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ESTRUCTURAS DE MADERA ANEXOS CAPÍTULO III

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA

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CAPITULO 1

CUESTIONES GENERALES 1.1 Introducción La madera, es el material por excelencia más noble que jamás la especie humana

ha utilizado tanto en la industria como en la construcción. Prácticamente todas las

culturas de la humanidad han empleado la madera en la agricultura, pesca,

ingeniería, vivienda, etc.

La madera es probablemente el único recurso renovable que se utiliza a gran

escala y que su aprovechamiento no daña al medio ambiente. La madera no

puede circunscribirse a un período más o menos largo de la humanidad, ya que es

un material que de forma permanente se ha utilizado en la construcción, estando

presente a lo largo de toda la historia de la civilización. Así, en las zonas de

abundantes bosques la madera constituía la totalidad de la edificación, desde su

estructura, hasta los cerramientos y cubierta. En zonas con menor cantidad de

madera, ésta se usaba en la cubierta y en su estructura horizontal.

Actualmente hay cierto rechazo a utilizar la madera como material estructural,

siendo más habitual el uso del acero y del hormigón. Ello es debido, en gran

medida, a dos condicionantes, que son la durabilidad de las estructuras de madera

y su comportamiento frente al fuego.

Sin embargo, se tiene en muchas ciudades numerosos ejemplos de edificios

construidos de madera que han llegado a nuestros días en un excelente estado de

conservación. Con la evolución de su tecnología se han mejorado las propiedades

de sus productos derivados, han surgido nuevos productos que han ampliado su

campo de aplicación y se han complementado con otras materias primas para

mejorar sus prestaciones.

En el caso de otros materiales de construcción, como son el acero y el hormigón,

son habituales las medidas de protección frente a agresiones externas por lo que

no nos debe extrañar la protección de la madera cuando las condiciones lo

requieran.

Los distintos métodos de tratamiento y la calidad de estos protectores aseguran

una gran durabilidad, protegiendo del ataque de hongos e insectos, así como de



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los agentes atmosféricos, viento, agua, temperatura, sol o variaciones de

humedad.

Con respecto al comportamiento frente al fuego, las estructuras de madera tratada

presentan mejor comportamiento que las de acero, debido principalmente a su

baja conductividad térmica, que hace que la temperatura exterior no llegue

rápidamente al interior. Además, la carbonización superficial retrasa el efecto de la

combustión y, por otra parte, la dilatación térmica de la madera es prácticamente

despreciable.

Aunque la madera, en principio, es un elemento de construcción más caro que el

hormigón y el acero ofrece un tipo de diseño, una estética y una calidez que no

ofrecen esos otros materiales.

La estructura de la madera esta compuesta principalmente por células largas y

esbeltas llamadas fibras. Estas células tienen una forma tubular hueca, cuya

longitud sigue la dirección longitudinal del tronco (para el transporte de agua y

nutrientes durante su crecimiento). Esto proporciona a las piezas cortadas de

madera una característica que se conoce con el nombre de veta; esta se dirige a

lo largo de las piezas cortadas de madera. Esto a su vez suministra una referencia

para observar diferentes acciones estructurales relacionadas con la veta; es decir

si son paralelas a la veta, perpendiculares a la veta u oblicuas a la misma.

Los componentes principales de la madera son los siguientes:

- La celulosa, arrollada helicoidalmente en la pared tubular, con una resistencia a

la tracción de 10.000 k/cm2 (superior a la del acero).

- La lignina, que constituye la masa de la pared tubular, actuando como

aglomerante de la celulosa, con una resistencia a la compresión de 2.400 k/cm2

(superior a la del hormigón). El origen orgánico de la madera la hace susceptible

de ser degradada por organismos xilófagos. Este hecho permite considerarla

como un material naturalmente biodegradable. Sin embargo, para la actuación de

la mayoría de estos organismos xilófagos, se requieren contenidos de humedad o

situaciones que no son frecuentes en una construcción bien concebida y

mantenida.

Las técnicas de tratamiento y los productos protectores de la madera permiten en

la actualidad evitar los riesgos de ataque en las situaciones comprometidas. La



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protección de los materiales de construcción frente a la agresión del medio

(tratamiento contra la corrosión del acero, anodizado del aluminio, recubrimientos

mínimos en el hormigón armado, etc.), son procedimientos asumidos por la

práctica. Sería por tanto injusto pretender utilizar la madera sin ninguna

protección, si las condiciones de utilización lo requieren.

La madera es un material combustible a temperaturas relativamente bajas. Este

fenómeno, evidente para cualquier persona, crea una desconfianza, generalmente

poco meditada, hacia su utilización en la construcción.

Las causas de los incendios no se encuentran generalmente en los materiales

estructurales (incluida la madera), sino en los elementos de carácter decorativo,

revestimientos, mobiliario, instalaciones hacia las cuales no siempre se mantiene

la misma desconfianza. En el caso de la madera existen razones que permiten un

buen comportamiento ante el fuego, en una situación de incendio:

• La baja conductividad térmica hace que la temperatura exterior no llegue

rápidamente al interior.

• La carbonización superficial, con una conductividad térmica inferior,

aumenta el efecto anterior.

• La dilatación térmica es despreciable.

• Los gases de la combustión no son tóxicos

De esta forma es fácil conseguir tiempos elevados de estabilidad al fuego para los

elementos estructurales, con el fin de permitir la evacuación del edificio o la

extinción del incendio.

La tecnología de la madera laminada, la madera microlaminada y los productos

prefabricados de composición mixta, se orientan hacia una especialización y

optimización cada vez mayores.



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FIG. 1.1 Aprovechamiento de la madera en la construcción 1.2 Estructura del Tronco

FIG. 1.2. Estructura del tronco

La mayor parte de los árboles usados con fines estructurales son exógenos, es

decir que aumentan de tamaño creando madera en la superficie exterior debajo de

la corteza.

En una sección de un tronco podemos apreciar las distintas partes que lo forman,

la parte más externa, la piel del árbol, es la parte que lo protege, se llama corteza

y salvo en algunos casos, como el corcho, tiene escasas aplicaciones.

La siguiente capa llamada "líber" es una corona que envuelve el tronco formada

por fibras elásticas por donde circulan los nutrientes del árbol, llamada también

corteza interior.

Por debajo del "líber" encontramos el "cambium" se trata de un tejido elástico

formado de células provistas de una delgada membrana de celulosa. A lo largo del

periodo anual del crecimiento del árbol, el "cambium" forma un anillo; estos son

llamados anillos anuales, que con frecuencia están compuestos por material

alternado de color claro y de color oscuro, así que contando los anillos del corte

podemos saber la edad del mismo.



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A continuación encontramos otra corona circular llamada "albura" que ya es

madera pero todavía sin madurar, en formación; ésta no se puede trabajar por ser

poco estable y resistente.

Debajo de la "albura" está el "duramen" que es la madera propiamente dicha, la

que utilizaremos para los distintos usos, la más interna recibe el nombre de

"madera vieja" distinguiéndose dentro del "duramen" por su color mas oscuro.

En el centro del corte que observamos en la Fig. 1.2., como el eje del árbol, está la

médula, que según el tipo de árbol puede ser más o menos gruesa, y con el paso

del tiempo puede secarse y desaparecer.

Observando un corte también podremos distinguir el tipo de madera al que

pertenece. Las maderas blandas tienen una fibra de trama ancha mientras que en

las duras la fibra es más compacta. Al comprar una tabla se debe saber distinguir

de que tipo de árbol se ha obtenido y si es apta para el trabajo que se irá a

realizar, hay que saber si se va alabear y en que dirección la va a hacer, observar

para ello en el canto de la tabla la dirección de las fibras, no es tarea fácil ya que

la calidad de la madera varía aunque proceda de árboles del mismo tipo, pero la

experiencia puede ayudarnos.

1.3 Familias Maderables

Especies Coníferas y Latifoliadas

El tipo particular de árbol del cual proviene la madera se denomina especie,

existen dos grandes grupos botánicos que incluyen la mayor parte de las especies

vegetales susceptibles de suministrar maderas comercializables: las

Gimnospermas y Angiospermas a las que comúnmente se hace referencia de

forma simplificada como coníferas, también llamadas como árboles de madera

blanda y latifoliadas también llamadas como árboles de madera dura o de hojas

frondosas. Los términos madera blanda y madera dura no expresan el verdadero

grado de dureza de las distintas especies de árboles. Algunos árboles de madera

blanda son tan duros como los árboles de madera dura de densidad media, en

tanto que algunas especies de árboles de madera dura tienen madera más suave

que algunos árboles de madera blanda.



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En el grupo de las frondosas están las especies de hoja caduca presentes en

todos los continentes. Normalmente se distingue entre frondosas de zonas

templadas y frondosas tropicales. Se estima que existen en el mundo alrededor de

17.000 especies maderables de las cuales solo tienen carácter comercial unas

400 y sólo unas cuantas docenas son las seleccionadas con fines estructurales.

En Bolivia tenemos los siguientes árboles maderables:

Ø LATIFOLIADAS (Hoja caduca):

Ø CONÍFERAS (Hoja perenne):

Ø MADERAS PRECIOSAS :

Las maderas preciosas no deben utilizarse en la construcción, deben utilizarse en

la mueblería.

1.4 Propiedades físicas

Almendrillo Verdolago Palo María Gabón Ochoó

MADERAS DE MONTE BOSQUE BOLIVIANO ES RICO EN ESTAS.

Pinos............. Araucarias Abetos

BOSQUE BOLIVIANO ES POBRE EN ESTAS.

Insigne Ciprés Radiatas

Mara Cedro Roble Guayacán Moroudillo



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Las propiedades de la madera dependen, del crecimiento, edad, contenido de

humedad, clases de terreno y de las distintas partes del tronco.

1.4.1 Humedad

La madera contiene agua de constitución, inerte a su naturaleza orgánica, agua de

saturación, que impregna las paredes de los elementos leñosos, y agua libre,

absorbida por capilaridad por los vasos y traqueidas.

Como la madera es higroscópica, absorbe o desprende humedad, según el medio

ambiente. El agua libre desaparece totalmente al cabo de un cierto tiempo,

quedando, además del agua de constitución, el agua de saturación

correspondiente a la humedad de la atmósfera que rodee a la madera, hasta

conseguir un equilibrio, diciéndose que la madera esta secada al aire.

La humedad de la madera varía entre límites muy amplios. En la madera recién

cortada oscila entre el 50 y 60 por ciento, y por imbibición puede llegar hasta el

250 y 300 por ciento. La madera secada al aire contiene del 10 al 15 por ciento de

su peso de agua, y como las distintas mediciones físicas están afectadas por el

tanto por ciento de humedad, se ha convenido en referir los diversos ensayos a

una humedad media internacional de 15 por ciento.

La humedad de las maderas se aprecia, además del procedimiento de pesadas,

de probetas, húmedas y desecadas, y el calorimétrico, por la conductividad

eléctrica, empleando girómetros eléctricos. Estas variaciones de humedad hacen

que la madera se hinche o contraiga, variando su volumen y, por consiguiente, su

densidad.

El porcentaje de humedad (H):

100*PPPHO

OH −=

Donde: húmedoestadoelenPeso:PH

secoestadoelenPeso:PO

En la construcción las maderas deben utilizarse siempre descortezadas y secas.



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Antes de la construcción, la madera deberá secarse a un contenido de humedad

apropiado y tan parecido como sea práctico al contenido de humedad en equilibrio

promedio de la región en la cual estará la estructura.

Si el contenido de humedad de la madera excede el límite indicado para la madera

seca (15 por ciento), el material solamente podrá usarse si el riesgo de pudrición

en el tiempo que dure el secado es eliminado.

La madera deberá ser almacenada y protegida apropiadamente, contra cambios

en su contenido de humedad y daño mecánico, de tal manera que siempre

satisfaga los requerimientos de la clase estructural especificada.

1.4.2 Densidad y Peso específico La relación que existe entre la masa y el volumen de un cuerpo se llama densidad.

Por costumbre cuando se usa el sistema métrico se toma la masa como el peso

del cuerpo. El peso de la madera es la suma del peso de parte sólida más el peso

del agua. El volumen de la madera es constante cuando están en el estado verde,

el volumen disminuye cuando el contenido de humedad es menor que el punto de

saturación de las fibras y vuelve a ser constante cuando se ha alcanzado el estado

anhidro o seco al horno. Se pueden distinguir en consecuencia cuatro

densidades para una misma muestra de madera: Densidad verde, seca al aire,

anhidra y básica.

El peso específico es la relación entre el peso de la madera, a un determinado

contenido de humedad, y el peso del volumen de agua desplazado por el volumen

de la madera. Considerando que el agua tiene densidad igual a 1 puede decidirse

que la relación entre la densidad de la madera dividida entre la densidad del agua

igualan a su peso específico. En el sistema métrico la densidad y el peso

específico tienen el mismo valor.

Según el Manual de Diseño en Maderas del Grupo Andino, las maderas se

clasifican en los siguientes grupos:

Ø GRUPO A → γ ≅ (750 – 850) k/m3.

Ø GRUPO B → γ ≅ (700 – 750) k/m3.

Ø GRUPO C → γ ≅ (600 – 750) k/m3.

1.4.3 Contracción e Hinchamiento



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La madera cambia de volumen según la humedad que contiene. Cuando pierde

agua, se contrae o merma, siendo mínima en la dirección axial o de las fibras, no

pasa del 0.8 por ciento; de 1 a 7.8 por ciento, en dirección radial, y de 5 a 11.5 por

ciento, en la tangencial.

La contracción es mayor en la albura que en el corazón, originando tensiones por

desecación que agrietan y alabean la madera.

El hinchamiento se produce cuando absorbe humedad. La madera sumergida

aumenta poco de volumen en sentido axial o de las fibras, y de un 2.5 al 6 por

ciento en sentido perpendicular; pero en peso, el aumento oscila del 50 al 150 por

ciento. La madera aumenta de volumen hasta el punto de saturación (20 a 25 por

ciento de agua), y a partir de él no aumenta más de volumen, aunque siga

absorbiendo agua. Hay que tener muy presente estas variaciones de volumen en

las piezas que hayan de estar sometidas a oscilaciones de sequedad y humedad,

dejando espacios necesarios para que los empujes que se produzcan no

comprometan la estabilidad de la obra.

1.4.4 Dureza La dureza de la madera es la resistencia que opone al desgaste, rayado, clavado,

etc. Depende de su densidad, edad, estructura y si se trabaja en sentido de sus

fibras o en el perpendicular. Cuanto más vieja y dura es, mayor la resistencia que

opone. La madera de corazón tiene mayor resistencia que la de albura: la crecida

lentamente obtiene una mayor resistencia que la madera que crece de prisa.

En nuestro medio la comercialización de la madera estructural se realiza según

su dureza, y se clasifican en:

- Duras: almendrillo, quebracho, verdolago.

- Semiduras; palo maría, yesquero, jororí, palo román.

- Blandas: ochoó.

1.4.5 Hendibilidad Se llama también facilidad a la raja y es la aptitud de las maderas a dividirse en el

sentido longitudinal bajo la acción de una cuña. El rajado es más fácil, en sentido

de los radios.

Como madera muy hendible se acostumbra citar el castaño, como madera

hendible, el roble, y como madera poco hendible, el carpe.



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1.4.6 Conductividad

La madera seca es mala conductora del calor y electricidad, no así cuando esta

húmeda.

La conductividad es mayor en el sentido longitudinal que en radial o transversal, y

más en las maderas pesadas que en las ligeras o porosas, por lo cual se emplean

como aisladores térmicos en las paredes.

1.4.7 Dilatación térmica

El coeficiente de dilatación lineal de la madera es muy pequeño, pudiendo ser

despreciado.

1.5 El mercado maderero En el mercado las maderas se presentan de la siguiente manera:

Ø Rollizo, (sección circular) con diámetro ≅ (15 – 40) cm.

Ø Aserradas, esta forma se obtiene aserrando el rollizo en sus cuatro caras,

obteniendo una sección rectangular:

b

h

b*h = ESCUADRIA

• Listones :

• Viguetas :

)"212- (2 b

)"212- (2h

)"4- (3 b

)"4- (3h



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• Vigas :

• Basas(grandes vigas) :

Es muy difícil encontrar en los aserraderos piezas de longitud mayor a 8 metros, y

diámetro superior a 50 centímetros.

Ø Planchas, estas se construyen de la siguiente manera:

• Se cortan tablas y se unen con pegamento

• La parte superior e inferior con tablas y el centro con virutas y

desperdicios

Tablas

Virutas

(1 -112)"

La utilización de las planchas permite un uso óptimo de las maderas;

lamentablemente en este ramo la industria boliviana es pobre.

1.6 Protección de la madera Las maderas se protegen fundamentalmente contra el ataque de los hongos e

insectos y además contra la humedad.

Ø Protección contra hongos e insectos :

cm)20- (15 b

cm)25- (15h

cm30)-(25 b

cm)45-(35h

• HONGOS ↔ FUNGICIDAS (Derivados del cobre)

• INSECTOS ↔ INSECTICIDAS (Depende del atacante)



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Los fungicidas e insecticidas a usarse deben ser consultados con un biólogo y

adquiridos en las tiendas especializadas.

Aplicación.- Para aplicar fungicidas e insecticidas (veneno) debe asegurarse

la protección del personal, generalmente mediante la utilización de mascarillas.

Para la aplicación existen tres procedimientos:

• Brochado Se prepara las mezclas de veneno y agua en la

dosificación especificada, y con unas brochas se pinta las piezas de

madera, cabe señalar que el brochado es POCO EFECTIVO.

• Atomizado Preparadas las mezclas se fumigan las piezas de

madera utilizando fumigadores manuales o mecánicos (con motor), este

procedimiento tiene una EFECTIVIDAD MEDIA.

• Inmersión La inmersión se utiliza especialmente en las factorías

(fábricas), se construyen grandes piscinas y se llenan con las mezclas,

se sumergen en ellas las piezas por un tiempo mínimo de 48 horas. Este

tipo de procedimiento es MUY EFECTIVO.

Dependiendo de la importancia y tiempo de servicio de las estructuras de

madera el ingeniero decidirá el procedimiento de aplicación.

Ø Protección contra la humedad.- La humedad origina en las maderas

pudrición, este efecto es extremadamente peligroso, mucho más que el

ataque de hongos e insectos (salvo las termitas), se protege contra la

humedad mediante la utilización de barnices y aceites (creosotas).

1.7 Defectos de la madera Debido a la naturaleza misma de la madera muchos defectos son muy comunes

en su estructura. Se considera como defecto a cualquier irregularidad en la

madera que afecte a su durabilidad o resistencia.

Entre los defectos que más se encuentran en la madera se tienen:

Ø Una fenda o rajadura, que es una separación a lo largo de la veta,

generalmente entre los anillos anuales. Este defecto influyen a los

miembros que estaban sujetos a flexión, debido a que disminuye su

resistencia al esfuerzo cortante. Este defecto no afecta tanto a elementos

sometidos a compresión longitudinal, como columnas.



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Ø Un nudo, que es la parte de una rama que ha sido rodeada por el

crecimiento del árbol. La influencia de este defecto en la resistencia

depende en su número, sus dimensiones y en la ubicación que tienen en el

miembro estructural a analizar; esto influirá en los valores admisibles de

diseño a emplear.

Ø Una grieta, que es una separación a lo largo de la veta, cuya mayor parte

atraviesa los anillos anuales de crecimiento; y se producen generalmente a

partir del proceso de curado. Este defecto influye al igual que una fenda o

rajadura en la disminución de resistencia al esfuerzo cortante.

Ø Una hendidura, que es una separación longitudinal de la madera que

atraviesa la pieza de una superficie a otra.

Ø Una bolsa de resina, que es una abertura paralela a los anillos anuales que

contiene resina, que puede estar en estado líquido o sólido.

Ø La veta oblicua, debida a la forma cónica de los troncos, cuando se asierre

una pieza larga de madera de un tronco de árbol corto, o cuando al cortar

un madero no se lo mantuvo recto durante el corte. Este defecto afecta

directamente sobre ciertos usos estructurales de la piezas de madera,

como por ejemplo su reducción de resistencia a la compresión (en

columnas), debido a que su valor máximo se da cuando ésta es paralela a

la veta, y al estar de manera oblicua esta debe resistencia debe reducirse

con la fórmula de Hankinson (esto se verá a detalle en el siguiente

Capítulo).

Ø La pudrición, que es un proceso natural de un organismo que estuvo vivo,

pero que se presenta en cierto grado de descomposición dentro del árbol

incluso durante su periodo de crecimiento, formando bolsas de pudrición. Si

existe pudrición en una pieza de madera para uso estructural debe

rechazarse; y para prevenir la pudrición nueva existen varios tratamientos,

como la impregnación de sustancias químicas a la masa de madera. Este

factor es de suma importancia en piezas que estarán expuestas a la

intemperie.



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Nota.- Para las tolerancias y la clasificación visual por defectos de la madera estructural se recomienda dar lectura a la Pág. 3-12 de la “Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino”

1.8 Curado de la madera

Se conoce como curado al proceso de remoción de humedad de la madera verde

(piezas recién cortadas); que se efectúa de dos maneras: secada al aire

exponiendo la madera a aire más seco durante un largo periodo de tiempo, o

secada al horno calentándola para expulsar su humedad.

La madera curada es en general más rígida, más fuerte y menos propensa a

cambiar de forma.

El contenido de humedad de la madera se define como la relación del peso del

agua en una pieza de madera y el peso de una muestra secada al horno

(humedad cero), expresada como porcentaje.

1.9 La madera en la construcción VENTAJAS:

Ø La madera es aislante tanto del calor como del frío, es el material más

usado en las obras de reciclaje.

Por otra parte la liviandad del material no es gravosa sobre la estructura

existente y la obra de madera se la puede considerar una estructura

fácilmente desmontable y por lo tanto puede ser una construcción no-fija.

Ø El uso de la madera en la construcción está indicado para zonas con riesgo

sísmico, ya que gracias a la liviandad del material es de reducida masa y

por lo tanto tiene un elevado coeficiente antisísmico.

En caso de terremotos es mucho más segura la solución de un techo de

madera, sobre cualquier tipo de construcción, ya que la madera compensa

y reduce las vibraciones provocadas por el terremoto.

En la construcción con madera se busca siempre, en lo posible, fabricar los

elementos en bloques únicos, para transportarlos al lugar mediante camión

y colocarlo en obra con el auxilio de grúas móviles. La ventaja mayor que

deriva de tal procedimiento está en la posibilidad de construir la estructura



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en un local controlado dentro del establecimiento del fabricante y poder

efectuar el montaje de los elementos en forma rápida y en seco.

Los techos con estructura de madera permiten la elección de cualquier tipo

de cubierta.

En el caso de techos muy planos (angulación hasta 10º) se aconseja una

cubierta de chapas; para angulaciones superiores (mayor de 20º) es posible

cubrirla con tejas cerámicas.

Si la madera simple sólida, escuadrada en aserradero, no alcanza a ser

idónea para una determinada construcción, se utiliza algo técnicamente

superior como lo es la madera laminada, respetando siempre las

dimensiones indicadas por el constructor.

Las uniones entre los elementos, se efectúan con los métodos de la

carpintería artesanal o sea, mediante grampas, planchas, clavos metálicos

o similares. Las fuerzas de transmisión admisibles son ensayadas en el

laboratorio. El medio de unión clásico en la construcción de madera es el

clavo.

Ø Respecto a su bajo peso específico, la madera tiene óptimas características

de resistencia mecánica y tiene además óptimas características como

aislante térmico.

La madera es muy resistente a los ataques de sustancias químicas y puede

ser utilizada en ambientes especiales (como por ejemplo, piscinas,

cobertizos industriales, etc.); tiene la capacidad de absorber la humedad del

aire, acumularla y restituirla a esta última.

Las estructuras relacionadas con las construcciones de madera pueden ser

fácilmente prefabricadas, lo que significa un ahorro, tanto en términos de

tiempo como en costo de montaje. Los edificios construidos con madera

son fácilmente desmontables y las estructuras de madera pueden ser

recicladas o re-utilizadas.

Tecnologías modernas, como el encolado, permiten producir elementos

estructurales cuya longitud supera en mucho los límites establecidos por el

crecimiento del árbol.

Ø No sufre oxidación



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DESVENTAJAS: Ø Fácilmente combustible (En caso de que no existe tratamiento previo)

Ø Ataque de agentes orgánicos (Hongos, insectos)

Ø Es Higroscópico (Aumento de volumen y disminución de volumen al tomar o

perder agua)

Ø Fácilmente deformable.

1.10 Normas de diseño

Las normas de diseño son documentos técnicos que tienen fuerza de ley; en esos

documentos encuentra el ingeniero fórmulas, valores y recomendaciones que le

permiten diseñar estructuras de manera segura y económica, aún en

contraposición a la resistencia de materiales. Generalmente las normas se

construyen de manera experimental (observando la realidad objetiva). Se pueden

mencionar las siguientes normas:

Ø MANUAL DE DISEÑO PARA MADERAS DEL GRUPO ANDINO

Ø DIN 1052 (Coníferas)

Ø CHILENA NCh5006 (Coníferas)

Ø TIMBER DESIGN MANUAL (con su suplemento “NDS”)

Ø LRFD MANUAL FOR ENGINEERED WOOD CONSTRUCTION

EJERCICIO PROPUESTO.- Ø Control de lectura, máximo de 2 hojas manuscritas en papel tamaño carta.

Ø Dar especial importancia a los siguientes conceptos:

« Especies Coníferas

« Especies Latifoliadas

« Humedad en la madera

« Peso específico de la madera

« Escuadría

« Defectos de la madera

« Curado de la madera

« Normas de Diseño



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Ø Visitar los aserraderos de nuestra ciudad, para averiguar los tipos de madera,

escuadrías, longitudes, etc., que se comercializan en el mercado.



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CAPITULO 2

MÉTODOS DE DISEÑO Y ANÁLISIS ESTRUCTURAL

La parte principal de todo trabajo de diseño estructural es la necesidad de

concebir y evaluar el comportamiento físico de la estructura al resistir las cargas

que debe soportar; para lo cual debe hacerse un trabajo matemático para apoyar

este análisis. Concluido el análisis se debe realizar el trabajo de diseño; pero para

esto deben considerarse los comportamientos estructurales simples y la

metodología de diseño a seguir.

2.1 Métodos de Diseño Actualmente se utilizan 2 métodos principales de diseño que son:

Ø El método tradicional que se conoce como diseño por esfuerzos de trabajo

admisibles.- En este método se utilizan relaciones básicas derivadas de la

teoría clásica del comportamiento elástico de los materiales; la adecuación

o seguridad de los diseños se mide al comparar con respecto a dos límites

principales: un aceptable para el esfuerzo máximo y un nivel tolerable para

el alcance de la deformación. Estos límites se calculan tal como se

presentan en respuestas a las cargas de servicio; es decir a las cargas

producidas por las condiciones de uso normal de la estructura, los

movimientos tolerables se llamaban deflexiones admisibles, alargamiento

admisible, etc. En esencia el método de los esfuerzos de trabajo consiste

en diseñar una estructura para trabajar a algún porcentaje apropiado

establecido de su capacidad total. Sin embargo lo que es verdaderamente

apropiado como una condición de trabajo tiene mucho de especulación teórica.

Con el objeto de establecer en forma convincente ambos límites de

esfuerzo y deformación, fue necesario ejecutar ensayos de estructuras

reales.

Este método de diseño constituye en su mayoría a los reglamentos de

diseño, y en especial el Manual de diseño para maderas del Grupo Andino, la cual es la que se usa en nuestro medio.



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Ø Método de la resistencia o LRFD, en el cual se usan límites de falla para el

trabajo de diseño. El método de la resistencia consiste en diseñar una estructura para fallar, pero para una condición de carga más allá de lo

que debería experimentar durante su uso. Una razón principal para

favorecer los métodos de resistencia es que la falla de una estructura se demuestra con relativa facilidad mediante pruebas físicas.

2.2 Esfuerzos que resiste la madera La acción de las cargas somete a las maderas a los siguientes esfuerzos:

2.2.1 COMPRESIÓN: Este esfuerzo se produce cuando una fuerza tiende a

comprimir o aplastar un miembro. Este esfuerzo se presenta en las

columnas de edificaciones, así como en algunas barras que conforman

distintos tipos de armaduras.

2.2.2 TRACCIÓN: Es un esfuerzo que se produce cuando una fuerza tiende a

estirar o alargar un miembro. La cuerda inferior y ciertas almas de

miembros de armaduras y cabios atirantados trabajan a tracción. Si se

conoce la fuerza total de tracción axial (denotado por P) en un miembro, así

como el área de su sección transversal (denotado por A), el esfuerzo

unitario de tracción se encuentra a partir de la fórmula básica del esfuerzo

directo : AP

T =σ

2.2.3 FLEXIÓN: Este tipo de esfuerzo por lo común se genera por la

aplicación de momentos llamados momentos flexionantes (sobre todo en

• Paralelas a las fibras(veta) ↔

CIIadσ • Perpendicular a las fibras ↔

⊥Cσad • Inclinadas a las fibras ↔

• Paralelas a las fibras ↔ TIIadσ



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vigas), produciendo esfuerzos flexionantes (tanto de compresión como de

tracción).

2.2.4 CORTE: Se produce un esfuerzo cortante cuando dos fuerzas iguales,

paralelas y de sentido contrario tienden a hacer resbalar, una sobre otra, las

superficies contiguas del miembro. Este esfuerzo que es muy común se

presenta en la mayoría de los elementos estructurales, y por ejemplo en

vigas cabe señalar que existen 2 tipos de esfuerzo cortante, el vertical y el

horizontal; y por lo general las fallas por cortante en vigas de madera se

deben al esfuerzo cortante horizontal, y no al vertical.

2.2.5 DEFORMACIÓN: La deformación es el cambio de tamaño o forma que

siempre sufre un cuerpo que está sometido a una fuerza. Cuando las

fuerzas son de compresión y de tracción axial, las deformaciones son

acortamientos o alargamientos, respectivamente. Cuando una fuerza actúa

en un miembro flexionándolo (como lo hacen las cargas en las vigas), la

deformación se llama flecha.

• ↔ fadσ

• ↔ τad

↔ Flechas; este fenómeno en las maderas es extremadamente peligroso, las flechas admisibles dependen del grupo de las maderas:

• Grupo A ↔ 300-250(cm) L fad ≅

• Grupo B ↔ 275-225

(cm) L fad ≅

• Grupo C ↔ No debe utilizarse para resistir cargas (sólo para estructuras provisionales).



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2.3 PROPIEDADES ELÁSTICAS 2.3.1 Limite Elástico.- El diseño de las estructuras de madera se basa en la teoría elástica, en la cual se

establece que las deformaciones son directamente proporcionales a los esfuerzos,

es decir que al ser aplicada una fuerza se produce una cierta deformación, y al ser

aplicada el doble de esta fuerza se producirá el doble de la cantidad de

deformación. Esta relación se mantiene sólo hasta un cierto límite, después del

cual la deformación comienza a aumentar en un grado mayor que los incrementos

de carga aplicada; el esfuerzo unitario para el cual ocurre este límite se conoce

como límite elástico o límite de proporcionalidad del material.

Más allá del límite elástico se produce una deformación permanente en el

miembro. En el Método de esfuerzos admisibles el diseño establece que no se

debe sobrepasar el límite elástico para la estructura sometida a cargas de servicio.

2.3.2 Módulo De Elasticidad Axial .- El Módulo de elasticidad de un material es la medida de su rigidez, y este es la

relación entre el esfuerzo unitario y la deformación unitaria, siempre que el

esfuerzo unitario no exceda el límite elástico del material.

El modulo de elasticidad axial “E” varia entre: 55000<E<130000 kg/cm2

dependiendo del grupo de la madera, siendo el primero para maderas del tipo C y

el último para maderas del grupo A.

Los valores usados usualmente para el diseño son:

Ø GRUPO A:

Ø GRUPO B:

Almendrillo Quebracho Roble

E ≈ 100000 kg/cm2

Verdolago Palo María Laurel

E ≈ 80000 kg/cm2



A22

Ø GRUPO C:

2.4 Cálculos Es muy recomendable que se hagan los cálculos estructurales con programas o

paquetes en computadora, debido a que en el diseño profesional el trabajo es

complejo y debe realizarse de la manera más rápida posible; por tal motivo en el

presente texto se hace un tutorial de los programas SAP2000 y Robot Millenium

para la simulación estructural de armaduras.

También para un diseño y verificación rápida de resultados se adjuntará al

presente documento unas planillas Excel en las que efectúan diseños automáticos

de los diferentes tipos de problemas que se abarquen en el presente texto.

EJERCICIO PROPUESTO.- Ø Al término de avance del capítulo, el alumno deberá usar la información de

éste capítulo y realizar un resumen de máximo dos páginas manuscritas, con

los formatos de presentación sugeridos por el docente, además de un cuadro

resumen en el que plasme las ideas fundamentales del capítulo.

Adicionalmente, repasar el significado de los siguientes términos:

« Diseño por esfuerzos admisibles o ASD

« Diseño por resistencia o LRFD

« Límites de Servicio

« Esfuerzos que resiste la Madera

« Límite Elástico

« Módulo de Elasticidad Axial

Gabón Ochoó

E ≈ 65000 kg/cm2



A23

CAPITULO 3

DISEÑO DE VIGAS Una viga es un elemento estructural que resiste cargas transversales.

Generalmente, las cargas actúan en ángulo recto con respecto al eje longitudinal

de la viga. Las cargas aplicadas sobre una viga tienden a flexionarla y se dice que

el elemento se encuentra a flexión. Por lo común, los apoyos de las vigas se

encuentran en los extremos o cerca de ellos y las fuerzas de apoyo hacia arriba se

denominan reacciones.

3.1 PROPIEDADES DE LAS SECCIONES Además de la resistencia de la madera, caracterizada por los esfuerzos unitarios

admisibles, el comportamiento de un miembro estructural también depende de las

dimensiones y la forma de su sección transversal, estos dos factores se

consideran dentro de las propiedades de la sección.

3.1.1 Centroides.- El centro de gravedad de un sólido es un punto imaginario en

el cual se considera que todo su peso está concentrado o el punto a través

del cual pasa la resultante de su peso. El punto en un área plana que

corresponde al centro de gravedad de una placa muy delgada que tiene las

mismas áreas y forma se conoce como el centroide del área. Cuando una viga se flexiona debido a una carga aplicada, las fibras por

encima de un cierto plano en la viga trabajan en compresión y aquellas por

debajo de este plano, a tensión. Este plano se conoce como la superficie

neutra. La intersección de la superficie neutra y la sección transversal de la

viga se conoce como el eje neutro. 3.1.2 Momento de inercia

En la figura 3-1 se ilustra una sección rectangular de ancho b y alto h con el

eje horizontal X-X que pasa por su centroide a una distancia c =h/2 a partir

de la cara superior. En la sección, a representa un área infinitamente

pequeña a una distancia z del eje X-X. Si se multiplica esta área

infinitesimal por el cuadrado de su distancia al eje, se obtiene la cantidad (

a x z2). El área completa de la sección estará constituida por un número



A24

infinito de estas pequeñas áreas elementales a diferentes distancias por

arriba y por debajo del eje X-X.

Entonces, el momento de inercia se define como la suma de los productos

que se obtienen al multiplicar todas las áreas infinitamente pequeñas por el

cuadrado de sus distancias a un eje.

c

X

Y

a

z

Yb

Xh

Los dos ejes principales de la figura son X-X y Y-Y, pasan por el centroide

de la sección rectangular, con respecto a un eje que pasa por el centroide y

es paralelo a la base es IX-X = bh3/12, con respecto al eje vertical, la

expresión sería IY-Y = hb3/12.

3.1.3 Radio de Giro.- Esta propiedad de la sección transversal de un miembro estructural está

relacionada con el diseño de miembros sujetos a compresión. Depende de

las dimensiones y de la forma geométrica de la sección y es un índice de la

rigidez de la sección cuando se usa como columna. El radio de giro se

define matemáticamente como r= AI / ,

Donde I es el momento de inercia y A el área de la sección. Se expresa en

centímetros porque el momento de inercia está en centímetros a la cuarta

potencia y el área de la sección transversal está en centímetros cuadrados.

El radio de giro no se usa tan ampliamente en el diseño de madera

estructural como en el diseño de acero estructural. Para las secciones

FIGURA 3.1

Ref.: Elaboración Propia



A25

rectangulares que se emplean comúnmente en las columnas de madera, es

más conveniente sustituir el radio de giro por la dimensión lateral mínima en los procesos de diseño de columnas.

3.2 DEFLEXIONES ADMISIBLES Se llama flecha o deflexión a la deformación que acompaña a la flexión de una

viga, vigueta o entablado. La flecha se presenta en algún grado en todas las vigas,

y el ingeniero debe cuidar que la flecha no exceda ciertos límites establecidos. Es

importante entender que una viga puede ser adecuada para soportar la carga

impuesta sin exceder el esfuerzo flexionante admisible, pero al mismo tiempo la

curvatura puede ser tan grande que aparezcan grietas en los cielos rasos

suspendidos revestidos, que acumule agua en las depresiones de las azoteas,

dificulte la colocación de paneles prefabricados, puertas o ventanas, o bien impida

el buen funcionamiento de estos elementos.

Las deflexiones deben calcularse para los siguientes casos:

a.- Combinación más desfavorable de cargas permanentes y sobrecargas de

servicio.

b.- Sobrecargas de servicio actuando solas.

Se recomienda que para construcciones residenciales estas no excedan los

límites indicados en la siguiente Tabla:

Carga Actuante (a) con cielo (b) sin cielo

raso de yeso raso de yeso

Cargas permanentes +

sobrecargas L/300 L/250

Sobrecarga L/350 L/350

L es la luz entre caras de apoyos o la distancia de la cara del apoyo al extremo, en

el caso de volados. Los valores indicados en la columna (a) deben ser utilizados

Ref.: TABLA 8.1 de Pág. 8-‐3 del “Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino”

TABLA 3.1: DEFLEXIONES MAXIMAS ADMISIBLES



A26

cuando se tengan cielos rasos de yeso u otros acabados que pudieran ser

afectados por las deformaciones: en otros casos deben utilizarse los valores de la

columna (b).

Aunque las consideraciones para definir la flecha pueden ser importantes, la

determinación precisa de la flecha es un objetivo inalcanzable por las siguientes

razones:

Ø La determinación de las cargas siempre incluye algún grado de

aproximación.

Ø El módulo de elasticidad de cualquier pieza individual de madera siempre

es un valor aproximado.

Ø Existen diferentes restricciones en la deformación estructural debido a la

distribución de cargas, resistencias en las uniones, rigidez debida a

elementos no estructurales de la construcción, etc.

Las deflexiones en vigas deben ser calculadas con el módulo de elasticidad Emin

del grupo de la madera estructural especificado.

Para entablados debe utilizarse el Epromedio, las deflexiones en viguetas y

elementos similares pueden también determinarse con el Epromedio, siempre y

cuando se tengan por lo menos cuatro elementos similares, y sea posible una

redistribución de la carga.

