ÁlgebraLinear - PEMD | Página Inicialé um espaço vetorial, relativamente às mesmas operações....

Notas de Aula de

Álgebra LinearVolume I

Lino Marcos da Silva

[email protected]

Sumário

1 Espaço Vetorial 11.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Espaço Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Exemplos de Espaços Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Subespaços Vetoriais 112.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Subespaço Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5 Códigos Corretores de Erros (texto em construção...) . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Combinação Linear 213.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Combinação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4 Subespaços Gerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.5 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.6 Dependência e Independência Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.7 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.8 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.9 Sistema de Cores RGB em Computação Gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.10 Independência Linear e Solução de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) . . . 30

4 Base e Dimensão 314.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2 Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.4 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.5 Resultados Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.6 Dimensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.7 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

ii

Sumário iii

4.8 Matrizes, base e dimensão em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.9 Exercício Resolvido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.10 Exercício Resolvido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.11 Soma Direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.12 Soma Direta e Base em Espaços Vetoriais Quaisquer. . . . . . . . . . . . . . . . . 424.13 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5 Mudança de Base 475.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.2 Coordenadas de um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.3 Mudança de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.4 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6 Transformações Lineares 536.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.2 Transformação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.3 Exemplos de Transformações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.4 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.5 Determinando uma transformação linear a partir da imagem dos vetores de uma

base do domínio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.6 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.7 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.8 Núcleo e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.9 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.10 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.11 Transformações Lineares Injetivas e Sobrejetivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.12 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.13 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.14 O Teorema do Núcleo e da Imagem. Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.15 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.16 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.17 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.18 Exercícios Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7 A Matriz de uma Transformação Linear 677.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677.2 A Matriz de uma Transformação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687.3 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727.4 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757.6 Matriz da composição de tranformações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757.7 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

8 Autovalores e Autovetores 798.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798.2 Autovalores e Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798.3 Polinômio Caracteristico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808.4 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838.5 Diagonalização de Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848.6 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

iv Sumário

8.7 Exercícios Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 878.8 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

9 Espaços com Produto Interno 919.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 919.2 Produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 919.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 939.4 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 949.5 Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1009.6 Complemento Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1009.7 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1019.8 Exercícios Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1029.9 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

10 Operadores Especiais 10510.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10510.2 Operador Simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10610.3 Operador Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10810.4 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

1Espaço Vetorial

1.1 IntroduçãoVetores são entes matemáticos que se caracterizam por possuir uma intensidade, uma direção e umsentido. São utilizados, por exemplo, para representar grandezas físicas, como força e velocidade.Neste curso de Álgebra Linear, consideraremos como um vetor cada um dos elementos de umespaço vetorial e denominaremos de escalar qualquer elemento de um corpo 1 K. Neste curso,iremos considerar K = R (o corpo dos números reais) ou K = C (o corpo dos números complexos).A seguir apresentaremos a definição de um espaço vetorial e daremos alguns exemplos clássicos.Para alguns desses exemplos iremos apresentar a prova, de que os mesmos são espaços vetoriais,já os demais ficarão como exercício para o aluno.

1.2 Espaço VetorialDefinição. Um conjunto V não vazio é um espaço vetorial sobre o corpo K se em seus elementos,denominados vetores, estiverem definidas as seguintes operações:

• Soma de Vetores: A cada par de elementos u e v de V corresponde um vetor u + v,chamado de soma de u e v, satisfazendo, para quaisquer u, v e w pertecentes a V , asseguintes propriedades:

(A1) u+ v = v+ u (comutatividade)

(A2) u+ (v+w) = (u+ v) +w (associatividade)

(A3) Existe um vetor θ ∈ V , denominado vetor nulo, tal que u + θ = u. (existência doelemento neutro)

(A4) Dado o vetor u ∈ V , existe o vetor −u ∈ V , denominado vetor oposto, tal queu+ (−u) = θ. (existência do elemento simétrico)

• Multiplicação por Escalar: A cada par α ∈ K e v ∈ V , corresponde um vetor α × v ,denominado produto por escalar de α por V , satisfazendo as seguintes propriedades:

(ME1) α× (u+ v) = α× u+ α× v1Corpo é uma estrutura matemática na qual está definida duas operações satisfazendo algumas propriedades

2 1. Espaço Vetorial

(ME2) (α+ β)× u = α× u+ β× u(ME3) (α× β)× u = α(β× u)(ME4) 1× u = u.

Na definição anterior, quando K = R dizemos que V é um espaço vetorial real. Por outro lado,se K = C, dizemos que V é um espaço vetorial complexo. Em um espaço vetorial V , o elementoneutro e o elemento oposto, das propriedades (A3) e (A4), respectivamente, quando existem, sãoúnicos (ver Exercício 1).

1.3 Exemplos de Espaços Vetoriais1. Espaço Vetorial Euclidiano. O conjunto R2 = {(x1, x2); xi ∈ R} com as operações usuais

de soma de vetores(x1, x2) + (y1,y2) = (x1 + y1, x2 + y2)

e a multiplicação por escalarα(x1, x2) = (αx1,αx2)

é um espaço vetorial real.

2. O conjunto R3 = {(x1, x2, x3); xi ∈ R} com as operações usuais de soma de vetores

(x1, x2, x3) + (y1,y2,y3) = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3)

e a multiplicação por escalar

α(x1, x2, x3) = (αx1,αx2,αx3)


3. De um modo geral para n > 1, o conjunto Rn = {(x1, x2, . . . , xn); xi ∈ R} com as operaçõesusuais de soma de vetores

(x1, x2, . . . , xn) + (y1,y2, . . . ,yn) = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)

e a multiplicação por escalar

α(x1, x2, . . . , xn) = (αx1,αx2, . . . ,αxn)


Demonstração. Sejam u = (u1,u2, . . . ,un), v = (v1, v2, . . . , vn) e w = (w1,w2, . . . ,wn)vetores do Rn. Então,

u+ v = (u1,u2, . . . ,un) + (v1, v2, . . . , vn)= (u1 + v1,u2 + v2, . . . ,un + vn)

= (v1 + u1, v2 + u2, . . . , vn + un)

= v+ u.

Além disso,

1.3. Exemplos de Espaços Vetoriais 3

u+ (v+w) = (u1,u2, . . . ,un) + (v1 +w1, v2 +w2, . . . , vn +wn)

= (u1 + v1 +w1,u2 + v2 +w2, . . . ,un + vn +wn)

= (u1 + v1,u2 + v2, . . . ,un + vn) + (w1,w2, . . . ,wn)= (u+ v) +w.

Logo, as propriedades A1 e A2 são satisfeitas.

Observe que o elemento neutro de Rn é vetor θ = (0, 0, . . . , 0). De fato,

θ+ u = (0 + u1, 0 + u2, . . . , 0 + un) = (u1,u2, . . . ,un) = u.

Por outro lado, para cada u = (u1,u2, . . . ,un), existe o vetor −u = (−u1,−u2, . . . ,−un)que satisfaz

u+ (−u) = (u1 + (−u1),u2 + (−u2), . . . ,un + (−un) = (0, 0, . . . , 0) = θ.

Ou seja, está comprovada a existência do elemento oposto.

Agora, para verificarmos a validade das propriedadesME1,ME2 eME3 considere os escalaresα e β. Dessa maneira, temos

α(u+ v) = α(u1 + v1,u2 + v2, . . . ,un + vn)

= (αu1 + αv1,αu2 + αv2, . . . ,αun + αvn)

= α(u1,u2, . . . ,un) + α(v1, v2, . . . , vn)= αu+ αv;

(α+ β)u = (α+ β)(u1,u2, . . . ,un)= (αu1 + βu1,αu2 + βu2, . . . ,αun + βun)

= (αu1,αu2, . . . ,αun) + (βu1,βu2, . . . ,βun)= α(u1,u2, . . . ,un) + β(u1,u2, . . . ,un)= αu+ βu; e

(αβ)u = αβ(u1,u2, . . . ,un)= (αβu1,αβu2, . . . ,αβun)= α(βu1,βu2, . . . ,βun)= α(βu).

Por fim,


1 · u = 1 · (u1,u2, . . . ,un)= (u1,u2, . . . ,un)= u.

Logo, as propriedades A1 −A4 eME1 −ME4 são válidas e portanto Rn é um espaço vetorialsobre R.Dessa forma, o conjunto R com as operações de adição e multiplicação de números reais,onde, nesse caso, os vetores são os números reais, é um espaço vetorial real (Justifique).

4. Espaço Vetorial de Matrizes. O Conjunto M(m,n) das matrizes reais de ordem m× ncom a soma de matrizes e a multiplicação por escalar usuais é um espaço vetorial real.

5. Espaço Vetorial de Polinômios. O conjunto de polinômios

Pn(t) = {antn + an−1t

n−1 + · · ·+ a2t2 + a1t+ a0,ai ∈ R}

com as operações usuais de soma de polinômios

p(t) + q(t) = (antn + an−1t

n−1 + · · ·+ a1t+a0) + (bntn + bn−1t

n−1 + · · ·+ b1t+ b0)

= (an + bn)tn + (an−1 + bn−1)t

n−1 + ... + (a1 + b1)t+ a0 + b0;

e multiplicação de polinômios por escalar

α · p(t) = (αan)tn + (αan−1)t

n−1 + · · ·+ (αa1)t+ αa0;

é um espaço vetorial sobre R. Em particular, o conjunto

P2(t) = {a2t2 + a1t+ a0, com a2,a1 e a0 ∈ R}

é um espaço vetorial, relativamente às mesmas operações. A seguir mostraremos que, defato, P2(t) é um espaço vetorial sobre R.Demonstração. Sejam p(t) = a2t

2+a1t+a0, q(t) = b2t2+b1t+b0 em(t) = c2t

2+c1t+c0

elementos de P2(t) e considere α,β ∈ R. Vamos mostrar que as operações soma de polinômiose multiplicação de polinômio por escalar possuem as oitos propriedades da definição de espaçovetorial.

Primeiro vamos verificar que a propriedade (A1) é válida. De fato,

p(t) + q(t) = a2t2 + a1t+ a0 + b2t

2 + b1t+ b0

= (a2 + b2)t2 + (a1 + b1)t+ (a0 + b0)

= (b2 + a2)t2 + (b1 + a1)t+ (b0 + a0)

= q(t) + p(t)

para todo p(t),q(t) ∈ P2(t). Agora, para mostrar que (A2) também vale, veja que


(p(t) + q(t)) +m(t) = (a2 + b2)t2 + (a1 + b1)t+ (a0 + b0) + c2t

2 + c1t+ c0

= (a2 + b2 + c2)t2 + (a1 + b1 + c1)t+ (a0 + b0 + c0)

= (a2 + (b2 + c2))t2 + (a1 + (b1 + c1))t+ (a0 + (b0 + c0))

= a2t2 + a1t+ a0︸︷︷︸p(t)

+((b2 + c2)t2 + (b1 + c1)t+ b0 + c0︸︷︷︸q(t)+m(t)

)

= p(t) + (q(t) +m(t)).

Isto é, a soma de polinômios é associativa.

O polinômio identicamente nulo de grau menor ou igual a 2,

θ(t) = 0t2 + 0t+ 0,

é tal que

p(t) + θ(t) = a2t2 + a1t+ a0 + 0t2 + 0t+ 0

= (a2 + 0)t2 + (a1 + 0)t+ (a0 + 0)

= a2t2 + a1t+ a0

= p(t),

para todo p(t) ∈ P2(t). Logo, o polinõmio identicamente θ(t) = 0t2 + 0t + 0 é o elementoneutro da soma de polinômios em P2(t), e assim a propriedade (A3) também está verificada.

Agora note, que para cada polinômio p(t) = a2t2 + a1t + a0 ∈ P2(t), existe o polinômio

−p(t) = −a2t2 − a1t− a0 ∈ P2(t) tal que

p(t) + (−p(t)) = a2t2 + a1t+ a0 + (−a2t

2 − a1t− a0

= (a2 − a2)t2 + (a1 − a1)t+ (a0 − a0)

= 0t2 + 0t+ 0= θ(t).

Logo, a propriedade (A4) também está verificada.

Agora, para verificarmos a validade das propriedades (ME1)-(ME4), veja que para todoα,β ∈ R e para todo p(t),q(t) em P2(t), temos:

α(β(p(t))) = α(β(a2t2 + a1t+ a0))

= α(βa2t2 + βa1t+ βa0)

= αβa2t2 + αβa1t+ αβa0

= (αβ)(a2t2 + a1t+ a0)

= (αβ)p(t)


e dessa forma, (ME1) é válida. Por outro lado,

(α+ β)p(t) = (α+ β)(a2t2 + a1t+ a0)

= (α+ β)a2t2 + (α+ β)a1t+ (α+ β)a0

= αa2t2 + αa1t+ αa0 + βa2t

2 + βa1t+ βa0

= α(a2t2 + a1t+ a0) + β(a2t

2 + a1t+ a0)

= αp(t) + βp(t),

e assim, (M2) é válida. Para mostrar que (ME3) também é válida, fazemos:

α(p(t) + q(t)) = α((a2 + b2)t2 + (a1 + b1)t+ (a0 + b0))

= (αa2 + αb2)t2 + (αa1 + αb1)t+ (αa0 + αb0)

= αa2t2 + αa1t+ αa0 + αb2t

2 + αb1t+ αb0

= α(a2t2 + a1t+ a0) + α(b2t

2 + b1t+ b0)

= αq(t) + αp(t).

Finalmente,

1 · p(t) = 1 · (a2t2 + a1t+ a0)

= 1 · a2t2 + 1 · a1t+ 1 · a0

= a2t2 + a1t+ a0

= p(t)

para todo p(t) ∈ P2(t). Logo, a propriedade (ME4) também é válida e, portanto, mostramosque P2(t) é um espaço vetorial real.

6. Espaço Vetorial de Funções. Dados números reais a e b com a < b, considere o intervaloda reta X = [a,b] (ou seja, X é um subconjunto de R). Denotemos por F(X,R) o conjuntoformado por todas as funções reais com domínio X e imagens real. Isto é, o conjunto formadopor todas as funções

f : X→ R.

Considerando em F(X,R) as operações de soma de funções e multiplicação de função porescalar, como definidas a seguir:

(f+ g)(x) = f(x) + g(x) e (αg)(x) = αg(x),

então F(X,R) é um espaço vetorial real.


x

y

a x b

(x, f(x))

(x,g(x))

(x, (f+ g)(x))

f

f+ g

g

Figura 1.1: Soma de funções.

x

y

a x b

f(x)

αf(x)

f

αf

Figura 1.2: Multiplicação de função porescalar.

x

y

a b

Figura 1.3: Função nula.

x

y

a x b

f(x)

−f(x)

f

−f

Figura 1.4: Função oposta.

Demonstração. Sejam f, g e h funções definidas em X. Como para todo x ∈ X,

f(x) + g(x) = g(x) + f(x)

pois f(x) e g(x) são números reais, então, temos

(f+ g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g+ f)(x),

para todo x ∈ X. Logo, f+ g = g+ f. Isto é, a soma de funções é comutativa.


De modo análogo,

[f+(g+h)](x) = f(x)+(g+h)(x) = f(x)+g(x)+h(x) = (f+g)(x)+h(x) = [(f+g)+h](x),

para todo x ∈ X. Logo, f+(g+h) = (f+g)+h, e assim, a soma de funções é associativa.Existe a função f : X→ R, tal que, f(x) = 0 para todo x ∈ X. Trata-se da função nula, queserá denotada por θ. Assim, para todo x ∈ X e para toda f ∈ F(X,R) temos

(θ+ f)(x) = θ(x) + f(x) = 0 + f(x) = f(x).

Ou seja, existe a função θ(x) ∈ F(X,R) tal que

θ+ f = f

para toda f ∈ F(X,R). A função nula é o elemento neutro desta operação.Para cada função f : X → R dada, a função −f : X → R, que transforma cada x ∈ X em−f(x) é tal que

[f+ (−f)](x) = f(x) + (−f(x)) = 0 = θ(x).

Logo, dada função f ∈ F(X,R), existe a função −f ∈ F(X,R) tal que f+ (−f) = θ. Isto é, afunção −f é o elemento simétrico da soma de funções.Agora sejam α,β ∈ R e f,g ∈ F(X,R).α(βf)(x) = α(βf(x)) = (αβ)f(x) para todo x ∈ X. Logo,

α(βf) = (αβ)f.

((α+ β)f)(x) = (α+ β)f(x) = αf(x) + βf(x) = (αf+ βf)(x) para todo x ∈ X. Logo,

(α+ β)f = αf+ βf.

(α(f + g))(x) = α(f + g)(x) = α(f(x) + g(x)) = αf(x) + αg(x) = (αf + αg)(x) para todox ∈ X. Logo,

α(f+ g) = αf+ αg.

Finalmente, 1 · f(x) = f(x) para todo x ∈ X. Logo,

1 · f = f.

Dessa forma, as operações de soma de funções e multiplicação por escalar satisfazem as oitospropriedades da definição, e portanto, ∈ F(X,R) é um espaço vetorial sobre R.Considere o sistema linear homogêneo, na forma matricial, AX = 0 e S = {X ∈ M(n, 1);AX = 0} sendo A ∈ M(m,n) e 0 a matriz nula de M(m,n). O conjunto S, o conjuntoformado pelas soluções de AX = 0, é um espaço vetorial.Demonstração. Primeiro observe que se X1 e X2 são elementos de S, então X1+X2 tambémpertence a S. Com efeito,

A(X1 + X2) = AX1 +AX2 = 0 + 0 = 0

Além disso, dado α ∈ R, A(αX1) = αAX1 = α · 0 = 0

Isto é, se X1 ∈ S, então αX1 também a S. Dessa forma S é fechado em relação a soma dematrizes e ao produto de um escalar por uma matriz.Naturalmente, as propriedades A1 −A4 e ME1 −ME4 são satisfeitas, já que neste caso, X éum conjunto de matrizes.

1.4. Exercícios Propostos 9

1.4 Exercícios Propostos1. Seja V o espaço vetorial Rn. Qual é o vetor nulo de V? O que representa o vetor –(x1, x2, . . . , xn)?

2. Seja W = M(2, 2). Descreva o vetor nulo e vetor oposto em W.

3. Descreva o vetor nulo e o vetor oposto em P2(t) = {a2t2 + a1t+ a0, com ai ∈ R}.

4. Mostre que o conjunto V = {(x,y); x,y ∈ R e xy > 0} com as operações

(a,b)⊕ (c,d) = (ac,bd) e α⊗ (a,b) = (aα,bα)


5. Mostre que o conjunto V = {(1,y);y ∈ R} com as operações

(1,y1) + (1,y2) = (1,y1 + y2) e α(1,y) = (1,αy)


6. Seja o conjunto R2 = {(x,y); x,y ∈ R}. Mostre que R2 não é um espaço vetorial com asoperações assim definidas:

(x,y) + (z,w) = (x+ z,y+w) e α(x,y) = (αx,y).

7. Mostre a seguinte afirmação: Em um espaço vetorial V existe um único vetor nulo e cadaelemento de V possui um único vetor oposto.

8. Mostre que o Exemplo 4 é de fato um espaço vetorial sobre R.

2Subespaços Vetoriais

2.1 IntroduçãoEm muitas situações é útil identificar, dentro de um espaço vetorial, um conjunto de vetores quepossuem determinadas características, mas que, ainda assim, conseguem manter a estrutura de umespaço vetorial. Isto é, as operações de soma de vetores e produto por escalar permanecem fechadasnesse conjunto. Por exemplo, no espaço vetorial R2, o conjunto de pontos que representam uma retaque passa pela origem do sistema de coordenadas cartesianas possui essa propriedade (conjuntofechado em relação as operações de soma de vetores e multiplicação por escalar), enquanto que oconjunto de pontos que representam uma reta que não passa pela origem do referido sistema nãopossui a referida propriedade. De um modo geral, espaços vetoriais que estão dentro de outrosespaços vetoriais serão chamados de subespaços vetoriais.

2.2 Subespaço VetorialDefinição. Sejam V um espaço vetorial e W um subconjunto não vazio de V . O subconjunto Wé um subespaço vetorial de V , se W é um espaço vetorial em relação as operações de adição devetores e multiplicação por escalar definidas em V .

Apesar da definição de subespaço vetorial ser muito simples e compreensível, na prática, rara-mente a utilizamos para identificar se um determinado subconjunto W de um espaço vetorial V éum subespaço vetorial de V . De fato, este caminho, em geral, é uma atividade laboriosa, pois exigea verificação das oito propriedades, (A1)-(A4) e (ME1)-(ME4) da definição de espaço vetorial.

Felizmente, de acordo com a próxima proposição, não precisaremos fazer a verificação de todasessas propriedades. Com efeito, sendo W um subconjunto formado por vetores de V , então aspropriedades das operações que são válidas em V devem também ser válidas em W, desde que Wseja um conjunto fechado em relação a essas operações.

Como podemos demonstrar que um dado subconjunto W, não vazio, é um subes-paço vetorial do espaço vetorial W?

Um subespaço vetorialW de um espaço vetorial V fica caracterizado pela seguinte proposição:

12 2. Subespaços Vetoriais

Proposição. Dados um espaço vetorial V e um subconjunto W (não vazio) de V , então W éum subespaço de V se as duas condições a seguir forem satisfeitas:

(i) Se u e v são vetores quaisquer de W, então u+ v ∈W;

(ii) Se α ∈ R e v é um vetor qualquer de W, então αv ∈W.

Observações.

1. Todo subespaçoW de um espaço vetorial V precisa, necessariamente, conter o vetor nulo deV . De fato, se tomarmos α = 0, por (ii), temos

0 · v = 0

para todo v ∈W.

Dessa forma, se um subconjunto W de um espaço vetorial V não possuir o vetor nulo de V ,então W não pode ser um subespaço vetorial de V .

2. Todo espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaços vetoriais: o conjunto formadoapenas pelo vetor nulo e o próprio espaço V . Isto é, {0} e V . Esses dois subespaços de V sãochamados de subespaços triviais.

2.3 Exemplos1. Seja V = R2 = {(x1, x2); xi ∈ R} com as operações usuais de soma de vetores e a multiplicação

por escalar. O subconjunto

W = {(x,y);y = kx, k é uma constante}

é um subespaço vetorial de V .

Demonstração. Observe que W também pode ser escrito da seguinte maneira:

W = {(x,kx); x ∈ R e k constante}.

Primeiro é conveniente observar que (0, 0) ∈ W. De fato, para x = 0 teremos kx = 0, paratodo k ∈ R. Logo, (0, 0) ∈W e, desse modo, W 6= ∅.Agora sejam u = (x1,y1) e v = (x2,y2) vetores de W. Dessa maneira, podemos escreveru = (x1,kx1) e v = (x2,kx2). Assim,

u+ v = (x1,kx1) + (x2,kx2)

= (x1 + x2,kx1 + kx2)

= (x1 + x2,k(x1 + x2)).

Fazendo x3 = x1 + x2, temos que u+ v = (x3,kx3). Logo, u+ v ∈W e o item (i) é satisfeito.Agora seja α ∈ R e u = (x1,y1) ∈W. Assim

αu = α(x1, x2)

= α(x1,kx1) pois u ∈W;= (αx1,αkx1).

2.3. Exemplos 13

Fazendo x4 = αx1 temos que αu = (x4,kx4). Logo, αu ∈W e o item (ii) da proposição estásatisfeito. Poranto, W é um subespaço vetorial de V . Observe ainda que os elementos de Wdescrevem uma reta passando pela origem.Observe que para demonstrarmos que o par ordenado (x,y) ∈W devemos mostrar que esseelemento "têm a cara"dos vetores de W. Isto é, a segunda coordenada, y, deve satisfazery = kx.

2. Seja V = R2 e U = {(x, 5x+ 3); x ∈ R}. O subconjunto U, com as operações usuais de somade vetores e a multiplicação por escalar, não é um subespaço vetorial de R2. De fato, o vetor{(0, 0} não pertence a W. Observe que os elementos de U descrevem uma reta em R2 quenão passa pela origem.

3. Todos os subespaços de R2 são: {(0, 0)}, o R2 e os seus subconjuntos que descrevem retaspassando pela origem.

4. Seja W = {(x,y, z) ∈ R3;ax + by + cz = 0}. Observe que W descreve, em R3, um planoque passa pela origem. W é um subespaço vetorial de R3.Demonstração. Primeiro é conveniente observar que (0, 0, 0) ∈ W. De fato, para x =y = z = 0 teremos ax + by + cz = 0, quaisquer que sejam os escalares a,b, c ∈ R. Logo,(0, 0, 0) ∈W e, desse modo, W 6= ∅.Agora sejam u = (x1,y1, z1) e v = (x2,y2, z2) vetores de W. Dessa maneira, temos queax1 + bx1 + cz1 = 0 e ax2 + bx2 + cz2 = 0. Assim, temos

u+ v = (x1,y1, z1) + (x2,y2, z2)

= (x1 + x2,y1 + y2, z1 + z2).

Fazendo x3 = x1 + x2,y3 = y1 + y2 e z3 = z1 + z2 temos que

ax3 + by3 + cz3 = a(x1 + x2) + b(y1 + y2) + c(z1 + z2)

= ax1 + by1 + cz1︸︷︷︸0

+ax2 + by2 + cz2︸︷︷︸0

= 0 + 0 = 0.

Logo, u + v ∈ W e o item (i) é satisfeito. Agora seja α ∈ R e u = (x1,y1, z1) ∈ W. Assim,ax1 + bx1 + cz1 = 0.

αu = α(x1,y1, z1)

= α(x1,y1, z1)

= (αx1,αy1,αz1).

Fazendo x4 = αx1, y4 = αy1 e z4 = αz1 temos que

ax4 + by4 + cz4 = a(αx1) + b(αy1) + c(αz1)

= α(ax1 + by1 + cz1)

= αax1 + by1 + cz1︸︷︷︸0

= α · 0 = 0.


Logo, αu ∈ W e o item (ii) da proposição está satisfeito. Portanto, W é um subespaçovetorial de R3.

5. Todos os subespaços de R3 são: {(0, 0, 0)}, o R3, os seus subconjuntos que descrevem retaspassando pela origem e os subconjuntos que descrevem planos passando pela origem.

6. Considere em M(n,n) o conjunto S das matrizes simétricas de ordem n. S é um subespaçovetorial de M(n,n) . Isto é,

S = {A ∈M(n,n);AT = A}.

S é um subespaço vetorial de M(n,n) .

Demonstração. Primeiro observe que a matriz nula de ordem n é uma matriz simétrica.Logo, S 6= ∅. Agora sejam A e B matrizes simétricas de ordem n. Pela propriedade dasmatrizes simétricas, temos que

(A+ B)T = AT + BT .

Por outro lado, A e B são matrizes simétricas. Logo, AT = A e BT = B. Daí, vem que

(A+ B)T = AT + BT = A+ B.

Ou seja, A+ B é uma matriz simétrica. Logo, A+ B ∈M(n,n).

Dado α ∈ R e A uma matriz simétrica de ordem n, temos, pela propriedade de matrizsimétrica, que

(αA)T = αAT = αA.

Assim, αA é uma matriz simétrica, ou seja, αA ∈ M(n,n). Portanto, S é um subespaçovetorial de M(n,n).

