Libro Estructura

Estructuras Discretas _______________________________________________________________________

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Lgica Objetivos

Al terminar el estudio de este captulo el alumno ser capaz de:

1. Establecer el valor de verdad de los enunciados lgicos. 2. Utilizar las reglas de inferencia, para determinar la conclusin o la consistencia

interna del razonamiento. 3. Manipular algebraicamente expresiones lgicas que permitan su aplicacin

tecnolgica. 4. Conocer las propiedades formales de la lgica y sus manipulaciones.


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Objetivos Especficos

1. Aprender las operaciones o conectivas lgicas: conjuncin, disyuncin, disyuncin exclusiva, implicacin y equivalencia.

2. Elaborar tablas de verdad de enunciados o expresiones lgicas. 3. Tener fluidez en el uso de formalismos lgicos y la manipulacin de formulas.

Esto es de gran inters, tanto en cuanto a los lenguajes de programacin pueden considerarse sistemas formales y sus instrucciones formales.

4. Determinar la conclusin de un grupo dado de premisas observando las leyes de inferencia lgica.

5. Utilizar los conceptos y reglas de la teora para resolver problemas lgicos reales. 6. Utilizar las propiedades de los operadores lgicos para trasformar los enunciados

en expresiones lgicas adecuadas para el diseo y programacin de computadores, esto es, transformar las sentencias en solo conjunciones o solo disyunciones.

LOGICA

Las personas constantemente tomamos decisiones acerca de lo que creemos que es verdadero en distintos aspectos de nuestras vidas. Aunque todo el mundo est de acuerdo en preferir creer lo que es verdad, con frecuencia discrepamos sobre lo que es verdadero en casos particulares. Si bien muchas de nuestras convicciones fundamentales sobre el mundo que nos rodea las adquirimos de cualquier manera en lugar de mediante el uso de la razn, todos reconocemos que nuestras creencias sobre el mundo y los hechos que acaecen en el mismo mundo estn de algn modo ligadas.

Por ejemplo, si yo creo que todos los perros son mamferos y que todos los mamferos son seres racionales, entonces tendra sentido para m suponer

La Lgica es un trmino que deriva del griego logos, que significa razn.

La razn es la facultad en virtud de la cual el ser humano es capaz de identificar conceptos, cuestionarlos, hallar coherencia o contradiccin entre ellos y as inducir o deducir otros distintos de los

que ya conoce.


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que todos los perros son seres racionales. En este caso, incluso quien (acertadamente) discrepara con mi comprensin de las clasificaciones biolgicas podra apreciar la forma consistente y razonable en que he utilizado mis creencias errneas como base sobre la que establecer nuevas creencias. Por otra parte, si llego a la conclusin de que Alonso Quijano es espaol porque creo que Alonso Quijano es un personaje de Jos Zorrilla, y que algunos espaoles son personajes de Jos Zorrilla, entonces incluso alguien que est de acuerdo con mi conclusin me reprochar (de nuevo acertadamente) no haber dado buenas razones para apoyarla.

En conclusin, podemos estar de acuerdo con el camino que sigue un razonamiento aunque discrepemos de sus puntos de partida y de llegada. Es decir, es posible distinguir los razonamientos vlidos de los invlidos independientemente de que estemos o no de acuerdo con el contenido que expresen dichos razonamientos. Dicho de forma muy simple, la lgica es la disciplina que estudia esta distincin determinando las condiciones bajo las cuales la verdad de ciertas creencias conduce con certeza a la verdad de alguna otra creencia. La lgica estudia, pues, los principios de los razonamientos correctos.

Hay que apresurarse a sealar que la lgica no garantiza que siempre lleguemos a

conclusiones verdaderas, ya que algunas veces las creencias de las que partimos son

errneas (como suponer que todos los mamferos son seres racionales, en el ejemplo

anterior). Lo que s garantiza la lgica es que siguiendo los principios de los

razonamientos correctos, no surjan otros errores aparte de los errores derivados de la

posible falsedad de los conocimientos que sustancian nuestros razonamientos.

PROPOSICIONES O ENUNCIADOS LOGICOS

Una proposicin o enunciado es el significado de

cualquier frase declarativa (o enunciativa) que pueda ser o

verdadera (V) o falsa (F). Nos referimos a V o a F como los

valores de verdad del enunciado.

Algunos enunciados son

enunciados compuestos, es

decir, estn integrados por

subenunciados y varias

conectivas.


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A las proposiciones o enunciados se les puede asignar inequvocamente uno de los dos

valores de verdad: 1 si es verdadera, o 0 si es falsa. Por este motivo se le

denomina lgica bivalente o lgica binaria, porque solo tiene dos categoras de

clasificacin: las proposiciones verdaderas (1) y las proposiciones falsas (0).

Ejemplos

La frase "1=1" es un enunciado, puesto que puede ser verdadero o falso. Como resulta que es un enunciado verdadero, su valor de verdad es V.

La frase "1=0" tambin es un enunciado, pero su valor de verdad es F. "Llover maana" es una proposicin. Para conocer su valor de verdad habr

que esperar hasta maana. El siguiente enunciado podra salir de la boca de un enfermo mental: "Si soy

Napolen, entonces no soy Napolen". Este enunciado, como veremos ms adelante, equivale al enunciado "No soy Napolen". Como el hablante no es Napolen, es un enunciado verdadero.

"Haz los ejercicios de lgica" no es un enunciado, puesto que no se le puede asignar ningn valor de verdad (Est en modo imperativo, es una orden, y no una frase declarativa)

"Haz el amor y no la guerra" tampoco es un enunciado, puesto que no se le puede asignar ningn valor de verdad (Tambin est en modo imperativo, es una orden, y no una frase declarativa)

"El perro" no es una proposicin, puesto que no es ni siquiera una frase completa (al menos en este contexto).

Las rosas son rojas y las violetas azules, es un enunciado compuesto por los subenunciados Las rosas son rojas y las violetas azules

El es inteligente o estudia todas las noches es, implcitamente, un enunciado compuesto por los subenunciados El es inteligente y estudia todas las noches

Para dnde va?, no es un enunciado ya que no es verdadero ni falso. 15 es divisible por 7, el valor de verdad es 0 , o sea falso X + 2 = 5, es una ecuacin que adquiere su valor de verdad o falsedad cuando a

X se le asignen diferentes valores; por tal razn se denomina una proposicin condicional.


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Si un triangulo es equiltero, entonces es issceles; es una proposicin compuesta llamada implicacin.

( X + Y) ( X Y ) = X2 + Y2 , es una identidad que puede considerarse como una proposicin siempre verdadera.

Los enunciados son diferentes de las oraciones que los contienen. As, "Fulanito ama a

Menganita" expresa exactamente la misma proposicin que "Menganita es amada por

Fulanito".

En los enunciados lo esencial es el significado de la frase enunciativa.

Las proposiciones pueden ser simples o compuestas. Para designarlas se emplean

letras latinas minsculas: p, q, r, s, etc.

Ejemplo:

p: Yo soy un hondureo

q: Las rosas son rojas

LA NEGACION (NOT)

Podemos formar nuevas proposiciones a partir de otras de muchas maneras

diferentes. Por ejemplo, a partir de p: "Yo soy un hondureo", podemos formar la

negacin de p: "No es el caso de que yo sea hondureo", o ms sencillamente "No soy

hondureo".

Para negar una proposicin simple se emplea el smbolo ~. De tal forma que ~p (que

se lee no p), y es tal que, si p es verdadera (1), ~p ser falsa (0) y viceversa. El

operador negacin tambin se denomina NOT.


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Tabla de Verdad

p ~p

0 1

1 0

Ejemplo:

Escriba la negacin de las siguientes proposiciones

p: Hay vida en la luna

~p: No hay vida en la luna

p: Los elefantes le temen a los ratones

~p: Los elefantes no le temen a los ratones

p: Frankenstein arrasa en Operacin Triunfo

~p: Frankenstein no arrasa en Operacin Triunfo

La Ley de la Doble Negacin

Qu es lo que sucedera se nos propusiramos negar una negacin? En forma simblica, qu sucede si nos proponemos negar la expresin ~p? Evidentemente, tendramos la expresin ~(~p), que es lo mismo que ~~p.

