Libro Matematica Basicas 1

8/18/2019 Libro Matematica Basicas 1

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Prof. Salinas Aquije Teólo

UNI –FIEE2014-2

MATEMÁTICA 1


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LIMITES DE UNA FUNCIÓN

El concepto de límite de una función es la idea fundamental del cálculosuperior, es la más importante por construir la ase del cálculo diferencial einte!ral"#a noción de diferenciación se $a desarrollado durante si!los, dedicados aestudiar prolemas como el de ma%imi&ar ', minimi&ar funciones" (us orí!enesse encuentran en la cultura !rie!a, pero es en el si!lo )*II cuando +ierreFermat 101-1./ concie la recta tan!ente como la posición límite de lasecante" ás adelante Neton 142-12/ ' #eini& 14-11/independientemente formali&an el cálculo diferencial"

CONCEPTOS PREVIOS 3opolo!ía en IVecindad: Es el inter5alo aierto de centro %0 ' radio δ 60.

X 0−δ X 0 X 0−δ

Notación7

a X 0=a+b2

b

Enorno: es cual8uier inter5alo aierto tal 8ue un n9mero real %0 pertenece adic$o inter5alo, siendo %0 no necesariamente el centro"

Notación:

Pro!osición: 3odo entrono de %0 contiene una 5ecindad :V (x0) с N(x0)

d d

a X 0 X 0+d b

с :asta ele!ir 7

Vd(x0) = < x0 – ; x0 + > ; X є V (x0) Ix- x0

N(x0) = ; x є N(x0) x0 є

d=min {|b− x0|;| x0−a|}


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Vecindad reducida:Es el inter5alo aierto con centro en %o donde se retira elpunto %o

Notación:

Pro!osición: ;ados F ( x ) un sucon


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IDEA DEL LÍMITE DE UNA FUNCION EN UN PUNTO 3omemos como e ;om F I- J-1K> %C -1

• LMu sucede cuando x→−1 con las

imágenes F ( x)? (e sae 8ue F%/ puede adoptar la si!uiente forma F%/

( x+1 )( x2− x+1)( x+1)

= x2− x+1

O - 34=( x−

1

2)2

#as apro%imaciones tanto por i&8uierdacomo por derec$a a %0 -1 nos indican 8ue F%/tiende o se apro%ima a #, si % se acerca a %0entonces F%/ se acerca a #P se puede decir8ue7

para la

derec$a% F%/

0 1-0". 1".-0"Q 2"44-0"R 2"1

-0"RRQ 2"RR4


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El límite de F%/ cuando % tiende a -1 es P"

Notación: lim x → x0

F ( x )= L

#a idea de límite se relaciona con la apro%imación"

DEFINICION DEL LÍMITE DE UNA FUNCION EN UN PUNTO

;ada una función F se dice 8ue el límite de la funciónF en un punto %0 %0 ? ;om F o no/> es el numero # ?I"(i ' solo si para todo A60, e%iste 60 tal 8ue % ?;omF ∧ 0I %- x0 I 6 I F%/ – #I AEs decir7

Obs:

(i ele!imos =2= máx. {; 2} x

F ¿ / / no pertenece *A #/

6 e%iste un asurdo por lo cual =máx. no es adecuado" (iele!imos ==m!" {; 2} F%/ ? *A #/ se dee encontrar un

a tal 8ue la ima!en 5ía F de la 5ecindad reducida * ’(x0) 8ueestá contenido en el dominio de F se ui8ue dentro de*A #/ F%/ ? *A #/ F *G%0/ H ;om F @*A #/F=/ @ *A#/ 6 I F%/ – #I A para todo % ? = @ dom F .

lim x → x

F ( x )= L ∀ A60, ∃ 60 S % ? ;om F ∧ 0I %- x0 I


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=m!" = es el adecuado tamin se puede ele!ir los δ i tal8ue 0 < !


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Nota: ' lim F ( x)= L s!*"!!&a ,# a/a >0 dad% (s!" !m%/$a/ ,# $a" #,#1% s#a)#x!s$# " &%//#s%"d!#"$# 60"

TEOREMAS DE LÍMITES

a/( F ! ) ( x )= lim

x→ x 0

F ( x ) lim x → x0

! ( x )=¿ L1 L2

lim x → x0

¿

/

F ( x )! ( x )

lim x→ x 0

¿= L1

¿

¿lim x→ x0

¿ .¿

( F .!) ( x )=¿lim

x → x 0

¿

c/ (i #2 C0

(i lim x → x 0

F ( x )= L1 > lim x → x 0

! ( x )= L2 ' %0 += .DomF∩Dom!


