Prologo

Cuando se dispone de una cantidad de dinero (capital) se puede destinar, o bien a gastarlo satisfaciendo alguna necesidad, o bien a invertirlo para recuperarlo en un futuro ms o menos prximo, segn se acuerde. De la misma manera que estamos dispuestos a gastarlo para satisfacer una necesidad, estaremos dispuestos a invertir siempre y cuando la compensacin econmica nos resulte suficiente. En este sentido el principio bsico de la preferencia de liquidez establece que a igualdad de cantidad los bienes ms cercanos en el tiempo son preferidos a los disponibles en momentos ms lejanos. La razn es el sacrificio del consumo.

Este aprecio de la liquidez es subjetivo pero el mercado de dinero le asigna un valor objetivo fijando un precio por la financiacin que se llama inters. El inters se puede definir como la retribucin por el aplazamiento en el tiempo del consumo, esto es, el precio por el alquiler o uso del dinero durante un perodo de tiempo.

Esta compensacin econmica se exige, entre otras, por tres razones bsicas:

Por el riesgo que se asume.

Por la falta de disponibilidad que supone desprenderse del capital durante un tiempo.

Por la depreciacin del valor del dinero en el tiempo.

La cuantificacin de esa compensacin econmica, de los intereses, depende de tres variables, a saber:

La cuanta del capital invertido,

El tiempo que dura la operacin, y

El tanto de inters al que se acuerda la operacin.

Por otra parte, cuando se habla de capital financiero (C; t) nos referimos a una cuanta (C) de unidades monetarias asociada a un momento determinado de tiempo (t).

Finalmente, en una operacin financiera no tiene sentido hablar de capitales iguales (aquellos en los que coinciden cuantas y vencimientos), sino que siempre estaremos refirindonos a capitales equivalentes, cuya definicin se dar ms adelante, si bien se adelanta la idea de que hay equivalencia entre dos capitales cuando a su propietario le resulta indiferente una situacin u otra. Es decir, si a usted le resulta indiferente cobrar hoy 1.000 euros a cobrar 1.050 euros dentro de un ao, entonces diremos que ambos capitales (1.000; 0) y (1.050; 1) son equivalentes.

De una manera ms general, dos capitales cualesquiera, C1 con vencimiento en t1 y C2 con vencimiento en t2, son equivalentes cuando se est de acuerdo en intercambiar uno por otro.

El concepto de equivalencia no significa que no haya ganancia o coste en la operacin. Todo lo contrario, la equivalencia permite cuantificar ese beneficio o prdida que estamos dispuestos a asumir en una operacin concreta.

Para que una operacin financiera se realice es necesario que a los sujetos intervinientes las cuantas que dan y

.:: Ejemplo 1 ::. Un capital de 1.000 euros se sustituye hoy por otro de 1.100 disponible dentro de un ao. Cul es el rdito de la operacin? Y el tanto de inters anual?

Por lo tanto, el rdito permanece constante ante variaciones del horizonte temporal, no ocurriendo lo mismo con el tipo de inters que es, permaneciendo invariable el resto de elementos, inversamente proporcional al plazo de la operacin.

Capitalizacin SimpleOperaciones en rgimen de simple IPor Jos Tovar Jimnez

Las operaciones en rgimen de simple se caracterizan porque los intereses a medida que se van generando no se acumulan y no generan intereses en perodos siguientes (no son productivos). De esta forma los intereses que se producen en cada perodo se calculan siempre sobre el mismo capital el inicial, al tipo de inters vigente en cada perodo. Este rgimen financiero es propio de operaciones a corto plazo (menos de un ao).

1.1. CAPITALIZACIN SIMPLE

1.1.1. Concepto

Operacin financiera cuyo objeto es la sustitucin de un capital presente por otro equivalente con vencimiento posterior, mediante la aplicacin de la ley financiera en rgimen de simple.

1.1.2. Descripcin de la operacin

Partiendo de un capital (C0) del que se dispone inicialmente capital inicial, se trata de determinar la cuanta final (Cn) que se recuperar en el futuro sabiendo las condiciones en las que la operacin se contrata (tiempo n y tipo de inters i).

Este capital final o montante se ir formando por la acumulacin al capital inicial de los intereses que genera la operacin peridicamente y que, al no disponerse de ellos hasta el final de la operacin, se aaden finalmente al capital inicial.

1.1.3. Caractersticas de la operacin

Los intereses no son productivos, lo que significa que: A medida que se generan no se acumulan al capital inicial para producir nuevos intereses en el futuro y, por tanto Los intereses de cualquier perodo siempre los genera el capital inicial, al tanto de inters vigente en dicho perodo.

Grficamente para una operacin de tres perodos:

Capitalizacin SimpleOperaciones en rgimen de simple IIPor Jos Tovar Jimnez

1.1.6. Clculo de los intereses totales Bastar con calcular los intereses de cada perodo, que siempre los genera el capital inicial y sumarlos.

Intereses totales = I1 + I2 + + In = C0 i1 + C0 i2 + + C0 in

Si i1 = i2 = = in = i se cumple:

Intereses totales = I1 + I2 + + In = C0 i + C0 i + + C0 i

Conocidos los capitales inicial y final, se obtendr por diferencias entre ambos:

.:: Ejemplo 4 ::. Qu intereses producirn 300 euros invertidos 4 aos al 7% simple anual?

