Álgebra y Geometría Analítica Introducción al uso del ...

Álgebra y Geometría Analítica Introducción al uso del Mathematica

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Vectores 10

VECTORES

Como ingresar vectores

Mathematica trabaja con listas ordenadas o simplemente lista. Si bien el concepto de lista es más general, para nuestro trabajo, igualaremos las listas de longitud fija a los vectores. Las listas se indican por valores encerrados entre llaves y separados por comas, que es el equivalente a la notación de vector que encierra las componentes entre paréntesis y las separa con comas o punto y coma.-

Para ingresar un vector procedemos así:

{4,-9,8,3/2}

3 {4, -9, 8, -}

2

{a^2,4c}

2 {a , 4 c}

Para declarar un vector como constante hacemos:

a={1/2,Sqrt[2]}

1 {-, Sqrt[2]} 2

También se puede ingresar un vector dando una cierta ley de conformación, usando el comando

Table, por ejemplo:

Table[i a,{i,0,3}]

{0, a, 2 a, 3 a}

En este caso indicamos que se genere una lista cuyas componentes serán las que se obtengan al multiplicar las componentes del vector a por i, donde i toma los valores 0, 1, 2 y 3.-

Table[(2i+1)a,{i,0,3}]

{a, 3 a, 5 a, 7 a}

En el segundo caso se obtiene una lista en la que se habrán de multiplicar las componentes de a por 2i+1 con i variando entre 0 y 3.-

Table[3^i-5i,{i,-1,8}] 16


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{--, 1, -2, -1, 12, 61, 218, 699, 2152, 6521} 3

Y finalmente en el tercero, el vector será el que tiene por componentes los valores que se obtengan al resolver 3i - 5i haciendo variar i entre -1 y 8.-

Este comando es útil cuando se quieren generar listas a partir de funciones. Por ejemplo para obtener un vector cuyas componentes sean los 6 primeros valores de factorial de n se pondrá

Table[n!,{n,6}]

{1, 2, 6, 24, 120, 720}

En este caso podemos no poner el 1 en la expresión ya que es el "default" como valor inicial.-

Table[n!,{n,3,6}]

{6, 24, 120, 720}

Nos muestra un vector cuyas componentes son los valores de la función n! variando entre 3 y 6.-

Si se pretende hacer una tabla de valores de f(x) = cos x entre 0° y 90°, en incrementos de 30°

Table[{x, Cos[x]},{x,0 Degree,90 Degree,30 Degree}]//N

{{0, 1.}, {0.523599, 0.866025}, {1.0472, 0.5}, -17 {1.5708, 6.12574 10 }}

Table[{x, Cos[x]},{x,0,Pi/2,30 Degree}]//N

{{0, 1.}, {0.523599, 0.866025}, {1.0472, 0.5}, -17 {1.5708, 6.12574 10 }}

Table[{x, Cos[x]},{x,0,Pi/2,30 Degree}]//N// TableForm

0 1. 0.523599 0.866025 1.0472 0.5 -17 1.5708 6.12574 10

Salida que nos muestra el mismo resultado anterior en forma de tabla por el uso del comando //TableForm


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Otro comando que podemos emplear es Range

Si queremos construir un vector cuya primera componente sea 18, la última 42 y la diferencia entre cada una sea 4, procedemos así:

Range[18,42,3]

{18, 22, 26, 30, 34, 38, 42}

El comando Array construye vectores simbólicos y lo empleamos de la siguiente forma:

Array[c,5]

{c[1], c[2], c[3], c[4], c[5]}

La misma salida la obtenemos empleando el comando anterior Table

Table[c[i], {i,1,5}]

{c[1], c[2], c[3], c[4], c[5]}

Para obtener la dimensión de un vector empleamos los comandos

Length

y Dimensions

Ejemplos:

Length[a]

2

Dimensions[a]

{2}

Para introducir un vector columna procedemos así:

ColumnForm[{2,-6,8,0}]

2 -6 8 0

O también:

p={2,9,-10}; p//ColumnForm 2 9 -10


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Es posible preguntar si un elemento pertenece al vector

MemberQ[p, 9]

True

MemberQ[p, 5]

False

Para tener acceso a las distintas componentes de un vector usamos [[ ]], por ejemplo la primera componente de p es

p[[1]]

2

Para encontrar la posición de un determinado elemento

Position[p, -10]

{{3}}

Ejercicios

1. Propone un vector de dos componentes.- 2. Ingresa un vector de dimensión tres.- 3. Carga un vector de dimensión mayor que dos tal que la suma de sus componentes sea

nula.- 4. Considera el vector (-1,3,-4).-

q Calcula los cosenos directores. q Halla su versor asociado. q Calcula su módulo. q Determina el ángulo que forma con el vector (2,-7,-3).-