7. Considere o sistema linear homogêneo

AX = 0

onde A, a matriz dos coeficientes, tem ordem m × n, X é a matriz das incógnitas e temordem n× 1 e 0 é matriz dos termos independentes e tem ordem m× 1. Seja Sh o conjuntodas soluções desse sistema linear homogêo. Isto é,

Sh = {X ∈M(n, 1);AX = 0}.

Sh é um subespaço vetorial de M(n, 1).

Demonstração. Primeiro note que a matriz coluna nula de ordem n × 1 é solução deAX = 0. Logo, Sh 6= ∅.

Agora sejam X1, X2 ∈ Sh. Dessa maneira, AX1 = 0 e AX2 = 0. Daí,

A(X1 + X2) = AX1 +AX2 = 0 + 0 6= 0.

Daí, X1 + X2 ∈ Sh. Além disso, se k ∈ R, e X1 ∈ Sh, então

A(kX1) = kAX1 = k · 0 = 0.

Logo, kX1 ∈ Sh e portanto, Sh é um subespaço vetorial de M(n, 1).

2.3. Exemplos 15

8. Seja X = [a,b] e considere os seguintes subconjuntos de f(x,R):

a) C([a,b]): o conjunto de todas as funções que são contínuas em [a,b].

b) D([a,b]): o conjunto de todas as funções que são deriváveis em [a,b].

c) I([a,b]): o conjunto de todas as funções que são integráveis em [a,b).

C([a,b]), D([a,b]) e I([a,b]) são subespaços vetoriais de F(x,R).Essa afirmação é consequência das propriedades das funções contínuas, das funções deri-váveis e das funções integráveis vistas no cálculo diferencial e integral. (Quais são essaspropriedades?)

Intersecção de Subespaços

Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Suponha que U e W são subespaços vetoriais de V .Então o conjunto

U ∩W = {v ∈ V ; v ∈ U e v ∈W}

é um subespaço vetorial de V .Demonstração. Primeiro note que U ∩W 6= ∅. Isto é, 0 ∈ U ∩W. De fato, como U e W são

subespaços de V , então 0 ∈ U e 0 ∈W, logo 0 ∈ U ∩W.Agora, vamos mostrar que a soma de dois vetores quaisquer de U ∩W é um vetor de U ∩W.

Para isso suponha que os vetores u e v pertencem a U ∩W. Dessa forma temos:

u ∈ U ∩W, logo u ∈ U e u ∈W;v ∈ U ∩W, logo v ∈ U e v ∈W.

Dessa maneira, temos u, v ∈ U; e u, v ∈ W. Como U e W são subespaços, então u + v ∈ U eu+ v ∈W. Logo,

u+ v ∈ U ∩W.

Para mostrarmos que a multiplicação de um vetor de U ∩W por um escalar também é umvetor U∩W, considere α ∈ K e u ∈ U∩W. Desse modo, u ∈ U e u ∈W (ambos são subespaçosde V), então α · u ∈ U e α · u ∈W.

Logo, α · u ∈ U ∩W. Dessa forma concluimos que U ∩W é um subespaço vetorial de V .

Exemplos

1. Considere os subespaços de R3

U = {(x,y, z) ∈ R3; z = 0}

eW = {(x,y, z) ∈ R3; x = 0}.

Seja (a,b, c) um vetor qualquer de R3. Observe que (a,b, c) ∈ U ∩W se, e somente se,(a,b, c) ∈ U e (a,b, c) ∈W, simultaneamente. Mas, isso somente ocorre se tivermos a = 0e c = 0. Logo, um vetor v do R3 está em U∩W se, e somente se, v é do tipo (0,b, 0). Assim,escrevemos

U ∩W = {(x,y, z) ∈ R3; x = z = 0} = {(0,y, 0);y ∈ R}.


2. Considere em R2 os subespaços

U = {(x,y) ∈ R2;y = x}

eW = {(x,y) ∈ R2;y = −x}.

Seja (a,b) um vetor qualquer de R2. Observe que (a,b) ∈ U∩W se, e somente se, (a,b) ∈ Ue (a,b) ∈ W, simultaneamente. Mas, isso ocorre somente se tivermos b = a e b = −a. Deonde concluímos que b = 0 e a = 0. Logo, um vetor v do R2 está em U ∩W se, e somentese, v = (0, 0). Assim, obtemos

U ∩W = {(0, 0)}.

3. Sejam V = M(n,n) seja o espaço vetorial das matrizes quadradas, com entradas reais,de ordem n; U o subconjunto das matrizes triangulares inferiores e W o subconjunto dasmatrizes triangulares superiores de ordem n. É possível mostrar que U e W são subespaçosvetoriais de V (Exercício). Observe que U ∩W é o conjunto de todas as matrizes diagonaisde ordem n.

Sobre a reunião, U ∪W, de dois subespaços U e W de um dado espaço vetorial V podemosdizer que, em geral, não é um subespaço vetorial de V . A Figura 2.1 ilustra a união e a intersecçãode subconjuntos de V .

Figura 2.1: A intersecção de subespaços vetoriais é um subespaço vetorial

Mostraremos que a reunião de dois subespaços nem sempre é um subespaço vetorial, apresen-tando um exemplo no espaço vetorial R2. Considere os seguintes subespaços vetoriais de R2:

U = {(x, 0); x ∈ R} e W = {(0,y);y ∈ R}.

Observe que o vetor (2, 0) ∈ U e o vetor (0, 5) ∈W. Logo, ambos pertencem ao conjunto U ∪W.No entanto, a soma desses dois vetores

(2, 0) + (0, 5) = (2, 5)

não é um vetor de U nem um vetor W. Logo, não é um vetor de U ∪W. Portanto, U ∪W não éum subespaço vetorial de R2.

2.3. Exemplos 17

Soma de Subespaços

Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Suponha que U e W são subespaços vetoriais de V .Então o conjunto

U+W = {v ∈ V ; v = v1 + v2, v1 ∈ U e v2 ∈W}

é um subespaço vetorial de V . O subespaço U+W chama-se soma de U e W.Demonstração. Primeiro note que U+W 6= ∅. Isto é, 0 ∈ U+W. De fato, como U e W são

subespaços de V , 0 ∈ U e 0 ∈W. Desse modo, como

0 = 0 + 0,

temos que 0 pode ser escrito como a soma de um elemento de U com um elemento de W.Sejam u, v ∈ U+W. Dessa forma podemos escrever

u = u1 +w1, com u1 ∈ U e w1 ∈W;v = u2 +w2, com u2 ∈ U e w2 ∈W.

Assim, como u1,u2 ∈ U (e U é um subespaço de V), então u1 + u2 ∈ U. Do mesmo modo, comow1,w2 ∈W (e W é um subespaço de V), então w1 +w2 ∈W.

Desse modo,

u+ v = (u1 +w1) + (u2 +w2)

= (u1 + u2) + (w1 +w2).

Fazendo u3 = u1 +u2 e w3 = w1 +w2, temos que u+ v = u3 +w3, onde u3 ∈ U e w3 ∈W. Logo,u+ v ∈ U+W.

Agora, sejam α ∈ K e u ∈ U+W. Logo, existem u1 ∈ U e w1 ∈W tais que u = u1 +w1. Daí,

α · u = α · (u1 +w1)

= α · u1 + α ·w1.

Note que α · u1 ∈ U e α · w1 ∈ W, pois U e W sao subespaços. Assim, fazendo u4 = α · u1 ew4 = α · w1, temos que α · u = u4 + w4, onde u4 ∈ U e w4 ∈ W. Logo, α · u ∈ U +W. Dessaforma concluimos que U+W é um subespaço vetorial de V .

U+W

U

W


U = {(x,y, z) ∈ R3; y = z = 0} = {(x, 0, 0); x ∈ R}

W = {(x,y, z) ∈ R3; x = z = 0} = {(0,y, 0); x ∈ R}

U+W = {(x,y, z) ∈ R3; z = 0} = {(x,y, 0); x,y ∈ R}

Exemplos

1. Considere em R3, os subespaços

U = {(x,y, z) ∈ R3; z = 0}

eW = {(x,y, z) ∈ R3; x = y = 0}.

Dado (a,b, c) um vetor qualquer de R3, podemos escrever

(a,b, c) = (a,b, 0) + (0, 0, c).

Observe que (a,b, 0) ∈ U e (0, 0, c) ∈W. Logo, (a,b, c) ∈ U+W. Como (a,b, c) é um vetorarbitrário de R3, concluimos que

U+W = R3.

2. Considere em R2, os subespaços

U = {(x,y) ∈ R2;y = x}

eW = {(x,y) ∈ R2;y = −x}.

Seja (a,b) um vetor qualquer de R2. Note que podemos escrever (a,b) do seguinte modo:

(a,b) =(a+ b

2,a+ b

2

)+

(a− b

2,−a+ b

2

).

Como(a+ b

2,a+ b

2

)∈ U e

(a− b

2,−a+ b

2

)∈W, então (a,b) ∈ U+W. Mas, (a,b) é

um vetor arbitrário de R2, logoR2 = U+W.

3. Sejam V = M(2, 2) seja o espaço vetorial das matrizes quadradas, com entradas reais, deordem 2; U o subconjunto das matrizes triangulares inferiores e W o subconjunto das ma-trizes triangulares superiores de ordem 2. Dada uma matriz quadrada de ordem 2 qualquer,

digamos,[a b

c d

], podemos escrever[

a b

c d

]=

[a2 0c d

2

]+

[a2 b

0 d2

].

Ou seja, qualquer matriz quadrada de ordem 2 pode ser escrita como a soma de um ele-mento de U (matriz triangular superior) e um elemento de W ( matriz triangular superior).Portanto,

U+W = M(2, 2).

Observação. No próximo capítulo serão apresentadas outras técnicas que facilitam verificarse um dado espaço vetorial é uma soma de dois ou mais subespaços dados.


2.4 Exercícios Propostos1. Mostre que W = {(x,−3x); x ∈ R} é um subespaço vetorial de R2.

2. Mostre que W = {(x, x, 2x); x ∈ R} é um subespaço vetorial de R3.

3. Mostre que W = {(x,y, z) ∈ R3; z− y = 0} é um subespaço vetorial de R3.

4. Seja S = {(x,y, z) ∈ R3; x+ y+ z = 0} um plano do R3 passando pela origem. Mostre que Sé um subespaço vetorial de R3.

5. Dê exemplos:

a) de um subconjunto de R2 que não seja um subespaço vetorial de R2.

b) de um subconjunto de R3 que não seja um subespaço vetorial de R3.

c) de um subconjunto de R4 que seja um subespaço vetorial de R4.

d) de dois subespaços vetoriais distintos de M(2, 2) que contenham a matriz[−1 00 1

].

6. O espaço vetorial R2 é um subespaço vetorial de R3? Justifique.

7. Mostre que cada um dos subconjuntos de R4 a seguir são subespaços vetoriais.

(a) W1 = {(x,y, z, t) ∈ R4; x+ y = 0ez− t = 0}

(b) W2 = {(x,y, z, t) ∈ R4; 2x+ y− t = 0ez = 0}

8. Verifique se os subconjuntos U e W, abaixo, são subespaços vetoriais de M(2, 2).

(a) U =

{[a b

c d

];b = c e a,b, c,d ∈ R

}(b) W =

{[a b

c d

];b = c+ 1 e a,b, c,d ∈ R

}9. Considere os subconjuntos de R3: U = {(x, x, x); x ∈ R} e W = {(x,y, 0); x,y ∈ R}.

(a) Mostre que U é um subespaço vetorial de R3;

(b) Mostre que W é um subespaço vetorial de R3;

(c) Calcule U ∩W.

(d) R3 = U+W? Justifique.

10. Verdadeiro ou falso?

a) O conjunto solução do sistema linear formado pelas equações x+y+z = 0 e x+2z = 0é um ponto?

b) O conjunto solução do sistema linear formado pelas equações x+y+z = 0 e x+2z = 0é um subespaço vetorial do R3 ?

11. Mostre que o subcojunto das matrizes antissimétricas de ordem n é um subespaço vetorialde M(n,n).

sugestão. Uma matriz A é antissimétrica se AT = −A.


12. Seja V = F(R,R) o espaço vetorial de todas as funções reais e

P = {f ∈ V ; f(−x) = f(x),∀x ∈ R}.

Ou seja, P é o subconjunto das funções pares. Mostre que P é um subespaço vetorial de V .sugestão. Mostre que a soma de duas funções pares quaisquer é uma função par. Faça omesmo para o produtor de uma função par por um escalar qualquer.

13. SejamU =

{[a b

c d

]∈M(2, 2); b = c

}eW =

{[a b

c d

]∈M(2, 2); a = d = 0 e b = −c

}.

a) Mostre que U e V são subespaços vetoriais de M(2, 2).b) Calcule o subespaço U ∩ V .c) Verifique se M(2, 2) = U+ V .

14. Seja V = F(R,R) o espaço vetorial de todas as funções reais. Verifique se os seguintessubconjuntos de V são subespaços vetoriais.

(a) W1 = {f ∈ V ; f é contínua}(b) W2 = {f ∈ V ; f é derivável}(c) W3 = {f ∈ V ; f é integrável}

sugestão. Use as propriedades (da soma e produto por escalar) de funções contínuas, deri-váveis e integráveis, respectivamente.

2.5 Códigos Corretores de Erros (texto em construção...)Códigos corretores de erros são utilizados em matemática, computação, engenharia elétrica, dentreoutras áreas do conhecimento.

A pesquisa nesse campo do conhecimento busca prevenir ou reduzir interferências de naturezasdiversas ou até mesmo erros humanos que ocorrem durante a transmissão de dados (ruídos).

Um exemplo simples de códigos corretores de erros são os chamados códigos lineares. Porexemplo, usando o conjunto binário {0, 1} pode ser utilizado para gerar um código que orienta umrobô a se movimentar num tabuleiro quadriculado. O código gerado poderia ser o seguinte: 00(o robô deve se mover para o leste), 01 (o robô deve se mover para o oeste), 10 (o robô deve semover para o norte) e 11 (o robô deve se mover para o sul). Têm-se assim o seguinte código

C = {00, 01, 10, 11}.

Matematicamente, C é um espaço vetorial sobre o corpo Z2 = {0, 1} e, por isso, dizemos que ocódigo C, assim construído, é um código linear.

Nesse código poderia ocorrer, na transmissão, o seguinte erro: a fonte enviar a mensagem 10e o receptor receber a mensagem 01. Dessa forma, em vez de ir para o norte, o robô vai para ooeste.

Para facilitar a detecção e correção de erros desse tipo durante o envio de uma mensagemcodificada por um código como esse, pode-se modificar o código original por meio da introduçãode redundâncias no mesmo. Por exemplo, o código C pode seria ser modificado para o código

C ′ = {00000, 01011, 10110, 11101}.

No novo código, as duas primeiras posições representam a mensagem do código original e astrês últimas servem para detectar e corrigir erros durante a transmissão. C ′ é um subespaço doespaço vetorial Z5

2.

3Combinação Linear

3.1 IntroduçãoJá sabemos que se u e v são vetores quaisquer de um espaço vetorial V sobre um corpo K, ovetor αu + βv também pertence a V , quaisquer que sejam os escalares α e β pertencentes a K.Expressões do tipo αu+βv são chamadas de combinações lineares dos vetores u e v. Nesta seçãoveremos que qualquer vetor v ∈ V pode ser escrito como soma de produtos por escalar de outrosvetores de V .

3.2 Combinação LinearDefinição. Sejam V um espaço vetorial sobre um corpo K e v1, v2, . . . , vn vetores de V . Dizemosque o vetor v ∈ V é uma combinação linear dos vetores v1, v2, . . . , vn, se existem escalaresa1,a2, . . . ,an ∈ K tais que

v = a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn. (3.2.1)

A Figura 3.1 ilustra como um vetor w do plano pode ser obtido por meio de uma combinaçãolinear de dois vetores u e v do mesmo plano.

Figura 3.1: O vetor ~w é uma combinação linear dos vetores ~u e ~v

22 3. Combinação Linear

3.3 Exemplos1. Considere o espaço vetorial P2 dos polinômios de grau menor ou igual a 2 sobre R. O

polinômio p(x) = 5x2 − 3x− 3 é uma combinação linear dos polinômios p1(x) = x2 − x+ 1

e p2(x) = −3x2 + x+ 5. De fato, verifica-se que p(x) = 2p1(x) − p2(x).

2. Dados os vetores v1 = (1,−3, 2) e v2 = (2, 4, 1) do espaço vetorial R3, temos:

(a) O vetor v = (−4,−18, 1) é uma combinação linear dos vetores v1 e v2.(b) O vetor w = (4, 3,−6) não é uma combinação linear dos vetores v1 e v2.

De fato, no item (a), observe que os vetores v, v1 e v2 satisfazem a equação

v = 2v1 + (−3)v2.

Na prática, os escalares da combinação linear podem ser obtidos, usando a equação3.2.1 da definição de combinação linear, da seguinte maneira:

v = a1v1 + a2v2

(−4,−18, 1) = a1(1,−3, 2) + a2(2, 4, 1)(−4,−18, 1) = (a1 + 2a2,−3a1 + 4a2, 2a1 + a2).

Da iguadade de vetores em R3, obtemos o sistema linear

a1 + 2a2 = −4−3a1 + 4a2 = −18

2a1 + a2 = 1. (3.3.1)

Resolvendo o sistema (3.3.1), concluimos que o par a1 = 2 e a2 = −3 é sua únicasolução.Usando o mesmo procedimento para o vetor w do item (b), obtemos a equação

(4, 3,−6) = a1(1,−3, 2) + a2(2, 4, 1),

que resulta no seguinte sistema linear

a1 + 2a2 = 4−3a1 + 4a2 = 3

2a1 + a2 = −6. (3.3.2)

O sistema linear (3.3.2) não possui solução (sistema impossível). Verifique! Logo, ovetor w não é uma combinação linear dos vetores v1 e v2.

3. Um mesmo vetor v pode ser escrito de infinitas maneiras distintas como combinação linearde dois ou mais vetores dados. Por exemplo, o vetor (3, 4) ∈ R2 pode ser escrito de infinitasmaneiras como combinação linear do vetores (1, 0), (0, 1) e (2,−1). Com efeito, por definição,o vetor (3, 4) será uma combinação linear dos vetores (1, 0), (0, 1) e (2,−1) se existiremescalares a1, a2 e a3 tais que

(3, 4) = a1(1, 0) + a2(0, 1) + a3(2,−1).

3.4. Subespaços Gerados 23

Resolvendo essa equação vetorial, obtemos

(3, 4) = (a1 + 2a3,a2 − a3),

de onde vem o sistema linear

a1 + 2a3 = 3a2 − a3 = 4. (3.3.3)

Note que o sistema linear (3.3.3) possui mais incógnitas do que equação. Logo é um sistemaindeterminado, ou seja, possui infinitas soluções. Dessa maneira, existem infinitos escalaresa1, a2 e a3 que satisfazem a combinação linear (3, 4) = a1(1, 0) + a2(0, 1) + a3(2,−1).

A solução geral do sistema linear (3.3.3) é dada por

{(3 − 2a3, 4 + a3,a3);a3 ∈ R}.

onde a3 foi considerada como uma variável livre. Se considerarmos a3 = 0, obteremos a1 = 3e a2 = 4. Daí temos a combinação linear

(3, 4) = 3(1, 0) + 4(0, 1) + 0(2,−1)

que, neste caso, não é única.

3.4 Subespaços GeradosDados dois vetores v1 e v2 de um espaço vetorial V qualquer, considere o conjunto S formado portodas as combinações lineares formadas por esses vetores. Isto é,

S = {v ∈ V ; v = a1v1 + a2v2}.

sendo a1 e a2 escalares. Como tanto a1 quanto a2 podem assumir infinitos valores reais, então oconjunto S possui infinitos elementos. Conforme iremos mostrar mais adiante, S é um subespaçovetorial de V . Diremos que S é o subespaço de V gerado pelos vetores v1 e v2.

No Exemplo 1 da Seção 3.3, os vetores v1 = (1,−3, 2) e v2 = (2, 4, 1) geram o subespaçovetorial S do R3 formado por todas as combinações lineares do tipo:

a1(1,−3, 2) + a2(2, 4, 1).

Observe que para gerar o vetor nulo do R3 por meio de uma combinação linear dos vetoresv1 = (1,−3, 2) e v2 = (2, 4, 1) basta escrever a combinação linear

0 · (1,−3, 2) + 0 · (2, 4, 1) = (0, 0, 0).

O teorema a seguir estabelece e generaliza o que acabamos de discutir sobre subespaço gerado.Teorema. Sejam V um espaço vetorial sobre um corpo K eW = {v1, v2, ..., vn} um subconjunto

não vazio de vetores de V . O conjunto S de todas as combinações lineares dos vetores de W é umsubespaço vetorial de V .

Demonstração. Primeiro note que S 6= ∅. De fato, sempre podemos escrever

0 = 0v1 + 0v2 + · · ·+ 0vn.


Isto é, o vetor nulo de V pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores deW. Agora, su-ponha quew1 ew2 são vetores quaisquer de S, então existem escalares a1,a2, . . . ,an e b1,b2, . . . ,bntais que

w1 = a1v1 + a2v2 + ... + anvn e w2 = b1v1 + b2v2 + · · ·+ bnvn.

Daí, vem quew1 +w2 = (a1 + b1)v1 + (a2 + b2)v2 + · · ·+ (an + bn)vn.

Logo, w1 + w2 ∈ S pois também é uma combinação linear de vetores de W. Além disso, tem-seque

α ·w1 = (αa1)v1 + (αa2)v2 + · · ·+ (αan)vn

e, dessa maneira, α · w1 ∈ S, para todo escalar α e todo w1 ∈ S. Portanto, S é um subespaçovetorial de V .

Observações.

1. Diz-se que S é o subespaço gerado pelos vetores v1, v2, . . . , vn. Ou que S é o subespaço geradopor W. Denota-se

S = G(W) ou S = [v1, v2, . . . , vn].

2. Os vetores v1, v2, . . . , vn são chamados de vetores geradores do subespaço S, enquanto W éo conjunto gerador do subespaço S.

3. Define-se G(∅) = {0}. Isto é, o espaço gerado pelo conjunto vazio é o espaço vetorial formadoapenas pelo vetor nulo.

4. W ⊂ G(W). Ou seja, um conjunto de geradores sempre está contido no subespaço geradopor ele.

5. Todo subconjuntoW de um espaço vetorial V gera um subespaço de V , podendo G(W) = V .Neste caso, diz-se que W é um gerador de V .

3.5 Exemplos1. Em R2 o vetor (1, 1) gera o subespaço

U = {(x, x); x ∈ R}.

Com efeito, qualquer vetor (x, x) ∈ U pode ser escrito da seguinte maneira

(x, x) = x · (1, 1).

Logo, U = [(1, 1)].

2. Os vetores (1, 0) e (0, 1) geram o espaço R2. De fato, dado um vetor (x,y), qualquer, de R2,têm-se

(x,y) = x · (1, 0) + y · (0, 1).

Ou seja, qualquer vetor do R2 se escreve como uma combinação linear dos vetores (1, 0) e(0, 1). Portanto,

[(1, 0), (0, 1)] = R2.

3.6. Dependência e Independência Linear 25

3. Um vetor (x,y), qualquer, de R2, também pode ser escrito do seguinte modo:

(x,y) =x+ y

2(1, 1) +

y− x

2(−1, 1).

Ou seja, qualquer vetor do R2 também pode ser escrito como uma combinação linear dosvetores (1, 1) e (−1, 1). Portanto,

[(1, 1), (−1, 1)] = R2.

Observação. Os escalaresx+ y

2ey− x

2podem ser calculados resolvendo-se a equação

(x,y) = a1(1, 1) + a2(−1, 1)

em função de x e y.

4. O conjunto de polinômios {1, t, t2} gera todo o espaço P2. De fato, qualquer polinômio p(t)de grau igual ou menor do que 2 se escreve da seguinte maneira p(t) = a2t

2 + a1t+ a0.

5. Em M(2, 2), temos[a b

0 c

]= a

[1 00 0

]+b

[0 10 0

]+c

[0 00 1

]. Logo, o subespaço das matrizes

triângulares superiores de ordem 2 é gerado pelas matrizes[

1 00 0

],[

0 10 0

]e[

0 00 1

].

6. Se [u1,u2, ..,uk] = U e [w1,w2, ...,wk] = W, então U +W = [u1,u2, ..,uk,w1,w2, ...,wk].Isto é, se os vetores u1,u2, ..,uk geram o subespaço vetorial U; e se os vetores w1,w2, ...,wkgeram o subespaço vetorial W, então o subespaço vetorial U+W é gerado pela reunião dosvetores geradores de U com os vetores geradores de W.

3.6 Dependência e Independência LinearSejam V um espaço vetorial sobre um corpo K e v1, v2, . . . , vn vetores de V . Dizemos que o conjunto{v1, v2, . . . , vn} é um conjunto linearmente independente (LI), ou que os vetores v1, v2, . . . , vn sãoLI, se a equação

a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn = 0v

admite apenas a solução nula. Isto é, se a1 = a2 = · · · = an = 0.Definição. Sejam V um espaço vetorial sobre um corpoK e v1, v2, . . . , vn vetores de V . Dizemos

que o conjunto {v1, v2, . . . , vn} é um conjunto linearmente independente (LI), ou que os vetoresv1, v2, . . . , vn são LI, se a equação

a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn = 0v

admite apenas a solução nula. Isto é, se a1 = a2 = · · · = an = 0.

No caso em que exista algum ai 6= 0 dizemos que o o conjunto {v1, v2, . . . , vn} é um conjuntolinearmente dependente (LD), ou que os vetores v1, v2, . . . , vn são LD.

Observação. O símbolo 0v na definição acima indica o vetor nulo do espaço vetorial V emquestão.

O teorema a seguir estabelece outra caracterização da dependência linear.


Teorema 1. O conjunto {v1, v2, ..., vn} é LD se, e somente se, pelo menos um desses vetoresfor combinação linear dos demais.

Demonstração.Suponha que {v1, v2, ..., vn} é um conjunto LD. Então, por definição, a equação

a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0

admite uma solução diferente da trivial. Isto é, existe uma solução (a1,a2, ...,an) onde pelo menosum ai 6= 0. Vamos supor, sem perda de generalidade, que a1 6= 0. Assim, obtemos

a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0;a1v1 = −a2v2 − a3v3 − · · ·− anvn;

v1 =1a1

(−a2v2 − ... − anvn);

v1 = −a2

a1v2 −

a3

a1v3 − · · ·−

an

a1vn.

Logo, v1 é uma combinação linear de {v2, . . . , vn}.Por outro lado, suponha que algum dos vetores de {v1, v2, . . . , vn} é uma combinação linear dos

demais vetores. Sem perda de generalidade, vamos supor que v1 seja esse vetor. Pela definição decombinação linear, existem escalares (a2,a3, . . . ,an) tais que

v1 = a2v2 + a3v3 + · · ·+ anvn.