Por suma de los intereses de cada perodo:

Intereses totales = I1 + I2 + I3 + I4 = C0 i + C0 i + C0 i + C0 i =

= C0 x i x 4 = 300 x 0,07 x 4 = 84

Capitalizacin SimpleOperaciones en rgimen de simple IIIPor Jos Tovar Jimnez

1.1.8. Clculo de la duracin Conocidos los dems componentes de la operacin: capital inicial, capital final y tipo de inters, partiendo de la frmula general de la capitalizacin simple y despejando la variable desconocida.

Punto de partida:

Cn = C0 x (1 + n x i)

Pasar el C0 al primer miembro (dividir por C0 la ecuacin anterior):

Pasar el 1 al primer miembro (restar 1 a los dos miembros):

Despejar la duracin n, dividiendo por i:

.:: Ejemplo 7 ::. Un capital de 2.000 euros colocado a inters simple al 4% anual asciende a 2.640 euros. Determinar el tiempo que estuvo impuesto.

Operaciones en rgimen de simple IVPor Jos Tovar Jimnez

1.3. DESCUENTO SIMPLE Se denomina as a la operacin financiera que tiene por objeto la sustitucin de un capital futuro por otro equivalente con vencimiento presente, mediante la aplicacin de la ley financiera de descuento simple. Es una operacin inversa a la de capitalizacin.

1.3.1. Caractersticas de la operacin

Los intereses no son productivos, lo que significa que:

A medida que se generan no se restan del capital de partida para producir (y restar) nuevos intereses en el futuro y, por tanto

Los intereses de cualquier perodo siempre los genera el mismo capital, al tanto de inters vigente en dicho perodo.

En una operacin de descuento el punto de partida es un capital futuro conocido (Cn) cuyo vencimiento se quiere adelantar. Deberemos conocer las condiciones en las que se quiere hacer esta anticipacin: duracin de la operacin (tiempo que se anticipa el capital futuro) y tanto de inters aplicado.

El capital que resulte de la operacin de descuento (capital actual o presente C0) ser de cuanta menor, siendo la diferencia entre ambos capitales los intereses que el capital futuro deja de tener por anticipar su vencimiento. En definitiva, si trasladar un capital desde el presente al futuro implica aadirle intereses, hacer la operacin inversa, anticipar su vencimiento, supondr la minoracin de esa misma carga financiera.

Grficamente:

Elementos:

D: Descuento o rebaja.

Operaciones en rgimen de simple VPor Jos Tovar Jimnez

1.3.3. Descuento comercial Los intereses generados en la operacin se calculan sobre el nominal (Cn) empleando un tipo de descuento (d).

En este caso resulta ms interesante calcular primero el descuento (Dc) y posteriormente el capital inicial (C0).

Como el descuento es la suma de los intereses generados en cada uno de los perodos descontados (n), y en cada perodo tanto el capital considerado para calcular los intereses como el propio tanto se mantiene constante, resulta:

El capital inicial se obtiene por diferencia entre el capital final (Cn) y el descuento (Dc):

C0 = Cn Dc = Cn Cn x n x d = Cn x (1 n x d)

.:: Ejemplo 9 ::. Se pretende anticipar al momento actual el vencimiento de un capital de 100 euros con vencimiento dentro de 3 aos a un tanto anual del 10%. Calcular el capital inicial y el descuento de la operacin.

Caso 1:

Considerando que el capital sobre el que se calculan los intereses es el inicial (descuento racional):

Equivalencia Financiera de capitales IPor Jos Tovar Jimnez

Cuando se dispone de varios capitales de diferentes cuantas y situados en diferentes momentos de tiempo puede resultar conveniente saber cul de ellos es ms interesante desde el punto de vista financiero (porque valga ms o menos que los dems). Para decidir habra que compararlos, pero no basta con fijarse solamente en las cuantas, se tendra que considerar, a la vez, el momento de tiempo donde se encuentran situados. Adems, la comparacin debera ser homognea, es decir, tendran que llevarse todos los capitales a un mismo momento y ah efectuar la comparacin. Comprobar la equivalencia financiera entre capitales consiste en comparar dos o ms capitales situados en distintos momentos y, para un tipo dado, observando si tienen el mismo valor en el momento en que se comparan. Para igualar los capitales en un momento determinado se utilizar la capitalizacin o el descuento.

2.1. PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA DE CAPITALES: CONCEPTO

Dos capitales, C1 y C2, que vencen en los momentos t1 y t2 respectivamente, son equivalentes cuando, valorados en un mismo momento de tiempo t, tienen la misma cuanta.

Esta definicin se cumple cualquiera que sea el nmero de capitales que intervengan en la operacin.

Si dos o ms capitales se dice que son equivalentes resultar indiferente cualquiera de ellos, no habiendo preferencia por ninguno en particular. Por el contrario, si no se cumple la equivalencia habr uno sobre el que tendremos preferencia y, en consecuencia, lo elegiremos.

