,S(vn) = T(vn).





DEM: (⇒) TRIVIAL.





DEM: (⇒) TRIVIAL.

(⇐) Sea v ∈ V entonces ∃λi ∈ R tal que v = λ1v1 + · · ·+ λnvn

T(v) = T(λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λnvn)

= λ1T(v1) + λ2T(v2) + . . .+ λnT(vn)





DEM: (⇒) TRIVIAL.

(⇐) Sea v ∈ V entonces ∃λi ∈ R tal que v = λ1v1 + · · ·+ λnvn

T(v) = T(λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λnvn)

= λ1T(v1) + λ2T(v2) + . . .+ λnT(vn)

= λ1S(v1) + λ2S(v2) + . . .+ λnS(vn)

= S(λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λnvn)

= S(v)



TEO Sean B = {v1, v2, . . . , vn} una base del espacio vectorial V existeuna unica transformacion lineal T : V → W , tal que w1 = T(v1),w2 = T(v2), . . ., wn = T(vn), con w1,w2, . . . ,wn ∈ W .




(⇒) Sea v ∈ V luego ∃λi ∈ R tal que v = λ1v1 + · · ·+ λnvn. ahora siwi = T(vi ) entonces

T(v) = T(λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λnvn)

= λ1T(v1) + λ2T(v2) + . . .+ λnT(vn)





T(v) = T(λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λnvn)

= λ1T(v1) + λ2T(v2) + . . .+ λnT(vn)

= λ1w1 + λ2w2 + . . .+ λnwn





T(v) = T(λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λnvn)

= λ1T(v1) + λ2T(v2) + . . .+ λnT(vn)

= λ1w1 + λ2w2 + . . .+ λnwn

Veamos la unicidad de esta transformacion. Supongamos que existen dostransformaciones lineales T y S tales que T(vi ) = wi = S(vi ). porteorema, S = T




EJEM: Sea T : P2 → R3 la transformacion lineal tal que

T(1) = (1 0 0)T , T(x) = (1 1 0)T y T(x2) = (1 1 1)T .





T(1) = (1 0 0)T , T(x) = (1 1 0)T y T(x2) = (1 1 1)T .

SOL: Dado que 1, x , x2 es la base canonica de P2, entoncesa+ bx + cx2 = a(1) + b(x) + c(x2),

T(a+bx+cx2) = aT(1)+bT(x)+cT(x2) = a

100

+b

110

+c

111

=

a+ b +b + c

c




EJEM: Dados los vectores u1 = (−1 3 − 2)T y u2 = (2 0 1)T de R3,

encontremos una transformacion lineal T de R2 en el plano

H = gen{u1,u2} de R3.







SOL: Hallemos a la T.L de T : R2 → H.







SOL: Hallemos a la T.L de T : R2 → H. Si tomamos {e1, e2}, la basecanonica de R

2, podemos definir T(e1) = u1 y T(e2) = u2, de talmanera que

T

(

x

y

)

= xT(e1) + yT(e2) = x

−13−2

+ y

201

=

−x + 2y3x

−2x + y







SOL: Hallemos a la T.L de T : R2 → H. Si tomamos {e1, e2}, la basecanonica de R

2, podemos definir T(e1) = u1 y T(e2) = u2, de talmanera que

T

(

x

y

)

= xT(e1) + yT(e2) = x

−13−2

+ y

201

=

−x + 2y3x

−2x + y

Existe otra transformacion lineal de R2 en el plano H?


Espacios Vectoriales Asociados a una Trans Lineal

Nucleo T

DEF: Dada una transformacion lineal T : V → W , definimos nucleo deT como el conjunto Nu(T) de todos los vectores de V cuya imagen es elvector 0 de W . En otras palabras,

Nu(T) = {v ∈ V : T (v) = 0}.


Espacios Vectoriales Asociados a una Trans Lineal

Imagen de T

DEF: Dada una transformacion lineal T : V → W , definimos imagen deT como el conjunto Im(T) de todos los vectores w de W para los cualesexiste un vector v de V , tal que T(v) = w. En otras palabras,

Im(T) = {w ∈ W : existe v ∈ V tal que T(v) = w}.


Imagen y Rango de T

EJEM: Consideremos la transformacion lineal T : M2×2 → M2×2, tal

que T

(

a b

c d

)

=

(

a b

0 c + d

)

e identifiquemos el Nu(T) e Im(T).


Imagen y Rango de T


que T

(

a b

c d

)

=

(

a b

0 c + d

)


SOL: Porque el

Nu(T) ={

(

0 0−r r

)

: r ∈ R

}

y Im(T) ={

(

r s

0 t

)

: r , s, t ∈ R

}


Imagen y Rango de T


que T

(

a b

c d

)

=

(

a b

0 c + d

)


SOL: Porque el

Nu(T) ={

(

0 0−r r

)

: r ∈ R

}

y Im(T) ={

(

r s

0 t

)

: r , s, t ∈ R

}

EJEM: Sea T : P2 → R3 la transformacion lineal

T (a+ bx + cx2) =

a+ b + c

b + c

c

. Identifiquemos Nu(T) e Im(T).