Y qu ocurrira si negsemos una doble negacin? Es decir, ~(~~p), o lo que es lo

mismo: ~~~p. En este caso, simplemente aplicando la definicin de la negacin

llegamos a la conclusin de que ~(~~p)=~p

Fjese bien en esto:

Cuando el nmero de negaciones de un enunciado es par, el valor de verdad de dicho enunciado es el original de la proposicin, y cuando es impar, es la negacin del enunciado original, como muestra el siguiente esquema:


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~~p = p ~~~~p = ~ p ~~~~p = p ~~~~~p = ~ p ~~~~~~p = p etctera

PROPOSICIONES COMPUESTAS

Las proposiciones compuestas bsicas son:

La conjuncin

La disyuncin

La disyuncin exclusiva

La implicacin

La equivalencia

LA CONJUNCION (AND)

Hay otras maneras de formar nuevas proposiciones a partir de otras. Si tenemos, por ejemplo, p: "Soy gordo", y q: "T eres inteligente", podemos formar el siguiente enunciado: "Soy gordo y t eres inteligente". Este nuevo enunciado se puede representar con p q, que se lee "p y q".

La conjuncin de dos proposiciones simples p q es verdadera si ambas proposiciones son verdaderas. La conjuncin ( ), es una conectiva lgica que se denomina operador lgico AND y representa el producto lgico.

p q p q

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Para que la expresin p q

sea verdadera, tanto p como

q deben ser verdaderas.


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Observe que la tabla de verdad para dos proposiciones simples tiene cuatro renglones que contienen todas las probabilidades o alternativas de combinacin de los valores de verdad de las proposiciones simples.

Ejemplo:

Desarrolla la tabla de verdad de las siguientes proposiciones compuestas y escrbala en lenguaje natural

p: Aquiles corre veloz q: La tortuga no corre velozmente

1. p q Aquiles corre veloz y la tortuga no corre velozmente. 2. ~p q Ni Aquiles ni la tortuga corren velozmente. 3. ~p ~ q Aquiles no corre velozmente y la tortuga corre velozmente.

p q ~p ~q p q ~p q ~p ~q

0 0 1 1 0 0 1

0 1 1 0 0 1 0

1 0 0 1 0 0 0

1 1 0 0 1 0 0

La Disyuncin (OR)

La disyuncin de las proposiciones simples p V q que se lee: p o q es falsa si ambas proposiciones son falsas y verdadera en el resto de los casos. El operador lgico disyuncin tambin se denomina OR y representa la suma lgica.

p q p V q

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Si n es el nmero de proposiciones sim-

ples, entonces la tabla de verdad de la

expresin lgica tendr 2n renglones, en

los que aparecen todas las posibles y

diferentes combinaciones de valor de

verdad de las proposiciones simples.


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Ejemplo: 1. Sea p: 3 es un numero primo y q: 12 es divisible por 3

p q: 3 es un numero primo y 12 es divisible por 3 p V q: 3 es numero primo o 12 es divisible por 3

2. Sea p: Hay un error en el programa y q: La entrada es errnea p V q Hay un error en el programa o la entrada es errnea

La Disyuncin exclusiva (XOR)

La disyuncin exclusiva , llamada XOR: exclusive OR, (que se lee p o q, pero no

ambas) es verdadera solo en el caso en que las dos proposiciones tengan diferente valor de verdad. Es decir si una es verdadera y la otra es falsa y viceversa.

p q p q

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

La palabra o tiene dos significados diferentes. En la oracin El estudiara en la Universidad Nacional o en la Universidad Catlica. La presuncin es que puede estar en una u otra pero no en ambas. De este modo el o se utiliza en el sentido llamado disyuncin exclusiva. Por otra parte la afirmacin Hay un error en el programa o la entrada es errnea no excluye ninguna de las dos probabilidades un error y una entrada errnea.

La Implicacin

En la implicacin el primer trmino se denomina antecedente o hiptesis y el segundo consecuente o tesis. La implicacin es falsa si el antecedente es verdadero y el


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consecuente es falso. La implicacin no tiene denominacin especial como los casos anteriores (NOT, AND, OR, y XOR) pero puede expresarse en funcin de estos.

La implicacin es una conectiva lgica que se notara con una flecha

p q se lee p implica q, p entonces q, p es suficiente para q, o tambin, q es

necesario para p.

p q p q

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

Es natural que de un antecedente verdadero se concluya o derive un consecuente verdadero y que no se pueda deducir un consecuente falso de un antecedente verdadero, aunque resulte un poco extrao, resultan implicaciones verdaderas partiendo de antecedentes falsos.

Ejemplos: 1. Sea p: -1 = 1 q: (-1)2 = (1)2

p es un antecedente falso q es consecuente verdadero p q: -1=1 (-1)2 = (1)2 , es una implicacin verdadera.

2. Si p: -1 = 1 antecedente falso

si q: -3 = 3 consecuente falso


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p q: -1 = 1 -3 = 3, es una implicacin verdadera.

Las implicaciones tambin reciben el nombre de teoremas, pueden ser de cuatro formas:

1. Implicacin directa p q

2. Implicacin contraria q p

3. Implicacin reciproca ~p ~q

4. Implicacin contrareciproca ~q ~p

p q ~p ~q p q q p ~p ~q ~q ~p

0 0 1 1 1 1 1 1

0 1 1 0 1 0 0 1

1 0 0 1 0 1 1 0

1 1 0 0 1 1 1 1

Ejemplo: Sean las proposiciones p: , , son ngulos interiores de un triangulo, entonces + + = ( es la medida del ngulo plano en radianes) entonces las implicaciones sern: Directa: p q: Si , , son ngulos internos de un triangulo, entonces

+ + = . Contraria: q p: Si + + = ,

entonces , , son ngulos internos de un triangulo. Reciproca: ~p ~q Si , , no son ngulos internos de un triangulo, entonces


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+ + . Contrareciproca: ~q ~p Si + + ,

entonces , , no son ngulos internos de un triangulo. Las tablas de verdad de las implicaciones directa y contrareciproca, y de la contraria y reciproca son iguales, por tanto estas implicaciones son equivalentes ( ); es decir:

1. (p q) ( ~q ~p)

2. (q p) ( ~p ~q)

Cuando una implicacin directa es verdadera y lo es adems la implicacin contraria, las proposiciones son equivalentes ( ).

Si tanto p q como q p, entonces, p q, es decir:

[(p q) (q p)] (p q)

La Equivalencia La equivalencia es una conectiva lgica. p q, que se lee:

p entonces q p si y solo q p es necesario y suficiente para q

La equivalencia es verdadera si ambas proposiciones son verdaderas o si ambas son falsas, es decir:


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p q p q

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Con estas cinco conectivas lgicas bsicas se construyen proposiciones compuestas que pueden ser tautolgicas, contradicciones o contingencias. Si la tabla de verdad de la proposicin es siempre verdadera, independientemente de la verdad o falsedad de las proposiciones simples, entonces la expresin es tautolgica. Si la tabla de verdad es siempre falsa, ser una contradiccin; si es verdadera y falsa, la proposicin es una contingencia. Las tautologas son identidades lgicas, es decir, siempre verdaderas; mientras que las contingencias son ecuaciones lgicas, las cuales adquieren su valor de verdad para determinadas combinaciones de valores de verdad de las proposiciones simples. Ejemplos:

La siguiente es una tautologa usada para transformar una implicacin en una expresin equivalente (p q) ~ (p ~q), cuya tabla de verdad es:

p q ~q p q p ~q ~( )

0 0 1 1 0 1 1

0 1 0 1 0 1 1

1 0 1 0 1 0 1

1 1 0 1 0 1 1


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El hecho de que esta equivalencia resulte siempre verdadera la hace tautolgica y puede, para efectos de la operacin del algebra de proposiciones, sustituir la implicacin por su expresin equivalente.

Determine que tipo de expresin lgica es la siguiente: (p q) ~ (~p q)

p q ~p p q ~p q ~( )

0 0 1 1 1 0 0

0 1 1 1 1 0 0

1 0 0 0 0 1 0

1 1 0 1 1 0 0

La expresin lgica anterior es una contradiccin. Para realizar las tablas de verdad de proposiciones compuestas, de tres simples, se deben construir ocho renglones para cada una de las combinaciones de verdad y falsedad. Ejemplo:

Haciendo: s =

t =


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La proposicin anterior es una tautologa Que tipo de proposicin compuesta es la siguiente

Haciendo: s =

t =

p q r ~q ~r q

r

~ s t

0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1

0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1

0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1

0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1

1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1

1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1

1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1

1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1

p q r ~p ~q ~r

s ~s t ~t

0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0

0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0

0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0

0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1

1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1


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La proposicin anterior es una contingencia.

Leyes del lgebra de proposiciones

1. Leyes de idempotencia a.

b.

2. Leyes asociativa

a.

b.

3. Leyes conmutativas

a.

b. p

4. Leyes distributivas

a. p ( q r)( p q)(p r) b. p ( q r)( p q)(p r)

5. Leyes de Identidad a.

1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1

1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1

1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0


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b.

