Libro Ingreso UTN-FRBA
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Libro de Ingreso
Autores
Beatriz Graciani
y
Luis Ernesto Fiorante.
SUMARIO
Segmentos dirigidos. Equipolencia .Vector geométrico.
Coordenadas cartesianas (sistema unidimensional)
Versor. Vector nulo. Vector opuesto.
Fuerza resultante. Adición de vectores. Multiplicación de un vector por un escalar.
Sistema bidimensional.. Distancia entre puntos . Vectores en el plano.
Sistema tridimensional. Vectores en el espacio.
Operaciones: adición, sustracción, multiplicación de un escalar por un vector.
Ángulo de giro, rotación u orientado.
Medición de ángulos (sistema sexagesimal, centesimal, circular) .
Razones trigonométricas. Relaciones. Tabla de ángulos destacados
Proyección de un segmento sobre una recta..
Producto escalar de dos vectores. Definición, propiedades.
Ángulos directores de un vector.
Condiciones de ortogonalidad y paralelismo.(vectores directores).
Proyección ortogonal de vectores sobre ejes cartesianos.
Triángulos rectángulos.
SUMARIO
Expresiones aritmética y algebraica.
Conjunto de existencia y validez de una expresión.
Expresiones racionales enteras (polinomios).
Operaciones: adición y sustracción.
Multiplicación. Productos particulares.
División polinómica. Divisibilidad. Valor aritmético.
Raíz de un polinomio.Teorema fundamental de las raíces.
Teorema de Gauss. Teorema de Bezout.
Regla de Ruffini.
Determinación de raíces reales de polinomios de segundo grado. Propiedades de las raíces.
Polinomios primos y compuestos.
Factorizacion según las raíces reales.
Expresiones racionales fraccionarias. Conjunto de existencia y validez.
Operaciones: adición, sustracción, multiplicación y división.
Expresiones irracionales (con radicales).Conjunto intervalo. Conjunto de existencia. Extracción de factores de un radical. Racionalización de dividendos y divisores.
Expresiones trascendentes (logarítmicas, exponenciales y trigonométricas)
Conjunto de existencia.
SUMARIO
Proposiciones, valor lógico.
Proposiciones o enunciados abiertos.
Ecuaciones.
Conjunto de reemplazo.
Conjunto solución.
Identidades y condicionales.
Ecuaciones equivalentes.
Ecuaciones polinómicas.
Método sugerido.
Ecuaciones polinómicas de primer grado.
Ecuaciones polinómicas de segundo grado.
Cambio de variable.
Ecuaciones polinómicas bicuadráticas.
Ecuaciones racionales fraccionarias.
Ecuaciones irracionales.
Ecuaciones con módulo.
Ecuaciones trascendentes
SUMARIO
Inecuaciones.
Método de resolución.
Sistema de ecuaciones.
Método de sustitución..
Calificación de sistemas.
Resolución por el método de eliminación de Gauss.
Determinante.
Sistemas de ecuaciones lineales de tres variables.
Significado geométrico.
Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos.
SUMARIO
Relación Conjunto de partida. Conjunto de llegada.
Relación funcional. Dominio e Imagen. Función escalar.
Función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva.
Monotonía de una función.
Operaciones.Función compuesta. Función inversa.
Conjunto de positividad, conjunto de negatividad y conjunto de ceros.
Traslaciones.Paridad
Función parte entera, función mantisa.Función periódica
Efecto módulo.
Funciones usuales algebraicas.
Función polinómica de primer grado. (lineal). Función identidad.
Función polinómica de segundo grado (cuadrática) Función polinómica general.
Función racional no entera (fraccionarias)
Funciones usuales (no algebraicas) trascendentes.
Función exponencial. Función logarítmica.
Función irracional.
Función trigonométricas. Funciones inversas trigonométricas.
Álgebra y geometría analítica. Gonzalez-Mancill Ed. Kapelusz
Matemáticas (Bachillerato I). Guzmán-Colera-Salvador Ed. McGrawHill
Matemáticas previas al cálculo. L.Leithold. Ed. Harla
Matemáticas contemporáneas. Britton-Bello Ed. Harla
Matemática II , III y IV. Rojo-Sanchez Ed. El ateneo
Matemática (módulo B) Carvajal-Cóccola-Goñí-Olivetto C.E.I.T.
Álgebra y trigonometría Smith y otros Ed. Addison Wesley
Curso de nivelación de matemática Tarzia Ed. McGrawHill
Matemática II, III y IV Tapia Ed. Estrada
Introducción al cálculo Mendelson Ed. McGrawHill
1
Según el geómetra Darboux a Tannery
“una magnitud es todo aquello que es susceptible de aumentar o disminuir”.
Son ejemplos de magnitudes los conceptos de área de una superficie, volumen de un cuerpo, lon-
gitud de una curva, intervalos de tiempo, fuerza, aceleración etc. Las magnitudes verifican las
propiedades de aditividad y de invarianza por desplazamiento.
Aquellas magnitudes que quedan perfectamente definidas con un número real (que indica
la cantidad de magnitud considerada ) y una unidad ( utilizada en su medida ), se denominan
magnitudes escalares.
“ l6 sg ” es un ejemplo de cantidad de una magnitud escalar, “sg” indica que la unidad utilizada (el
segundo) y el número 16 indicada que la cantidad de tiempo considerada es 16 veces la unidad de
referencia .
Existen otras magnitudes que no quedan determinadas con un número real y una unidad.
Si pensamos en una fuerza aplicada sobre un cuerpo cualquiera, considerando que fuerza es
“todo lo que es capaz de modificar el estado de reposo o movimiento o producirle variaciones en su
forma”, los cambios o efectos logrados por la aplicación de ella se realizarán bajo determinadas con-
diciones.
Observemos que para levantar distintos objetos se requieren fuerzas distintas, esto determina su
intensidad .
Si se empuja un vehículo o bien se tira de él, lograremos que se desplace en la dirección en
que giran sus ruedas, pero la información
resulta insuficiente, pues podrá hacerlo 2F
hacia atrás o hacia delante
( sentidos opuestos).
1F
3F
Se dice que una magnitud es un escalar cuando el conjunto de sus valores
se puede poner en correspondencia biunívoca (y continua) con el conjunto de
los números reales o una parte del mismo.
Luis Santaló. (*) correspondencia biunívoca: todos los elementos vinculados uno a uno.
2
Se debe también tener en cuenta donde se aplica la fuerza, pues si presionamos sobre los costados
no lograremos desplazarlo (punto de aplicación).
Las magnitudes que quedan caracterizadas con un número real, una unidad de medida, una
dirección, un sentido y un punto de aplicación se denominan magnitudes vectoriales.
Para representar geométricamente una fuerza, en física se emplea una flecha (un segmento dirigido
u orientado) que condensa todas las características.
B
En símbolo: AB
A
Geométricamente:
Sabemos que un segmento queda determinado por dos puntos en el ejemplo A y B.
Si esos puntos están dados en un orden diremos que el segmento está orientado o dirigido, con
punto o extremo inicial A y extremo final o terminal B . Los segmento dirigidos representan
cantidades vectoriales .
Todo segmento orientado presenta las siguientes características.
Intensidad: longitud del segmento
Dirección: la de la recta que lo contiene.
Sentido: por convención, del punto inicial al extremo final.
Punto de aplicación: punto inicial u origen.
Equipolencia (o equivalencia) de segmentos dirigidos
Dos segmentos dirigidos son equipolentes (o equivalentes) cuando tiene: la misma dirección,
el mismo sentido y la misma longitud.
En Matemática los vectores pueden definirse geométrica o algebraicamente (analíticamente).
El conjunto de todos los segmentos dirigidos equipolentes, que responden a la definición da-
da, recibe el nombre de vector libre o geométrico. Y todo segmento orientado de este con-
junto será una representación del vector.
Una magnitud se llama vectorial cuando el conjunto de sus valores puede
ponerse en correspondencia biunívoca (y continua) con el conjunto de segmentos
orientados que parten de un mismo origen. Luis Santaló.
3
Todos estos segmentos dirigidos (equipolentes o equivalentes) son
representaciones del mismo vector .
Un vector se denota con letras minúsculas a
(y una flecha o raya encima) o bien indicando
cualquiera de los segmentos dirigidos equipolentes AB (correspondiendo la primera al origen
o punto inicial y la segunda al extremo o punto terminal ).
Si introducimos un sistema de coordenadas, llegaremos a una definición analítica de vector,
dada a partir de sus componentes (como par ordenado, terna ordenada o n-upla de números reales),
o bien en forma cartesiana o canónica. Explicaciones que damos más adelante.
Coordenadas cartesianas y vectores geométricos
Sistema de abscisas o sistema unidimensional. ( E1 )
Un punto móvil puede desplazarse sobre una recta en dos sentidos. Si en dicha recta (un univer-
so o espacio de una dimensión ) fijamos un punto O , al que denominamos origen y si sobre ella
determinamos un segmento dirigido al que tomaremos como referencial (base), entonces cada
punto “A” de la recta lo asociamos a un único número real “a” .Este número “a” se denomina
abscisa (o coordenada) del punto y nos permite precisar la ubicación del punto con respecto a los
dos elementos de referencia (el punto origen y segmento dirigido base).
El punto denominado A y su abscisa a se denota : A(a)
Existe una correspondencia biunívoca entre los puntos de la recta y los números reales.
Con A(a) , B(b) , I(1) y el origen del sistema asociado a cero O(0)
a 0 b 0
La distancia entre dos puntos A y B es un número real positivo, una de las diferencias entre las
abscisas a – b ( si a > b ) ó 2ba .
Es decir dist ( A , B ) = 2ba 0
B O I A
4
La distancia entre los dos puntos es la longitud de los segmentos dirigidos AB y BA ,
y de todos los equipolentes a estos (la intensidad, módulo o norma del vector geométrico a
).
Los vectores de norma ó módulo 1 se denominan versores.
El segmento dirigido OI tomado como referencial (unidad), es un versor denominado i
llamado versor canónico (fundamental) de módulo ó norma 1, pues dist( A , B ) = 1 – 0 =1
, dirección de la recta (única dirección en este universo unidimensional) y sentido denominado
positivo.
Todo segmento dirigido por ejemplo RS ( un representante de un vector geométrico) es
equipolente a otro, único, de punto inicial en el origen del sistema cartesiano OP (llamado vector
posición) cuyo módulo, norma o longitud es un número real positivo que resulta de determinar la
distancia entre O y P .
Los puntos indicados y sus abscisas:
B(b) , T(t) , O(0) , P(p) , R(r) y S(s)
En el diagrama los segmentos dirigidos BT , RS y OP son equipolente (igual dirección
,igual sentido e igual longitud ), todos representantes de un vector v .
El vector v se expresa en forma cartesiana p. i
(p se denomina componente del vector ).
Además p es la abscisa del segmento dirigido OP , un representante “destacable” del vector
de punto inicial en el origen de coordenadas, denominado segmento orientado de posición o repre-
sentación de posición del vector.
A los segmentos dirigidos lo llamaremos en adelante indistintamente vector, así OP es un
vector posición.
ejercicio
Dados los puntos M , N , S y T de abscisas : -8 , l6 , -3 y 5 respectivamente
a] Grafique, en la recta cartesiana , los vectores OM . , ON y ST .
b] Halle el módulo ó norma de cada vector.
c] Exprese los vectores OM . , ON y ST según sus componentes (forma cartesiana).
B T O P R S
i
5
Vector nulo
Si un cuerpo se encuentra en equilibrio no actúa sobre él ninguna fuerza (ejemplo 1) o bien la
resultante del sistema de fuerzas es nula (ejemplo 2).
o
(vector nulo) v
v
- v
ejemplo N° 1 ejemplo N° 2
Si para representar las fuerzas recurrimos a vectores, la no presencia de fuerzas la asociaremos
también a un vector (segmento donde el punto inicial y final coinciden), éste se llama vector
nulo (simbolizado : o
), de módulo o norma 0 , y que no tiene dirección. OO .
En el ejemplo N° 2 : 21 FyF
están representadas por vectores, de igual módulo, igual
dirección y distinto sentido (opuesto) que denominados vectores opuestos , )v(y)v(
, por
lo tanto el cuerpo se encuentra en equilibrio (o reposo); la fuerza resultante que reemplaza el efecto
de ambas fuerzas es nula (asociada al vector nulo).
Fuerza resultante (suma de fuerzas)
Sobre un mismo cuerpo pueden actuar simultáneamente un conjunto de fuerzas, la fuerza capaz
de reemplazarlas produciendo el mismo efecto se denomina resultante (suma) .
1F
R
2F
Adición de vectores (vector suma) , visión geométrica.
Así surge la regla del paralelogramo y la de la poligonal para obtener el vector suma de dos
vectores.
C El vector w tiene por representación
BE y CD equipolentes
B D
v
A E El vector suma v + w tiene a AE
como una de sus representaciones.
6
Multiplicación de una fuerza (vector) por un escalar
número real
F
2F
1F
F
2F
+ 1F
+ F
= 3 . F
Suma de vectores (iguales) Producto de un escalar por un vector
Si un animal tracciona un bloque de acero con una fuerza F
, y luego se adicionan dos animales
que traccionan con fuerzas 1F
y 2F
de igual dirección, sentido e intensidad que F
, la fuerza
total ejercida por el conjunto de animales (resultante) tiene la misma dirección, el mismo sentido
y su intensidad será el triple de la de F
.
Complete, deduciendo, las siguientes conclusiones:
Si multiplicamos una fuerza F
por un escalar que pertenezca a R+ (números reales positivos)
¿ qué característica de la misma se modifica?
.........................................................................................................................................................
Si multiplicamos una fuerza F
por un escalar que pertenezca a R- (números reales negativos)
¿ qué características de la misma se modifica?
..........................................................................................................................................................
¿ Qué característica de la fuerza F
no se modifica multiplicándola por cualquier escalar distinto
de 0?
..........................................................................................................................................................
7
ejercicio
Los vectores en el espacio unidimensional (la recta cartesiana) son:
i7p
i4n
i3m
i7c
i5b
i3a
calcule en forma cartesiana o canónica :
)m3(p2)c
p4n2
1)b
n2m3)a
bac)f
cab)e
cba)d
Sistema bidimensional ( E2 )
Consideremos ahora el plano, un espacio de dos dimensiones (bidimensional), tomemos un punto
O (origen del sistema) y dos segmentos dirigidos no colineales, es decir no incluídos en una mis-
ma recta, (los que tomaremos como referenciales, con origen en O y convenientemente de la misma
longitud) Llamaremos eje de abscisas (o eje x) a la recta que incluye a i
= OI y eje de
ordenadas (o eje y) a la otra recta que incluye j
= OJ , quedando así definidos los ejes cartesia-
nos.
P
J
I
O
A todo punto “P” del plano cartesiano lo asociamos a un único par ordenado de números reales
x p e y p llamados coordenadas cartesianas del punto P (el primero se llama abscisa y el
segundo ordenada ). Par ordenado que nos permite precisar la ubicación del punto con respecto a
tres elementos de referencia: el punto origen y dos segmentos dirigidos (base del sistema).
En símbolos: P( x p , y p ) , existe una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano y
los pares ordenados de números reales.
8
La terna (0 , i
, j
) , define un sistema de coordenadas cartesianas en el plano y éste recibe el
nombre de plano coordenado cartesiano. El sistema puede ser ortogonal, es decir los ejes coordena-
dos son perpendiculares. Siempre que no se indique especialmente usaremos uno ortogonal.
Distancia entre dos puntos en ( E2 )
y2 S
y
y1 R Q
x
x1 x2
Para determinar la distancia entre los puntos R y S ,
consideremos el punto Q de coordenadas ( x2 , y1 ), así
determinamos un triángulo rectángulo RSQ, donde la lon-
gitud de su hipotenusa es la distancia entre R y S (o S y
R). Si aplicamos el teorema de Pitágoras se obtiene:
dist ( R , S ) = dist( S , R ) = 2122
12 yyxx = 22
yx
Sea RS , éste tiene asociado uno equipolente OP , llamado vector posición, pués el punto
inicial coincide con el origen de coordenadas. Todo punto P queda determinado por un par orde-
nado de números reales ( x p , y p ) , llamados componentes del vector geométrico representado
por OP , o cualquier equipolente a éste, así el vector v del plano puede escribirse en términos de
los versores i
y j
.
yp P S
R
O
xp
OP = x p i
+ y p j
= v o bien OP = ( x p , y p ) = v
Forma cartesiana o canónica Par ordenado
El módulo o norma del vector v es un número real positivo (o cero en el caso del vector nulo)
que resultará de calcular la distancia entre los puntos O y P .
| v | = | OP | = 2
p2
p yx 0 (en muchos libros se simboliza: || v || )
Una importante y muy
conocida propiedad de las
longitudes de los lados de
un triángulo rectángulo es
el TEOREMA DE PITÁGORAS
Enunciado En un triángulo rectángulo
el cuadrado de la longitud
del lado mayor(hipotenusa)
es igual a la suma de los
cuadrados de los otros la-
dos (catetos)
c c2=a
2+b
2
a
b
9
Sistema tridimensional. ( E3 )
Un sistema cartesiano de tres dimensiones (espacio tridimensional) queda establecido conside-
rando un punto O (al que se llama origen de coordenadas), tres segmentos orientados no copla-
nares con origen en O (convenientemente de la misma longitud) tomados como referenciales.
Denominaremos: eje de abscisas (o eje x) a la recta que incluye a i
= OI
eje de ordenadas (o eje y) a otra recta que incluye a j
= OJ y
eje de cotas (o eje z) a la recta que incluye al tercer segmento
dirigido k
= OK , quedando así definidos los tres ejes coordenados cartesianos y tres planos
que los incluyen de a pares (denominados planos cartesianos, usualmente llamados xy , yz y
zx ).
Todo punto P , del espacio, queda determinado por tres coordenadas ( x p , y p , z p ) , llamadas:
abscisa , ordenada y cota respectivamente.
zp
P P ( x p , y p , z p )
yp
xp
Existe una correspondencia biunívoca entre los puntos del espacio tridimensional y las ternas
ordenadas de números reales .De forma análoga, a lo hecho anteriormente, los vectores se definen:
OP = x p i
+ y p j
+ z p k
= v o bien OP = ( x p , y p , zp ) = v
Forma cartesiana o canónica Terna ordenado
El módulo o norma del vector v es (la distancia entre los puntos O y P ) :
| v | = | OP | = 2
p2
p2
p zyx ( ó se simboliza || v || )
10
Adición de vectores
Como par ordenado eeejjjeeemmmppplllooo
( a , b ) + ( c , d ) = ( a+c , b+d ) ( 5 , -3 ) + ( -1 , 9 ) = ( 4 , 6 )
y en forma cartesiana :
( a i
+ b j
) + ( c i
+ d j
) = (a+c) i
+ (b+d) j
( 5 i
- 3 j
) + ( - i
+ 9 j
) = 4 i
+ 6 j
Sustracción de vectores
Es la adición de un vector y el opuesto al sustraendo : v - w = v + ( - w )
ejercicio
Si jipj5i3s
)3,5(mj3i2r
Calcule y represente los vectores :
r + m - s
m - s - p
s - (- p + m )
Multiplicación de un escalar por un vector
El producto de esta multiplicación es un vector que conserva la dirección si el escalar o número
real no es cero :
k R eeejjjeeemmmppplllooo
k ( a , b ) = ( k.a , k.b ) 9 ( -1 , 32 ) = ( -9 , 6 )
k ( a i
+ b j
) = k a i
+ k b j
9 ( - i
+ 32 j
) = - 9 i
+ 6 j
ooopppeeerrraaaccciiiooonnneeesss
11
Propiedades de la Adición
Ley de composición interna o ley de cierre:
La suma de dos vectores es un vector.
Asociatividad: )cb(ac)ba(
Elemento neutro aditivo: aaooa
(el vector nulo)
Elemento inverso aditivo: oa)a()a(a
Conmutatividad: abba
Propiedades del producto de un vector por un escalar.
Ley de composición externa : El producto es un vector
Asociatividad mixta ( h k ) a = h ( k a )
Distributividad (de la multiplicación de un vector respecto a la adición de escalares)
( h + k ) a = h a + k a
Distributividad (de la multiplicación de un escalar respecto a la adición de vectores).
h ( a + b ) = h a + h b
Existencia de un escalar neutro 1 a = a
ejercicios
1] Sea j6i2b
).2,3(a
2] Dados los puntos
M(7 , 2) P(-5 , -2) R(0 , -2) T(1 , -1)
Determine y tal que a] Represente los siguientes vectores y el
equipolente de posición
)7,3(ba
MP , PR , TM y RT .
j5i2ab
b] Calcule el módulo o norma de cada vector
c] Exprese como par ordenado y en forma
cartesiana
3] Determine y , siempre que se cumpla la condición indicada, para cada par:
)2
2
3,2(a
)1,32(b
)12,43(a
)38,36(b
su diferencia es el vector nulo son vectores opuestos
12
Ángulo de giro o de rotación o ángulo orientado entre dos vectores
Se denomina ángulo orientado a todo par ordenado de semirrectas de origen común (vértice)
que describe una rotación. Estas incluyen segmentos dirigidos, representaciones de vectores, del
vértice a cualquier otro punto de la semirrecta, por lo cual un ángulo orientado es el ángulo de un
par ordenado de vectores . B
O A
El ángulo orientado queda definido por un par ordenado de semirrectas OA y OB .
Si las semirrectas son perpendiculares el ángulo se dice recto , si están incluídas en la misma
recta llano.
Hay dos sentidos distintos, por convención se tomará como positivo (o directo) el sentido de giro
contrario a las agujas del reloj y negativo (antihorario) su opuesto.
Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan
(están a igual distancia) de un punto llamado centro , esa distancia al centro se
denomina radio .
Dada una circunferencia con centro en el vértice del ángulo orientado :
B
00
sentido positivo (directo)
Todo ángulo orientado tiene asociado un conjunto de arcos orientados (incluidos en cualquier
circunferencia de centro en el vértice).
O
13
Medición de ángulos.
En la resolución de los problemas (que se plantean en trigonometría) se emplean dos sistemas de
unidades de medida que “conviven”: sexagesimal y circular. También existe otro sistema el
centesimal que no utilizaremos por no ser de uso habitual.
Sistema sexagesimal
La unidad es el ángulo igual a la 90-ava parte de un ángulo recto llamado grado . El grado se
divide en 60 partes iguales llamadas minutos, el minuto se divide en 60 partes iguales llamadas
segundo (en ocasiones el segundo se divide en décimos o centésimos de segundos):
Ejemplo :
Reducción de una medida expresada en sistema sexagesimal a su equivalente en grados en sistema decimal.
Como dijimos 1
60
1 , 1
3600
1
713,16"48'4216
)713,016("48'4216
60
8,4216"48'4216
3600
48
60
4216"48'4216
Sistema centesimal
En este sistema (no usual) la unidad es el grado denominado centesimal, que es la centésima
parte de un ángulo recto .El grado centesimal (g ), se divide en 100 minutos centesimales y el
minuto centesimal se divide en 100 segundos centesimales.
.
Arquímedes es sin duda alguna, una de las máximas figuras matemáticas griegas. Nació en Siracusa
en el 287 a J.C. y murió en el 212 a J.C. Se imaginaba a la circunferencia como la figura obtenida
por exhaución de polígonos regulares inscriptos y circunscriptos en ella, por lo tanto su longitud
está comprendida entre los perímetros de estos polígonos. Con su método, llegó a determinar con 7
cifras decimales, tarea que continuó Ludof Van Ceulen quien llegó a precisar 36 cifras decimales.
El número por ser un número real irracional tiene un conjunto infinito de cifras decimales (en su
notación decimal) .
Una calculadora científica
te puede ahorrar el trabajo
de la reducción a grados .
Ésta tiene una tecla de
conversión ( ’ ” )
16 42 48 así ingresa
16 42’ 48”
14
Sistema circular
La unidad de medida del sistema circular es el ángulo tal que la longitud del arco de cualquier
circunferencia con centro en el vértice es el radio , denominado radián.
Si consideramos una circunferencia de radio 1 (circunferencia trigonométrica), si recordamos que
longitud responde a la expresión 2 r (r: radio), la medida de la longitud del arco de circunferen-
cia asociado a un ángulo de giro de 360° es 2 , de 180° es y 90° es /2.
Reducciones importantes:
La reducción o conversión de una medida sexagesimal a su equivalente en sistema circular, y
viceversa, se realiza teniendo presente lo siguiente:
180 , también 1 180
, no dicen igual , son equivalente (miden lo mismo).
Ejemplo: convertir 32 7’ 30” con resultado obtenido en la calculadora : 32,l25 °
180
0,017455329... entonces 32,125 . 0,017455327 0,56068702... (radianes)
En el Sistema Internacional de unidades, se define al radián como unidad suplementaria.
ejercicios
1 Reduzca a sistema circular.
32° 34’ 56” 18° 27’ 35”
34,123 ° 108,345 °
15
2 Complete el siguiente cuadro
Cantidad en Sistema
s sexagesimal
Medida en el
Sistema circular
Cantidad en
Sistema centesimal
Ángulo interior de un
dodecágono regular
Ángulo interior de
un octágono regular
Ángulo central de
un pentágono regular
Razones trigonométricas .
Consideremos un plano cartesiano y cualquier circunferencia con centro en el origen del sistema.
Sea cualquier punto M de la circunferencia , la medida del ángulo orientado entre el
vector (radio) y el versor canónico i
.
M(x,y) M
Definimos los siguientes números reales (razones o cocientes), solo en los casos que los
divisores son distinto de cero :
x
ytg
xcos
ysen
y
xgcot
yeccos
xsec
O i
Designamos
medida del ángulo orientado
x abscisa del punto M
y ordenada del punto M
radio , distancia entre M y O
o módulo del vector OM
Seno
Coseno
Tangente
Secante
Cosecante
Cotangente
16
Los triángulos rectángulos que quedan determinados son semejantes, pues tienen ángulos corres-
pondientes congruentes (de la misma medida); y por propiedad de la semejanza de triángulos las
razones de las medidas que se pueden formar con cada par de lados no varía (es decir la longitud de
los lados correspondientes
es directamente proporcional) .
O
Lo indicado nos muestra que las razones trigonométricas dependen del ángulo de giro y no de la
circunferencia (de diferente radio) elegida.
El plano cartesiano queda dividido en cuatro partes , llamadas cuadrantes , donde discriminamos
los signos de las coordenadas de los puntos que le pertenecen :
y
segundo cuadrante primer cuadrante
0y0x 0y0x
x
tercer cuadrante cuarto cuadrante
0y0x 0y0x
El signo de las razones dependen de x e y , ya que es positivo
ejercicio
Primer
Cuadrante
Segundo
cuadrante
Tercer
cuadrante
Cuarto
cuadrante
d
Seno de
Coseno de
Tangente de
Cotangente de
Secante de
Cosecante de
Complete el
cuadro con los
signos de los
números
trigonométricos
correspondientes
17
Si tomamos una circunferencia de radio 1 como caso particular, a la que llamaremos circunferen-
cia trigonométrica, en donde se deduce con claridad que los valores que pueden adoptar las razones
definidas como sen y cos pertenecerán al conjunto de números reales comprendidos entre
–1 y 1.
Relación entre el seno y el coseno de un ángulo de giro
1)(cos)sen(
)(cos)sen(
xy)(cos)sen(
xy)(cos)sen(
22
2
222
2
2222
2
2
2
222
La suma de los cuadrados del seno y del coseno de un ángulo es uno .
Tabla para tener en cuenta
Medida en grados
Medida en radianes
0 °
0
30 °
/ 6
45 °
/ 4
60 °
/ 3
90 °
/ 2
sen
0 2
1
2
2
2
3
1
cos
1 2
3
2
2
2
1
0
tg
0 3
3
1
3
No existe
ejercicios
1 Deduzca expresiones (equivalentes) de los siguientes números según sen y cos , es
decir en “función” solo de estos números o un valor determinado. Use las definiciones e indi-
que condiciones :
(por ejemplo) tg =
cos
sen
x
y
.x
y
x
y , siempre que cos 0
cotg = sec = cosec =
tg . cotg = sec . cos = cosec . sen =
Triángulo rectángulo con
hipotenusa de longitud 1
= 1
cos
sen
18
Los siguientes cuadrados pueden escribirse: (sen )2 = sen
2 , (cos )
2 = cos
2
A partir de: cos 2 + sen
2 = 1 , sabemos que si dividimos por cos 0
se obtiene:
2
2
cos
cos +
2
2
cos
sen =
2cos
1 es decir 1 + tg
2 = sec
2
así tg 2 = 1 - sec
2
2 Proceda análogamente y determine :
cotg 2 =
3 Deduzca los números trigonométricos y complete la siguiente tabla , evite usar la calculadora.
Proyección de un segmento sobre una recta
La proyección ortogonal de los segmentos AB sobre el eje , son los segmentos 'B'A , y en
un caso particular (donde el segmento AB esta incluído en una recta perpendicular) su proyec-
ción es un punto . La medida ( med ) del segmento proyección se calcula “gracias” a un coseno:
med ( 'B'A ) = med ( AB ) . cos ,
es la medida del ángulo agudo que forman la recta
que incluye a AB y la recta o eje de proyección que incluye a 'B'A .
315° -120° 240° -240° 4
2
32
210°
Seno
Coseno
Tangente
A
A
A
B B A B
B’ A’
A’ B’ A’= B’ A’ B’
B
19
uy
vy
ux vx
Consideraremos una importante operación: la multiplicación de dos vectores de producto escalar.
Sean u
y v
dos vectores entonces el producto escalar es :
cosvuvu
con medida del ángulo entre los vectores diferentes del nulo , como su nombre lo indica el
producto escalar de dos vectores es un número real .
Los siguientes productos escalares
son útiles y fáciles de verificar:
0ij
0ji
1jj
1ii
Si se tiene presente la segunda propiedad (*), no sencilla de probar, se puede obtener otra
importante expresión para calcular el producto escalar según las componentes de los vectores :
Ejemplificamos para vectores del plano cartesiano: u
= ux i
+ uy j
y v
= vx i
+ vy j
u
v
= ( ux i
+ uy j
) ( vx i
+ vy j
)
si continúa el desarrollo se concluye que :
u
v
= ux . vx + uy . vy
Empleamos la primera expresión y deducimos el coseno del ángulo que determinan los vectores
es decir el ángulo entre las recta de dirección que indican los vectores:
cos = vu
vu
eee jjj ...
6,1v
3,2u
18vu
)3.(6)1.(2vu
Producto escalar o interior
Dados los siguientes vectores,
calculamos el producto escalar :
Propiedades del producto escalar
uvvu
(*) surusru
k R vukvuk
0v0
2
uuu
20
ejercicio
Halle la componente desconocida del vector u
si se sabe que el producto escalar entre
)3,(u
y )5,6(v
es 18. Luego calcule el coseno del ángulo entre los vectores.
Posiciones relativas de rectas cuya dirección indica un vector (denominados vectores directores)
* Si el producto escalar de dos vectores no nulos es cero, u
v
= 0, la medida del ángulo es / 2
Las rectas son perpendiculares (en el plano) y los vectores se dicen ortogonales .
Condición de ortogonalidad entre vectores.
Dos vectores no nulos son ortogonales si el producto escalar entre ellos es 0.
eee jjj eee mmm ppp lll ooo sss
Dados los vectores 2,3u
y k,2v
. Hallamos el valor de k tal que sean ortogonales.
(Es decir las rectas en el plano, cuya dirección indica cada vector , son perpendiculares).
** Si el producto escalar de dos vectores no nulos es : u
v
= | u
| | v
| ó u
v
= - | u
| | v
| ,
la medida del ángulo entre los vectores 0 ó respectivamente .
Condición de paralelismo de dos vectores
Dos vectores tienen la misma dirección si sus componentes homólogas son proporcionales o bien
si uno de los vectores es múltiplo escalar del otro :
k : k R - { 0} ukv
ó ku
v
u
v
y
y
x
x , siempre que 0u0u yx
ejercicios
1 Determine si los siguientes vectores tienen la misma dirección.
)40/14,7/3(v,)5,4/3(u
2 Halle para que los siguientes pares de vectores tengan la misma dirección
(decimos paralelos).
