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conjunto de numeros reales

ContenidosArtículos

Número natural 1Número entero 7Teorema de los números primos 13Conjetura de los números primos gemelos 15Cuerpo de números algebraicos 16Axiomas de los números reales 17Número irracional 20Número real 22

ReferenciasFuentes y contribuyentes del artículo 29Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 30

Licencias de artículosLicencia 31

Número natural 1

Número natural

Los números naturales pueden usarse para contar(una manzana, dos manzanas, tres manzanas, …).

Un número natural es cualquiera de los números que se usan paracontar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porquefueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos.

Definiciones

• La Real Academia Española los define como "Cada uno de loselementos de la sucesión 0, 1, 2, 3..." [1]

• Es el conjunto de los números enteros no negativos.• Un número es un símbolo que indica una cantidad.

El conjunto de los números naturales se representa por y corresponde al siguiente conjunto numérico:[2]

Los números naturales son un conjunto cerrado para las operaciones de la adición y la multiplicación, ya que aloperar con cualquiera de sus elementos, resulta siempre un número perteneciente a .

El cero y la definición de los números naturalesExiste una controversia acerca de la inclusión del cero dentro del conjunto de los números naturales. De ahí que noexista acuerdo en la literatura y coexistan definiciones contradictorias de los números naturales. De hecho, algunosmatemáticos (especialmente los de la Teoría de Números) prefieren no reconocer el cero como un número natural;otros, especialmente los de Teoría de conjuntos, Lógica e Informática, sostienen la postura opuesta.Históricamente, el cero no se consideraba número natural. Entre otros motivos porque no tenía una representaciónnatural: cero dedos, cero vacas, etc. podrían considerarse puros constructos mentales.Más recientemente, desde el punto de vista de los fundamentos lógicos de las matemáticas y de algunas aplicaciones,la situación adquirió una perspectiva nueva que hizo más natural la inclusión del cero dentro del conjunto de losnúmeros naturales. Por ejemplo, desde el punto de vista de la teoría de conjuntos, el cero se relaciona con el númerode elementos del conjunto vacío. Y en informática, con un estado de la memoria en que todos los bits se encuentranen estado off.De ahí que la inclusión del cero dentro del conjunto de los números naturales sea cuestión de contexto y de convenio,observándose una tendencia creciente a considerarlo parte de él.[cita requerida]

Número natural 2

HistoriaAntes de que surgieran los números para la representación de cantidades, el ser humano usó otros métodos paracontar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos.Más adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en unavara o simplemente trazos específicos sobre la arena (Véase hueso de Ishango). Pero fue en Mesopotamia alrededordel año 4.000 a. C. donde aparecen los primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de señales enformas de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla empleando para ello un palito aguzado. De aquí el nombre deescritura cuneiforme. Este sistema de numeración fue adoptado más tarde, aunque con símbolos gráficos diferentes,en la Grecia Antigua y en la Antigua Roma. En la Grecia antigua se empleaban simplemente las letras de su alfabeto,mientras que en la antigua Roma además de las letras, se utilizaron algunos símbolos.Quien colocó al conjunto de los números naturales sobre lo que comenzaba a ser una base sólida, fue RichardDedekind en el siglo XIX. Este los derivó de una serie de postulados (lo que implicaba que la existencia del conjuntode números naturales se daba por cierta), que después precisó Peano dentro de una lógica de segundo orden,resultando así los famosos cinco postulados que llevan su nombre. Frege fue superior a ambos, demostrando laexistencia del sistema de números naturales partiendo de principios más fuertes. Lamentablemente la teoría de Fregeperdió, por así decirlo, su credibilidad y hubo que buscar un nuevo método. Fue Zermelo quien demostró laexistencia del conjunto de números naturales, dentro de su teoría de conjuntos y principalmente mediante el uso delaxioma de infinitud que, con una modificación de este hecha por Adolf Fraenkel, permite construir el conjunto denúmeros naturales como ordinales según von Neumann.

Construcciones axiomáticasHistóricamente, se han realizado propuestas para axiomatizar la noción habitual de números naturales, de entre lasque destacan las de Peano y la construcción a partir de la teoría de conjuntos.

Axiomas de PeanoLos axiomas de Peano rigen la estructura números naturales sin necesidad de otra teoría (por ejemplo, la deconjuntos) ni de las nociones aritméticas de suma o equivalencia. Requiere, eso sí, de la noción previa de sucesor.Los cinco axiomas de Peano son:1. El 1 es un número natural.2. Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural.3. El 1 no es el sucesor de ningún número natural.4. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.5. Si el 1 pertenece a un conjunto de números A, y además siempre se verifica que: dado un número natural

cualquiera que esté en A, su sucesor también pertenece a A; entonces A es precisamente el conjunto de todos losnúmeros naturales. Éste es el axioma de inducción, que captura la idea de inducción matemática.

Definición en teoría de conjuntosEn teoría de conjuntos se define al conjunto de los números naturales como el mínimo conjunto que es inductivo. Laidea es que se pueda contar haciendo una biyección desde un número natural hasta el conjunto de objetos que sequiere contar. Es decir, para dar la definición de número 2, se requiere dar un ejemplo de un conjunto que contengaprecisamente dos elementos. Esta definición fue proporcionada por Bertrand Russell, y más tarde simplificada porVon Neumann quien propuso que el candidato para 2 fuera el conjunto que contiene solo a 1 y a 0.Formalmente, un conjunto se dice que es un número natural si cumple1. Para cada , 2. La relación es un orden total estricto en

Número natural 3

3. Todo subconjunto no vacío de tiene elementos mínimo y máximo en el orden Se intenta pues, definir un conjunto de números naturales donde cada elemento respete las convenciones anteriores.Primero se busca un conjunto que sea el representante del 0, lo cual es fácil ya que sabemos que no contieneelementos. Luego se definen los siguientes elementos de una manera ingeniosa con el uso del concepto de sucesor.Se define entonces que el conjunto vacío es un número natural que se denota por y que cada número natural tiene un sucesor denotado como . Estas ideas quedan formalizadas mediante las siguientes expresiones:

De esta manera, cada elemento de algún número natural es un número natural; a saber, un antecesor de él. Porejemplo:

• Por definición (lo cual refuerza el hecho de que 0 no tiene antecesores)• 1 es el sucesor de 0, entonces • 2 es el sucesor de 1, pero 1 es {0}, entonces • y en general

Esto permite establecer una relación de orden entre los elementos del conjunto a pesar de que un conjunto es pornaturaleza un agregado de elementos desordenados. Se define esta relación mediante la expresión

es decir que un número es menor o igual que si y sólo si contiene a todos los elementos de .También se puede usar otra definición más inmediata a partir del hecho de que cada número natural consta de susantecesores. Así si y sólo si .Ésa es la construcción formal de los naturales que garantiza su existencia como conjunto a la luz del desarrolloaxiomático Zermelo-Fraenkel. El postulado de los conjuntos infinitos asegura la validez de la técnica dedemostración conocida como inducción matemática.Un teorema demuestra que cualquier conjunto que sea inductivo contiene a todos los números naturales, es decir quesi es un conjunto inductivo, entonces . Esto significa que, en efecto, es el mínimo conjuntoinductivo.Se define la suma por inducción mediante:

Lo que convierte a los números naturales en un monoide conmutativo con elemento neutro 0, el llamadoMonoide Libre con un generador. Este monoide satisface la propiedad cancelativa y por lo tanto puede incluirse enun grupo matemático. El menor grupo que contiene a los naturales es el de los números enteros.De manera análoga, la multiplicación × se define mediante las expresiones

Esto convierte (esto es, ℕ con esta nueva operación), en un monoide conmutativo.Otra forma de construcción de es la siguiente: Sea la clase de todos los conjuntos y definiremos una relación binaria R "ser equipotente" de la siguiente manera Dados A y B∈ se dice que A R B Existe una aplicación

Número natural 4

biyectiva de A sobre B,es decir,existe biyectiva. Claramente se puede demostrar que esta relación verifica laspropiedades reflexiva,simétrica y transitiva luego es una relación de equivalencia al conjunto cociente losllamaremos cardinales y a los cardinales finitos se les llamará números naturales.Las operaciones de suma yproducto de cardinales se definen como el cardinal de la unión y el producto cartesiano de los conjuntosrepresentantes y verifica todas las propiedades para que sea un semianillo conmutativo y unitario.