Imagen y Rango de T


que T

(

a b

c d

)

=

(

a b

0 c + d

)


SOL: Porque el

Nu(T) ={

(

0 0−r r

)

: r ∈ R

}

y Im(T) ={

(

r s

0 t

)

: r , s, t ∈ R

}


T (a+ bx + cx2) =

a+ b + c

b + c

c


SOL: Porque elNu(T) = {0} y Im(T) = R

3


Imagen y Rango de T


que T

(

a b

c d

)

=

(

a b

0 c + d

)


SOL: Porque el

Nu(T) ={

(

0 0−r r

)

: r ∈ R

}

y Im(T) ={

(

r s

0 t

)

: r , s, t ∈ R

}


T (a+ bx + cx2) =

a+ b + c

b + c

c


SOL: Porque elNu(T) = {0} y Im(T) = R

3

En efecto, la Im(T) = R3 pues dado (p q r)T ∈ R

3 existe p(x) ∈ P2 talque T((p − q) + (q − r)x + rx2) = (p q r)T


Imagen y Rango de T

EJEM: Determine cuales de las siguientes funciones son transformacioneslineales. En caso de que sean Hallar su Nucleo y Imagen como susdimensiones

T : R3 → R2 tal que T(a b c)T = (2a b − 3c)T

T : R2 → P1 tal que T(a b)T = (1 + a)− 2bx

T : R → P2 tal que T(a) = a+ 2ax + 3ax2

T : P2 → P2 tal que T(a + bx + cx2) = a+ x − (b + c)x2

T : P2 → P1 tal que T(p(x)) = p′(x)

T : P2 → P3 tal que T(p(x)) = xp(x)

T : M2×2 → P2 tal que T

(

a b

c d

)

= a+ bx + cx2

T : R3 → R2 tal que T (a b c)T = (a 2b − 3c)T

T : R2 → R3 tal que T (a b)T = (−3a b + a b)T

T : R3 → R2 tal que T(x y z)T = (x − y x − z)T

T : R3 → R3 tal que T(x y z)T = (x − y + z 0 0)T


Imagen Y Rango de T

TEO Sean V y W espacios vectoriales y T : V → W una transformacionlineal. Entonces

Nu(T) es subespacio vectorial de V .

Im(T) es subespacio vectorial de W .


Imagen Y Rango de T




DEM 1 El vector 0 es un elemento de Nu(T), ası que Nu(T) 6= ∅.


Imagen Y Rango de T




DEM 1 El vector 0 es un elemento de Nu(T), ası que Nu(T) 6= ∅. Ahorasea, u, v ∈ Nu(T) y un escalar λ ∈ R, luego tenemos que T(u) = 0 yT(v) = 0, de modo que

T(u+ λv) = T(u) + λT(v) = 0+ λ0 = 0

de donde concluimos que u+ λv estan en Nu(T).


Imagen Y Rango de T





T(u+ λv) = T(u) + λT(v) = 0+ λ0 = 0


DEM 2 Como 0 ∈ Im(T), ası que Im(T) 6= ∅.


Imagen Y Rango de T





T(u+ λv) = T(u) + λT(v) = 0+ λ0 = 0


DEM 2 Como 0 ∈ Im(T), ası que Im(T) 6= ∅. Ahora, si w1,w2 ∈ Im(T)y un escalar λ ∈ R, tenemos que existen v1, v2 ∈ V tales que T(v1) = w1

y T(v2) = w2, de modo que

w1 + λw2 = T(v1) + λT(v2) = T(v1 + λv2)

de donde concluimos que w1 + λw2 estan en Im(T).Algebra Lineal Basica

Matriz Asociada a una Transformacion Lineal

DEF: Dadas la transformacion lineal T : V → W y las basesB = {v1, v2, . . . , vn} y B′ de V y W , respectivamente, definimos lamatriz asociada a T respecto a las bases B y B′ a la matriz

[AT ]BB

′

=

[

[T(v1)]B′ [T(v2)]B′ · · · [T(vn)]B′

]

.

denotaremos simplemente por AT a la matriz asociada a latransformacion lineal, respecto a las bases dadas.




[AT ]BB

′

=

[

[T(v1)]B′ [T(v2)]B′ · · · [T(vn)]B′

]

.



T(a+ bx + cx2) =

(

a− b

c

)

y sean B = {1, 1 + x , 1 + x − x2} y B′ = {e1, e2} bases de P2 y R2,

respectivamente. Encontremos

AT =

.Algebra Lineal Basica



[AT ]BB

′

=

[

[T(v1)]B′ [T(v2)]B′ · · · [T(vn)]B′

]

.