)1,1(v
1,1u
)9,1(m
)1,3(n
)1,8(t
)2,(z2
u
v
= 0
2 . 3 + 2 . k = 0
k = -3
21
3 Si )3,2(u
y )2,5(v
Determine
tal que: a] los vectores son ortogonales, b] los vectores son paralelos.
Ángulos directores Se denominan ángulos directores de un vector a los ángulos que dicho vector determina con cada
uno de los versores canónicos i
o j
(en el espacio cartesiano también consideramos a k
).
v
Si v es un versor (de módulo 1) v = v
, multipliquemos por los versores
canónicos v
i
= 1 . 1 . cos = vx . 1 + vy . 0 = vx
v
j
= 1 . 1 . cos = vx . 0 + vy . 1 = vy
las componentes de un versor son los cosenos directores , es:
v
= cos i
+ cos j
= ( cos , cos ) = ( vx , vy )
*Otra forma de expresar un vector según su módulo y los cosenos directores :
.
Se sabe que todo vector es : u = | u | . u
, y por lo antedicho respecto de un versor :
u = | u | . ( cos , cos )
u = ( | u | . cos , | u | . cos )
En el plano cartesiano y suman / 2, se denominan ángulos complementarios
cumpliéndose :
sen = c
a = cos
cos = c
b = sen
por lo tanto u = ( | u | . cos , | u | . sen )
c a
b
es la medida del ángulo
director entre el vector v e i
,
así como es la medida del
otro ángulo director del vector
v con j
.
22
Proyección ortogonal de un vector sobre los ejes cartesianos o respecto de los versores
canónicos
La proyección ortogonal de un vector sobre un eje es otro vector.
v v
v v
Sea la medida del ángulo director con respecto a i
v = ( | v | . cos , | v | . sen )
los vectores proyección ortogonal sobre los ejes cartesianos o mejor dicho respecto los versores
canónicos son :
xv = ( | v | . cos , 0 )
yv = ( 0 , | v | . sen )
0 90 90 180
correspondiente a la medida en sistema sexagesimal .
180 270 270 360
Se observa ,claramente , que el vector v es la suma de los vectores proyecciones sobre los ejes.
23
ejercicios
Indique como pares ordenados los vectores 1F
, 2F
, 1F
+ 2F
, 1F
- 2F
y 2F
- 1F
,
además calcule los módulos de los vectores suma y diferencias. Por último bosqueje las
representaciones geométricas de todos estos vectores.
a] Datos :
150
35|F|
30
40|F|
2
2
1
1
b] Datos:
200
75
30|F|
25|F|
2
1
2
1
c] Datos:
160
15|F|
300
50|F|
2
2
1
1
Resolución de triángulos rectángulos
Un triángulo queda determinado cuando se conocen sus tres lados (sus longitudes) y los tres ángu-
los interiores (sus medidas). Por lo tanto resolver un triángulo rectángulo es determinar los elemen-
tos del mismo conociendo otros tres (siempre que uno de ellos sea un lado).
Propiedades de uso :
* Relación entre los ángulos: la suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo
es 180°.
** Relación entre los lados: la relación entre las medidas de los lados de un triángulo rectángu-
lo queda determinada por los corolarios del teorema de Pitágoras.
*** Relación entre lados y ángulos de un triángulo rectángulo queda determinada por las razones
trigonométricas.
B
A C
eee jjj eee mmm ppp lll ooo sss
Datos de un triangulo rectángulo
'2064
18,45BC
Por suma de las medidas de los ángulos interiores y por ser uno recto , calculamos .
= 90 - 64 20 , así = '4025
Calculamos la longitud de los otros dos lados empleando los números trigonométricos:
AC = BC . sen 64 20 AB = BC . cos 64 20
AC 40, 72205151... AB 19,56902963...
Las medidas de los lados son los módulos
de los vectores : AC , BC y AB .
Las medidas de los ángulos interiores son
, y correspondientes a los
vértices A , B y C respectivamente .
24
Otro triangulo rectángulo cuyos lados miden
20AC
35BC
Tenemos la longitud de un cateto y la hipotenusa, con lo cual calculamos el seno de :
sen =BC
AC =
35
20 . Si conocemos un número trigonométrico como seno
, coseno o tangente podemos determinar la medida del ángulo del primer cuadrante (tema que
desarrollaremos en otra unidad) con la ayuda de una calculadora científica si ingresamos el
número trigonométrico y presionamos :
[inv] [sin] , [cos] o [tan]
Así obtenemos 34,84990458... en grados según el modo predeterminado del sistema en uso
[deg] sexagesimal y [rad] en radianes luego presionamos la tecla [ ] : = '5134
Por teorema de Pitágoras calculamos
72,28AB
2035AB22
ejercicios
1 Determine los elementos de cada triángulos rectángulo ABC , si se conoce :
1-1] 45AC,30AB 1-2] "43'3247,90BC
1-3] "45'2532,67BC 1-4] "17'3453,72AC
Ángulos de observación :
objeto
Ángulo de elevación
horizontal horizontal
Ángulo de depresión
objeto
25
Problemas de aplicación:
2 Un hombre se encuentra a 20 metros de la base de un cartel, observa que el ángulo entre el
suelo y la parte superior del cartel mide 30° 12’ 34” .Calcule la altura del cartel.
3
4 Para hallar la distancia entre dos puntos P y Q en las orillas de una laguna, un agrimensor lo-
caliza un punto R que está a 50 m de P tal que RP es perpendicular a PQ . Luego usando
un teodolito determina la medida del ángulo PRQ que es de 72°40’36”. Halle la distancia entre
P y Q.
5 Al observar una torre desde lo alto de otra torre de 15 m , el ángulo de elevación es de 59°, si
se observa desde él junto a la torre más baja
el ángulo de observación es de 62° :
a) Aproximadamente a que distancia están
las dos estructuras.
b) Calcule la altura de la torre.
6 La figura que se detalla corresponde a un tobogán de agua, halle la longitud del mismo.
35
9
25 9
31
7 Calcule el ángulo formado por una diagonal de la base y la diagonal de un prisma recto, del
que se conoce las dimensiones de sus aristas: 2,45 X 1,80 X 1,22 (esta última es la altura).
8
Para una nueva ruta debe construirse un túnel bajo la montaña
que mide 80 m de altura. A una distancia de 60 m de la base de
la montaña, el ángulo de elevación es de 36°. De una distancia
de 45 m en el otro lado, el ángulo de elevación es de 47°.
Calcule la longitud del túnel.
Desde lo alto de un faro, un observador avista una embarcación
que navega directamente hacia el faro. Si el observador está a 30m
sobre el nivel del mar y el ángulo de depresión de la embarcación
cambia de 25° a 40°, durante el período de observación. Calcule la
distancia que recorre la lancha.
26
9 Una señora está parada a 60 m de la base de una torre. El ángulo de elevación hasta el ex-
tremo superior de la misma es de 72°23’12”.Halle la altura de la torre.
11 La fuerza F
(peso de un cuerpo) se encuentra aplicada como indica cada una de las figuras,
determine las tensiones de los hilos que sostienen el cuerpo.
60° 60° 35° 60°
90 90
|F|
= 350 |F|
= 380 |F|
= 320
(-a,b)
12 (a,b)
a 0
b 0
(-a,-b) (a,-b)
Por observación del esquema deduzca y complete la siguiente tabla, donde relacionamos los
números trigonométricos indicados con sen , cos , tg , cotg , sec y
cosec :
sen (-) = sen sen (+) = sen (2-) =
cos (-) = cos (+) = - cos cos (2-) =
tg (-) = tg (+) = tg (2-) =
cotg (-) = cotg (+) = cotg (2-) =
sec (-) = sec (+) = sec (2-) =
cosec (-) = cosec (+) = cosec (2-) =
10 Un cuerpo de peso de intensidad de
85 N está sobre un plano inclinado que
forma un ángulo de 23° con la horizontal.
Encuentre las componentes de la fuerza
de peso, paralela y perpendicular a la
superficie del plano inclinado (en el
sistema cartesiano que se indica).
27
Al buscar en un diccionario el significado de la palabra
Expresar encontramos “ dejar conocer o manifestar los pensa-
mientos, impresiones o deseos por medio de un lenguaje ”. En
adelante manifestaremos números reales (o escalares) por medio
de representaciones escritas llamadas expresiones .
Indicamos el área del rectángulo sombreado considerando los
datos de los lados del rectángulo mayor , si se sabe que los cua-
driláteros del lado izquierdo superior e inferior son cuadrados :
3
( 15 – 3 ) . ( 12 – 2 . 3 ) 12
15
lo escrito se denomina expresión aritmética pues expresa un
valor numérico determinado,(el resultado del cálculo aritmético)
que en este caso particular es 30.
En adelante trabajaremos con números pertenecientes al conjunto
de los números reales R o cualquier subconjunto (que deberá ser
indicado)
Procedemos a indicar el área , donde la longitud del lado de uno
de los cuadrados es un número genérico x , que indica cualquier
número mayor de 0 y menor de 12 :
x (1)
( 15 – x ) . ( 12 – 2 . x ) 12
15
lo escrito se denomina expresión algebraica pues expresa un
número indeterminado ( desconocido , variable) donde de
acuerdo al valor que adopte x , manifestará un único y preciso
valor numérico estando ante un caso particular de la expresión .
Así las expresiones Algebraicas están formadas por números
determinados , números indeterminados identificados me-
diante letras ( salvo algunas excepciones: , e ) y conectivos
que indican operaciones .
Para calcular el Área de
un rectángulo multipli-
camos la longitud del
lado altura por la del
lado base
b
a
ÁREA del rectángulo: a.b
Revisamos brevemente los
conjuntos numéricos
Los números naturales
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...
forman el conjunto sim-
bolizado N,si agregamos
el 0 y todos los opues-
tos forman el conjunto
de los números enteros
Z ,que ampliado con las razones de enteros (no
enteras)constituyen el
conjunto de los números
racionales Q .Estos úl-
timos junto con los nú-
meros irracionales (no
razones de enteros)
forman el conjunto de
los números reales
R
Z
N
Q
28
Los números indeterminados de una expresión algebraica perte-
necen a un conjunto , el más amplio , llamado conjunto de exis-
tencia ( E ) . Este surgirá de las restricciones de las operaciones
que intervienen.
Si la expresión algebraica modeliza una situación problemática
deberá ser considerado el conjunto de validez ( V ) un subcon-
junto del conjunto de existencia ( V E ) .
El conjunto de existencia de la expresión (1) es E = R ,todos
los reales pero su conjunto de validez lo forma cualquier real
entre 0 y 6 (pues 15-x y 12-2.x expresan los lados) :
V ={ x / x R 0 < x < 6 }
eee jjj eee mmm ppp lll ooo
En una situación concreta : 100 litros de una solución posee un
18% de alcohol que se mezcla con otra de 200 litros que contiene
6% de alcohol.
Expresamos la cantidad de alcohol que hay en la mezcla final
0,18 . 100 + 0,06 . 200 , es decir 30 litros de alcohol.
El porcentaje de alcohol de la mezcla resultante
( 0,18.100 + 0,06. 200 ) .100
100 + 200 es decir 10 ( % )
Si mezclamos esas mismas soluciones pero para diferentes
cantidades de capacidad tendríamos expresiones algebraicas
como generalizaciones, aritmética generalizada de casos o
situaciones similares.
Para A y B litros de una y otra solución.
0,18 A + 0,06 B , litros de alcohol de la mezcla
resultante
y el porcentaje de alcohol de la mezcla final
( 0,18. A + 0,06 . B ) .100
. A + B
Los conjuntos son
agrupaciones de objetos
que llamaremos elementos
,se denotaran con alguna
letra mayúscula ,por ej.
V al conjunto de las
vocales.
Descripción de conjuntos
Por extensión o
enumeración de sus
elementos :
{a,e,i,o,u}
Por comprensión o
propiedad común a todos
los elementos :
{x / x es vocal}
Los elementos de un
conjunto decimos perte-
necen , están en el
conjunto :
a V en caso contrario
1 V
En cambio al relacionar
dos conjuntos uno esta
incluido en el otro si
todos los elementos de A
pertenecen al conj. B
escribimos A B (A esta incluido en B)
A B (A esta incluido o es igual a B)
B A (B incluye a A)
B A (B incluye o es igual a A)
Sean p y q dos proposi-
ciones,la proposición
pq (p y q) denominada conjunción es verdadera
solo cuando ambas(p y q)
son verdaderas.
El conectivo lógico
se lee y .
29
ooo ttt rrr ooo eee jjj eee mmm ppp lll ooo
Indicamos la expresión algebraica que
represente el inverso del cuadrado de la
longitud de la hipotenusa del triángulo
rectángulo isósceles de área igual a 72.
x - 4
El cuadrado de la hipotenusa es (x-4)2 + (x-4)
2
Lo pedido es ( 2 (x-4)2 )
-1 =
24)2(x
1
Buscamos el conjunto de existencia de la última expresión sin
tener en cuenta la situación problemática, es decir determinamos
los valores de x para los cuales la expresión representa un número
real , recordando que no existe la división por cero .
E = R - {4} = { x / x R x 4 }
Como el número indeterminado x-4 representa en el ejemplo la
medida de la longitud de un lado entonces x-4 es mayor que
cero y menor e igual a 12 así el conjunto de validez es :
V = { x / x R 4 < x 16}
ejercicio
A
C m
D
B
La arista mide m
E
Escribe la expresión algebraica que indica la longitud de la línea
poligonal de A a B . Los puntos medios de aristas son C , D y E.
Dos números reales n y m
(no ceros) diremos son
inversos si n.m = 1
n = 1/m ó n = m-1
Las relaciones de orden
entre dos números reales
mayor y menor se definen
Si a-b es positivo
entonces a > b
(a es mayor que b)
Si a-b es negativo
entonces a < b
(a es menor que b)
Otros conectivos de orden
amplio son :
mayor o igual
menor o igual
Propiedad de tricotomía de
dos números reales
a=b ó a>b ó a<b
Para negar una igualdad
escribimos a b
( : distinto,no igual )
Si a b b c se
puede escribir a b c
30
Clasificación
ENTERAS
RACIONALES
NO ENTERAS
EXPRESIONES
ALGEBRAICA IRRACIONALES
TRANSCENDENTES
EEEXXXPPPRRREEESSSIIIOOONNNEEESSS RRRAAACCCIIIOOONNNAAALLLEEESSS EEENNNTTTEEERRRAAASSS
(((PPPOOOLLLIIINNNOOOMMMIIIOOOSSS)))——————————————————————————————————————————
Primero consideraremos expresiones donde al menos un número
indeterminado, la parte variable , y un número determinado lla-
mado coeficiente se conectan mediante multiplicaciones (y su
caso particular la potenciación de exponente natural ) o sólo un
número determinado.
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)
22 4.x2.y 5,7. x
6 -9.x.y.x 2 .t e .x
15 x
π.p
4 .q
Estas expresiones se denominan monomios (un término)
Llamaremos grado del mononio al número de factores indeter-
minados que presenta.
Los monomios 2) y 4) poseen la misma parte indeterminada o
variable por ello se llamaran semejantes aunque tengan diferen-
tes coeficientes.
Los monomios serán términos de expresiones algebraicas racio-
nales enteras denominas Polinomios (en lo sucesivo trabajaremos
con polinomios de un sólo número indeterminado y para facilitar
su notación emplearemos una letra y entre paréntesis la indetermi-
nada), por lo tanto el conjunto de existencia de cualquier polino-
mio es el conjunto de los números reales E = R .
Si introducimos la notación de sumatoria, los polinomios de una
sola indeterminada responden a la forma
aj coeficientes reales , p(x) = j
xn
1jj
ao
a .
El grado de un polinomio será el mayor grado de todos sus
términos, gr( p(x) ) , y su coeficiente principal será el que
corresponda al termino de mayor grado . Si este es uno (1) el
polinomio se denomina mónico o normalizado.
Parte
Coeficiente variable
1 22 no tiene
2 4 x2.y
3 5,7 x6
4 -9 y.x2
5 √2 t
6 e x16
7 π p4.q
En los ejemplos dados de monomios los grados res-
pectivos son:
0 , 3 , 6 , 3 , 1 , 16 , 5
eeejjjeeemmmppp lllooo dddeee pppooollliiinnnooommmiiiooosss
p(x)=2x5+4x
4-6x
3+2x
2-x+4
q(x)=-4x4-2x
2-8,3x+154
r(y)=2y3+y
5-16y
7
s(z)=2z+4z4-7z
3+z
8-32
t(z)= 2 , u(x) = 1 , v(y)= 0 grado coef.principal p(x) 5 2
q(x) 4 -4
r(y) 7 -16
s(z) 8 1
t(z) 0 √2
u(x) 0 1
v(y) carece no tiene .
s(z) y u(x) son mónicos
0 : es el polinomio nulo
31
Según el número de términos los polinomios se califican en:
Términos 1 2 3 4
Nombre monomio binomio trinomio cuatrinomio
3 x 4 – 5 x4 + 12 x4 + 3 x4 Observemos que la expresión de cuatro términos puede
simplificarse, pues sus términos son semejantes, asi es el
monomio : 13 x4
Con el objeto de facilitar el cálculo de las operaciones, los poli-
nomios p(x) ,en una indeterminada , se pueden ordenar sus
términos (por convención de mayor a menor grado) y completar
los términos faltantes con 0. xn .
p(x) = 2x3+4x
5-6x
6+2x
8-x+4-2x
4-x
3+4
polinomio de grado 8 desordenado e incompleto
p(x) = 2x8+0x
7-6x
6+4x
5-2x
4-x
3+0x
2-x+4
polinomio de grado 8 ordenado y completo .
Adición y sustracción eee jjj eee mmm ppp lll ooo Expresamos el area del trapecio, de análisis, por un polinomio
ordenado y completo :
x
(16 + x + x ) . 22 / 2 16
22 x + 176 x
22
a continuación el área de la figura sombreada:
16
2x . x (22 – x) . 16
2 2
2.x
x2 – 8.x + 176
x
22
Adición de reales
a + b = c
los números a y b se
denominan sumandos y
c suma.
Propiedad asociativa
de la adición
(a+b)+c =a+(b+c)=a+b+c
Existencia de elemento
neutro 0 en la adición
a+0=0+a=a
Existencia de elemento
inverso aditivo u opuesto
a+(-a)=(-a)+a=0
Propiedad conmutativa
a + b = b + a
El área de un trapecio
(cuadrángulo de un par
de lado paralelos) :
( b + B ) . a / 2
B ,base mayor
a altura
base
menor , b
ooopppeeerrraaaccciiiooonnneeesss
32
Para terminar, con este ejemplo,
expresamos el área del
triángulo como diferen-
cia de las áreas 16
consideradas.
2.x
x
22
( 22 x + 176 ) - ( x2 - 8 x + 176 )
22 x + 176 - x2 + 8 x - 176
- x2 + 30 x + 0 , trinomio de segundo grado .
ooo ttt rrr ooo eee jjj eee mmm ppp lll ooo Sean los polinomios : p(x) = x
7-4x
6+3x
5-2x
4-x
3-x+4
q(x) = 2x5-6x
6-6x
4-x
3+10x
2+7x
t(x) = 6x6+3x
5-8x
4+2x
3+x
2+ 9
calculamos los polinomios suma o diferencia previa ordenación
y complementación de los operandos:
p(x) + q(x) =
x7-4x
6+ 3x
5- 2x
4- x
3+ 0x
2- 1x+4 +(-6)x
6+2x
5-6x
4-x
3+10x
2+7x+0=
x7-10x
6+5x
5-8x
4-2x
3+10x
2+6x+4
, hemos sumado los términos semejantes.
q(x) + t(x) =
(-6)x6+ 2x
5- 6x
4-x
3+10x
2+7x+0 + 6x
6+ 3x
5- 8x
4+2x
3+x
2+0x+9 =
5x5-14x
4+x
3+11x
2+7x+9
t(x) - p(x) = t(x) + (-p(x)) = cambiamos el signo de cada termino
6x6+3x
5- 8x
4+2x
3+x
2+0x+9 - x
7+ 4x
6-3x
5+2x
4+x
3-0x
2+ x - 4 =
-x7+10x
6+0x
5-6x
4+3x
3+x
2+x+5
q(x) – t(x) = q(x) + (-t(x)) =
-6x6+ 2x
5- 6x
4-x
3+10x
2+7x+0 - 6x
6- 3x
5+ 8x
4-2x
3-x
2- 0x-9=
-12x6-x
5+2x
4-3x
3+9x
2+7x-9
Desde el punto de vista formal simplificamos la expresión aso-
ciando los términos semejantes, obteniendo un polinomio suma o
diferencia de grado igual o menor que el grado de los sumandos.
Sustracción de reales
a - b = c
el número a se denomina
minuendo , b sustraendo
y c diferencia o resta.
La sustracción de reales
puede ser considerada co-
mo la adición de un número
y el opuesto del otro :
a-b = a+(-b)
POLINOMIO OPUESTO
Del ejemplo dado:
-x7+4x
6–3x
5+2x
4+x
3+x-4
-2x5+6x
6+6x
4+x
3–10x
2-7x
-6x6–3x
5+8x
4–2x
3–x
2-9
Es decir un polinomio
es opuesto a otro si
sus respectivos términos
(semejantes)son opuestos,
y el polinomio suma es el
polinomio nulo.
33
ejercicios
1 Complete los polinomios operandos faltantes para determinar el polinomio p(x) :
7 x2 + 3x – 2 + ................................. = 8 x
3 + 0 x
2 + 2 x –16
- + -
................................. - -5 x3 -3 x
2 + 3 x –11 = ........................................
= = =
2 x2 + 6 x –10 + ................................. = p(x)
2 A B
b
F E
c
D C
a Complete , en los recuadros , con la expresión algebraica
correspondiente al :
= +
Área del Área del Área del
rectángulo ABCD rectángulo ABEF rectángulo FECD
G H
c I K
b
L M
a
= -
Área del Área del Área del
rectángulo IKML rectángulo GHML rectángulo GHKI
Multiplicación
de números reales
a . b = c
a y b se denominan
factores donde c
es el producto
Del ejercicio 2 ,de
la izquierda se puede
observar :
Propiedad distributiva de
la multiplicación respecto
de la adición(sustracción)
a.(b+c) = a.b + a.c
a.(b-c) = a.b - a.c
Propiedad conmutativa
a . b = b . a
Propiedad asociativa
a.b.c =(a.b).c =a.(b.c)
34
Multiplicación
Dados dos polinomios el producto de ellos es otro polinomio que
se obtiene aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación
respecto de la adición o sustracción para luego simplificar aso-
ciando los términos semejantes, como en la adición .
eee jjj eee mmm ppp lll ooo ordenamos los factores
(-2x+ 3x3 +9) . (2x2+5x – 4) = (3x3–2x+9).(2x2+5x-4) = 6x5- 4x3+18x2 + 15x4 - 10x2+ 45x + (-12)x3 + 8x -36 = 6x5 +15x4 - 16x3 + 16x2 + 53x - 36 .
El grado del polinomio producto es igual a la suma de los grados
de los polinomios factores no nulos.
ooo ttt rrr ooo eee jjj eee mmm ppp lll ooo
Una agencia de viajes ofrece un tour para un grupo de 16 turis-
tas, el costo por persona es de $1150.La oferta incluye la alternati-
va de que, por cada persona extra el costo individual se reduce a
la 46-ava parte. El grupo no debe exceder las 28 personas. Si a es
el número de turistas adicionales del grupo original, expresemos
el ingreso de la agencia de viaje (según a ) y simplifiquemos.
16 + a , es el número de turistas del nuevo grupo a formar . 25 . a , es la redución (en $) por a turistas adicionales 1150 / 46 =25
1150 – 25.a ,es el costo(en $) por cada persona del nuevo
grupo.
Así el ingreso de la agencia por venta del paquete turístico al
nuevo grupo es de :
( 16 + a ) . ( 1150 – 25.a ) , para simplificar multiplicamos :
( a +16 ).( -25a + 1150 ) = -25a2+ 1150a – 400a + 18400 = -25 a2 + 750 a +18400
¿ Cuánto dinero deja de ganar la agencia por efectuar ese des-
cuento sobre cada costo original por persona?. Determine el con-
junto de validez (V) de las dos expresiones algebraicas resultantes.
(a + 16) .1150 - (a + 16).( -25 a +1150) = (a + 16).1150 - (-25 a2 + 750 a +18400) =
1150 a + 18400 + 25 a2 - 750 a – 18400 = 25 a2 + 400 a
V = { a / a N 0 a 12 } . Piénselo.
Varias aplicaciones de
la propiedad distribu-
tiva de la multiplica-
ción respecto de la
adición o sustracción
(a + b).(c – d + h)=
(a+b)c-(a+b)d+(a+b)h=
a.c+b.c-a.d-b.d+a.h+b.h=
a.c–a.d+a.h+b.c-b.d+b.h
Multiplicación de
potencias
{n,m} Z , x 0
xn.xm = xn+m
eeejjj ...
x3. x
5 = x
8
z . z2 . z
4 = z
7
x2n-4
. x10-n
= xn+6
Otras propiedades
a . 1 = 1 . a = a
1 elemento neutro en la
multiplicacion
a . 0 = 0 . a = 0
cero es el elemento
absorbente.
35
Multiplicaciones particulares
A través de interpretaciones geométricas, por cálculo de áreas
de rectángulos se puede deducir los siguientes productos notables
que pueden verificarse multiplicando los binomios.
Los siguientes cuadrados
contienen rectángulos;
el superior izquierdo
es un cuadrado :
a
s a. a.c
ejercicio
Deduzca las expresiones A(x) B(x)
C(x) y D(x) que indican el área :
a.c c.c 9 x2 18 x
c
(a+c)2 = a
2 + a.c + a.c + c
2 A(x) B(x)
(1) (a+c)2 = a
2 + 2. a.c + c
2
d
m . d C(x)
(m-d).d (m-d).(m-d) 7x2+14x D(x)
m
(m-d)2 = m
2 - ( m.d + (m-d).d ) Escriba las identidades (1) y (2)
(m-d)2 = m
2 - m.d - (m.d-d.d) correspondientes a los cuadrados
(m-d)2 = m
2 - m.d – m.d +d
2 del ejercicio .
(2) (m-d)2 = m
2 - 2 m.d + d
2
36
t
t.t (n-t).t
(n-t).n
n-t
n n t
(n + t).(n - t) = (n – t).n + t .(n – t)
(n + t).(n - t) = n2 - t
2
Las igualdades hasta aquí obtenidas, son identidades ,puesto que son siempre verdaderas cualquiera
sea el valor real asignado a los números indeterminados.
En las operaciones hasta el momento estudiadas, el polinomio resultado conserva el conjunto de
existencia de los polinomios operandos, es decir E = R
ejercicios
1 Complete el factor, tal que el producto es una diferencia de cuadrados:
( 3 + x ) . ( ........................... ) = ...........................
( 3 x2 - 2 ) . ( ........................... ) = ...........................
( x3
+ 2 ) . ( ........................... ) = ...........................
( 2x - 5 ) . ( ........................... ) = ...........................
2 Determine los polinomios productos:
2 x2 + 3x –2 . 5 x + 3 = ........................ . . .
-3 x3 +8 x +2 . –2 x2 + 6x = ........................ = = =
.................... ................... ........................
37
3 Si u(x) = 2 x + 1 , v(x) = 1 - 2 x y w(x) = -3 x + 1
Completa el cuadro respetando el orden, o prioridad, de las operaciones:
Resultados polinómicos de la ... 1ra. operación 2da. operación 3ra. y última operación [resultado final]
u(x) . v(x) + ( w(x) )2 1
2 - (2x)
2 9 x
2 – 6 x +1 5x
2 – 6x +2
u(x) + v(x) . ( w(x) )2
( u(x) - v(x) . w(x) )2
( u(x) . v(x) + w(x) )2
( u(x) + v(x) )2. w(x)
u(x) - ( v(x) + w(x) )2
u(x) . ( v(x) )2 - w(x)
u(x) . ( v(x) - w(x) )2
4 Obtenga el producto, por sucesivas aplicaciones de la propiedad distributiva:
(a+b).(a+b).(a+b) =
(a+b)3 =
5 Si m(x) = -4 x
2 – x +5 , n(x) = 5 – 2x y t(x) = 2 x + 5
Determina los polinomios resultado, según los siguientes enunciados:
A) A m(x) súmele el cubo del producto de n(x) por t(x)
B) A la diferencia de m(x) con n(x), elévela al cubo y súmele t(x)
C) A el cuadrado de t(x) adiciónele la suma de n(x) y m(x)
D) A el cubo del producto de n(x) y t(x) réstele m(x) .
38
División
Recordamos la definición de división entre enteros positivos:
dados a y b (distinto de cero), dividir a por b significa encontrar
los números enteros positivo o cero c y r (únicos), denominados
cociente entero no negativo y resto menor que el divisor, respec-
tivamente, tal que :
a = b . c + r siempre que r < b (1) .
Para determinar c y r repasamos el algoritmo de la división,
con un ejemplo:
6 4 5 2 2 4
4 8 0
0
2 0
0
1 6 5 2
1 4 4 0 + 6 0
2 1 2
1 9 2 + 8
2 0 2 6 8
Entonces 6452 = 24 . 268 + 20 y 20 24 ,
si fuesen otros números el cociente y el resto no se cumple la
condición (1), por ej. 6452 = 24 . 267 + 44 , 44 no es
menor al divisor 24 .
Adoptando el algoritmo para polinomios como lo mostraremos:
4 x5
+ 6 x4 –3 x
3+6 x
2 –17 x + 6 2 x
2 +2 x - 1
¯ 4 x5
+ 4 x4 –2 x
3
2 x
3
2 x4
-1 x3+ 6 x
2 –17 x + 6
¯ 2 x4 +1 x
3 - 1 x
2 +1x
2
-2 x3
+7 x2 –17 x + 6
¯ -2 x3 - 2 x
2 –1 x -1x
9 x2
-16 x + 6
¯ 9 x2 + 9 x - 9/2 +9/2
-25 x + 21/2 2x3+ 1x
2 – 1x + 9/2
4x5+6x
4-3x
3+6x
2 -17x+6=(2x
3+x
2-x+9/2).(2x
2 +2x-1)+(-25x+21/2)
dividendo divisor cociente resto p(x) = q(x) . c(x) + r(x)
siempre que gr( r(x) ) gr( q(x) ) : 1 3
Caso particular:
0 dividido b 0
0 = b.0 + 0 0 < b
asi : 0 / b = 0
Algoritmo : Procedimiento o método
de cálculo
(1) Se busca el factor
tal que multiplicado por
el término principal del
divisor ,su producto
es .
. =
(2) El producto del divisor
y es el minuendo de
la sustracción con el di-
videndo(en el primer paso)
o los restos parciales.
(3) Se vuelve a repetir el
procedimiento,salvo que
el resto parcial sea de
grado menor al divisor.
39
ooo ttt rrr ooo eee jjj eee mmm ppp lll ooo
Dividimos t(x) = 3x5+4x
3+2x
2 -3x+2 por m(x) = x
3 -2x+3
3 x5
+ 0 x4 +4 x
3+2 x
2 – 3 x + 2 x
3 + 0 x
2 -2 x + 3
¯ 3 x5
+ 0 x4 –6 x
3 +9 x
2 3x
2
10 x3
-7 x2 – 3x + 2
¯ 10 x3 +0 x
2 -20 x
+30 +10
-7 x2 +17 x -28 3 x
2 + 10
3x5+4x
3+2x
2 -3x+2 = (3x
2+10) . (x
3 -2x+3) + (-7x
2+17x-28)
dividendo cociente divisor resto t(x) = c(x) . m(x) + r(x)
siempre que gr( r(x) ) gr( m(x) ) : 2 3
Con este procedimiento obtenemos un polinomio cociente y otro
resto que junto con el polinomio dividendo y divisor cumplirán
las siguientes condiciones:
[1] p(x) polinomio dividendo y q(x) polinomio divisor
no nulo de menor o igual grado que p(x)
[2] c(x) polinomio cociente de grado igual a la diferencia:
gr( p(x) ) – gr( q(x) )
[3] r(x) polinomio resto de grado menor a gr( q(x) ) si no
es nulo .
