Libro de Texto - cecytcampeche.edu.mx

Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Campeche

Libro de Texto

Agosto 2021 – Enero 2022

Plantel: ___________________________________________

Nombre del Alumno: __________________________________

_________________________________________________

Carrera: __________________________________________

Semestre: _______ Grupo: ______

Cálculo Integral


Eje: Pensamiento y lenguaje variacional. Componentes: Cambio y acumulación: Elementos del Cálculo integral.

Contenido central: Antiderivada de funciones elementales (algebraicas y

trascendentes) Contenido específico: Técnicas para obtener la antiderivada. ¿Qué significa integrar una función?, ¿podrías imaginar el llenado y vaciado de un recipiente en términos de la integración? ¿Qué patrones reconoces para la integral de x, x2, x3 ...?

Aprendizajes esperados: AE1. Descubre relaciones inversas entre derivación e integración: “Si de una función se obtiene su derivada, qué obtengo si de esa derivada encuentro su antiderivada”. AE2. Interpreta, por extensión o generalización, la integral indefinida de funciones polinomiales y trigonométricas básicas (inmediatas). AE3. Encuentra la integral de funciones mediante el cambio de variable. AE4. Obtiene la integral de productos de funciones (algebraicas con trigonométricas, logarítmicas y exponenciales) – integración por partes –.


En este parcial se abordará una segunda e importantísima área de estudio del cálculo: el cálculo integral. El cálculo diferencial es útil para estudiar las razones de cambio y las pendientes de tangentes, por lo que desarrolla métodos y aplicaciones que involucran a la derivada de una función conocida. Un aspecto fundamental del cálculo integral es determinar las áreas que se encuentran entre curvas y otras fronteras definidas. Asimismo, si se conoce la derivada de una función, con el cálculo integral podrá obtenerse la función original.

Hallar una función de la que es conocida su derivada es lo que se conoce habitualmente por Integración. Sin embargo, este proceso adquiere una relevancia sustancial, cuando mediante la Regla de Barrow, es posible relacionar el cálculo de antiderivadas con el de áreas de regiones planas y sólidos de revolución.

El símbolo de la integral ∫ fue introducido por Leibniz en el siglo XVII y es como una S

alargada, ya que la integral es el límite de una suma. La integración de funciones es la

operación inversa de la derivación, es decir, integrar una función 𝒇 significa encontrar una función 𝑭 cuya derivada es 𝒇´.

Se pretende profundizar en el proceso recíproco al de la derivación, o cálculo de la integral indefinida para lo cual se abordarán las integrales indefinidas algebraicas, trigonométricas, exponenciales, asimismo, se explicarán dos métodos de integración, el primer método se basa en realizar de manera adecuada un cambio de variable que permita convertir el integrando en algo sencillo: integración por sustitución o cambio de variable; en tanto, en el segundo método de integración se encuentra la integral de un producto de funciones en términos de la integral de sus derivadas y antiderivadas, se trata de la integración por partes.

Actividad diagnóstica

1. Transforma una expresión con exponentes Negativos en una expresión

equivalente con exponentes positivos (ley del exponente negativo):

a) 𝑥−4 =

c) 𝑥−1 =

b) 𝑥−3 =

d) 3

2𝑥−5 =


2. Escribe en forma de potencia los siguientes radicales (ley de radicales):

a) √𝑥 =

c) √𝑥3

=

b) √𝑥35=

d) √𝑥7 =

3. Escribe como radical las potencias siguientes (ley de exponente

fraccionario):

a) 𝑥1 2⁄ =

c) 𝑥3 4⁄ =

b) 𝑥1 3⁄ =

d) 𝑥−3 4⁄ =

4. Deriva las siguientes funciones:

a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑓´(𝑥) =

c) 𝑓(𝑥) = 3𝑥4 𝑓´(𝑥) =

b) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 𝑓´(𝑥) =

d) 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 5𝑥2 + 4𝑥 − 2 𝑓´(𝑥) =

Autoevalúate; para ello, escribe una ( ) en la celda que consideres que refleja mejor los

conocimientos previos que posees.

Indicador de desempeño

Nivel

Excelente Bueno Elemental Insuficiente

Utilizo la ley del exponente negativo.

Utilizo la ley de radicales.

Utilizo la ley de exponentes fraccionarios.

Calculo las derivadas de funciones

algebraicas básicas.


1. Función primitiva y la integral indefinida

Sabemos que en matemáticas las operaciones tienen sus inversas; por ejemplo, la adición y la sustracción, la multiplicación y la división, elevar a una potencia y extraer una raíz, etcétera. En el cálculo integral sucede exactamente lo mismo; la integración es una operación inversa a la derivación. En el cálculo diferencial aprendimos que si 𝑦 = 𝑓(𝑥), entonces la derivada de la función

es 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓´(𝑥); o bien si empleamos diferenciales, la de la función es:

𝑑𝑦 = 𝑓´(𝑥)𝑑𝑥 (definición de diferencial) El problema fundamental del cálculo integral depende de la operación inversa a la diferenciación, es decir:

Lo anterior se puede resumir con la siguiente ilustración:

𝑭(𝒙) es antiderivada o primitiva de 𝒇(𝒙)

La condición que debe caracterizar a 𝒅𝒚 para que admita la función primitiva sobre un intervalo es que debe tener continuidad en el intervalo.

Función primitiva𝑦 = 𝑓(𝑥)

Derivada

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓´(𝑥)

Diferencial

𝑑𝑦 = 𝑓´ 𝑥 𝑑𝑥

Antiderivada o Integral

න 𝑑𝑦 = න 𝑓´ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶

Hallar una 𝑦 = 𝑓(𝑥) cuya diferencial 𝑑𝑦 = 𝑓´(𝑥)𝑑𝑥 es conocida.


La función primitiva 𝒇(𝒙) que así se obtiene se llama integral o antiderivada de la expresión diferencial dada; el procedimiento para hallarla se llama integración y la

operación se indica escribiendo el signo integral ∫ delante de la expresión diferencial; de

manera que:

∫ 𝒇´(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝑭(𝒙) + 𝑪, donde C es una constante.

Función Derivada Diferencial Integral (Antiderivada)

1. 𝑦 = 𝑥3

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 3𝑥2

𝑑𝑦 = 3𝑥2𝑑𝑥 න 3𝑥2𝑑𝑥 = 𝑥3 + 𝐶

2. 𝑦 = 𝑥3 + 𝟓

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 3𝑥2

𝑑𝑦 = 3𝑥2𝑑𝑥

න 3𝑥2𝑑𝑥 = 𝑥3 + 𝑪

3. 𝑦 = 𝑥3 − 𝟒

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 3𝑥2


න 3𝑥2𝑑𝑥 = 𝑥3 + 𝑪

4. 𝑦 = 𝑥3 −𝟕

𝟑

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 3𝑥2


න 3𝑥2𝑑𝑥 = 𝑥3 + 𝑪

Cuando se integra una diferencial dada, lo que realmente se está obteniendo es una

familia de funciones de la forma 𝑓(𝑥) + 𝐶, donde C se denomina constante de integración; y es una constante arbitraria porque se le puede asignar cualquier valor real. En la tabla anterior se observar una familia de funciones de la forma 𝑥3 + 𝑪 en la que la constante es diferente en cada ejemplo. De ahí viene el nombre de Integral Indefinida y siempre va acompañada de C, la constante de integración.

2. Integrales indefinidas de funciones algebraicas

Las fórmulas de integrales inmediatas o antiderivadas que se utilizarán en este apartado son:

1. ∫ 𝒅𝒙 = 𝒙 + 𝑪

2. ∫ 𝒌 𝒅𝒙 = 𝒌𝒙 + 𝑪

3. ∫ 𝒖𝒏𝒅𝒖 =𝒖𝒏+𝟏

𝒏+𝟏+ 𝑪, donde 𝒏 ≠ −𝟏

Cuando 𝒖 = 𝒙, entonces:

𝒂) න 𝒙𝒏𝒅𝒙 =𝒙𝒏+𝟏

𝒏 + 𝟏+ 𝑪

4. ∫𝒅𝒖

𝒖= ∫ 𝒖−𝟏 𝒅𝒖 = 𝒍𝒏 |𝒖| + 𝑪, donde 𝒏 = −𝟏


Propiedades de linealidad de la integral indefinida

Calcula las siguientes integrales algebraicas:

Ejemplo 1. ∫ 𝟓 𝒅𝒙

Solución. Se aplica la fórmula 2. ∫ 𝒌 𝒅𝒙 = 𝒌𝒙 + 𝑪:

න 𝟓 𝒅𝒙 = 𝟓𝒙 + 𝑪

Ejemplo 2. ∫ 𝟑𝒙 𝒅𝒙 Solución. Se aplica el segundo principio de linealidad y después la fórmula 3a)

∫ 𝒙𝒏𝒅𝒙 =𝒙𝒏+𝟏

𝒏+𝟏+ 𝑪

න 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = 𝟑 න 𝒙 𝒅𝒙

= 𝟑 (𝒙𝟏+𝟏

𝟏 + 𝟏) + 𝑪

=𝟑𝒙𝟐

𝟐+ 𝑪

න 𝟑𝒙 𝒅𝒙 =𝟑𝒙𝟐

𝟐+ 𝑪 =

𝟑

𝟐𝒙𝟐 + 𝑪

1. La integral indefinida de la suma algebraica de dos o más funciones es igual a

la suma algebraica de sus integrales.

න[𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙)]𝒅𝒙 = 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 + 𝒈(𝒙) 𝒅𝒙 + 𝑪

2. El factor constante se puede ubicar fuera del signo de la integral, es decir,

න 𝒌 𝒇(𝒙) = 𝒌 න 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙


Ejemplo 3. ∫ 𝒙𝟓 𝒅𝒙

Solución. Se utiliza la fórmula 3a) ∫ 𝒙𝒏𝒅𝒙 =𝒙𝒏+𝟏

𝒏+𝟏+ 𝑪 y se resuelve:

න 𝒙𝟓 =𝒙𝟓+𝟏

𝟓 + 𝟏+ 𝑪

= 𝒙𝟔

𝟔+ 𝑪

න 𝒙𝟓 =𝒙𝟔

𝟔+ 𝑪

Ejemplo 4. ∫ 𝟐𝒙𝟒𝒅𝒙


𝒏+𝟏+ 𝑪 considerando el segundo principio

de linealidad:

න 𝟐𝒙𝟒𝒅𝒙 = 𝟐 න 𝒙𝟒𝒅𝒙

= 𝟐 (𝒙𝟒+𝟏

𝟒 + 𝟏) + 𝑪

න 𝟐𝒙𝟒𝒅𝒙 =𝟐𝒙𝟓

𝟓+ 𝑪

Ejemplo 5. ∫ 𝟗𝒙𝟒

𝟓⁄ 𝒅𝒙


𝒏+𝟏+ 𝑪 considerando el segundo principio

de linealidad:

න 𝟗𝒙𝟒

𝟓⁄ 𝒅𝒙 = 𝟗 න 𝒙𝟒

𝟓⁄ 𝒅𝒙

= 𝟗 (𝒙

𝟒

𝟓+

𝟓

𝟓

𝟒

𝟓+

𝟓

𝟓

) + 𝑪

= 𝟗 𝒙

𝟗𝟓

𝟗

𝟓

+ 𝑪


donde: 99

5

=9

𝟏9

5

=9(5)

𝟏(9)=

5

1= 5, se trata de multiplicar extremo por extremo 9(5) y medios

por medios 1(9).

