Álgebras de Lie con métricas ad-invariantes

2-pasos nilpotenteÁlgebras de Lie

Aplicaciones

Álgebras de Lie con métricasad-invariantes

Gabriela P. Ovando1

1Universidad Nacional de Rosario y CONICET

elENA IX, 2019, La Falda, Córdoba

Ovando Métricas ad-invariantes


Aplicaciones

Outline

1 2-pasos nilpotenteÁlgebras de Lie 2-pasos nilpotentesFormas trilineales y alternantesOtra aproximación con matrices antisimétricas

2 Álgebras de LieÁlgebras de LieConstrucciones

Extensiones T ∗

Doble extensiónEjemplos

3 Aplicaciones



Aplicaciones

Álgebras de Lie 2-pasos nilpotentesFormas trilineales y alternantesOtra aproximación con matrices antisimétricas

¿qué es un álgebra de Lie 2-pasos nilpotente?

Espacio vectorial sobre R, denotado n, munido de un corchetede Lie (producto) [ , ] : n× n→ n que satisface:

[ , ] es bilineal y antisimétrico,[u, [v ,w ]] = 0 para todos u, v ,w ∈ n.

El centro de n es el subespacio

z = {x ∈ n : [x , v ] = 0, para todo v ∈ n} :

el conmutador C(n) es el subespacio

C(n) = span{[u, v ]} para cualquier par u, v ∈ n.

n = z⊕ v, suma directa de espacios vectoriales.

Para cada x ∈ n fijo, ad(x) : n→ n dada por ad(x)(y) := [x , y ]es una aplicación lineal nilpotente.



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Ejemplos:• matrices con el corchete de Lie: [A,B] = AB − BA.Heisenberg de dimensión 2n:

0 x1 . . . xn z0 0 . . . 0 y1

0 0. . . 0

...0 0 . . . 0 yn

Otra:

0 x0 z1 . . . zn−1 zn0 0 x1 . . . xn−1 xn

0 0 0. . . 0

...0 0 0 . . . 0 0

isomorfismos de álgebras de Lie...



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• grafos (dirigidos):vértices,

←− generan v

aristas,

←− generan z.

K2

V1 • V2-

K3

•V1

6

-•V2 •V3

��

S4

•V1?

•V0 • V3

• V2

-

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C4

•V1

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Aplicaciones


• grafos (dirigidos):vértices, ←− generan v

aristas, ←− generan z.

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¿qué es una métrica ad-invariante?

DefiniciónUna forma bilineal simétrica no degenerada〈 , 〉 : n× n→ R que satisface.〈[u, v ],w〉+ 〈[v , [u,w ]]〉 = 0 para todos u, v ,w ∈ n.

Dado un subespacio v ⊆ n, tenemos el subespacio ortogonal:

v⊥ = {u ∈ n : 〈u, v〉 = 0, para todo v ∈ v}

Y valedim n = dim v + dim v⊥,

y puede ocurrir:v ∩ v⊥ = {0},

←− v no degenerado

v ⊆ v⊥,

←− v isotrópico.



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¿qué es una métrica ad-invariante?

DefiniciónUna forma bilineal simétrica no degenerada〈 , 〉 : n× n→ R que satisface.〈[u, v ],w〉+ 〈[v , [u,w ]]〉 = 0 para todos u, v ,w ∈ n.

Dado un subespacio v ⊆ n, tenemos el subespacio ortogonal:

v⊥ = {u ∈ n : 〈u, v〉 = 0, para todo v ∈ v}

Y valedim n = dim v + dim v⊥,

y puede ocurrir:v ∩ v⊥ = {0}, ←− v no degeneradov ⊆ v⊥, ←− v isotrópico.



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¿Cuál de las siguientes álgebras admite una métricaad-invariante?

El álgebra de Heisenbergh2n+1 = span{X1, . . .Xn,Y1, . . . ,Yn,Z}

[Xi ,Yi ] = Z .

n = span{X ,Y ,Z ,W} con [X ,Y ] = Z .n = span{X1,X2,X3,Z1,Z2,Z3} con[X1,X2] = Z3, [X1,X3] = Z2, [X2,X3] = Z1.

Si una dada n admite una tal métrica, entonces ¿cuántas?