Si el principio de equivalencia se cumple en un momento de tiempo concreto, no tiene por qu cumplirse en otro momento cualquiera (siendo lo normal que no se cumpla en ningn otro momento). Consecuencia de esta circunstancia ser que la eleccin de la fecha donde se haga el estudio comparativo afectar y condicionar el resultado.

2.2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: SUSTITUCIN DE CAPITALES

La sustitucin de un(os) capital(es) por otro u otros de vencimientos y/o cuantas diferentes a las anteriores, slo se podr llevar a cabo si financieramente resultan ambas alternativas equivalentes.

Para ver si dos alternativas son financieramente equivalentes se tendrn que valorar en un mismo momento de tiempo y obligar a que tengan las mismas cuantas. A este momento de tiempo donde se realiza la valoracin se le denomina poca o fecha focal o, simplemente, fecha de estudio.

Para plantear una sustitucin de capitales el acreedor y el deudor han de estar de acuerdo en las siguientes condiciones fundamentales: Momento de tiempo a partir del cual se computan los vencimientos. Momento en el cual se realiza la equivalencia, teniendo en cuenta que al variar este dato vara el resultado del problema.

Tanto de valoracin de la operacin.

Decidir si se utiliza la capitalizacin o el descuento.

Casos posibles:

Equivalencia Financiera de capitales IIPor Jos Tovar Jimnez

2.2.2. Determinacin del vencimiento comn Es el momento de tiempo t en que vence un capital nico C, conocido, que sustituye a varios capitales C1, C2, , Cn, con vencimientos en t1, t2, , tn, respectivamente, todos ellos conocidos.

Se tiene que cumplir:

Para obtener este vencimiento habra que proceder de la misma forma que en el caso del capital comn, siendo ahora la incgnita el momento donde se sita ese capital nico. As, por ejemplo, si la equivalencia se realiza en el origen a tanto de inters (i):

Realizando la valoracin con tipo de inters (i):

simplificando:

Equivalencia Financiera de capitales IIIPor Jos Tovar Jimnez

2.2.3. Determinacin del vencimiento medio Es el momento de tiempo t en que vence un capital nico C, conocido, que sustituye a varios capitales C1, C2, , Cn, con vencimientos en t1, t2, ,tn, respectivamente, todos ellos conocidos.

Se tiene que cumplir:

C = C1 + C2 + + Cn

El clculo es idntico al vencimiento comn, lo nico que vara es la cuanta del capital nico que sustituye al conjunto de capitales de los que se parte, que ahora debe ser igual a la suma aritmtica de las cuantas a las que sustituye.

Realizando el estudio de equivalencia en el origen y empleando un tipo de descuento d, quedara as:

C1 x (1 t1 x d) + C2 x (1 t2 x d) + + Cn x (1 tn x d) = C x (1 t x d)

quitando los parntesis:

C1 C1 x t1 x d + C2 C2 x t2 x d + + Cn Cn x tn x d = C C x t x d

reordenando en el primer miembro:

dividiendo la ecuacin por d:

Descuento de Efectos IPor Jos Tovar Jimnez

3.1. CONCEPTO El descuento bancario es una operacin financiera que consiste en la presentacin de un ttulo de crdito en una entidad financiera para que sta anticipe su importe y gestione su cobro. El tenedor cede el ttulo al banco y ste le abona su importe en dinero, descontando el importe de las cantidades cobradas por los servicios prestados.

3.2. CLASIFICACIN

Segn el ttulo de crdito presentado a descuento, distinguimos: Descuento bancario, cuando el ttulo es una letra de cambio. Descuento comercial. Cuando las letras proceden de una venta o de una prestacin de servicios que constituyen la actividad habitual del cedente. Descuento financiero. Cuando las letras son la instrumentalizacin de un prstamo concedido por el banco a su cliente.

Descuento no cambiario, cuando se trata de cualquier otro derecho de cobro (pagars, certificaciones de obra, facturas, recibos... ).

3.3. CLCULO FINANCIERO DEL DESCUENTO

El importe anticipado por la entidad al cliente se denomina efectivo o lquido, y se obtiene restando del importe de la letra (nominal) el importe de todos los costes originados por el descuento (intereses, comisiones y otros gastos).

Intereses: cantidad cobrada por la anticipacin del importe de la letra. Se calcula en funcin del nominal descontado, el tiempo que se anticipa su vencimiento y el tipo de inters aplicado por la entidad financiera.

siendo:

N: Nominal del efecto.

t: Nmero de das que el banco anticipa el dinero.

i: Tipo de descuento anual, en tanto por uno.

Comisiones: tambin denominado quebranto o dao, es la cantidad cobrada por la gestin del cobro de la letra que realiza el banco.

Descuento de Efectos IIPor Jos Tovar Jimnez

3.5. LETRA DE RESACA O RENOVACIN Se designa as a aquella que se emite para recuperar otra anterior que ha sido devuelta, junto con los gastos que origin su devolucin.

Se trata de determinar cul ha de ser el nominal de esta nueva letra de forma tal que todos los gastos se le repercutan a quien los origin (el librado).