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en"on#es lim x → x 0

1

! ( x)=

1

lim x → x0

! ( x )=

1

L2

d/ (i #2 C0

lim x → x 0

F ( x )

!( x)=

lim x → x 0

F ( x )

lim x → x0

! ( x )=

L1

L2

e/ lim x → x 0

$ F ( x )=$ lim x → x0

F ( x )=$ L1 , W es una constante

f/

Fi ( x)

∑i=1

n

¿=∑i=1

n

Li

¿¿

lim

x → x 0

¿

!/

Fi ( x )

∏i=1

n

¿=∏i=1

n

Li

¿¿

lim x → x0

¿

$/ (ea F%/Wlim

x → x 0

F ( x )= lim x→ x 0

$ =$

TEOREMA DE LA UNICIDAD DEL LÍMITE

(i el límite de una función en un punto si e%iste es9nico"

TEOREMA DEL SANDWICH

#lamado tamin trian!ular o del emparedado"N%0/a> 6 donde las %&n#iones F ,!' ( están deTnidas tal

)&eF ( x)*!( x )* ( ( x ) , para todo % ? a> 6

+ie lim x → x0

F ( x )= L1 ' lim x → x0

F ( x )= L2

→ L1= L2

+ie lim x → xo

F ( x )= lim x→ x0

( ( x )= Len"on#es lim x → x0

! ( x )= L


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I3I4' 5' 6N7 86N9ION 9O36'47

+i lim x → x0

% ( x )= L ' lim - → -0

g ( - )= x0 s# &m# ,#

!) 0 #s " "$% d# a&ma&!" d# d%m!"!% d# % 0 g

2!) ! #x!s$# " "m#/% #>0 $a ,# 0


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eempla&ando %1n(n+1)

2

4

=n(n+1)

8

LIMITES LATERALESWuando se anali&a el limite por la derec$a o por la i&8uierda en un punto%0 se dice 8ue se está calculando los limites laterales"

"enición:(e dice 8ue L es el límite de una %&n#i1n % por la derec$a de %0 si dadoA60, e%iste 60 tal 8ue depende de ε ' %0/ si

x є Dom% ∩ ' 0


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Nota: (istema ampliado de los n9meros reales si a60 a V VX/ VX a V -X/ - Xa VX/ VX VX/ VX/ VX

VX/ V VX/ VX

;ee tener en cuenta 8ue X no es un n9mero real, solo es un símolo decarácter posicional, no es al!eraico ni aritmtico" #as formas

Indeterminadas, estas operaciones no se permiten, por8ue no se les puedeasi!nar 5alores 9nicos"

LIMITES INFINITOS Y LÍMITES AL INFINITOWuando decimos 8ue %YVX 5 %Y ZX o #&ando F ( x)→+/ 5 F ( x )→−/ sepresentan estos tipos de límites"

"enición:(e dice 8ue una función % ( x)→/ , en %0, si %0 es un punto de acumulación deldominio de la función ' para cada n9mero 60 e%iste un correspondiente >0tal 8ue F ( x )> 2 , siempre )&e x pertenece al dominio de la función ' el5alor asoluto de 0I %-%0I Notación

lim→

F ( x )=/ 3∀ 2 >0∃ 60 S si % ∈ dom F 0%-%0 Y


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"enición:Una función F se dice 8ue tiene límite ZX en % 0, si %0 es un punto deacumulación del dominio de la función ' para cada n9mero 60, e%iste uncorrespondiente n9mero >0 tal 8ue F ( x )


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"enición:

(e dice 8ue # es el límite de F en ZX si para cada n9mero A60, e%iste uncorrespondiente numero N0 tal 8ue I F%/ – #I A, siempre 8ue % ? ;omF '%N"

Notación

lim x → /

F ( x )= L 3∀ε>0∃ N0 S si % ∈ dom F ∩ %N YF%/-#


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LIMITES INFINITOS EN EL INFINITO

(e 5an a presentar 4 formas las cuales dan ori!en a las si!uientes deTniciones"

"enición:(e dice 8ue una función tiene límite inTnito en inTnito si para cada n9mero

2 >0 e%iste 5 >0, tal 8ue F ( x )> 2 siempre 8ue x є DomF ' x> 5 .Notación:

"enición: F tiene límite en -X si para cada n9mero 60 e%iste un n9mero 5


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REDUCCION DE UN LIMITE EN X0 A UN LIMITE EN CERO 3odo limite en %0 puede ser considerado como un límite en cero ' 5ice5ersa/ es

decir"

Nota: Es un teorema 8ue indica 8ue en al!unos e


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limm→+/

1

x .m8 (1+ 1m )(1+ 2

m )…(1+ xm ) x ( x−1 )8m 8

= ( x−1 )8

LIMITES TRIGONOMETRICOS

(i % ? 0> : 2

6

[rea =rea del sector circular +DM =rea +=>1

2 sin x

x

2<1

2 tan x

sin x


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1 x

sin x


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"enición#a recta '# es un asíntota $ori&ontal si se cumple 8ue

+

"enición:(e dice 8ue la recta 'm%V mC0 es un asíntota olicua ' un punto + de lacur5a tiende a 0"


