i UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA CENTRO UNIVERSITARIO DE CIENCIAS EXACTAS E INGENIERAS DEPARTAMENTO DE ELECTRNICA ACADEMIA DESISTEMAS DE CONTROL AUTOMTICO SEALES Y SISTEMAS LINEALESVersin digital Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas Mara Guadalupe Casillas Limn noviembre 2010 ii INTRODUCCIN La Universidad de Guadalajara y su comunidad acadmica enfrentan hoy unmundoenconstanteevolucintecnolgicaloquedemandaun recursohumanoformadointegralmente,dichocompromisoloencara nuestra Universidad de frente a una sociedad que exige una educacin de calidadquesea pertinente con valores democrtica lo queimplica que nuestroegresadoestealaalturadelasexigenciasdesuprctica profesional. Estetextodigitalqueestentusmanostieneprecisamenteestesentido deseruninstrumentoeficazdeaprendizajeidealparalosalumnosde ingeniera, tambin tiene el propsito de impactar en las competencias del ejerciciodelaactividadprofesional.Poresocreoquehaymotivos suficientesparaemprenderlaelaboracindestepensandosobretodo en el alumno, que derespuesta a la necesidad de apoyar el aprendizaje concreatividadenelanlisisycomportamientodelossistemaslinealese invariantes en el tiempo. Eltemafundamentaldeestetextoeselanlisisdelassealesyel comportamientodelossistemaslinealesinvarianteseneltiempoenel dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia, el libro est organizado en ocho captulos a su vez cada uno de estosest constituido por a) un objetivodeaprendizajeb)unconocimientoprevioc)unaactividadde anlisis,d)unaactividaddesntesisye)unaautoevaluacinatravsde actividades despus de cada tema. El primer captulo se denomina las seales en l se clasifican las seales deacuerdoalvalorquepuedetomarlavariableindependientedela funcin, tomamos el teorema de Nayquits para convertir seales analgica asealesdiscretas,seanalizalasimetradeunasealparautilizar posteriormentesuspropiedades,sedefinelaperiodicidadsecalculael periodo fundamental de una combinacin de sinusoidales, se clasifican lasseales de energa y seales de potenciafinalmente se definen las sealesconrespectoasucertidumbre.Elsegundocaptulolodenominamos operacinconseales,enelcualseanalizaelconceptodeescalamientodeamplitud,desplazamiento deamplitud,escalamiento de tiempo,desplazamientodetiempoeinversinysejuegacon transformacionesmltiplesparaunaseal.Eltercercaptuloesuna introduccin al Matlab donde examinamos los principales comandos de estavaliosaherramientadegraficacinysimulacin.Elcuartocaptulo trataeltemadelaspropiedadesdelossistemas,enlquees fundamentalanalizarlalinealidad,lacausalidad,lamemoria,la invarianciaeneltiempoyestabilidadeneldominiodeltiempo.Elquinto iii captulo muestra la Convolucin de sistemas de tiempo discreto y tiempo continuoenelcualsepretendequeelalumnoutiliceloscomandosdel matlabparaexplicitarestaoperacin.Elsextocaptuloabordala representacin matemtica de una seal de potencia la serie de Fourier laformadeprecisareltipodearmnicosquecontienenlasseales peridicasysudistribucinenelejedelasfrecuenciassupresentacina travsdeunanalizadordeespectro,Elsptimocaptulotratadela TransformadadeFourierenparticularlarepresentacindeunsistema mediantelafuncinderespuestaenfrecuenciademododepredecirla respuestaosalidacuandounasealsepropagaporelmismo.Eloctavo captuloabordalavariabledefrecuenciacomplejalatransformadade Laplacecomounaherramientapoderosaparaanalizarel comportamientodinmicodeunsistemalinealconlacualselograquealumnoobservelaprediccinquestaaportaparasepararlarespuesta transitoriaylarespuestadeestadoestableademadasdepredecirsiel sistemaesestableoinestablemediantelaubicacindelospolosdela funcin de transferencia.