Dessa equação, obtemos

v1 − a2v2 − a3v3 − · · ·− anvn = 0

que é uma combinação linear nula tendo o número 1 como o coeficiente de v1. Logo, qualquersolução dessa equação será diferente da solução nula. Portanto, o conjunto de vetores {v1, v2, . . . , vn}é um conjunto LD. �

Equivalentemente ao Teorema1 , temos o seguinte:

Teorema 2. O conjunto {v1, v2, . . . , vn} é LI se, e somente se, nenhum desses vetores forcombinação linear dos demais.

3.7 Exemplos1. Em R2, os vetores (1, 1) e (−1, 1) são vetores LI.

De fato, sejam a1 e a2 tais que

a1(1, 1) + a2(−1, 1) = (0, 0)(a1 − a2,a1 + a2) = (0, 0).

Daí, obtemos o sistema linear

a1 − a2 = 0a1 + a2 = 0

cuja solução é a1 = a2 = 0.

3.7. Exemplos 27

2. Em R2, Os vetores (1, 0), (0, 1) e (2,−1) são linearmente dependentes. De fato, note que ovetor (2,−1) é uma combinação linear dos vetores (1, 0) e (0, 1) pois

(2,−1) = 2(1, 0 − 1(0, 1).

Logo pelo Teorema 1, o conjunto {(1, 0), (0, 1), (2,−1)} é LD.

3. Sejam V um espaço vetorial sobre um corpo K e vetores u, v ∈ V . Provar que se {u, v} é umconjunto LI, então {u+ v,u–v} também é um conjunto LI.

Demonstração. Como queremos mostrar que os vetores u+ v e u–v são linearmente inde-pendentes, devemos considerar a combinação linear a1(u + v) + a2(u − v) = 0v e mostrarque, necessariamente, a1 = a2 = 0. Dessa maneira, temos o seguinte desenvolvimento:

a1(u+ v) + a2(u− v) = 0va1u+ a1v+ a2u− a2v = 0v(a1 + a2)u+ (a1 − a2)v = 0v

Como os vetores u e v são LI, por hipótese, segue da terceira equação que a1 e a2 devesatisfazer o sistema de equações

a1 + a2 = 0a1 − a2 = 0,

cuja solução é a1 = a2 = 0. �

4. Seja V o espaço vetorial das funções reais contínuas. O conjunto {ex, e−x}, onde e é onúmero de Euler (base dos logaritmos naturais), é LI.

Demonstração. Devemos mostrar que a equação aex+ be−x = 0 admite apenas a soluçãoa = b = 0. Dada a equação

aex + be−x = 0, (3.7.1)

calculemos a derivada das funções de ambos os menbros. Daí, obtemos

aex − be−x = 0. (3.7.2)

Somando as equações (3.7.1) e (3.7.2), vem que

2aex = 0.

Como 2ex 6= 0 para todo x real, segue que a = 0. Substituindo o valor de a na equação(3.7.1), obtemos

be−x = 0.

Como e−x 6= 0 para todo x real, segue que b = 0. Dessa maneira, a = b = 0 e a equaçãoaex + be−x = 0 admite apenas a solução nula. Portanto, o conjunto {ex, e−x} é LI, comoqueríamos demonstrar. �


5. Para todas as contantes reais a e b não nulas, o conjunto

{sen(ax), cos(bx)} é LI.

com efeito, considere a equação

a1 sen(ax) + a2 cos(bx) = 0. (3.7.3)

Note que a equação 3.7.3 deve valer para todo x ∈ R, em particular para x = 0. Daí, temos

a1 sen(0) + a2 cos(0) = 0⇒ a1 · 0 + a2 · 1 = 0 (3.7.4)

Logo, a2 = 0. Substituindo em 3.7.3, obtemos:

a1 sen(ax) = 0. (3.7.5)

Como 3.7.5 deve valer para todo x ∈ R, concluimos que

a1 = 0,

pois sen(ax) 6= 0 para valores de a e x convenientemente escolhidos.

Propriedades da Dependência e Independência Linear

Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K.

1. Se W = {w} e w 6= 0v, então W é LI. Ou seja, qualquer conjunto possuindo um único vetornão nulo é um conjunto LI.

2. Se um conjunto W ⊂ V contém o vetor nulo, então W é LD.

3. Se uma parte do conjunto W ⊂ V é LD, então W é também LD.

4. Se um conjunto W é LI, qualquer parte W̄ de W também é LI.

5. Se {v1, v2, ..., vn} é LI e {v1, v2, ..., vn,w} é LD, então w é combinação linear de dos vetoresv1, v2, ..., vn.Demontração. Para provar (i), considere a equação αw = 0v. Como w 6= 0v, então α = 0é a única solução possível. Logo pela definição de dependência linear, W é LI.Para provar (ii), suponha que W é um subconjunto de V contendo o vetor nulo. Comopodemos escrever o vetor nulo como combinação linear dos demais vetores (basta tomar oscoeficientes da combinação linear como sendo o número zero), então pelo Teorema 1, W éum conjunto LD.Para mostrar que (iii) vale, seja W = {v1, v2, ..., vk, vk+1, ..., vn} um conjunto de V e sejaW̄ = {v1, v2, ..., vk} ⊂ W um conjunto LD. Logo, existe pelo menos um vetor de W̄ queé uma combinação linear dos demais vetores de W̄. Digamos que v1 seja esse vetor. Logo,existem escalares a2, ...ak tais que v1 = a2v2 + ... + akvk. Como podemos escrever,

v1 = a2v2 + ... + akvk + 0vk+1 + ... + 0vn,

segue v1 também é uma combinação linear dos demais vetores de W e, portanto, W é umconjunto LD.Os itens (iv) e (v) fica como exercício.�


3.8 Exercícios Propostos1. Sejam os vetores u = (2,−3, 2) e v = (−1, 2, 4) em R3.

(a) Escrever o vetor w = (7,−11, 2) como combinação linear de u e v.

(b) Para que valor de k o vetor (−8, 14,k) é combinação linear de u e v?

(c) Determinar uma condição entre a, b e c para que o vetor (a,b, c) seja uma combinaçãolinear de u e v.

2. Consideremos no espaço P2 = at2 + bt+ c;a,b, cR os vetores p(t) = t2–2t+1, q(t) = t+2

e h(t) = 2t2 − t.

(a) Escrever o vetor m(t) = 5t2–5t+ 7 como combinação linear de p(t), q(t) e h(t).

(b) Escrever o vetor m(t) = 5t2–5t+ 7 como combinação linear de p(t) e q(t).

(c) Determinar uma condição para a, b e c de modo que o vetor at2+bt+c seja combinaçãolinear de q(t) e h(t).

(d) É possível escrever p(t) como combinação linear de q(t) e h(t)?

3. Considere o subespaço de R4:

S = [(1, 1,−2, 4), (1, 1,−1, 2), (1, 4,−4, 8)]

(a) o vetor (2/3, 1,−1, 2) pertence a S?

(b) o vetor (0, 0, 1, 1) pertence a S?

4. Seja W o subespaço de M(2, 2) definido por{[2a a+ 2b0 a− b

];a,b ∈ R

}.

(a)[

0 −20 1

]∈W?

(b)[

0 20 1

]∈W?

5. SejaW o subespaço de M(3, 2) gerado pelas matrizes

0 01 10 0

,

0 10 −11 0

e

0 10 00 0

. Verifiquese a matriz

0 21 23 0

∈W.

6. Seja V = C[0, 1] o espaço vetorial das funções reais contínuas no intervalo [0, 1]. Verifique secada um dos subconjutnos a seguir são LI em V .

(a) {x, x+ 1, x2 − 1}

(b) {1, ex, e−x}

(c) {senx, cosx}.


7. Dados vetores v1, v2, ..., vn de um espaço vetorial V , prove que se w ∈ V é uma combinaçãolinear dos vetores v1, v2, ..., vn, então

[v1, v2, ..., vn,w] = [v1, v2, ..., vn].

8. Sejam v1, v2, ..., vn vetores linearmente independentes de um espaço vetorial V . Prove que sea1v1 + a2v2 + ... + anvn = b1v1 + b2v2 + ... + bnvn, então a1 = b1, a2 = b2,..., an = bn.

9. Sejam V um espaço vetorial e u, v,w ∈ V . Prove que o conjunto {u, v,w} é LI se, e somentese, o conjunto {u+ v,u+w, v+w} é LI.

10. Sejam V um espaço vetorial e u, v,w ∈ V . Suponha que {u, v,w} é LI. Dado t ∈ V , existemescalares α, β e γ tais que t = αu + βv + γw. Prove que {u + t, v + t,w + t} é LI se, esomente se, α+ β+ γ 6= 1.

3.9 Sistema de Cores RGB em Computação GráficaTexto em construção

3.10 Independência Linear e Solução de Equações Dife-renciais Ordinárias (EDO)

(Texto em construção)Se as funções y = f(x) e y = g(x) são soluções da equação diferencial de segunda ordem

y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = 0

onde p e q são funções contínuas num determinado intervalo aberto I, então a combinação linear

y = a1f(x) + a2g(x)

também é solução, quaisquer que sejam os escalares a1 e a2.No estudo das soluções de uma EDO tem relevante papel o número

W = f(x0)g′(x0) − f

′(x0)g(x0).

O número W é chamado de determinante wronskiano das soluções f e g. Se W 6= 0 para todox0 ∈ I, então as funções f e g são linearmente independentes em I.

4Base e Dimensão

4.1 IntroduçãoUm espaço vetorial possui, em geral, infinitos vetores. Contudo, já sabemos que alguns espaçosvetoriais podem ser gerados a partir de um número finito de seus elementos, através de combinaçõeslineares realizadas com os mesmos. Esse resultado é muito interessante no sentido de que podemosconstruir todo um espaço vetorial usando apenas alguns de seus elementos. Nessa seção, veremosque conjuntos de geradores que são linearmente independentes tem essa propriedade. Por exemplo,o conjunto {(1, 0), (0, 1)} é um conjunto LI de geradores do R2. Conjuntos dessa natureza serãochamados de bases e são o tema central da seção. Atenção. Estas notas de aulas tem comoobjetivo servir de guia aos alunos que cursam a disciplina álgebra linear, nas turmas sob minharesponsabilidade, dos cursos de engenharia da UNIVASF. O uso das mesmas não dispensa a leiturados livros didáticos indicados nas referências bibliográficas da disciplina, bem como a resolução deexercícios propostos nos mesmos.

4.2 BaseDefinição. Sejam V um espaço vetorial sobre um corpo K e β = {v1, v2, ..., vn} um conjunto devetores não nulos de V . Dizemos que o conjunto β é uma base de V se:

(i) {v1, v2, ..., vn} é LI

(ii) {v1, v2, ..., vn} gera V . Ou seja,V = [v1, v2, ..., vn].

De maneira resumida, dizemos que um subconjunto não-vazio β de vetores de um espaçovetorial V é uma base de V se β é LI e gera V .

Observações.

1. Prova-se que todo espaço vetorial V 6= ∅ possui uma base. Além disso, se V possui umconjunto gerador com um número finito de elementos diz-se que V é um espaço finitamentegerado. Nesse caso, qualquer base de V terá um número finito de elementos.

32 4. Base e Dimensão

2. Se V não for um espaço finitamente gerado, então qualquer base de V possui infinitos ele-mentos. Isso acontece, por exemplo, com o espaço F(X,R) das funções reais definidas emX ⊂ R.

4.3 Exemplos1. O subconjunto β = {e1, e2} de vetores de R2, tal que e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1), é uma base do

R2;

O subconjunto β = {e1, e2, e3} de vetores de R3, tal que e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) e (0, 0, 1),é uma base do R3. De um modo geral, o conjunto

β = {e1, e2, ..., en}

é uma base do Rn. Tal base é conhecida como base canônica do Rn.

2. Considere o espaço vetorial P3 dos polinômios de grau menor ou igual a 3 sobre R. Osubconjunto de P3 formado pelos polinômios

β = {1, t, t2, t3}

é uma base de P3. De um modo geral, o conjunto

{1, t, t2, ..., tn}

é uma base do espaço vetorial real Pn. Esta base é chamada de base canônica do Pn.

3. O subconjunto {[1 00 0

],[

0 10 0

],[

0 01 0

],[

0 00 1

]}é uma base para o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem dois, M(2, 2). Esta é abase canônica de M(2, 2).

4.4 Exercícios resolvidos1. Mostre que o subconjunto β = {(1, 1, 0), (1,−1, 0), (0, 0, 2)} é uma base do R3.

Resolução. Devemos mostrar que β é um conjunto LI e gera o R3. Para mostrar que βé um conjunto LI considere a equação

a1(1, 1, 0) + a2(1,−1, 0) + a3(0, 0, 2) = (0, 0, 0).

Efetuando as operações usuais de multiplicação por escalar e soma de vetores em R3 obtemos

(a1 + a2,a1 − a2, 2a3) = (0, 0, 0).

Da igualdade entre os dois vetores, vem o sistema linear

a1 + a2 = 0a1 − a2 = 0

2a3 = 0,

4.4. Exercícios resolvidos 33

cuja solução é a1 = a2 = a3 = 0. O que mostra que o conjunto β é LI.

Agora, para mostrar que β gera o R3, consideramos um vetor genérico desse espaço, porexemplo, (x,y, z) e mostramos que o mesmo pode ser escrito como uma combinação lineardos vetores de β. Isto é, mostramos que existem escalares a1,a2 e a3 tais que

(x,y, z) = a1(1, 1, 0) + a2(1,−1, 0) + a3(0, 0, 2).

Efetuando as operações adequadas obtemos

(x,y, z) = (a1 + a2,a1 − a2, 2a3).

Da igualdade entre os dois vetores, vem o sistema linear

a1 + a2 = x

a1 − a2 = y

2a3 = z.

Resolvendo o sistema obtemos a1 =x+ y

2, a2 =

x− y

2e a3 =

z

2. Note que independente-

mente dos valores de x, y e z a existência dos escalares a1,a2 e a3 está garantida. Assim,podemos afirmar que qualquer vetor (x,y, z) pode ser escrito como uma combinação lineardos vetores de β. Logo, β gera o R3. Dessa forma, concluímos que o conjunto β é uma basedo R3 pois é um conjunto LI e gera o R3. �

2. Mostre que o conjunto

β = {1, t− 1, t2 + t, t3 − t+ 1}

é uma base P3, o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 3 sobre R.Resolução. Devemos mostrar que β é um conjunto LI e gera P3. Para mostrar que β éum conjunto LI considere a equação

a11 + a2(t− 1) + a3(t2 + t) + a4(t

3 − t+ 1) = 0 + 0t+ 0t2 + 0t3.

Efetuando nessa equação as operações usuais de multiplicação por escalar e soma de vetoresem P3 e agrupando os termos semelhantes, obtemos

a1 − a2 + a4 + (a2 + a3 − a4)t+ a3t2 + a4t

3 = 0 + 0t+ 0t2 + 0t3.

Da igualde entre os dois polinômios, obtemos o sistema linear

a1 − a2 + a4 = 0a2 + a3 − a4 = 0

a3 = 0a4 = 0,

cuja solução é a1 = a2 = a3 = a4 = 0. O que mostra que o conjunto β é LI.

Paramostrar que β gera o P3, consideramos um vetor genérico desse espaço, por exemplo,c0+c1t+c2t

2+c3t3 e mostramos que o mesmo pode ser escrito como uma combinação linear

dos vetores de β. Isto é, mostramos que existem escalares a1,a2, a3 e a4 tais que

c0 + c1t+ c2t2 + c3t

3 = a11 + a2(t− 1) + a3(t2 + t) + a4(t

3 − t+ 1).


Efetuando as operações adequadas no polinômio do lado direito e agrupando os termossemelhantes, obtemos

c0 + c1t+ c2t2 + c3t

3 = a1 − a2 + a4 + (a2 + a3 − a4)t+ a3t2 + a4t

3.

Da igualde entre os dois polinômios, obtemos o seguinte sistema linear

a1 − a2 + a4 = c0

a2 + a3 − a4 = c1

a3 = c2

a4 = c3.

Resolvendo o sistema linear em função de c0, c1, c2 e c3, obtemos: a4 = c3, a3 = c2, a2 =c1 − c2 + c3 e a1 = c0 + c1 − c2. Como os escalares a1,a2, a3 e a4 existem, então β gera P3.

Por fim, como o conjunto β é LI e gera o P3, concluímos que β é uma base desse espaço. �

3. Mostre que o conjunto

β =

{[1 20 0

],[

1 0−1 0

],[

0 02 −1

],[

0 20 1

]}é uma base para o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem dois, M(2, 2).

Resolução. Devemos mostrar que o conjunto β é LI e gera M(2, 2). Para mostrar que βé um conjunto LI mostraremos que a equação

a1

[1 20 0

]+ a2

[1 0−1 0

]+ a3

[0 02 −1

]+ a4

[0 20 1

]=

[0 00 0

]admite apenas a solução trivial a1 = a2 = a3 = a4 = 0.

Efetuando as operações usuais de multiplicação por escalar e soma de vetores em M(2, 2)obtemos [

a1 + a2 2a1 + 2a4

−a2 + 2a3 −a3 + a4

]=

[0 00 0

]Analisando a igualdade entre as duas matrizes, obtemos o sistema linear

a1 + a2 = 02a1 + 2a4 = 0−a2 + 2a3 = 0−a3 + a4 = 0,

cuja solução é a1 = a2 = a3 = a4 = 0. O que mostra que o conjunto β é LI.

Agora, precisamos mostrar que β gera M(2, 2). Para isso, consideraremos um vetor genérico

desse espaço, por exemplo,[x y

z w

]e mostraremos que o mesmo pode ser escrito como uma

combinação linear dos vetores de β. Isto é, mostraremos que existem escalares a1,a2, a3 ea4 tais que

a1

[1 20 0

]+ a2

[1 0−1 0

]+ a3

[0 02 −1

]+ a4

[0 20 1

]=

[x y

z w

].

4.5. Resultados Importantes 35

Efetuando as operações usuais de multiplicação por escalar e soma de vetores em M(2, 2)obtemos [

a1 + a2 2a1 + 2a4

−a2 + 2a3 −a3 + a4

]=

[x y

z w

]Analisando a igualdade entre as duas matrizes, obtemos o sistema linear

a1 + a2 = x

2a1 + 2a4 = y

−a2 + 2a3 = z

−a3 + a4 = w.

Tal sistema linear pode ser resolvido por qualquer método conhecido. A solução encontrada é

a1 = −x+y−z−2w, a2 = 2x−y+z+2w, a3 =2x− y+ 2z+ 2w

2e a4 =

2x− y+ 2z+ 4w2

.A existência dos escalares a1,a2, a3 e a4 mostra que β gera M(2, 2).

Portanto, concluímos que o conjunto

β =

{[1 20 0

],[

1 0−1 0

],[

0 02 −1

],[

0 20 1

]}é uma base para o espaço vetorial M(2, 2)

4. Seja U um subespaço vetorial do R3 definido por

U = {(x,y, z); x− 2y− z = 0}.

Determine uma base para U.

Resolução. Primeiro note que um vetor genérico (x,y, z) ∈ U se, e somente se, as coorde-nadas x,y e z satisfazem a equação x−2y−z = 0. Resolvendo a equação em z, por exemplo,obtemos z = x− 2y. Daí, um vetor genérico de U pode ser escrito como (x,y, x− 2y). Dessaforma, podemos escrever a combinação linear

(x,y, x− 2y) = x(1, 0, 1) + y(0, 1 − 2).

Logo, concluímos que o subespaço vetorial U é gerado pelos vetores (1, 0, 1) e (0, 1,−2). Por-tanto, se esses vetores forem linearmente independentes, então o conjunto {(1, 0, 1), (0, 1,−2)}será uma base de U. Como os vetores (1, 0, 1) e (0, 1,−2) não são múltiplo um dos outro, istoé, não existe nenhum k ∈ R tal que (1, 0, 1) = k(0, 1,−2), então eles são vetores linearmenteindependentes. Portanto, o conjunto {(1, 0, 1), (0, 1,−2)} é uma base do subespaço vetorialU.

4.5 Resultados ImportantesDado um conjunto de geradores de um espaço vetorial V , sempre podemos extrair do mesmo umabase de V . Além disso, se V é um espaço vetorial gerado por um conjunto finito de n vetores,então quaisquer subconjunto de V com mais de n elementos é, necessariamente, um conjunto LD.Essas duas afirmações são apresentadas nos próximos teoremas.

Teorema 1. Sejam {v1, v2, ..., vn} vetores não nulos que geram um espaço vetorial V. Entãodentre estes vetores podemos extrair uma base de V.


Teorema 2. Sejal V um espaço vetorial finitamente gerado pelo conjunto de vetores {v1, v2, ..., vn}.Então, qualquer conjunto com mais de n vetores é necessariamente LD (e, portanto qualquer con-junto LI tem no máximo n vetores).

Corolário. Qualquer base de um espaço vetorial finitamente gerado tem sempre o mesmonúmero de elementos.

O fato do número de elementos de uma base de um espaço vetorial V ser invariante motivamais uma definição: a dimensão do espaço. A dimensão de um espaço vetorial, que será definidaa seguir, desempenha uma papel importante no estudo dos espaços vetoriais.

4.6 DimensãoDefinição. Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. A dimensão de V , denotamos dim(V),é o número de vetores numa base de V , no caso de V admitir uma base finita. Caso o espaço Vnão admita uma base com um número finito de vetores, diremos que a dimensão de V é infinita.

4.7 Exemplos1. dim(Rn) = n. Em particular, dim(R2) = 2 e dim(R3) = 3.

2. dim(Pn) = n+ 1. Por exemplo, dim(P2) = 3 e dim(P3) = 4.

3. dim(M(m,n) = m× n. De modo particular, os espaços M(2, 2) e M(3, 4) têm dimensão 4e 12, respectivamente.

4. O espaço vetorial de todas as funções reais de domínio X e imagem real, F(X,R), não possuiuma base com um número finito de vetores, logo dim(F(X,R)) =∞.

A tarefa de calcular a dimensão de um espaço ou subespaço vetorial consiste,essencialmente, em determinar uma base desse espaço ou subespaço e contar quantosvetores tem na mesma.

Teorema 3. Qualquer conjunto de vetores LI de um espaço vetorial V de dimensão finita podeser completado de modo a formar uma base de V.

Corolário. Se dimV = n, então qualquer conjunto de n vetores LI de V formará uma basede V.

Segundo esse colorário, num espaço espaço vetorial V de dimensão 2, por exemplo, um conjuntode dois vetores LI, é necessariamente uma base de V .

4.8 Matrizes, base e dimensão em Rn

Dado um conjunto de vetores geradores {v1, v2, .., vm} de um subespaço vetorial de Rn como extrairdesse conjunto um subconjunto {v ′1, v ′2.., v ′k}, k 6 m, de vetores linearmente independentes que gereo mesmo subespaço vetorial? Note que ao responder esta questão, teremos determinado tambémcomo encontrar uma base e a dimensão desse subespaço. Outra questão relevante é: como umconjunto de vetores linearmente independentes do espaço vetorial Rn pode ser completado até

4.9. Exercício Resolvido 37

formar uma base desse espaço (ou de um subespaço)? As respostas podem ser dadas com base nopróximo teorema.

Teorema 5. Suponha que uma dada matriz Am×n seja transformada, por meio de operaçõeselementares em suas linhas, na matriz Bm×n. Então:

(i) Um conjunto de colunas da matriz A é LI se e somente se o conjunto das colunas corres-pondentes na matriz B é LI.

(ii) Uma matriz linha 1 × n é uma combinação linear das linhas de A se e somente se é umacombinação linear das linhas de B. Isto é, o conjunto das linhas de A geram o mesmo espaçoque o conjunto das linhas de B.

O Teorema 5 fornece uma grande vantagem computacional pois nos possibilita usar a formaescalonada de uma matriz para podermos analisar a dependência e independência linear entrevetores do Rn. Para isso, construímos uma matriz A onde cada coluna (ou cada linha) é umdos vetores v1, v2, .., vm de Rn dados. A matriz B, citada no teorema, será a matriz A na formaescalonada.

4.9 Exercício Resolvido1. Determine uma base para o subespaço W do R3 gerado pelos vetores (1, 1, 0),

(1, 0, 1),(0,−3, 2) e (−2, 1, 0).

Resolução. Primeiro obtemos uma matriz 3× 4 que possui como colunas os vetores dado:

1 1 0 −21 0 −3 10 1 2 0

.

Poderemos obter a forma escalonada (por linhas) desta matriz através de uma sequência deoperações elementares em suas linhas, como por exemplo: substituindo a segunda linha pelasoma desta com a primeira linha multiplicada por −1:1 1 0 −2

0 −1 −3 30 1 2 0

;

substituindo a terceira linha pela soma desta com a segunda linha:1 1 0 −20 −1 −3 30 0 −1 3

.

Observe que as três primeiras colunas da matriz escalonada forma uma conjunto LI. Logo,as três primeiras colunas da matriz inicial formam um conjunto LI e dessa forma, os trêsprimeiros vetores, (1, 1, 0), (1, 0, 1) e (0,−3, 2) dados forma um conjunto LI de geradores deW. Portanto, o conjunto {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0,−3, 2)} é uma base de W. Como a dimensãode W é 3 e W está contido em R3, então concluímos que W = R3.


2. Complete o conjunto {(1, 2,−1, 0), (1,−1, 1, 2), (0, 1, 0, 1)} de forma a obter uma basedo R4.

Resolução. Primeiro devemos verificar se os três vetores dados formam um conjunto LI.Faça isso como exercício!

Uma vez verificado que os três vetores dados formam um conjunto LI, e como uma base doR4 tem 4 vatores, já que sua dimensão é 4, devemos incluir mais um vetor no conjunto deforma que o conjunto resultante ainda seja LI. A escolha das coordenadas do vetor (a,b, c,d)a ser incluido no conjunto pode ser realizada da seguinte forma:

Primeiro, obtemos a matriz 4 × 4 que possui como colunas os vetores dados e o vetor(a,b, c,d):

1 1 0 a

1 −1 1 b

−1 1 0 c

0 2 1 d

.

Efetuando o escalonamento (por linhas) dessa matriz, obtemos a matriz:1 1 0 a

0 −2 1 −a+ b0 0 1 b+ c0 0 0 −a− b− 2c+ d

.

Observe que para a última coluna ser linearmente independente com as três primeiras devemoster

−3a− b− 2c+ d 6= 0.

Esta condição será satisfeita, por exemplo, se considerarmos a = 1 e b = c = d = 0. Substituindoesses valores, obteremos a matriz

1 1 0 10 −2 1 −10 0 1 00 0 0 −1

que possui as quatros colunas linearmente independentes. Sendo a = 1 e b = c = d = 0, o vetor(a,b, c,d) a ser incluído no conjunto, fica na forma (1, 0, 0, 0). Assim, o conjunto

{(1, 2,−1, 0), (1,−1, 1, 2), (0, 1, 0, 1), (1, 0, 0, 0)}

é uma base do R4.Observamos que embora os dois exercícios anteriores tenham sido resolvidos por meio da forma

escalonada da matriz cujas colunas eram os vetores inicialmente dados, a resolução também podeser feita quando escrevemos esses vetores como linhas de uma matriz e realizamos o escalonamentoda mesma. Contudo, nesse caso, a interpretação da dependência e independência linear dos vetoresé diferente. Essa alternativa será apresentada na próxima seção.