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'( As)noa %&licua "erec*a

m lim x →+/

F ( x) x

lim x →+/

F ( x )−mx

+( As)noa %&licua I,quierda

m lim x →−/

F ( x ) x

lim x →−/ F ( x )−mx

E-P6 ∪ P>V />¿


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• =*"+¿

0+¿=+/ x →+3+¿¿

¿ lim¿¿

x →+3+¿ x2

√ x2−9¿

F 1 ( x )=¿ lim¿¿

x →+3+¿¿

x →−3−¿ x

2

0+¿=+/ lim

¿¿

¿ lim¿¿

x→−3−¿ x

2

√ x2−9¿

F 1 ( x )=¿ lim¿ ¿ x→−3−¿¿

lim¿¿

• =\

¿ lim x →+/

x2

√ x2(1−

9

x2)

=¿

F 1 ( x )=¿

lim

x →+/

x2

√ x2−9 ¿lim

x →+/¿

x2

¿ x∨√(1− 9

x2)

=¿

lim x →+/

¿

V /∄ A(


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¿ lim x →−/

x2

√ x2(1−

9

x2)

=¿

F 1 ( x )=¿

lim x →−/

x2

√ x2−9¿

lim x →−/

¿

x2

¿ x∨√(1− 9

x2)

=¿

lim x→−/

¿

V /∄ A(

• =D;

m

¿ lim x →+/

x2

x ( x)√(1− 9

x2)

=¿1

lim x→+/

x2

x √ x2−9¿

lim

x →+/

x2

√ x2−9 - %

lim

x →+/ x

2− x √ x2−9

√ x2−9"

x2−9

x2+ x √ ¿¿¿

( x2+ x √ x2−9)¿

x2−9

x2+ x √ ¿

¿√ x2−9¿lim

x →+/ x

4− x4+9 x2

¿

#17 '%


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• =DI

m

lim x→−/

x2

x

√ x

2−9¿ lim

x→−/

x2

x∨ x∨

√(1−

9

x2 )

lim x →−/

x2

− x2√(1− 9

x2)

=−1

lim

x →−/ x

2+ x √ x2−9

√ x2−9"

x2−9

x2− x √ ¿¿

¿( x2− x√ x2−9)¿

x2−9

x2− x √ ¿¿

√ x2−9¿lim

x →+/ x

4−( x4+9 x2)

¿

#27 '-%

2" (i F2%/ x

3

9− x2 % ? -P> P6

• =*" x

3

9− x2= −¿

0+¿=−/

x →−3+¿¿ F 2 ( x )

=lim¿ ¿

x →−3+¿¿lim¿¿


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x3

9− x2= +¿

0+¿=+/

x→3+¿¿ F 2 ( x )=lim

¿¿

x→3+¿¿lim¿¿

El dominio no permite =D, =\

O

X


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CONTINUIDAD

CONTINUIDAD DE UNA FUNCION EN UN PUNTO

ND3=7

Una función será continua en un punto %0 si se cumple 8ue71 f%0/ está deTnido es decir e%iste f en %02 No $a' saltos ni 5acíos en %0P E%iste el límite de f%/4 ;ic$o límite es i!ual al 5alor de la función e5aluado en dic$o punto"

En la !ráTca la función no dee presentar rupturas o saltos en su recorrido

;eTnición

#a función f es continua en %0 8ue pertenece al dominio de la función, si paracada A60, e%iste ]60 8ue depende de A ' de %0 tal 8ue |% ( x )− % ( x0)|=0


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% ( x )={ 8

| x3|,| x|>2

a x2+bx+# ,| x|


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1

% ( x )= L16 lim x→ x0

+¿% ( x )= L2

→∄ lim x→ x0

% ( x )

x→x0−¿¿

lim¿¿

2


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% ( x )= L16 lim x→ x0

+¿% ( x )= L2

¿

x →x0−¿¿

lim¿ ¿

0123( E2ISTE

P/

0123( E2ISTE% ( x )= lim

x→ x0+¿

% ( x )→∃ lim

x → x0

% ( x )

x → x0−¿¿

lim¿¿


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0123( E2ISTE

% ( x )6 lim x→ x0

+¿% ( x )

→∄ lim x → x0

% ( x )

x →x0−¿¿

lim¿¿

%-SEVACI4/:

En cada uno de los !ráTcos se oser5ó 8ue la función no es continua en %0,e%isten saltos o 5acíos en %0"+ara 8ue la función sea continua en %0 se puede resumir 8ue7

1 ` f%0/

2 lim x → x

0

% ( x )=% ( x0 )

CONTINUIDAD POR LA DERECHA Y POR LA IZQUIERDA

"E0I/ICI4/:

Una función f es continua por la derec$a en %%0 si7+ara todo A60, e%iste ]60 S % ? ;om f , % ? %0, %0V ]6Entonces f%/ – f%0/ Af%0/ está deTnido

x→ x0+¿

% ( x )=% ( x0 )lim¿¿

x→ x0

+¿% ( x)=% ( x0 )lim ¿


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"E0I/ICI4/:

Una función f es continua por la i&8uierda en %%0 si7+ara todo A60, e%iste ]60 S % ? ;omf , % ? %0 – ] , %0bEntonces f%/ – f%0/ Af%0/ está deTnido

x→ x0−¿ % ( x )=% ( x0 )lim¿¿

DEFINICION

;ada una función f con dominio ( ' % 0 ? (, f es continua en %0 si ' solo si f escontinua por la derec$a ' por la i&8uierda en %0