Para su clculo se tratar como una letra que se emite y descuenta en unas condiciones normales, con la particularidad de que ahora el efectivo es conocido (la cantidad que se desea recuperar nominal impagado ms los gastos de la devolucin ms los gastos del giro y descuento de la nueva letra) y el nominal es desconocido (que hay que calcular).

.:: Ejemplo 16 ::.

Finalmente para recuperar la letra devuelta por impagada del ejemplo 2 se llega al acuerdo de girar una nueva letra con vencimiento a 30 das, en las siguientes condiciones:

Tipo de descuento: 15%.

Comisin: 3.

Otros gastos: 10 euros.

Determinar el importe de la nueva letra.

3.6. DESCUENTO DE UNA REMESA DE EFECTOS

En ocasiones no se descuentan los efectos de uno en uno, sino que se acude al banco con un conjunto de ellos, una remesa de efectos, agrupados por perodos temporales, para descontarlos conjuntamente en las mismas condiciones generales.

Cuentas Corrientes IPor Jos Tovar Jimnez

4.1. DEFINICIN Un contrato de cuenta corriente es un acuerdo entre dos partes con relaciones comerciales frecuentes, por el que ambas se comprometen a ir anotando el importe de las operaciones que hagan entre ellas para liquidarlas todas juntas en la fecha que sealen. Pueden pactarse estas cuentas corrientes entre empresas o particulares, pero donde ms se usan es en las relaciones entre los bancos y sus clientes.

Las cuentas corrientes bancarias, a su vez, pueden ser de dos tipos: de depsito y de crdito.

Una cuenta corriente de depsito es un contrato bancario por el que el titular puede ingresar fondos en una cuenta de un banco, o retirarlos total o parcialmente sin previo aviso. En la cuenta corriente de crdito es el banco quien concede al cliente (acreditado) la posibilidad de obtener financiacin hasta una cuanta establecida de antemano (lmite del crdito).

Comenzaremos estudiando las primeras, que si bien es cierto que se trata ms de un instrumento de gestin en virtud del cual el banco se compromete a realizar, por cuenta de su cliente, cuantas operaciones son inherentes al servicio de caja, pueden llegar a convertirse en una fuente de financiacin (descubierto bancario).

4.2. CLASES DE CUENTAS CORRIENTES

Las cuentas corrientes de depsito se pueden clasificar segn diversos criterios.

I. Segn sus titulares:

Individual: abierta a nombre de un solo titular.

Conjunta: cuando hay dos o ms titulares, exigindose que cualquier acto deba ser realizado conjuntamente por todos los titulares, exigiendo la entidad la firma de todos ellos.

Indistinta: cuando hay dos o ms titulares, pudiendo disponer cualquiera de ellos de los fondos utilizando nicamente su firma.

II. Segn el devengo de inters:

Cuentas corrientes sin inters: son aquellas en las que no se paga ningn tanto por el aplazamiento de los capitales.

Para hallar la liquidacin bastar calcular la diferencia entre el Debe y el Haber de dicha cuenta.

Cuentas corrientes con inters: en este caso los capitales producen inters por el perodo que media entre la fecha valor de la operacin y la fecha de liquidacin de la cuenta.

En las cuentas corrientes con inters, ste puede ser:

Recproco: cuando a los capitales deudores y a los acreedores se les aplica el mismo tanto de inters.

Cuentas Corrientes IIPor Jos Tovar Jimnez

4.4. LIQUIDACIN DE CUENTAS CORRIENTES Conocidos los capitales y el tanto de inters, que se fija de antemano, slo falta hallar el tiempo durante el cual produce intereses cada capital. Para ello se pueden seguir tres mtodos: directo, indirecto y hamburgus. A continuacin se comentar brevemente el funcionamiento de lo s dos primeros y se estudiar con ms detalle el mtodo hamburgus, que es el sistema que actualmente se emplea.

4.4.1. Mtodo directo

Considera que cada capital, deudor o acreedor, devenga intereses durante los das que median desde la fecha de su vencimiento hasta el momento de liquidacin.

4.4.2. Mtodo indirecto

En este sistema los capitales generan intereses desde la fecha en la que se originan hasta una fecha fija deAnominada poca. Ello supone un clculo de intereses que no se corresponden con la realidad, por lo que cuando se conozca la fecha de liquidacin deben rectificarse.

4.4.3. Mtodo hamburgus o de saldos

Este mtodo recibe el nombre de hamburgus porque se us por primera vez en Hamburgo. Y de saldos porque los nmeros comerciales se calculan en base a los saldos que van apareciendo en la cuenta (y no en funcin de los capitales).

Los pasos a seguir para liquidar la cuenta por este mtodo son los siguientes:

1. Se ordenan las operaciones segn fecha-valor.

2. Se halla la columna de saldos como diferencia entre el Debe y el Haber de capitales. Cada vez que hagamos una anotacin cambiar el saldo de la cuenta.

3. Hallar los das, que se cuentan de vencimiento a vencimiento, y del ltimo vencimiento a la fecha de cierre.

4. Se calculan los nmeros comerciales multiplicando los saldos por los das y se colocan en el Debe si el saldo es deudor, o en el Haber si el saldo es acreedor.