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Supongamos que n admite una 〈 , 〉 ad-invariante, entoncesz⊥ = C(n) (y C(n)⊥ = z),z = C(n)⊕ z̄ y

〈 , 〉 es no degenerada en z̄

=⇒ n = z̄× n̄

donde en n̄ vale z = C(n̄), es decircorango de n̄ = 0.

Además dim n̄ = 2 dim C(n̄).=⇒ tenemos un criterio para saber si n NO admite una talmétrica



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Data NODada n 2-pasos.Calculamos corank n = dim z− dim C(n)

Si dim n− corankn 6= 2 dim C(n), entoncesn no admite métrica ad-invariante.

Ejemplo SI (muchos)Elijamos n 2-pasos nilpotente cualquiera. Y tomemos su“cotangente”: T ∗n = n⊕ n∗ como espacio vectorial, y hacemosactuar n en n∗ por la acción coadjunta. El corchete de Lie:

[x , y ] = [x , y ]n ∀x , y ∈ n, [x , ϕ] := x · ϕ∀x ∈ n, ϕ ∈ n∗.

La métrica hiperbólica:

〈(x1, f1), (x2, f2)〉 = f1(x2) + f2(x1)

resulta ad-invariante.



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Data NODada n 2-pasos.Calculamos corank n = dim z− dim C(n)

Si dim n− corankn 6= 2 dim C(n), entoncesn no admite métrica ad-invariante.

Ejemplo SI (muchos)Elijamos n 2-pasos nilpotente cualquiera. Y tomemos su“cotangente”: T ∗n = n⊕ n∗ como espacio vectorial, y hacemosactuar n en n∗ por la acción coadjunta. El corchete de Lie:

[x , y ] = [x , y ]n ∀x , y ∈ n, [x , ϕ] := x · ϕ∀x ∈ n, ϕ ∈ n∗.

La métrica hiperbólica:

〈(x1, f1), (x2, f2)〉 = f1(x2) + f2(x1)

resulta ad-invariante.Ovando Métricas ad-invariantes


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Formas trilineales y alternantes

n con métrica ad-invariante 〈 , 〉 =⇒.µ(x , y , z) = 〈[x , y ], z〉 es trilineal yALTERNANTE.

Teorema [Noui - Revoy, 97]Existe una biyección natural entre clases de isomorfismo deálgebras de Lie 2-pasos nilpotentes con métricasad-invariantes de corango nulo de dimensión 2n y clases deequivalencia de formas trilineales alternantes de rango n.

Prueba: n = V ⊕ V ∗ con métrica ad-invariante 〈 , 〉, con V esun espacio vectorial, y donde

[(v1, f1), (v2, f2)] = (0,h(v1 ∧ v2)),

ad(x ,f ) antisimétrica⇐⇒ (x , y , z)w→ h(x , y)(z) es t.a. y núcleo

V ∗. Ovando Métricas ad-invariantes


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Como vimos, si tomamos cualquier n 2-pasos nilpotente,T ∗n = n∗ ⊕ n admite métrica ad-invariante y es 2-pasosnilpotente.T ∗n tiene corango nulo si y sólo si n lo tiene pues z(n) = C(n) y

z(T ∗n) = C(n)0 ⊕ z(n) yC(T ∗n) = z(n)0 ⊕ C(n).

Una forma trilineal alternante w ∈ Λ3V ∗ se dice escindible siexiste una descomposición V1⊕V2 = V tal que w ∈ V ∗1 ⊗Λ2V ∗2 .

Proposición [N-R]Para que un álgebra de Lie 2-pasos nilpotente de corango nulo,sea un álgebra cotangente, es necesario y suficiente que laforma w asociada sea escindible.



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Otra aproximación con matrices antisimétricas

Supongamos que n tiene corango nulo, i.e. z = C(n), entonces

n = z⊕ v

y podemos elegir v totalmente isotrópico: v⊥ = v. Elijamos unabase z1, . . . , zn, v1, . . . , vn de n tal que 〈zi , vj〉 = δij . Observemosque [vi , vj ] ∈ z = z⊥. Luego

〈[vi , vj ], vk 〉 = 〈∑

αijzs, vk 〉

Elijamos cualquier producto interno en v: 〈〉v y para cada v ∈ vdefinamos ρ(v) ∈ so(v, 〈 , 〉v) por

〈ρ(v)u,w〉v := 〈[u,w ], v〉 (1)

Claramente ρ(v) es antisimétrica y satisface ∀i , j , k :

〈ρ(vi)vj , vk 〉v = −〈ρ(vj)vi , vk 〉v ⇐⇒ ρ(v)v = 0



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Recíprocamente. Dada la data(v, 〈 , 〉) un espacio vectorial munido de un productointerno yρ : v→ so(v) una aplicación lineal tal que

ρ(v)v = 0 para todo v ∈ v.