∫ 𝟗𝒙𝟒

𝟓⁄ 𝒅𝒙 = 𝟓𝒙𝟗

𝟓 + 𝑪

Como el exponente de 𝒙 es fraccionario 𝒙𝟒

𝟓⁄ se usa la Ley de radicales √𝒙𝒎𝒏= 𝒙

𝒎

𝒏

න 𝟗𝒙𝟒

𝟓⁄ 𝒅𝒙 = 𝟓√𝒙𝟗𝟓+ 𝑪

Recuerda que: 1 =2

2=

3

3=

4

4=

5

5=

6

6=

7

7=

8

8… =

𝑛

𝑛

Ejemplo 6. ∫𝟔

𝒙𝟒 𝒅𝒙

Solución. Primero se usa la ley del exponente negativo 𝒙−𝒏 =𝟏

𝒙𝒏 para que la potencia

𝑥4 pase al numerador con signo contrario, 𝑥−4:

න 𝒌𝒙𝒏 = 𝒌 න 𝒙𝒏𝒅𝒙

= 𝒌𝒙𝒏+𝟏

𝒏 + 𝟏+ 𝑪

∫𝟔

𝒙𝟒 𝒅𝒙 = ∫ 𝟔𝒙−𝟒 𝒅𝒙

= 6 ∫ 𝑥−4 𝑑𝑥

= 6𝑥−4+1

−4+1+ 𝐶

=6𝑥−3

−3+ 𝐶

= −2𝑥−3 + 𝐶

∫𝟔

𝒙𝟒 𝒅𝒙 = −

𝟐

𝒙𝟑+ 𝑪

Al final del ejercicio se utilizó la ley del exponente negativo −2𝑥−𝟑 = −𝟐

𝒙𝟑


Ejemplo 7. ∫ 𝟐 √𝒙𝟑

𝒅𝒙

Solución. Primero se usa la Ley de radicales √𝒙𝒎𝒏= 𝒙

𝒎

𝒏 para convertir a exponente

fraccionario, luego se aplica la fórmula 3a) ∫ 𝒙𝒏𝒅𝒙 =𝒙𝒏+𝟏

𝒏+𝟏+ 𝑪 y se resuelve:

∫ 𝟐 √𝒙𝟑

𝒅𝒙 = ∫ 𝟐 𝒙𝟏

𝟑 𝒅𝒙 = 𝟐 ∫ 𝒙𝟏

𝟑 𝒅𝒙

=𝟐 𝒙

𝟏

𝟑+

𝟑

𝟑

𝟏

𝟑+

𝟑

𝟑

+ 𝑪

=𝟐𝒙𝟒 𝟑⁄

𝟒

𝟑

+ 𝑪 24

3

=2

𝟏4

3

=2(3)

𝟏(4)=

6

4=

3

2

= 𝟑

𝟐𝒙𝟒 𝟑⁄ + 𝑪 Usando la ley de radicales, queda:

∫ 𝟐√𝒙𝟑

𝒅𝒙 =𝟑

𝟐 √𝒙𝟒𝟑

+ 𝑪

Ejemplo 8. ∫𝒅𝒙

√𝒙𝟑𝟒

Solución. Primero se aplica la ley de radicales, luego la ley del exponente negativo y se resuelve:

න𝒅𝒙

√𝒙𝟑𝟒 = න𝒅𝒙

𝒙𝟑

𝟒

= න 𝒙−𝟑

𝟒 𝒅𝒙

=𝒙

− 𝟑𝟒

+𝟒𝟒

− 𝟑

𝟒+

𝟒

𝟒

+ 𝑪

=𝒙

𝟏𝟒

𝟏

𝟒

+ 𝑪 Se divide 𝟏 ÷𝟏

𝟒

𝟏𝟏

𝟒

=𝟏

𝟏𝟏

𝟒

=𝟏(𝟒)

𝟏(𝟏)=

𝟒

𝟏= 𝟒

= 𝟒𝒙𝟏

𝟒 + 𝑪

∫𝒅𝒙

√𝒙𝟑𝟒 = 𝟒√𝒙𝟒

+ 𝑪


Ejemplo 9. ∫(𝟓𝒙𝟑 − 𝟑 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟒)𝒅𝒙 Solución. Se utiliza el primer principio de linealidad y se resuelve usando las fórmulas 2b) y 1.

න(𝟓𝒙𝟑 − 𝟑 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟒) 𝒅𝒙 = න 𝟓𝒙𝟑 𝒅𝒙 − න 𝟑𝒙𝟐 𝒅𝒙 − න 𝟐𝒙 𝒅𝒙 + න 𝟒 𝒅𝒙

= 𝟓 ∫ 𝒙𝟑 𝒅𝒙 − 𝟑 ∫ 𝒙𝟐 𝒅𝒙 − 𝟐 ∫ 𝒙 𝒅𝒙 + 𝟒 ∫ 𝒅𝒙

=𝟓𝒙𝟑+𝟏

𝟑+𝟏−

𝟑𝒙𝟐+𝟏

𝟐+𝟏−

𝟐𝒙𝟏+𝟏

𝟏+𝟏+ 𝟒𝒙 + 𝑪

=𝟓𝒙𝟒

𝟒−

𝟑𝒙𝟑

𝟑−

𝟐𝒙𝟐

𝟐+ 𝟒𝒙 + 𝑪

∫(𝟓𝒙𝟑 − 𝟑 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟒) 𝒅𝒙 =𝟓𝒙𝟒

𝟒− 𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝑪

Ejemplo 10. ∫ (𝟒𝒙𝟑+𝟑𝒙𝟐−𝒙

𝒙) 𝒅𝒙

Solución. Primero se resuelve la división, enseguida se aplica el primer principio de linealidad, luego las fórmulas 1, 2b) y se resuelve:

𝟒𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝒙

𝒙=

𝟒𝒙𝟑

𝒙+

𝟑𝒙𝟐

𝒙−

𝒙

𝒙= 𝟒𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏

න (𝟒𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝒙

𝒙) 𝒅𝒙 = න(𝟒𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏)𝒅𝒙

= න 𝟒𝒙𝟐 𝒅𝒙 + න 𝟑𝒙 𝒅𝒙 − න 𝒅𝒙

= 𝟒 ∫ 𝒙𝟐 𝒅𝒙 + 𝟑 ∫ 𝒙 𝒅𝒙 − ∫ 𝒅𝒙

=𝟒𝒙𝟐+𝟏

𝟐+𝟏 + 𝟑𝒙𝟏+𝟏

𝟏+𝟏 − 𝒙 + 𝑪

න (𝟒𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝒙

𝒙) 𝒅𝒙 =

𝟒𝒙𝟑

𝟑+

𝟑𝒙𝟐

𝟐− 𝒙 + 𝑪


Ejemplo 11. ∫ (𝟑𝒙−𝟐 +𝟐

𝟓𝒙−

𝟑

𝟐 − 𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙

Solución

න (𝟑𝒙−𝟐 +𝟐

𝟓𝒙−

𝟑

𝟐 − 𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙 = න 𝟑𝒙−𝟐 𝒅𝒙 + න𝟐

𝟓𝒙−

𝟑

𝟐 𝒅𝒙 − න 𝒙 𝒅𝒙 + න 𝒅𝒙

= 𝟑 ∫ 𝒙−𝟐 𝒅𝒙 +𝟐

𝟓∫ 𝒙−

𝟑

𝟐 𝒅𝒙 − ∫ 𝒙 𝒅𝒙 + ∫ 𝒅𝒙

= 𝟑𝒙−𝟐+𝟏

−𝟐+𝟏+

𝟐

𝟓 𝒙

− 𝟑𝟐+

𝟐𝟐

− 𝟑

𝟐+

𝟐

𝟐

−𝒙𝟏+𝟏

𝟏+𝟏+ 𝒙 + 𝑪

=𝟑𝒙−𝟏

−𝟏+

𝟐

𝟓 𝒙

− 𝟏𝟐

− 𝟏

𝟐

−𝒙𝟏+𝟏

𝟏+𝟏+ 𝒙 + 𝑪

Se divide 𝟐

𝟓÷ −

𝟏

𝟐=

(𝟐)(𝟐)

(𝟓)(−𝟏)= −

𝟒

𝟓 = −𝟑𝒙−𝟏 −

𝟒

𝟓 𝒙−

𝟏

𝟐 + 𝒙 + 𝑪

Se usa la ley del exponente negativo: = −𝟑

𝒙−

𝟒

𝟓𝒙𝟏𝟐

+ 𝒙 + 𝑪

Se usa la ley de radicales para 𝟓𝒙𝟏

𝟐

∫ (𝟐

𝟓𝒙−

𝟑

𝟐 − 𝒙 − 𝟑𝒙−𝟐) 𝒅𝒙 = −𝟑

𝒙−

𝟒

𝟓√𝒙+ 𝒙 + 𝑪

Hasta ahora se han abordado las integrales indefinidas inmediatas de tipo 𝒙𝒏, siempre

que 𝒏 ≠ −𝟏, esta fórmula es resultado de la fórmula:

∫ 𝒖𝒏𝒅𝒖 =𝒖𝒏+𝟏

𝒏+𝟏+ 𝑪,

donde 𝒏 ≠ −𝟏, veamos algunos ejemplos del uso de la integrales tipo 𝒖𝒏, para ello, hay

que recordar qué es una diferencial.

La fórmula de una diferencial es 𝒅𝒚 = 𝒇´(𝒙) 𝒅𝒙, es decir: diferencial = derivada * dx.

En la fórmula de la integral de tipo 𝒖𝒏 en lugar de 𝒅𝒚 se utiliza 𝒅𝒖. Por ejemplo: si 𝑢 = 3𝑥, su diferencial es 𝑑𝑢 = 3 𝑑𝑥 (la derivada de 3x es 3 y se multiplica por dx)

1. Si 𝑢 = 3, su diferencial es 𝑑𝑢 = 0, recuerda que la derivada de una constante es cero.

2. Sí 𝑢 =1

2𝑥 su diferencial es 𝑑𝑢 =

1

2 𝑑𝑥

3. Sí 𝑢 = 𝑥2, su diferencial es 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥

4. Sí 𝑢 = 6𝑥3, su diferencial es 𝑑𝑢 = 18𝑥2 𝑑𝑥

5. Sí 𝑢 = 4𝑥2 −6

5𝑥 + 2 su diferencial es 𝑑𝑢 = (8𝑥 −

6

5) 𝑑𝑥


Ejemplos de integrales tipo ∫ 𝒖𝒏 𝒅𝒖

Ejemplo 1. ∫(𝒙 + 𝟐)𝟓𝒅𝒙

Solución. Se usa la fórmula ∫ 𝒖𝒏𝒅𝒖 =𝒖𝒏+𝟏

𝒏+𝟏+ 𝑪

Datos

𝒏 = 𝟓 𝒖 = 𝒙 + 𝟐 𝒅𝒖 = 𝟏 ∗ 𝒅𝒙 = 𝒅𝒙

∫(𝒙 + 𝟐)𝟓𝒅𝒙 =(𝒙+𝟐)𝟓+𝟏

𝟓+𝟏+ 𝑪

∫(𝒙 + 𝟐)𝟓𝒅𝒙 =(𝒙+𝟐)𝟔

𝟔+ 𝑪

Ejemplo 2. ∫(𝟐𝒙 − 𝟑)𝟒𝒅𝒙


𝒏+𝟏+ 𝑪

Datos

𝒖 = 𝟐𝒙 − 𝟑 𝒅𝒖 = 𝟐 𝒅𝒙

∫(𝟐𝒙 − 𝟑)𝟒𝒅𝒙 =𝟏

𝟐∫(𝟐𝒙 − 𝟑)4[𝟐]𝒅𝒙

=𝟏

𝟐 (𝟐𝒙−𝟑)𝟒+𝟏

𝟒+𝟏+ 𝑪

=𝟏

𝟐 (𝟐𝒙−𝟑)𝟓

𝟓+ 𝑪

Se divide 1

2÷ 5 =

1

2÷

5

1=

1∗1

2∗5=

1

10

∫(𝟐𝒙 − 𝟑)𝟒𝒅𝒙 =𝟏

𝟏𝟎 (𝟐𝒙 − 𝟑)𝟓 + 𝑪 𝒐

(𝟐𝒙−𝟑)𝟓

𝟏𝟎 + 𝑪

La fórmula ∫ 𝒖𝒏𝒅𝒖 =𝒖𝒏+𝟏

𝒏+𝟏+ 𝑪 se utiliza cuando el exponente 𝒏 es diferente de -1, pero

si el exponente llega a ser 𝑛 = −1, entonces la fórmula a utilizar es:

∫𝒅𝒖

𝒖= 𝒍𝒏 |𝒖| + 𝑪 para 𝒏 = −𝟏

Si consideramos la ley del exponente negativo, entonces 𝒖 sube al numerador

න𝒅𝒖

𝒖= න 𝒖−𝟏 𝒅𝒖 = 𝒍𝒏 |𝒖| + 𝑪

Se obseva que el diferencial 𝒅𝒖 está incompleto, por lo que se procede a completar, como lo que hace falta es un 2, se añade

el 2 al lado de 𝒅𝒙, y para no alterar la integral, ésta se multiplica por el recíproco de 2,

osea 𝟏

𝟐, luego se integra.