4.10. Exercício Resolvido 39

Espaço Linha, Espaço Coluna e Posto de uma Matriz. Outra maneirade analisar a dependência linear entre vetores do Rn

Observe que, durante o escalonamento de uma matriz, ao realizarmos operações elementares sobreas suas linhas estamos, na verdade, realizando combinações lineares com essas linhas. Como jásabemos, o conjunto de todas as combinações lineares realizadas com um conjunto de vetoresforma um subespaço vetorial (de um dado espaço vetorial). Assim faz sentido a definição seguinte.

Definição. O espaço linha de uma matriz Am×n é o subespaço de Rn gerado pelas linhas deA. De modo análogo, o espaço coluna de A é o subespaço de Rm gerado pelo conjunto de colunasde A.

O espaço coluna tem uma importância muito grande no estudo dos sistemas lineares e seráestudado mais adiante. Por ora vamos focar a atenção no espaço linha de uma matriz e comoutilizá-lo para decidir se um dado conjunto de vetores do Rn é LI ou LD. Isso pode ser feito combase no item (ii) do teorema seguinte.

Teorema 6. Seja A uma matriz m× n. Então:

(i) O posto da matriz A é igual a dimensão do espaço coluna de A.

(ii) O posto da matriz A é igual a dimensão do espaço linha de A e uma base para esse espaçoé fornecida pelas linhas não nulas da forma escalonada da matriz A.

De acordo com o item (ii) do Teorema 6, se escrevermos cada vetor de um conjunto {v1, v2, .., vm}de geradores do subespaço W como linha de uma matriz A e, ao final do escalonamento dessamatriz, obtivermos uma matriz B cujas linhas não nulas formam o conjunto de vetores {v ′1, v ′2.., v ′k},k 6 m, então o conjunto {v ′1, v ′2.., v ′k} é uma base de W.

4.10 Exercício Resolvido1. Determine uma base para o subespaço W do R3 gerado pelos vetores (1, 1, 0),

(1, 0, 1),(0,−3, 2) e (−2, 1, 0).

Resolução. Esse exercício já foi resolvido na seção 4.9 escrevendo os vetores como colunasde uma matriz. Agora, usando o item (ii) do Teorema 6, vamos resolvê-lo escrevendo osvetores dados como linhas de uma matriz. Dessa forma, obtemos

1 1 01 0 10 −3 2−2 1 0

.

Efetuando a operação L2 − L1 e substituindo a segunda linha pelo resultado dessa operação;em seguida, substituir a quarta linha pela resultado da operação L4 + 2L1, obtemos:

1 1 00 −1 10 −3 20 3 0

.

Substituindo a terceira linha pelo resultado da operação L3 − 3l2; e substituindo a quartalinha pelo resultado da operação L4 + 3L2, obtemos:


1 1 00 −1 10 0 −10 0 3

.

Por fim, substituindo a quarta linha pelo resultado da operação L4 + 3L3, temos:1 1 00 −1 10 0 −10 0 0

.

Dessa forma, as três primeiras linhas da matriz na forma escalonada fornecem uma basepara o subespaço W. Isto é, o conjunto {(1, 1, 0), (0,−1, 1), (0, 0,−1)} é uma base de W.Além disso, note que o conjunto formado pelas 3 linhas não nulas da matriz escalonada cor-responde ao conjunto formado pelas três primeiras linhas da matriz inicial. Logo, o conjunto{(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0,−3, 2)} também é uma base deW conforme foi determinado no exercício1 da seção 4.9. Na verdade, neste caso, W = R3.

2. Determine o subespaço U do R3 gerado pelos vetores (1,−1,−1), (1, 1, 0) e (1, 1, 2).Resolução. Primeiro vamos determinar uma base para o subespaço U. Para isso vamosencontrar a forma escalonada da matriz1 −1 −1

1 1 01 3 1

.

Substituindo as linhas 2 e 3 pelos resultados das operações L2−L1 e L3−L1, respectivamente,obtemos:

1 −1 −10 2 10 4 2

.

Finalmente, substituindo a linha 3 pelo resultado da operação L3 − 2L2, obtemos a formaescalonada

1 −1 −10 2 10 0 0

.

Logo, o conjunto {(1,−1,−1), (0, 2, 1)} é uma base para o subespaço W. Daí, fazendo umacombinação linear com esses dois vetores para escalares x e y quaisquer, obtemos

x(1,−1,−1) + y(0, 2, 1) = (x,−x+ 2y,−x+ y).

Portanto,W = {(x,−x+ 2y,−x+ y); x,y ∈ R}.

4.11. Soma Direta 41

4.11 Soma DiretaDefinição. Seja V um espaço vetorial. Suponha que U e W são subespaços vetoriais de V . Diz-seque V é a soma direta de U e W, denota-se V = U⊕W, se

(i) U ∩W = {0};

(ii) V = U+W.

Exemplos

1. No exemplo 1 (Soma de Subespaços) os subespaços

U = {(x,y, z) ∈ R3; z = 0}

eW = {(x,y, z) ∈ R3; x = y = 0}

são tais que R3 = U+W. Além disso, U ∩W = {(0, 0, 0)} ( verifique!). Portanto,

R3 = U⊕W.

2. No exemplo 2 (Soma de Subespaços) os subespaços

U = {(x,y) ∈ R2;y = x}

eW = {(x,y) ∈ R2;y = −x}

são tais que R2 = U+W. Além disso, Além disso, U ∩W = {(0, 0)} ( verifique!). Portanto,

R2 = U⊕W.

3. O exemplo 3 (Soma de Subespaços) temos U +W = M(2, 2), mas essa soma não pode seruma soma direta por que U ∩W é formado por todas as matrizes diagonais de ordem 2.

Soma direta em Rn.O próximo exercício exemplifica uma maneira de calcular soma de subespaços em R3. O raciocínioutilizado nesse exercício se aplica a subespaços de espaços euclidianos de dimensões maiores.

1. Considere os subespaços U = {(x,y, z); x+ y = 0} e W = {(x,y, z); x− z = 0} de R3. Mostreque

R3 = U+W.

Resolução. Inicialmente vamos determinar um conjunto de vetores geradores de U e umconjunto de vetores gerados de W.

Um vetor (x,y, z) ∈ U se e somente se x + y = 0, o que implica y = −x. Logo, um vetorgenérico de U é da forma (x,−x, z). Daí, temos

(x,−x, z) = x(1,−1, 0) + z(0, 0, 1).

Logo, o subespaço U é gerado pelos vetores (1,−1, 0) e (0, 0, 1).


De modo análogo, temos que um vetor genérico de W é da forma

(x,y, x) = x(1, 0, 1) + y(0, 1, 0)

e que W é gerado pelos vetores (1, 0, 1) e (0, 1, 0).

Dessa forma, U + W é gerado pelos vetores (1,−1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 1) e (0, 1, 0). Paraencontrar uma base para esse espaço, basta encontrar a forma escalona da matriz

1 −1 00 0 11 0 10 1 0

.

Efetuando operações elementares sobre as linhas da matriz, obtemos a seguinte forma esca-lonada (esta forma escalonada não é única):

1 −1 00 −1 10 0 10 0 0

.

Daí, o conjunto {(1,−1, 0), (0,−1, 1), (0, 0, 1)} forma uma base para U+W. Logo, dim(U+W) = 3. Mas, como U +W é um subespaço de R3 e tem a mesma dimensão desse espaço,então

U+W = R3.

�

Uma vez que já mostramos que U +W = R3, uma pergunta pertinente neste exercício é seR3 seria uma soma direta dos subespaços U e W? Isto é, se poderíamos ter R3 = U ⊕W?Para responder a esta pergunta basta apenas calcular a interseção U ∩W. Lembramos quepara ser soma direta a intersecção entre os subespaços deve ter apenas o vetor nulo.

Neste caso, se (x,y, z) ∈ U ∩W devemos ter simultaneamente, y = −x e z = x. Daí, temosque os vetores de U ∩W são do tipo (x,−x, x). Logo, U ∩W é um subespaço de dimensão1 gerado pelo vetor (1,−1, 1) e, assim, U ∩W 6= {(0, 0, 0)}. Portanto, o R3 não é uma somadireta dos subespaços U e W.

4.12 Soma Direta e Base em Espaços Vetoriais Quaisquer.O próximo exercício estabelece que um espaço vetorial V é uma soma direta dos subespaços geradospor cada um dos vetores que compõem essa base.

1. Dado um subconjunto não-vazio β = {v1, v2, ..., vn} de vetores de um espaço vetorial V,mostre que β é uma base de V se, e somente se,

V = [v1]⊕ [v2]⊕ ...⊕ [vn].

Resolução. Suponha que β = {v1, v2, ..., vn} seja uma base de V e sejam V1 = [v1],V2 =[v2], ...,Vn = [vn]. Vamos mostrar que

Vi ∩ Vj = {0}, para todo i 6= j;


e queV = V1 + V2 + ... + Vn.

Primeiro, suponha que v ∈ Vi ∩ Vj. Logo, v ∈ Vi e v ∈ Vj. Daí, existem escalares a1 e a2

tais quev = a1vi e v = a2vj.

Assim,a1vi = a2vj.

Mas, se a1 e a2 forem, simultaneamente, diferentes de zero, então teríamos

vi =a2

a1vj e vj =

a1

a2vi.

Mas, isso não pode ocorrer porque vi e vj são vetores LI, já que pertencem a uma base deV . Logo, a1 = 0 e a2 = 0. Isto é, v = 0 e assim, Vi ∩Vj = {0}. Como Vi e Vj foram tomadosarbitrariamente, então o resultado vale para para todo i, j = 1, 2, ...,n. Agora seja v ∈ V .Como β = {v1, v2, ..., vn} é uma base de V , então existem escalares a1,a2, ...,an tais que

v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn.

Isso mostra queV = V1 + V2 + ... + Vn.

Portanto,V = V1 ⊕ V2 ⊕ ...⊕ Vn.

Por outro lado, suponha queV = V1 ⊕ V2 ⊕ ...⊕ Vn.

Vamos mostrar que β = {v1, v2, ..., vn} é uma base de V . Para isso, precisamos mostrar queβ gera V e é LI. Como, por hipótese, V = V1 ⊕ V2 ⊕ ...⊕ Vn, então V = V1 + V2 + ... + Vn.Logo, qualquer vetor v ∈ V se escreve, do seguinte modo:

v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn

para alguma sequência de escalares a1,a2, ...,an. Como v é arbitrário, segue que β gera V .Agora, suponha que β = {v1, v2, ..., vn} seja LD. Então existe, vj ∈ β que é combinação lineardos demais vetores de β. Digamos, sem perda de generalidade, que vj = avi para algumi = 1, 2, ..n e i 6= j. Então, temos que avi ∈ Vj e avi ∈ Vi. Logo, avi ∈ Vj ∩ Vi. Mas, issocontradiz o fato de que Vi ∩ Vj = {0} ( V é soma direta de V1,V2, ...,Vj). Portanto, β é umconjunto LI. �

4.13 Exercícios Propostos1. Escreva uma base para o espaço das matrizes de ordem 2× 3 com entradas reais. Qual seria

uma base para o espaço das matrizes quadradas de ordem n?

2. Mostre que o conjunto {1 − t3, (1 − t)2, 1 − t, 1} é uma base de P3.

3. Dado o subespaço W de M(2, 2) que é gerado pelo conjunto{[1 −5−4 2

],[

1 1−1 5

],[

2 −40 7

],[

1 −7−5 1

]}.

Determine uma base de W e a sua dimensão.


4. Considere o subespaço do R4 gerado pelos vetores v1 = (1,−1, 0, 0), v2 = (0, 0, 1, 1), v3 =(−2, 2, 1, 1) e v4 = (1, 0, 0, 0).

(a) O vetor (1,−3, 1, 1) ∈ [v1, v2, v3, v4]?(b) Determine uma base de [v1, v2, v3, v4].(c) [v1, v2, v3, v4] = R4. Por quê?

5. Considere o subespaço do R3 gerado pelos vetores v1 = (1, 1, 0), v2 = (0,−1, 1) e v3 =(1, 1, 1). Verifique se [v1, v2, v3] = R3.

6. Sejam U = {(x,y, z, t)} ∈ R4; x + y = 0 e z − t = 0 e W = {(x,y, z, t)} ∈ R4; 2x + y − t =0 e z = 0 dois subespaços de R4.

(a) Determine U ∩W;(b) Determine U+W;(c) Verifique se R4 = U⊕W.

7. Dados os vetores u = (2,−1, 4, 0), v = (1,−2, 2, 3) e w = (4,−5, 8, 6), faça o que se pede aseguir.

(a) Mostre que os vetores u, v e w são vetores LD;(b) Mostre que dois vetores quaisquer constituem uma base para o subespaço S = [u, v,w];(c) Seja o subespaço de R4 gerado pelos vetores (0, 1, 0, 0) e (0, 0, 0, 1). Determine o subes-

paço S ∩ T .(d) Quais são as dimensões dos subespaços S, T , S ∩ T e S+ T?(e) Verifique se R4 = S⊕ T .

8. (a) Mostre que os conjuntos α = {(1, 0), (0, 1)}, β = {(i, 0), (2,−3)} e γ = {(i, i), (−1, 2i)}são bases do espaço vetorial C2 sobre C.

(b) Mostre que o conjunto δ = {(1, 0), (i, 0), (0, 1), (0, i)} é uma bases do espaço vetorial C2

sobre R.

9. Qual é a dimensão do seguinte subespaço de R4

S = [(1, 1,−2, 4), (1, 1,−1, 2), (1, 4,−4, 8)]?

10. Seja W o subespaço de M(2, 2) definido por{[2a a+ 2b0 a− b

];a,b ∈ R

}.

(a) Determine uma base de W;(b) Determine dim(W);(c) Determine um subespaço S de M(2, 2) tal que M(2, 2) = S⊕W.

11. Considere o sistema linear

(∗)

2x+ 4y− 6z = ax− y+ 4z = b

6y− 14z = c.(4.13.1)

Seja S = {(x,y, z) ∈ R3; (x,y, z) é solução de (*)}. Isto é, S é o conjunto-solução do sistemalinear (*).


(a) Que condições devemos impor para a, b e c para que o sistema linear seja um subespaçovetorial de R3?

(b) Nas condições determinadas no ítem (a), determine uma base para S.

(c) Verifique que dim(S) é igual ao grau de liberdade do sistema (*).

5Mudança de Base

5.1 IntroduçãoEm muitas situações reais é comum que um determinado problema esteja apresentado inicialmenteem uma base β, mas que a sua solução seja facilitada quando é efetuada uma mudança da base βpara a base β ′. Neste capítulo estudaremos um método para efetuar a mudança de representaçãode vetores entre bases de um mesmo espaço vetorial.

5.2 Coordenadas de um vetorSejam V um espaço vetorial e β = {v1, v2, . . . , vn} uma base de V . Para cada vetor v ∈ V existemúnicos escalares a1, a2, . . .,an tais que

v = a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn.

Os escalares a1, a2, . . .,an são chamados de coordenadas de v em relação à base β. Denotamos,

[v]β =

a1

a2...an

.

Exemplos

1. Considere β = {(1, 0), (0, 1)} a base canônica do R2 . Observe que o vetor (2, 3) ∈ R2 podeser escrito como uma combinar linear dos vetores da base canônica do seguinte modo

(2, 3) = 2(1, 0) + 3(0, 1).

Logo, [(2, 3)]β =

[23

].

De um modo geral, dado um vetor (x,y) qualquer em R2, sempre podemos escrever

(x,y) = x(1, 0) + y(0, 1).

48 5. Mudança de Base

Assim as coordenadas de (x,y) em relação à base canônica do R2 são os próprios escalares x

e y. Isto é, [(x,y)]β =

[x

y

]. Porém, em relação à outras bases do R2 as coordenadas de um

vetor genérico (x,y) são, em geral, diferentes dos escalares x e y. Por exemplo, considere abase β ′ = {(1, 1), (−1, 1)} de R2 . Em relação à esta base o vetor (2, 3) é escrito da seguintemaneira:

(2, 3) =52(1, 1) +

12(−1, 1).

Daí, as coordendas de (2, 3) em relação à base β ′ são52e

12. Ou seja,

[(2, 3)]β ′ =

5212

.

Observação.

A ordem em que os elementos v1, v2, ..., vn de uma base de um espaço vetorial V estãodispostos, nessa base, influi na construção da matriz de coordenadas de um dado vetor v,em relação a essa base. Por exemplo, se considerarmos em R2, as bases β = {(1, 0), (0, 1)} eβ ′ = {(0, 1), (1, 0)}, então as coordenadas do vetor (4, 5) em relação a essas bases, são dadas

por [(4, 5)]β =

[45

]e [(4, 5)]β ′ =

[54

].

Por essa razão, deste ponto em diante, dada uma base β = {v1, v2, ..., vn} de um espaçovetorial V iremos considerar que a mesma está ordenada na ordem em que seus elementosaparecem.

5.3 Mudança de BaseSeja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre o conjunto dos números reais. Sejam α ={u1,u2, ...,un} e β = {v1, v2, ..., vn} duas bases de V . Então existem escalares x1, x2, ..., xn e y1,y2, ...,yntais que

u = x1u1 + x2u2 + ... + xnun (5.3.1)

e

u = y1v1 + y2v2 + ... + ynvn. (5.3.2)

Dessa forma, [u]α =

x1

x2...xn

e [u]β =

y1

y2...yn

.Agora, como cada vetor vj, j = 1, 2, ...,n, pertence a V e α é uma base de V podemos escrever

vj como combinação linear de dos vetores u1,u2, ...,un da seguinte maneira:

5.3. Mudança de Base 49

v1 = a11u1 + a21u2 + ... + an1un

v2 = a12u1 + a22u2 + ... + an2un... =

... (5.3.3)vn = a1nu1 + a2nu2 + ... + annun

Substituindo a equação (3) em (2), obtemos

u = y1(a11u1 + a21u2 + ... + an1un) + y2(a12u1 + a22u2+

+ ... + an2un) + ... + yn(a1nu1 + a2nu2 + ... + annun). (5.3.4)

Desenvolvendo os produtos e arrumando a equação em função de u1,u2, ...,un obtemos:

u = (a11y1 + a12y2 + ... + a1nyn)u1 + (a21y1 + a22y2 + ... + a2nyn)u2+

+ ... + (an1y1 + an2y2 + ... + annyn)un. (5.3.5)

Da igualdade entre as equações (1) e (5), devido a unicidade das coordenadas x1, x2, ..., xn,obtemos

x1 = a11y1 + a12y2 + ... + a1nyn

x2 = a21y1 + a22y2 + ... + a2nyn... =

... (5.3.6)xn = an1y1 + an2y2 + ... + annyn.

Usando a notação matricial, obtemosx1

x2...xn

=

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

... . . . ...an1 an2 . . . ann

y1

y2...yn

.

Denotando

[I]βα =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

... . . . ...an1 an2 . . . ann

,

obtemos[u]α = [I]βα[u]β.

Definição (Mudança de base). Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita sobre oconjunto dos números reais, α = {u1,u2, ...,un} e β = {v1, v2, ..., vn} duas bases de V . A matriz[I]βα é chamada a matriz mudança de base da base β para a base α.


Observações

1. A j−ésima coluna da matriz [I]βα é formada pelas coordenadas do vetor vj, da base β, emrelação à base α. Isto é,

[I]βα = [[v1]α, [v2]α, ..., [vn]α] .

2. A matriz [I]βα é invertível e a sua inversa é matriz [I]αβ . Isto é.([I]βα)−1

= [I]αβ.

3. A matriz [I]αβ também é chamada de matriz mudança de coordenadas da base α para abase β.

Exemplos

1. Considere α = {(1, 0), (0, 1)} e β = {(1, 1), (−1, 1)} duas bases de R2. Note que

(1, 1) = 1(1, 0) + 1(0, 1)(−1, 1) = −1(1, 0) + 1(0, 1).

Daí, [(1, 1)]α =

[11

]e [(−1, 1)]α =

[−11

].

Logo,

[I]βα =

[1 −11 1

].

Por outro lado temos

(1, 0) =12(1, 1) −

12(−1, 1)

(0, 1) =12(1, 1) +

12(−1, 1).

Assim, [(1, 0)]β =

12−

12

e [(0, 1)]β =

1212

.Logo,

[I]αβ =

12

12

−12

12

.

Note que [I]βα[I]αβ =

[1 −11 1

] 12

12

−12

12

=

[1 00 1

]. Isto é, as matrizes [I]βα e [I]αβ são

inversíveis, sendo uma a inversa da outra.

5.3. Mudança de Base 51

2. Sejam V um espaço vetorial e α = {u, v,w, t} e β = {u,u − v, v +w + t, v − t} bases de V .Determine [I]βα e [I]αβ.

Resolução. Para determinarmos [I]βα precisamos escrever cada um dos vetores de β comocombinação linear dos vetores de α. Sejam

v1 = u

v2 = u− v (5.3.7)v3 = v+w+ t

v4 = v− t.

Dessa forma,

v1 = 1u+ 0v+ 0w+ 0tv2 = 1u+ (−1)v+ 0w+ 0tv3 = 0u+ 1v+ 1w+ 1tv4 = 0u+ 1v+ 0w+ (−1)t.

De onde obtemos,

[v1]α =

1000

, [v2]α =

1−100

, [v3]α =

0111

e [v4]α =

010−1

.Logo,

[I]βα = [v1]α =

1 1 0 00 −1 1 10 0 1 00 0 1 −1

.

Para obtermos [I]αβ precisamos escrever os vetores de α como combinação linear dos vetoresde β. Para isso, basta resolvermos o sistema (6) em função de v1, v2, v3 e v4. Feito isso,obtemos

u = v1

v = v1 − v2

w = −2v1 + 2v2 + v3 + v4

t = v1 − v2 − v4.

Daí obtemos

[u]β =

1000

, [v]β =

1−100

, [w]β =

−2211

e [t]β =

1−10−1

.Logo,


[I]αβ =

1 1 −2 10 −1 2 −10 0 1 00 0 1 −1

.

Outra maneira de calcular [I]αβ é calcular([I]βα)−1.

5.4 Exercícios Propostos1. Sejam α = {(1, 0), (0, 1)}, β = {(−1, 1), (1, 1)} e γ = {(

√3, 1), ((

√3,−1)}.

(a) Determine a matriz mudança de base da base β para a base α, [I]βα.

(b) Determine a matriz mudança de base da base α para a base β, [I]αβ.

(c) Determine [I]αγ e [I]γα.

(d) Calcule as coordenadas de v = (3,−2) em relação a cada uma das bases α, β e γ.

2. Dadas duas bases α e β de R3 tais que [I]βα =

1 1 00 −1 11 0 −1

.(a) Calcule [v]α sabendo-se que [v]β =

−123

.(b) Calcule [v]β sabendo-se que [v]α =

−112

.3. Em P2, considere a base canônica α = {1, t, t2} e a base β formada pelo seguinte conjunto

de polinômios {1 − t+ t2, 2t+ 3t2, 4 − 3t}.

a) Determine a matriz mudança de coordenadas da base β para a base α.

b) Determine as coordenadas do polinômio p(t) = −1 + 2t na base β.

4. Seja α a base canônica do R2 e seja β a base obtida da base α pela rotação de um ângulo−π

3. Ache [I]βα e [I]αβ.

5. Seja α = {v1, v2, ..., vn} uma base de um espaço vetorial V . Mostre que [I]αα = In, onde In éa matriz identidade de ordem n.

6Transformações Lineares

6.1 IntroduçãoO objetivo deste tópico é estudar funções (também chamadas de aplicações ou transformações)entre espaços vetoriais. Estamos interessados particularmente em funções que preservem as opera-ções de soma de vetores e multiplicação por escalar. As funções que satisfazem tais propriedadessão chamadas de transformações lineares. Estudaremos aqui apenas transformações lineares en-tre espaços vetoriais reais. No entanto, todos os conceitos apresentados são extensíveis à espaçosvetoriais complexos.

6.2 Transformação LinearDefinição (Transformação Linear). Sejam U e V espaços vetoriais sobre o conjunto dos nú-meros reais. Uma transformação linear de U em V ,

T : U→ V

é uma função que possui as seguintes propriedades:

(i) T(u+ v) = T(u) + T(v), para todo u e v em U.

(ii) T(αu) = αT(u), para todo u ∈ U e todo α ∈ R.

Observações.

1. As propriedades (i) e (ii) são equivalentes à

T(u+ αv) = T(u) + αT(v)

para todo u e v em U e para todo α ∈ R.

2. Se T : U→ V é uma transformação linear, então

T(0u) = 0v.

54 6. Transformações Lineares

As duas observações anteriores facilitam o trabalho de verificar se uma dada aplicação T : U→V é uma transformação linear, o que pode ser feito da seguinte maneira: Primeiro, calculamosT(0u). Se T(0u) 6= 0v, então T não pode ser uma transformação linear. Agora, caso T(0u) = 0v,então verificamos se T satisfaz T(u+αv) = T(u)+αT(v) para todo u e v em U e para todo α ∈ R.Em caso afirmativo, concluímos que T é uma transformação linear de U em V .

6.3 Exemplos de Transformações Lineares1. A aplicação T : R2 → R definida por T(x,y) = x + y é uma transformação linear. De fato,T(0, 0) = 0 + 0 = 0. Além disso, sejam u = (x1,y1) e v = (x2,y2) vetores quaisquer do R2 eα um número real qualquer. Note que

u+ αv = (x1 + αx2,y1 + αy2).

Assim,

T(u+ αv) = T(x1 + αx2,y1 + αy2) = (x1 + αx2) + (y1 + αy2) = (x1 + y1) + α(x2 + y2).

Por outro lado, como T(u) = x1 + y1 e T(v) = x2 + y2, então

T(u) + αT(v) = x1 + y1 + α(x2 + y2).

Portanto, T(u+ αv) = T(u) + αT(v).

2. A aplicação T : R2 → R2 definida por T(x,y) = (x + y, x + 1) não é uma transformaçãolinear. De fato, T(0, 0) = (0, 1) 6= (0, 0).

3. A aplicação T : R2 → R3 definida por T(x,y) = (x, x+ y,y) é uma transformação linear. Defato, T(0, 0) = (0, 0, 0). Além disso, sejam u = (x1,y1) e v = (x2,y2) vetores quaisquer doR2 e α um número real qualquer.

T(u+ αv) = T(x1 + αx2,y1 + αy2) = (x1 + αx2, x1 + αx2 + y1 + αy2,y1 + αy2).

Por outro lado, como T(u) = (x1, x1 + y1,y1 e T(v) = (x1, x2 + y2,y2), então

T(u)+αT(v) = (x1, x1+y1,y1)+α(x2, x2+y2,y2) = (x1+αx2, x1+y1+α(x2+y2),y1+αy2).


4. A aplicação T : R3 → R3 definida por T(x,y, z) = (x,y, z) é uma transformação linear.De fato, T(0, 0, 0) = (0, 0, 0). Além disso, sejam u = (x1,y1, z1) e v = (x2,y2, z2) vetoresquaisquer do R3 e α um número real qualquer. Note que

u+ αv = (x1 + αx2,y1 + αy2, z1 + αz2).