Construimos n 2-pasos nilpotente con métrica ad-invariante:Sea

n = v⊕ v∗, suma directa de espacios vectoriales,con la métrica hiperbólica y[·, ·] : n× n→ n dado por

[f , x + g] = 0∀ f ,g ∈ v∗, x ∈ v,

[x , y ] ∈ v∗ 〈[x , y ], v〉 = 〈ρ(v)x , y〉v∪v ,w∈b{ρ(v)w} = v para que el corango sea nulo.



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Teorema [O., 2007]n con este corchete y la métrica hiperbólica es 2-pasosnilpotente con métrica ad-invariante y de corango nulo.Toda n de corango nulo con métrica ad-invariante es de estaforma

Supongamos {vi} bon en n,sea Ai = ρ(vi), entonces Ai(vj) =

∑k ai

kjvk ,de modo que los coeficientes ai

jk satisfacen

aijk = −aj

ik aijk = −ai

kj

lo que es equivalente a la trilinealidad de antes...Corango nulo⇐⇒ ρ es inyectiva.



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En dimensión tres, vemos que las matrices posibles son:

A1 =

0 0 00 0 a0 −a 0

A2 =

0 0 −a0 0 0a 0 0

A3 =

0 a 0−a 0 00 0 0

En cuatro:

A1 =

0 0 0 00 0 a b0 −a 0 c0 −b −c 0

A2 =

0 0 −a −b0 0 0 0a 0 0 db 0 −d 0

A3 =

0 a 0 −c−a 0 0 −d0 0 0 0c d 0 0

A4 =

0 b c 0−b 0 d 0−c −d 0 00 0 0 0

.

Como {Ai}4i=1 no es li, en dimension ocho NO hay n 2-pasoscon métrica ad-invariante y corango nulo. Para n > 4, SI hay.



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Álgebras de LieConstruccionesEjemplos

¿Qué es un álgebra de Lie?

Espacio vectorial sobre R, denotado n, munido de un corchetede Lie (producto) [ , ] : n× n→ n que satisface:

[ , ] es bilineal y antisimétrico,Identidad de Jacobi: [u, [v ,w ]] + [v , [w ,u]] + [w , [u, v ]] = 0para todos u, v ,w ∈ n.

Ejemplos• espacio de matrices gl(nR) con [A,B] = AB − BA.• subálgebra de Lie: subev. de un álgebra de Lie cerrado para[·, , ·]:

sl(n,R) matrices de traza cero,so(n,R) matrices antisimétricas,matrices triangulares.

g álgebra de Lie, h ⊆ g es ideal si• h subev y • [x , y ] ∈ h, ∀x ∈ h, y ∈ g.



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Dada g álgebra de Lie, consideramos las series centralesascendente y descendente que consiste de ideales Cs(g),Cr (g), r ≥ 0, definidos inductivamente por

C0(g) = g C0(g) = 0Cr (g) = [g,Cr (g)] Cr (g) = {x ∈ g : [x , g] ∈ Cr−1(g)}

Se tiene Cj(g) ⊆ Cj+1(g) ∀j y C j+1(g) ⊆ C j(g).g se dice

nilpotente si existe r > 0 tal que Cr (g) = 0 o Cr (g) = g.semisimple si B(x , y) := tr adx ady es no-degenerada en g,B se dice la forma de Killing.

n es k -pasos nilpotente si k es el menor k tal que Ck (g) = g.Ejemplo:

1 n 2-pasos nilpotente.2 so es semisimple.



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Como antes, métrica ad-invariante en g:

〈[x , y ],u〉+ 〈[x ,u], y〉 = 0 ∀x , y ,u ∈ g.

