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CLCULO ID E P A R T A M E N T O D E C I E N C I A S B S I C A S
Departamento de Ciencias Bsicas
UNIDAD 1: NUMEROS REALES.Es el conjunto formado por todos los nmeros cuya naturaleza sea natural ab, entera ab, racional ab e irracional ab. El conjunto de los nmeros reales est provisto de dos operaciones directas: adicin y multiplicacin y dos operciones inversas: sustraccin y divisin. Propiedades de la adicin en a + , - se cumple: 1) Clausura: 2) Conmutativa: 3) Asociativa: 4) Elemento Neutro: 5) Elemento Inverso Aditivo: a + , + , a + , , + , , + a + , - a+ , b - + a, - b bx 0 tal que a + :+ ! ! + + bx a +b tal que + a +b a +b + !
Propiedades de la multiplicacin en a + , - se cumple 1) Clausura: 2) Conmutativa: 3) Asociativa: 4) Elemento Neutro: 5) Elemento Inverso Aditivo: a + , + , a + , , + , , + a + , - a+ , b - + a, - b bx " tal que a + :+ " " + + a + + ! bx +" + " + + +" " " tal que +
Existe otra propiedad que integra a ambas operaciones: la propiedad distributiva a + , - a+ , b - a+ - b a, - b + a, - b a+ , b a+ - b
Las operaciones inversa de los nmeros reales se definen de la siguiente forma: Sustraccin: Divisin: + , + a ,b + + , " ,
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El conjunto de los nmeros reales es un conjunto ordenado, pues existe la relacin de orden mayor que que cumple con los siguientes axiomas denominados Axiomas de Orden. 1) Tricotoma: se cumple una, y slo una de las siguientes relaciones:
2) Transitividad: 3) Adicin: 4) Multiplicacin: Otras relaciones de orden son: Mayor o igual que : Menor que : Menor o igual que : Los smbolos ;
;
;
denotan la existencia de desigualdades
Propiedades de las desigualdades 1) Transitiva: Si 2) Aditiva: Si 3) Si 4) Si 5) Si 6) Si 7) Si 8) Si entonces , entonces , entonces , entonces , entonces , entonces y est entre y , entonces , entonces , es decir,
Intervalos Reales Es un conjunto infinito de nmeros reales Tipos de intervalos 1) Intervalo abierto:
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2) Intervalo semiabierto:
3) Intervalo cerrado
4) Otros intervalos reales infinitos
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es un nmero real} As,
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Ejemplos 1) Dibuje el intervalo que representa la expresin dada
2) Escriba la desigualdad que representa el intervalo dado
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Inecuaciones Son desigualdades con una incgnita que se verifican para ciertos nmeros reales. La solucin de una inecuacin corresponde a un intervalo. Para resolver una inecuacin se procede en forma similar a los procedimientos usados en la resolucin de ecuaciones, pero considerando las propiedades de las desigualdades. a) Inecuaciones simples
Sol:
Sol:
Sol:
Sol:
b) Inecuaciones con parntesis se elimina parntesis se reducen trminos semejantes
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Sol:
Sol:
se resuelven los productos se reducen trminos semejantes
Sol:
Sol:
c) Inecuaciones con denominador numrico MCM se resuelven los productos se reducen trminos semejantes
Sol:
Sol:
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MCM se resuelven los productos se reducen trminos semejantes
Sol:
Sol:
Ejercicios Propuestos
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Solucin
Sol =
Sol
Sol =
Sol
Sol =
Sol
Sol =
Sol
Sol =
Sol
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d) Inecuaciones con denominador algebraico Para resolver este tipo de inecuaciones se emplear el mtodo denominado Tabla Francesa .Este mtodo consiste en confeccionar una tabla que resume la informacin de la inecuacin a resolver. Para ello se deben realizar los siguientes pasos: 1) Dejar todas las expresiones algebraicas de la inecuacin al lado izquierdo del smbolo de la desigualdad, de modo que al lado derecho slo quede cero. 2) Reducir a una sola fraccin las expresiones del lado izquierdo de la desigualdad 3) Por separado, igualar a cero la expresin resultante del numerador y la del denominador. 4) Con los valores encontrados en (3) se construye una tabla de la siguiente forma valor1 expresin del numerador expresin del denominador fraccin 5) Llenar la tabla slo con signos ms o menos o ceros . El proceso consiste en colocar cero en el casillero del valor que anula la expresin del numerador como tambin colocar cero en el casillero del valor que anula la expresin del denominador, el resto de los casilleros se rellenarn con signos ms o signos menos. Para la lnea correspondiente a la expresin del numerador se elige un nmero a la izquierda o a la derecha del valor que anula la expresin del numerador y se reemplaza en esta expresin. Si el nmero elegido da una evaluacin positiva y est a la derecha(izquierda) del valor que anula al numerador, entonces en la tabla todos los casilleros a la derecha(izquierda) del valor que anula al numerador se rellenarn con signo ms y los que estn a la izquierda(derecha) se rellenarn con signo menos. Se repite el mismo proceso para la lnea que corresponde a la expresin del denominador. Luego para la lnea que corresponde a la fraccin se usa la ley de los signos referente al signo del numerador con el signo del denominador, en esta lnea est la solucin de la inecuacin. Si el problema consiste en encontrar todos los valores mayores que cero, entonces habr que considerar como solucin los casilleros que en la ltima lnea lleven signo ms.(intervalos abiertos) Si el problema consiste en encontrar todos los valores menores que cero, entonces habr que considerar como solucin los casilleros que en la ltima lnea lleven signo menos.(intervalos abiertos) Si el problema consiste en encontrar todos los valores mayores o iguales a cero, entonces habr que considerar como solucin los casilleros que en la ltima lnea lleven signo ms.(intervalos cerrados) Si el problema consiste en encontrar todos los valores menores o iguales a cero, entonces habr que considerar como solucin los casilleros que en la ltima lnea lleven signo menos.(intervalos cerrados) En el caso de los intervalos cerrados habr que considerar si los extremos de cada intervalo no indeterminan la inecuacin. Ejemplos valor1 valor1,valor2 valor2 valor2,
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Sol:
Sol:
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Sol
Sol:
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Otros casos donde es posible aplicar la tabla francesa factorizando
(
Sol:
Sol: ]
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Sol:
Ejercicios Propuestos
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11) En un experimento qumico, una solucin de cido clorhdrico se va a mantener entre C y C; es decir, C . Cul es el rango de temperatura en grados Fahrenheit si la frmula de conversin Celsius/Fahrenheit es C F ?
12)
Un rollo fotogrfico se va a mantener entre F y F; es decir, rango de temperatura en grados Celsius si la frmula de conversin F C+ ?
F . Cul es el Celsius/Fahrenheit es
13)
En 1984, al perforar el pozo ms profundo del mundo, los soviticos encontraron que la temperatura a " " kilmetros de profundidad de la Tierra estaba dada por donde es la temperatura en grados Celsius. A qu profundidad la temperatura estar entre y C en total?
14)
Una compaa electrnica est planeando comercializar una nueva calculadora grfica. Los costos fijos son de $ y los variables de $ por calculadora. El precio de la calculadora al mayoreo ser de $ . Es evidente que para que la compaa obtenga utilidades los ingresos deben ser superiores a los costos. a) Cuntas calculadoras se deben vender para que la compaa obtenga utilidades? b) Cuntas calculadoras tendra que vender para llegar al punto de equilibrio?