6. Leyes de complemento a.

b.

7. Leyes de DMorgan

a.

b.

En estas leyes debe notarse que aparecen formuladas por pares debido a la naturaleza dual del lgebra de las proposiciones. Ejemplos: 1. Demostrar que:

a. p p p b. p V p p

a. Partiendo del segundo miembro se llega al primero, as:

p p 1 Identidad p p ( p V ~p) Complemento p ( p p ) V ( p ~ p) Distributiva p ( p p ) V 0 Complemento p ( p p) Identidad p p p


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Partiendo del primer miembro se llega al segundo, as: p p (p p) V 0 Identidad p p (p p) V ( p ~ p) Complemento p p p ( p V ~ p) Distributiva p p p 1 Complemento p p p Identidad

b. Partiendo de segundo miembro se llega al primero, as: p p V 0 Identidad p p V ( p ~p) Complemento p ( p V p) ( p V ~ p) Distributiva p ( p V p) (1) Complemento p ( p V p) Identidad p p V p

2. Utilizando las leyes del lgebra de proposiciones demostrar que: ~ [ ( p ~ q r ) V ( p q r )] ( ~ p ~ q ) ~ [ ( p ~ q r ) V ( p q r )] ~ [ (p r ) ( ~ q V q )] Conmutativa y Distributiva ~ [ ( p ~ q r ) V ( p q r )] ~ [ (p r ) 1] Complemento ~ [ ( p ~ q r ) V ( p q r )] ~ [ (p r ) ] Identidad ~ [ ( p ~ q r ) V ( p q r )] (~ p V ~ r ) DMorgan 3. Utilizando las leyes del lgebra de proposiciones demostrar que: [(pVqVr)V(~p~q~r)][(qr)V(q~r)V(~qr)] ( q V r) [(pVqVr)V(~p~q~r)][(qr)V(q~r)V(~qr)] [~(~p~q~r)V(~p~q~r)][(qr)V(q~r)V(~qr)] Conmut. y DMorgan


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[ 1 ] [(qr)V(q~r)V(~qr)] Complemento [(qr)V(q~r)V(~qr)] Identidad [q(rV~r)V(~qr)] Distributiva [q1V(~qr)] Complemento [qV(~qr)] Identidad [(qV~q) (qVr)] Distributiva [1(qVr)] Complemento [(qVr)] Identidad ( q V r )

Inferencia lgica Con el raciocinio, la verdad solamente se obtiene si se cumplen las dos condiciones siguientes:

1. Las premisas han de ser verdaderas 2. Durante el proceso de deduccin estas premisas han de relacionarse con

sujecin a las leyes de la lgica. As, el conocimiento adquirido de proposiciones verdaderas preestablecidas, sin recurrir de manera directa a la experiencia y aplicando dichas leyes a estas premisas, se denominan conclusiones. Las reglas de inferencia lgica, entre otras son:

1. Modus Ponendo Ponens (MPP), mtodo de afirmando afirma. 2. Modus Tollendo Tollens (MTT), mtodo de negando niega. 3. Modus Tollendo Ponens (MTP), mtodo de negando afirma.

Modus Ponendo Ponens (MPP) Este mtodo de inferencia establece que si una implicacin es cierta y adems es cierto tambin su antecedente, entonces su consecuente es necesariamente verdadero. Simblicamente:

Modus Tollendo Tollens (MTT)


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Esta regla de inferencia dice que si una implicacin es verdadera y es falso su consecuente, entonces su antecedente ser necesariamente falso. Simblicamente:

Modus Tollendo Ponens (MTP)

Esta ley se enuncia as: si una disyuncin es verdadera y una de sus proposiciones

simples es falsa, entonces necesariamente la otra proposicin ser verdadera.

Simblicamente:

O

Ejemplo:

Se tienen las siguientes premisas:

1. p ~ r 2. ~ r q 3. p

El proceso de demonstracin consiste en combinar apropiadamente las premisas

mediante conjunciones, as:

Las premisas 1 y 3 producen:

[ ( p ~ r ) p] ~ r (4) MPP

Las premisas 2 y 4 producen:

[ ( ~ r q ) ~ r ] q (5) MPP

Por lo tanto la conclusin es la proposicin q.

Sean las premisas:


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1. p V q 2. ~ r 3. q r

De 3 y 2 se sigue:

[ (q r) ~ r] ~ q (4) MTT

De 1 y 4 se deduce:

[ (p V q) ~ q] p (5) MTP

La conclusin es p.

Observe que un argumento es vlido si de la conjuncin ( ) de las premisas se implica

la conclusin, es decir, siempre que todas las premisas sean verdaderas, la conclusin

tambin ser verdadera. Un argumento es un raciocinio que se hace con el objeto de

aceptar o rechazar un tesis; es la aseveracin de una proposicin, llamada conclusin o

tesis, obtenida de otros enunciados denominados premisas o hiptesis.

Considere los siguientes argumentos:

1. p q 2. p q 3. p q 4. p q

p ~ q q ~ p

q ~ p p ~ q

Los argumentos 1 y 2 son vlidos y se denominan respectivamente MPP y MTT.

Sus expresiones proposicionales son:

1. [ (p q) p] q 2. [ (p q) ~ q] ~ p

Son tautologas, es decir, siempre verdaderas, como se puede ver al realizar sus tablas

de verdad. Pero los argumentos 3 y 4 no son validos, dan contingencias y no

tautologas, as:

3. [ (p q) q] ~ p Contingencia

4. [ (p q) ~ p] ~ q Contingencia

El argumento denominado silogismo hipottico (SH) se enuncia:


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5. [ (p q) ( q r) ] (p r)

En cada uno de los argumentos 1, 2 y 5 puede verse si la conjuncin de las premisas

implica la conclusin, mientras que en 3 y 4 la conjuncin de las premisas no implica la

conclusin, por esto son contingencias 3 y 4.

Demostracin y refutacin

La demostracin es un razonamiento que prueba la validez de un conocimiento; es el

enlace entre el conocimiento recin adquirido y los conocimientos anteriores. Los

procedimientos de demostracin permiten establecer la conexin lgica entre las

proposiciones fundamentales de la teora, sus consecuencias sucesivas, hasta deducir

la conclusin o tesis que as se demuestra.

Los principales tipos de demostracin son:

1. Demostracin directa. La demostracin directa de una proposicin t (teorema)

es un conjunto de proposiciones o premisas que son postulados o

proposiciones de validez aceptada y de las cuales se infiere t como

consecuencia inmediata.

2. Demostracin indirecta. Se realiza cuando se establece la validez de una tesis t

probando que las consecuencias de su contraria son falsas.

3. Demostracin de recursin. Cuando las tesis se prueban por medio de

induccin matemtica.

A estos tipos de demostracin se oponen dos mtodos de refutacin.

La refutacin es el razonamiento que prueba la falsedad de una hiptesis o la

inconsistencia de su supuesta demostracin; los mtodos de refutacin son: refutacin

por contradiccin y refutacin por contraejemplo.


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Ejemplos:

Dadas las siguientes premisas hallar la conclusin:

[ (p q) ( q r) ] premisa 1

p premisa 2

entonces,

de 1: [ (p q) ( q r) ] (pr) premisa 3 SH

de 3 y 2: [ ( p r) p ] r MPP

Conclusin r

p ( q r) premisa 1

q r s premisa 2

~ s premisa 3

entonces,

de 1 y 2: {[ p ( q r) ] [( q r) s ]} (p s) 4 SH

de 4 y 3: [ ( p s ) ~ s ] ~ p MTT

Conclusin ~p

~( p ~ q) premisa 1

~( r V s) ~ q premisa 2

p premisa 3

~r premisa 4

Entonces

De 1: ~( p ~ q) ( p q) 5 tautologa

De 2: [~( r V s) ~ q] [ q ( r V s)] 6

La implicacin directa es igual a la contrarresiproca. Ahora como:

De 5 y 6: ( p q) [ q ( r V s)] [ p ( r V s)] 7 SH

De 7 y 8: {[ p ( r V s)] p} ( r V s) 8 MPP

De 8 y 4: [ ( r V s) ~r ] s MTP


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Conclusin s

Aplicaciones tecnolgicas La lgica se aplica principalmente a tres aspectos:

1. Las contingencias se utilizan para hacer circuitos de control y automatismo; las

tautologas y contradicciones para probar la consistencia interna de las

argumentaciones.

2. Las reglas de inferencia lgica se utilizan como test de prueba de la

consistencia lgica interna de los algoritmos de computacin.