Cada uno de los temas est sustentado en el principio de si oigo olvido si veorecuerdosihagoaprendoporloqueseexponeunaseriede ejercicios creativosal final de cada temacon lafinalidad de cautivar y fortalecer en elalumnoel aprendizajesignificativodela ingenieracon un enfoque humanstico. Atentamente Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Mara Guadalupe Casillas Limn Guadalajara, Jal., Mxiconoviembre de2010 iv NDICE DE CONTENIDO CAPTULO 1. LAS SEALES ............................................................................................................ 11.1 Concepto de seal y funcin. ......................................................................................... 41.2.1. Funcionesde tiempo continuo ................................................................................... 61.2.2. Funciones de tiempo discreto ...................................................................................... 71.2.3. Relacin entre las seales de TC y TD ......................................................................... 81.2.4. Seales pares e impares .............................................................................................. 131.2.5. Seales peridicas y no peridicas ........................................................................... 22MCD= 2*2*2=8 ......................................................................................................................... 311.2.6. Seales deterministas y aleatorias ............................................................................. 321.2.7. Clasificacin de seales de energa y de potencia. .............................................. 331.2.8. Funciones singulares y funciones relacionadas. ...................................................... 40Galileo Galilei (1564-1642). .................................................................................................... 51CAPTULO 2. Operacines con Seales ................................................................................... 522.1. Operaciones efectuadas sobre la variable dependiente ........................................ 532.2. Operaciones efectuadas sobre la variable independiente ..................................... 542.3. Transformaciones mltiples ............................................................................................ 56Isaac Newton .......................................................................................................................... 72CAPTULO 3. SEALES, su graficacin....................................................................................... 753.1. Tutorial deMATLAB ......................................................................................................... 763.2. Seales definidas por intervalos .................................................................................... 863.2.1. Procedimiento para representar una seal por intervalos ............................................. 863.3 Bucle for ...................................................................................................................... 90Nicols Coprnico ................................................................................................................. 92CAPTULO 4. SISTEMAS, su descripcin ..................................................................................... 964.1. Clasificacin .................................................................................................................... 974.2. Definicin del operador H .............................................................................................. 974.3. Interconexin de sistemas .............................................................................................. 984.4. Sistemas con y sin memoria ......................................................................................... 1054.5. Causalidad ..................................................................................................................... 1074.6. Linealidad ....................................................................................................................... 1084.7. Sistemas invariantes en el tiempo ............................................................................... 1114.8. Propiedad de estabilidad ............................................................................................ 118Leonardo da Vinci ............................................................................................................... 120CAPTULO 5. SISTEMAS, la convolucin .................................................................................. 1235.1. Representacin de una seal mediante una suma de impulsos. .......................... 1245.2. Convolucin para sistemas de tiempo contino...................................................... 1355.3. Uso del MATLAB para realizar una convolucion de imagen ................................... 138Max Karl Ernst Ludwig Planck .............................................................................................. 147CAPTULO 6. FRECUENCIA, laserie de Fourier ...................................................................... 1496.1 La funcinexponencial compleja ....................................................................... 1516.1 Que es una Serie de Fourier?............................................................................... 1526.2 Definicinanaltica de tres representaciones enSerie de Fourier: ................ 1546.3 Teorema de la existencia de las series de Fourier: .............................................. 1556.4 Representacin trigonomtrica: ........................................................................... 1556.5 Simetra deunaseal peridica x(t) de tiempo continuo. ............................. 1576.6Representacin polar o cosenoidal. ................................................................... 1656.7.1 Gnesis de la serie de Fourier Exponencial ............................................................. 166v 6.7.2LoscoeficientesdeFourierExponencialessecalculanconlassiguientes integrales ............................................................................................................................... 1686.7.3 Ondadiente de sierra ............................................................................................... 169Fig. 6.12 Seal periodica diente de sierra impar .............................................................. 1716.7.4 El pulso peridico cuadrado ................................................................................... 1716.7.5. Espectro de frecuencia para el pulso peridicocuadrado. .............................. 1756.7.6Analizasor de espectros ............................................................................................ 1776.8 Relaciones entre las formas de las Series de Fourier: ......................................... 1856.9 Relaciones de entrada salida: .............................................................................. 187Maxwell, James Clerk .......................................................................................................... 189CAPTULO 7. LaTransformada de Fourier ......................................................................... 1927.1Funcin de Respuesta en frecuencia H(jw). ...................................................... 1937.2 Relacin entreh(t) y( ) j H.................................................................................. 1967.3 Condiciones para la existencia Transformadas de seales. ............................. 2027.4 Obtencin de la transformada de Fourier de seales: ...................................... 2037.5 Principio de la transformada de Fourier: .............................................................. 2087.6 Obtener la transformada de Fourier de la funcin (t). ................................... 2137.7 Propiedades de la transformada de Fourier ....................................................... 2147.8 La transformada de Fourier para seales peridicas ......................................... 220CAPTULO 8. Variable de frecuencia complaja ............................................................... 2238.1.Definicin de laTransformada de Laplace ............................................................. 2248.2 Propiedades de La transformada de Laplace .......................................................... 2298.3Tcnica de fracciones parciales ................................................................................. 2358.4. Funcin de transferencia ............................................................................................. 240CarlSagan ........................................................................................................................... 260Bibliografia ............................................................................................................................. 264 Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 1 CAPTULO 1. LAS SEALES OBJETIVO:Alfinalizarestecaptuloelalumnoestarcapacitado cognocitivamenteparamodelarunavariedad significativadesealesdeterministicasatravsde funcionesmatemticas,distinguirunasealcausal, continua o discreta, reconocer la simetra de una seal, laformadeonda,superiodicidad,diferenciaruna sealdeterministicadeunaaleatoria,determinarala energa o la potencia de una seal ACTIVIDAD PREVIA:Definiremos lo que es una seal. Relacionar procesos fsicos con variables fsicas. ACTIVIDAD DE ANLISIS: Lee el concepto de seal y funcin. Consideralaclasificacinde lasseales deacuerdoal valorquepuede tomar la variable independiente de la funcin, su simetra, su periodicidad, su energa o potencia y finalmente de acuerdo a su certidumbre.Comprendequeelsignificadodesealdetiempocontinuoysealde tiempo discreto.Analizacualeslaformacorrectadeconvertirunasealdetiempo continuoenunasealdetiempodiscreto,utilizandoelteoremadel muestreo o tambinteorema de Nyquist o Shanon. Razonaladiferenciaentreunaseal desimetrapar,desimetraimpary asimtrica,adems,analizacomounasealestconstituidaporuna parte par y una impar y cuando se dice que una seal es causal. Identificaunasealperidicadeunaaperidicaycalculaelperodo comn de una combinacin de sinusoidales.Distingue entre una seal determinista y una seal aleatoria. Calcular la potencia y energa de algunasseales. Razonalosmodelosmatemticosdelasfuncionessingularesyfunciones relacionadas.Distingue las sealesexponenciales complejas y sinusoidales. ACTIVIDAD DE SNTESIS: Elaboraconunalistadeprocesosfsicosyvariablesfsicasquenose hayanmencionadoenlalectura,construyeuncuadrosinpticodonde detalleslascaractersticasdeunasealdeTCperidicayunasealTD aperidica.Describeelmodelomatemticodeunasealdede crecimientoexponencial,yunasealenformadepulsosrectangulares que se repiten, calcula su energa y su potencia respectivamente. Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 2 AUTOEVALUACIN: ConsultayleeaM.J.Roberts,sealesysistemas,Edit.Mc.GrawHill, 2005,impresoenMxico,paginas113,contestaelcuestionariodelas actividad de autoevaluacin capitulo 1. Conviertaunasealdetiempocontinuoaunasealdetiempodiscreto tomandoencuentaelteoremadelmuestreodentrodelasactividadesde autoevaluacin capitulo 1. Identificasealesperidicasyaperidicasdesimetrapar,imparo asimtricas de las actividades, tambinobtener el periodo comn de una combinacindesinusoidales,correspondientealasactividadesde autoevaluacin capitulo 1. Calcula el valor de Energa o Potencia delas seales que se muestran en las actividades del autoevaluacin capitulo 1. Clasificarunasealyfinalmenteescribirelmodelodeunaseal actividades de autoevaluacin capitulo 1. Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 3 Qu es una seal? Unasealeslavariacineneltiempodeunamagnitudfsica,lacualest relacionada conun proceso fsico y contiene informacin del mismo, se representa matemticamente por medio de una funcin. Ejemplo. Seal de entradaProceso fsico Seal de salida Figura 1.1 Ejemplo de seales entrada-salida Tabla 1.1. Relacin entrada salida. Seal de entradaSistemaSeal de salida Representada por la funcin: :(t) = A - u(t) Donde: A es la amplitud del escaln Representadoporla ecuacin diferencial: ) ( ) () (t v t vdtt dvRCi oo= + Donde: Resla resistenciay Cesla capacidad Representada por la funcin: y(t) = A(1 - c-tRC)u(t) -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 300.10.20.30.40.50.60.70.80.91-2 0 2 4 6 8 1000.511.522.53 Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 4 Relacin entremagnitudes fsicas yprocesos fsicos Unprocesofsicoesunacontecimientoqueocurreenlanaturaleza,elcualse caracteriza por una transformacin de energa. Tabla 1.2. Relacin entre las sealesy los sistemas. Sistema o Proceso fsico SealoMagnitud fsica CLIMATEMPERATURA, PRESIN ATMOSFERICA, HUMEDAD, VELOCIDAD DEL AIRE. MOVIMIENTOPOSICIN, VELOCIDAD, ACELERACIN, MASA Y FUERZA. VUELODEUNA AVE EMPUJEYSUSTENTACIN IMAGENENLA PANTALLA LUMINANCIA (TIENE QUE VER CON EL BRILLO). CROMINANCIA(TIENEQUEVERCONELCOLOR,MATIZ, TINTE), CONTRASTE Y RESOLUCIN. RED ELECTRICATENSINYCORRIENTE, POTENCIA SISTEMA CIRCULATORIO FLUJOSANGUINIO,FRECUENCIACARDIACA,PRESION ARTERIAL, GASTO CARDIACO. 1.1 Concepto de seal y funcin. Lassealespuedendescribirunaampliavariedaddefenmenosfsicos(vertabla 1.2),en el anlisis de seales y sistemas lineales, las seales se representan mediante funcionesmatemticas.Auncuandolosdosconceptossondistintos,larelacin entre una seal y unafuncin matemtica que la representaes tan ntima que los dos trminos se usan casi como sinnimos en el estudio de seales y sistemas. Es comn en el estudio de seales y sistemas no hacer distincin entre los conceptos de seal yfuncin Para simplificar el anlisis de varios problemas cientficos y de ingeniera, casi siempre esnecesariorepresentarlascantidadesfsicasencontradascomofunciones matemticasdeunoodeotrotipo.Existeungrannmerodefuncionesyla eleccindelamsapropiadaparaunasituacinespecficadepende generalmente de la naturaleza del problema y de las caractersticas de la cantidad fsica a ser representada. Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 5 Unafuncinpodraserpensadacomolareglaquerelacionalavariable dependienteconunaomsvariablesindependientes,porutilidadprcticaenel restodeltextolavariableindependienteseconsideracomoeltiempo,asla representacin matemtica de una funcinse escribir:) (t x y =(1.1) Donde y es la variable dependiente, t es la variable independiente que asociremos coneltiempo,x(*)eslareglaquerelacionaestasdosvariablesdelaecuacin1.1 Sesugiereal alumno efecte la actividad1.1, favor de entregar alprofesor esta actividad por escrito(a mano). Actividad 1.1 LeeelprimercaptulodellibroM.J.Roberts,sealesysistemas,Edit.Mc.GrawHill, 2009, impreso en Mxico, Paginas1 13 y conteste las siguientes preguntas. 1. Qu es una seal? 2. Qu diferencia hay entre una seal y el ruido? 3. De qu partes est constituido un sistema de comunicaciones? 4. Qu es una seal de tiempo continuo? 6. Qu diferencia hay entre una seal determinstica y una seal aleatoria? 7. Qu ventaja tiene una seal digital? 8. Dibuje una seal TC. 9. Dibuje una seal TD. 10. Describa tres ejemplos de un sistema lineales Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 6 1.2. Clasificacin de seales- Existen muchas formasparaclasificar lasseales ofunciones,restringiremosnuestra atencin a aquella clasificacin que pudiera ser ms til para el estudio de seales y de sistemas lineales. Las seales se pueden clasificar de la siguiente manera: 1.- Seales de tiempo continuo y seales de tiempo discreto. 2.- Seales con simetra par, seales con simetra impar y sin simetra. 3- Seales peridicas y aperidicas. 4-.Seales deterministicasy aleatorias o fortuitas. 5.-Seales de Energa y seales de Potencia.1.2.1. Funcionesde tiempo continuo En el caso de las seales de tiempo continuo la variable independiente es continua, esto es,toma valores del conjunto de los nmeros reales, en otras palabras este tipo desealesestdefinidoentodoinstantedetiempo,porloqueestassealesse definenparaunasucesincontinuadevaloresdelavariableindependiente.Un ejemplo lo tenemos en unaseal de una voz como funcin del tiempo y la presin atmosfrica como una funcin de la altitud son ejemplos de seales continas.En la figura1.1semuestraunejemplodeunasealdetiempocontinuo) (t x ,endonde tambinuna seal de tiempo continuo se le llamaseal analgica. Cdigo de graficacin en matlab t= [0:0.001:5]; %vector detiempo x=exp (-0.7071.*t).*sin (4.*t); %Amplitud plot(t,x,'linewidth',2),grid %Comandode graficacin. Fig.1.1Representacingrficadeunasealde tiempocontinuox(t),estasealestadefinidaentodoinstantedetiempoysele conocecomosenoidalamortiguadaysumodelomatemticoestadadopor x(t) = Ac-utsin(t) . 0 1 2 3 4 5-1012 Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 7 1.2.2. Funciones de tiempo discreto Lassealesdetiempodiscretosloestndefinidasenintervalosdetiemposyen consecuenciaparaestassealeslavariableindependientetomasolamenteun conjunto discreto devalores Sepuedenencontrar ejemplos deseales discretas en estudiosdemogrficosenfuncindediversosatributosedad,ingresopromedio, ndicedecriminalidad,otroejemploeselndiceDowJonessemanaldelmercado de valores. Paradistinguirentrelassealesdetiempocontinuasylassealesdetiempodiscretasusaremoselsmbolotparadenotarlavariableindependientecontinua entreparntesis(),ynparaindicarlavariableindependientediscretaentrecorchetes []. Ejemplo 1.1 Unasealosecuenciadiscretaestmodeladaporlasiguienterepresentacin matemtica Grafiquemosestaseal,estarepresentacinseleconocecomofuncin exponencialdiscretarealylaformageneralesx|n] = on,lacualcumplex|n] - u, paracuando n siysolosi1 .Recordandoqueelvalorabsolutosedefine como = ,para0 y para0 , Parapropsitosdeanlisisyprocesamientox[n]puedeconsiderarsecomouna secuenciaordenadadenmerosconvaloresx[0],x[1],x[2],x[3]x[4],....donden= 0,1,2,3, ..... Para dicha funcinla grfica se muestra en la fig.1.2con valores: x [0] = 1, x [1] = 0.8, x [2] = 0.64, x [3] = 0.512,x [4] = 0.4096... Cdigo de la grfica en matlab n=0:10;%ndice de tiempo discreto x=(0.8).^n; %Amplitud de la funcin stem(n,x,'linewidth',3),grid,%Comandode graficacin. Fig.1.2 Representacingraficadeunasealdetiempodiscretodenominada Secuencia exponencial decreciente cuyo modelomatemtico es x|n] = on con |o| < 1 x|n] = u.8nporo n u0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1000.20.40.60.81 Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 8 1.2.3. Relacin entre las seales de TC y TD Enelprocesamiento(DSP)deunasealdetiempocontinuooanalgico,el muestreo constituyeun asunto fundamental. Una seal en tiempo discreto se deriva a menudo de una seal en tiempo continuo muestrendola cada intervalo de tiempo. Ver fig. 1.3, adquisicin de valores de una seal analgica en puntos discretos en el tiempo DejemosqueTS(dondeTSesnmerorealpositivofijo)seaelintervalodetiempo,el cualseledaelnombredelperododemuestreoyquenseaelnmerodeveces que tomamos las muestras. tmucstco-------nIs Fig. 1.3 Muestreode una seal adquisicin de los valores de amplitud de una seal contina a intervalos de tiempo fijos. Dondelasvariablesindependientes(t)y[n]detiempocontinuoytiempodiscreto, respectivamente,serelacionanlinealmenteatravsdelperododemuestreoTScomo: t = nIs=nFs (1.2) Donde Fs

es el reciproco de Is y se le conoce como la frecuencia de muestreo. 0 5 1000.510 5 1000.51 Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 9 Comomuestrearcorrectamenteunasealanalgicaparaevitaraliasing (traslape)? ElteoremadeNyquist:Estableceunareglaparamuestrearcorrectamenteuna sealanalgicanosdicecomodebeelegirselafrecuenciademuestreo Fsenbasea la siguiente relacin: Fs> 2b Dondebeslacomponentedefrecuenciamximadelasealanalgicaquese desea muestrear. Ejemplo 1.2 Sealasealdetiempocontinuodefinidaporx(t) = 2scn(8nt)quesemuestreaa unafrecuenciaFs= 1S Ezycomenzandoeneltiempot=0.Calculelosprimeros valores de la secuencia de muestras y grafique ambas seales. Solucin.El intervalo de muestreo es Is=1Ps=115 scgunJosla secuencia de muestras es: )152 * 4( ] 8 [ ] [ ] [ n sen T n sen nT x n xs s = = = , Fig.1.4graficadesealanalgicay discreta. Notas: Ts = 1Fs Ts = 115 (s); o = 8fo(rad/s) fo = 8n2n = 4 (Hz.) ; To = 1Io = 14 = 0.25 (s); Cumple con Nyquits: Fs = 15 > 2fo = 4(2) = 8 Hz. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-2-10120 5 10 15-2-1012 Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 10 tnTs =115n ; X[n] = 2sen ( 8n15n) ; Fd = IoFs = 415 = kN ; ( frecuencia digital es periodica si K y N so n enteros). =2nkN, N =2nk frecuencia digital angular y periodo fundamental N = 2nkCondicion para que la sinusoidal discreta se periodica siendo k yN enteros . =4 - 2n1S, N =2n - 44 - 2n1S=1S(2n - 4)2n - 4= 1S Donde K es el nmero de ciclos de la seal analogical donde se inscribe un ciclo compete de la seal discreta. (Ver figura 1.4). N= Numero de muestras en un ciclo de la seal discrete o periodo fundamental. De donde se cumple: TsN=kTo 115 15 = 4(0.25) 1=1 Cdigo matlab figura 1.4 t=0:.001:1;%Indice de tiempo x=2*sin(8*pi*t);% Amplitud analogicalplot(t,x,'r','linewidth',2),grid% Comando de graficacin n=0:1:15;%Indice de tiempo discreto y=2*sin(8*pi*(1/15)*n);%Amplitud discreta subplot(2,1,1),plot(t,x,'r','linewidth',3),grid,subplot(2,1,2),stem(n,y,'linewidth',3),grid

Se sugiere que el alumno efectelaactividad1. 2 y 1.3 y entrege a su profesor a travs deuna imprsin la respuesta dedicha la actividad. Actividad 1.2 Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 11 Elaboreamanolagraficadeunasealdiscretadefinidaporelmodelo matematico:

[ ] y n n para n x 5 0 , 2 . 01 =1 4 , 1 n para Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 12 Actividad 1.3 Conviertaunasinusoidaldetiempocontinuo(TC),aunasealdetiempodiscreto (TD) considerando lo anterormente expuesto y tomando en cuenta el teoraema de Nyquist: a)La seal analgica esta representada por) 40 cos( 5 ) ( t t x =,si se muestrea a una tasa de Fs=75hz.ComentesicumpleconelteoremadeNyquitsoteoremadel muestreo,ademsinterpreteelsignificadodeFd=f/Fs=20/75=4/15=k/N, intente graficar tanto la seal analgica como la seal discreta. b)Paraunasealqueestarepresentadapor e et j jtt x) 25 ( 2 50) ( = =,se muestreaaunavelocidadde100hz.Obtengaelmodelomatemticolaseal discreta x[n]. Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 13 1.2.4. Seales pares e impares Enelestudiodesistemaslineales,losproblemaspodrnsimplificarsemediantelas ventajasqueofrecenlaspropiedadesdesimetradelasfunciones.Unaseal x(t)x|n]esconocidacomounafuncinparsiesidnticaasucontraparte invertidaeneltiempo,esdecir,estreflejadarespectoalejeordenado.Estrictamenteuna seal de tiempo continuo es par si cumple con: ) ( ) ( t x t x = ,Para todo tiempo(1.3) Ver figura 1.5 Asimismo que una seal en tiempo discreto es par si cumple con: ] [ ] [ n x n x = Paratodo tiempo(1.4)Ver figura 1.6 En otras palabras una seal de tiempo continuo tiene simetra par si es idnticaa su reflexin con respecto al eje ordenado. Una seal de tiempo continuo se considera de simetra impar si ) ( ) ( t x t x = ) ( ) ( t x t x =(1.5) Ver figura 1.7 Una seal de tiempo discreto se considera impar si ] [ ] [ n x n x = ] [ ] [ n x n x =(1.6) Ver figura 1.8 Enotraspalabrasunasealtienesimetraimparsiesidnticaalainversadesu reflexin con respecto al origen. Una seal impar debe ser necesariamente 0 en t = 0 o n = 0, ya que las ecuaciones (1.5) y (1.6) requieren que x (0) = -x (0) y x [0] = -x [0]. Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 14 Ver grafica de unasealpar de tiempo continuo: Cdigo matlab de la fig.1.5 t1=-2:0.001:-1; t2=-1:0.001:0; t3=0:0.001:1; t4=1:0.001:2; t=[t1,t2,t3,t4]; x1=zeros(size(t1)); x2=t2+1; x3=1-t3; x4=zeros(size(t4)); x=[x1,x2,x3,x4]; plot(t,x,'linewidth',3),grid Fig. 1.5Una seal par de tiempo contino es idntica a su reflexin con respecto al eje ordenado cumple con x(t) = x(-t). Fig.1.6Unasealpardetiempodiscretoes idnticaasureflexinconrespectoaleje ordenado cumple conx [n] = x [-n]. Cdigo matlab de la fig.1.6 n1=-8:-6; n2=-5:5; n3=6:8; n=[n1,n2,n3]; x1=zeros(size(n1)); x2=ones(size(n2)); x3=zeros(size(n3)); x=[x1,x2,x3]; stem(n,x),grid -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 200.10.20.30.40.50.60.70.80.91-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 800.10.20.30.40.50.60.70.80.91-0-0-0-0-000000 Mt Ver grafic Fig. 1.7 (ccon resp x3=zeros( -8 -6 -4.5.4.3.2.10.1.2.3.4.5tro. Juan cas de sec) una seecto al or(size(n3)); -2 0 2Gustavo Rales imal imparrigen cun x=[x1,x2,x 4 6 8Ruiz Baraj pares Cdig >>t1=->>t2=0>>t=[t>>x1=->>x2=>>x=[x>>plotrtiempo ple con xx3];>stemas y Mtra. 15 go matlab-8:0.0001:00:0.0001:81 t2]; -1/2.*exp(1/2.*exp(-x1 x2];t(t,x,'linewcontino(t) = -x(-t) Fig. 1es idrespe Cdign1=-8n2=-5n3=6:n=[n1x1=zex2=n2(n,x),grid . Maria Gub de la fig.0;;(0.5.*t1); -0.5.*t2); width',3), go es idnt. .8Una sentica a laecto al origgo matlab8:-6; 5:5; :8; 1,n2,n3]; eros(size(n2; uadalupe.1.7 grid tica a la ineal impara inversa dgen cumpbn1)); e Casillas Lnversa der de tiempde su refleple con x Limon e su reflexpo discretexin con [n] =- x [-nxin to n n]. Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 16 Ahora observe las graficas de las seales siguientes Cdigo para fig.1.9 n1=[-4:1:-1]; n2=[0:1:5]; n=[n1,n2]; x1=zeros.*n1; x2=3*(0.5).^n2; x=[x1,x2]; stem(n,x,'linewidth',3),grid Fig. 1.9 Una seal discreta causal sin simetra, no par ni impar. Cdigo para la fig.1.10(f) t1=-8:0.0001:0; t2=0:0.0001:8; t=[t1,t2]; x1=zeros.*(t1);x2=exp(-0.5.*t2); x=[x1,x2]; plot(t,x,'linewidth',3),grid,

Fig. 1.10 Una seal de tiempo continuocausalsin simetra ni par ni impar. Estas seales no cumplen con las condiciones para simetrapar ni impar, por lo que se les conoce como seales que no tienen simetra. -2 0 2 4 6 8 1000.511.522.53-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 500.511.522.53 Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 17 Propiedades de la simetra de seales: Otrosresultadosinteresantesquepertenecenalaspropiedadesdesimetradelas funcionesson:elproductodedosfuncionesparesesunafuncinpar,elproducto dedosfuncionesimparesesunafuncinpar.Elproductodeunafuncinparcon unaimparesunafuncinimpar.Estosresultadospodransertilesparasimplificar algunas integrales. Aunmslassealessimtricascubrenunaduracinsimtrica(-a,a)entornoal origen. Elreadesealessimtricassobrelmitessimtricos(-a,a),tienenlassiguientes propiedades: Para seales de tiempo continuo simetra par da como resultado (1.7) Para una seal impar de tiempo continuo Para seales de tiempo discreto pares Para sealesde tiempo discreto impar: =aaae edt t dt tx x0) ( 2 ) (=aaodt tx0 ) ([ ] [ ] = ==knkk nn x n x02[ ] 0 = =kk nn x Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 18 Como ejemplos evaluemos Veamos se tiene que la funcin Locualsignificaquelafuncincoseno es par. Luegosetienequelafuncin Lo que significa que la funcin seno es impar Ahora bien las seales pares e impares obedecen las reglas: (par) (par)= par (par) (impar)=impar (impar) (impar)=par Porlotantoelproductodela funcin Es impary la integral de una funcin impar en lmites simtricos da como resultado: TTdt wt sen wt ) ( ) cos() cos( ) cos( wt wt =) ( ) ( wt seno wt seno =) ( ) cos( wt sen wt0 ) ( ) cos( =TTdt wt sen wt Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 19 Otro ejemplo donde se destacalas propiedades de simetra de una seal,obtener el rea de la siguiente seal modelada por: Cdigo matlab de la fig.1.11 t1=-8:0.0001:0; t2=0:0.0001:8; t=[t1 t2]; x1=1/2.*exp(0.5.*t1); x2=1/2.*exp(-0.5.*t2);x=[x1 x2]; plot(t,x,'linewidth',3), grid, Fig. 1.11 Obteniendo el rea de una seal mediante la propiedad de simetra. Y definida por: Su rea se obtendra evaluando dos integrales del tipo: Invocandolapropiedaddesimetradeunasealparlasanterioresintegralesse reducen a una sola; -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 800.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5etA t x= ) ({ 0 ) ( =t A t xet { 0 ) ( = t A t xet = + =00dt dt AreaAe Aet t [ ] [ ] A A Adt Areae Aet t 21 02 2200= = = = Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 20 Cualquiersealestconstituidaporunapartedesimetraparyotrapartede simetra impar: Es fcil demostrar que una seal arbitraria) (t xpuede ser expresada como una suma de una parte par) (txey una parte impar) (txo ; (1.8) (1.9) (1.10)

Ejemplo 1.4 Encuentrelapartepareimpardelasealquesemuestraacontinuacincuya representacin o modelo esta dado por: x(t) = _c-ut, t uu,t < u Cdigo matlab de lafig.1.12 >>t1=-8:0.0001:0; >>t2=0:0.0001:8; >>t=[t1,t2]; >>x1=zeros.*(t1);>>x2=exp(-0.5.*t2); >>x=[x1,x2];>>plot(t,x,'linewidth',3),grid,

Fig. 1.12Pulsoexponencialrealdecreciente y causal -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 800.10.20.30.40.50.60.70.80.91( ) ( ) ( ) t x t x t xo e+ =( ) ( ) [ ] t x t x t xe + =21) (( ) ( ) [ ] t x t x t xo =21) ( Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 21 Parte par de la sealy sugrfica Xe(t)=1/2[x(t)+x (-t)] Xe (t) = 1/2e-at parat> 0 1/2eat parat< 0 Odeotramanera Fig.1.13Parte par de la seal x(t) Parte impar de la seal y su grfica: xo(t)=1/2[x(t)-x(-t)] Xo (t) = 1/2e-at para t 0 -1/2eatparat < 0 Cdigo matlab de la fig. 1.14 >>t1=-8:0.0001:0;>>t2=0:0.0001:8;>>t=[t1 t2]; >>x1=-1/2.*exp(0.5.*t1);>>x2=1/2.*exp(-0.5.*t2); >>x=[x1 x2]; >>plot(t,x,'linewidth',3), grid Fig.1.14 Parte impar -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 800.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5etet x21) ( = Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 22 1.2.5. Seales peridicas y no peridicas Untipoimportantedesealesqueencontramosconfrecuenciaeslaclasede seales peridicas.Una seal peridica tiene la siguiente propiedad: (t) = (t + kIo) paratodot y cualquier entero k(1.9) Donde k es cualquier nmero entero y T0 es una constante de valor real positivo que representa la duracin ms pequea que cumple con la propiedad(1.9) conocido como el periodo fundamentalde la funcin se caracteriza por que en ese intervalo de tiempo la seal f(t) define un ciclo completo. El recproco del periodo se llama la frecuenciafundamentaldelafuncin.Lassealesperidicascontinuassurgenen unagranvariedaddecontextos.Enlafigura1.10semuestraunejemplodeuna seal peridica continua. La definicin anterior es valida excepto cuando x (t) es una constante, en este caso el periodo fundamental es indefinido ya que x (t) es peridicapara cualquier valor de T (caso la funcinescaln unitario, es peridica). Ejemplo 1.5 Graficaruna seal peridica de tiempo contino modelada por laserie de Fourier x(t) = o0+-1m+1(1mm1)scno(mt) Solucion: t=[-2:.001:2]; f=1; w0=2*pi*f; x=1.5; for m=1:1000; x=x+((-1)^(m+1))*(1/m)*sin(m.*w0.*t); end plot(t,x,'linewidth',2), grid Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 23 Fig. 1.16 Una seal peridica de tiempocontino Unejemplobastantecomndeunasealdetiempocontinuoperidicaesla expresada por: x(t) = Ascn(t _0) Para cualquier valor de la variable de tiempo t, se tieneque x(t) = Ascn|(t + I) +0] = Ascn _(t +2n)_ +0 = Ascn(t + 2n + 0) = Ascn(t + 0) Donde =2n1 es la frecuencia angular en (rad/s) y 0(rad o en grados )representa el ngulodefaseinicialconrespectoalorigenenradianesydependiendodelsigno queleantecedepuedeser+adelantooun-retraso0 = = 2n =:12n ,dondees el tiempo de adelanto o retraso y z =0m . Paraelejemplosiguientelasealestaadelantadasignificaquelacurvax(t)se desplazahacialaderechaconrespectoalorigendeltiempoconunvalordesegundos.AdemssedicequeesperidicaconperiodoI =2no,donde esla frecuencia angular en rad/s. -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-0.500.511.522.533.5 Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 24 Ejemplo 1.6 Graficar x(t) = Scos [n6t +n6Donde =n6con I =2no= 12 Como se observa en la figura 1.11 la seal se adelanta n6 roJioncs esta es la razn del signo + en el argumento de la funcin. Cdigo matlab de la fig. 1.17 t=-6*pi:.001:6*pi; x=3* cos(pi/6*t+pi/6); plot(t,x,'linewidth',3),grid Fig.1.17 Funcin coseno adelantado Las seales peridicas discretas son definidas de manera anloga.Especficamente, una seal discreta x[n] es peridica con periodo N, donde N es un entero positivo, y cumple con la siguiente relacin: x|n] = x|n +N] para todos los valores de n.(1.10) Ejemplo de una seal discreta: Periocidad de la funcin x|n] = Acux|n + ] x|n +N] = Acos|(n +N) +] x|n +N] = Acos|n +N +] -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-3-2-10123 Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 25 Es peridica con la condicin N = 2nk con la condicin de que N y k sean enteros =2nkN, N =2nk Ejemplo 1.7 Determinar A).- El periodo de la sealdiscreta modelada por x|n] = . 125an = xen(18an) SolucionA: x|n] = scno(- n) = scno(2nF - n) = scno(2nkN) = scno(u.12Snn) =scn [18nn = scno [22-8nn = scno(2n16n) Donde: es la frecuencia digital angular .Fes la frecuencia digital en herz y equivale a kN, N eselperiodofundamentaldelasealsinusoidalykeselnumerodecicloscompletos de la seal analgica donde la seal discreta inscribe un ciclo completo. B ).- Demuestre que dicha seal es peridica. La seal sinusoidal discreta es peridicasi cumple con x|n] = x|n + N] para todos los valores de n.(1.10) Sabemos que la funcin sinusoidal x|n] = Acux|n +] x|n +N] = Acos|(n +N) +] x|n +N] = Acos|n +N +] Es peridica con la condicin N = 2nk con la condicin de que N y k sean enteros =2nkN, N =2nk

Y para nuestro ejemplo =2n16;N =2n(1)2n16= 16 Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 26 C.- Graficar seal. 1.-Graficadelasealsenoidal discreta: X [n]=sin((1/8)*pi.*n).