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Solucin Sol =
Sol =
Sol =
Sol =
Sol =
Sol =
Sol =
Sol =
Sol =
Sol =
11) 12) 13) 14)
El rango de la temperatura es de El rango de la temperatura es de A una profundidad entre Km y
a a
Km.
en total. en total.
a) La compaa debe vender ms de
calculadoras para tener utilidades. calculadoras.
b) Para llegar al punto de equilibrio, la compaa debe vender
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UNIDAD II. Relaciones y funcionesPAREJAS ORDENADAS Una pareja ordenada se compone de dos elementos x y y , escribindose ( x, y ) donde x es el primer elemento y y el segundo elemento. Tenindose que dos parejas ordenadas ( x, y ) y ( z , w ) sern iguales si x = z y y = w .
PRODUCTO CARTESIANODefinicin: El producto cartesiano de dos conjuntos A y B (se simboliza AxB ) es el conjunto de todas las parejas ordenadas ( x, y ) , tales que x pertenece al primer conjunto A y y pertenece al segundo conjunto B , es decir: AxB = {( x, y ) x A, y B}
Nota: Se da por hecho, que el estudiante recuerda el conjunto de los nmeros reales su representacin sobre una lnea recta, as como los intervalos de nmeros reales:
( )
y
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En los intervalos A = [ 2,3) y B = [2,4] , el corchete indica que se debe incluir el extremo de dicho intervalo, por lo que en las grficas que indican este producto cartesiano, si se incluye la frontera donde es cerrado dicho intervalo, como se muestra a continuacin:
4) Para A = { x BxA Solucin
/1 < x < 5} y B = { y
/ 1 < y 2} , obtener el producto cartesiano AxB y
El conjunto A y B es otra forma de representar a los intervalos de estos conjuntos de nmeros reales, lo cual es A = { x /1 < x < 5} = (1,5 ) y B = { y / 1 < y 2} = ( 1, 2] .
5) El producto cartesiano x genera todo el plano cartesiano, donde cada punto P del plano representa un par ordenado ( x, y ) de nmeros reales, trazando una recta vertical por el punto P hasta cortar al eje horizontal en x y una recta horizontal por P hasta cortar al eje vertical en y . Solucin
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EJERCICIOS 1) Sea A = { 2,0,3,7} y B = {1, 2,3} , obtener el producto cartesiano AxB y BxA y dibujar su grfica. 2) Sea T = {1, 2,3, 4,5} y S = {1, 2} , obtener el producto cartesiano TxS y SxT y graficarlos. 3) Con A = [ 1,2 ) y B = ( 3,2 ) subconjuntos de BxA y graficarlos. 4) Si K = { x JxK . / 3 x < 1} y J = { y
, obtener el producto cartesiano AxB y
/1.5 < y < 5.5} , obtener el producto cartesiano KxJ y
5) Con
y A = [2,4] , obtener
xA y Ax .
2.2. RELACIONESVariable es costumbre representarla mediante alguna de las ltimas letras del alfabeto, con la caracterstica de que puede sustituirse en su lugar cualquier nmero real. Constante es un valor real que permanece fijo en cualquier problema de aplicacin matemtica. Definicin: Una relacin en los reales es una regla de correspondencia que asocia a cada nmero real (llamado Dominio de la relacin) uno o ms nmeros x de un conjunto de partida A reales y de un conjunto de llegada B (llamado Contradominio).
El papel que juegan las representaciones en la construccin del conocimiento es fundamental, de ah que una relacin puede tener varias representaciones, en forma verbal, algebraica, numrica o de tabla y grfica. Para ilustrar esto, se utiliza el mismo ejemplo en cada representacin: 1) En forma verbal: Se describe la relacin en lenguaje materno lo ms precisa posible para poderla escribir, como por ejemplo, un nmero real y es igual al cuadrado de otro nmero x ms una unidad. En forma de ecuacin algebraica: y = x2 + 1
2)
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3)
En forma numrica o de tabla: Es un arreglo que puede ser en forma horizontal o vertical y en donde en el primer rengln o primera columna, se ubican algunos valores reales del primer nmero x y en el segundo rengln o columna se ubican los valores del nmero y (que con la ayuda del inciso 2) se puede obtener).
Nota: Por facilidad de clculo se usaron en este x caso slo algunos nmeros enteros, pero y debe tenerse presente que los valores asignados a x pueden ser cualquier nmero real, y adems, una tabla solo nos proporciona una parte de la relacin.
2 5
1 2x 2 1 0 1 2
0 1
1 2
2 5
y 5 2 1 2 5
4)
En forma grfica: En esta representacin, puede aplicarse el mtodo que consiste en aprovechar los resultados de los incisos 2) y 3) anteriores, localizando sobre el plano cartesiano los puntos obtenidos en la tabla del inciso 3) y unindolos con lnea continua como se muestra, se obtiene un bosquejo de la relacin, que slo es una parte de la grfica ya que entre mayor sea el nmero de puntos calculados en la tabla, el trazo de la grfica ser mejor. Algunas veces este mtodo del punto puede conducir a errores si no son elegidos correctamente los valores que son asignados a la variable x .
Nota: Se usa con mayor frecuencia cualquiera de las ltimas tres representaciones y eventualmente la primera cuando se trata de resolver problemas.
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EJERCICIOS Con la representacin dada, obtenga la representacin solicitada en cada uno de los siguientes ejercicios: 1) Con la representacin algebraica y = x , obtenga su equivalente representacin tabular con al menos 3 valores para x . 2) Con la representacin algebraica y = x , obtenga su equivalente representacin grfica (utilice el resultado del inciso anterior). 3) Con la representacin algebraica y = x , escriba su equivalente representacin verbal. 4) Con la escritura de la siguiente representacin verbal: El cuadrado de un nmero y es igual a 4 menos el cuadrado de otro nmero x , encuentre su equivalente representacin algebraica. 5) Con la representacin grfica que se muestra, obtenga una tabla de valores para cuando x toma los valores de 2, 1, 0 y 2 .
6) Con la escritura de la siguiente representacin verbal, el cuadrado de un nmero y es igual a otro nmero x ms dos, encuentre su equivalente representacin algebraica. Relaciones Implcitas y Explcitas Una relacin implcita expresada en forma algebraica, es aquella en donde no est despejada ninguna de sus variables, y es explcita cuando alguna de sus variables si esta despejada.
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EJEMPLOS Dadas las siguientes relaciones implcitas, expresarlas en su forma explcita. 1) x 2 + y 2 = 9 2) 2 x 3 y = 1 3) x 2 y + y = x + 1 Solucin Es costumbre llamar a la x variable independiente (v.i.) y a la y variable dependiente (v.d.) y generalmente, esta ltima es la variable que se despeja para obtener la forma explcita de una relacin. 1) x 2 + y 2 = 9 y2 = 9 x2 y = 9 x2 2) 2 x 3 y = 1 3 y = 1 2x 1 2x y= 3 1 2 y= + x 3 3 3) x 2 y + y = x + 1 x 2 + 1 y = x + 1 Factorizando x +1 y= 2 x +1 4) x 3 + 2 x 2 2 y 2 = y 5)
2 x 3 xy + 5 y =2 x +1
(
)
4) x 3 + 2 x 2 2 y 2 = y 2 y 2 + y x3 2x 2 = 0y= 1
(1)2 4(2)( x 3 2 x 2 ) 2(2 )
Por frmula general de 2 grado en y y1, 2 = b b 2 4ac ; a = 2 ; b = 1; c = x3 2x 2 2a
1 1 + 8 x 3 + 16 x 2 y= 4
5)
2 x 3 xy + 5 y =2 x +12 x 3 xy + 5 y = 2( x + 1)
y=
2 (3x 5) 2 (3 x 5)
( 1)( y ) = ( 1) y= 2 3x 5
2 x 3 xy + 5 y = 2 x + 2
3xy + 5 y = 2 x + 2 2 x 3 xy + 5 y = 2 y (3 x 5) = 2
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EJERCICIOS Dadas las siguientes relaciones implcitas, expresarlas en su forma explcita. 1) y 2 3 x 6 y + 8 = 0 2) 3 x 2 y + 5 = 0 3) 9 xy 3 y 6 x 12 = 02x 2 = 18 4 xy 4) 4 x + 6 xy + 52
5) 8 x = x 2 + 2 xy
FUNCIONESLas funciones pertenecen a las relaciones, por lo que cualquier funcin es relacin, pero no cualquier relacin es funcin, por lo siguiente: Definicin: Una funcin real de variable real, es una regla de correspondencia que asocia a cada nmero real x de un conjunto de partida A un nico nmero real f ( x ) de un conjunto de llegada B .