T(a+ bx + cx2) =

(

a− b

c

)

y sean B = {1, 1 + x , 1 + x − x2} y B′ = {e1, e2} bases de P2 y R2,


AT =

(

1 0 00 0 −1

)

.Algebra Lineal Basica



[AT ]BB

′

=

[

[T(v1)]B′ [T(v2)]B′ · · · [T(vn)]B′

]

.


EJEM: Sea P el plano generado por u1 = (1 0 1)T y u2 = (0 2 1)T ysea R : P → R

3 la transformacion lineal tal que

R(λu1 + βu2) = (λ β λ+ β)T

y sean B = {u1,u2} y B′ = {e1, e2, e3} bases de P y R3,


AT =

. Algebra Lineal Basica



[AT ]BB

′

=

[

[T(v1)]B′ [T(v2)]B′ · · · [T(vn)]B′

]

.


EJEM: Sea P el plano generado por u1 = (1 0 1)T y u2 = (0 2 1)T ysea R : P → R

3 la transformacion lineal tal que

R(λu1 + βu2) = (λ β λ+ β)T

y sean B = {u1,u2} y B′ = {e1, e2, e3} bases de P y R3,


AT =

1 00 11 1

. Algebra Lineal Basica

Todas las transformaciones lineales son matriciales



TEO: Dadas la transformacion lineal T : V → W , con V y W espaciosvectoriales de dimension finita y las bases B = {v1, v2, . . . , vn} y B′ de V

y W , respectivamente, la matriz, AT , es la unica matriz tal que, paratodo v ∈ V ,

[T(v)]B′ = AT [v]B.





[T(v)]B′ = AT [v]B.

DEM: Sea v ∈ V entonces ∃λi ∈ R tal que [v]B = (λ1 λ2 . . . λn)T ,

entonces v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λnvn. Luego,

T(v) = λ1T(v1) + λ2T(v2) + . . .+ λnT(vn).

EJER 16: Probar la unicidadAlgebra Lineal Basica




[T(v)]B′ = AT [v]B.

DEM: Sea v ∈ V entonces ∃λi ∈ R tal que [v]B = (λ1 λ2 . . . λn)T ,

entonces v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λnvn. Luego,

T(v) = λ1T(v1) + λ2T(v2) + . . .+ λnT(vn).

Pero, por la invariancia de las coordenadas en bases,

[T(v)]B′ = λ1[T(v1)]B′ + λ2[T(v2)]B′ + . . .+ λn[T(vn)]B′ .

Ası que, por definicion de Ax , tenemos que

[T(v)]B′ = AT [v]B.

EJER 16: Probar la unicidadAlgebra Lineal Basica




[T(v)]B′ = AT [v]B.





[T(v)]B′ = AT [v]B.


T(a + bx + cx2) =

(

a− b

c

)

y sean B = {1, 1 + x , 1 + x − x2} y

B′ = {e1, e2} bases de P2 y R2. Aquı AT =

(

1 0 00 0 −1

)





[T(v)]B′ = AT [v]B.


T(a + bx + cx2) =

(

a− b

c

)

y sean B = {1, 1 + x , 1 + x − x2} y

B′ = {e1, e2} bases de P2 y R2. Aquı AT =

(

1 0 00 0 −1

)

Al resolver la

ecuacion a+ bx + cx2 = λ1(1) + λ2(1 + x) + λ3(1 + x − x2), tenemos

que [a+ bx + cx2]B =

a− b

b + c

−c

Finalmente, comprobamos que

[T(a+ bx + cx2)]B′ = AT [a+ bx + cx2]B, ya que

(

a− b

c

)

=

(

1 0 00 0 −1

)

a− b

b + c

−c


Equivalencia Nu(T), Im(T) y matriz asociada AT

TEO: Dadas la transformacion lineal T : V → W , con V n y Wm

espacios vectoriales de dimension finita, y las bases B y B′ de V y W ,entonces

1 v ∈ Nu(T), si y solo si, [v]B ∈ NAT

2 w ∈ Im(T), si y solo si, [w]B′ ∈ CAT







DEM:







DEM: (1) Tenemos que

v ∈ Nu(T) si y solo si T(v) = 0W








v ∈ Nu(T) si y solo si T(v) = 0Wsi y solo si [T(v)]B′ = 0Rm









si y solo si AT [v]B = 0Rm










si y solo si [v]B ∈ NAT.











(2) Similarmente

w ∈ Im(T) si y solo si existe v ∈ V tal que T(v) = w











(2) Similarmente


si y solo si [w]B′ = [T(v)]B′ = AT [v]B











(2) Similarmente


si y solo si [w]B′ = [T(v)]B′ = AT [v]Bsi y solo si [w]B′ ∈ CAT

.