Los módulos de elasticidad para los tres grupos de maderas estructurales

considerados se indican en la tabla 3.2.:

GRUPO A GRUPO B GRUPO C

Emínimo 95,000 75,000 55,000

Epromedio 130,000 100,000 90,000

3.3 REQUISITOS DE RESISTENCIA 3.3.1 Flexión.- El momento flexionante es una medida de la tendencia de las

fuerzas externas que actúan sobre una viga, para deformarla. Ahora se

considerará la acción dentro de la viga que resiste flexión y que se llama

momento resistente.

TABLA 3.2: MODULO DE ELASTICIDAD (kg/cm2)




A27

Para cualquier tipo de viga se puede calcular el momento flexionante

máximo generado por la carga. Si se desea diseñar una viga para resistir

esta carga, se debe seleccionar un miembro con una sección transversal de

forma, área y material tales, que sea capaz de producir un momento

resistente igual momento flexionante máximo; lo anterior se logra usando la

fórmula de la flexión.

Por lo común la fórmula de la flexión se escribe como:

I

yM ⋅=σ

Donde el tamaño y la forma de la sección transversal están representados

por la inercia (I) y el material del cual está hecha la viga está representado

por σ, la distancia del plano neutro a cualquier fibra de la sección esta

representa por “y”, el esfuerzo en la fibra más alejada del eje neutro se le

llama esfuerzo de la fibra extrema (c).

Para vigas rectangulares:

b

y

EJE NEUTRO

c=h2

c=h2

Mc

MyI

I

Sustituyendo los datos para una viga rectangular y para obtener el esfuerzo

de la fibra extrema tendremos:

12hb2hM

I

cM3⋅

⋅=⋅=σ

2max

f hbM6

σ⋅

⋅=

FIGURA 3.2 SECCION TRANSVERSAL, DISTRIBUCION DE ESFUERZOS NORMALES PRODUCIDOS POR FLEXION




A28

Los esfuerzos de compresión y de tensión producidos por flexión (σ), que

actúan sobre la sección transversal de la viga, no deben exceder el

esfuerzo admisible, fm, para el grupo de madera especificado.

GRUPO

A 210

GRUPO

B 150

GRUPO

C 100

]

Estos esfuerzos pueden incrementarse en un 10% al diseñar entablados o

viguetas si hay una acción de conjunto garantizada.

3.3.2 Corte.- Como mencionamos en el capítulo anterior, se produce un

esfuerzo cortante cuando dos fuerzas iguales, paralelas y de sentido

contrario tienden a hacer resbalar, una sobre otra, las superficies contiguas

de un miembro. En la figura 3.3a se representa una viga con una carga

uniformemente distribuida. Existe una tendencia en la viga a fallar

colapsándose entre apoyos, como se indica en la figura 3.3b. éste es un

ejemplo de cortante vertical. En la figura 3.3c se muestra, en forma

exagerada, la flexión de una viga y la falla de partes de la viga por

deslizamiento horizontal, este es un ejemplo de cortante horizontal. Las

fallas por cortante en las vigas de madera se deben al esfuerzo cortante

horizontal, no al vertical. Esto es verdad debido que la resistencia al

esfuerzo cortante de la madera es mucho menor en el sentido paralelo a las

fibras que en el transversal a éstas.

TABLA 3.3: ESFUERZO MAXIMO ADMISIBLE EN FLEXION, fm(kg/cm2)


FIGURA 3.3 GENERACION DEL ESFUERZO CORTANTE



A29

(a) (b) (c)

Los esfuerzos cortantes unitarios horizontales no están uniformemente

distribuidos sobre la sección transversal de una viga. El esfuerzo de corte

en una sección transversal de un elemento a una cierta distancia del plano

neutro puede obtenerse mediante:

IbSV⋅⋅=τ

En esta expresión se tiene:

τ= esfuerzo cortante unitario horizontal, en cualquier punto específico de la

sección.

V= fuerza cortante vertical total en la sección elegida

S= momento estático con respecto al eje neutro del área de la sección

transversal.

I= momento de inercia de la sección transversal de la viga con respecto a

su eje

neutro.

b= ancho de la viga en el punto en el que se calcula τ.

Para una viga de sección rectangular el máximo esfuerzo de corte resulta al

sustituir:

12hbI ;

8hb

4h

2hbS

32 ⋅=⋅=×⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ×=

b12/bh8/bhV

bISV

3

2

××=

⋅⋅=τ

hbQ

23τ max

⋅⋅=


FIGURA 3.4 GENERACION DEL ESFUERZO CORTANTE EN UNA VIGA



A30

h2

b

h4x h

Vbh

32

Los esfuerzos cortantes, τ, no deben exceder el esfuerzo máximo admisible

para corte paralelo a las fibras, fv, del grupo de madera estructura

especificado.

GRUPO

A 15

GRUPO

B 12

GRUPO

C 8

Estos esfuerzos pueden incrementarse en un 10% al diseñar entablados o

viguetas si hay una acción de conjunto garantizada.


TABLA 3.4: ESFUERZO MAXIMO ADMISIBLE PARA CORTE PARALELO A LAS FIBRAS, fv(kg/cm2)




A31

x x

yy

h

b

y

xR

R

R : Radio promedio de tronco

Se desea establecer una relación entre la base y la altura de una viga de sección

rectangular, de tal manera que la capacidad resistente de esta viga sea la mayor

posible, de esta forma se puede utilizar un tronco de madera con el menor

desperdicio.

Como la deformación gobierna el diseño, entonces debe encontrarse dimensiones

que generen el mayor momento de inercia posible.

12hbI3⋅=

222 yxR +=

)1......(..........xRy 22 −=

12(2y)2xI

3⋅=

322 )xR(x34I −⋅⋅=

322 )x(Rx34I −⋅⋅=

3222 )x(Rx34I −⋅⋅=

Derivando la inercia en función de x:

222 xRy −=

FIGURA 3.5




A32

[ ] [ ] [ ]{ }(2x))x(R2x)())x(R(3x)x(Rx21

34I' 32222222

13222

x ⋅−+−⋅−⋅⋅⋅⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −⋅⋅⋅=

−

Simplificando la expresión:

[ ] [ ]{ }3222

3222222

x)x(Rx2

(2x))x(R2x)())x(R(3x34I'

−⋅⋅

⋅−+−⋅−⋅⋅⋅=

Ahora se iguala a cero la expresión derivada, esto con el fin de encontrar el punto

crítico, o sea para maximizar la inercia:

[ ] [ ]{ }0

)x(Rx2

(2x))x(R2x)())x(R(3x34I'

3222

3222222

x =−⋅⋅

⋅−+−⋅−⋅⋅⋅=

Simplificando la expresión:

0)x(R))x(R(3x' I 3222222x =−+−⋅⋅−=

0)x(R3x' I 222x =−+−=

22 4xR =

2Rx =

Rb =∴

Reemplazando x en ecuación (1):

4RRy2

2 −=

2R43y ⋅=

43Ry ⋅=

R866.0y =

Ahora como 2yh = entonces:

1.73Rh =



A33

Y también como b = R:

73.1bh =

3.4 VIGAS COMPUESTAS 3.4.1 Vigas reforzadas lateralmente con perfiles de acero

h

b

Madera

1

h

Madera

b

2

Planchas

Pernos

Pernos

Cuando las cargas que actúan sobre las vigas de madera son grandes, y

fundamentalmente cuando la longitud de las vigas es de 7.5 a 8 metros (esto

ocurre en los puentes), es necesario reforzar la escuadría de la viga con perfiles

de acero colocados lateralmente en ambas caras tal como se observa en la figura.

Algunas veces las condiciones arquitectónicas de una estructura, obligan también

a utilizar este procedimiento de refuerzo.

Lo más importante del método constructivo es el aumento de la rigidez y la mejoría

de la estabilidad dimensional, en especial con respecto a la flecha producida por

∴ Toda vez que se asume una escuadría para el diseño de una viga se debe procurar que la altura sea 1.73 veces de la base.

FIGURA 3.6




A34

cargas de larga duración, que son posiblemente las más significativas.

Los componentes de una viga reforzada con acero se sujetan firmemente entre si

con pernos que los atraviesan, de modo que los elementos actúen como una sola

unidad.

Espesores de las planchas:

v e

No es conveniente usar mayores espesores de plancha, debido a su mayor peso

propio.

Principio: “La deformación vertical de ambos materiales debe ser la misma”.

Cuando las vigas de madera se refuerzan por medio de perfiles de acero

dispuestos lateralmente, habrá que tener en cuenta para efectos de cálculo, los

distintos módulos de elasticidad, del acero Ea y de la madera Em. Bajo la hipótesis

de que tanto los perfiles de acero como la viga de madera experimentan la misma

deformación vertical, esto ocurre siempre y cuando el elemento de unión (perno)

este adecuadamente apretado. Entonces siguiendo el principio, y para una viga simplemente apoyada con una

carga q uniformemente distribuida se tiene:

Flecha para la madera: mm

4m

mad IE384Lq5f⋅⋅

⋅⋅=

Flecha para el acero: aa

4a

ac IE384Lq5f⋅⋅

⋅⋅=

Entonces por el principio:

acmad ff =

Entonces:

aa

a

mm

m

IEq

IEq

⋅=

⋅

ü 1/4’’

ü 1/8’’

ü 1/16”

ü 1/32”



A35

aa

mm

a

m

IEIE

qq

⋅⋅= , donde amTOTAL qqq +=

3.5.2 Vigas acopladas mediante cuña horizontal de madera La figura 3.7. muestra el acoplamiento de 2 vigas mediante un grupo de cuña-

perno. Estos acoplamientos se utilizan especialmente en la construcción de

puentes. Con el acoplamiento se pretende construir grandes basas de altura “h”

comprendidas entre 60 cm y 80 cm: 60<h<80 cm.

at

CUÑA

eσa

T3

1T

T2

Øh2

h2

b

h

PERNO

¡Error! No se pueden crear objetos modificando códigos de campo. El estudio de estos acoplamientos no obedece a desarrollos teóricos (teoremas,

etc.), Estos valores referenciales han sido determinados experimentalmente

(Norma Alemana DIN)

La separación “e” se deja para permitir aireación entre las vigas evitando de esta

forma la putrefacción de ellas, sin embargo debe procederse a su mantenimiento y

limpieza cuando sea necesario.

La madera de la cuña debe ser por lo menos del mismo grupo que la madera de

las vigas y el acero del perno no debe ser corrugado.

Ante la acción de las cargas, las vigas que intervienen en el acoplamiento tienden

a deslizarse las unas respecto a las otras. Entonces se origina la fuerza “T1” de

aplastamiento sobre la penetración de la cuña en la madera.

tbT a1 ⋅⋅=σ

Donde: σa = Esfuerzo de aplastamiento de la madera en la cuña, (30 k/cm2 - 50

k/cm2).

FIGURA 3.7




A36

Cuando se apretan los pernos se generan las fuerzas “T2” sobre la cabeza de las

cuñas, experimentalmente se ha determinado que “T2” depende del diámetro (f)

del perno:

0.6)-(0.5 ; f4

;AfT s

2

ps2 =⋅⋅⋅⇔⋅⋅= µφπµµ

Ante la acción de cargas los pernos presionan sobre el hueco que se ha hecho en

la madera para introducir los pernos, está presión esta representada por “T3”.

cm.en Donde ; 170)-(150T 23 φφ⋅=

Entonces la capacidad de carga (de resistencia) del grupo cuña-perno será:

T=T1+T2+T3

En esta suma T1 es dominante y muchas veces solamente se toma éste, dejando

T2 y T3 como factores de seguridad.

Ahora determinaremos el número de cuñas:

b

h2

h

h2

estático) (Momento Qescuadría) la todade inercia de Momento(I

Z cg=

h32

4h

2hb

12hb

Z

3

⋅=⋅⋅

⋅

=

Con este valor es posible calcular la fuerza horizontal que origina el deslizamiento

entre vigas:

FIGURA 3.8




A37

ZM

H MAX=

Entonces el número de cuñas será:

THn ≅

Es conveniente, para estar del lado de la seguridad sustituir T por T1.

Finalmente en el punto medio entre 2 cuñas adyacentes se ubicará un perno

Ejemplo 1: Encontrar la escuadría de una viga de 6.5 metros de longitud, que se

encuentra simplemente apoyada, y soporta una carga uniformemente distribuida

de 0.3 toneladas por metro.

El esquema es el siguiente:

6.5m

q = 0.3 t/m

A B

Se debe elegir el grupo al cual pertenece la madera a utilizar; en este caso se

usará madera del GRUPO A, que será el ALMENDRILLO.

• Grupo A (Almendrillo)

Para hallar la carga debido al peso propio se debe asumir la base y la altura de la

sección de la madera; para asumir una sección aproximada se debe recurrir a las

siguientes ecuaciones:

• b73.1h ⋅=

• ZMad f =σ

fadσ ↔ 210 k/cm2

τad ↔ 15 k/cm2

E ↔ 95000 k/cm2

fad ↔ 275(cm) L

γ ↔ 800 k/m3



A38

Donde la primera ecuación es la relación de escuadría óptima, y la segunda

ecuación es la ecuación de flexión, donde M es el momento por carga viva y Z es

el módulo de la sección, entonces:

22f hbM6

6hbM

ZMad

⋅=

⋅==σ

Sustituyendo la el valor de la altura de la escudaría óptima:

32f bM2

)b73.1(bM6ad ⋅=⋅⋅

=σ

Entonces:

3

fadM2bσ⋅=

Ahora se halla el momento producido por la carga viva:

mk38.158485.6300

8LCM

22T ⋅=⋅=⋅=

Pero además se debe hacer incidir el coeficiente de seguridad a flexión (se tomará

el valor de 2).Entonces la base será:

cm45.14

22101584382b

3=⋅=

cm2545.1473.1h =⋅=

Pero como por lo general la comercialización de la madera se realiza en pulgadas,

se ve por conveniente redondear las dimensiones de la sección, y además

aumentarla un poco debido a que no se tomó en cuenta el peso propio:

El peso propio será:

hb ⋅⋅= γ pP

Pp = 800 k/m3 . 0.15 m . 0.25 m = 30 k/m

La carga total será: PpqCT +=

CT = 330 k/m

Ø b =15 cm

Ø h =25 cm ESCUADRÍA:



A39

Las reacciones serán:

2LqRA⋅=

k5.107225.6650RA =⋅=

k5.1072RB =

Los esfuerzos internos serán los que se presentan en el siguiente diagrama; el

momento máximo se calcula con:

mk81.174285.6330

8LCM

22T

MAX ⋅=⋅=⋅=

Diagrama de esfuerzos internos:

6.5m

q = 0.3 t/m

Pp

1072.5 k 1072.5 k

Mmax=1742.81 k.m.

A B

1072.5 k

1072.5 k3.25m

CORTANTES

MOMENTOS

Mm

ax



A40

FLEXIÓN : 2max

f hbM6

σ⋅

⋅=

22f cm/k54.111

25151742816σ =⋅

⋅=

Como este valor es menor al admisible, entonces cumple.

El coeficiente de seguridad a la flexión será:

88.154.111

210C.Segf

ff

ad ===σσ

Este coeficiente es muy bajo, debe salir mayor o igual a 2, entonces se

sospecha que se deberá cambiar de escuadría, pero por razones académicas

se continuara el ejercicio.

CORTE:

hbQ

23τ max

⋅⋅=

2cm/k29.4251525.10723 =

⋅⋅⋅=τ

Como este valor es menor al admisible, entonces cumple. El coeficiente de seguridad al corte será:

50.329.415C.Seg ad ===

ττ

τ

Este coeficiente es un valor aceptable.

DEFORMACION: La deformación admisible será:

fad = cm36.2275650

275(cm) L ==

La flecha que produce la carga será:

cm13.4

12251595000384

6503.35IE384lq5f 3

44

=⋅⋅⋅

⋅⋅=⋅⋅

⋅⋅=

Como este valor es mayor al admisible, entonces falla, ESCUADRIA!CAMBIAR∴



A41

Los tres fenómenos (flexión, corte y deformación) no son aislados, se

presentan simultáneamente. En general en las maderas la deformación es el

fenómeno más peligroso, mas que la flexión, mas que el corte. Por eso se

exige en las maderas un coeficiente de seguridad para la deformación entre

1.5 a 2.

Como la escuadría asumida es insuficiente:

AFINAMIENTO Para el afinamiento se va añadiendo de pulgada en

pulgada.


hbP p ⋅⋅γ=

Pp = 800 k/m3 . 0.15 m . 0.35 m = 42 k/m

La carga total será:

PpqCT +=

CT = 342 k/m

DEFORMACION : La flecha que produce la carga será:

cm56.1

12351595000384

65042.353

4

=⋅⋅⋅

⋅⋅=⋅⋅

⋅⋅=IE384

lq5f4


El coeficiente de seguridad a la deformación será:

51.156.136.2

f

ff === adC.Seg

Este valor de coeficiente de seguridad a la deformación entra en el rango

recomendado de 1.5 a 2, por lo tanto la escuadría asumida cumple.

Nota.- La deformación gobierna el diseño (es el efecto más desfavorable para

maderas).

Ø b =15 cm




A42

Los coeficientes de seguridad sirven para asegurar la estructura ante cargas

que no hubiesen sido consideradas, o algunos defectos de la madera que se

va a emplear.

Otra alternativa del ejercicio anterior hubiese sido modificar las condiciones de

apoyo, como por ejemplo en vez de ser simplemente apoyado, que fuese

empotrado-empotrado para así disminuir la deformación.

Ejemplo 2: Se dispone de madera del grupo A para construir una viga de puente,

por el puente transita el tren que se observa en la figura. Determine la escuadría

de la viga.


A

Pp

B

6.0 [m]

1.5 [m]

0.2 t 0.2 t

Se asumirá los siguientes datos del GRUPO A.

o Grupo A

Para predimensionar la sección (lo explicado en el anterior ejemplo):

3

fadM2bσ⋅=

Ahora se halla el momento producido por la carga viva, para esto se ubica la carga

en la posición más desfavorable (análisis de línea de influencia):

fadσ ↔ 210 k/cm2

τad ↔ 15 k/cm2

E ↔ 95000 k/cm2

fad ↔ 275(cm) L

γ ↔ 750 k/m3



A43

A

0.2 t 0.2 t

B

2.25m

De los formularios de los anexos del capitulo 3: mk45025.2200aPM ⋅=⋅=⋅=



cm50.9

2210450002b

3=⋅=

cm435.1650.973.1h =⋅=




El peso propio será: Pp = 750 k/m3 . 0.125 m . 0.25 m = 23.44 k/m è Pp=25 k/m

ESTÁTICA: Debe posicionarse el tren de tal manera que esa posición

genere los esfuerzos máximos (Flexión, cortante y deformación).Se colocan las

dos cargas simétricas respecto el centro de la viga (análisis de línea de influencia).

FLEXIÓN : La sección crítica para el momento máximo es el centro del

tramo por tanto debe situarse el tren de manera compartida respecto al centro.

A B

0.2 t0.2 t

275 k 275 k

x

( ) 03150V62003.752.25 0M BA =⋅+⋅−⋅+⇒=∑

Ø b =12.5 cm




A44

k275VV k 275V BAB ==⇒=

2x25-x2752

2.25x0M ⋅⋅=<<

( )25.22002x25-x2752

3x2.25M −⋅−⋅⋅=

<<x

2max

f hbM6

σ⋅

⋅=

BIENadk/cm2.432512.5625056σ f

22f ⇒<=

⋅⋅= σ

CORTE: La sección crítica para el cortante máximo es en el extremo del tramo (cualquier

extremo), por tanto el tren de cargas debe situarse:

0.2 t

A

425 k

0.2 t

B

125 k

0V63150200.51 0M BA =⋅−⋅+⋅⇒=∑

k 125VB =

01503-2004.5-2006-V6 A =⋅⋅⋅⋅

MAXA Qk 425V ⇒=

hbQ

23τ max

⋅⋅= → BIENadk/cm04.2

2512.5425

23 2 ⇒<=

⋅⋅= ττ

DEFORMACIÓN: La flecha que produce la carga será:

555.46 k٠۰m 0 k٠۰m

562.50 k٠۰m 555.46 k٠۰m



A45

A AB B A B

0.2 t 0.2 t 0.2 t 0.2 t

( ) cm 27.0

12255.1295000384

60025.05IE384

Lq5f 3

44

1 =⋅⋅⋅

⋅⋅=⋅⋅

⋅⋅= ;

( ) cm 06.122546003

122512.50005924

225200)a4L(3IE24

aPf 223

222 =⋅−⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅=⋅−⋅⋅⋅

⋅=

cm 33.106.127.0ff f 21T =+=+=

BIENadff cm 2.4250600

250L(cm)adf T ⇒<⇒===

COEFICIENTES DE SEGURIDAD (HOLGURA): Flexión:

86.42.43

210C.Segf

ff

ad===

σσ

Cortante:

35.704.215C.Seg ad ===

ττ

τ

Deformación

81.133.140.2C.Seg ad ===

ff

f

La escuadría encontrada se encuentra dentro lo aceptable dentro del marco de la

seguridad(pero es antieconómico, en lo posible procurar afinar lo mas cercano al

coeficiente de seguridad de 1.5), los coeficientes de seguridad respecto a la

flexión y el cortante son mayores que el coeficiente de seguridad de la

deformación, eso prueba una vez más que la deformación en las maderas es el

fenómeno más peligroso (Esto no ocurre en el concreto ni en el acero



A46

Ejemplo 3: DINTEL DE VENTANA

Madera Grupo: B

Luz Libre = 2m

2.30 m

30 cm

2.70 m

Piso Superior

Entrega o Descanso (minimo 30 cm)

Dintel de Madera

Mamposteria de Ladrillo Gambote de Carga

A diferencia de los anteriores ejercicios ahora la carga no esta dada, debe el

ingeniero procurar estimar la carga con la mayor precisión posible. De nada

servirá cualquier afinamiento aritmético o algebraico si la carga no ha sido

adecuadamente estimada.

Existen dos posibilidades para estimar la carga:

αα

X

1 m

2.30 m

2.0 m

Se considerará el efecto arco con:

°<α<° 6550



A47

Cálculo de h:

Con un α = 60º: 2/30.2

)º60tan( h=

m0.2m99.1h ≅=

Cálculo del área:

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅⋅= 215.1212A

2m3.2A =

Cálculo de x:

x1

15.12 =

m0575.x =

Para el ladrillo:

2m.und130Ladrillos# ≅

kg5.2Ladrillocada/pPeso =

kg748kg5.7473.25.2130LadrillodetotalPeso ≅=⋅⋅=

Para el mortero: 3m006.016.125.002.0morterodehileraunadeVolumen =⋅⋅=

30Hileras# = 3m18.0006.030morterodetotalVolumen =⋅=

3mkg2200morterodelespecificoPeso =

kg396220018.0morterodeltotalPeso =⋅=

Peso total: kg1144396748PPP mortladT =+=+=

Ahora, distribuyendo el Peso total en la longitud:

mk4.497

30.21144

LPq T

T ===

Ahora, lo que falta es asumir la escuadría del dintel:



A48

Entonces:

3

fadM2bσ⋅=

Ahora se halla el momento producido por la sobrecarga:

mk91.3288

3.240.4978LCM

22T ⋅=⋅=⋅

=



cm57.9

2150328912b

3=⋅=

cm55.1657.973.1h =⋅=




Peso propio de la madera:

mk25.12700175.010.0Pmad =⋅⋅=

Carga total: mkg65.50925.124.497qTotal =+=

FLECHA: La flecha que produce la carga será:

cm52.0

125.171075000384

230097.553

4

=⋅⋅⋅

⋅⋅=⋅⋅

⋅⋅=IE384

Lq5f4



Ø b =10 cm

Ø h =17.5 cm cmccmcm

ESCUADRÍA:



A49

77.152.092.0C.Seg

ffad

f ===

Este valor de coeficiente de seguridad a la deformación entra en el rango

recomendado de 1.5 a 2, por lo tanto la escuadría asumida cumple (se puede

afinar aun más, en busca de bajar los costos).

DETALLE CONSTRUCTIVO: Ø Por razones constructivas : base de dintel = 7.5cm Ø Por razones teóricas : base de dintel = 5cm Ø Profundidad de clavo : prof. = 18 cm

7.5

17.5 CLAVO

Ejemplo 4: Determinar la escuadría de madera para la viga AB, y determinar si

corresponde reforzar la escuadría con perfiles de acero. En el sitio los troncos son

jóvenes y por consiguiente de poco diámetro.

¡Error! No se pueden crear objetos modificando códigos de campo.

Se debe elegir el grupo al cual pertenece la madera a utilizar; en este caso se

usará madera del GRUPO A, que será el ALMENDRILLO.

• Grupo A (Almendrillo)

fadσ ↔ 210 k/cm2

τad ↔ 15 k/cm2

E ↔ 95000 k/cm2

fad ↔ 275(cm) L

γ ↔ 800 k/m3



A50

Para hallar la carga debido al peso propio se debe asumir la base y la altura de la

sección de la madera, la máxima escuadría que se puede encontrar en un bosque

joven:


hb ⋅⋅= γ pP

Pp = 800 k/m3 . 0.175 m . 0.30 m ≈ 42 k/m

La carga total será (sin acero):

PpqqT +=

qT = 1000 k/m +42 k/m = 1042 k/m

Ahora se desea saber cuanto de la carga total puede asumir la escuadría de

madera:


fad = cm54.2275700

275(cm) L ==

El coeficiente de seguridad de deformación es de 1.5 a 2, por lo se asume un

valor de 1.6, por lo tanto:

cm 59.16.154.2

C.Segff

ffC.Seg adad ===⇒=

ff


k/cm 90.1q

12305.7150009384

700q559.1IE384

Lq5f m3

4m

m

4

m =⇒⋅⋅⋅

⋅⋅==⋅⋅

⋅⋅=

Ø b =17.5 cm




A51

∴qT > qm à REFORZAR

qa= 1042 – 190 = 852 k/m

Necesariamente debe reforzarse la escuadría, pues ella sola no es capaz de

resistir a la carga total. Continuaremos el ejercicio solamente por motivos

académicos, pues que es tan grande la carga que debe asumir el acero en

proporción a la madera (relación aproximada de 4 a 1) que sería preferible

construir la viga de otro material (Concreto puro o acero puro). Generalmente un

buen refuerzo de acero debe cubrir como máximo el 50% de la carga total.

Elegimos el uso de planchas para el refuerzo: Madera

Pernos

Planchas

30

17.5

Ahora se debe elegir espesor de plancha: cm64.0"41e ==

El momento de inercia es afectado por cada una de las planchas de acero.

cm30hcm53h

12h64.02101.2384

70052.8559.1IE384

Lq5f ma3a6

4

a

4a

a =>=⇒⋅⋅⋅×⋅

⋅⋅==⋅⋅

⋅⋅=

La altura del acero supera a la altura de la madera e imposibilita o por lo menos

dificulta el proceso constructivo, además de que todavía no esta considerado el

peso del acero. 3

ACERO k/m 7850=γ

Pp = 2. 0.0064 m . 0.53 m. 7850 k/m3 = 53.25 k/m

qTOTAL≈ 1100 k/m

Entonces nos vemos en la necesidad de cambiar de escuadría de la viga de

madera, para eso diremos inicialmente que la madera soportará el 50% de la



A52

anterior carga total y con esta aproximación sacaremos los valores de la base y la

altura de la viga.

43

3a

4

m

4m

m cm 24.11383412

hb

12hb95000384

70050.5559.1IE384

Lq5f =⋅⇒⋅

⋅⋅

⋅⋅==⋅⋅

⋅⋅=

Sustituyendo la relación de escuadría óptima:

cm 22.66bcm 24.11383412

b)(1.73b 43

=⇒=⋅⋅

Entonces:

Pp = 800 k/m3 . 0.25 m . 0.45 m = 90 k/m

La carga total será (sin acero):

PpqqT +=

qT = 1000 k/m +90 k/m = 1090 k/m


k/cm 17.9q

12452550009384

700q559.1IE384

Lq5f m3

4m

m

4

m =⇒⋅⋅⋅

⋅⋅==⋅⋅

⋅⋅=

∴qT > qm à REFORZAR

qa= 1090 – 917 = 173 k/m

Para la escuadría de la basa la madera resiste el 84.12% de la carga total sin

tomar en cuenta todavía el peso del acero.

cm35hUsar cm7.32h

12h64.02101.2384

70073.115.1559.1IE384

Lq5f aa3a6

4

a

4a

a =⇒=⇒⋅

⋅⋅×⋅

⋅⋅⋅==⋅⋅

⋅⋅=

En la anterior ecuación se esta mayorando en un 15% la carga del acero con

objeto de tomar en cuenta el peso propio del mismo.

Ø b =25 cm




A53

Aunque los elementos del detalle constructivo se estudiarán de forma más

profunda en los próximos capítulos, a manera de introducción se presenta los

detalles de unión de viga reforzada.

Se usarán:

Pernos

La plancha de acero se extenderá una distancia “d” a cada lado del centro línea de

la viga, esta distancia puede calcularse exactamente de la teoría de las

deformaciones, sin embargo se tiene:

cm. 12067.1162

70031

2L

31d ≅=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=

Se puede determinar exactamente esta distancia por la teoría de las

deformaciones:

Donde:

MxyIE 2

2

=∂∂⋅⋅

Para la condición de carga, el momento en función de x será:

2xq

2xLqM

2⋅−⋅⋅=

Entonces:

2xq

2xLq

xyIE

2

2

2 ⋅−⋅⋅=∂∂⋅⋅

Integrando:

1

32

C6xq

4xLq

xyIE +⋅−⋅⋅=∂∂⋅⋅

Luego:

21

43

CxC24xq

12xLqyIE +⋅+⋅−⋅⋅=⋅⋅

Hallamos C1 y C2 con las condiciones de borde:

C2=0

Longitud perno = 30 cm. Diámetro perno = ½”



A54

24LqC3

1⋅−=

La ecuación general de la elástica será:

24xLq

24xq

12xLqyIE

343 ⋅⋅−⋅−⋅⋅=⋅⋅

Ahora se debe hallar a que distancia “x” la madera se deforma 1.59 cm. bajo la

aplicación de la carga total qTOTAL = 1090 k/m.

L=7m

A

X

1.5

9c

m

1.5

9c

m

B

qt =1090 k/m

X

Entonces reemplazando en la ecuación de la elástica:

24x70090.10

24x90.10

12x70090.10)59.1(

12452595000

3433 ⋅⋅−⋅−⋅⋅=−⋅⋅⋅

002867589844-x7.155779166x83.635x454.0 34 =⋅+⋅−⋅

Resolviendo la ecuación polinomial:

x1= 221.35 cmx x2= 478.55 cm

x3= - 497.63 cmx4= 1198.237 cm

De las cuales se descartan las dos últimas por ser soluciones incoherentes.

Entonces “d” será igual:

cm.6.1282

221.35-478.55 2

xxd 12 ==−

=

Usamos el mayor entre el calculado y el valor referencial dado anteriormente.

è d =128.6 ≈ 130 cm.



A55

La separación entre pernos será de 10 cm.

ESQUEMA ESTRUCTURAL

700

350

10

LC

d = 130

SECCION TRANSVERSAL:

7,5

35

45

25

10

10

7,5

Ø = 12"Perno:

L =30cm



A56

Ejemplo 5: Sobre la viga de puente transita un vehículo liviano. Representado por

el tren de cargas. Determinar la escuadría de la viga utilizando madera el grupo A.


8.0 [m]

A 2.5 [m]B

Pp

0.5 t0.5 tq=0.25 t/m

La escuadría máxima que se puede encontrar en los aserraderos es:

El peso propio será: Pp = 800 k/m3 . 0.225 m . 0.45 m = 81 k/m è Pp=81 k/m

qTOTAL= (250+81) = 331 k/m

Entonces:

A

0.5 t 0.5 t

B BA A B

0.5 t0.5 t

( ) cm 08.1

12455.2295000384

80031.35IE384

Lq5f

3

44

1 =⋅⋅⋅

⋅⋅=⋅⋅

⋅⋅= ;

( ) cm 57.027548003

1245522.0005924

275500)a4L(3IE24

aPf 223

222 =⋅−⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅=⋅−⋅⋅⋅

⋅=

cm 65.157.008.1ff f 21T =+=+=


275L(cm)adf T ⇒<⇒===

77.165.193.2

ffC.Seg ad

f ===

Ø b = 22.5 cm

Ø h = 45 cm ESCUADRÍA:



A57

Ya que el fenómeno más desfavorable para la madera es la deformación, y

estando su coeficiente de seguridad en un buen margen, suponemos que cumplirá

los requisitos de flexión y corte, sin embargo se recomienda hacer la verificación

de estos.

La escuadría de la basa seleccionada es muy difícil de conseguir en el aserradero,

por tanto la construiremos utilizando un acoplamiento de dos vigas de sección

cuadrangular:

Sustituyendo los valores referenciales obtenemos:

cm. 31545

20-15he cm; 475.3

1245

20-12ht ===≅===

SIEMPRE! e tcm; 2045t5a >=⋅=⋅≥

cm. 54.2"1φ cm 25.210

5.2210bφ pp ==⇒===

k 6003422.540tbT ; k/cm )5030( a12

maderaaplast =⋅⋅=⋅⋅=−≅ σσ

f4

;AfT s

2

ps2 ⋅⋅⋅⇔⋅⋅= φπµµ

dulce) (Acero k/cm )1200800(f 0.6);-(0.5 2s −==µ

k 1964008454.2 5.0T

2

2 =⋅⋅⋅= π

k 8.109654.2170170T 223 =⋅=⋅= φ

8.7110TTTT 321 =++=

Como dijimos antes es preferible usar la fuerza T1 para sacar el número de cuñas:

cm 305432h

32Z =⋅=⋅=

Ahora necesitamos determinar el momento máximo, para esto tomaremos la

posición más desfavorable del tren de carga:

( ) 042648V850025.52.75 0M BA =⋅+⋅−⋅+⇒=∑

k 1824VV k 1824V BAB ==⇒=

2x331-x82412

2.75x0M ⋅⋅=<<

3764.41 k٠۰m 0 k٠۰m



A58

( )75.25002x331-x82412

25.5x2.75M −⋅−⋅⋅=

<<x

El momento máximo lo tendremos al centro del tramo:

( )75.245002(4)331-)4(8241M

2

MAX −⋅−⋅⋅=

Entonces la fuerza horizontal será:

k 1341030

1004023MH MAX =×==Z

4n 73.33600

13410THn

1

=⇒===

Colocado de cuñas:

1824 k

2414 k·m

1824 k

8.0 [m]

1609 k·m

805 k·m

1824 k

A

413.75 k

913.75 k

413.75 k

913.75 k

3218 k·m

0.5 t

4023 k·m

0.5 t

MOMENTO

CORTANTE

B

1824 k

q=0.25 t/m

3764.41 k٠۰m 3764.41 k٠۰m

4023 k٠۰m



A59

La ordenada correspondiente al máximo momento se divide entre el número de

cuñas sin tomar en cuenta los extremos. De cada punto se dirige una paralela al

eje x hasta cortar la curva de momentos. De los puntos de corte se suspenden

rectas hasta cortar la curva de cortantes, estableciendo en la gráfica de cortantes

las áreas que se observan en la figura. Se identifica el centro de gravedad de cada

área; de este punto se suspende una recta hasta cortar a la viga y en cada punto

de corte se introduce una cuña.

Entre cuña y cuña en el punto medio se dispondrá de un perno, se empezará con

un perno situado entre el apoyo y la primera cuña. Se recomienda ubicar siempre

una cuña donde el momento es máximo.

Si la distancia entre cuñas “s” <20 cm. entonces se deberá buscar una mayor

escuadría, en caso de columnas se dispondrán cuñas verticales.

A partir del centro de línea hacia la derecha se dispondrá del mismo número de

cuñas y de posición simétrica.

EJERCICIO PROPUESTO.-

En la lectura de capítulo dar especial importancia a los siguientes conceptos:

o Deflexión Admisible

o Módulo de Elasticidad Axial: Emínimo

o Módulo de Elasticidad Axial: Epromedio

o Sección Óptima

o Vigas reforzadas con perfiles de acero

o Vigas Acopladas

PROBLEMA PROPUESTO.-

Ø Diseñar la siguiente Viga reforzada con una plancha de acero para las

condiciones de apoyo y cargas que se muestran en la figura. La madera

corresponde al Grupo A. Discutir los resultados en clase.



A60

Ø Resolver el siguiente problema: “Un albañil usa una tabla (de 40x10cm) de

madera para poder pasar de un lado a otro, lleva consigo una carretilla, en la

cual trae bolsas de cemento. Suponiendo que el albañil pesa 60 kilogramos, el

peso de la carretilla de 25 kilogramos. Se pide dibujar una grafica de la

cantidad de bolsas de cemento (enteras) que se puedan cargar en función de

la longitud de la tabla (cada 25 cm). Suponer el esquema como una carga

puntual, y simplemente apoyado; y considerar un coeficiente de seguridad a la

deformación mínimo de 1.8. La madera pertenece al grupo B.”

h

b

A

q = 0.5 t/m

B

4.5 m



A61

CAPITULO 4

DISEÑO DE ELEMENTOS SOMETIDOS A COMPRESIÓN

4.1 INTRODUCCION.- Se entiende como miembros a compresión a aquellos elementos que se

encuentran principalmente solicitados por cargas de compresión, como columnas

y entramados; pero en general un elemento estructural es solicitado por mas de un

tipo de esfuerzo, por lo que en la realidad casi todas las columnas estructurales

trabajan a compresión y flexión combinadas (flexo-compresión).

Las columnas son elementos donde las cargas principales actúan paralelas al eje

del elemento, y por lo tanto trabaja principalmente a compresión; cuya longitud es

varias veces mayor que su dimensión lateral más pequeña. El esfuerzo de

compresión es muy peligroso en este tipo de elemento estructural, por la

presencia de pandeo, que es una falla por inestabilidad.

El tipo de columna que se usa con mayor frecuencia es la columna sólida sencilla,

que consiste en una sola pieza de madera, cuya sección transversal es cuadrada

u oblonga.

Las columnas sólidas de sección transversal circular son usadas con menos

frecuencia. Una columna formada por varios miembros es un ensamble de dos o

más miembros cuyos ejes longitudinales son paralelos; se impide que se toquen

los elementos mediante unos bloques separadores colocados en los extremos y

punto medio de su longitud.

Otros tipos de columnas son las llamadas columnas compuestas, que están

conectadas mediante sujetadores mecánicos. Los pie-derechos en marcos ligeros

de madera y en entramados también son columnas.

En el procedimiento de diseño del “Manual de Diseño para Maderas del Grupo

Andino” de deben de seguir los siguientes pasos:



A62

Ø Para COMPRESIÓN AXIAL: 1. Definir las bases de cálculo.

a) Grupo estructural de la madera a utilizarse

b) Cargas a considerarse en el diseño

c) Condiciones de apoyo, y factor de longitud efectiva.