Ejemplos de integrales tipo ∫𝒅𝒖

𝒖

Ejemplo 1. ∫𝟏

𝒙 𝒅𝒙

Solución

Datos Fórmula: ∫𝒅𝒖

𝒖= 𝒍𝒏 |𝒖| + 𝑪

𝒖 = 𝒙

𝒅𝒖 = 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒅𝒙 ∫𝟏

𝒙 𝒅𝒙 = 𝒍𝒏 |𝒙| + 𝑪

Ejemplo 2. ∫𝟖

𝒙 𝒅𝒙

Solución


𝒖 = 𝒍𝒏 |𝒖| + 𝑪

𝒖 = 𝒙

𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 ∫𝟖

𝒙 𝒅𝒙 = 𝟖 ∫

𝒅𝒙

𝒙= 𝟖 𝒍𝒏 |𝒙| + 𝑪

∫𝟖

𝒙 𝒅𝒙 = 𝟖 𝒍𝒏 |𝒙| + 𝑪

Ejemplo 3. ∫𝟐

𝟐𝒙+𝟏 𝒅𝒙

Solución


𝒖 = 𝒍𝒏 |𝒖| + 𝑪

𝒖 = 𝟐𝒙 + 𝟏

𝒅𝒖 = 𝟐 𝒅𝒙 ∫𝟐

𝟐𝒙+𝟏 𝒅𝒙 = ∫

𝟐 𝒅𝒙

𝟐𝒙+𝟏

∫𝟐

𝟐𝒙+𝟏 𝒅𝒙 = 𝒍𝒏 |𝟐𝒙 + 𝟏| + 𝑪


Importante: Recíproco (inverso multiplicativo): Tiene la propiedad de que al multiplicarlo por el número el resultado es la unidad.

𝟏

𝟐 recíproco

𝟐

𝟏,

𝟏

𝟐∗

𝟐

𝟏=

𝟏∗𝟐

𝟐∗𝟏=

𝟐

𝟐= 𝟏

𝟏

𝟑 recíproco 𝟑,

𝟏

𝟑∗ 𝟑 =

𝟏∗𝟑

𝟑=

𝟑

𝟑= 𝟏

𝟒

𝟑 recíproco

𝟑

𝟒,

𝟒

𝟑∗

𝟑

𝟒=

𝟒∗𝟑

𝟑.𝟒=

𝟏𝟐

𝟏𝟐= 𝟏

𝟕

𝟓 recíproco

𝟓

𝟕,

𝟕

𝟓∗

𝟓

𝟕=

𝟕∗𝟓

𝟓∗𝟕=

𝟑𝟓

𝟑𝟓= 𝟏


𝟐−𝟔𝒙

Solución. Se usa la fórmula ∫𝒅𝒖

𝒖= 𝒍𝒏 |𝒖| + 𝑪

Datos 𝒖 = 𝟐 − 𝟔𝒙 𝒅𝒖 = −𝟔 𝒅𝒙

න𝒅𝒙

𝟐 − 𝟔𝒙 𝒅𝒙 = −

𝟏

𝟔න

[−𝟔]𝒅𝒙

𝟒𝒙 − 𝟐

−𝟏

𝟔න

[−𝟔]𝒅𝒙

𝟒𝒙 − 𝟐= −

𝟏

𝟔 𝒍𝒏 |𝟐 − 𝟔𝒙| + 𝑪

න𝒅𝒙

𝟐 − 𝟔𝒙 𝒅𝒙 = −

𝟏

𝟔𝒍𝒏 |𝟐 − 𝟔𝒙| + 𝑪

Ejemplo 5. ∫𝟑

𝟒𝒙−𝟐 𝒅𝒙


𝒖= 𝒍𝒏 |𝒖| + 𝑪

Datos

𝒖 = 𝟒𝒙 − 𝟐

𝒅𝒖 = 𝟒 𝒅𝒙

Se saca la constante, 3, del integrando y queda: ∫

𝟑

𝟒𝒙−𝟐 𝒅𝒙 = 𝟑 ∫

𝒅𝒙

𝟒𝒙−𝟐

Se observa que el diferencial 𝒅𝒖 está

incompleto, debe ser 𝒅𝒖 = −𝟔 𝒅𝒙, por

lo que se procede a completar, como lo que hace falta es un - 6, se multiplica el numerador por - 6 y para no alterar la integral, ésta se multiplica por el

recíproco de - 6, osea −𝟏

𝟔, luego se

integra.


Se obseva que el diferencial 𝒅𝒖 está incompleto, debe ser 𝒅𝒖 = 𝟒 𝒅𝒙, se procede a completar, como lo que hace falta es un 4, se multiplica el numerador por 4, y

para no alterar la integral, se agrega su recíproco fuera del integrando, osea 𝟏

𝟒:

𝟑 න𝒅𝒙

𝟒𝒙 − 𝟐= 𝟑.

𝟏

𝟒න

[𝟒]𝒅𝒙

𝟒𝒙 − 𝟐=

𝟑

𝟒න

[𝟒]𝒅𝒙

𝟒𝒙 − 𝟐=

Por lo tanto, aplicando la fórmula se tiene que:

න𝟑

𝟒𝒙 − 𝟐 𝒅𝒙 =

𝟑

𝟒𝒍𝒏 |𝟒𝒙 − 𝟐| + 𝑪

Ejemplo 6. ∫𝒙

𝒙𝟐+𝟏 𝒅𝒙


𝒖= 𝒍𝒏 |𝒖| + 𝑪

Datos

𝒖 = 𝒙𝟐 + 𝟏

𝒅𝒖 = 𝟐𝒙 𝒅𝒙

Se obseva que el diferencial 𝒅𝒖 está incompleto, debe ser 𝒅𝒖 = 𝟐𝒙 𝒅𝒙, se procede a completar, como lo que hace falta es un 2, se multiplica el numerador por 2, y

para no alterar la integral, se agrega su recíproco fuera del integrando, osea 𝟏

𝟐:

න𝒙

𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 =

𝟏

𝟐න

[𝟐]𝒙

𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙

Por lo tanto, aplicando la fórmula se tiene que:

න𝒙

𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 =

𝟏

𝟐 𝒍𝒏 |𝒙𝟐 + 𝟏| + 𝑪


𝟑+𝟓𝒙


𝒖= 𝒍𝒏 |𝒖| + 𝑪

Datos

𝒖 = 𝟑 + 𝟓𝒙 𝒅𝒖 = 𝟓 𝒅𝒙


Se obseva que el diferencial 𝒅𝒖 está incompleto, debe ser 𝒅𝒖 = 𝟓 𝒅𝒙, se procede a completar, como lo que hace falta es un 5, se multiplica el numerador por 5, y

para no alterar la integral, se agrega su recíproco fuera del integrando, es decir, 𝟏

𝟓:

න𝒅𝒙

𝟑 + 𝟓𝒙=

𝟏

𝟓න

[𝟓]𝒅𝒙

𝟑 + 𝟓𝒙

Aplicando la fórmula se tiene que:

න𝒅𝒙

𝟑 + 𝟓𝒙=

𝟏

𝟓 𝒍𝒏 |𝟑 + 𝟓𝒙| + 𝑪

𝟏. ∫ 𝟖𝒙 𝒅𝒙 Respuesta: 𝟒𝒙 + 𝑪

𝟐. ∫ 𝟑𝒙𝟓𝒅𝒙 Respuesta: 𝒙𝟔

𝟐+ 𝑪

𝟑. ∫𝟐

√𝒙𝟑 𝒅𝒙 Respuesta: 𝟑√𝒙𝟐𝟑

+ 𝑪

𝟒. ∫ 𝟏𝟎√𝒙𝟐𝟑𝒅𝒙 Respuesta: 𝟔√𝒙𝟓𝟑

+ 𝑪

𝟓. ∫𝟏+𝒙𝟐

𝒙𝟐 𝒅𝒙 Respuesta: −𝟏

𝒙+ 𝒙 + 𝑪

Ejercicios de seguimiento

Calcula las integrales indefinidas algebraicas.


𝟔. ∫(𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏)𝒅𝒙 Respuesta: 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝑪

𝟕. ∫(𝟐 + 𝟔𝒙𝟐 − 𝟖𝒙𝟑)𝒅𝒙 Respuesta: 𝟐𝒙 + 𝟐𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟒 + 𝑪

𝟖. ∫ 𝒙 (𝟐𝒙𝟐 + 𝟏)𝟒 𝒅𝒙 Respuesta: (𝟐𝒙𝟐+𝟏)

𝟓

𝟐𝟎+ 𝑪

𝟗. ∫𝒙

𝟏+𝒙𝟐 𝒅𝒙 Respuesta: 𝟏

𝟐 𝒍𝒏 |𝟏 + 𝒙𝟐| + 𝑪

𝟏𝟎. ∫𝒕

𝟐𝒕𝟐+𝟑𝒅𝒕 Respuesta:

𝟏

𝟒 𝒍𝒏 |𝟐𝒕𝟐 + 𝟑| + 𝑪

Autoevalúate; para ello, escribe una ( ) en la celda que consideres que refleja los

saberes que posees o aún debes reforzar.


Cumple

Si No

Identifico y aplico las fórmulas de integración adecuadamente.

Resuelvo las integrales siguiendo un proceso ordenado y coherente.

Utilizo las propiedades aritméticas y algebraicas.

Obtengo la solución correcta.

Resuelvo todas las integrales.


3. Integrales exponenciales

Las funciones exponenciales se utilizan para modelar el crecimiento o decrecimiento a

través del tiempo ya sea de una población de individuos, los intereses generados por un

capital depositado en el banco, la desintegración radiactiva de una sustancia o la cantidad

del ingrediente activo de un medicamento que se mantiene en la sangre de un individuo.