Operaciones con los números naturalesLas operaciones matemáticas son acciones de relación que permiten a los seres humanos acordar procesos culturalesde lectura simbólica de agrupación o construcción, de disgregación o deconstrucción, así como del numeros de raicesu origen de un determinado objeto geometrico o de propiedades dimensionales, que se pueden realizar con undeterminado conjunto numérico.Los conjuntos númericos son espacios en los cuales las operaciones pueden hacerse con elementos de dichosconjuntos y dar como resultado de la acción elementos que pueden estar dentro o fuera de ellos, Si la operación suresultado siempre da elementos del conjunto numérico se dice que el espacio es cerrado para dicha operación(cumple con la propiedad clausurativa), si el resultado algunas veces da elementos del conjunto y otras veces no, sedice que el espacio es abierto para dicha operación. (no cumple con la propiedad clausurativa)De allí que se puede decir que las operaciones en los números naturales son: la adición cuyo resultado es la suma(operación cerrada, constructora de linealidad), la sustracción cuyo resultado es diferencia o resta (operación abiertadeconstructora de la linealidad), la multiplicación cuyo resultado recibe el nombre de producto (operación cerrada,constructora de ortogonalidad (ángulo recto)), la división cuyo resultado es el cociente (operación abierta de doblenaturaleza deconstructora de la ortogonalidad (desarma al ángulo recto), o como razón de cambio), la potenciacióncuyo resultado es potencia (operación cerrada en los natursales, constructora de objetos geométricos "perfectos"),radicación cuyo resultado es raiz (operación abierta, deconstructora de objetos geométricamente perfectos) y lalogaritmación (operación abierta, que establece el posible número de raices de un objeto potencialmente perfecto, ode posibles propiedades dimensionales de los objetos geometricos).Es así como las operaciones quedan establecidas para su reconocimiento geométrico como constructoras,deconstructoras y de propiedades dimensionales de los objetos geométricos. a partir de esta concepción se puededecir que:La sustracción es la operación inversa a la adición de la misma manera que la división es la inversa de lamultiplicaciones, es decir,si a+b = c, entonces b = c - a; se observa como la adición o suma construye segmentos de rectas y la sustracción oresta deconstruye el segmento de recta.No siempre se puede realizar una resta entre números naturales, debido a que no siempre se cumple que el número alque se le resta el otro, es mayor.Se puede realizar, 20 - 5 = 15; siendo 20 el minuendo y 5 el sustraendo; pero no 5-20; la razón es que el resultado,-15, no está dentro del conjunto de los números naturales.La suma y la multiplicación de números naturales son operaciones conmutativas y asociativas. Es decir:• El orden de los números no altera el resultado, a+b = b+a, pues la construcción de dicho segmento conserva su

longitud sin importar que cantidad coloque primero, y a×b = b×a siempre construira la misma área rectangular,sin importar el orden en el cual se coloquen los factores(propiedad conmutativa).

• Para sumar (o multiplicar) tres o más números naturales, no hace falta agrupar los números de una maneraespecífica ya que (a+b)+c=a+(b+c) (propiedad asociativa). Esto es lo que da sentido a expresiones como a+b+c.

Al construir la multiplicación de números naturales áreas rectangulares, se puede observar claramente que la adición o suma y la multiplicación son operaciones compatibles, pues la multiplicación sería una adición de cantidades iguales y gracias esta compatibilidad se puede desarrollar la propiedad distributiva, ya que:

Número natural 5

Propiedades de los números naturalesLos números naturales están totalmente ordenados. La relación de orden se puede redefinir así: si y sólosi existe otro número natural que cumple . Este orden es compatible con todas las operacionesaritméticas puesto que si , y son números naturales y , entonces se cumple:

Otra forma de definir dicha relación es utilizando la construcción de por cardinales se tiene que si dadosdos representantes y de y respectivamente existe una aplicación inyectiva.Se demuestrafácilmente que esta relación es de orden y no depende de los representantes y elegidos.Una propiedad importante del conjunto de los números naturales es que es un conjunto bien ordenado: cualquiersubconjunto de los números naturales tiene un elemento mínimo. De hecho, cualquier conjunto A es isomorfo al delos números naturales si no está vacío, está totalmente ordenado por y cumple:1. Para cualquier elemento a de A existe b en A tal que a < b2. Cualquier subconjunto no vacío de A tiene un elemento mínimoEn los números naturales existe el algoritmo de la división. Dados dos números naturales a y b, si b≠ 0 , podemosencontrar otros dos números naturales q y r, denominados cociente y resto respectivamente, tales que

    y     .Los números q y r están unívocamente determinados por a y b.Otras propiedades más complejas de los números naturales, como la distribución de los números primos por ejemplo,son estudiadas por la teoría de números.

Uso de los números naturalesLos números naturales, son usados para dos propósitos fundamentalmente: para describir la posición de un elementoen una secuencia ordenada, como se generaliza con el concepto de número ordinal, y para especificar el tamaño deun conjunto finito, que a su vez se generaliza en el concepto de número cardinal. En el mundo de lo finito, ambosconceptos son coincidentes: los ordinales finitos son iguales a N así como los cardinales finitos. Cuando nosmovemos más allá de lo finito, ambos conceptos son diferentes.

Número natural 6

Véase también

Complejos

Reales

Racionales

Enteros

Naturales Uno

Primos

Compuestos

Cero

Negativos

FraccionariosFracción propia

Fracción impropia

IrracionalesAlgebraicos irracionales

Trascendentes

Imaginarios

Referencias[1] Definición de la Real Academia Española (http:/ / buscon. rae. es/ draeI/ SrvltGUIBusUsual?TIPO_HTML=2& TIPO_BUS=3&

LEMA=número#número_natural. )[2] Hurtado, F. (2 de 1997) (en español). Atlas de matemáticas (1 edición). Idea Books, S.A.. pp. 12. ISBN 978-84-8236-049-2.

Bibliografía• Hernández Hernández, Fernando (1998). Teoría de conjuntos. México D.F.: Sociedad Matemática Mexicana.

ISBN 970-32-1392-8.

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Número enteroLos números enteros son una generalización del conjunto de números naturales que incluye números enterosnegativos (resultados de restar a un número natural otro mayor), además del cero. El hecho de que un número seaentero, significa que no tiene parte decimal. Los números enteros negativos pueden aplicarse en diversos contextos,como la representación de profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, o deudas, entre otros.