2. Determinar efectos máximos.

3. Establecer los esfuerzos admisibles, modulo de elasticidad, así como

el valor de Ck.

4. Asumir una escuadría, y extraer sus propiedades geométricas.

5. Calcular la esbeltez para cada dirección.

6. Calcular la carga admisible, y compararla con la carga solicitante.

Ø Para FLEXOCOMPRESIÓN: 1. al 6. Se determina de la misma manera que para Compresión Axial.

7. Determinar la carga crítica de Euler.

8. Calcular el factor de amplificación de momentos km.

9. Verificar que la ecuación general de elementos a flexocompresión

sea satisfecha (que de un valor < a 1).

El diseño de elementos sometidos a compresión o flexo-compresión debe

realizarse tomando en cuenta su longitud efectiva, que será denotada por efL .La

longitud efectiva es “la longitud teórica de una columna equivalente con

articulaciones en sus extremos”.Esta longitud efectiva se obtiene multiplicando la

longitud no arriostrada “L” por un factor de longitud efectiva “k”, que considera las

restricciones o grado de empotramiento que sus apoyos extremos le proporcionan.

El Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino recomienda que en ningún caso se tome una longitud efectiva menor que la longitud real no arriostrada, o sea por mas de que el factor k sea menor que 1 de acuerdo con

las condiciones extremas, se recomienda tomar mínimamente k =1, debido al

grado de incertidumbre de restricción al giro que las uniones puedan proporcionar.

En la siguiente tabla se presentan algunos casos para la evaluación de la longitud

efectiva en función de sus restricciones.



A63

α α

Ref.: TABLA 9.1 DE Pág. 9-‐4 del Manual Para Diseño De Maderas Del Grupo Andino

TABLA 4.1: LONGITUD EFECTIVA DE COLUMNAS



A64

A continuación se presenta una recomendación para la determinación del factor k

que se usará para el diseño. Los valores teóricos para el factor k que esta en

función del grado de restricción de los extremos de la columna, deben ser

aumentados por el valor mostrado en la tabla 4.2, donde puede apreciarse que la

mayoración se realiza cuando existe un extremo empotrado, ya que no existe un

“empotramiento perfecto”en las estructuras de que se construyen en la actualidad;

esta recomendación es realizada por la norma americana LRFD 1996, y conviene

tenerla en cuenta al momento del diseño.

Cabe remarcar lo siguiente: El valor del factor k se debe determinar

correctamente, ya que un error en su determinación (por pequeño que fuese) trae

consigo en el diseño un error grande en el cálculo de la esbeltez y de la capacidad

de carga de la columna; y por consiguiente una posible falla de la columna que

trae consigo un colapso de la totalidad de la estructura. Es por eso que si se tiene

MODOSDE

PANDEO

Valor Teorico de K 0.5 0.7 1.0 1.0 2.0 2.0

Valor de K recomendadopara Diseño cuando condionesson aproximadas a las ideales

ROTACION RESTRINGIDA, TRASLACION RESTRINGIDA

ROTACION LIBRE, TRASLACION RESTRINGIDA

ROTACION RESTRINGIDA, TRASLACION LIBRE

ROTACION LIBRE, TRASLACION LIBRE

2.10 2.4

Comdiciones de Borde

0.65 0.80 1.2 1.0

TABLA 4.2 :FACTOR DE LONGITUD EFECTIVA “K” PARA DISEÑO DE COLUMNAS

Ref.: FIGURA C4.2-‐1 de Pág. 197 del Norma Americana para Diseño en Maderas LRFD 1996

Condiciones de Borde



A65

dudas en las condiciones de restricción en los extremos de las columnas se debe

tomar valores de k que sean conservadores; por ejemplo si no se esta seguro que

el extremo de una columna que forma parte de un pórtico restringe totalmente los

desplazamientos laterales (esto mediante la utilización de muros de corte o

diafragmas verticales suficientemente rígidos), entonces se debe asumir que la

unión no restringe los desplazamientos laterales y por tanto le corresponde a la

columna un valor de k mayor que 1.

4.2 ESBELTEZ.- En estructuras de madera la esbeltez de una columna maciza simple aislada es la

relación entre la longitud efectiva y la dimensión del lado menor de su sección

transversal (para columnas rectangulares; tomar el diámetro si fuese columna

redonda), expresada en ecuación sería:

dLef=λ

Donde:

Lef : longitud efectiva de la columna

d : Lado menor de la columna

Cuando se tenga una columna rectangular donde la longitud efectiva varié en sus

dos direcciones (de su sección transversal), se debe calcular la esbeltez para

ambas direcciones, y se debe usar para el diseño la esbeltez que sea mayor. La

esbeltez para columnas macizas simples está limitada a λ = 50; para columnas

formadas por varios miembros la esbeltez está limitada a λ = 80.



A66

Clasificación de las columnas según su esbeltez.- Según el “Manual de Diseño

para Maderas del Grupo Andino” (Pág. 9-5) se clasifica a las columnas macizas

simples en función a su esbeltez en:

Ø Columnas Cortas : 10<λ

Ø Columnas Intermedias : kC10 <λ<

Donde : c

k fE7025.0C =

Ø Columnas Largas : 50Ck <λ<

De la anterior tabla Ck es la relación de esbeltez para la cual la columna,

considerada como columna larga, tiene una carga admisible igual a dos tercios de

la carga de aplastamiento: 2/3Afc , donde A es la sección transversal y fc es el

esfuerzo admisible máximo a compresión paralela a las fibras. Los valores de Ck

para cada uno de los tres grupos estructurales se presentan a continuación:

4.3 ESFUERZOS MÁXIMOS ADMISIBLES Y MODULO DE ELASTICIDAD.-

CLASIFICACION ESBELTEZ

¡NO DEBEN UTILIZARSE COMO COLUMNAS MACIZAS SIMPLES, ELEMENTOS CUYA ESBELTEZ SEA MAYOR QUE 50!

TABLA 4.3: CLASIFICACION DE LAS COLUMNAS


Ref.: PAG 9-‐5 del Manual Para Diseño para Maderas Del Grupo Andino

TABLA 4.4: RELACION DE ESBELTEZ LIMITE ENTRE COLUMNAS INTERMEDIAS Y LARGAS

GRUPO

A 17.98 20.06

B 18.34 20.20

22.47C 18.42

CkCOLUMNAS ENTRAMADOS



A67

El Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino indica los esfuerzos

máximos admisibles que deben utilizarse para el diseño de elementos sometidos a

compresión o flexo-compresión, según el grupo estructural al que pertenece la

madera, y estos son:

Para el diseño de columnas se debe usar los valores de módulo de elasticidad

E0.05 que es el modulo mínimo, que según el manual de diseño en maderas del

grupo andino, corresponde a una probabilidad de hasta 5% que el módulo de

elasticidad este por debajo del valor considerado; esto para el grupo estructural de

madera elegido para conformar el elemento. Para el diseño de pie-derechos para

entramados, se debe usar el valor de Epromedio, el cual es mayor que E0.05, debido a

que en un entramado los elementos actúan de una manera más solidaria,

garantizando así la seguridad.

A continuación se muestran los valores de modulo de elasticidad según su grupo

estructural:

TABLA 4.5: ESFUERZOS MAXIMOS ADMISIBLES (kg/cm2)

COMPRESION PARALELA TRACCION PARALELA FLEXION fc ft fm

C 80 75 100

B 110 105 150

145 145 210

GRUPO

A



TABLA 4.6: MODULO DE ELASTICIDAD (kg/cm2)COLUMNAS INTERMEDIAS Y LARGAS

B

E0.05

95 000

75 000

Epromedio

130 000

100 000

C 55 000 90 000

A

GRUPO



A68

4.4 CAPACIDAD DE CARGA PARA COLUMNAS SOMETIDAS A COMPRESIÓN (CARGA ADMISIBLE A COMPRESIÓN).-

Según el “Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino” la capacidad de

carga varía de acuerdo a la clasificación realizada en función de su esbeltez

(Tabla 4.3), de aquí tenemos:

Ø Para Columnas Cortas la carga admisible a compresión se calcula

como :

AfN cadm ⋅=

Donde:

Ø Para Columnas Intermedias la carga admisible a compresión se

calcula como :

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ λ⋅−⋅=4

kcadm C3

11AfN

Donde:

Ø Para Columnas Largas la carga admisible a compresión se calcula

como :

2admAE329.0N

λ⋅⋅=

donde :

A: área de la sección transversal fc: esfuerzo máximo admisible de compresión paralela a la fibra. Nadm: carga axial máxima admisible.

A: área de la sección transversal fc: esfuerzo máximo admisible de compresión paralela a la fibra. λ : esbeltez del elemento (considerar solo la mayor). Ck: obtenido de la tabla 4.4 Nadm: carga axial máxima admisible.

A: área de la sección transversal λ : esbeltez del elemento (considerar solo la mayor). E: módulo de elasticidad, obtenido de la tabla 4.6 Nadm: carga axial máxima admisible.



A69

4.5 CAPACIDAD DE CARGA PARA COLUMNAS SOMETIDAS A FLEXOCOMPRESIÓN.-

Los elementos sometidos a flexocompresión deben diseñarse para cumplir la

siguiente relación:

Donde:

Los valores de N y M son conocidos (hallados del análisis de esfuerzos). El

valor de admN se halla de la misma manera que para columnas sometidas a

compresión.

El valor del factor de amplificación de momentos mk se halla con la ecuación:

Donde: crN es la carga crítica de Euler en la dirección en que se aplican los

momentos de flexión. La carga crítica de Euler se halla con la ecuación:

1fZMk

NN

m

m

adm<

⋅⋅

+

N : es la carga axial solicitanteNadm: es la carga axial admisible

km: es un factor de magnificacion de momentos debido a la presencia de carga axial

IMI: momento flector maximo en el elemento(en valor absoluto)Z: módulo de la seccion transversal con respecto al eje del

cual se produce la flexiónfm: esfuerzo admisible en flexión sacado de tabla 4.5

cr

m

NN5.11

1k⋅−

=



A70

I

I

c

I

b

ch

d

b

h

c

Donde: efL es la longitud efectiva de la columna; I es la inercia de la sección

transversal.

El valor del módulo de la sección Z depende del tipo de sección transversal y de

sus dimensiones; a continuación se muestran las propiedades geométricas de las

secciones transversales más comunes:

hbA ⋅= 6hbZ2

I⋅=

12hbI3

I⋅=

12hrI =

2hc =

4dA2⋅π=

32dZ3

I⋅π=

64dI4

I⋅π=

4drI =

2dc =

2hbA ⋅=

24hbZ2

I⋅=

2ef

2

cr LIEN ⋅⋅π=

FIGURA 4.1: PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE LAS SECCIONES MAS COMUNES



A71

36hbI3

I⋅=

18hrI =

3h2c ⋅=

4.6 CAPACIDAD DE CARGA PARA COLUMNAS SOMETIDAS A FLEXOTRACCIÓN.-

Los elementos sometidos a flexotracción deben diseñarse para cumplir la

siguiente relación:

Donde:

4.7 COLUMNAS DE SECCIÓN CIRCULAR Y POSTES.- Las columnas de madera maciza de sección transversal circular no se usan de

manera extensa en nuestro medio. En cuanto a la capacidad de carga, se puede

A = área ; I =momento de inercia ; Z = módulo de la sección = cI ; r = radio de giro =

AI


1fZM

fAN

mt<

⋅+

⋅

N : es la carga axial solicitanteA es el área de la sección transversal del elementoft: esfuerzo admisible a tracción, sacado de tabla 4.5

IMI: momento flector máximo en el elemento(en valor absoluto)Z: módulo de la seccion transversal con respecto al eje del

cual se produce la flexiónfm: esfuerzo admisible en flexión sacado de tabla 4.5



A72

decir que las columnas redondas soportan las mismas cargas axiales que las

columnas cuadradas, cuando estos tengan la misma área. Esto quiere decir que si

una columna cuadrada se diseña para resistir una carga axial externa, la columna

redonda de misma área transversal que la cuadrada resistirá la misma carga sin

problemas.

Al diseñar una columna de madera de sección transversal circular, un

procedimiento sencillo es diseñar primero una columna cuadrada, y luego elegir

una columna redonda con un área de sección transversal equivalente. Para

encontrar el diámetro de la columna redonda equivalente, el lado de la sección

cuadrada “d” debe multiplicarse por:

2

rect dA =

4DA2

circ⋅π=

Por lo tanto se debe multiplicar por el factor 1.128 el lado de la columna cuadrada

para obtener el diámetro de la columna circular equivalente. Los postes son piezas redondas de madera que constan de troncos

descortezados de árboles maderables. En longitudes cortas tienen un diámetro

constante, pero cuando son largos tienen forma cónica, que es la forma natural del

tronco de árbol.

Para una columna cónica, una suposición conservadora para el diseño es que el

diámetro crítico de la columna el diámetro menor en el extremo de sección

menor. Si la columna es muy corta, esto es razonable. Sin embargo, para una

columna esbelta, donde el pandeo se presenta a la mitad de su altura, esto es

muy conservador. Sin embargo, debido a la ausencia común de la rectitud inicial, y

a la presencia de numerosos defectos (como nudos, rajaduras y depósitos de

resina), se recomienda usar el diámetro del extremo de menor sección para los

cálculos de diseño.

El uso de los postes esta en puentes provisionales o en edificaciones,

conformando columnas o cimientos. Como cimientos, se usan como pilotes de

madera, donde los postes son encajados en el suelo mediante un martinete. Sin

embargo otra forma de utilizar los postes para cimentación consiste solo en

IGUALANDO d128.1D4Dd2

2 =⇒⋅π=



A73

excavar un hoyo, insertar parcialmente el poste, y luego rellenar el hoyo alrededor

del poste, con suelo o concreto, como se hace con los postes para cercas, apoyo

para anuncios y postes de uso general.

4.8 COLUMNAS FORMADAS POR VARIOS MIEMBROS.- Un tipo de elemento estructural que algunas veces se usa en las estructuras de

madera es la columna formada por varios miembros. Este es un elemento en el

cual dos o mas elementos de madera se sujetan juntos (mediante pernos

preferentemente) para compartir la carga como una sola unidad de compresión. El

diseño de estos elementos es muy complejo. A continuación para explicar como

se realiza el diseño, se desarrollará un ejemplo.

Ejemplo: Una columna formada por varios miembros mostrada en la siguiente figura, consta

de tres piezas de almendrillo de 10×30 cm. de sección. La dimensión L1 es de 4

metros y X es de 15 centímetros. Calcular la capacidad de compresión axial.



A74

d2L1 y L2

X

L3

d1

Bloques extremos

YX

Bloques separadores

Y X

Perno

Solución: Hay dos condiciones separadas que se deben analizar con respecto a la

columna formada por varios miembros. Se relacionan con los efectos de la

esbeltez relativa en las dos direcciones que se representan con los ejes x y y en la

figura anterior. En la dirección y la columna se comporta simplemente como un

conjunto de columnas macizas. Así, el esfuerzo está limitado por las dimensiones

d2 y L2 y su cociente. Para esta condición, se determina lo siguiente para el

ejemplo.

33.1330)400(

dL

2

2 ==

Al usar este valor como relación de esbeltez, se determina la capacidad de una

columna maciza, cuya sección transversal tenga un área igual a tres veces la de

una columna de 10×30 cm. (no debe tomarse el área de los bloques separadores).

FIGURA 4.2: COLUMNA FORMADA POR VARIOS MIEMBROS



A75

Entonces:

• Almendrillo(Grupo A)

Como λ = 13.33 es mayor que 10 la columna no es corta.

De la tabla 4.4 se saca el valor de Ck, que para una columna del Grupo A

vale 17.98.

Como λ es mayor que 10 pero menor a 17.98, la columna es intermedia.

La fórmula que corresponde para hallar la carga admisible para una

columna

intermedia es :

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ λ⋅−⋅=4

kcadm C3

11AfN

k31.11735898.1733.13

311)3010(31451N

4

adm =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⋅−⋅⋅⋅=

El segundo caso que se debe considerar en el ejemplo es el comportamiento con

respecto al pandeo en la dirección x, que se revisa con respecto a dos

limitaciones:

1. 40dL

1

3 ≤

2. 80dL

1

1 ≤

Entonces usando los datos del ejemplo se tiene:

405.1810

152400

dL

1

3 ≤=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

= CUMPLE!

804010400

dL

1

1 ≤== CUMPLE!

cf ↔ 145 k/cm2

E ↔ 95000 k/cm2



A76

La capacidad de carga para esta condición depende del valor de 1

1

dL , y se

determina de manera similar, a la de la columna maciza, pero se permite mayorar

la capacidad de carga para columnas intermedias y largas con un factor Kx, en

relación al valor de X con respecto a la longitud total de la columna, con los

siguientes valores:

Ø Kx = 1.5 cuando X es menor o igual a L1/20

Ø Kx = 2.0 cuando X se encuentra entre L1/20 y L1/10

Entonces:

Como 40dL

1

1 ==λ es mayor que 10 la columna no es corta.

De la tabla 4.4. se saca el valor de Ck , que para una columna del Grupo A

vale 17.98.

Como λ es mayor que 10 y mayor a 17.98, la columna es larga.


columna larga es:

2admAE329.0N

λ⋅⋅=

k94.1758040

3010395000329.02N 2adm =⋅⋅⋅⋅=

Pero como X vale 15 cm, y L1/20 = 400/20 = 20, entonces se permite mayorar la

carga admisible por el factor Kx =1.5.

Entonces:

k41.263715.194.175802N adm =⋅=

La capacidad de la columna será la menor entre N1adm y N2adm, entonces como

el menor es N2adm :

k41.26371Nadm =

4.9 COLUMNAS COMPUESTAS.- Son columnas individuales formadas por varios elementos de secciones macizas.

Por lo general, las columnas compuestas tienen los elementos unidos entre sí

mediante dispositivos mecánicos, como clavos o pernos torneados.



A77

El diseño de este tipo de columnas se lo realiza en base a la capacidad del

elemento individual. Es decir la menor capacidad de carga de la sección

compuesta es la suma de las capacidades de las partes consideradas

individuales.

Las columnas compuestas más comunes son ensambles de pies derechos que se

presentan en la esquina de los muros, intersecciones de muros y los cantos de los

vanos de puertas y ventanas.

Cuando las columnas compuestas se presentan como columnas aisladas, se hace

difícil la determinación real de sus capacidades, a menos que los elementos

individuales tengan una esbeltez suficientemente baja como para considerar que

tienen capacidades significativas. Dos tipos de ensambles que tienen capacidades

comprobadas como columnas compuestas son los mostrados a continuación.

(b)(a)

En la figura (a) se muestra una columna de núcleo macizo esta envuelta por todos

lados con elementos mas delgados. La suposición común para analizar esta

columna es que la esbeltez se basa únicamente en el núcleo, pero la capacidad

de compresión axial se basa en la sección completa.

En la figura (b) se muestra una serie de elementos delgados se mantiene unida

mediante dos placas de cubierta que tienden a restringir el pandeo de los

elementos del núcleo alrededor de sus ejes poco resistentes. Para esta columna,

se considera que la esbeltez se basa en el eje más fuerte de los miembros

internos. La compresión axial se basa en la suma de los elementos internos para

Ref.: Diseño simplificado de Estructuras de Madera, Parker-‐Ambrose; Pág. 143

FIGURA 4.3: COLUMNAS COMPUESTAS



A78

obtener un diseño conservador, pero es razonable incluir las placas si están

unidas mediante tornillos o pernos.

Ejemplo: En la siguiente figura se muestra la sección transversal de una columna

compuesta, cuyo núcleo es de 20×20 cm.,y las placas exteriores tienen un

espesor de 5 cm.. Se pide encontrar la altura máxima que puede tener dicha

columna, para resistir una carga de 55 toneladas. Las restricciones de sus

extremos se pueden asimilar en la parte inferior empotrada, y en la parte superior

la unión restringe los giros pero permite desplazamientos. Trabajar con madera del

grupo B.

30 cm

30 cm20 cm

20 cm

Solución:

Como datos del problema se tiene:

§ Madera del Grupo B

Lo primero que se debe hacer es encontrar la longitud efectiva que es igual a:

LkLe ⋅=

De la tabla 4.2 para el modo de pandeo de la columna se recomienda para el

diseño el factor K =1.2. Entonces:

L2.1Le ⋅=

cf ↔ 110 k/cm2

E ↔ 75000 k/cm2



A79

Para la esbeltez solo se debe considerar el núcleo, entonces la esbeltez igual a:

L06.020L2.1

dLe ===λ

Obviamente la mayor longitud de la columna se dará cuando esta se analiza como

columna larga. Entonces la carga admisible que puede resistir será:

2admAE329.0N

λ⋅⋅=

kL

6168750000)L06.0(3075000329.0N 22

2

adm =⋅⋅=

Para que la columna resista la carga de 55000 k., la carga admisible debe ser por

lo menos igual a ésta, por lo tanto igualamos:

55000L

6168750000N 2adm ==

m35.3cm90.334L ≅=

Con esta longitud se verifica la esbeltez:

m20.1203.351.2

201.2L

dL

λ e =⋅===

De la tabla 4.4 se saca el valor de Ck, que para una columna del Grupo B vale

18.34.

Como λ es mayor que 18.34 pero menor a 50, entonces se verifica lo asumido: la

columna es Larga. Por lo tanto la longitud máxima de la columna deberá ser 3.35 metros.



A80

4.10 EJEMPLOS DEL CAPÍTULO Ejemplo 1: Un miembro de madera sometido a compresión tiene una sección transversal de

15cm×15cm, y es de almendrillo. Encontrar la capacidad de carga a compresión

axial (carga admisible) para longitudes efectivas de:

a) 2 metros

b) 6 metros

c) 10 metros

Solución:

Como datos del problema se tiene:

§ Dimensiones:

§ Almendrillo(Grupo A)

a) Se tiene una esbeltez igual a : 33.1315200

dL ===λ

Como λ es mayor que 10 la columna no es corta.


vale 17.98.

Como λ es mayor que 10 pero menor a 17.98, la columna es

intermedia.


columna intermedia es:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ λ⋅−⋅=4

kcadm C3

11AfN

Base (b) = 15 cm Altura (h) = 15 cm

cf ↔ 145 k/cm2

E ↔ 95000 k/cm2



A81

k58.2933998.1733.13

311)1515(145N

4

adm =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⋅−⋅⋅=

b) Se tiene una esbeltez igual a : 0.4015600

dL ===λ



vale 17.98.

Como λ es mayor que 10 y mayor a 17.98, pero menor que 50, la

columna es larga. La fórmula que corresponde para hallar la carga admisible para una

columna

larga es :

2admAE329.0N

λ⋅⋅=

k23.4395401595000329.0N 2

2

adm =⋅⋅=

c) Se tiene una esbeltez igual a : 67.66151000

dL ===λ

Como λ es mayor que 50, entonces NO DEBE UTILIZARSE ESTA

COLUMNA; para usarse se debe aumentar su sección transversal.

Por lo tanto para que esta columna tenga 10 metros de largo se debe

aumentar su sección a por lo menos 20×20 ó 22.5×22.5 cm.



A82

Ejemplo 2:

En la siguiente figura se muestra a una viga de madera Quebracho, de 20×35 cm

de sección, que soporta una carga distribuida de 1 tonelada por metro. Esta viga

esta soportada por 2 columnas de madera, que transmiten la carga hacia el suelo

a través de zapatas aisladas de HºAº. Se pide diseñar las columnas de madera

para que resistan las cargas a las que se ven sometidas. Suponer para el diseño

que la unión de viga-columna restringe los desplazamientos pero permite la

rotación. Utilizar para el diseño madera del Grupo A.

4 m

1m

35

20

5 m

ZAPATAS

COLUMNAS

VIGA



A83

Esquema Estructural:

PESO PROPIO

q = 1 t/m5 m

5 m

El Quebracho corresponde a una madera del Grupo A; por lo tanto la viga como

las columnas son del mismo grupo estructural.

• Grupo A

El peso propio de la viga, que es igual a :

hb ⋅⋅= γ pP

Pp = 800 k/m3 . 0.20 m . 0.35 m = 56 k/m

La carga total es igual a:

PpqCT +=

CT = 1000+56 = 1056 k/m

Las reacciones de apoyo de las vigas serán igual a:

Según fórmula de Anexo de capítulo 2:

cf ↔ 145 k/cm2

E ↔ 95000 k/cm2

γ ↔ 800 k/m3



A84

k2640251056

2LCR T =⋅=⋅=

Los extremos de las columnas actuarían como articulado – articulado; en la parte

inferior debido a que la zapata aislada restringe los desplazamientos pero no

garantiza una total restricción de la rotación. Para la unión viga columna, en el

enunciado se mencionó que se podía suponer como articulado dicha unión.

La siguiente gráfica muestra como actúan las columnas:

5 m5 m

2640 k 2640 k

5 m

2640 k 2640 k

q = 1 t/m

Pp = 56 k/m

Como existe simetría geométrica como simetría de cargas, solo se analizara una

columna, ya que la otra deberá ser exactamente igual.

Para el diseño de la columna se debe tantear una sección, y hallar su carga

admisible, que deberá ser mayor a la carga externa actuante. Para tantear con



A85

una sección que sea muy próxima a la necesaria se recurre a las tablas o ábacos

para el diseño de columnas (ver Anexo del Cáp. 4).

Para tantear con la Tabla A4-1(Tabla de anexos de capítulo IV), se entra con :

§ Longitud efectiva, que como las condiciones de borde en los

apoyos de la columna, se obtiene de la tabla 4.1 un valor de k =

1, por lo tanto la longitud efectiva es igual a la longitud real no

arriostrada = a 5 metros.

§ La carga a resistir, que para este caso será 2640 kilogramos.

Entonces:

De la tabla se observa que la sección mas pequeña cuya longitud efectiva es 5

metros y cuya carga admisible es mayor a 2640 kilogramos es la sección 15×15

cm. Pero porque la carga admisible de la sección de 15×15 cm es mucho mayor

a 2640 kilogramos, nos vemos obligados por razones económicas a buscar una

sección que sea más pequeña.

Por lo tanto como el tanteo de las secciones se realiza pulgada por pulgada

(debido a que en el comercio se vende así), probar con la sección:

§

Entones:

Longitud efectiva (metros)Dimensiones Area (cm) (cm2)

10 10×10 100 7813.75 5000.80 3472.78 2551.43 1953.44 1543.46 1250.2015 10×15 150 11720.63 7501.20 5209.17 3827.14 2930.16 2315.19 1875.3020 10×20 200 15627.50 10001.60 6945.56 5102.86 3906.88 3086.91 2500.4015 15×15 225 29337.33 24598.47 17580.94 12916.61 9889.28 7813.75 6329.14 5230.6920 15×20 300 39116.45 32797.96 23441.25 17222.14 13185.70 10418.33 8438.85 6974.2625 15×25 375 48895.56 40997.45 29301.56 21527.68 16482.13 13022.92 10548.56 8717.8220 20×20 400 56150.69 53485.08 48637.86 40655.47 31255.00 24695.31 20003.20 16531.5725 20×25 500 70188.36 66856.35 60797.32 50819.34 39068.75 30869.14 25004.00 20664.4630 20×30 600 84226.03 80227.62 72956.79 60983.21 46882.50 37042.96 30004.80 24797.3625 25×25 62530 25×30 750

Sección de columna

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5hb ×

TABLA A4.1 CAPACIDAD DE CARGA PARA COLUMNAS SUJETAS A COMPRESIÓN (kilogramos) PARA MADERAS DEL GRUPO A

Base (b) = 12.5 cm Altura (h) = 12.5 cm



A86

Se tiene una esbeltez igual a : 0.405.12

500dLef ===λ


De la tabla 4.4 se saca el valor de Ck, que para una columna del Grupo A vale

17.98. Como λ es mayor que 10 y mayor a 17.98, la columna es larga.

La fórmula que corresponde para hallar la carga admisible para una columna

larga es :

2admAE329.0N

λ⋅⋅=

k25.305240

5.1295000329.0N 2

2

adm =⋅⋅=

Como Nadm es mayor que 2640 kilogramos, entonces SECCIÓN RESISTE. Ejemplo 3:

En la siguiente figura se muestra a una viga de madera Almendrillo, de 30×50 cm

de sección, que soporta un muro de ladrillo gambote de 18 cm de espesor y de 3

metros de altura (cuya longitud es igual a la longitud total de la viga). La viga esta

soportada por 2 columnas de madera de 15×15 cm de sección y, que transmiten la

carga hacia el suelo a través de zapatas aisladas de HºAº. Se pide encontrar la

máxima distancia “L” que puede tener la combinación viga-muro, para que las

columnas del pórtico resistan las solicitaciones actuantes. Suponer para el diseño

que la unión de viga-columna restringe los desplazamientos pero permite la

rotación. Utilizar para las columnas madera del Grupo B.



A87

COLUMNAS

VIGA

50

30

3 m

5 m

1m

ZAPATAS Esquema Estructural:

L

PESO PROPIO

qLad

6 m

El Almendrillo corresponde a una madera del Grupo A; por lo tanto para la viga:

• Grupo A

El peso propio de la viga, que es igual a :

γ ↔ 800 k/m3



A88

hb ⋅⋅= γ pP

Pp = 800 k/m3 . 0.30 m . 0.50 m = 120 k/m

La carga qLad , que se debe al peso del muro de ladrillo es igual a :

• Ladrillo Gambote

alturaespesorqLad ⋅⋅γ=

mk972318.01800qLad =⋅⋅=

La carga total es igual a:

PpqCT +=

CT = 972+120 = 1092 k/m

Las reacciones de apoyo de las vigas serán igual a:

Según formula de Anexo de cap2:

kL5462L1092

2LCR T =⋅=⋅=

El peso propio de cada columna, que es igual a :

hbP p ⋅⋅γ=

• Columnas(Grupo B)

Pp = 750 k/m3 . 0.15 m . 0.15 m . 6 m = 101.25 k≅ 102 k

Los extremos de las columnas actuarían como articulado – articulado; en la parte

inferior debido a que la zapata aislada restringe los desplazamientos pero no

garantiza una total restricción de la rotación. Para la unión viga columna, en el

enunciado se mencionó que se podía suponer como articulado dicha unión.

La siguiente gráfica muestra como actúan las columnas:

γ ↔ 1800 k/m3

γ ↔ 750 k/m3



A89

L

546L k

6 m 6 m

546L k

PESO PROPIO

q = 0.97 t/m

(546L+102) k (546L+102) k



A90

Como existe simetría geométrica como simetría de cargas, solo se analizara una

columna, ya que la otra deberá ser exactamente igual.

Ahora el siguiente paso es establecer la carga admisible de la columna dato:

15×15 cm y 6 metros de longitud efectiva (igual a la longitud real debido a que k es

igual a 1), y perteneciente al Grupo B. Para el valor de la carga admisible de una

manera rápida se puede usar las tablas o graficas de diseño de columnas (ver

Anexo del Cáp. 4).

Usando la grafica de diseño correspondiente al Grupo B y a la escuadría: 15×15

cm:

GRAFICA PARA DISEÑO DE COLUMNAS - GRUPO B

0.00

5 000.00

10 000.00

15 000.00

20 000.00

25 000.00

30 000.00

35 000.00

40 000.00

2 3 4 5 6 7

LONGITUD EFECTIVA (metros)

CA

PAC

IDA

D D

E C

AR

GA

(kilo

gram

os)

10*1010*1510*2015*1515*2015*25

ESCUADRIAS

GRAFICA PARA DISEÑO DE COLUMNAS - GRUPO B

0.00

5 000.00

10 000.00

15 000.00

20 000.00

25 000.00

30 000.00

35 000.00

40 000.00

2 3 4 5 6 7


CA

PAC

IDA

D D

E C

AR

GA

(kilo

gram

os)

10*1010*1510*2015*1515*2015*25

ESCUADRIASGRAFICA PARA DISEÑO DE COLUMNAS - GRUPO B

0.00

5 000.00

10 000.00

15 000.00

20 000.00

25 000.00

30 000.00

35 000.00

40 000.00

2 3 4 5 6 7


CA

PAC

IDA

D D

E C

AR

GA

(kilo

gram

os)

10*1010*1510*2015*1515*2015*25

ESCUADRIAS



A91

Entonces:

Nadm = 3450 = 546L+102

L = 6.13 metros

Aproximadamente: la longitud de la viga no debe exceder de 6 metros para

que las

columnas RESISTAN.

Ejemplo 4: Para la columna mostrada en la siguiente figura se pide determinar la escuadría

para que resista la solicitación actuante. Considerar para el diseño que la longitud

efectiva es igual a la longitud no arriostrada. Diseñar el miembro para la especie

verdolago.

10 cm

4 m

20 ton

3450



A92

DE la grafica se aprecia que la carga axial es de 20 toneladas, y debido a la

excentricidad de 10 cm, genera un momento igual a 2000 kg.m., por lo tanto

diseñar a flexocompresión.

El Verdolago corresponde a una madera del Grupo B; por lo tanto:

• Grupo B

Asumir una sección:

Predimensionando solo con la carga axial (con ábacos o tablas), una sección de

20×20 cumple, entonces:

§

Se tiene una esbeltez igual a: 2020400

dL ===λ



18.34.

Como λ es mayor que 10 y mayor a 18.34, pero menor que 50, la columna es

larga. La fórmula que corresponde para hallar la carga admisible para una columna

larga es:

2admAE329.0N

λ⋅⋅=

k24675202075000329.0N 2

2

adm =⋅⋅=

Lo que sigue es hallar el factor de magnificación de momentos Km.:

cf ↔ 110 k/cm2

mf ↔ 150 k/cm2 E ↔ 75000 k/cm2




A93

Donde: Ncr es la carga critica de Euler:

El modulo resistente de la sección es:

Verificando a la flexocompresión:

Entonces aumentamos la sección:

§

Se tiene una esbeltez igual a: 1625400

dL ===λ



18.34.

cr

m

NN5.11

1k⋅−

=

2ef

2

cr LIEN ⋅⋅π=

k03.6168540012

2075000N 2

42

cr =⋅

⋅⋅π=

947.1

03.61685200005.11

1km =⋅−

=

332

cm33.1333620

6hbZ ==⋅=

1fZMk

NN

m

m

adm<

⋅⋅

+

FALLA176.215033.1333

200000947.12467520000 ∴>=

⋅⋅+




A94

Como λ es mayor que 10 y menor a 18.34, la columna es intermedia.


intermedia es:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ λ⋅−⋅=4

kcadm C3

11AfN

k95.5548434.1816

311)2525(110N

4

adm =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⋅−⋅⋅=

Lo que sigue es hallar el factor de magnificación de momentos Km:


El modulo resistente de la sección es:


cr

m

NN5.11

1k⋅−

=

2ef

2

cr LIEN ⋅⋅π=

k21..15059840012

2575000N 2

42

cr =⋅

⋅⋅π=249.1

21.150598200005.11

1km =⋅−

=

332

cm17.2604625

6hbZ ==⋅=

1fZMk

NN

m

m

adm<

⋅⋅

+



A95

Por lo tanto la sección de 25×25 resiste las solicitaciones externas.

Ejemplo 5: En la siguiente figura se ilustra una condición de carga para un miembro de la

cuerda inferior de una armadura. La sección de el miembro es de 7.5×15 cm, y la

madera utilizada es para su construcción es Quebracho. Se pide analizar el

miembro y determinar si es adecuado para las condiciones de carga mostradas. 1 t1 t

10 t10 t

4 m

1 m 1 m

Solución:

El elemento esta sometido a flexotracción, para lo cual se debe verificar que:

El Quebracho corresponde a una madera del Grupo A; por lo tanto:

• Grupo A

• Sección

CUMPLE1999.015017.2604

200000249.195.55484

20000 ∴<=⋅

⋅+

tf ↔ 145 k/cm2

E ↔ 95000 k/cm2

γ ↔ 800 k/m3

mf ↔ 210 k/cm2

Base (b) = 7.5 cm Altura (h) = 15 cm

1fZM

fAN

mt<

⋅+

⋅



A96

La tracción actuante es:

k10000N =

El momento actuante máximo en el miembro es:

kcm100000mk100011000aPMmax =⋅=⋅=⋅=

El modulo resistente de la sección es :

Verificando la relación del elemento a flexotracción:


Ø En la lectura de capítulo dar especial importancia a los siguientes conceptos:

« Compresión Axial

« Flexocompresión

« Flexotracción

« Longitud efectiva - Esbeltez

« Postes

PROBLEMAS PROPUESTOS.-

Ø Diseñar una columna circular que soportará un tanque de agua de

hormigón armado de 5 metros cúbicos de capacidad. Considerar el espesor

de las paredes del tanque como constante y de 7.5 centímetros. La altura a

la que se encontrará el tanque será de 5 metros.

1fZM

fAN

mt<

⋅+

⋅

322

cm25.2816155.7

6hbZ =⋅=⋅=

!CUMPLE168.021025.281

100000145155.7

10000 ∴<=⋅

+⋅⋅



A97

Ø Realizar una planilla electrónica (tipo Excel) de diseño para los diferentes

grupos de maderas utilizando secciones circulares.



A98

CAPITULO 5

DISEÑO DE UNIONES

El mayor problema en el diseño de las estructuras de madera es la solución de

aquellos puntos en que convergen dos o más piezas (nudos), de modo que se

puedan transmitir adecuadamente sus esfuerzos. Estas uniones deberán ser lo

suficientemente rígidas como para que la deformación total de la estructura no

exceda ciertos valores estimados como admisibles. Es así, como a los elementos

que se usan para materializar las uniones se los condiciona tanto en cuanto a su

capacidad de transmisión descarga como al monto del corrimiento que

experimentan al quedar sometidos a carga. Tradicionalmente se distinguen dos

comportamientos opuestos: uno totalmente rígido representado por las colas y otro

sumamente flexible presentando grandes deformaciones y que corresponde al

caso de los pernos. En un plano, intermedio se, sitúan los clavos. Cada medio de

unión presentará ventajas y desventajas adecuándose cada uno a campos

específicos.

5.1 UNIONES CLAVADAS Por lo general las uniones clavadas son las más económicas, y son muy usadas

en especial para viviendas y edificaciones pequeñas construidas en base a

entramados.

Los clavos se fabrican en un amplio intervalo de tamaños y formas, según el uso

que se quiera dar. Varían en tamaño desde las pequeñas tachuelas a gigantescas

escarpias. Los clavos se clavan mediante un martillo, sin embargo para clavar

muchos clavos, actualmente se cuenta con una gran variedad de dispositivos

mecánicos para clavar.

Todas las especies del grupo estructural C y muchas del grupo B pueden clavarse

fácilmente, sobre todo cuando la madera se encuentra en condición verde; las

maderas más densas y/o secas son por lo general más difíciles de clavar. Si se

clavan maderas del grupo estructural A es conveniente hacer un pre-taladro con

un diámetro del orden de 0.8 veces el diámetro del clavo, esto a menos que se

usen clavos de alta resistencia, clavados mediante dispositivos mecánicos

especiales.



A99

Se debe hacer notar que en cualquier unión se debe usar como mínimo al menos

2 clavos.

