Libro Bases de Matemáticas

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BASES DE MATEMTICASAPUNTES Ingeniera Tcnica en Informtica de Sistemas y de Gestin ESCET Alessandra Gallinari 2003

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IntroduccinEn este curso se aborda la disciplina de las matemticas que tradicionalmente se denomina clculo o anlisis matemtico en una variable. El concepto de lmite, central en esta asignatura, y que abre todo el campo del clculo diferencial e integral, supone una revolucin en las matemticas y en cmo stas describen la realidad: de la nocin de velocidad constante a la de velocidad instantnea, del clculo de reas de polgonos al de reas encerradas por curvas, del clculo de masas de slidos de densidad constante al mismo clculo con densidad variable, de la probabilidad de sucesos con una cantidad nita de opciones al estudio de las probabilidades de sucesos donde hay una cantidad innita de posibilidades, de lo discreto a lo continuo... son algunos ejemplos que ilustran lo sealado. La fsica, la ingeniera, la estadstica se fundamentan (no exclusivamente pero s de una forma crucial) matemticamente en los conceptos que se presentarn: lmite, funcin, derivacin e integracin. Aunque el mundo de las telecomunicaciones y la informtica presenta actualmente un modelo digital, es decir, discreto (este campo de las matemticas se presenta en la asignatura de Matemtica Discreta) no podemos olvidar que la realidad no se adapta completamente a modelos discretos. El rea de una circunferencia involucra a ese misterioso nmero que no es un nmero racional y el teorema de Pitgoras nos recuerda que la diagonal de un cuadrado de lado unidad (pensemos en el alern de un tejado) tampoco es racional. Cuando nos circunscribimos al mundo de los nmeros racionales lo hacemos para perder exactitud (es imposible la cuadratura del crculo, nunca mejor dicho) y eso puede ser trgicamente relevante. Adems, el anlisis matemtico presenta interesantes instrumentos de descripcin que son fundamentales en otros campos: por ejemplo el estudio sistemtico de las funciones reales es usado para el estudio de la eciencia de los algoritmos en lo que se denomina complejidad y esto tiene fuertes consecuencias en seguridad informtica, gestin de proyectos... .Finalmente la industria y la economa (tambin la biologa, la qumica, la medicina...) necesitan modelos que describan ciertos procesos (evoluciones de mercado, procesos de fabricacin, poblaciones...) y de los que, a priori, se puedan establecer predicciones, se puedan optimizar gastos y recursos (u otras variables), se tomen decisiones adecuadas y seguras... . Normalmente estos estudios no involucran a una sola variable (pensemos en una industria: tiempo, energa, recursos humanos...) y por tanto se necesita tambin desarrollar un anlisis matemtico de

3 varias variables que es lo que se ensear en la asignatura de Clculo. Con frecuencia, los problemas matemticos que se presentan en la ciencia o la tecnologa no se pueden resolver con mtodos analticos exactos. No es posible calcular el rea de una regin si no conocemos una primitiva de la integral que la representa. As mismo, para calcular el mximo de una funcin es, en general, necesario poder calcular exactamente las races de su funcin derivada. En un modelo matemtico que utiliza ecuaciones diferenciales tenemos que poder calcular las soluciones exactas de estas ecuaciones. Hay varios teoremas que garantizan la existencia de soluciones a estos problemas sin proponer un mtodo efectivo para su clculo exacto. En estos casos se utilizan mtodos numricos, es decir, algoritmos que permiten hallar una solucin aproximada. Estos mtodos se basan, en general, en la discretizacin del problema y mtodos iterativos de aproximacin. Newton, Leibnitz, Cauchy, Euler, Gauss... son algunos de los insignes matemticos que han desarrollado una de las obras intelectuales fundamentales para la ciencia y la tecnologa actuales. El contenido de esta publicacin es un guin de la asignatura de Bases de Matemticas para las titulaciones de Ingeniera Tcnica en Informtica de Sistemas y de Gestin de la Escuela Superior de Ciencias Experimentales y Tecnologa (ESCET). Con estas notas de clase se intenta presentar de forma organizada el material que se expondr en las clases tericas. Por la naturaleza de estos apuntes, la exposicin no es completa y es fundamental que el alumno consulte tambin los libros recomendados en la bibliografa relativa a la asignatura. Estas notas vienen acompaadas por un libro de problemas resueltos de forma tradicional y un libro de problemas resueltos utilizando el sistema de computacin simblica Maple V, donde se podrn apreciar mayormente las aplicaciones de las tcnicas y de los resultados expuestos en clase. El captulo 1 es un breve repaso de nociones bsicas de lgica y tcnicas de demostracin de teoremas, temas que se desarrollan con ms detalle en la asignatura paralela de Matemtica Discreta. En el captulo 2, a partir de las operaciones bsicas entre conjuntos y la nocin de relacin binaria, se dene el concepto de funcin entre dos conjuntos arbitrarios y se estudian sus propiedades generales. En particular se tratan las funciones que tienen inversa. Tambin se denen las relaciones de equivalencia y de orden que se utilizarn en los siguientes captulos. El apndice al nal de estos apuntes contiene un breve repaso de las funciones