HistoriaLos números enteros positivos y negativos, son el resultado natural de las operaciones suma y resta. Su empleo,aunque con diversas notaciones, se remonta a la antigüedad.El nombre de enteros se justifica porque estos números ya positivos o negativos, siempre representaban una cantidadde unidades no divisibles (por ejemplo, personas).No fue sino hasta el siglo XVII que tuvieron aceptación en trabajos científicos europeos, aunque matemáticositalianos del renacimiento como Tartaglia y Cardano los hubiesen ya advertido en sus trabajos acerca de solución deecuaciones de tercer grado. Sin embargo, la regla de los signos ya era conocida previamente por los matemáticos dela India. [cita requerida]

Aplicación en contabilidadEncuentran aplicación en los balances contables. A veces, cuando la cantidad adeudada o pasivo, superaba a lacantidad poseída o activo, se decía que el banquero estaba en "números rojos". Esta expresión venía del hecho que loque hoy llamamos números negativos se representaban escritos en tinta roja así: 30 podía representar un balancepositivo de 30 sueldos, mientras que 3 escrito con tinta roja podía representar, 3 sueldos, es decir, una deuda neta de3 sueldos.

Estructura de los números enterosLos enteros con la adición y la multiplicación forman una estructura algebraica llamada anillo. Pueden serconsiderados una extensión de los números naturales y un subconjunto de los números racionales (fracciones). Losnúmeros enteros son subconjunto de los números racionales o fracciones, puesto que cada número entero puede serconsiderado como una fracción cuyo denominador es el número uno.Los números enteros pueden ser sumados y/o restados, multiplicados y comparados. Si la división es exacta, tambiénpueden dividirse dentro del mismo conjunto de los enteros. La razón principal para introducir los números negativossobre los números naturales es la posibilidad de resolver ecuaciones del tipo:

para la incógnita x.

Matemáticamente, el conjunto de los números enteros con las operaciones de suma y multiplicación, constituye un anillo conmutativo y unitario. Por otro lado, , donde es el orden usual sobre , es unconjunto completamente ordenado sin cota superior o inferior: los enteros no tienen principio ni fin. El conjunto delos números enteros se representa mediante (el origen del uso de Z es el alemán Zahl, «número» o «cantidad»).

Número entero 8

Construcción formal de los enteros a partir de los naturalesUn número entero negativo puede ser definido mediante la diferencia de dos números naturales. Por ejemplo

, de donde puede asociarse el número con el par ordenado de números naturales. Sinembargo, debido a que y una infinidad más de pares ordenados dan como resultado al restar suscomponentes, no puede decirse simplemente que . Lo que puede hacerse, es incluir todos los paresordenados de números naturales, que dan como resultado al restar sus componentes, dentro de un solo conjunto,o, más exactamente, dentro de una clase de equivalencia. Para ello, aprovechamos el que dos pares ordenados y puedan ser asociados al mismo número entero si:

(1) .El único problema es que la ecuación (1) no está definida en cuando . Pero esto se remedia fácilmente, alnotar que

equivale a

Ciertamente para cualesquiera , de tal manera que puede definirse una relación sobremediante:

si y solo si

La relación es una relación de equivalencia que produce en una partición en clases de equivalencia,cada una de las cuales puede ser asociada a un único número entero y viceversa. Por ejemplo:

Si admitimos el cero como número natural, podemos definir:

| info=para todo

Si no se acepta el cero como número natural, y se parte, en cambio, del 1, se define entonces

| info=para todo

Luego el cero puede definirse como:

| info=para todo El escoger y (o y para cuando no se acepta ), para las definicionesanteriores es una decisión completamente arbitraria que toma en cuenta la sencillez de estos pares ordenados. Nóteseque, de cualquier forma,

| info=para todo

Se define pues el conjunto de los números enteros como el conjunto:

(2) de todas las clases de equivalencia producidas por la relación sobre el producto cartesiano . Esto es, es el conjunto cociente:

(3) .

Número entero 9

Definición de adición y multiplicación sobre números enterosSe define la adición ( ) sobre como sigue:

| info=para todo teniendo previamente definida la adición sobre . La definición anterior no depende de los representantes

escogidos puesto que, por tanto cualesquiera pares iniciales escogidos conducen al mismo resultado:

La multiplicación ( ) sobre se define como sigue:

| info=para todo teniendo previamente definida la multiplicación sobre . La definición anterior está correctamente definida debidoa que:

Propiedades de los números enteros

Propiedades de clausura

Si , existen tales que:

y, de esto,

De la clausura de la adición sobre , se sigue, por definición, que

Se tiene que la adición sobre el conjunto de los números enteros verifica la propiedad

• Para cualesquiera Lo mismo cumple la multiplicación sobre :

• Para cualesquiera

Propiedades asociativasLas propiedades asociativas de la adición y la multiplicación sobre se siguen fácilmente de las definiciones deestas operaciones. Estas propiedades son:

• Para cualesquiera y

• Para cualesquiera

Número entero 10

Propiedades conmutativas

Puesto que [(m,n)]+[(p,q)]=[(m+p\ ,\ n+q)]=[(p+m\ ,\ q+n)]=[(p,q)]+[(m,n)] para cualesquiera ,tenemos que• Para cualesquiera Esta es la propiedad conmutativa de la adición sobre . Esta propiedad la tiene también la multiplicación:

• Para cualesquiera

Propiedad distributiva

Sean los enteros , y . Tenemos

.

Por tanto se cumple la siguiente propiedad distributiva

• Para cualesquiera

Existencia de elementos neutros

El cero, , , tiene la característica de que para todo entero ,

y como sean cuales sean los números naturales tenemos, de donde , por lo que el cero es un elemento neutro

para la adición sobre . En• para todo .términos más sencillos,Se define como sigue:

.Vemos que, para todo entero ,

y, puesto que , resulta que 1 es un elemento neutro para lamultiplicación sobre . Es decir,• para todo pt.a+b _ c

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Existencia de elemento opuesto• Para cada número existe un elemento opuesto que denotaremos por tal que:

Para demostrar que existe el elemento opuesto podemos constrirlo explícitamente como , quecumple obviamente la propiedad anterior:

Unicidad del elemento opuesto

Además este opuesto es único. Esto significa que para cada entero existe un único número tal que sumado con él elresultado es cero. Para verlo podemos suponer que existen dos opuestos y , entonces sucede que:En esta prueba de que el elemento opuesto hemos usado la propiedad asociativa y la unicidad del elemento neutro.

Propiedades cancelativas

Sean y . Tenemos que gracias a la existencia del elemento opuesto:Por tanto, se cumple la siguiente propiedad cancelativa

• Para todo .Para la multiplicación también se cumple la propiedad cancelativa, aunque para demostrar esto debe utilizarse unmétodo distinto, ya que no todo elemento de es una unidad (esto es, no todo entero tiene un inverso), y por tanto

, con su multiplicación, no es un anillo de división. La prueba que sigue de la propiedad cancelativa para lamultiplicación se basa en el hecho de que es un dominio íntegro. Sean pues , y con

. Tenemos que , y de la propiedad distributiva , o sea que , loque demuestra que .Se cumple pues la propiedad cancelativa siguiente:

• Para todo , con .

Propiedades de orden• Si a = b Entonces b = a

Propiedad reflexiva del orden

• a = a

Propiedad antisimétrica del orden

• Si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b.

Propiedad transitiva del orden

• Si a < b y b < c, entonces a < c.

Compatibilidad del orden con las operaciones

• Si a ≤ b entonces a+c ≤ b+c,para todo c ∈ .• y si c ≥ 0, con a ≤ b entonces a c ≤ b c

Número entero 12

Propiedad o axioma de la buena ordenación• Sea S un subconjunto no vacío de ℤ, acotado inferiormente, entonces S tiene primer elemento.Este axioma indica que el conjunto S tiene un ínfimo y un supremo, lo que quiere decir es que S del conjunto decotas superiores y cotas inferiores tiene un elemento menor de las cotas superiores llamado supremo que a su vez esmayor que todos los elementos del conjunto S.