Procedimiento de diseño para uniones clavadas.- El procedimiento para diseñar éste tipo de uniones se puede esquematizar de la

siguiente manera:

1) Establecer bases de cálculo

a. Grupo de madera utilizado.

b. Cargas actuantes en la unión y su orientación con respecto

a las piezas de madera.

2) Seleccionar la longitud y el diámetro de los clavos. Es

conveniente usar clavos de la mayor longitud posible (si se

quiere, usar como guía de acuerdo al elemento a clavar las

Tablas 13.16 y 13.17 del Manual de Diseño para Maderas del

Grupo Andino).

3) Determinar la carga admisible para un clavo a simple

cizallamiento (usar Tabla 5.1)

a. Clavos a doble Cizallamiento, multiplicar por 1.80 valores

de la Tabla 5.1.

b. Clavos lanceros, multiplicar por 0.83 valores de la Tabla

5.1.

c. Clavos a Tope, multiplicar por 0.67 valores de la Tabla 5.1.

4) Para uniones construidas con madera seca, se puede multiplicar

por 1.25.

5) Verificar espesores mínimos y longitudes de penetración;

eventualmente reducir las cargas admisibles por clavo.

6) Determinar el número de clavos y su ubicación.

1) Establecer bases de cálculo

a. Grupo de madera utilizado.

UNIONES SOMETIDAS A CIZALLAMIENTO O CORTE

UNIONES SOMETIDAS A EXTRACCIÓN



A100

b. Cargas actuantes en la unión y su orientación con respecto

a la dirección de los clavos.

2) Seleccionar la longitud y el diámetro de los clavos. La longitud

debe ser entre 2 y 3 veces el espesor del elemento que contiene

la cabeza del clavo.

3) Determinar la longitud de penetración: “a”, en el elemento que

contiene la punta del clavo, y calcular la carga admisible para un

clavo perpendicular al grano usar la Tabla 5.5.

4) Para clavos lanceros multiplicar por 2/3 los valores de la Tabla

5.5. Los clavos paralelos al grano de la madera que contiene a la

punta no pueden considerarse resistentes (llamados clavos a

tope).

5) Uniones construidas con madera seca, se puede duplicar la carga

admisible.

6) Determinar el número de clavos y su ubicación.

5.1.1 UNIONES SOMETIDAS A CIZALLAMIENTO.- 5.1.1.1 Cargas Admisibles.- La carga admisible de una unión clavada depende de muchos factores, como el

tipo de madera utilizada y su condición, la calidad, longitud y cantidad de clavos,

espesores de los elementos de penetración, etc.

Las cargas admisibles en condiciones de servicio para un clavo se dan a

continuación, y están en dependencia al tipo de Cizallamiento al que se encuentre

los clavos en la unión.

a) Simple Cizallamiento:

Figura 5.1 UNION CLAVADA A SIMPLE CIZALLAMIENTO

REF.: Elaboración propia



A101

Para lo cual se da una tabla con los valores admisibles para un clavo

perpendicular al grano y sometido a simple cizalle, y en esta tabla se

considera la longitud y el diámetro del clavo, así como el grupo estructural

de madera a utilizar:

dmm pulg mm Grupo A** Grupo B Grupo C

2.4 36 28 202.6 40 31 222.9 46 36 253.3 53 42 302.6 40 31 222.9 46 36 253.3 53 42 303.7 61 48 353.3 53 42 303.7 61 48 354.1 70 54 393.7 61 48 354.1 70 54 394.5 78 61 444.1 70 54 394.5 78 61 444.9 87 68 49

Carga Admisible, kg

51

63

76

Longitud ( L )

89

102

2

2 1/2"

3

3 1/2"

4

Cabe señalar que los valores de la anterior tabla son para maderas

construidas con uniones húmedas (contenido de humedad mayor o igual al

30%); para uniones construidas con madera seca se puede mayorar las

cargas admisibles en un 25%.

b) Otros Casos, Como por ejemplo un clavo sometido a doble

Cizallamiento, clavos lanceros, y clavos a tope, se determina su carga

admisible multiplicando los valores de la tabla 5.1 por factores que

corresponden a cada caso, y que se dan en la tabla 5.2.

Tabla 5.1 CARGA ADMISIBLE POR CLAVO-‐ SIMPLE CIZALLAMIENTO

REF.: Tabla 12.1 Pág. 12-‐4 “Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino” “Andino



A102

5.1.1.2 ESPESORES MÍNIMOS Y PENETRACIÓN DE LOS CLAVOS.-

a) Simple Cizallamiento

Tabla 5.2 FACTORES MODIFICATORIOS DE LAS CARGAS ADMISIBLES PARA UNIONES CLAVADAS SOMETIDAS A CIZALLAMIENTO

REF.: Tabla 12.2 Pág. 12-‐5 “Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino”

Tipo de Unión

a. Cizallamiento simple, clavo perpendicular al grano

b. Cizallamiento simple, clavo a tope(paralelo al grano de la madera que contiene la punta

c. Cizallamiento simple, clavos lanceros

d. Doble cizallamiento, clavo perpendicular al grano

0.67

0.83

1.80

Esquema Factor

1.0



A103

El espesor de la madera más delgado (que contiene la cabeza del clavo) debe

ser por lo menos 6 veces el diámetro del clavo: 6d. La penetración del clavo en

el elemento que contiene la punta debe ser por lo menos 11 diámetros: 11d.

6d 11d

6d

11d

Si se tienen espesores o penetraciones menores, las cargas admisibles deben

reducirse. El factor de reducción debe ser la menor de las relaciones:

1. Espesor del elemento mas delgado dividido entre 6d.

2. Penetración del elemento que contiene la punta dividido entre 11d.

En ningún caso deben aceptarse espesores o penetraciones menores que el 50 % de los (6d, 11d) antes indicados. Para clavos lanceros estos mínimos no son aplicables. Los clavos lanceros

deben ser introducidos en puntos ubicados a una distancia igual a 1/3 de la

longitud del clavo a partir del plano de unión y formando un ángulo

aproximadamente de 30 grados con la dirección del grano, como se muestra a

continuación:

Figura 5.2 ESPESORES MÍNIMOS Y PENETRACIÓN DE CLAVOS SOMETIDOS A CIZALLAMIENTO SIMPLE


Figura 5.3 UBICACIÓN DE CLAVOS LANCEROS



A104

30°

L3

30°

L

b) Doble Cizallamiento El espesor del elemento central debe ser por lo menos igual a 10 veces el

diámetro del clavo: 10d. Tanto el espesor del elemento adyacente a la cabeza

del clavo, como la penetración del clavo en el elemento que contiene la punta

no deberán ser menores que 5 veces el diámetro del clavo: 5d.

5d 5d10d

Si no se cumplen los requisitos expuestos anteriormente, las cargas admisibles

deben reducirse. El factor de reducción debe ser la menor de las relaciones:

1. Espesor del elemento central dividido entre 10d

2. Espesor del elemento adyacente a la cabeza dividido entre 5d

3. Penetración del elemento que contiene la punta dividido entre 5d


Figura 5.4 ESPESORES MÍNIMOS Y PENETRACIÓN DE CLAVOS SOMETIDOS A CIZALLAMIENTO DOBLE




A105

En ningún caso deben aceptarse espesores o penetraciones menores que el 50 % de los (5d, 10d) antes indicados. Si se clavan la mitad de los clavos desde cada lado, el espesor del elemento

adyacente a la cabeza y la penetración del clavo en la madera que contiene la

punta pueden promediarse para efectos de establecer la relación con la

longitud 5d.

5.1.1.3 ESPACIAMIENTOS MÍNIMOS.- Los espaciamientos mínimos especificados son necesarios para evitar rajaduras al clavar la madera. Con frecuencia estos requisitos obligan a utilizar elementos

de madera de dimensiones mayores a las estrictamente necesarias por

resistencia.

En uniones constituidas por elementos de madera orientados en direcciones

diferentes se deben verificar por separado los requisitos de espaciamiento en cada

uno de ellos, resultando para la unión los que sean mayores en cada dirección. a) Simple Cizallamiento.- La distancia entre clavos y a los bordes o extremos de las piezas de madera

deben ser mayores o iguales a los indicados en la tabla 5.3. :

Cuando se use un pretaladrado, pueden usarse los espaciamientos mínimos

siguientes:

Espaciamiento entre clavos 16dElementos A lo largo del grano Distancia al extremo 20dcargados

paralelamente Espaciamiento entre lineas de clavos 8dal grano Distancia a los bordes 5d

Elementos A lo largo del grano Espaciamiento entre clavos 16dcargados

perpendicularmente Espaciamiento entre lineas de clavos 8dal grano Perpendicular a la dirección del grano Distancia al borde cargado 10d

Distancia al borde no cargado 5d

Perpendicular a la dirección del grano

Tabla 5.3 ESPACIAMIENTO MINIMO PARA SIMPLE CIZALLAMIENTO O DOBLE CIZALLAMIENTO CLAVADO DE UN SOLO LADO


Tabla 5.4 ESPACIAMIENTO MINIMO PARA SIMPLE CIZALLAMIENTO CON PRETALADRADO O DOBLE CIZALLAMIENTO SIMÉTRICO



A106

b) Doble Cizallamiento.- Los espaciamientos mínimos recomendados varían de acuerdo a la dirección

del clavado, es decir:

1) Si todos los clavos son colocados al mismo lado.

2) Si se colocan alternadamente de ambos lados.

Para el primer caso, los espaciamientos mínimos son los mismos que para

simple cizallamiento recomendados en la tabla 5.3.

Para el segundo caso (doble cizallamiento simétrico) los espaciamientos

mínimos son los de la tabla 5.4.

5.1.2 UNIONES SOMETIDAS A EXTRACCIÓN.- En lo posible el diseño debe evitar que los clavos queden sometidos a fuerzas de

extracción.

La fuerza de extracción que puede ser resistida por un clavo depende de:

Ø Grupo estructural (A, B, C) al que pertenece la madera utilizada, y su

contenido de humedad.

Ø Longitud y diámetro de los clavos.

Ø Ubicación de los clavos en relación a los elementos de madera.

Ø Penetración de los clavos en la madera que contiene la punta.

Las expresiones que permiten evaluar la carga admisible para un clavo

perpendicular al grano en función al grupo estructural se presentan en la tabla

5.5. Estos valores pueden duplicarse si se utiliza madera seca.

Espaciamiento entre clavos 11dElementos A lo largo del grano Distancia al extremo 16dcargados

paralelamente Espaciamiento entre lineas de clavos 6dal grano Distancia a los bordes 5d

Elementos A lo largo del grano Espaciamiento entre clavos 11dcargados

perpendicularmente Espaciamiento entre lineas de clavos 6dal grano Perpendicular a la dirección del grano Distancia al borde cargado 10d

Distancia al borde no cargado 5d

Perpendicular a la dirección del grano


Figura 5.5 UNION SOMETIDA A EXTRACCION



A107

min. 6d

a

d = diametro del clavo

Tabla 5.5 CARGA ADMISIBLE DE EXTRACCIÓN


Grupo Clavo Perpendicular al Grano

A

B

C

a , d , deben considerarse en centímentros Los coeficientes se pueden duplicar si se usa madera seca

da8 ⋅⋅da6 ⋅⋅da4 ⋅⋅




A108

Para clavos lanceros y clavos aproximadamente paralelos al grano de la madera,

la carga admisible se determina multiplicando los valores calculados de la Tabla 5.5 por los factores indicados en la Tabla 5.6.

Como conclusión se puede decir que el diseño de buenas juntas clavadas requiere

de un poco de ingeniería y mucha carpintería de buena calidad. Lo mejor sería

que quien diseñe las juntas clavadas tenga un poco de experiencia real en

carpintería.

Ejemplo Se desea determinar el número de clavos para la siguiente unión. La madera

central tiene de base 5 cm y de altura 10 cm; las maderas laterales son de 2.5cm

de base y de 10 cm de altura. Se pide realizar la unión mediante clavos. Utilizar

madera del grupo B.

Tabla 5.6 FACTORES MODIFICATORIOS DE LAS CARGAS ADMISIBLES PARA UNIONES CLAVADAS SOMETIDAS A EXTRACCIÓN


Tipo de Unión

a. Clavo perpendicular al grano

b. Clavo lancero

c. Clavo a tope (paralelo al grano)

0

Esquema Factor

1.0

0.67

a

a

a



A109

Paso1) El grupo Estructural es el B , y la carga a la que se someterán los clavos

es Doble Cizalle perpendicular a la fibra.

Paso2) De la tabla 5.1 se elegirá clavos de 3.5 pulgadas de longitud y 3.7 mm de

diámetro

Paso3) Se determinan las cargas admisibles para este tipo de clavos:

De la tabla 5.2 se saca que se deben multiplicar por 1.80 los valores admisibles de

la tabla 5.1.

Entonces:

.k86.41.80k48Padm =⋅=

Paso4) Verificación de espesores mínimos:

Ø El espesor del elemento central debe ser por lo menos 10 veces el

diámetro del clavo:

cm7.3mm377.310d10 ==⋅=

Como la base del elemento central es de 5 cm CUMPLE! Ø Tanto el espesor del elemento adyacente a la cabeza del clavo, como la

penetración del clavo en el elemento que contiene la punta no deberán ser

menores que 5 veces el diámetro del clavo:

cm85.1mm5.187.35d5 ==⋅=

Como la base del elemento que contiene la cabeza del clavo es de 2.5 cm

CUMPLE!

1 ton

0.5 ton

0.5 ton



A110

Sumando la base del elemento exterior que contiene la cabeza del clavo

mas la base del elemento central, y este valor restando a la longitud del

clavo, se determina cuanta penetración tiene el clavo en el elemento que

contiene la punta del clavo:

cm5.75.25 =+

cm9.8Lclavo =

Penetración = 8.9 - 7.5 = 1.40 cm

1.40 cm < 1.85 cm REDUCIR LA CARGA ADMISIBLE DEL CLAVO. Entonces:

Factor de reducción = 76.085.140.1 =

Entonces la resistencia admisible por clavo será:

.k65.660.76k86.4Padm =⋅=

Paso5) Determinación de número de clavos:

clavos87.6165.66500

PCargaClavos#adm

≅===

5.2 UNIONES ENCOLADAS

Son uniones rígidas de efecto resistente superficial proveniente de acciones

mecánicas y químicas. Su rigidez es tal que generalmente falla antes la madera

vecina a la unión. Corresponden al medio de unión de maderas más nuevo y se

proyecta el de mayores posibilidades para el futuro. Sus principales ventajas se

detallan a continuación:

i) Posibilitan la ejecución de secciones de piezas no limitas por las del

material original.

ii) La efectividad de las secciones transversales compuestas encoladas es

completa, esto es, no se producen corrimientos relativos entre los

componentes.

iii) Facilita la industrialización en la producción (prefabricación).



A111

iv) Permiten un consumo económico de la madera (tablas y tablones).

v) Neutralizan las fallas naturales de la madera.

vi) Las uniones endentadas y en bisel permiten la construcción de uniones

no visibles originando piezas de considerable longitud.

vii) Las estructuras encoladas poseen una alta resistencia al fuego, e

incluso pueden ser calculadas para este objeto.

viii) Se materializan sin debilitar las piezas a unir como sucede con los

restantes medios de unión.

ix) Implican economías en el consumo del acero.

x) La construcción de estructuras laminado encoladas permite solucionar

óptimamente los requisitos estáticos como arquitectónicos.

xi) Estas últimas estructuras poseen una excelente resistencia a los

ataques químicos.

xii) Abren posibilidades de ampliaciones, reparaciones en obra,

modificaciones y desmontaje sin grandes dificultades.

5.3 UNIONES APERNADAS

Son uniones desmontables de tipo puntual. El perno constituye uno de los medios

de unión más antiguos y usados pese a que la capacidad de transmisión de carga

en relación al consumo de acero es bastante reducida.

En el funcionamiento de una unión apernada se producen tres fases distintas en la

transmisión de fuerzas:

a) En un comienzo, y especialmente para pernos fuertemente apretados la

unión trabaja por roce. Luego los pernos se ubican contiguos a la madera

presionando las paredes de los agujeros.

b) Esta presión que inicialmente es uniforme en su distribución sobre la

superficie del agujero, con el aumento de la carga se desuniformiza debido

al efecto flector que se produce en el perno, generándose concentraciones



A112

localizadas de tensiones en los bordes de la madera. El perno deformado

se incrusta en la madera.

c) Finalmente, esta deformación del perno es tal que los corrimientos que ha

experimentado la unión superan ampliamente las deformaciones admisibles

en uniones estructurales.

Para efectos de cálculo de uniones apernadas se considera la segunda fase.

Las uniones con pernos deberán realizarse de manera que exista contacto

efectivo entre las piezas unidas. Si el contenido de humedad es alto, al efectuarse

el montaje de la estructura en cuestión deberán hacerse inspecciones a intervalos

no superiores a seis meses hasta verificar que los movimientos por contracciones

han dejado de ser significativos. En cada inspección deberán apretarse los

elementos de unión hasta lograr un contacto efectivo entre las caras de las piezas

unidas. Además se recomienda que todos los elementos metálicos utilizados con

madera húmeda tengan un tratamiento anticorrosivo.

Las uniones apernadas son particularmente eficientes con maderas de los grupos

estructurales A y B, pero pueden utilizarse con maderas del grupo C.

Cuando se utilicen piezas metálicas de unión, los agujeros deberán localizarse de

manera que queden correctamente alineados con los agujeros correspondientes

en las piezas de madera. Se colocará una arandela entre la cabeza o la tuerca del

elemento de unión y la madera para evitar esfuerzos de aplastamiento excesivos.

Las arandelas podrán omitirse cuando la cabeza o la tuerca del elemento se

apoyen directamente sobre una placa de acero.

Las cargas admisibles están basadas en resultados de ensayos efectuados a

uniones con pernos según la norma ASTM D 1767 – 74, sometidos a doble

cizallamiento. Estos resultados corresponden a 46 especies, con uniones

cargadas paralelamente al grano o en dirección perpendicular al grano del

elemento central y con relaciones entre el espesor del elemento central y el

diámetro del perno.

5.3.1 UNIONES SOMETIDAS A DOBLE CIZALLAMIENTO Las cargas admisibles que se presentan en la Tabla 5.7. son directamente

aplicables a uniones sometidas a doble cizallamiento para el caso en que el



A113

L d d P Q P Q P Qcm. cm. pulg. kg kg kg kg kg kg

0.63 1/4 3.2 195 88 131 58 75 340.95 3/8 2.1 297 101 196 67 113 391.27 1/2 1.6 396 117 261 78 151 451.59 5/8 1.3 495 132 326 88 188 510.63 1/4 4.8 229 124 179 88 113 510.95 3/8 3.2 438 152 294 101 169 591.27 1/2 2.4 594 176 392 117 226 681.59 5/8 1.9 743 198 489 132 282 770.63 1/4 6.3 256 144 200 114 128 680.95 3/8 4.2 491 201 386 134 226 781.27 1/2 3.1 779 234 522 156 301 911.59 5/8 2.5 990 264 653 175 375 1021.9 3/4 2.1 1188 299 783 199 452 1160.95 3/8 5.3 536 226 420 168 268 981.27 1/2 3.9 851 293 653 195 376 1141.59 5/8 3.1 1217 330 816 219 470 1281.9 3/4 2.6 1485 374 979 248 564 1450.95 3/8 6.8 591 260 463 206 297 1271.27 1/2 5.1 943 345 739 253 471 1481.59 5/8 4.1 1350 428 1061 285 611 1661.9 3/4 3.4 1809 486 1273 323 734 1880.95 3/8 8.4 645 289 501 235 318 1561.27 1/2 6.3 1024 385 799 303 511 1821.59 5/8 5.0 1465 481 1148 351 731 2051.9 3/4 4.2 1963 595 1544 397 903 2320.95 3/8 9.5 676 308 523 253 329 1691.27 1/2 7.1 1072 409 835 326 535 2051.59 5/8 5.7 1535 512 1200 395 766 2301.9 3/4 4.7 2057 633 1614 447 1016 2610.95 3/8 10.5 704 325 544 270 339 1811.27 1/2 7.9 1118 433 869 348 555 2271.59 5/8 6.3 1600 541 1248 426 799 2561.9 3/4 5.3 2144 669 1679 497 1070 290

GRUPOA

GRUPO GRUPOB C

L/d

2.0

3.0

4.0

10.0

5.0

6.5

8.0

9.0

espesor de cada uno de los elementos laterales es igual a la mitad del espesor del

elemento central. Esto es aplicable tanto para cargas paralelas como

perpendiculares al grano. Para aquellos casos en que el espesor de los

elementos laterales no alcanza a ser la mitad del espesor del elemento central, se

ha optado por considerar como útil solamente el doble del espesor de los

elementos laterales. Para los casos en que el espesor del elemento central no

llega a ser el doble de los laterales, se recomienda que el espesor útil de los

elementos laterales sea sólo la mitad de aquel elemento central.

Tabla 5.7 CARGAS ADMISIBLES PARA UNIONES APERNADAS-DOBLE CIZALLAMIENTO




A114

Influencia de la Orientación de las Fuerzas con Relación al Grano Los valores indicados como P son cargas admisibles para el caso en que la

fuerza en la unión sigue la dirección del grano, como se indica en la figura 5.6.

PP2

P2

L2

L2

L

Las cargas admisibles cuando la fuerza es paralela al grano del elemento pero

perpendicular al grano de los elementos laterales o viceversa (Figura 5.7) se

indican como Q.

Q


Figura 5.6 UNIÓN APERNADA A DOBLE CIZALLAMIENTO. CARGAS PARALELAS AL GRANO EN TODOS LOS ELEMENTOS

Figura 5.7 UNIÓN APERNADA A DOBLE CIZALLAMIENTO.



A115

a) Cargas perpendiculares al grano en los elementos laterales y paralela al grano en el elemento central

Q2

Q2

c) Cargas perpendiculares al grano en el elemento central y paralelas al

grano en los elementos Laterales.

Las cargas admisibles P y Q corresponden a dos situaciones límites. Si la carga

aplicada sigue la dirección del grano en el elemento central pero forma un ángulo

θ con la dirección del grano en los elementos laterales (Figura 5.8.a.) o viceversa

(Figura 5.8.b.), la carga admisible puede determinarse con la fórmula de

Hankinson:

θcosQθsenPQPN 22 ⋅+⋅⋅=

N

θ

Ref.: Elaboración

Propia

Figura 5.8 UNIONES APERNADAS, CARGAS INCLINADAS CON RELACIÓN AL GRANO.



A116

a)

N2N

2

θ

b)

Uniones con Pletinas Metálicas Si los elementos laterales son pletinas metálicas, los valores indicados como P en

la Tabla 5.7. Pueden incrementarse en 25 por ciento. No deben considerarse

incrementos similares para cargas perpendiculares a la dirección del grano, Q. En

ambos casos, L debe tomarse como el espesor del elemento central de madera

(Figura 5.9). Las pletinas metálicas deben tener amplio margen de seguridad

contra posibles fallas por corte o aplastamiento.

L

5.3.2 UNIONES SOMETIDAS A SIMPLE CIZALLAMIENTO La carga admisible para un perno sometido a simple cizallamiento puede

considerarse como la mitad de la carga tabulada o calculada para una unión con

doble cizallamiento. Para efectos de este cómputo, el elemento central debe


Figura 5.9 UNIÓN APERNADA CON PLETINAS METÁLICAS




A117

tomarse con igual espesor y orientación que el elemento más grueso en la unión a

simple cizallamiento; los elementos laterales deben considerarse con el espesor y

orientación del elemento más delgado

(Fig. 5.10).

t

e

e

L= t ó 2·e, el menor

5.3.3 UNIONES SOMETIDAS A CIZALLAMIENTO MÚLTIPLE Para uniones apernadas de 4 ó más elementos (Figura 5.11) la carga admisible

puede determinarse sumando las cargas admisibles para cada plano de

cizallamiento. Estas deben ser calculadas considerando los dos elementos

adyacentes a cada plano y con el procedimiento indicado anteriormente.

Consideraciones para efectos combinados de corte y fuerza axial, además de los

coeficientes de reducción de carga por Efecto de Grupo en las uniones apernadas

son detalladas en el Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino. (Capítulo

12).

5.3.4 ESPACIAMIENTOS MÍNIMOS

Figura 5.10 UNIÓN APERNADA SOMETIDA A CIZALLAMIENTO SIMPLE


Figura 5.11 UNIÓN APERNADA SOMETIDA A CIZALLAMIENTO MÚLTIPLE SIMPLE




A118

El espaciamiento entre pernos y las distancias entre éstos y los bordes de los

elementos de madera deben ser suficientes para permitir que cada perno

desarrolle toda su capacidad resistente.

En uniones constituidas por elementos de madera orientados en direcciones

diferentes, se deben verificar por separado los requisitos de espaciamiento en

cada uno de ellos, resultando para la unión los que sean mayores en cada

dirección.

En lo que sigue, se define como línea de pernos a la que forman dos o más

pernos en una línea paralela a la dirección de la carga.

a) Cargas Paralelas a la Dirección del Grano En elementos en los que las fuerzas aplicadas siguen la dirección del grano; la

distancia entre pernos, separación de las filas y las distancias a los bordes y

extremos deben ser mayores o iguales que las indicadas. Todas estas

distancias deben medirse a partir del eje del perno.

5d4d4d5d4d4d

elementos en tracciónelementos en compresión

( tracción )( compresión )

2d2d2d

b) Cargas perpendiculares a la Dirección del Grano Para elementos cargados perpendicularmente a la dirección del grano, los

espaciamientos mínimos y distancias entre filas y a los bordes y extremos se

presentan en la Tabla 5.8.

Figura 5.12 ESPACIAMIENTOS MÍNIMOS ENTRE PERNOS, CARGAS PARALELAS AL GRANO


Figura 5.13 ESPACIAMIENTO MÍNIMO ENTRE PERNOS, CARGAS PERPENDICULARES AL GRANO



A119

2d 2d2.5y

5d

borde cargado

borde no cargado

espaciamientos en este elemento según requisitos para cargas paralelas al grano

2d4d4d4d

Como se indica la separación o espaciamiento entre líneas de pernos, s, es

función de la relación L/d. Para L/d mayor que 2 y menor que 6 se puede

hacer una interpolación lineal. (Ver Pág. 12-19 “Manual de Diseño para

Maderas del Grupo Andino”).

Espaciamiento entre pernos 4dDistancia al extremo en tracción 5dDistancia al extremo en compresión 4dEspaciamiento entre líneas de pernos 2d*

Distancia a los bordes 2dEspaciamiento entre líneas de pernos, s:para L/d ≤ 2 s= 2.5dpara L/d ≥ 6 s= 5dpara 2 ≤ L/d ≤ 6 2.5d ≤ s ≤ 5dEspaciamiento entre pernos 4dDistancia al borde cargado 4dDistancia al borde no cargado 2d

d = diámetro del perno( * ) Si el espaciamiento entre líneas es mayor de 12.5 cm. es recomendable usar elementos laterales separados para cada fila.

Perpendicularmente a la dirección del

grano

Elementos cargados perpendicularmente al

grano

Elementos cargados paralelamente al

grano

A lo largo del grano

Perpendicularmente a la dirección del

grano

A lo largo del grano

REF.: Tabla 12.9 Pág. 12-20 “Manual de Diseño para Maderas del Grupo

Andino”

Tabla 5.8 ESPACIAMIENTOS MÍNIMOS PARA PERNOS




A120

5.4 EMBARBILLADOS

Corresponden a una de las pocas formas de unión de naturaleza ebanística que

pueden ser desarrolladas matemáticamente. Funcionan como rótulas imperfectas

ejecutadas en forma de cuña y pueden transmitir únicamente fuerzas de

compresión. Existen distintas posibilidades de materializar un embarbillado, de las

que se analizarán las tres más importantes.

5.4.1 EMBARBILLADO DE MEDIO TALÓN.

Optimiza el trabajo de compresión entre la cuña o talón y el madero de apoyo. La

superficie de contacto entre la superficie menor del talón y el madero base se

orienta según la bisectriz del complemento del ángulo de incidencia de la barra

comprimida sobre la barra de apoyo. Para la transmisión de fuerzas se considera

solamente esta área frontal del talón, sobre la que la fuerza a transmitir se

descompone en una componente normal C1 y otra según la superficie, D1, que es

neutralizada por roce.

β/2

tT

b

ha

β/2

dα

13 s2

3 ss

h

bC

La componente C1 tiende a aplastar la entalladura en el área: A= b٠۰d. De las

gráficas se pueden sacar las siguientes relaciones:

Figura 5.14 EMBARBILLADO DE MEDIO TALÓN




A121

C

β/2 β/2C1

D1

α/2

2αº90

2β −= ;

2αcos

2α-90sen

2βsen =⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=

CC

2αcos 1= ;

dt

2αcos

dt

2βsen =⇒=

dbCadσ 1

aplast ⋅=

Reemplazando los valores de las relaciones anteriormente obtenidas tenemos:

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

⋅

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⋅

=

2αcos

tb

2αcosC

adσaplast

Lo más usual es conocer la solicitación en la diagonal C, debiendo determinarse la

profundidad de talón requerida en estas condiciones:

aplast

2

adσb2αcosC

t⋅

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⋅

=

El esfuerzo admisible de aplastamiento de la madera depende del grupo de la

madera y del ángulo de inclinación (α/2). La NCH. 5006 toma un valor de 75 k/cm2.

Para valores usuales del ángulo de incidencia (20º<α<60º) la anterior expresión

tiende a valores estables que conducen a expresiones simplificadas:

( ) b80-70 Ct

⋅= (cm.)

En que C tiene dimensiones de kgf y b de cm.

Las fuerzas transmitidas a la barra traccionada por medio de las superficie de

talón deben ser neutralizadas bajo forma de fuerzas de cizalle en la superficie del

saliente “l٠۰b”. De ahí que ésta longitud queda determinada por la relación:



A122

HorizontaladτbT

⋅= (cm.)

Con T en kgf, b en cm. Horizontaladτ en kgf/cm2.

De acuerdo a ensayos realizados, se recomienda una longitud mínima de l≥20cm.,

pero sin llegar a sobrepasar el valor de 8٠۰t. En relación a la profundidad de corte

“t”, también se encuentra acotada, dependiendo de la magnitud del ángulo de

incidencia de la diagonal:

t ≥15 mm.≤ h/4 para α ≤ 50º

t ≥15 mm.≤ h/5 55º ≥α > 50º

t ≥15 mm.≤ h/6 α > 55º

Para embarbillados simultáneos en ambos lados de la barra deberá cumplirse t ≤

h/6 cualquiera sea el ángulo de incidencia de las diagonales.

Para fijar el embarbillado en posición se pueden usar pernos prensores,

cubrejuntas de madera clavadas o cubrejuntas de acero apernadas.

5.4.2 EMBARBILLADO DE TALÓN. Se recurre a este tipo de embarbillados cuando la zona de apoyo de la estructura

es lo suficientemente reducida como para no permitir la materialización de una

longitud de saliente exigida por un embarbillado de medio talón.

C

Tb

hab

h

αt

Siguiendo el mismo procedimiento usado en la determinación de la profundidad de

corte en el embarbillado de medio talón obtenemos:

Figura 5.15 EMBARBILLADO DE TALÓN




A123

aplast.adσbcosαCt

⋅⋅=

El cálculo de l es idéntico al visto para el embarbillado de medio talón.

5.4.3 EMBARBILLADO DE DOBLE TALÓN. Se usa cuando la profundidad de talón requerida resulta mayor que la admisible.

Viene a ser una combinación de un embarbillado de medio talón y uno de talón.

En la figura se esquematiza una posibilidad de solución. La profundidad de corte

t2 del talón posterior deberá ser 1 a 2 cm. mayor que la del talón anterior, a fin de

generar dos superficies de cizalle independientes.

Cs12 s

T

b

hab

h1t1

β/2β/2

α

12 s

2

t2

C1

C2

El proceso de cálculo de este tipo de embarbillados se realiza en 5 etapas:

1.- Se supone en una primera aproximación C1=C2=C/2.

2.- Se determina t2 en función de C2, eligiéndose el máximo valor compatible

con las condiciones del problema.

3.- Con t2 se determina un C2 admisible.

4.- El talón delantero deberá tomar C1=C-C2ad.

5.- Determinar las longitudes de cizalle l1 y l2.

Otra forma de solucionar este problema sin recurrir al uso del embarbillado

doble, que es trabajoso de materializar, es optar por alguna de las siguientes

posibilidades:

- Ensanchamiento del talón y de la barra base por medio de maderos

laterales (se diseñan 1.5 veces la fuerza correspondiente)

- Clavado de cubrejuntas laterales (se diseñan para 1.5 veces la fuerza

Figura 5.16 EMBARBILLADO DE DOBLE TALÓN




A124

325 k1200 k

b1

b2

ϕ

3

21

correspondiente)

- Aumento de la altura de la barra de apoyo por medio de piezas de madera

auxiliares.

Ejemplo 1 El nudo 1 al que concurren 2 barras forma parte de una cercha. Se pide diseñar la

unión apernada con cubrejuntas de acero.

Datos: Lb1=1.5 m.

Lb2=2.0 m.

Primero para los datos que se tiene se debe sacar el ángulo de inclinación

formado por las barras b1 y b2:

¡Error! No se pueden crear objetos modificando códigos de campo.; senφ=0.66

Ahora sacaremos las solicitaciones de las barras b1 y b2:

k 18.1818b 0b0.661200 0Fy 22 =⇒=⋅−⇒=∑ COMPRESIÓN

( ) k 64.1038b 018.18180.75b325 0Fx 11 =⇒=⋅−+⇒=∑ TRACCIÓN

Cuando a un nudo concurren barras en compresión y tracción simultáneamente,

es más conveniente iniciar el diseño a partir de las barras en compresión (puesto

que este fenómeno es muy desfavorable).

è Barra 2: C = 1818.18 k

L = 200 cm.

K = 1 à (Articulado en ambos extremos)

lefectiva= 1٠۰200= 200 cm.



A125

Asumiremos las siguientes dimensiones para maderas del Grupo A

• Dimensiones:

• (Grupo A)

Se tiene una esbeltez igual a: 49.3135.6200

dLλ ===

De la tabla 4.4 se saca el valor de Ck, que para un entramado del Grupo A vale

20.06. Como λ es mayor que 10 y mayor a 20.06, pero menor que 50, la columna

es larga. La fórmula que corresponde para hallar la carga admisible para una columna larga

es:

2admAE329.0N

λ⋅⋅=

k 1818.18C k 4519.149.31

5.1635.6130000329.0N 2adm =>=⋅⋅⋅=

En compresión coeficientes de seguridad entre 2 y 3 son adecuados por razones

constructivas. La sección que inicialmente se supuso densa se verá debilitada por

los elementos de unión ya sean clavos, tarugos, etc. Lo que nos obliga a tener

coeficientes de seguridad relativamente altos.

è Barra 1: T = 1818.18 k

L = 150 cm.

La tracción es menos peligrosa en las maderas, en cambio en el concreto la

tracción es un fenómeno muy peligroso. Con objeto de facilitar la construcción de

la unión es muy conveniente que todos los elementos que concurren a un nudo

tengan la misma base.

Base (b) = 2 ½ “ =6.35 cm Altura (h) =6 ½ “ =16.5 cm

cf ↔ 145 k/cm2

E ↔130000 k/cm2



A126

cf ↔ 145 k/cm2 à fc =T/A

1450.91038.64h6.35A

fTA

c ⋅=⋅=⇒=

En la anterior ecuación se tomó un coeficiente de seguridad (0.9) por

debilitamiento de la madera en el proceso constructivo:

h =1.25 cm.

En ningún caso h<b entonces:

• Dimensiones:

6.35

e=18"

Para ingresar a la tabla 5.7. debemos tomar como L a la longitud del elemento

central de madera. (Pág. 12-16 Manual de diseño para Maderas del Grupo

Andino). El diámetro de perno a utilizar será: dp=3/8”=0.95 cm.

Adoptaremos los valores de L = 6.5 cm. P = 594 k

Q = 260 k

Los valores P y Q observados en la Tabla 5.7. corresponden a doble cizallamiento.

El Manual de Diseño de Maderas del Grupo Andino permite mayorar los valores

de P y Q en un 25% cuando se utilizan cubrejuntas metálicas (Pág. 12-16).

k 5.4279451.25N =⋅=

Número de Pernos:

Base (b) = 2 ½ “ = 6.35 cm. Altura (h) =2 ½ “ = 6.35 cm.

Diagonal à C/N = 1818.18 / 742.5=2.45 ≈ 3 pernos Cuerda Inf.à T/N= 1038.64 / 742.5 =1.40 ≈ 2 pernos



A127

Ubicación de los pernos:

Para la ubicación de los pernos, se necesita determinar algunos valores:

Para uniones con más de un perno la carga admisible debe obtenerse sumando

las fuerzas tabuladas o calculadas para cada perno y multiplicando este total por

un factor de reducción, que está en función del número de pernos por línea

paralela a la dirección de la fuerza aplicada y no del número total de pernos.

(Tabla 12.8 Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino).

Para uniones con elementos laterales de acero y para los pernos de la cuerda

inferior el factor de reducción de la carga admisible correspondiente a 2 pernos

será 1.00; Entonces:

k 1038.64 k 118800.15942 >=⋅⋅ è BIEN

5d5d 4d

4d4d

6.35 cm.

16.5 cm.2d

2d

2d2d

La figura muestra una tentativa de ubicación de los pernos, tomando en cuenta

que los valores presentados serán los mínimos y las distancias finales serán

tomadas ajustándolas a la disposición final de la unión de acuerdo al proceso

constructivo y la economía de ésta.

5dp = 4.75 cm. 4dp = 3.80 cm. 2dp = 1.90 cm.

Estas distancias pueden mayorarse hasta un

20% en vistas a facilitar la construcción de la

unión. (Tabla 5.8.)



A128

Ejemplo 2

Se pide diseñar la unión del ejemplo usando un embarbillado de medio talón.

Datos: Lb1=1.5 m.

Lb2=2.0 m.

69.3º α/2D1

C169.3º

1818.18 k

cm. 34.37535.6

7.20cos18.1818adσb

2αcosC

t2

aplast

2

=⋅

⋅=⋅

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⋅

=

Utilizando la expresión simplificada:

cm. 82.335.675

1818.18b75

Ct =⋅

=⋅

= Escogemos ésta

Pero dijimos que:

t ≥15 mm≤ h / 4 para α ≤ 50º

Entonces: cm. 59.1

46.35t =<

Es necesario cambiar la altura de la cuerda inferior para poder satisfacer ésta

condición:

6" cm. 15 3.824h ⇒≈⋅=

Las fuerzas transmitidas a la barra traccionada por medio de las superficie de

talón deben ser neutralizadas bajo forma de fuerzas de cizalle en la superficie del

saliente “l٠۰b”. De ahí que ésta longitud queda determinada por la relación:



A129

cm. 20 cm. 91.101535.664.1038

adτbT

Horizontal

=⇒=⋅

=⋅

=

Para reforzar el elemento se recomienda colocar un perno: dp = t/2 = 3.82/2

=1.91 cm ≈ ¾”

1818.18 ks13 s2

3 s

6.35

16.56.35

15

20 cm.