OPERACIONES CON FUNCIONES CONTINUAS

;adas dos funciones f%/ ' !%/ continuas en %aa f%/ !%/ es continua en %a" f%/"!%/ es continua en %a"c f%/S!%/ es continua en %a si !a/C0"

E5ECICI%: Usando asíntotas !raTcar

% ( x )={ 2√ x2−2( x−3)

x3−9 x

x∈−{−3 }

√ 2 x+4 x−5 x>5

x→ x0−¿ % ( x)=% ( x0 )lim ¿


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DISCONTINUIDAD

(e dice 8ue una función f%/ es discontinua en %a, si no es continua en dic$o5alor de %, es decir, no cumple las condiciones de continuidad"

TIPOS DE DISCONTINUIDAD

EVITA-#E(e presenta cuando e%iste el límite pero dic$o límite no coincide con el5alor de f e5aluado en %0, tamin se le llama discontinuidad remo5ileo e5itale"

ASI/T4TICA(e presenta cuando al!uno de los límites laterales o amos tienden alinTnito o al menos inTnito, puede ser asintótica por la derec$a, por lai&8uierda o por amos lados"

ESE/CIA##lamada tamin no e5itale se presenta cuando no e%iste al!unos de

los límites laterales o amos

"E SA#T%(e presenta cuando e%iste el límite por la derec$a ' el límite por lai&8uierda siendo amos Tnitos pero no coinciden"

TEOREMA DE BOLZANO

(i '= % ( x) es una función continua en el inter5alo a,b, siendo distintos lossi!nos de dic$a función en los e%tremos del inter5alo, es decir7 si!nofa/Csi!no f/, entonces e%iste c 8ue pertenece al inter5alo a,6 tal 8ue

fc/0"#lamado tamin teorema del cero"


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E5EMP#%: ;emostrar 8ue la ecuación %asen%V donde 0a, 60 tiene por lo menosuna raí& positi5a no ma'or 8ue aV"

(olución 7

(e deTne f%/ %-asen%- continua en f0/ 0-asen0- -faV/ aV – asenaV/ – a1-senaV//como 7senaV/1

a 1-senaV//0 faV/60 f0/0f0/0 faV/entonces e%iste r 8ue pertenece a 0,aV6 tal 8ue fr/0es decir r es una raí& positi5a, no ma'or 8ue aV tal 8ue %asen%V

TEOREMA

(ea f una función continua en el punto a+i lim

" →" 0

g (" )=a t0 es un punto de acumulación del dominio de fo!

en"on#es lim" →" 0

% (g ( " ))=% lim" →" 0

g (" )= % (a)

TEOREMA

(i f es una función continua en el inter5alo a,b, entonces f%/ alcan&a elmá%imo ' el mínimo asoluto en dic$o inter5alo, donde % ? a,b

TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO#a "a "&!" &%"$!"a s%b/# [ a ,b ] @ s! % (a )< % (b ) ' si @ ∈ $a ,#

% (a )


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CONTINUIDAD EN UN INTERVALO(e dice 8ue una función f es continua sore un inter5alo I c ;omf si la funciónrestrin!ida fI/ es continua en todo punto del inter5alo I"

FUNCIONES ACOTADAS

"E0I/ICI%/ES:

1 Una función f se dice 8ue es acotada superiormente, sore un con


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En los !ráTcos se oser5a una recta tan!ente a la !ráTca de una cur5a en elpunto x0 , % ( x0)¿ tamin e%iste una recta tan!ente en el punto + 8uepertenece a la se!unda !ráTca"

D!"#"$"%#&(ea una función % continua en %0, la pendiente m%0/ de la recta tan!ente a

la cur5a con ecuación '= % ( x) en el punto +0%0,'0/ está dado por 7

m( x0)= lim x → x0

% ( x )−% ( x0)

x− x0siempre 8ue el limite e%iste B1/


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En el !raTco cuando el punto M se apro%ima a +, % tiende a %0 ' la rectasecante tiende a ser la recta tan!ente"En el límite la pendiente de la recta tan!ente si e%iste se puede e%presar como7

m( x0)=lim x→ x0

% ( x )−% ( x0)

x− x0

+i lim x → x0

% ( x )−% ( x0)

x− x0= / """2/

#a recta tan!ente está dada por x= x0Wuando no se cumple 1/ ni 2/, entonces no e%iste una recta tan!ente a la!ráTca de f en el punto +0%0,'0/ ien deTnida"

"E0I/ICI4/:(i e%iste un n9mero real m, se deTne la recta tan!ente a la !ráTca de f en el

punto %0,'0/

#T : '− '0=m( x− x0)

"E0I/ICI4/:(e deTne la ecuación de la recta normal en el punto +0%0,'0/ si mC0

#/ : '− '0=−1

m

( x− x0)