EJEM: Calculemos Im(T) y Nu(T) usando una matriz asociada T, para

T : P2 → M2×2 tal que T(a + bx + cx2) =

(

a+ b b − c

c + a a+ c

)









(

a+ b b − c

c + a a+ c

)

SOL Sean B y B′ las bases canonicas de P2 y M2×2. Luego

AT =

1 1 0

0 1 −1

1 0 1

1 0 1

Ahora calculemos CATy NAT

usando UT .Cuidado! CAT6= CUT

yFAT

= FUT









(

a+ b b − c

c + a a+ c

)


AT =

1 1 0

0 1 −1

1 0 1

1 0 1

UT =

1 1 0

0 1 −1

0 0 0

0 0 0



yFAT

= FUT









(

a+ b b − c

c + a a+ c

)


AT =

1 1 0

0 1 −1

1 0 1

1 0 1

UT =

1 1 0

0 1 −1

0 0 0

0 0 0



yFAT

= FUTEs decir,

CAT= gen

{

(1 0 1 1)T , (1 1 0 0)T}

NAT= gen{(−1 1 1)T}









(

a+ b b − c

c + a a+ c

)

SOL Finalmente, calculemos los vectores de P2 y M2×2 que tienen comocomponentes en las bases B y B′ los vectores de CAT

y Nu(T). Por tanto

Im(T) = gen{

(

1 01 1

)

,

(

1 10 0

)

}

Nu(T ) = gen{−1 + x + x2}







SOL Finalmente, calculemos los vectores de P2 y M2×2 que tienen comocomponentes en las bases B y B′ los vectores de CAT

y Nu(T). Por tanto

Im(T) = gen{

(

1 01 1

)

,

(

1 10 0

)

}

Nu(T ) = gen{−1 + x + x2}







EJER: Calcule τ(T) y κ(T), para T : M2×2 → P1 tal que

T

(

a b

c d

)

= a+ 2b + (a− 4c − 5d)x

DEF: La nulidad de T se define como κ(T) = dim(Nu(T)), y el Rangode T se define como τ(T) = dim(Im(T)). Claramente

κ(T) + τ(T) = dim(V ),







OBS Importante

Nu(T) ⊆ Dom(T) y Nu(T) subespacio de V

NATsubespacio de R

n,Si v ∈ Nu(T) entonces [v]B ∈ NAT

, Cuidado! v /∈ NAT

Im(T) ⊆ Codom(T) y Im(T) subespacio de W .CAT

subespacio de Rm

Si w ∈ Im(T), entonces [w]B′ ∈ CAT, Cuidado! w /∈ CAT

.

DEF: La nulidad de T se define como κ(T) = dim(Nu(T)), y el Rangode T se define como τ(T) = dim(Im(T)). Claramente

κ(T) + τ(T) = dim(V ),


Trans lineales T : V → V

TEO: Sea T : V n → V n una transformacion lineal, y sean B y B′ dosbases de V . Entonces

A′TP = PAT




A′TP = PAT

donde P es la matriz de transicion de B a B′, AT es la matriz asociada aT respecto a B y A′

T es la matriz asociada a T respecto a B′.




A′TP = PAT



DEM: Dado que, [w]B′ = P[w]B, para todo w ∈ V ,




A′TP = PAT



DEM: Dado que, [w]B′ = P[w]B, para todo w ∈ V , en particular, siw = T(v) tenemos que

[T(v)]B′ = P[T(v)]B, para todo v ∈ V .




A′TP = PAT





De otro lado, sabemos que [T(v)]B = AT [v]B;




A′TP = PAT





De otro lado, sabemos que [T(v)]B = AT [v]B; ası que

[T(v)]B′ = P[T(v)]B




A′TP = PAT






[T(v)]B′ = P[T(v)]B = P(AT [v]B) = (PAT )[v]B




A′TP = PAT







= (PAT )(P−1[v]B′) = (PATP

−1)[v]B′




A′TP = PAT







= (PAT )(P−1[v]B′) = (PATP

−1)[v]B′

Finalmente,[T(v)]B′ = (PATP

−1)[v]B′




A′TP = PAT







= (PAT )(P−1[v]B′) = (PATP

−1)[v]B′

Finalmente,A′T [v]B′ = [T(v)]B′ = (PATP

−1)[v]B′




A′TP = PAT







= (PAT )(P−1[v]B′) = (PATP

−1)[v]B′

Finalmente,A′T [v]B′ = [T(v)]B′ = (PATP

−1)[v]B′

Como la matriz asociada a T es unica, entonces

A′T = PATP

−1




A′TP = PAT






A′TP = PAT



EJEM: Verifiquemos el teorema, considere la Transf lineal T : R2 → R2,

T

(

x

y

)