Las integrales exponenciales se abordan como un tema auxiliar a la integración por

partes. Las fórmulas a utilizar son:

න 𝒆𝒖𝒅𝒖 = 𝒆𝒖 + 𝑪

න 𝒂𝒖𝒅𝒖 =𝒂𝒖

𝒍𝒏 𝒂+ 𝑪

Ejemplo 1. Obtener la integral ∫ 𝒆𝟓𝒙𝒅𝒙

Datos

𝒖 = 𝟓𝒙

𝒅𝒖 = 𝟓𝒅𝒙

Es necesario completar el diferencial agregando el recíproco de la constante que

completa el diferencial fuera del integrando:

න 𝒆𝟓𝒙𝒅𝒙 =𝟏

𝟓න 𝒆𝟓𝒙 [𝟓]𝒅𝒙

Se aplica la fórmula ∫ 𝒆𝒖𝒅𝒖 = 𝒆𝒖 + 𝑪:

=𝟏

𝟓𝒆

𝟓𝒙+ 𝑪

න 𝒆𝟓𝒙𝒅𝒙 =𝟏

𝟓𝒆𝟓𝒙 + 𝑪

Ejemplo 2. Resolver la integral ∫ 𝒆𝒙𝟐 𝒙 𝒅𝒙

Datos

𝒖 = 𝒙𝟐



Se completa el diferencial con 2, por lo que se agrega también fuera del integrando 𝟏

𝟐:

න 𝒆𝒙𝟐 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏

𝟐න 𝒆𝒙𝟐

[𝟐]𝒙 𝒅𝒙


=𝟏

𝟐𝒆𝒙𝟐

+ 𝑪

න 𝒆𝒙𝟐 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏

𝟐𝒆𝒙𝟐

+ 𝑪

Ejemplo 3. Calcular la integral ∫𝟔

𝒆𝟒𝒙𝒅𝒙

Primero se usa la ley del exponente negativo:

න𝟔

𝒆𝟒𝒙 𝒅𝒙 = න 𝟔 𝒆−𝟒𝒙𝒅𝒙

Datos

𝒖 = −𝟒𝒙

𝒅𝒖 = −𝟒𝒙 𝒅𝒙

Se deja el 6 fuera del integrando, se completa el diferencial con −𝟒 , por lo que se

agrega también fuera del integrando −𝟏

𝟒:

= 𝟔 ∙ −𝟏

𝟒න 𝒆−𝟒𝒙 [−𝟒]𝒙 𝒅𝒙


= −𝟔

𝟒𝒆−𝟒𝒙 + 𝑪

= −𝟑

𝟐𝒆−𝟒𝒙 + 𝑪

න𝟔

𝒆𝟒𝒙 𝒅𝒙 = −

𝟑

𝟐𝒆𝟒𝒙+ 𝑪

Al final se utilizó la ley del exponente negativo.


Ejemplo 4. Resolver la integral ∫(𝒆𝒙 +𝟓

𝒙− 𝟏) 𝒅𝒙

Se trata de una integral con un término exponencial y dos términos algebraicos:

න(𝒆𝒙 +𝟓

𝒙− 𝟏) 𝒅𝒙 = න 𝒆𝒙𝒅𝒙 + 𝟓 න

𝒅𝒙

𝒙− න 𝒅𝒙

= 𝒆𝒙 + 𝟓 𝒍𝒏 |𝒙| − 𝒙 + 𝑪

∫(𝒆𝒙 +𝟓

𝒙− 𝟏) 𝒅𝒙 = 𝒆𝒙 + 𝟓 𝒍𝒏 |𝒙| − 𝒙 + 𝑪, con |𝑥| > 0

Ejemplo 5. Resolver la integral ∫ 𝟗𝒙 𝒅𝒙

Datos

𝒂 = 𝟗

𝒖 = 𝒙

𝒅𝒖 = 𝒅𝒙

Se aplica la fórmula ∫ 𝒂𝒖𝒅𝒖 =𝒂𝒖

𝒍𝒏 𝒂+ 𝑪

න 𝟗𝒙 𝒅𝒙 =𝟗𝒙

𝒍𝒏 𝟗+ 𝑪

Ejemplo 6. Resolver la integral ∫ 𝟑𝟐𝒙+𝟏 𝒅𝒙

Datos

𝒂 = 𝟑

𝒖 = 𝟐𝒙 + 𝟏

𝒅𝒖 = 𝟐𝒅𝒙

Se completa el diferencial:

න 𝟑𝟐𝒙+𝟏 𝒅𝒙 =𝟏

𝟐න 𝟑𝟐𝒙+𝟏[𝟐] 𝒅𝒙

Se aplica la fórmula ∫ 𝒂𝒖𝒅𝒖 =𝒂𝒖

𝒍𝒏 𝒂+ 𝑪

න 𝟑𝟐𝒙+𝟏 𝒅𝒙 =𝟏

𝟐∙

𝟑𝟐𝒙+𝟏

𝒍𝒏 𝟑+ 𝑪

න 𝟑𝟐𝒙+𝟏 𝒅𝒙 =𝟑𝟐𝒙+𝟏

𝟐 𝒍𝒏 𝟑+ 𝑪


𝟏. ∫ 𝒆−𝟑𝒙𝒅𝒙 Respuesta: −𝟏

𝟑 𝒆−𝟑𝒙 + 𝑪 = −

𝟏

𝟑𝒆𝟑𝒙 + 𝑪

𝟐. ∫ 𝒆𝟐𝒙+𝟏 𝒅𝒙 Respuesta: 𝟏

𝟐 𝒆𝟐𝒙+𝟏 + 𝑪

𝟑. ∫𝟐

𝒆−𝟓𝒙 𝒅𝒙 Respuesta: 𝟐

𝟓 𝒆𝟓𝒙 + 𝑪

𝟒. ∫ 𝟐𝟑𝒙 𝒅𝒙 Respuesta: 𝟐𝟑𝒙

𝟑 𝒍𝒏 𝟐 + 𝑪

𝟓. ∫ 𝟖𝒙−𝟒 𝒅𝒙 Respuesta: 𝟖𝒙−𝟒

𝒍𝒏 𝟖 + 𝑪




Cumple

Si No







Calcula las integrales indefinidas exponenciales.


Integrales indefinidas de funciones trigonométricas

La integración de funciones trigonométricas depende casi por completo de saber identificar y ordenar bien las partes que componen cada fórmula. Es como un rompecabezas en el que se debe buscar la forma de adecuar cada segmento de la expresión de acuerdo con el orden establecido. Este proceso se resume en los siguientes pasos:

Identificar el argumento 𝒖 y su diferencial 𝒅𝒖.

Comparar el diferencial del argumento con el diferencial del integrando. Si

hace falta una constante, agregarla conservando el equivalente en ambas

partes (completar el diferencial).

Una vez completado el diferencial, aplicar la fórmula de integración.

Sustituir los argumentos y simplificar la expresión final.

Es indispensable que el diferencial esté completo antes de aplicar cualquiera de estas fórmulas. Resuelve las integrales indefinidas de funciones trigonométricas.

Ejemplo 1. ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟔𝒙 𝒅𝒙

Solución. Se usa la fórmula 1 ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝒖 𝒅𝒖 = − 𝐜𝐨𝐬 𝒖 + 𝑪

Datos

𝒖 = 𝟔𝒙 𝒅𝒖 = 𝟔 𝒅𝒙

Las fórmulas a utilizar son:

1. ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = − cos 𝑢 + 𝐶

2. ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝑑𝑢 = sen 𝑢 + 𝐶

3. ∫ 𝑡𝑎𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = ln | sec 𝑢| + 𝐶 = − ln |cos u| +𝐶

4. ∫ 𝑐𝑜𝑡 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑙𝑛 ǀ sen 𝑢 ǀ + 𝐶

5. ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑙𝑛 ǀ sec 𝑢 + tan 𝑢 ǀ + 𝐶

6. ∫ 𝑐𝑠𝑐 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑙𝑛 ǀ csc 𝑢 − cot 𝑢 ǀ + 𝐶

7. ∫ 𝑠𝑒𝑐2 𝑢 𝑑𝑢 = tan 𝑢 + 𝐶

8. ∫ 𝑐𝑠𝑐2 𝑢 𝑑𝑢 = −cot 𝑢 + 𝐶

9. ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑢 tan 𝑢 𝑑𝑢 = sec 𝑢 + 𝐶

10. ∫ 𝑐𝑠𝑐 𝑢 cot 𝑢 𝑑𝑢 = −csc 𝑢 + 𝐶

du: es el diferencial de u


Se obseva el diferencia que la integral está incompleta, le falta un 𝟔 al diferencial 𝒅𝒖, por lo que se procede a completar, se añade el 6 al lado de 𝑑𝑥, y para no

alterar la integral, ésta se multiplica por el recíproco de 6, osea 𝟏

𝟔, luego se integra:

න 𝒔𝒆𝒏 𝟔𝒙 𝒅𝒙 =𝟏

𝟔න 𝒔𝒆𝒏 𝟔𝒙 [𝟔] 𝒅𝒙

=𝟏

𝟔 (−𝒄𝒐𝒔 𝟔𝒙) + 𝑪

∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟔𝒙 𝒅𝒙 = −𝟏

𝟔 𝒄𝒐𝒔 𝟔𝒙 + 𝑪

Ejemplo 2. ∫ 𝒄𝒐𝒔 (𝟑

𝟐𝒙) 𝒅𝒙

Solución. Se usa la fórmula 2 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒖 𝒅𝒖 = 𝐬𝐞𝐧 𝒖 + 𝑪

Datos

𝒖 =𝟑

𝟐𝒙

𝒅𝒖 =𝟑

𝟐 𝒅𝒙

La integral está incompleta, le falta un 𝟑

𝟐 al diferencial, se procede a completarla y

a resolverla:

න 𝒄𝒐𝒔 𝟑

𝟐𝒙 𝒅𝒙 =

𝟐

𝟑න 𝒄𝒐𝒔

𝟑

𝟐𝒙 [

𝟑

𝟐] 𝒅𝒙

∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟑

𝟐𝒙 𝒅𝒙 =

𝟐

𝟑𝒔𝒆𝒏

𝟑

𝟐𝒙 + 𝑪

Ejemplo 3. ∫(𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝒙 − 𝟓 𝒔𝒆𝒏 𝒙) 𝒅𝒙 Solución. Se trata de una diferencia (resta) de dos integrales que se integran por separado.