[4] p(x) = c(x) . q(x) + r(x)
Nos proponemos, siempre que dividimos polinomios, escribir
la siguiente igualdad utilizando nuevas expresiones racionales que
estudiaremos después:
q(x)
r(x)c(x).q(x)
q(x)
p(x)
(1) q(x)
r(x)c(x)
q(x)
p(x) ,con gr( r(x) ) < gr( q(x) )
ó r(x) = 0 polinomio nulo
En el último ejemplo la igualdad (identidad) es:
32xx
23x2x4x3x3
235
3 x2+ 10
32x3
x
2817x2
7x
¿En qué caso no será
necesario aplicar el
algoritmo ?
No es necesario aplicar
el algoritmo de división
si el divisor es un
monomio
eeejjj ... Dividendo
-5x2 + 9x
- 8
Divisor
-3x Cociente polinómico
(5/3)x - 3 Resto
-8
Dividendo
8x6 + 4x
3 - 14x
2
Divisor
2x2
Cociente polinómico
4x4+2x
-7
Resto
0
40
40
ooo bbb sss eee rrr vvv aaa ccc iii óóó nnn
q(x)
r(x)c(x)
q(x)
p(x) Veamos que sucede al dividir dividendo y divisor por una constante k 0
k
q(x)k
r(x)
c(x)
k
q(x)k
p(x)
, denotamos a k
p(x) = )x(p1 , a
k
r(x)= )x(r1 y a
k
q(x) = )x(q1
(x)q
(x)rc(x)
(x)q
(x)p
1
1
1
1
De forma análoga si se multiplica, en lugar de dividir, por un polinomio de grado cero (un número
real) sucede lo mismo.
ejercicios
1 Se sabe que 1
2x
w(x) 2x
2 + 3x – 1
12
x
9036.x
, completa el siguiente cuadro tenien-
do en cuenta la ultima observación hecha .
Dividendo divisor cociente polinómico resto
................................. x
2 +1 2x
2 + 3x - 1 36x - 90
................................. 5 x2 + 5 ...........................….... .................................
w(x) / 3 ...................... .................................... .................................
................................. ½ x2 + ½ ................................... .................................
2 Si 4x
893x
27x
q(x)
p(x)
¿ Cuáles son los polinomios p(x) y q(x) , si
8 es el resto de la división polinómica ?
3 Efectúe las siguientes divisiones para completar el cuadro, hay un caso donde no se necesita
realizar el algoritmo, luego indique la identidad (1) para cada caso:
Dividendo divisor cociente polinómico resto
2x
2 –5 x + 3 x
2 –x +1
15 x3- 8x
2 – 1 3x
2 –5 x + 2
3x3+ 4x
2 +12 x + 8 4 x
-8 x4 –3 x
3+ 4x
2 – x 3 x
3 -1
Al dividir dividendo y divisor por un escalar (constante) no o
cero o polinomio de grado cero se obtiene el mismo cociente
polinómico pero el resto, en la división de los nuevos dividendo
y divisor , también es dividido por el escalar .
41
4 Divida 3x3+ 4x
2 –2k x + k por x
2 + x - 1 y determine k , tal que el resto o residuo para
cada caso es :
4-1] -4 x + 2 4-2] 2
4-3] 6 x + 5 4-4] 0
Si el resto es el polinomio nulo decimos que el polinomio
dividendo es divisible por el polinomio divisor. O el divisor
divide exactamente al dividendo .
El polinomio p(x) es divisible por q(x) (no nulo) cuando
existe otro polinomio c(x) tal que:
p(x) = c(x) . q(x)
Propiedad
Si p(x) y q(x) son divisibles por s(x) entonces los polinomios
suma, diferencia y producto son divisibles por s(x).
Valor aritmético
Cuando al número indeterminado de un polinomio (o cualquier
otra expresión algebraica) le asignamos un valor numérico (lo
determinamos) la expresión algebraica se transforma en una
aritmética y expresa un único número determinado llamado
valor aritmético .
ejercicio
Halle a y b tal que t(x)
sea divisible por q(x)
t(x) = x4 + ax
2 +b
q(x) = x + x2 +1
p(x)= 3 x3+ 4 x
2 –2 x + 9
p(2)= 3.23+ 4.2
2 –2.2+ 9
p(2) = 45 valor aritmético
p(-6)= 3(-6)3+4(-6)
2–2(-6)+9
p(-6)= -483 valor aritmético
ppp ooorrr eeejjjeeemmm ppp lllooo
ejercicios
1 Determine k (constante real), en cada caso, tal que los siguientes polinomios respondan a los
valores aritméticos indicados:
1-1] p(x) = k x5 + (k-1) x
4 +(k+2) x
2 +2 con p(2)= 46
1-2] q(x) = x3+ k
2 x
2 – x – 10 con q(-2) = 0
1-3] t(x) = -4 k2 x
4 + 2k
2 x
2 + 50 con t(-1) = 0
1-4] u(x) = x3 + x
2 +x +1 con u(k) = 0 , k es único.
42
Raíz de un polinomio
Cuando el valor aritmético de la expresión es cero el valor
numérico asignado (a la indeterminada) se denomina raíz de la
expresión algebraica.
r es raíz del polinomio p(x) si y solo si p(r) = 0
En el ejercicio anterior: -2 es raíz de q(x)
-1 es raíz de t(x)
¿ cuál es la raíz de u(x) ?
2 Se sabe que –5 y 2 son raíces del polinomio w(x) ,
determine a y b (constantes reales) .
w(x) = x3 +(b+a) x
2 - (2b –a) x + 10
eeejjjeeemmmppp lllooosss
El binomio 5.x2 – 5
tiene dos raíces
0 y -1
x2 + 6x
+9 este trinomio
cuadrado perfecto tiene
una solo raíz : -3
4x6+ 3x
4 + 5 es un
polinomio que no
tiene raíz.
3 Sea un trinomio de segundo grado mónico de raíces: 3 y -8 , ¿ cuál es el polinomio ? .
4 Un cuatrinomio normalizado de tercer grado con término independiente (o constante) 1,
tiene como única raíz a -1 . ¿ Qué condición cumplen los coeficientes (no nulos) de los
términos cuadrático y lineal, es decir de grado 2 y grado 1?
5 Determine las raíces de los polinomios producto de tres factores, dados a continuación:
5-1] -2 x + 6 , 4 x – 4 , x + 2
5-2] 5 - x , x + 3 , 3x
Cada polinomio producto, ¿ tiene otras raíces reales? .
Teorema fundamental de las raíces
Todo polinomio de grado n admite a lo sumo n raíces reales.
Otro Teorema
Todo polinomio de grado impar tiene al menos una raíz real.
43
ejercicio
Dada la siguiente lista de raíces de 3 polinomios:
-3 2 -2 1 5 0 -4 3 -5
Identifique y complete el cuadro de la derecha con las
respectivas raíces de cada polinomio:
p(x) = x3 –2x
2 -20 x +24
q(x) = 2x3 +4 x
2 -26 x +20
v(x) = -7 x2+6 x+x
4
El cuadro de la derecha, que has completado, ¿contiene todas las
raíces ? . Justifique la respuesta.
Teorema de Gauss
Sea p(x) un polinomio de grado n de coeficientes enteros y
término independiente no nulo, si el polinomio tiene raíces ra-
cionales, entonces los números a
b ó
a
b (fracción irreductible)
son las únicas raíces racionales siendo b divisor del término
independiente y a divisor del coeficiente principal.
eee jjj eee mmm ppp lll ooo
Encontraremos las raíces racionales del polinomio:
15 x3 –17x
2 - 66 x + 56
c es divisor positivo del término independiente 56
c {1 , 2 , 4 , 7 , 8 , 14 , 28 , 56 }
d es divisor positivo del coeficiente principal 15
d {1 , 3 , 5 , 15}
De todos los racionales d
c y sus opuestos
d
c ,con ayuda de
una calculadora, se identifican 1
2 ,
5
4 y
3
7 como raíces
del polinomio .
¿Tendrá otras raíces reales?
Sea el polinomio de
primer grado a . x + b
(a 0 y b constantes), buscamos su única raíz
real:
a . x + b = 0
a . x = 0 - b
x = -b/a
La raíz real es -b / a
44
ooo ttt rrr ooo eee jjj eee mmm ppp lll ooo
El polinomio p(x) con coeficientes naturales tiene a 4,5 de raíz, el coeficiente principal es 8
y el coeficiente del termino de grado cero (término independiente) es múltiplo de 6 menor a 25.
¿Qué número es el término independiente?
4,5 es racional de expresión fraccionaria
irreducible 2
9 .
El término independiente posible, puede ser: 6 , 12 , 18 ó 24.
2 es divisor del coeficiente principal 8 y
9 es divisor del término independiente, sólo lo es del número 18.
Rta. : 18 es el término independiente o constante del polinomio.
ejercicios
1 Los siguientes polinomios tienen sólo raíces racionales, encuéntrelas:
2 x3 + 20 x
2 + 22 x - 140 , 9 x
3 + 42x
2 - 21 x – 30
2 Responda y justifique con fundamentación, si se sabe que x5+ x
3 -2 x
2-2 tiene una raíz
irracional .
¿ El polinomio tiene alguna raíz real ?
¿ Es racional la raíz ?
Divida el polinomio por: x2 + 1 , para luego expresarlo como un producto (de factores)
¿ Cuál es la raíz?
Teorema de Bezout
c es raíz de un polinomio p(x) sí y sólo si k.(x – c) divide exactamente a p(x) ,con k 0
constante real no nula .
ejercicio
Corresponda con flechas, el polinomio de primer grado que divide exactamente al de la derecha.
(Puede haber más de un correspondencia).
x - 5
3x3 - 23 x
2 + 29 x + 55
2 x + 2
x4 - 4 x
3 - 8 x
2 + 23 x + 30
15 - 5 x
7 x5 -23 x
4 + 6 x
3 + 5 x – 15
x + 1
8 x6 + 8 x
5 + 3 x
3 + 2 x
2 - x
-8 x
45
Regla de Ruffini o de Horner
Procedimiento o algoritmo, que emplearemos en la división de
polinomios cuando el divisor es un polinomio normalizado de
grado 1 de la forma x + a ( a constante), que nos permite
calcular los coeficientes del cociente y el resto de grado cero o
polinomio nulo. Dividimos para comprender el nuevo método:
- 5 x5
+ 6 x4 + 30 x
3+ 0 x
2 +10 x +1 x + 2
¯ -5 x5
-10 x4 -5 x
4 +16 x
3 –2x
2 + 4x+ 2
16 x4
+30x3+ 0 x
2 +10 x +1
¯ 16 x4
+32x3
-2 x3
+0 x2 +10 x + 1
¯ -2 x3
-4 x2
4 x2
+10 x + 1
¯ 4 x2
+ 8 x
2 x + 1
¯ 2 x + 4
-3
-5 6 30 0 10 1
+
-2 10 -32 4 -8 -4
-5 16 -2 4 2 -3 resto
-5 x4
+ 16 x3 – 2 x
2 + 4 x + 2 cociente polinómico
-5x5 +6 x
4 +30x
3+10x +1 =(-5 x
4 +16 x
3 -2 x
2+ 4x + 2).(x+2) + (-3)
2x
110x30x6x5x345
-5 x4 +16 x
3 -2 x
2+ 4x + 2
2x
3
El conjunto de existencia de las expresiones racionales en los
miembros derecho e izquierdo de la identidad(1), planteada des-
pués de dividir polinomios, aún en el caso de que el resto sea
nulo, es: divisor
E = R – { r / r R q(r) = 0 }
Así en el ejemplo: E = R – { -2 }
Su disposición y
procedimiento práctico
es el siguiente :
1 Ordenamos y comple-
tamos el polinomio
dividendo .
2 Listamos en una fila
todos los coeficientes
3 Consideraremos la
raíz del divisor como
factor para generar
los sumandos de la
segunda fila y por
adición de ambas,
filas , obtenemos
los coeficientes del
cociente .
46
Para entender mejor, te señalamos el procedimiento:
Dividimos 3x3 - 45 x +14 - 2 x
2 ,
sus respectivos coeficientes (ordenados) 3 -2 -45 14
12 40 -20
por x – 4
su raíz es 4 + + +
3 10 -5 -6 resto
el cociente polinómico calculado es 3 x2 + 10 x – 5
y la identidad ,que hemos planteada, es :
4x
14x 45x 23x23
3 x2 + 10 x – 5
4x
6
eee jjj eee mmm ppp lll ooo
Observemos, dos casos particulares de, la suma de las sucesivas potencias de exponentes enteros
no negativos de un número distinto de 1:
23 + 2
2 + 2 + 1 =
12
14
2
, 5
9 + 5
8 + ... + 5
3 + 5
2 + 5 + 1 =
15
110
5
Mostramos que se cumple siempre, es decir que 1x
1n
x
es la suma de las n potencias de x:
Para efectuar la división 1 0 0 0 ... 0 0 0 -1
aplicamos la regla de Ruffini 1 1 1 1 1 ... 1 1 1 1
1 1 1 1 ... 1 1 1 0 resto
xn – 1 es divisible por x - 1 : 1 x
n-1 +1 x
n-2 + ... +1 x
3 +1 x
2 +1 x + 1 =
1x
1n
x
NNN ooo ttt aaa
¿Cómo procedemos para dividir , por la regla de Ruffini,
9x3 - 3x
2 + 2x - 6 por 3x +12 ?
Por ser el divisor no mónico pero si de primer grado.
La respuesta es dividir dividendo y divisor por el coef. principal
del divisor ,de forma tal que lo transformamos en mónico.
123x
62x2
3x3
9x
=
4x
2x3
22x
33x
(como lo haríamos con los números determinados)
Recuerde que los restos de las divisiones, original de la iz-
quierda y la nueva del miembro derecho, son diferentes aunque
las expresiones racionales son equivalentes.
ejercicio
Determina el cociente
polinómico , por aplicación
de la regla de Ruffini ,
en todas las correspondencias
del ejercicio anterior .
. 4=
==
.4=
4
. 4=
.4=
4
. 4=
.4=
4
47
Teorema del resto
Sea p(x) un polinomio de grado mayor o igual a 1 y q(x) de
grado 1 entonces al dividir p(x) con q(x), el polinomio resto (de
grado cero o polinomio nulo) es el valor aritmético de p(x) que
resulta de asignarle a x la raíz del divisor .
p(x) = c(x) . (ax+b) + r(x) con r(x) = R (constante)
a 0
p(x) = c(x) . (ax+b) + R , calculamos el valor aritmético
en –b/a raíz del divisor:
p
a
b = c
a
b .
b
a
ba. + R
p
a
b = c
a
b . bb + R = R resto
0
eee jjj eee mmm ppp lll ooo
Sea p(x) = 2x4 –x
2 +a x – a
Hallamos a tal que la diferencia de los restos , de su división
por (x-a) y por (x+a) , es –1 .
Aplicamos el teorema del resto para conocer los restos:
p(a) = 2a4 – a
2 +a a –a = 2 a
4 –a
2 +a
2 – a = 2a
4 –a ,el
resto de dividir por x – a .
p(-a) = 2(-a)4 -(-a)
2 +a (-a) -a = 2 a
4-a
2-a
2-a = 2a
4-2a
2-a
el resto de dividir el polinomio por x +a .
Calculamos una de las diferencia :
p(a) - p(-a) = 2 a2 = -1 : a
2 = -1/2 igualdad falsa
Probamos con la otra diferencia :
p(-a) - p(a) = -2 a2 = -1 , a
2 = 1/2
a =2
1 a = -
2
1
ejercicios
1
Indique el valor de a0 tal
que el resto es el polinomio
nulo . Halle el polinomio co-
ciente :
ax
3x2
ax
16x8x2
ax
20x5x4x2
ax
x81x3
2 Halle m y n para que los polinomios :
v(x) = -x4 – m x
2 + 1 + 2x
4
48
u(x) = 5x4 – 5 n.(x+x
2) + 10
sean divisible por x +1 .
3 Muestre que los polinomios :
p(x) – p(a) y p(x).q(x) – p(a).q(a) son divisibles
por x– a .
( p(x) y q(x) son cualquier polinomio de grado mayor o igual a 1 y
a es una constante real ).
4 Si t(x) = 3x4 + 5(x+x
2)+ 3 , s(x) = –5x
2 +10 x
3 –2x + 1 y m(x) = 4x
2 – 3
Obtenga los cocientes, indicados, aplicando la regla de Ruffini :
4-1] 2-x
t(2)-t(x) 4-2]
1x
s(-1)-s(x)
4-3]
2-x
)2m(-m(x)
4-4] 1-x
t(1).m(1)-t(x).m(x) 4-5]
½x
(½)s(½).m)x(s).x(m
eee jjj eee mmm ppp lll ooo sss Donde aplicamos la regla de Ruffini
Determinemos a y b (constantes) tal que p(x) = x
4 – (a+b) x
3 -3 x
2+ (a+b) x + b + 1
sea divisible por (x – 1 ) 2 . Como (x - 1)
2 = (x - 1) .(x - 1) , por regla de Ruffini dividimos
primero por x – 1 :
1 -( a + b ) -3 a + b b + 1
1 1 1-(a+b) -2-(a+b) -2
, como es divisible
1 1- (a+b) -2- (a+b) -2 b – 1 el resto es cero
b – 1 = 0 b = 1
1 -a -3 –a -2
Así se obtiene, la siguiente identidad: p(x) = ( x-1) . ( 1 x3 - a x
2 - 3 – a ) = (x - 1). q(x)
q(x) es divisible por x – 1 ,
aplicamos nuevamente el algoritmo de Ruffini :
1x
)x(p
= q(x) por lo tanto, ahora hacemos :
)1x).(1x(
)x(p
=
1x
)x(q
49
1 -a -3 - a -2
1 1 1 - a -2 - 2a
,como es divisible
1 1 - a -2 – 2a -4 - 2a el resto es cero
-4 - 2a = 0 a = -2
1 3 2
finalmente : p(x) = ( x-1) . (x-1) .( x2
+ 3 x + 2 ) con a = -2 b = 1
ooo ttt rrr ooo eee jjj eee mmm ppp lll ooo
Si nos planteamos simplificar u obtener el cociente de la expresión algebraica : 2x
8x3
que no responde a la división de polinomios ; implementamos un cambio de variable (cambio
de nombre de un número indeterminado) es decir, en este caso, al número 3 x expresarlo z
3 x = z , siempre que x 8 así como z 2
2x
8x3
=
2z
8z3
,en esta última expresión se nos presenta una división exacta de polinomios
(considere el teorema del resto) .
Procedemos a aplicar regla de Ruffini :
1 0 0 -8
2 2 4 8
1 2 4 0
así concluímos que:
2x
8x3
=
2z
8z3
= z
2 + 2 z + 4 = 4x2x 3
23
ejercicios
1 )bx).(ax(
)x(p
=
bx
ax
)x(p
= bx
)x(c
= c1 (x) .Proceda como fue indicado, aplicando la r. de
Ruffini, para que determine c1(x) ,ya que p(x) es divisible por (x-a).(x-b) ó x2 – (a+b) x + a.b
con p(x) = 2 x4 + 10 x
3 – 14 x
2 - 58 x + 60 :
1-1] )3x).(2x(
)x(p
1-2]
)5x).(1x(
)x(p
1-3]
)3x).(5x(
)x(p
2 Realice un cambio de variable, para que por r. de Ruffini, determine los cocientes:
2-1] 4u
4u.3u
, con u 0 u 16 2-2]
1w
1w.2w.w
5
55
, con w -1
50
Determinación de raíces para polinomios de
segundo grado
Para ello debemos considerar ecuaciones, tema que luego desa-
rrollaremos con más detalles.
Para introducir el concepto de valor absoluto o módulo
consideraremos un caso particular de polinomio de segundo
grado incompleto de la forma : x2 – c
Planteamos la ecuación x2 – c = 0
si pretendemos que la igualdad x2 = c sea
verdadera el número c debe ser mayor o igual a cero.
x2 = c con c 0
2x = c
En adelante definiremos valor absoluto o módulo
de un real (o escalar) que se denota : x = 2
x
como conclusión x , si x 0
más práctica : x =
-x , si x 0
opuesto de x
volvamos a la ecuación : 2
x = c
x = c
x = c x = - c
Entonces:
Si c 0 , las raíces reales del polinomio x2 – c son
dos números opuestos c y - c , y en el caso de c = 0
la raíz ,únicamente, es 0 y se dice que es raíz doble o de
multiplicidad dos .
Si c 0 , el polinomio x2 – c no tiene raíces reales .
eeejjj ...
Polinomios de segundo grado que no tienen raíces reales:
x2 – (-9) , x
2 + 16 , x
2 + 1,21 , x
2 + 189/2
Sea x cualquier real
siempre la potencia
de exponente entero
par es no negativa:
x 2.n
0
con n Z
eeejjjeeemmmppp lllooosss
8 = 8
-19 = 19
0 = 0
a2 = a
2
3( -4 -c) = 3( 4 +c)
Propiedades del módulo
de un producto y de un
cociente
a.b =a.b
b
a
b
a con b 0
51
Nos dedicaremos al polinomio de segundo grado, general , de la
forma a.x2 + b.x + c ( a 0 , b y c constantes )
a.x2 + b.x + c = 0
a .x2 + b.x = -c
a
c.x
a
b2x
2
2a
b
a
c2
2a
b.x
a
b2x
2
2a
b
a
c2
2a
bx
2
2
4.a
b4.c.a-
2
2a
bx
2
2
4.a
b4.c.a-
La igualdad planteada es verdadera en los reales si el número:
- 4.c.a + b2 es no negativo , este se llama discriminante pues
es el número que se encarga de diferenciar el tipo de raíces ,
asi :
2
a2
bx
2
2
.4
...4
a
bac
(1) Si el discriminante es mayor que cero : -4.c.a.+b2 0
b2 - 4.c.a 0
a
cab
a
bx
2
.4
2
2
a
cab
a
bx
2
.4
2
2
a
cab
a
bx
2
.4
2
2
a
cab
a
bx
2
.4
2
2
dos soluciones de la ecuación y dos raíces reales distintas del
polinomio de segundo grado .
Diferente de si el discriminante es cero , -4.c.a.+b2 = 0 , la raíz
es única y real (se dice raíz doble o de multiplicidad dos).
(2) Si -4.c.a.+b2 = 0 entonces
a
bx
2
(3) Si el discriminante es negativo no hay raíces reales, sí de
otro conjunto numérico, que no estudiamos , el de los números
complejos .
eeejjjeeemmmppp lllooo
Dado el polinomio:
2
3 x
2 – 21 x +
2
147
calculamos el número
discriminante :
– 4. 2
3.
2
147+(-21)
2 =
-441 + 441 = 0 ,discriminante
desarrollamos el polino-
mio,en otras expresiones,
en producto de factores
polinómicos:
2
3 x
2 – 21 x +
2
147
2
3( x
2 – 14x + 49 )
2
3( x – 7 )
2
2
3( x - 7 ).( x – 7 )
La última expresión fac-
torizada expone porque
la raíz se llama doble.
El ejemplo desarrollado
muestra que un polinomio,
de segundo grado de raíz
doble (-r),es un múltiplo
de un real por un trino-
mio cuadrado perfecto :
k . ( x2 + 2.r.x +r
2 ) , k 0
52
ejercicios
1 Las diferencias indican el discriminante de polinomios normalizados (mónicos) de 2.do grado,
donde el minuendo es el cuadrado del coeficiente lineal positivo .
Escriba el polinomio y determine sus respectivas raíces reales
1-1] 25 – 4.(-24) 1-2] 81 – 4. 20
2 Determine y analice k (constante real) tal que los siguientes polinomios tengan:
(a) única raíz (doble)
(b) raíces reales distintas
(c) ninguna raíz real
2-1] p(x) = x2 – ( k+3 ) x + k + 2 2-2] q(x) = 6 k x + 5 k x
2 – 72 con k 0
3 Sea el polinomio: 2 x2 – (3.h+2) x + h
2 + h
Determine h tal que las raíces, del polinomio de indeterminada x, son el seno y el coseno de la
medida de un mismo ángulo.
( Sugerencia : no olvides la suma de los cuadrados del sen y de cos )
Propiedades de las raíces de un polinomio cuadrático
Polinomio de la forma : a. x2 + b.x + c , a 0
Sumamos las dos raíces reales :
a2
c.a4b
a2
b2
+ a2
c.a4b
a2
b2
= a2
b2 =
a
b
La suma de las raíces, de un polinomio de segundo grado, es igual al
opuesto del cociente entre el coeficiente lineal y el principal (cuadrático).
Multiplicamos las dos raíces:
a2
c.a.4bb2
.
a2
c.a.4bb2
=
2
222
a.4
c.a.4bb
=
2
22
a.4
c.a.4bb
= 2
22
a.4
c.a.4bb =
2a.4
c.a.4 =
a
c
El producto de las raíces es igual al cociente del término independiente
(constante) y el coeficiente principal.
Si la raíz es doble también se cumplen las propiedades enunciadas, sumando y multiplicando
por si misma .
53
0
0
0
0
ejercicio
Determine el o los valores de k (constante real), en cada polinomio, si es posible que:
la suma de las raíces es el producto de las raíces
p(x) = x2 – ( 2k-3 ) x + k , q(x) = 2x
2 +( k+1 ) x + 3k - 5
una raíz es igual al tercio de la otra u(x) = x
2 + k x + 147
eee jjj eee mmm ppp lll ooo iii lll uuu sss ttt rrr aaa ttt iii vvv ooo Si las raíces del polinomio: p(x) = 2x
4 –22 x
3 + 70 x
2 –26 x - 120 son 3 , -1 , 4 y 5 .
Aplicamos sucesivamente la regla de Ruffini: primero con el polinomio, luego sobre los cocientes
sucesivos divididos por polinomios mónicos divisores exactos (según teorema de Bezout).
Mejor lo mostramos:
2 -22 70 -26 -120
dividimos por x – 3
3 6 -48 66 120
2 -16 22 40
dividimos por x + 1
-1 -2 18 -40
2 -18 40
dividimos por x – 4
4 8 -40
2 -10
dividimos por x - 5
5 10
2 resto final
Procedimos sucesivamente obteniendo:
3x
120 -26x 70x22x2x234
2 x3 - 16 x
2 +22 x
+ 40
3x
0
1x3x
120 -26x 70x22x2x234
.
1x
4022x16x2x23
2 x2 –18 x + 40
4x1x3x
120 -26x 70x22x2x234
..
4x
4018x2x2
2 x -10
5x4x1x3x
120 -26x 70x22x2x234
...
5x
102x 2
Entonces:
2x4 –22 x
3 + 70 x
2 –26 x - 120 = 2 .( x - 3 ) .( x + 1 ).( x – 4 ).( x - 5 )
de esta forma hemos desarrollado o expresado un polinomio como producto de factores (hemos fac-
torizado). Observación importante los factores son polinomios mónicos cuyas raíces son las del
polinomio factorizado y su coeficiente principal (otro factor).
54
Recordamos
Dado un número entero no nulo este puede expresarse como un
producto donde determinamos sus factores, el proceso o acción de
búsqueda de estos factores se denominan factorización. Podemos
considerar el caso particular de que todos los factores sean núme-
ros primos .
Ej.: 630 = 2 . 3 . 3 . 5 . 7 De forma análoga factorizar un polinomio es expresarlo como
producto de polinomios factores:
8x4 + 6x2 = 2 x . x . ( 4x2 + 3 ) 4x2 – 49 = ( 2x - 7 ).( 2x + 7 ) x2 + 6x + 9 = ( x + 3 ).( x + 3 )
Los factores en los ejemplos dados tienen raíces reales salvo:
4 x2 + 3
Un polinomio es primo o irreductible cuando no se puede
descomponer en un producto de polinomios de grado positivo me-
nor que su grado. En caso contrario es reductible o compuesto es
decir factorizable en factores primos.
Por lo tanto los polinomios de grado uno son primos, los de
grado cero y el polinomio nulo no son ni primos ni compuestos .
Factorizamos el polinomio z4 + z
2 + 1 , el cual no posee
ninguna raíz real; para hacerlo, complete donde corresponda:
z4 + z2 + 1
z4 + .......... + 1 - z2
( z4 + .......... + 1 ) - z2
( ............... )2 – z2
( ............... - z ) .( ................. + z )
Lo hecho muestra que si un polinomio carece de raíces reales
no es necesariamente primo, el del ejemplo es compuesto o
reductible .
Veamos a continuación
algunos ejemplos de fac-
torización de polinomios
aplicando la propiedad
distributiva.
652txm
16
1tx
4
1 =
tm
4
1xtx
4
1 5
2346pnm
7
6pnm
14
15 =
p2nm
2
5.pnm
7
3 53
0,25.p5 - 1,5.p
2.m + 3p
4m
2 =
0,5 p2( 0,5 p
3 - 3m + 6 p
2 m
2 )
Los siguientes ejemplos
corresponden a factores
trinomios cuadrados per-
fectos.
5x2 +20x +20 =
5 . ( x2 + 4x +4 ) =
5 . ( x + 2 )2
2
27x9x
2
3 2 =
9x6x.2
3 2 =
23x.2
3
55
Factorización según las raíces reales del polinomio.
Teorema
Siendo c raíz real del polinomio p(x) de grado n, entonces éste
puede expresarse de la forma (x-c) . q(x), q(x) polinomio no nulo
de grado n-1, es decir :
p(x) = (x-c) . q(x)
Si c es raíz real también de q(x),decimos que c es raíz múltiple,
y de no serlo es simple:
p(x) = (x-c) . (x-c) . t(x)
Raíz múltiple
Si p(x) = (x-c)
m . v(x) y v(x) no tiene por raíz a c,
decimos que c es raíz de multiplicidad m .
Para efectuar una factorización, aquella que nosotros empleare-
mos, será necesario conocer todas las raíces reales del polinomio.
p(x) = (x – c 1) . (x – c 2) . (x - c3) … (x - c n ) . q(x)
En el caso particular en que gr ( p(x) ) = n y todas las n raíces
son reales, q(x) = a n : el coeficiente principal .
eeejjjeeemmmppp lllooosss q(x)
3x – 18 = (x –6) . 3
2x2-8x+6 = (x-1). (2x-6)
t(x)
1 x2- 8x + 16 = (x-4) . (x-4). 1
4x3+40x
2+100=(x
2+10x+25).4x
4x3+40x
2+100=(x+5).(x+5). 4x
Obtenga el polinomio
producto, y compruebe
que las raíces de los
factores son las del
polinomio:
(x-3). (x-2). (x+1).(x+5)
ejercicios
1 Factorice los siguientes polinomios, en factores primos y el coeficiente principal:
1-1] 30 x + 25x2 -72 1-2] 2x
2 + 2x - 3x
1-3] 36 x2 - 4 1-4] 12 x
2- 42x +36
1-5] 1 + 121 x2
56
2 Halle el valor de k, en cada caso, para que el polinomio tenga la raíz indicada y luego
factorícelo ( k constante) :
2-1] 8 x2 + 2 x + k , tiene raíz doble.
2-2] x2 + x + k - 1 , tiene una raíz igual a cero.
2-3] -5 x2- 40 x –5 k , tiene una raíz real igual al triple de la otra .
3 Analice, determine todos los valores reales de h tal que los polinomios de segundo grado
cumplan las siguientes condiciones:
a] raíz doble
b] raíces reales distintas
c] carezca de raíces reales
3-1] 5 h x2 –10 h x+ 5 h 3-2] x
2 + h x + 25 3-3] x
2 + 8 x + h
4 Determine a y b (constantes reales) tal que el polinomio: p(x) = x
2 +(a-4) x –2(a-2)+b
tenga raíz doble, y p(2) = 9. Factorice.
5 Si un polinomio es de grado t, ¿cuál es la mayor multiplicidad que puede tener la raíz real?
Ejemplifique un polinomio de grado 4 que responda a la pregunta. 6 Las medidas de las longitudes de las aristas de un prisma recto responden a polinomios de
primer grado de indeterminada x , su volumen es v(x) = 4x3 - 64x
2+ 256x
Determine los polinomios que manifiestan las dimensiones del 4.x
prisma e indique el conjunto de validez, de la expresión que
indica el volumen, en esta situación concreta.