Dessa maneira,

T(u+ αv) = T(x1 + αx2,y1 + αy2, z1 + αz2) = (x1 + αx2,y1 + αy2, z1 + αz2).

Por outro lado,

T(u) + αT(v) = (x1, x1, z1) + α(x2, x2, z2) = (x1 + αx2,y1 + αy2, z1 + αz2).


6.3. Exemplos de Transformações Lineares 55

5. A aplicação T : R3 →M(2, 2) definida por

T(x,y, z) =[

x 3x− y z− x

]não é uma transformação linear. De fato, T(0, 0, 0) =

[0 30 0

]6=[

0 00 0

].

6. A aplicação T : R2 → R2 definida por

T(x,y) = (xcosθ− ysenθ, xsenθ+ ycosθ)

é uma transformação linear. Com efeito, dados u = (x1,y1) e v = (x2,y2) vetores quaisquerdo R2 e α ∈ R, temos:

T(u+ αv) = T(x1 + αx2,y1 + αy2)

= ((x1 + αx2)cosθ− (y1 + αy2)senθ, (x1 + αx2)senθ+ (y1 + αy2)cosθ)

= (x1cosθ− y1senθ, x1senθ+ y1cosθ) + (αx2cosθ− αy2senθ,αx2senθ+ αy2cosθ)

= (x1cosθ− y1senθ, x1senθ+ y1cosθ) + α(x2cosθ− y2senθ, x2senθ+ y2cosθ))

= T(u) + αT(v).

7. A aplicação T : P2(R)→ R3 definida por

T(a0 + a1x+ a2x2) = (a0,a1,a2)

é uma transformação linear. Com efeito, sejam p(x) = a0+a1x+a2x2 e q(x) = b0+b1x+b2x

2

polinômios quaisquer do espaço vetorial P2(R) e α ∈ R. Da soma de dois polinômios obtemos

p+ αq = a0 + αb0 + (a1 + αb1)x+ (a2 + αb2)x2.

Assim,

T(p+ αq) = T(a0 + αb0 + (a1 + αb1)x+ (a2 + αb2)x2) = (a0 + αb0,a1 + αb1,a2 + αb2).

Por outro lado, como T(p) = (a0,a1,a2) e T(q) = (b0,b1,b2)), então

T(p) + αT(q) = (a0,a1,a2) + α(b0,b1,b2) = (a0 + αb0,a1 + αb1,a2 + αb2).

Logo, T(p+ αq) = T(p) + αT(q).

8. Seja D : P3(R) → P2(R) uma transformação do espaço dos polinômios de grau menor ouigual a 3 no espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 2, ambos sobre R, tal que

D(a3x3 + a2x

2 + a1x+ a0) = 3a3x2 + 2a2x+ a1.

Isto é, D é a função derivada restrita ao espaço vetorial P3(R). Como a derivada da somade duas funções é a soma das derivadas dessas funções; e a derivada do produto de umaconstante por uma função é igual a constante vezes a derivada da função, então podemosafirmar que D é uma transformação linear de P3(R) em P2(R).

9. Seja C([a,b],R) o conjunto formado por todas as funções reais f : [a,b] → R contínuas em[a,b]. A transformação S : C([a,b],R)→ R tal que

S(f) =

∫ba

f(x)dx

é uma transformação linear. De fato, a constatação deste fato é uma consequências daspropriedades das integrais definidas.


6.4 Exercícios Propostos1. Seja V um espaço vetorial real qualquer. Mostre que T : V → V dada por T(v) = v é uma

transformação linear.

2. Seja T : R→ R uma aplicação definida por T(x) = λx. Mostre que T é linear. (Na verdade,toda transformação linear de R em R é da forma λx. Mostre isso!).

3. Mostre que as seguintes aplicações de R2 em R2 são transformações lineares.

(a) T : R2 → R2 definida por T(x,y) = c(x,y) para todo c ∈ R (Contração ou expansão).(b) T : R2 → R2 definida por T(x,y) = (x,−y) (Reflexão em torno do eixo x ).(c) T : R2 → R2 definida por T(x,y) = (−x,−y) (Reflexão na origem).(d) T : R2 → R2 definida por T(x,y) = (x + cy,y) para todo c ∈ R (Cisalhamento

horizontal).

4. Sejam a e b números reais diferentes de zero. Mostre que T : R2 → R2 definida por T(x,y) =(x+ a,y+ b) (Translação) não é uma transformação linear.

5. Mostre que a aplicação T : R2 →M(2, 2) definida por

T(x,y) =[x+ y x

y x− y

]é uma transformação linear.

6. Seja P ∈M(2, 2) uma matriz invertível e TP : M(2, 2)→M(2, 2), definida por

TP(X) = P−1XP.

Mostre que TP é linear.

7. Sejam U e V espaços vetoriais quaisquer. Se T : U→ V é uma transformação linear, mostreque T(0u) = 0v.

8. Sejam V e W espaços vetoriais sobre R e T : V →W uma transformação linear. Mostre quese {T(v1), T(v2), ..., T(vn)} é um conjunto linearmente independente deW, então {v1, v2, ..., vn}é um conjunto linearmente independente de V .

6.5 Determinando uma transformação linear a partir daimagem dos vetores de uma base do domínio

Uma característica muito importante das transformações lineares é que uma transformação linearfica univocamente determinada se conhecemos seus valores nos vetores de uma base do domínio.Esse resultado é consequência do seguinte teorema:

Teorema 1. Sejam {u1,u2, . . . ,un} uma base de um espaço vetorial U. Sejam {v1, v2, . . . , vn}vetores de um espaço vetorial V. Então, existe uma única transformação linear T : U→ V tal queT(ui) = vi para i = 1, 2, . . . ,n.

Observação. Esta aplicação é dada por: se

u = a1u1 + a2u2 + · · ·+ anun,

6.6. Exemplo 57

entãoT(u) = a1T(u1) + a2T(u2) + · · ·+ anT(un) = a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn.

Além de afirmar a existência de uma única transformação linear satisfazendo certas condições,o teorema anterior, e a observação anterior, nos fornecem um roteiro de como determinar umatransformação linear T : U→ V conhecendo-se uma base de U, {u1,u2, · · · ,un}, e n vetores de V ,{v1, v2, · · · , vn} , tais que T(ui) = vi para i = 1, 2, · · · ,n.

1. Certifique-que u1,u2, . . . ,un formam uma base de U;

2. Escreva um vetor genérico de u ∈ U como uma combinação linear de u1,u2, . . . ,un. Isto é,calcule escalares a1,a2, . . . ,an tais que

u = a1u1 + a2u2 + · · ·+ anun;

3. Escreva a equação T(u) = a1T(u1) + a2T(u2) + · · ·+ anT(un);

4. Faça a substituição T(ui) = v1 para i = 1, 2, · · · ,n.

5. Organize os cálculos e escreva a expressão para T(u), onde u é um vetor qualquer de U.

6.6 ExemploDada uma base qualquer de R2, por exemplo, β = {(1, 1), (−1, 1)}, e dois vetores quaisquer de R3,por exemplo, (1,−1, 1) e (0, 1, 2). O teorema anterior afirma que existe uma única transformaçãolinear T : R2 → R3 tal que

T(1, 1) = (1,−1, 1)

eT(−1, 1) = (0, 1, 2).

Além disso, como dado (x,y) ∈ R2, sempre vai existir escalares a1 e a2 únicos, tais que, (x,y) =a1(1, 1) + b1(−1, 1), então a transformação linear T é dada por

T(x,y) = a1T(1, 1) + b1T(−1, 1) = a1(1,−1, 1) + a2(0, 1, 2).

Dessa maneira, para encontrarmos uma fórmula para T basta apenas calcularmos os escalares a1

e a2. Isso pode ser feito, resolvendo-se o sistema

(x,y) = a1(1, 1) + b1(−1, 1).

Ou seja,

x = a1 − b1

y = a1 + b1.

Daí obtemos a1 =x+ y

2e a2 =

y− x

2. Dessa maneira,

T(x,y) =x+ y

2(1,−1, 1) +

y− x

2(0, 1, 2)

=

(x+ y

2,−x,

−x+ 3y2

).

Portanto, a transformação linear procurada é

T(x,y) =(x+ y

2,−x,

−x+ 3y2

).


6.7 Exercícios Propostos1. Seja T : R2 → R2 uma transformação linear tal que T(1, 0) = (1, 1) e T(0, 1) = (−1, 1).

(a) Determine T(x,y).

(b) Calcule T(2, 3).

2. Seja T : R3 → R3 uma transformação linear tal que T(1, 0, 0) = (2,−1, 1), T(1, 1, 0) =(−1, 2, 1) e T(1, 1, 1) = (1, 1,−2) .

(a) Determine T(x,y, z).

(b) Calcule T(2, 3, 1).

3. Seja Seja T : R3 → R tal que T(1,−1, 1) = 1, T(1, 0, 2) = 2 e T(1, 1, 1) = 3 . DetermineT(x,y, z).

4. Seja T : R4 → R2 uma transformação linear tal que T(1, 0, 0, 0) = (1, 1), T(1, 1, 0, 0) =(−1, 1), T(0, 1, 1, 0) = (1,−1) e T(0, 0, 1, 1) = (−1,−1) .

(a) Determine T(x,y, z, t).

(b) Calcule T(1, 2, 2, 3).

5. Seja T : P2(R)→ R3 uma transformação linear tal que T(1 + 2x+ x2) = (1, 2, 1), T(1 + x) =(1,−1,−2) e T(2) = (1, 0, 0). Determine T(a0 + a1x+ a2x

2).

6.8 Núcleo e ImagemDefinição (Núcleo e Imagem). Sejam U e V espaços vetoriais e T : U→ V uma transformaçãolinear.

1. O conjunto {u ∈ U; T(u) = 0v} é chamado de Núcleo de T e será denotado por Ker(T).

Figura 6.1: Cada vetor u ∈ Ker(T) é levado em 0v por T .

2. O conjunto {v ∈ V ; v = T(u) para algum u ∈ U} é chamado de Imagem de T e serádenotado por Im(T), ou simplesmente T(U).

Observe que tanto Ker(T) como Im(T) são conjuntos diferentes do vazio. Isto porque, comojá sabemos, T(0u) = 0v. Logo, cada um desses conjuntos têm pelo menos o elemento nulo. Dessaforma, é conveniente investigar se esses conjuntos possuem a estrutura de um espaço vetorial. Aresposta a essa pergunta é dada pelo Teorema 2.

6.9. Exemplos 59

Figura 6.2: Representação gráfica da imagem de T.

Teorema 2. Seja T : U → V uma transformação linear. Então, Ker(T) é um subespaço vetorialde U e Im(T) é um subespaço vetorial de V.Demonstração. Primeiro vamos mostrar que Ker(T) é um subespaço vetorial de U. Para isso,sejam u1 e u2 dois vetores quaisquer de Ker(T) e λ ∈ R. Vamos mostrar que u1 + λu2 ∈ Ker(T).De fato,

T(u1 + λu2) = T(u1) + λT(u2)

pois T é linear. Mas, como u1 e u2 pertencem a Ker(T), temos T(u1) = 0v e T(u2) = 0v. Daí,

T(u1 + λu2) = 0v + λ0v = 0v.

Logo, u1 + λu2 ∈ Ker(T) e, portanto, Ker(T) é um subespaço vetorial de U.Agora para mostrar que Im(T) é um subespaço vetorial de V , considere dois vetores genéricos v1

e v2 em Im(T). Daí, pela definição da Im(T), existem vetores u1 e u2 no domínio da transformaçãotais que

v1 = T(u1) e v2 = T(u2).

Assim, para todo λ ∈ R, temos

v1 + λv2 = T(u1) + λT(u2).

Como T é linear, entãov1 + λv2 = T(u1 + λu2).

Isso mostra que v1 + λv2 ∈ Im(T), pois é imagem do vetor u1 + λu2 ∈ U. Portanto, Im(T) é umsubespaço vetorial de V .

A seguir veremos como calcular o núcleo e a imagem de uma transformação linear por meio dealguns exemplos.

6.9 Exemplos1. Considere a transformação linear T : R2 → R4 definida por

T(x,y) = (x,y, x+ y, x− y).

Para determinar Ker(T) note que (x,y) ∈ Ker(T) se, e somente se, T(x,y) = (0, 0). Mas issoimplica em (x,y, x + y, x − y) = (0, 0, 0, 0). Logo, devemos ter x = 0, y = 0, x + y = 0 ex− y = 0. Obviamente, x = y = 0. Assim obtemos,

Ker(T) = {(0, 0)}.


Agora, para calcular Im(T), note que cada elemento de R4 que está na imagem de T é dadopela transformação T(x,y) = (x,y, x+ y, x− y). Assim, fazemos

(x,y, x+ y, x− y) = x(1, 0, 1, 1) + y(0, 1, 1,−1).

Dessa maneira,Im(T) = [(1, 0, 1, 1), (0, 1, 1,−1)].

2. Considere a transformação linear T : R3 → R2 definida por T(x,y, z) = (x,y). O vetor(x,y, z) ∈ Ker(T) se, e somente se, T(x,y, z) = (0, 0). Mas isso implica em (x,y) = (0, 0).Logo, devemos ter x = 0 e y = 0. Mas, não encontramos nenhuma restrição sobre a variávelz. Ou seja, z é livre. Assim obtemos,

Ker(T) = {(0, 0, z); z ∈ R}.

Já Im(T) pode ser obtida através de

T(x,y) = (x, z) = x(1, 0) + y(0, 1).

Logo,Im(T) = [(1, 0), (0, 1)] = R2.

6.10 Exercícios Propostos1. Para cada uma das transformações lineares dos exercícios da Seção 6

(a) Calcular Ker(T).

(b) Descrever Im(T).

2. Determine o núcleo e a imagem da transformação linear T : R4 → R2 definida por T(x,y, z,w) =(x− y,y− z, z−w).

3. Demonstre o Teorema 2.

6.11 Transformações Lineares Injetivas e SobrejetivasUma função T : U→ V é injetiva (ou injetora) se

T(x) = T(y)⇒ x = y, para todo x,y ∈ U.

Isto equivale a dizer que numa função injetiva as imagens de elementos distintos são distintas.Por outro lado, T é uma função sobrejetiva (ou sobrejetora) se Im(T) = V . Isto é, todo elemento

do contradomínio V é imagem de algum elemento do domínio U. Se uma função T é injetiva esobrejetiva, dizemos que T é bijetiva (ou bijetora).

Por exemplo, a função f : R → R dada por f(x) = x2 não é injetora, pois f(−2) = f(2) = 4.Ou seja, dois elementos distintos do domínio, -2 e 2, possuem a mesma imagem 4. Esta funçãotambém não é sobrejetiva, pois f(x) = x2 > 0 para todo x ∈ R. Logo, Im(f) = [0,∞) 6= R. Já afunção f : R→ R dada por f(x) = x3 é injetiva e sobrejetiva. Com efeito,

f(x) = f(y)⇒ x3 = y3 ⇒ x3 − y3 = 0⇒ (x− y)(x2 + xy+ y2) = 0

6.12. Exemplos 61

como x2 + xy + y2 > 0 sempre que x2 + y2 6= 0, então x − y = 0. Logo, x = y e portanto f éinjetora. É simples verificar que Im(f) = R, logo f é sobrejetiva.

A tarefa de identificar se uma função T é injetiva, em geral, é mais simples se T é uma trans-formação linear. Isso porque, conforme o Teorema 3 que será apresentado a seguir, o trabalho deidentificar se T é injetiva fica reduzido a calcular o Ker(T). Esta importante relação entre o núcleode uma transformação linear e o fato da mesma ser ou não injetiva é estabelecida pelo seguinteteorema:

Teorema 3. Seja T : U→ V uma transformação linear. Então, T é uma aplicação injetiva se, esomente se, Ker(T) = {0u}.

Demonstração. Primeiro, suponha que T é uma transformação linear injetiva e seja u ∈ Ker(T).Então, por definição T(u) = 0v. Mas, já sabemos que T(0u) = 0v. Assim, T(u) = T(0u). ComoT é injetiva, u = 0u. Como o vetor u foi tomado de modo arbitrário, segue que o único vetor noKer(T) é o vetor nulo 0u. Ou seja, Ker(T) = {0u}.

Por outro lado, suponha que Ker(T) = {0u} e sejam vetores quaisquer u1 e u2 em U, tais queT(u1) = T(u2). Vamos mostrar que u1 = u2. De fato, se T(u1) = T(u2), temos T(u1)−T(u2) = 0v.Mas, como T é linear, segue que T(u1−u2) = 0v. Logo, u1−u2 ∈ Ker(T). Mas, como Ker(T) = {0u},então u1 − u2 = 0u. Logo, u1 = u2. Portanto, de acordo com a definição de função injetiva, T éinjetiva.

6.12 Exemplos1. A transformação linear T : R2 → R2 definida por T(x,y) = (x+2y,y) é injetiva. Com efeito,

de acordo com a definição de núcleo (x,y) ∈ Ker(T) se, e somente se, T(x,y) = (0, 0). Masisso implica em (x + 2y,y) = (0, 0). Logo, x + 2y = 0 e y = 0 e assim obtemos, x = y = 0.Portanto, Ker(T) = {(0, 0)} e T é injetiva, segundo o teorema.

2. A transformação linear T : R3 → R definida por T(x,y, z) = x + y + z não é injetiva. Defato, de acordo com a definição de núcleo (x,y, z) ∈ Ker(T) se, e somente se, T(x,y, z) = 0.Mas isso implica em x+ y+ z = 0. De onde obtemos z = −x− y. Assim, as variáveis x e ysão livres e podem assumir qualquer valor real. Dessa forma

Ker(T) = {(x,y,−x− y); x,y ∈ R} 6= {(0, 0, 0)}.

Logo, T não é injetiva.

6.13 Exercícios Propostos1. Considere a transformação linear T : R3 → R3 definida por T(x,y, z) = (x, x, z− y).

(a) Determine Ker(T). T é injetiva?

(b) Determine uma base para Ker(T).

(c) Determine uma base para Im(T). Qual a dimensão de Im(T).


(d) T é sobrejetiva?

2. Sejam U e V espaços vetoriais e {u1,u2, ...,un} um conjunto de vetores linearmente inde-pendentes de U. Mostre que, se T : U → V é uma transformação linear injetiva, então{T(u1), T(u2), ..., T(un)} é um conjunto de vetores linearmente de V (Isto é, transformaçõeslineares injetivas levam conjunto LI em conjunto LI).

6.14 O Teorema do Núcleo e da Imagem. IsomorfismosO próximo teorema é um dos mais importantes da Álgebra Linear. Ele relaciona as dimensões donúcleo e da imagem de uma transformação linear T : U → V com a dimensão do espaço U (odomínio da transformação linear). Esse teorema traz consequências interessantes para a análisede transformações injetivas e sobrejetivas, como veremos nas próximas seções.

Teorema 4 (Teorema do Núcleo e da Imagem). Sejam U e V espaços vetoriais, sendo U dedimensão finita, e T : U→ V uma transformação linear. Então,

dim(Ker(T)) + dim(Im(T)) = dim(U).

Demonstração. AulaPara avaliarmos um pouco a importância do Teorema 4, considere uma transformação linear

T : R3 → R2. O Teorema do Núcleo e da Imagem afirma que

dim(R3) = 3 = dim(Ker(T)) + dim(Im(T)).

Isto é, a soma da dimensão do núcleo de T com a dimensão da imagem de T tem que ser exatamente3. Mas, como Im(T) ⊂ R2, a dimensão da imagem de T é no máximo igual a 2. Logo, a dimensãodo núcleo de T deve ser maior ou igual a 1. Portanto, Ker(T) 6= {0u}. Dessa maneira, concluimosque T não pode ser injetora. Esse raciocínio se aplica a todas as transformações lineares T : U→ V

tais que dim(U) > dim(V). No caso em que dim(U) = dim(V), temos o seguinte resultado:

Corolário 1. Sejam U e V espaços vetoriais de dimensão finita e T : U→ V uma transformaçãolinear. Se dim(U) = dim(V), então T é injetiva se, e somente se, T é sobrejetiva.

Definição (Isormorfismo). Sejam U e V espaços vetoriais.

1. Se T : U→ V é uma transformação linear bijetiva, T é chamada de isomorfismo.

2. Quando existe um isomorfismo T : U→ V , dizemos que U e V são espaços vetoriais isomorfose denotamos U ' V .

Espaços vetoriais isomorfos são essencialmente iguais. A diferença está apenas na forma derepresentação dos seus vetores e das operações de soma de vetores e mutiplicação de vetores porescalar. Espaços vetoriais isomorfos devem ter a mesma dimensão. Outras informações relevantessobre isomorfismos estão resumidas na Proposição 1.

Proposição 1. Seja T : U→ V um isomorfismo. Então,

6.15. Exemplos 63

Figura 6.3: Espaços isomorfos possuem a mesma estrutura vetorial

1. T leva uma base de U em uma base de V.

2. Existe a aplicação inversa T−1 : V → U que é linear e também é um isomorfismo.

A Proposição 1 apresenta uma caracterização importante dos isomorfismos: levar base embase. Isto é, todo isomorfismo T : U → V transforma uma base {u1,u2, ...,un} de U no conjunto{T(u1), T(u2), ..., T(un)} que é uma base de V . Dessa forma, considerando que U e V possuam amesma dimensão n, podemos determinar a transformação linear inversa T−1 : V → U definindo

T−1(T(u1)) = u1

T−1(T(u2)) = u2

... =...

T−1(T(un)) = un

e usando o roteiro apresentado pelo Teorema 1.

Além disso, de acordo com a Proposição 1 podemos dizer que espaços vetoriais isomorfospossuem a mesma dimensão. A recíproca dessa afirmação também é verdadeira. Ou seja, espaçosvetoriais que possuem a mesma dimensão finita são isomorfos. Dessa maneira, como podemos vernos exemplos a seguir, os espaços R4, P3(R) eM(2, 2) são espaços vetoriais isomorfos entre si já quetodos têm dimensão 4. Isso significa que, a menos dos seus elementos, esses espaços vetoriais sãoidênticos. Em outras palavras, apesar dos elementos de cada um desses espaços serem diferentes(de fato, matrizes e polinômios, por exemplo, são objetos matemáticos de naturezas distintas),os espaços vetoriais isomorfos possuem a mesma estrutura. São indistinguíveis. Dessa maneira,podemos dizer que conjuntos LI de um espaço, correspondem a conjuntos LI do outro espaço, porexemplo.

6.15 Exemplos1. Os espaços M(2, 2) e R4 são isomorfos. Com efeito, basta definir T : R4 →M(2, 2) por

T(x,y, z,w) =[x y

z w

].

É simples verificar que T é uma transformação linear e que Ker(T) = {(0, 0, 0, 0)}. Logo Té injetiva. Como os dois espaços possuem a dimensão, 4, então T também é sobrejetiva eportanto é um isomorfismo.


2. R4 ' P3(R). De fato, a aplicação T : P3(R)→ R4 dada por

T(a0 + a1x+ a2x2 + a3x

3) = (a0,a1,a2,a3,a4)

é um isomorfismo entre os dois espaços. Verifique!

3. SejaW = {(x,y, z) ∈ R3; z = 0}.W é isomorfo a R2. De fato, note queW = [(1, 0, 0), (0, 1, 0)]e que dim(W) = 2. Agora note que T : R2 → R3 definida por

T(x,y) = (x,y, 0)

é tal que Im(T) = W. Como dim(R2) = dim(W) = 2 = dim(Im(T)), então T é umisomorfismo entre R2 e W.

6.16 Exercícios Resolvidos1. Seja T : R3 → R3 dada por T(x,y, z) = (x, x+ y, x+ y+ z). Mostre que T é um isomorfismo

e determine T−1(x,y, z).

Resolução.

Mostrando que T é um isomorfismo. Primeiro vamos mostrar que T é injetiva. De fato,(x,y, z) ∈ Ker(T) se, e somente se, T(x,y, z) = (0, 0, 0). Logo, devemos ter (x, x+ y, x+ y+z) = (0, 0, 0). Ou seja,

x = 0x+ y = 0

x+ y+ z = 0.

Assim, x = y = z = 0, logo Ker(T) = {(0, 0, 0)} e portanto T é injetiva. Como T é umatranformação linear entre espaços de mesma dimensão, o Teorema do Núcleo e da Imagemgarante que T é também sobrejetiva, logo T é um isomorfismo.

Calculando T−1. Primeiro precisamos encontrar os valores de T em uma base do seu domíno,neste caso o R3. Vamos considerar a base canônica, {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}. Note que

T(1, 0, 0) = (1, 1, 1)T(0, 1, 0) = (0, 1, 1)T(0, 0, 1) = (0, 0, 1)

Como T é um isomorfismo, então os vetores (1, 1, 1), (0, 1, 1) e (0, 0, 1) formam uma base paraIm(T), que nesse caso é o próprio R3. De acordo com o Teorema 1, T−1 é a transformaçãolinear de R3 em R3 tal que

T−1(1, 1, 1) = T−1(T(1, 0, 0)) = (1, 0, 0)

T−1(0, 1, 1) = T−1(T(0, 1, 0)) = (0, 1, 0)

T−1(0, 0, 1) = T−1(T(0, 0, 1)) = (0, 0, 1)

Agora, tomamos um vetor (x,y, z) qualquer de Im(T) e escrevemos como combinação lineardos vetores, (1, 1, 1), (0, 1, 1) e (0, 0, 1) . Isto é, vamos calcular escalares a1, a2 e a3 tais que

(x,y, z) = a1(1, 1, 1) + a2(0, 1, 1) + a3(0, 0, 1).


Para isso, devemos resolver o sistema linear

x = a1

y = a1 + a2

z = a1 + a2 + a3

de onde obtemos, a1 = x, a2 = y− x e a3 = z− y. Daí,

T−1(x,y, z) = a1T−1(1, 1, 1) + a2T

−1(0, 1, 1) + a3T−1(0, 0, 1),

= a1(1, 0, 0) + a2(0, 1, 0) + a3(0, 0, 1),= x(1, 0, 0) + (y− x)(0, 1, 0) + (z− y)(0, 0, 1),= (x,y− z, z− y).

De onde obtemos T−1(x,y, z) = (x,y− z, z− y).

2. Sejam p1(t) = 1, p2(t) = 1 − t, p3(t) = 1 − t − t2 e p4(t) = 1 − t − t2 − t3 polinômios doespaço vetorial P3(R). Mostre que eles formam um conjunto linearmente independente.

Resolução.

Como P3(R) ' R4, podemos associar os polinômios dados ao seguinte conjunto de vetoresdo R4:

{(1, 0, 0, 0), (1,−1, 0, 0), (1,−1,−1, 0), (1,−1,−1,−1)}.

Como este é um conjunto de vetores LI do R4, então {p1(x),p2(x),p3(x),p4(x)} é um conjuntode vetores LI em P3(R).

6.17 Exercícios Propostos1. Mostre que nenhuma transformação linear T : R2 → R3 pode ser sobrejetiva.

2. Mostre que T : R3 → R3 definida por T(x,y, z) = (x − y, x + y, z) é um isomorfismo edetermine T−1(x,y, z).

3. Seja T : R → R3 definida por T(x) = (0, x, 0). Verifique que T é linear. Mostre que T é umisomorfismo de V em Im(T).

4. a) Determine uma transformação linear T : R3 → R4 tal que

KerT = {(x,y, z) ∈ R3; x+ y+ z = 0}.

b) Determine um subespaço de R4 isomorfo a KerT .