=

(

x + y

2x − y

)

con las bases B = {

(

10

)

,

(

11

)

} y B′ = {e1, e2}




A′TP = PAT




T

(

x

y

)

=

(

x + y

2x − y

)

con las bases B = {

(

10

)

,

(

11

)

} y B′ = {e1, e2}

SOL Aqui

PBB′ =

(

1 10 1

)

, AT =

(

−1 12 1

)

, A′T =

(

1 12 −1

)




A′TP = PAT




T

(

x

y

)

=

(

x + y

2x − y

)

con las bases B = {

(

10

)

,

(

11

)

} y B′ = {e1, e2}

SOL Aqui

PBB′ =

(

1 10 1

)

, AT =

(

−1 12 1

)

, A′T =

(

1 12 −1

)

Entonces

PAT =

(

1 10 1

)(

−1 12 1

)

=

(

1 22 1

)

=

(

1 12 −1

)(

1 10 1

)

= A′TP




A′TP = PAT



Matrices semejantes

Decimos que A(n) y B(n) son matrices semejantes, si y solo si, existe unamatriz invertible P , tal que BP = PA o lo que es lo mismo, B = PAP−1.


Isomorfismos

NOTA: Aunque hay infinidad de espacios vectoriales, veremos quemuchos de ellos son esencialmente el mismo respecto a la estructura deespacio vectorial.


Isomorfismos


DEF: Diremos que T : V → W es una transformacion lineal inyectiva, siy solo si, para cada w ∈ Im(T), existe un unico v ∈ V tal que T(v) = w.


Isomorfismos


DEF: Diremos que T : V → W es una transformacion lineal inyectiva, siy solo si, para cada w ∈ Im(T), existe un unico v ∈ V tal que T(v) = w.

EJEM: Determine la inyectividad de T

(

a b

c d

)

=

(

a b

0 c + d

)

y

T(a + bx + cx2) =

a+ b + c

b + c

c


Caracterizacion inyectividad

TEO: Sea T : V n → W es una transformacion lineal. La transformacionT es inyectiva, si y solo si, Nu(T) = {0}.




DEM: ⇒ Supongamos que T es una transformacion lineal inyectiva.Como T(0) = 0, por la inyectividad de T, el vector 0 tiene que ser elunico elemento de Nu(T), por tanto Nu(T) = {0}.




DEM: ⇒ Supongamos que T es una transformacion lineal inyectiva.Como T(0) = 0, por la inyectividad de T, el vector 0 tiene que ser elunico elemento de Nu(T), por tanto Nu(T) = {0}.

⇐ Supongamos que Nu(T) = {0} y veamos que si T(u) = T(v),entonces u = v. Como T(u) = T(v), entoncesT(u− v) = T(u)− T(v) = 0 lo que implica que u− v ∈ Nu(T). Pero,como Nu(T) = {0}, entonces u− v = 0 y por tanto u = v.




TEO: Si T : V → W es una transformacion lineal inyectiva y{v1, v2, . . . , vn} es un conjunto de vectores l .i ., entonces{T(v1),T(v2), . . . ,T(vn)} es un conjunto de vectores l .i .




TEO: Si T : V → W es una transformacion lineal inyectiva y{v1, v2, . . . , vn} es un conjunto de vectores l .i ., entonces{T(v1),T(v2), . . . ,T(vn)} es un conjunto de vectores l .i .

DEM: Supongamos que

λ1T(v1) + λ2T(v2) + · · ·+ λnT(vn) = 0.

Luego,T(λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λnvn) = 0.

Como T es inyectiva, λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λnvn = 0, lo que implica,λ1 = λ2 = · · · = λn = 0, por lo tanto, {T(v1),T(v2), . . . ,T(vn)} es l .i .


Sobreyectividad

DEF: Diremos que T : V → W es una transformacion linealsobreyectiva, si y solo si, Im(T) = W .


Sobreyectividad


EJEM: Determine si T : M2×2 → M2×2 dada por

T

(

a b

c d

)

=

(

a b

0 c + d

)

y T : P2 → R2 dada por

T(a + bx + cx2) =

(

a− b

c

)

son sobreyectivas.


Sobreyectividad


EJEM: Determine si T : M2×2 → M2×2 dada por

T

(

a b

c d

)

=

(

a b

0 c + d

)

y T : P2 → R2 dada por

T(a + bx + cx2) =

(

a− b

c

)

son sobreyectivas.

DEF: Diremos que una transformacion lineal T : V → W es unisomorfismo, si y solo si, T es una transformacion lineal inyectiva ysobreyectiva.


Espacios Vectoriales Isomorfos

DEF: Si dados dos espacios vectoriales V y W , existe un isomorfismoT : V → W , diremos que V y W son isomorfos, lo cual denotamosV ∼= W .