5. A partir de aqu terminaremos la liquidacin del siguiente modo:

a) Clculo del inters.

Intereses deudores = Suma de nmeros deudores Multiplicador fijo del banco

Intereses acr eedores = Suma de nmeros acreedores Multiplicador fijo del cliente

Crdito Bancario: La Pliza de CrditoPor Jos Tovar Jimnez

Difcil es encontrar una empresa que no disponga de al menos una pliza de crdito contratada con una entidad financiera. Y ello es porque al mismo tiempo que como instrumento de financiacin (la ms usada) es la va a travs del cual se articula gran parte de los cobros y pagos de la actividad ordinaria. En primer lugar, conviene diferenciar el crdito frente al conocido prstamo bancario. La diferencia est bsicamente en dos puntos:

El crdito permite la disposicin gradual de las cantidades necesarias, en la cuanta y por el tiempo que se desee. Mientras que en el prstamo se dispone de una sola vez de toda la cantidad prestada.

En la pliza se paga por la cantidad dispuesta y en funcin del tiempo de disposicin. Por el contrario, en el prstamo se paga por el total aunque no se haya usado.

Los crditos se formalizan en una pliza en la que se establecen las condiciones de funcionamiento: lmite del crdito, tipo de inters, comisiones, frecuencia de liquidacin, etc., instrumentndose a travs de una cuenta bancaria que funciona y se liquida de forma parecida a las cuentas corrientes y que permite cuantificar cmo se ha usado el dinero del banco y, en consecuencia, calcular el coste de la operacin.

5.1. COSTES DERIVADOS DEL USO DE UNA PLIZA DE CRDITO

Intereses: calculados sobre los diferentes saldos vigentes, en funcin del tiempo de su vigencia y del tipo contratado:

Intereses deudores (o normales), por aquella parte del crdito que se haya dispuesto, siempre que no haya superado el lmite contratado.

Intereses excedidos, por aquella parte dispuesta por encima del lmite de crdito acordado.

Comisin de apertura: en funcin del lmite de crdito concedido (cuanta que, en principio, podemos disponer como mximo), pagadera de una sola vez al principio.

Comisin de disponibilidad: en funcin del saldo medio no dispuesto, es lo que hay que pagar por la parte del crdito contratado (lmite) y no utilizado.

Comisin de excedido: sobre el mayor saldo excedido, es decir, sobre la parte utilizada por encima del lmite del crdito.

Se habla de comisin sobre el mayor saldo excedido, porque solamente se podr cobrar una comisin de excedido por cada perodo de liquidacin, por lo que calcular sobre el mayor habido en dicho intervalo de tiempo.

5.2. LIQUIDACIN DE LA CUENTA DE CRDITO

La liquidacin de estas cuentas se lleva a cabo por el mtodo hamburgus, sistema que realiza los clculos a partir de los saldos que va arrojando la cuenta a medida que se registran, por orden cronolgico, los movimientos que se vayan produciendo.

Capitalizacin CompuestaCapitalizacin Compuesta IPor Jos Tovar Jimnez

Las operaciones en rgimen de compuesta se caracterizan porque los intereses, a diferencia de lo que ocurre en rgimen de simple, a medida que se van generando pasan a formar parte del capital de partida, se van acumulando, y producen a su vez intereses en perodos siguientes (son productivos). En definitiva, lo que tiene lugar es una capitalizacin peridica de los intereses. De esta forma los intereses generados en cada perodo se calculan sobre capitales distintos (cada vez mayores ya que incorporan los intereses de perodos anteriores). 1. CAPITALIZACIN COMPUESTA

1.1. CONCEPTO

Operacin financiera cuyo objeto es la sustitucin de un capital por otro equivalente con vencimiento posterior mediante la aplicacin de la ley financiera de capitalizacin compuesta.

1.2. DESCRIPCIN DE LA OPERACIN

El capital final (montante) (Cn) se va formando por la acumulacin al capital inicial (C0) de los intereses que peridicamente se van generando y que, en este caso, se van acumulando al mismo durante el tiempo que dure la operacin (n), pudindose disponer de ellos al final junto con el capital inicialmente invertido.

1.3. CARACTERSTICAS DE LA OPERACIN

Los intereses son productivos, lo que significa que:

A medida que se generan se acumulan al capital inicial para producir nuevos intereses en los perodos siguientes.

Los intereses de cualquier perodo siempre los genera el capital existente al inicio de dicho perodo.

Grficamente para una operacin de tres perodos:

1.4. DESARROLLO DE LA OPERACIN

El capital al final de cada perodo es el resultado de aadir al capital existente al inicio del mismo los intereses

Capitalizacin Compuesta IIPor Jos Tovar Jimnez

1.6. CLCULO DE LOS INTERESES TOTALES Conocidos los capitales inicial y final, se obtendr por diferencia entre ambos:

.:: Ejemplo 3 ::. Qu intereses producirn 300 euros invertidos 4 aos al 7% compuesto anual?

C4 = 300 (1 + 0,07)4 = 393,24

In = 393,24 300 = 93,24

1.7. CLCULO DEL TIPO DE INTERS

Si se conoce el resto de elementos de la operacin: capital inicial, capital final y duracin, basta con tener en cuenta la frmula general de la capitalizacin compuesta y despejar la variable desconocida.