7 Factorice los siguientes polinomios, emplee para ello el teorema de Gauss y la regla de
Ruffini:
a] 6x4x2
7xx
2
1 234
b] 40 – 42 x + 6 x3 – 5 x
2 + x
4
c] x4 + 64 – 20 x
2
d] 3 x4 – 45 x
2 + 72 – 30 x
57
EEExxxppprrreeesssiiiooonnneeesss rrraaaccciiiooonnnaaallleeesss (((fffrrraaacccccciiiooonnnaaarrriiiaaasss)))
Una expresión algebraica en donde los operandos son polino-
mios e interviene la división de divisor polinómico (no constante)
se denomina expresión racional (fraccionaria).
eeejjj ...
1] x5x9x
5x2 2
2
2]
4x.4x
3x.10x2
5
3] 1xxx
123
4] (x2 - 6 x - 7)
–1
5] 6 x + ( 4 – x ) –3
. x2 - x
– 1 6] 3 .( x
6 + x
4 +8 )
-3
Recuerde, cuando por el algoritmo o por regla de Ruffini divi-
dimos polinomios, planteamos igualdades(verdaderas), en donde
su segundo miembro son ejemplos, ya utilizados, de expresiones
racionales; muchas no polinómicas .
Conjunto de existencia
Si volvemos a la definición de estas expresiones donde la
operación a considerar, la división ( de divisor no nulo )
nos conduce a excluir del conjunto universal R ( reales )
las raíces del divisor entonces:
E = R – { r / r R r raíz de algún divisor }
eee jjj eee mmm ppp lll ooo
La igualdad que relaciona las distancias x del objeto,
xi de la imagen y f del foco (F) todas, al vértice (P)
para espejos esféricos cóncavos es:
i
x
1
x
1
f
1
Nos llega a la memoria
que un número racional es
la razón (cociente)de dos
números enteros (si el
denominador o divisor no
es cero). Por analogía
debe aparecer la razón de
polinomios (expresiones
enteras) para calificar a
la expresión de racional.
Recordemos :
n Z a R –{ 0 }
a – n =
na1
El conjunto de existen-
cia de las expresiones
racionales ejemplificadas:
1] E = R – { 3 , -3 }
2] E = R – { 2 }
3] E = R – { 1 , -1 }
4] E = R – { -1 , 7 }
5] E = R – { 4 , 0 }
6] E = R
58
Determinamos la expresión racional no entera que representa
la distancia focal f, según la situación que muestra el siguiente
dibujo de análisis, con número indeterminado d y los conjun-
tos de existencia E y validez V .
objeto
F P
imágen vértice
2.d d 0
Se sabe que el objeto y la imagen están ubicados antes del
foco a 5 unidades de 2.d y 2 unidades de d respectivamente
(imagen real invertida de longitud menor o igual a la del
objeto) .
Despreciamos del análisis el tamaño del objeto y el de su
imagen.
i
x
1
x
1
f
1
ix .x
x i
x entonces
ixx
ixx
f
en este ejemplo la distancia focal es )2d()5d2(
)2d).(5d2(
7d3
10d9d22
,
el conjunto de existencia de esta expresión (independiente del
problema dado) es E = R - { 7/3 }.
d-2 y 2d-5 representan longitudes por lo tanto son ma-
yores a cero además la distancia al objeto es mayor o igual a
la de la imagen:
d-2 0 2d-5 0 2d-5 d-2
d 2 2d 5 2d d-2+5
d 2 d 5/2 2d-d 3
d 2 d 5/2 d 3
con lo cual V = { d / d R d 3 } .
ejercicios
1 La razón o cociente
entre la masa de un cuerpo
y su volumen es la
densidad.
Halle dos expresiones
racionales que indiquen,
la densidad del sólido, cubo
de masa 30 (unidades)
incluído en el prisma; y el
volumen del prisma .
Luego determine los
conjuntos E y V ,
correspondientes .
2
x 3
2 El inverso (o recíproco)
de la media armónica de
dos números a y b es la
semisuma de los inversos
de estos. Obtenga la
expresión racional de la
media armónica.
acciones u operaciones y obtener expresiones equivalentes en el conj. de existencia “original”
Ó Condiciones
Identidades
(igualdades
verdaderas)
Empleo de la
propiedad en:
Ejemplos
aritméticos
a R b 0 m 0
b
a =
m.b
m.a
=
Ampliación
=
Simplificación
3
2 =
57
38
546
624 =
7
8
d 0
d
ba
d
b
d
a
=
Adición
=
Descomposición
en sumandos
16
3+
16
5=
16
8
2
13=
2
310= 5+
2
3
d 0
d
ba
d
b
d
a
* =
d
b
d
a
=
Sustracción
=
Descomposición
en minuendo y
sustraendo
4
19-
4
25=
4
6
6
15=
6
924= 4-
6
9
d 0 b 0
b.d
c.a
b
c.
d
a
.
=
Multiplicación
=
Factorización
5
17.
4
3=
4.5
3.17=
20
51
9
8=
3.3
4.2=
3
2.
3
4
d 0 b 0 f 0
b
d.
f
a
b.f
d.a
d
b
f
a
** 1
d
b.
f
a
b
d.
f
a
=
División
7
125
3
= 12.5
7.3=
60
21
Recuerde que la sustracción * es la adición del minuendo con el opuesto del sustraendo, así como
la división ** es la multiplicación del dividendo por el inverso del divisor.
ooopppeeerrraaaccciiiooonnneeesss Tengamos presente las siguientes propiedades (manifiestas en iden-
tidades según las condiciones indicadas) para luego realizar diferentes
60
Adición
Para obtener la suma o resta de expresiones algebraicas racionales se buscan expresiones equi-
valentes con igual divisor, será necesario entonces, factorizarlos y luego efectuar la adición o
sustracción de los dividendos . Ver y .
4x4xx
10x
4x
1x232
=
1x2x2x
10x
2x2x
1x
= E = R-{ -2,-1,2 }
Es conveniente elegir el divisor común (menor) más simple.( en este
ejemplo (x+2)(x-2)(x+1) ).
1x2x2x
10x
1x2x2x
)1x).(1x(
=
1x2x2x
10x1x2x2
=
1x2x2x
2x5x
=
1x2x
5x
=
2x3x
5x2
Sustracción
60x63x3
20xx
2x9x3x4
2xx3
2
23
2
=
1x4x5x3
4x5x
4
1x1x2x4
1x2x
=
En la última expresión factorizamos el dividendo con la intención de observar si es posible sim-
plificar , lo cual facilitará determinar un divisor común simple.
1x3
1
4
1x4
1
=
1x4
1x12
4
1x41x3
= E = R - { -5 , -1 , -1/4 , 1 , 2 , 4 }
=
1x4
1x12
2x7
=
3x912x-
27x-2
Multiplicación
Para obtener el producto es conveniente factorizar, luego simplificar (si fuese posible) sin olvidar
.
60x3x3
20x19x2x.
2x3x
2
1x
4
7x
2
23
2
2
=
4x5x3
1x4x5x.
1x2x
4
1x2x
=
)4x)(5x)(1x)(2x(3
)1x)(4x)(5x¼)(x)(2x(
=
3
¼-x =
12
1x
3
1 E = R – { -5, -2, -1, 4 }
61
División
La división es la multiplicación del dividendo por el inverso del divisor, como lo indica .
4
3x
8
17x
4
13x
4
9x
4
9x4x
:
2x6x2
15x2
2
15x20x
2
15x5
23
23
23
23
=
4
9x
4
9x4x
4
3x
8
17x
4
13x
.
2x6x2
15x2
2
15x20x
2
15x5
23
23
23
23
=
2
3x3x
2
1x
2
3x
4
1x2x
.
4
1x2x2
1x3x2
1x5
2
= E = R - { -3 , -2 , -3/2 , ¼ , ½ }
2x2
1x5
=
4x2
5-5x
ejercicio
Determine la expresión resultado (simplifique) e indique su conjunto de existencia.
a] 1x
1x
1x2x
1x2x2
2
b]
xxxx
x21x:
3xx3x
9x9xx234
2
23
23
c] 3x5x2
x21.
4x
12x4x3x22
23
d]
9x
36
3x
5
3x
x22
e] 2x
2
4x2
2
f] )mm.(
2m2
1.
m1
2.
m
1 2
2
g] 4m4
4m:)
1m
22(
2
h]
1x
1
1x
2
1x
2
2
i] 22
)x1(1
1
1)x1(
1
j]
x816x
3x32x2
12x7x
2
2
2
62
Radicación de índice natural
Los números que intervienen en esta operación se denominan
p radicando , n índice y b raíz n-ésima principal: eee jjj ...
n p = b 23529
La expresión se llama radical. 2377765
En esta operación debemos discriminar los casos de índices naturales pares e impares, según
indica el siguiente diagrama de flujo: ( tener presente el caso donde no está definida la radicación
en R)
nnnooo sssiii
nnnooo sssiii
EEExxxppprrreeesssiiiooonnneeesss iiirrrrrraaaccciiiooonnnaaallleeesss (((cccooonnn rrraaadddiiicccaaallleeesss)))...
Decimos que la expresión algebraica es irracional cuando toda, un término, factor o algún divisor
que lo constituye es el radical de una expresión racional (en la cual esté presente, al menos un nú-
mero indeterminado), el resto responde a expresiones racionales .
eee jjj eee mmm ppp lll ooo sss
1] 2xx5 2] 3 1x
x
16x 3] 4
10x
7
1x
2
4] x5)x7.(x
2
n es par
p 0
np = b b R b
n = p
b y p reales de igual signo
NO existe el real b
np = b b R
+ b
n = p
b y p , solamente, reales positivos
n N – { 1 } p R
63
Conjunto intervalo
Se introduce el concepto de conjunto intervalo para indicar y simplificar con una nueva notación
algunos subconjuntos de números reales (a y b constantes).
Notación ó Notación
Conjuntista
Significado Representación n
geométrica
(a ; b)
{x/ x R a x b}
Conjunto de números reales x
mayores que el número a y menores
que b
a b
[a ; b)
{x/ x R a x b }
Conjunto de números reales x
mayores o iguales al número a y
menores que b
a b
(a ; b]
{x/ x R a x b }
Conjunto de números reales x
mayores que el número a y menores
o igual a b
a b
[a ; b]
{x/ x R a x b }
Conjunto de números x mayores
o iguales al número a y menores o
igual a b .
a b
[a ; +)
{ x/ x R x a }
Conjunto de números reales x
mayores o iguales al número a .
a
(- ; b]
{ x/ x R x b }
Conjunto de números reales x
menores o igual a b .
b
(a ; +)
{ x/ x R x a }
Conjunto de números reales x
mayores que el numero a .
a
(- ; b)
{ x/ x R x b }
Conjunto de números reales x
menores a b .
b
Conjunto de existencia.
Para determinar el conjunto de existencia de estas expresiones debemos tener presente y
garantizar que el radicando sea positivo sólo en caso de índice par.
Precisamos el conjunto de existencia de cada expresión dada como ejemplo:
1] 5 –x 0 , 5 x , x 5 E = ( - ; 5 ]
2] x + 6 0 x 0 x-1 R ,, , x -6 x 0 E = [ -6 ; + )
3] x- 1 0 x –10 0 , x 1 x 10 , 1 x 10 E = ( 1 ; 10 )
4] x = 0 -7 - x 0 , x= 0 -7 x , x = 0 x -7 E = ( - ; -7 ] { 0 }
64
ooo ttt rrr ooo sss eee jjj eee mmm ppp lll ooo sss
1] 1x
2x
2] 1
1x
2x
condición: 01x
2x
condición: 01
1x
2x
( x + 2 0 x – 1 0 ) ( x +2 0 x-1 0 ) 01x
1x2x
( x -2 x 1 ) ( x -2 x 1 ) 01x
3
x 1 x -2 x -1 0
x (- ; -2 ] (1;+) x 1
Por lo tanto E = (- ; -2 ] (1; + ) E = ( 1; + )
3] 1x 4] 1x
1
01x E = R 01x E = R – { -1}
5] 13x
2x
6]
1x
1
013x
2x
, 1
3x
2x
01x
E = R – {3} E = R –{ -1}
7] 6 13x
2x
, 1
3x
2x
0 , 1
3x
2x
E = { } =
Propiedad distributiva de la radicación de índice natural,
según la paridad, con respecto a la multiplicación :
nb.a = n
a . nb , solo si n es natural impar
n|b.a| = n
|a| . n|b| , solo si n es natural par ooo bbb sss eee rrr vvv eee
)36).(144( = 72
Se muestra un ejemplo desarrollado de una expresión )144( . )36(
aritmética radical simplificada, en donde utilizamos la pro- Esto es un error en R
piedad distributiva :
75600 = 7.5.5.3.3.3.2.2.2.2 = 7.5.3.3.2.22222 =
= 7.35.3.2.2 = 22
22
23
25 7.3 =
= 2.2.3.5. 7.3 = 21.60 ,así 75600 = 21.60
65
Extracción de factores de un radical.
Cuando el radicando tiene factores que son potencias de exponente igual al índice natural ( n )
del radical se puede simplificar la expresión, por el empleo de propiedades que detallamos según
que n sea natural par o impar :
n es natural par , a R y b R+ :. n n
b.a = nn nb.a = n b.|a|
n es natural impar , a R y b R : n nb.a = nn n
b.a = n b.a
ejercicios
1 Simplificar cada una de las siguientes expresiones radicales aritméticas:
1-1] 24563 1-2] 325
38
2
5 1-3]
10
9
8
5
2 Complete los cuadrados con el signo + ó - que corresponda de forma tal que las
siguientes igualdades sean verdaderas .
a] 24 150 294 216 54 = 6
b] 252 45 175 125 63 320 112 = 7.10
Racionalización de divisores o dividendos radicales
El procedimiento mediante el cual se logra que el divisor o el dividendo de una expresión irracional
sea racional se llama racionalización. Damos ejemplos de los dos casos más usuales:
eee jjj eee mmm ppp lll ooo sss
Caso 1 ) Divisor o (dividendo) radical, ejemplo : 3
2. Para racionalizar el divisor
(o dividendo) debemos tener presente la propiedad :
Si ( n es natural par y a 0 ) o ( n natural impar y a R ) :.
n a . n 1na
= n n
a = a
66
Procedemos así:
3
2 =
3
2 . 1 =
3
32
3
3.
3
2
En caso de tener una expresión irracional algebraica: 5 x
3 , de condición x R - {0}
5 x
3 . 1 =
5 x
3
5 4
5 4
x
x =
5 5
5 4
x
x.3 =
x
x.3 5 4
Caso 2 ) Divisor (o dividendo) como suma o diferencia de dos términos: uno radical cuadrático
(de índice 2 ) o ambos , como por ejemplo 35
4
ó
25
2
. Para racionalizar, consideramos
diferencia de cuadrados:
Si a R+ b R
+ entonces a - b = ba . ba
Racionalizamos
el divisor radical :
35
4
=
35
4
. 1 =
35
35.
35
4
=
95
)35.(4
= )35(
Un ejemplo, algebraico, donde racionalizamos el dividendo radical: x
22x
con la condición x – 2 0 x 2 es decir el conjunto de existencia: E = [ 2 ; + )
x
22x =
x
22x . 1 =
x
22x .
22x
22x
=
)22x.(x
)2()2x(22
=
= )22x.(x
22x
=
)22x.(x
x
=
22x
1
ejercicio
Racionalice los divisores radicales en los ítem de 1] al 4] y en los restantes racionalice el
dividendo de las expresiones:
1] 2
21 2]
3x.2
x.2
3]
3 2x.7
2 4]
5 3)4x(
3
2x
2
5] 4u
2u
6]
h
3x23)hx(2
67
eee jjj eee mmm ppp lll ooo sss
a] 143mzy
= m
1zy
43 = m
yzzy
222 = m
yzzy =
m
yzy
2
condición: y m -1
0 ( y R o m R
+ ) ( y R
o m R )
= m
yzy
2 = m.m
m.yzy
2 = 2
2
m
m.yzy =
|m|
m.yzy
2
b] m
zy43
= m
yyz2
= m
m.
m
yyz2
= m
myyz2
condición: y R o m R
+
c] 2
52
x243
zm128
= 55
227
z3
xm2 =
z.3
2.m.x.
z3
2
22
3
= z.3
2
z.9
|m|.|x|.8
2
condición: z R x R – { 0 }
= z3
z3.
z3
2
z9
mz8
2 =
z3
z6.
z9
mz8
2 =
3z27
z.6.mz8
ejercicios
1 Indique el conjunto de existencia de cada expresión y determine si los pares de expresiones
algebraicas son equivalentes (representan el mismo número) .
a] x - y6 ( x- y
3 ).( x + y
3 ) c] ( x – y )
2 x
2 - y
b] yx x + y d] yx
1
y
1
x
1
e] yx
1
yx
yx
2 Simplifique y racionalice de ser posible. Indique previamente las condiciones sobre las
indeterminadas:
2-1] 6
24
x9
yx2 2-2]
yx9
1
2 2-3] 3
43yx54
8 2-4] 5
3
711
yx
yx32
2-5] 5
32
c
ba 2-6]
m
bz32
2-7] 337yx10.x5 2-8]
323
41
z
y.x:
z
y.x
68
En las expresiones consideradas hasta el momento la indeterminada estaba afectada por operacio-
nes algebraicas (adición, sustracción, multiplicación, potenciación y radicación). Podríamos deno-
minar trascendentes a aquellas donde intervienen otras “operaciones”, además de las algebraicas.
Dicha calificación es más apropiada al referirnos a ecuaciones (que más adelante estudiaremos).El
nombre de trascendente fue utilizado por primera vez por Leonardo Euler al hablar de números
que no son raíces de polinomios, según estableció, “trascienden el poder de los métodos algebrai-
cos”.
EEExxxppprrreeesssiiiooonnneeesss tttrrraaasssccceeennndddeeennnttteeesss (((lllooogggaaarrrííítttmmmiiicccaaasss,,, tttrrriiigggooonnnooommmééétttrrriiicccaaasss ooo eeexxxpppooonnneeennnccciiiaaallleeesss)))
En estas intervienen los logaritmos , la trigonometría o expresiones (ya tratadas) como expo-
nentes sobre x :
Logaritmación
Sea b 0 , b 1 , a 0 existe un número real c
denominado logaritmo en base b de argumento a .
eee jjj ...
log b a = c entonces bc = a log2 8192 = 13
log5 8125 = 7 log10 1000000 = 6
Propiedades log3 (1/81) = -4
Siempre que b 0 b1 x.y R – { 0 } Comprueba los resultados.
( x 0 y 0 )
log b b = 1 log1212 =1 ,porque 121 = 12
log b 1 = 0 log34 1 =0 ,porque 340 = 1
log b b n
= n log9 98 =8 ,porque 9
8 = 9
8
ablog
b = a a 0 100
10 10log = 100
revise el cálculo .
log b | x . y | = log b | x | + log b | y |
Demostración:
log b | x | = m , log b | y | = n
bm
= | x | y bn
= | y | por definición de logaritmo
| x.y | = bn . b
m = b
n + m 0 multiplicamos los números
|x| e |y|
log b | x.y | = log b b n + m
aplicamos logaritmo
log b | x.y | = n + m por propiedad 3
69
log b | x.y |= log b | x | + log b | y |
Si se tiene log b ( x . y ) donde x . y 0 ( positivo ),
b 0 y b 1 , es decir (x 0 y 0) (x 0 y 0)
sería un error plantear:
log b ( x.y ) = log b x + log b y log3 ( (-27).(-9) ) = = log3 (-27) + log3 (-9)
lo correcto , es :
ERROR
log b ( x.y ) = log b | x | + log b | y |
log b y
x = log b | x | - log b | y | log3
27
243
log3 (-243) - log 3 (-27)
Cuidado no cometa este error
log b | x | p
= p . log b | x | ( p R) log7 49
3 =
log7 (49 . 49 . 49)= log7 49 + log7 49 + log7 49
3 . log7 49
Cambio de base
Para cualquier base b y n perteneciente a R+ - {1} ,
y para cualquier número positivo m .
Demostración
eee jjj ...
Si x = log b m L = log16 8192
bx = m 16L = 8192
log n bx = log n m log2
16
L = log2 8192
x . log n b = log n m L . log2 16 = log2 8192
x = blog
mlog
n
n L = 16log
8192log
2
2 = 4
13
log b m = blog
mlog
n
n L = log16 8192 = 4
13
70
Logaritmos decimales y naturales
John NAPIER , a fines del siglo XVI, desarrolló un método para encontrar potencias para
incrementos muy pequeños. Con lo cual determinó potencias sucesivas de números muy próximos
a 1. Así, desarrolló tablas de exponentes utilizando multiplicaciones repetidas. Fue un proceso te-
dioso, pero con él creó un sistema que fue, aunque impreciso, la base para los logaritmos tal como
los conocemos hoy. Al quedar entusiasmado Henry BRIGGS, comenzó a trabajar junto a Napier,
y extendieron los logaritmos a la base 10 (logaritmo decimal) El primero muere y Briggs concluyó
el trabajo desarrollando la tabla de logaritmos decimales.
Utilizaremos el símbolo log para reemplazar por log 10, y referirnos al logaritmo decimal.
Se define, por razones más allá de nuestro alcance de explicar, un logaritmo cuya base es un
número irracional de notación e, este número con sólo diez cifras decimales es 2,7182818285...
y los logaritmos se denominan naturales o neperianos.
Reemplazaremos a log e por el símbolo ln , para referirnos al logaritmo natural que
corresponde al área de la siguiente superficie limitada superiormente por la línea curva de pun-
tos de la forma ( x , 1 / x ), si x 1 .
1 x
Ambos logaritmos el decimal y el natural se encuentran tabulados en cualquier calculadora
científica.
ejercicios
1 Exprese como un único logaritmo y luego calcúlelo.
1-1] 2 log 5 + 3 log 4 - 4 log 2
1-2] log 2 3
40 + log 2
5
6
y
y = 1 / x
El área de la superficie
sombreada es:
ln x
71
2 Exprese como un único logaritmo y de ser posible simplifique, a R+ - {1} y es constante.
Determine el conjunto de existencia (correspondiente a la variable x ).
2-1] 3
2 log a x -
2
1 log a
3 x 2-2] log a
x
a - log a x.a
2-3] log a ( x2 – 4 ) - log a ( x – 2 ) 2-4] log a x
2 - 2 log x
3 ¿ Son iguales los siguientes logaritmos ?, si se sabe que los argumentos de los logaritmos cum
plen con las condiciones necesarias de existencia de la expresión .
5xxlog,
5
5xxlog
22
5
eee jjj eee mmm ppp lll ooo sss Determinamos el conjunto de existencia de las expresiones trascendentes:
a] 2x + 3x , E = R f] ( 1/3)
-x + x
3 – 1/x , E = R – { 0 }
b] 3x – x
4 + x , E = R g] sen x + cos
2 x , E = R
c] log (x +3) – x2 + 1 , E = (-3, )
pues x + 3 0
x -3
d] log 5 x – 1 2 - 3x h] 3x)2x3(log4
4x2
5x - 1 0 5x – 1 1 x + 3 0 3x –2 0 x2 – 4 0 x
2 - 4 1
x 1/5 x 2/5 x -3 x 2/3 x2 4 x
2 5
x 1/5 x 2/5 x 2/3 ( x -2 x 2 ) x2 5
x 2 x 5 x - 5
E = ( 1/5, 2/5) (2/5,+ ) E = ( 2 ; 5 ) ( 5 ; + )
e] sen x + tg x i ] 3x68xln2
Recuerde que tg x = xcos
xsen 6 - x 0 3 8x 0
x 6 x + 8 0
E = { x / x R cos x 0 } x 6 x - 8
= { x / x R x ½ + k k Z }
E = ( - 8 ; 6 ]
72
ejercicios
1 Dadas las siguientes expresiones algebraicas (trascendentes), halle el conjunto de existencia
a] 3log.21x
e] )2xlog(2
1
b] )1xlog()3xlog( f] )1xlog()3xlog(2
c] )3x(log)1x(log 2x)2x( g] )3x(log
)4xlog(
1x
2
d] )2
1x
4
7x(log
22 h]
x31
1
i] xlog
1
3
j] 3x
2x
5
k] 3x
1x
l] log 3x
1x
ll] sen x . cos x m] sen x . tg x . cotg x
n] tg x . x
1 ñ]
2x
xsen
o]
x2
1
6x
1
2 Racionalice los divisores de las siguientes expresiones correspondientes a cantidades, luego
simplifique :
2-1] La distancia entre capas de iones en un cristal de cloruro de sodio es 3
N2
M
, expresión
donde M es el peso molecular , N el número de Avogadro y la densidad .(6,023 .1023
es el
número de moléculas de un gas contenidas en 22,4 litros a 0°C y a 1 atm de presión)
2-2] Muchos instrumentos musicales son de cuerdas que vibran. La frecuencia de vibración f de
una cuerda de longitud L que está fija en ambos extremos, y vibra en su modo fundamental es:
T.
L2
1 ,si es la masa por unidad de longitud y T la tensión de la cuerda.
2-3 ] La resistencia equivalente R de dos resistores, de resistencias R1 y R2 , conectados
en paralelo, se expresa por : 21
21
RR
R.R
,en un circuito dado R1 =
3x y R2 = x .
73
Se llama proposición al conjunto de símbolos o palabras que
expresan un pensamiento o juicio con sentido completo sujeto
a un valor lógico (de verdad o falsedad).
En matemática, y en este caso, los planteos o proposiciones
que utilizaremos se referirán a igualdades o desigualdades
numéricas reales. Para ello utilizaremos expresiones aritmé-
ticas.
2 + 4 2 . 3 2 . 8 – 5 = 1 + 2 . 5
4 . 7 – 8 > 32 – 3 . 4 - 92 + 3. 5 = (- 9)
2 + 3 . 5
El carácter lógico de las dos primeras proposiciones es la
verdad, en cambio el de las dos últimas es la falsedad .
eee jjj eee mmm ppp lll ooo iii llluuussstttrrraaatttiiivvvooo Determinemos la igualdad genérica entre el número de lados
(L) y el número de triángulos equiláteros yuxtapuestos (T)
correspondientes, observemos el siguiente esquema:
...
T 1 2 3 4 ...
L 3 5 7 9 ...
+ 2 +2 +2
Para:
1 triángulo los lados son 3 : 1 + 2 . 1
2 triángulos los lados son 5 : 1 + 2 . 2
T triángulos los lados son L = 1 + 2 .T
La igualdad planteada L = 1 + 2.T no es una proposición
pues carece de valor lógico ya que L y T son números
indeterminados ,la denominaremos proposición o enunciado
abierto , nosotros indicaremos igualdades o desigualdades
donde se hace uso de expresiones algebraicas.
En caso de que L sea el número de lados correspondientes
a T triángulos se transforma en una proposición verdadera
por ejemplo:
121 = 1 + 2 .60 , en caso contrario será una
proposición falsa :
121 = 1 + 2 .61
.
Proposiciones
compuestas:
Son aquellas formadas
por proposiciones sim-
ples ligadas por conec-
tivos lógicos:
, ,
(respectivamente:
y, o, entonces)
Sus correspondientes
valores lógicos según
las proposiciones sim-
ples p y q
(componentes)
p q pq pq pq
V V V V V
V F F V F
F V F V V
F F F F V
V: verdadero
F: falso
eee jjj 31 51-2 (V)
46 54+1 (V)
2-1-4 8+19 (V)
43-1 910 (F)
16-9 3=2-5 (V)
74
Te mostraremos los siguientes enunciados abiertos
[1] x2 – 4 = 0 [2] x
2 + 25 = 0
[3] x.(x-1) = x2 – x [4] (6x-12).(x+2) = 0
Ecuaciones
En adelante los enunciados abiertos que planteen la igualdad
de dos expresiones algebraicas (miembros) los denominaremos
ecuaciones algebraicas .
Conjunto de reemplazo
El conjunto de Reemplazo ( P ) de una ecuación es la
intersección de los conjuntos de existencia de los miembros
derecho e izquierdo de la ecuación (es decir de las expresiones
algebraicas) : P = E1 E2 .
La ecuación [3] se transforma en verdadera para todos los
valores de un conjunto infinito, en este caso R , por lo que
la llamaremos identidad en ese conjunto , en cambio las
ecuaciones [1] y [4] son condicionales pues se trans-
forman en verdaderas sólo para ciertos valores.
Conjunto solución
La mayor parte de las ecuaciones tiene asociado un conjunto,
de números o n-uplas de reales asignables a la o las indetermi-
nadas que las transforman en proposiciones verdaderas ( que
verifican la igualdad), éste se llama conjunto solución S
y cada elemento solución de la ecuación. Las restantes, como
la ecuación [2] del ejemplo, que nunca se transforma en verda-
dera su conjunto solución es el vacío S =
Ecuaciones equivalentes
Las ecuaciones [1] y [4] tienen el mismo conjunto solución
S = { 2 , -2 } , por ello se llamaran ecuaciones equivalentes.
NNN oootttaaa ::: Trabajaremos con ecuaciones de una sola indeterminada.
Ecuaciones polinómicas
Son aquellas cuyas miembros son polinomios, se clasifican
de acuerdo al mayor grado de los polinomios miembros.
-En [1] y [4] si a
la indeterminada x se
le asigna 2 ó –2 (sola-
mente) se obtiene una
proposición verdadera
-En [2] para cualquier
valor real asignable se
obtiene una proposición
falsa
-En [3] para cualquier
valor real asignable se
obtiene una proposición
verdadera
Miembro Miembro
izquierdo derecho
10x = 10x
1
E1 ={x/x R x 10}
{x/x R x 10}= E2
El conjunto de reemplazo es el intersección :
P ={ x/ x R x 10}
El conjunto de reempla-
zo de toda ecuación
polinómica lo forman to-
dos los números reales :
P = R
75
eee jjj eee mmm ppp lll ooo Una estación de servicio vendió de lunes a sábado 4260 litros
de nafta de alto octanaje. Ocasionalmente se observó que cada
día vendió 100 litros más que en la víspera. ¿ Cuántos litros de
este combustible vendió el día martes?
La gran mayoría de los problemas de resolución matemática
dan lugar a ecuaciones, no existe un único modelo para cada
tipo de situación de la vida cotidiana que pueda presentarse,
señalaremos pautas generales para resolverlos .
Elegimos una o varias letras para representar el o los nú-
meros indeterminados, es decir el o los datos desconocidos o
incógnitas, aquí por ej. m (litros de nafta vendida el martes)
Formalizamos el lenguaje coloquial en un enunciado abierto
teniendo en cuenta los datos del problema, y lo expresamos en
lenguaje simbólico, este caso la ecuación:
(m-100)+m+(m+100)+(m+200)+(m+300)+(m+400)+ 0 =4260
↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ lunes martes miércoles jueves viernes sábado domingo
Si se hace uso de las propiedades de uniformidad en la
igualdad de números reales, escritas en la columna derecha,
transformamos la ecuación inicial en nuevas ecuaciones equi-
valentes (más simples) que nos permitirán deducir el
conjunto solución (lo que llamaremos resolver la ecuación).
7.m + 900 = 4260 ecuación polinómica de primer grado
7.m + 900 – 900 = 4260 - 900
7.m = 3360
7.m / 7 = 3360 / 7
m = 480 ecuación equivalente a la inicial
La última ecuación nos indica claramente que si m es el
número 480 , la proposición es verdadera . Y así todas las
anteriores, pues comparten el mismo valor lógico.
Antes de dar la respuesta al problema planteado, si fuese
posible, comprobamos si satisface el enunciado.
(480 -100)+480+(480+100)+(480+200)+(480+300)+(480+400)
ó 7.480 + 900 es 4260
Luego por último la respuesta: el día martes la estación
vendió 480 litros de nafta de alto octanaje.
Propiedades
de uniformidad
a = b
entonces
a + c = b + c
a – c = b - c
a . c = b . c
y con c0 :
c
a =
c
b
Con estas propiedades
( de sentido común )
transformamos una
ecuación en otras
equivalentes hasta
obtener una sencilla
que nos permitirá
deducir el conjunto
solución .
