Academia Preuniversitaria ”DISCOVERY” ALGEBRAÁNGULO TRIGONOMÉTRICO

Es aquel que se genera por la rotación de un rayo desde una posición inicial hasta otra posición final, siempre alrededor de un punto fijo llamado vértice. En el gráfico podemos distinguir dos tipos de rotación:

:

Debemos aclarar que la medida de un ángulo trigonométrico no puede ser limitada, ya que la rotación puede efectuarse indefinidamente en cualquiera de los dos sentidos. Además para operar ángulos trigonométricos, estos deben obedecer a un sentido común. Por ello las siguientes consideraciones:

* SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULARSon las diferentes formas en que se pueden medir los ángulos; destacando los siguientes; con sus respectivas sub-unidades:

S is tem aS exages im alC entes im alR adia l

S exages im al1° = 60 ' 1' = 60 ''1° = 3600''

C entes im al1 = 1001 = 1001 = 10000

g m

m s

g s

U nidad1°

11rad

g

1 vue lta360°

4002 rad

g

A partir de estas definiciones, se pueden establecer :1. 1 rad. > 1º > 1g

2. 180º < > 200g < > rad3. 9º < > 10g4. aºb'c'' = aº+b'+c''

27' < > 50m

xgymzs = xg + ym + zs

81"< > 250s

* CONVERSIÓN ENTRE SISTEMASEs el proceso mediante el cual la medida de un ángulo pasa de un sistema a otro. Para ello se puede aplicar el método del factor de conversión que consiste en lo siguiente: • Convertir 40g a radianes

• Convertir /3 rad a sexagesimal

* FORMULA GENERAL DE CONVERSIÓNEs otro criterio para convertir de un sistema a otro. La fórmula general de conversión es la relación entre los números que representan la medida de un ángulo en los tres sistemas conocidos. Dado el ángulo "", se cumple:

• Por ejemplo, si queremos convertir 30° a radianes: tenemos: S = 30 y R = ?? Luego:

S R R R18030180 6

Pero el uso de la fórmula es mayor en otro tipo de problemas en los cuales se requiere tener además, lo siguiente :

1.

2.

3.

* Una aplicación sería:"Hallar la medida de un ángulo en radianes sabiendo que sus números de grados sexagesimales y centesimales, suman 19" Aquí por ejemplo, planteamos el problema así: Si:

RCS

""

# grados

sexag.# gradosc entes.+ = 19 S + C = 19

como piden "R", entonces:

180 200 19 380 19 20R R R R

rad20 mide nguloá el

EJERCICIOS PROPUESTOS

01. En el gráfico, señale lo que es correcto respecto a " " y " ":

A) B) C)D) E)

02. En el gráfico, señale lo que es correcto respecto a los ángulos mostrados:

A) B)

C) D)

E)

1

Academia Preuniversitaria ”DISCOVERY” ALGEBRA03. Exprese "x" en función de "" y ""; a partir del gráfico

mostrado:

A) B) C) D) E)

04. Del gráfico mostrado:

Se cumple:

A )

B)

C)

D)

E)

05. hallar “x” A) 5,5 B) -5,5 C) 10,2

D) -10,2E) 17

06. A qué es igual 320'' A) 3º40' B) 3'40'' C)3º20'' D) 5º 40' E) 5'20''

07. A qué es igual: 1º 20' A) 1500'' B) 3620'' C) 4000''

D) 4800'' E) 6000''

08. A qué es igual:

A) 2 B)12 C)40 D)41 E)52

09. La suma de dos ángulos es 40° y su diferencia es 30g. ¿Cuánto mide el mayor?

A) 27° B) 28° C) 27°50' D) 28°30' E) 33°30'

10. En un triángulo sus ángulos miden: ; y

. ¿Cuál es el valor de "x"?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

11. Sabiendo que: (S + C) = 4nR donde "S", "C" y "R" son lo conocido para un mismo ángulo. ¿Cuánto vale "n"?

A) 85 B) 78 C) 95 D) 98 E) 100

12. Halle la medida circular de un ángulo que cumple:

Siendo: "S", "C" y "R" lo conocido A) rad. B)2 C)3 D)4 E)513. Siendo “S” y “C” lo convencional. Calcular “x” A) 2 B) 4

C) 6 D) 8 E) 10

14. La diferencia de las recíprocas que representan la medida sexagesimal y centesimal de un ángulo, es igual a su número de radianes entre 2. ¿Cuánto mide el ángulo en el sistema sexagesimal?