LONGITUDES DE SEGMENTOS RELACIONADOS CON LA RECTA TANGENTE Y LARECTA NORMAL

#T : '− '0=m( x− x0)

#/ : '− '0=−1

m ( x− x0)


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SEGMENTO TANGENTEEs la lon!itud del se!mento comprendido entre el punto de tan!encia ' elpunto de intersección de la recta tan!ente con el e


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lim x → x0

% ( x )−% ( x0)

x− x0=lim

9→ 0

% ( x+9 )−% ( x)9

=% C ( x )

"E0I/ICI4/:#a pendiente de la recta tan!ente a una cur5a 'f%/ en el punto %0 es laderi5ada de f e5aluado en %0"

%&s: '−% ( x0)

x− x0= % C ( x0 )=m( x0)

;onde7

#T : 6 12370123( ( 8 T1' 7 0 9123( ( T ; <

TEOREMA

El valor de la derivada en cualquier punto de una curva es iguala la pendiente de la tangente a la curva en aquel punto"

E5EMP#%:

(ea % ( x )=| x−a|+b a5eri!uar si tiene deri5ada en a, /

lim9→0

% ( x+9 )−% ( x )9

=lim9→0

(|a+9−a|+b )−(|a−a|+b)9

lim9→0

|9|9

(i $60 Y |9|=9→ lim9→0

|9|9 =1

(i $0 Y |9|=−9 → lim9→0

|9|9 =−1

∄ lim9→ 0

% ( x0+9)−% ( x0)9

→∄imi"e(a ,b)

No e%iste la deri5ada en el punto a, /

'−% ( x0) x− x

0

= % C ( x0 )=m( x0)

#T $ 6 1237f123( ( 8 1' 7 f 9123( ( ;


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E5EMP#%(ea % ( x )=a−( x−a )2 ";etermine la deri5ada en el punto c,d/ Wonsidere a, ,c ¿ 0 /

(olución

DIFERENCIABILIDAD Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCION EN UN PUNTO(i una función % es continua en un inter5alo a, b entonces nonecesariamente será deri5ale en todo punto 8ue pertenece a dic$o inter5aloes decir en a, 6/"

(i una función f es deri5ale en a, 6 entonces es continua en todo punto8ue pertenece a, 6"

TEOREMAS SOBRE DERIVADAS

1 (ea f%/ c c es una constante/

% C ( x )=lim

9→0

% ( x+9 )−% ( x )9

=lim9→0

#−#9 =0

Entonces fG%/ 0

2 (i % ( x )= x= 4 ( x)

% C ( x )=lim

9→ 0

x+9− x9

=1

P (ea % ( x )= xn , nϵ 5

% C ( x )=lim

9→ 0

( x+9)n− xn

9 =lim

9→0

(n0) xn+(n1) xn−1 9+…+(nn)9n− xn9

% C ( x )=n xn−1

4 (% g )C ( x )= % C ( x ) gC ( x)

. (% . g )C ( x )=% C ( x ) . g ( x )+ % ( x ) . gC ( x)

( % g )C

( x )=%

C ( x ) . g ( x )−% ( x ) g C ( x)

g ( x)2 , g( x )60

DERIVADAS LATERALES


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"E0I/ICI4/:(ea f una función continua deTnida en x= x0 entonces

9→0+¿ %

( x

0+9

)− % ( x0)

9

x→ x0

+¿ % ( x )− % ( x0 ) x− x

0

=lim¿¿

% +¿ ( x0 )=lim

¿¿

¿

Si el l)mie e=ise 1deri>ada laeral !or la derec*a(

"E0I/ICI4/:

(ea f una función continua deTnida en x= x0 entonces

9→0−¿ % ( x0+9 )−% ( x0)

9

x→ x0−¿ % ( x )−% ( x0 )

x− x0=lim

¿¿

¿ % −¿C

( x0 )=lim¿¿

¿

Si el l)mie e=ise 1deri>ada laeral !or la i,quierda(

TE%EMA (i f es una función continua en x= x0 ' si f G x0 / e%iste entonces

% E+( x0)=% E−( x0)

DERIVADA DE UNA FUNCION EN FORMA IMPLICITA' DERIVACION IMPLICITA(Wuando se ten!a una e%presión donde no se puede lo!rar un '= % ( x ) deforma e%plícita entonces para poder deri5ar consideramos como funciones a

x e ' "

9→0+¿ % ( x0+9 )−% ( x0)

9+¿ % ( x )−% ( x0 )

9→0−¿ % ( x0+9 )−% ( x0)

9

−¿ % ( x )−% ( x0


41/117

E5EMP#%:

"adas las cur>as$ 1 :4 '

3− x2 '− x+5 '=0

$ 2 : x4−4 '3+5 x+ '=0

?allar el @nulo que forman al inerce!arse en el orien decoordenadas.