Referencias

Véase también

Complejos

Reales

Racionales

Enteros

Naturales Uno

Primos

Compuestos

Cero

Negativos

FraccionariosFracción propia

Fracción impropia

IrracionalesAlgebraicos irracionales

Trascendentes

Imaginarios

Teorema de los números primos 13

Teorema de los números primosEn teoría de números el teorema de los números primos es un resultado sobre la distribución asintótica de losnúmeros primos.

Enunciado del teorema

Gráfico comparativo de π(x) (rojo), x / ln x (verde) y Li(x) (azul).

Sea el número de primos que sonmenores o iguales que . El teoremaestablece que:

,donde ln (x) es el logaritmo neperiano de .

Esta expresión no implica que la diferencia de las dos partes de la misma para valores de muy grandes sea cero;sólo implica que el cociente de éstas para valores de muy grandes es casi igual a 1.Una mejor aproximación viene dada por el logaritmo integral:

,donde Li (x) es el logaritmo integral de .

HistoriaEl teorema de los números primos fue conjeturado por Adrien-Marie Legendre en 1798 y la conjetura fueposteriormente refinada por Gauss con la expresión que actualmente se asocia más frecuentemente al teorema. Lademostración formal del teorema, la hicieron de forma independiente tanto Jacques Hadamard como Charles-Jean dela Vallée Poussin en el año 1896. Ambas demostraciones se basaban en el resultado de que la función zeta deRiemann no tiene ceros de la forma 1 + it con t > 0. En realidad la demostración se hizo sobre una expresiónalgo más estricta de lo que se indica en la definición anterior del teorema; siendo la expresión demostrada porHadamard y Poussin la siguiente:

donde

.

Teorema de los números primos 14

Desde 1896 la expresión asociada al teorema de los números primos ha sido mejorada sucesivamente siendo lamejor aproximación actual la dada por:

donde se define como la función asintótica a y es una constante indeterminada.Para valores de pequeños se había demostrado que , lo que llevó a conjeturar a variosmatemáticos en la época de Gauss que era una cota superior estricta de (esto es que la ecuación

no tiene soluciones reales). No obstante, en 1912 J. E. Littlewood demostró que dicha cota escruzada para valores de suficientemente grandes. El primero de ellos se conoce como primer número de Skewes,y actualmente se sabe que es inferior a , aunque se piensa que puede ser inferior incluso a . En 1914Littlewood amplió su demostración con la inclusión de múltiples soluciones a la ecuación .Muchos de estos valores y hallazgos están asociados a la validez de la hipótesis de Riemann.

Relación con la hipótesis de RiemannDada la conexión que hay entre la función zeta de Riemann ζ(s) y π(x), la hipótesis de Riemann es muy importanteen teoría de números, y por supuesto, en el teorema de los números primos.Si la hipótesis de Riemann se cumple, entonces el término error que aparece en el teorema de los números primospuede acotarse de la mejor manera posible. Concretamente, Helge von Koch demostró en 1901 que

si y sólo si la hipótesis de Riemann se cumple. Una variante refinada del resultado de Koch, dada por LowelSchoenfeld en 1976, afirma que la hipótesis de Riemann es equivalente al siguiente resultado:

Aproximaciones para el enésimo número primoComo consecuencia del teorema de los números primos, se obtiene una expresión asintótica para el enésimo númeroprimo, denotado por pn:

Una aproximación mejor es:[1]

Referencias[1] Michele Cipolla (1902). «La determinazione assintotica dell'nimo numero primo». Matematiche Napoli 3:  pp. 132-166.

Conjetura de los números primos gemelos 15

Conjetura de los números primos gemelosDos números primos se denominan gemelos si uno de ellos es igual al otro más dos unidades. Así pues, los númerosprimos 3 y 5 forman una pareja de primos gemelos. Otros ejemplos de pares de primos gemelos son 11 y 13 ó 29 y31.Conforme se van considerando primos más grandes la frecuencia de aparición de pares de primos gemelos vadisminuyendo, pero aun así se ha visto computacionalmente que siguen surgiendo pares de primos gemelos aun entrenúmeros de tamaños enormes.La conjetura de los primos gemelos postula la existencia de infinitos pares de primos gemelos. Dado que es unaconjetura, está todavía sin demostrar.

Existe un número infinito de primos p tales que p + 2 también es primo.La conjetura ha sido investigada por muchos teóricos de números. La mayoría de matemáticos cree que la conjeturaes cierta, y se basan en evidencias numéricas y razonamientos heurísticos sobre la distribución probabilística de losnúmeros primos.En 1849, Alphonse de Polignac formuló una conjetura más general según la cual, para todo número natural k existeninfinitos pares de primos cuya diferencia es 2·k. El caso k=1 es la conjetura de los números primos gemelos.

Resultados parcialesEn 1940, Erdös mostró que existe una constante c < 1 e infinitos primos p tales que p - p < c·ln(p), donde p denota elnúmero primo que sigue a p. Este resultado fue mejorado sucesivamente: en 1986 Maier mostró que podía emplearseuna constante c < 0,25. Daniel Goldston, János Pintz y Cem Yildirim lograron un gran avance en 2005 al probar queel resultado es válido para toda constante c>0.En 1973, Jing-run Chen publicó una prueba que existen infinitos números primos p tales que p+2 es un producto de,a lo más, dos factores primos. Para conseguir este resultado se basó en la llamada teoría de cribas, y consiguió tratarla conjetura de los primos gemelos y la conjetura de Goldbach de forma similar.

Conjetura de Hardy-LittlewoodTambién existe una generalización de la conjetura de los primos gemelos, conocida como la conjetura deHardy-Littlewood, sobre la distribución de los primos gemelos, de forma análoga al teorema de los númerosprimos. Denótese como π2(x) el número de primos p menores que x tales que p+2 también es primo. Defínase laconstante de los números primos C2 como(p > 3)La conjetura dice que

en el mismo sentido en que el cociente de las dos expresiones tiende a 1 cuando x tiende a infinito.Esta conjetura puede justificarse (pero no demostrarse) si se supone, informalmente hablando, que el evento que n nosea divisible por p y el evento que n+2 no sea divisible por p son estadísticamente dependientes sólo en la medidaque el hecho que n no sea divisible por p hace que p|n+2 sea un evento entre p-1 eventos igualmente probables, y noun evento entre p eventos igualmente probables. La evidencia numérica que hay detrás de la conjetura deHardy-Littlewood es ciertamente impresionante.

Conjetura de los números primos gemelos 16

Véase también• Números primos gemelos• Constante de Brun

Cuerpo de números algebraicosEn matemática, un cuerpo de números algebraicos (o simplemente cuerpo numérico) F es una extensión decuerpos finita (y también algebraica) de los números racionales Q. Así pues, F es un cuerpo que contiene Q y tienedimensión finita cuando es considerado como un espacio vectorial sobre Q.El estudio de los cuerpos de números algebraicos, y, más generalmente, de las extensiones algebraicas de losnúmeros racionales, es el tema central de la teoría de números algebraicos.