6.18 Exercícios Gerais1. Seja V = {(x,y, z, t) ∈ R4; x = 0 e y = 0} um subespaço de R4.

a) Determine uma base de V ;

b) Determine um subespaço W de R4 tal que R4 = V⊕W.

c) Encontre uma transformação linear de R4 em R2 tal que KerT = V .


d) Mostre que R2 é isomorfo a V .

2. Mostre que T : R2 → R2 é uma transformação linear se, e somente se, existem números reaisa,b, c e d tais que T(x,y) = (ax+ by, cx+ dy).

3. Seja A uma matriz de ordem m× n. Defina a aplicação TA : Rm×1 → R1×n por

TA(x) = Ax.

(a) Mostre que TA é uma transformação linear.

(b) Verifique a solução do sistema linear homogêneo é igual a Ker(T).

(c) Mostre que o sistema linear Ax = b tem solução se, e somente se, b ∈ Im(TA).

4. Seja V = C(R,R) o espaço vetorial das funções reais contínuas. Mostre que a função T :C(R)→ C(R) definida por

(Tf)(x) =

∫x0f(t)dt

é uma transformação linear.

5. Dados a ∈ R e o conjunto β = {(1,a), (−a, 1).

(a) Verifique β é uma base de R2 .

(b) Determine a transformação linear P : R2 → R2 tal que P(1,a) = (1,a) e P(−a, 1) =(0, 0)

(c) Determine a transformação linear R : R2 → R2 tal que R(1,a) = (1,a) e R(−a, 1) =(a,−1)

Observação. A aplicação P realiza a projeção do vetor (x,y) sobre a reta y = ax e R realizaa reflexão de (x,y) em torno dessa mesma reta.

7A Matriz de uma Transformação

Linear

7.1 IntroduçãoO objetivo deste tópico é possibilitar o trabalho com transformações lineares através do estudo dematrizes associadas a essas transformações. A abordagem do estudo de tranformações lineares viamatrizes é interessante por que, de um modo geral, os problemas fundamentais da álgebra linear,a resolução de sistemas lineares e cálculo de autovalores e autovetores, se reduzem ao trabalhocom matrizes. Além disso, em ambiente computacional o trabalho com matrizes costuma ser maissimples do que com funções algébricas.

Inicialmente note que dada uma matriz A de ordem m × n podemos definir uma aplicaçãoTA : Rn → Rm por

TA(x) = Ax (7.1.1)

para todo x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn. Para tornar compatível as operações matriciais o vetor x é

escrito como a matriz coluna x =

x1

x2...xn

.A aplicação TA definida em (7.1.1) é uma transformação linear. De fato, sejam x e y vetores

pertencentes ao Rn e α um escalar. Usando a definição de TA e as propriedades das operaçõesmatriciais, temos

TA(x+ αy) = A(x+ αy) = Ax+ αAy = TA(x) + αTA(y).

Ou seja, TA é linear. Dessa forma, a cada matriz A de ordem m × n podemos associar umatransformação linear TA : Rn → Rm. A recíproca dessa afirmação também é verdadeira. Isto é, acada transformação linear T : Rn → Rm podemos associar uma matriz A de ordem m× n.

A seguir veremos que esse resultado pode ser generalizado para transformações lineares quais-quer, entre espaços vetoriais de dimensão finita quaisquer. Também veremos um procedimentopara obter a matriz de uma transformação linear qualquer.

68 7. A Matriz de uma Transformação Linear

7.2 A Matriz de uma Transformação LinearSejam U e V espaços vetoriais sobre R, T : U→ V uma transformação linear, α = {u1,u2, . . . ,un}uma base U e β = {v1, v2, . . . , vm} uma base de V . Dessa forma, dado u ∈ U, existem únicosescalares a1, a2, . . ., an tais que

u = a1u1 + a2u2 + · · ·+ anun. (7.2.1)

Como T é linear, então obtemos

T(u) = a1T(u1) + a2T(u2) + · · ·+ anT(un). (7.2.2)

Mais adiante voltaremos as equações (7.2.1) e (7.2.2). Por enquanto, observe que como T(u1),T(u2), . . .,T(un) são vetores de V , então cada um deles pode ser escritos como uma combinaçãolinear dos vetores da base β = {v1, v2, . . . , vm}. Isto é, existem escalares aij, com 1 6 i 6 m e1 6 j 6 n tais que

T(u1) = a11v1 + a21v2 + · · ·+ am1vm

T(u2) = a12v1 + a22v2 + · · ·+ am2vm... =

... (7.2.3)T(un) = a1nv1 + a2nv2 + · · ·+ amnvm

Daí obtemos a matriz de coordenadas (ou vetor de coordenadas, já que possui uma únicacoluna), em relação a base β, de T(u1), T(u2),. . ., T(un). Isto é,

[T(u1)]β =

a11

a21...am1

, [T(u2)]β =

a12

a22...am2

, . . ., [T(un)]β =

a1n

a2n...

amn

.

Definição (Matriz de uma transformação linear). A matriz da transformação linearT : U → V em relação às bases α e β, denotamos [T ]αβ, é a matriz cujas colunas são formadaspelos elementos das matrizes de coordenadas [T(u1)]β, [T(u2)]β, . . . , [T(un)]β. Isto é,

[T ]αβ =

a11 a21 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

... . . . ...am1 am2 . . . amn

.

Exemplos

1. (Obtendo a matriz de uma transformação linear conhecendo-se as duas bases e atransformação linear.) Sejam α = {(1, 1), (−1, 1)} uma base R2, β = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}uma base de R3 e T : R2 → R3 a transformação linear definida por T(x,y) = (x, x + y,y).Determine a matriz de T em relação as bases α e β. Isto é, [T ]αβ.

7.2. A Matriz de uma Transformação Linear 69

Resolução. Por definição, [T ]αβ é a matriz cujas colunas são formadas pelos vetores [T(1, 1)]β e[T(−1, 1)]β, nessa ordem. Logo, precisamos calcular primeiro T(1, 1) e T(−1, 1) e em seguidaas suas coordendas em relação a base β.

1. Cálculo de T(1, 1) e de suas coordenadas na base β, [T(1, 1)]β.

Como T(1, 1) = (1, 2, 1), devemos calcular a1, a2 e a3, tais que,

(1, 2, 1) = a1(1, 1, 1) + a2(1, 1, 0) + a3(1, 0, 0),(1, 2, 1) = (a1 + a2 + a3,a1 + a2,a1).

Daí obtemos o sistema linear

a1 + a2 + a3 = 1a1 + a2 = 2

a1 = 1,

cuja solução é a1 = 1, a2 = 1 e a3 = −1. De onde obtemos [T(1, 1)]β =

11−1

.2. Cálculo de T(−1, 1) e de suas coordenadas na base β, [T(−1, 1)]β.

Como T(−1, 1) = (−1, 0, 1), devemos calcular a1, a2 e a3, tais que,

(−1, 0, 1) = a1(1, 1, 1) + a2(1, 1, 0) + a3(1, 0, 0),(−1, 0, 1) = (a1 + a2 + a3,a1 + a2,a1).

Analogamente, ao primeiro caso, resolvemos o sistema linear

a1 + a2 + a3 = −1a1 + a2 = 0

a1 = 1,

cuja solução é a1 = 1, a2 = −1 e a3 = −1 e obtemos [T(−1, 1)]β =

1−1−1

.3. Escrevemos a matriz de T .

Finalmente, temos a matriz

[T ]αβ =

−1 11 −1

−1 −1

.


2. Dado α = {e1, e2, e3, e4} a base canônica do R4 e β = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} uma base doR3, determinar a transformação linear T : R4 → R3 tal que

[T ]αβ =

1 2 3 0−1 0 1 15 4 0 −2

.

Resolução. Primeiro note que pela definição de [T ]αβ , temos:

[T(e1)]β =

1−15

, [T(e2)]β =

204

,[T(e3)]β =

310

e [T(e4)]β =

01−2

. Dessa ma-

neira, obtemos:

T(e1) = 1(1, 1, 1) + (−1)(0, 1, 1) + 5(0, 0, 1) = (1, 0, 5),T(e2) = 2(1, 1, 1) + 0(0, 1, 1) + 4(0, 0, 1) = (2, 2, 6),T(e3) = 3(1, 1, 1) + 1(0, 1, 1) + 0(0, 0, 1) = (3, 4, 4),T(e4) = 0(1, 1, 1) + 1(0, 1, 1) + (−2)(0, 0, 1) = (0, 1,−1).

Agora o problema se reduz a encontrar uma transformação linear T : R4 → R3 tal que

T(e1) = (1, 0, 5),T(e2) = (2, 2, 6),T(e3) = (3, 4, 4),T(e4) = (0, 1,−1).

Para isto, consideremos um vetor genérico do R4, isto é, (x,y, z,w) e vamos escrevê-lo comocombinação linear dos vetores da base α = {e1, e2, e3, e4}. Ou seja,

(x,y, z,w) = xe1 + ye2 + ze3 +we4.

Como T é linear, obtemos:

T(x,y, z,w) = xT(e1) + yT(e2) + zT(e3) +wT(e4),= x(1, 0, 5) + y(2, 2, 6) + z(3, 4, 4) +w(0, 1,−1),= (x+ 2y+ 3z, 2y+ 4z+w, 5x+ 6y+ 4z−w).

Portanto, a transformação linear procurada é

T(x,y, z,w) = (x+ 2y+ 3z, 2y+ 4z+w, 5x+ 6y+ 4z−w).

3. (Matriz da transformação Identidade é igual a matriz mudança de base.) Sejamα = {u1,u2, ...,un} e β = {v1, v2, ..., vn} duas bases distintas do espaço vetorial U e, T : U→U, a transformação linear identidade T(u) = u. Então a matriz de T em relação às bases αe β é igual a matriz de mudança de base, da base α para a base β. Ou seja, [T ]αβ = [I]αβ.

Demonstração. Como T é a tranformação identidade T(u) = u, então temos T(ui) = ui parai = 1, 2, ..,n. Dessa forma, quando calculamos as coordenadas de T(u1), T(u2), ..., T(un) na

7.2. A Matriz de uma Transformação Linear 71

base β = {v1, v2, ..., vn}, estamos, na verdade, calculando as coordenadas de u1,u2, ...,un nabase β = {v1, v2, ..., vn}. Ou seja,

T(u1) = u1 = a11v1 + a21v2 + ... + an1vn

T(u2) = u2 = a12v1 + a22v2 + ... + an2vn... =

...T(un) = un = a1nv1 + a2nv2 + ... + annvn

Assim, obtemos

[T ]αβ =

a11 a21 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

... . . . ...an1 an2 . . . ann

= [I]αβ.

4. Quando temos transformações lineares T : Rm → Rn e as bases α e β consideradas sãoas bases canônicas dos espaços envolvidos, então é comum representarmos a matriz datransformação T , simplesmente, por [T ]. Por exemplo, considere a transformação linearT : R3 → R2 definida por T(x,y, z) = (z − x, z − y). A matriz de T em relação as basescanônicas α = {e1, e2, e3} e β = {e1, e2} do R3 e R2, respectivamente, é a matriz

[T ] =

[−1 0 10 −1 1

].

5. Sejam T : P2(R)→ R3 definida por

T(a0 + a1t+ a2t2) = (a0,a1,a2),

α = {1, t, t2} base de P2(R) e β = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)} base de R3. Determinar [T ]αβ.

Resolução. Primeiro note que os polinômios 1, t e t2 podem ser reescritos, respectivamente,como polinômios de grau 2 da seguinte maneira : 1 = 1 + 0 · t+ 0 · t2, t = 0 · 1 + 1 · t+ 0 · t2

e t2 = 0 · 1 + 0 · t+ 1 · t2. Sendo assim, usando a regra da tranformação T dada, obtemos

T(1) = T(1 · 1 + 0 · t+ 0 · t2) = (1, 0, 0)

T(t) = T(0 · 1 + 1 · t+ 0 · t2) = (0, 1, 0)

T(t2) = T(0 · 1 + 0 · t+ 1 · t2) = (0, 0, 1).

Agora, para calcular as coordenadas desses vetores na base β do R3 precisamos resolver ossistemas lineares dados pelas seguintes equações:

(1, 0, 0) = a11(1, 0, 1) + a21(0, 1, 1) + a31(1, 1, 0),(0, 1, 0) = a12(1, 0, 1) + a22(0, 1, 1) + a32(1, 1, 0),(0, 0, 1) = a13(1, 0, 1) + a23(0, 1, 1) + a33(1, 1, 0).


Isto é, resolver os seguintes sistemas lineares:

a11 + a31 = 1a21 + a31 = 0a11 + a21 = 0,

a12 + a32 = 0a22 + a32 = 1a12 + a22 = 0,

a13 + a33 = 0a23 + a33 = 0a13 + a23 = 1.

De onde, obtemos, conforme definição da matriz de uma transformação linear, a matriz

[T ]αβ =

1/2 −1/2 1/2−1/2 1/2 1/21/2 1/2 −1/2

.

7.3 Exercícios Propostos1. Determine a matriz da tranformação em relação à base canônica da transformação linearT : R3 → R3 definida por T(x,y, z) = (z− x, z− y, z).

2. Seja T : R2 → R2 definida por T(x,y) = (xcosθ − ysenθ, xsenθ + ycosθ). Determine [T ]αβsendo α = {(1, 1), (−1, 1)} e β = {e1, e2}.

3. Determine a matriz de cada das seguintes tranformações lineares T : R2 → R2, em relação àbase canônica R2.

a) T(x,y) = c(x,y) para todo c ∈ R (Contração ou expansão).b) T(x,y) = (x,−y) (Reflexão em torno do eixo x ).c) T(x,y) = (−x,−y) (Reflexão na origem).d) T(x,y) = (x+ cy,y) para todo c ∈ R (Cisalhamento horizontal).

4. Seja T : P3 → R2 uma aplicação definida por

T(p(t)) = (p(0),p(1)).

a) Mostre que T é uma transformação linear.b) Calcule a matriz de T em relação as bases canônicas de P3 e R2.

5. Seja T : M(2, 2)→M(2, 2) uma aplicação definida por

T(X) =

[1 23 4

]X− X

[1 23 4

].


a) Mostre que T é uma transformação linear.b) Calcule a matriz de T em relação a base canônica de M(2, 2).

6. Seja T : P3 → P3 uma aplicação definida por

T(p(t)) = 2p(t) + (1 − t)p ′(t).

a) Mostre que T é uma transformação linear.b) Calcule a matriz de T em relação a base canônica de P3.c) Determine N(T) e Im(T).

Coordenadas de T(u) em relação a uma baseDada uma transformação linear T : U → V , em geral, é uma tarefa simples calcular a imagemT(u) de um vetor u do domínio. No entanto, para isso, é necessário que tenhamos conhecimentoda regra que define a transformação T .

Contudo, ainda que a transformação T não seja conhecida, mas se tivermos disponível a matrizde T em relação a bases α e β de U e V , respectivamente, podemos calcular o valor de T(u). Amaneira de como isso pode ser feito está especificado no próximo teorema. De fato, o Teorema 1revela como podemos calcular o vetor de coordenadas [T(u)]β. Uma vez que tenhamos calculadoessas coordenadas fica simples calcular o vetor T(u).

Teorema 1. Sejam U e V espaços vetoriais, α e β bases de U e de V , respectivamente, e T : U→ V

uma transformação linear. Então, para cada u ∈ U vale

[T(u)]β = [T ]αβ[u]α.

Demonstração. Considerando que α = {u1,u2, . . . ,un} e β = {v1, v2, . . . , vn} são as bases de Ue V , respectivamente. Basta voltarmos às equações (7.2.1), (7.2.2) e (7.3.1) do início do texto.Substituindo as equações (??) na equação (7.2.2), obtemos:

T(u) = a1(a11v1 + a21v2 + · · ·+ am1vm) + a2(a12v1 + a22v2 + · · ·+ am2vm)+ (7.3.1)+ · · ·+ an(a1nv1 + a2nv2 + · · ·+ amnvm). (7.3.2)

A equação (7.3.2) pode ser reescrita da seguinte maneira:

T(u) = (a1a11 + a2a12 + · · ·+ ana1n)v1 + (a1a21 + a2a22 + · · ·+ ana2n)v2+

= + · · ·+ (a1am1 + a2am2 + ... + anamn)vm. (7.3.3)

Daí, fazendo

b1 = a1a11 + a2a12 + ... + ana1n

b2 = a1a21 + a2a22 + ... + ana2n

... =...

bm = a1am1 + a2am2 + ... + anamn (7.3.4)

Obtemos, na forma matricial,b1

b2...bm

=

a11 a21 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

... . . . ...am1 am2 . . . amn

a1

a2...an

.


Mas, note de (1), (3) e de (5) que

a1

a2...an

= [u]α,

a11 a21 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

... . . . ...am1 am2 . . . amn

= [T ]αβ e que

b1

b2...bm

= [T(u)]β. Portanto, temos

[T(u)]β = [T ]αβ[u]α.

7.4 ExemploSeja α = {(1, 2), (−2, 1)} e β = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 1, 1)} bases de R2 e R3, respectivamente.

Suponha ainda que T é uma transformação linear de R2 em R3, tal que [T ]αβ =

−1 00 −12 0

.1. Se v é tal que [v]α =

[2−3

], calcule T(v).

2. Determine T(x,y).

Resolução.

1) Pelo Teorema 1, [T(v)]β = [T ]αβ[v]α. Como [T ]αβ =

−1 00 −12 0

e [v]α =

[2−3

], então

[T(v)]β =

−1 00 −12 0

[ 2−3

]=

−234

.

Ou seja, [T(v)]β =

−234

. Assim, como β = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 1, 1)}, obtemos

T(v) = −2(1, 1, 0) + 3(0, 1, 1) + 4(1, 1, 1) = (2, 5, 7).

2) Para calcularmos T(x,y) procederemos de maneira análoga ao item 1). No entanto, devemosconsiderar o vetor genérico v = (x,y). Assim, [v]α = [(x,y)]α.

Para calcularmos [(x,y)]α devemos resolver a equação

(x,y) = a(1, 2) + b(−2, 1)

que resulta no sistema linear

a− 2b = x

2a+ b = y

cuja solucão é a =x+ 2y

5e b =

−2x+ y5

. Assim, [(x,y)]α =

x+ 2y5

−2x+ y5

.

7.5. Exercícios 75

Agora, pelo Teorema 1, [T(x,y)]β = [T ]αβ[(x,y)]α. Dessa forma,

[T(x,y)]β =

−1 00 −12 0

x+ 2y

5−2x+ y

5

=

−x− 2y

52x− y

52x+ 4y

5

.

Por fim, como β = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 1, 1)}, obtemos

T(x,y) =−x− 2y

5(1, 1, 0) +

2x− y5

(0, 1, 1) +2x+ 4y

5(1, 1, 1),

e, portanto,

T(x,y) =(x+ 2y

5,

3x+ y5

,4x+ 3y

5

).

7.5 Exercícios1. (Boldrini) Sejam α = {(0, 2), (2,−1)} e β = {(1, 1, 0), (0, 0,−1), (1, 0, 1)} bases de R2 e R3. Se

[S]αβ =

2 04 00 −4

determine a expressão para S(x,y).

2. (Boldrini) Sejam α = {(1,−1), (0, 2)} e β = {(1, 0,−1), (0, 1, 2), (1, 2, 0)} bases de R2 e R3,respectivamente. Suponha que

[T ]αβ =

1 11 00 −1

.

a) Determine T(x,y).

b) Se S(x,y) = (2y, x− y,y), ache [S]αβ.

c) Ache uma base γ de R3 tal que

[T ]αγ =

1 00 00 1

.

7.6 Matriz da composição de tranformações linearesO próximo teorema estabelece que a matriz de uma composição de transformações lineares é igualao produto das matrizes das transformações envolvidas em relação as bases consideradas paraos seus respectivos domínios e contradomínios. Essa é uma das vantagens de se trabalhar comas matrizes de transformações lineares, pois o cálculo de produto de matrizes pode ser efetuadoeficientemente através de computadores. A figura 7.1 ilustra a composição de duas transformaçõeslineares T1 e T2 do teorema abaixo.


Teorema 2. Sejam T1 : U→ V e T2 : V →W transformações lineares e α, β e γ bases de U, V eW respectivamente. Então a aplicação composta de T1 com T2,

T2 ◦ T1 : U→W,

é uma transformação linear e[T2 ◦ T1]

αγ = [T2]

βγ · [T1]

αβ.

Figura 7.1: Matriz da composição de duas transformações lineares

Demonstração. Queremos mostrar que [T2◦T1]αγ = [T2]

βγ · [T1]

αβ. Para isso note que pelo Teorema

1 temos[(T2 ◦ T1)(u)]γ = [T2 ◦ T1]

αγ[u]α e [(T2(T1(u))]γ = [T2]

βγ[T1(u)]β. (7.6.1)

Como (T2 ◦ T1)(u) = (T2(T1(u)), segue que

[T2 ◦ T1]αγ[u]α = [T2]

βγ[T1(u)]β. (7.6.2)

Mas, por outro lado, também pelo Teorema 1, vem que

[T1(u)]β = [T1]αβ[u]α. (7.6.3)

Substituindo (7.6.3) em (7.6.2), obtemos:

[T2 ◦ T1]αγ[u]α = [T2]

βγ[T1]

αβ[u]α. (7.6.4)

Pela unicidade das coordenadas do vetor u em relação a base α, segue que

[T2 ◦ T1]αγ = [T2]

βγ[T1]

αβ,

como queríamos demonstrar.

Como consequência do Teorema 2 resulta que se T é uma transformação linear inversível,então a matriz da transformação inversa T−1 pode ser obtida calculando a matriz inversa damatriz de T . Isso é o que afirma o próximo corolário.

Corolário 1. Se T : U→ V é uma transformação linear inversível, ou seja T é um isomorfismo, eα e β são bases de U e V , então T−1 : V → U é uma transformação linear e

[T−1]βα =([T ]αβ

)−1 .


7.7 Exercícios Propostos1. Se S e T são transformações lineares tais que S(v) = T(v) = v, então mostre que S(T(v)) = v.

2. Em cada transformação linear T do R2 no R2, calcule T(T(x,y)).

a) T(x,y) = (−x,−y)

b) T(x,y) = (−y, x) ( T é rotação de 90o)

c) T(x,y) =(x+ y

2,x+ y

2

)3. Sejam S e T transformações lineares no plano x (R2) tais que S efetua uma reflexão em

relação ao eixo y e T seja uma reflexão em relação ao eixo x. Determine a transformaçãoS(T(v)).

4. (Boldrini) Sejam R, S e T três transformações lineares de R3 em R3.

Se [R] =

1 0 12 1 10 −1 1

e [S] =

−2 1 −13 1 21 −2 0

, determine a transformação T tal que R = S◦T .

5. (Boldrini) Se [R] =

[1 2−1 3

]e [S] =

[1 0 −12 1 1

], determine [R ◦ S].

6. (Boldrini) Se R(x,y) = (2x, x− y,y) e S(x,y, z) = (y− z, z− x), determine [R ◦ S] e [S ◦ R].

Matrizes Semelhantes

Seja T : U→ U uma transformação linear e considere α e β bases distintas de U. Então, podemosobter uma matriz de T em relação a base α, [T ]αα; e uma matriz de T em relação a base β, e [T ]ββ.Uma pergunta importante a se fazer sobre essas duas matrizes é a seguinte: qual a relação entreas matrizes [T ]αα e [T ]ββ?

Para responder a essa questão, considere a Figura 3.Note que as transformações identidade I1 e I2 possuem matrizes em relação as bases α e β,

[I1]βα e [I2]αβ, respectivamente. Note ainda que podemos escrever T como a transformação composta

T = I2 ◦ T ◦ I1.

Dessa forma, obtemos[T ]ββ = [I2 ◦ T ◦ I1]ββ.

Segue do Teorema 2 que[T ]ββ = [I2]

αβ[T ]

αα[I1]

βα.

Como [I1]βα = ([I2]

αβ)

−1, pois são matrizes mudança de base entre as bases α e β e vice-versa;fazendo P = [I2]

αβ, obtemos

[T ]ββ = P[T ]ααP−1.

Isto significa que as matrizes [T ]αα e [T ]ββ são matrizes semelhantes.

Dizemos que duas matrizes A e B de mesma ordem n são semelhantes, se existe uma matrizP, também de ordem n, invertível e tal que

A = P−1BP.


Matrizes semelhantes são importantes porque compartilham, entre outras propriedades, a depossuirem o mesmo determinante e os mesmos autovalores. No nosso contexto, isso significa que odeterminante da matriz [T ]αα é igual ao determinante da matriz [T ]ββ, que é igual ao determinanteda matriz da transformação T em qualquer base de U. A relevância desse resultado está no fato deque podemos determinar uma base de U na qual a matriz de T possa ser a mais simples possível.Por exemplo, uma matriz diagonal. O problema de determinar uma base do espaço vetorial Upara a qual a transformação linear T : U → U seja uma matriz diagonal é um problema centralnesse curso e será estudado mais adiante.

8Autovalores e Autovetores

8.1 IntroduçãoUma transformação linear T : V → V , ou seja T é uma transformação linear do espaço vetorialV nele mesmo, é comumente chamada de operador linear. Nesta seção estamos interessados emdescobrir quais vetores v do espaço vetorial V permanecem com a sua direção inalterada por umoperador linear T , isto é, quais vetores v ∈ V satisfazem a condição T(v) = λv, λ ∈ R. O par λ ∈ Re v ∈ V que satistazem essa condição são chamados de autovalor e autovetor, respectivamente.

8.2 Autovalores e AutovetoresDefinição (Autovalor e Autovetor). Seja T : V → V um operador linear. Se existirem umvetor v ∈ V , não nulo, e um escalar λ ∈ R tais que

T(v) = λv,

dizemos que λ é um autovalor de T e v é um autovetor de T associado ao autovalor λ.Observações

1. Na definição acima, λ ∈ R pode ser igual a zero, mas devemos ter sempre v 6= 0. Isto é, ovetor nulo nunca será autovetor, embora o número zero possa ser um autovalor.

2. Da equação T(v) = λv, podemos concluir intuitivamente que autovetores têm a sua direçãopreservada pela tranformação linear. Isto é, a ação da transformação linear T sobre umautovetor v, ou aumenta ou diminui o seu tamanho; ou muda o seu sentido.

3. Para cada autovalor λ de T , o subconjunto de V definido por

vλ = {v ∈ V ; T(v) = λv}

é um subespaço vetorial de V e é chamado de autoespaço de V associado a λ.

Autovalores e autovetores de uma matriz

Definição. Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que λ ∈ R é um autovalor de A,se existir v uma matriz coluna de ordem n× 1, não nula, tal que

Av = λv.

80 8. Autovalores e Autovetores

Observe que essa definição equivale a dizer que os autovalores e autovetores da matriz A sãoos autovalores e autovetores do operador linear TA : Rn → Rn definido por

TA(x) = Ax.