S%#BCI4/:En W17

12 '2 d'

dx− x2

d'

dx− ' .2 x−1+5

d'

dx=0

d'

dx=

1+2 x'

12 '2− x2+5

m1=d'

dx| x=0 '=0

=1

5

En W27

4 x3−12 '2

d'

dx +5+

d'

dx=0

d'

dx=−5−4 x2

−12 '2+1

m2=d'

dx| x=0 '=0

=−5

Womo7 m2"m1-1 las rectas tan!entes a W1 ' W2 en 0,0/ forman un án!ulo deR0g"

'A'3O

Da)a *a $+,-a % ( x )= x| x2−1|−12 . x


42/117

# * 3+#2 '=.=( : *a a17#22a 8,"9#2a* # *a 5,4!"$a )

% ( x )= x2− x+1

2 x2+ x+1

DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS4/abaam%s &%" "a d# as "&!%"#s@ %/ ##m% senx

+ea % ( x )=sen x

% C ( x )=lim

9→0

sen ( x+9 )−sen( x )9

=lim 9→0

sen(9

2)

9

2

cos (9

2+ x)

% C (senx )=#osx

;e manera similar se traa ' $%/

PROPIEDAD

% C ( x )=lim

9→0

sen ( x+9 )−sen( x )9

=lim 9→0

sen(9

2)

9 cos (

9

2+ x)

D (% ₒ G g )= D % ( g ( x ) ) D(g ( x ))

d-

dx=

d-

d" .

d"

d .

d'

dx


43/117

Dx|g( x )|= g ( x )

|g ( x )|.g

C ( x ) +ara todo !%/ C 0

%-S:

• +i % ( x )=eg ( x)→% C ( x )=eg ( x ) . gC ( x)

• +i % ( x )=ln ( g ( x ) )→ % C ( x )=

1

g ( x ) . g

C ( x ) , g ( x)60

E5EMP#%:

'= x x x

\allar ' G

Ln'=ln x x x

= x x Lnxln( Ln' )=ln ( x x Lnx)ln ( Ln' )=ln x x+ln( Lnx)ln ( Ln' )= xLnx+ ln( Lnx)

"eri>ando:1

Ln' . 1

' . '

C =1+ Lnx+ 1

Lnx .1

x

'C =(1+ Lnx+ 1 xLnx ). x x

x

. x x Lnx

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

(ea f G J x , ' , /S ' f %/ K(e considera a fG como una nue5a función cu'o dominio es un sucon


44/117

/%TACI4/:

D

(¿¿ xn−1 % )=% n ( x )=

dn%

d x

n

'n= D x

n% = D x¿

E


45/117

"""

&n=∑

@ =0

n

(n@ ) % (n−@ )

. g(@ )

Ejem!lo: ?alle la deri>ada de orden +3' de u1=(

&=( x3+2 x−3)senx

D x2013 (( x3+2 x−3 ) senx )=∑

@ =0

2013

(2013@ ) D2013 (senx ) . D @ ( x3+2 x−3)

3omando g= x3+2 x−3g C =3 x2+2 % =senxg

C C =6 x % C =#osxg

C C C =6 % C C =−#osx

gC C C C =0 % C C C =senx

(20132 ) D2013

senx.D0 ( x3+2 x−3 )+(20131 ) D

2012senx.D

C ( x3+2 x−3 ) V

(20132 ) D2011

senx.DC C ( x3+2 x−3 )+(20133 ) D

2010senx.D

C C C ( x3+2 x−3 )

¿(2013

0 ) (−#osx ) ( x3

+2 x−3 )+(2013

1 )(−senx ) (3 x2

+2)+¿

(20132 )( #osx ) (6 x )+(2013

3 ) (senx ) (6 )

DIFERENCIALES


46/117

% ( x+9 )=% ( x )+9 % C ( x )+9∅( x , 9)

lim9→0 9 (∅ ( x ,9 ) )=0% ( x+9 ) H % ( x )+9( % C ( x))

E5EMP#%: Usando diferenciales calcular apro%imadamente

I=√ 81,2√ 81,2

I= % ( x )=√ x√ x= x3

4

% C ( x )=3

4 x

−14

% ( x+9 )=% ( x )+9( % C ( x ))

% (81+0.2)=813

4+0,2(3

4 81

−14 )

% (81,2 )=27.05#a diferencial de una función es i!ual al producto de su deri5ada por ladiferencialde la 5ariale independiente "

d'=d% ( x )=% ( x ) dx

APROXIMACIONESEl diferencial de la función es tan apro%imadamente i!ual al incremento de la

función como se desee"

% ( x+9 )− % ( x )H 9( % C ( x)) '=d'

ERROR RELATIVOWuando una cantidad '0=% ( x0) se apró%ima mediante la cantidad % ( x0+9)con un error

% ( x+9 )−% ( x )H 9( % C ( x)) '=d'


47/117

'= % ( x+9)−% ( x )se deTne el error relati5o al 5alor 7d&

&

PORCENTA>E DE ERROR(e trata de presentar en porcenta


48/117

%/ #,!!b/!%:

mg= J . g .V s

V es%e?a=4

3 :