Cdigo matla: n=[0:15]; X=sin((1/8)*pi.*n); stem(n,X),grid Fig. 1.18 Sinusoide periodica discreta 2.- Grafica de la seal senoidal discreta: X [n]=sin((2pi/16)*n). n=[0:15]; X=sin(((2*pi/16).*n)); stem(n,X),grid Fig. 1.18aSinusoide periodica discreta 0 5 10 15-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.810 5 10 15-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 27 3.- Grafica de la seal senoidal discreta: X [n]=sin((1/8)(pi)*(n+N)). n=[0:31]; N=16; X=sin((1/8)*pi*(n+N)); stem(n,X),grid Fig. 1.18b Sinusoide periodica discreta Ejemplo 1.8 Sea una seal sinusoidal de tiempo discreto modelada por X[n] = 5sen (0.2n) Determinar si es periodicaq y calculoar superiodo . Solucion: = 0.2aesla frecuencia l angular digital Lacondicio de periodicidad es =2nkN, N =2nk donde m y n son enteros.

N =2ak. 2a= 1k k = 1, 2, 3, 0 5 10 15 20 25 30 35-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 28 N = 1, 2, 3, 4, EsperidicaconperiodoN=10,eselperiodomspequeoyporlotantoesel fundamental. Fig. 1.19Seal sinusoidal periodica. Cdigo matl lab para la seal dicreta senoidal de la fig. 1.15 n=[0:10]; X=5.*sin(0.2*pi.*n); stem(n,X,'linewidth',3),grid Seales aperidicas: LassealesofuncionesquenosatisfacenlaEc.(1.9)oEc.(1.10)sonllamadasno peridicasoaperidicas.Unejemplodeunaseal aperidica sera una seal absolutamente integrable o en otras palabras de rea finita las cuales tienen forma de pulso ver fig.1.12, como ejemplo de dichas seales. Cdigo matlabde la fig.1.20 t1=-2:0.001:-1; t2=-1:0.001:0; t3=0:0.001:1; t4=1:0.001:2; t=[t1,t2,t3,t4]; x1=zeros(size(t1));x2=t2+1;x3=-t3+1;x4=zeros(size(t4)); x=[x1,x2,x3,x4];plot(t,x,'linewidth',3),grid Fig. 1.20 seal aperidica, le le conoce como la funcin triangulo unitario. -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 200.10.20.30.40.50.60.70.80.910 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-5-4-3-2-1012345 Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 29 Combinacin de senoides: Cundo es peridica una suma de seales sinusoidales? x(t) = x1(t) +x2(t) + xS(t) + ElperiodoComndeunacombinacindesinusoidalesesladuracinmspequea sobrelacualcadasenoidecompletaunnmeroenterodeciclos.Dichoperiodo comn est dado por el MCM (mnimo comn mltiplo) de los periodos individuales. El MCM de dos o ms nmeros, es el menor de sus mltiplos comunes. Para obtener elMCMdedosomsnmerossepuederecurrirasudescomposicinfactorial tomando cada uno de los factores primos que intervengan en las descomposiciones de los distintos nmeros elevado a la mxima potencia con que aparezca. Ejemplo 1.9 Considere la seal x (t) = 2 seno (2/3*t) + 3 seno (1/2*t) + 4 seno (1/3*t) y obtenga el periodo comn: Solucin: w1=2/3;T1=2*pi/w=2*pi/2/3=6*pi/2=3*pi,delamismamaneraseobtienenT2=4*pi yT3=6*pi. El periodo comnde x (t) es Tcomn = MCM (3*pi, 4*pi,6*pi) Tc= (3*2 2)= 12*pi segundos. Su frecuencia angular comn esc = 2*pi/Tc =2*pi/12*pi= 1/6 rad/s. Paramayorcomprensindelconceptocombinacindesinusoidessemuestrala grafica delas tres sinusoides solapndose: 3463 1422 1212 111 Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 30 Elperiodocomndeunacombinacindesinusoidalesesladuracinms pequea sobre la cual cada senoide completa un nmero entero de ciclos. Fig. 1.21Combinacin de sinusoides con periodo comn en el periodo comn de12 pi (0 a 37.69) se inscriben 4 ciclos completos de T1 (onda azul), 3 ciclos completos de T2(onda verde), 2 ciclos completos de T3 (onda roja). Ejemplo 1.10 Obtener el periodo comn de la siguiente funcing (t) = 10 sen (12*pi*t) +4cos (18*pi*t) 1.- Obtener los periodos comunes de cada funcin: w1=12*pi; T1=2*pi/w1=2*pi/12*pi=1/6 (s) w2=18*pi; T2=2*pi/18*pi=1/9 (s) Como se ve los periodos son fraccionarios en este caso debemos: 2.-Pre-multiplicarporunfactorunfactorcomnaambosperiodosparahacerlos enteros Por lo tanto el factor comn= 6*9 = 54 1/6*54/1=54/6=9 y1/9*54/1=54/9=6 3.-Obtener los factores primos de los enteros: 963 323 122 11 Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 31 4.- MCM 32*2=9*2=18 5.- Dividimos el MCM de los enteros entre el factor comn: 18/54=9/27=3/9=1/3 este ltimo es el MCM de las fracciones 1/6 y1/9 6.- Para comprobar divida el MCM de las fraccionesentre los periodos:1/3/1/6=6/3=2 1/3/1/9=9/3=3 Ambas funciones tienen un nmero entero de periodos, por lo tanto el periodo comn Tcomn = 1/3 (s) Para obtener la frecuencia comn de una combinacin de sinusoidales obtenga el MCD de las frecuencias individuales. Maximo comn divisor: es el mayor nmero natural que dividea todos ellos. Igual al producto de factores comunes con el minimo exponente. Ejemplo 1.11 Determinarlafrecuenciacomndeunasealqueestdescritaporuna combinacin de sinusoidales ) / ( 8 ) 56 , 40 , 24 () 56 cos( 3 ) 40 ( 2 ) 24 cos( 5 ) (s rad MCDt t sen t t xcomun = =+ + = MCD= 2*2*2=8 2440562 1220282 610142 3573 1575 1177 111 Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 32 1.2.6. Seales deterministas y aleatorias Quizsunadelasdistincionesmsbsicasquepuedenserhechas,cuandose discute la representacin matemtica de un fenmeno fsico, es que este puede ser unfenmenodeterminsticoounfenmenoaleatorio.Elcomportamientodeun fenmeno determinstico es completamente predecible (existe total certidumbre en cuantoasucomportamiento),mientrasqueelcomportamientodeunfenmeno aleatoriotienealgngradodeincertidumbreasociadoconeste.Parahaceresta distincin un poco ms clara, consideremos la observacin, o la medicin de alguna cantidadvariableconeltiempoasociadaconalgnfenmenofsico.Asumiendo quelacantidadhasidoobservadaporuntiempolargoyquetenemosunbuen registrodesucomportamientoenelpasado.Sienbasealconocimientodesu comportamientoenelpasado,podemospredecirsucomportamientoenelfuturo, decimos que esta cantidad es determinstica.Por otro lado, si no somos capaces de predecirsucomportamientoenelfuturo,decimosquestaesunacantidad aleatoria.Porloanteriorpodemosformalizarladefinicindetalessealesdela siguiente manera: Unasealdeterministaesaquelentornoalacualnohayincertidumbrecon respectoasuvalorencualquiertiempo,enconsecuencialassealesdeterministas puedenmodelarsecomofuncionescompletamenteespecificadasentiempo.Las sealesdeterministasestnasociadasalcomportamientodeunfenmeno completamentepredecible,porejemploelmovimientodeunpndulo,lacada libre, los voltajes y corrientes en un circuito elctrico. Unasealaleatoriaesaquellaenlaquehayincertidumbreantesdesuocurrencia real. Tal seal debe verse como parte de un todo o grupo de seales, cada seal en el grupo con diferente forma de onda, adems de que puede generarse con cierta probabilidad de ocurrencia.Dichas seales estn asociadas al comportamiento de unfenmenoaleatorio,porejemplo:lalluvia,lavoz,lasondasdeun electrocardiograma. Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 33 1.2.7. Clasificacin de seales de energa y de potencia. Iniciaremospordeterminarlapotenciainstantneaenuncircuitoresistivopuro mostrado a continuacin En este caso la potencia instantnea esta dada por: p(t) =(t)2R ; p(t) = Ri(t)2 Enamboscasoslapotenciaesproporcionalalaamplitudalcuadradodelaseal ademsparauna = 1 R ,vemosquelasecuacionesanteriorestomanlamisma formamatemticaporloqueindependientementedequelaseal) (t x represente un voltaje o una corriente la forma de la potencia instantnea ser: p(t) = x(t)2 En el anlisis de seales y sistemas se establece que esta potencia se entrega a una cargaresistivade = 1 R independientementedequelaseal) (t x seaunvoltajeo una corriente, por lo que recibe el nombre de Potencia instantnea normalizada y esenbaseaestaconvencindefinimoselconceptodeenergadeunasealo potencia promedio de una seal: La energa de seal se puede obtener a travs de

dt t xTETT2) (lim =.(1.11) O = dt t x E2) (.(1.12) Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 34 Paraseales de tiempo continuo. Laenergadelasealparaunasealdetiempodiscreto,sedeterminadela siguiente manera: [ ]2 ==nn x E.(1.13) Recordandoqueunasealx(t)podraserlavariacineneltiempodeunafuerza, deunatemperaturadeunaconcentracinqumica,unflujodeneutronesosise quiereun voltaje o unacorriente,lasunidades dela energade laseal dependen de las unidades de la seal, para el caso de que x(t)es un voltaje, la unidad es el volt (v), la energa de la seal se expresa en V2*s.Portantolasunidadessonsimplementeelcuadradodelasunidadesdelapropia seal. La energa y la potencia de una seal es una abstraccin de la fsica, este concepto nos brinda una medidadel vigor de una seal en comparacin con otra. Hay un tipodesealesquenilaintegral(1.12)nilasumatoria(1.13),convergendebidoa que la energa es infinita, esto suele ocurrir debido a que la seal no tiene rea finita onoconverge.Enestecasoesmsconvenientetratarconlapotenciapromedio de la seal en vez de con energa de seal. La potencia promedio de una seal de TC se determina como: = =2 /2 /2 2) (1 lim) (21 limTTTTdt t xT Tdt t xT TP(1.14) Si el lmite existe y es diferente de cero. Si la seal es peridicala potencia promedio de la seal es: dt t xTPT=2) (1.(1.14a) Larazcuadradadelapotenciapromediorecibeelnombrededevalormedio cuadrtico (rms) de la seal x(t). Para las seales de TD la potencia de la seal se define: Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 35 = =12] [21 limNN nn xN NP.(1.15) Silasealdetiempodiscretoesperidicalaformamsprcticadeencontrarla potencia promedio es: ==102] [1 Nnn xNP. (1.15a) Es usual clasificar las seales como aquellas que tienen energa finita y aquellas que tienen potencia promedio finita. ) (t xo[ ] n xes una seal de energa si y slo si E 0, tal que Promedio es igual a cero. Esdecir,silaenergadelaseal) (t x o [ ] n xesfinita,entonceslapotenciaenest seal es cero. ) (t xo [ ] n x es una seal de potencia si y slo si P 0, lo anterior implica que la energaesinfinita.Silapotenciaenlaseal) (t x o [ ] n x noescero,entoncesla energa en la seal es infinita. Sealesquenosatisfaganlasanterioresconsideracionesnoseclasificancomo seales de energa o seales de potencia. Lossiguientesdosejemplosilustranladiferenciaentresealesdeenergayde potenciadetiempocontinuoydetiempodiscreto.Elprimerejemploilustrael clculo de la energa y el segundo ilustra el clculo de potencia. Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 36 Ejemplo 1.12 Calculamoslaenergadelaseal definida como:

Cdigo matlab de la fig.1.22 t1=[-2:0.001:-1/2]; t2=[-1/2:0.001:1/2]; t3=[1/2:0.001:2]; t=[t1,t2,t3]; A=1; x1=zeros.*(t1);x2=A.*ones(size(t2)); x3=zeros.*(t3);x=[x1,x2,x3];plot(t,x,'linewidth',5),grid Fig. 1.20Pulso rectangular escalado en tiempo y amplitud (seal de energa). Elmodelomatemticogeneralizado es: De la Ecuacin (1.12) encontramos que la energa de este pulso es = =2222) ( ) (dttArect dt t x E La potencia la evaluamos empleando 1.14, encontramos que ( ) = = = =TTTTTATdttArectT Tdt t xT TP 02lim21lim) (21lim222 = tt AtArect2, 02 2, AdtAE2222= = Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 37 Ejemplo 1.13Considere una funcin peridica sinusoidal ( ) t A t xo cos ) ( =T00 2= Cdigo de Matlab fig.1.23 t=-2.5:.001:2.5; A=1; x=A*cos(2*pi*t); plot(t,x,'linewidth',4),grid Fig. 1.23 Funcincoseno una seal de potencia. La potencia promedio normalizada de esta seal empleando (1.14a) es dt t xTPT=02) (1, ( )dt t ATPTo=02 2cos1, donde [ ] x x 2 cos 121) ( cos2+ = AAPXEFICAZ7071 . 02 = = = La energa de est seal es [ ] =+ =Tdt t ATE02) 2 cos( 121 lim . Por tanto dicha seal es una seal de potencia. [ ]+ = + = T T Tpromediodt t dt dt tTATAP0 00020002) 2 cos(2) ( 2 cos 121 [] [ ][ ] + =+ =) 0 (4(41022 (2 120000020 000020sen sen t senTTTTTAtTAPT Tpromedio[ ]2) 0 ( ) 4 (41220002ATTTAPsen senpromedio= + = -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 38 Ejemplo 1.14 Encuentre la energa del pulso modelado por la secuencia discreta: [ ] 0 , ) 5 . 0 ( 3 = n para n xn y [ ] 0 , 0 = n para n x stadescribeunaexponencialdecrecientedeun lado. Su energa de seal es: 1225 . 0 19) 25 . 0 ( 9) 5 . 0 ( 3 ] [0022== = = = == = nnnnnn xE Fig. 1.24pulso de energa discreto de cdigo n1=[-4:1:0]; n1=[-4:1:-1]; n2=[0:1:5]; n=[n1,n2]; x1=zeros.*n1; x2=3*(0.5).^n2; x=[x1,x2];stem(n,x,'linewidth',3),grid -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 500.511.522.53 Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 39 Ejemplo 1.15 Considerelasealperidica [ ] ( ) 0 , 4 / 2 cos 6 = n para n n x cuyoperodoesN=4. Recordando que para queuna seal discreta sea peridica la frecuencia digital Fd debedarsecomouncocienteFd=kNdeenteros,dondeNeselperiodo fundamentaldelasealdiscretaykelnmerodeperiodosdelasealanalgica donde se describe un slo periodo de la seal discreta, en este caso = 2nFd=2n4y Fd=14por tanto el periodo es N=4 instantes de muestreo. -En un perodo se describen las muestras [ ] { }. 0 , 6 , 0 , 6 = n x Lapotencia promedio es: ( ) 18 0 36 0 364141302] [= + + + = = = nn xP Fig. 1.25 Una secuencia cosenoidal discreta peridica de periodo N=4. Cdigo Matlab fig. 1.25 n=[0:1:12]; x=6.* cos(2*pi*n/4); stem(n,x),grid 0 2 4 6 8 10 12-6-4-20246 Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 40 Consideracionesde seales de energa: Figura1.26muestracomodossealesdeareaidnticatienenenergadiferentedado su posicin. 1.2.8. Funciones singulares y funciones relacionadas. Enlasolucindeproblemascientficosydeingeniera,esconvenienteelusode funciones que no pueden ser descritas por una expresin algebraica simple sobre su domino entero. Dichas funciones estn descritas a continuacin. Funcin escaln Funcinescalnunitario,u(t)yu(n)casocontinuoydiscretorespectivamente.Se define: ( )=0 , 00 , 1ttt u. Cdigo matlab de la fig.1.27 t1=[-1:0.001:0]; t2=[0:0.001:3]; t=[t1,t2];x1=zeros.*(t1);x2=ones(size(t2)); x=[x1,x2];>>plot(t,x,'linewidth',7),grid Fig. 1.27 Funcin escaln, u(t), por excelencia esta funcin es causal; vale cero para t>t1=-2:0.001:-1; >>t2=-1:0.001:0; >>t3=0:0.001:1;t4=1:0.001:2;t=[t1,t2,t3,t4];x1=zeros(size(t1));x2=t2+1;x3=-t3+1; >>x4=zeros(size(t4));x=[x1,x2,x3,x4];plot(t,x,'linewidth',3),gridFig.1.31 Funcintri(t) Funcinexponencialdecreciente.Estafuncineselmodelomatemticode muchosprocesosfsicoscomoejemploelladescargadeuncapacitorola degradacindeunasustanciaqumicaenuntiempodeterminadosu representacines) ( ) ( ) ( t u A t u A t xe ett = =. Donde se le conocecomo constante detiempo del pulso (o ancho del pulso) en estetiempolafuncintieneunaamplituddeaproximadamentede1/3dela amplitud A. 1=, esel coeficiente de decaimiento del pulso, ver Fig. 1.32 Cdigo matlab fig.1.32 >>t1=[-1:0.001:0]; >>t2=[0:0.001:10]; >>t=[t1,t2]; >>A=3; >>x1=zeros.*(t1);>>x2=A.*exp(-0.5.*(t2)); >>x=[x1,x2]; >>plot(t,x,'linewidth',3),grid Fig. 1.32 Funcin exponencial decreciente. -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 200.10.20.30.40.50.60.70.80.91 Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 45 Funcin crecimiento exponencial: Tomandoladiferenciaentreunafuncinescalnyunafuncinexponencial decreciente da lugar a una funcin que denominamos de crecimiento exponencial muy til para representar un fenmeno fsico como la carga de un capacitor en un sistema elctrico: x1(t)=Au(t). x2(t)= A e-t/tauu(t). [ ] ) ( 1 ) ( ) ( ) (2 1t u A t u A t Au x x t xe et t = = =Dondepulso del ancho =1 La amplitud de la funcin en el tiempo igual a en este casoesdeaproximadamente2/3deA,comose observa en la fig. 1.33 Cdigo matlab fig.1.33 >>t1=[-1:0.001:0]; >>t2=[0:0.001:10]; >>t=[t1,t2]; >>A=3; >>x1=zeros.*(t1);>>x2=A.*(1-exp(-0.5.*(t2))); >>x=[x1,x2]; >>plot(t,x,'linewidth',3),grid Fig. 1.33 Funcin de crecimiento exponencial Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 46 Funcin rampa amortiguada: Se le conoce as dada la poderosainfluencia del decrecimientoexponencialsobre la funcin rampa x1(t) =ramp(t).=tu(t). x2(t)= A e-t/tauu(t). ) ( ) ( ) ( ) (2 1t u At t u A t tu x x t xe et t = = = ver fig. 1.34 Cdigo matlab fig.1.34 t1=[-1:0.001:0]; t2=[0:0.001:15]; t=[t1,t2]; A=1; x1=zeros.*(t1);x2=t2.*A.*exp(-0.5.*(t2)); x=[x1,x2]; plot(t,x,'linewidth',3),grid Fig. 1.34 funcin rampa amortiguada) ( ) ( t u At t xet = . 1.2.9. Seales exponenciales complejas y senoidal La seal continua exponencial compleja es de la forma: x(t) = Ccut.(1.20) DondeCyosonengeneralnmeroscomplejos.Dependiendodelosvaloresde estosparmetros,laexponencialcomplejapuedeadoptarvariascaractersticas diferentes.Unaclasedeexponencialescomplejasdegranimportanciaseobtiene considerando el campo puramente imaginario. Especficamente considere x(t) = c]oct(1.21) Una propiedad importante de esta seal consiste en que es peridica.Para verificar lo anterior, ser peridica con periodo T si c]oct= c]oc(t+1) o puesto que c]oc(t+1)= c]octc]oc1 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 1600.10.20.30.40.50.60.70.8 Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 47 Sedesprendeparaquelasealexponencialcomplejaseaperidica,debemos tener 1 cos2 2= + = t sen t et jo Si0=0,entoncesx(t)=1,lacualesperidicaparacualquiervalordeT.Sio0, entonces el periodo fundamental T0 de x(t) esta dado por: ooT 2= Unasealrelacionadaenformamuyestrechaconlaexponencialperidica compleja es la seal sinusoidal. x(t) = Acos(ot + ) Comoseilustraenlafig.1.3dondeA,o,ysonconstantesdefinidascomola amplitud,frecuencia angular y fase, respectivamente.Puesto que las unidades de t sonlossegundos,lasdeyosonradianesyradianesporsegundo, respectivamente. Tambin, es comn escribir o = 2fo donde fo tiene unidades de ciclos por segundo, o Hz. Usando la relacin de Euler, la exponencial compleja se puede escribir en trminos de seales exponenciales complejas, con el mismo periodo fundamental: Demaneraalternativa,podemosexpresarunafuncinsenoidalentrminosdela seal exponencial compleja como: Fig. 1.35 Seal sinusoidal contina t j j t j joo oe eAe eAt A + = +2 2) cos(-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-3-2-10123 Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 48 ( )[ ] += +t jooe A t A Re ) cos(,( )[ ] += +t jooe A t Asen Im ) ( Seales exponenciales complejas generales Elcasomsgeneraldeunaexponencialcomplejasepuedeexpresareinterpretar en trminos de los dos casos que hemos examinado hasta ahora: la exponencial real ylaexponencialcompleja.Especficamente,considereunaexponencialcomplejadonde C se expresa en forma polar y o en forma rectangular. Esto es: je C C =(1.22) y oj r a + =(1.23) Entonces, ( ) ( ) + += =t j rt t j r j ato oe e C e e C Ce Usando la relacin de Euler podemos expandir esta aun ms de la siguiente forma: ( ) ( ) + + + = t sen e C j t e C Ceortort atcos Asparar=0laspartesrealeimaginariadeunaexponencialcomplejason senoidales. Para r > 0 estas seales corresponden a seales senoidales multiplicadas porunaexponencialcreciente,yparar1, la seal y(t) es una versin comprimida de x(t). Si,porotroladoelvalordeaes0 , en la pantalla principal( command window) nos indica que MATLAB esta esperando que introduzcamos un comando o una variable. Para salir de MATLAB cuando sea pertinente use los comandos quit o exit. ESCALAR, VECTOR Y MATRIZ:A = 2.5Unslo datose denominaescalar. B =[2.5, 6.4 ]Si una matriztiene una sola fila ouna sola columna, la llamamosVector; para ser ms claros llamamos vector fila o vector columna. Matriz:-2 0 3 Eltamao de una matriz se especificapor el nmero de filas y deC =3-4 5columnas; as,C es una matriz de 3x3. Un dato de una matriz se 002puede identificar por los subndices; as C23 representa el dato 5 de la matriz C, si unamatriz contiene mfilas y n columnas, entonces contiene un total de m x nvalores;as, Ces una matriz de tamao3x3. ESTILO: Matlab es sensible a la diferencia entre maysculas y minsculas, as quelos nombres Espacio, ESPACIOy espacio representan tres variables distintas. DEFINICIN DE UNA MATRIZ: La forma ms sencilla de definir una matriz es usar una lista de nmeros, como:

A = [4.5] B = [1.6, 3.1]C = [-2, 0,3; 3,-4,5; 0, 0,2]o tambin C =[-2, 0,3 3,-4,5 0, 0,2] Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 78 PUNTOS SUSPENSIVOS:Si hay demasiados nmerosen una filade una matriz para quequepanenunalnea,podemoscontinuarlainstruccinenlasiguientelnea, peroserequiereuna comaytres puntosalfinaldelalneaparaindicarquelafila debe continuar.