Definición

PrerrequisitosLa noción de cuerpo de los números algebraicos se basa en el concepto de un cuerpo. Los cuerpos consisten en unconjunto de elementos, junto con las cuatro operaciones principales, definidas como adición, substracción,multiplicación y división por elementos distintos de 0. Un ejemplo muy común de cuerpo es el cuerpo de losnúmeros racionales, comúnmente denotados por Q, junto con sus operaciones usuales de suma, etc.Otra noción necesaria para definir los cuerpos de los números algebraicos es el de espacio vectorial. En la medidanecesaria, los espacios vectoriales pueden ser considerados como secuencias (o tuplas)

(x1, x2, ...)cuyas partes constituyentes son elementos de un cuerpo fijado, como puede ser el cuerpo Q. Cualquier par de estassecuencias puede ser sumada mediante la suma de las partes constituyentes una a una. Además, cualquiera de estassecuencias puede ser multiplicada por un elemento c de un cuerpo fijado. Estas dos operaciones son conocidas comosuma de vectores y multiplicación escalar satisfaciendo un número de propiedades que sirven para definir losespacios vectoriales abstractamente. Los espacios vectoriales también pueden ser de «dimensión infinita», o lo que eslo mismo, que las secuencias constituyentes de estos espacios vectoriales tienen longitud infinita. Sin embargo, si elespacio vectorial consiste en un grupo de secuencias finitas

(x1, x2, ..., xn),el espacio vectorial se dice que tiene una dimensión finita, n.

DefiniciónUn cuerpo de números algebraicos (o simplemente cuerpo numérico) es por definición un grado finito deextensión de cuerpos del cuerpo de los números racionales. este grado de extensión de Q es simplemente llamadocomo grado.

Referencias• Janusz, Gerald J. (1996 1997), Algebraic Number Fields (2nd edición), Providence, R.I.: American Mathematical

Society, ISBN 978-0-8218-0429-2

• Serge Lang, Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000• Richard A. Mollin, Algebraic Number Theory, CRC, 1999• Ram Murty, Problems in Algebraic Number Theory, Second Edition, Springer, 2005

Cuerpo de números algebraicos 17

• Narkiewicz, Władysław (2004), Elementary and analytic theory of algebraic numbers, Springer Monographs inMathematics (3 edición), Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-21902-6

• Neukirch, Jürgen (1999), Algebraic number theory, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 322,Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 1697859 [1], ISBN 978-3-540-65399-8

• Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Cohomology of Number Fields, Grundlehren derMathematischen Wissenschaften, 323, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 1737196 [2], ISBN 978-3-540-66671-4

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Referencias[1] http:/ / www. ams. org/ mathscinet-getitem?mr=1697859[2] http:/ / www. ams. org/ mathscinet-getitem?mr=1737196

Axiomas de los números realesPara que todos los procedimientos matemáticos usados sean válidos se debe partir de una base que respalde cadaprocedimiento, cada paso lógico usado, y debe, en consecuencia, demostrarse cada afirmación no trivial. Son estasdemostraciones los pilares fundamentales de toda rama de las matemáticas, ya que sin ellos puede ponerse en duda laveracidad de cualquier afirmación.Las afirmaciones a las que se hace referencia se llaman axiomas. Serán, por lo tanto, afirmaciones que se aceptancomo verdaderas debido a su trivialidad, pudiendo en ocasiones ser demostradas cuando no lo son.El otro tipo de afirmaciones a las que se hace referencia diciendo: "afirmación no trivial", son los teoremas, queson ya, afirmaciones no tan triviales y muchas veces poco intuitivas. Estas afirmaciones deben ser demostradasusando los axiomas u otros teoremas ya demostrados. Una consecuencia inmediata de un teorema se llamarácorolario.Hay tres tipos de axiomas:• Los axiomas algebraicos• Los axiomas de orden• El axioma topológico.El primero, trata de las propiedades de suma, resta, multiplicación y división; el segundo establece un orden para loselementos de cada conjunto dado; el tercero trata sobre la noción de continuidad.Existe un conjunto que tiene estas propiedades. Nace entonces el primer axioma

Axioma FundamentalExiste un conjunto que denotaremos por que satisface los tres tipos de axiomas mencionados, de orden,algebraicos y topológicos.

El conjunto que cumple con estas propiedades se llama El conjunto de los Números Reales y serán los axiomas deeste conjunto, las bases de lo que es quizás la rama más importante de la matemática: el CálculoSe puede observar que, usando el lenguaje lógico matemático, los teoremas que se demuestren, serán válidos si losaxiomas son válidos, por lo que los teoremas serán del tipo: Si el axioma Fundamental es cierto, entonces laafirmación es cierta.

Axiomas de los números reales 18

Axiomas AlgebraicosLos axiomas algebraicos, pudiéndose escribir como un todo, pueden ser subdivididos en dos tipos: los de suma yproducto.1. Axiomas de la suma

Axioma

A1.1 Para todo , existe un único elemento, también en , denotado por que llamamos lasuma de e .A1.2 para todo .

A1.3 para todo .A1.4 Existe un elemento de , denotado por tal que para todo .

A1.5 Para cada existe un tal que .2. Axiomas del producto

Axioma

A2.1 Para todo , existe un único elemento, también en , denotado por que llamaremos elproducto de e .A2.2 para todo .

A2.3 para todo .A2.4 Existe un elemento de , que denotaremos por tal que

A2.5 Para cada tal que no sea cero, existe un tal que .

Análisis axiomático• El axioma (1.2)conocido como "propiedad conmutativa" dice que el orden de los sumandos no altera el valor de

la suma. Debe tenerse en cuenta que esto es válido sólo para sumas finitas.• El axioma (1.3) conocido como propiedad asociativa de la suma dice que la asociacion de la suma no altera el

valor de ésta.• El axioma (1.4) dice que existe un elemento en los números reales que, al ser sumado con cualquier número real,

sigue siendo ese mismo real. Este real se llama cero, y se conoce también como el elemento neutro aditivo deeste conjunto.

• El axioma (1.5) dice que dado un número real cualquiera existe otro (único) tal que la suma de ambos es nula. Sieste elemento es , el número tal que la suma de éste y el otro número sea cero es . Este elemento sellama inverso aditivo de .

• El axioma (2.2) dice que el orden de los factores no altera el producto.• El axioma (2.3) dice que el orden con que elijamos los productos no afecta el producto. Esta propiedad se conoce

como propiedad asociativa de la multiplicación.• El axioma (2.4) dice que existe un número real tal que el producto de éste con otro real, sigue siendo este último.

Este elemento denotado por se conoce como neutro multiplicativo.• El axioma (2.5) dice que para cualquier real no nulo, existe otro, tal que el producto de ambos da como

resultado el neutro multiplicativo. Este elemento denotado por se conoce como inverso

multiplicativo de .

Axiomas de los números reales 19

Axiomas de OrdenLos axiomas de orden establecen una relación de "cantidad" (véase construcción de los naturales). Esta relación esdel tipo mayor o igual. En realidad, cuando se construyen los naturales, se dice que un número es menor que otro siestá contenido en éste, es decir, si su cardinalidad es menor o igual que otra.Para establecer una relación de orden, es necesario introducir el símbolo que nos dirá si un número es mayor omenor que otro. Para la igualdad se usa el símbolo que ya conocemos.Se dirá que o sólo si es menor que . O dicho de otra forma, si es mayor que .

De manera rigurosa, se puede decir que existe un conjunto tal que si y sólo si .Se dan a continuación los Axiomas de Orden

Axioma

O1.1 Si , entonces se cumple una y solamente una de las siguientes afirmaciones:; ;

O1.2 Si y además , entonces .O1.3 Si , entonces para todo O1.4 Si y , entonces .

Análisis axiomático• El axioma (1.2) dice geométricamente que si está a la izquierda de y éste a su vez a la izquierda de ,

entonces debe estar a la izquierda de . Esta interpretación es bastante útil.

Axioma topológicoClaramente los racionales satisfacen los primeros axiomas, pero no se puede con esto, demostrar la existencia de unnúmero irracional, como raíz cuadrada de dos por ejemplo. Para esto es necesario el Axioma topológico que dice losiguiente.