3. Las propiedades algebraicas y las transformaciones de las sentencias lgicas en

funcin de solo una u otra conectiva, se utilizan como una ventana en la

construccin de los circuitos integrados (CI) comerciales, pues estos solo utilizan

NOT, AND y OR.

Para referirse a las aplicaciones tecnolgicas de la lgica matemtica hay que definir,

adems, otra dos conectivas lgicas, la anticonjuncin NAND y la antidisyuncin NOR.

Estas operaciones se denominan de Sheffer y de Pierce, respectivamente.

Anticonjuncin NAND

Se define como la negacin de un conjuncin, es decir: NAND = NOT AND que

simblicamente significa:

( p NAND q) ~ ( p q )

Su tabla de verdad:

p q p NAND q


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0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Antidisyuncin NOR

Se define como la negacin de una disyuncin, es decir, NOR = NOT OR, que

simblicamente se expresa:

( p NOR q) ~ ( p V q )

Su tabla de verdad:

p q p NOR q

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

Antidisyuncin exclusiva XNOR

Tambin se emplea y define de manera similar: XNOR = NOT XOR, simblicamente:

( p XNOR q) ~ ( p q )

Su tabla de verdad:

p q p XNOR q

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1


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Debe observarse que la tabla de verdad de la antidisyuncin exclusiva es igual a la

tabla de verdad de la equivalencia, por tanto, se puede incluir que estas dos conectivas

lgicas son equivalentes y que una operacin puede ser sustituida por otra. Con los

operadores XNOR se representan las equivalencias en los circuitos lgicos.

Ejercicios propuestos

1. Clasificar mediante una tabla de verdad las siguientes proposiciones:

a. ~(p q) (p q)

b. ~(p V ~q) ~(p V ~q)

c. ~(p q) (p V ~q)

d. ~(p ~q) (p ~q)

e. (~q ~p) ~(p q)

f. (p q) (~q V p)

g. (p q) (~q p)

h. ( p q) (~q V p)

R/ a. tautologa b. c. d. f. g. contingencias h. tautologa

2. Si p es verdadero (1), q es falso (0) y r es verdadero (1), determinar el valor de

verdad de las siguientes proposiciones:

a. p (q V r)

b. (p q) V (q V r)

c. p ~(q r)

d. (p q) (~q V p)

e. (p ~q) V (p r)

f. (p q) (~q r)

g. ~[(~p ~q) (p V r)]

h. ~q [p (p V ~q)]

i. ~[(~p V q) ~(q ~p)] (~p V ~q)


27

R/ a. 1 b. 1 c. 0 d. 0 e. 1 f. 0 g. 1 h. 1 i. 1

3. Determine el tipo de proposicin

a. p ~[(p r) (q r)]

b. [(p q) V r] [(p V r) (q V r)]

c. [(p q) r] [(p r) V ~r)]

d. ~[(~p V q) ~( q ~p)] [(~p r) q]

e. ~(p q) [p (q r)]

f. ~{[(p V q) q] [(p r) (q r)]

R/ a. contingencia b. tautologa c. tautologa d. contingencia e. contingencia

f. contingencia

4. Concluir del siguiente grupo de premisas

a. p~r (1)

~r q (2)

p (3)

b. p(q r) (1)

p (2)

(q r) s (3)

c. ~q (1)

p q (2)

~p r (3)

d. q~p (1)

p (2)

e. p V q (1)

~r (2)

q r (3)

f. t (p V q) (1)

~(~t) (2)

~q (3)

R/ a. q b. s c. r d. ~q e. p f. p

5. Mediante una tabla de verdad demostrar que:


28

( p q) [(~ p q) V (p ~q)] R/ tautologa

6. Demostrar:

a. (p V p) p

(p p) p

b. (p V 1) 1

(p 0) 0

c. [p V ( p q)] p

[p ( p V q)] p

d. ~(~p) p e. ~(p V q) ( ~p ~q)]

~(p q) ( ~p V ~q)]

7. La proposicin p q se denomina disyuncin exclusiva y es tal que solamente es

verdadera cuando las proposiciones tienen diferentes valores de verdad.

Demostrar utilizando las leyes del algebra de proposiciones que:

a. (p q) ( p ~q) V (~p q)

b. ~(p q) ~[( p ~q) V (~p q)]

c. ~(p q) ( ~p V q) (p ~q)]

8. Dadas tres proposiciones p, q, r, demostrar utilizando las leyes del algebra de

proposiciones las siguientes equivalencias:

a. [(p q) V (~p V r) V (q r)] [(p q) V (~p r)]

b. [(p V q) (~p r) V (q V r)] [(p V q) V (~p V r)]

c. (~p q r)V (~p ~q r) V(p q r) V (p ~q ~r) (~p r) V (p ~r)

d. (p q) (~p V q) (~p q) (p ~q)


29

e. (p V ~q) (q V r) (q V ~r) (p q)

f. (p V ~q) (q V ~r) (~p V r) (~p V ~q) ~p ~q ~r

g. [(p r) V (q V r)] [(p q) V(p r) V (~p ~r)] (p r)

Conjuntos Objetivos


1. Realizar operaciones con conjuntos.


30

2. Comprender la relacin entre lgica y conjuntos.

3. Identificar los conjuntos numricos

Objetivos Especficos

1. Combinar mediante las operaciones de unin e interseccin uno o ms conjuntos.

2. Obtener la diferencia y la diferencia simtrica de dos conjuntos, y el complemento de un conjunto.

3. Manejar las leyes del algebra de conjuntos. 4. Determinar el nmero de elementos de la unin de dos o ms conjuntos

finitos. 5. Hallar el nmero total de elementos de de un conjunto. 6. Ordenar mediante la relacin de inclusin los conjuntos numricos.

CONJUNTOS El concepto de conjunto aparece en toda la matemtica. Desde que se introdujo formalmente la teora de conjuntos, se facilit el desarrollo de diversas ramas de la matemtica como la geometra, la aritmtica, el anlisis y la topologa. La idea de conjunto y elemento son ideas primitivas y se presentan en forma intuitiva.

Las propiedades de

los conjuntos son

similares a las

propiedades de las

proposiciones del

captulo anterior.


31

Un conjunto es una coleccin de objetos o entidades distinguibles y bien definidas. Los objetos (nmeros, letras, puntos, etc.) que constituyen un conjunto se llaman miembros o elementos del conjunto. Normalmente se utiliza letras maysculas, A, B, X, Y, . . . para denotar conjuntos y para denotar los elementos letras minsculas: a, b, c, . . .; nmeros , smbolos o variables subindizadas. Un conjunto puede ser definido explcitamente escribiendo cada uno de los elementos que componen el conjunto dentro de llaves y separados por una coma. Ejemplos:

1. Sea A el conjunto de las vocales: A = { a, e, i, o, u }

2. Sea B el conjunto de los das de la semana

B = { lunes, martes, mircoles, jueves, viernes } Definimos un conjunto implcitamente escribiendo dentro de llaves las caractersticas de los elementos que pertenecen al conjunto, como sigue: { x/x tiene la propiedad p } Esto se lee el conjunto de todas las x tales x tiene la propiedad p. Ejemplos:

1. Sea A el conjunto de las vocales: Se escribe: A = { x/x es una vocal } Se lee: el conjunto de todas las x tales que x es una vocal

2. Sea D el conjunto de los nmeros naturales pares

Se escribe: D = { x/x es un nmero natural par } Se lee: el conjunto de todas las x tales que x es un nmero natural

par Relacin de Pertenencia


32

Un elemento pertenece a un conjunto si forma parte de su lista de elementos. Se representa de la siguiente forma: elemento conjunto se lee elemento pertenece a conjunto

su negacin: elemento conjunto se lee elemento no pertenece a conjunto

Ejemplos: Del ejemplo anterior podemos decir:

1. a A se lee a pertenece al conjunto A

2. w A se lee w no pertenece al conjunto A

3. 33 D se lee 33 no pertenece al conjunto D

Podemos decir que un conjunto est bien definido si podemos afirmar de manera inequvoca si un elemento pertenece a l o no. Ejemplo:

1. Sea T el conjunto de las personas simpticas. Este conjunto no est bien definido ya que la idea de ser simptico es subjetiva. No hay un criterio definido para decir que una persona es simptica o no.

2. Los conjuntos A, B y D estn bien definidos porque podemos definir sin temor a equivocarnos si un elemento pertenece a ellos o no.

La relacin de pertenencia

se da solamente entre

elemento y conjunto.