Datos

𝒖 = 𝒙 𝒅𝒖 = 𝟏 ∗ 𝒅𝒙 = 𝒅𝒙

Como du es dx, ambas integrales están completas, se aplica la fórmula respectiva:


න(𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝒙 − 𝟓 𝒔𝒆𝒏 𝒙) 𝒅𝒙 = න 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 − න 𝟓 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙

= 𝟐 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 − 𝟓 ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙

= 𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝒙 − 𝟓(−𝒄𝒐𝒔 𝒙) + 𝑪

∫(𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝒙 − 𝟓 𝒔𝒆𝒏 𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝟓 𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝑪

Ejemplo 4. ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟓𝒙 𝒅𝒙

Solución. Se usa la fórmula ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝒖 𝒅𝒖 = 𝒍𝒏 |𝐬𝐞𝐜 𝒖 + 𝐭𝐚𝐧 𝒖| + 𝑪

Datos

𝒖 = 𝟓𝒙

𝒅𝒖 = 𝟓 𝒅𝒙

La integral está incompleta, le falta un 5 al diferencial 𝒅𝒖, se procede a completar y a resolver:

න 𝒔𝒆𝒄 𝟓𝒙 𝒅𝒙 =𝟏

𝟓න 𝒔𝒆𝒄 𝟓𝒙 [𝟓]𝒅𝒙

∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟓𝒙 𝒅𝒙 =𝟏

𝟓 𝒍𝒏 |𝐬𝐞𝐜 𝟓𝒙 + 𝐭𝐚𝐧 𝟓𝒙 | + 𝑪

Ejemplo 5. ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐(𝟑 − 𝟐𝒙) 𝒅𝒙

Solución. Se usa la fórmula ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒖 𝒅𝒖 = −𝐜𝐨𝐭 𝒖 + 𝑪

Datos

𝒖 = 𝟑 − 𝟐𝒙 𝒅𝒖 = −𝟐 𝒅𝒙

La integral está incompleta, le falta un -2 al diferencial 𝒅𝒖, se procede a completar y a resolver:

න 𝒔𝒆𝒄𝟐(𝟑 − 𝟐𝒙) 𝒅𝒙 = −𝟏

𝟐න 𝒔𝒆𝒄𝟐(𝟑 − 𝟐𝒙) [−𝟐]𝒅𝒙

= −𝟏

𝟐[−𝒄𝒐𝒕 (𝟑 − 𝟐𝒙)] + 𝑪

∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐(𝟑 − 𝟐𝒙) 𝒅𝒙 =𝟏

𝟐 𝒄𝒐𝒕 (𝟑 − 𝟐𝒙) + 𝑪


Ejemplo 6. ∫ 𝒔𝒆𝒄 (𝟒𝒙) 𝒕𝒂𝒏 (𝟒𝒙) 𝒅𝒙

Solución. Se usa la fórmula ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝒖 𝐭𝐚𝐧 𝒖 𝒅𝒖 = 𝐬𝐞𝐜 𝒖 + 𝑪

Datos

𝒖 = 𝟒𝒙 𝒅𝒖 = 𝟒 𝒅𝒙

Se completa el diferencial y se resuelve:

න(𝒔𝒆𝒄 𝟒𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝟒𝒙) 𝒅𝒙 =𝟏

𝟒න(𝒔𝒆𝒄 𝟒𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝟒𝒙)[𝟒]𝒅𝒙

∫(𝒔𝒆𝒄 𝟒𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝟒𝒙) 𝒅𝒙 =𝟏

𝟒 𝒔𝒆𝒄 𝟒𝒙 + 𝑪

Ejemplo 7. ∫ 𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝟒𝒙𝟐𝒅𝒙

Solución. Se usa la fórmula ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝒖 𝒅𝒖 = 𝒍𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝒖| + 𝑪

Datos

𝒖 = 𝟒𝒙𝟐

𝒅𝒖 = 𝟖𝒙 𝒅𝒙


∫ 𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝟒𝒙𝟐𝒅𝒙 =𝟏

𝟖∫ 𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝟒𝒙𝟐 [𝟖]𝒅𝒙

=𝟏

𝟖∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟒𝒙𝟐 𝟖𝒙 𝒅𝒙

∫ 𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝟒𝒙𝟐𝒅𝒙 =𝟏

𝟖𝒍𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝟒𝒙𝟐| + 𝑪

Ejemplo 8. ∫ 𝟔 𝒄𝒐𝒕 𝟑𝒙 𝒅𝒙

Solución. Se usa la fórmula ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝒖 𝒅𝒖 = 𝒍𝒏 ǀ 𝐬𝐞𝐧 𝒖 ǀ + 𝑪

Datos

𝒖 = 𝟑𝒙 𝒅𝒖 = 𝟑 𝒅𝒙


න 𝟔 𝒄𝒐𝒕 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = 𝟔 න 𝒄𝒐𝒕 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = 𝟔 ∙𝟏

𝟑න 𝟔 𝒄𝒐𝒕 𝟑𝒙 [𝟑]𝒅𝒙

න 𝟔 𝒄𝒐𝒕 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = 𝟐 𝒍𝒏 |𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙| + 𝑪


4. Integración por sustitución o cambio de variable

Del curso de cálculo diferencial sabes que para calcular derivadas de funciones compuestas se requiere la regla de la cadena. La integración por sustitución proporciona un método que permite reconocer cuándo un integrando es resultado de una derivada en la que se ha usado la regla de la cadena. Al utilizar el método de integración por sustitución o cambio de variable se requiere de

una integral de la forma ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 se convierta en otra de la forma ∫ 𝒈(𝒖) 𝒅𝒖, donde 𝒖

sustituye la derivada de dicha función interna.

Pasos para emplear la técnica de integración por sustitución.

1. Escoge una expresión para 𝒖. Una elección común es la expresión interior de una

función compuesta.

2. Calcula 𝒅𝒖 =𝒅𝒖

𝒅𝒙 𝒅𝒙.

3. Reemplaza todos los términos del integrando original con expresiones que

impliquen 𝒖 y 𝒅𝒖.

4. Calcula la integral resultante en función de 𝒖; si no puedes hacerlo, debes repetir

estos pasos pero con un valor diferente para 𝒖.

5. Sustituye todos los términos en 𝒖 de la antiderivada con la correspondiente

expresión en 𝒙.

Calcula las integrales indefinidas siguientes por el método de sustitución.

Ejemplo 1. ∫(𝟑𝒙 − 𝟒)𝟐 𝒅𝒙


𝒏+𝟏+ 𝑪

Datos

𝒖 = 𝟑𝒙 − 𝟒 𝒅𝒖 = 𝟑 𝒅𝒙

El diferencial 𝒅𝒖 = 𝟑 𝒅𝒙 está incompleto se procede a completar:

න(𝟑𝒙 − 𝟒)𝟐 𝒅𝒙 =𝟏

𝟑න(𝟑𝒙 − 𝟒)𝟐 [𝟑]𝒅𝒙


Se reemplazan todos los términos del integrando original con expresiones que

impliquen 𝒖 y 𝒅𝒖 (cambio de variable):

=𝟏

𝟑න 𝒖𝟐 𝒅𝒖

Se calcula la integral resultante en función de 𝑢:

=𝟏

𝟑∙

𝒖𝟐+𝟏

𝟐 + 𝟏+ 𝑪

=𝟏

𝟑∙

𝒖𝟑

𝟑+ 𝑪

=𝟏

𝟗𝒖𝟑 + 𝑪

Se sustituyen todos los términos en 𝒖 de la integral con la correspondiente

expresión en 𝒙:

=𝟏

𝟗(𝟑𝒙 − 𝟒)𝟑 + 𝑪

න(𝟑𝒙 − 𝟒)𝟐 𝒅𝒙 =𝟏

𝟗(𝟑𝒙 − 𝟒)𝟑 + 𝑪

Ejemplo 2. ∫ 𝒙√𝒙𝟐 − 𝟓 𝒅𝒙

Solución. Dado que se tiene una raíz se hace necesario expresar con exponente

fraccionario utilizando la ley de radicales √𝒙𝒎𝒏= 𝒙

𝒎

𝒏 :

න 𝒙√𝒙𝟐 − 𝟓 𝒅𝒙 = න 𝒙 (𝒙𝟐 − 𝟓)𝟏

𝟐 𝒅𝒙

Datos

𝒖 = 𝒙𝟐 − 𝟓


El diferencial 𝒅𝒖 = 𝟐𝒙 𝒅𝒙 está incompleto se procede a completar:

න 𝒙 (𝒙𝟐 − 𝟓)𝟏

𝟐 𝒅𝒙 =𝟏

𝟐න(𝒙𝟐 − 𝟓)

𝟏

𝟐 [𝟐]𝒙 𝒅𝒙

Se realiza el cambio de variable:

න 𝒙√𝒙𝟐 − 𝟓 𝒅𝒙 =𝟏

𝟐න 𝒖

𝟏

𝟐 𝒅𝒖


Se resuelve la integral, la fórmula a utilizar es: ∫ 𝒖𝒏𝒅𝒖 =𝒖𝒏+𝟏

𝒏+𝟏+ 𝑪:

=𝟏

𝟐∙

𝒖𝟏

𝟐+

𝟐

𝟐

𝟏

𝟐+

𝟐

𝟐

+ 𝑪

=𝟏

𝟐∙

𝒖𝟑

𝟐

𝟑

𝟐

+ 𝑪

Al dividir 1 entre 3

2 se tiene:

𝟏

𝟏𝟑

𝟐

=𝟏∗𝟐

𝟏∗𝟑=

𝟐

𝟑

=𝟏

𝟑𝒖

𝟑

𝟐 + 𝑪

Al usar la ley de radicales:

=𝟏

𝟑√𝒖𝟑 + 𝑪


expresión en 𝒙:

=𝟏

𝟑√(𝒙𝟐 − 𝟓)𝟑 + 𝑪

න 𝒙√𝒙𝟐 − 𝟓 𝒅𝒙 =𝟏

𝟑√(𝒙𝟐 − 𝟓)𝟑 + 𝑪


(𝟓−𝟒𝒙)𝟑

Solución. Primero se usa la ley del exponente negativo 𝒙−𝒏 =𝟏

𝒙𝒏 para que la potencia

(𝟓 − 𝟐𝒙)𝟑 pase al numerador con signo contrario, (𝟓 − 𝟐𝒙)−𝟑:

න𝒅𝒙

(𝟓 − 𝟒𝒙)𝟑= න(𝟓 − 𝟒𝒙)−𝟑𝒅𝒙

Datos

𝒖 = 𝟓 − 𝟒𝒙 𝒅𝒖 = −𝟒 𝒅𝒙


El diferencial 𝒅𝒖 = −𝟒 𝒅𝒙 está incompleto se procede a completar:

න𝒅𝒙

(𝟓 − 𝟒𝒙)𝟑 𝒅𝒙 = −

𝟏

𝟒 න(𝟓 − 𝟒𝒙)

−𝟑 [−𝟒] 𝒅𝒙

Se realiza el cambio de variable:

= −𝟏

𝟒 න 𝒖−𝟑 𝒅𝒖

Se resuelve la integral, la fórmula a utilizar es ∫ 𝒖𝒏𝒅𝒖 =𝒖𝒏+𝟏

𝒏+𝟏+ 𝑪:

= −𝟏

𝟒 ∙

𝒖−𝟑+𝟏

−𝟑 + 𝟏+ 𝑪

= −𝟏

𝟒 ∙

𝒖−𝟐

−𝟐+ 𝑪

Al realizar la multiplicación de fracciones: −1

4∗

1

−2= +

𝟏

𝟖

=𝟏

𝟖 𝒖−𝟐 + 𝑪

Al usar la ley del exponente negativo:

=𝟏

𝟖𝒖𝟐 + 𝑪


expresión en 𝒙:

=𝟏

𝟖(𝟓 − 𝟒𝒙)𝟐 + 𝑪

න𝒅𝒙

(𝟓 − 𝟒𝒙)𝟑 𝒅𝒙 =

𝟏

𝟖(𝟓 − 𝟒𝒙)𝟐 + 𝑪


Ejemplo 4. ∫𝒙 𝒅𝒙

𝟑𝒙𝟐−𝟏


𝒖= 𝒍𝒏 ǀ𝒖ǀ + 𝑪

Datos

𝒖 = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏 𝒅𝒖 = 𝟔𝒙 𝒅𝒙

El diferencial 𝒅𝒖 = 𝟔𝒙 𝒅𝒙 está incompleto se procede a completar:

න𝒙 𝒅𝒙

𝟑𝒙𝟐 − 𝟏 =

𝟏

𝟔න

[𝟔]𝒙 𝒅𝒙

𝟑𝒙𝟐 − 𝟏

Se realiza el cambio de variable y se resuelve la integral:

=𝟏

𝟔න

𝒅𝒖

𝒖

=𝟏

𝟔𝒍𝒏 ǀ𝒖ǀ + 𝑪


expresión en 𝒙:

=𝟏

𝟔𝒍𝒏 |𝟑𝒙𝟐 − 𝟏| + 𝑪

∫𝒙 𝒅𝒙

𝟑𝒙𝟐−𝟏 =

𝟏

𝟔 𝒍𝒏 |𝟑𝒙𝟐 − 𝟏| + 𝑪

Ejemplo 5. ∫ 𝒔𝒆𝒏 (𝟐𝒙𝟐 + 𝟑) 𝟓𝒙 𝒅𝒙

Solución. Se usa la fórmula ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝒖 𝒅𝒖 = −𝒄𝒐𝒔 𝒖 + 𝑪