Llamadas: “métrica”,“ortogonal”, “cuadrática” , “regularcuadrática”.Ejemplos

la forma de Killing es siempre ad-invariante, pero esno-degenerada para g semisimple!.g álgebra de Lie, su cotangente T ∗g = g⊕ g∗.

Lema(g, 〈 , 〉) álgebra de Lie con métrica ad-invariante.

(i) Si h es un ideal entonces h⊥ también es un ideal en g.(ii) Cr (g)⊥ = Cr (g) para todo r .



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O sea vale la igualdad

dim g = dim Cr (g) + dim Cr (g). (2)

Si C1(g) es el conmutator y z(g) denota el centro de g, parar = 1 arriba

dim g = dim z(g) + dim C1(g), (3)

Otra vez tenemos un criterio para ver si g NO admite unamétrica ad-invarianteCalculamos las dimensiones dim Cr (g) y dim Cr (g) yverificamos Ecuación (2).En particular, para álgebras de Lie solubles el centro es notrivial.• g soluble si la serie derivada llega a 0:

D0(g) = g, Di(g) = [Di−1(g),Di−1(g)].

Haremos hincapié en el caso no semisimple...Ovando Métricas ad-invariantes


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Ejemplo

Con las propiedades anteriores obtenemos las álgebras de Liecon métricas ad-invariantes en dimensiones bajas:

(i) En dimensión = 1, 2 sólo el álgebra de Lie abeliana. Lasoluble no abeliana de dimensión dos, tiene centro trivial.

(ii) en dimensión = 3, las álgebras de Lie simples sl(R) andso(3) y el álgebra de Lie abeliana.

(iii) en dimensión = 4, las extensiones triviales: R× sl(2,R),R× so(3,R), R4; y dos álgebras de Lie solubles que sonextensiones del álgebra de Heisenberg.Si tomamos el álgebra de Lie de Heisenberg h3 generadapor h3 = span{e1,e2,e3} con [e1,e2] = e3 entonces en labase {e0,e1,e2,e3}

osc: [e0,e1] = e2, [e0,e2] = −e1, [e1,e2] = e3,b : y [e0,e1] = e1, [e0,e2] = −e2, [e1,e2] = e3.



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Construcciones

Lo siguiente generaliza el cotangente definido antes.

T ∗ - extensionesSea h un álgebra de Lie y sea θ : h× h→ h∗ denota un2-cociclo de (h, ad∗). Sea h⊕ h∗ con la métrica neutral yequipado con el corchete de Lie dado por

[(x1, ϕ1), (x2, ϕ2)] = ([x1, x2]h, x1 · ϕ2 − x2 · ϕ1 + θ(x1, x2)), (4)

para todo x1, x2 ∈ h, ϕ1, ϕ2 ∈ h∗. Esta álgebra de Lie denotadacomo T ∗θ h será llamada la T ∗-extensión of h by θ. La métricaneutral en h⊕ h∗ es ad-invariant, si θ satisface

θ(x1, x2)(x3) = −θ(x1, x3)(x2) para todos x1, x2, x3 ∈ h.

Esta noción fue dada por Bordemann (1997).Ovando Métricas ad-invariantes


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Se puede probar:(a) si h es soluble entonces T ∗θ h es soluble;(b) si h is nilpotente entonces T ∗θ h es nilpotente;(c) álgebras de Lie no isomorfas pueden tener extensiones T ∗

isométricas.Ejemplo.Sea R3 como álgebra de Lie abeliana. Consideramos la basecanónica e1,e2,e3 con base dual e4,e5,e6 y el 2-cocicloθ : R3 × R3 → R3∗ dado por

θ(e1,e2) = e6 θ(e1,e3) = −e5 θ(e2,e3) = e4.

Por otro lado la misma álgebra de Lie puede ser obtenida comola cotangente del álgebra de Heisenberg de dimensión tres.



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Bordemann probó lo siguiente.

ProposiciónCualquier álgebra de Lie nilpotente de dimensión par conmétrica ad-invariante corresponde a una extensión T ∗.

Ejemplo:En dimensión dos, tomamos aff(R) y obtenemos el álgebradiamond b. Pero no es posible obtener el oscilador... ←− elresultado no vale para solubles.• Hacemos aff(R)⊕ aff(R)∗, el cotangente con la accióncoadjunta• ¿Cuáles son los 2-cociclos correspondientes? ¿existen?