33

Un conjunto es finito cuando podemos listar todos sus elementos (conjuntos A y B de los ejemplos anteriores), es infinito si no podemos listar todos sus elementos. Ejemplo: Es un conjunto infinito: S = { x/x N, x 10 } , se lee x tal que x pertenece a los nmeros naturales y x es

mayor o igual a 10 Relaciones entre conjuntos

Igualdad de conjuntos

Decimos que dos conjuntos A y B son iguales ( A = B ) si todos los elementos de A pertenecen a B y todos los elementos de B pertenecen a A. Esto es, A = B, entonces x A implica que x B, y y B implica que y A.

Ejemplo:

1. Si T = { 1, 2, 3, 4, 5 } y L = { 3, 5, 2, 1, 4 } entonces T = L

2. Si M = { 1, 3, 5, 7, 9 } y G = { x/x es impar 1 x 9} entonces M = G

Subconjunto

Si cada elemento de un conjunto A es tambin elemento de un conjunto B, entonces A se llama subconjunto de B. Tambin decimos que A esta contenido en B o que B contiene a A. Sin embargo, no

Un conjunto infinito solo se

puede determinar por

comprensin, uno finito se

determina tanto por

extensin como por

comprensin.

La relacin de Contenido o

Subconjunto se establece

solamente entre conjuntos.


34

todo elemento de B necesita ser elemento de A. Esta relacin se escribe: A B o B A

Si A no es un sub conjunto de B, es decir, si por lo menos un elemento de A no pertenece a B, escribimos A B o B A

Ejemplo: a. Considere los conjuntos:

1. A = { 1, 3, 4, 5, 8, 9 } B = { 1, 2, 3, 5, 7} C = { 1, 5 } Podemos decir que:

C A y C B ya que 1 y 5 , los elementos de C, tambin son elementos de

A y B.

B A ya que algunos de sus elementos como 2 y 7 no pertenecen a A.

b. Sea B = { x/x es un ave } y H = { y/y es una paloma }

entonces H B

c. Sea A = { x/x N es par} y B = { y/y N y es mltiplo de 2}

Todos los elementos de A son elementos de B.

A B, B A, A = B, B = A

Conjuntos Especiales


35

Conjunto Vaco

Es el que carece de elementos, se simboliza por { } o por . El conjunto cuyos miembros son los hombres que viven actualmente con ms de 500 aos de edad es un ejemplo de un conjunto vaco. Conjunto Universal Cuando se habla o se piensa acerca de los conjuntos, es conveniente saber que los miembros de un conjunto dado pertenecen a alguna poblacin determinada. Por ejemplo, si se habla de un conjunto de nmeros es til establecer una poblacin general de nmeros denominada conjunto universal o conjunto de referencia, cuyos elementos son los posibles candidatos para formar los conjuntos que intervienen en una discusin determinada. El conjunto universal se denota U. Si U = N, el conjunto de los nmeros naturales, A = {1,2,3,4,5} B = {x/x es un nmero primo} C = {x/x es un nmero natural par} A, B y C son subconjuntos propios de U Conjunto de partes Dado un conjunto A, el conjunto de partes de A, denominado por P(A), es el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A. En la lista de subconjuntos de A hay que tener en cuenta dos subconjuntos especiales: el mismo A, ya que A A; y el conjunto vaco .

Ejemplo: Si A = { a, b, c }, entonces P(A) = { { a }, { b }, { c }, { a, b,}, { a, c }, { a, b, c }, },

Observaciones:

Si un conjunto M tiene n

elementos P(M) constar

de 2n elementos .


36

a. Los conjuntos { a }, { b }, { c } son elementos o miembros de P(A). Tales conjuntos solo tienen un elemento y se llaman conjuntos unitarios.

b. El conjunto A esta formado por 3 elementos y el conjunto P(A) por 8 = 23. c. Los elementos del conjunto P(A) son a su vez conjuntos. Un conjunto cuyos

miembros son conjuntos se llama familia de conjuntos. P(A) es un ejemplo de una familia de conjuntos.

Diagramas de Venn Los diagramas de Venn o Euler son una manera esquemtica de representar los conjuntos y los conceptos de la teora de conjuntos. Constituyen un auxiliar didctico valioso para visualizar las relaciones de pertenencia, inclusin y las operaciones con conjuntos. Ejemplo:

En general, para representar un conjunto universal se usa cualquier regin cerrada del plano (con frecuencia un rectngulo), entendiendo que la regin interior del rectngulo representa al conjunto U. En el diagrama se han utilizado crculos para representar los subconjuntos A, B, y C de U. En la siguiente figura se han representado los conjuntos A, B, C, D y U.

U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3, } B = {1} C = {8,9} D = {8}

U

A

C

B


37

U A U, B U, C U, D U

B A y D C

A B C D

Operaciones con conjuntos As como los nmeros se combinan mediante operaciones de adicin, sustraccin y multiplicacin, los conjuntos se pueden combinar para obtener otros conjuntos con ciertas operaciones. Unin de conjuntos La unin de dos conjuntos A y B, denominada por A U B , que se lee A unin B, es el nuevo conjunto formado por los elementos que pertenece a A o a B o a ambos conjuntos. Simblicamente: A U B = { x/x A V x B } En el diagrama de Venn, la regin sombreada corresponde al conjunto A U B U

A

Ejemplo:


38

A = {a, b, c, d } B = {c, d, e, f } A U B = {a, b, c, d, e, f } Interseccin se conjuntos La interseccin de dos conjuntos A y B, denotada A B, que se lee A interseccin B, es el nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B, es decir, por los elementos comunes a ambos conjuntos. Simblicamente:

A B = { x/x A x B } En el diagrama de Venn, la regin sombreada corresponde al conjunto A B U

A B

Con relacin al ejemplo anterior A B = { c, d } observe que los elementos c y d pertenecen simultneamente a los conjuntos A y B. A U B tambin se llama suma lgica de los conjuntos A y B. A B se denomina tambin el producto lgico de los conjuntos A y B. Dos conjuntos que no tienen elementos en comn se llaman disyuntos. Simblicamente:


39

A B = U U A A B B A B = B porque B C A A B = A y B son disyuntos Diferencia de conjuntos La diferencia de dos conjuntos A y B, denotada A B, que se lee A menos B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y que no pertenecen a B. Simblicamente:

A - B = { x/x A x B } En los siguientes diagramas la regin sombreada corresponde a A B U U U A A B A B B

Ejemplos: a. A = { a, b, c } B = { c, d } A - B = { a, b } b. A = { 3, 4, 5, 6 } B = { 4, 5 } A - B = { 3, 6 }


40

c. A = { 1, 2, 3 } B = { 6, 7 } A - B = { 1, 2, 3 } Diferencia simtrica de conjuntos La diferencia simtrica de dos conjuntos A y B, denotada por , que se lee A diferencia simtrica B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B, pero no pertenecen simultneamente a ambos conjuntos. Simblicamente:

A B = { x/x A V x B x A B }

En el siguiente diagrama se muestra A B

U A B

Ejemplo: A = { 1, 2, 3, 4 } B = { 4, 5 } A B = { 1, 2, 3, 5 }

Complemento de un conjunto El complemento de un conjunto A con respecto al conjunto U, denotado A, es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a A. Simblicamente:

Observe que las regiones sombreadas a la izquierda y a

la derecha corresponden respectivamente a los

conjuntos A B y a B A, por esto tambin:

A B = { A B } U { B - A }

A B = { A U B } - { B A }


41

A = { x/x U x A }

A = U - A Ejemplo: U Sea U = N (el conjunto de los nmeros naturales) A A = { x/x es un numero natural par } A = { x/x es un numero natural impar } = U A

Propiedades de las operaciones entre conjuntos 1. Las siguientes cuatro propiedades son validas para las operaciones de unin e

interseccin: a. Leyes de idempotencia

i. A U A = A ii. A A = A

b. Leyes asociativas

i. (A U B) U C = A U (B U C) ii. (A B) C = A (B C)

c. Leyes conmutativas

i. A U B = B U A ii. A B = B A

d. Leyes distributivas

i. A U (B C) = (A U B) (A U C) ii. A (B U C) = (A B) U (A C)

2. Relacionadas con los conjuntos universal y vacio: a. Leyes de identidad


42

i. A U U = U A U = A ii. A U = A A =

3. Con respecto al complemento: a. Leyes de complemento

i. A U A = U A U A = ii. (A) = A U =

b. Leyes DMorgan i. (A U B) = A B

ii. (A B) = A U B

Observe que las anteriores leyes estn formuladas por pares, lo cual da cuenta de la naturaleza dual de la teora de conjuntos, tal como sucede con la lgica proposicional. El lenguaje de algebra de conjuntos puede ser traducido al lenguaje lgico. Al asignar a las proposiciones p y q los siguientes significados: p: ser un elemento del conjunto A q: ser un elemento del conjunto B La unin A U B equivale a p V q ser de A o de B La interseccin A B equivale a p q ser de A y de B El complemento A equivale a ~p no ser de A A B equivale a p q si es de A entonces es de B