Por exemplo, os autovalores da matriz da matriz A =

[2 01 −3

]podem ser obtidos resolvendo-se

a equação[

2 01 −3

] [x

y

]= λ

[x

y

]. De onde obtemos o sistema não linear{

2x = λx

x− 3y = λy.

Resolvendo-se esse sistema não linear, determinamos os valores reais de λ, se existirem, e orespectivo autoespaço associado. Porém a solução de um sistema não linear, em geral, não é umatarefa simples. Uma maneira mais adequada para calcular os autovalores de um operador linearserá apresentado a seguir. Trata-se do polinômio característico de T .

8.3 Polinômio CaracteristicoDefinição. Seja A uma matriz de ordem n. A matriz

A− λI

é chamada de matriz característica de A na indeterminada λ. O determinante dessa matriz, istoé,

det(A− λI)

é um polinômio em λ chamado de polinômio característico de A.Prova-se que os autovalores da matriz A são exatamente as raízes reais do polinômio caracte-

rístico de A, ou seja, as raízes do polinômio

p(λ) = det(A− λI).

Agora se T : V → V é um operador linear e α é uma base de V , definimos o polinômiocaracterístico de T por

p(λ) = det([T ]αα − λI),

sendo [T ]αα a matriz de T em relação a base α.

Observações. O polinômio característico p(λ) de T independe da base α de V escolhida. Isto é,se β é outra base de V , então

det([T ]αα − λI) = det([T ]ββ − λI).

Dessa forma, para operadores lineares

T : Rn → Rn

sempre podemos escolher a base canônica {e1, e2, ..., en} e, assim, simplificarmos o cálculo da matriz[T ]αα. De um modo geral, independentemente da transformação linear T , é aconselhável a escolhada base canônica de V , pois o cálculo da matriz de T em relação a essa base costuma ser maissimples.

8.3. Polinômio Caracteristico 81

Exemplos

1. Determine os autovalores e autovetores da matriz A =

[2 01 −3

]Resolução.Primeiro, construimos a matriz característica de A.

A− λI =

[2 01 −3

]− λ

[1 00 1

]=

[2 − λ 0

1 −3 − λ

]Em seguida, calculamos o polinômio característico de A. Isto é, obtemos p(λ) = det(A−λI):

p(λ) = (2 − λ)(−3 − λ).

Cálculo dos Autovalores de AOs autovalores de A são as raízes de P(λ). Logo, devemos resolver a equação P(λ) = 0, queimplica em (2 − λ)(−3 − λ) = 0. Logo, λ = 2 ou λ = −3.Agora, para calcular os autovetores de T devemos resolver o sistema

Av = λv

ou o sistema(A− λI)v = 0,

onde zero representa a matriz coluna nula de ordem 2×1. Vamos utilizar o segundo sistema.Autovetores associados ao autovalor λ1 = 2. Resolveremos o sistema[

2 − λ 01 −3 − λ

] [x

y

]=

[00

]para λ = 2. Daí, obtemos o sistema linear homogêneo:[

2 − 2 01 −3 − 2

] [x

y

]=

[00

]⇒[

0 01 −5

] [x

y

]=

[00

].

De onde obtemos x− 5y = 0 o que implica x = 5y. Logo,

vλ1 = {(5y,y);y ∈ R} = [(5, 1)]

é o autoespaço associado ao autovalor λ1 = 2 e v = (5, 1) é um autovetor de A associado aλ1 = 2. Autovetores associados ao autovalor λ2 = −3.Resolveremos o sistema [

2 − λ 01 −3 − λ

] [x

y

]=

[00

]para λ = −3. Daí, obtemos o sistema linear homogêneo:[

2 − (−3) 01 −3 − (−3)

] [x

y

]=

[00

]⇒[

5 01 0

] [x

y

]=

[00

].

De onde obtemos 5x = 0 e x = 0. Logo, x = 0 e y é uma variável livre. Assim ,

vλ2 = {(0,y);y ∈ R} = [(0, 1)]

é o autoespaço associado ao autovalor λ1 = −3 e v = (0, 1) é um autovetor de A associadoa λ2 = −3.Note que o conjunto {(5, 1), (0, 1)} é uma base do R2 formada por autovetores de A.


2. Determine os autovalores e autovetores do operador linear T : R3 → R3 dado por T(x,y, z) =(x+ 2y+ 3z,−2y, z). Resolução.

Neste caso, primeiro devemos encontrar a matriz [T ]αα de T em relação à alguma base α deR3. Como o polinômio característico de T independe da base escolhida, vamos escolher abase canônica do R3. Assim temos

[T ] =

1 2 30 −2 00 0 1

.

Agora podemos construir a matriz característica de T , ou seja, a matriz característica de [T ].

[T ] − λI =

1 − λ 2 30 −2 − λ 00 0 1 − λ

,

de onde obtemos o polinômio característico de T

p(λ) = det([T ] − λI) = (1 − λ)2(−2 − λ).

Cálculo dos Autovalores de T

Os autovalores de T são as raízes de P(λ). Logo, devemos resolver a equação P(λ) = 0, queimplica em (1 − λ)2(−2 − λ) = 0. Logo, λ = 1 ou λ = −2. Assim, T possui dois autovaloresdistintos, que são λ1 = 1 e λ2 = −2.

Agora, para calcular os autovetores de T devemos resolver o sistema

[T ]v = λv

ou o sistema([T ] − λI)v = 0,

onde zero representa a matriz coluna nula de ordem 3×1. Vamos utilizar o segundo sistema.

Autovetores associados ao autovalor λ1 = 1. Resolveremos o sistema

([T ] − λI)v =

1 − λ 2 30 −2 − λ 00 0 1 − λ

xyz

=

000

com λ = 1.

Daí , obtemos o seguinte sistema linear homogêneo0 2 30 −3 00 0 0

xyz

=

000

.

Resolvendo o sistema homogêneo, obtemos as equações

2y+ 3z = 0 e − 3y = 0.

Logo, y = 0 o que implica z = 0 e a variável x é livre. Dessa forma, obtemos

vλ1 = {(x, 0, 0); x ∈ R} = [(1, 0, 0),


que é o autoespaço associado ao autovalor λ1 = 1. Já o vetor v = (1, 0, 0) é um autovetor deT associado a λ2 = 1.

Autovetores associados ao autovalor λ2 = −2.

Resolveremos o sistema

([T ] − λI)v = 0⇒

1 − λ 2 30 −2 − λ 00 0 1 − λ

xyz

=

000

com λ = −2. Daí, obtemos o sistema linear homogêneo3 2 3

0 0 00 0 3

xyz

=

000

.

Resolvendo o sistema, obtemos as equações

3x+ 2y+ 3z = 0 e 3z = 0.

Daí obtemos, z = 0 o que implica 3x+ 2y = 0. Assim,

y = −32x

e a variável x é livre. Dessa forma, obtemos

vλ2 = {(x,−3x2

, 0); x ∈ R} = [(1,−32

, 0)] = [(2,−3, 0)]

que é o autoespaço associado ao autovalor λ2 = −2. O vetor v = (2,−3, 0) é um autovetor deT associado a λ2 = −2, porém note que qualquer vetor do tipo (2k,−3k, 0) e um autovetorde T associado ao autovalor −2.

Note que o conjunto {(1, 0, 0), (2,−3, 0)}, apesar de ser um conjunto LI, não é uma base deR3 pois possui apenas dois vetores. Dessa maneira, concluimos que não existe uma base R3

formada por autovetores de T .

8.4 Exercícios Propostos

1. Calcule os autovalores e os autovetores da matriz A =

[1 −12 4

].

2. Dada a matriz A =

4 −3 30 1 42 −2 1

.a) Calcule os autovalores λ1, λ2 e λ3 de A.b) Verifique que λ1 + λ2 + λ3 é igual a soma dos elementos da diagonal de A (Traço da

matriz A).c) Verifique que λ1 · λ2 · λ3 é igual ao determinante de A.

3. Determine os autovalores e autovetores correspondentes das seguintes transformações linea-res.


(a) T : R2 → R2 definida por T(x,y) = (x,−y).(b) T : R2 → R2 definida por T(x,y) = (−x,−y).(c) T : R2 → R2 definida por T(x,y) = (x+ y, x− y).(d) T : R3 → R3 definida por T(x,y, z) = (x, x+ 2y, x+ y− 3z) .(e) T : R4 → R4 definida por T(x,y,w, z) = (x+ y+ z+w,−2y+ z+w, 3z+w, 2w).

4. Dado a matriz u =

1/61/63/65/6

.a) Construa a matriz P = u · uT .b) Mostre que P · u = u. Ou seja, λ = 1 é autovalor de P.c) Verifique que λ = 0 também é autovalor de P.d) Determine 3 autovetores linearmente independentes associados ao autovalor λ = 0.

5. Suponha que v é um autovetor de um matriz quadrada A com autovalor correspondenteλ. Isto é, Av = λv. Mostre que v também é autovetor da matriz A + I, sendo I a matrizidentidade com as mesmas dimensões da matriz A.

6. Aplicação a Ecologia - Matriz de Leslie. O crescimento de uma população com estru-tura etária pode ser projetado utilizando-se álgebra matricial. As matrizes de Leslie contêminformação sobre as taxas de natalidade e mortalidade de diferentes classes etárias de umapopulação e são uma forma robusta de calcular o crescimento populacional e fazer projeçõesda população para diferentes cenários. Suponha que um organismo vivo que pode viver aténo máximo 3 anos tem como matriz de Leslie

A =

0 0 812 0 00 1

4 0

.

Determine a matriz N =

n1

n2

n3

, tal queA ·N = N.

A matrizN é conhecida como o vetor de distribuição etária estável para a referida população.Isso significa que a população estruturada atingiu um estágio onde as taxas demográficassão constantes. Note que a matriz N é um autovetor da matriz A associado ao autovalorλ = 1.

8.5 Diagonalização de OperadoresO Objetivo desta seção é determinar uma base α do espaço vetorial V , em relação a qual amatriz do operador T : V → V é uma matriz diagonal. Veremos que uma base de V formada porautovetores de T satisfaz essa propriedade.

De fato, uma condição necessária para que um conjunto de vetores formem uma base paraum espaço vetorial V é que os mesmos formem um conjunto LI. O teorema a seguir mostra queautovetores associados a autovalores distintos são vetores linearmente independentes.

8.5. Diagonalização de Operadores 85

Teorema 8.5.1 Autovetores associados a autovalores distintos são linearmente independentes.

Demonstração. Vamos considerar caso em que T possui dois autovalores distintos. Suponhaque λ1 e λ2 são dois autovalores distintos do operador linear T : V → V ; e sejam v1 e v2 osautovalores associados a λ1 e λ2, respectivamente. Daí temos,

T(v1) = λ1v1 (8.5.1)T(v2) = λ2v2.

Para mostrar que {v1, v2} é um conjunto LI, vamos considerar a equação

a1v1 + a2v2 = 0. (8.5.2)

Dessa forma, temos

T(a1v1 + a2v2) = T(0),a1T(v1) + a2T(v2) = 0,

o que implica em

a1λ1v1 + a2λ2v2 = 0. (8.5.3)

Multiplicando a equação (8.5.2) por λ1, obtemos

a1λ1v1 + a2λ1v2 = 0. (8.5.4)

Daí, subtraindo as equações (8.5.3) e (8.5.4) uma da outra, obtemos

a2λ2v2 − a2λ1v2 = 0. ou seja, a2(λ2 − λ1)v2 = 0.

Como, por hipótese, λ2 6= λ1 e, por definição, v2 6= 0, então a2 = 0. Substituindo esse valor em(8.5.2) obtemos a1 = 0. Portanto, o conjunto {v1, v2} é LI.

De acordo com o Teorema 8.5.1, se em um espaço V de dimensão n, o operador linear T : V → V

possuir n autovalores distintos, então podemos garantir a existência de n autovetores linearmenteindependentes, e portanto, uma base de V formada por autovetores de T .

Teorema 8.5.2 Um operador linear T : V → V admite uma base α = {v1, v2, . . . , vn} em relaçãoa qual [T ]αα será uma matriz diagonal se, e somente se, essa base α é formada por autovetores deT .

Definição (Operador diagonalizável). Seja T : V → V um operador linear. Dizemos que Té um operador diagonalizável se existe uma base de V cujos elementos são autovetores de T .

Exemplos

1. O operador linear T : R2 → R2 dado por T(x,y) = (2x, x + 3y) é diagonalizável. De fato, amatriz de T em relação a base canônica de R2 é

[T ] =

[2 01 −3

].

Note que [T ] é igual a matriz A do Exemplo 1 da Seção 3.1. Logo, existe uma base de R2

formada por autovetores de T e, portanto, T é diagonalizável.


2. O operador linear T : R3 → R3 do Exemplo 2 da Seção 3.1 não é diagonalizável. Defato, não foi possível determinar uma base para o R3 formada por autovetores de T .

Definição (Matriz Diagonalizável). Dizemos que uma matriz A quadrada de ordem n édiagonalizável, se a transformação linear TA : Rn → Rn definida por

TA(v) = Av

é diagonalizável.Equivalentemente, dizemos que uma matriz A quadrada de ordem n é diagonalizável se existe

uma matriz P de ordem n, invertível e tal que

P−1AP

é uma matriz diagonal. Dizemos que a matriz P é a matriz que diagonaliza A.

Observação. No caso da matriz A de ordem n ser diagonalizável, existe uma base α de Rnformada por autovetores de A. Dessa forma, a matriz P que diagonaliza A é a matriz cujascolunas são os n autovetores que formam a base α.

Exemplos

1. A matriz A =

[2 01 −3

]é diagonalizável. De fato, do Exemplo 1 da Seção 3.1, (5, 1) e

(0, 1), vetores do R2, são autovetores de A linearmente independentes. Logo, a matriz

P =

[5 01 1

]cujas colunas são formadas pelos elementos desses vetores é uma matriz invertível, cujainversa é

P−1 =

[1/5 0−1/5 1

].

Além disso, temos que

P−1AP =

[1/5 0−1/5 1

] [2 01 −3

] [5 01 1

]=

[2 00 −3

]é uma matriz diagonal. Logo, P é a matriz que diagonaliza A. Portanto, A é diagonalizável.

8.6 Exercícios Propostos

1. Mostre que a matriz A =

[1 10 1

]não é diagonalizável.

2. Mostre que a matriz A =

[1 10 2

]é diagonalizável.

3. Dizemos que a matriz A é semelhante a matriz B se existe uma matriz invertível P tal que

P−1AP = B. Mostre que a matriz A =

[1 23 2

]é semelhante à matriz B =

[4 00 −1

].

8.7. Exercícios Gerais 87

4. A matriz A =

2 1 0 00 2 0 00 0 2 00 0 0 3

é diagonalizável?

5. Mostre que A =

3 0 00 2 −50 1 −2

não é diagonalizável.

8.7 Exercícios Gerais1. Diz-se que um operador linear T : V → V é idempotente se

T(T(v)) = T(v)

para todo v ∈ V .

(a) Seja T idempotente. Ache seus autovalores.

(b) Encontre uma matriz A de ordem 2, não nula, tal que TA : R2 → R2 seja idempotente.

(c) Mostre que um operador linear idempotente é diagonalizável.

2. Teorema de Cayley-Hamilton: Se T : V → V é um operador linear, α é uma base de Ve p(λ) é o polinômio característico de T , então

p([T ]αα = 0.

Sendo que o 0 representa a matriz nula.

(a) Seja T(x,y) = (x+ y,−y). Ache o polinômio característico p(λ) de T .

(b) Se [T ] é a matriz de T em relação à base canônica do R2 , verifique que p([T ]) = 0 .

(c) Se p(t) = t2 + at + bt = 0, então p(A) = A2 + aA + bI = 0, onde 0 é matriz nula deordem 2. Dessa forma, pode-se usar a equação

A2 = −aA− bI

para calcular A2. Use os resultados dos itens (a) e (b) e calcule as matrizes [T ]2 e [T ]3.

Espera-se que ao ter estudado essa seção você tenha adquirido as seguintes competências ehabilidades:

• Calcular os autovalores e autovetores de uma matriz quadrada de ordem n;

• Calcular os autovalores e os autovetores de um operador linear T ;

• Verificar se uma dada matriz é diagonalizável e obter a matriz P que diagonaliza a mesma;

• Verificar se um determinado operador linear é diagonalizável;

• Dado um operador T : V → V obter, quando existir, uma base de V formada por autovetoresde T .


8.8 RespostasExercícios 8.4

1.

2.

3. (a) λ1 = −1 e Vλ1 = {(0,y);y ∈ R}; λ2 = 1 e Vλ2 = {(x, 0); x ∈ R}(b) λ = −1 e Vλ = {(x,y); x,y ∈ R} = [(1, 0), (0, 1)] = R2.(c) λ1 = −

√2 e Vλ1 = {(x, (1 +

√2)x); x ∈ R} = [(1, 1 +

√2)]; λ2 =

√2 e Vλ2 = {(x, (

√2 −

1)x); x ∈ R} = [(1,√

2 − 1)].(d) λ1 = 1 e Vλ1 = {(−5y,y,−y);y ∈ R}; λ2 = 2, Vλ2 = {(0,y, 5y);y ∈ R}; λ3 = −3 e

Vλ3 = {(0, 0, z); z ∈ R}.(e) λ1 = 1 e Vλ1 = {(x, 0, 0, 0); x ∈ R}; λ2 = −2, Vλ2 = {(x,−3x, 0, 0); x ∈ R}; λ3 = 3 e

Vλ3 = {(x, 0, 2x, 0); x ∈ R}; λ4 = 2 e Vλ4 = {(5y,y, 0, 4y);y ∈ R}.

Exercícios 8.6

1. λ = 1 é o único autovalor do operador TA e o seu autoespaço associado é Vλ = {(x, 0); x ∈ R}.Logo, R2 não possui uma base formada por autovetores de TA. Assim, TA não é diagonalizávele portanto A não é uma matriz diagonalizável.

2. Considerando que a matriz A é a matriz na base canônica do operador linear TA : R2 → R2,

TA(v) = Av

onde v é um vetor coluna. Temos que λ = 1 e λ = 2 são autovalores distintos TA. Logo, TAé diagonalizável. Portanto, A é diagonalizável.

3. A matriz P que diagonaliza a matriz A é a matriz cujas colunas são formadas por autovetoreslinearmente independentes de A. Neste caso,

P =

[1 1

3/2 −1

].

Exercícios 8.7

1. (a) Sejam T um operador idempotente, λ um autovalor de T e v 6= 0 tal que T(v) = λv.Como T é idempotente vale a igualdade

T(T(v)) = T(v).

Substituindo, nessa equação, T(v) por λv , obtemos:

T(T(v)) = λv

T(λv) = λv

λT(v) = λv

λλv = λv

λ2v− λv = 0

(λ2 − λ)v = 0.

Como v 6= 0, então devemos ter λ2 − λ = 0; de onde obtemos λ = 0 e λ = 1.

8.8. Respostas 89

(b) Por exemplo, a matriz A =

[0 00 1

]satisfaz a condição solicitada.

2. (a) p(λ) = λ2 − 1.

(b) Como [T ] =

[1 10 −1

]e p(λ) = λ2 − 1, temos:

p(λ) = λ2 − 1

p([T ]) = [T ]2 − 1I2

p([T ]) =

([1 10 −1

])2

−

[1 00 1

]p([T ]) =

[1 10 −1

] [1 10 −1

]−

[1 00 1

]p([T ]) =

[1 00 1

]−

[1 00 1

]p([T ]) =

[0 00 0

].

(c) Calculando o polinômio característico na matriz [T ] obtemos p([T ]) = [T ]2 − I2. PeloTeorema de Cayley-Hamilton, p([T ]) = 0. Logo, devemos ter

[T ]2 − I2 = 0,

de onde obtemos [T ]2 = I2, como já foi verificado no item (b). Para calcular [T ]3, usamosa igualdade [T ]3 = [T ]2[T ]. Como [T ]2 = I2, então [T ]3 = I2[T ]. Logo, [T ]3 = [T ].

9Espaços com Produto Interno

9.1 IntroduçãoO espaço R3 possui características importantes que gostaríamos que fossem compartilhadas poroutros espaços vetoriais. Por exemplo, em R3 podemos calcular ângulo e distâncias entre doisvetores. Como esses conceitos são oriundos da geometria, dizemos de um modo geral, que o espaçoR3 possui uma geometria. Nesta seção, teremos como objetivo extender tais conceitos, naturais aoR3, para outros outros espaços vetoriais.

9.2 Produto internoDefinição (Produto interno). Seja V um espaço vetorial sobre R. Um produto interno sobre Vé uma função de V × V em R, denotamos 〈, 〉, que possui as seguintes propriedades:

(i) 〈u,u〉 > 0 e 〈u,u〉 = 0 se, e somente se, u = 0V .

(ii) 〈u, v〉 = 〈v,u〉 para quaisquer u, v ∈ V .

(iii) 〈u+w, v〉 = 〈u, v〉+ 〈w, v〉 para quaisquer u, v e w ∈ V .

(iv) 〈ku, v〉 = k〈u, v〉 para todo k ∈ R e para quaisquer u, v ∈ V .

Observações.

1. Um produto interno é uma função

〈〉 : V × V → R

que associa a cada par de vetor u e v de V o número real 〈u, v〉.

2. 〈0V , v〉 = 〈v, 0V〉 = 0 para todo v ∈ V .

3. 〈u,w+ v〉 = 〈u,w〉+ 〈u, v〉 para quaisquer u, v e w ∈ V .

92 9. Espaços com Produto Interno

Exemplos

1. Espaço Vetorial R3. Sejam x = (x1, x2, x3) e y = (y1,y2,y3) vetores quaisquer do R3. Afunção definida por

〈x,y〉 = x1y1 + x2y2 + x3y3

é um produto interno sobre R3.

Demonstração. Aula.

2. Espaço Vetorial Rn. Sejam x = (x1, x2, ..., xn) e y = (y1,y2, ..,yn) vetores quaisquer doRn. A função definida por

〈x,y〉 = x1y1 + x2y2 + ... + xnyn

é um produto interno sobre Rn. Este produto interno é chamado de produto internocanônico de Rn ou produto interno euclidiano.

3. Espaço Vetorial C[0, 1] (o espaço vetorial formado por todas as funções que sãocontínuas [0, 1]). Sejam f e g funções quaisquer de C[0, 1]. Isto é, f e g são funções contínuasno intervalo [0, 1] de R. A função definida por

〈f,g〉 =∫ 1

0f(t)g(t)dt

é um produto interno sobre C[0, 1], sendo também chamado de produto interno canônico deC[0, 1].

Demonstração. Primeiro lembre-se das seguintes propriedades da integral:

(a)

∫ba

[f(x) + g(x)]dx =

∫ba

f(x)dx+

∫ba

g(x)dx, (b)∫ba

kf(x)dx = k

∫ba

f(x)dx

e (c)

∫ba

f(x)dx > 0, sempre que f(x) > 0 em [a,b].

A propriedade (i) da definição de produto interno é satisfeita. De fato,

〈f, f〉 =∫ 1

0f(t)f(t)dt =

∫ 1

0[f(t)]2dt.

Como [f(t)]2 > 0 para todo t ∈ [0, 1], pela propriedade (c) das integrais, obtemos que∫ 1

0[f(t)]2dt > 0 e, portanto, 〈f, f〉 > 0.

Agora, se 〈f, f〉 = 0, então temos∫ 1

0[f(t)]2dt = 0. Daí, f(t) = 0 para todo t ∈ [0, 1] e,

portanto, f = 0. Isto é, f é a função que se anula em todo ponto de [0, 1].

Para provarmos que a propriedade (ii) é válida, basta atentarmos para o fato de que valea comutatividade para o produto de números reais. Isto é, f(x)g(x) = g(x)f(x) para todo xreal. Daí, temos

〈f,g〉 =∫ 1

0f(t)g(t)dt =

∫ 1

0g(t)f(t)dt = 〈g, f〉.

9.3. Exercícios 93

A propriedade (iii) da definição de produto interno pode ser verificada fazendo uso dapropriedade (a) das integrais. De fato, dadas funções f,g,h ∈ C[0, 1] temos

〈f+ g,h〉 =∫ 1

0[f+ g](t)h(t)dt =

∫ 1

0[f(t) + g(t)]h(t)dt =

∫ 1

0[f(t)h(t) + g(t)h(t)]dt

=

∫ 1

0f(t)h(t)dt+

∫ 1

0g(t)h(t)dt

= 〈f,h〉+ 〈g,h〉.

Por fim, a propriedade (iv) pode ser verificada fazendo uso da propriedade (b) das inte-grais. De fato, dadas uma constante real k e uma função f ∈ C[0, 1], segue da propriedade(b) das integrais e da definição deste produto interno

〈kf,g〉 =∫ 1

0(kf)(t)g(t)dt =

∫ 1

0kf(t)g(t)dt = k

∫ 1

0(f)(t)g(t)dt = k〈f,g〉.

Portanto, comos as propriedades (i)-(iv) da definição de produto são satisfeitas, então

〈f,g〉 =∫ 1

0f(t)g(t)dt

é um produto interno sobre C[0, 1].

Observação. De um modo geral,

〈f,g〉 =∫ba

f(t)g(t)dt

é um produto interno sobre o espaço vetorial C[a,b].

4. Espaço Vetorial M(m,n). Seja X uma matriz quadrada de ordem n. Chama-se traço damatriz X, denotamos tr(X), a soma dos termos de sua diagonal principal. Isto é,

tr(X) = x11 + x22 + ... + xnn =

n∑i=1

xii.

Sejam A e B matrizes quaisquer de M(m,n). Isto é, A e B são matrizes de ordem m × n.A função definida por definida por

〈A,B〉 = tr(BTA) =n∑i

(BTA)ii

é um produto interno sobre M(m,n).

Demonstração. Exercício.

9.3 Exercícios1. Considerando o produto interno euclidiano definido no Exemplo 1, calcule em cada caso,〈u, v〉, 〈u,u〉 e 〈v, v〉.

a) u = (1, 1,−1) e v = (2, 1, 5).


b) u =

(−

√2

2, 0,√

22

)e

(√3

3,√

33

,√

33

).

c) u = (1, 1, 3, 2) e v = (−2, 1, 4, 0).

2. Considerando o produto interno euclidiano definido no Exemplo 1, determine todos osvetores (x,y, z) ∈ R tais que 〈(x,y, z), (1,−1, 0)〉 = 0.

3. Considere o espaço vetorial das funções contínuas no intervalo [−π,π]. Defina para esteintervalo o produto interno

〈f,g〉 =∫π−π

f(t)g(t)dt.

Sendo f(x) = sen(2x) e g(x) = cos(3x), mostre que 〈f,g〉 = 0.

4. Considere o espaço vetorial das funções contínuas no intervalo [−1, 1]. Defina para esteintervalo o produto interno

〈f,g〉 =∫ 1

−1f(t)g(t)dt.

Sendo f(x) = x e g(x) = x2, determine 〈f,g〉, 〈f, f〉 e 〈g,g〉.