5. Antes de pasar al trabajo siguiente practica cargando vectores fila y columna de distintas dimensiones según las técnicas vistas.-

6. Verifica la dimensión de los vectores que has cargado.- 7. Practica los distintos comandos visto en esta sección.-

Manipulando listas y conjuntos

En lo que sigue veremos algunos comandos que nos permiten modificar listas.-

v1={a,b,c,d}; v2={1,2,3,4}; v3=Join[v1,v2]

{a, b, c, d, 1, 2, 3, 4}

Append[v1,e]

{a, b, c, d, e}


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Prepend[v2,5]

{5, 1, 2, 3, 4}

v3[[6]]=f;v3

{a, b, c, d, 1, f, 3, 4}

Insert[v3,m,4]

{a, b, c, m, d, 1, f, 3, 4}

Drop[v3,3]

{d, 1, f, 3, 4}

Drop[v3,-4]

{a, b, c, d}

Drop[v3,{3,5}]

{a, b, f, 3, 4}

Take[v3,5]

{a, b, c, d, 1}

First[v3]

a

Rest[v3]

{b, c, d, 1, f, 3, 4}

Es importante no confundir una lista con un conjunto, pero nos podemos valer de ellas para realizar las operaciones unión, intersección y complemento de un conjunto con respecto a otro.-

a1={x,y,z}; a2={u,v,w,x,y}; Union[a1,a2]

{u, v, w, x, y, z}

Aplica Join a estas listas y compara las salidas.-

Intersection[a1,a2]

{x, y}

Complement[a1,a2]

{z}


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Complement[a2,a1]

{u, v, w}

Ejercicios

1. Da una interpretación de los resultados obtenidos al aplicar los comandos empleados en esta sección.-

2. Averigua que hacen los comandos Delete, Reverse, RotateLeft, RotateRight, Permutations y Partition, da ejemplos.-

Operaciones con vectores

Suma o adición:

La suma de vectores se denota con el operador " +":

{6,2,5}+{5,-12,-6}

{11, -10, -1}

Si hemos declarado los vectores como constantes, será suficiente indicar la suma empleando los nombres asignados a los mismos

b={4,2,7}; s={c,6,d}; b + s

{4 + c, 8, 7 + d}

Resta

Para restar dos vectores el operador es " - ".-

b - s

{4 - c, -4, 7 - d}

Multiplicación por escalar

Esta multiplicación se realiza empleando el operador " ∗ ":

4 * {2,c,f}

{8, 4 c, 4 f}

La salida es el múltiplo escalar del vector.-

Si pretendemos obtener una combinación lineal de dos vectores solo debemos indicarla

2*{m,n,t} + 3*{x,y,z}

{2 m + 3 x, 2 n + 3 y, 2 t + 3 z}


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O también

2{m,n,t}+3{x,y,z}

{2 m + 3 x, 2 n + 3 y, 2 t + 3 z}

En donde hemos suprimido los *, signos de multiplicación.--

Operaciones componente por componente

En ocasiones es conveniente poder efectuar el producto de listas componente a componente (Análisis Discreto de Fourier). Para efectuar esta multiplicación usamos el operador " ∗ ". También suele emplearse otro tipo de operaciones con distintas aplicaciones, por ejemplo la construcción de gráficos. Algunos ejemplos de éstas son:

c={2,-3,6};

d={-2,5,1};

c*d

c/d

c^d

{-4, -15, 6}

3

{-1, -(-), 6}

5

1

{-, -243, 6}

4

CUIDADO: ESTAS SON OPERACIONES ENTRE LISTAS NO EXISTEN COMO OPERACIONES ENTRE VECTORES.-

Clear[a,b,c,d,p,s,v1,v2,v3,a1,a2]

Empleando este comando logramos "borrar" las asignaciones anteriores hechas a las variables colocadas dentro del corchete.-


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Ejercicios

Introduce tres vectores de dimensión seis y llámalos p, q, r, y dos escalares x e y.-

1. Estudia la validez de las siguientes propiedades analizando los ejemplos e indica el nombre de cada una.- q p + q = q + p q p + (q + r) = (p + q) + r q p +0

r = p, siendo 0

r el vector nulo correspondiente.

q p + (-p) = -p + p = 0r

q x ∗ (y ∗ p) = (x ∗ y) ∗ p = y ∗ (x ∗ p) q (x + y) ∗ p = x ∗ p + y ∗ p q x ∗ (p + q) = x ∗ p + x ∗ q q 1 ∗ p = p.-

2. Prueba las propiedades del punto anterior simbólicamente.- 3. Calcula el módulo de los vectores del punto 1).- 4. Ingresa v1 = (1,1), v2 = (1,3), v3 = (4,-2) y calcula:

a) 2v1 + 3v2 - 1/2v3, b) sus módulos, c) los versores asociados a cada uno de los vectores dados y al vector obtenido en a), d) el módulo de los versores.-