Cn = C0 x (1 + i)n

Los pasos a seguir son los siguientes:

Pasar el C0 al primer miembro:

Quitar la potencia (extrayendo raz n a los dos miembros):

Tantos EquivalentesPor Jos Tovar Jimnez

La definicin de tantos equivalentes es la misma que la vista en rgimen de simple, esto es, dos tantos cualesquiera, expresados en distintas unidades de tiempo, son tantos equivalentes cuando aplicados a un mismo capital inicial y durante un mismo perodo de tiempo producen el mismo inters o generan el mismo capital final o montante. Como ya se coment cuando se hablaba del inters simple, la variacin en la frecuencia del clculo (y abono) de los intereses supona cambiar el tipo de inters a aplicar para que la operacin no se viera afectada finalmente. Entonces se comprob que los tantos de inters equivalentes en simple son proporcionales, es decir, cumplen la siguiente expresin:

i = ik x k

Sin embargo, esta relacin de proporcionalidad no va a ser vlida en rgimen de compuesta, ya que al irse acumulando los intereses generados al capital de partida, el clculo de intereses se hace sobre una base cada vez ms grande; por tanto, cuanto mayor sea la frecuencia de capitalizacin antes se acumularn los intereses y antes generarn nuevos intereses, por lo que existirn diferencias en funcin de la frecuencia de acumulacin de los mismos al capital para un tanto de inters dado.

Este carcter acumulativo de los intereses se ha de compensar con una aplicacin de un tipo ms pequeo que el proporcional en funcin de la frecuencia de cmputo de intereses. Todo esto se puede apreciar en el siguiente ejemplo, consistente en determinar el montante resultante de invertir 1.000 euros durante 1 ao en las siguientes condiciones:

a) Inters anual del 12%

Cn = 1.000 x (1 + 0,12)1 = 1.120,00

b) Inters semestral del 6%

Cn = 1.000 x (1 + 0,06)2 = 1.123,60

c) Inters trimestral del 3%

Cn = 1.000 x (1 + 0,03)4 = 1.125,51

Los resultados no son los mismos, debido a que la capitalizacin de los intereses se est realizando con diferentes frecuencias manteniendo la proporcionalidad en los diferentes tipos aplicados.

Para conseguir que, cualquiera que sea la frecuencia de capitalizacin, el montante final siga siendo el mismo es necesario cambiar la ley de equivalencia de los tantos.

2.1. RELACIN DE TANTOS EQUIVALENTES EN COMPUESTA

Los tantos en compuesta para que resulten equivalentes han de guardar la siguiente relacin:

1 + i = (1 + ik)k

Tanto Nominal (Jk)Por Jos Tovar Jimnez

Por una parte, nos encontramos con la necesidad de aplicar la relacin anterior de equivalencia de tantos si queremos que, aun trabajando en diferentes unidades de tiempo, los resultados finales sigan siendo idnticos. Por otra, hay que ser conscientes de la dificultad que supone el conocer y aplicar dicha expresin de equivalencia. En este punto surge la necesidad de emplear un tanto que permita pasar fcilmente de su unidad habitual (en aos) a cualquier otra diferente y que financieramente resulte correcta: el tanto nominal. El tanto nominal se define como un tanto terico que se obtiene multiplicando la frecuencia de capitalizacin k por el tanto k-esimal:

Jk = ik x k

Expresin pensada para pasar fcilmente de un tanto referido al ao (el tanto nominal) a un tanto efectivo kesimal, ya que el tanto nominal es proporcional.

As pues, en compuesta, los tantos de inters pueden ser tantos efectivos (i o ik) o nominales (Jk), teniendo en cuenta que el tanto nominal (tambin conocido como anualizado) no es un tanto que realmente se emplee para operar: a partir de l se obtienen tantos efectivos con los que s se harn los clculos necesarios.

A continuacin se muestran las relaciones existentes entre tantos nominales y tantos efectivos anuales.

Tabla de conversin de tantos nominales a tantos anuales efectivos (TAE)

La frmula de clculo es:

i = (1 + ik)k 1 = (1 + Jk/k)k 1

Frecuencia de capitalizacin

Descuento CompuestoPor Jos Tovar Jimnez

4.1. CONCEPTO Se denomina as a la operacin financiera que tiene por objeto la sustitucin de un capital futuro por otro equivalente con vencimiento presente, mediante la aplicacin de la ley financiera de descuento compuesto. Es una operacin inversa a la de capitalizacin.

4.2. CARACTERSTICAS DE LA OPERACIN

Los intereses son productivos, lo que significa que:

A medida que se generan se restan del capital de partida para producir (y restar) nuevos intereses en el futuro y, por tanto.

Los intereses de cualquier perodo siempre los genera el capital del perodo anterior, al tanto de inters vigente en dicho perodo.

En una operacin de descuento el punto de partida es un capital futuro conocido (Cn) cuyo vencimiento se quiere adelantar. Deberemos conocer las condiciones en las que se quiere hacer esta anticipacin: duracin de la operacin (tiempo que se anticipa el capital futuro) y tanto aplicado.