76
ooo ttt rrr ooo eee jjj eee mmm ppp lll ooo
Analizamos que valores reales debemos asignarle a k (cons-
tante) para que el conjunto solución de la ecuación de indeter-
minada x : (k - 1) x + 5 = 3 x - k sea :
a] finito , b] infinito y c] vacío
(k - 1) x + 5 = 3x - k
(k - 1) x = 3x - k - 5
(k - 1) x - 3x = -k - 5
(k - 1 - 3) x = -k - 5
(k - 4) x = -k - 5
En este momento debemos analizar, independientemente, el
valor de k tal que el factor k-4 y el segundo miembro –k-5
sean cero :
k - 4 = 0 k =4
-k – 5 = 0 -k = 5 k = 5
Entonces :
Si k = 4 0 . x = 4 – 5 = -1 , S =
Si k = -5 1 . x = 5 –5 = 0 , S = { 0 }
Si ( k 4 k -5 ) (k-4)x = -k - 5
x =4k
5k
, S ={
4k
5k
}
Rta.
a] el conjunto solución es finito si k 4
b] el conjunto solución nunca es infinito.
c] el conjunto solución es vacío si k = 4
ejercicios
Analice que valor real es k tal que el conjunto solución sea:
a] finito , b] infinito y c] vacío
(k + 2) x + k - 2 = k2 + k - 6
-k x + (k + 6) x = -1 + k2
(k2 +k) x - k =
3
1 -
261
87
Ecuaciones de
análisis
x : incógnita
1] 0.x = b , b0
ningún número multipli-
do por cero es un número
distinto de cero
entonces:
S =
2] 0.x = 0 ,cualquier
número real al multipli-
carlo por cero su pro-
ducto es cero
S = R
3] a.x = b , a0,
determinamos la ecuación
equivalente:
x = - b/a
S = { -b/a }
77
Método sugerido
Proponemos un método de resolución de ecuaciones polinómi-
cas el cual será útil conocerlo.
Éste se basa en el conocimiento previo de la factorización po-
linómica según sus raíces reales.
Dado una ecuación polinómica o equivalente llevada a la
forma:
p(x) = 0
Si no tiene raíces reales, el conjunto solución: S =
Si tiene raíces reales factorizamos en factores(de raíces reales)
p(x) = (x-c1) .(x-c2) . … . t(x) = 0
Como sabemos un producto de factores es cero si algunos o
todos sus factores son cero:
x – c1 = 0 . . . x - c2 = 0
x = c1 . . . x = c2
Las raíces reales del polinomio son soluciones de la ecuación
polinómica, de S = { c1 , c2 , . . . }
EEccuuaacciioonneess ppoolliinnóómmiiccaass ddee pprriimmeerr ggrraaddoo
Cuadrado mágico algebraico: La construcción de cuadrados
mágicos es un pasatiempo antiquísimo, que se remonta a la
antigua China, el mismo consiste en un cuadrado tal que al
sumar todas las filas, columnas y diagonales se obtiene el
mismo resultado.
3.(1+2.x) 3 - x 4(x+1)-1
3 + x 3.(x+1) -2 + 5.(1+x)
2+(1+2x) 3 + 7x 3
Este cuadrado mágico tiene la característica de tener un con-
junto infinito de soluciones (una para cada número mágico que
se elija).
eeejjjeeemmmppp lllooosss :::
x6 + 4x
4 + 2x
2 + 8 = 0
S =
3
1x
3-
3
8x +
3
5x
2 – 4 = 0
3
1(x-2)(x+1)(x+6)=0
x-2 = 0 x+1=0 x +6=0
x = 2 x = -1 x = -6
S = { 2 , -1 , -6 }
2x + 2 2 x2 +x
3 =0
x (x- 2 ) (x- 2 )=0
x = 0 x = 2
S = { 0 , 2 }
78
1. Comprobaremos que se trata de un cuadrado mágico
Todas las líneas suman 9 x + 9 (compruébelo) .
2. Si el número mágico de este cuadrado es 36 ¿ qué valor
toma la indeterminada?
9 x + 9 = 36
9 x = 27
x = 3 x es 3 .
Resuelva lo siguiente :
3. ¿ Y si es 12, el número mágico? .
4. Si la indeterminada es 2, escribe el cuadrado mágico
numérico correspondiente y halla su número mágico.
Complete el cuadrado de
forma tal que sea
mágico:
3 – 4
3 - 7
3
– 1 3
-2 3
– 3 3
3
3 8 3
– 6 3
- 5
ejercicios
1
El costo de tres artículos es $ 6 , $ 4 y $ 7 respectivamente. Se realizó a compra de los
tres tipos de artículos, igualdad cantidad del más caro y del más económico, y 5 unidades del
otro. Se abonó con un billete $ 100 y uno de $ 50 y se recibió de vuelto $ 13, ¿qué cantidad de
cada artículo se compro?
2
Por hacerme socio de un club debo pagar $ 50 de inscripción y $ 5 por día para acceder a la
pileta, en cambio si voy como acompañante sólo deberé pagar $ 7 por día para asentir a la
misma.¿Cuántos días debo concurrir al menos para que sea más conveniente pagar la inscripción?
3 La medida , de la amplitud de un ángulo, es el doble que la medida ; y además la mayor
es la mitad, de la menor aumentada en 120 (unidades) ¿ Cuál es la medida menor ?
79
4
Si se gastó la cuarta parte de un rollo de tela, y luego la sexta parte de lo que quedaba y aún que-
dan 30 (m) ¿ cuántos metros de tela había en el rollo?
5
Calcule el perímetro de un triángulo sabiendo que la medida de la longitud de sus lados son nú-
meros naturales pares consecutivos y que la suma entre la menor y la mayor es 32 (cm).
6
La suma de cuatro números es 99. El mayor es el cuádruplo del menor. Los dos intermedios son
iguales al triple del menor ¿Cuáles son esos números?.
7
Se ha obtenido 80, 78, y 81 puntos en tres exámenes parciales, ¿cuál es la puntuación mínima
que se debe obtener en un cuarto parcial si para ingresar deberá tener de promedio 80?
8
La medida , de la amplitud de un ángulo, es cinco veces la medida y es 5 (unidades)
menor que .Halle la amplitud de cada ángulo si estos son los interiores de un triángulo.
9
¿ Cuanto ácido puro deberá agregarse a 10 (cm3) de una solución al 60 % de ácido para que
ésta se convierta en una solución al 90 % ?
10
Determine la ecuación que relaciona las
medida de la temperatura en grados Celsius
(C) y la correspondiente medida en grados
Fahrenheit ( F ) .
La escala de temperatura que se utiliza aún
en algunos países de habla inglesa es la inven-
tada por G.Robert Fahrenheit , luego modi-
ficada por Anders Celsius.
Una persona tuvo gripe. Su temperatura
alcanzo los 104 F.¿A cuánto equivale en la
escala Celsius (centígrados) ?
Punto de
100 ebullición 212
del agua
100 Temperatura 180
25 ambiente 77
Punto de
congelación
0 del agua 32
CELSIUS FAHRENHEIT
80
11
El triángulo isósceles que representa el frontispicio y la 3 x + 19
longitud de sus lados ( en metros ) es la indicada a la
derecha : 10 x - 24
12
Dadas las siguientes ecuaciones (generalizadas) determina el número indeterminado x según
los números a y m 0 constantes :
12-1] m3
6x2 +
m
a62 =
m2
ax3 -
m
)ax.(4
12-2] 2
7x8 -
3
)8x.(2 =
2
3x - 6
12-3] m3
xa2 -
m6
xa9 =
m3
x4 +
m2
xa
12-4] 2
ax3 +
3
x5a =
4
)xa2.(5 + 5
13
Por estar al final de la temporada invernal se anuncia que los precios de lista de las prendas de
lana han sufrido un descuento del 15% . ¿Cuál era el precio de lista de un saco que se vende a $ 89?
14
Si una impresora tarda en completar un documento 3 horas, mientras que otra hace el mismo
trabajo en 2 horas , ¿ cuánto tiempo transcurrirá si funcionan simultáneamente ?
15
¿ A qué hora entre las nueve y las ocho horas las
agujas , minutera y horaria ,del reloj forman un ángulo
nulo ?
(Es decir coinciden)
El dibujo reproduce el Templo de la Diosa Hera, en la
Isla griega de Samos, lugar de origen de Pitágoras. Es
el mayor de su época, construcción que comienza en el
año 530 A. C. Hoy sobrevive sólo una columna del
majestuoso templo .
Calcule la longitud de los lados del frontispicio de
perímetro 244,4 (m)
81
EEccuuaacciioonneess ppoolliinnóómmiiccaass ddee sseegguunnddoo ggrraaddoo.
Si al reducir o no una ecuación original a otra más sencilla
(equivalente) se obtiene una de la forma:
a.x2 + b.x + c = 0 , con a 0 , b y c constantes reales
Diremos que la ecuación resultante es una ecuación de
segundo grado conocida también como ecuación cuadrática.
Una hoja de cartón tiene un largo igual al doble de su ancho,
en cada esquina se cortan cuadrados de 2 cm de lado y los ex-
tremos se doblan hacia arriba para formar una caja.
¿ Cuáles son las dimensiones de la lámina si el volumen que
se obtiene al armar una caja de 480 cm3?
2
2
a-4 a
2a - 4
2a
Sabemos que el volumen de un prisma es el producto del área
de la base rectangular: (2a – 4).(a-2), y la altura 2 por lo tanto:
(2a – 4) . (a-4) . 2 = 480 Volumen de la caja.
(2 a2 – 8 a –4 a + 16 ). 2 = 480 (2 a2 – 12 a + 16 ). 2 = 480 4 a2 – 24 a + 32 = 480 4 a2 – 24 a + 32 - 480 = 0 4 a2 – 24 a - 448 = 0 a2 – 6 a - 112 = 0 1.(a- 14).(a+8) = 0
a – 14 = 0 a + 8 = 0
a = 14 a = - 8 Despreciamos el valor negativo, a-4
pues la longitud es positiva. 2a-4
2.14-4 = 24 14-4 =10
Las dimensiones de la caja son 24, 10 y 2 (largo, ancho y alto)
ejercicios
1 Tres números enteros
pares consecutivos son tales
que el cuadrado del tercero
es 76 unidades más que el
cuadrado del segundo,
obtenga los tres números .
2
En el solarium del club
cuya área es de 1120 m2, se
ha construido un quincho de
11 m de largo por 8 m de
ancho , si el piso alrededor
del quincho tiene un ancho
constante,¿cuál es ese ancho?
3
La base de un triángulo
es 10 cm menor que su
altura. El área es de 36 cm2.
Calcule las longitudes de la
base y la altura.
82
x-7 x
5
En un circuito, la potencia P (medida en watts) se obtiene usando corriente I (en amperes: A),
tensión E (en volts:V) y resistencia R (en ohms), según la ecuación P = R . I 2 + E . I .
Si la potencia es de 18000 watt , la resistencia es de 10 y la tensión de 510 V, determine la
corriente (medida en amperes).
6
Dados cinco triángulos equiláteros que forman la figura dibujada de área 5 . 3 (cm2) .
Halle su perímetro .
7
Dado el siguiente cuadrado mágico
Se pide :
Escriba la suma de las ocho líneas del
cuadrado mágico.
Halle el valor de x para que sea cuadrado mágico.
4
Para sostener un cartel en el techo de un edificio se di-
seña un soporte de forma de triángulo rectángulo, como
indica la figura , uno de los parantes es 7 m menos que
el otro y la base que se colocará en la terraza es de 13 m
de altura, ¿cuáles son las longitudes de las vigas ?
4( x + 1) x
2 2x + 4
4x2- 1 2x + 3 4x + 3
(x + 1) 2 ( x + 2)
2 (x + 1)
2 - 2
83
Utilice la suma de la tercera línea horizontal igualada a otra cualquiera obteniendo una
ecuación, resuélvala y compruebe que uno de los valores que la hacen verdadera (satisface)
es el encontrado en el punto 2.
Por último escriba el cuadrado numérico correspondiente al ítem anterior.
8
Se colocan en un estanque 150 truchas con el objeto de estudiar su reproducción, a pesar de
los cuidados la población comienza a disminuir .La expresión - t4 + 19 t
2 + 150 indica la
cantidad de ejemplares al cabo de t años, desde el momento que son colocadas en el estanque,
¿ cuánto tiempo transcurre para que desaparezca la población? .
9
Se desea enmarcar una lámina rectangular de 26 cm de ancho por 48 cm de largo, con un
marco de madera barnizada de ancho uniforme x (cm) , si el área total enmarcada es de 1995 cm2
¿cuál es el área del marco?
10
Al hacer una estadística sobre la importación y exportación de un cierto producto se obtuvieron
las siguientes expresiones que representan cada una de ella: importación: - 1/5 x2 + 7000000
exportación: 2/25 x2 , ( x es la cantidad de unidades de ese producto) . ¿ Cuántos productos
deberían comercializarse para que el déficit fuese cero?
11
11-1] Desarrolle ( x – y ).( x2 + x y + y
2 )
11-2] Calcule dos números si se sabe que su diferencia 65 y la diferencia de sus cubos es 647855
12
Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba desde el techo de un edificio de 30 m de altura,
dicha altura , tomando como referencia el nivel del piso ,esta en función del tiempo t (medido en
segundos) y la velocidad inicial de la piedra de 5 m/s .Por lo tanto la altura queda indicada por
- 5 t 2 + 5 t + 30 . ¿Cuánto tiempo tardará la piedra en regresar al techo? ; si continuara su des-
censo, ¿cuánto tiempo tarda desde que es lanzada hasta tocar el suelo ?
84
EEccuuaacciioonneess ppoolliinnóómmiiccaass ddee tteerrcceerr ggrraaddoo
Resolver ecuaciones polinómicas de grado superior a dos, suele ser la mayoría de las veces un tanto
dificultoso, existen métodos especiales para ello, como por ejemplo el método de Cardano (para las
de tercer grado), y otros que se estudian en niveles superiores. Nosotros nos remitiremos a las
ecuaciones más sencillas donde emplearemos para hacerlo los conceptos estudiados en la unidad
anterior.
eee jjj eee mmm ppp lll ooo Resolvemos:
x3 – 2 x
2 – 5x + 6 = 0
Factorizamos el primer miembro, para ello es necesario
recordar el teorema de Gauss y deducir las raíces.
El conjunto de los divisores del término independiente
A = { -1 , 1 , -2 , 2 , -3 , 3 , -6 , 6 }
eeejjjeeemmmppp lllooosss ccc ooommmppp llleeemmm eeennntttaaarrriiiooosss
Dado que el polinomio del primer miembro es mónico (1),
entonces los elementos del conjunto A serán las posibles
raíces del mismo y por lo tanto las posibles soluciones de la
ecuación.
1x
6x5x2x
4
23
= 0
Teniendo en cuenta el teorema del Resto (o teorema del
residuo) , si especializamos el polinomio en alguna de sus como x4 + 1 0
raíces su valor aritmético será 0. con mayor precisión
x4 + 1 1
p(1) = (1)3 – 2 (1)2 – 5 1 + 6 = 0 la ecuación equivalente es:
x3 – 2 x
2 – 5x + 6 = 0
Si l es raíz del polinomio x3 – 2 x
2 – 5x + 6 , éste
es divisible por el polinomio x – 1
Efectuamos la división mediante la regla de Ruffini
6x5x2x23 = 0
1 - 2 - 5 6 a = 0 sí y sólo si a = 0
1 - 1 - 1 - 6 Por eso la ecuación se reduce a:
1 - 1 - 6 0
x3 – 2 x
2 – 5x + 6 = 0
Por lo tanto: x3 – 2 x
2 –5x + 6 = ( x – 1) . ( x
2 – x – 6)
85
Queda por investigar si el polinomio cociente , posee otra
raíz deducida por el teorema de Gauss o bien si el polino-
mio es de segundo grado, estamos en condiciones de
conocer sus raíces por la fórmula resolvente .
3x4
- 6 x3 –15 x
2 +18 x = 0
Finalmente factorizado el primer miembro, polinómico, factorizamos:
de la ecuación : 3 x ( x3 – 2 x
2 –5x + 6 ) = 0
( x – 3 ) ( x – 1 ) ( x + 2 ) = 0 3 x (x – 3) (x – 1) (x + 2) = 0
y deducimos con facilidad el conjunto solución,
x – 3 = 0 x - 1 = 0 x + 2 = 0
x = 3 x = 1 x = -2
S = { 3 , 1 , -2 } , este conjunto pudo determi-
narse gracias a que conocemos una raíz del polinomio.
Hallamos el conjunto solución asociado a otro interesante ejemplo de ecuación cúbica ( x es el
número indeterminado y m es constante)
m x3 – ( m
2 + m + 1 ) x
2 + ( m
2 + m + 1 ) x – m = 0
Algunos escalares del conjunto de los divisores del término independiente son :1, -1, m, -m ;
números que también son divisores del coeficiente principal .
Así las posibles raíces: 1 , -1 ; ¿ al efectuar la división de m
m fue necesario tener en cuenta la
posibilidad de que m sea igual a 0 ?.
Rta : no pues si m es 0 la ecuación no sería cúbica como lo menciona el enunciado.
Comprobamos si 1 es raíz del polinomio m x3 – ( m
2 + m + 1 ) x
2 + ( m
2 + m + 1 ) x – m
m (1)3 – (m
2 + m + 1) (1)
2 + (m
2 + m +1) 1 – m =
= m – m2 – m – 1 + m
2 + m + 1 – m = 0
1 es raíz del polinomio, por lo tanto m x3 – ( m
2 + m + 1 ) x
2 + ( m
2 + m + 1 ) x – m
es divisible por x – 1.
m -m2 - m - 1 m
2 + m +1 -m
1 m - m2 – 1 m
m - m2 – 1 m 0
Por lo tanto
m x3 – ( m
2 + m + 1 ) x
2 + ( m
2 + m + 1 ) x – m = (x - 1) (m x
2 - (m
2 + 1) x + m)
Aplicando la fórmula resolvente hallamos las raíces o la raíz del polinomio cociente de segundo
grado.
( x - 1 ) ( x - m) (x – 1/m ) m = 0
( x – 1 ) ( x – m) ( x - 1/m ) = 0
x – 1 = 0 x - m = 0 x - 1/m = 0
x = 1 x = m x = 1/m
Conjunto solución asociado a la ecuación es : S ={ 1, m, 1/m } , con m 0
86
ejercicio
Indique con flechas la correspondencia entre cada ecuación y sus soluciones.
a] x3 - 4x
2 - 7x + 10 = 0 La suma de las soluciones es 11
b] -2x3 + 4x
2 + 80x + 128 = 0 El doble de la suma de las
soluciones es 8
c] 3x3 - 33x
2 + 72x = 0 El producto de dos de las soluciones
es la tercera solución .
eee jjj eee mmm ppp lll ooo sss
Hallamos el volumen de cada cilindro circular recto si se sabe que tienen la misma altura, y esta es
dos centímetros mayor que el diámetro de la base menor (ver figura), y la suma de los volúmenes
es 104 (cm3).
S = r 2 h + R
2 h
104 = ( ½ x )
2 (x + 2 ) + ( 6 – ½ x )
2 (x+2)
104 = ¼ x3 + ½ x
2 + ( 36 + ¼ x
2 – 6x) ( x + 2 )
104 = ¼ x3 +½ x
2 +36 x+ ¼ x
3 – 6x
2 +72 + ½ x
2 -12x
104 = ½ x3 - 5 x
2 + 24 x +72
208 = x3 – 10 x
2 + 48 x + 144
0 = x3 – 10 x
2 + 48 x – 64
Buscamos posibles raíces racionales positivas: 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 ó 64 (por teorema de
Gauss) , se comprueba que 2 es raíz del polinomio , segundo miembro de la ecuación .
Aplicamos regla de Ruffini:
1 - 10 48 - 64
2 2 - 16 64
1 - 8 32 0
entonces ( x3 – 10 x
2 + 48 x – 64 ) = (x - 2) ( x
2 - 8 x + 32)
Faltaría investigar, con el discriminante, si el polinomio cociente tiene raíces reales o es primo:
(-8)2 – 4 .1 . 32 = -64 < 0 , discriminante negativo no tiene raíces reales es primo o irreductible.
(x - 2) . ( x2
- 8 x + 32) = 0
x – 2 = 0 x2 – 8x + 32 0
x = 2 S = { 2 }
12
x+2
12 - x
x
87
Debemos tener en cuenta la situación problemática que modeliza la ecuación, por eso determina-
mos el conjunto de validez. La altura de los cilindros es x+2 y el diámetro de cada cilindro x
y 12 – x , todas longitudes mayores a cero:
x + 2 0 12 –x 0 x 0
x -2 12 x x 0
x -2 x 12 x 0
0 x 12
V = ( 0 ; l2 ) = { x / x R 0 x 12 } ,intervalo de números reales
Como 2 S V , 2 es el número asignable a x y el volumen de cada cilindro es
( ½ 2 )
2 (2 + 2 ) = 4 y ( 6 – ½ 2 )
2 (2+2) = 100
EEccuuaacciioonneess ppoolliinnóómmiiccaass bbiiccuuaaddrrááttiiccaass (caso particular de ecuaciones de cuarto grado)
Vamos a estudiar un caso particular de las ecuaciones de cuarto grado llamadas ecuaciones
bicuadráticas, que son ecuaciones de la forma:
a . x4 + b . x
2 + c = 0
con a (no cero) , b y c constantes reales .
Para resolver este tipo de ecuaciones introduciremos un nuevo método al que llamaremos“cambio
de variable” que como veremos en el transcurso de la unidad resulta muy conveniente.
En este caso particular al efectuar el “cambio de variable” lograremos reducirla a una ecuación de
segundo grado.
ccc uuuaaatttrrr ooo eee jjj eee mmm ppp lll ooo sss Hallemos el conjunto solución de las siguientes ecuaciones
1] x4
- 9x2
+ 8 = 0 , hacemos un cambio de variable y convenimos que x
2 = u
x4 - 9x
2 + 8 = 0 x
2 = u
sustituímos en la primera ecuación x2:
u2 - 9u + 8 = 0 x
2 = u
(u - 8) (u - 1) = 0 x2 = u
( u = 8 u = 1 ) x2 = u
x2 = 8 x
2 = 1 , cuatro posibles soluciones
2
x = 8 2
x = 1
x = 8 x
= 1
x = 8 = 2.4 x
= - 8 x
= 1 x
= -1
x = 22 x
= - 22 x
= 1 x
= -1
Por lo tanto el conjunto solución es: S = { 1 , -1 , 22 , - 22 }
88
2] 5 x5 - 15 x
3 - 20 x = 0
, este es una ecuación polinómica de grado cinco
que al factorizar el primer miembro nos conduce a una ecuación bicuadrática
x5 - 3 x
3 - 4 x = 0
x ( x4 - 3 x
2 - 4 ) = 0
x = 0 x4
- 3x2
+ 4 = 0
( x = 0 x4
- 3x2
+ 4 = 0 ) x2 = u
( x = 0 u2 - 3u + 4 = 0 ) x
2 = u
( x = 0 (u-4) (u+1) = 0 ) x2 = u
( x = 0 u = 4 u = -1 ) x2 = u
x = 0 x2 = 4 x
2 = - 1
x = 0 2
x = 4 x R
x = 0 x = 2
x = 0 x = 2 x = - 2
S = { 0 , -2 , 2 }
3] x4
- 6 x2
+ 11 = 0
x4 - 6x
2 + 11 = 0 x
2 = u
u2 - 6u + 11 = 0 x
2 = u
( (-6)2 – 4 .1.11 = -8 0 u R ) x
2 = u
x R S = { }
4] x4
+ 5 x2
+ 9 = 0
Antes de comenzar el desarrollo de resolución podemos advertir que los dos términos son mayo-
res o iguales a cero y el tercero del primer miembro es positivo ( 9 ) .
así x ( x x4 0 5 x
3 0 )
x4 + 5 x
3 0
x4 + 5 x
2 + 9 0 + 9
x4 + 5 x
2 + 9 9 ,por lo que se deduce: S =
89
EEccuuaacciioonneess aallggeebbrraaiiccaass rraacciioonnaalleess (( ffrraacccciioonnaarriiaass ))
Es toda ecuación cuyos miembros responden a expresiones racionales.
Por ejemplo:
1x2
2x3
+
½)x(2
5
= 1
Importante en las ecuaciones racionales antes de resolverlas es fundamental determinar el
conjunto de reemplazo (debido a que la operación principal que vincula a los polinomios es la
división, habrá que excluir la o las raíces del polinomio divisor, pues éstas no son soluciones de
la ecuación).
eee jjj eee mmm ppp lll ooo sss Resolvemos las siguientes ecuaciones:
1] 3x4x
2x3x2
2
= 0
3x4x
2x3x2
2
= 0 x
2 + 4x + 3 0 , divisor no cero
x2 + 3x + 2 = 0 (x + 1).(x + 3) 0 , aquí se deduce que : P = R – { -1 , -3}
(x + 1).(x + 2) = 0 x+1 0 x+3 0
( x = -1 x = -2 ) x -1 x 3
x = -2
entonces el conjunto solución : S = { -2 }
2] 5x
2
=
12x4
1
, el conjunto de reemplazo es P = R – {5 , 3}
2(4x - 12) = x – 5 x - 5 0 4x - 12 0 , ambos divisores no nulos
8 x – 24 = x – 5 x 5 4 x 12
7 x = 19 x 5 x 3
x = 19/7 x 5 x 3
S = { 19/7 }
ejercicio
Determine el conjunto solución de las siguientes ecuaciones (que se reducen a ecuaciones cua-
dráticas):
1] 2x
5x
-
5x
2
=
10x7x
x2
2 2]
6x2
x
-
9x6x
3
2 =
9x3
2x
3] ax
1
+
cx
1
=
bx
1
, se sabe que la suma de las constantes distintas a , b y c es -3 ,y la
suma de los tres productos de factores distintos de estas constantes es -189.
¿ Qué números no son las constantes a , b y c ?
90
EEccuuaacciioonneess aallggeebbrraaiiccaass iirrrraacciioonnaalleess (( ccoonn rraaddiiccaalleess ))
Toda ecuación que en uno o ambos miembros poseen expresiones algebraicas irracionales
diremos que es una ecuación irracional.
Importante Al igual que las ecuaciones fraccionarias, antes de comenzar la resolución es
necesario tener presente el conjunto de reemplazo (no siempre todos los reales R ).
eee jjj eee mmm ppp lll ooo sss
1] 2]
3 5x2 = 2 , aquí la radicación de índice 3 5x2 + 2 = 16
( o cualquier natural impar ) es posible en todos
los reales , por eso el conjunto de reemplazo es : 5x2 = 4 – 2
P = R 5x2 = 2 2x + 5 0
33 5x2 = 23
25x2 = 22 2x -5
2 x + 5 = 8 2x + 5 = 4 x -5/2
2 x = 3 , la radicación de índice 2 (o cualquier natural
par), aplicable sólo a subradicales o radican-
x = 3/2 S = { 3/2 } dos reales positivos o cero, por lo que el conjunto de reemplazo es: P = [ -5/2 ; + )
2x = 4 – 5 x -5/2
2x = -1 x -5/2
x = -1/2 x -5/2
S = { -1/2 }
3]
x25 - 2x3 = 0
x25 = 2x3
x25 = 2x3 5 + 2x 0 3x – 2 0
2x25 = 22x3 2x -5 3x 2
2x + 5 = 3x – 2 x -5/2 x 2/3
2x - 3x = - 2 – 5 x -5/2 x 2/3
-x = -7 x 2/3
x = 7 x 2/3
S = { 7 }
Sugerencia En este tipo de ecuaciones debemos proceder a determinar una ecuación
equivalente tal que en un miembro se encuentre el o los radicales y en el otro no haya ningún
radical . No olvidarse de analizar las restricciones necesarias para cada miembro para luego deter-
minar el conjunto de reemplazo como resultado de dicho análisis.
91
4] x = 5x +1
x – 1 = 5x , procedemos
como lo indicamos, el único radical es el miembro
derecho de la ecuación equivalente. Si la ecuación equivalente
x - 1 = 5x x + 5 0 x - 1 0 hubiese sido - x2 - 1 = 5x
(x - 1)2 = 25x x -5 x 1 se advierte que el miembro
izquierdo expresa un número
x2 – 2x +1 = x + 5 x 1 , P = [ 1 ; + ) negativo y el derecho es
positivo o cero, por lo que el
x2 – 3x – 4 = 0 x 1 conjunto solución es vacío.
(x - 4).(x + 1) = 0 x 1 S = { }
( x = 4 x = -1 ) x 1
x = 4
S = { 4 }
5] 2xx2 = 5 - x
2xx2 = 5 – x x
2 - x – 2 0 5 – x 0
2
22xx
= (5 - x)
2 (x + 1).(x - 2) 0 -x -5
x2 - x – 2 = 25 – 10 x + x
2 ( (x +1 0 x-2 0) (x+1 0 x-2 0) ) x 5
-x + 10 x = 25 + 2 ( (x -1 x 2) (x -1 x 2) ) x 5
9x = 27 ( x 2 x -1 ) x 5
x = 3 ( x 2 x -1 ) x 5
x = 3
S = { 3 }
6] x - 1x
1x
= x
- 1x
1x
= x - x x 0 x - 1 0
- 1x
1x
= 0 x 0 x 1
x + 1 = 0 x 0 x 1 , P = R o - { 1 }
x = -1 x 0 x 1
x R S = { } =
92
Recuerde que al modelizar mediante una ecuación cualquier situación problemática debe tener en
cuenta el conjunto de validez, además del conjunto de reemplazo y el conjunto solución.
eee jjj eee mmm ppp lll ooo
La base de un mástil se ha construido como muestra la figura, si su volumen es 183 cm3 y la
expresión h/3 ( b + B + b.B ) nos permite calcular el volumen de la pirámide truncada de
bases cuadradas, donde b es el área de la base menor y B el área de la base mayor. Además se
sabe que la arista de una base es 4 cm , en la otra base la arista mide ( x – 2 ) cm y 9 cm la altura
del sólido , Hallamos el área de la base menor .
183 = 9/3 ( 16 + ( x - 2 )2 + 2
)2x.(16 ) , P = R
183 = 3 . ( 16 + ( x - 2)2 + 16 . 2
)2x( )
183 = 3 . ( 16 + (x-2)2 + 4.| x-2 | )
183 = 3 . ( 16 + | x - 2|2 + 4.| x - 2 | )
, consideramos |x - 2| = u
183 = 3 ( 16 + u2 + 4 u ) |x - 2| = u
61 = 16 + u2 + 4 u |x - 2| = u
0 = - 45 + u2 + 4 u |x - 2| = u
0 = (u + 9).(u - 5) |x - 2| = u
( u = - 9 u = 5 ) |x - 2| = u
|x - 2| = - 9 |x - 2| = 5
x R x - 2 = 5 x - 2 = - 5
x = 7 x = - 3
S = { -3 , 7 }
Para determinar el o las soluciones al problema concreto, debemos:
hallar conjunto de reemplazo de la ecuación.
determinar el conjunto de validez de la situación problemática.
Para garantizar una respuesta correcta, se sugiere, verifique que la o las soluciones pertenezcan a
ambos conjuntos.
Condiciones de validez del problema que estamos desarrollando:
x – 2 0 x –2 4 , pues x – 2 es la medida de la longitud de una arista y el lado de la
base, ¿ qué hipótesis contradecimos si x-2 fuese igual a 4 ? .
x 2 x 6
V = ( 2 ; + ) - { 6 }
Así 7 S V , el valor de x en este problema, por lo tanto el lado de una base mide 7 - 2,
es decir 5 , y el de la otra base 4 (medidas en cm) .
Respuesta. El área de la base cuadrada menor es 16 cm2.
93
EEccuuaacciioonneess ccoonn mmóódduulloo ((vvaalloorr aabbssoolluuttoo))
* Ecuaciones con módulo en un solo miembro , (con el número indeterminado en el argumento del
modulo o valor absoluto )
eee jjj eee mmm ppp lll ooo
| x – 2 | = 16
x – 2 = 16 x – 2 = -16 , por consecuencia de la definición de módulo
x = 18 x = -14 , el conjunto solución es: S = { -14 , 18 }
** Ecuaciones con más de un módulo (con argumento indeterminado) . Al tener presente más de
un módulo en la ecuación podemos considerar tres posibilidades de análisis, para cada valor abso-
luto, que su argumento sea positivo , cero o negativo, cubriendo en el estudio todos los reales del
conjunto de reemplazo asociado .