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Doble extensión

Recordemos que una derivación en un álgebra de Lie h es unat : h→ h tal que

t [x , y ] = [tx , y ] + [x , ty ], para todos x , y ∈ h.

Otra forma de construir álgebras de Lie con métricasad-invariantes: con la siguienteDATA

un álgebra de Lie (d, [·, ·]d) con métrica ad-invariante 〈 , 〉d,un álgebra de Lie (h, [·, ·]h) con forma bilineal simétricaad-invariante (posiblemente degenerada) Bh,un homomorfismo de álgebras de Lieπ : (h, [·, ·])→ Dera(d, 〈 , 〉d) de h en el álgebra de Lie dederivaciones antisimétricas de d, digamos Dera(d, 〈 , 〉d.



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Consideramos el espacio vectorial

g := h⊕ d⊕ h∗.

Sea Q en g, definida por

Q((h1, x1, α1), (h2, x2, α2)) := Bh(h1,h2)+〈x1, x2〉d+α1(h2)+α2(h1);(5)

la cual es no-degenerada y de signaturasgn(Q) = sgn(〈 , 〉d) + (dim h, dim h).El corchete de Lie en g está dado por

[(h1, x1, α1), (h2, x2, α2)] := ([h1,h2]h, [x1, x2]d + π(h1)x2 − π(h2)x1,β(x1, x2) + ad∗

h(h1)α2 − ad∗h(h2)α1)

(6)donde β(x1, x2)(h) := 〈π(h)x1, x2〉d y ad∗h : h→ End(h∗) es la

acción coadjunta.Ovando Métricas ad-invariantes


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Se verifica

la métrica Q es ad-invariante.Mientras h es una subálgebra de Lie de g, en general d noes subálgebra.El subespacio G(d) := d⊕ h∗ es un ideal en g.

g es llamada doble extensión o bi-extensión de d con respectoa (h, π).Ejemplo.En el proceso de doble extensión empezando con d = 0obtenemos el álgebra cotangente h⊕ h∗.



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Ejemplo de doble extensión.Tomamos d = R2. Podemos equipar R2 con

el producto interno usual 〈 , 〉 y J ∈ End(R2) antisimétrica,con β(x , y) = 〈Jx , y〉.Obtenemos osc. Es soluble y Q es Lorentziana.la métrica neutral, obtenemos el álgebra de Lie conmétrica neutral b.

Tenemos el importante resultado de Medina y Revoy, 1985.

TeoremaUn álgebra de Lie no simple indescomponible (A,Q) equipadacon una métrica ad-invariante which es una doble extensión dealguna álgebra de Lie (d, 〈 , 〉d) por un álgebra de Lie dedimensión uno o una simple.



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Teorema [Favre-Santharoubane ’87]Cualquier álgebra de Lie con métrica ad-invariante y centro notrivial es una suma directa ortogonal de un álgebra de Lie dedimensión uno y una de dimensión n − 1 con métricasad-invariantes o es una doble extensión de un álgebra de Liedimensión n − 2 con métrica ad-invariante.

El proceso de doble extensión está dicho en el libro de Kac,1984.Aparentemente en la disertación de V. Keith (1984) se obtuvoun procedimiento similar para construir álgebras de Liecuadráticas. Anunciado por Hofman y Keith, llamadobi-extensión.Favre y Santharoubane investigaron las clases de isomorfismode las dobles extensiones.Problema: empezamos con álgebras de Lie no isomorfas yobtenemos isomorfas...



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Otro método: twofold extension.Berard Bergery usó esta idea para estudiar espaciossimétricos. Kath y Olbrich [2006] aplicaron esto para producirálgebras de Lie con métricas ad-invariantes.Probaron que las álgebras de Lie solubles con estas métricas,son extensiones twofold (=dobles) asociadas arepresentaciones ortogonales de álgebras de Lie abelianas ydescribieron las clases de equivalencia de estas extensiones.Sea (ρ, a) una representación ortogonal de un álgebra de Lieabeliana l en un espacio vectorial con pseudo-métrica(a, 〈·, ·〉a).Elijamos una 3-forma γ ∈ Λ3l∗ y un cociclo α ∈ Z 2(l, a).Se construye una estructura de álgebra de Lie en l∗ ⊕ a⊕ l(dα,γ(a, l, ρ)) de modo que la forma bilineal abajo esad-invariante

〈Z1 + A1 + L1,Z2 + A2 + L2〉 = 〈A1,A2〉a + Z1(L2) + Z2(L1).