3.82 cm.

69.3º

41.4º69.3º

1038.64 k


Ø En la lectura de capítulo dar especial importancia a los siguientes conceptos:

« Uniones sometidas a cizallamiento

« Uniones sometidas a extracción

« Clavo lancero

« Unión encolada

« Fórmula de Hankinson

« Embarbillado

Ø Revisar y dar la correspondiente lectura de los anexos de conexiones de

madera.

PROBLEMAS PROPUESTOS.-

Ø Diseñar la mejor opción de unión (Embarbillado, clavado, apernado) y

comparar los costos. Sacar conclusiones de viabilidad de ejecución de la

unión.



A130

25º

5.4Ton

2.5 Ton

Lb2=2.6 m.

Lb1=1.9 m



A131

CAPITULO 6

ARMADURAS DE MADERA

6.1 GENERALIDADES.- Las armaduras de madera tienen una gran diversidad de usos, entre los que

destacan la construcción de techos para diversos tipos de edificaciones, la

construcción de puentes, etc.

Las armaduras de madera presentan grandes ventajas para la construcción de

techos de casas, estas son: su reducido peso propio (lo que facilita su montaje),

su capacidad de cubrir grandes luces, y se ajustan a muchas formas de perfiles

para techos.

Una armadura es una estructura reticulada, con un sistema de miembros

ordenados y asegurados entre sí, de modo que los esfuerzos transmitidos de un

miembro a otro son de compresión o de tensión axial. Básicamente una armadura

esta compuesta por una serie de triángulos, porque el triángulo es el único

polígono cuya forma no puede cambiarse sin modificar la longitud de uno o más

de sus lados.

Con respecto a los techos soportados por armaduras:

1. Una crujía es una parte de la estructura del techo limitada por dos

armaduras adyacentes; la separación entre centros de las armaduras es el

ancho de la crujía.

2. Una correa es una viga que va de armadura a armadura, y que les

transmite las cargas debidas a nieve, viento y el peso de la construcción

del techo.

3. La parte de una armadura que se presenta entre dos nudos adyacentes de

la cuerda superior se llama celosía. 4. La carga llevada al nudo de una cuerda superior o punto de celosía es,

por lo tanto, la carga de diseño del techo en kilogramos por metro

cuadrado, multiplicada por la longitud de la celosía y por el ancho de la

crujía; a esto se le llama una carga de celosía.

Figura 6.1 PARTES DE UNA ARMADURA DE TECHO



A132

Ref.: Fig. 12.1 Pág.: 184 “Diseño Simplificado de Estructuras de Madera” Parker-‐Ambrose

Carga de Celosía

Carga de Celosía

Pendiente

Cuerda Superior

Cuerda Inferior Reacción

Celosía

Claro

Pera

lte



A133

6.2 TIPOS DE ARMADURAS.- En la siguiente figura se ilustran algunas de las armaduras para techo más

comunes.


a) Fink o W b) En Abanico

d) Howe c) Fink combada

e) De pendolón

f) Pratt

h) Pratt plana g) Warren Plana

i) De arco y cuerda

Figura 6.2 FORMAS DE ARMADURAS DE TECHO MAS COMUNES



A134

En el“Manual de Diseño para Madera del Grupo Andino” se muestran también

similares formas de armaduras, con sus luces recomendadas (Pág. 11-3).

La altura o peralte de una armadura dividida entre el claro se llama relación peralte a claro; el peralte dividido entre la mitad del claro es la pendiente. A

continuación se presenta la Tabla 6.1 en la cual se muestran la relación peralte a

claro y sus respectivas pendientes para los techos más comunes.

Para armaduras de techo, para evitar en lo posible esfuerzos de flexión de la

cuerda superior es conveniente la ubicación de los nudos directamente debajo de

las correas. También se debe procurar que la pendiente no sea excesivamente

plana, debido a que es antieconómica, así como poco peralte. En zonas de vientos

fuertes es conveniente usar pendientes pequeñas, implicando esto mayores

cargas horizontales, como nieve (si la hay), u otras sobrecargas.

Espaciamiento de las armaduras.- El espaciamiento más económico depende del costo relativo de las armaduras, las

correas y la cobertura. El tamaño de las correas ésta determinado por el momento

flector que soportan y limitación de sus deformaciones; su costo por lo tanto varía

con el cubo o cuadrado de la luz (que viene a ser el espaciamiento).

También debe considerarse lo siguiente:

Ø El costo de los materiales y de la mano de obra de las armaduras por m2 de

techo, es normalmente varias veces el de las correas.

Ø El costo de la cobertura varía con su naturaleza misma, pero

probablemente no exceda al de las correas.

Estas consideraciones sugieren por lo tanto que lo más conveniente espaciar al

máximo las armaduras porque resulta por lo general un diseño más económico.

Relacion peralte a claro 1/8 1/6 1/5 1/4 1/3.46 1/3 1/2

Grados 14º3' 18º26' 21º48' 26º34' 30º0' 33º0' 45º0'

Pendiente 1/4 1/3 1/2.5 1/2 1/1.73 2/3 1

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tabla 6.1 RELACIÓN PERALTE A CLARO Y PENDIENTES DE TECHOS

Ref.: Tabla 12.1 Pág.:185 “Diseño Simplificado de Estructuras de Madera” Parker-Ambrose



A135

Por lo tanto debe usarse por lo general aquel espaciamiento igual a la máxima luz que cubran las correas más económicas; considerando que ellas trabajan

como vigas continuas ya que cubren cuando menos dos tramos.

Configuración interna.- La configuración de elementos internos de las armaduras debe procurar paños

tales que reduzcan el número de nudos, debido al alto costo involucrado en su

fabricación total. También debe considerarse:

Ø Que la esbeltez de los elementos a compresión no debe ser excesiva, ya

que la capacidad de carga disminuye rápidamente con el incremento de la

esbeltez (ver Capítulo 4).

Ø Que la flexión en las cuerdas superiores, debido a cargas en el tramo, no

debe ser excesiva ya que el efecto magnificador de la presencia simultanea

de la carga axial la hace más mucho más desfavorable.

Ø Que el ángulo interno entre las cuerdas y entre éstas y las diagonales no

sea muy pequeño, porque esto resulta en fuerzas muy grandes en las

respectivas barras y requiere uniones excesivamente reforzadas.

6.3 MIEMBROS Y NUDOS DE ARMADURAS.- En armaduras de madera se usa por lo general elementos simples y múltiples. La

combinación más apropiada de elementos depende de la magnitud de las cargas,

de las luces por cubrir y de las conexiones adoptadas.

Las tres formas más comunes de configuración de armadura son las que se

muestran a continuación en la figura 6.3.

Figura 6.3 FORMAS COMUNES DE CONEXIONES DE ARMADURAS DE MADERA COMUNES



A136


a) Armadura ligera de madera de un solo elemento, con placas de conexión clavadas.

c) Miembros con varios elementos con nudos empalmados con cubrejuntas de madera y empernados.

b) Miembros de madera pesada con placas de conexión de acero y nudos atornillados.



A137

El tipo de miembro individual, con todos los miembros en un solo plano, el cual se

muestra en a), es la que se usa con mayor frecuencia para producir la armadura

simple Fink o W, con miembros cuyo espesor es por lo general de 2 pulgadas.

En armaduras más grandes se puede usar la forma que se muestra en c), con

miembros que constan de varios elementos de madera. Si el elemento trabaja a

compresión, se diseñará, por lo general, como una columna formada por varios

miembros (ver capitulo 4).Para claros pequeños, los miembros son por lo general,

de dos elementos con espesor de 2 pulgadas; sin embargo para claros grandes o

cargas pesadas, los elementos individuales sobrepasan las 2 pulgadas de

espesor.

En la denominada armadura pesada, los miembros individuales son elementos

grandes de madera, que por lo general presentan un solo plano, como lo muestra

la figura c). Un tipo común de nudo para este caso, es en el que se usa placas de

acero unidas con tornillos tirafondo o pernos que la atraviesan.

Un tipo de unión muy común para un miembro diagonal a compresión que será

conectado con la cuerda inferior es el embarbillado (ver capítulo 5), pero este tipo

de unión requiere trabajo de carpintería para su ejecución, a continuación se

muestra un esquema de este:

C

T

α

Aunque los miembros de madera tienen una resistencia considerable a la tracción,

no es sencillo construir uniones que resistan a tensión, en especial si las

armaduras son de madera pesada. Así como una solución a esto en la actualidad

se acostumbra a que los miembros de la armadura sujetos a tensión sean de

acero (con excepción a las cuerdas); como así también es muy común que se

construyan armaduras en que solo las cuerdas son de madera, y todos los

elementos interiores son de acero.



A138

6.4 REQUISITOS DE RESISTENCIA Y RIGIDEZ.- Cargas.- Las armaduras se deben diseñar para resistir las cargas aplicadas (el ingeniero

deberá identificarlas y determinar la magnitud de las mismas). También se debe

tomar en cuenta cargas de montaje o construcción, y algunas otras cargas

especiales. En el caso de que una cuerda inferior soporte un cielo raso, se debe

considerar una carga mínima de 30 kg/m2 .

Deflexiones.- Para el cálculo de las deflexiones el “Manual de Diseño para Madera del Grupo

Andino” acepta los métodos de cálculo habituales en la práctica de la ingeniería,

como ser las deflexiones elásticas por métodos de trabajos virtuales que suponen

las articulaciones como perfectas e indeformables. Cabe señalar que con el

desarrollo de la tecnología, los programas computacionales realizan el cálculo de

las deflexiones mediante el método matricial (método más exacto); por lo tanto ya

no será necesario realizar los cálculos de manera manual, por lo que en este

capítulo en la parte de tutoriales de programas, se realizará el procedimiento para

encontrar éstas deflexiones por medio de los programas computacionales (ya sea

en “SAP2000”, “Robot Millenium”, o “Cercha para la calculadora HP”). Siendo ya

calculadas las deflexiones “elásticas” lo que la norma recomienda es: “Si la

armadura ligera es tipo Fink o abanico, y cuyas uniones son clavadas, y son

fabricadas con cartelas de tableros contrachapados se debe utilizar la fórmula

siguiente para hallar la deflexión máxima en una barra de la cuerda inferior:

Donde:

δ = deflexión elástica en cm.

w = carga repartida en las cuerdas inferiores (kg/m).

E = módulo de elasticidad axial en kg/cm2.

I = inercia de la sección transversal en cm4.

.cmIE10Lw15.175.144

f ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅⋅+δ⋅=δ



A139

L = longitud de la barra analizada (perteneciente a la cuerda inferior)

en mts.

Las deflexiones admisibles deberán cumplir con lo estipulado en el capítulo 3, y en

caso de que la armadura soporte elementos frágiles (como soporte de cielo raso

de yeso u otros acabados), las deflexiones se deben limitar a las deflexiones

máximas admisibles dadas en el capítulo antes mencionado.

En el caso de que el espaciamiento de las armaduras sea menor o igual que 60 cm, se recomienda utilizar el módulo de elasticidad promedio: “Epromedio”, y en caso

contrario, se debe considerar el modulo de elasticidad mínimo: “E0.05”.

En armaduras ligeras por lo general no se considera la contraflecha, pero si por

una razón especifica es necesaria, se recomienda que sea del orden de 3001 de

la luz de la armadura.

6.5 CRITERIOS DE DISEÑO.- A continuación se dan una serie de recomendaciones, que deben ser tomadas a la

hora de realizar el diseño:

Ø Es recomendable el uso de maderas del Grupo C, debido a su baja

densidad son más livianas para su montaje, y son fáciles de clavar. Para

el uso de Maderas de los demás grupos debe usarse preferentemente

uniones empernadas o atornilladas.

Ø Las secciones de los elementos no deben ser menores de 6.5 cm de

peralte y 4 cm de ancho. A menos que se utilicen cuerdas de elementos

múltiples.

Ø Las uniones deben cumplir los requisitos expuestos en el capítulo 5.

Ø En el caso de usar cartelas de madera contrachapada, se recomienda

un espesor no menor de 10 mm.

Ø Las cargas admisibles de los elementos individuales se determinaran

considerándolos como columnas (ver capítulo 4).

Ø En caso de que la separación entre armaduras sea menor a 60 cm, los

esfuerzos admisibles pueden ser incrementados en un 10 %.

Hipótesis Usuales.-



A140

Ø Los elementos que componen las armaduras pueden considerarse

rectos, de sección transversal uniforme, homogéneos y perfectamente

ensamblados en las uniones.

Ø Para armaduras de techos: Las cargas de la cobertura se transmiten a

través de las correas; estas a su vez pueden descansar directamente en

los nudos o en los tramos entre nudos de la cuerda superior originando

momentos flectores en estos elementos.

Ø Las fuerzas internas axiales en las barras de las armaduras pueden

calcularse suponiendo que las cargas externas actúan en los nudos.

Cuando este no sea el caso, se podrá reemplazar la acción de las

cargas repartidas por su efecto equivalente en cada nudo.

Ø Los efectos de flexión debidos a las cargas del tramo se superpondrán a

las fuerzas internas axiales, para diseñar los elementos como viga-

columna sometida a flexocompresión.

Esbeltez.- El valor máximo de la relación de esbeltez para el diseño será:

En el caso de cuerdas sometidas a compresión, habrá dos relaciones de esbeltez,

una en el plano de la armadura y otra fuera del mismo. En el plano de la

armadura, la dimensión de la sección transversal que es resistente al pandeo será

el alto o peralte de la cuerda: h. Fuera del plano de la armadura, la dimensión

resistente será la base: b si se trata de una sección única de madera sólida.

Cuando se trate de cuerdas con más de una escuadría (elementos múltiples) el

ancho equivalente para el pandeo dependerá de la forma de conexión de los

elementos múltiples y sus espaciadores. El diseño debe hacerse para la mayor

relación de esbeltez que presenta el elemento, considerando la longitud efectiva

para cada dirección.

50≤

80≤

Para elementos sometidos a cargas axiales de compresión

Para elementos sometidos a cargas axiales de tracción.

dLef=λ



A141

Longitud Efectiva.- La longitud efectiva de los distintos elementos de una

armadura se determinará según lo estipulado en la Figura 6.4 y la Tabla 6.2.

L1L2

L3

LcLc

Ld CL

Tabla 6.2 LONGITUD EFECTIVA

Figura 6.4 LONGITUDES PARA CALCULO DE Lef (para Tabla 6.2)

Ref.: Figura 11.5 Pág.:11-13 “Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino”



A142

Cuerdas con Carga en el Tramo.- Este tipo de elementos deben diseñarse a flexo-compresión; donde las cargas

axiales son obtenidas mediante una primer análisis de la armadura con cargas

concentradas en los nudos, y los momentos flectores son determinados

suponiendo que las cuerdas se comportan como vigas continuas apoyadas en los

extremos de las diagonales y montantes.

Para los casos descritos en la Tabla 6.3 pueden usarse las formulas de momento

dadas allí.

Cuerda 0.4(L1+L2) ó 0.4(L2+L3) *

Sector de cuerda entre correas

Montante o diagonal

* Nota: Si la longitud efectiva de uno de ellos es menor que 0.80 de la longitud efectiva de la adyacente, se tomará como longitud efectiva de cálculo 0.90 de la longitud mayor; en caso contrario se tomará el mayor promedio de las luces adyacentes.

Elemento Lef

Lc

0.8Ld

d

h

b

b

Ref.: Tabla 11.1 Pág.:11-13 “Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino”

Tabla 6.3 MOMENTOS DE FLEXIÓN DE DISEÑO



A143

La luz que entra en las anteriores formulas de momentos se determina como lo

muestra la figura 6.5:

Ref.: Tabla 11.2 Pág.:11-14 “Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino”

Cuerdas Superiores:

9LwM2⋅=

10LwM2⋅=

11LwM2⋅=

Cuerda Inferior (de cualquiera de las alternativas): 8LwM2⋅=

Figura 6.5 Luces para el cálculo de L (para Tabla 6.2)



A144

L4 L5

L1 L2 L3L = mayor promedio de los tramos consecutivos

Si la longitud de uno de los tramos es menor que 0.80 de la luz mayor, se tomará

el mayor promedio de las luces adyacentes.

6.6 ARRIOSTRAMIENTO EN ARMADURAS.- Las armaduras individuales planas son estructuras muy delgadas que requieren

alguna forma de arriostramiento lateral. La cuerda a compresión de la armadura

se debe diseñar considerando la longitud total sin apoyo. En el plano de la

armadura la cuerda está arriostrada por otros miembros de la armadura en cada

nudo. Sin embargo, si no hay arriostramiento lateral, la longitud sin apoyo de la

cuerda en la dirección perpendicular al plano de la armadura se convierte en la

longitud total de la armadura; lo cual genera diseñar la cuerda como un miembro

esbelto a compresión para esta longitud sin apoyo, lo cual no es factible.

A continuación se muestran sistemas de arriostramiento de armaduras utilizadas

en la construcción de edificios.

Ø La primera alternativa:

23L2LLó

22L1LL +=+=

Ref.: Figura 11.2 Pág.:11-6 “Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino”

Figura 6.6 Arriostramiento de armaduras. 1º Alternativa



A145

Es un sistema estructural, donde la cuerda superior de la armadura está

arriostrada en cada nudo de éstas por las correas. Si además la cubierta de la

techumbre es un elemento suficientemente rígido, esto constituye un

arriostramiento muy adecuado de la cuerda a compresión (que es el principal

problema de la armadura). Pero también es necesario reforzar la armadura

contra movimientos fuera de su plano en toda su altura; esto se realiza según

lo mostrado en la figura, mediante un plano vertical de arriostramiento en X, en

puntos alternos de la celosía de la armadura.

Ø Segunda alternativa:

Ref.: Figura 12.7 Pág.: 195 “Diseño Simplificado de Estructuras de Madera” Parker-Ambrose





A146

Es un sistema estructural, donde la cubierta es un elemento estructural rígido

que asegura las cuerdas superiores, esto solo es aplicable a armaduras ligeras. Esto proporciona un arriostramiento continuo, de modo que la longitud

de apoyo de la cuerda es cero en realidad. El arriostramiento adicional se limita

a una serie de varillas o angulares individuales pequeños, que se unen con la

cuerda inferior, de manera alternada entre los puntos de celosía.

Ø Tercera alternativa:

Este es un sistema estructural, donde como en el primer caso las correas

aseguran el arriostramiento de la cuerda a compresión, y el arriostramiento

adicional esta determinado por un plano horizontal de arriostramiento en X, que

se coloca entre dos armaduras al nivel de las cuerdas inferiores.

El montaje de las armaduras para techos, por lo general se lo realiza en el nivel

del suelo, y luego se las coloca una a una en el techo, junto con su

arriostramiento; en la siguiente figura se muestra un esquema de como se trabajan

las armaduras de techo.





A147



A148

300 k

300 k

1.00 m.

300 k300 k 300 k300 k 300 k300 k300 k 300 k300 k

1.20 m.

300 k300 k300 k

INTRODUCCIÓN AL PROGRAMA SAP2000 Efectuaremos la modelación en el SAP2000, con el siguiente ejemplo: Se desea diseñar la armadura de madera de un puente peatonal, el cual esta

solicitado por cargas tal como se muestra en la figura:

Procedimiento Paso 1.- Establecer la geometría

a) Haga doble click en el icono de SAP2000, situado en la barra de

escritorio para comenzar SAP2000 Nonlinear v.8.08.

b) Seleccione File/New Model… del menú desplegable, se mostrará una

ventana en la cual figuran: Las unidades con las cuales se trabajará y

además figuras geométricas que pueden cambiarse para adaptarse a

nuestra geometría. Cambiar las unidades a Kgf, m, C.



A149

c) De los modelos predefinidos escoger el que más se parezca a la

geometría que se tiene. (En caso de no tener una aproximación el

usuario deberá establecer la geometría editando las grillas y dibujando

la estructura usando el interfase que da el SAP2000, en muchos casos

el dibujo de la estructura podrá hacerse más rápidamente de esta

manera). Para nuestro caso, en esta ventana pulse el botón Vertical Truss

d) Se habilita una ventana en la cual se debe poner los valores

particulares de la cercha:

e) A continuación será necesario hacer las modificaciones para obtener un

gráfico que este de acuerdo a la geometría deseada. Para esto se

procederá a borrar las barras diagonales que sean pertinentes.

Paso 2.- Propiedades del material



A150

Es muy importante definir las propiedades de los materiales tales como su

densidad, peso específico, módulo de elasticidad, etc. Para conseguir esto

seguiremos el siguiente procedimiento:

a) De la barra de menú seleccione la opción Define/Materials,

posteriormente se abrirá una ventana en la que aparecerán los

materiales que están por defecto en el programa, tales como concreto,

acero, etc. Además de estos materiales en la ventana aparece el botón

Add New Material seleccionar éste. b) Se habilitará la ventana de Material Property Data, en la cual será

posible cambiar todas las propiedades de los materiales que sean

pertinentes, para nuestro ejemplo procederemos de la siguiente manera:

Paso 3.- Ingreso de datos

a) Antes de proceder al ingreso de datos, debemos recordar que las

armaduras soportan básicamente esfuerzos de tensión y compresión,

los nudos de las armaduras son considerados como articulaciones, por

lo que en el cargado de datos se tendrá que cumplir estas premisas

b) Al no haberse realizado todavía un predimensionamiento de las barras

de madera, no es posible añadir a las secciones de material las

escuadrías correspondientes, por lo que se procederá a mayorar las



A151

cargas en un 5% para poder estimar con esto el peso propio de manera

aproximada, para posteriormente realizar la iteración correspondiente y

hallar exactamente la influencia del peso propio de la madera en la

estructura: P =1.05 (300) = 315 k. c) Proceder a definir los casos de fuerzas actuantes. Por lo dicho

anteriormente sólo será necesario crear una fuerza en la que se estará

incluyendo (aunque de manera aproximada el peso propio de la

estructura). En caso de existir otras fuerzas solicitantes, cargarlas de la

manera establecida así como las combinaciones que puedan tener estas

fuerzas. De la barra de menú seleccione la opción Define/Load Cases. Cambiar los datos que figuran en la pantalla, posteriormente seleccionar

Modify Load y luego OK.

d) Con el anterior paso ya se estará tomando en cuenta el peso propio del

material en los nudos, sin embargo es necesario asignar a las barras las

propiedades del material para posteriormente poder verificar las

deflexiones que sufre la estructura, para esto del menú seleccionamos

Define/ Frame/Cable sections….. Se habilitará la ventana de Frame

properties, la cual tendrá por defecto múltiples opciones, en la parte

izquierda de la pantalla, en la segunda casilla, desplegar las opciones

del listado y escoger la opción Add Rectangular, inmediatamente

después se habilitará el cajón de Add New Property, pulsar éste.



A152

e) Se habilitará la ventana Regular Section, en la cual es posible colocar la

sección de los elementos, es decir la altura (Depth (t3)) y la base (Width

(t2)), el material con sus propiedades específicas y el nombre que se le

irá a dar a la sección del elemento. Al estar ya aproximado el peso

propio de la estructura no será necesario establecer con exactitud la

base y la altura de las barras. Luego pulsar la opción OK, hasta salir a la

pantalla principal. f) Seleccionar todas las barras y asignar las diferentes secciones según

les corresponda: Assign / Frame/Cable / Sections y posteriormente

elegir la opción anteriormente definida:



A153

g) Ahora se procederá a marcar los nudos en los que posteriormente se

asignará la carga a la que serán solicitados. Una vez hecho esto de la

barra de menú seleccione Assign/Joint Loads/Forces, ahora se

procede a asignar la carga a todos los nudos que sean solicitados.

El signo negativo esta referido a las coordenadas globales del programa

(Ver ayudas del SAP2000 para otras coordenadas.)

Paso 4.- Liberación de nudos Como dijimos anteriormente, las armaduras se ven afectadas principalmente por

esfuerzos de tracción y compresión. Es por este motivo que se procede a la

liberación de nudos.

a) Seleccionar todas las barras a las que se desea liberar los momentos.

b) De la barra de menú seleccionar la opción Assign / Frame/Cable una

vez seleccionada la opción se desplega un ventana de la cual se debe

escoger: Releases / Partial Fixity. Se procede a las liberación de los

nudos tal como se muestra en la figura:



A154

Paso 5.- Cambio de etiquetas Con el fin de obtener una disposición de resultados más organizados se

recomienda el cambio de etiquetas en las barras, este cambio de etiquetas se

puede hacer manualmente uno por uno o dejar que el programa realice un auto re-

etiquetado. Para esto se procederá a marcar toda la estructura, de la barra de

menú seleccionar Edit / Change labels, inmediatamente se habilitará la ventana

de Interactive Name Change, es necesario seleccionar el ítem de los elementos

que se desea cambiar el nombre, en la parte de Auto Relabel Control es posible

trabajar con prefijos los cuales antecederán a la numeración de la barra y su se lo

desea se puede cambiar el incremento en la numeración de las barras, además de

escoger el orden en el que se irá re-etiquetando las barras, ya sea primero en el X,

Y o Z. Una vez hecho todo esto de la ventana Interactive Name Change

seleccionar la opción Edit/Auto Relabel / All in the list. Es posible observar como

cambiaron los nombres en la lista inferior de la ventana, una vez hecho todo esto

pulsar OK.



A155

Paso 6.- Es posible establecer en esta instancia la cantidad de segmentos de las

barras de los que se darán los resultados una vez hecho el análisis de la

estructura, es importante definir esto ya que con esto se puede obtener una mejor

disposición de resultados a momentos de imprimirlos o en caso de que se desee

saber el valor exacto de las fuerzas o momentos en cierto punto de la barra. Para

nuestro ejemplo solo se necesitará saber las fuerzas de tracción o compresión a lo

largo de la barra y esta será constante en todo el tramo por lo tanto la separación

de segmentos tendrá que ser la mínima.

a) Marcar las barras que se desean, posteriormente buscar en la barra de

Menú la opción Assign / Frame/Cable / Output Stations, marcar en el

cuadro de Número mínimo de estaciones, luego pulsar OK.

Paso 7.- Análisis de datos



A156

a) Una vez hecho todo esto se procede a ejecutar el programa, para se

puede ir a la barra de menú y seleccionar Analyze / Run Analysis, o

caso contrario buscar el icono directamente del menú de herramientas.

b) A continuación se abre una ventana en la cual se debe marcar los casos

que se desean analizar, marcar éstos con el Mouse y luego hacer click

en el botón Run Now

c) Es importante verificar los comentarios que se anotan en la ventana de

Analysis Complete, una vez hecho esto pulsar OK.

Paso 8.- Salida de datos



A157

a) De la barra de herramientas seleccionar el icono de Show Forces/Stresses, a continuación se desplegará opciones en la que

podrás elegir los elementos de los que se desea ver los esfuerzos o

fuerzas a las que están solicitados. Para nuestro ejemplo escogeremos

Frame/Cables...

b) Posteriormente se habilitará una ventana donde se podrá escoger el

diagrama de las fuerzas o momentos de los elementos anteriormente

escogidos. Seleccionamos la opción de Axial Force, que nos permitirá

ver las fuerzas de compresión o tracción a las que están sometidas las

barras (dejar los demás valores por defecto).

c) A continuación se observa la gráfica con su respectivo diagrama de

fuerzas axiales, para ver el detalle de cada barra hacer click derecho

sobre la barra que se desea y se habilitará una ventana en la que se

detallará las características de la barra.



A158

d) La impresión de resultados puede hacerse directamente desde el

SAP2000 o se puede pasarlo a archivos EXCEL o WORD para modificar

los formatos de impresión a gusto. En este ejemplo se llevó los

resultados a EXCEL, para ello se realizó el siguiente procedimiento:

- De la barra de menú seleccionar: Display / Show Análisis Result tables.

- Escoger los detalles de los elementos de los que se quiere

obtener un reporte, así como los casos de análisis.

Posteriormente presionar el botón Ok. - Una vez hecho esto se habilitará una ventana en la que se

presentarán tablas de los elementos anteriormente escogidos

(Nudos, barras, etc.) Es posible modificar los formatos de la

presentación de las tablas eliminando, cambiando nombre de los

campos que figuran en este o establecer el orden en el que se

presentarán las tablas, de la siguiente manera: En la barra de

Menú de la tabla que se habilitó, hacer click en la opción Format, inmediatamente se habilitará la ventana Modify/Show Database Table Format. En esta ventana también se podrá escoger los



A159

valores en un rango de datos que nos interese por ejemplo.

(Operador/Between). Una vez establecido todos los formatos de

preferencia de usuario, volvemos a la tabla de presentación de

resultados en los que se verán los cambios producidos

anteriormente. Finalmente para exportar las tablas a Excel,

simplemente vamos a File/Export All Tables/ To Excel.

Paso 9.- Diseño de la armadura de madera Tomar los valores máximos de fuerzas de las barras de la salida de datos:

Cuerda Inferior à T = 4777.5 k (Tracción)

Cuerda Superior à C= 4882.5 k (Compresión)

Diagonales à T = 2296.21 k (Tracción)

Pendolones à C = 2079 k (Compresión)

Diseño de la Cuerda Superior

Ø Asumir Escuadrías:

Ø (Grupo A)

Base (b) =7.5 cm Altura (h) = 10 cm

cf ↔ 145 k/cm2

E ↔ 95000 k/cm2



A160

Se tiene una esbeltez igual a: 33.135.7

100 ===dLλ

Como λ es mayor que 10 la columna no es corta. De la tabla 4.4 se saca el valor

de Ck , que para una columna del Grupo A vale 17.98. Como λ es mayor que 10

pero menor a 17.98, la columna es intermedia.

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ λ⋅−⋅=4

kcadm C3

11AfN

kNadm 85.977998.1733.13

311)105.7(145

4

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⋅−⋅⋅=

0.25.488285.9779 ==Cseg à BIEN

Diseño de Pendolones


Se tiene una esbeltez igual a: 165.7

120 ===dLλ

Como λ es mayor que 10 pero menor a 17.98, la columna es intermedia.

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ λ⋅−⋅=4

kcadm C3

11AfN

kNadm 38.645198.170.16

311)5.75.7(145

4

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⋅−⋅⋅=

1.32079

38.6451 ==Cseg

Se observa que el coeficiente de seguridad es relativamente alto, pero por razones

constructivas no es posible disminuir la escuadría, ya que lo que se quiere es

mantener la misma base en toda la armadura.

Diseño de la Cuerda Inferior y Diagonales

Base (b) =7.5 cm Altura (h) = 7.5 cm

Base (b) =7.5 cm Altura (h) = 7.5 cm



A161


Ø Grupo A: tf ↔ 145 k/cm2

AfN tad ⋅=

kNadm 25.8156)5.75.7(145 =⋅⋅=

71.1 4777.5

25.8156 ==Cseg à BIEN (Cuerda inferior)

55.3 2296.21

25.8156 ==Cseg à BIEN (Diagonales)

Paso 10.- Verificación de las deflexiones Este paso es muy importante por que será con este criterio que se defina la

escuadría final de la cercha, este valor no deberá sobrepasar los especificados

para puentes peatonales, que generalmente están en función de la luz del puente.

Activar la opción Show Deformed Shape, el cuál es el ícono que se muestra en la

figura o caso contrario pulsar la tecla F6.

Inmediatamente se habilitará la estructura deformada en la pantalla, para ver

cuales son los valores de ésta, bastará solamente con hacer click derecho sobre el

nudo que se desea:



A162

Si las deflexiones sobrepasan los valores máximos de normas, será necesario en

buscar otras secciones que satisfagan las anteriores condiciones.

Paso 11.- Cargado del peso propio a los nudos Es necesario realizar el cargado del peso propio a los nudos con las dimensiones

anteriormente encontradas para así tener un cálculo más exacto de las fuerzas

axiales en la armadura de madera, en este caso ya no será necesario mayorar las

cargas a las que está sometido el puente peatonal en un 5%.

Por ejemplo al nudo 26 se cargará: mitad del peso propio de la barra 36, 37 y 49

Madera del Grupo A à γ ↔ 800 k/m3

Barra 36 = 1.56205٠۰0.075٠۰0.075٠۰800 = 7.03 k

Barra 37 = 1.2٠۰0.075٠۰0.075٠۰800 = 5.4 k

Barra 49 = 1.0٠۰0.075٠۰0.10٠۰800 = 6.0 k

Carga Total nudo 26 Peso propio= 3.515 + 2.7 + 3 + 300 = 309.215 k

PROBLEMA PROPUESTO Realizar el cargado de la segunda iteración y comprobar los valores de las

escuadrías obtenidas en el anterior ejercicio, así como verificar las deflexiones

máximas.



A163

Introducción al Programa Robot Millenium ver. 15.-

A continuación se desarrollará un ejemplo completo de una armadura tipo fink

(que se muestra a continuación), y se calcularan los esfuerzos y desplazamientos

en los nudos mediante este programa.

Ejemplo:

Diseñar la armadura de un techo de dos aguas de 8 metros de luz y espaciada

cada 0.90m, que estará destinada a cubrir un local escolar. Considerar que la

armadura soportará cielo raso. La pendiente de la armadura 1 / 2 ( º57.26=α ).

wp

wq carga debida al cielo raso

carga sobre el techo

8m

Se decide por recomendaciones de la norma, utilizar madera del grupo estructural

C :

• Grupo C

Primeramente se deben hallar wp y wq (cargas distribuidas por metro), para

comenzar el análisis.

cf ↔ 80 k/cm2

mf ↔ 100 k/cm2

tf ↔ 75 k/cm2

vf ↔ 8 k/cm2

E0.05 ↔ 50000 k/cm2

γ ↔ 800 k/m3



A164

Entonces considerando las cargas:

Ø Peso propio de la armadura(tanteo)

.........................................................10 k/m2

Ø Carga muerta por cobertura:

o Cubierta de planchas de asbesto-cemento(ver en norma)

...........13 k/m2

o Correas, cabios y otros elementos(tanteo) ................................

..10 k/m2

o Total cobertura:..........................................................................18 k/m2

o Proyectando al plano horizontal : 18/cos(26.46º) ........................20 k/m2

Ø Cielo raso (sobre cuerda inferior)

............................................................30 k/m2

Ø Sobrecarga (ver norma ).................

.........................................................40 k/m2

Entonces las cargas uniformemente repartidas serán:

v Sobre las cuerdas superiores:

m/k6390.070separación)102040(wp =⋅=⋅++=

v Sobre las cuerdas inferiores:

m/k2790.030separación30wq =⋅=⋅=

Ahora para calcular las fuerzas axiales el las barras de la armadura se debe

distribuir las cargas en los nudos:



A165

8m

P

P

P/2

P

P/2

Q Q Q/2Q/2

1m2m

Entonces:

k1264/0.863)4/L(wpP =⋅==

k723/0.827)3/L(wqQ =⋅==

Ahora se introducirá la armadura con sus cargas al programa, previamente se

debe etiquetar los nudos y las barras para que se puedan interpretar los

resultados de manera satisfactoria:

8m

2m1m

1

2 3

7

5

6

4b1 b2 b3

b8

b9

b4b6

b10

b5 b7 b11

2,67m 2,67m 2,67m

2,24m

2,24m

2m 2m



A166

Ahora se debe ingresar al programa.

Ø Entrar a Inicio, buscar Programas, y buscar:

Se debe hacer un elegir

Ø A continuación aparece el cuadro de inicio, en el cual hay que elegir el

tipo de estructura que se desea simular; entonces se debe elegir la

armadura plana (encerrada en un círculo rojo).



A167

Ø Ahora aparecerá el área de trabajo del programa, que se muestra a

continuación:

Ø El paso siguiente es entrar a file ,y hacer un clic en Open Library para

elegir el tipo de armadura que se desea modelar ( esta opción es de



A168

mucha ayuda, pero se esta librería no contiene todas las armaduras que

puedan existir)

Ø Para nuestro ejemplo existe este tipo de armadura (Fink), así que se

elige ésta opción, y aparece el siguiente cuadro:



A169

Pero se puede apreciar que no existe una opción para introducir la longitud o

coordenadas de las diagonales, ya que estas son por estándar por defecto, y

no son iguales a las del problema. Entonces lo que queda es cancelar esta

opción y dibujar la armadura barra por barra.

Ø Para dibujar barra por barra, se debe entrar al menú Geometry y elegir

Bars.., en el cuadro que se abre se introduce la numeración de las

barras, el material y la forma, y también le damos las coordenadas en

metros el punto inicial(Beginning) y final(End) de la barra, que debe

estar separada por un punto y como, por ejemplo 0;0 .



A170

Ø De esta manera se introduce la armadura, y para verla mejor se debe

hacer un clic izquierdo en el área de trabajo de la pantalla, y elegir

Zoom All.

Ø El paso siguiente es colocar las cargas, para lo cual primero se debe

definir el tipo de carga (esto es útil cuando se discriminan las cargas

como cargas muertas, vivas, sismo, nieve, etc., para realizar las

combinaciones de carga que se precisen; pero en nuestro ejemplo las

cargas no se discriminarán). Para esto se debe ingresar en el menú

Loads , y hacer un clic en Load Types. Allí se elegirá en el primer cajón

de lista la opción live (carga viva) , y se escribirá el nombre, en nuestro

ejemplo se escribió carga total , para concluir se debe hacer un clic en

New , y listo.



A171

Ø Luego en el mismo menú Loads se ingresa con un clic a Load Definition , donde en el cuadro que se abre se debe elegir Node (Nudo), y es allí donde aparece otro cuadro donde introducimos las

cargas, una a la vez, siempre teniendo en cuenta que la convención del

programa para las cargas es hacia arriba positivo (Z +), y hacia la

derecha positivo (X +); luego de poner el valor en el cuadro, se Hace clic

en Add, y se va al dibujo a ingresar las cargas en los nudos.



A172

Ø El paso siguiente es la introducción de los apoyos, para lo cual se va al

menú Geometry , y se hace un clic en Supports. , allí se elige la opción

pinned (o sea apoyo fijo), y se va al gráfico y se hace clic en los dos

nudos que tienen apoyos.



A173

Ø Lo único que hace falta es hacer que el programa corra, para esto se va

al menú Analysis , se hace un clic en Analysis Types , y se elige la

opción Calculations.



A174

Ø Luego para ver los resultados se va al menú Results , donde

primeramente podemos elegir Maps on Bars , donde se muestra las

fuerzas en las barras de manera gráfica (todo en kilogramos)



A175

Ø Luego podemos elegir del mismo menú anterior las reacciones, las

fuerzas en las barras, los desplazamientos, todos de manera tabular,

que a continuación se muestran impresos junto con los datos de ingreso.



A176

DATOS DE INGRESO:

-COORDENADAS DE LOS NUDOS

- GEOMETRÍA DE LAS BARRAS

DATOS DE SALIDA:

-REACCIONES

-FUERZAS EN LAS BARRAS

-DESPLAZAMIENTOS EN LOS NUDOS

Ø Cabe señalar para las fuerzas en las barras, que el programa considera

a la compresión como positiva y a la tracción negativa.