3

V ( )=4

3

: 3

V ( −9)=4

3 : ( −9)3

V́ ( )=4 : 2

V ( )−V ( −9) H 9 . V́ ( ) = V%m#" d# ma$#/!ames%e?a

Jes%e?aH 9 .4 : .100 Kies

2

J . .1

2V e

JeH 9 .4 : .100 Kies

2

9H2/9 Kies

2.-6" $b% d# B!#//% d# 0 !#s d# a/*% $!#"# " d!ám#$/% #x$#/!%/ d# C *adas d# #s#s%/ 0@2D*ada. 'm## "a d!#/#"&!a a/a a/%x!ma/ # #s% d# $b%. ! # B!#//% #sa CD0bE!#F.G$a.-

V "&bo=: ( D /2)2.(

V ( x)=: . x2.(

V ( x−9)=: .( x−9)

2

. ( V́ ( x)=2.: . x . (

V ( x)−V ( x−9) H 9 . V́ ( x) =d!#/#"&!a d# H%m#"#s V H0,25 K&g .2: (2 K&g ) .10 Kies

V H 0,218 Kie3

9%m% !#F #sa CD0 b@ #"$%"s 0@2!#F #sa J@ b.


49/117

F.-5#$#/m!"# # Ha%/ a/%x!mad% d# s#"FK sa"d% d!#/#"&!a#s (da/ a /#s#s$a &%" Cd#&!ma#s)G$a.-

% ( x )=sin( x )% ( x +9)=sin ( x+9)

%́ ( x )=cos( x)

% (31)= % (30+1)H % (30)+1 %́ (30)

sin31 H sin 30+ :

180 .cos30

sin 31 H0,5151C.-6"a &aa d# m#$a #" a %/ma d# " &b% Ha a $#"#/ " H%m#" !"$#/!%/ d# LC *adas&b!&as. as s#!s &a/as s# Ha" a &%"s$/!/ d# m#$a d# 0@2D *ada d# #s#s%/. ! # &%s$% d#m#$a ,# s# Ha a sa/ #s d# s%#s %/ *ada &b!&a@ sa/ d!#/#"&!a#s a/a #"&%"$/a/ # &%s$%a/%x!mad% d# m#$a ,# s# Ha a sa/ #" a ma"a&$/a d# a &aa.G$a.-

V ( L )= L3

L+9¿¿

V ( L+9)=¿

V́ ( L )=3 L2

V ( L+9)−V ( L ) H 9. V́ ( L )V ( L+9)−V ( L ) H0,25 K& .(3.16 K&g

2)

V H12 K&g3

9%m% *F &#s$a s%#s@ #"$%"s 2*F &#s$a JL s%#s.

D.-6sa"d% d!#/#"&!a#s Baa/ # %/"$a# #" ,# am#"$a # H%m#" d# "a #s#/a s! s á/#aam#"$a #" (EF)M

G$a.-

Ve=4

3 :

3 Ae=4 :


50/117

V ( A )= A

3

2

6 :

1

2

V́ ( A )= 3 A

1

2

2.6:

1

2

V ( A+9)−V ( A )H 9 V́ ( A)

9=1

3 MA

V H(1

3MA )(

3 A1

2

2.6 :

1

2

)

V H A

3

2

1200 :

1

2

V

V .100 H( A

3

2

1200 :

1

2 )( 6: 1

2

A

3

2 )H0,5L.-9%" , /#&!s!" d#b# m#d!/s# # d!ám#$/% d# " &P/&% a/a ,# # á/#a /#s$# &%" " #//%/ m#"%/ d# "% %/ &!#"$%Q

G$a.-

A#=: 2

A D=: D

2

4

A ( D )=: D

2

4

´ A ( D )=:D

2

A ( D+9)− A( D )H 9 ´ A( D) A

A H 9 . :D

2 . 4

: D2

→9H 0.01R.-a /ma a/a # #/!%d% ($!#m% #" s#*"d%s a/a &%m#$a/ "a %s&!a&!" &%m#$a) d# "

"d% s!m# #s 4=2S √ L/g @ d%"d# #s a %"*!$d d# "d% #" !#s *=F2@L!#sEs#*2.# ,!#/# ,# # "d% d# " &!#/$% /#% Ba*a "a %s&!a&!" &%m#$a &ada 2 s#*"d%s@ #/% #/#% *a"a 2 m!"$%s %/ dPa. Taa/ # &amb!% a/%x!mad% #" a %"*!$d d# "d% a/a &%//#*!/ a !"#xa&$!$d.


51/117

G$a.-

N =2 :

√ g.√ L

N ( L)=2:

√ g

.√ L

N ( L+9)=2 :

√ g.√ L+9

Ń ( L)= :

√ Lg

#/%: N = "iemKo

n&meodeos#ia#iones

N ( L )=2 s= 60.60.24

n&me?o deos#ia#iones s

→5&me?o de os#ia#iones=43200N ( L+9)−N ( L)H 9 .Ń ( L)

12043200

H 9 . : √ g . L

N ( L)=2=2 :

√ g.√ L

→L= g

: 2

→ 120

43200 H 9 .

: 2

g

9H9,05.10−3

Kies

.-6sa"d% d!#/#"&!a@ Baa/ a/%x!madam#"$# # #s% d# " &as,#$# B#m!s/!&% d# #s#s%/ d#E d# *ada /ad!% !"$#/!%/ d# C !#s@ sab!#"d% ,# " !# &b!&% d# ma$#/!a #sa C0 !b/as.