Ejemplo: H = [-2,0,-3,4,-3,-4,5,0,0,2,1,1,1,3,4,-0.2] que se puede escribir como: H = [-2, 0,-3, 4,-3,-4,... 5,0, 0, 2, 1,1, 1, 3, 4,-0.2] MATLAB tambin nos permite definir una matriz a partir de otra previamente definida:Ejemplo: B = [1.5, 4.1] D = [-4, B] este comando equivale aD = [-4,1.5, 4.1] Tambin podemos modificarlos valores de una matriz o agregar valores adicionales usando una referencia a un lugar especfico. Por ejemplo: D (3) = 6;CambiaeltercervalordelamatrizDdelvalor4.1por6,paraquedar como: D = [-4,1.5, 6] As tambinlogramos extenderuna matriz definiendo nuevos elementos.Si ejecutamos el siguiente comando D (4) = 2.5;La matriz D tendr cuatro valores en lugar detres, asD se ver como D = [-4, 1.5, 6, 2.5]; Ahora si empiece a teclear datos y comandos de los siguientes ejercicios slo teclea los vectores no escribas el comentario % 1.- B = [2; 4; 6; 10]% DEFINE UN VECTOR COLUMNA.

2.- C = [5, 3, 5 ; 6, 2, 3 ]% DEFINE UNA MATRIZ 23. 3.- E = [3, 5, 10, 0; 0, 0 , ... 0, 3; 3, 9, 9, 8 ]% COMA Y TRES PUNTOS PARA CONTINUAR UNA LINEA. 4.- T = [4, 24,9] Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 79 Q = [T, 0, T]% INTERCALA UN VALOR DE CERO ENTRE DOS VECTORES. 5.- V = [C (2, 1); B] % DE LA MATRIZ C SELECCIONA EL VALOR(m, n) Y LO AGREGA AL VECTOR B. 6.- A (2, 1) = - 3% CREA UNA MATRIZ LLAMADAAY LE ASIGNA EL VALOR DE 3EN (m, n) Lee los siguientes comentarios y prueba su validez: El operador de dos puntos es til para generar matrices nuevas; Si se usa un signo de dos puntos para separar dos enteros, el operador de dos puntos generar todos los enteros entre los dos enteros especificados. Tecle: n = 1 : 10%Esteoperadoresespecialmentetilparagenerarlosndicesde tiempo de un seal de tiempodiscreto. Tambinse usan lossignos de dos puntos para separar tres nmeros, el operador de dos puntosgenerar valores entre el primer nmeroy el tercero, usando el segundo nmero comoincremento: Tecle: t = 0.0:0.5:6.0 % Este operador es especialmente til para generar los ndicesde tiempo continuo o un dominio de una funcin analgica. Elincremento tambin puede ser negativo Tecle: r =15:-1:0 Enlosucesivotrateencadaejemplodondelocreaadecuadodeprobarla autenticidad de los comandos Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 80 Funciones especiales para generar matricesnuevas. Lafuncinsizedevuelvedosargumentosescalaresquerepresentanelnmerode filas y el nmero de columnas, podemos usarsizepara generar una matriz de ceros que tenga el mismo tamao que la otra matriz ejemplo: Tecle W = [ 4, 3, 2; 4, 6, 3 ]; F= zeros(size ( W ) ) La funcin onesgenera una matriz que slo contiene unos. Tecle C= [1, 2, 3; 4, 2, 5];D = ones(size(C)) Operaciones con escalares, vectores y matrices: Tecle el enunciadode asignacin siguiente; a=3; b=[2,6,4]; c=[4,10, 2]; Los vectores y matrices pueden multiplicarse por un escalar: Tecle: a*b anseselnombredadoalavariabledondesealmacenaelresultadodela operacin previa cuando el usuario no le asigna un nombre. Un escalar puede sumarse a un vector o matriz:Tecle: a+c La suma de un escalar a un vector o matriz slo aade el escalar a cada elemento del vector o matriz la resta se define de manera similar:

Tecle: a-b Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 81 Los vectores y matrices se suman (o restan) como lo hacemos en matemticas, esto es, los dos vectores o matrices deben tener la misma forma para sumarse o restarse a menos que uno de ellos sea un matriz de 1*1, un escalar, como lo vimos antes : Tecle: b+c c-b Los vectores y las matrices se multiplican de acuerdo a las reglas del lgebra: Tecle: b*c EsteresultadoilustraunerrorcomnenMatlab.Lasmatricesdebenser conmensurables para ser multiplicadas utilizando el operador *. La pre multiplicacinde un vector rengln de 1 por 3como c por un vector rengln de 1 por 3 como b no esta definida. Sin embargo si c setranspusieraaunvectorcolumna3por1,sedefiniralamultiplicacin.La transposicin se efecta con el operador . Tecle: c b*c este es el producto bcT. Operaciones elemento por elemento: Amenudoesmuytilmultiplicardosvectoresomatricesdelamismaforma, elementoporelementoenvezdeutilizarlasreglasusualesdelamultiplicacinde matrices.Esetipodemultiplicacinsedenominamultiplicacindelarregloen Matlab y se lleva a cabo utilizando el operador .* Lasoperacioneselementoporelemento,uoperacionesdearreglos,noslose aplicanaoperacionesentredosmatricesdelmismotamao,sinotambina operaciones entre un escalar y un no escalar. Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 82 As pruebe lasinstrucciones de cada uno de los siguientes juegos de cdigos: Tecle: A = [ 4, 3, 2, 4, 6 ]; C = 3.*A G = A./5 Los vectores resultantes C y Gtendrn el mismo tamao que A. Afindeilustrarlasoperacionesdearreglosparavectores,considerelosdos siguientes vectores fila: Tecle: B = [ -6, 3, -2, 4, 6 ]; Calculemos el producto de arreglos de A y B usando las siguientes instrucciones: Tecle: L = A.*B El comando de divisin de arreglos, Tecle: F=A./B Asimismolaexponenciacindearreglostambinesunaoperacinelementopor elemento ejemplos; Tecle: Z = A.^2 M = A.^B Tambin podemos usar una baseescalar con un exponente vector como: P= 3.^A Losejemplosanterioresutilizaronvectores,perolasmismasreglasseaplicana matricesconfilasycolumnas,comolopodrsconstatardeclarandolamatrizdejecutando las operaciones indicadas: d= [ 1:6; -1:-1:-6 ]; f=d.*6 w=d.^2 Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 83 GRAFICAXvs.Y:Grficasxvs.ysencillas.Supongaquequeremosgraficarlos siguientes datos recabados de un experimento con un modelo de coche de control remoto.Elexperimentoserepite10veces,midiendoladistanciaqueunmvil recorre en cada ensayo. (x) Ensayo (y) Distancia 158.5 263.8 364.2 467.3 571.5 688.3 790.1 890.6 989.5 1090.4 Pruebegenerarestagrfica:creandounvectorllamadoxconlosdatosdela columna Ensayo,y un vector llamado ycon los datos de la columna Distanciay enseguida teclee: plot (x, y), grid yde enter Se genera automticamente la grfica. Una manera elegante de presentar una grfica exige la inclusin de unidades y un titulo Por lo tanto en el cdigoanterior incluya los siguientes comandos: plot(x,y), title (Grfica de experimento), xlabel ( Ensayo), ylabel (Distancia), grid Siseagregauntercerargumentoenelcomandoplotstecontrolaelcoloryel estilo de la grfica. Es una cadena la que determina el color de la lnea, estilo de la misma y los smbolos (si los hay ) utilizado para los puntos de marca, por tanto intente dar elegancia a su grafica anterior agregando al comando plot: plot (x,y,ro), grid Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 84 LISTA DE CARACTERES COLORMARCADOR ESTILO DE LINEA yamarillo.punto-continua mmagentaocirculo:punteada ccyanxmarca x-.guin-punto rrojo+ms--guionada gverde *asterisco bazulscuadrado wblancoddiamante k negro v triangulo(hacia abajo)^triangulo (hacia arriba) Los archivos .m o archivos .M Estetipo de archivo es de lo msimportante que sepuede generar por elusuarioenMATLAB,esunarchivoqueejecutalasinstruccionesprogramadasenl,yque pueden convertirse en uncomando de Matlab. Ahora t crearas un archivo.m Desde la ventana de Matlab seleccionanew, M-file Aparecer un blok de notas dentro de l, declara las siguientes variables: Tecle: t =[0:0.001:2];m = 2; y = m .*t; plot(t, y, 'r', linewidth,4),grid Despusguardaestecdigoenelmismoblokdenotasenlapartesuperior(file saveeneldrivea:pendiente.msieselcaso)conelnombrependiente.m,est nombredearchivoseconvierteenuncomandodeMatlabconelnombre pendiente. Ejectalollamndolosloconsunombrependientedesdelapantallade comandossinlaextensin.m(antesdellamarlorecuerdacambiartededirectorio delC: ala: con la instruccincd a :si es el caso) . Este archivo .m puedes llevarlo a otra computadora que tengael programaMatlaby ejecutarlo . GRFICAS LINEALES Y LOGARTMICAS:Lamayorpartedelasgrficasque generamosdanporhechoquelosejesxvs.ysedividenenintervalos Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 85 equiespaciados;estasgrficassellamangrficaslineales.Unaescalalogartmica (de base 10) es til cuando una variable abarca varios rdenes de magnitud. Los comandos MATLAB para generar grficas lineales y logartmicas de los vectores x y y son los siguientes plot (x,y)Genera una grficalineal con los valores de x y y. semilogx (x,y)Generaunagrficadelosvaloresdexyyusandounaescala logartmica para x y una escala lineal para y. semilogy (x,y)Generaunagrficadelosvaloresdexyyusandounaescala lineal para x y una escala logartmica para y. loglog (x,y)Generaunagrficadelosvaloresdexyyusandoescalaslogartmicas tanto para x como para y. Ms adelante se ver comoutilizar estos comandos (Actividades3.1, primera partecdigo No.2) GRFICASMLTIPLES:Unaformasencilladegenerarcurvasmltiplesenlamisma grfica es usar mltiples argumentos en un comando de graficacin, como en: Plot (x, t, y ,t) Al ejecutarse este programa, se traza la curva correspondiente a x versus t, y luego se traza en la misma grafica la curva correspondientey versus t. Msadelantesevercomoutilizarestoscomandos(Actividades3.1,primera partecdigo 3). SUBGRFICAS:Elcomandosubplotpermitedividirlaventanadegrficosen subventanas.Lasposiblesdivisionespuedenserdossubventanasocuatro subventanas o incluso 8 ventanas en una hoja. Los argumentos del comando subplot son tres enteros: (m, n, p). Los dgitos m y n especifican que la ventana de grficos se divida en una retcula de m por n ventanas ms pequeas, y el digito p especifica la p-sima ventana para la grfica actual ( donde se ubica esta grafica) . Las ventanas se numeran de izquierda a derecha y de arriba abajo. Porejemploelsiguientecomandosubplot(2,1,1),plot(x,y)especificaquela ventanadegrficossedividaenunagraficasuperioryunainferior(doslneasde graficasenunacolumna)yquelagraficaactualplot(x,y)secoloqueenla ventana superior. En la actividades 3.1 el cdigo no.2 contiene unjuego de instrucciones quegenera cuatrogrficasqueilustranlafuncindelcomandosubplotempleandoescalas lineales y logartmica. Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 86 3.2. Seales definidas por intervalos Unasealquevariaenformacaprichosasepuederepresentaranalticamenteen trminos de seales simples definidas sobre intervalos. Una representacin de una seal en un intervalo tiene dos aspectos: a)Un pulso rectangular se modela en el intervalo sobre el cual se describe una porcin de la seal. b)Unarepresentacindelasealmediantealgnmodelodeterministico para ese intervalo. 3.2.1. Procedimiento para representar una seal por intervalos 1ero.- Divida la seal en intervalos de tal forma que tenga una representacin simple decadaintervalomedianteunmodelomatematicoconocidodeunaseal deterministica (recordando que stas se conoce su modelo paatodo tiempo). 2da.- Escriba la funcin pulso unitaria escalada y desplazada de la forma

para cada intervalo. sta funcinvale 1 en el intervalo de inters y 0 en el resto. 3ra.-Desarrolleunarepresentacinanalticadelasealencadaintervalo, multiplique esta representacin por la funcin pulso adecuado. 4ta,.Sumelasrepresentacionesparacadaintervaloconelfindeformarelmodelo completo de la seal. Funcin Pulso Unitario desplazado La siguiente ecuacin es la representacin de una funcin pulso unitaria desplazada b unidades en el tiempo y con un factor de escala . 1, 2 2 + b t b