.
eee jjj eee mmm ppp lll ooo | x – 2 | = | x – 5 |
| x – 2 | - | x – 5 | = 0 , claramente P = R
Consideraremos los valores de x que anulan el argumento de cada módulo: x - 2 = 0 x = 2
x - 5 = 0 x = 5
2 5
x
analizamos, primero por separado en cada parte (intervalo) o posibilidad del conjunto universal R,
la ecuación: | x – 2 | - | x – 5 | = 0
1) x 2 -(x - 2) - ( -(x - 5) ) = 0
- x + 2 + x - 5 = 0
0.x – 3 = 0
0.x = 3
2) 2 x 5 (x - 2) - ( -(x - 5) ) = 0
x - 2 + x – 5 = 0
2.x = 7
x = 7/2
3) 5 x (x - 2) - (x - 5) = 0
x - 2 – x + 5 = 0
0 . x + 3 = 0
0 . x = - 3
Todo el estudio desarrollado anteriormente lo escribimos en el siguiente enunciado abierto:
( x 2 0 . x = 3 ) ( 2 x 5 x = 7/2 ) ( 5 x 0 . x = -3 )
siempre falso siempre falso
x = 7/2
S = { 7/2}
94
*** Ecuaciones en las que no solamente el argumento es indeterminado.
eee jjj eee mmm ppp lll ooo sss
1] | x – 3 | = 2 x + 1
Al analizar el planteo de la igualdad surge nuevas condiciones que calificaremos de implícitas
en esta ecuación:
| x – 3 | representa números positivos o cero ( 0) y 2 x + 1 cualquier real.
La condición implícita, para la cual tiene posibilidad de ser verdadera la igualdad planteada, es
que ambos números sean mayor o igual a cero de forma tal que lo predominante es : 2 x + 1 0 .
| x – 3 | = 2 x + 1 2 x + 1 0
( x – 3 = 2x + 1 x – 3 = -2x - 1 ) 2x + 1 0
( x = 2x + 4 x = -2 x +2 ) 2 x -1
( -x = 4 3x = 2 ) x -1/2
( x = - 4 x = 2/3 ) x -1/2
x = 2/3 ,observe que si nos olvidamos de considerar la
condición implícita, otra solución hubiese sido -4 y esto hubiese sido un error.
Comprobemos el posible error que hubiésemos cometido, por eso ¡ cuidado ! :
| -4 – 3 | ? 2 (-4) + 1
| – 7 | ? -8 + 1
7 -7
Concluímos e indicamos el conjunto solución : S = { 2/3 }
El otro método (camino) de resolución de la presente ecuación, donde uno no debe
preocuparse por haber olvidado condiciones implícitas que puedan surgir.
Consideraremos los valores de x para que el argumento de cada módulo sea positivo o cero:
x - 3 0 x 3
3 y en caso contrario es negativo.
x
analizamos, considerando cada parte (intervalo) o posibilidad del conjunto universal R:
| x – 3 | = 2 x + 1 , buscamos la ecuación equivalente de segundo miembro cero
| x – 3 | - 2 x - 1 = 0
( x 3 - (x - 3) – 2x – 1 = 0 ) ( x 3 (x - 3) – 2x –1 = 0 )
( x 3 - x – 2x +2 = 0 ) ( x 3 x – 2x – 4 = 0 )
( x 3 - 3x = -2 ) ( x 3 -x = 4 )
( x 3 x = 2/3 ) ( x 3 x = -4 )
x = 2/3 , la solución correcta.
95
2] | x – a | = x – a , ecuación genérica donde a constante real .
Mostramos las dos formas (o métodos) de determinar el conjunto solución:
Consideraremos los valores de x para que el argumento
del módulo sea positivo o cero : x - a 0 x a
en caso contrario es negativo . Debemos tener presente si se pre-
a senta alguna condición implícita.
x
Para este ejemplo el módulo
representa un positivo por lo que el
luego analizamos considerando cada parte ( intervalo ) o segundo miembro debe ser positivo.
posibilidad, según el signo del argumento, del conjunto de
reemplazo R: | x – a | = x - a x - a 0
| x – a | = x - a condición implícita
( x -a = x -a x -a = a - x ) x a
| x – a | - x + a = 0 ( 0 . x = 0 2 x = 2a ) x a
( 0 . x = 0 x = a ) x a
(x a - (x-a) –x +a = 0 ) ( x a (x-a) –x +a = 0) verdadero
( x a -2x +2a = 0 ) ( x a 0 . x = 0 ) x R x a
( x a x = a ) ( x a 0 . x = 0 ) x a
falso verdadero
x R x a
S = [ a ; + ) = { x / x R x a }
3]
| x2 + 4x - 5 | = ( x
2 + 4x -1 )
2 – 16
| x2 + 4x - 5 | = ( x
2 + 4x - 5 + 4 )
2 – 16
, practicamos un cambio de variable
| u | = ( u + 4 )2 – 16 x
2 + 4 x – 5 = u
Consideraremos los valores de u para que el argumento del módulo
sea positivo o cero : u 0 ,y en caso contrario negativo .
u
u
( u 0 -u = u2 + 8 u +16 –16 ) ( u 0 u = u
2 + 8 u +16 –16 )
( u 0 0 = u2 +9 u ) ( u 0 0 = u
2 +7 u )
( u 0 0 = u (u + 9) ) ( u 0 0 = u ( u + 7) )
( u 0 ( u = 0 u = -9 ) ) ( u 0 ( u = 0 u = -7 ) )
( u = -9 u = 0 ) x2 + 4 x – 5 = u
x2 + 4x – 5 = -9 x
2 + 4x – 5 = 0
x2 + 4x +4 = 0 (x + 5 ).(x - 1) = 0
(x + 2)2 = 0 x + 5 = 0 x - 1 = 0
x = -2 x = -5 x = 1 , S= { -2 , -5 , 1 }
96
4] | x + 1 | = 1x
1
+ 2 , P = R – { -1 }
| x + 1 | - 1x
1
- 2 = 0 , ecuación equivalente de segundo miembro cero.
Consideramos los valores de x para que el argumento del módulo sea positivo: x + 1 0
-1 x -1
x
, y en caso contrario negativo .
( x -1 - (x + 1) - 1x
1
- 2 = 0 ) ( x -1 (x + 1) –
1x
1
- 2 = 0 )
( x -1 1x
1
1x
)1x(2
-
1x
)1x(2
= 0 ) ( x -1
1x
1
1x
)1x(2
-
1x
)1x(2
= 0 )
( x -1 1x
)1x(21)1x2x(2
= 0 ) ( x -1
1x
)1x(21)1x2x(2
= 0 )
( x -1 1x
4x4x2
= 0 ) ( x -1
1x
2x2
= 0 )
( x -1 - x2 – 4x – 4 = 0 ) ( x -1 x
2 – 2 = 0 )
( x -1 -1 .(x +2)2 = 0 ) ( x -1 (x – 2 ).(x+ 2 ) = 0 )
( x -1 x = -2 ) ( x -1 ( x = 2 x = - 2 ) )
x = -2 x = 2
S = { -2 , 2 }
ejercicio
Determine el conjunto solución de cada ecuación:
1] 3x1x
2] 1x2
18x42x2
,sugerencia | a . b | = | a | . | b | ej.: | 3x + 9 | = | 3 (x + 3) | = | 3 | | x + 3|
3] 11x4
3x2
4] 1
1x5
3x7
5] 01x2
5x
6] 2
1x2
3x6
97
EEccuuaacciioonneess ttrraasscceennddeenntteess (( llooggaarrííttmmiiccaass,, eexxppoonneenncciiaalleess yy ttrriiggoonnoommééttrriiccaass))
Ecuaciones exponenciales
eee jjj eee mmm ppp lll ooo sss Para resolver ecuaciones exponenciales debemos recordar las
propiedades de la potenciación.
1]
2. 2x – 4 = 0
2.2x
= 4
2x = 2
1
x = 1
S = { 1 }
2]
9x – 3
x = 0
32x
- 3x = 0
32x
= 3x
2x = x
S = { 0 }
3]
8-2x
= ( 16 )-(2x+1)
( 23)
-2x = ( 2
4)
-(2x+1)
( 2)
-6x = ( 2)
-8x-4
- 6x = - 8x - 4
2x = -4
2x = -4
x = -2
S = { -2 }
Recuerde la siguiente propiedad que
nos permitirá resolver este tipo de
ecuaciones :
Si b a = b
c
entonces a = c 4]
17
( x-3) (x+2) (x-1) = 1 = 17
0
( x- 3) ( x + 2) ( x – 1) = 0 S = {-2, 1, 3}
5]
3
x + 2 + 9
x + 1 = 810
3 x + 2
+ ( 32 )
x + 1 = 810
32 . 3
x + 3
2x + 2 = 810
9 3x + 3
2 3
2x = 810
9 3x + 9 (3
x)
2 - 810 = 0 3
x = u
9 u + 9 u2 - 810 = 0 3
x = u
( u + 10) ( u – 9) = 0 3x = u
3x = -10 3
x = 9
Falsa
3x = 9 = 3
2
x = 2 S = { 2 }
6]
2
72
14
x
x
Buscamos el conjunto de reemplazo con la condición 2
x + 7/2 0
2x -7/2 , igualdad es siempre verdadera por lo tanto P = R
( 22x
- 1) = 2 ( 2x + 7/2)
( 2x )
2 - 1 = 2 2
x + 7 2
x = u
u2 – 2 u – 8 = 0 2
x = u
( u + 4) ( u – 8) = 0 2x = u
2x = - 4 2
x = 8
Falsa 2x = 2
3
x = 3 S = { 3 }
7]
2 2 ( x + 2 )
= 8 , condición implícita 2( x + 2) 0
x -2 P = [ -2, + )
2 2 ( x + 2 )
= 23
,
)2x.(2 = 3 x -2
x = 5/2 x -2 S = { 5/2 }
98
Ecuaciones logarítmicas
Al resolver ecuaciones logarítmicas debemos recordar las propiedades de la logaritmación, la
definición , es decir las condiciones de la base y el argumento .
eee jjj eee mmm ppp lll ooo sss 1] log ( 4x ) = 3 , con 4x > 0 P = ( 0 ; + )
10 3 = 4x
250 = x S = { 250 }
2] ln ( x – 2 ) + ln x = ln 8 , x – 2 > 0 x > 0 P = ( 2 ; + )
ln ( (x – 2) . x) = ln 8 x 2 Si log b a = log b c
entonces a = c (x – 2) x = 8 x 2
x2 – 2x – 8 = 0 x 2
( x + 2) (x – 4) = 0 x 2
( x = -2 x = 4 ) x 2 , S = { 4 }
3] log 3x2
1
= -2 , con 2x + 3 > 0 , así x > - 3/2 P = ( - 3/2 ; + )
(10) -2
= 3x2
1
x - 3/2
2x + 3 = 100 x - 3/2
2x = 97 x - 3/2
x = 97/2 , S = { 97/2 }
4] log ( x- 5) + log ( x + 4) = 1 , x – 5 > 0 x + 4 > 0
x 5 P = ( 5 ; + )
log ( ( x-5) (x+4) ) = 1 x 5
10 = (x – 5) ( x + 4) x 5
0 = x2 –x – 30 x 5
0 = ( x – 6) ( x + 5) x 5
( x = -5 x = 6 ) x 5 , S = { 6 }
ejercicio
Determine el conjunto solución:
1] 2
122log4log )1x()1x( 2] )1x(log3)1xlog(4
2
3] 1)10xlog(2
1
)10xlog(2
2
4] 12log2log
)1x()1x(
5] 8042x)1x( 6] 222
xx2
7] 01)10x2log()20xxlog(2 8] 022.92.32.8
21t1t2t3
99
Ecuaciones trigonométricas
Para deducir el conjunto solución consideraremos la tabla de razones trigonométricas de medidas
de ángulos destacados del primer cuadrante, las relaciones con los otros cuadrantes y otros giros.(Lo
encontrará en la unidad uno)
eee jjj eee mmm ppp lll ooo sss
1] | sen x | -2
3 = 0 , | sen x | =
2
3
sen x = 2
3 sen x = -
2
3
( ( x = /3 + 2k x= 5/3 + 2k ) ( x = 2/3 + 2k x = 4/3 + 2k ) ) k Z
S = { x / x R ( x = /3 + k x = 2/3 + k ) k Z }
2] ( 2 sen x + cos x )2 – (cos x – 2 sen x)
2 = 0
4 sen2 x + 4 cos x. sen x + cos
2 x – ( cos
2 x - 4 sen x cos x + 4 sen
2 x ) = 0
8 cos x . sen x = 0
cos x = 0 sen x = 0
( ( x = /2 + 2k x = 3/2 + 2k ) ( x = 0 + 2k x = + 2k ) ) k Z
S = { x / x R ( x = /2 + k x= k ) k Z }
3] 2 sen x . cos x + 1 = cos x + 2 sen x
2 sen x . cos x – 2 sen x = cos x – 1
2 sen x ( cos x – 1 ) = cos x – 1 ,esta ecuación no es equivalente a 2 sen x = 1
2 sen x ( cos x – 1 ) – (cos x – 1) = 0
( cos x – 1 ) ( 2 sen x – 1) = 0
cos x = 1 sen x = ½
( x = 0 + 2k ( x = /6 + 2k x = 5 /6 + 2k ) ) k Z
S = { x / x (x = 0 + 2k ( x = /6 + 2k x = 5 /6 + 2k ) ) k Z}
ejercicio
Determine el conjunto solución.
1] 0xcos.xsenxsen2 2] 0xtgxsen
3] 0xcosxsen22 4] 0xcosxsen
100
IInneeccuuaacciioonneess
eee jjj eee mmm ppp lll ooo sss
Determinamos los conjunto solución Propiedades de orden en desigualdades
Dada la desigualdad :
1] a b a b
1x52x3 , P = R si c R si c R
3x + 2 – 2 5x –1 –2 a - c b - c a - c b - c
3x – 3x 5x –3 –3x
0 + 3 2x – 3 + 3 a + c b + c a + c b + c
si c 0 si c 0
3 / 2 2x / 2 c
a
c
b
c
a
c
b
x2
3 a . c b . c a . c b . c
S = (- ; 3/2 ]
si c 0 si c 0
2] c
a
c
b
c
a
c
b
2x2
1
3
4x
2
1 , P = R a . c b . c a . c b . c
x2
12x
2
1x
2
1
3
4x
2
1
3
42
3
4
3
4x.0
3
10x.0
Cualquier número real x multiplicado por 0 es 0 , y 0 no es mayor ó igual a 3
10
S = { } 3]
3x4
15x47x
4
1 , P = R
Procediendo de forma análoga a los ejemplos anteriores:
10x.0
lo escrito indica que el producto 0 . x (cualquiera sea x ) es cero y aquí sí 0 es mayor o igual
a –10
S = R
101
4] 5x
228
5x
3x2
, P = R – { 5 }
En este ejemplo es conveniente determinar una inecuación equivalente con segundo miembro
cero.
05x
228
5x
3x2
x 5 5] x
2 - 6 x + 10 0
factorizamos el dividendo polinómico:
05x
15x8x2
x 5
El discriminante del 1er. miembro:
5x
)3x)(5x(
0 x 5 (-6)
2 – 4. 1 . 10 = - 4 0
Por lo tanto :
el polinomio no tiene raíces reales,
03x x 5 no se puede factorizar . Por ser (caso
particular) un polinomio de 2do. gra-
S = [ 3 ; 5 ) ( 5 ; + ) do, éste expresa siempre un número
positivo o siempre negativo . Para
saberlo probamos con algún valor
aritmético p(0) = 10 , para cualquier
valor de x es positivo, entonces
S = R
6] x2 + 3x – 10 0
Factorizamos el miembro izquierdo :
Signo de los factores :
(x - 2) (x + 5 ) 0 a . b 0
( x – 2 0 x + 5 0 ) ( x – 2 0 x + 5 0 ) (a 0 b 0) (a 0 b 0)
( x 2 x -5 ) ( x 2 x -5 )
x R -5 x 2
S = ( -5 ; 2 ) a . b 0
(a 0 b 0) (a 0 b 0)
7] -3 x2 – 6x + 24 0
-3 (x - 2) (x + 4) 0
( x – 2 0 x + 4 0 ) ( x – 2 0 x + 4 0 )
( x 2 x -4 ) ( x 2 x -4 )
x R -4 x 2 S = [-5 ; 2 ]
8] x2 – 4x + 1 0 9] x
2 + 14x + 49 0
(x - 2) (x - 2) 0 (x + 7) (x + 7) 0
(x - 2)2 0 (x + 7)
2 0
x = 2 x R x -7
S = { 2 } S = R – { -7 }
102
ejercicios
1 Marque, en la recta cartesiana, los correspondientes puntos de abscisa u que cumplen la
condición planteada :
| u | 4 u 0 - 4 0 4 u
| u | 4 u 0 - 4 0 4 u
conclusión
| u | 4 es equivalente a ........................... ...........................
| u | 4 u 0 - 4 0 4 u
| u | 4 u 0 - 4 0 4 u
conclusión
| u | 4 es equivalente a ........................... ...........................
| u | - 3 -3 0 3
u
conclusión
| u | -3 es equivalente a .............................................................
| u | -2 -2 0 2 u
conclusión
| u | -2 es equivalente a ............................................................
2 Generalice y enuncie las propiedades relativas a desigualdades con módulo y sus enunciados
equivalentes.
103
3 Escriba el enunciado abierto equivalente a la inecuación dada, preste atención con el
conectivo que corresponde ( ó ) .
| x – 6 | 7 es equivalente a x – 6 7 x - 6 - 7
| -x – 2 | 6 es equivalente a -x - 2 - 6 -x - 2 6
| 8 x – 3 | 9 es equivalente a
| 4 – 2 x | 8 es equivalente a
| 5 – x | 20 es equivalente a
| 3x + 4 | 3 es equivalente a
| x – 12 | 6 es equivalente a
| 16 – 5 x | 1 es equivalente a
| 5 x + 1 | 14 es equivalente a
| -x + 9 | 2 es equivalente a
De aquí en adelante tenga cuidado
| x – 7 | 0 es equivalente a
| 2 x – 4 | 0 es equivalente a
| x – 8 | 0 es equivalente a
|12 - x | 0 es equivalente a
eee jjj eee mmm ppp lll ooo sss
1] 4]
22x |x + 2| - 2
22x 22x , P = R Sabemos que el módulo es un número
0x 4x positivo o cero y nunca menor a cero,
S = ( - ; - 4 ] [ 0 ; + ) por lo tanto: S =
2] 5]
25x |x – 5| -7
25x 25x , P = R Aquí se presenta el caso en que un real
7x 3x positivo o cero siempre es mayor que
S = [ 3 ; 7 ] un negativo: S = R
104
3] 6]
|4x – 20| 0 |-32 x - 189| 0
Cabe una sola posibilidad de ser verdadera
que : 4x – 20 = 0 Para todo real x la proposición resul-
x = 5 tante es verdadera .
S = { 5 } S = R
7] 1x3x2 , P = R
Un método de resolución de la presente ecuación, donde no debemos tener en cuenta las
condiciones implícitas que hay o puedan surgir. Procedemos de forma similar que con las
ecuaciones, deducimos un inecuación equivalente con uno de sus miembros cero ( ... = 0 ) .
En el ejemplo : 1x3x2 0
Consideramos los valores de x que anulan el argumento del módulo: 2x +3 = 0 x = -3/2
-3/2
x
analizamos, primero por separado en cada intervalo o posibilidad del conjunto P = R :
1x3x2 0
x -3/2 - (2x + 3) - x + 1 0
- 2 x – 3 - x + 1 0
- 3 x - 2
x 3/2
x -3/2 (2 x + 3) - x +1 0
x - 4
Del análisis parcial en cada intervalo concluimos con la disyunción siguiente:
( x -3/2 x 3/2 ) ( x -3/2 x - 4 )
x R
, para cualquier valor de x real la proposición compuesta resultante es falsa, entonces S = { }.
8] 12x
1x
9] 2
3x
2x
, P = R - { 2 } , P = R - { -3 }
105
12x
1x1
2x
1x
2
3x
2x
2
3x
2x
012x
1x
01
2x
1x
02
3x
2x
02
3x
2x
02x
)2x(11x
0
2x
)2x(11x
0
3x
)3x(22x
0
3x
)3x(22x
02x
1
0
2x
3x2
0
3x
8x
0
3x
4x3
( 02x 03x2 ) 08x( )03x
( 02x 03x2 02x ) 08x( )03x
04x3( )03x
S = (- ; 3/2 ) 04x3( )03x
x8( )3x x8( )3x 3
4x( )3x
3
4x( )3x
S = ( -8 ; -3 ) ( -3 ; - 4/3 )
ejercicio
Determine el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:
1] 2
2
3x
1x2
2] 1
x
3x
3] x2
5x
4] 4x3x
5] 21x53x15 6] 13x
3x
7] 1x
1x
8] 1x23x4
9] |5x2|
3
- 4
106
Dadas las dos siguientes ecuaciones de dos números indeterminados (variables) y sus respectivos
conjuntos solución infinitos (formados por pares ordenados de números reales)
Tabla (intencional) de algunos pares
ordenados solución de cada ecuación
2x + y = 5
S1 = { (x,y) / x R y R y = 5 – 2x }
4x – y = 1
S2 = { (x,y) / x R y R y = 4x - 1 }
Consideremos el siguiente enunciado abierto, conjunción de las dos ecuaciones:
2x + y = 5 4x – y = 1
su conjunto solución es el formado por los elementos comunes (pares ordenados de reales) a uno y
otro conjunto solución de cada ecuación:
{ (x,y) / x R y R y = 5 – 2x y = 4x + 1 }
En la tabla de soluciones se observa que si x es 1 e y es 3 la conjunción es verdadera:
2. 1 + 3 = 5 4. 1 – 3 = 1
Sistema de ecuaciones
Toda conjunción de dos o más ecuaciones diremos que constituye un sistema de ecuaciones ,
cuyo conjunto solución (formado por n-uplas de números reales) es la intersección de los conjun-
tos solución de cada ecuación .
Los sistemas se indican, para el ejemplo dado, de la forma :
1yx4
5yx2 , sistema
de 2 ecuaciones polinómicas de primer grado con 2 variables (x e y) ,
su conjunto solución:
S = S1 S2 = { (x,y) / x R y R y = 5 – 2x y = 4x + 1 } S = {( 1 , 3 )} , provisionalmente prejuzguemos que la solución es única.
x y
-1 8
0 5
1 3
2 1
3 -1
x y
-1 -3
0 1
1 3
2 7
3 11
4 17
107
Sistemas equivalentes
eee jjj eee mmm ppp lll ooo :::
2yx3
5y2x7
Si reemplazamos Si a = b y k 0
una ecuación, del sistema, por otra equivalente entonces k . a = k . b
7x - 2y = 5 equivalente a 21x - 6y = 15
ó Si a = c y b = d
de dos ecuaciones determinamos una entonces a + b = c + d
7x - 2y = 5 y -3x + y = -2 obtenemos 4x - y = 3 a – b = c - d
al efectuar esta acciones formamos un sistema equivalente al dado (sin cambiar el número de
ecuaciones) que, como se puede suponer, tiene el mismo conjunto solución.
2yx3
5y2x7
3yx4
15y6x21 Sistema de ecuaciones equivalente al dado.
eee jjj eee mmm ppp lll ooo
El quiosco de revistas de la esquina. El jueves, viernes y sábado vendió en total $ 66, el jueves
vendió $ 3 más que el viernes, el sábado vendió $ 6 más que el jueves, ¿ cuánto se vendió el día
viernes?.
j + v + s = 66
Como el jueves se vendió $3 más que el día siguiente (v + 3) + v + s = 66
el día sábado se vende $6 más que el jueves v + 3 + v + ( j + 6 ) = 66
v + 3 + v + (v + 3) + 6 = 66
determinamos una ecuación, sencilla en su resolución 3 v + 12 = 66
3 v = 54
Rta. El día viernes la venta fue $ 18 v = 18
En este último ejemplo hemos empleado un método sencillo para resolver la sustitución.
Método de sustitución para resolver sistemas de ecuaciones
Se explicita (despeja) una de variables de una de las ecuaciones, para luego sustituirla (por una
expresión equivalente) en otra u otras ecuaciones con la intención de obtener una ecuación con una
sola variable (accesible a su resolución)
108
ttt rrr eee sss eee jjj eee mmm ppp lll ooo sss
1]
1yx4
5yx2 Explicitamos y en la primera ecuación para sustituir en la segunda
1)x25(x4
x25y
Resolvemos la segunda ecuación
15x6
x25y
6x6
x25y
1x
x.25y
Finalmente se sustituye en la otra ecuación del sistema y se obtiene ecuaciones “sencillas” :
1x
1.25y
1x
3y
El último sistema equivalente (simple) del original nos permite deducir sin errores la solución
única que transforma en proposición verdadera el enunciado abierto: x = 1 y = 3
así
S = { ( 1 , 3 )}
2]
6y8x4
2y4x2
6y8)y21(4
y21x
6y.04
y21x
2y.0
y21x
La segunda ecuación jamás es verdadera cualquiera sea el real y , por lo tanto la conjunción es
siempre falsa al asignarle a x e y cualquier número real : S = { }
(también se puede destacar que no hay pares ordenados de reales comunes a los conjuntos solución
de cada ecuación).
* En este caso se dice que no hay compatibilidad entre las ecuaciones del sistema, es incompatible
3]
4y8x4
2y4x2
y21x
2y4)y21(2
y21x
2y.02
y21x
0y.0
La primera ecuación, del sistema, es siempre verdadera para cualquier valor de y , así como el
valor de x depende del de y .
Por lo que el conjunto solución infinito es :
S = {(x,y) / x R y y = ½ - ½ x } ,
correspondiente a un sistema compatible indeterminado
En los ejemplos vimos que hay sistemas de ecuaciones que tienen solución y otros que no, por lo
cual los clasificaremos en sistemas compatibles con S y en sistemas incompatibles con S =
Aclaración : todos los sistemas tienen conjunto solución, cuando decimos que algunos sistemas
no tienen solución nos referimos a la no existencia de n-uplas de números reales que satisfagan las
ecuaciones, es indicar que S = { } = .
109
En nuestros ejemplos las ecuaciones que componen los sistemas son lineales (polinómicas de
primer grado), las curvas representativas de cada una de ellas son rectas (describen los puntos
de la recta)
La calificación de cada sistema corresponde a las posiciones relativas que pueden presentarse
entre dos rectas
1] 2] 3]
Un punto en común, No tiene ningún punto en Tienen todos sus puntos en común
son incidentes común son paralelas son paralelas coincidentes
S. compatible determinado Sistema incompatible Sistema compatible indeterminado
eee jjj eee mmm ppp lll ooo De significado geométrico
Analizamos la compatibilidad del siguiente sistema para los distintos valores del número k
constante distinto de 1 y - ½ :
02y)1k2(x)2k(
02y)1k(xk2
si resolvemos sustituyendo como en los ejemplos anteriores, los pasos algebraicos resultarán un tan-
to complicados por lo que puede ser conveniente plantear una resolución desde la interpretación
geométrica de las ecuaciones polinómicas de primer grado.
Recordemos que solamente analizaremos el caso para valores reales donde k 1 k -½
02y)1k2(x)2k(
02y)1k(xk2
-2k x +(k-1) y + 2 = 0 y = 1k
k2
x -
1k
2
ec. de una recta de pendiente
1k
k2
= m 1
(k+2)x +(2k+1)y +2 = 0 y =1k2
2k
x -
1k2
2
ec. de otra recta de pendiente -
1k2
2k
= m 2
Determinemos el valor de k tal que las pendientes sean iguales, es decir las rectas son paralelas:
1k
k2
= -
1k2
2k
k 1 k -½ , 5k
2 + 3 k – 2 = 0 k 1 k -½
5 (k + 1)(k - 52 ) = 0 k 1 k -½ , ( k = -1 k = 52 ) k 1 k -½
, si k = 52 k = -1 las pendientes son iguales.
110
Ahora el valor k tal que las ordenadas al origen ( b1 y b2 ) sean iguales:
-1k
2
= -
1k2
2
k 1 k -½ , 4k + 2 = 2k – 2 k 1 k -½
2k = -4 k 1 k -½ , k = -2 k 1 k -½
, si k = -2 las ordenadas al origen son iguales.
Si m 1 = m 2 y b 1 b 2 Rectas paralelas
no incidentes
El sistema de ecuaciones es incompatible
k R – { 1 , - ½ } : k = 52 k = -1
En caso contrario es un sistema de ecuaciones compatible que discriminamos según sea
determinado de solución única o indeterminado por tener un conjunto solución infinito.
Si m 1 m 2
Rectas
incidentes
es un sistema de ecuaciones compatible determinado
k R– { 1 , - ½ } : k 52 k -1
Si m 1 = m 2 b1 = b2
Las dos ecuaciones representan la
misma recta
(coincidentes)
es un sistema de ecuaciones compatible indeterminado
k R – { 1 , - ½ } : ( k = 52 k = -1 ) k = -2
Proposición falsa
Es decir el sistema nunca es compatible indeterminado (para ningún valor de k R – { 1 , - ½ })
* ¿ Qué calificación tiene el sistema si k es 1 ? , ¿ y si k es -½ ? , analice y responda.
111
Hasta aquí no aclaramos que trabajaremos con sistemas de ecuaciones polinómicas de primer grado
denominado lineales (de n ecuaciones lineales con m incógnitas) . Como caso particular y usual
nos dedicamos a sistemas donde el número de ecuaciones lineales e incógnitas es el mismo n = m
Método de eliminación de Gauss
Si efectuamos un número de acciones ya indicadas para obtener sistemas equivalentes mas simples
hasta determinar uno del que podamos deducir el conjunto solución .
Intentamos mostrarle un ejemplo donde se obtienen sistemas equivalentes
y un cuadro o disposición práctica del método :
9y3x4
5yx2
2y2x0
5yx2
18y6x8
20y4x8
2y2x0
12y0x4
2y2x0
10y2x4
12/2yx.0
34/12y.0x
Cada paso del método nos permite determinar nuevos coeficientes ,algunos nulos. Se lo indicamos
según el coeficiente (que multiplica a las variables) distinto de cero y la fila que elijas:
gyfxd
cybxa
gfd
cba
Se transforma en ... : al elegir la primera fila
si a 0 si b 0
a b c a b c
0 a.f - d.b a.g - d.c b.d - a.f 0 b.g - f .c
al elegir la segunda fila
si d 0 si f 0
0 d.b - a.f d.c - a.g f.a - d.b 0 f.c - b.g
d f g d f g
Disposición práctica
del método
2 1 5
4 3 9
2 1 5
0 2 -2
4 0 12
0 2 -2
1 0 3
0 1 -1
112
Hemos desarrollado un método de resolución, muy útil, que permite reducir el número de opera-
ciones necesarias para obtener el conjunto solución de un sistema lineal, más conveniente cuanto
más ecuaciones tenga el sistema.
eee jjj eee mmm ppp lll ooo sss
1yx4
5yx2
8y18x3
16y24x4
10y20x15
6y12x9
2 1 5 4 24 16 9 12 6
4 -1 1 3 18 8 15 20 10
2 1 5 4 24 16 9 12 6
0 -6 -18 0 0 -16 0 0 0
-12 0 -12
0 -6 -18
18y6x0
12y0x12
16y0x0
16y24x4
0y0x0
6y12x9
3y
1x (S C D) (S I) (S C I)
S = {(1,-3)} S = { } S= {(x,y) / y R x = 2/3 – 4/3 y}
eee jjj eee mmm ppp lll ooo iii lll uuu sss ttt rrr aaa ttt iii vvv ooo
Trabajando en forma general llevamos las ecuaciones a su forma explícita.
feydx
cbyax
f e d
c b a
si a 0 si b 0
a b c a b c
0 a.e - d.b a.f - d.c b.d - a.e 0 b.f - e.c
Consideremos la segunda ecuación del sistema equivalente, en cada caso:
( a.e - d.b ) y = a.f - d.c ( b.d - a.e ) x = b.f - e.c ,
( a.e - d.b ) x = e.c - b.f
Observemos que si el número a.e- d.b no es cero, podemos determinar las ecuaciones “simples”
b.de.a
c.df.ay
b.de.a
f.bc.e
e.ad.b
c.ef.bx
113
En caso de que a.e - d.b es cero el sistema lineal no es compatible determinado, lo revisamos
en los ejemplos ya dados:
1yx4
5yx2
8y18x3
16y24x4
10y20x15
6y12x9
Sistema compatible determinado Sistema incompatible Sistema compatible indeterminado
2 . (-1) – 4 . 1 = - 6 0 4 . 18 – 3 . 24 = 0 9 . 20 –15 . 16 = 0
Este importantísimo número se lo llama determinante .