La diferencia A B equivale a p (~q) si es de A y no de B Con lo anterior, las leyes de DMorgan, por ejemplo, pueden ser traducidas del siguiente modo:

(A U B) = A B ~(p V q) (~p ~q) no ser de A ni de B


43

(A B) = A U B ~(p q) (~p V ~q) no ser de ambos A y B

lgebra de conjuntos Con base a la relacin de orden A C B y en las operaciones A U B y A B se puede formar un lgebra de conjuntos. La relacin de contenencia es una relacin de orden ya que satisface las propiedades

reflexiva, antisimtrica y transitiva, as:

a. A A

b. Si A B B A entonces A = B

c. Si A B B C entonces A C

Con base a la definicin de A B, se tiene

a. A para todo conjunto A

b. A U

Es posible interpretar la parte a. como sigue:


44

Si la relacin A fuera falsa, indicara que debe tener por lo menos un elemento

que no est en el conjunto A, lo cual resulta imposible porque vaco no tiene elementos y si una proposicin no es falsa entonces es verdadera. La relacin A B es equivalente a una de las dos relaciones (A U B) = B o (A B) = A.

Relacin entre la lgica y los conjuntos Todas las leyes del algebra de conjuntos se apoyan en el anlisis lgico de la relacin A B, de las operaciones binarias A U B y A B, y de la operacin unitaria

complemento de A. Con base a esto las leyes del algebra de conjuntos se pueden traducir al lenguaje lgico de la siguiente manera: Sean las proposiciones: p: ser un elemento del conjunto A q: ser un elemento del conjunto B, entonces:

Conjunto Proposicin Se lee

A U B p V q Ser de A o de B

A B p q Ser de A y de B

A ~p No ser de A

(A U B)

A B

~(p V q)

~p ~q No ser de A ni ser de B

(A B)

A U B

~(p q)

~p V ~q No ser de A y B


45

A B p q Si es de A entonces es de B

A B p q F Algunos elementos de A son elementos de B

A B p q F Ningn elemento de A es elemento de B

A B p ~q F Algunos elementos de A no son elementos de B

A = p = F No hay elementos en A

Ejemplo:

Demostrar que A B = A B = B - A a. A B = {x/x A x B}

= {x/x A x B}

= A U B = A B b. A B = {x/x A x B}

= {x/x A x B}

= {x/x B x A}

= B - A = A B Demostrar la ley de DMorgan:

(A U B) = A B


46

= {x/x (A U B)}

= {x/x A U B }

= {x/x A x B}

= {x/x A x B}

= A B Demostrar: A (B U C) = (A B) (A C) = {x/x A x (B U C)}

= {x/x A (x B x C)}

= {x/(x A x B) (x A x C)}

= {x/(x (A - B) x (A - C)}

= {x/(x (A - B) (A - C)}

= (A - B) (A - C) Formas normales Las formas normales disyuntiva y conjuntiva corresponden en la teora de conjuntos a las formas unin e interseccin. Esto se obtiene de manera similar al asignar los valores 0 y 1 a las proposiciones no ser elemento de y ser elemento de respectivamente. De la siguiente tabla se deducen las formas normales completas:

A B Interseccin Unin 0 0 A B A U B


47

0 1 A B A U B 1 0 A B A U B 1 1 A B A U B

La forma normal completa de la unin se obtiene reuniendo los trminos interseccin cuyo resultado es el conjunto universal u:

(A B) U (A B) U (A B) U (A B) = u

En el diagrama de Venn se ilustra la validez del anterior resultado.

U A B A B A B A B A B

Note que el conjunto universal ha quedado particionado en cuatro regiones que son conjuntos disyuntos. La forma normal completa de la interseccin se obtiene intersectando los trminos de la unin, cuyo resultado es el conjunto vacio.

(A U B) (A U B) (A U B) (A U B) = Ejemplo: Comprobar con los siguientes conjuntos las formas normales completas: U = {x/x x 15}

A = {x/x es impar} B = {x/x es primo}


48

a. Forma normal unin A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} B = {2, 3, 5, 7, 11, 13}

A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} B = {1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15} A B = {3, 5, 7, 11, 13} A B = {2} A B = {1, 9, 15} A B = {4, 6, 8, 10, 12, 14} (A B) U (A B) U (A B) U (A B) = u

b. Forma normal interseccin A U B = {1, 2, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15} A U B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14} A U B = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15} A U B = {1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} (A U B) (A U B) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} (A U B) (A U B) = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} (A U B) (A U B) (A U B) (A U B) =

Producto cartesiano Pares ordenados: intuitivamente un par ordenado (a, b) es un par de objetos en el cual el orden en que estos se consideran deben ser primero a y despus b. Las letras a y b se llaman la primera y segunda componente, respectivamente, de la pareja ordenada. Dos pares ordenados (a, b) y (c, d) son iguales si y solo si: a = c b = d Producto cartesiano: dados dos conjuntos A y B, se llama producto cartesiano o conjunto producto de A y B, al conjunto de todos los pares ordenados (a, b) de tal forma que la primera componente a pertenece al conjunto A y la segunda componente b pertenece al conjunto B. Este conjunto se denota A x B y se lee A cruz B. Simblicamente:

A x B = {(a, b)/ a A b B}


49

Ejemplo: a. Si A = {a, b, c }; B = {x, y} A x B = {(a,x),(a,y),(b,x),(b,y),(c,x),(c,y)} Note que el conjunto tiene seis parejas b. Si A = {1, 2, 3} ; B= {4, 5, 6} A x B = {(1,4), (1,5), (1,6), (2,4), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6)} B x A = {(4,1), (4,2), (4,3), (5,1), (5,2), (5,3), (6,1), (6,2), (6,3)} Observe que cada conjunto tiene nueve elementos y que A x B B x A

En general si el nmero de elementos de A, n(A), es p y el nmero de elementos de B, n(B) es q los elementos de A x B sern el producto de p y q. Simblicamente: n(A x B) = n(A) * n(B) = pq Adems el producto cartesiano no es conmutativo. A x B B x A, a menos que A = B, o que uno de los conjuntos sea vaco.

Si A y B son conjuntos finitos dicho producto puede ser representado en el plano cartesiano colocando el conjunto A en el eje horizontal y el conjunto B en el vertical, a cada par ordenado (a,b) le corresponde un punto en el plano. Ejemplo: A={a1,a2,a3,a4} B = {b1,b2,b3} El conjunto producto consta de 12 elementos o parejas y en su representacin grafica deben aparecer 12 puntos que forman una red as: B * * * * b3

b2

b1


50

* * * *

* * * *

a1 a2 a3 a4 A Conjuntos Numricos Nmeros Naturales Es la coleccin de objetos matemticos representados por los smbolos 1, 2, 3, 4, , etc., llamados nmeros para contar. El conjunto se suele representar con el smbolo ,

es decir: = {1, 2, 3, 4,}

Dos caractersticas esenciales son: el conjunto tiene un primer elemento, el 1, y cada elemento tiene un sucesor. Nmeros Enteros Ampliando el conjunto de los nmeros naturales para incluir el cero y los negativos de los naturales, se obtiene el conjunto de los enteros, se acostumbra denomirlos mediante el smbolo , es decir:


51

= {, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,}

Nmeros Racionales

Es el conjunto de los nmeros de la forma donde p y q son enteros, con q 0. Se

representan mediante el smbolo , de tal forma que:

= { q q 0 }

Observaciones:

a. Todo nmero entero es racional.

, , son nmeros racionales enteros

b. Si q no es divisor de p, los nmeros son racionales no enteros.

, son nmeros racionales no enteros.

c. Todo nmero racional es equivalente a un numero que tiene una expansin

decimal que se repite peridicamente.

periodo 6


52

periodo 0

periodo 2 (peridica mixta)

Nmeros Irracionales

Es el conjunto de los nmeros que no pueden ser expresados como el cociente de dos enteros, se representa con el smbolo de . Entre los irracionales ms conocidos estn

los nmeros y e. El primero es la razn de la longitud de la circunferencia al

dimetro, y el segundo es la base de los logaritmos naturales. Sus valores aproximados son 3.141592 y 2.718281, respectivamente.

Los nmeros irracionales se caracterizan por tener expansiones decimales infinitas no peridicas. Otros nmeros irracionales son:

, , , , , etc.