A) 6° B) 8° C) 10° D) 12° E)15°

15. Reducir:

A) 1/2 B) 2/3 C) 3/4 D) 4/3 E) 3/2

16. Si: Calcular: "b - a"A) 1 B) 2 C) 3 D)4 E)5

17. Calcular:

S: # de grados sexagesimalesC: # de grados centesimales

A) 5 B) 4 C) 3 D) 25 E) 2

18. Reducir:

17SCSC

SCSC

A)2 B) 3 C)4 D)5 E)6

19. Calcular el valor de la expresión:

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

20. Hallar N; S y C lo convencional para un ángulo:

A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E) 21

TAREA DOMICILIARIA

21. Hallar el valor de “x” en el cual se cumple que:

A) 19 B) 18 C) 16 D) 1 E) 17

22. Hallar las medidas de un ángulo en radianes si:

A) B) C)

D) E)

23. Siendo S y C los números convencionales que cumplen:

2

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Hallar la medida de dichos ángulos en radianesA) /5 B) /10 C) /20 D) /16 E) /18

24. Si: hallar “R”

A) /5 rad B) /10 rad C) /18 rad D) /4 rad E) /9 rad

25. Determine la medida circular del ángulo que cumple con la relación siguiente;

A) /2 rad B) /3 rad C) /4 radD) /6 rad E) /10 rad

LONGITUD DE ARCO Y AREA DEL SECTORCIRCULAR

1. Definición:

o = Vérticer = radio = ángulo centralL = Longitud de arcoS = Área del sector circular

2. Longitud de Arco (L)

3. Área del Sector Circular (S)

4. Trapecio Circular (S)

EJERCICIOS PROPUESTOS

01. Calcule el área de un sector circular donde el ángulo central mide 45º y el radio mide 2mA)m² B)2m² C)3m² D)4m² E)5m²

02. Calcular el área de un sector circular donde el radio mide 4m y el arco mide 2m.

A)2m² B)4m² C)8m² D)16m² E)32m²

03. Calcular el área de un sector circular cuyo arco mide m. y el ángulo central mide 60º.A)m² B)2m² C)1,5m² D)2,5m² E)N. A

04. Calcule el perímetro del sector AOB mostrado

A) 18 B) 20 C) 24

D) 42 E) 30

05. Del gráfico, halle “x”

A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

06. Del gráfico, hallar “”

A) /3 B) /4 C) /5 D) /6 E) /8

07. Calcular el área de un sector circular cuyo arco es el doble de la inversa del radio.A) F.D. B) 1 C) 2 D) 1/2 E) 4

08. En un sector circular el área es m² y el radio 2m. ¿Cuánto mide el ángulo central?

A) /3 rad B) /4 C) /5 D) /6 E) /2

09. Hallar el área de la región ABCD.

A) m B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

10. Hallar el área de la región no sombreada. A) 5 B) 7 C) 12 D) 24 E) 6

3

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11. Del gráfico, hallar "S", si:

S1 3

A) B) 2 C) 2/3 D) 3 E) /2

12. Del gráfico, hallar "S" A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

13. Hallar "x" A) 3 B) 2

C)

D) E) N.A.

14. Del gráfico; hallar:

A) 5 B) 10 C) 15 D) 16 E) 21

15. Del gráfico; hallar:

E a bc

2 2

2

A) 1 B) 1/2 C) 2 D) 3 E) 3/2

16. Calcular: "x/y" del gráfico:

A)

B)

C)

D)

E) 17. Del gráfico, halle “x”

A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

18. Del gráfico mostrado, halle el área del sector AOB

A)

B)

C)

D)

E)

19. Un sector circular tiene área "S".Si duplicamos el arco y reducimos el radio a la mitad; el nuevo sector tendría un área:

A) S B) S/2 C) S/4 D) 2S E) 4S

20. Del gráfico mostrado, halle: L1+L2+L3; si AOB, COD y EOF son sectores circulares.

A) 3m B)5m C)7m D)9m E)11m

TAREA DOMICILIARIA

21. Un sector circular tiene área "S". Si duplicamos el ángulo central sin alterar el radio; el nuevo sector tendría como área:

A) S B) 2S C) 4S D) 8S E) S/2

22. Calcular el área de un sector circular si su arco es 4 veces la inversa de su radio.A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 16

23. Se tiene un sector circular de área 4m2 y ángulo central 60º. Si reducimos el ángulo en 15º, el nuevo sector, ¿cuánto tendría de área?

A) m2 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6

24. En un sector circular de área "S", el arco y el radio miden "x". ¿Cuánto vale "x"? A) B) C)

D) E)

25. En un sector circular el radio y el arco son dos números enteros pares consecutivos. Si el perímetro del sector es 14cm. ¿Cuál es su área?

A) 6cm2 B) 10 C) 12 D) 24 E) 36

R.T. DE ÁNGULOS AGUDOS

DEFINICIÓN: Son los resultados que se obtienen al dividir entre si, los lados de un triángulo rectángulo. Estos resultados carecen de unidades y su nombre dependerá de la posición que guarden los lados que se dividen respecto a uno de los ángulos agudos del triángulo.

En el gráfico; para el ángulo agudo "" se define:

4

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Donde para "": "a" es cateto opuesto"c" es cateto adyacente"b" es hipotenusa

PROPIEDADES:Se cumple que:

Note que el ángulo agudo debe ser el mismo

Note la relación entre las R.T. y quelos ángulos deben ser complementarios

EJERCICIOS PROPUESTOS01. En un triángulo rectángulo ABC (B=90º), que representa

"b/c".A) senA B) cosA C) tgAD) cotA E) secA

02. En un triángulo rectángulo ABC (B=90º), que representa "c/a".A) senC B) cosC C) tgCD) cotC E) secC

03. En un triángulo rectángulo ABC (B=90º), que representa "a cscA".

A) a B) b C) ab D) c E) c2

04. En un triángulo rectángulo ABC (B=90º) reducir:E = tgAtgC

A) 1 B) ac C) a2c2

D) a/c E) c/a05. En un triángulo rectángulo un cateto es el doble del otro.

Calcular la secante del mayor ángulo agudo.

A) B) C) D) E) 3

06. En un triángulo rectángulo la hipotenusa es el triple de uno de los catetos. Calcular la tangente del menor de los ángulos agudos de dicho triángulo.A) B) C)

D) E)

07. En el gráfico; calcular:E = sentg - 1/2 cos

A) 1

B) 2 C) 0 D) 1/2 E) -1

08. En el gráfico; obtener:E = 2cot+ 3

A) 4B) 5C) 6D) 7E) 8

09. Siendo "" un ángulo agudo tal que sec = 2,6; obtener:E = csc+ ctg

A) 1 B) 2 C) 3D) 1,5 E) 2,5

10. Calcular "ctg" del gráfico: A)

B)

C)

D)

E)

11. De la figura, hallar:

A)

B)

C)

D)

E)

12. Calcular "tg" del gráfico:

A) 1/2B) 1/4C) 4D) 2E) 3

13. Hallar "x" si: Cos2x.Sec20º = 1.A) 10º B) 20º C) 30º D) 5º E) 15º

14. Hallar: Tg si: Tg = 6/13

A) 6/5B) 5/7C) 2/5D) 6/7E) 5/6

15. De la figura calcular: Tg + Tg

5

Academia Preuniversitaria ”DISCOVERY” ALGEBRA A) 0,5 B) C) 1 D) 2 E) 3

16. Del gráfico, obtener “Sec”

A) B) /4 C) /2 D) /2 E) 2

17. Del gráfico, obtener “Tg”

A) B) /3 C) /2D) 2/3 E) 3/2

18. De la figura, calcular : E = Ctg - Tg

A) 1 B) 0 C) -1 D) 2 E) 3

19. De la figura hallar, Ctg + Csc2

A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 1520. Del gráfico, calcular “Tg” A) 1 B) C) 2 /3 D) E) 3 /2