Datos

𝒖 = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟑

𝒅𝒖 = 𝟒𝒙 𝒅𝒙

El diferencial 𝒅𝒖 = 𝟒𝒙 𝒅𝒙 está incompleto se procede a completar:

න 𝒔𝒆𝒏 (𝟐𝒙𝟐 + 𝟑) 𝟓𝒙 𝒅𝒙 = 𝟓 න 𝒔𝒆𝒏 (𝟐𝒙𝟐 + 𝟑) 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟓 ∙𝟏

𝟒න 𝒔𝒆𝒏 (𝟐𝒙𝟐 + 𝟑) [𝟒]𝒙 𝒅𝒙

Se realiza el cambio de variable y se resuelve la integral:


=𝟓

𝟒න 𝒔𝒆𝒏 𝒖 𝒅𝒖

=𝟓

𝟒∙ −𝒄𝒐𝒔 𝒖 + 𝑪 = −

𝟓

𝟒𝒄𝒐𝒔 𝒖 + 𝑪

Se sustituyen todos los términos en 𝒖 de la integral con la correspondiente expresión en 𝒙:

න 𝒔𝒆𝒏 (𝟐𝒙𝟐 + 𝟑) 𝟓𝒙 𝒅𝒙 = −𝟓

𝟒𝒄𝒐𝒔 (𝟐𝒙𝟐 + 𝟑) + 𝑪

𝟏. ∫(𝟐𝒙𝟐 − 𝟑)𝟑 𝒙 𝒅𝒙 Respuesta: (𝟐𝒙𝟐−𝟑)

𝟒

𝟏𝟔+ 𝑪

𝟐. ∫ 𝒙 √𝟑𝒙𝟐 + 𝟓 𝒅𝒙 Respuesta: 𝟏

𝟗√(𝟑𝒙𝟐 + 𝟓)𝟑 + 𝑪

𝟑. ∫𝒙𝟐

𝟑𝒙𝟑−𝟏𝒅𝒙 Respuesta:

𝟏

𝟗 𝒍𝒏 |𝟑𝒙𝟑 − 𝟏| + 𝑪

𝟒. ∫𝒅𝒙

𝟐−𝟔𝒙 Respuesta: −

𝟏

𝟔 𝒍𝒏 |𝟐 − 𝟔𝒙| + 𝑪

𝟓. ∫𝒙

(𝟐𝒙𝟐+𝟏)𝟒 𝒅𝒙 Respuesta: − 𝟏

𝟏𝟐 (𝟐𝒙𝟐+𝟏)𝟑 + 𝑪


Resuelve las siguientes integrales mediante el método de integración por

sustitución o cambio de variable.





Cumple

Si No




gObtengo la solución correcta.


5. Integración por partes

La integración por partes tiene por objeto calcular la función primitiva del producto de una función por la diferencial de otra función de la misma variable. Se basa en la fórmula de la derivada de un producto de dos funciones, vista en el curso de cálculo diferencial:

𝒅

𝒅𝒙(𝒖𝒗) = 𝒖. 𝒅𝒗 + 𝒗. 𝒅𝒖

Despejando el término 𝒖. 𝒅𝒗 queda:

𝒖. 𝒅𝒗 =𝒅

𝒅𝒙(𝒖𝒗) − 𝒗. 𝒅𝒖

Integrando ambos miembros de esta ecuación:

න 𝒖 𝒅𝒗 = න𝒅

𝒅𝒙(𝒖𝒗) − න 𝒗 𝒅𝒖

La integración es la operación inversa de la derivada:

න 𝒖 𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − න 𝒗 𝒅𝒖


Regla mnemotécnica: "un día vi una vaca vestida de uniforme".

La fórmula que se obtiene sugiere que el integrando sea separado en dos partes, 𝒖 y 𝒅𝒗 (junto con 𝒅𝒙); por eso se llama integración por partes. El primer paso importante es aplicar este proceso de integración es elegir correctamente dichos factores, por lo que se deben considerar los siguientes criterios:

La parte que se iguala a 𝒅𝒗 debe ser fácilmente integrable.

La ∫ 𝒗 𝒅𝒖, no debe ser más complicada que ∫ 𝒖 𝒅𝒗.

Desde un punto de vista didáctico se recomienda escoger la función 𝒖 de acuerdo con el orden, ayudándose de la regla nemotécnica "ILATE": El orden de jerarquía es:

1. Inversa trigonométrica.

2. Logarítmica.

3. Algebraica.

4. Trigonométrica.

5. Exponencial.

Calcula las integrales utilizando la integración por partes.

Ejemplo 1. ∫ 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙

De acuerdo al método de ILATE la función Algebraica tiene mayor prioridad que la

trigonométrica; por lo tanto, será 𝒖. Al desarrollar la integración por partes se elimina la constante de integración C (piensa por qué) y se escribe hasta finalizar el proceso de integración.

Se obtienen los datos 𝒖, 𝒅𝒖 y 𝒗:


Datos

𝒖 = 𝒙, se calcula su diferencial 𝒅𝒗 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙, se calcula su integral Diferencial Integral

𝒅𝒖 = 𝟏 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 𝒗 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙

Los datos obtenidos se sustituyen en la fórmula:

Se resuelve la integral ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = −𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝑪 y se sustituye:

= 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙 − (−𝒄𝒐𝒔 𝒙) + 𝑪

න 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝑪

Ejemplo 2. ∫ 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙

De acuerdo al método de ILATE la función algebraica tiene mayor prioridad que la

trigonométrica; por lo tanto, será 𝒖.


Datos

𝒖 = 𝒙 𝒅𝒗 = 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙 Diferencial Integral

𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙

Completar el diferencial 𝒗 =𝟏

𝟒∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙 [𝟒]𝒅𝒙

𝒗 = −𝟏

𝟒𝒄𝒐𝒔 𝟒𝒙


Los datos obtenidos se sustituyen en la fórmula y se realizan las operaciones

pertinentes:


න 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 (−𝟏

𝟒𝒄𝒐𝒔 𝟒𝒙) − න −

𝟏

𝟒𝒄𝒐𝒔 𝟒𝒙 𝒅𝒙

= −𝟏

𝟒𝒙 (𝒄𝒐𝒔 𝟒𝒙) − (−

𝟏

𝟒) න 𝒄𝒐𝒔 𝟒𝒙 𝒅𝒙

= −𝟏

𝟒𝒙 (𝒄𝒐𝒔 𝟒𝒙) +

𝟏

𝟒න 𝒄𝒐𝒔 𝟒𝒙 𝒅𝒙

Para resolver esta integral de la forma ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒖 𝒅𝒖 falta completar el diferencial

con 4, por lo que se agrega también fuera del integrando 𝟏

𝟒:

= −𝟏

𝟒𝒙 (𝒄𝒐𝒔 𝟒𝒙) +

𝟏

𝟒[𝟏

𝟒] න 𝒄𝒐𝒔 𝟒𝒙 [𝟒]𝒅𝒙

La expresión resultante tiene un integrando compuesto por una expresión

trigonométrica que se integra en forma directa:

න 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙 = −𝟏

𝟒𝒙 (𝒄𝒐𝒔 𝟒𝒙) +

𝟏

𝟏𝟔 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙 + 𝑪

La anterior respuesta se puede dejar así, también es posible factorizar para

obtener la expresión en su forma más simple:

න 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙 =𝟏

𝟒(−𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟒𝒙 +

𝟏

𝟒 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙) + 𝑪

Es posible ordenar para que el primer término de la respuesta no sea negativo:

න 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙 =𝟏

𝟒(

𝟏

𝟒 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙 − 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟒𝒙) + 𝑪

Ejemplo 3. ∫ 𝒙 𝒆𝒙 𝟐⁄ 𝒅𝒙

Se trata del producto de una expresión Algebraica con una Exponencial. De acuerdo al método de ILATE la función algebraica tiene mayor prioridad que la

exponencial; por lo tanto, será 𝒖.


𝒖: función Algebraica 𝒅𝒗: función Exponencial


Datos

𝒖 = 𝒙 𝒅𝒗 = 𝒆𝒙 𝟐⁄ 𝒅𝒙 Diferencial Integral

𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒆𝒙 𝟐⁄ 𝒅𝒙

Completar el diferencial 𝒗 = 𝟐 ∫ 𝒆𝒙 𝟐⁄ [𝟏

𝟐] 𝒅𝒙

𝒗 = 𝟐 𝒆𝒙 𝟐⁄



න 𝒙 𝒆𝒙 𝟐⁄ 𝒅𝒙 = 𝒙 (𝟐 𝒆𝒙 𝟐⁄ ) − න 𝟐 𝒆𝒙 𝟐⁄ 𝒅𝒙

න 𝒙 𝒆𝒙 𝟐⁄ 𝒅𝒙 = 𝟐𝒙 𝒆𝒙 𝟐⁄ − 𝟐 න 𝒆𝒙 𝟐⁄ 𝒅𝒙

Para resolver la integral ∫ 𝒆𝒙 𝟐⁄ falta completar el diferencial con 𝟏

𝟐, por lo que se

agrega también fuera del integrando un 2:

= 𝟐𝒙 𝒆𝒙 𝟐⁄ − 𝟐[𝟐] න 𝒆𝒙 𝟐⁄ [𝟏

𝟐] 𝒅𝒙

La expresión resultante se integra en forma directa, [𝟐] ∫ 𝒆𝒙 𝟐⁄ [𝟏

𝟐] 𝒅𝒙 = 𝟐𝒆𝒙 𝟐⁄ + 𝑪

= 𝟐𝒙 𝒆𝒙 𝟐⁄ − 𝟐(𝟐𝒆𝒙 𝟐⁄ ) + 𝑪

∫ 𝒙 𝒆𝒙 𝟐⁄ 𝒅𝒙 = 𝟐𝒙 𝒆𝒙 𝟐⁄ − 𝟒𝒆𝒙 𝟐⁄ + 𝑪

Es posible factorizar la respuesta anterior:

∫ 𝒙 𝒆𝒙 𝟐⁄ 𝒅𝒙 = 𝟐 𝒆𝒙 𝟐⁄ (𝒙 − 𝟐) + 𝑪


Ejemplo 4. ∫ 𝒙 𝒆−𝟐𝒙 𝒅𝒙

Se trata del producto de una expresión Algebraica con una Exponencial. De acuerdo al método de ILATE la función algebraica tiene mayor prioridad que la

exponencial; por lo tanto, será 𝒖. 𝒖: función Algebraica

𝒅𝒗: función Exponencial


Datos

𝒖 = 𝒙 𝒅𝒗 = 𝒆−𝟐𝒙 𝒅𝒙 Diferencial Integral

𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒆−𝟐𝒙 𝒅𝒙

Completar el diferencial 𝒗 = −𝟏

𝟐∫ 𝒆−𝟐𝒙 [−𝟐]𝒅𝒙

𝒗 = −𝟏

𝟐 𝒆−𝟐𝒙



න 𝒙 𝒆−𝟐𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 (−𝟏

𝟐 𝒆−𝟐𝒙) − න −

𝟏

𝟐 𝒆−𝟐𝒙 𝒅𝒙

= −𝟏

𝟐𝒙 𝒆−𝟐𝒙 +

𝟏

𝟐න 𝒆−𝟐𝒙 𝒅𝒙

Para resolver la integral ∫ 𝒆−𝒙 𝟐⁄ 𝒅𝒙 falta completar el diferencial con -2, por lo que

se agrega también fuera del integrando un −𝟏

𝟐:

= −𝟏

𝟐𝒙 𝒆−𝟐𝒙 +

𝟏

𝟐[−

𝟏

𝟐] න 𝒆−𝟐𝒙 [−𝟐]𝒅𝒙

La integral queda: [−𝟏

𝟐] ∫ 𝒆−𝟐𝒙 [−𝟐]𝒅𝒙 = −

𝟏

𝟐𝒆−𝟐𝒙 + 𝑪

= −𝟏

𝟐𝒙 𝒆−𝟐𝒙 +

𝟏

𝟐(−

𝟏

𝟐𝒆−𝟐𝒙) + 𝑪

න 𝒙 𝒆−𝟐𝒙 𝒅𝒙 = −𝟏

𝟐𝒙 𝒆−𝟐𝒙 −

𝟏

𝟒𝒆−𝟐𝒙 + 𝑪


Es posible factorizar la respuesta anterior:

න 𝒙 𝒆−𝟐𝒙 𝒅𝒙 = −𝟏

𝟐 𝒆−𝟐𝒙 (𝒙 +

𝟏

𝟐) + 𝑪

Recuerda: La fórmula para hallar la derivada de 𝒍𝒏 (𝒖) es 𝒅

𝒅𝒙𝒍𝒏 (𝒖) =

𝒖´

𝒖

Función Derivada

𝒇(𝒙) = 𝒍𝒏 𝒙

𝑢 = 𝑥 𝑢´ = 1

𝒇´(𝒙) = 𝒍𝒏 𝟏

𝒙

𝒇(𝒙) = 𝒍𝒏 𝟑𝒙 𝑢 = 3𝑥

𝑢´ = 3

𝒇´(𝒙) = 𝑙𝑛 3

3𝑥= 𝒍𝒏

𝟏

𝒙

𝒇(𝒙) = 𝒍𝒏 𝟓𝒙 𝑢 = 5𝑥

𝑢´ = 5

𝒇´(𝒙) = 𝑙𝑛 5

5𝑥= 𝒍𝒏

𝟏

𝒙

𝒇(𝒙) = 𝒍𝒏 𝒙𝟒

𝑢 = 𝑥4

𝑢´ = 4𝑥3

𝒇´(𝒙) = 𝑙𝑛 4𝑥3

𝑥4= 𝒍𝒏

𝟒

𝒙

𝒇(𝒙) = 𝒍𝒏 𝟐𝒙𝟑

𝑢 = 2𝑥3

𝑢´ = 6𝑥2

𝒇´(𝒙) = 𝑙𝑛 6𝑥2

2𝑥3= 𝒍𝒏

𝟑

𝒙

Ejemplo 5. ∫ 𝒍𝒏 𝟐𝒙 𝒅𝒙

Se trata del producto de una expresión Logarítmica con 𝒅𝒙 como parte Algebraica.

De acuerdo al método de ILATE la función Logarítmica tiene mayor prioridad que la

Algebraica; por lo tanto, será 𝒖:

𝒖: función Logarítmica 𝒅𝒗: función Algebraica


Datos

𝒖 = 𝒍𝒏 𝟐𝒙 𝒅𝒗 = 𝒅𝒙

Diferencial Integral

𝒅𝒖 =𝟐

𝟐𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒅𝒙

𝒅𝒖 =𝟏

𝒙 𝒅𝒙 𝒗 = 𝒙


Los datos obtenidos se sustituyen en la fórmula y se resuelve:


∫ 𝒍𝒏 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = 𝒍𝒏 𝟐𝒙(𝒙) − ∫ 𝒙 ∙𝟏

𝒙𝒅𝒙

= 𝒙 𝒍𝒏 |𝟐𝒙| − ∫𝒙

𝒙 𝒅𝒙

= 𝒙 𝒍𝒏 |𝟐𝒙| − ∫ 𝒅𝒙

Se resuelve la integral ∫ 𝒅𝒙 = 𝒙 + 𝑪 y se sustituye:

න 𝒍𝒏 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 𝒍𝒏 |𝟐𝒙| − 𝒙 + 𝑪

Se factoriza:

න 𝒍𝒏 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 (𝒍𝒏 |𝟐𝒙| − 𝟏) + 𝑪

𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 |𝒙| > 𝟎

Ejemplo 6. ∫ 𝟑𝒙 𝒍𝒏 𝒙 𝒅𝒙 Se trata del producto de una expresión Algebraica con una Logarítmica. De acuerdo al método de ILATE la función Logarítmica tiene mayor prioridad que la

Algebraica; por lo tanto, será 𝒖: 𝒖: función Logarítmica 𝒅𝒗: función Algebraica


Datos

𝒖 = 𝒍𝒏 𝒙 𝒅𝒗 = 𝟑𝒙 𝒅𝒙 Diferencial Integral

𝒅𝒖 =𝟏

𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝟑𝒙 𝒅𝒙

𝒗 =𝟑𝒙𝟐

𝟐




න 𝟑𝒙 𝒍𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒍𝒏 𝒙 (𝟑𝒙𝟐

𝟐) − න

𝟑𝒙𝟐

𝟐∙𝟏𝒙

𝒅𝒙

=𝟑𝒙𝟐

𝟐𝒍𝒏 |𝒙| − ∫

𝟑𝒙𝟐

𝟐𝒙 𝒅𝒙 Recuerda que en la división los

exponentes se restan.

=𝟑𝒙𝟐

𝟐𝒍𝒏 |𝒙| −

𝟑

𝟐න 𝒙 𝒅𝒙

Se resuelve la integral ∫ 𝒙 𝒅𝒙 =𝒙𝟐

𝟐+ 𝑪 y se sustituye:

=𝟑𝒙𝟐

𝟐𝒍𝒏 |𝒙| −

𝟑

𝟐(

𝒙𝟐

𝟐) + 𝑪

=𝟑𝒙𝟐

𝟐𝒍𝒏|𝒙| −

𝟑𝒙𝟐

𝟒+ 𝑪

Se factoriza:

න 𝟑𝒙 𝒍𝒏 𝒙 𝒅𝒙 =𝟑𝒙𝟐

𝟐(𝒍𝒏 |𝒙| −

𝟏

𝟐) + 𝑪 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 |𝒙| > 𝟎

Ejemplo 7. ∫ 𝒆𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒙 Se trata del producto de una expresión Exponencial con una Trigonométrica. De acuerdo al método de ILATE la función Trigonométrica tiene mayor prioridad que la

Exponencial; por lo tanto, será 𝒖:

𝒖: función Trigonométrica

𝒅𝒗: función Exponencial


Datos

𝒖 = 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒗 = 𝒆𝒙𝒅𝒙 Diferencial Integral

𝒅𝒖 = −𝟑 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒆𝒙𝒅𝒙 𝒗 = 𝒆𝒙




න 𝒆𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙(𝒆𝒙) − න 𝒆𝒙 ∙ −𝟑 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙

න 𝒆𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝒙𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 + 𝟑 න 𝒆𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙

Se aplica de nuevo la fórmula de integración por partes para resolver la integral

∫ 𝒆𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙, para ello se identifican los argumentos del nuevo integrando y se

sustituyen en la fórmula:

𝒖𝟏 = 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒗𝟏 = 𝒆𝒙𝒅𝒙


𝒅𝒖𝟏 = 𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒗𝟏 = ∫ 𝒆𝒙𝒅𝒙 𝒗𝟏 = 𝒆𝒙

න 𝒖𝟏 𝒅𝒗𝟏 = 𝒖𝟏𝒗𝟏 − න 𝒗𝟏 𝒅𝒖𝟏

න 𝒆𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙 (𝒆𝒙) − න 𝒆𝒙 ∙ 𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒙

El resultado de la segunda integración se sustituye en la primera integración:

න 𝒆𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝒙𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 + 𝟑 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙 (𝒆𝒙) − න 𝒆𝒙 ∙ 𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒙

න 𝒆𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝒙𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 + 𝟑 𝒆𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙 − 𝟑 න 𝒆𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒙

Se observa que se obtuvo de nuevo la integral original ∫ 𝒆𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒙 por lo que, se

traspone al lado izquierdo de la ecuación con su operación contraria (como está restando

se traspone sumando) y se realiza la suma:

Primera

integración


න 𝒆𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒙 + 𝟑 න 𝒆𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝒙𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 + 𝟑 𝒆𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙 + 𝑪

𝟒 න 𝒆𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝒙𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 + 𝟑𝒆𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙 + 𝑪

El 4 que está multiplicando se traspone dividiendo al lado derecho de la ecuación:

න 𝒆𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒙 =𝒆𝒙𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 + 𝟑 𝒆𝒙𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙

𝟒+ 𝑪

න 𝒆𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒙 =𝟏

𝟒(𝒆𝒙𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 + 𝟑𝒆𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙) + 𝑪

Se factoriza:

න 𝒆𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒙 =𝟏

𝟒𝒆𝒙(𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 + 𝟑 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙) + 𝑪

Ejemplo 8. ∫ 𝒙𝟐 𝒆𝟑𝒙 𝒅𝒙 Se trata del producto de una expresión Algebraica con una Exponencial. De acuerdo al método de ILATE la función Algebraica tiene mayor prioridad que la

Exponencial; por lo tanto, será 𝒖:

Sea 𝒖 = 𝒙𝟐 , y 𝒅𝒗 = 𝒆𝟑𝒙𝒅𝒙; luego: Datos

𝒖 = 𝒙𝟐 𝒅𝒗 = 𝒆𝟑𝒙𝒅𝒙


𝒅𝒖 = 𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒆𝟑𝒙𝒅𝒙

Completar el diferencial 𝒗 =𝟏

𝟑∫ 𝒆𝟑𝒙 [𝟑]𝒅𝒙

𝒗 =𝟏

𝟑𝒆

𝟑𝒙




න 𝒙𝟐 𝒆𝟑𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙𝟐 (𝟏

𝟑𝒆𝟑𝒙) − න

𝟏

𝟑𝒆𝟑𝒙(𝟐𝒙 𝒅𝒙)

(𝟏

𝟑) (𝟐𝒙 ) =

𝟐

𝟑𝒙

න 𝒙𝟐 𝒆𝟑𝒙 𝒅𝒙 =𝟏

𝟑𝒙𝟐𝒆𝟑𝒙 −

𝟐

𝟑න 𝒙 𝒆𝟑𝒙 𝒅𝒙

Se aplica de nuevo la fórmula de integración por partes para resolver la integral

∫ 𝒙 𝒆𝟑𝒙 𝒅𝒙, para ello se identifican los argumentos del nuevo integrando:

𝒖𝟏 = 𝒙 𝒅𝒗𝟏 = 𝒆𝟑𝒙𝒅𝒙


𝒅𝒖𝟏 = 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒗𝟏 = ∫ 𝒆𝟑𝒙𝒅𝒙

𝒗𝟏 =𝟏

𝟑𝒆𝟑𝒙

න 𝒖𝟏 𝒅𝒗𝟏 = 𝒖𝟏𝒗𝟏 − න 𝒗𝟏 𝒅𝒖𝟏

න 𝒙 𝒆𝟑𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 (𝟏

𝟑𝒆𝟑𝒙) − න

𝟏

𝟑𝒆𝟑𝒙 𝒅𝒙

=𝟏

𝟑𝒙 𝒆𝟑𝒙 −

𝟏

𝟑න 𝒆𝟑𝒙 𝒅𝒙

Se integra∫ 𝒆𝟑𝒙 𝒅𝒙 =𝟏

𝟑𝒆𝟑𝒙

=𝟏

𝟑𝒙 𝒆𝟑𝒙 −

𝟏

𝟑(

𝟏

𝟑𝒆𝟑𝒙)