Nmeros Reales

Es el conjunto constituido por todos nmeros racionales e irracionales. Cada nmero real puede ser representado como un punto de una recta y recprocamente cada punto de la recta corresponde a un nmero real. A tal recta se le llama recta real. El conjunto se simboliza por , y de acuerdo a lo anterior:


53

De la definicin anterior se tiene que , o sea los conjuntos de lo

racionales y los irracionales son disyuntos.

Nmeros Complejos

Es la coleccin de nmeros de la forma a + bi, donde a y b son nmeros reales, e i es la unidad imaginaria, que cumple con la propiedad i2 = -1. El conjunto se denota .

Simblicamente:

= {a + bi / a, b i2 = -1}

Observaciones:

a. Todos los nmeros reales son complejos. Cuando b = 0 se obtiene

a + bi = a, 2 + 0i = 2, + 0i = son nmeros complejos reales.

b. Cuando a = 0 y b 0 los nmeros de la forma bi se llaman imaginarios puros.

, 8i, son imaginarios puros.

Cada uno de los conjuntos de nmeros considerados ha sido presentado en orden creciente de amplitud, de tal modo que cada conjunto est totalmente incluido en el


54

siguiente, excepto el conjunto que no es subconjunto de . De acuerdo con lo

anterior es posible escribir:

El conjunto es la unin de tres conjuntos disyuntos:

= { enteros negativos } U { 0 } U { enteros positivos }

En el siguiente diagrama se puede apreciar la relacin de inclusin. La flecha indica que conjunto de abajo est contenido en el de arriba.


55

Ejercicios Propuestos

1. Sea S A = {a, b}, B = {a, b, c}, C = {c, d, e}, D = {b, c} y E = {a, b, c, d} establecer la

verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:

a. D B R/ a. F b. V c. F

b. C E

c. C D

d. E A

2. Dado M = {0, 1, (0,1)}, establecer la verdad o falsedad de:

a. {1} M b. {0,1} M c. {0,1} M d. {(0,1)} M

R/ Todas son verdaderas excepto a.

3. Si X = {, {}}, establecer la verdad o falsedad de:

a. X b. {} X c. {} X d. {{}} X c. {} X

R/ Todas son verdaderas

4. Hallar todos los subconjuntos de M = {0,{{0}}}


56

R/ Son cuatro , {0}, {{0}} y el mismo M

5. Si A, B, C, D, E son conjuntos con 3, 7, 12, 4 y 5 elementos respectivamente, cuantos

elementos tiene el conjunto de partes de M = { A, B, C, D, E }

R/ 32 elementos

6. Si u = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 5, 6}, C = {3, 4, 6, 7}, comprobar

que:

a. (A C) A

b. (A B) (A U B)

c. A U (B C) (A U B) (A U C)

d. (A B) = A U B

7. Para los conjuntos de ejercicio 6 hallar:

a. A B b. (A U B) c. A B

d. B C e. (C A) B f. (A C) (B C)

R/ a. {7, 8}, b. {7, 8}, c. {1, 3}, d. {4, 6}, e. {1, 3, 8}, f. {2, 7}

8. Hallar los conjuntos A y B si:

u = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {3, 4, 5}, B = {1, 2, 4}

R/ A = {1, 2, 6, 7}, B = {3, 5, 6, 7}


57

9. Cuando en cualquiera de las leyes del algebra de conjuntos se intercambian los

smbolos U y y los smbolos U y , el resultado tambin es una ley que se denomina

la dual de la primera (son mutuamente duales).

Escribir el dual de:

a. (A ) U (A U) = A

b. A U U = U

c. (A B) = A U B

d. (A B) U C = (A U C) (B U C)

R/ a. (A U U) U (A U ) = A b. A U =

c. (A U B) = A B d. (A U B) C = (A C) U (B C)

10. Hallar el dual:

a. X . X = 0 b. X + X = 1

c. X . (X + Y) = X d. X . (Y + Z) = X . Y + X . Z

R/ a. X + X = 1 b. X . X = 0

c. X + (X . Y) = X d. X + (Y . Z) = X + Y . X + Z

11. Demostrar que:

a. (X . Y) + (X . Y) = Y

b. (X + Y) . (X + Y) = Y

12. Determinar los elementos de los conjuntos X y Y, sabiendo que el complemento de

Y es el conjunto {m, n, t}, X U Y = {m, n, p, q, r} y X Y = {p, q}

R/ X= {m, n, p, q} Y = {p, q, r}

13. Sabiendo que:


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U = {x / x , x < 11}

A = {x / x > 3}

A B = {x / x2 6x + 9 = 0}, A U B = {1, 2, 3, 4, 6}

Hallar los conjuntos A, B, A B y (A U B)

R/ A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 6} A B = {1, 2, 4, 6} (A U B) = {5, 7, 8, 9, 10}

14. Determinar cul de los siguientes conjuntos es vacio:

a. A = {a / a a2 1 = 0}

b. B = {b / b b2 2 = 0}

c. C = {c / c c2 9 = 0} R/ E =

d. D = {d / d d2 3 = 0}

e. E = {e / e e2 + 9 = 0}

15. Dados dos conjuntos no disyuntos A y B, usar el diagrama de Venn para mostrar

que:

a. A U (A B) = A

b. A (A U B) = A

c. (A U B) = A B

d. (A B) = A U B


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16. Si A B demuestre que:

a. A U B = B b. A B =

c. A B = A d. A U B = U

17. Demostrar usando las leyes del algebra de conjuntos:

a. (A B) = (A B) U (A B)

b. (A B) = [(A B) U (A B)]

c. (A B) = (A U B) (A U B)

18. Dados tres conjuntos A, B, C demuestre utilizando las leyes del algebra de

conjuntos las siguientes igualdades:

a. ( A B) U (A C) U (A B) = A

b. (A U B) (A U B) = B

c. (A B C) U (A U B U C) = U

d. (A U B) (B U C) (B U C) = A B

e. (A B) U (A C) U (B C) = ( A B) U (A C)

f. (A U B) (A U B) (B U C) = (A B) U (A B)

19. Simplificar usando las leyes:

a. A B A B

b. (A B) U (A B) U (A B) U (A B)

c. (A C) U (A B C) U (A C)

d. (A B C) U A U B U C

e. (A U B) (AU B)

f. [B U (C B)] [B U (A C)]

g. (A B) U (A C) U (A B)


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R/ a. b. U c. A d. U e. B f. B g. A

20. Sombree en cada uno de los diagramas de Venn el rea indicada:

a. A B C b. (A B C) U (A B C) c. A U (A B C)

U U U

A B A B A B

C C C

d. (A B C) U (A B C) e. (A B C) U (A B C) U (A B C)

U U

A B A B

C C

f. (A B C) U (A B C) U (A B C) U (A B C)

U

A B

C


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Algoritmos Objetivos


1. Conocer la terminologa relacionada con los algoritmos; as como la importancia de aplicar tcnicas adecuadas de programacin.

2. Conocer las reglas para cambiar formulas matemticas a expresiones validas para la computadora, adems de diferenciar constantes e identificadores y tipos de datos simples.

3. Ser capaz de diferenciar los mtodos de representacin y formulacin de algoritmos, as como de conocer las caractersticas ms importantes de cada


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tcnica. 4. Conocer las diferentes estructuras algortmicas como componentes

bsicos de los programas y aplicar la combinacin de ellas para el desarrollo de algoritmos mas complejos.

5. Ser capaz de utilizar los datos de tipo arreglo para plantear la solucin de problemas que requieran de esta estructura.

6. Crear y manejar funciones y procedimientos.

Definicin de Algoritmo

La palabra algoritmo se deriva de la traduccin al latn de la palabra rabe alkhowarizmi, nombre de un matemtico y astrnomo rabe que escribi un tratado sobre manipulacin de nmeros y ecuaciones en el siglo IX.

Un algoritmo es una serie de pasos organizados que describe el proceso que se debe seguir, para dar solucin a un problema especfico.

Tipos de Algoritmos

1. Cualitativos: Son aquellos en los que se describen los pasos utilizando palabras.

2. Cuantitativos: Son aquellos en los que se utilizan clculos numricos para definir los pasos del proceso.

Lenguajes Algortmicos

Es una serie de smbolos y reglas que se utilizan para describir de manera explcita un proceso.

Tipos de Lenguajes Algortmicos

1. Grficos: Es la representacin grfica de las operaciones que realiza un algoritmo (diagrama de flujo).

2. No Grficos: Representa en forma descriptiva las operaciones que debe


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realizar un algoritmo (pseudocdigo).