El capital que resulte de la operacin de descuento (capital actual o presente C0) ser de cuanta menor, siendo la diferencia entre ambos capitales los intereses que un capital deja de tener por anticipar su vencimiento. En definitiva, si trasladar un capital desde el presente al futuro implica aadirle intereses, hacer la operacin inversa, anticipar su vencimiento, supondr la minoracin de esa misma carga financiera.

Al igual que ocurra en simple, se distinguen dos clases de descuento: racional y comercial, segn cul sea el capital que se considera en el cmputo de los intereses que se generan en la operacin:

Descuento racional.

Descuento comercial.

4.3. DESCUENTO RACIONAL

Para anticipar el vencimiento del capital futuro se considera generador de los intereses de un perodo el capital al inicio de dicho perodo, utilizando el tipo de inters vigente en dicho perodo. El proceso a seguir ser el siguiente:

Grficamente:

Descuento Compuesto IIPor Jos Tovar Jimnez

4.4. DESCUENTO COMERCIAL En este caso se considera generador de los intereses de un perodo el capital al final de dicho perodo, utilizando el tipo de descuento (d) vigente en dicho perodo. El proceso a seguir ser el siguiente:

Grficamente:

Paso a paso, el desarrollo de la operacin es como sigue:

Perodo n: Cn

Perodo n1: Cn1 = Cn In = Cn Cn x d = Cn x (1 d)

Perodo n2: Cn2 = Cn1 In1 = Cn1 Cn1 x d = Cn1 x (x d) =

= Cn x (1 d) x (1 d) = Cn x (1 d)2

Perodo n3: Cn3 = Cn2 In2 = Cn2 Cn2 x d = Cn2 x (1 d) =

= Cn x (1 d)2 x (1 d) = Cn x (1 d)3

Perodo 0:

Una vez calculado el capital inicial, por diferencia entre el capital de partida y el inicial obtenido, se obtendr el inters total de la operacin (Dc):

Equivalencia de Capitales en CompuestaPor Jos Tovar Jimnez

Para comprobar si dos o ms capitales resultan indiferentes (equivalentes) deben tener el mismo valor en el momento en que se comparan: principio de equivalencia de capitales. El principio de equivalencia financiera nos permite determinar si dos o ms capitales situados en distintos momentos resultan indiferentes o, por el contrario, hay preferencia por uno de ellos.

Ya vimos en las operaciones en simple la definicin y utilidad de la equivalencia de capitales. El principio de equivalencia de capitales y sus aplicaciones siguen siendo vlidos. La diferencia fundamental viene dada porque en rgimen de compuesta la fecha donde se realice la equivalencia no afecta al resultado final de la operacin, por tanto, si la equivalencia se cumple en un momento dado, se cumple en cualquier punto y, si no se cumple en un momento determinado, no se cumple nunca.

5.1. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: SUSTITUCIN DE CAPITALES

La sustitucin de unos capitales por otro u otros de vencimientos y/o cuantas diferentes a las anteriores slo se podr llevar a cabo si financieramente resultan ambas alternativas equivalentes.

Para ver si dos alternativas son financieramente equivalentes se tendrn que valorar en un mismo momento de tiempo y obligar a que tengan el mismo valor, pudindose plantear los siguientes casos posibles:

5.1.1. Determinacin del capital comn

Es la cuanta C de un capital nico que vence en t, conocido, y que sustituye a varios capitales C1, C2, ... , Cn, con vencimientos en t1, t2, ... ,tn, respectivamente, todos ellos conocidos.

5.1.2. Determinacin del vencimiento comn

Es el momento de tiempo t en que vence un capital nico C, conocido, que sustituye a varios capitales C1, C2, ... , Cn, con vencimientos en t1, t2, ... ,tn, respectivamente, todos ellos conocidos.

Se tiene que cumplir:

C C1 + C2 + + Cn

5.1.3. Determinacin del vencimiento medio

Es el momento de tiempo t en que vence un capital nico C, conocido, que sustituye a varios capitales C1, C2, ... , Cn, con vencimientos en t1, t2, ... ,tn, respectivamente, todos ellos conocidos.

Se tiene que cumplir:

C = C1 + C2 + + Cn

RentasRentasPor Jos Tovar Jimnez

Hasta ahora las operaciones financieras que venimos realizando se componan de un capital nico (o pocos) tanto en la prestacin como en la contraprestacin. Sin embargo, hay un gran nmero de operaciones que se componen de un elevado nmero de capitales: la constitucin de un capital, los planes de jubilacin, los prstamos, ... En todas ellas intervienen muchos capitales y sera difcil y poco prctico moverlos de uno en uno, como lo hemos hecho hasta ahora. Surge la necesidad de buscar un mtodo matemtico que nos facilite la tarea de desplazar un elevado nmero de capitales con relativa facilidad: las rentas. Se trata de unas frmulas que en determinados casos permitirn desplazar en el tiempo un grupo de capitales a la vez.

1.1. CONCEPTO

La renta se define como un conjunto de capitales con vencimientos equidistantes de tiempo.

Para que exista renta se tienen que dar los dos siguientes requisitos:

Existencia de varios capitales, al menos dos.