Toda sucesión creciente y acotada superiormente es convergente.

Análisis axiomáticoHay varios conceptos en esta breve afirmación (pero muy importante), que deben conocerse para entender elsignificado de este axioma. Éstos, son los de sucesión, creciente, acotado superiormente y convergencia.

Véase también• Número real• Principio de buena ordenación• Teorema• Cálculo• Sucesión• Convergencia• Acotado

Número irracional 20

Número irracionalEn matemáticas, un número irracional es cualquier número real que no es racional, es decir, es un número que nopuede ser expresado como una fracción , donde y son enteros, con diferente de cero y donde esta

fracción es irreducible.

NotaciónA veces [¿quién?] se denota por al conjunto de los Números Irracionales. Esta notación no es universal y muchosmatemáticos[¿quién?] la rechazan. Las razones son que el conjunto de Números Irracionales no constituyen ningunaestructura algebraica, como sí lo son los Naturales ( ), los Enteros ( ), los Racionales ( ), los Reales ( )y los Complejos ( ), por un lado, y que la es tan apropiada para designar al conjunto de Números Irracionalescomo al conjunto de Números Imaginarios Puros, lo cual puede crear confusión.

ClasificaciónTras distinguir los números componentes de la recta real en tres categorías: (naturales, enteros y racionales), podríaparecer que ha terminado la clasificación de los números, pero aun quedan "huecos" por rellenar en la recta de losnúmeros reales. Los números irracionales son los elementos de dicha recta que cubren los vacíos que dejan losnúmeros racionales.Los números irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dosenteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen un periodo definido. De este modo,puede definirse al número irracional como decimal infinito no periódico. En general, toda expresión en númerosdecimales es solo una aproximación en números racionales al número irracional referido, por ejemplo, el númeroracional 1,4142135 es solo una aproximación a 7 cifras decimales del número irracional raíz cuadrada de 2, el cualposee infinitas cifras decimales que no siguen un periodo.Entonces, decimos con toda propiedad que el número raíz cuadrada de dos es aproximadamente igual a 1,4142135en 7 decimales, o bien es igual a 1,4142135 ... , es decir, los tres puntos hacen referencia a los infinitos decimalesque hacen falta y que jamás terminaríamos de escribir.Debido a ello, los números irracionales más conocidos son identificados mediante símbolos especiales; los tresprincipales son los siguientes:1. (Número "pi" 3,1415 ...): razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.

2. e (Número "e" 2,7182 ...):

3. (Número "áureo" 1,6180 ...):

Los números irracionales se clasifican en dos tipos:1.- Número algebraico: Son la solución de alguna ecuación algebraica y se representan por un número finito deradicales libres o anidados; si "x" representa ese número, al eliminar radicales del segundo miembro medianteoperaciones inversas, queda una ecuación algebraica de cierto grado. Todas las raíces no exactas de cualquier ordenson irracionales algebraicos.Por ejemplo, el número áureo es una de las raíces de la ecuación algebraica:

, por lo que es un número irracional algebraico.2.- Número trascendente: No pueden representarse mediante un número finito de raíces libres o anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes: trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. También surgen al escribir números decimales no periódicos al azar o con un patrón que no lleva periodo definido, respectivamente, como los

Número irracional 21

dos siguientes:0,193650278443757 ...0,101001000100001 ...Los llamados números trascendentes tienen especial relevancia ya que no pueden ser solución de ninguna ecuaciónalgebraica. Los números pi y e son irracionales trascendentes, puesto que no pueden expresarse mediante radicales.Los números irracionales no son numerables, es decir, no pueden ponerse en biyección con el conjunto de losnúmeros naturales. Por extensión, los números reales tampoco son contables ya que incluyen el conjunto de losirracionales.

Véase también

Complejos

Reales

Racionales

Enteros

Naturales Uno

Primos

Compuestos

Cero

Negativos

FraccionariosFracción propia

Fracción impropia

IrracionalesAlgebraicos irracionales

Trascendentes

Imaginarios

Número real 22

Número real

Diferentes clases de números reales.

En matemáticas, los números reales son aquellos que poseen unaexpresión decimal e incluyen tanto a los números racionales (como: 31,37/22, 25,4) como a los números irracionales, que no se puedenexpresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales noperiódicas, tales como: .

Pueden ser descritos de varias formas, algunas simples aunque carentesdel rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otrasmás complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemáticoformal.Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunquecarecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no seconsideraba necesario el formalismo de la actualidad, y se usabanexpresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definiciónprecisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos quehicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definicionesformales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.[1] En una sección posterior sedescribirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones deCauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind.

HistoriaLos egipcios utilizaron por primera vez las fracciones comunes alrededor del año 1000 a. C.; alrededor del 500 a. C.el grupo de matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dio cuenta de la necesidad de los números irracionales.Los números negativos fueron ideados por matemáticos indios cerca del 600, posiblemente reinventados en Chinapoco después, pero no se utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a finales del XVIII Leonhard Eulerdescartó las soluciones negativas de las ecuaciones porque las consideraba irreales. En ese siglo, en el cálculo seutilizaba un conjunto de números reales sin una definición concisa, cosa que finalmente sucedió con la definiciónrigurosa hecha por Georg Cantor en 1871.En realidad, el estudio riguroso de la construcción total de los números reales exige tener amplios antecedentes deteoría de conjuntos y lógica matemática. Fue lograda la construcción y sistematización de los números reales en elsiglo XIX por dos grandes matemáticos europeos utilizando vías distintas: la teoría de conjuntos de Georg Cantor(encajamientos sucesivos, cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el análisis matemático de Richard Dedekind(vecindades, entornos y cortaduras de Dedekind). Ambos matemáticos lograron la sistematización de los númerosreales en la historia, no de manera espontánea, sino utilizando todos los avances previos en la materia: desde laantigua Grecia y pasando por matemáticos como Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann,Cauchy y Weierstrass.

Evolución del concepto de númeroSe sabe que los egipcios y babilónicos hacían uso de fracciones (números racionales) en la resolución de problemasprácticos. Sin embargo, fue con el desarrollo de la matemática griega cuando se consideró el aspecto filosófico denúmero. Los pitagóricos descubrieron que las relaciones armónicas entre las notas musicales correspondían acocientes de números enteros, lo que les inspiró a buscar proporciones numéricas en todas las demás cosas, y loexpresaron con la máxima «todo es número».

Número real 23

En la matemática griega, dos magnitudes son conmensurables si es posible encontrar una tercera tal que las primerasdos sean múltiplos de la última, es decir, es posible encontrar una unidad común para la que las dos magnitudestengan una medida entera. El principio pitagórico de que todo número es un cociente de enteros, expresaba en estaforma que cualesquiera dos magnitudes deben ser conmensurables.Sin embargo, el ambicioso proyecto pitagórico se tambaleó ante el problema de medir la diagonal de un cuadrado, ola hipotenusa de un triángulo rectángulo, pues no es conmensurable respecto de los catetos. En notación moderna, untriángulo rectángulo cuyos catetos miden 1, tiene una hipotenusa que mide :

Si es un número racional donde p/q está reducido a sus términos mínimos (sin factor común)entonces 2q²=p².La expresión anterior indica que p² es un número par y por tanto p también, es decir, p=2m. Sustituyendoobtenemos 2q²=(2m)²=4m², y por tanto q²=2p².Pero el mismo argumento usado nos dice ahora que q debe ser un número par, esto es, q=2n. Mas esto esimposible, puesto que p y q no tienen factores comunes (y hemos encontrado que 2 es un factor de ambos).