EJER: T : R3 → P2, dada por T

a

b

c

= a+ bx + cx2 un isomorfismo.





a

b

c


TEO: Si T : V → W es una transformacion lineal, condim(V ) = dim(W ), entonces

si T es inyectiva, T es sobreyectiva.

si T es sobreyectiva, T es inyectiva.





a

b

c





DEM: ⇒ Si T es inyectiva y {v1, v2, . . . , vn} es una base de V , entonces,{T(v1),T(v2), . . . ,T(vn)} es una base de Im(T).





a

b

c





DEM: ⇒ Si T es inyectiva y {v1, v2, . . . , vn} es una base de V , entonces,{T(v1),T(v2), . . . ,T(vn)} es una base de Im(T). Ası que

dim(Im(T)) = dim(V ) = dim(W )

entonces W = Im(T), de donde concluimos que T es sobreyectiva.Algebra Lineal Basica




a

b

c









a

b

c





DEM: ⇒ Si T es sobreyectiva, entonces como

dim(Im(T)) = dim(W )hip= dimV .





a

b

c





DEM: ⇒ Si T es sobreyectiva, entonces como

dim(Im(T)) = dim(W )hip= dimV .

Luego, dim(Nu(T)) = 0; es decir, Nu(T ) = {0}, de donde podemosconcluir, que T es inyectiva.


Isomorfismo y dimension

TEO: Si V y W son espacios vectoriales de dimension finita, entonces

dim(V ) = dim(W ), si y solo si, V ∼= W .





DEM: (⇐) Supongamos que V ∼= W , ,





DEM: (⇐) Supongamos que V ∼= W , entonces existe un isomorfismoT : V → W , de tal manera que si {v1, v2, . . . , vn} es una base de V ,entonces, {T(v1),T(v2), . . . ,T(vn)} es una base de Im(T),





DEM: (⇐) Supongamos que V ∼= W , entonces existe un isomorfismoT : V → W , de tal manera que si {v1, v2, . . . , vn} es una base de V ,entonces, {T(v1),T(v2), . . . ,T(vn)} es una base de Im(T), pues T esinyectiva.





DEM: (⇐) Supongamos que V ∼= W , entonces existe un isomorfismoT : V → W , de tal manera que si {v1, v2, . . . , vn} es una base de V ,entonces, {T(v1),T(v2), . . . ,T(vn)} es una base de Im(T), pues T esinyectiva. Ahora, por ser T sobreyectiva, Im(T) = W ,





DEM: (⇐) Supongamos que V ∼= W , entonces existe un isomorfismoT : V → W , de tal manera que si {v1, v2, . . . , vn} es una base de V ,entonces, {T(v1),T(v2), . . . ,T(vn)} es una base de Im(T), pues T esinyectiva. Ahora, por ser T sobreyectiva, Im(T) = W , por tanto,

dim(V ) = dim(Im(T)) = dim(W ).







DEM: (⇒) Supongamos que dim(V ) = dim(W ) y sean {v1, v2, . . . , vn}y {w1,w2, . . . ,wn} bases de V y W .








Ahora, construyamos un isomorfismo T : V → W ,








Ahora, construyamos un isomorfismo T : V → W , definiendolo como

T (vi ) = wi i = 1, 2, . . . , n









T (vi ) = wi i = 1, 2, . . . , n

T es sobreyectiva ya que {w1,w2, . . . ,wn} es base de Im(T) y de W , loque implica que Im(T) = W .









T (vi ) = wi i = 1, 2, . . . , n

T es sobreyectiva ya que {w1,w2, . . . ,wn} es base de Im(T) y de W , loque implica que Im(T) = W . Ahora, como dim(V ) = dim(W ), entoncesNu(T) = {0},









T (vi ) = wi i = 1, 2, . . . , n

T es sobreyectiva ya que {w1,w2, . . . ,wn} es base de Im(T) y de W , loque implica que Im(T) = W . Ahora, como dim(V ) = dim(W ), entoncesNu(T) = {0}, es decir, T es inyectiva





Matriz asociada, inyectividad y sobreyectividad

TEO: Sean T : V n → Wm una transformacion lineal, y AT la matrizm × n asociada a T. Entonces,







1 T es inyectiva, si y solo si, la forma escalonada de AT tiene n

pivotes.








pivotes. No Hay var. LIBRES









2 T es sobreyectiva, si y solo si, la forma escalonada de AT tiene m

pivotes.










pivotes. Hay var. LIBRES










pivotes. Hay var. LIBRES

3 T es un isomorfismo, si y solo si, AT es invertible.


Suma y producto por λ de transformaciones lineales

DEF: Dadas dos transformaciones lineales T,S : V → W y un escalarλ ∈ R, definimos la funcion (T+ S) : V → W , tal que

(T+ S)(v) = T(v) + S(v), para todo v ∈ V

y definimos la funcion (µT) : V → W , tal que

(µT)(v) = µ[T(v)], para todo v ∈ V .