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En smbolos, se expresa f : A B , siendo el conjunto A el dominio de f, y el conjunto B el codominio Nociones bsicas y notaciones Sea f : A B . 1) La notacin y = f (x ) seala que y es una funcin de x. La variable x es la variable independiente, y el valor y se llama variable dependiente, y f es el nombre de la funcin. 2) Leonard Euler (1707-1783) dio una definicin precisa de funcin e introdujo en 1734 el smbolo f(x) para designar la imagen de x por una funcin f. 3) El conjunto de todas las imgenes de los elementos de A a travs de f se denomina Recorrido de f, y se denota Rec(f).L.Euler
4) Igualdad de funciones. Sean f y g dos funciones definidas de A en B. Se tiene que: f = g f(x) = g(x) para todo x A Luego, dos funciones f y g son distintas, si y slo si, existe x A tal que f ( x ) g ( x) . 5) Composicin de funciones. Sean f : A B y g : C D . La funcin compuesta g o f est definida siempre y cuando Re c( f ) C , y se define: ( g o f )( x ) = g ( f ( x )), para todo x A
Funciones realesUna funcin real en una variable x es una funcin f : A IR donde A IR , que usualmente se define por una frmula y = f(x). Nota. En general, para definir una funcin real se usan las letras x e y para representar las variables independiente y dependiente, respectivamente. En modelos de aplicaciones se usan letras relacionadas con el nombre de las magnitudes involucradas en el problema.
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Representaciones de una funcin real . Una funcin real, en general, puede ser representada de distintas maneras: Mediante un conjunto de pares ordenados, o tabla de valores. Mediante una expresin verbal, donde se describe una regla con una descripcin en palabras. Mediante una expresin algebraica, con una frmula explcita. Mediante una grfica, representada en un sistema de coordenadas cartesianas.
Estas cuatro formas de representar una funcin son equivalentes, sin embargo no siempre es posible el paso de una a otra. Ejemplo 1 Sea y=f(x) la funcin real definida por f ( x) = x(5 x) . Aplicando la frmula, se puede calcular por ejemplo la imagen de 2,; se puede determinar una preimagen de un nmero real, si es que existe, etc. Notar que esta funcin puede ser considerada como una funcin compuesta entre las funciones y = g ( x) = x( x 5) e y = h( x) = x . Ejemplo 2. Un gerente de una empresa estima que las utilidades de sta dependen fundamentalmente del salario del conserje, segn la relacin: 100 s 5s 2 u ( s) = 1+ s donde s es el salario anual del conserje en unidades de cien mil pesos, y u(s) es la utilidad, en la misma unidad monetaria. Esta funcin relaciona el salario del conserje y las ganancias de la empresa. Ejemplo 3. La tabla siguiente muestra el gasto (aproximado) en investigacin en agricultura entre 1976-1996 realizado por el sector pblico. Ao t Gasto E(t) (billones de dlares) 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 (1976) (1996) $2.5 3.0 3.0 3.1 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.3 3.1
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donde E(t) es el gasto en el ao t. De la tabla se puede extraer la informacin, que en el ao 1980 el gasto fue aproximadamente E(10)=3.0 billones de dlares. Tambin se puede determinar que E(12)-E(10) = 0.1. Qu indica ste valor?. Observaciones. Sea f una funcin real definida mediante la frmula o ecuacin y = f (x) . La variable x es la variable independiente, y la variable y es la variable dependiente. As, una funcin real, es una funcin de variable y valor real. El dominio de una funcin es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente. El recorrido una funcin es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente. Regla del mximo dominio: cuando no se presenta el dominio de f explcitamente, se considera como su dominio, el mximo subconjunto de IR, donde la frmula puede evaluarse. Este conjunto es llamado el dominio de definicin de f, o simplemente, el dominio de f. Por ejemplo, el dominio de la funcin f ( x) = x(5 x) es el intervalo [0, 5]. En aplicaciones especficas, el dominio de una funcin est restringido por las condiciones de un problema. Es usual llamar dominio prctico al conjunto de valores que puede tomar la variable independiente para que el problema especfico tenga sentido.
lgebra de funciones reales Dos funciones reales f y g pueden combinarse para formar nuevas funciones: suma, diferencia, producto y cuociente: Suma: Diferencia: Producto: Cuociente:( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) ( f g )( x ) = f ( x ) g ( x ) ( fg )( x) = f ( x ) g ( x) Dom ( f + g ) = Dom ( f ) I Dom ( g ) Dom ( f g ) = Dom ( f ) I Dom ( g ) Dom ( fg ) = Dom ( f ) I Dom ( g )
f f ( x) ( x ) = g g ( x)
f Dom = (Dom( f ) I Dom( g ) ) {x / g ( x) 0} g
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Grfica de una funcinLas grficas permiten obtener una representacin visual de una funcin. stas entregan informacin que puede no ser tan evidente a partir de descripciones verbales o algebraicas. Para representar grficamente una funcin y = f (x) , es comn utilizar un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas, en las cuales, la variable independiente x se representa en el eje horizontal, y la variable dependiente y en el eje vertical. La grfica de y = f (x) es el conjunto: f = {( x, f ( x)) / x Dom( f )} .
Tcnicas bsicas para esbozar la grfica de una funcin A continuacin se describen algunos pasos a seguir para obtener un esbozo de la grfica de y=f(x), por medio de la representacin de puntos: 1) Determinar los puntos de interseccin de y=f(x) con cada eje coordenado. 2) Construir una tabla de valores de f. Escoger un grupo representativo de valores de x en el dominio de f, y construir una tabla de valores (x,f(x)). 3) Representar los puntos (x,f(x)) considerados en la tabla, en el sistema de coordenadas. 4) Unir los puntos representados por medio de una curva suave. Nota. Muchas curvas diferentes pasan a travs de los puntos considerados en la tabla de valores. Para aproximarse mejor a la curva que represente a la funcin dada, graficar nuevos puntos.
Propiedades de las funcionesFunciones inyectivas Una funcin f es inyectiva, si y slo si, para todo a, b en el dominio de f, si f(a)=f(b) entonces a=b. Funciones invertibles Una funcin y = f (x) inyectiva admite una funcin inversa, que se denota f el dominio de esta funcin es el recorrido de f. La inversa de f se define: f 1 ( x) = y f ( y ) = x1
, donde
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Nota. La grfica de la funcin inversa es una curva simtrica de la grfica de f respecto de la recta y=x. Por ejemplo, en la figura se muestran las grficas de f y de su inversa:
Grficas de y=f(x), y de y=f -1(x)
Otras propiedades, de las funciones reales Funciones pares e impares Una funcin f es una funcin par cuando cumple x Dom( f ) .
f ( x) = f ( x) , para todo
Nota. f es par si y slo si, la grfica de f es simtrica respecto del eje Y. Una funcin f es impar si cumple f ( x) = f ( x) , para todo x Dom( f ) . Nota. f es impar si y slo si, la grfica de f es simtrica respecto del origen.