Por tanto, la suposición misma de que es un número racional debe ser falsa.Surgió entonces un dilema, ya que de acuerdo al principio pitagórico: todo número era racional, mas la hipotenusa deun triángulo rectángulo isósceles no era conmensurable con los catetos, lo cual implicó que en adelante lasmagnitudes geométricas y las cantidades numéricas tendrían que tratarse por separado, hecho que tuvoconsecuencias en el desarrollo de la matemática durante los dos milenios siguientes.[2]

Los griegos desarrollaron una geometría basada en comparaciones (proporciones) de segmentos sin hacer referenciaa valores numéricos, usando diversas teorías para manejar el caso de medidas inconmesurables, como la teoría deproporciones de Eudoxo. Así, los números irracionales permanecieron a partir de entonces excluidos de la aritméticapuesto que sólo podían ser tratados mediante el método de infinitas aproximaciones. Por ejemplo, los pitagóricosencontraron (en notación moderna) que si a/b es una aproximación a entonces p=a+2b y q=a+b son tales quep/q es una aproximación más precisa. Repitiendo el proceso nuevamente se obtienen mayores números que dan unamejor aproximación.[3] Dado que las longitudes que expresan los números irracionales podían ser obtenidasmediante procesos geométricos sencillos pero, aritméticamente, sólo mediante procesos de infinitas aproximaciones,originó que durante 2000 años la teoría de los números reales fuese esencialmente geométrica, identificando losnúmeros reales con los puntos de una línea recta.Nuevos avances en el concepto de número real esperaron hasta los siglos XVI y XVII, con el desarrollo de lanotación algebraica, lo que permitió la manipulación y operación de cantidades sin hacer referencia a segmentos ylongitudes. Por ejemplo, se encontraron fórmulas para resolver ecuaciones de segundo y tercer grado de formamecánica mediante algoritmos, los cuales incluían raíces e incluso, en ocasiones, «números no reales» (lo que ahoraconocemos como números complejos). Sin embargo, no existía aún un concepto formal de número y se seguía dandoprimacía a la geometría como fundamento de toda la matemática. Incluso con el desarrollo de la geometría analíticaeste punto de vista se mantenía vigente, pues Descartes rechazaba la idea que la geometría pudiera fundamentarse ennúmeros, puesto que para él la nueva área era simplemente una herramienta para resolver problemas geométricos.Posteriormente, la invención del cálculo abrió un período de grande avances matemáticos, con nuevos y poderososmétodos que permitieron por vez primera atacar los problemas relacionados con lo infinito mediante el concepto delímite. Así, un número irracional pudo ser entendido como el límite de una suma infinita de números racionales (porejemplo, su expansión decimal). Como muestra, el número π puede estudiarse de forma algebraica (sin apelar a laintuición geométrica) mediante la serie:

entre muchas otras expresiones similares.

Número real 24

Para entonces, el concepto intuitivo de número real era ya el moderno, identificando sin problema un segmento conla medida de su longitud (racional o no). El cálculo abrió el paso al análisis matemático, que estudia conceptos comocontinuidad, convergencia, etc. Pero el análisis no contaba con definiciones rigurosas y muchas de lasdemostraciones apelaban aún a la intuición geométrica. Esto conllevó a una serie de paradojas e imprecisiones.

Tipos de números realesUn número real puede ser un número racional o un número irracional. Los números racionales son aquellos quepueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que losirracionales son todos los demaś. Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuyarepresentación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimalaperiódica:Ejemplos

1/4 = 0,250000... Es un número racional puesto que es periódico a partir del tercer número decimal.5/7 = 0,7142857142857142857.... Es racional y tiene un período de longitud 6 (repite 714285).

es irracional y su expansión decimal es aperiódica.

Otra forma de clasificar los números reales es en algebraicos y trascendentes. Un número es algebraico si existe unpolinomio que lo tiene por raíz y es trascendente en caso contrario. Obviamente, todos los números racionales sonalgebraicos: si es un número racional, con p entero y q natural, entonces es raíz del de la ecuación qx=p. Sin

embargo, no todos los números algebraicos son racionales.Ejemplos

El número es algebraico puesto que es la raíz del polinomio

Un ejemplo de número trascendente es

Operaciones con números realesCon números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con dos excepciones importantes:1. No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc.) de números negativos en números reales, (aunque

sí existen en el conjunto de los números complejos donde dichas operaciones sí están definidas).2. La división entre cero no está definida (pues cero no posee inverso multiplicativo, es decir, no existe número x tal

que 0·x=1.Estas dos restricciones tienen repercusiones en otras áreas de las matemáticas como el cálculo: existen asíntotasverticales en los lugares donde el denominador de una función racional tiende a cero, es decir, en aquellos valores dela variable en los que se presentaría una división entre cero, o no existe gráfica real en aquellos valores de la variableen que resulten números negativos para raíces de orden par, por mencionar un ejemplo de construcción de gráficasen geometría analítica.

Número real 25

NotaciónLos números reales se expresan con fracciones decimales que tienen una secuencia infinita de dígitos a la derecha dela coma decimal, como por ejemplo 324,8232. Frecuentemente también se subrepresentan con tres puntosconsecutivos al final (324,823211247…), lo que significaría que aún faltan más dígitos decimales, pero que seconsideran sin importancia.Las medidas en las ciencias físicas son siempre una aproximación a un número real. No sólo es más concisoescribirlos con forma de fracción decimal (es decir, números racionales que pueden ser escritos como proporciones,con un denominador exacto) sino que, en cualquier caso, cunde íntegramente el concepto y significado del númeroreal. En el análisis matemático los números reales son objeto principal de estudio. Puede decirse que los númerosreales son la herramienta de trabajo de las matemáticas de la continuidad, como el cálculo y el análisis matemático,mientras que los números enteros lo son de las matemáticas discretas, en las que está ausente la continuidad.Se dice que un número real es recursivo si sus dígitos se pueden expresar por un algoritmo recursivo. Un númerono-recursivo es aquél que es imposible de especificar explícitamente. Aun así, la escuela rusa de constructivismosupone que todos los números reales son recursivos.Los ordenadores sólo pueden aproximarse a los números reales por números racionales; de todas maneras, algunosprogramas de ordenador pueden tratar un número real de manera exacta usando su definición algebraica (porejemplo, " ") en vez de su respectiva aproximación decimal.Los matemáticos usan el símbolo (o, de otra forma, , la letra "R" en negrita) para representar el conjunto detodos los números reales.La notación matemática se refiere a un espacio de dimensiones de los números reales; por ejemplo, un valor

consiste de tres números reales y determina un lugar en un espacio de tres dimensiones.En matemática, la palabra "real" se usa como adjetivo, con el significado de que el campo subyacente es el campo delos números reales. Por ejemplo, matriz real, polinomio real, y Álgebra de Lie real.

Construcciones de los números reales

Construcción axiomáticaEl conjunto de números reales, denotado por es aquel conjunto en el que cada elemento cumple cada una de lassiguientes proposiciones:

1. Si , entonces (Cerradura en la suma)2. Si , entonces (Conmutatividad en la suma)3. Si , entonces (Asociatividad en la suma)4. Existe de manera que para todo (Neutro aditivo)5. Para cada existe un elemento tal que (Inverso aditivo)6. Si , entonces (Cerradura en la multiplicación)7. Si , entonces (Conmutatividad en la multiplicación)8. Si , entonces (Asociatividad en la multiplicación)9. Existe de manera que para cualquier (Neutro multiplicativo)10. Para cada existe un elemento tal que (Inverso multiplicativo)11. Si , entonces (Distributividad de la multiplicación en la suma)12. Si , entonces se cumple sólo una de estas: (Tricotomía)

•••

13. Si , y entonces (Transitividad)

Número real 26

14. Si y , entonces (Monotonía en la suma)15. Si , y , entonces (Monotonía en la multiplicación)16. Si es un conjunto no vacío acotado superiormente en , entonces tiene supremo en (Axioma

del supremo)Los axiomas del 1 al 15 corresponden a la estructura más general de cuerpo ordenado. El último axioma es el quedistingue de otros cuerpos ordenados como .