5. Dadas as matriz A =

1 −1−1 10 1

e B =

1 11 11 0

. Use o produto interno definido no Exemplo

4 para calcular

a) 〈A,B〉b) 〈A,A〉c) 〈B,B〉

9.4 NormaDefinição (Norma). Seja V um espaço vetorial com produto interno. Para cada v ∈ V , definimosa norma de v, denotamos ||v||, como sendo o número real

||v|| =√〈v, v〉.

Observações.

1. ||v|| =√〈v, v〉 ⇐⇒ ||v||2 = 〈v, v〉.

2. Se v ∈ V é tal que ||v|| = 1, dizemos que v é unitário.

3. Sendo V um espaço vetorial com produto interno segue, diretamente das definições de pro-duto interno e de norma, as seguintes propriedades:

(i) ||v|| > 0 e ||v|| = 0 se, e somente se, v = 0.

(ii) ||k · v|| = |k| · ||v|| para todo k ∈ R e para todo v ∈ V .

9.4. Norma 95

Exemplos

1. Considerando o espaço vetorial R2 com o produto interno euclidiano as normas dos vetoresx = (1,−1) e y = (−2,−3) são respectivamente,

||x|| =√〈x, x〉 =

√〈(1,−1), (1,−1)〉 =

√12 + (−1)2 =

√2,

||y|| =√〈y,y〉 =

√〈(−2,−3), (−2,−3)〉 =

√(−2)2 + (−3)2 =

√13.

2. No espaço das funções polinomiais de grau menor ou igual a 2, P2(R), definidas no intervalo[0, 1], podemos considerar o produto interno

〈f,g〉 =∫ 1

0f(t)g(t)dt.

De fato, toda função polinômial de grau menor ou igual a 2 é também uma função contínua.Assim, dado o polinômio p(x) = x2 − 2 ∈ P2(R), em relação a esse produto interno temos

||p(x)||2 = 〈p(x),p(x)〉 =∫ 1

0(x2 − 2)(x2 − 2)dx =

∫ 1

0(x4 − 4x2 + 4)dx =

4315

.

A Desigualdade de Cauchy-Shwarz.

Seja V um espaço vetorial com produto interno. Então,

|〈u, v〉| 6 ||u|| · ||v|| (9.4.1)

para quaisquer u, v ∈ V . A igualdade vale se, e somente se, u e v forem vetores linearmentedependentes.


A Desigualdade de Cauchy-Schwarz tem aplicações em vários ramos da matemática. Nestaseção, essa desigualdade será utilizada para demonstrar outra desigualdade muito importante, aDesigualdade Triangular, e também para estabelecermos a definição de ângulo entre dois vetores.

A Desigualdade Triangular

Sabe-se da Geometria Euclidiana que se a, b e c são as medidas dos lados de um triânguloqualquer, então

a < b+ c.

Isto é, a medida de um dos lados é sempre inferior à soma das medidas dos outros dois lados. Umaversão deste resultado para vetores será apresentada a seguir.

Desigualdade Triangular. Seja V um espaço vetorial com produto interno. Então,

||u+ v|| 6 ||u||+ ||v|| (9.4.2)

para quaisquer u, v ∈ V .Demonstração. Aula.


Ângulo entre dois vetores

Sejam u e v dois vetores não nulos do espaço vetorial com produto interno V . Da desigualdade deCauchy-Shwarz temos que

|〈u, v〉| 6 ||u|| · ||v||

para quaisquer u, v ∈ V . Efetuando a divisão dessa desigualdade pelo número real positivo ||u||·||v||,obtemos

|〈u, v〉|||u|| · ||v||

6 1. (9.4.3)

Devido à propriedade de módulo de números reais, a equação (9.4.3) pode ser reescrita doseguinte modo

−1 6〈u, v〉

||u|| · ||v||6 1. (9.4.4)

Por outro lado, sabemos que a função cos(t) é tal que

−1 6 cos(t) 6 1. (9.4.5)

Além disso, para t variando de 0 até π radianos, a função cos(t) assume cada valor do intervalo[−1, 1] uma única vez. Portanto, existe um ângulo t ∈ [0,π] tal que

cos(t) =〈u, v〉

||u|| · ||v||. (9.4.6)

Este ângulo t é chamado de ângulo entre os vetores u e v.

Ortogonalidade

Note que da igualdade (9.4.6)

cos(t) = 0⇐⇒ 〈u, v〉||u|| · ||v||

= 0⇐⇒ 〈u, v〉 = 0.

Além disso, cos(t) = 0, no intervalo [0,π] se, e somente se, t =π

2. Dessa forma, é conveniente

a seguinte definição de ortogonalidade entre dois vetores u e v:

Definição (Vetores Ortogonais). Seja V um espaço com produto interno. Dizemos que doisvetores u e v são ortogonais se 〈u, v〉 = 0, e denotamos u ⊥ v.

Exemplos

1. No Espaço Vetorial R3 considere os vetores x = (1,−1, 0) e y = (1, 1, 1) e o produto internousual. Calculando 〈x,y〉, obtemos

〈x,y〉 = 1× 1 + (−1)× 1 + 0× 1 = 0.

Assim, os vetores x e y são ortogonais.

9.4. Norma 97

2. Podemos verificar facilmente que os vetores e1, e2, ..., en da base canônica do Rn são doisa dois ortogonais, segundo o produto interno usual.

3. No Espaço Vetorial C[0,π] considere as funções f(x) = senx e g(x) = cosx.

〈f,g〉 =∫π

0f(x)g(x)dx

=

∫π0sen(x)cos(x)dx

=

∫π0

22sen(x)cos(x)dx =

12

∫π0

2sen(x)cos(x)dx

=12

∫π0sen(2x)dx

= 0.

Logo, o conjunto {sen(x), cos(x)} é um conjunto ortogonal de C[0,π].

Base Ortogonal e Base Ortornormal

Vetores ortogonais são linearmente independentes. Este fato será estabelecido pelo próximo teo-rema.

Teorema 1. Seja V um espaço vetorial com produto interno e {v1, v2, ..., vn} um conjunto devetores de V dois a dois ortogonais. Então, {v1, v2, ..., vn} é um conjunto linearmente independentes.


Definição (Base Ortogonal). Uma base β = {v1, v2, ..., vn} de V é dita ser uma base ortogonalse os vetores de β são dois a dois ortogonais. Isto é, β = {v1, v2, ..., vn} é uma base ortogonal de Vse

〈vi, vj〉 = 0

para todo i 6= j.

Definição (Base Ortonormal). Uma base β = {v1, v2, ..., vn} de V é dita ser uma baseortonormal se β é uma base ortogonal e os seus vetores são unitários. Isto é, β = {v1, v2, ..., vn} éuma base ortonormal de V se

〈vi, vj〉 ={

0, se i 6= j1, se i = j.

Coefiecientes de Fourier

Se V é um espaço vetorial com produto interno e β = {v1, v2, ..., vn} é uma base ortogonal de V ,então cada vetor v ∈ V pode ser escrito como

v =〈v, v1〉〈v1, v1〉

v1 +〈v, v2〉〈v2, v2〉

v2 + ... +〈v, vn〉〈vn, vn〉

vn (9.4.7)

Os coeficientes〈v, vi〉〈vi, vi〉

para cada i = 1, 2, ...,n são chamados de coeficientes de Fourier. Note

que no caso de β = {v1, v2, ..., vn} ser uma base ortornormal, como os vetores vi são unitários,então a combinação linear de v fica


v = 〈v, v1〉v1 + 〈v, v2〉v2 + ... + 〈v, vn〉vn. (9.4.8)

Exemplos

1. As bases canônicas {e1, e2} de R2, {e1, e2, e3} de R3,....,{e1, e2, ..., en} de Rn são exemplos debases ortornormais, onde esses espaços são considerados com o produto interno usual.

2. Considere os vetores u = (

√2

2,√

22

, 0), v = (−

√2

2,√

22

, 0) e w = (0, 0, 1)} de R3.

〈u, v〉 =√

22× (−

√2

2) +

√2

2×√

22

+ 0× 0 = 0

〈u,w〉 =√

22× 0 +

√2

2× 0 + 0× 1 = 0

〈v,w〉 = −

√2

2× 0 +

√2

2× 0 + 0× 1 = 0

Logo os vetores u, v e w são dois a dois ortogonais, e assim o conjunto {u, v,w} é umabase ortogonal de R3. Além disso, pode ser facilmente verificado que que esses vetores sãounitários. Dessa forma, a base {u, v,w} é ortonormal.

Sabendo-se que essa base é ortonormal, o vetor x = (1, 1, 1) pode ser escrito como combinaçãolinear dessa base do seguinte modo

x = 〈x,u〉u+ 〈x, v〉v+ 〈x,w〉w.

Efetuando os cálculos dos coeficientes de Fourier, obtemos

〈x,u〉 = 1×√

22

+ 1×√

22

+ 1× 0 =√

2

〈x, v〉 = 1× (−

√2

2) + 1×

√2

2+ 1× 0 = 0

〈x,w〉 = 1× 0 + 1× 0 + 1× 1 = 1

Portanto, x escrito como combinação linear dos vetores u, v e w fica

x =√

2u+ 0v+ 1w,

=√

2u+w.

Exercícios Propostos

1. Dados os vetores u = (1, 1, 1, 1) e v = (1, 2, 3, 4) do R4, use o produto interno canônico paracalcular

9.4. Norma 99

a) 〈u, v〉

b) ||u||

c) ||v||

d) O ângulo entre u e v.

2. Determine a norma de p(t) = t2 − t+ 2, usando o produto interno usual de C[0, 1].

3. Definimos a distância entre os vetores u e v como sendo o número real dado por

d(u, v) = ||u− v||.

a) Calcule a distância entre os vetores u e v do item (1).

b) Mostre que d(u, 0) = ||u|| para todo u ∈ V .

4. Seja V um espaço vetorial com produto interno. Mostre que

||u+ v||2 = ||u||2 + 2〈u, v〉+ ||v||2,

e que||u− v||2 = ||u||2 − 2〈u, v〉+ ||v||2.

5. Sejam V um espaço com produto interno e vetores u e v de V tais que ||u|| = 1, ||v|| = 2 e||u− v|| = 5. Determine 〈u, v〉.

6. Mostre que, em um espaço vetorial com produto interno V ,

14||u+ v||2 −

14||u− v||2 = 〈u, v〉.

7. Mostre que os vetores v e u−〈u, v〉||v||2

v são ortogonais.

8. Mostre que||u+ v||2 = ||u||2 + ||v||2 + 2||u||× ||v||cos(θ).

( Lei dos cossenos)

9. Se u e v são vetores ortogonais, mostre que

a) ||u+ v||2 = ||u||2 + ||v||2

b) ||u+ v|| = ||u− v||

10. Seja V um espaço vetorial com produto interno a α = {v1, v2, v3} uma base ortonormal de V .Seja T : V → V uma transformação linear. Mostre que

[T ]αα =

〈T(v1), v1〉〈T(v2), v1〉〈T(v3), v1〉〈T(v1), v2〉〈T(v2), v2〉〈T(v3), v2〉〈T(v1), v3〉〈T(v2), v3〉〈T(v3), v3〉

.


9.5 Processo de Ortogonalização de Gram-SchmidtEsse processo gera uma base ortonormal do espaço vetorial V a partir de uma base qualquer.

Seja α = {u1,u2, ...,un} uma base qualquer do espaço vetorial V . Primeiro o processo gera umabase β = {v1, v2, ..., vn} ortogonal, do seguinte modo:

v1 = u1

v2 = u2 −〈u2, v1〉〈v1, v1〉

v1

v3 = u3 −〈u3, v2〉〈v2, v2〉

v2 −〈u3, v1〉〈v1, v1〉

v1

... =... (9.5.1)

vn = un −〈un, vn1〉〈vn−1, vn−1〉

vn−1 − ... −〈un, v2〉〈v2, v2〉

v2 −〈un, v1〉〈v1, v1〉

v1.

Em seguida, normalizando cada um dos vetores vi, isto é, fazendo w1 =v1

||v1||, w2 =

v2

||v2||,....,

wn =vn

||vn||, obtemos o conjunto

γ = {w1,w2, ...,wn}

que é uma base ortonormal de V .

Exemplos

1. Use o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para obter uma base ortonormal de R3

a partir da base {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}.

9.6 Complemento OrtogonalSeja V um espaço vetorial com produto interno e S um subconjunto não vazio de V . O comple-mentar ortogonal de S em V é o conjunto

S⊥ = {v ∈ V ; v ⊥ u, para todo u ∈ S}.

Isto é, S⊥ é formado por todos os vetores de V que são ortogonais a todos os vetores de S.

Observações.

1. S⊥ é um subespaço vetorial ( ainda que S não seja).

2. Quando S também é um subespaço vetorial de V , temos

V = S⊕ S⊥.

3. {0}⊥ = V e V⊥ = {0}


Exemplos

1. Seja S = {(x, x); x ∈ R} = [(1, 1)]. Para determinar o complemento ortogonal de S devemosdeterminar todos os vetores (x,y) ∈ R2 tal que

〈(x,y), (1, 1)〉 = 0.

Daí, obtemos x+ y = 0, o que implica y = −x. Sendo assim, obtemos

S⊥ = {(x,−x); x ∈ R} = [(1,−1)].

2. Seja W o subespaço de R4 gerado pelo vetores (1, 1,−1, 0) e (−1, 1, 0, 1). Determinar W⊥.

Resolução. Precisamos determinar todos os vetores (x,y, z,w) ∈ R4 tais que

〈(x,y, z,w), (1, 1,−1, 0)〉 = 0,〈(x,y, z,w), (−1, 1, 0, 1)〉 = 0.

Daí, obtemos

x+ y− z = 0,−x+ y+w = 0.

De onde obtemos, z = x+ y e w = x− y. Assim,

W⊥ = {(x,y, x+ y, x− y); x,y ∈ R} = [(1, 0, 1, 1), (0, 1, 1,−1)].

9.7 Exercícios Propostos1. Seja β = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}. Use o processo de Gram-Schmidt para obter uma base

ortonormal de R3, em relação ao produto interno usual.

2. Seja β = {(1, 1, 1), (1,−1, 1), (1, 1,−1)}. Use o processo de Gram-Schmidt para obter umabase ortonormal de R3, em relação ao produto interno usual.

3. Determine uma base ortonormal, em relação ao produto interno usual, para o subespaço

W = {(x,y, z) ∈ R3; x− y+ z = 0}.

4. W ∈ R3 o subespaço gerado pelos vetores (1, 0, 1) e (1, 1, 0). Determine uma base para W⊥(usando o produto interno usual).

5. Considere o subespaço W ∈ R3 gerado pelos vetores u = (1, 0, 0), v = (0, 1, 1) e w =(1,−1,−1). Considerando o produto interno usual do R3

a) Determine W⊥;

b) Determine uma transformação linear T : R3 → R3 tal que Im(T) =W e Ker(T) =W⊥.

6. Seja T : R3 → R3 um operador linear definido por

T(x,y, z) = (x, x− y,−z).

e W = Ker(T). Usando o produto interno usual, determine uma base ortonormal para W⊥.


9.8 Exercícios Gerais1. No espaço vetorial P2(R).

(a) Mostre que a função que a função

〈a0 + a1x+ a2x2,b0 + b1x+ b2x

2〉 = a0b0 + a1b1 + a2b2

é um produto interno.

(b) Mostre que {1, x, x2}, a base canônica de P2(R), é ortonormal em relação a esse produtointerno.

(c) Mostre que {1, x, x2}, a base canônica de P2(R), não é ortonormal em relação ao produtointerno canônico de C[0, 1].

(d) Use o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para ortogonalizar a base {1, x, x2}

em relação ao produto interno canônico de C[0, 1].

2. Considere em R3 o produto interno definido por

〈(x1, x2, x3), (y1,y2,y3)〉 = x1y1 + 5x2y2 + 2x3y3.

a) Verifique que 〈, 〉 é mesmo um produto interno.

b) Verifique que o conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} não é ortogonal em relação a esseproduto interno.

c) A partir da base {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}, obtenha uma base ortonormal para R3, emrelação a esse produto interno.

3. Sejam A e B matrizes de M(2, 2).

a) Verifique que 〈A,B〉 = tr(BTA) é mesmo um produto interno em M(2, 2). (Veja adefinição da função traço na seção de exemplos 2.1)

b) Determine uma base ortonormal, segundo esse produto interno, a partir da base{[1 00 1

],[

1 10 0

],[

1 01 1

],[

1 11 1

]}.

9.9 RespostasExercícios da Seção 9.4

1. (a) 10.

(b) 2.

(c)√

30.

(d) θ = arccos(√

30/6).

2. ||p(t)|| =√

101/30.

3. (a)√

14.

(b) Como d(u, v) = ||u− v||, então d(u, 0) = ||u− 0|| = ||u||, para todo u ∈ V .

9.9. Respostas 103

4. Sugestão: desenvolva o lado direito das igualdades ||u + v||2 = 〈u + v,u + v〉 e ||u − v||2 =〈u− v,u− v〉.

5. 〈u, v〉 = −10.

6. Sugestão: Use o exercício 4.

7. Sugestão: mostre que o produto interno entre os dois vetores dados é igual a zero.

10Operadores Especiais

10.1 IntroduçãoNesta seção serão estudados dois tipos de operadores especiais. Trata-se do operador simétrico edo operador ortogonal. Esses operadores possuem interessantes propriedades teóricas e são muitoutilizados na modelagem e resolução de vários problemas práticos.

Uma boa característica desses operadores é que as suas matrizes, em relação à qualquer base or-tonormal do espaço, são tipos bem especiais de matrizes. Por isso, antes de estudar tais operadores,começaremos revendo os conceitos e propriedades de matrizes simétricas e matrizes ortogonais.

Definição. Seja A uma matriz quadrada de ordem n e AT a sua transposta. Dizemos que Aé uma matriz simétrica se

AT = A

e que A é uma matriz ortogonal se

ATA = AAT = In.

Observe que a matriz inversa de uma matriz ortogonal é sua transposta.

Propriedades das matrizes ortogonais

As propriedades a seguir apresentam outras caracterizações de matrizes ortogonais e facilitam atarefa de determinar se uma dada matriz é ou não ortogonal.

1. Se A é uma matriz ortogonal de ordem n. Então, det(A) = −1 ou det(A) = 1;

2. A é uma matriz ortogonal se, e somente se, as colunas (ou linhas) A são vetores ortonormais.

Exemplos

1. A matriz R =

[cosθ senθ

−senθ cosθ

]é uma matriz ortogonal. De fato, calculando RRT , obtemos

RRT =

[cosθ senθ

−senθ cosθ

] [cosθ −senθsenθ cosθ

]=

[1 00 1

].

106 10. Operadores Especiais

Como RRT = I2, então, por definição, R é uma matriz ortogonal. Outra maneira de verificarque a matriz R é ortogonal, seria constatar que as suas colunas formam um conjunto devetores ortonormais do R2.

2. A matriz A =

[1 −1−1 1

]não pode ser ortogonal. De fato, det(A) = 2.

3. A matriz B =

[1 −10 1

]é tal que det(B) = 1. Porém, como a condição det(A) = 1 ou

det(A) = −1 não é suficiente para garantir que A seja ortogonal, não podemos afirmar queB é uma matriz ortogonal. De fato, B não é uma matriz ortogonal pois, segundo o produtointerno usual de R2, a segunda coluna da matriz não é um vetor unitário.

10.2 Operador SimétricoDefinição (Operador Simétrico). Seja V um espaço vetorial com produto interno, α uma baseortonormal de V e T : V → V um operador linear. Dizemos que o operador T é um operadorsimétrico se [T ]αα é uma matriz simétrica.

Observações.

1. O operador simétrico é também chamado de operador auto-adjunto.

2. A definição independe da escolha da base ortonormal α.

Exemplos

1. T : R3 → R3 definido por T(x,y, z) = (2x − y + z,−x + 3y − z, x − y + 4z). Note que

[T ] =

2 −1 1−1 3 −11 −1 4

é uma matriz simétrica. Logo T é um operador simétrico.

2. Determine um operador T : R2 → R2 que seja simétrico.

Resolução.

De acordo com a definição, basta apenas considerar uma matriz simétrica de ordem 2 qual-

quer. Por exemplo, a matriz A =

[1 −2−2 1

]é simétrica. Podemos definir então o operador

linear T : R2 → R2 tal que

TA(x, z) =[

1 −2−2 1

] [x

y

].

Isto é, TA(x, z) = (x− 2y,−2x+ y). Em relação à base canônica do R2, que é ortonormal,

[TA] =

[1 −2−2 1

].

Isto é, TA é um operador simétrico.

10.2. Operador Simétrico 107

Propriedades dos Operadores Simétricos.

Nos teoremas seguintes, considere V um espaço vetorial no qual está definido um produto interno〈, 〉.

Teorema 10.2.1 T : V → V é um operador simétrico se, e somente se,

〈T(v),w〉 = 〈v, T(w)〉

para todo u, v ∈ V.

Teorema 10.2.2 Se T : V → V é um operador simétrico e λ1 e λ2 são autovalores distintos deT e v1 e v2 autovetores associados a λ1 e λ2, respectivamente, então v1 ⊥ v2.

Demonstração. Sejam λ1 e λ2 autovalores distintos de T e suponha que v1 e v2 são tais queT(v1) = λ1v1 e T(v2) = λ2v2. Do Teorema 1, temos que

〈T(v1), v2〉 = 〈v1, T(v2)〉〈λ1v1, v2〉 = 〈v1, λ2v2〉

Logo, λ1〈v1, v2〉− λ2〈v1, v2〉 = 0. De onde obtemos, (λ1 − λ2)〈v1, v2〉 = 0. Como, λ1 6= λ2, então〈v1, v2〉 = 0, e portanto, v1 e v2 são ortogonais. C.Q.D.

O próximo teorema é um dos teoremas mais importantes da Álgebra Linear. O mesmo estabe-lece que operadores simétricos são diagonalizáveis. Isto é, se V é um espaço vetorial com produtointerno e se T : V → V e um operador simétrico, então existe uma base ortonormal de V formadapor autovetores de T .

Teorema 10.2.3 (Teorema Espectral.) Seja T : V → V um operador Simétrico. Então, existeuma base ortonormal de V formada por autovetores de T .

É importante ressaltar que dizer que existe uma base α de V formada por autovetores de Té equivalente a dizer que existe uma base α de V , em relação a qual, a matriz [T ]αα é diagonal.Assim, concluimos que um operador simétrico é diagonalizável, e além disso, V admite uma baseortonormal de autovetores de T .

Teorema 10.2.4 (Teorema Espectral, versão matricial.)Se A ∈M(n,n) é simétrica, então existe uma matriz P ∈M(n,n) que é ortogonal e tal que

P−1AP

é uma matriz diagonal.

Como a matriz P deve ser ortogonal, então por definição, P−1 = PT . Dessa forma, podemosreescrever o Teorema Espectral para matriz da seguinte forma:

108 10. Operadores Especiais

Se A ∈M(n,n) é simétrica, então existe uma matriz P ∈M(n,n) que é ortogonal e tal que

PTAP

é uma matriz diagonal.Na prática a matriz P é formada calculando-se os autovalores ortonormais da matriz A.

Exercícios Propostos

1. Seja R2 com o produto interno usual. Suponha que T : R2 → R2 é um operador simétrico talque

A = [T ] =

[−1 11 −1

].

Determine uma matriz P tal que P−1AP seja uma matriz diagonal.

2. Seja R3 com o produto interno usual. Suponha que T : R3 → R3 é um operador simétrico talque

A = [T ] =

−1 1 21 −1 22 2 2

.

Determine uma matriz P tal que P−1AP seja uma matriz diagonal.

3. Seja V um espaço vetorial com produto interno a α = {v1, v2, v3} uma base ortonormal de V .Seja T : V → V um operador simétrico. Mostre que

[T ]αα =

〈T(v1), v1〉〈T(v1), v2〉〈T(v1), v3〉〈T(v1), v2〉〈T(v2), v2〉〈T(v2), v3〉〈T(v1), v3〉〈T(v2), v3〉〈T(v3), v3〉

.

10.3 Operador OrtogonalDefinição (Operador Ortogonal). Seja V um espaço vetorial com produto interno, α uma baseortonormal de V e T : V → V um operador linear. Então T é chamado de operador ortogonal se[T ]αα é uma matriz ortogonal.

Exemplos

1. Considere o operador rotação T : R2 → R2 o qual é definido por

T(x,y) = (xcosθ+ ysenθ,−xsenθ+ ycosθ).

T é um operador ortogonal. De fato, a matriz de T em relação a base canônica do R2, é

[T ]αα =

[cosθ senθ

−senθ cosθ

].

Sejan u1 e u2 a primeira e a segunda coluna de [T ], respectivamente, temos o seguinte:


〈u1,u2〉 = 〈(cosθ,−senθ), (senθ, cosθ)〉 = cosθsenθ− senθcosθ = 0

〈u1,u1〉 = 〈(cosθ,−senθ), (cosθ,−senθ)〉 = cos2θ+ sen2θ = 1

〈u2,u2〉 = 〈(senθ, cosθ), (senθ, cosθ)〉 = sen2θ+ cos2θ = 1.

Assim as colunas da matriz [T ] são vetores ortonormais, logo [T ] é uma matriz ortogonal eportanto, T é um operador ortogonal.

Caracterização de Operadores Ortogonais

O Teorema a seguir apresenta uma caracterização para os operadores ortogonais. Dessa forma,conheceremos várias maneiras diferentes de reconhecer um operador dessa categoria. Uma dasprincipais características desses operadores é que os mesmos preservam produto interno. Este éum dos motivos pelos quais esses operadores estão associado a movimentos rígidos.

Teorema (Caracterização de Operadores Ortogornais)Seja T : V → V um operador linear em um espaço vetorial V com produto interno. Então, as

condições abaixo são equivalentes.

1. T é ortogonal.

2. T transforma base ortonormal em base ortonormal.

3. 〈T(u), T(v)〉 = 〈u, v〉 para todo u, v ∈ V . (T preserva produto interno).

4. ||T(u)|| = ||u|| para todo u ∈ V (T preserva norma).

10.4 Exercícios Propostos1. Dentre os operadores lineares a seguir, verificar quais são ortogonais.

a) T : R2 → R2 definido por T(x,y) = (−y,−x).b) T : R2 → R2 definido por T(x,y) = (x−y, x+y). T : R3 → R3 definido por T(x,y, z) =

(−y,−x) = (z, x,−y). T : R3 → R3 definido por

T(x,y, z) = (x,ycosθ+ zsenθ,−ysenθ+ zcosθ).

2. Considere o R3 com o produto interno usual. Seja T : R3 → R3 um operador linear dado porT(x,y, z) = (2x+ y, x+ y+ z,y− 3z).

a) Mostre que T é um operadpr simétrico mas não é ortogonal.b) Se v = (2,−1, 5) e w = (3, 0, 1), verifique que 〈T(v),w〉 = 〈v, T(w)〉.c) Determine uma base ortonormal de R3 formada por autovetores de T .

3. Construa uma matriz ortogonal A cuja primeira coluna seja os elementos do vetor (2√5

,−1√

5).

4. Construa uma matriz ortogonalA cuja primeira coluna seja os elementos do vetor (13

,−23

,−23).

5. Mostre que se T é um operador ortogonal, então T é injetivo.

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