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Funcin par
Funcin impar
Funciones crecientes y funciones decrecientes Una funcin f es creciente en un intervalo I cuando, para todo a, b I : a < b f (a) < f (b) es decir, cuando su grfica sube de izquierda a derecha. Una funcin f es decreciente en un intervalo I cuando, para todo a, b I : a < b f (a) > f (b) es decir, cuando su grfica baja de izquierda a derecha.
Funcin creciente
Funcin decreciente
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Nota. Sea y=f(x) una funcin real. 1) Si f (x)>0 para todos los valores de x en un intervalo I, entonces la funcin es creciente sobre I. 2) Si f (x) 0 y a es un nmero real no nulo. Existen procedimientos para obtener de manera fcil y rpida los grficos de las funciones relacionadas, a partir del conocimiento del grfico de y=f(x). La manera de proceder se indica en la siguiente tabla, que se ilustra con un ejemplo: y = f (x)
Definicin de la funcin g g1 ( x ) = f ( x ) + K
Operacin a realizar a la grfica de f, para obtener la grfica de g Traslacin vertical: Hacia arriba, K unidades
g 2 ( x) = f ( x) K
Traslacin vertical: Desplazar hacia abajo, K unidades
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g 3 ( x) = f ( x + K )
Traslacin horizontal: Desplazar a la unidades
izquierda,
K
g 4 ( x) = f ( x K )
Traslacin horizontal: Desplazar a la derecha, K unidades
g 5 ( x) = f ( x)
Dibujar la curva, simtrica con respecto al eje X.
g 6 ( x) = f ( x)
Dibujar la curva simtrica con respecto al eje Y.
g 7 ( x) = af ( x) , a>0
a>1: estirar la curva verticalmente en un factor a.
0 0, = 0
a > 0, < 0
a < 0, > 0
a < 0, = 0
a < 0, < 0
d) Funcin cbicaUna funcin cbica es aquella que tiene la forma, o puede ser llevada a la forma: y = f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d , con a 0 , a, b, c, d IR Un ejemplo de funcin cbica es la funcin y = f ( x) = x 3 , cuya grfica es: x -2 -1 0 1/2 1 2 3f ( x) = x 3 -8 -1 0 1/8 1 8 27
49
Funcin racionalUna funcin racional f es una funcin definida por una expresin algebraica que es el cuociente de dos polinomios: p ( x) f ( x) = q ( x) donde p(x) y q(x) son polinomios, tal que q ( x) 0 . Ejemplos de funciones racionales:
f ( x) = 4 x + 1
f ( x) =
1 x
f ( x) =
x +1 x3
f ( x) =
x +1 x2 x
A continuacin se presenta la grfica de la funcin racional f ( x) = x -2 -1 -1/2 -1/3 0 1/3 1/2 1 2
1 : x
f ( x) =
1 x
-1/2 -1 -2 -3 No est definida 3 2 1
Trazado de la grfica de una funcin racionalPara obtener un esbozo de la grfica de f ( x) = El dominio de f. Asntotas verticales (si es que las hay), y horizontales. Intersecciones de la grfica de f con el eje X, si es que existen, y con el eje Y. Anlisis de signos de f(x). Graficar f en cada regin del plano XY, determinadas por las asntotas verticales. p ( x) , es necesario determinar: q ( x)
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UNIDAD 3: LIMITES.Concepto de lmite de una funcin Sea la funcin real 0 B $B " Se estudiar qu sucede en las proximidades de 2. La grfica de 0 B $B " es la siguiente
Observar la siguiente tabla B 0 aB b " * % ( " ** % *( " *** % **( # ? # !!" & !!$ # !" & !$ # " & $
De la tabla se deduce lo siguiente cuando B se acerca a 2 por la izquierda, 0 aBb se acerca a 5 y cuando B se acerca a 2 por la derecha, 0 aBb tambin se acerca a 5. Es decir 1) Si B se aproxima a 2 por la izquierda y por la derecha en una dcima, " * B # " entonces 0 aBb se aproxima a 5 por la izquierda y por la derecha en tres dcimas, % ( 0 aBb & $ 2) Si B se aproxima a 2 por la izquierda y por la derecha en una centsima, " ** B # !" entonces 0 aBb se aproxima a 5 por la izquierda y por la derecha en tres centsimas, % *( 0 aBb & !$ 3) Si B se aproxima a 2 por la izquierda y por la derecha en una milsima, " *** B # !!" entonces 0 aBb se aproxima a 5 por la izquierda y por la derecha en tres milsimas, % ( 0 aBb & $
Esto indica que la grfica de 0 aBb queda comprendida en un rectngulo. Por ejemplo, si consideramos a1b el rectngulo tiene por lados B " * B # " C % ( C & $
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Esto significa que si
entonces
y si
+
entonces
De esta situacin se puede concluir lo siguiente lim lim
Concepto de lmite Se dice que una funcin tiende al lmite L L cuando tiende al valor si el valor absoluto de la diferencia L L puede ser tan pequeo como se quiera siempre que el valor de est en las proximidades de " ". Esto es vlido an cuando no est definida en . Simblicamente, lim L arbitrario que depende de tal que L As
Esto significa que para un valor pequeo positivo es posible determinar otro valor pequeo positivo , se cumple que L L
52
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Teoremas sobre lmites Teorema1 Si lim L y lim L , entonces L L
Teorema Si Teorema Si , entonces lim lim , entonces lim lim
Teorema Si , entonces lim lim
Teorema Si y son funciones tales que lim y lim ,
entonces: a) lim lim lim
53
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b) lim
lim
lim
lim c) lim lim lim , y con
d) Si
par, entonces lim
lim
Teorema Si , entonces lim lim
Ejemplos lim
lim
lim
lim
Para levantar la indeterminacin se debe factorizar
lim
lim
Por lo tanto,
lim
lim lim Por lo tanto, lim lim
Para levantar la indeterminacin se debe factorizar
54
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lim
Para levantar la indeterminacin se debe factorizar
lim
lim
Por lo tanto,
lim
lim
Para levantar la indeterminacin se debe factorizar
lim
lim
Por lo tanto,
lim
lim
Para levantar la indeterminacin se debe factorizar
lim
lim
Por lo tanto,
lim
55
Departamento de Ciencias Bsicas
lim
Para levantar la indeterminacin se debe factorizar
lim
lim
lim
Por lo tanto,
lim
lim
Para levantar la indeterminacin se debe racionalizar
lim
lim lim
Por lo tanto,
lim
lim
Para levantar la indeterminacin se debe racionalizar
lim
lim
lim
lim
Por lo tanto,
lim
56
Departamento de Ciencias Bsicas
lim
Para levantar la indeterminacin se debe racionalizar
lim
lim
lim
lim
Por lo tanto,
lim
lim
Para levantar la indeterminacin se debe racionalizar
lim lim
lim
lim
Por lo tanto,
lim
57
Departamento de Ciencias Bsicas
lim
Para levantar la indeterminacin se debe racionalizar
lim
lim
lim
lim Por lo tanto, lim
lim
Para levantar la indeterminacin se debe racionalizar
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
Por lo tanto, lim
58
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lim
Para levantar la indeterminacin se debe racionalizar
lim
lim
lim
lim
lim
lim
Por lo tanto, lim
Ejercicios Propuestos Determine los siguientes lmites: 1) lim lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
59
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Solucin:
1)
lim
lim
lim
lim lim
lim
lim lim
lim lim
60
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Lmites laterales Existen funciones definidas por tramos donde es importante obtener lmites laterales. a) Lmite lateral derecho indica que nos estamos aproximando a un cierto valor "a" por nmeros mayores o iguales a l. Si , entonces b) Lmite lateral izquierdo indica que nos estamos aproximando a un cierto valor "a" por nmeros menores o iguales a l. Si , entonces
61
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As, existe:
62
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Determine si
lim
y si
lim
lim lim lim lim
lim
lim
luego existe lim
lim lim lim
lim lim lim luego existe lim
) Dada la funcin
Determine si
lim
lim lim
lim lim
lim
lim
luego no existe
lim
Dada la funcin
.Determine si
lim
1
lim lim lim
lim lim lim
=
luego existe lim
63
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Dada la funcin
Determine si
lim
y si
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
luego existe lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
luego no existe
lim
64
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Ejercicios Propuestos
1)
Dada la funcin
lim
?