0, en otro tiempo {{ tiempo otro enb t bb trect, 02 2, 1 + = = b trect Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 87 Cdigoparagenerarlafuncinpulsorectangular escalado y desplazado: b=6; e=4; t1=[-6:0.001:b-e/2]; t2=[b-e/2:0.001:b+e/2]; t3=[b+e/2:0.001:2*b]; t=[t1,t2,t3]; x1=zeros(size(t1)); x2=ones(size(t2)); x3=zeros(size(t3)); x=[x1,x2,x3]; plot(t,x,'r','linewidth',2),grid Fig. 3.2 Pulso rectangular escalado y desplazado. x(t) tb e 1 2+ b 2 b Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 88 Ejemplo 3.1Encontrar la representacin analtica de la siguiente seal. Fig.3.3Sealdetiempo continodefinidapor intervalos. Paso 1: dividir en intervalos I1 : -10 t 0 I2 : 0 t 10 I3 : 10 t 30 Paso 2: funcin pulso para cada intervalo I1 : +105 trectI2 : 105 trect I3 : 2020 trect Paso 3:a) Representacin analtica de la seal para cada intervalo para I1 : constante I1 : x(t) = 0.5 para I2 : lnea recta:y(x) = mx + b pendiente m =105 . 1 = 0.15cruce con el eje x(t) b = 1 I2 : x(t) = 0.15t + 1 para I3 : funcin de crecimiento exponencial:y(t) = A(1 te ) con = 3, =333 . 031 1= = , A = 0.5, desplazamiento de 10 unidades a la derecha I3 : x(t) = 0.5 [1 ) 10 ( 333 . 0 te ] -10 -5 0 5 10 15 20 25 30-0.500.51 Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 89 Multiplicacindelasrepresentacionesanalticasporlafuncinpulsoparacada intervalo I1 : 0.5 * +105 trect I2 :( 0.15t + 1) * 105 trectI3 : (0.5 [1 ) 10 ( 33 . 0 te ]) * 2020 trect Fig. 3.4 Seal de tiempo contino definida por intervalos. Cdigo en Matlab t1=[-10:.001:0];%intervalo de tiempo donde la seal es constante 0.5t2=[0:.001:10];%intervalodetiempodondelasealesunapendientenegativa t3=[10:.001:30];%intervalodetiempodondelasealinicauncrecimiento exponencial con una tau de valor 2. t=[t1,t2,t3];% intervalo totalde tiempo. x1=0.5*ones(size(t1));%vector de amplitud de la parte de valor constantex2=-0.15*t2+1;% vector de la pendiente negativa que cruza el eje en 1. x3=0.5*(1-exp(-0.333*(t3-10)));%vector de crecimiento exponencial desplazado t=10. x=[x1,x2,x3]; % suma de vectores de amplitude. plot(t,x,'b','linewidth',2),grid% commando de graficacion. Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 90 Paso4:Sumadelasrepresentacionesdecadaintervaloparaobtenerelmodelo matemtico de la seal complicada: x(t) = 0.5 * +105 trect + ( 0.15t + 1) * 105 trect + (0.5 [1 ) 10 ( 333 . 0 te ]) * 2020 trect 3.3Bucle for Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 91 Como ejercicio para el alumno se sugiere la actividad3.1 Intenta crear una grafica usando el ciclo for Telet=[-1:.005:1]; f=1; w0=2*pi*f; x=1.5*ones(size(t)); for i=1:100; x=x+((-1)^(i+1))*(1/i)*sin(i*w0.*t); endplot(t,x,'r','linewidth',2), grid Unamst=[-2:0.001:2]; x=0.25*ones(size(t)); for m=1:2:99 x=x+(-1)^((m-1)/2)*1/(m*pi)*exp(i*m*pi*t); end plot(t,x,'r','linewidth',2),gridSacatus conclusions Como ejercicio para el alumno se sugiere la actividad3.2 3.2 Obtener el modelo matemtico de la siguiente seal por intervalos. Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 92 3.3 Los siguientes comandos produciran una graficade la funcin f(t)=(i+t)^2 en 3Dcorre el programacomenta cada una de las lneas. Cdigo Matlab:>> T=[0:0.001:10]; >> R=real((i+T).^2); >> I=imag((i+T).^2); >> plot3(T,R,I,'--r'),grid,xlabel('Tiempo'),ylabel('Real'),zlabel('Imagiario') Nicols Coprnico (1473-1543) El polons Nicols Coprnico, naci en Torn ( hoy Toru), Polonia, el 19 de Febrero de 1473,enelsenodeunafamiliaeconmicamenteacomodada,elhermanodesu madre,unricocomerciantefinancitodoslosgastosdesusestudiosenlasmejores universidades de Europa. Siendo muy joven curs sus primeros aos en la Universidad deCracovia,estecentrouniversitarioofrecalasmejoresopcionesparaadentrarse enelmundodelosastros.Laastrologaeraunadisciplinadedicadaala interpretacin del orculo, a partir de Nicols Coprnico se inicia la transicin hacia la astronoma. Cuando Coprnico inici sus estudios en la principal Universidad de la capital polonesacursandounacarreradelcampodelreahumansticahumanidades, posteriormentesetrasladoaItaliaparacontinuarsusestudiosenelcampodela medicina y las leyes. De igual forma Coprnico se interes por el estudio del derecho cannico en la Universidad de Bolongnia.Se dice que es en esta ciudad en donde suvocacinporelderechocannicosufriungirodecientoochentagrados. Buscandoalojamientoseencontrconunpersonajequeaosmstardeserael Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 93 responsabledesupredileccinporlascienciasnaturales,analizadasalaluzconel apoyodelasmatemticasaplicadas.Estepersonajeseconoceconelnombrede DomenicoMariadeNovara.EldestinoletenapreparadoaCoprnicotodoun escenarioparainvolucrarseenlatesisheliocntricadeAristarcodeSamos. Contrariamente a este supuesto se encontraba la tesis de Claudio Ptolomeo, el cual afirmaba quetodo gravitabaenformaarmnicateniendocomo centroa latierra. ParafortunadeCoprnicoelprofesorquelepermitiunsitioparahospedarse result ser un recalcitrante crtico de la tesis geocntrica. NicolsCoprnicoesconsideradocomounhombredeciencia exageradamentemodesto,algradotalquejamsaceptreconocimientosy condecoracionesasutrabajo.Paralelreconocimientoloseparabamsdesu labor que fortalecer su relacin de investigador. El9demarzode1497Coprnicojuntoconsuanfitrinobservaronuneclipselunar, esteacontecimientotuvodefondolaposibilidaddeestudiarlosfenmenos astronmicos junto con la incipiente ciencia, la Geografa. Era el ao1502. El joven profesor de astronoma de la Universidad de Roma, hizo una brevepausaensuleccinsobreelplandeluniverso.Detodoslospasescivilizados delmundoarribaronsusdiscpulosparaorlasleccionesdeCoprnicosobrelas estrellas y los planetas. Continu haciendo su exposicin del sistema tolemaico: La tierraeselcentrodeluniverso,elsol,lalunayloscincoplanetassonsatlitesque girandiariamenteentornoanuestramajestuosatierraenuncrculoperfecto.Ms allseencuentranlasestrellasfijas,quetodolorodean.Estssonlasverdades fundamentalesqueescribielgranClaudioTolomeohacemsdemilquinientos aosyquesonevidentesparalossentidos.Unjovendeojosbrillanteshizouna pregunta, Distinguido Profesor, no disput esto el antiguo filsofo griego Pitgoras, diciendo que no es la tierra la que se encuentra en el centro del universo, sino el Sol? Coprnicoestabaapuntoderesponder,comolohizomuchasveces,queelgran AristtelesrefutcategricamenteaPitgorasyquesiendoelhombrelaobra maestra de Dios, la tierra que habitaba debera estar al centro del Universo. Esta vez sinembargo,Coprnicotenatanpocafeensuacostumbradarespuestaquedio porterminadalaclaseysalibruscamentedelasala,despusdetresaosde dedicarsealaenseanza,resolvirenunciar.Comonodeseabaensearloquel mismo dudaba, decidi volver a su casa, en Frauenburg, que entonces era parte de Polonia,paradedicarseadeterminarparasusatisfaccinsiTolomeoylos distinguidos profesores del siglo XVI tenan razn o estaban equivocados. En1497retornaPoloniayaceptelpuestodecannigodelacatedralde Frauenburg,locualleasegurabavitaliciamenteunaposicinacomodada.La ciudaddeFrauenburgsebeneficibastantedeltalentodeCoprnico,yaqueel cannigo haba planeado la construccin de cierta mquina hidrulica que facilit el suministro del agua para la poblacin. Segnlatradicin,elprimerejemplarimpresodesuobrallegalasmanosde Coprnico el ltimo da de su vida. Falleci el 24 de Mayo de 1543 en Frauenburg. Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 94 Coprnicoideunnuevosistemaquecontradecaelformuladoporel astrnomoalejandrinodelsigloIIClaudioTolomeo,apoyadoporAristtelesy aceptadoporlaiglesia,quesebasabaenciertasreferenciasbblicas.Lateora geocntricadeTolomeo,explicabalosmovimientoscelestesmediantecomplejos recorridos llamados epiciclos. Al desechar el sistema astronmico que conceba a al tierra comocentro deluniverso y colocar en ese lugaral sol,Coprnico dioinicioa una revolucin no slo de la astronoma, sino de toda la ciencia. CoprnicovivienelpalacioepiscopaldesutoenLidzbarkWarminskientre 1503 y 1510, y trabaj en la administracin de la dicesis y en las actividades contra los caballeros de la Orden Teutnica. All public su primer libro, una traduccin del latndecartasdeticadeunautorbizantinodelsigloVII,TeofilatosdeSimocata. Entre 1507 y 1515 escribi un tratado breve de astronoma, De hypothesibus motuum coelestium a se constitutis commentariolus (ms conocido como el Commentariolus), quenosepublicarahastaelsigloXIX.Enestaobrasentlasbasesdesunueva astronoma de concepcin heliocntrica. DespusdesutrasladoaFrauenburgo,en1512,Coprnicotomparteenla comisin del quinto Concilio Laterano para la reforma del calendario (1515); escribi untratadosobreeldinero(1517)yempezatrabajarensuobraprincipal,De revolutionibusorbiumcaelestium(Sobrelasrevolucionesdeloscuerposcelestes), queculminen1530yfuepublicadael24demayode1543,pocoantesdesu muerte, por un editor luterano en Nuremberg, Alemania. UnadelasaportacionesdelsistemadeCoprnicoeraelnuevoordende alineacinde losplanetassegn sus periodos de rotacin.Adiferencia de lateora deTolomeo,Coprnicovioquecuantomayoreraelradiodelarbitadeun planeta, ms tiempo tardaba en dar una vuelta completa alrededor del Sol. Pero en el siglo XVI, la idea de que la Tierra se mova no era fcil de aceptar y, aunque parte de su teora fue admitida, la base principal fue rechazada. AsolicituddelPapalacomisindelquintoConcilioLateranoparalareformadel calendario1515,aconsejalgunasreformasprcticasparahacermsprecisoel calendario,deca:Coprnicofueelprimeroendescubrirladuracinexactadel ao.Autoridadesposterioresencontraronquesusclculosdelongituddelao tenan un error de slo veintiocho segundos. Usandofrmulasmatemticasysuteoradelmovimientodelosplanetas, predijolasposicionesdelosplanetasMarte,Saturno,JpiteryVenus.Luego explorandoansiosamenteelcielodurantevariosaosparaversisusclculoseran correctos, descubri con gran alegra que lo eran. Al fin tena pruebas para demostrar que la teora tolemaica, con su falsa explicacin delasvariacionesysustelaraasdeconfusineincoherenciasquehacandela astronomaunacienciaequivocada,erafalsa.LateoraqueverificoCoprnico pona al sol en el centro del universo, la tierra y los otros planetas giraban alrededor del,ylasestrellaslorodeabantodoenelcieloinfinito.Sabaquelatierragira tambinsobresupropioeje,locualdabaeldaylanoche.Dichosmovimientos siguenlasinfaliblesleyesmatemticasdelanaturaleza.Puedepredecirsecon Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 95 frmulasmatemticaslaposicindecadaplanetaenelcieloencualquier momentodado,inclusiveloseclipses.Coprnicodescubrilaverdad,peroel conseguirqueelmundolaaceptaraeraunprocesolentoypeligroso,quese enfrentaba a antiguas creencias vinculadas con la supersticin y el dogma religioso. Coprnico decidi no publicar sus hallazgos, sin tratar de ganar partidarios entre los hombrescultosmediantelaconversacinydiscusin.Lohizoasconxitolimitado. Martn Lutero lo acus de ser un necio que quera volver completamente del revs el arte de la astronoma. Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 96 CAPTULO 4. SISTEMAS, su descripcin OBJETIVO: Que el alumno tenga la capacidad para describir laspropiedadesdelossistemasanalizandosu representacin matematica. . ACTIVIDAD PREVIA: Definir que es un sistema. ACTIVIDAD DE ANLISIS: Razonar que importancia tiene el operador del sistema.Observarla construccin deun diagrama debloques. Analizarcadaunadelaspropiedadesdeunsistema:causalidad, memoria, linealidad, invariancia en el tiempo y estabilidad. ACTIVIDAD DE SNTESIS: Elaborar un cuadro sinttico de las propiedades de los sistemas. Apartirdeunaecuacinendiferenciaodeunaecuacindiferencial determinar unsistema de acuerdo a sus propiedades. AUTOEVALUACIN: Elaborar la actividad No.4.1 y 4.6 de actividades de autoevaluacin Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 97 Definicin Unsistemaeslarepresentacinmatemticadeunprocesofsicodetalmanera queunasealdeentrada,alpropagarseatravsdestesevetransformada medianteunareglaoprocedimientoquecaracterizaalsistemaenunasealde salida. 4.1. Clasificacin Sistemadetiempocontinuo:Unsistemadetiempocontinuoseusaparaprocesar sealesanalgicas.Eneldominiodeltiempolamayorpartedelossistemas continuos se pueden describir por medio de ecuaciones diferenciales. Ejemplo: ) ( ) () (t V t Vdtt dVRCent salsal= + Sistemasdetiempodiscreto:Elprocesamientodelassealesdiscretasserealizaen sistemas de tiempo discreto o filtros digitales. En el dominio del tiempo la mayor parte delossistemasdiscretossepuedendescribirpormediodeecuacionesen diferencias Ejemplo:[ ] [ ] [ ] 138 + = n y n x n y 4.2. Definicin del operador H En este libro consideramos unsistema como un modelo matemtico de un proceso fsicoquerelacionamedianteunoperadordetransformacinunasealde entradaenunasealdesalida.Eloperadordetransformacinrepresentaalguna regla, procedimiento, algoritmoo incluso un programa de software que nos muestra cmotransformarlaentradaenunasalidadelsistema.Estoserepresenta matemticamente as: { } ) ( ) ( t x H t y = Loquenosindicaquesiunasealx(t)setrataexactamentecomoeloperadorH requiere, obtenemos la funcin y(t). En un diagrama de bloques el operador H se representa as: Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 98 Figura 4.1. Diagrama a bloques H = operador derivada y(t) =dx(t)dt y|n] = x|n - k] Porejemploparaunsistemadetiempocontinuoelcualsecaracterizaporel operadorH{.}=20d/dt{.}5indicaqueparaobtenery(t),debemosrealizarla derivacin de x(t) multiplicarla por 20 y luego restarle 5 al resultado, esto es : 2uJJtx(t) - S = y(t) Ejemplo 4.1:Formulemos el operadorH delsiguiente sistema discreto: y[n] = 1/5{ x[n] + x[n-1]+ x[n-2] } Se trata en esencia de un sistema promediador discreto cuya funcin es suavizar las fluctuaciones rpidas de los datos de la entrada (o filtro digital pasa bajas). Consideremos el operador de retardo s k = ( n - k) ; por lo tanto : H = {1/5 (1 + S + S2)} es el operador del sistema y[n] = x[n] H=x[n] { 1/5 (1 + S + S2)} =1/3 {x[n]+ S x[n]+ S2x[n]}= =1/5(x[n] + x [n-1]+ x[n-2]) 4.3. Interconexin de sistemas Diagrama de bloques de sistemas de tiempo continuo Losdiagramasdebloquessontilespararepresentarsistemascomplejosquese forman por unin de sistemas ms simples. Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 99 Puntoderamificacin:Todaslassealesquesalendelpuntoderamificacinson iguales a la seal de entrada a dicho punto Figura 4.2. Punto de bifurcacin, ramificacin o punto de distribucin Punto de suma o detector de error: La seal que sale del punto de suma o detecin eslasumaalgebraicadetodaslassealesqueentranalmismo,solamenteuna seal sale del punto de suma. Figura 4.3. Punto de suma o deteccin. Bloque de producto: la salida es el producto de x[n] por la constante a: Figura 4.4. Bloque de producto Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 100 Ejemplo 4.2:Dibujar los diagramas de bloques de los procesadores descritos por las ecuaciones. |n] =x|n] +x|n -1] +x|n -2]S OPCIN 1 Fig. 4.5 Diagrama de bloques de un procesador de tiempo discreto OPCIN 2 Fig. 4.6Diagrama de bloques de un procesador de tiempo discreto. |n] = x|n] +y|n -1] - u.8y|n - 2] Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 101 Fig. 4.7Diagrama de bloques de un procesador de tiempo discreto Fig. 4.8 Diagrama de bloques de un procesador de tiempo discreto Como ejercicio para el alumno se sugiere la actividad 4.1 y 4.2 de las actividades de autoevaluacin. Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 102 Diagrama de bloques de sistemas de tiempo contino I(t)1=ddty1 Ecuacin (1) I1(t) = 4x(t) -2y(t)Ecuacin (2) I2(t) =ddty(t)Ecuacin (3) I2(t) = y1+ 4x(t) +8y(t) Ecuacin (4) Primero se eligen como entrada y salida a x(t) y a y(t) respectivamente De la ecuacin (3) se obtiene a y(t) = ]I2(t)Jt y se produce De usa a la ecuacin (4) y se produce De la ecuacin (1) se obtiene y1(t) = ]I1(t)Jty se produce De usa a la la ecuacin (2) y se obtiene Se conectan los bloques y se da el siguiente resultado Fig. 4.9 Diagrama de bloques de un sistema de tiempo discreto con integradores. Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 103 Modelosmatemticos de sistemas fsicos Elmodelomatemticodeunsistemasedefinecomounconjuntodeecuaciones utilizadas para su representacin PorejemploparalossistemasmecnicosutilizamoslasleyesdeNewton,la segunda ley de este estableceque Si una fuerza f se aplica a un cuerpode masa m, este se mover con una aceleracin a proporcional a la fuerza aplicada, dicha ecuacin se escribe: ma f = Cuando el modelo matemtico de un sistema es una ecuacin que contiene razones de cambio con respecto al tiempo el sistema se dice que es dinmico o que tiene memoria. As: Fig. 4.10 Representacion de un modelo matemtico de unsistema mecnico. Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 104 Porejemploestesistemabienpodraserunamortiguadordeautomvil,su representacin seria tomando en cuenta la segunda ley de Newton. ) ( ) ( 02222t FMKxdtdxMbdtx dt F Kxdtdxbdtx dM + = + = Fig. 4.11 Diagrama de bloques de un sistema mecnico. ) () ( ) (22t Kxdtt dxbdtt x dM F + + = Mdt MMa f = = = Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 105 Ejemplo de un modelo matemtico de unsistema elctrico ) ( ) ( ) ( t v t R t vc i i+ = att dvc t lcc) () ( = ) () () ( t vcatt dvRC t vci+ = Figura 4.12 Diagrama de bloques de un sistema elctrico 4.4. Sistemas con y sin memoria Se dice que un sistema es sin memoria (o esttico) si la salida para cualquier valort o nen un tiempo dado depende solamente de la entrada en ese mismo tiempo, de otra manera se dice que el sistema tiene memoria (o dinmico). Ejemplo 4.3:El sistema discreto especificado por la relaciny[n] = (2x[n] x2 [n] )2es sin memoria, ya que el valor de y[n] en cualquier instante de tiempo n depende slo del valor dex[n] en ese mismo instante. Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 106 Ejemplo 4.4:Otroejemplodesistemasinmemoriaesunaredelctricaquecontieneunresistorcon x(t) como la corriente que pasa a travs de ste comola entrada y un voltaje tomadoatravsdelasterminalesdelmismollamadoy(t)quesetomacomo salida. La relacin entrada-salida esta dada por la ley de Ohm:y(t) = R x(t) latensinenlosbornesdelaresistenciadependedelacorrientequecirculaen este tiempo a travs de lamisma multiplicada por una constante Figura 4.13. Circuito resistivo. Porotraparteunsistemaconmemoriaesaqueldondelasalidadependedela entrada actualy de laentrada pasada o futura. Ejemplo 4.5 Un sistema con memoria es un circuito capacitorC, con la corriente de entrada como x ( t ), y voltajede saliday ( t ), donde Figura 4.14. Circuito Capacitivo Se diceque el voltajeen elcapacitoralmacenacargade los valores decorriente eninstantesdiferentesdetiempoactual,lamemoriadeuncapacitorseextiende hasta el pasado infinito. Ejemplo 4.6:El sistema retardador y[n]= x[n - k] es con memoria, a menos que k = 0. Ejemplo 4.7:El sistema premediador : =td x C t y ) ( / 1 ) ( Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas y Mtra. Maria Guadalupe Casillas Limon 107 y[n]=1/3(x[n]+x[n-1]+x[n-2]),tambinesconmemoriaamenosqueSyS2sean iguales a cero. Ejemplo 4.8 Un sistema acumulador o sumador definido por Y[n] = [ ] =nkk x es un sistema con memoria. Estesistemadebealmacenarinformacinacercadeentradaspasadas,el acumuladorcalculalasumaconsecutivadetodaslasentradashastaelmomento actual,yentonces,encadainstantedetiempo,elacumuladordebeagregarel valor de la entrada actual al valor precedente de la suma consecutiva. 4.5. Causalidad Unsistemaescausalsisusalidaencualquierinstantedetiempo(valorpresente) depende slo de los valores de la entrada en el momento presente y en el pasado. A menudo a estos sistemas se les denomina no anticipativos, ya que la salida de es