El álgebra de Lie (l∗ ⊕ a⊕ l, 〈·, ·〉) es llamada extensión twofold.Ovando Métricas ad-invariantes


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Favre y Santharoubane probaron lo siguiente.

ProposiciónEl conjunto de clases de isometría de álgebras de Lie que sondoble extensión de abelianas de dimensión n por derivacionesnilpotentes, está en biyección con el conjunto de particiones den -(n1, . . . ,nt )- que satisfacen

si i es par entonces #{j ; nj = i} es par. (7)

Ejemplo.Para n = 3 las particiones posibles son: (3) y (1,1,1) quecorresponde a las álgebras de Lie• n2,3 el álgebra de Lie 3-pasos nilpotente libre en dosgeneradores y• el álgebra de Lie abeliana trivial.



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Proposición. [Baum - Kath, 2003]Sea A(p,q) la doble extensión de un álgebra de Lie abelianaequipada con métrica de signatura (p, q) por (R,A), dondeA ∈ so(p,q). Entonces A(p,q) es indescomponible si y sólo siKerA es degenerado. Más aun A(p,q) es soluble.

Ejemplos: álgebras de Lie de dimensión 4, solubles.

Proposición. [Medina, 1985]Cada álgebra de Lie indescomponible equipada con unamétrica Lorentziana ad-invariante es isomorfa a sl(2,R) o a unálgebra osciladora.



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Baum y Kath estudiaron las dobles extensiones para obtenerlas álgebras de Lie con índice (2,n − 2).Se usan las matrices siguientes:

L2 :=

(0 11 0

)L3 :=

0 1 01 0 10 −1 0

L2,λ :=

(L2 00 Aλ

)L3,λ :=

(L3 00 Aλ

)donde λ = (λ1, λ2, ..., λr )con 0 < λ1 < . . . λr and Aλ como enTeorema de Medina’85.



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Baum y Kath obtuvieron las álgebras de Lie con métricaad-invariante de dimensión ≤ 6, usando doble extensión.

(i) En dimensión = 5: n2,3 el álgebra de Lie 3-pasos nilpotentelibre en 2 generadores.

(ii) En dimensión = 6:n3,2 el álgebra de Lie 2-pasos nilpotente libre en 3generadores;osc(λ) = span{e0,e1,e2,e3,e4,e5} donde los corchetes notriviales son

[e0,e1] = e2, [e0,e2] = −e1, [e0,e4] = λe5,

[e0,e5] = −λe4, [e1,e2] = [e3,e4] = e5L2,λ(1,3) soluble de signatura (2,4)Nk (2,2) is a double extension of R4 with neutral metric viaone of the matrices Ni , i = 2, . . . ,6 en [Baum -Kath].

En el caso no soluble Benayadi y Elduque usaronrepresentaciones de dimensión finita de sl(2,R).



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Resultados en familias varias.

[del Barco - O.]nilpotentes libres

[del Barco, 2016]nilradicales de una subálgebra parabólica asociada a

una forma real split real de un álgebra de Lie simple.[del Barco, 2016]

álgebras de Lie 2-pasos nilpotentes, asociadas agrafos.



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Aplicaciones ?

• Quadratic 2-step Lie algebras: Computational algorithms andclassification, Pilar Benito, Daniel de-la-Concepción, JorgeRoldán-López, Iciar Sesma, Arxiv 2018.Introducen un método computacional para construir cualquierálgebra de Lie 2-pasos nilpotente con métrica ad-invariante end generadores.Usan las matrices antisimétricas de antes.

• Espacios naturalmente reductivos (⊇ simétricos)



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BibliografíaTodo en el trabajo:

1 G. P. OVANDO, Lie algebras with ad-invariant metrics. Asurvey - guide. Rendiconti Seminario Matematico Univ.Pol. Torino. Workshop for Sergio Console, 74 (1) (2016),241 – 266


Álgebras de Lie con métricas ad-invariantes

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