EJEM: Dadas las transformaciones lineales T,S : R2 → P1, tal que

T

(

a

b

)

= a+ bx y S

(

a

b

)

= a− 2bx , calcule

(T+ S)

(

−25

)

− 3T

(

−25

)

.







TEO: Si T,S : V → W son transformaciones lineales y λ es un escalar,entonces las funciones

(T+ S) : V → W , (µT) : V → W .

son transformaciones lineales.








(T+ S) : V → W , (µT) : V → W .


DEM: Sean v1, v2 ∈ V , entonces...








(T+ S) : V → W , (µT) : V → W .



(S+ T)(v1 + v2) = (S+ T)(v1) + (S+ T)(v2)

(S + T )(λv) = λ(S+ T)(v),








(T+ S) : V → W , (µT) : V → W .



(µT)(v1 + v2) = (µT)(v1) + (µT)(v2)

(µT)(λv) = λ[(µT)(v)],








(T+ S) : V → W , (µT) : V → W .


DEF: El conjunto de las transformaciones lineales de V en W lodenotaremos por L(V ,W ), es decir

L(V ,W ) = {T : T : V → W es un trans lineal}


L(V ,W ) y Composicion de Transformaciones

TEO: Dadas las transformaciones lineales R ,S,T ∈ L(V ,W ) y losescalares λ, µ, entonces

1 R + (S+ T) = (R + S) + T2 S+ T = T+ S3 T+ 0 = 0+ T = T4 T+ (−T) = (−T) + T = 05 λ(S+ T) = λS+ λT6 (λ+ µ)T = λT+ µT7 (λµ)T = λ(µT) = µ(λT)8 1T = T9 0T = 0

y por tanto L(V ,W ) es un espacio vectorial.



DEF: Sean T : U → V y S : V → W transformaciones lineales.Definimos S ◦ T, la composicion de S con T, como la funcion(S ◦ T) : U → W tal que

(S ◦ T)(u) = S[T(u)] para todo u ∈ U





TEO: Sean T : U → V y S : V → W transformaciones lineales,(S ◦ T) : U → W es tambien una transformacion lineal.






DEM: Sean u,u1,u2 ∈ U y λ ∈ R,...






DEM: Sean u,u1,u2 ∈ U y λ ∈ R,... entonces

(S ◦ T)(u1 + u2) = S[T(u1 + u2)] = S[T(u1) + T(u2)]

= S[T(u1)] + S[T(u2)] = (S ◦ T)(u1) + (S ◦ T)(u2).

(S ◦ T)(λu) = S[T(λu)] = S(λT(u))

= λ[S[T(u)]] = λ(S ◦ T)(u).






EJEM: Dadas las transformaciones lineales T : R3 → P1 y S : P1 → R2,

tal que T

a

b

c

= (a+ b) + cx y S(α− βx) =

(

α− ββ

)

calculemos

(S ◦ T)

−21−2

=

,







tal que T

a

b

c

= (a+ b) + cx y S(α− βx) =

(

α− ββ

)

calculemos

(S ◦ T)

−21−2

=

Pregunta ¿T ◦ S = S ◦ T?,Algebra Lineal Basica






tal que T

a

b

c

= (a+ b) + cx y S(α− βx) =

(

α− ββ

)

calculemos

(S ◦ T)

−21−2

=

Pregunta ¿T ◦ S = S ◦ T?, NOOOOOOOOOOOOOOOOOOAlgebra Lineal Basica


TEO: Sean R , S y T transformaciones lineales tales que, en cada caso,las composiciones estan bien definidas y sea λ un escalar, entonces

1 (T ◦ S) ◦ R = T ◦ (S ◦ R).2 T ◦ (S+ R) = (T ◦ S) + (T ◦ R).3 (T+ S) ◦ R = (T ◦ R) + (S ◦ R).4 λ(T ◦ S) = (λT) ◦ S = T ◦ (λS).5 I ◦ T = T ◦ I = T.6 0 ◦ T = 0 y T ◦ 0 = 0.



TEO: Sean R , S y T transformaciones lineales tales que, en cada caso,las composiciones estan bien definidas y sea λ un escalar, entonces

1 (T ◦ S) ◦ R = T ◦ (S ◦ R).2 T ◦ (S+ R) = (T ◦ S) + (T ◦ R).3 (T+ S) ◦ R = (T ◦ R) + (S ◦ R).4 λ(T ◦ S) = (λT) ◦ S = T ◦ (λS).5 I ◦ T = T ◦ I = T.6 0 ◦ T = 0 y T ◦ 0 = 0.