Metodologa para la solucin de problemas por medio de computadora

1. Definicin del Problema

Esta fase est dada por el enunciado del problema, el cual requiere una definicin c lara y precisa. Es importante que se conozca lo que se desea que realice la computadora; mientras esto no se conozca del todo no tiene mucho caso continuar con la siguiente etapa.

2. Anlisis del Problema

Una vez que se ha comprendido lo que se desea de la computadora, es necesario

definir:

1. Los datos de entrada.

2. Cul es la informacin que se desea producir (salida)

3. Los mtodos y frmulas que se necesitan para procesar los datos.

Una recomendacin muy practica es el que nos pongamos en el lugar de la

computadora y analicemos que es lo que necesitamos que nos ordenen y en que

secuencia para producir los resultados esperados.

3. Diseo del Algoritmo

Las caractersticas de un buen algoritmo son:

1. Debe tener un punto particular de inicio. 2. Debe ser definido, no debe permitir dobles interpretaciones. 3. Debe ser general, es decir, soportar la mayora de las variantes que se

puedan presentar en la definicin del problema. 4. Debe ser finito en tamao y tiempo de ejecucin.


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4. Codificacin

La codificacin es la operacin de escribir la solucin del problema (de acuerdo a la lgica del diagrama de flujo o pseudocdigo), en una serie de instrucciones detalladas, en un cdigo reconocible por la computadora, la serie de instrucciones detalladas se le conoce como cdigo fuente, el cual se escribe en un lenguaje de programacin o lenguaje de alto nivel.

5. Prueba y Depuracin

Los errores humanos dentro de la programacin de computadoras son muchos y aumentan considerablemente con la complejidad del problema. El proceso de identificar y eliminar errores, para dar paso a una solucin sin errores se le llama depuracin.

La depuracin o prueba resulta una tarea tan creativa como el mismo desarrollo de la solucin, por ello se debe considerar con el mismo inters y entusiasmo.

Resulta conveniente observar los siguientes principios al realizar una depuracin, ya que de este trabajo depende el xito de nuestra solucin.

6. Documentacin

Es la gua o comunicacin escrita en sus variadas formas, ya sea en enunciados, procedimientos, dibujos o diagramas.

A menudo un programa escrito por una persona, es usado por otra. Por ello la

documentacin sirve para ayudar a comprender o usar un programa o para facilitar

futuras modificaciones (mantenimiento).

La documentacin se divide en tres partes:


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Documentacin Interna: Son los comentarios o mensaje que se aaden al cdigo fuente para hacer ms claro el entendimiento de un proceso.

Documentacin Externa: Se define en un documento escrito los siguientes puntos:

Descripcin del Problema

Nombre del Autor

Algoritmo (diagrama de flujo o pseudocdigo)

Diccionario de Datos

Cdigo Fuente (programa)

Manual del Usuario: Describe paso a paso la manera como funciona el programa, con el fin de que el usuario obtenga el resultado deseado.

7. Mantenimiento

Se lleva a cabo despus de terminado el programa, cuando se detecta que es necesario hacer algn cambio, ajuste o complementacin al programa para que siga trabajando de manera correcta. Para poder realizar este trabajo se requiere que el programa este correctamente documentado.

Los Datos

Tipos De Datos

Todos los datos tienen un tipo asociado con ellos. Un dato puede ser un simple carcter, tal como b, un valor entero tal como 35. El tipo de dato determina la naturaleza del conjunto de valores que puede tomar una variable.

Tipos de Datos:

1. Simples a. Numricos b. Lgicos


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c. Alfanumricos (string) 2. Estructurados (Definidos por el usuario)

a. Arreglos (vectores, matrices) b. Registros c. Archivos d. Apuntadores

Tipos de Datos Simples

Datos Numricos: Permiten representar valores escalares de forma numrica, esto incluye a los nmeros enteros y los reales. Este tipo de datos permiten realizar operaciones aritmticas comunes.

Datos Lgicos: Son aquellos que solo pueden tener dos valores (cierto o falso) ya que representan el resultado de una comparacin entre otros datos (numricos o alfanumricos).

Datos Alfanumricos (String): Es una secuencia de caracteres alfanumricos que permiten representar valores identificables de forma descriptiva, esto incluye nombres de personas, direcciones, etc. Es posible representar nmeros como alfanumricos, pero estos pierden su propiedad matemtica, es decir no es posible hacer operaciones con ellos. Este tipo de datos se representan encerrados entre comillas.

Ejemplo:

Universidad Pedaggica Nacional, 2008

Expresiones

Las expresiones son combinaciones de constantes, variables, smbolos de operacin, parntesis y nombres de funciones especiales.

Ejemplo:


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a+(b + 3)/c

Cada expresin toma un valor que se determina tomando los valores de las variables y constantes implicadas y la ejecucin de las operaciones indicadas.

Una expresin consta de operadores y operandos. Segn sea el tipo de datos que manipulan, se clasifican las expresiones en:

Aritmticas

Relacinales

Lgicas

Operadores y Operandos

Operadores: Son elementos que relacionan de forma diferente, los valores de una o ms variables y/o constantes. Es decir, los operadores nos permiten manipular valores.

Tipos de Operadores

Aritmticos Relacinales

Lgicos

Operadores Aritmticos: Los operadores aritmticos permiten la realizacin

de operaciones matemticas con los valores (variables y constantes).

Los operadores aritmticos pueden ser utilizados con tipos de datos enteros o reales. Si ambos son enteros, el resultado es entero; si alguno de ellos es real, el resultado es real.

Operando (Operador) Operando

Valor


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Operadores Aritmticos

+ Suma

- Resta

* Multiplicacin

/ Divisin Mod Modulo (residuo de la divisin entera)

Ejemplos:

Prioridad de los Operadores Aritmticos

Todas las expresiones entre parntesis se evalan primero. Las expresiones con parntesis anidados se evalan de dentro a fuera, el parntesis mas interno se evala primero.

Dentro de una misma expresin los operadores se evalan en el siguiente orden.

1. ^ Exponenciacin 2. *, /, mod Multiplicacin, divisin, modulo. 3. +, - Suma y resta.

Los operadores en una misma expresin con igual nivel de prioridad se evalan de izquierda a derecha.

Ejercicios: 4 + 2 * 5 = 14 23 * 2 / 5 = 9.2 46 / 5 = 9.2 3 + 5 * (10 - (2 + 4)) = 23 3 + 5 * (10 - 6) = 3 + 5 * 4 = 3 + 20 = 23 3.5 + 5.09 - 14.0 / 40 = 5.09 3.5 + 5.09 - 3.5 = 8.59 - 3.5 = 5.09

Expresin Resultado 7/2 3.5

12 mod 7 5 4 + 2 * 5 14


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2.1 * (1.5 + 3.0 * 4.1) = 28.98 2.1 * (1.5 + 12.3) = 2.1 * 13.8 = 28.98

Operadores Relacinales:

Se utilizan para establecer una relacin entre dos valores. Compara estos valores entre si y esta comparacin produce un resultado de

certeza o falsedad (verdadero o falso). Los operadores relacinales comparan valores del mismo tipo (numricos o

cadenas) Tienen el mismo nivel de prioridad en su evaluacin. Los operadores relacinales tiene menor prioridad que los aritmticos.

Operadores Relacinales

> Mayor que < Menor que

> = Mayor o igual que

< = Menor o igual que

< > Diferente = Igual

Ejemplos:

Si a = 10 b = 20 c = 30 a + b > c Falso a - b < c Verdadero a - b = c Falso a * b < > c Verdadero Operadores Lgicos:

Estos operadores se utilizan para establecer relaciones entre valores lgicos. Estos valores pueden ser resultado de una expresin relacional.


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And Y

Or O

Not Negacin

Ejemplos:

(a < b) and (b < c)

(10, =, Or

Ejemplos: a = 10 b = 12 c = 13 d =10 ((a > b)or(a < c)) and ((a = c) or (a > = b) F T F F T F F ((a > = b) or (a < d)) and (( a > = d) and (c > d)) F F T T


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F T F not (a = c) and (c > b) not F T T T T

Identificadores

Los identificadores representan los datos de un programa (constantes, variables, tipos de datos). Un identificador es una secuencia de caracteres que sirve para identificar una posicin en la memoria de la computadora, que nos permite accesar a su contenido.

Ejemplo: Nombre Num_hrs Calif2

Reglas para formar un Identificador

Debe comenzar con una letra (A a Z, maysculas o minsculas) y no deben contener espacios en blanco.

Letras, dgitos y caracteres como la subraya ( _ ) estn permitidos despus del primer carct

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