Diseño de los elementos.- Por razones constructivas se considerara que los elementos 8 y 9, así como 1 y 2,

como 4 y 6, tienen la misma sección.

a) Elemento 8 :

b8

583.61

583.61

63 k/m

Ø Asumir Escuadría:

Para la longitud efectiva, de la tabla 6.2 se saca que para una cuerda la

Base (b) =5 cm Altura (h) = 10 cm



A177

longitud efectiva puede ser:

m792.1)24.224.2(40.0)LL(40.0L 21ef =+=+=

De la tabla 6.3 se saca que el momento de diseño debido a una carga

distribuida, para la cuerda superior para una armadura de éste tipo es:

10LwM2⋅=

donde de la figura 6.5 se saca que la longitud L es igual a:

.m2222

2LLL 21 =+=+=

Por lo tanto:

mk2.2510263

10LwM

22⋅=⋅=⋅=

Como este es un elemento sometido a flexocompresión se debe satisfacer la

siguiente ecuación (ver capítulo 4):


dLef ===λ


De la tabla 4.3 se saca el valor de Ck , que para una columna del Grupo

C vale 18.42.

Como λ es mayor que 10 pero menor a 18.42, la columna es

intermedia.


columna

intermedia es :

1fZMk

NN

m

m

adm<

⋅⋅

+



A178

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ λ⋅−⋅=4

kcadm C3

11AfN

kg86.270242.1892.17

311)105(80N

4

adm =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⋅−⋅⋅=

Lo que sigue es hallar el factor de magnificación de momentos Km.:



Entonces en la formula de flexocompresión se tiene:

Entonces CUMPLE!!! USAR 5x10 cm

157.010033.832520158.1

86.270261.583 <=

⋅⋅+

cr

m

NN5.11

1k⋅−

=

2ef

2

cr LIEN ⋅⋅π= k98.64022.1791210550000

N2

32

cr =

⋅⋅⋅π=

158.1

98.640261.5835.11

1km =⋅−

=

322

cm33.836105

6hbZ =⋅=⋅=



A179

Como ejercicio se plantea la conclusión del diseño de los demás elementos de la armadura, y su respectiva verificación en el programa.

Tutorial Programa “Cercha” (Para La Calculadora Hp).-

Con el afán de que se pueda resolver de una manera rápida una cercha plana,

sin necesidad de que se recurra a la computadora (esto muy beneficioso cuando

se realiza trabajo de campo), es necesario que el ingeniero tenga herramientas

como la calculadora HP(la mas común en nuestro medio), la cual provee una gran

ayuda en el desarrollo de la profesión.

Este programa permite resolver cualquier cercha sin importar el número de apoyos

y elementos, hasta la capacidad de la calculadora; para la resolución se usa el

método matricial de los desplazamientos.

El procedimiento es el siguiente:

1) Se selecciona entrada de cargas

2) Se define un sistema de ejes coordenados para poder ubicar los nudos que a

su vez deben estar numerados.

3) Cuando se pide numero de nudos es independiente del numero de apoyos, es

decir, en una barra hay 2 nudos y puede tener 0,1 o 2 apoyos.

4) Se entran las coordenadas de cada nudo en orden al número que se le asignó.

5) Se especifica la cantidad de diferentes áreas de sección transversal en los

elementos, quedando cada tipo de sección asignada a un número (aparece en

pantalla)



A180

6) Luego se pasa a dar las ubicaciones de las barras asignándole una dirección o

un sentido a cada barra, y se escriba su nudo inicial a final de acuerdo al sentido y

su correspondiente TIPO de sección(él numero asignado a las diferentes áreas)

7) Se especifican las restricciones en los apoyos de la siguiente manera:

Ø Numero del nudo en el cual esta el apoyo

Ø Restricción en x (1 si hay o 0 si no hay)

Ø Restricción en y (1 si hay o 0 si no hay)

8) Se entra el modulo de elasticidad

9) Se entra el peso unitario del material (0 si desprecia el peso propio de la cercha

o carga muerta)

10) Se escoge la opción (2) y se procede con el número de nudos cargados

11) Se entra el nudo en el que actúa cada fuerza, y cada fuerza se descompone

en x y y, dando positiva hacia arriba y hacia la derecha

12) Si la memoria es suficiente para el tamaño de la cercha, esperar a que corra

programa.

13) Ver los resultados, donde aparecen los desplazamientos de los nudos, las

reacciones y fuerzas internas de las barras (fuerza en cada nudo según el sentido

de la barra)

14) La opción 4 permite ver la matriz de rigidez en su respectivo orden (opciones

separadas)

15) Borrar resultados permite purgar las variables y resultados que contiene la

cercha.

El programa permite variar las condiciones de cargas para la misma cercha

seleccionando (2) y además permite guardar los resultados después de salir.

A continuación se desarrollará un ejemplo, explicando paso a paso la ejecución

del programa. Este ejemplo se desarrolla en la calculadora HP 48G o G+ o Gx.( el

procedimiento del programa es igual para la HP 49G).

Dada la siguiente armadura Howe se pide determinar las reacciones en los apoyos

y las fuerzas en las barras.(este ejemplo pertenece al texto de “Estructuras

Isostáticas” del ingeniero Oscar Antezana, Pág.: 131)



A181

1

2 3 4

5

6

7

8

b9 b13

b10

b2

b12

b3b1 b4

b5b8

b7 b6

b11

0.5 t

0.8 t

1 t2m 2m 2m 2m

2m

En el directorio que contiene el programa seleccionar la opción “Run”, y a

continuación aparecerá el siguiente cuadro:

Teclear el botón 1, que es la opción “Entrada De Datos”, entonces:

Presionar ENTER, entonces:



A182

Ahora se debe ingresar los valores pedidos, de acuerdo a la grafica, entonces:


Se debe ingresar las coordenadas, y luego de ingresar un nudo se debe Presionar

ENTER, entonces:



A183


Aquí la pregunta es cuantos tipos de secciones tiene, si se quiere se puede poner

distintos tipos de secciones para las barras(esto es más conveniente cuando ya se

hizo correr programa una vez, y se diseño con esas fuerzas, entonces para

verificar el diseño, esta opción se utiliza); pero para el ejemplo solo

consideraremos una sección; luego presionar ENTER , entonces:



A184

Se pide ahora ingresar el área de cada “sección tipo”, como para el ejemplo es

irrelevante ingresamos la unidad (pero se puede tantear; pero cuando ya se

diseñó la cercha se deben poner las áreas diseñadas para realizar la verificación);

Luego presionar ENTER, entonces:

Se debe ingresar los nudos inicial y final de cada barra; el orden de los nudos sirve

para interpretar la salida de las fuerzas internas, por eso que se debe anotar esto

para poder interpretar los resultados. El valor ST# es para indicar al programa que

tipo de sección corresponde a cada barra.(para el ejemplo como solo existe una

sección entonces solo poner 1). Luego presionar ENTER después de cada ingreso

de datos para cada barra, entonces:



A185

:



A186


Se debe ingresar los nudos donde están los apoyos, e indicar si es fijo o rodillo.

Luego presionar ENTER depuse de cada ingreso de un apoyo , entonces:



A187

Luego Presionar ENTER, entonces se debe ingresar el modulo de elasticidad,

para el ejemplo se tomara una madera con E = 100000 kg/cm2:

Luego Presionar ENTER:

Se debe ingresar el peso especifico del material, pero cuando se quiera que el programa compute el peso propio, para el ejemplo no se requiere, entonces poner cero. Luego Presionar ENTER:



A188

Ahora se deben ingresar las cargas, para lo cual se debe teclear “2”., entonces:

Se debe ingresar el número de nudos cargados, para el ejemplo se observa

claramente que son 3. Luego Presionar ENTER, entonces se debe ingresar el

número del nudo y la carga externa (en toneladas), recordando siempre que

positivo es a la derecha y hacia arriba; luego de ingresar cada carga se debe




A189

Luego Presionar ENTER (el programa ahora ya comienza a correr, se debe

esperar unos cuantos segundos):

Ahora solo queda ver los resultados, para lo cual se debe teclear “3” , entonces :

Para las reacciones de apoyo teclear “1” , entonces:



A190

Luego Presionar ENTER:

Para las fuerzas internas de las barras teclear “1”, entonces:

Luego Presionar ENTER, entonces aparecen las fuerzas internas en las barras;

pero cabe aclararla convención del programa para interpretar los resultados:

Ø En primer lugar el sentido positivo se toma de acuerdo del nudo final al

nudo inicial (esto define el eje local longitudinal positivo), por ejemplo la

barra 1 va desde el nudo 1 al nudo 2, entonces:

b11 2

+

Ø La convención para definir la tracción y la compresión es la siguiente:



A191

COMPRESIÓN TRACCIÓN

o Por ejemplo para la barra 2 se tiene:

b22 3

+

Y de los resultados se tiene que el nudo 2 tiene un F=-1.65 ton y el

nudo 3 tiene un F=1.65 ton , lo que equivaldría a:

2 b23

2 3b2

TRACCIÓN1.65 t 1.65 t

o Como otro ejemplo para la barra 8 se tiene:

b8

1

8

+

Y de los resultados se tiene que el nudo 8 tiene un F=2.4 ton y el

nudo 1 tiene un F=-2.4 ton , lo que equivaldría a:



A192

1

b8

8

2.4 t

2.4 t

COMPRESIÓN



A193



A194

Al concluir de ver las fuerzas internas Presionar ENTER:

Para salir presionar ENTER:

Para guardar los resultados presionar la tecla “ F ” :



A195

Para salir del programa: presione la tecla “ “:

Los datos, y los resultados se encuentran grabados en la carpeta SUB, allí se

puede volver a entrar (sin necesidad de correr el programa otra vez), y ver los

valores que nos interesen (sobre todo los resultados):

El programa se puede descargar desde Internet de manera gratuita de la página

http://www.geocities.com/hp48_civil/ , o de la página de la materia

http://www.freewebs.com/emaderas .



A196

CAPITULO 7

PROYECTOS ESPECÍFICOS PROYECTO #1: ENTREPISO.- Se desea construir un entrepiso de madera para una biblioteca para lo cual se

dispone de un espacio de 5 metros de ancho y 8.2 metros de largo de los cuales

1.2 metros serán de un volado según se muestra en la figura:

5m

7.0m

VIGAS DE Hº Aº

COLUMNAS DE HºAº

1.2m

VIG

AS

DE

MA

DER

A

S S

ENTABLADO

SOLUCIÓN Para no arriesgar la vida de los ciudadanos, el ingeniero procurará no construir

una biblioteca en pisos elevados, especialmente los depósitos de libros. De

acuerdo a las particularidades de este proyecto nos vemos obligados a realizar el

entrepiso en un piso superior, pero de hacerlo con todas las precauciones y

factores de seguridad necesarios, el elemento no presentará problemas de

funcionabilidad, seguridad y estética.

Sobre las vigas de hormigón armado descansarán vigas de madera y sobre éstas

vigas se construirá el entablado. Las vigas de madera se dispondrán siempre

(salvo imposibilidad) según la longitud mas corta del entrepiso en este caso 5

metros.



A197

2.5

30

La longitud de separación entre vigas de madera (“s”) puede adquirir cualquier

valor, pero la práctica y también la estática han demostrado que ésta depende de

la longitud corta y de la carga viva.

Entonces se tendrá: 40 cm. < s < 80 cm.

Adoptamos una separación entre vigas de madera de 50 cm.

DISEÑO DEL ENTABLADO

Los valores de cargas de servicio pueden ser observados en los reglamentos de

diseño de edificios. La carga viva recomendada para bibliotecas puede ser dividida

según su uso en:

Ø Biblioteca destinada para salas de lectura: 300 kg/m2.

Ø Biblioteca usada para almacenamiento o archivo de libros: 750 kg/m2.

En la mayoría de los casos la biblioteca es usada tanto como para

almacenamiento de libros como para salas de lectura, será conveniente, para

estar del lado de la seguridad, usar el valor de 750 kg/m2 o caso contrario

preguntar a los propietarios o responsables el uso específico, con todas sus

particularidades, al que será destinado el ambiente.

Ø Peso de Alfombra de alto tráfico: 3 kg/m2.

Ø Peso propio del entablado.

Para el entablado utilizaremos tablas de almendrillo con la siguiente escuadría:

b = 30 cm. (12”)

h = 5 cm. (1”)


hb ⋅⋅= γ pP

Pp = 800 k/m3 . 0.025 m . 0.30 m = 6 k/m

La separación entre vigas ayudará a facilitar la construcción del entranquillado del

cielo falso de estuco (yeso), ésta es una buena decisión ya que el entranquillado

evitará la deformación por torsión de las vigas debido a la gran carga de biblioteca.

PC.V. = 750 k/m2٠۰0.30 m = 225 k/m ↓

PAlfombra = 3 k/m2٠۰0.30 m = 0.90 k/m ↓



A198

Si existiera la sospecha de una futura tabiquería de ladrillo sobre el entrepiso,

entonces se añadirá entre 50 a 80 kg/m2 a la carga viva.


AlfombraC.V.T PPpPq ++=

qT = 225 k/m + 6 k/m + 0.9 = 231.9 à 232 k/m


fad = cm167.030050

300(cm) L ==

cm 0372.0

125.230130000384

0532.25IE384

Lq5f 3

44

=⋅⋅⋅

⋅⋅=⋅⋅

⋅⋅=

49.40372.0167.0

ffC.Seg ad ====f

Si bien el coeficiente de seguridad es relativamente alto, no es posible

disminuir la altura de la tabla, otra forma de solucionar este inconveniente sería

el aumentar la separación “s” entre vigas de madera, para facilitar colocado del

cielo raso, nos quedamos con la escuadría adoptada.

DISEÑO DE VIGAS Será conveniente definir correctamente las cargas que actuarán sobre las vigas:

Carga Viva:

Ø C.V. = 750 k/m2٠۰0.50 m. = 375 k/m

Cargas Muertas:

Ø Entablado

o k/m 10m 51k/m800m 5m0250m 0.50 P 3

Entablado =⋅ ⋅. ⋅ . ⋅=

Ø Alfombra

o PAlfombra = 3 k/m2٠۰0.50 m = 1.50 k/m

Ø Cielo raso

o PCielo Raso = 30 k/m2٠۰0.50 m = 15 k/m



A199

Ø Peso Propio

Asumir: b = 15 cm. (6”)

h = 27.5 cm. (11”)

o PViga = 0.15 m٠۰0.275 m٠۰800 k/m3 = 33 k/m


VigaRaso CieloAlfombraEntabladoC.V.T PPPPPq ++++=

qT = 375 k/m + 10 k/m + 1.5 k/m + 15 k/m + 33 k/m = 434.5 à 435 k/m


fad = cm67.1300500

300(cm) L ==

cm 04.1

125.2715130000384

00535.45IE384

Lq5f 3

44

=⋅⋅⋅

⋅⋅=⋅⋅

⋅⋅=

61.104.167.1

ffC.Seg ad ====f à BIEN

Nota.- Se utiliza Epromedio para calcular las deflexiones de éstas vigas ya que al

existir más de cuatro elementos es posible una redistribución de la carga.(Ver

Capítulo 3).

DETALLES CONSTRUCTIVOS

En el centro línea se ubicará una de las vigas y de ahí se irá repartiendo las

demás:



A200

50 cm.

7.0m 1.2m

50 cm.

3.5 m

3 c/40cm

La longitud de la viga no es de 5.00 metros ya que este valor es de eje a eje, es

conveniente darle una buena longitud de apoyo para evitar fallas por

aplastamiento. Para esto debemos saber la base de las vigas de borde (Hormigón

Armado), suponemos una base de 25 cm. ya que ésta puede tener por debajo un

muro de carga que generalmente tiene longitudes parecidas y con esto ayudar al

encofrado de la viga de borde.

Nº de Vigas ↔ 18 vigas de 15cm. x 27.5cm. x 5.25 m.

Tablas:

à Pedir: 141.525 m. ٠۰ 1.10 = 155.68 metros de tablas: b = 30 cm. y h

=2.5 cm.

En cortes mínimos de 4 metros.

Unión Tabla-Viga Usar clavos de 2 ½” (d = 3.3 mm.)

Longitud unitaria = 8.325 metros Número de tablas = 17 Longitud Total = 141.525 metros



A201

7.5

Silla de Aceroe = 18"

10 cm.

15

15

5 5 5

Clavos de 212"

d =3.3 mm. c/10 cm.

à Se necesitan aproximadamente 1890 clavos, al estar trabajando con una

madera del Grupo A, se recomienda pretaladrar los puntos donde se colocarán los

clavos, se recomienda pedir la equivalencia en kilogramos de unos 2000 clavos de

2½” y diámetro de 3.3 mm. para la construcción de este entrepiso.

Unión Viga de madera-Viga de HºAº

15

27.5

25

VIGA DE MADERA

VIGA DE HºAº

Perno Ø12"

L=17.5 cm.

Pernos Ø12"

L=10 cm.

Para asegurar la viga de madera a la de hormigón se emplean 2 pernos de anclaje

que se han embebido oportunamente en el concreto.

Listones Adoptaremos una escuadría de 2½”x2½”, y se colocarán con una separación de

25 cm. cada uno.



A202

VIGA DEMADERA

35CLAVO LANCERO 2"

25

50

15

à Se necesitan aproximadamente 119 metros de madera de escuadría: b = h =2

½” para realizar los listones del entrepiso. En cortes mínimos de 3.5 metros

Malla de gallinero-Yeso-Alfombra Las dimensiones total del entrepiso serán de 8.325 m. x 5.25 m., lo que nos da un

área total de 43.71 m2. De acuerdo a estos datos tendremos:

Ø Yeso: 30 k/ m2 ٠۰43.71 m2 = 1311 k à ≈ 66 bolsas de 20 k

Ø Alfombra: 44 m2.

Ø Malla de gallinero : 44 m2 à 44 m.l. de 1 metro de ancho.

NOTA.- Es conveniente aclarar que las dimensiones antes calculadas son las dimensiones reales. La comercialización de la madera se realiza por lo general en función de la dimensiones iniciales –denominadas nominales o equivalentes comerciales- que únicamente se utilizan para la determinación del volumen facturado al comprador. Al pedir la madera se aclarará que en obra se deberá tener las dimensiones reales, ya habiéndose realizado un cepillado previo.



A203 VIGA SOBRE COLUMNA

3.5m

10m

CE

RC

HA

SO

BR

E V

IGA

S C

/1.1

7 [m

]

COLUMNA C/3.5 [m] 35m

CAPITULO 7

PROYECTOS ESPECÍFICOS PROYECTO #2: GRANJA AVÍCOLA Se pretende diseñar una granja avícola, para la zona del Altiplano, el espacio

disponible para esto es de un terreno de 10 metros de ancho y 35 metros de largo.

SOLUCIÓN

Para el diseño de esta granja avícola, se escoge el uso de una armadura tipo

Abanico, que van de acuerdo a las recomendaciones para proporciones y luces

recomendables de armaduras de madera, para luces entre 6 y 12 metros, como

parte de solución al problema, dicha armadura sustentará las correas, las cuales a

su vez sustentarán la cubierta a utilizar. Finalmente las armaduras se apoyarán

sobre las vigas principales las cuales transmitirán las cargas a las columnas.

Para realizar un diseño que sea efectivo y cumpla con la función destinada de la

mejor manera, será necesario recurrir a la experiencia y de faltar ésta: la

observación de proyectos similares o de características parecidas puede ser una

buena forma de realizar un buen diseño.

Ø Las columnas si son de madera no deben estar separadas más de 4

metros.

Ø Cuando las armaduras son de madera, la separación entre ellas en ningún

caso superará los 2 metros. (Fuente. Ingeniero Oscar Antezana M.).

De acuerdo a las observaciones anteriores se procederá a establecer el siguiente

esquema:



A204

Las armaduras tendrán la siguiente geometría:

5m.

CORREA c/35 [cm]

5m.

ARMADURA TIPO ABANICO

2m.

L/3

L/6

Ø Separación entre armaduras: S = 1.17 metros. Ø Separación entre correas: S1 = 0.35 metros. Ø Separación entre columnas: S2 = 3.5 metros.

DISEÑO DE CORREAS Será necesario definir todas las fuerzas que influyen para hacer con esto el

respectivo orden de cargas.

Ø Peso de la cubierta

Ø Peso por efecto de nieve (Altiplano).

Ø Peso por sobrecarga de servicio (Mantenimiento).

Ø Peso propio de la correa

Ø Peso por efecto de viento.

a) Para el peso de la cubierta es posible seleccionar uno de la tabla 7.1.

En nuestro caso escogeremos el peso propio correspondiente a la chapa de metal

de 1.5 mm. sobre correas, igual a 15 kg/m2.

b) Para el peso por efecto de nieve, asumiremos un valor de 40 kg/m2.

c) El peso producido por la sobrecarga de servicio correspondiente a un techo

inclinado será de 50 kg/m2 según lo indica la Tabla 13.3. del Manual de Diseño

para Maderas del Grupo Andino.



A205

d) Para el peso propio de la correa asumiremos una escuadría de 2”x 2.5”, al ser

una construcción de no mucha importancia, usaremos madera del Grupo B.

e) La presión originada por el viento es posible estimarla mediante las siguientes

expresiones: p = Cd٠۰q ; q = 0.00483٠۰V2

Donde “p” es la presión o succión perpendicular a la superficie que ejerce el

viento, en kg/m2. “Cd” un coeficiente adimensional que depende de la posición de

la superficie con respecto a la dirección del viento, la cual se supone horizontal

(Ver anexos) y “V” es la velocidad del viento en km/h. Tomaremos para nuestro

análisis una velocidad máxima de 120 km/h.

TABLA 7.1 PESO PROPIO DE COBERTURASDescripción kg/m2

Cartón bituminoso En tres capas sin gravilla 13 En tres capas con gravilla 35Cielo raso de yeso con carrizo 25Chapa de metal de 2 mm. Sobre entablado 30Cobertura doble en teja plana sobrepuesta y desplazada a media reja 100Chapa de metal de 1.5 mm., sobre correas 15Cubierta de lona sin armazón 3Cubierta de vidrio sobre tavesaños de acero (espesor del vidrio 5 mm.) 25Cubierta de vidrio sobre tavesaños de acero (espesor del vidrio 6 mm.) 30Cubierta de vidrio armado (alambre) de 5 mm. De espesor 30Planchas de asbesto cemento Corrugado de 4 mm. Peso por área útil 9 Corrugado de 5 mm. Peso por área útil 13 Canalón plegado de 5 mm. 17Teja cóncava con asiento de mortero con cabios a 0.335 m. 80Teja concava de encaje con cabios a 0.335 m. 70Teja plana sellada con mortero con cabios a 0.275 m. 80Teja plana o cola de castor con cabios a 0.275 m. 70Teja serrana de 105 kg/m2 asentada sobre torta de barro de 0.02 m. mas paja 160Torta de barro de 2.5 cm. sobre entablados simples de 0.02 m. 67Torta de barra más paja. 55Ref.: TABLA 13.6 de pag. 13-5 del Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino

d)


Ø b =5 cm

Ø h =6.35 cm ESCUADRÍA:



A206

hb ⋅⋅= γ pP

Pp = 700 k/m3 . 0.05 m . 0.0635 m = 2.22 k/m

e) º8.2152arctg =⇒= φφ à De la gráfica sacamos:

-0.57421.8º-2.100.07Cd =⋅= 22 kg/m 69.5512048300.0q =⋅=

Entonces: 2kg/m 4039.9269.557450.p ≅=⋅= (Succión lado Barlovento)

Una vez determinadas todas las cargas actuantes procederemos a calcular la

influencia de estos sobre las correas:

]m/k[SPS

SSPP 1mpor

1mpor longitunal 2

2

→⋅=⋅⋅

=

S1

S

PCubierta = 15 k/m2٠۰0.35 m = 5.25 k/m ↓

PNieve = 40 k/m2٠۰0.35 m = 14 k/m ↓

PMantenimiento = 50 k/m2٠۰0.35 m = 17.5 k/m ↓

Pp =2.22 k/m ↓

Pviento = 40 k/m2٠۰0.35 m = 14 k/m

Combinación de Cargas



A207

Para hacer la combinación de cargas se tendrá que suponer los casos más

desfavorables. Por ejemplo: habrá carga por mantenimiento siempre y cuando las

condiciones climáticas sean apropiadas para éste o sea que sólo podrá

presentarse una de las cargas entre la carga de nieve y la de mantenimiento,

entonces escogemos la más desfavorable que será la de mantenimiento.

Siguiendo el mismo razonamiento suponemos que para que el mantenimiento se

realice no tendrá que ser precisamente en las condiciones más desfavorables de

viento, razón por la cuál solamente tomaremos en cuenta el 80% de la carga por

viento anteriormente calculada.

PCubierta + Pp + PMantenimiento ↔ 24.97 ≈ 25 k/m ↓

0.8٠۰Pviento ↔ 11.2 ≈ 12 k/m (En dirección perpendicular a la superficie que ejerce el

viento)

q1

12 k/m

ϕ

ϕ 25 k/m

q2

senφ = 0.37; cosφ =0.93

q1= 23.25 ≈ 24 k/m

q2= 9.25 ≈ 10 k/m

C = 10 k/m

C = 12 k/m

De acuerdo al grado de inclinación de la estructura superior de la granja, el viento

actúa ejerciendo succión sobre la estructura ayudando a soportar las demás

cargas, por lo que el caso más desfavorable será cuando no haya presencia de

viento.

Entonces:

C = 10 k/m

C = 24 k/m



A208

FLECHA: La flecha admisible será:

fad = cm43.0275117

275(cm) L ==


cm073.0

1235.6575000384

11724.05IE384

Lq5f 3

44

1 =⋅⋅⋅

⋅⋅=⋅⋅

⋅⋅=

cm049.0

12535.675000384

11710.05IE384

Lq5f 3

44

2 =⋅⋅⋅

⋅⋅=⋅⋅

⋅⋅=

BIEN adf cm. 088.0fff 22

21 ⇒<=+=

La escuadría asumida para la correa es adecuada, pero ligeramente

sobredimensionada.

DISEÑO DE LAS ARMADURAS

Las armaduras sólo están sometidas a esfuerzos en los nudos, los esfuerzos

externos son iguales a la mitad que los del medio debido a su área de

influencia. No es conveniente modificar la combinación de carga a no ser que

se desee incluir otra carga (Por Ej. Cielo Raso), tratándose de una granja

avícola no es necesaria esta inclusión.

La separación entre armaduras será mayor a 60 cm. por lo que se usará para

el diseño un módulo de elasticidad mínimo igual a Emin = 75000 kg/cm2.

Combinación de Cargas

VISTA EN PLANTA AREA DE INFLUENCIA DE ARMADURA

1.17

1.17

106

106

106

106

106

106



A209

Considerando las siguientes cargas:

Ø Peso cubierta: PCubierta = 15 k/m2.

Ø Peso de las correas: PCorreas ≈ 6.30 k/m2.

o Total carga muerta por m2 de cobertura à 21.30 k/m2.

o Proyectado al plano horizontalà 21.30 k/m2٠۰ cos21.8º=19.77 ≈

20 k/m2

Ø Peso propio de la armadura aproximado ≈ 13 k/m2.

Ø Peso por sobrecarga de uso (Mantenimiento): PMantenimiento = 50 k/m2.

Las cargas uniformemente repartidas sobre la cuerda superior serán:

WP = (50+20+13 ) ٠۰ S = 83 ٠۰ 1.17 = 97.11 ≈ 98 k/m

Las cargas concentradas equivalentes sobre la cuerda superior serán:

P = WP٠۰ L/6 = 98 k/m٠۰ 10/6 = 163.33 ≈ 164 k

Tomar los valores máximos de fuerzas de las barras de la salida de datos (Ver

anexos):



A210

Cuerda Inferior à T = 136.66 (Tracción)

C = 273.31 (Compresión)

Cuerda Superior à C= 1103.93 (Compresión)

Diagonales à T = 320.25 k (Tracción)

C = 220.74 k (Compresión)

Pendolones à C = 164.03 k (Compresión)

1.66 m

1.795m1.795 m 1.

33 m

1.66 m 1.66 m

2.0

m

3.33 m1 2

2.60 m

3 4

5

7

9

8

6

a) Cuerda superior.-La longitud efectiva del elemento puede ser tomada como

0.4 (L1+L2) 98 k/m

1103.93 k

BARRA 4

1103.93 k

Para la longitud efectiva, de la tabla 6.2. se saca que para una cuerda la longitud

efectiva puedes ser:

Lefect = 0.4 (L1+L2) = 0.4 ( 1.795+1.795) = 1.436 m.

De la tabla 6.3. se saca que el momento de diseño debido a una carga distribuida

para la cuerda superior para una armadura de este tipo es:

11LwM2⋅=

De la figura 6.4. se saca que la longitud L es igual a:



A211

m. 667.12

667.1667.12

LLL 21 =+=+

=

Entonces: mk 75.2411

667.18911

LwM22

⋅=⋅=⋅=

Asumimos una sección:

Se tiene una esbeltez igual a: 19.157.5143.6

dLλ efe ===

De la tabla 4.4 se saca el valor de Ck , que para una columna del Grupo B vale

18.34. Entonces la columna es larga. La fórmula que corresponde para hallar la carga admisible para una columna

larga es :

2admAE329.0N

λ⋅⋅=

k3784.819.15

7.57.5750000.329N 2adm =⋅⋅⋅=

donde : Ncr es la carga critica de Euler:



cr

m

NN5.11

1k⋅−

=

2ef

2

cr LIEN ⋅⋅π=

kg9464.89143.612

7.575000πN 2

42

cr =⋅

⋅⋅=

21.1

89.946493.11035.11

1 =⋅−

=mk

322

cm70.3167.57.5

6hbZ =⋅=⋅=



A212


Por lo tanto la sección de 7.5 cm.x 7.5 cm. resiste las solicitaciones externas.

b) Cuerda Inferior. La compresión es más peligrosa que la tracción por lo tanto

verificaremos la escuadría del elemento que se encuentra a compresión. Lefect = 0.4 (L1+L2) = 0.4 ( 3.33+3.33) = 2.664 m.

273.31 k273.31 k

BARRA 2

Se tiene una esbeltez igual a : 52.537.5266.4

dLλ ===

.La fórmula que corresponde para hallar la carga admisible para una columna

larga es :

2admAE329.0N

λ⋅⋅=

k10.100152.53

7.57.5750000.329N 2adm =⋅⋅⋅= > 273.31 k àBIEN

c) Diseño de Diagonales


1fZMk

NN

m

m

adm<

⋅⋅

+

CUMPLE∴<=⋅

⋅+ 157.015031.70247521.1

8.378493.1103



A213

320.25 k

320.25 k

BARRA 11

Verificando la escuadría:

AfN tad ⋅=

k25.9065)5.7(7.5105Nadm =⋅⋅= > 320.25 kà BIEN

220.74 k

BARRA 5220.74 k

La longitud efectiva para este elemento será 0.8٠۰ld. Para este caso: lefec=0.8(

1.795)=1.44 m

Se tiene una esbeltez igual a : 14.197.5143.6

dL

λ efect ===

k75.788314.19

5.75.7750000.329N 2adm =⋅⋅⋅= > 220.74 k à BIEN

d) Diseño de Pendolones

Base (b) = 7. 5 cm Altura (h) = 7.5 cm



A214

164.03 k

164.03 k

BARRA 8

La longitud efectiva para este elemento será 0.8٠۰ld. Para este caso: Lefec=0.8(

1.33)=1.06 m


dL

λ efect ===

Como λ es mayor que 10 pero menor a 18.34 la columna es intermedia.


intermedia es :

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ λ⋅−⋅=4

kcadm C3

11AfN

kgNadm 78.546034.1813.14

311)5.75.7(110

4

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⋅−⋅⋅= > 164.03 k à BIEN

Se observa que el coeficiente de seguridad para los elementos de la armadura es

relativamente alto, no es posible disminuir la escuadría ya que la base necesaria

para evitar sobrepasar el valor máximo de relación de esbeltez sugerido en el

Manual para Diseño para Maderas del Grupo Andino, en el elemento que se

encuentra en compresión de la cuerda inferior es 7.5 cm, así como el coeficiente

de seguridad aceptable para la cuerda superior. Por efectos de construcción se

mantendrá la misma base en toda la armadura.

Será necesario verificar que las deflexiones no sean considerables:



A215

DISEÑO DE UNIONES NUDO 1

b1

b4

ϕ

5

21

136.66 k

1103.93 k

Cuando a un nudo concurren barras en compresión y tracción simultáneamente,

es más conveniente iniciar el diseño a partir de las barras en compresión (puesto

que este fenómeno es muy desfavorable).

è Barra 4: C = 1103.93 k

L = 179.5 cm.

7.5 cm.

e=18"




Interpolaremos los valores de L = 6.5 cm. y de L = 8.0 cm. Entonces:

P = 488 k



A216

Q = 225 k



P = 1.25 ٠۰488 =610 k

Número de Pernos:


Para la ubicación de los pernos, se necesita determinar algunos valores:

e = 18"PLANCHA DE ACERO

7.5

7.5

7.5

7.5

10

3.75

3.75

3.83.83.5 2

2

NUDO 2

9

136.66 k 273.31 k

320.2

5 k

164.

03 k

220.74 k

5

1 3

7

2

b2

b11b8

b5

b1

Paso 1) El grupo estructural es el B, se utilizarán cartelas de 1”de espesor,

también del grupo B.

Diagonal à C/P = 1103.93 / 610=1.81 ≈ 2 pernos Cuerda Inf.à C/P = 136.66 / 610= 0.22 ≈ 1 perno

5dp = 4.75 cm. 4dp = 3.80 cm. 2dp = 1.90 cm.

Estas distancias pueden mayorarse hasta un 20% en vistas a facilitar la construcción de la unión.



A217

Paso 2) De la tabla 5.1 clavos de 3 pulgadas de longitud y 3.7 mm. de diámetro.

Paso 3) Se determinan las cargas admisibles para este tipo de clavos:

De la tabla 5.2 se saca el factor por el que debe ser multiplicada la carga

admisible, para cizallamiento simple, clavo perpendicular al grano es igual a 1.00

Entonces:

Padm = 48 k ٠۰ 1.00 = 48 k.

Paso 4) Verificar los espesores mínimos:

Ø Longitud de penetración en el elemento adyacente a la cabeza por lo

menos 6 veces el diámetro del clavo:

6٠۰ d = 6 ٠۰ 3.7 mm = 22.2 mm < 25 mm. à BIEN

Ø Longitud de penetración en el elemento central debe ser por lo menos

11 veces el diámetro del clavo:

11٠۰ d = 11 ٠۰ 3.7 mm = 40.2 mm

El clavo penetrará: 76 mm – 25 mm = 51 mm > 40.2 mm. à BIEN.

Paso 5) Determinación de número de clavos:

De acuerdo a la gráfica anterior podemos observar que la mayoría de las fuerzas

que concurren al nudo 2 son de compresión, y no serán preponderantes en el

posible colapso de la unión. En todos los casos se usarán por lo menos 2 clavos.

Para la barra # 11: clavos 767.6k 48

k 320.25 Clavos# →==

Paso 6) Espaciamiento:

De acuerdo a la tabla 5.3. se requiere conocer los siguientes valores:

16٠۰ d = 16 ٠۰ 3.7 mm = 59.2 mm

20٠۰ d = 20 ٠۰ 3.7 mm = 74 mm

5٠۰ d = 5 ٠۰ 3.7 mm = 18.5 mm

8٠۰ d = 8 ٠۰ 3.7 mm = 29.6 mm

De acuerdo a estos datos acomodamos los clavos y disponemos las medidas de

la cartela



A218

8

66

6

8

1

88

18 16

17

2 3.5 2

7.5

7.5

7.5

69

CARTELAe = 1"

CLAVOS 76mm.

Ø3.7mm.

7.5

NUDO 5

1

57

2

b41103.93 k

b10

b5

883.18 k

220.74 k

8 88

834

7.57.

5

CARTELAe = 1"

CLAVOS 76mm.

Ø3.7mm.

2

23.5

NUDO 7



A219

883.19 kb14

b10

5

164.03 k

7

883.18 k

2

b8

9

CARTELAe = 1"

CLAVOS 76mm.

Ø3.7mm.7.5

33 8

8

7.5

3.5 2

2

88

NUDO 9

2 3

7

8

9

320.2

5 k883.19 k 883.19 k320.25 k

b14

b11

b12

b15

Para la barra # 11 y #12: clavos 767.6k 48

k 320.25 Clavos# →==



A220

7.5

66

3.5 2

6

28

8

68

66

8

3.52

2

38

19

7.5

23.52

7.5

CARTELAe = 1"

CLAVOS 76mm.

Ø3.7mm.

Las uniones serán simétricas a ambos lados debido a la igualdad de las fuerzas

que influyen en la armadura.

EMPALMES La longitud libre (entre apoyos libres) de la armadura es de 10 metros, esta

longitud no puede obtenerse en el mercado por tanto es preciso empalmar piezas.

Los empalmes debilitan notoriamente a la estructura, por tanto su ubicación debe

corresponder a esfuerzos mínimos.

136.66 k 136.66 kBARRA 3

Para la barra # 3: clavos 387.2k 48

k 136.66 Clavos# →==

868868

7.5

23.

52

3.75

CLAVOS 76mm.

Ø3.7mm.CARTELA

e = 1"

DISEÑO DE VIGAS



A221

Según los resultados del análisis de la estructura vemos que las reacciones de los

apoyos de las armaduras son simétricos y valen:

H = 888.31 k

V = 492 k

Estas cargas serán transmitidas a las vigas de acuerdo se muestra en la figura:

APp

B

3.5 m

492 k 492 k492 k 492 k

1.17 m 1.17 m 1.17 m

El peso propio será: Pp = 700 k/m3 . 0.15 m . 0.225 m = 23.63 k/m è Pp=24 k/m

( ) cm 044.0

125.221575000384

35024.05IE384

Lq5f 3

44

1 =⋅⋅⋅

⋅⋅=⋅⋅

⋅⋅= ;

( ) cm 70.011743503

125.22510007524

117492)a4L(3IE24

aPf 223

222 =⋅−⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅=⋅−⋅⋅⋅

⋅=

cm 74.070.0044.0ff f 21T =+=+=


275L(cm)adf T ⇒<⇒===

72.174.027.1

ffC.Seg ad

f ===

DISEÑO DE COLUMNAS Para el cálculo de las reacciones que son transmitidas a las columnas por las

vigas no tomaremos en cuenta la incidencia de las armaduras de los extremos, ya

que estas serán sumadas posteriormente a la carga total que soporta la columna

025.35.32417.192434.2924V3.5 0M AA =⋅⋅−⋅−⋅−⋅⇒=∑

Ø b =15 cm

Ø h = 27.5 cm ESCUADRÍA:



A222

k535VV k 535V BAA ==⇒=

Por lo anteriormente dicho, vemos que una columna soportará las cargas tal como

se muestra en el siguiente esquema:

F = 535(2) + 492 = 1562 k

4.5

m

Para las columnas asumiremos una sección de 20x20.