TEO: Sean T,S : U → V y R : V → W transformaciones lineales y seanAT , AS y AR sus matrices asociadas, entonces

1 T+ S tiene matriz asociada AT + AS .2 λT tiene matriz asociada λAT .3 −T tiene matriz asociada −AT .4 T− S tiene matriz asociada AT − AS .5 R ◦ T tiene matriz asociada ARAT .





DEM: (5) Sean B, B′ y B′′ bases de U, V y W . Por la definicion dematriz asociada a una transformacion lineal,

[(R ◦ T)(u)]B′′ = [R(T(u))]B′′ = AR [T(u)]B′ = AR(AT [u]B) = (ARAT )[u]B





DEM: (5) Sean B, B′ y B′′ bases de U, V y W . Por la definicion dematriz asociada a una transformacion lineal,

[(R ◦ T)(u)]B′′ = [R(T(u))]B′′ = AR [T(u)]B′ = AR(AT [u]B) = (ARAT )[u]B

por la unicidad de la matriz asociada a R ◦ T, la matriz asociada a(R ◦ T) respecto a las bases B y B′ es ARAT .


Transformacion Inversa



DEF: Decimos que T : V → W es una transformacion lineal invertible,si y solo si, existe una transformacion lineal S : W → V tal que

(T ◦ S) = IW (S ◦ T) = IV

donde IW : W → W y IV :: V → V . A la transformacion S la llamamosinversa de T.




(T ◦ S) = IW (S ◦ T) = IV


EJEM: Verifique que T : R2 → P1 tal que T(

ab

)

= (a+ b) + (a− b)x esuna transformacion lineal invertible.




(T ◦ S) = IW (S ◦ T) = IV



ab

)


SOL: Veamos que S : P1 → R2 tal que S(c + dx) =

(c + d

2,c − d

2

)T

es una transformacion lineal tal que T ◦ S = IP1y S ◦ T = IR2




(T ◦ S) = IW (S ◦ T) = IV


TEO: Sea T : V → W es una transformacion lineal, entonces T esinvertible, si y solo si, T es un isomorfismo.




(T ◦ S) = IW (S ◦ T) = IV



DEM: (⇒) Supongamos que T es invertible y que S es su inversa. Ydemostremos que T es biyectiva.




(T ◦ S) = IW (S ◦ T) = IV



DEM: (⇒) Supongamos que T es invertible y que S es su inversa. Ydemostremos que T es biyectiva. T es inyectiva pues tomando

T(v1) = T(v2) ⇒ S(T(v1)) = S(T(v2)), esto es, v1 = v2.




(T ◦ S) = IW (S ◦ T) = IV





T es sobreyectiva pues para un w ∈ W tenemos

S(w) = v ⇒ T(S(w)) = T(v), esto es, ∃v ∈ V , T(v) = w




(T ◦ S) = IW (S ◦ T) = IV





T es sobreyectiva pues para un w ∈ W tenemos

S(w) = v ⇒ T(S(w)) = T(v), esto es, ∃v ∈ V , T(v) = w

Por tanto T es un isomorfismoAlgebra Lineal Basica



(T ◦ S) = IW (S ◦ T) = IV



DEM: (⇐) Supongamos que T es un isomorfismo, ası que T es inyectivay sobreyectiva.




(T ◦ S) = IW (S ◦ T) = IV



DEM: (⇐) Supongamos que T es un isomorfismo, ası que T es inyectivay sobreyectiva. Sea w ∈ W , entonces ∃!, v ∈ V , tal que T(v) = w.




(T ◦ S) = IW (S ◦ T) = IV



DEM: (⇐) Supongamos que T es un isomorfismo, ası que T es inyectivay sobreyectiva. Sea w ∈ W , entonces ∃!, v ∈ V , tal que T(v) = w.

Ahora, definimos a S, ası S(w) = v, cuando T(v) = w. Es facil verificarque S es la inversa de T; por tanto, T es invertible.


Transformacion lineal invertible y matriz asociada AT

NOTA: En general no es facil determinar si T es un isomorfismoencontrando su transformacion inversa. Afortunadamente, si unatransformacion lineal es invertible es suficiente determinar que AT esinvertible.




TEO: Sean B y B′ bases de los espacios vectoriales V y W , T : V → W

una transformacion lineal y AT la matriz asociada de la base B a B′.Entonces

1 T es invertible, si y solo si, AT es invertible.

2 Si T es invertible, entonces A−1T es la matriz asociada a la

transformacion lineal T−1, respecto a las bases B′ y B.










ab

)











ab

)


SOL: Veamos que S : P1 → R2 tal que S(c + dx) =

(c + d

2,c − d

2

)T

es una transformacion lineal tal que T ◦ S = IP1y S ◦ T = IR2


Álgebra lineal Básica · PDF file · 2015-11-12Transformaciones...

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