Determinante
Uno de sus significados es determinar si el sistema de ecuaciones lineales cuadrados (es decir de
n ecuaciones con n variables) es:
compatible determinado (de única solución), si el determinante es distinto de cero
no es compatible determinado (seguro no tiene única solución),si el determinante es cero
Le indicaremos una disposición de los coeficiente llamada matriz asociada al sistema lineal.
feydx
cbyax Matriz asociada al sistema (formada por los coeficientes de las incógnitas)
ed
ba = A
** Toda matriz cuadrada tiene asociado un número real, el determinante simbolizado det A
Para una matriz de 2 filas y 2 columnas (2 x 2) :
det A = a.e – d.b ,también se usa la notación
ed
ba o simplemente
ed
ba = det A
Si el sistema de ecuaciones lineales es de 3 ecuaciones y 3 incógnitas:
3333
2222
1111
dzcy.bx.a
dz.cy.bx.a
dz.cy.bx.a
, su matriz asociada al sistema
333
222
111
cba
cba
cba
= B
El determinante de una matriz de 3 filas y 3 columnas (3 x 3) lo calculamos así:
det B = 22
113
33
112
33
221
333
222
111
cb
cb.a
cb
cb.a
cb
cb.a
cba
cba
cba
det B = 123123132312231321 cbacbacbacbacbacba
114
Si desea investigar como se deduce este determinante puede proceder como lo hemos hecho
pero con un sistema (genérico) lineal de 3 ecuaciones con 3 variables. El desarrollo, fundamenta-
ción y explicación de estos temas: Matrices y determinantes lo estudiará en la asignatura
Álgebra.
ejercicios
1 Calcule los siguiente determinantes:
75
62
106
159
320
17
430
221
312
1239
221
826
2 Determine el valor de k tal que el sistema asociado a la correspondiente matriz es S C D
2k5
3k
k3k2
4k
3 Elija un valor de k , de los ya determinados, y asocie la matriz a un sistema de ecuaciones
lineal, resuélvalo para comprobar que es compatible de solución única (en cada subítem).
eee jjj eee mmm ppp lll ooo
Retomamos el ejercicio resuelto en página 109.
2y)1k2(x)2k(
2y)1k(kx2
Si el determinante no es cero Determinamos el valor de k por la negación de lo planteado :
01k22k
1kk2
el 0
1k22k
1kk2
sistema es compatible determinado SCD
0)5
2k)(1k(5
02k3k5
0)2k)(1k()1k2(k2
2
De acuerdo a lo obtenido el sistema es S C D para k -1 k 2/5, pero no podemos
determinar si es el sistema compatible indeterminado S C I o incompatible S I .
115
Analizamos por el método de eliminación de Gauss
Si k = - 1 2 -2 -2 Si k = 2/5 -4/5 -3/5 -2
1 -1 -2 12/5 9/5 -2
2 -2 -2 -4/5 -3/5 -2
0 0 -4 0 0 -8
4y0x0
2y2x2
8y0x0
2y5
3x
5
4
2 x –2 y = -2 0 x + 0 y = - 4 - 5
4 x –
5
3 y = -2 0 x + 0 y = - 8
Enunciado abierto siempre falso Enunciado abierto siempre falso
Ambos sistemas de ecuaciones lineales son incompatibles.
ejercicios
1 Determine el conjunto solución y califique a cada sistema de ecuaciones:
.
34y3x5
30y5x3
07,001,003.0
1,0y3,0x2,0
a33b
16b2a
a33b
16b2a
34y
5
x
6
2y
3
x
1
15x9y12
0y6x8
10yx2
Problemas de aplicación :
2 Se invirtió un total de $ l200, parte al 13 % y el resto al 10 %. El interés total fue de $ l320,
¿ cuánto se invirtió a cada tipo de interés?.
10
3
El perímetro de un campo rectangular es de 642 m,
el largo excede a su ancho en 10 m.
¿ Cuáles son las dimensiones del campo y su área ?
*Resuelva el problema por sistema de ecuaciones.
116
4 Un negocio vendió 45 colchones, los de mejor calidad a $ 92 y los otros a $ 64. ¿Cuántos de
cada tipo vendió?
5 Un hormiguicida se obtuvo con la mezcla de 5 litros de la fórmula
pura y 25 litros de agua. Otra preparación contiene la misma cantidad de hormiguicida puro pero
con 15 litros de agua. Se desea tener 7,5 litros de mezcla de la cual el 20 % es el químico puro,
¿ cuántos litros deben tomarse de cada mezcla existente ?
7 Marta es 12 años mayor que Ana, dentro de 4 años Ana tendrá dos terceras partes de la edad
de Marta. ¿Qué edad tiene cada una de ellas?
8 Se desea cercar un terreno rectangular utilizando parte de una casa para un lado y alambrado
para los otros tres lados, si el lado paralelo a la casa tiene que ser el doble de un lado perpendicular
y el área del terreno es 128 m2 . ¿Cuántos metros de alambrado se necesitan?
9 La suma de dos números es 67 y su diferencia es 35 ¿cuáles son estos números?.
11 La suma de dos numeros es 36, la diferencia de sus recíprocos (inversos) es 4/9 de la suma
de sus recíprocos, ¿cuáles son esos números?.
Análisis, de compatibilidad de sistemas lineales genéricos
12 Para que valores de p y q ( p 0 q 0) constantes,
el sistema es S C D , S C I o S I
13 Halle p y q constantes de la que se sabe su diferencia: p – q = 1
de modo que el sistema sea S C D , S C I o S I .
14 Dado el siguiente sistema, halle la relación indicada por
una igualdad, entre p y q (con p 0 y q 0) constante
no nulas tal que el sistema es S C D , S C I o S I
15 Dado el siguiente sistema analice para que valores de a , c , d , f ,
e 0 y b 0 (constantes) es S C D , S C I o S I con variables
x e y .
10
Una botella y su tapón cuestan $ 7,5 si el tapón cuesta $ 0,50
menos que la botella, ¿ cuántos pesos sale cada cosa?
qypxq
pyqxp
01yqxp
2yqpx4
pypxq
qyqxp
e
fx
e
dy
b
cx
b
ay
117
Sistemas de ecuaciones lineales de tres variables.
eee jjj eee mmm ppp lll ooo sss
1]
10zy3x
15z2y2x3
8z5y6x2
2]
0w2vu4
2wvu2
1w2u4
3]
4c2b6a4
2cb3a2
4c2b
calculamos cada determinante de forma de indicar el tipo de sistema , si es posible :
1] 31
23).5(
11
23.6
13
22.2
= 2 . (-8) -6 . 1 – 5 .11 = -77 0
el primer sistema lineal es compatible determinado de solución única ,
2] 14
04).1(
24
24.1
21
20.2
= 2 . 2 –1 . 0 –1 . 4 = 0
3] 64
32).2(
24
12.1
26
13.0
= -1. 0 –2 . 0 = 0
de los restantes sistemas hasta el momento, sólo se sabe que no son S C D.
Aplicamos el método de Gauss y determinamos los conjuntos solución :
2 6 - 5 - 8 4 0 -2 -1 0 1 -2 4
3 -2 2 15 2 1 -1 2 2 3 -1 2
1 3 1 10 - 4 1 2 0 -4 -6 2 -4
2 6 -5 -8 0 -4 0 -10 0 1 -2 4
0 -22 19 54 2 1 -1 2 2 0 5 -10
0 0 7 28 0 6 0 8 -4 0 -10 20
-44 0 –4 -148 0 -4 0 -10 0 2 -4 8
0 -22 19 54 -8 0 4 2 2 0 5 -10
0 0 -154 –616 0 0 0 28 0 0 0 0
6776 0 0 20328
0 3388 0 3388 Explicite a y b según c en cada ecuación
0 0 -154 -616
Si usted deduce concluirá que:
1] S = { ( 3 , 1 , 4 ) }
2] S = { } =
3] S = { ( a , b , c ) / a R b R c R a = 2
10c5 b = 4 - 2c }
118
Significado geométrico
PPP aaa rrr aaa ttt eee nnn eee rrr eee nnn ccc uuu eee nnn ttt aaa:::
Consideremos la ecuación 4 x = 8 ó su equivalente x = 2
Si estamos trabajando con una sola variable, es decir en el conjunto de los números reales, el
conjunto solución de la ecuación es: S = { 2 } R cuyo significado geométrico en la recta
cartesiana es un punto de abscisa 2
En cambio si trabajamos con dos variables, cada solución es un par ordenado de números reales,
la ecuación dada debe entenderse como: 4 x + 0 y = 8 con conjunto solución:
S = { ( x , y) / x R y R x = 2 }
Este conjunto representa en el plano cartesiano los puntos de una recta
de ecuación cartesiana x = 2
Pero una situación diferente es trabajar con 3 variables donde la ecuación debe pensarse, para no
cometer ningún error,
4 x + 0 y + 0 z = 8 con
S = { ( x , y , z ) / x R y R z R x = 2 }
Geométricamente este conjunto representa una superficie muy particular, un plano en el espacio
cartesiano de ecuación cartesiana x = 2 .
0
1
2
3
4
-1-0.5
00.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
0
1
2
3
4
-1
-0.5
0
0.5
1
Por lo tanto resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables geométricamente es
encontrar un punto común a tres planos si es un S C Determinado , una recta sección entre los
tres planos para el S C Indeterminado y ningún punto en común a los tres planos con un S I.
119
Si revisamos los ejemplos 1] y 2] , de dos páginas anteriores, la interpretación geométrica
correspondiente a cada terna de planos es:
2.52.75
3
3.253.5
0.5 0.75 1 1.25 1.5
2
3
4
5
6
2.52.75
3
3.253.5
0.5 0.75 1 1.25 1.5
2
3
4
5
6
Tres planos con un único punto en común , el asociado a (3 , 1 , 4)
02
40
24
6
-5
0
5
10
15
02
4
-5
0
5
10
15
Tres planos con ningún punto en común
120
Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos
Si las ecuaciones polinómicas de primer grado son homogéneas (todos los términos son de grado
uno) y el segundo miembro es cero el sistema se denomina homogéneo
eee jjj eee mmm ppp lll ooosss :::
0yx5
0y3x2
0w9v3u6
0wv2
0w6v2u4
(0,0) S (0,0,0) S
Se puede observar que presentan una solución obvia: la n-upla nula (todos las componentes cero)
es decir si los números indeterminados son cero la conjunción es verdadera. Se deduce por lo tanto
que estos sistemas son siempre compatibles y aquí si los determinantes indican su “naturaleza”.
En un sistema de ecuaciones lineales homogéneo:
Determinante cero se trata de S C I , determinante distinto de cero es S C D
0yx5
0y3x2 , det
15
32 = 2 . 1 – (-15) = 2+15 = 18 0 S = {( 0 , 0 )}
Se trata de un sistema lineal homogéneo compatible determinado ↑
0y9x6
0y3x2 , det
96
32 = (-2)(-9) – 6 .3 = 18 –18 = 0
Es un sistema lineal homogéneo compatible indeterminado, deducimos su conjunto solución:
a la primera ecuación una equivalente explícita es: y = 3
2x
S = { ( x , y ) / x R y R y = 3
2x }
0w9v3u6
0wv2
0w6v2u4
, det
936
120
624
= 0 , compruébelo. Esto indica que es S C I .
Para determinar su conjunto solución desarrollamos el método de eliminación:
4 2 -6 0
0 2 -1 0
6 3 -9 0
4 2 -6 0 2 1 -3 0
-8 0 10 0 -4 0 5 0
0 0 0 0 0 0 0 0
S = { ( u , v , w ) / u R v R w R v = 5
2u w =
5
4u }
ó S =
u5
4,u
5
2,u u R
0w0v0u0
0w5u4
0w3vu2
0w0v0u0
u5
4w
u5
2u2u
5
12u2w3v
121
ooo ttt rrr ooo eee jjj eee mmm ppp lll ooo
Mostramos que cualquier real sea la constante k el sistema lineal es compatible determinado:
2zy)1k(x4
1zy3x5
0z4y2xk
, es decir el determinante debe ser siempre distinto de cero .
calculamos el determinante de la matriz asociada :
1)1k(4
135
42k
= )1k(4
35.4
14
15.2
1)1k(
13.k
= 12)1k(5(4)45(2))1k(3(k
= 86k18k2
Contradiciendo lo que corresponde analizamos cuando el determinante es cero:
86k18k2 = 0 calculamos el discriminante (-18)
2 – 4.1.86 = 324-344 = -20 0 ,
por lo tanto su conjunto solución es vacío (no hay ningún real k tal que el determinante sea cero).
Como el determinante invariablemente, con cualquier valor de k, es distinto de cero el sistema de
ecuaciones (siempre) es compatible determinado (S C D) .
ejercicios
1 Determine el conjunto solución de los siguientes sistemas lineales:
9z2y2x
9z3yx2
6zyx
8z2y3x
10z3y2x4
10zyx2
2c3b5a
2cb3a7
1cb2a
0z3y
0z2yx
1zy2x
2z2yx2
1zyx
1zy2x
1q6p
4r7q
11r2p3
122
39z
9
y
2
x
7
9z
3
y
2
x
1
3z
3
y
2
x
2
4
3
4
1z
2
y
3
1x
14
2z
4
1y
3
4x
06
1z
2
4y
3
2x
¿ Este sistema es lineal ?
Problemas de aplicación:
2 La suma de tres números es 105, el tercero es 11 (unidades) menos que diez veces el segundo.
Dos veces el primero es 7 (unidades) más que tres veces el segundo. Deduzca los números.
3 La edad de Juan es la suma de las edades de Carlos y .Diego. La edad de Carlos es 2 años más
que la suma de las edades de Diego y Maria, la edad de Diego es cuatro veces la edad de Maria, la
suma de las cuatro edades es 42, ¿qué edad tiene cada uno?
4
¿ Cuántas prendas pueden producir cada máquina por semana?
5 Dados los siguientes sistemas genéricos, analice el tipo de sistema para todos los distintos
valores reales de la constante k.
2zy)1k(x4
3zy3x5
1z4y2kx
1z5y3x6
1kz2yx
1z3y23x)2k(
k25yx4
kz2yx)3K(
3zy)k3(x5
3zy2x3
2z3kyx2
3kkzy3x4
4z4y3x)2k(
5kz2y)2k(x
1zy1x2
5zy2x5
2z2y3kx
kzyx2
3zy2x3
2z3kyx2
3kkzy3x4
En el taller hay tres máquinas trabajando A, B y C
.Cuando trabajan juntas pueden confeccionar 5700 prendas
por semana, cuando sólo trabajan A y B se producen 3400
prendas por semana, en cambio cuando solo B y C pro-
ducen o confeccionan 4200 por semana.
123
eee jjj eee mmm ppp lll ooo 111
Determinemos (la expresión algebraica de) r según h :
Sabemos que :
cotg 70 = h
r30
h . cotg 70 = 30 - r
Por lo tanto : r = 30 – h . cotg 70 la expresión pedida
La ecuación plantea una relación entre los números h y r (en ese orden cada h se corresponde
con un r ) en un alcance o rango de validez:
0 h 30 . tg 70 por lo que 0 r 30
Hemos vinculado elementos del conjunto ( 0 ; 30 . tg 70 ) con elementos del conjunto ( 0 ; 30 )
Una relación es un concepto matemático constituido por tres conjuntos:
Al conjunto de partida o inicial (de la relación) P , le pertenecen los elementos que se vinculan
con elementos del otro conjunto denominado de llegada o final Ll . Cada vínculo se expresa por
un par ordenado, y el conjunto de éstos pares se llama conjunto gráfica (de la relación) .
eee jjj eee mmm ppp lll ooo 222
Escribimos R (relación): P Ll /
El diagrama de Venn nos muestra
un ejemplo de relación :
P = { a , h ,c , f }
Ll = { 6 , 2 , 1 , 9 , 10 , 3 , 4 , 8 } P Ll
= { ( a , 1 ) , ( h , 8 ) , ( c , 3 ) , ( f , 6 ) }
En el ejemplo 1 ___________________________________________________________
P = ( 0 ; 30 . tg 70 )
Ll = ( 0 ; 30 )
= { ( h , r ) / h P r Ll r = 30 – h . cotg 70 }
r
h
70
30
a
h
c
f
6
2
1
9
10
3
4
8
124
Si en la relación se da la siguiente propiedad.
Todo elemento del conjunto de partida tiene vínculo con un único elemento del
conjunto de llegada .
, se trata de una relación funcional, función o aplicación.
Las relaciones hasta aquí ejemplificadas son funciones R = : P Ll /
Se denomina dominio de la función al conjunto de partida D = P . En cambio puede suceder
que haya elementos del conjunto de llegada que no estén vinculados, como en el ejemplo los
números 2 , 9 , 10 y 4 pertenecientes a Ll , los restantes elementos que están vinculados
forman el conjunto imagen (de las imágenes ) I.
I Ll , en el ejemplo I ={ 1 , 8 , 3 . 6 }
Los elementos del dominio se llaman preimágenes x , tal que x D , y el único elemento
que se relaciona con x se simboliza ( x ) (es la imagen de x por aplicación de la función)
x ( x )
En adelante trataremos funciones donde relacionaremos números reales: funciones escalares
Su dominio y conjunto de llegada son subconjuntos de números reales R (o todos los reales)
ejercicio
r : radio del círculo base menor
Sea un tronco de cono recto, el volumen del sólido o
cuerpo es :
H V = 3
1 H ( R
2 + r
2 + R r )
R : radio del círculo base mayor .
Complete lo que corresponde si el radio del circulo base mayor es R = 30 :
V = 3
1 H ( .......... + r
2 + ....... r )
En el ejemplo anterior expresamos r, en función de h, sustitúyalo y desarrolle hasta obtener
una mínima expresión equivalente:
V = 3
1 ( .…...……….... H + .…...……….... H
2 +.…...……….... H
3 )
125
Para obtener información completamos la tabla, recordando la expresión obtenida en el ejemplo
que indica el volumen de un tronco de cono (de altura 86 y radio de la base mayor de 30), además
no se olvide de considerar el volumen de la parte superior cilíndrica:
h : altura alcanzada por el liquido que se vierte
V : volumen que ocupa el liquido.
86
30
Para toda altura h que alcanza el líquido, que se vuelca, le corresponde un único volumen V
que ocupa en el recipiente en función de h.
Queda así definida:
: ( 0 ; 110 ] ( 0 ; ……… ] /
= { ( h , V ) / ( h ( 0 ; … ] V = ( h ) = ……………….……………. )
( h ( 86 ; … ] V = ( h ) = …………………………….….}
Para facilitar la notación sólo se indica la ecuación que explicita la imagen ( h ) , como lo
haremos de aquí en adelante .
h V
100
95
89
86
70
55
10
Debemos colocar líquido
en el recipiente (de altura
110) y queremos conocer
el volumen que éste ocupa
a medida que el nivel del
fluido asciende.
126
ejercicio
Determine el dominio (amplio) de las siguientes funciones.
NNN oootttaaa ::: Es necesario aclarar que siempre que se le pida determinar el dominio D busque
el más “amplio” aquel conjunto al que le pertenece todos los números reales posibles.
En cambio cuando se nos defina una función respetamos el dominio dado.
: A R / (x) = 9x2
g : B R / g( t ) = 3t.3t
h : C R / h(u) = 1u
9u9uu23
¿ Son iguales las funciones dadas? , justifique su respuesta pero antes de responder vea el
siguiente ejemplo:
eee jjj eee mmm ppp lll ooo
Analizaremos si son iguales o no las siguientes funciones definidas por la ecuación explícita
de la imagen (según la preimagen).
: [ 1 ; 6 ] R / (x) = 5x
25x2
g : [ 1 ; 6 ] R / g( x ) = x - 5
h : R – {-5 , 0} R / h(x) = x5x
x25x
2
3
Desarrollamos :
x5x
x25x
2
3
=
x
x.
5x
25x2
=
5x
25x2
=
5x
)5x).(5x(
= x – 5
Las expresiones de la imagen “parecen” equivalente pero esto no es suficiente para indicar la
igualdad de las funciones, debemos considerar el número que representa x es decir el conjunto
dominio. Estos dominios deben ser iguales, lo mismo con el conjunto de llegada (en el ejemplo: R)
y g son funciones iguales, es la misma función escalar.
No así h cuyo dominio incluye a los otros dominios.
Definimos el conjunto gráfica de estas funciones en forma general y por comprensión por tratarse
de un conjunto infinito:
{ ( x , y ) / x D y = x – 2 } , con el respectivo dominio definido.
La gráfica es un conjunto de pares ordenados y cada par se puede asociar con un punto del plano
munido de un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales. La interpretación geométrica de la
grafica () es un conjunto de puntos del plano que generalmente forman una línea continua o curva
denominada curva representativa de la función escalar.
Una visión geométrica (representación gráfica o curva representativa) siempre facilita el
conocimiento amplio de una función y sus propiedades .
127
Se registra la temperatura ambiente cada hora (en punto) y su modelo matemático responde a la
función
5 10 15 20 25
5
10
15
20
25
¿ Se repite la misma temperatura para distintas horas del día ? , la respuesta es si.
5 10 15 20 25
5
10
15
20
25
5 10 15 20 25
5
10
15
20
25
Lo que sucede es que hay imágenes que se corresponden con diferentes preimágenes, hay
vínculos no exclusivos no uno a uno (esta función no es inyectiva).
Definición de función inyectiva (con vínculos uno a uno):
Si x z ( ( x D z D ( x ) = ( z ) ) x = z ) , la función es inyectiva
: A [0 ; 21] / ( t ) = 18
1(t - 6)
2 +3
A = { t / t No 0 t 24 }
Su representación gráfica es el
conjunto de puntos
128
Un ejemplo de inyectiva es considerar la situación anterior después de la puesta del sol, a partir de
las seis de la mañana, así la función que la modeliza (distinta por tener otro conjunto dominio) es:
5 10 15 20 25
5
10
15
20
25
Si suponemos que la información deseada debe responder a cualquier momento del día a partir de
las seis de la mañana se determina la siguiente función, cuya representación gráfica en este caso es
una línea o curva (representativa). Observe que cambio el dominio.
5 10 15 20 25
5
10
15
20
25
El conjunto de llegada, en todos las
funciones ejemplificadas, es el intervalo de números reales [ 0 ; 21 ]. ¿ La temperatura ambiente
toma todo este rango de valores ? , no en ningún momento del día la temperatura alcanza valores
del conjunto [0 ; 3) (con las unidades que correspondan).En todos estos casos las funciones no son
sobreyectivas .
Definición de función sobreyectiva o suryectiva:
Si w ( w Ll ( x ( x D w = ( x ) ) ) , la función es sobreyectiva
Como consecuencia, más simple de expresar, el conjunto de llegada es igual al conjunto imagen.
Ll = I
Un ejemplo de función sobreyectiva es:
1 : C [0;21] / 1 ( t ) = 18
1(t - 6)
2 +3
, con C = { t / t N 6 t 24 }
2 : [ 6 ; 24 ] [ 0 ; 21 ]
/ 2 ( t ) = 18
1(t - 6)
2 + 3
129
5 10 15 20 25
5
10
15
20
25
Esta función es sobreyectiva e inyectiva
Si una función es inyectiva y sobreyectiva se dice biyectiva. Aquí se explica el término
biunívoco ( biyección ) , los vínculos son únicos , uno a uno y “cubriendo todo el conjunto de
llegada.
ejercicio
F : [ 6 ; 24 ] [ 3 ; 21 ]
/ F ( t ) = 18
1(t - 6)
2 + 3
Observe que cambió el conjunto de
llegada, coincide con el conjunto imagen.
Por visualización de la curva repre-
sentativa del conjunto gráfica indique:
a] sobre la inyectividad
b] sobre la sobreyectividad ,si el
conjunto de llegada es [-5 ; 5]
c] ¿ cuál debería ser el conjunto de
llegada para que la función sea
sobreyectiva, si no lo fuese?
130
En el anterior ejercicio, todas las funciones que corresponden a las curvas representativas ubicadas
a la derecha se dicen estrictamente crecientes, se debe a que el aumento de las preimagen signifi-
ca el aumento de las imágenes; y en caso de disminuir las imágenes será estrictamente decreciente .
Monotonía de una función
Definición de función estrictamente creciente
Si x z ( x D z D x z ( x ) ( z ) ) , la función es estrictamente creciente
Definición de función estrictamente decreciente
Si x z ( x D z D x z ( x ) ( z ) ) , la función es estrictamente decreciente
En el ejercicio hay dos funciones (a la izquierda) no monótonas en su dominio pero si en deter-
minados subconjuntos del dominio denominados conjunto de crecimiento o decrecimiento estricto .
131
Definición de función creciente
Si x z ( x D z D x z ( x ) ( z ) ) ,la función es creciente
Definición de función decreciente
Si x z ( x D z D x z ( x ) ( z ) ) ,la función es decreciente
Este título se refiere a determinar nuevas funciones a partir de dos o más funciones donde las
imágenes son resultado de operaciones algebraicas. Definimos la función suma , diferencia ,
producto y cociente:
: A B , g : C E ,dos funciones escalares con intersección de sus dominios
no vacía A C
+g : A C B E / +g ( x ) = (x) + g(x)
-g : A C B E / -g ( x ) = (x) - g(x)
g- : A C B E / g- ( x ) = g(x) - ( x )
. g : A C B E / . g ( x ) = ( x ) . g( x )
Al considerar el dominio de la función cociente debemos excluir, obviamente, preimágenes de
imagen cero del divisor (ceros de la función divisor), por eso:
g
: A C – H B E /
g
(x) =
)x(g
)x(
H = { x / x C g(x) = 0 }
g: A C – J B E /
g (x) =
)x(
)x(g
J = { x / x A (x) = 0 }
Este ejemplo nos representa una
función escalar no estrictamente
creciente pero aún las imágenes no
decrecen (cuando las preimágenes
crecen) se denomina función
creciente, en su definición la rela-
ción de orden es amplia (incluye la
igualdad), de forma análoga se
tiene una función decreciente .
ooopppeeerrraaaccciiiooonnneeesss
132
ejercicio
Dada la función descripta por el diagrama, complete el sumando faltante y conecte con
flechas los vínculos que presenta la función g .
: A B / (x) = ½ x + ……. , g : B C / g(x) = 4 (x - 1)
A B C Podemos definir una nueva función denominada compuesta, que describimos por diagrama de
Venn, su dominio es A y su conjunto de llegada C .
x y = ½ x + ..... z = 4 ( y –1 ) = 4 ( ½ x + ......-1 ) = 2 x + .......
en símbolos g o : A C / g o (x) = 2 x + ........
¿Qué hubiese sucedido si el dominio de g hubiere sido {12 , 14 , 16 , 18 , 20} ? . No podíamos
determinar una nueva función de A a C ( ni –4 ni 0 se vincularían). La condición que debe
darse para que exista función compuesta es que las imágenes de la primera función componente
pertenezcan al dominio de la segunda componente es decir :
(el conjunto imagen de la 1ra. componente incluido I1 D 2
o igual al dominio de la 2da. función componente).
El siguiente esquema plantea los vínculos:
x y = (x) z = g(y) = g ( (x) ) = g o (x)
Función compuesta
Si I D g , determinamos la función compuesta g o (se lee: compuesta con g)
g o : D Ll g / g o (x) = g ( (x) )
eee jjj eee mmm ppp lll ooo
-4
0
4
16
6
8
10
12
14
16
18
20
20
28
36
44
52
60
68
76
20
28
36
44
52
60
68
76
-4
0
4
16
133
Determinamos una función g componente tal que la compuesta g o es la función identidad
g o = id / g o (x) = x
: [-1 ; 5] [ -10 ; 2 ] / (x) = 2 x – 8
g o (x) = x
g ( (x) ) = g ( 2x –8 ) = x Si denotamos con w
al número 2x - 8 , es decir w = 2 x - 8 ,
al explicitar x : x = (w + 8 ) / 2
, entonces g ( w ) = ( w + 8 ) / 2
g : [ -10 ; 2 ] [ -1 ; 5 ] / g(w) = ( w + 8 ) / 2
Veamos lo que sucede en otro caso
: [-1 ; 5] [ -10 ; 2 ] / (x) = - x 2 + 4 x – 4 = - ( x – 2)
2
g o (x) = x ?
g ( (x) ) = g ( - (x – 2)2 ) = x ?
Si denotamos con u
al número - ( x – 2)2 , es decir u = - ( x - 2)
2 ,
al “intentar” explicitar x : - u = ( x - 2)2
u = 2
)2x(
u = | x – 2 | , surge un problema pues x
responde a dos valores, uno positivo y otro negativo x = 2 + u x = 2 - u
entonces g no es una función (si una relación), no se cumple con lo pedido .
Observemos la represen-
tación gráfica de ambas
funciones en un mismo
plano cartesiano es simétrica
respecto de la recta que
incluye a las bisectrices del
primero y tercer cuadrante
( de ecuación y = x )
- 1
134
Esto se debe a que la función no es biyectiva.
La función que deducimos en el primer caso se denomina función inversa (biyectiva).
Función inversa (biyectiva)
Si : A B , biyectiva entonces g = - 1
: B A , función inversa de
(también biyectiva)
tal que o -1
= -1
o = id / o -1
(x) = -1
o (x) = id (x) = x
Signo de las imágenes de una función escalar
En numerosas ocasiones, en el estudio de una función escalar, nos interesa conocer el conjunto
de las preimágenes que “generan” imágenes positivas, negativas o cero. Los conj. de positividad,
negatividad y el conjunto de “ceros”.
Conjunto de positividad de la función : { x / x D ( x ) 0 }
Conjunto de negatividad de la función : { x / x D ( x ) 0 }
Conjunto de ceros de la función : { x / x D ( x ) = 0 }
Se dice que c es cero de la función si ( c ) = 0
Desde el punto de vista geométrico el cero es la abscisa del punto de ordenada 0 (sobre el eje de
abscisa), la intersección de la representación de la función con el eje de abscisas.
Observe con mucha atención las curvas representativas de las funciones ( R R )
1(x) = ( x + 4 )2 + 1 2(x) = x
2 + 3
3(x) = ( x - 5 )
2 + 2
4(x) = ( x + 3 )
2 (x) = x
2 5(x) = ( x - 4 )
2
135
6(x) = ( x + 3 )2 - 4 7(x) = x
2 - 2,5
8(x) = ( x - 4 )
2 - 3
Si tomamos como referencia la curva representativa de (parábola con vértice en el origen), las
representaciones de 4 y 5 son sus traslaciones horizontales.
Concluimos que : al reemplazar ,en la expresión explicita de la imagen de la función ,
x por x + a se presenta una traslación horizontal:
si a 0 , negativo ,
hacia la derecha |a|
(unidades)
si a 0 , positivo ,
hacia la izquierda a
(unidades)
136
Nuestra referencia sigue siendo la curva representativa de (parábola con vértice en el origen),
así las representaciones de 2 y 7 son sus traslaciones verticales .
Concluimos que : al reemplazar o agregar un sumando a la imagen de la función
(x) por (x) + b se presenta una traslación vertical :
Las curvas representativas de 1 , 3 , 6 y 8 son combinaciones de movimientos
(desplazamientos que no cambian tamaño ni forma) verticales y horizontales de la curva de .
Otro análisis importante de la gráfica de una función es el comportamiento de las imágenes de
preimágenes opuestas, es decir que relación muestran (x) y (-x) . Las funciones polinó-
micas potenciales cuya imagen es la expresión: a . x n (n N a 0 ) merecen este estudio:
eee jjj eee mmm ppp lll ooo
si b 0 , positivo ,
hacia arriba b
(unidades)
si b 0 , negativo ,
hacia abajo |b|
(unidades)
137
(x) = 0,5 x
2 g(x) = - x
5 / 32
En estos ejemplos podemos comprobar que (x) = (-x) (imágenes iguales de preimágenes
opuestas), en cambio g(x) = - g(-x) (imágenes opuestas de preimágenes opuestas). Geométrica-
mente la representación gráfica de es simétrica a sí misma respecto del eje de ordenadas y
la curva gráfica de g es simétrica a si misma respecto del punto origen del sistema. Debido a la
paridad del exponente natural de estas funciones se clasifica a todas las funciones escalares que
cumplen las condiciones indicadas en pares, impares o sin paridad.