2)
Dada la funcin
lim
?
3)
Dada la funcin
Determine si
lim
4)
Dada la funcin
Determine si
lim
5)
Dada la funcin
lim
?
lim
?
6)
Dada la funcin
lim
?
65
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Solucin: 1) lim lim lim lim
lim
lim
luego no existe
lim
4
2)
lim lim lim
lim
lim
lim
luego existe lim
3
lim lim
lim lim
lim
lim
luego existe lim
4)
lim 3 lim 3 lim 3 lim 3
lim
3
lim 3
luego existe lim
3
66
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5)
Para lim lim lim lim
lim
lim
luego no existe
lim
3
Para lim lim lim lim
lim
lim
luego existe lim
6
lim lim
lim lim
lim
lim
luego no existe
lim
67
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Continuidad Sea una funcin real, entonces se dice que es continua en si, y slo si
Ejemplos Analizar la continuidad en
Solucin Punto de anlisis
lim
lim Es posible levantar la indeterminacin
lim
lim
Por lo tanto,
lim
68
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lim Luego es discontinua en En este caso es posible redefinir la funcin de modo de hacerla continua
Este tipo de discontinuidad recibe el nombre de discontinuidad evitable
1 Solucin Punto de anlisis
lim
lim
No es posible levantar la indeterminacin
Por lo tanto,
lim
1
1
no existe de continuidad se concluye que es discontinua en
Como no se cumple la condicin
En este caso no es posible redefinir la funcin de modo de hacerla continua Este tipo de discontinuidad recibe el nombre de discontinuidad infinita
Solucin Punto de anlisis
lim lim lim
lim lim lim , por lo tanto lim
69
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lim Luego es continua en
Puntos de anlisis * Para
lim lim lim
lim lim lim , por lo tanto no existe lim es discontinua en
Como no se cumple la condicin * Para
de continuidad se concluye que
lim lim lim lim Luego
lim lim lim , por lo tanto lim
es continua en es discontinua en el intervalo ,
Del anlisis anterior, se concluye que
70
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Puntos de anlisis * Para
lim lim lim lim Luego,
lim lim lim , por lo tanto lim
es continua en
* Para
lim lim lim
lim lim lim , por lo tanto lim
lim Luego es continua en es continua en el intervalo
Del anlisis anterior, se concluye que
71
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Ejercicios Propuestos Analizar la continuidad en
2
3
4
5
2
6
7
8
72
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Solucin:
lim lim Luego 2 lim lim Luego 3 lim lim Luego 4 lim Luego lim no existe. no es continua en es continua en 1 es continua en 2
es discontinua en 5 lim lim No existe Luego lim
es discontinua en
73
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6 lim lim Existe lim Luego Por lo tanto, 7 Para es continua en es discontinua en el intervalo Para lim
1
lim lim Existe lim Luego Por lo tanto, 8 Para es continua en Luego lim
lim lim No existe lim
es discontinua en
es discontinua en el intervalo Para
lim lim Existe lim Luego Por lo tanto, es continua en Luego lim Existe
lim lim lim
7
lim es continua en
es continua en el intervalo
74
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Otros estilos de ejercicios asociados a la continuidad son los siguientes Determine el valor de para que la funcin sea continua en todo su dominio.
Solucin Para que la funcin sea continua debe cumplirse la condicin lim lim
Luego la funcin es
Para que la funcin sea continua debe cumplirse la condicin lim lim lim lim
Luego la funcin es
Determine el valor de y de para que la funcin sea continua en todo su dominio
Para que la funcin sea continua debe cumplirse la condicin lim lim lim lim
75
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lim
lim
lim
lim
De
y
se obtiene un sistema de ecuaciones
de donde
Luego la funcin es
Determine el valor de y de para que la funcin sea continua en todo su dominio
Para que la funcin sea continua debe cumplirse la condicin lim lim lim lim
lim
lim
lim
lim
De
y
se obtiene un sistema de ecuaciones de donde
Luego la funcin es
76
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Ejercicios Propuestos Determine el valor de " " para que la funcin sea continua en todo su dominio:
2
3
4
Determine los valores de " " y " " para que la funcin sea continua en todo su dominio:
5
6
7
8
77
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Solucin:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
4 11
3 11
7)
8)
78
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UNIDAD 4: DERIVADAS.
P" es una recta secante a C 0 aBb, luego la pendiente de P" es 7" C# C" B# B " 7"
Sea C 0 aBb una funcin real y sean T aB" C" b y UaB# C# b dos puntos de 0 aBb
?C incremento de ordenadas ?B incremento de abscisas
Como ?B B# B" entonces B" ?B B# C" 0 aB" b C# 0 aB# b C# 0 aB" ?Bb As, 7" 0 aB" ?Bb 0 aB" b ?B
Si U se aproxima a T , ?B tiende a cero y la recta P" arecta secanteb se transforma en la recta P# , que es la recta tangente a C 0 aBb en el punto T aB" C" b Es decir, lim ?B ! 0 aB" ?Bb 0 aB" b es la pendiente de la recta tangente a ?B C 0 aBb en el
punto T aB" C" b con C" 0 aB" b
79
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Concepto de derivada de una funcin Si lim Notacin lim es una funcin, entonces la derivada de en es
si el lmite existe.
Teoremas Teorema1: Teorema 2: Teorema 3: es derivable en si existe . si lo es en cada punto es continua
es derivable en el intervalo del intervalo. Si en es derivable en
, entonces
El cuociente
se denomina Cuociente de Newton.
80
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Interpretaciones de la derivada I) Geometra Analtica: a) Si , entonces la derivada lim representa la pendiente debe pertenecer a la funcin entonces es posible establecer las
de la recta tangente a en el punto El punto para ser el punto de tangencia. Si es punto de tangencia de la curva ecuaciones de dos rectas Recta Tangente
Recta Normal
La recta tangente y la recta normal son perpendiculares en el punto de tangencia. b) Si cambio de II) , entonces lim representa, adems, la razn instantnea de
con respecto a .
Fsica: * Velocidad media
Si es la funcin de posicin de un objeto en movimiento rectilneo, entonces la velocidad del objeto en el intervalo es
* Velocidad o velocidad instantnea Si es la funcin de posicin de un objeto en movimiento rectilneo, entonces la velocidad del objeto en el tiempo es lim Rapidez * Aceleracin Si es la funcin de posicin de un objeto en movimiento rectilneo, entonces su aceleracin en el instante es lim
81
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Reglas de derivacin: 1) Si , una constante, entonces
2) Si
,
un nmero racional, entonces
3) Si
y una constante, entonces
4) Si
, entonces
5)Si
, entonces
6) Si
con
, entonces
Ejemplos I) Obtener en
82
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II) Determine la ecuacin de la recta tangente y normal a la funcin en el punto de tangencia dado.