Se tiene una esbeltez igual a : 45204502

dL

λ efect =⋅==

De la tabla 4.4 se saca el valor de Ck , que para una columna del Grupo B vale

18.34

18.34<λ<50, Entonces la columna es larga. Entonces la carga admisible para una columna larga será:

2admAE329.0N

λ⋅⋅=

kg07.4874452075000329.0N 2

2

adm =⋅⋅=

12.31562

07.4874NNC.Seg ad

f ===

Si bien la sección elegida parece estar sobredimensionada, la sección será la

mínima necesaria para que la esbeltez se encuentre dentro de los límites

anteriormente establecidos.

UNIÓN ARMADURA-VIGA Una posible tentativa de unión de la cercha y la viga sería el uso de planchas

metálicas y pernos, se prolongarán las planchas metálicas de las uniones de los

extremos (nudo 1 y nudo 4) para así poder lograr una unión efectiva que evite el

desplazamiento de la armadura.



A223




Interpolaremos los valores de L = 6.5 cm. y de L = 8.0 cm. Entonces:

P = 488 k

Q = 225 k



Q = 1.25 ٠۰225 = 281.25 k

Número de Pernos:


Para ubicar los pernos será necesario repartirlos de manera tal que los pernos de

la cuerda inferior mantenga las distancias mínimas según lo especifica el Manual

de Diseño para Maderas del Grupo Andino, en el diseño de la unión 1 sacamos

que la cantidad de pernos necesarios a usarse en la cuerda inferior sería de 1,

usando los 2 pernos sacados anteriormente tendríamos un total de 3 pernos en

total que serán repartidos según el siguiente esquema:

Cuerda Inf.à C/Q = 492 / 281.25= 1.75 ≈ 2 pernos



A224

PERNOSL = 17.5 cm.

Ø12"

PERNOSL = 10 cm.

Ø38"

e = 18"PLANCHA DE ACERO

10

20

105



A225

CAPÍTULO 7 PROYECTOS ESPECÍFICOS

PROYECTO #3: DISEÑO DE UN PUENTE PROVISIONAL Los puentes de madera para tráfico de camiones, por lo general se diseñan para

una vida útil no mayor a 5 años, y se emplean como ayuda en la construcción de

carreteras o vías férreas.

Geometría: ELEVACIÓN:

Pasamano

Poste

Estribos de HºCº

Vigas maestras

Luz total

Luz libre

A

SECCIÓN A-A

Poste y Pasamano

Entablado

Vigas maestras

Ancho de calzada



A226

Para las vigas maestras se aconseja lo siguiente:

• Sección llena (madera densa o compacta) cuando la luz libre L ≤ 7.5 metros

• Tipo cercha cuando la luz libre L ≤ 10 metros

El ancho de calzada depende del número de vías de tráfico:

• 1 vía : 4 metros

• 2 vías : 7.4 metros

• 3 vías : evitar que sea de madera

Viga maestra de sección llena.- Para puentes de dos vías de tráfico los reglamentos de diseño para puentes

exigen que el número de vigas sean por lo menos cinco. Para el proyecto se tiene

como datos la luz del puente, que es de 8 metros de largo, y 2 vías de tráfico, para

el cual se adopta la siguiente configuración de vigas:

1.48 m 1.48 m 1.48 m

7.4m

La separación entre vigas debe ser uniforme. Cuando las maestras son densas es

preferible que el tablero descanse directamente sobre las cabezas de las

maestras; en cambio cuando las maestras son de tipo cercha es buena práctica

construir viguetas transversales sobre las cerchas, y recién sobre estas viguetas

acomodar el tablero en la dirección del trafico.

Cargas.-

• Muertas Pesos propios.

• Vivas Dependen de los reglamentos específicos.

En Bolivia no existe un reglamento de diseño para puentes, por lo que se

acostumbra usar la norma AASTHO, AFNOR, NORMA ARGENTINA (adecuación

de la norma DIN), o los criterios racionales de diseño que pueda discernir el



A227

ingeniero. En todas las normas de diseño las cargas vivas están constituidas por

trenes móviles denominados: Camión Tipo.

Para el proyecto se asumirá como camión tipo HS20, que tiene la siguiente

configuración:

P1 P2 P2

4.3 m 6 m

Donde el peso por rueda del primer eje es P1:

• P1 = 3600/2 = 1800 k Donde el peso por rueda de los ejes traseros es P2:

• P2 = 14400/2 = 7200k Diseño de Tablero.-

Se escoge una madera del grupo A, en este caso el Quebracho. El esquema de

carga se muestra a continuación:

La carga muerta, que es una carga distribuida, se calcula predimensionando la

sección del tablero, y sumando el peso de una carpeta de rodadura.

Peso Propio:


hb ⋅⋅= γ pP El peso específico, y los esfuerzos admisibles del Quebracho son los

siguientes:

• Grupo A (Quebracho)

Ø b =30 cm


fadσ ↔ 210 k/cm2

τad ↔ 15 k/cm2

E ↔ 95000 k/cm2

fad ↔ 275(cm) L

γ ↔ 800 k/m3



A228

Entonces:

mk3615.030.0800P p =⋅⋅=

Carpeta de rodadura: Se coloca esta carpeta para que el entablado no este

afectado por la intemperie; el peso por metro

cuadrado de

ésta capa es de 50 k/m2 , entonces el peso por metro

de

entablado será:

mk15m3.0

mk50base

mk50 22 =⋅=⋅

El total de la carga muerta Cm será:

mk511524PPCm rp =+=+=

Posiciones más desfavorables de la carga viva:

POSICION DE CARGA VIVA 1:

POSICION DE CARGA VIVA 2:



A229

Para la influencia de la carga viva, debemos señalar que del esquema de cargas

graficado anteriormente, la posición 1 es la más desfavorable para la deformación

y la flexión, y la posición 2 es la más desfavorable para el cortante.

Primeramente se verificará si la sección asumida cumple a la deformación

admisible y a la flexión admisible, o sea con la posición 1. Para la obtención de

esfuerzos y de deformaciones se simulo una viga continua con 6 apoyos en el

programa SAP2000. Se introdujo la geometría, como se explicó en el tutorial del

SAP2000, el tipo de material (madera con un módulo de elasticidad de 95000

k/cm2), la sección asumida de 30 x 15 cm, y las cargas, tanto muerta como viva,

siendo esta última colocada para obtener los máximos valores de momento y

deformación, para 2 vías de tráfico. A continuación se puede ver gráficos de la

geometría, las cargas que inciden en el tablero, y los diagramas de momentos y

de deformación:

Posición 1.-

• Geometría:

• Carga Muerta Cm:



A230

• Carga viva Cv:

• Diagrama de Momentos y Momento Máximo:

• Deformada del entablado y Flecha Máxima:



A231

FLEXIÓN:

2max

f hbM6

σ⋅

⋅=

22f cm/k2.166

15301870006σ =⋅

⋅=


El coeficiente de seguridad a la flexión será:

3.12.166

210C.Segf

ff

ad ===σ

σ

FLECHA: La flecha admisible será:

cm54.0275148

275(cm) Ladf ===

La flecha que produce la carga, según la simulación estructural es 0.35 cm. Como este valor es menor al admisible, entonces cumple.


54.135.054.0C.Seg

f

fadf ===

Posición 2.-

• Carga Viva:



A232

• Reacciones en toneladas:

CORTE:

La sección crítica para el cortante máximo es en el extremo del tramo (cualquier

extremo), por tanto la reacción más grande hallada de la simulación estructural es

la que se debe usar para verificar al cortante. Como la reacción más grande es de

8.17 ton entonces:

fallacm

k15adτcm

k23.271530

817023

hbQ

23τ 22

max ⇒=>=⋅

⋅=⋅

⋅=

Entonces se decide aumentar el área de corte del apoyo, con el uso de un torna puntas, que es una placa de madera que se aumenta en el apoyo, y va entre el

tablero y la viga.

Entonces colocar un torna puntas de 20 cm de espesor:

cumplecmk15ad

cmk6.11

20)15(308170

23

22 ⇒=τ<=+⋅

⋅=τ

Por lo tanto usar para tablero sección de 30 x 15 cm, con torna puntas de 20 cm de espesor en los apoyos.



A233

DISEÑO DE VIGAS MAESTRAS.- Las vigas tendrán la longitud de la luz del puente, o sea 8 metros, lo primero que

se debe hallar serán los esfuerzos máximos moviendo el tren de cargas que se

muestra a continuación.

8.0 [m]

A B

Pp

4.3 [m]

1.8 t 7.2 t 7.2 t

6 [m]

Debido a la longitud del tren tipo que se muestra en la figura, la posición más

desfavorable para el momento y para la flecha será cuando una de las ruedas ya

sea la central o la trasera se encuentre al centro del tramo del puente.

8.0 [m]

A

4.3 [m] 6 [m]

B

Pp

1.8 t 7.2 t 7.2 t

NOTA 1.- Para las consideraciones de la carga viva, también se debería analizar la Carga Equivalente del tren tipo para posteriormente compararla con la línea de influencia del tren tipo. Un análisis más detallado se verá en la materia de puentes.

Para hacer el análisis correspondiente a las vigas primero debemos asumir una

escuadría:

Ø b =35 cm

Ø h ≈ de L/12 a L/10à 800/11 = 72.72 à 70 cm ESCUADRÍA:



A234

22 k22 k22 k22 k22 k22 k22 k22 k

7.2 t +0.022 t

A BA BBA

7.2 t


Pp = 800 k/m3 . 0.35 m . 0.70 m = 196 k/m è Pp= 196 k/m

El peso del tablero se determinará usando el área de influencia de una viga

maestra:

PT = 800 k/m3 . 1.48 m . 0.15 m = 177.6 k/m

El peso producido por la capa de rodadura es:

PC.R. = 50 k/m2 . 1.48 m = 74 k/m

Por lo tanto la carga muerta total será:

qTOTAL= (196+177.6+74) = 447.6 k/m

En este punto también se introducirá el efecto de los diafragmas para las

consideraciones de los esfuerzos. Los diafragmas podrán asegurar una acción

conjunta de las vigas, además de lograr un arriostramiento entre éstas.

Los diafragmas serán del mismo grupo estructural que las vigas y serán

distribuidos cada metro a lo largo del puente. La sección de los diafragmas será de

10cm x 10 cm. y una longitud de 1.35 metros. (Ver anexo capítulo VII).


Pdiafragma =2.800 k/m3 . 0.10 m . 0.10 m . 1.35 m = 21.6 k è Pdiafragma= 22 k

Entonces:

DEFORMACIÓN:

( ) cm 25.0

12703595000384

80047.45IE384

Lq5f

3

44

1 =⋅⋅⋅

⋅⋅=⋅⋅

⋅⋅= ;

( ) ( ) cm 822.0

127053950008384

80022485

1270530005984

0087200IEn384LP4n5

IE84LPf 3

32

3

332

231

2 =⋅⋅⋅⋅

⋅⋅−⋅+⋅⋅⋅

⋅=⋅⋅⋅⋅⋅−+

⋅⋅⋅=



A235

cm 072.1822.025.0ff f 21T =+=+=


275L(cm)adf T ⇒<⇒===

FLEXIÓN: La sección crítica para el momento máximo es el centro del

tramo por tanto debe situarse el tren de manera que la rueda central o

trasera quede al centro.

BA

7.2 t +0.022 t

22 k 22 k 22 k 22 k 22 k 22 k 22 k 22 k

( ) 0V887654321227200448 6.447 0M BA =⋅−+++++++⋅+⋅+⋅⋅⇒=∑

k 4.5489VV k 4.5489V BAB ==⇒=

3)-x(222)-x(221)-x(22x)(222x447.6-x89.4452

4x0M ⋅−⋅−⋅−⋅−⋅⋅=

<<

2max

f hbM6

σ⋅

⋅=

BIENadk/cm52.630753

18156806σ f2

2f ⇒<=⋅

⋅= σ

NOTA 2.- Para las consideraciones del momento y cortante producido por la carga viva, se deberá multiplicar por la fracción de carga correspondiente a un puente sobre vigas de madera. Un análisis más detallado se verá en la materia de puentes.

CORTE: La sección crítica para el cortante máximo es en el extremo del tramo (cualquier

extremo), por tanto el tren de cargas debe situarse:

18156.8 k٠۰m 0 k٠۰m



A236

22 k 22 k22 k22 k22 k22 k22 k22 k

7.2 t +0.022 t

A B

0V8)87654321(22486.447 0M BA =⋅−+++++++⋅+⋅⋅⇒=∑

k 4.1889VB =

048447.6-1)234567(822-20078-V8 A =⋅⋅+++++++⋅⋅⋅

MAXA Qk 4.9089V ⇒=

hbQ

23τ max

⋅⋅= → BIENadk/cm565.5

07354.9089

23 2 ⇒<=

⋅⋅= ττ

La escuadría de la basa seleccionada es muy difícil de conseguir en el aserradero,

por tanto la construiremos utilizando un acoplamiento de dos vigas de sección

cuadrangular:

Sustituyendo los valores referenciales obtenemos:

cm. 5.32070

20-15he cm; 683.5

1270

20-12ht ===≅===

SIEMPRE! e tcm; 3065t5a >=⋅=⋅≥

cm 75.3"211φ cm 5.3

1035

10bφ pp ==⇒===

k 400863540tbσT ; k/cm )5030(σ a12

maderaaplast =⋅⋅=⋅⋅=−≅

f4φπµ ;AfµT s

2

ps2 ⋅⋅⋅⇔⋅⋅=

dulce) (Acero k/cm )1200800(f 0.6);-(0.5µ 2s −==

k 4417008475.3π 5.0T

2

2 =⋅⋅⋅=

k 63.239075.3170φ170T 223 =⋅=⋅=



A237

63.15207TTTT 321 =++=

Como dijimos antes es preferible usar la fuerza T1 para sacar el número de cuñas:

cm 67.467032h

32Z =⋅=⋅=

Ahora necesitamos determinar el momento máximo, para esto tomaremos la

posición más desfavorable del tren de carga. Entonces la fuerza horizontal será:

k 65.3890467.46

1008.18156MH MAX =×==Z

5n 63.48400

65.38904THn

1

=⇒===

Colocado de cuñas:



A238

22 k 22 k 22 k 22 k 22 k 22 k 22 k22 k

7.2 t + 0.022 t

5489.4 k14984 k·m

18156.8 k·m

3611 k

3611 k

CORTANTE

5489.4 k

MOMENTO

5992 k·m

2996 k·m

5489.4 k

5489.4 k

11988 k·m

8992 k·m

A B

Ubicación aproximada de las cuñas:

Cuña #1: 88 cm. del lado izquierdo






Las demás cuñas serán simétricas a las anteriores. Los pernos se colocarán al

centro de 2 cuñas adyacentes y serán de 1 ½”.



A239

Diseño por Resistencia o LRFD (Load and Resistance Factor Design).- El término LRFD (Load and Resistance Factor Design), que en español se traduce

a: Diseño por Factores de Carga y Resistencia, en los cuales sobresalen los

términos:

Resistencia, que se refiere a la capacidad de cada miembro estructural, como por

ejemplo la resistencia a los momentos, resistencia a la tensión, etc. Dichas

resistencias están tabuladas y se encuentran en los anexos de la norma, junto con

los factores de resistencia.

Esfuerzos, que se refiere a valores de la propiedades del material; los valores de

resistencia que maneja la norma LRFD son equivalentes a los valores de las

tensiones admisibles.

En ASD los niveles de tensiones permisibles son muy bajos, y las magnitudes de

las cargas están fijadas solo para niveles de servicio. Esta combinación produce

diseños que se mantienen en niveles de seguridad altos y que permanecen

económicamente factibles.

Desde el punto de vista del ingeniero el proceso de diseño del LRFD es similar al

ASD. La diferencia más obvia entre LRFD y ASD es que los valores de la

resistencia y los efectos producidos por las cargas en LRFD son numéricamente

más grandes que en ASD, ya que estos son muy próximos a magnitudes halladas

en muchos ensayos, y no reducen de manera significativa el coeficiente de

seguridad interno. Los efectos de las cargas son más grandes a causa de que

ellas son multiplicadas por los factores de carga que están en el rango de 1.2 a

1.6.

En el método de los esfuerzos admisibles, estas cargas de servicio se usan

directamente, mientras en el método de las resistencias se modifican

multiplicándolas por un factor de carga para producir una carga de diseño llamada

carga factorizada.

El segundo paso en el proceso de diseño, es el de evaluar la respuesta en la

estructura al tipo de carga, y, en especial, a la magnitud de carga requerida

determinada. En el método de los esfuerzos admisibles, esta evaluación consiste

en cierta forma de análisis de esfuerzos. En el método de la resistencia, la

evaluación se hace para establecer la condición límite (resistencia última) para la



A240

estructura según el tipo de carga. Para responder a las diferentes condiciones esta

resistencia limitante se multiplica por un factor de resistencia para usarse en el

diseño.

Cargas factorizadas.- Las cargas que actúan sobre las estructuras provienen de

diferentes fuentes, las primarias son la gravedad, el viento y los sismos. Para

usarse en el análisis o en el trabajo de diseño, las cargas deben, primero,

identificarse, medirse y cuantificarse de alguna manera y, luego, factorizarse (para

el método de la resistencia). En la mayoría de las situaciones, también deben

combinarse en todas las maneras posibles que sean estadísticamente probables,

lo que a menudo produce más de una condición de carga para el diseño.

El “Uniform Building Code” (Reglamento de Construcciones Uniformizadas)

requiere la combinación de las siguientes combinaciones de condiciones mínimas

para cualquier estructura:

1. Carga muerta + carga viva de piso + carga viva de techo(o nieve).

2. Carga muerta + carga viva de piso + carga de viento (o sismo).

3. Carga muerta + carga viva de piso + carga de viento + carga de nieve/2.

4. Carga muerta + carga viva de piso + carga de nieve + carga de viento/2.

5. Carga muerta + carga viva de piso + carga de nieve + carga sísmica.

Esto no es todo para muchas estructuras, debido a problemas especiales. Por

ejemplo, la estabilidad de un muro sometido a fuerza cortante es crítica para una

combinación de carga muerta y carga lateral (viento o sismo). Las condiciones de

esfuerzo a largo plazo o los efectos de la deformación plástica por fatiga del

concreto con solo carga muerta como una condición de carga permanente. Al final

debe prevalecer un buen juicio de diseño del ingeniero para concebir las

combinaciones realmente necesarias.

Una sola combinación de carga prevalece para la consideración del efecto máximo

sobre una estructura dada. Sin embargo, en estructuras complejas (armaduras,

arcos de edificio resistentes a los momentos, etc.) los miembros individuales por

separado se diseñan para diferentes combinaciones de carga crítica. Si bien la

combinación crítica para estructuras simples algunas veces se percibe con

facilidad, otras es necesario el realizar análisis completos para muchas



A241

combinaciones y luego comparar los resultados en detalle para evaluar las

verdaderas condiciones de diseño.

Los factores para el método de las resistencias se aplican individualmente a los

diferentes tipos de carga (muerta, viva, viento, etc.). Esto contribuye a la

complejidad, ya que también es posible hacerlos variar en combinaciones

diferentes. En una estructura compleja e indeterminada, esto puede conducir a

una montaña de cálculos para el análisis completo de todas las combinaciones.

Las combinaciones de carga para ser usadas en diseño LRFD 1996:

D4.1 ⋅

)RoSoL(5.0L6.1D2.1 r+⋅+⋅

)W8.0oL(5.0)RoSoL(6.1D2.1 r ⋅++⋅

)RoSoL(5.0L5.0W3.1D2.1 r+⋅+⋅+⋅

S2.0L5.0E0.1D2.1 ⋅+⋅+⋅+⋅

)E0.1oW3.1(D9.0 ⋅⋅−⋅

Donde:

D : Carga muerta.

L : Carga viva causada por almacenamiento, ocupación o impacto.

Lr : Carga viva de techo.

S : Carga de nieve.

R : Carga causada por agua de lluvia o hielo.

W : Carga de viento.

E : Carga de Sismo.

Los factores de carga dadas en las anteriores ecuaciones intentan proveer un

nivel consistente de fiabilidad para un rango de valores de diferentes tipos de

carga.

Factores de resistencia.- La factorización (modificación) de las cargas es una

forma de ajuste para el control de la seguridad en el diseño por resistencia. El

segundo ajuste básico esta en modificar la resistencia cuantificada de la

estructura. Esto conduce a determinar primero su resistencia en algunos términos



A242

(resistencia a la compresión, capacidad de momento, límite de pandeo, etc.), y

luego reducirla en algún porcentaje. La reducción (el factor de resistencia) se basa

en diferentes consideraciones, incluyendo el interés por la confiabilidad de las

teorías, el control de la calidad de producción, la capacidad de predecir

comportamientos con precisión, etc.

Normalmente, el diseño por resistencia consiste en comparar la carga factorizada

(la carga incrementada en cierto porcentaje) con la resistencia factorizada (la

resistencia reducida en cierto porcentaje) de la estructura sometida a cargas. Así,

aunque los factores de carga puedan parecer bajos en algunos casos, la

aplicación de los factores de resistencia conducen hasta un cierto punto a una

magnificación del nivel de porcentaje de seguridad.

Para proveer flexibilidad adicional y alcanzar una fiabilidad consistente a través de

un rango para las aplicaciones de los productos, los factores de resistencias son

aplicados a los valores referenciales de resistencias. Los factores de resistencia

(Φ) son siempre menores a la unidad. La magnitud de los factores de resistencia

representa una reducción relativa requerida para lograr niveles de fiabilidad

comparables.

Según la norma LRFD los factores de resistencia para productos basados en

madera y conexiones son:

Compresión: Φc = 0.90

Flexión: Φt = 0.85

Estabilidad: Φs = 0.85

Tensión: Φt = 0.80

Corte / Torsión: Φv = 0.75

Conexiones: Φz = 0.65

Factores de efecto del tiempo.-

Los factores de efecto del tiempo (λ) de la norma LRFD es el equivalente al factor

de duración de la carga en ASD. Los factores de efecto del tiempo están tabulados

en la tabla 1.4-2 de la norma LRFD para cada ecuación de combinación de carga.

Estos factores fueron hallados en base al análisis de fiabilidad que consideraban

la variación de las propiedades resistentes de esfuerzos, según procesos de



A243

modelación de cargas estocásticas y efectos de deterioro acumulado. Debido a

que los esfuerzos referenciales están basados en ensayos con aplicación de

cargas con duración corta, los factores de efecto del tiempo son iguales a la

unidad para combinaciones de carga en los cuales no ocurre una acumulación de

deterioro. Los factores de efecto del tiempo están en el rango de 1.25 para

combinaciones de carga en las que predominan las cargas de impacto, hasta 0.6

para combinaciones de carga en las que predominan la carga muerta.

Limites de servicio.- En adición del diseño de edificaciones por los estados límites de esfuerzos, los

diseñadores deben de determinar los estados límites de servicio considerados

para una aplicación dada. Los limites de servicio usados mas comúnmente en el

típico diseño de edificaciones compuestas por barras de madera es la limitación

de la deflexión para miembros que componen la cobertura de cada piso o nivel.

Los códigos de construcción han definido tradicionalmente estos límites como una

fracción de la longitud del miembro a analizar. Por ejemplo el límite de L/360 para

una solicitación de carga viva, o L/240 para una solicitación de la carga total es

común para analizar los pisos de un edificio.

Mientras los límites tradicionales de deflexión estática fueron originalmente

desarrollados para limitar la rotura de los materiales de acabado con

características quebradizas, estos valores también sirven igualmente en

aplicaciones de luces cortas para reducir los problemas de vibración. Como el

diseño de productos de madera también envuelven elementos de grandes luces

con miembros de pesos ligeros, se ha puesto común para los fabricantes

recomendar un criterio de deflexión más severo.



A244

ESCUADRIAS COMERCIALES DE MADERA SEGÚN NORMA DEL PACTO

ANDINO

La siguiente tabla es la unión de dos tablas que se encuentran en la página 3-4 y

3-5 de la mencionada norma:

Las dimensiones reales son las que deben utilizarse para el diseño, y las

comerciales a la hora de la compra.

4 * 144 * 16.54 * 194 * 24

Equivalente Comercialb*h (pulgadas)

4 * 44 * 6.5

Dimension Realb*h (cm)

6.5 * 6.56.5 * 9

2 * 32 * 42 * 62 * 72 * 82 * 103 * 3

4 * 9

9 * 99 * 149 * 199 * 24

6 * 86 * 10

9 * 2914 * 1414 * 1914 * 24

6 * 12

2 * 2

14 * 29

3 * 4 4 * 44 * 64 * 84 * 104 * 126 * 6

Uso mas frecuente

Pie-derechos

Pie-derechos,viguetas

Pie-derechos,viguetas,columnas

Viguetas,vigas

Viguetas,vigas

Viguetas,vigas

Viguetas,vigas

Columnas

Columnas,vigas

Columnas

Columnas,vigas

Vigas,columnas

Vigas

Vigas

Vigas

Vigas

Vigas

Columnas



A245

Mad

. Dur

aM

ad. S

emid

ura

Mad

. Bla

nda

Mad

. Dur

aM

ad. S

emid

ura

Mad

. Bla

nda

BsBs

BsBs

BsBs

1 m

3.3

1313

91

m2.

7811

107

1.5

m5

2019

131.

5 m

4.17

1715

112

m7

2827

192

m5.

5622

2015

2.5

m8.

333

3228

2.5

m6.

9528

2519

3 m

1044

3933

3 m

8.33

3732

283.

5 m

11.7

5145

393.

5 m

9.72

4337

324

m13

.359

5144

4 m

11.1

149

4337

4.5

m15

6658

504.

5 m

12.5

5548

425

m17

7565

575

m14

6254

475.

5 m

18.3

8170

615.

5 m

15.2

867

5951

6 m

2088

7767

6 m

1775

6557

6.5

m22

121

109

856.

5 m

18.5

102

9271

7 m

23.3

128

115

907

m19

.510

797

757.

5 m

2513

812

496

7.5

m21

116

104

81

Mad

. Dur

aM

ad. S

emid

ura

Mad

. Bla

nda

Mad

. Dur

aM

ad. S

emid

ura

Mad

. Bla

nda

BsBs

BsBs

BsBs

1 m

28

85

1 m

1.7

77

51.

5 m

3.5

1413

91.

5 m

2.5

1010

72

m4.

719

1813

2 m

3.5

1413

92.

5 m

5.6

2222

152.

5 m

4.2

1716

113

m6.

729

2622

3 m

522

1917

3.5

m8

3531

273.

5 m

626

2320

4 m

8.9

3934

304

m6.

729

2622

4.5

m10

4439

334.

5 m

7.5

3329

255

m11

.551

4438

5 m

8.5

3733

285.

5 m

12.3

5447

415.

5 m

9.2

4035

316

m13

.559

5245

6 m

1044

3933

6.5

m14

.781

7357

6.5

m11

6154

427

m15

.686

7760

7 m

11.7

6458

457.

5 m

16.7

9283

647.

5 m

12.5

6962

48

Med

idas

p2

Med

idas

p2

TABL

A DE

VIG

AS

Med

idas

p2

Med

idas

p2

62×

52×

42×

32×

Fuente.-‐Aserradero La Fuente



A246



A247

V

R

Momento

Mmax

L2

V

Corte

RL2

L

x

q

a+R1q

Corte

Mmax

Momento

V1

R1

V2

R2

x

a

L

cb

q

Viga Simplemente Apoyada – Carga Uniformemente Distribuida

2LqVR ⋅==

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −= x2LqVx

8LqM2

max⋅=

)xL(2xqMx −⋅=

IE384Lq5)centroelen(f4

max ⋅⋅⋅⋅=

)xxL2L(IE24

xqf 323x +⋅⋅−

⋅⋅⋅=

Viga Simplemente Apoyada – Carga Uniforme Parcialmente Distribuida

)bc2(L2bq)cacuando.(maxVR 11 +⋅⋅⋅=<=

)ba2(L2bq)cacuando.(maxVR 22 +⋅⋅⋅=>=

)ax(qR))ba(yacuandox(V 1X −−=+<>

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

+=+=q2RaR)

qRaxpara(M 1

11

max

xR)axcuando(M 1x ⋅=<



A248

Corte

Momento

Mmax

R1q

R1

V1

R2

V2

L

a

x

q

21x )ax(

2qxR))ba(yaxcuando(M −−⋅=+<>

)xL(R))ba(xcuando(M 2x −=+>

Viga Simplemente Apoyada – Carga Uniforme Parcialmente Distribuida En Un Extremo

)aL2(L2aqVR 11 −⋅⋅⋅==

L2aqVR2

22 ⋅⋅==

xqR)axcuando(V 1x ⋅−=<

q2R

qR

xparaM211

max ⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2xqxR)axcuando(M2

1x⋅−⋅=<

)xL(R)axcuando(M 2x −=>

)xL)aL2(xa2)aL2(a(LIE24

xq)axcuando(f 3222x ⋅+−⋅−−

⋅⋅⋅=<

)a2xL(4xLI24Ex)(Laqa)x(cuandof 22

2

x −−⋅⋅⋅−⋅=>



A249

R1/q1

Mmax

R1

V1

Momento

Corte

V2

R2

a

x

L

cb

q1 q2

q

L

Mmax

Momento

R1

V1

L3

Corte

R2

V2

x

Viga Simplemente Apoyada – Carga Uniforme Parcialmente Distribuida En Cada Extremo

L2cq)aL2(aq

VR2

2111 ⋅

⋅+−⋅⋅==

L2aq)cL2(cq

VR2

1222 ⋅

⋅+−⋅⋅==

xqR)axcuando(V 11x ⋅−=<

aqR))ba(yaxcuando(V 11x ⋅−=+<>

)xL(qR))ba(xcuando(V 22x −−=+>

1

21

111

1max q2

R)aqRcuandoqR

xpara(M⋅

=⋅<=

2

22

222

2max q2

R)cqRcuandoqR

Lxpara(M⋅

=⋅<−=

2xq

xR)axcuando(M2

11x

⋅−⋅=<

)ax2(2aqxR))ba(yaxcuando(M 1

1x −⋅⋅−⋅=+<>

2)xL(q

)xL(R))ba(xcuando(M2

22x

−−−=+>

Viga Simplemente Apoyada – Carga Aumentando Uniformemente Desde Cero Hasta “q”; De Un Extremo A Otro.

En estas ecuaciones: 2LqW ⋅=

3WVR 11 ==

3W2VR 22⋅==

2

2

x LxW

3WV ⋅−=

39LW2

3LxparaMmax ⋅

⋅⋅=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ =



A250

L

L/2

Corte

Momento

Mmax

R

V

L/2

R

V

x q

x

L

L/2

Mmax

R

Corte

V

R

L/2

V

P

Momento

)xL(L3xWM 222x −

⋅⋅=

IELW01304.0

1581Lxparaf

3

max ⋅⋅=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=

)L7xL10x3(LIE180

xWf 42242x ⋅+⋅⋅−⋅

⋅⋅⋅⋅=

Viga Simplemente Apoyada – Carga Aumentando Desde Cero Uniformemente Hasta “q”; Desde Ambos Extremos Al Centro.

En estas ecuaciones: 2LqW ⋅=

2WVR ==

)x4L(L2W

2LxcuandoV 22

2x ⋅−⋅

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ <

6LW)centroelen(Mmax⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅⋅−⋅=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ < 2

2

x L3x2

21xW

2LxcuandoM

IE60LW)centroelen(f3

max ⋅⋅⋅=

2222x )x4L5(LIE480

xWf ⋅−⋅⋅⋅⋅

⋅=

Viga Simplemente Apoyada – Carga Concentrada En El Centro De La Viga

2PVR ==

4LP)Pdeaplicaciondepuntoelen(Mmax⋅=



A251

L

x

b

Momento

Mmax

a

R1

V1

Corte

R2

V2

P

2xP

2LxcuandoMx

⋅=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ <

IE48LP)Pdeaplicaciondepuntoelen(f3

max ⋅⋅⋅=

)x4L3(IE48

xP2Lxcuandof 22

x ⋅−⋅⋅⋅

⋅=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ <

Viga Simplemente Apoyada – Carga Concentrada En Cualquier Punto De La

Viga

LbP)bacuando.(maxVR 11⋅=<=

LaP)bacuando.(maxVR 22⋅=>=

LbaPPdeaplicaciondepuntoelenM ⋅⋅=)(max `

LxbP)axcuando(Mx⋅⋅=<



A252

L

x

R

Mmax

V

Momento

a

Corte

a

R

V

P P

LIE27)b2a(a3)b2a(baP

bacuando3

)b2a(axenfmax ⋅⋅++⋅⋅

=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛>+=

LIE3baP)Pdeaplicaciondepuntoelen(f22

a ⋅⋅⋅⋅⋅=

)xbL(LIE6xbP)axcuando(f 222

x −−⋅⋅⋅⋅⋅=<

)axxL2(LIE6)xL(aP)axcuando(f 22

x −−⋅⋅⋅⋅⋅−⋅=>

Viga Simplemente Apoyada – Dos Cargas Concentradas Iguales, Ubicadas Simétricamente Respecto A Los Extremos

PVR ==

aP)asargclasentreubicado(Mmax ⋅=

xP)axcuando(Mx ⋅=<

)a4L3(IE24

aP)centroelenubicado(f 22max ⋅−⋅

⋅⋅⋅=

)xa3aL3(IE6xP)axcuando(f 22

x −⋅−⋅⋅⋅⋅

⋅=<

)ax3xL3(IE6aP))aL(yaxcuando(f 22

x −⋅−⋅⋅⋅⋅

⋅=−<>



A253

x

L

a

M1

Momento

R1

V1

M2

b

Corte

R2

V2

P P

L

Corte

Momento

x

M1

R1

a

V1

P1

M2

R2

b

V2

P2

Viga Simplemente Apoyada – Dos Cargas Concentradas Iguales, Ubicadas Asimétricamente Respecto A Los Extremos

)baL(LP)bacuando(maxVR 11 +−=<=

)abL(LP)bacuando(maxVR 22 +−=>=

)ab(LP))bL(yaxcuando(Vx −=−<>

aR)bacuando(maxM 11 ⋅=>

bR)bacuando(maxM 22 ⋅=<


)ax(PxR))bL(yaxcuando(M 11 −−⋅=−<>

Viga Simplemente Apoyada – Dos Cargas Concentradas No Iguales, Ubicadas Asimétricamente Respecto A Los Extremos

LbP)aL(P

VR 2111

⋅+−==

L)bL(PaP

VR 2122

−+⋅==

111 PR))bL(yaxcuando(V −=−<>

aR)PRcuando(maxM 1111 ⋅=<

bR)PRcuando(maxM 2222 ⋅=<



A254

MomentoMmax

Corte

R

V

x

L

q


)ax(PxR))bL(yaxcuando(M 11x −−⋅=−<>

Viga En Voladizo – Carga Uniformemente Distribuida

LqVR ⋅==

xqVx ⋅=

2Lq)empotradoextremoen(M2

max⋅=

2xqM2

x⋅=

IE8Lq)libreextremoen(f4

max ⋅⋅⋅=

)L3xL4x(IE24

qf 434x ⋅+⋅⋅−

⋅⋅=



A255

MomentoMmax

Corte

R

V

L

P

x

a

Corte

MomentoMmax

b

R

V

x

L

P

Viga En Voladizo – Carga Concentrada En El Extremo Libre

PVR ==

LP)empotradoextremoen(Mmax ⋅=

xPMx ⋅=

IE3LP)libreextremoen(f3

max ⋅⋅⋅=

)xxL3L2(IE6

Pf 323x +⋅⋅−⋅

⋅⋅=

Viga En Voladizo – Carga Concentrada En Cualquier Punto De La Viga

PVR ==

bP)empotradoextremoen(Mmax ⋅=

)ax(P)axcuando(Mx −=>

)bL3(IE6

bP)libreextremoen(f2

max −⋅⋅⋅

⋅=

IE3bP)Pdeaplicaciondepuntoelen(f3

a ⋅⋅⋅=



A256

L

(3/8)L

M1

Momento

V1

R1

Corte

q

x

Mmax

L/4

R2

V2

)bx3L3(IE6

bP)axcuando(f2

x −⋅−⋅⋅⋅

⋅=<

)xLb3(IE6)xL(P)axcuando(f2

x +−⋅⋅⋅−⋅=>

Viga Empotrada Apoyada– Carga Uniformemente Distribuida

8Lq3VR 11⋅⋅== ;

8Lq5VR 22⋅⋅==

xqRV 1x ⋅−=

8LqM2

max⋅=

21 Lq

1289L

83xenM ⋅⋅=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅=

2xqxRM2

1x⋅−⋅=

IE185Lq331(

16Lxenf

4

max ⋅⋅⋅=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +⋅=

)x2xL3L(IE48

xqf 323x ⋅+⋅⋅−

⋅⋅⋅=

Viga Empotrada Apoyada– Carga Concentrada En El Centro De La Viga



A257

(3/11)L

R2

Mmax

M1

Momento

L/2

V1

Corte

R1

L/2

V2

L

xP

M1

Momento

RPa2

M2

R2

a

x

L

Corte

V

R1b

V

P

16P5VR 11⋅== ;

16P11VR 22⋅==

16LP3)empotradoextremoen(Mmax⋅⋅=

32LP5)Pdeaplicaciondepuntoelen(M1⋅⋅=

16xP5)

2Lxcuando(Mx

⋅⋅=<

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅−=>

16x11

2LP)

2Lxcuando(Mx

5IE48LP

51Lxenf

3

max ⋅⋅⋅⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

IE768LP7)Pdeaplicaciondepuntoelen(f3

p ⋅⋅⋅⋅=

)x5L3(IE96

xP)2Lxcuando(f 22

x ⋅−⋅⋅⋅

⋅=<

)L2x11()Lx(IE96

P)2Lxcuando(f 2

x ⋅−⋅−⋅⋅

=>

Viga Empotrada En Un Extremo Y Apoyada En El Otro – Carga Puntual En Cualquier Punto

( )L2aL2bPVR 3

2

11 ⋅+⋅⋅⋅== ; ( )22

322 aL3L2aPVR −⋅⋅

⋅⋅==

aRcarga)depuntoel(EnM 11 ⋅=

L)(aL2baPempotrado)extremoelM2(En 2 +

⋅⋅⋅=

xRa)x(CuandoM 1x ⋅=<

a)(xPxRa)x(CuandoM 1x −⋅−⋅=>

222

322

22

22

max )aL(3)a(L

IE3aP)

aL3aLLxenL0.414a(Cuandof

−⋅−

⋅⋅⋅=

−⋅+⋅=⋅<



A46

L

) (1 - LaL2

M1

Momento

2

L2(1 - aL )

Corte

V1

2

x

R1

2

q(L+a)