Construcción por números decimalesConsideramos los números decimales como los conocemos intuitivamente. Sabemos que

, es decir, el número π se expresa como el número entero 3 y unasecuencia infinita de dígitos 1, 4, 1, 5, 9, 2, etc.Un número decimal se expresa entonces como donde es un número entero y cada es unelemento del conjunto . Además, consideramos que no existen las colas de 9.Al conjunto de todos los números decimales donde es un número entero positivo se le denota por y se lellama el conjunto de los números reales positivos.Al conjunto de todos los números decimales donde es un número entero negativo se le denota por y se lellama el conjunto de los números reales negativos.Al número decimal se le llama cero.

Al conjunto se le denota por y se le llama conjunto de números reales.Se define la relación de orden total de los números decimales como

1. para todo 2. siempre que y 3. para todo 4. Dados dos números reales cualesquiera y , en cualquiera

de los casos siguientes:•• y además existe tal que para todo y

Construcción por cortaduras de Dedekind

Hay valores que no se pueden expresar como números racionales, tal es el caso de . Sin embargo es claro quese puede aproximar con números racionales tanto como se desee. Podemos entonces partir al conjunto de losnúmeros racionales en dos subconjuntos y de manera que en el conjunto se encuentran todos los númerosracionales y en todos los números racionales tales que .Una cortadura de dedekind es un par ordenado que hace precisamente esto. Conceptualmente, la cortaduraes el "espacio" que hay entre y . De esta manera es posible definir a como tal que

y .Es posible demostrar que queda unívocamente definido por , de esta manera la cortadura se reducesimplemente a .También es demostrable que el conjunto de todas las cortaduras cumple con los axiomas de los números reales, deesta manera es el conjunto de todas las cortaduras de Dedekind. Esta es la primera construcción formal de losnúmeros reales bajo la teoría de conjuntos.

Número real 27

Construcción por sucesiones de CauchyLas sucesiones de Cauchy retoman la idea de aproximar con números racionales un número real. Tómese porejemplo, la ecuación.

Es claro que esta sumatoria opera sólo con los números racionales de la forma , sin embargo el resultado

final es el número irracional . Cada vez que se añade un término, la expresión se aproxima más y más a .Las sucesiones de Cauchy generalizan este concepto para definir a los números reales. Primero se define que unasucesión de números racionales es una función se denota simplemente por .Una sucesión de Cauchy es una sucesión de números racionales donde sus elementos cada vez son menos diferentes.Más formalmente, se define una sucesión de Cauchy como una sucesión de números racionales tales que para todo

existe un tal que para todo se cumple .De esta manera es posible definir al número real como la sucesión de números racionales:

Número real 28

Véase también

Complejos

Reales

Racionales

Enteros

Naturales Uno

Primos

Compuestos

Cero

Negativos

FraccionariosFracción propia

Fracción impropia

IrracionalesAlgebraicos irracionales

Trascendentes

Imaginarios

Referencias[1] Anglin, W. S. (1991). Mathematics: A concise history and philosophy. Springer. ISBN 3-540-94280-7.[2] Dantzig, Tobias (1955). The Bequest of the Greeks. London: Unwin Brothers LTD. 3982581.[3] Stillwell, John (1989). Mathematics and its History. Springer-Verlag. 19269766. ISBN 3-540-96981-0.

Fuentes y contribuyentes del artículo 29

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Teorema de los números primos  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=41017278  Contribuyentes: Alfredobi, Farisori, GermanX, Juan Mayordomo, RGLago, Raulshc, Sabbut,Smeira, Sonuwe, 2 ediciones anónimas

Conjetura de los números primos gemelos  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=38264149  Contribuyentes: Banderas, Dami, Davidsevilla, GermanX, Hprmedina, Manuribadeo,Manwë, Moriel, Rafiko77, Rodr, Sabbut, SpeedyGonzalez, Tano4595, Veremos, 9 ediciones anónimas

Cuerpo de números algebraicos  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=41186273  Contribuyentes: Raulshc

Axiomas de los números reales  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=33316454  Contribuyentes: Camiloalcubo2, Dferg, Diegusjaimes, Farisori, Rovnet, 13 ediciones anónimas

Número irracional  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=41922170  Contribuyentes: .Sergio, 3coma14, Adriansm, Angel.F, Aparejador, Axxgreazz, Banfield, BlackBeast, Ca in,Carabás, Charly genio, Cobalttempest, Diegusjaimes, Dnu72, Especiales, Gato ocioso, GermanX, Ggenellina, Gonis, Greek, HanniballL, HiTe, Hispa, Humberto, Ialad, Iulius1973, JMCC1, Jarke,Joseaperez, Julian Mendez, Kn, Lucien leGrey, Magister Mathematicae, Matdrodes, Mencey, Mocte13, Moriel, Mortadelo2005, Msdus, Muro de Aguas, Netito777, Nicoguaro, Otnirebal, PACO,PoLuX124, Poco a poco, Radical88, Ramjar, RamonExio, Raystorm, Rosarinagazo, Sabbut, Sanbec, Savh, Snakefang, Tano4595, Tirithel, Tomatejc, Tortillovsky, Varano, Vivero, Wewe, Willvm, Xenoforme, YoaR, Youssefsan, conversion script, 205 ediciones anónimas

Número real  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=41880275  Contribuyentes: 3coma14, Akael, Alvaro qc, Andre Engels, Andreasmperu, Antur, Aparejador, AstroNomo, Balderai,Banfield, Bucephala, BuenaGente, C'est moi, CASF, Camiloalcubo2, Carloszelayeta, Charly Toluca, Charly genio, Chfiguer, Daniel JG, Dark Bane, Dat, Davius, Diegusjaimes, Dnu72, Drini2,Eduardosalg, Elliniká, Erfil, Foundling, Gemini1980, GermanX, Ggenellina, Gonis, Greek, Guanxito, Hawking, Henry1103-2009, Humberto, Ingenioso Hidalgo, Isha, JMCC1, Javierito92,Joseaperez, Juan Marquez, Kadellar, Kikegall, Klemen Kocjancic, Kn, KnightRider, Kved, Lauranrg, Lenincomp, Linkedark, MI GENERAL ZAPATA, Magister Mathematicae, Maldoror,Maleiva, Manwë, Martorell, Matdrodes, Matiasasb, Maveric149, Miguel, Miss Manzana, Moriel, Msdus, Muro de Aguas, Mutari, Nachosan, Nicop, OMenda, Oscar ., Paintman, Parras,Peejayem, PoLuX124, Poco a poco, Point-set topologist, Ravave, Rovnet, Rupert de hentzau, Sabbut, Santiperez, Sigmanexus6, Snakeyes, Soulreaper, Super braulio, Susleriel, Thctase, Tirithel,Txo, Vitamine, Vivero, Walter closser, Wewe, Yeah2323, Youssefsan, conversion script, 256 ediciones anónimas

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 30

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentesArchivo:Three apples.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Three_apples.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: User:Oleg AlexandrovImagen:PrimeNumberTheorem.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:PrimeNumberTheorem.png  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: User:FredStoberArchivo:Números reales.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Números_reales.svg  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes: Drini (PedroSánchez)

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