Si el domino de una función escalar tiene pares de números reales opuestos, esta puede ser:
Función par
x ( x D -x D ( x ) = ( -x ) ) , la función es par
Función impar
x ( x D -x D ( x ) = - ( -x ) ) , la función es impar
Si no es ni par ni impar o su dominio no responde a lo indicado se dice que carece de paridad.
138
x
y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-4
-2
0
2
4
Esta función particular se denomina parte entera, sus imágenes son la parte entera del número
real:
: R R / (x) = [ x ] = ent(x)
x
y
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-2
2
Esta función tiene de imágenes la diferencia del número real y su parte entera (la parte decimal)
se llama función mantisa (agregado, añadidura a la parte entera de un número real)
: R R / (x) = x - [ x ] = x - ent(x)
La función mantisa es un ejemplo de aplicaciones donde las imágenes vuelven a repetirse en in-
tervalos sucesivos del dominio o las imágenes son iguales para preimágenes que difieren en un múl-
tiplo de un número constante positivo (fijo) llamado período (en la función mantisa es 1).
Función periódica
p x ( x D p R+ n Z ( x ) = ( x + n . p) ) , la función es periódica
( : significa existe y es único)
Otros ejemplos destacables de funciones periódicas son las trigonométricas.
139
Algunas relaciones entre las representaciones gráficas
Algunos detalles más referidos a la representación gráfica de funciones es el hecho de sustituir
F(x) (imagen) por -F(x) (el valor opuesto) produciendo una simetría con el eje de abscisa,
mejor observémoslo en los ejemplos ( R R ):
(x) = x3 h(x) = e
x - 2
g(x) = - (x) = -x
3 j(x) = - h(x) = - e
x + 2
Por último “el efecto módulo” al reemplazar F(x) por | F(x)| que transforma imágenes
negativas en positivas .Lo vemos: l(x) = |(x)| = | x
3 | m(x) = |h(x)| = | e
x - 2 |
140
Hasta ahora no hemos dado una función donde las imágenes responden a dos o más expresiones
algebraicas según el valor de la preimagen (sujeta a condiciones), es decir tiene varias ecuaciones
explícitas de la imagen, por ejemplo:
Sea una función de dominio todos los números reales de imagen 1 - 2
x
1, si x es menor a -1/2
y en caso contrario la imagen es x2 + x – 11/4 .
Veamos los efectos sobre la curva representativa indicados en la página anterior:
g(x) = - (x) h(x) = | (x) |
Hasta aquí hemos presentado algunas propiedades y características de las funciones escalares,
en lo que sigue las detallaremos y las calificaremos revisando sus particularidades.
Lo escribimos:
: R R / (x) =
2
1x,
4
11xx
2
1x,
x
11
2
2
140
FFuunncciioonneess uussuuaalleess aallggeebbrraaiiccaass
El primer tipo de funciones son las polinómicas (cuya expresión de la imagen es un polinomio)
nnn ooo ttt aaa ::: Es importante tener presente que planteamos el conjunto dominio “más amplio” pero cualquier
subconjunto puede ser el dominio de las funciones produciendo un cambio del conjunto imagen y
del conjunto gráfica (para tener muy en cuenta).
Función constante
: R R / (x) = b , b constante real
eeejjj ... Si observamos la curva representativa es una recta “horizontal” paralela al eje de abscisa.
y = (x) = 3
Función polinómica de primer grado ( lineal )
: R R / (x) = a . x + b , a 0 y b constantes reales
Su curva representativa ( en R ) es una línea recta cuyo dibujo es muy simple de exponer
conociendo como mínimo dos puntos (x,(x)) :
eeejjjeeemmmppp lllooosss
1] 2]
141
3] 4]
Una función lineal destacada
por su referencia en muchos
casos es la función cuya
preimagen e imagen son
iguales (idénticas):
Función identidad : R R / (x) = x = id (x) , su recta representativa
es la que incluye a las bisectrices del primer y tercer cuadrante del plano cartesiano .
ejercicio
1 Identifique, en el último ejemplo, las representaciones gráficas de las funciones de ecuación
explícita, complete con el número de orden dado:
(x) = - ½ x + ½ [ ] , g(x) = x – 2 [ ]
h(x) = ½ x – 3 [ ] , j(x) = - 0,375 x – 1,5 [ ]
PROBLEMAS
2 Un bebé al nacer pesa 3,5 kg(fuerza) y tres años después alcanza un peso de 10,5 kg(fuerza).
Suponga que el peso P de la infancia está relacionado linealmente con la edad t (tiempo medido
en años).
Exprese P en función de t y dibuje la curva representativa 0 < t < 12
¿ A qué edad pesará 22 kg(fuerza) ?, y ¿cuál será el peso cuando el niño cumpla 6 años ?
Características de las funciones de este tipo
,en el dominio mas amplio R : Inyectiva
Sobreyectiva
Monótona estricta, a0 :est. creciente
a0 :est. decreciente
Carece de paridad salvo si b=0 es Impar
Conjunto Imagen todos los reales
Curva representativa una recta
142
3 El triángulo ABC esta inscripto en un semicírculo de diámetro l5.
Si x es la medida de la longitud del lado AC. Exprese la medida de la longitud del lado BC
en función de la del lado AC.
4 Una rara especie de ballena que habita en el Atlántico Sur mide al nacer alrededor de 7,5 metros
y pesa alrededor de 3 toneladas.
Los cetáceos jóvenes, son amamantados durante 7 meses y al momento del destete, muchos miden
16 metros de largo y pesan 23 toneladas. Denotamos con L la longitud y con P el peso en toneladas
de una ballena cualquiera de t meses de edad.
Si L y P están relacionadas linealmente, exprese L en función de t.
¿Cuál es el aumento diario en la longitud de una ballena joven? (mes de 30 días).
Si P y t están relacionadas linealmente, exprese P en función de t.
¿Cuál es el aumento diario en el peso de una ballena joven?
5 Una persona alquila autos y cobra 10$ por día más 1 $ por km. recorrido, mientras que otra
cobra 20$ diarios más 60 centavos por Km. recorrido, ¿ cuántos km. hay que recorrer para que el
costo sea el mismo en las dos empresas?. Exprese en ambos casos el costo en pesos por día en
función de los km recorridos (por día).
Función polinómica de segundo grado ( cuadrática )
: R R / (x) = a . x2 + b . x + c , a 0 , b y c constantes reales
La curva representativa es la denominada parábola, de ecuación cartesiana:
y = a . x2 + b . x + c , procedemos a “completar cuadrado” en el miembro derecho
y = a
x
2 + 2 .
a2
bx
+ c = a
x
2 + 2.
a2
bx +
2
2
a4
b
+ c -
a4
b2
( a 0 )
En los sumandos agregados, observe que el primero es multiplicado por a.
Exprese la medida de la longitud del lado
BC en función de la del lado AC.
Proporcione una función que permita
calcular el área del mismo en función de la
medida del lado AC. Indique su conjunto
dominio.
143
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8x
2
4
6
8
10
y
y = a
2
a2
bx
+
a4
bac42
y – v = a (x – u)2 ó y = a ( x – u )
2 + v ( a 0 , u , v constantes reales)
esta ecuación se denomina canónica y de su forma podemos extraer conclusiones.
Analizamos el número a (x – u)2 :
es positivo o cero si a 0 , es negativo o cero si a 0 .
y – v = a (x – u)2 0 y – v = a (x – u)
2 0
y - v 0 y - v 0
y v y v
La última inecuación nos plantea que los puntos de la curva tienen ordenada mayor (menor) a v
salvo un punto particular de ordenada v y abscisa u denominado vértice de la parábola (u , v) .
Luego para bosquejar , por simetría respecto
la línea elaboramos una de la recta de ecuación
tabla de pares a partir x = u se tiene puntos
del valor de la abscisa de igual ordenada
del vértice
Consideremos un ejemplo:
y = 2x2 – 4 x + 5
y = 2( x2 – 2 x ) + 5 = 2 ( x
2 – 2 x + 1) + 5 - 2
y = 2 (x – 1)2 + 3
y – 3 = 2 (x – 1)2 ( 2(x –1)
2 0 entonces y –3 0 es decir y 3 ) ,
3 – 3 = 2 (1 – 1)2 , el vértice de la parábola tiene coordenadas (1 , 3) .
x y
u v
u+1 y1
u+2 y2
u+3 y3
x y
u-3 y3
u-2 y2
u-1 y1
u v
x y
-2 21
-1 11
0 5
1 3
2 5
3 11
4 21
144
eee jjj eee mmm ppp lll ooo sss
1] 2]
3] 4]
ejercicios
1 Identifique, en el último ejemplo, las representaciones gráficas de las funciones de ecuación
explícita, complete con el número de orden dado:
(x) = - x2 – 6x - 5 [ ] , g(x) = 6(x – 2)
2 - 4 [ ]
h(x) = - 0,25 x2 - x + 2 [ ] , j(x) = x
2 – 4 [ ]
Características de las funciones de este tipo, en
el dominio más amplio R :
No inyectiva
No sobreyectiva en R
No monótona
Sólo par si b = 0
Conjunto imagen intervalo [v;+) ó (-;v] Curva representativa parábola
145
2 Determine f(x) , si f : R R / f(x) = (k +m) x + 2 , función polinómica de 1er. grado, y
se sabe que: k Z , g(x) = (k-2) x2 – (k + 5) x + 4 – k , g tiene un único cero y su grá-
fica corresponde a una recta perpendicular a la curva gráfica de h / h(x) = 6x3
1
3 Dadas f : R R / f(x) = x+2-7
g : R R / g(x) = a x2 + b x +c con g(0) = 2 , g(2) = 0 y la abscisa del vértice
de la parábola representativa es 3/2 .
3-1] Represente gráficamente ambas curvas representativas de f y de g .
3-2] Determine en notación de intervalos el conjunto { x / x R f(x) > g(x) }
4 Las funciones cuadráticas:
g : R R / g(x) = 4x2 + ax + 1
h : R R / h(x) = 2bx
2 + 2bx - 1
Halle la distancia entre el máximo valor de h(x) y el mínimo valor de g(x) , si se sabe que g tiene
ceros opuestos y h tiene un único cero.
5 Un proyectil se dispara verticalmente hacia arriba con un a velocidad de 120 m/s. Su altura
sobre el suelo t segundos después del disparo está dada por: s(t) = – 4,9 t2 + 120 t .
5-1] ¿Para qué valores de t el proyectil asciende y para cuáles desciende?
5-2] Halle el instante en que el proyectil alcanza su altura máxima y calcúlela.
5-3] Indique el instante en que el proyectil alcanza los 50 m de altura.
5-4] Calcule el intervalo de tiempo que demora el proyectil en llegar al suelo.
6 Una compañía de TV por cable de acuerdo con un estudio de mercado sabe que el ingreso
mensual de la empresa cuando la tarifa es de x pesos mensuales viene dada por la ecuación:
r(x) = 500 (300 – x) . x
¿ Cuál es la tarifa máxima que puede cobrar a un cliente?, y ¿cuál debe ser la tarifa mensual para
que el ingreso de la empresa sea máximo ?
7 Se quiere construir una ventana que tenga la forma de un rectángulo, coronado por un semicírculo
cuyo perímetro sea de 12 m. Hallar las dimensiones que debe tener la ventana si se quiere que deje
pasar la mayor cantidad de luz posible(utilice como variable independiente el radio del semicírculo)
8 De todos los rectángulos de perímetro 8, halle las dimensiones del que tiene área máxima.
9 El número de km (M), que cierto automóvil puede recorrer con un litro de nafta, a una velocidad
escalar v km / h, está dado por v2
5v
30
1M
2 con 0 < v < 70
Indique la velocidad más económica para un viaje. Proporcione el valor máximo de M.
146
Función polinómica general
: R R / (x) = p(x) = j
xn
1jj
ao
a .
, a n constantes reales
Debido a la complejidad del estudio de estas funciones según su grado, que será estudiado en
Análisis Matemático I, no nos dedicaremos a ellas salvo algunas de grado 3, 4 y otras sencillas.
Función racionales no enteras (fraccionarias)
: R – Cq R / (x) =)x(q
)x(p ,con p(x) y q(x) polinomios y p(x) no es divisible por q(x)
Cq = { x / x R q(x) = 0 }
En particular nos dedicaremos a una de estas denominada homográfica en referencia a su curva
representativa :
: R – { c
d } R / (x) =
dx.c
bx.a
, las condiciones que indican que no es polinómica
son c 0 , a , b y d constantes reales además de que a . d b . c , ¿ por qué?
La curva representativa es una hipérbola:
Cuando x (perteneciente al dominio) toma valores
“cercanos” a –d/c , el número c.x+d se aproxima
a cero ( se dice que c.x+d tiende a 0 y se escribe
c.x+d 0) y el cociente (x) toma valores “muy
grandes” positivos o negativos o muy distantes del
del cero. Se observa que los puntos de abscisas pró-
xima a -d/c tienen ordenadas “muy grandes”positivas
o negativas .Luego si x toma valores ”muy grandes”
positivos o negativos, los números b/x y d/x
tienden a cero, y su imagen (x) tiende a a/c :
Con x 0 , (x) = dx.c
bx.a
=
x
dx.dx
bx.a
=
x
dd
x
ba
Las observaciones analíticas nos permite deducir el comportamiento de la hipérbola acercándose a
las rectas de ecuación: x = -d/c e y = a/c que se las califica de asintóticas (privación de
coincidir) a la curva representativa, rectas asíntotas. Siempre debemos elaborar una tabla de pares
ordenados (x , (x)) del conjunto gráfica de la función.
147
eee jjj eee mmm ppp lll ooo sss 1] 2]
3] 4]
ejercicios
1 Identifique, en el último ejemplo, las representaciones gráficas de las funciones de ecuación
explícita, complete con el número de orden dado:
(x) = 2x2
1x4
[ ] , g(x) =
x
2 [ ]
h(x) = 4x2
3
[ ] , j(x) =
3x
1
[ ]
Características de las funciones de este tipo ,en el
dominio más amplio R-{-d/c}:
Inyectiva
No sobreyectiva en R (sobreyectiva en R-{a/c} )
Carece de paridad solo si a=d= 0 es impar
Conjunto imagen R – {a/c} Curva representativa hipérbola
148
2 f : R - { -3,-2,-1,0} R / f (x) =4bx
5ax
Halle los reales a y b , dibuje la curva representativa de f y determine If si se sabe que f(1) = 3
y f(-1) = 2/3
3 g: R R / g (x) = ( a+b) x - 2
Determine los reales a , b y grafique la curva representativa de g , si se sabe que (2a – b,3a +b)
es el punto intersección de las rectas asintotas a la gráfica de h tal que h(x) = x1
2x3
4 En un estanque que contiene agua pura, fluye agua salada de modo tal que la concentración de
sal en un tiempo t está dada por:
c(t) = 100t10
t
t > 0
Grafique la representación de c , y analice el comportamiento de la concentración de sal cuando t
toma valores “muy grandes” (idealmente).
Funciones usuales (no algebraicas) trascendentes
Función exponencial
: R R / (x) = a . bx + c , a 0 , b R+ - { 1 } y c constantes reales
La curva representativa (exponencial) es de ordenadas estrictamente crecientes o estrictamente
decrecientes. Analizamos la ecuación cartesiana que la describe:
y = a . bx + c , y – c = a . b
x
como a 0 , b R+ - { 1 } y bx es siempre positivo , a . b
x tiene el signo de a ,
así las ordenadas de los puntos de la curva toman valores mayores (menores) a c :
a 0 a 0
y – c = a . bx 0 y – c = a . b
x 0
y - c 0 y - c 0
y c y c
Luego si x toma valores “muy grandes” positivos o negativos las respectivas imágenes (x) se
“acercan” a c o toman valores “muy grandes” según la base de la potencia ( b ), sea menor o
mayor a 1 . Analícelo y no olvide de realizar una tabla de valores de las coordenadas. Nos queda
por indicar que esta curva tiene una recta asíntota de ecuación: y = c .
149
eee jjj eee mmm ppp lll ooo sss
1] 2]
3] 4]
ejercicios
1 Identifique, en el último ejemplo, las representaciones gráficas de las funciones de ecuación
explícita, complete con el número de orden dado:
(x) = 4x - 1
-5 [ ] , g(x) = - 5x -1 [ ]
h(x) = - 2x + 3 [ ] , j(x) = 3 . 2,1
x + 1 [ ]
Características de las funciones de este tipo
,en el dominio mas amplio R:
Inyectiva
No sobreyectiva en R
Monotonía según b y a .
Carece de paridad
Conjunto imagen (-;c) ó (c;+)
Recta asíntota de ecuación: y = c
150
2 Dada f : R - [0 ; 5] R / f (x) = 3 a x - b
.Determine a y b si se conoce las dos imágenes
f (1)=1/ 3 y f (2) = 3 .
3 La función p de ecuación: p(t) = p0. e k t
( k > 0 ), describe el primer mes de crecimiento
de la cosecha de algodón p(t) representa el peso total en miligramos (fuerza), p0 es el peso del
día de su aparición y t es el tiempo en días. Si para una especie de algodón que se cultiva en el
Chaco: k=0,2 y p= 68 mg; determine la intensidad peso al cabo de 30 días.
4 La población N(t) en millones de personas y t (en años), después de un estudio realizado en
1980, se puede calcular mediante la ecuación: N(t) = 227 e - 0,007 t
¿ cuándo llegará al doble?
5 Si p denota el precio de venta en pesos de un artículo y x la demanda correspondiente (número
de piezas vendidas por día), la relación entre p y x está dada en determinadas circunstancias por
p = k . e – a x
( k y a constantes positivas ).
Exprese a x en función de p.
El aumento de la altura de ciertas especies de coníferas se describe a menudo mediante:
t2,0
e.2001
120h
, h representa la altura (en metros) y t la edad de la conífera (en años).
Responda: ¿cuál será la altura a los 10 años? y ¿a qué edad medirá 50 m?
ejercicio
Determine la función inversa de las siguientes funciones biyectivas:
: R R / (x) = 2x - 3/2
g : R – { -3 } R - { 2 } / g(x) = 3x
1x2
h : R – { 4 } R - { -1 } / h(x) = 4x
2
– 1
j : R R / j(x) = 3 5x2
k : R R / k(x) = -3 x5 + 10
l : R+ (-3 ; +) / l(x) = x2 - 3
151
Deducimos las ecuaciones explícitas de la imagen de funciones inversas de dos funciones
exponenciales:
f(x) = 2. 3x –1 g(x) = 2
x – 3 + 6
y = 2. 3x –1 w = 2
x - 3 + 6
y + 1 = 2. 3x w - 6 = 2
x - 3
log 3 2
1y = log 3 3
x log 2 ( w -6) = log 2 2
x - 3
log 3 2
1y = x log 2 ( w - 6) = x – 3
log 2 ( w - 6) + 3 = x
Recordamos que: F -1
o F (x) = id(x) = x = F –1
( F(x) )
log 3 2
1y = x = f
–1( f(x) ) = f
–1( y ) log 2 (w - 6) + 3 = x = g
–1( g(x) ) = g
–1 ( w )
f –1
( y ) = log 3 2
1y g
–1( w ) = log 2 (w - 6) + 3
La función inversa de una función exponencial biyectiva es la función trascendente logarítmica.
Función logarítmica
: R+ R / (x) = a . log b x + c , a 0 , b R+ -{ 1 } y c constantes reales
ejercicio
Identifique las representaciones gráficas de las funciones de ecuación explícita, complete con el
número de orden dado:
(x) = log2 x [ ] , g(x) = ½ log 3 x – 1 [ ]
h(x) = 3 ln x – 5 [ ] , j(x) = 2 - log x [ ] 1] 2]
152
3] 4]
ejercicios
1 Grafique las siguientes funciones logarítmicas e indique su monotonía estricta
h : R+ R / h (x) = xlog 2 , t : R+ R / t (x) = xlog
2
1
Extraiga conclusiones sobre la monotonía de F / F(x) = log b x :
Si b ( 0 ; 1) entonces F es ................................................................................
Si b (1 ; +) entonces F es .................................................................................
2 Determine los dominio (más amplios). Indique el movimiento en el plano cartesiano de la
curva representativa de h o de t ; deduzca en todos los casos la función inversa .
r : R+ R / r (x) = - xlog
2
1 u : R+ R / u (x) = - xlog 2
s : A R / s (x) = )1x(log 2 k : B R / k (x) = )1x(log 2
v : A R / v (x) = )1x(log
2
1 w : B R / w (x) = )1x(log
2
1
j : R+ R / j (x) = 1xlog 2 ñ: R+ R / ñ (x) = 1xlog
2
1
Características de las funciones de este
tipo, en el dominio más amplio R+:
Biyectiva Monótona
Carece de paridad
Conjunto imagen R
Recta asíntota ecuación: x = 0
153
3 g : E R / g(x) = )ax(log
3
1 , h : E R / h(x) = xlog
3
1
Se sabe que g(8) = -1 y el dominio es el mismo conjunto E (más amplio). Determine el conjunto
imagen de h y el conjunto { x / x E )ax(log
3
1 17x2log
3
1 }.
4 Complete la tabla:
Imágenes de funciones Dominio (más amplio) Ceros
d(x) = log ( x+2)-log ( x+3)
h(x) = 2x
3xlog
t(x) = log 1x2
r(x) =xlog
2
p(x) = xlog
u(x) =log 5x
w(x) = log ( 3+ 2 x2 + 7x)
Algunas funciones irracionales
ejercicio
Determine el dominio de las siguientes funciones:
g : A R / g(x) = 7x2 s : E R / s(x) = 2x
4x
h : B R / h(x) = 2
x9 u : H R / u (x) = 3 3
xx
f : C R / f(x) = 3 3x
1x
m : J R / m (x) = 3x2x
k : D R / k(x) = 4x5x
3x22
t : K R / t(x) = )5x).(2x(
154
Funciones trascendentes trigonométricas
(x) = sen x ejercicio
- 3 p
- 2 - 2 3 x
-1
1
y
Función seno
: R R / (x) = a . sen ( b . x + c )
, a 0 , b 0 y c constantes reales
El número |a| se denomina amplitud de la curva(onda)
sinusoide. Para bosquejar esta curva hacemos una tabla
que nos permite determinar cinco puntos destacables de
un arco (segmento de la onda) y debido a la periodicidad
de la función este arco se “repite a lo largo de eje x”:
x y b . x + c sen ( b . x + c)
a
b 0 0 0
a
b2/ a /2 1
a
b 0 0
a
b2/3 -a 3 /2 -1
a
b2 0 2 0
Deducimos el período
(en este caso denominado longitud de la onda): | (2 - b)/ a - (- b/a ) | = 2 / |a| = p
Características de las funcio-
nes de este tipo, en el dominio
más amplio R:
No inyectiva
No sobreyectiva
No monótona
Periódica
Solo es Par si c = 0
Conjunto imagen [-|a|;|a|]
Curva representativa Sinusoidal
No tiene recta asintótica
Considere la curva gráfica de
la izquierda y dibuje las repre-
sentaciones de las funciones:
g : R R / g(x) = 2 sen x
h : R R / h(x) = 3 sen x
j : R R / j(x) = - sen x
t : R R / t(x) = -2 sen x
155
ejercicios
2] 3] 1]
2 Represente la curva gráfica de las siguientes funciones escalares.
j: R R / j(x) = sen (3x-1) m: R R / m(x) = -2 sen (2x+4)
g: R R / g(x) = | sen x + 1| h: R R / h(x) = | sen (2 x) |
f : R R / f(x) = | -2 sen (x + 1) |
Función coseno
: R R / (x) = a . cos ( b . x + c ) , a 0 , b 0 y c constantes reales
El nombre del número trigonométrico coseno de (cos ) se debe a que corresponde al seno
de la medida del ángulo co mplementario. Dos ángulos son complementarios si la suma de sus
medidas es /2 ( en sistema sexagesimal 90 ) se complementan para formar un ángulo recto.
Otra importante observación es que los cosenos de ángulos opuestos son iguales:
cos = cos (- )
1 Identifique las representaciones
gráficas de las funciones de ecuación
explícita. Complete con el número de
orden dado:
(x) = -4 sen ( 1,5 x) [ ]
g(x) = -3 sen ( x –2 ) [ ]
h(x) = 4,5 sen (x – 3) [ ]
156
Por lo indicado cos = sen (½ - ) ó sen = cos (½ - )
y
cos = -sen ( - ½ ) ó sen = cos ( - ½ )
, así se cumple que :
(x) = a . cos ( b . x + c ) = a . sen ( b . x + c - ½ )
La curva representativa (del coseno) es una sinusoidal trasladada (de la del seno correspon-
diente)
(x) = cos x g(x) = sen x
3 2 2 3 x
-1
1
y
- 3 p
- 2 - 2 3 x
-1
1
y
ejercicios
1 En un mismo plano cartesiano ortogonal graficar las curvas representativas de los siguientes
pares de funciones:
g : R R / g(x) = 2 cos (3x –2)
h : R R / h(x) = 3 cos (3x –2)
f : R R / f(x) = - cos x
t : R R / t(x) = - 2 sen x
m : R R / m(x) = cos (2x)
u : R R / u(x) = - cos (2x +1)
j : R R / j(x) = 4 cos (x +½ ) + 1
k : R R / k(x) = - 4 sen x – 3
2 El número de horas de luz del día para una región se relaciona con el día del año de la siguiente
manera: H(d) = 12 + 2,5 sen
)81d(
365
2 ,
donde H(d) es el número de horas con luz del día correspondiente a d, día del año si 1 es el
primero de enero.
Determine el dominio de la función trigonométrica, que contiene la información de un año.
¿ Qué día o días del calendario son los que tienen mayor luz ambiente? , ¿ y los de menos luz?
157
3 La temperatura promedio diaria de una región está dada por la ecuación:
T(d) = 20 + 10 cos
)140d(
365
2 ,
donde T(d) es el promedio de temperatura diaria para un lugar del país (en grados centígrados)
y d es el día del año, cuando d es 1 corresponde al primero de enero.
Determine el dominio de la función trigonométrica.
¿Qué días del calendario son los que tienen mayor temperatura promedio? y ¿la diferencia o
variación entre los promedios de temperatura máxima y mínima?
Identidades para tener en cuenta:
Coseno de la diferencia cos ( - ) = cos . cos + sen . sen
Coseno de la suma cos ( + ) = cos . cos - sen . sen
Seno de la diferencia sen ( - ) = sen . cos - cos . sen
Seno de la suma sen ( + ) = sen . cos + cos . sen
ejercicio
Justifique y compruebe las siguientes identidades trigonometrícas:
sen (2x) = 2 sen x . cos x cos (2x) = cos 2 x – sen
2 x
cos (2x) = 1 – 2 sen 2
x cos (2x) + 1 = 2 cos 2 x
eee jjj eee mmm ppp lll ooo sss iii lll uuu sss ttt rrr aaa ttt iii vvv ooo sss
Determinamos el dominio de cada una de las siguientes funciones incluido en el intervalo [0 ;2)
n : D [0 ; 2) R
1] 1 (x) = 1xsen
1
, sen x + 1 0
sen x -1
en el intervalo [ 0 ; 2 ) : x 23 , x [ 0 ; 23 ) ( 23 ; 2)
D = [ 0 ; 23 ) ( 23 ; 2 )
2] 2 (x) =3xcos4
62
, 4 cos2 x - 3 0
cos2 x
4
3 , cos x
2
3
158
cos x 2
3 cos x -
2
3
por negación consideramos cos x =2
3 cos x = -
2
3
en el intervalo dado ( x = 61 x = 611 ) ( x = 65 x = 67 )
volvemos a negar :
x 61 x 611 x 65 x 67
D = [ 0 ; 2 ) – { 61 , 611 , 65 , 67 }
3] 3 (x) =xeccos2
1
. Recordamos que: cosec x = ( sen x )
- 1
el divisor: 2 – cosec x = 2 - xsen
1 =
xsen
1xsen.2
2 sen x 1 sen x 0
sen x ½ sen x 0
(x 61 x 65 ) (x 0 x )
D = [0 ; 2) -{ 0 , 61 , , 65 }
4] 4 (x) = 1xtg3
1
2 =
1xcos
xsen3
1
2
2
0xcos01xcos
xsen3
2
2
2
tg2
x 1/3 cos x 0
| tg x | 3
3 cos x 0
tg x 3
3 tg x
3
3 cos x 0
( x 61 x 611 x 65 x 67 ) (x /2 x 3/2)
D = [0 ; 2) – { 61 , /2 , 67 ,3/2 , 611 , 65 }
ooo ttt rrr ooo eee jjj eee mmm ppp lll ooo h : R R / h(x) = sen x
g : R R / g(x) = cos x
el conjunto de ceros de cada función es : Ch = { x/ x R x = k k Z }
Cg = { x / x R x = ½ + k k Z }
159
Si tenemos presente estos conjuntos podemos determinar los dominios (más amplios en R) de las
funciones (cocientes): tangente, cotangente, secante y cosecante:
: R – Cg R / (x) = tg x = x
x
cos
sen
La curva representativa es:
-3 3339.
43
-2 - 2 3 x
-10
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
7.5
10 y
ejercicios
1 Observando las curvas gráficas complete el siguiente cuadro:
Conjunto
Dominio
Conjunto
Imagen
Conjunto
de ceros
Ecuación
de asíntotas
Paridad
r(x) = sec x
m(x) = cosec x
j(x) = cotg x
j(x) = cotg x m(x) = cosec x
-5/2 -3/2 -/2 /2 3/2 5/2 x
-10
-5
5
10 y
-3 -2 - 2 3 x
-10
-5
5
10 y
Observe que cuando x toma valores
próximos a ½ + k ( k Z) , el número cos x se acerca a cero y
(x) toma valores “muy grandes” ,
por lo que existen rectas asintóticas, a
la curva, de ecuación:
x = ½ + k
160
r(x) = sec x
-5/2 -3/2 -/2 /2 3/2 5/2 x
-10
-5
1
5
10 y
2 Dadas las ecuaciones explícitas de las imágenes de funciones trigonométricas, determine:
2-1] el conjunto dominio de las siguientes funciones incluidos en el intervalo [ 0 ; 2 )
m(x) =x
1
2sec
n(x) = 2x
5
2 sec- q(x) =
1x
1
tg
r(x) = x
x
sen
tg s(x) = xsen t(x) = 2 cosec x - tg x
2-2] el conjunto de ceros, si el dominio esta incluido en [ 0 ; 2 )
f(x) = sen x + cos x- 1 p(x) = sen2 x + sen x - 2 g(x) = tg x . sen x - sen x
l(x) = 3 cos x - 3 sen x h(x) =sen2 x – cos
2 x v(x) = cosec x . cotg x - cotg x
Funciones inversas trigonométricas: arco seno, arco coseno y arco tangente
Indicamos las funciones biyectivas usuales seno, coseno y tangente, y sus respectivas inversas
trigonométricas denominadas arco seno, arco coseno y arco tangente. Cuyas imágenes están
registradas en cualquier calculadora científica, con las teclas [sin-1
], [cos-1
] y [tan-1
], según el
sistema de medición de ángulos: sexagesimal [deg] o circular [rad].
Las curvas gráficas de las funciones trigonométricas biyectivas usuales (------) y sus
respectivas inversas( ) , simétricas con respecto a la recta de ecuación y = x , son:
161
-3/2 - -/2 /2 3/2 x
-3
-2
-1
1
2
3
y
-/2 -1 1 /2 x
-3
-2
-1
1
2
3 y
-/2 -1 1 /2 x
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5 y
ejercicio
Determine las medidas de los ángulos interiores y un lado, de los triángulos rectángulos:
C F I
H
| AB |=24 | DE |=57 | GH |=20
| BC |=84 | EF |=65 | HI |=44
A B D E G
L : (½ ; ½ ) R / L(x) = tg x
L-1
:R (½ ; ½ ) / L-1
(x) = arctg x
H: [ 0 ; ] [ -1 ; 1 ] / H(x) = cos x
H-1
:[-1 ; 1] [0 ; ] / H-1
(x) = arccos x
G: [½ ; ½ ] [-1 ; 1] / G(x) = sen x
G-1
:[-1 ; 1] [½ ;½ ] / G
-1(x)=arcsen x