V3

M2

a

V2

R2

x1

aL2a

IE6baP)

aL2aLxen0.414La(Cuandof

2

max +⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=

+⋅⋅=>

a)(3LLIE12baPcarga)depuntoel(Enf 3

32

a +⋅⋅⋅⋅⋅=

)ax2Lx(3aLLIE12xbPa)x(Cuandof 2223

2

x −−⋅⋅⋅⋅⋅=<

L)2axax(3Lx)(LLIE12

aPa)x(Cuandof 22223x −−−

⋅⋅⋅⋅=>

Viga Apoyada Con Volado A Un Extremo-Carga Uniformemente Distribuida

)a(LL2qVR 22

11 −⋅

== ; 2322 a)(L

L2qVVR +⋅

=+=

)a(LL2qV 22

3 +⋅

= : aqV2 ⋅=

xqRapoyos)(EntreV 1x ⋅−=

)x(aqvolado)el(ParaV 11x −⋅=

2222

2

1 a)(La)(L8Lq)

La1

2Lx(EnM −⋅+⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅=

2aq)R(EnM2

22⋅=

L)xa(L2Lxqapoyos)(EntreM 22

x ⋅−−⋅=

21x )x(a

2qvolado)el(ParaM

1−=

)x2aL2aLxx2L(LLIE24

xqapoyos)(Entref 22223224x +−+−

⋅⋅⋅⋅=

)x4axx6aLL(4aIE24

xqvolado)el(Paraf 3

1211

23211x +−+−

⋅⋅⋅

=

Viga Apoyada Con Volado A Un Extremo – Carga Uniforme Al Extremo Del Volado



A47

MomentoMmáx

x

L

Corte

V1

R1

a

x1

R2

q·a

V2

R1

V1

MomentoMmáx

L

Corte

x

V2

x1

a

R2

P

L2aqVR2

11 ⋅⋅==

a)L(2L2aqVVR 212 +⋅⋅⋅=+=

aqV2 ⋅=


2aq)R(EnM2

2max⋅=

2Lxaqapoyos)(EntreM

2

x⋅⋅=

21x )x(a

2qvolado)el(ParaM

1−=

IE318Laq)

3Lxenapoyos(Entref

22

max ⋅⋅⋅⋅==

a)3(4LIE24

aqa)xenvoladoel(Paraf3

1max +⋅⋅

⋅==

)x(LLIE12xaqapoyos)(Entref 22

2

x −⋅⋅⋅⋅⋅=

)x4axx6aL(4aIE24

xqvolado)el(Paraf 3

1211

221x +−+

⋅⋅⋅

=

Viga Apoyada Con Volado A Un Extremo-Carga Puntual Al Extremo del Volado

LaPVR 11⋅== ; a)(L

LPVVR 212 +=+=

PV2 =

aP)R(EnM 2max ⋅=

LxaPapoyos)(EntreMx⋅⋅=

)xP(avolado)el(ParaM 1x1−=



A48

V2

x1

L

Mmax

a

Corte

V1

R1

Momento

b

R2

x P

IE39LaP)

3Lxenapoyos(Entref

2

max ⋅⋅⋅⋅==

a)(LIE3

aPa)xenvoladoel(Paraf2

1max +⋅⋅

⋅==

)x(LLIE6xaPapoyos)(Entref 22

x −⋅⋅⋅⋅⋅=

)x3ax(2aLIE6

xPvolado)el(Paraf 2

111

x −+⋅⋅

⋅=

Viga Apoyada Con Volado A Un Extremo – Carga Puntual en Cualquier Punto Entre Apoyos

LbPb)a cuando(max VR 11⋅=<=

LbaPcarga) de punto el(EnMmax⋅⋅=

LxbPa) x(CuandoMx⋅⋅=<

LIE272b)(a3a2b)Pab(a

b)a cuando 3

2b)a(ax(Enf max ⋅⋅⋅

+⋅⋅+=>

+=

LIE3baPcarga) de punto el(En f

22

a ⋅⋅⋅⋅⋅=

)xb(LLIE6

xbPa) x(Cuandof 222x −−

⋅⋅⋅⋅⋅=<

)axxL(2LIE6x)(aPa) x(Cuandof 22

x −−⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅=> L

a)(LLIE6xbaP

f 1x1

+⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=

Viga Con Volado En Ambos Extremos –Volados Diferentes - Carga

Uniformemente Distribuida

LaPb)a cuandomax (VR 22⋅=>=



A49

L

b

M1

a

V2

M1Mx1

V1

x

Momento

x1

Corte

R1

q·L

c

M2

V3

V4

R2

2c)(Lb2LqR1 −⋅⋅= ; 2a)-(L

b2LqR 2 ⋅⋅

=

aqV1 ⋅= ; 112 VRV −=

423 VRV −= : cqV4 ⋅=

)xq(aRL) x(CuandoV 11x +−=<

111x xq-Vvolado)el(ParaV ⋅=

cq-Rc)a (CuandoV 2m ⋅=<



0.2113L

M1

xL

V

L2

R

Mmax

V

Momento

L2

Corte

q

R

Mmax

L2

L4

Momento

Corte

L2

V

Mmax

V

L

x

R

P

R

2aq-M2

1⋅

= ; 2cqM2

2⋅−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= a

2qR

RM 113

2x)q(axRa)-

qR

xcuando(max M2

11

x+−⋅==

Viga Empotrada En Ambos Extremos – Carga Uniformemente Distribuida

2LqVR ⋅==

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −⋅= x2LqVx

12Lqextremos) los(en M

2

max⋅=

24Lqcentro) (AlM

2

1⋅=

( )22x 6xL6Lx12qM −−=

IELq⋅⋅

⋅=384

centro) fmax(Al4

22

x x)(LIE24

xqf −⋅⋅

⋅=

Viga Empotrada En Ambos Extremos – Carga Puntual En El Centro



M2

V2

R

Corte

M1

V1

Ma

Momento

a

L

x

R

b

P

2PVR ==

8LPextremos) losen y centro (AlMmax⋅=

( )L4x8P)

2L xCuando(Mx −=<

IELP⋅⋅

⋅=192

centro) fmax(Al3

x)4(3LIE84

xP)2L xCuando(f

2

x −⋅⋅

⋅=<

Viga Empotrada En Ambos Extremos – Carga Puntual En Cualquier Punto

b)(3aL

bPb)a cuando(max VR 3

2

11 +⋅=<=

b)3(aL

aPb)a cuando(max VR 3

2

22 +⋅=>=

2

2

1 LbaPb)a cuando(max M ⋅⋅=<

2

2

2 LbaPb)a cuando(max M ⋅⋅=>

3

22

a LbaP2carga) de punto el(En M ⋅⋅⋅=



Mmax

L

Momento

7L16

V1

M1

Corte V2

L

x

R1

q·L

R2

V3

R3

Mmax

Momento

L2

L

V1

R1

Corte

M1

V2

V3

L

L2

P

R2 R3

2

2

1x LbaPxRa) x(CuandoM ⋅⋅−⋅=<

2

23

max b)(3aIE3b2Pa)

b3aLa2en x ba (Cuandof

+⋅⋅⋅=

+⋅⋅=>

3

33

a LIE3baPcarga) de punto el(En f⋅⋅⋅⋅⋅=

bx)3ax(3aLLIE6

xbPa) x(Cuandof 3

22

x −−⋅⋅⋅⋅⋅=<

Viga Continua – Dos Tramos Iguales – Carga Distribuida Uniformemente En Un

Tramo

Lq167VR 11 ⋅⋅==

Lq85VVR 322 ⋅⋅=+=

Lq161VR 33 ⋅⋅−==

Lq169V2 ⋅⋅=

2Lq51249)

167Mmax(En x ⋅⋅=⋅= L

221 Lq

161)R apoyo el(En M ⋅⋅=

8x)(7L16

xqL) x(CuandoMx −⋅=<

Viga Continua – Dos Tramos Iguales – Carga Puntual Al Centro De Un

Tramo



L

Momento

Mmax

V1

M1

V2 Corte

L

a

R1

b

R2

P

V3

R3

P3213VR 11 ⋅==

P1611VVR 322 ⋅=+=

P323VR 33 ⋅−==

P3219V2 ⋅=

LP6413carga) de punto elMmax(En ⋅⋅=

LP323)R apoyo el(En M 21 ⋅⋅=

Viga Continua – Dos Tramos Iguales – Carga Puntual En Cualquier Punto De Un Tramo

a))a(L(4LL4bPVR 2311 +−

⋅⋅==

a))b(L(2LL2aPVVR 23322 +−

⋅⋅=+=

a)(LL4baPVR 333 +

⋅⋅⋅−==

a))b(L(4LL4aPV 232 ++

⋅⋅=

a))(La(4LL4

baPcarga) de punto elMmax(En 23 +⋅−

⋅⋅⋅=



q·Lq·L

v3

M2

MomentoM1

V2

R2

L

Corte

V1

R1

V2

L

R3

V2

a

M2

Momento

a

V1

R1

P

a

M1

a

Corte

V2V3

R2

P

R3

a)(LL4

baP)R apoyo el(En M 221 +⋅⋅⋅=

Viga Continua – Dos Tramos Iguales – Carga Uniformemente Distribuida

L⋅⋅==== q83VRVR 3311

Lq810R2 ⋅⋅=

Lq85VmaxV2 ⋅⋅==

8LqM2

1⋅=

128Lq9)

83L (M

2

2⋅⋅=En

IE185LqR3)y R1 desde 0.46L,(En f

4

max ⋅⋅⋅=

Viga Continua – Dos Tramos Iguales – Dos Cargas Puntuales Situadas Al Centro De Cada Tramo

P⋅====165VRVR 3311



Mx1

x1

Momento

L1

Corte

V1

M1

L2

V3

V2

x2

Mx2

V4

R1

q·L2q·L1

R2 R3

P811V2R 22 ⋅=⋅=

P1611R1PV2 ⋅=−=

2max VV =

16LP3M1⋅⋅−=

32LP5M2⋅⋅=

xRa) x(CuandoM 1x ⋅=<

Viga Continua – Dos Tramos Diferentes – Carga Uniformemente Distribuida

2Lq

LMR 1

1

11

⋅+=

31212 RRLqLqR −−⋅+⋅=

2Lq

LMVR 2

2

143

⋅+==

11 RV =

112 RLqV −⋅=

323 RLqV −⋅=

34 RV =

)L8(LLqLqM21

31

32

1 +⋅+⋅−=



Mm2

ba

Mm1

Momento

a

V1

M1

b

V2

V3

Corte

V4

R1

P

R2

P

R3

M1

Momento

RPa2

M2

R2

a

x

L

Corte

V

R1b

V

P

2xqxR)

qR x(CuandoM

21

111

11x⋅−⋅==

2xqxR)

qR x(CuandoM

22

233

22x⋅−⋅==

Viga Continua – Dos Tramos Diferentes – Carga Puntual situada En El Centro De Cada Tramo

2P

LMR 1

1

11 +=

31212 RRPPR −−+=

2P

LMR 2

2

13 +=

11 RV =

112 RPV −=

323 RPV −=

34 RV =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅+⋅−=21

222

211

1 LLLPLP

163M

aRM 1m1⋅=

bRM 3m2⋅=

Viga Empotrada En Un Extremo Y Apoyada En El Otro – Carga Puntual En Cualquier Punto

( )L2aL2bPVR 3

2

11 ⋅+⋅⋅⋅== ; ( )22

322 aL3L2aPVR −⋅⋅

⋅⋅==

aRcarga)depuntoel(EnM 11 ⋅=



L

) (1 - LaL2

M1

Momento

2

L2(1 - aL )

Corte

V1

2

x

R1

2

q(L+a)

V3

M2

a

V2

R2

x1

L)(aL2baPempotrado)extremoelM2(En 2 +

⋅⋅⋅=

xRa)x(CuandoM 1x ⋅=<

a)(xPxRa)x(CuandoM 1x −⋅−⋅=>

222

322

22

22

max )aL(3)a(L

IE3aP)

aL3aLLxenL0.414a(Cuandof

−⋅−

⋅⋅⋅=

−⋅+⋅=⋅<

aL2a

IE6baP)

aL2aLxen0.414La(Cuandof

2

max +⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=

+⋅⋅=>

a)(3LLIE12baPcarga)depuntoel(Enf 3

32

a +⋅⋅⋅⋅⋅=

)ax2Lx(3aLLIE12xbPa)x(Cuandof 2223

2

x −−⋅⋅⋅⋅⋅=<

L)2axax(3Lx)(LLIE12

aPa)x(Cuandof 22223x −−−

⋅⋅⋅⋅=>

Viga Apoyada Con Volado A Un Extremo-Carga Uniformemente Distribuida

)a(LL2qVR 22

11 −⋅

== ; 2322 a)(L

L2qVVR +⋅

=+=

)a(LL2qV 22

3 +⋅

= : aqV2 ⋅=

xqRapoyos)(EntreV 1x ⋅−=


2222

2

1 a)(La)(L8Lq)

La1

2Lx(EnM −⋅+⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅=

2aq)R(EnM2

22⋅=

L)xa(L2Lxqapoyos)(EntreM 22

x ⋅−−⋅=

21x )x(a

2qvolado)el(ParaM

1−=

)x2aL2aLxx2L(LLIE24

xqapoyos)(Entref 22223224x +−+−

⋅⋅⋅⋅=



MomentoMmáx

x

L

Corte

V1

R1

a

x1

R2

q·a

V2

R1

V1

MomentoMmáx

L

Corte

x

V2

x1

a

R2

P

)x4axx6aLL(4aIE24

xqvolado)el(Paraf 3

1211

23211x +−+−

⋅⋅⋅

=

Viga Apoyada Con Volado A Un Extremo – Carga Uniforme Al Extremo Del Volado

L2aqVR2

11 ⋅⋅==

a)L(2L2aqVVR 212 +⋅⋅⋅=+=

aqV2 ⋅=


2aq)R(EnM2

2max⋅=

2Lxaqapoyos)(EntreM

2

x⋅⋅=

21x )x(a

2qvolado)el(ParaM

1−=

IE318Laq)

3Lxenapoyos(Entref

22

max ⋅⋅⋅⋅==

a)3(4LIE24

aqa)xenvoladoel(Paraf3

1max +⋅⋅

⋅==

)x(LLIE12xaqapoyos)(Entref 22

2

x −⋅⋅⋅⋅⋅=

)x4axx6aL(4aIE24

xqvolado)el(Paraf 3

1211

221x +−+

⋅⋅⋅

=

Viga Apoyada Con Volado A Un Extremo-Carga Puntual Al Extremo del Volado

LaPVR 11⋅== ; a)(L

LPVVR 212 +=+=



V2

x1

L

Mmax

a

Corte

V1

R1

Momento

b

R2

x P

PV2 =

aP)R(EnM 2max ⋅=

LxaPapoyos)(EntreMx⋅⋅=

)xP(avolado)el(ParaM 1x1−=

IE39LaP)

3Lxenapoyos(Entref

2

max ⋅⋅⋅⋅==

a)(LIE3

aPa)xenvoladoel(Paraf2

1max +⋅⋅

⋅==

)x(LLIE6xaPapoyos)(Entref 22

x −⋅⋅⋅⋅⋅=

)x3ax(2aLIE6

xPvolado)el(Paraf 2

111

x −+⋅⋅

⋅=

Viga Apoyada Con Volado A Un Extremo – Carga Puntual en Cualquier Punto Entre Apoyos

LbPb)a cuando(max VR 11⋅=<=

LbaPcarga) de punto el(EnMmax⋅⋅=

LxbPa) x(CuandoMx⋅⋅=<

LIE272b)(a3a2b)Pab(a

b)a cuando 3

2b)a(ax(Enf max ⋅⋅⋅

+⋅⋅+=>

+=

LIE3baPcarga) de punto el(En f

22

a ⋅⋅⋅⋅⋅=

)xb(LLIE6

xbPa) x(Cuandof 222x −−

⋅⋅⋅⋅⋅=<

)axxL(2LIE6x)(aPa) x(Cuandof 22

x −−⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅=> L

LaPb)a cuandomax (VR 22⋅=>=



L

b

M1

a

V2

M1Mx1

V1

x

Momento

x1

Corte

R1

q·L

c

M2

V3

V4

R2

a)(LLIE6xbaP

f 1x1

+⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=

Viga Con Volado En Ambos Extremos –Volados Diferentes - Carga

Uniformemente Distribuida

2c)(Lb2LqR1 −⋅⋅= ; 2a)-(L

b2LqR 2 ⋅⋅

=

aqV1 ⋅= ; 112 VRV −=

423 VRV −= : cqV4 ⋅=

)xq(aRL) x(CuandoV 11x +−=<

111x xq-Vvolado)el(ParaV ⋅=

cq-Rc)a (CuandoV 2m ⋅=<

ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO I

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA 2

0.2113L

M1

xL

V

L2

R

Mmax

V

Momento

L2

Corte

q

R

Mmax

L2

L4

Momento

Corte

L2

V

Mmax

V

L

x

R

P

R

2aq-M2

1⋅

= ; 2cqM2

2⋅−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= a

2qR

RM 113

2x)q(axRa)-

qR

xcuando(max M2

11

x+−⋅==

Viga Empotrada En Ambos Extremos – Carga Uniformemente Distribuida

2LqVR ⋅==

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −⋅= x2LqVx

12Lqextremos) los(en M

2

max⋅=

24Lqcentro) (AlM

2

1⋅=

( )22x 6xL6Lx12qM −−=

IELq⋅⋅

⋅=384

centro) fmax(Al4

22

x x)(LIE24

xqf −⋅⋅

⋅=

Viga Empotrada En Ambos Extremos – Carga Puntual En El Centro


UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA 3 M2

V2

R

Corte

M1

V1

Ma

Momento

a

L

x

R

b

P

2PVR ==

8LPextremos) losen y centro (AlMmax⋅=

( )L4x8P)

2L xCuando(Mx −=<

IELP⋅⋅

⋅=192

centro) fmax(Al3

x)4(3LIE84

xP)2L xCuando(f

2

x −⋅⋅

⋅=<

Viga Empotrada En Ambos Extremos – Carga Puntual En Cualquier Punto

b)(3aL

bPb)a cuando(max VR 3

2

11 +⋅=<=

b)3(aL

aPb)a cuando(max VR 3

2

22 +⋅=>=

2

2

1 LbaPb)a cuando(max M ⋅⋅=<

2

2

2 LbaPb)a cuando(max M ⋅⋅=>

3

22

a LbaP2carga) de punto el(En M ⋅⋅⋅=



Mmax

L

Momento

7L16

V1

M1

Corte V2

L

x

R1

q·L

R2

V3

R3

Mmax

Momento

L2

L

V1

R1

Corte

M1

V2

V3

L

L2

P

R2 R3

2

2

1x LbaPxRa) x(CuandoM ⋅⋅−⋅=<

2

23

max b)(3aIE3b2Pa)

b3aLa2en x ba (Cuandof

+⋅⋅⋅=

+⋅⋅=>

3

33

a LIE3baPcarga) de punto el(En f⋅⋅⋅⋅⋅=

bx)3ax(3aLLIE6

xbPa) x(Cuandof 3

22

x −−⋅⋅⋅⋅⋅=<

Viga Continua – Dos Tramos Iguales – Carga Distribuida Uniformemente En Un

Tramo

Lq167VR 11 ⋅⋅==

Lq85VVR 322 ⋅⋅=+=

Lq161VR 33 ⋅⋅−==

Lq169V2 ⋅⋅=

2Lq51249)

167Mmax(En x ⋅⋅=⋅= L

221 Lq

161)R apoyo el(En M ⋅⋅=

8x)(7L16

xqL) x(CuandoMx −⋅=<

Viga Continua – Dos Tramos Iguales – Carga Puntual Al Centro De Un

Tramo



L

Momento

Mmax

V1

M1

V2 Corte

L

a

R1

b

R2

P

V3

R3

P3213VR 11 ⋅==

P1611VVR 322 ⋅=+=

P323VR 33 ⋅−==

P3219V2 ⋅=

LP6413carga) de punto elMmax(En ⋅⋅=

LP323)R apoyo el(En M 21 ⋅⋅=

Viga Continua – Dos Tramos Iguales – Carga Puntual En Cualquier Punto De Un Tramo

a))a(L(4LL4bPVR 2311 +−

⋅⋅==

a))b(L(2LL2aPVVR 23322 +−

⋅⋅=+=

a)(LL4baPVR 333 +

⋅⋅⋅−==

a))b(L(4LL4aPV 232 ++

⋅⋅=

a))(La(4LL4

baPcarga) de punto elMmax(En 23 +⋅−

⋅⋅⋅=



q·Lq·L

v3

M2

MomentoM1

V2

R2

L

Corte

V1

R1

V2

L

R3

V2

a

M2

Momento

a

V1

R1

P

a

M1

a

Corte

V2V3

R2

P

R3

a)(LL4

baP)R apoyo el(En M 221 +⋅⋅⋅=

Viga Continua – Dos Tramos Iguales – Carga Uniformemente Distribuida

L⋅⋅==== q83VRVR 3311

Lq810R2 ⋅⋅=

Lq85VmaxV2 ⋅⋅==

8LqM2

1⋅=

128Lq9)

83L (M

2

2⋅⋅=En

IE185LqR3)y R1 desde 0.46L,(En f

4

max ⋅⋅⋅=

Viga Continua – Dos Tramos Iguales – Dos Cargas Puntuales Situadas Al Centro De Cada Tramo

P⋅====165VRVR 3311



Mx1

x1

Momento

L1

Corte

V1

M1

L2

V3

V2

x2

Mx2

V4

R1

q·L2q·L1

R2 R3

P811V2R 22 ⋅=⋅=

P1611R1PV2 ⋅=−=

2max VV =

16LP3M1⋅⋅−=

32LP5M2⋅⋅=

xRa) x(CuandoM 1x ⋅=<

Viga Continua – Dos Tramos Diferentes – Carga Uniformemente Distribuida

2Lq

LMR 1

1

11

⋅+=

31212 RRLqLqR −−⋅+⋅=

2Lq

LMVR 2

2

143

⋅+==

11 RV =

112 RLqV −⋅=

323 RLqV −⋅=

34 RV =

)L8(LLqLqM21

31

32

1 +⋅+⋅−=



Mm2

ba

Mm1

Momento

a

V1

M1

b

V2

V3

Corte

V4

R1

P

R2

P

R3

2xqxR)

qR x(CuandoM

21

111

11x⋅−⋅==

2xqxR)

qR x(CuandoM

22

233

22x⋅−⋅==

Viga Continua – Dos Tramos Diferentes – Carga Puntual situada En El Centro De Cada Tramo

2P

LMR 1

1

11 +=

31212 RRPPR −−+=

2P

LMR 2

2

13 +=

11 RV =

112 RPV −=

323 RPV −=

34 RV =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅+⋅−=21

222

211

1 LLLPLP

163M

aRM 1m1⋅=

bRM 3m2⋅=



CONEXIONES DE MADERA

ü FUENTE:

PÁGINA WEB:

http://www.awc.org/HelpOutreach/eCourses/index.html

1. FILOSOFIA DE DISEÑO DE CONEXIONES PARA MADERA



Ø COMPRESIÓN PARALELA AL GRANO.- El primer principio sobre las

conexiones de madera, es que la madera trabaja de mejor manera cuando

esta sometida a compresión paralela al grano, ya que este es el modo

mas fuerte de la madera. Esto hace que las conexiones de estructuras de

madera sometidas a este esfuerzo sean muy fáciles de realizar :

Ø COMPRESIÓN PERPENDICULAR AL GRANO.- En las siguientes

ilustraciones se realizan algunas comparaciones. Modelando la naturaleza

celular de madera con un grupo de pajas. Cuando la compresión se aplica,

el bulto de paja es fuerte y conectando los extremos es muy simple. La

tensión aplicando también desarrolla fuerza tensionante considerable en el

bulto de paja, pero colgando en los extremos se vuelve más de un desafío

de diseño que una conexión conveniente.

Pero si se aplica carga perpendicular al eje longitudinal de las pajas, las pajas

se aplastan debido a la orientación de alineación radial muy más débil de las

paredes celulares. Esto ilustra la naturaleza del anisotrópica de madera ↔ las

propiedades de fuerza diferentes en tres direcciones diferentes: longitudinal

(fuerte), tangencial (más débil), y radial (más débil).



Ø LA FORMULA DE HANKINSON.- Fórmula que es usada para hallar la

fuerza resistente de la madera, con respecto a cualquier ángulo con

relación a la veta. Muchas conexiones confían en las propiedades de

resistencia a la fuerza de la madera. Cuando nosotros hemos visto, madera

tiene propiedades de fuerza diferentes paralela y perpendicular al grano. La

forma de la elipse sombreada en la siguiente figura relaciona como

resultado a la magnitud de fuerza en la madera de una fuerza aplicada. La

resistencia de madera Z a cualquier ángulo al grano puede computarse

usando la Fórmula de Hankinson mostrada aquí, donde P es la fuerza

resistente en compresión paralelo al grano, y Q es la fuerza del

cumplimiento perpendicular al grano.



Ø CARGA DISTRIBUIDA O PUNTUAL?- El segundo principio sobre las

conexiones de madera es que a esa madera se comporta mejor cuando

la carga esta distribuida. La carga concentrada debe evitarse cuando

pudiera exceder las capacidades resistentes de la madera fácilmente.

Extendiendo la carga fuera, aumentando en lo posible el grado de

redundancia.

Ø LA SIGUIENTE CONEXION PUEDE SER BUENA?.- Aquí es un ejemplo

interesante de una conexión encontrado en la Biblioteca del Forintek el

Canadá Cuerpo Laboratorio, Vancouver, BC. Los pares de la columna se

hacen de 8”x18” x 60 ft , cumplirá con el principio de no utilizar cargas

puntuales?...



Ø LO QUE PARECE LA VIOLACIÓN DEL 2º PRINCIPIO NO LO ES.- Lo

que por fuera pareciera que no cumpliera con el principio de distribución de

carga, es resuelto con una combinación diestra de placas de acero ocultos

y remaches de madera que sirven para extender fuera la carga transferida a

través de la unión. Las placas y remaches no pueden ser notados por el

observador debajo.

Ø TENSIÓN PERPENDICULAR AL GRANO.- La tercera idea es el eslabón

más débil de madera: la tensión perpendicular al grano. Este fenómeno a

menudo lleva a los fracasos catastróficos súbitos y debe evitarse a toda



costa. Conocimiento de cómo la madera está estando cargada es todos que

se necesitan para evitar este problema. Algunos de los factores que inciden

negativamente en el desarrollo de fallas en este tipo de elementos son: las muescas (entalladuras o hendiduras), los pernos de diámetros grandes, y las cargas colgadas o suspendidas.

Ø MUESCAS EN LAS ESQUINAS DE MIEMBROS APOYADOS.- Las

muescas en los apoyos, como las mostradas en la siguiente figura pueden

llevar a una combinación de tensión perpendicular formar grano y tensiones

de esquina horizontales que producen la rajadura horizontal, como las

mostradas. La solución mejor es en absoluto no realizar la muesca.

Ø SOPORTE COLGANTE DE UNA VIGA.- A continuación se muestra la

manera mala y buena manera de diseñar un soporte colgante para una

viga. Este soporte debe llegar mas allá de la mitad superior de la viga, para

que exista la “compresión” necesaria para soportar una carga colgante;

PROBLEMA: SOLUCIÓN :



pero una solución mejor seria talvez en envolver toda la altura de la viga

con un soporte para la carga colgada.

Ø UNIONES DE VIGAS CON ELEMENTOS DE CONCRETO.- Un problema

común es que para la unión de vigas con elementos de concreto se realicen

muescas para su colocado. Esto es un error, y genera fisuras o rajaduras

de tensión; a continuación se muestran la manera mala y buena de ejecutar

la unión:

rajadura

carga carga



Ø UNIONES DE VIGAS INCLINADAS CON ELEMENTOS DE CONCRETO.- Cuando se realizan muescas para realizar la unión de la viga inclinada con

el concreto, la viga no esta totalmente apoyada , lo que origina grietas o

rajaduras de tensión, y aberturas o separaciones de la madera al final de la

veta. A continuación se muestran la manera mala y buena de ejecutar la

unión:

rajadura



Ø CONDICIONES MEDIO AMBIENTALES.- Una cuarta idea

simplemente es ese movimiento de la madera en contestación a las

condiciones medioambientales variando junto a los otros materiales del

edificio. El factor principal para la madera es la humedad (debido a que la

madera es un material higroscópico). Deben hacerse concesiones

acomodar este movimiento, particularmente en conexiones.

Ø TIPO DE CONECTOR A ELEGIR.- La quinta idea se refiere a la selección

de conectores propiamente para hacer el trabajo. En conexiones, la

decisión es típicamente la prueba la habilidad del diseñador para llegar a la

solución estética segura y económica. La opción del sistema de conectores

es crítica a la ductilidad de la conexión, fuerza, y actuación en servicio.



Ø CONECTORES MECÁNICOS.- Un punto importante en opción del conector

es de que tamaño y cuantos deben entrar en la unión. Se debe Recordar

que la madera trabaja mejor cuando la carga está extendida; por lo que

muchos conectores son una buena idea. A menudo, esto impondrá

automáticamente que el tamaño de los conectores sea pequeño.

Ø FUERZA Y DUCTILIDAD DE LAS CONEXIONES.- La fuerza y ductilidad,

lo que se necesita para realizar buenas conexiones sólidas. Se entiende

conducta de fuerza por muchas conexiones, pero la ductilidad es más sutil y

a veces difícil evaluar. La buena ductilidad asegura, advirtiendo y

previniendo sobre cargas laterales como sismos o viento, que podrían

hacer colapsar la estructura. Lo que se desea es un intermedio, o sea que

la unión tenga un balance entre fuerza y ductilidad.

C

A

R

G

A



2. CONDICIONES DE SERVICIO DE LAS CONEXIONES En servicio, la estructura esta en interacción con el ambiente, y esta influenciada

por una serie de factores como la temperatura, la humedad, el contacto con otros

elementos cementados, etc. El cambio de temperatura diario no tiene mucha

importancia para dañar la vida de una conexión, sin embargo el cambio extremo

pueden, sobre todo si hay mucho material metálico en la conexión. El metal y

madera tienen coeficientes de la expansión termales muy diferentes, y esta

diferencia puede causar un poco de problemas si no se han tenido en cuenta para

las condiciones extremas. Es más, madera y metal responden muy diferentemente

a ganancia y pérdida de humedad que también puede llevar a conducta

interesante.

Ø CONTENIDO DE HUMEDAD DE EQUILIBRIO.- Es el contenido de

humedad que alcanza la madera en condiciones estables de humedad

relativa y temperatura; y se denota como EMC. En otros países como

Estados Unidos se tienen mapas o tablas del valor de EMC para maderas

para todo el país, variando de región con región. Los cambios de EMC son

mas notorios en climas húmedos que en climas secos. Los cambios en

EMC se traducen en los problemas como cambio dimensional. Para

DESPLAZAMIENTO



asegurar estabilidad de la conexión, es importante atar los materiales

durante la construcción al EMC que ellos tendrán en servicio. En la

siguiente tabla se da alguna guía en la instalación típica y su respectivo

EMC. (Tabla valida en de los Estados Unidos).

Ø PROTECCIÓN CONTRA EL INGRESO DEL AGUA.- El agua es absorbida

mas rápidamente a través de los extremos donde termina la veta del

miembro de madera. Este proceso no tarda muchos ciclos para que

comiencen a crearse rajaduras que son muy evidentes. Lo que se debe

hacer es primeramente proteger estos extremos de la madera (a través de

elementos de metal o goma), y luego desviar al agua de la conexión a

través de canaletas u otro tipo de drenaje pluvial. A continuación se

muestra una estructura no protegida y otra protegida.

Extremos no protegidos, formación de rajaduras



Ø UNION VIGA COLUMNA.- A veces se piensa que lo mejor para una unión

de éste tipo es se debe poner una placa de acero que une la viga con la

columna y que esta cubra toda la altura de la viga; esto también es mas

sencillo de construir. Pero no se le deja a la madera a que pueda sufrir

cambios dimensionales debido a las condiciones ambientales, por lo que se

generan rajaduras y encogimientos de la madera; se dice que hay que dejar

“respirar” a la madera. La alternativa correcta es realizar placas mas

pequeñas que transmitan las fuerzas, y que permitan o no interfieran con

los movimientos naturales de la madera. A continuación se muestra la

manera incorrecta y correcta de realizar la unión:

Agua correctamente evacuada a través de canaletas

Extremos protegidos



Ø UNION VIGA MURO.- Al igual que el anterior caso, la suspensión de la viga

en su extremo, produce problemas cuando la placa de acero esta en casi la

totalidad de la altura de la viga. Las suspensiones profundas de la viga que

tienen sujetadores instalados en las placas laterales hacia la parte superior

de la viga apoyada, pueden promover fracturas o rajaduras en el grupo del

sujetador, encogimiento de madera del miembro y levantar del fondo de la

suspensión de la viga; todo esto porque no se le deja deformarse

libremente a la madera. ¡Este detalle mostrado a continuación NO SE

RECOMIENDA!



Ø UNION VIGA MURO.- Como alternativa al detalle anterior, lo que se debe

realizar es recortar la placa de acero, y que solo llegue hasta la mitad o un

poco mas de la altura de la viga, y colocar los pernos en la parte inferior;

esto permite el cambio dimensional de la madera sin restricción. A

continuación se muestra el detalle correcto:

Ø UNION VIGA CON VIGA.- En el siguiente grafico se muestra una viga

suspendida de otra viga, y debido a que la placa de acero cubre casi con

totalidad la altura de la viga, y los pernos se encuentran en la parte superior



de la viga, se producen rajaduras y contracción o acortamiento de la

madera.

Ø UNION VIGA CON VIGA.- Una solución para el anterior detalle seria

recortar la plancha y colocar pernos solo en la parte inferior de la viga y que

el borde de la compresión de la viga todavía esté apoyado lateralmente,

pero no se utilice ningún perno en la parte superior.

Ø UNION VIGA CON VIGA.- Un tipo común de unión de estos elementos son las suspensiones “Cara-montada”. En la ensambladura CRUZADA una

rajadura



atención especial se requiere la longitud de la penetración del sujetador en

la viga (evitar interferencia del otro lado). El tipo de conectores que se

utiliza por lo general en esta unión son los clavos o remaches.

Ø UNION VIGA CON VIGA.- El siguiente tipo de unión incluye un soporte

soldado en una ensambladura cruzada. El conector usado en este tipo de

unión es un perno en cada carga de la ensambladura.

Soporte soldado



Ø UNION VIGA CON VIGA (MIEMBROS DE CANTO GRANDE).- Los

miembros de altura grande pueden ser apoyados por las suspensiones

bastante bajas. En la siguiente figura mediante apernado con las placas

laterales. Las pequeñas planchas colocadas en la parte superior se utilizan

para prevenir la rotación de la parte superior de la viga suspendida. Se

debe observar que no se emperna la viga suspendida, porque la otra viga

desarrollaría rajaduras o debido a que no se la dejaría deformar libremente.

Ø UNION VIGA CON VIGA (CONEXIONES DISIMULADAS).-. A

continuación se muestra este tipo de unión; que consiste en la inserción de

una placa de acero y un perno dentro de la viga suspendida, y que está

soldada con las placas externas. El perno que se coloca puede ser

levemente más estrecho que la viga suspendida, permitiendo tapar de los

agujeros después de que el perno esté instalado. Se debe apreciar que el

corte en la viga suspendida debe acomodar no solamente la anchura de la

placa de acero, pero también la anchura creciente en las ranuras soldadas



en la unión de la placa. Este diseño ayuda a resistir al fuego, porque evita

que el metal que esta debajo de la capa de madera se recaliente y entre en

un estado plástico durante un acontecimiento del fuego.

Ø UNIÓN DE VIGAS CON CONCRETO.- Otro transmisor de humedad, y que

es muy frecuente en las uniones con elementos de madera son los

materiales cementados. Estos materiales abrigan la humedad dentro de su

matriz material y la transfieren a otros materiales en contacto. La madera

se debe separar siempre de estos tipos de materiales, separándolos con

otros materiales(como acero), caso contrario podría conducir al deterioro

temprano de la madera. A continuación se muestran una serie de detalles

bien realizados:



Ø VIGAS APOYADAS EN MAMPOSTERÍA.- Se deben tomar previsiones

similares que con el concreto, pero la madera debe estar distanciada de la

Viga apoyada en

repisa

Viga apoyada en

placa o muro



mampostería como mínimo con ½”, para que pase el aire. A continuación

se muestran algunos ejemplos:

Ø UNIÓN DE COLUMNA EN SU BASE.- Esta es la parte de la estructura en

que la madera se encuentra más expuesta a la humedad, y debe tenerse

mucho cuidado en su diseño. La experiencia ha demostrado que los

detalles en los que se “envasa” con un zapato de acero no ha dado buenos

resultados, debido a que la humedad no se pudo evacuar, quedando

atrapada, y haciendo que el miembro se deteriore rápidamente. Por lo que

este estilo “cúbico no se recomienda”.



Ø UNIÓN DE COLUMNA EN SU BASE .- Las uniones recomendadas de una

columna con su base, se muestran a continuación:



Ø UNIÓN DE ARCO EN SU BASE

Para tramos muy largos u otros casos como arcos en los que debe aceptarse

grandes rotaciones, se necesitará una conexión tipo bisagra, debe asegurarse

que la base de la conexión pueda evacuar la humedad, estas conexiones

tienen un zapata de acero muy estrecho.



Ø UNIÓN DE LA BASE DEL ARCO AL APOYO

La bisagra debe permitir una aireación adecuada y drenaje del agua correcto

en la madera.

Ø UNIÓN DE LA BASE DEL ARCO AL APOYO



Uno podría pensar que ésta solución trabaja bien, sin embargo al permitir el

contacto de la madera con charcos de agua no se estaría consiguiendo su

mejor comportamiento.

La mejor solución consiste en inclinar la superficie de contacto para así evitar

la formación de charcos de agua cerca de la madera.



Notar en el anterior detalle que la tapa se encuentra al filo de la parte superior

de la viga, para evitar de esta manera que la sección de madera absorba el

agua de lluvia y direccionar ésta lejos de la madera. La base de la conexión

esta totalmente abierta.

Ø COLOCACIÓN CORRECTA DE LOS CLAVOS

El hundimiento de los clavos reduce el desempeño de estos, será necesaria

una revisión en campo para asegurar el correcto funcionamiento al que fueron

destinados.

Ø PERN



Las conexiones apernadas son atractivas, ya sea que tengan dispositivos

ocultos o expuestos. Una consideración frecuentemente olvidada, es la de dar

suficiente espacio para instalar y apretar los pernos y las tuercas.

Especialmente en las uniones con ángulos cerrados y cuando se encuentran

muy cercanos a otros miembros.

Se recomienda que los pernos y otros dispositivos de unión no tengan nunca

diámetros mayores a 1 pulgada. Estudios han demostrado que los pernos con

diámetros mayores a 1 pulgada tienen la capacidad de introducir grandes

esfuerzos de tensión en el hueco del perno, que posteriormente inducirán

fisuras en la madera.

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