83
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Recta tangente
Recta normal
Recta tangente
Recta normal
III) 1)La altura en el instante de una moneda que se deja caer es pies y medido en segundos. Hallar a) velocidad media en el intervalo
con
medida en
la velocidad media es de b) velocidad instantnea en
pies/seg. y
la velocidad instantnea en
es
pies/seg. y en
es
pies/seg.
84
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c)cunto tarda en llegar al suelo?
en llegar al suelo tarda aproximadanemte
segundos
2) La velocidad de un automvil que parte del reposo es tras : a) 5 segundos. b) 10 segundos c) 15 segundos
,
en m/seg. Hallar la aceleracin
la aceleracin a los
segundos es de
m/seg2
la aceleracin a los
segundos es aproximadamente de
m/seg2
la aceleracin a los
segundos es aproximadamente de
m/seg2
Ejercicios Propuestos I) Obtener en
2) 3) 4)
85
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5) II) Determine la ecuacin de la recta tangente y normal a la funcin en el punto de tangencia dado.
2)
III)
1)La posicin de un cuerpo est dada por minutos. Hallar a) velocidad media en el intervalo 2 3 b) velocidad instantnea en 3y 5
con
medida en metros y
medido en
c)en qu tiempo el cuerpo vuelve a pasar por el origen?
2) La velocidad de un tren que parte del reposo es aceleracin tras : a) horas. b) 3 horas. c) 90 minutos.
,
en km/hr. Hallar la
86
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Solucin :
I)
1) 2) 3)
4)
5)
II)
1) Recta tangente: Recta normal:
2) Recta tangente: Recta normal:
III)
1)
a) Veloc media: b) Veloc instantanea: => c) El cuerpo vuelve a pasar por el origen despus de a) La aceleracin a las 2 horas es de b) La aceleracin a las 3 horas es de c) La aceleracin a los 90 minutos es de
=>
2)
m
2
87
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Regla de la cadena a) Si es una funcin derivable y es tambin una funcin derivable, entonces
b) Si es una funcin derivable, tambin una funcin derivable, entonces
es una funcin derivable y
es
c) Si
, entonces
Ejemplo Obtener en
88
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89
Departamento de Ciencias Bsicas
6)
90
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Ejercicios Propuestos
Obtener
en
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
91
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Solucin :
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
92
Departamento de Ciencias Bsicas
8)
9)
10)
93
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Derivada de funciones exponenciales y logartmicas 1) Si con , entonces
2) Si
con
, entonces
3) Si
con
, entonces
4) Si
con
, entonces
Ejemplos Obtener en
94
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95
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Derivacin logartmica Hasta el momento se han derivado expresiones de la forma , es decir, expresiones en las cuales la base o el exponente de una potencia son variables. Ahora, se derivarn expresiones en las cuales tanto la base como el exponente son variables. Para este tipo de expresiones se usa la derivacin logartmica. Este estilo de derivada consiste en aplicar a la funcin dada la funcin logaritmo natural y recordar la siguiente propiedad
Despus que se aplica esta propiedad se deriva en forma implcita.
Ejemplos
Obtener
en
96
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97
Departamento de Ciencias Bsicas
Ejercicios Propuestos
Obtener
en
2)
3)
4)
5)
6) 7)
8) 9)
10)
98
Departamento de Ciencias Bsicas
Solucin :
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
99
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8)
9)
10)
100
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Aplicacin de la derivada A) Grfico de curvas
Conceptos a) Valores extremos Sea 1) 2) una funcin definida en un cierto intervalo I donde es el mnimo de es el mximo de en I si, y slo si en I si, y slo si I. I. I, entonces
Criterios de la primera derivada b) Valor crtico Si slo si es una funcin que existe para , entonces . El punto se denomina punto crtico de se dice un valor crtico de si, y
c) Intervalos de crecimiento y/o decrecimiento Si 1) 2) es una funcin definida en un cierto intervalo I, entonces es creciente en I es decreciente en I si, y slo si si, y slo si I. I.
d) Concavidad Si 1) 2) es una funcin definida en un cierto intervalo I, es cncava hacia arriba en I es cncava hacia abajo en I si, y slo si si,y slo si es derivable en I, entonces es creciente en I. es decreciente en I.
Criterios de la segunda derivada e) Valor de inflexin Si es una funcin definida en un cierto intervalo I que existe para dice un valor de inflexin del grfico de si, y slo si . El punto punto de inflexin del grfico de , entonces se se denomina
101
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f) Intervalos de concavidad hacia arriba y hacia abajo Sea 1) 2) es una funcin definida en un cierto intervalo I, entonces es cncava hacia arriba en I es cncava hacia abajo en I si, y slo si si, y slo si I. I.
g) Valores mximos y/o mnimos Si es un valor crtico de , entonces el punto . es un
1) mximo relativo de 2) mnimo relativo de
si, y slo si si, y slo si
Ejemplos Determine puntos crticos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, puntos de inflexin, intervalos de concavidad, puntos de mximos y/o mnimos y grfico de
Puntos crticos
Punto crtico
Intervalo de crecimiento y decrecimiento Intervalo Valor de prueba Signo de Conclusin
decreciente
creciente
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Punto de inflexin:
Falso Por lo tanto, no existe punto de inflexin. Intervalos de concavidad Como entonces es siempre cncava hacia arriba.
Punto de mximo y/o mnimo
Luego
es un mnimo de
Puntos crticos
Puntos crticos
103
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Intervalo de crecimiento y decrecimiento Intervalo Valor de prueba Signo de Conclusin
creciente
decreciente
creciente
Punto de inflexin
Punto de inflexin
Intervalos de concavidad
Punto de mximo y/o mnimo
Luego
es un mnimo de
Luego
es un mximo de
104
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Ejercicios Propuestos Determine puntos crticos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, puntos de inflexin, intervalos de concavidad, puntos de mximos y/o mnimos y grfico de 1)
105
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Solucin: Puntos Crticos: Interv de crecimiento y/o decrecim:
Punto de Inflexin: Intervalo de Concavidad: Punto de mximo y/o mnimo:
No existe punto de inflexin. siempre es cncava hacia arriba. es un mnimo de .
2
Puntos Crticos: Interv de crecimiento y/o decrecim:
Punto de Inflexin: Intervalo de Concavidad: Punto de mximo y/o mnimo:
No existe punto de inflexin. siempre es cncava hacia abajo. es un mximo de .
106
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Puntos Crticos: Interv de crecimiento y/o decrecim:
Punto de Inflexin: Intervalo de Concavidad: Punto de mximo y/o mnimo:
No existe punto de inflexin. siempre es cncava hacia arriba. es un mnimo de .
107
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Puntos Crticos: Interv de crecimiento y/o decrecim:
Punto de Inflexin: Intervalo de Concavidad: Punto de mximo y/o mnimo:
No existe punto de inflexin. siempre es cncava hacia abajo. es un mximo de .