න 𝒙 𝒆𝟑𝒙 𝒅𝒙 =𝟏

𝟑𝒙 𝒆𝟑𝒙 −

𝟏

𝟗𝒆𝟑𝒙

Se sustituye la segunda integración∫ 𝒙 𝒆𝟑𝒙 𝒅𝒙 =𝟏

𝟑𝒙 𝒆𝟑𝒙 −

𝟏

𝟗𝒆𝟑𝒙 en el resultado de

la primera integración y se resuelve:


𝟑𝒙𝟐𝒆𝟑𝒙 −

𝟐

𝟑න 𝒙 𝒆𝟑𝒙 𝒅𝒙

=𝟏

𝟑𝒙𝟐𝒆𝟑𝒙 −

𝟐

𝟑(

𝟏

𝟑𝒙 𝒆𝟑𝒙 −

𝟏

𝟗𝒆𝟑𝒙) + 𝑪

=𝟏

𝟑𝒙𝟐𝒆𝟑𝒙 −

𝟐

𝟗𝒙 𝒆𝟑𝒙 +

𝟐

𝟐𝟕𝒆𝟑𝒙 + 𝑪

Primera

integración


Se observa que el resultado tiene un término común [𝟏

𝟑𝒆𝟑𝒙] por lo que, se factoriza:


𝟑𝒙𝟐𝒆𝟑𝒙 −

𝟐

𝟗𝒙 𝒆𝟑𝒙 +

𝟐

𝟐𝟕𝒆𝟑𝒙 + 𝑪

∫ 𝒙𝟐 𝒆𝟑𝒙 𝒅𝒙 =𝟏

𝟑𝒆𝟑𝒙 (𝒙𝟐 −

𝟐

𝟑𝒙 +

𝟐

𝟗) + 𝑪


𝟏. ∫ 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟖𝒙 𝒅𝒙 Respuesta: −𝟏

𝟖𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟖𝒙 +

𝟏

𝟔𝟒 𝒔𝒆𝒏 𝟖𝒙 + 𝑪

𝟐. ∫ 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟏

𝟐𝒙 𝒅𝒙 Respuesta: 𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒏

𝟏

𝟐𝒙 + 𝟒 𝒄𝒐𝒔

𝟏

𝟐𝒙 + 𝑪

𝟑. ∫ 𝒙 𝒆𝟐𝒙 𝒅𝒙 Respuesta: 𝟏

𝟐𝒆𝟐𝒙 (𝒙 −

𝟏

𝟐) + 𝑪


Calcula las integrales indefinidas mediante el método de

integración por partes.


𝟒. ∫ 𝒙𝟐 𝒍𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙 Respuesta: 𝟏

𝟑𝒙𝟑 (𝒍𝒏 𝟑𝒙 −

𝟏

𝟑) + 𝑪

𝟓. ∫ 𝒙𝟐 𝒆−𝟑𝒙 𝒅𝒙 Respuesta: −𝟏

𝟑𝒆−𝟑𝒙 (𝒙𝟐 +

𝟐

𝟑𝒙 +

𝟐

𝟗) + 𝑪




Cumple

Si No







Actividad de aprendizaje 1

Calcula las integrales indefinidas de funciones algebraicas.

𝟏. න(𝟐𝒙 + 𝟑) 𝒅𝒙

𝟐. න 𝟓√𝒙𝟑

𝒅𝒙 =

𝟑. න𝟐

𝒙𝟒 𝒅𝒙

𝟒. න(𝟓𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 + 𝟐) 𝒅𝒙

𝟓. න(𝟏𝟎𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟒) 𝒅𝒙


𝟔. න (𝟐𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝒙

𝒙) 𝒅𝒙

𝟕. න(𝟖𝒙𝟒 + 𝟒𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟓) 𝒅𝒙

𝟖. න(𝟑𝒙 − 𝟓)𝟐

𝟑

𝟗. න𝒅𝒙

𝟐𝒙 + 𝟓𝒅𝒙

𝟏𝟎. න𝒅𝒙

𝟏 − 𝟑𝒙



Resuelve las siguientes integrales indefinidas de funciones trigonométricas.

𝟏. න 𝟑 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝒅𝒙

𝟐. න 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙

𝟑. න 𝒄𝒐𝒔 𝟕𝒙 𝒅𝒙

𝟒. න 𝒔𝒆𝒄 𝟑𝒙 𝒅𝒙

𝟓. න 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝟒

𝟑𝒙 𝒅𝒙


𝟔. න 𝒄𝒔𝒄 (𝟓𝒙 ) 𝒄𝒐𝒕 (𝟓𝒙) 𝒅𝒙

𝟕. න 𝒔𝒆𝒏 (𝟐 − 𝟔𝒙) 𝒅𝒙

𝟖. න 𝒙 𝒄𝒐𝒔 (𝟒𝒙𝟐 + 𝟏) 𝒅𝒙

𝟗. න 𝒄𝒔𝒄𝟐 (𝟏 − 𝟗𝒙) 𝒅𝒙

𝟏𝟎. න 𝒔𝒆𝒄 (𝟐𝒙) 𝐭𝐚𝐧(𝟐𝒙) 𝒅𝒙



Calcula las integrales indefinidas mediante el método de integración por

Sustitución o cambio de variable.

𝟏. න𝒙 𝒅𝒙

𝒙𝟐 − 𝟗

𝟐. න 𝒅𝒙

(𝟐𝒙 − 𝟏)𝟑

𝟑. න 𝒆𝟓𝒙+𝟏 𝒅𝒙

𝟒. න √(𝒙𝟐 + 𝟏) 𝒙 𝒅𝒙

𝟓. න 𝒄𝒐𝒔 (𝟐 − 𝟕𝒙) 𝒅𝒙


𝟔. න𝒙 𝒅𝒙

𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟔

𝟕. න(𝟐𝒙 + 𝟕)𝟑 𝒙 𝒅𝒙

𝟖. න𝒅𝒙

𝟑 − 𝟒𝒙

𝟗. න 𝒆𝟑𝒙𝟐𝒙 𝒅𝒙

𝟏𝟎. න𝒅𝒙

(𝒙 + 𝟒)𝟓



Calcula las integrales indefinidas mediante el método de integración por partes.

𝟏. න 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 𝒅𝒙

𝟐. න 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙

𝟐 𝒅𝒙

𝟑. න 𝒙 𝒆𝟒𝒙 𝒅𝒙


𝟒. න 𝒙𝟑 𝒍𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙

𝟓. න 𝒙𝟐 𝒆−𝟑𝒙 𝒅𝒙


INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN ESCALA DE VALORES CÁLCULO INTEGRAL

NOMBRE DEL ALUMNO:

CARRERA: PARCIAL: PRIMERO

CICLO ESCOLAR 2021-2022

SEMESTRE:

GRUPO:

APRENDIZAJE ESPERADO: AE1, AE2

PRODUCTOS ESPERADOS: Ejercicios de integrales algebraicas y trigonométricas.

PLAN DE EVALUACIÓN

NOMBRE TIPO MOMENTO PONDERACIÓN

EJERCICIOS SUMATIVA HETEROEVALUACIÓN 50%

CRITERIOS A EVALUAR

NO CUMPLE

CUMPLE PARCIALMENTE

CUMPLE MAYORMENTE

SÍ CUMPLE

OBSERVACIONES: Puntaje asignado

0 1 1.5 2

1. Realiza las operaciones utilizando las propiedades aritméticas y algebraicas correspondientes.

2. Calcula correctamente todas las antiderivadas de funciones algebraicas.

3. Calcula correctamente todas las integrales de funciones trigonométricas.

4. Resuelve todos los ejercicios solicitados.

5. Entrega los productos esperados a tiempo, de forma clara y entendible.

PUNTAJE OBTENIDO POR NIVEL DE CUMPLIMIENTO:

CALIFICACIÓN FINAL:

COMPETENCIAS GENÉRICAS:

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 4.1. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.

4.5 Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y expresar ideas. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

NOMBRE Y FIRMA DE QUIEN EVALÚA


INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN

ESCALA DE VALORES CÁLCULO INTEGRAL

NOMBRE DEL ALUMNO:

CARRERA: PARCIAL: PRIMERO

CICLO ESCOLAR 2021-2022

SEMESTRE:

GRUPO:

APRENDIZAJE ESPERADO: AE3, AE4

PRODUCTOS ESPERADOS: Ejercicios de integrales por los métodos de integración por sustitución y por partes.

PLAN DE EVALUACIÓN

NOMBRE TIPO MOMENTO PONDERACIÓN

EJERCICIOS SUMATIVA HETEROEVALUACIÓN 50%

CRITERIOS A EVALUAR

NO CUMPLE

CUMPLE PARCIALMENTE

CUMPLE MAYORMENTE

SÍ CUMPLE

OBSERVACIONES: Puntaje asignado

0 1 1.5 2

1. Realiza las operaciones utilizando las propiedades aritméticas y algebraicas correspondientes.

2. Calcula correctamente todas las integrales por el método de integración por sustitución.

3. Calcula correctamente todas las integrales por el método de integración por partes.

4. Resuelve todos los ejercicios solicitados.

5. Entrega los productos esperados a tiempo, de forma clara y entendible.

PUNTAJE OBTENIDO POR NIVEL DE CUMPLIMIENTO:

CALIFICACIÓN FINAL:

COMPETENCIAS GENÉRICAS:

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 4.1. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.

4.5 Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y expresar ideas. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

NOMBRE Y FIRMA DE QUIEN EVALÚA


REFERENCIAS

Libros

Cuéllar, J. (2013). Matemáticas VI. Ed. Mc Graw Hill. México. Jiménez, R. (2011). Matemáticas VI. Cálculo Integral. Pearson Educación. México. Sánchez, O (2019). Cálculo integral, ed. KeepReading. México.

Artículos de la web Budnick (2007). Cálculo integral: una introducción. Recuperado de https://eva.fcs.edu.uy/pluginfile.php/89331/mod_folder/content/0/BUDNICK%20%282007%29_Cap%2018a.pdf?forcedownload=1 Martínez, E. (2001). Integral definida. Ministerio de educación, Cultura y Deporte. Recuperado de http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Integral_indefinida/indice.htm Vázquez, O (s.f). Integración por partes. Recuperado de https://repository.uaeh.edu.mx/bitstream/bitstream/handle/123456789/19717/integracion-partes.pdf?sequence=1&isAllowed=y Material adicional Llopis, J. (s.f). Integración por partes: ejercicios resueltos. Disponible en https://www.matesfacil.com/resueltos-integracion-por-partes.htm Rondero, L. (2010). Cálculo integral: solución de problemas propuestos en guías y problemas especiales. Disponible en https://www.ipn.mx/assets/files/cecyt11/docs/Guias/UABasicas/Matematicas/calculo-integral-solucion-de-problemas.PDF

https://eva.fcs.edu.uy/pluginfile.php/89331/mod_folder/content/0/BUDNICK%20%282007%29_Cap%2018a.pdf?forcedownload=1

https://eva.fcs.edu.uy/pluginfile.php/89331/mod_folder/content/0/BUDNICK%20%282007%29_Cap%2018a.pdf?forcedownload=1

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Integral_indefinida/indice.htm

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Integral_indefinida/indice.htm

https://repository.uaeh.edu.mx/bitstream/bitstream/handle/123456789/19717/integracion-partes.pdf?sequence=1&isAllowed=y

https://repository.uaeh.edu.mx/bitstream/bitstream/handle/123456789/19717/integracion-partes.pdf?sequence=1&isAllowed=y

https://www.matesfacil.com/resueltos-integracion-por-partes.htm

https://www.ipn.mx/assets/files/cecyt11/docs/Guias/UABasicas/Matematicas/calculo-integral-solucion-de-problemas.PDF

https://www.ipn.mx/assets/files/cecyt11/docs/Guias/UABasicas/Matematicas/calculo-integral-solucion-de-problemas.PDF

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