5. Estudia la validez de las propiedades que siguen analizando ejemplos: q v = 0 si y solo sí v = 0

r (0

r vector nulo correspondiente),

q x.v = x v, q |v + w| < |v| +|w|.-

6. Aplica la definición de dirección de un vector y calcula las direcciones de los vectores del ejercicio 4).-

7. Propone varios vectores e indica el módulo y la dirección de cada uno.- 8. Propone ejercicios combinando las operaciones que has aprend ido.-

Multiplicación de vectores

Producto escalar

Para efectuar el producto escalar o interno usamos el operador " i ":

{2,3,4}.{-1,0,-3}

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Producto vectorial

Para evaluar el producto vectorial entre dos vectores debemos emplear el comando "CrossProduct" que se encuentra definido en uno de los paquetes externos y cuya sintaxis es la siguiente:

CrossProduct[{v , w}]

La salida correspondiente es el producto vectorial entre los vectores v y w.-


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Para poder hacer uso de esta función es necesario primeramente cargar el paquete "LinearAlgebra",

tarea que efectuamos de esta manera:

Needs["LinearAlgebra`CrossProduct`"]

Una vez cargado el paquete podemos efectuar el producto vectorial.-

Cross[{1,2,0},{-3,1,2}]

{4, -2, 7}

Observación: de la versión 3.0 en adelante, no se carga el paquete. Simplemente se ejecuta el comando Cross.-

Producto mixto

Si nuestro propósito ahora es encontrar el producto mixto entre tres vectores sólo debemos combinar los dos productos anteriores así:

Cross[{-2,3,1},{4,-2,3}].{5,1,-2}

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Doble producto vectorial

También podemos obtener el doble producto vectorial. Sólo debemos escribir de manera conveniente el producto vectorial.-

Cross[{1,3,0},Cross[{-2,1,-1},{3,-2,1}]]

{3, -1, 2}

Cross[Cross[{1,3,0},{-2,1,-1}],{3,-2,1}]

{15, 24, 3}

Ejercicios

1. Propone ejercicios de aplicación del producto escalar.- 2. Halla el ángulo que forman los vectores que has introducido.- 3. Introduce dos vectores de 2¡ y halla:

q su producto escalar, q el ángulo que forma cada uno de ellos con el eje X, ¿cómo se llama ese ángulo? q el ángulo que determinan, q un vector de módulo 3 colineal con uno de ellos, q la proyección de cada uno de ellos sobre el otro.-

4. Introduce dos vectores de 3¡ y halla: q su producto vectorial, q el versor asociado al producto vectorial, q un vector de módulo 8 perpendicular a ambos,


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q la proyección de cada uno de ellos sobre los ejes coordenados, q el área del paralelogramo que los tiene como lados adyacentes.-

5. Introduce tres vectores de 3¡ y halla: q el ángulo que determina cada uno de ellos con los ejes coordenados, ¿cómo se

llaman estos ángulos? q el ángulo que determinan tomándolos dos a dos, q el volumen del paralelepípedo que los tiene como aristas.-

6. Dados a = (1,3,0), b = (-2,1,-1) y c = (-4,2,-1) calcula: q su producto mixto, q a ∧ (b ∧ c) y (a ∧ b) ∧ c, q el volumen del tetraedro del que los vectores son aristas.-

7. Introduce tres vectores m, n y p de tres componentes y dos escalares x e y arbitrarios. Prueba simbólicamente la posible validez de las siguientes propiedades: q m . n = n . m q m . (n + p) = m . n + m . p q m . 0

r= 0 (0

r: vector nulo correspondiente)

q m . m = |m|2 q (x ∗ m) .n = x ∗ (m . n) = m . (x ∗ n)

q m ∧ 0r

= 0r

∧ m = 0r

q m ∧ n = - (n ∧ m) q (x ∗ m) ∧ n = x ∗ (m ∧ n) = m ∧ (x ∗ n) q m ∧ (n + p) = (m ∧ n) + (m ∧ p) q (m ∧ n) .p = m . (n ∧ p) q m . (m ∧ n) = n . (m ∧ n) = 0. Justifica.- q m ∧ (n ∧ p) = (m . p) .n - (m . n) .p.-

8. Verifica las propiedades el punto anterior por medio de ejemplos.- 9. Toma tu guía de ejercicios con vectores y verifica los resultados que has obtenido al

resolverla empleando papel y lápiz. Suerte.-


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COMO GRAFICAR UN VECTOR

Para graficar un vector tenemos que cargar el siguiente paquete

<<Graphics`Arrow`

Show[Graphics[{Arrow[{0,0},{2,1}]}],Axes->True];

Show[{Graphics[{Arrow[{0,0},{2,1}]}],

Graphics[{Arrow[{0,0},{2,3}]}]},Axes->True];


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