Puntos Crticos: Interv de crecimiento y/o decrecim: : Punto de Inflexin: Intervalo de Concavidad: 1
Punto de mximo y/o mnimo:
es un mnimo de es un mximo de
108
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Puntos Crticos: Interv de crecimiento y/o decrecim: : Punto de Inflexin: Intervalo de Concavidad: 1
Punto de mximo y/o mnimo:
4 es un mnimo de 4 es un mximo de
109
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7
Puntos Crticos: Interv de crecimiento y/o decrecim: : Punto de Inflexin: Intervalo de Concavidad:
Punto de mximo y/o mnimo:
es un mnimo de es un mximo de
110
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8
Puntos Crticos: Interv crecimiento y/o decrecim: : Punto de Inflexin: Intervalo de Concavidad:
Punto de mximo y/o mnimo:
(
es un mnimo de es un mximo de
111
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Obtenga asntotas, puntos crticos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, puntos de inflexin, intervalos de concavidad, puntos de mximos y/o mnimos y grfico de
Asntota vertical
lim Por lo tanto, es una asntota vertical
lim
Asntota horizontal
lim
lim
Por lo tanto, Punto crtico
es una asntota horizontal
Falso Luego, no existe punto crtico Intervalo de crecimiento y de decrecimiento Como Por lo tanto es decreciente
Punto de inflexin
Falso No existe punto de inflexin
112
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Intervalo de concavidad
Como
, entonces
Como
, entonces
Mximo y/o mnimo: Como no existe punto crtico, entonces no hay puntos de mximo ni de mnimo
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Asntota vertical
lim Por lo tanto, lim Por lo tanto, es una asntota vertical lim es una asntota vertical
lim
Asntota horizontal
lim
lim
Por lo tanto, * Punto crtico:
es una asntota horizontal
Punto crtico
Intervalo de crecimiento y de decrecimiento Intervalo Valor de prueba Signo de Conclusin
creciente
decreciente
114
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Punto de inflexin
No existe en No existe punto de inflexin. Intervalo de concavidad
Como
, entonces
Como
, entonces
Intervalo Valor de prueba Signo de Conclusin
cncava hacia arriba
cncava hacia abajo
cncava hacia arriba
Mximo y/o mnimo
Luego,
es un mximo de
115
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Ejercicios Propuestos Obtenga asntotas, puntos crticos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, puntos de inflexin, intervalos de concavidad, puntos de mximos y/o mnimos y grfico de
1
2)
3)
4
5
6
116
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Solucin: Asntota Vertical: Asntota Horizontal: Puntos Crticos: Interv de crecimiento y/o decrecim: Punto de Inflexin: Intervalo de Concavidad: No existe Punto Crtico. es decreciente No existe Punto de Inflexin. 2 2 Punto de mximo y/o mnimo: No existe Punto Crtico mximo ni de mnimo. No existe Punto de
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2
Asntota Vertical: Asntota Horizontal: Puntos Crticos: Interv de crecimiento y/o decrecim: Punto de Inflexin: Intervalo de Concavidad: No existe Punto Crtico. es creciente No existe Punto de Inflexin.
Punto de mximo y/o mnimo:
No existe Punto Crtico mximo ni de mnimo.
No existe Punto de
118
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3
Asntota Vertical: Asntota Horizontal: Puntos Crticos: Interv de crecimiento y/o decrecim: Punto de Inflexin: Intervalo de Concavidad: No existe Punto Crtico. es creciente No existe Punto de Inflexin.
Punto de mximo y/o mnimo:
No existe Punto Crtico mximo ni de mnimo.
No existe Punto de
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4
Asntota Vertical: Asntota Horizontal: Puntos Crticos: Interv de crecimiento y/o decrecim: : Punto de Inflexin: Intervalo de Concavidad: No existe Punto de Inflexin.
Punto de mximo y/o mnimo:
0,
2 9
es un mnimo de
.
120
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5
Asntota Vertical: Asntota Horizontal: Puntos Crticos: Interv de crecimiento y/o decrecim: : Punto de Inflexin: Intervalo de Concavidad: No existe Punto de Inflexin.
Punto de mximo y/o mnimo:
0,
es un mximo de
.
121
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6
Asntota Vertical: Asntota Horizontal: Puntos Crticos: Interv de crecimiento y/o decrecim: : Punto de Inflexin: Intervalo de Concavidad: No existe Punto de Inflexin.
Punto de mximo y/o mnimo:
0,
es un mnimo de
..
122
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B)
Problemas de aplicacin de mximos y/o mnimos Procedimiento 1) Realizar un dibujo esquemtico. 2) Asignar variables a cada una de las cantidades mencionadas en el problema. 3) Establecer una ecuacin que represente lo que se desea maximizar o minimizar 4) Transformar la ecuacin anterior en una ecuacin que depende de una sola variable usando toda la informacin del problema. 5) Determinar el punto crtico de la ecuacin encontrada en 4 . Este valor ser un mximo si el problema es maximizar o un mnimo si el problema consiste en minimizar.
123
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Ejemplos 1) Una caja cerrada con una base cuadrada debe tener un volumen de 64 m3 . El material de la parte de encima y el fondo de la caja cuesta $1000 por m2 y el material de los lados $500 el m2 . Calcular las dimensiones de la caja cuyo costo de construccin es mnimo.
Las dimensiones de la caja son base
m y altura
m.
124
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2) Un impresor recibe un pedido para producir un cartel rectangular que contiene 100 cm2 de impresin rodeado de mrgenes de 1 cm. a cada lado, 3 cm. en la parte superior y 2 cm. en la parte inferior. Cules son las dimensiones del cartel ms econmico?
Las dimensiones del cartel son largo
cm. y ancho
cm.
125
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3) En una ribera de un ro de 3 km. de ancho hay una planta elctrica. En la ribera opuesta y 4 km. aguas arriba hay una fbrica. Se desea tender un cable dede la planta elctrica hasta la fbrica. calcular el trazado ms econmico, si el metro de cable bajo el agua tiene un costo de $1200 y el metro de cable areo tiene un costo de $720
El trazado ms econmico es 3.75 m. bajo agua y 1.75 m. areo
126
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Ejercicios Propuestos 1) Una caja cerrada con una base rectangular en la cual la altura es el triple de un de los lados basales, debe tener un volumen de 48 m3 . El material de la parte de encima y el fondo de la caja cuesta $2.500 por m2 y el material de los lados $1.500 el m2 . Calcular las dimensiones de la caja cuyo costo de construccin es mnimo. Con una malla de 48 mt se desea construir un corral aprobechando una pared. Cules deben ser la dimensiones para que el area sea mxima, si el corral tiene forma rectangular?. Con una plancha de 144 cm por 96 cm se construir una caja. Cmo deben ser los cortes para que el volumen de la caja sea mximo?. Un rectngulo tiene un permetro de 120 mt. Qu largo y ancho da el area mxima?. La diferencia entre dos nmeros es 20. Cules son aquellos en que su producto es mnimo?. Se desea construir un depsito en forma de cilindro con capacidad mxima para 12 litros. Determinar las dimensiones con el fin de emplear la mnima cantidad de material. Encontrar las dimensiones del rectngulo de rea mxima que puede inscribirse en una circunferencia de radio 12. Una ventana normando tiene la forma de un rectngulo coronado por un semicrculo. Encontrar sus dimensiones si el permetro es de 12 pies y su rea debe ser la mxima posible. Calcular el rea mxima del rectngulo que tiene su base inferior sobre el eje X y sus otros dos vrtices en la curva Con un alambre de 36 cm se construye un cuadrado y un crculo .Cmo ha de cortarse el alambre en dos partes para que la suma de sus areas sea mxima.
2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)
127
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Solucin: 81 400 20 9 20 9
1)
Largo: 16
3
; Ancho:
3
;
Alto: 3
3
2) 3) 4) 5)
Largo: 24 mt
; Ancho: 12 mt
Cortes cuadrados de 18,83 cm x 18,83 cm Largo: 30 mt Nmeros: ; Ancho: 30 mt
6)
Radio:
Altura
7)
Es un cuadrado de lado
8)
Radio semi circunferencia: Largo rectngulo: Ancho rectngulo:
9)
El rea mxima del rectngulo es
10)
Corte para cuadrado:
Corte para crculo:
128
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C)
Problemas de variaciones relacionadas Procedimiento 1) Asignar variables a todas las cantidades dadas y las cantidades a determinar. 2) Determinar una ecuacin que represente al problema. 3) Derivar implcitamente con repecto al tiempo. 4) Sustituir en la ecuacin resultante todos los valores conocidos de las variables y sus razones de cambio.