4 elementales y sus propiedades que se suponen estudiadas por el alumno en cursos anteriores. Todas estas nociones son bsicas y aparecen en prcticamente todas las asignaturas de la titulacin. En particular, vendrn empleadas en la asignaturas de Matemtica Discreta, Clculo y lgebra. En el captulo 3 se dar una descripcin de la estructura algebraica de cuerpo (estructura que se estudiar en ms detalle en la asignatura de lgebra) del conjunto R de los nmeros reales, de sus propiedades de orden y de completitud. Estas propiedades son fundamentales para poder comprender el concepto de distancia en R y de lmite de una funcin real. Las aplicaciones de estos conceptos sern los temas principales del clculo en una variable. El captulo 4 est dedicado a los nmeros complejos. Se trata de un breve repaso de las propiedades bsicas de estos nmeros. Los aspectos numricos son el contenido de la prctica correspondiente con Maple V de esta asignatura. Los captulos 5, 6 y 7 tratan los conceptos de lmite de sucesiones y funciones reales y de continuidad. Se exponen los teoremas fundamentales de convergencia y divergencia. Los mtodos numricos correspondientes vienen presentados en las prcticas correspondientes con Maple V de esta asignatura. En estos apuntes se presta particular atencin al tema de las sucesiones reales como introduccin a la resolucin de ecuaciones en diferencias que los alumnos estudiarn durante la asignatura de lgebra, y a la teora de las series desarrollada en la asignatura de Clculo. Los alumnos pueden utilizar los resultados de estos captulos para el estudio de la convergencia y complejidad de los algoritmos presentados en la asignatura paralela de Matemtica Discreta. Los siguientes dos captulos (8 y 9) introducen el clculo diferencial y sus aplicaciones clsicas. El 10 trata del clculo integral y de tcnicas bsicas de integracin. Todos estos conceptos y sus aplicaciones vienen ilustrados en las prcticas correspondientes con Maple V. Los mtodos numricos relacionados ad estos temas se profundizarn en la asignatura de Clculo. Esta publicacin es, en su mayora, una adaptacin del material contenido (unas veces sin modicarlo, otras proponiendo variaciones de ello) en la bibliografa incluida.

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AgradecimientosQuiero agradecer al profesor Roberto Muoz por su indispensable participacin en la correccin de estas notas. Gracias tambin al profesor Ariel Snchez por su sugerencias y a los alumnos que han sealado erratas y errores en versiones previas.

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ndice General1 Nociones de lgica y demostraciones1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 Conectivos lgicos y tablas de verdad Los cuanticadores y . . . . . Negacin con cuanticadores . . . . . Induccin matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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15 17 17 19

2 Conjuntos, relaciones y funciones

2.2

2.3

Nociones de teora de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Inclusin e igualdad de conjuntos . . . . . . . . . . . 2.1.2 Operaciones con conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Partes de un conjunto y propiedades de las operaciones con conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Cardinal de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . Relaciones binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Relaciones de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Relaciones de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Mnimos y mximos de un conjunto . . . . . . . . . . Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas . . . 2.3.2 Composicin de funciones . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Funcin inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estructura algebraica de R . . . Las propiedades de orden en R . 3.2.1 Intervalos . . . . . . . . 3.2.2 Desigualdades . . . . . . Valor absoluto . . . . . . . . . . 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. 22 . 23 . 23 . . . . . . . . . . . . . . . 25 27 27 29 30 32 32 34 35 35

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3 Nmeros reales3.1 3.2 3.3

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39 41 41 42 44

8 3.4

NDICE GENERAL Completitud de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Supremos e nmos . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 La propiedad del supremo de R . . . . . . . . 3.4.3 La propiedad de Arqumedes . . . . . . . . . . 3.4.4 La existencia de 2 . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.5 Densidad de Q en R . . . . . . . . . . . . . . 3.4.6 Intervalos encajados y representacin decimal Conj