Periodicidad constante, entre los capitales, es decir, entre dos capitales consecutivos debe existir siempre el mismo espacio de tiempo (cualquiera que sea).

1.2. ELEMENTOS

Fuente de la renta: fenmeno econmico que da origen al nacimiento de la renta.

Origen: momento en el que comienza a devengarse el primer capital.

Final: momento en el que termina de devengarse el ltimo capital.

Duracin: tiempo que transcurre desde el origen hasta el final de la renta.

Trmino: cada uno de los capitales que componen la renta.

Perodo: intervalo de tiempo entre dos capitales consecutivos.

Tanto de inters: tasa empleada para mover los capitales de la renta.

Grficamente:

Rentas Constantes IPor Jos Tovar Jimnez

Las rentas de cuanta constante pueden, a su vez, subdividirse en unitarias o no unitarias, pospagables y prepagables, temporales o perpetuas, inmediatas, diferidas o anticipadas, enteras y fraccionadas. Iremos analizando cada uno de estos supuestos. 2.1. RENTA CONSTANTE, UNITARIA, TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA Y ENTERA

Vamos a estudiar una renta constante (trminos de igual cuanta), temporal (tiene un nmero determinado de capitales), pospagable (los trminos vencen al final del perodo), inmediata (valoraremos la renta en su origen y su final) y entera (trminos y tanto estn en la misma unidad de tiempo). Aunque no se diga expresamente se calcular en rgimen de compuesta (renta compuesta).

2.1.1. Clculo del valor actual

Comenzaremos por la renta constante ms fcil, la que tiene como trmino la unidad (renta unitaria), cuya representacin grfica es la siguiente:

Aplicando la definicin de valor actual y llevando los trminos uno a uno, descontando en rgimen de descuento compuesto al tanto de la renta i, desde donde estn cada uno de los capitales hasta el origen se obtiene el valor actual, que se nota con la siguiente terminologa ani, donde n representa el nmero de capitales e i el tanto de valoracin:

que supone la suma de n trminos en progresin geomtrica decreciente de razn:

que se puede calcular con la siguiente expresin:

que permite sumar n trminos en progresin decreciente, donde a1 es el primer trmino de la progresin, an es el

Rentas Constantes IIPor Jos Tovar Jimnez

2.1.2. Clculo del valor final Seguimos trabajando con la misma renta constante, unitaria, temporal n capitales, pospagable, inmediata y entera; pero ahora vamos a calcular su valor final, es decir, valoraremos todos los trminos de la renta en su final (momento n), quedando grficamente as:

Aplicando la definicin de valor final y llevando los trminos uno a uno, capitalizando en rgimen de capitalizacin compuesta al tanto de la renta i, desde donde se encuentra cada uno hasta el final, se obtiene el valor final, que se nota con la siguiente terminologa sni siendo n el nmero de capitales e i el tanto de valoracin:

Vn = sni = 1 + (1 + i) + (1 + i)2 + + (1 + i)n1

Que no es sino la suma de n trminos en progresin geomtrica creciente de razn r = 1 + i, que se puede calcular con la siguiente expresin:

donde a1 es el primer trmino de la progresin, an es el ltimo trmino y r es la razn.

Aplicando dicha frmula a los trminos capitalizados de la renta y simplificando posteriormente queda:

Al mismo resultado hubisemos llegado si se capitaliza el valor actual de la renta hasta su final empleando el mismo tanto de valoracin:

Rentas Constantes IIIPor Jos Tovar Jimnez

2.2. RENTAS PREPAGABLES Vamos a estudiar una renta constante (trminos de igual cuanta), temporal (tiene un nmero determinado de capitales), prepagable (los trminos vencen al principio del perodo), inmediata (valoraremos la renta en su origen y su final) y entera (trminos y tipo de inters estn en la misma unidad de tiempo). Aunque no se diga expresamente se calcular en rgimen de compuesta (renta compuesta).

2.2.1. Clculo del valor actual

Comenzaremos por la renta constante que tiene como trmino la unidad (renta unitaria), cuya representacin grfica es la siguiente:

Aplicando la definicin de valor actual y llevando los trminos uno a uno, descontando en rgimen de descuento compuesto al tanto de la renta i, desde donde est cada capital hasta el origen se obtiene el valor actual que notaremos por ni:

que supone la suma de n trminos en progresin geomtrica decreciente de razn:

que se puede calcular con la siguiente expresin:

Aplicando dicha frmula a los trminos actualizados de la renta y simplificando posteriormente:

Rentas Constantes IVPor Jos Tovar Jimnez

2.4. RENTAS DIFERIDAS Son aquellas que se valoran con anterioridad a su origen. El tiempo que transcurre entre el origen de la renta y el momento de valoracin se denomina perodo de diferimiento de la renta.

Si partimos de una renta unitaria, temporal (de n trminos) y pospagable se trata de valorar los capitales directamente, uno a uno, en el momento de valoracin elegido.

Grficamente quedara:

Al aplicar la definicin de valor financiero en el momento t:

Sacando factor comn:

quedar:

Donde el corchete representa el valor actual de la renta unitaria, temporal (n trminos), pospagable, inmediata y