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Ejemplos 1) Una escalera de 25 pies de largo est apoyada en una casa. Si la base de la escalera se separa de la pared a razn de 2 pies/seg. A qu velocidad est bajando su extremo superior cuando la base est a 7 pies de la pared?.
pies seg.
?
derivando implcitamente con respecto al tiempo
El extremo superior decrece a razn de 7 pies/seg.
130
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2) Se arroja arena en un montn cnico a razn de 100 pies3 /min. Hallar la razn de cambio de la altura del montn cuando su altura es 10 pies. Suponga que el radio del cono es igual a su altura .
pies3 min.
pies
?
como
, se tiene
derivando implicitamente con respecto al tiempo
La altura del montn cnico crece a razn de
1
pies/min.
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3) Un automvil que se desplaza a razn de 120 km/hr., se aproxima a un cruce. Cuando el auto est a 1km. de la interseccin, un camin que viaja a 150 km/hr. cruza la interseccin. El auto y el camin se encuentran en carreteras que forman un ngulo recto entre s. Con qu rapidez se separan 1 minuto despus que el camin pasa el cruce?.
km hr km km km km
;
km hr
minutos minuto minutos minuto km
km
un minuto despus
132
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derivando implicitamente con respecto al tiempo
Como
, entonces
Luego
El auto y el camin se separan a una velocidad de
km/hr despus que el camin pasa por el cruce.
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Ejercicios Propuestos 1) La razn de cambio del radio de un crculo es de 5 mt/mn. Cul es la velocidad de cambio del permetro? 2) El largo de una parcela rectangular aumenta a razn de 7 mt/mn Cul es la velocidad de cambio del permetro de la parcela si su ancho permanece constante? 3) Se infla un globo a razn de 1.800 cm3 /sg. Determinar la velocidad de aumento de radio del globo cuando este mide 15 cm?. 4) Se deposita agua en un tambor cilndrico a razn de 400 cm3 /sg. Si el radio del tambor es 10 cm, determinar la razn de cambio de la altura del tambor. 5) Se deja caer una piedra en un lago en calma, lo que provoca ondas y crculos. El radio del crculo exterior est creciendo a un ritmo constante de 1 pie/sg. Cuando el radio es 4 pies, a qu ritmo est cambiando el rea de la regin circular? 6) Un avin vuela a una altura de millas por una trayectoria que le llevar a la vertical de una estacin de radar. Si la distancia del avin al radar decrece a una razn de millas/hr cuando dicha distancia es millas, Cul es la velocidad del avin?. 7) El radio de una esfera est creciendo a razn de rea de la esfera cuando el radio es pulg. pulg/mn. calcular la razn de cambio del
8) Una cmara de televisin , situada a ras del suelo, est filmando el despegue de un cohete espacial, que se mueve verticalmente de acuerdo con la ecuacin donde se mide en pies y en segundos. La cmara dista 2.000 pies del punto de lanzamiento. Calcular la variacin de cambio del ngulo de elevacin de la cmara 10 segundos despus del despegue. 9) Un cono circular recto, tiene una altura de 12 cm y un dimetro de base de 8 cm. Si se invierte el cono y se vacia agua por la base del mismo, haciendo que el radio en el nivel del agua vare con una velocidad de 1 cm . Con qu velocidad cambiar el volumen de agua cuando el radio 3 m es 2 cm ? 10) Un globo asciende verticalmente sobre un punto del suelo a razn de 15 pies/sg. Un punto del suelo dista 30 pies de . Cuando el globo est a 40 pies de , a qu razn est cambiando la distancia desde el globo al punto ?
134
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Solucin:
1) El permetro del crculo crece a razn de 10
mt/mn.
2) La velocidad de cambio del permetro de la parcela es de 14 mt/mn. 2
3) El radio del crculo crece a razn de
cm/sg.
4) La altura del tambor aumenta a razn de
4
cm/sg.
5) El rea del crculo crece a una razn de 6) La velocidad del avin es millas/hr.
pies sg
7) El rea de la esfera aumenta a una razn de
pulg mn.
8) El ngulo de elevacin de la cmara crece a una razn de
rad/sg.
9) El volumen de agua aumenta a razn de 10) La distancia desde el globo al punto
cm /min. aumenta a razn de pies/sg.
135
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Unidad N1:
Nmeros Reales
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
136
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Unidad N3: 1)
Lmites y Continuidad
Determine si existen, los siguientes lmites:
a)
lim
b)
lim
c)
lim
d)
lim
e)
lim
f)
lim
g)
lim
y
lim
si:
2)
Determine las asntotas de:
a)
b)
c)
137
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3)
Analice la continuidad en:
a)
b)
c)
4)
Determine el valor de , dominio:
y , segn corresponda para que la funcin sea continua en todo su
a)
b)
c)
138
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Unidad N4: 1)
Derivadas
Obtener la primera derivada de: a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h) i) j)
139
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2)
Obtenga asntotas (si corresponde), puntos crticos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, puntos de inflexin, intervalos de concavidad, puntos de mximos y/o mnimos y grfico de: a) b)
3)
Desarrolle los siguientes problemas: a) Dos postes, de 12 y 28 pies de altura, distan 30 pies. Hay que conectarlos mediante un cable que est atado en algn punto del suelo entre ellos. En qu punto ha de amarrarse al suelo con el fin de utilizar la menor cantidad de cable que sea posible? b) Un granjero dispone de 200 metros de valla para cerrar dos corrales adyacentes. Qu dimensiones harn que el rea encerrada sea mxima?. c) Un controlador observa dos aviones que vuelan en trayectorias perpendiculares y a la misma altura. Uno de ellos dista 150 millas y se mueve a 450 millas/hr. El otro est a 200 millas y se desplaza a 600 millas/hr. A qu ritmo decrece la distancia entre ellos?.
140
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Solucin: Unidad N1:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
141
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Unidad N3:
1)
a)
lim
18
b)
lim
c)
lim
lim
Luego a la izquierda de Por lo tanto, no existe
, lim
crece y a la derecha de
decrece.
d)
lim
e)
lim
f)
lim
g)
lim lim
lim lim
lim
lim lim
lim lim
No
lim
142
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2)
a)
Asntota vertical: Asntota horizontal:
1 1
Asntota oblicua: No existe.
b)
Asntota vertical: Asntota horizontal: Asntota oblicua: No existe.
c)
Asntota vertical: Asntota horizontal: Asntota oblicua: No existe.
3)
a) lim lim Luego es continua en
b lim Existe lim lim
lim Luego es continua en
143
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c
Para
Para
lim lim Existe lim
lim lim No existe lim
lim
Luego Por lo tanto,
es continua en
Luego
es discontinua en
es discontinua en el intervalo
4)
a)
b)
c)
144
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Unidad N4:
1)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
145
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2)
a) Puntos Crticos: Interv de crec y/o decrec: : Punto de Inflexin: Intervalo de Concavidad:
Punto de mx y/o mn:
es un mnimo de
es un mximo de
146
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b) Asntota Vertical: Asntota Horizontal: Puntos Crticos: Interv de crecimiento y/o decrecim: : Punto de Inflexin: Intervalo de Concavidad: No existe Punto de Inflexin.
Punto de mximo y/o mnimo:
0,
9
es un mnimo de
.
147
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3)
a) Debe amarrarse a 9 pies del poste mas bajo. b) Cada corral debe medir metros de largo por 25 pies de ancho.
c) La distancia entre los aviones disminuye a una velocidad de 750 millas/hr.
148