TAREA DOMICILIARIA

21. Hallar "x" si: Tg3x.Cot(x + 40º) = 1A) 5º B) 10º C) 15ºD) 20º E) 40º

22. Hallar "x":si: cos(2x + 10º) sec(x + 40º) = 1

A) 10º B) 20º C) 30ºD) 40º E) 50º

23. Hallar "x" si: tg(x - 10º) cot(50º - 2x) = 1A) 10º B) 20º C) 15ºD) 25º E) 35º

24. Siendo:tg(x + y) tg40º = 1tg(x - y) cot10º = 1

calcular:cscx + sec3y

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

25. Si se cumple: . Calcular:

A) 15/11 B) -12/11 C) 21/11 D) 23/11 E) -17/11

6

Academia Preuniversitaria ”DISCOVERY” ALGEBRATRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

Son aquellos triángulos en los cuales se puede precisar o aproximar la relación existente entre sus lados, conociendo para ello sus ángulos agudos, destacan:

EJERCICIOS PROPUESTOS

01. En la figura mostrada, y DE = 2,5. Calcular: AE

A) 11 B) 12 C) 13 D) 10 E) 9

02. En el gráfico; calcular "x":

A)

B)

C)

D)

E)

03. En el gráfico; calcular "x":

A) 1 B) 2 C) 4 D) 0,5 E) 0,25

04. Del gráfico, calcular "tgx":

A) 1/3 B) 3 C) 2/3 D) 3/2 E) 1/2

05. Del gráfico, calcular "tgx", si:

A) 1B) 2C) 3D) 4E) 5

06. Del gráfico, obtener "tgx" A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4 D) 1/5 E) 1/7

07. Si: ABCD es un cuadrado; calcular "tgx".

A) 0,2B) 0,4C) 0,6D) 0,8E) 1

08. Del gráfico, calcular "tgx".

A) 1/2B) 1/3C) 1/5D) 1/6E) 1/7

09. Del gráfico, obtenga "tgx"; si el triángulo ABC es equilátero.

A)

B)

C)

D)

E)

10. Calcular el valor de:

E sec ºtg º

sec º53 60

452

2 A) 1 B) 1,5 C) 2

D) 2,5 E) 3

11. Hallar:

A)

B)

C)

D)

E)

12. Del gráfico hallar “Tg”

A) 1B) 2

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Academia Preuniversitaria ”DISCOVERY” ALGEBRAC) 3D) 4E) 5

13. Del esquema mostrado calcular Tg si ABCD es un cuadrado

A) 1/3

B) 1/2C) 1/5D) 1/4E) 1/6

14. Del gráfico calcular tgx, si: AD=3DC

A) 2 B) 1/2 C) 1/3 D) 1/4 E) 1/6

15. En la figura adjunta. Calcular el valor de y.

A) 18mB) 16mC) 12mD) 15mE) 14m

16. Hallar “x”

A) 12B) 14C) 18D) 24E) 28

17. En el gráfico: . Calcular "tgx".

A) 0,25B) 0,175C) 0,375D) 0,225E) 0,125

18. Del gráfico, hallar "tg".

A) 1B) 2C) 4D) 1/2E) 1/4

19. Si: tg= sen45º tg60º; es agudo. Calcular: E = 10sen2 + 6csc2

A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 24

20. Calcular el valor de:E = sen245º + sen30º

A) 2 B) 1 C) D) E) 1,5

TAREA DOMICILIARIA

21. De la figura, hallar “Tg”

A) 0,1B) 0,2C) 0,3D) 0,4 E) 0,5

22. Hallar “a” en la figura:

A) 3B) 6C) 9D) 12 E) 15

23. En el gráfico, hallar AB A) 9 cm B) 12 cm C) 14 cm D) 16 cm E) 18 cm

24. Hallar el valor de “x” agudo, si:

A) 20°30' B) 18°30' C) 18° D) 20° E) 25°

25. En el gráfico, hallar AB

A) 9 cm B) 12 cm C) 14 cmD) 16 cm E) 18 cm

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