G$a.-


52/117

V ( )=1

2(4

3 :

3)

+9¿

4

3

: (¿¿ 3)

V ( +9 )=1

2¿

V́ ( )=2: 2

V ( +9 )−V ( )H 9 . V́ ( )

V H 1

8 K&g .2: .16 Kie

2

# sab# ,#:-2 *adas=!#-!#F=C0 b

'"$%"s:

V H 32:

96 Kie3

%/ "a /#*a d# $/#s #*am%s ,# # H%m#" #d!d% #sa:D02@LC !b/as

J.-' /!"&!!% d# 7/,Pm#d#s d! ,# " &#/% ,# %$a d#sa%a " H%m#" d# P,!d% d# #s%!*a a d# &#/%. "*as# ,# "a #%$a B#&a d# 0&m d# d!ám#$/% s# B"d# Bas$a "a/%"d!dad d# 2&m #" # a*a (" */am% %/ &&) "*as# ,# aB%/a s# !"$/%d" D */am%s d#%m% a !"$#/!%/ d# a #%$a. Tas$a , /%"d!dad s# B"d!/á aB%/aQNO47: ! a #s#/a s# sm#/*# Bas$a "a /%"d!dad TU2/@ # H%m#" d# a %/&!" sm#/*!da#s:

V =1

3

:9 2(F/-B)

0.- a %"*!$d d# "a Ha/!a d# m#$a &%m% "&!" d# a $#m#/a$/a #s$á dada %/:

L= L 0(+$)5%"d# 0 #s a %"*!$d !"!&!a d# a Ha/!a $ #s a $#m#/a$/a. %"!#"d% ,# as F d!m#"s!%"#sd##"d#" d# a $#m#/a$/a@ d# m!sm% m%d%@ Baa/ "a /ma a/a # H%m#" d# "a ba//a


53/117

/#&$a"*a/ d# m#$a #" "&!" d# a $#m#/a$/a. Taa/ a d!#/#"&!a d# H%m#"@ $amb!" &%m%" &as% a/$!&a/ s! # H%m#" d# a ba//a am#"$a #" 0@M &a"d% a $#m#/a$/a &amb!a d#00K a 20K. Taa/ # Ha%/ a/%x!mad% d# .G$a.-

.-'"&#"$/# (0@02) a/%x!madam#"$# s!:

(2 x )sin(sin¿)

¿sin¿

% ( x )=¿

G$a.-

(2 x )sin(sin¿)

¿

sin¿% ( x )=¿(2( x+9))sin(sin¿)

¿sin¿

% ( x+9 )=¿

%́ ( x )=cos (sin2 x ) .cos (sin (sin2 x ) ) .cos (sin2 x ) .cos (2 x ) .2−sin (sin ( sin (2 x ) )) . (−sin (sin x ) ) . cos x

(cos(sin x ))2

% (0,02 )=% (0+0,02 ) H % (0 )+0.02 %́ (0)% (0,02 ) H0+0,02.2% (0,02)H0,04

2.-' #/!%d% d# " "d% s!m# d# !#s d# %"*!$d #s N =2: √ L/g s#*. %"*a ,#W* #s a a#/a&!" d#b!d% a a */aH#dad #" a s#/!&!# &% Ha%/ #s F2 !#sEs#* 2. ! # "d%#s # d# " /#% ,# #s$á s!"&/%"!Yad% &a"d% =C !#s 9á"$% s# ad#a"$a/á #" 2C B%/as s! a%"*!$d d# "d% s# /#d a F@JR !#sQG$a.-

F.-6$!!Ya"d% d!#/#"&!a#s &a&a/ # Ha%/ a/%x!mad% d#:

√ 256,6√ 256,6√ 256,6√ … W00 /ad!&a#s

G$a.-

% ( x )=√ x √ x √ … W00 /ad!&a#s


54/117

% ( x )= x1

2+ 122+ 123+…

% ( x )= x(1− 1

2100)

% ( x+9 )=( x+9)(1− 1

2100)

%́ ( x )=(1− 12100) x

−12100

% ( x+9 )−% ( x )H 9 %́ ( x)

% (256,6 ) H0,6(1− 12100) (256)−12100

+(256)(1− 1

2100)

% (256,6)H256,6

C.-6sa"d% d!#/#"&!a#s@ Baa/ # Ha%/ a/%x!mad% d# a #x/#s!":

61− 3√ 283

√ 61+3√ 28

Z a/%x!ma/ # %/"$a# d# #//%/ &%m#$!d%.

D.-' á"*% &%m/#"d!d% #"$/# %s ad%s !*a#s d# " $/!á"*% !ss#s m!d#" 0@DF [ 0@00D/ad!a"#s. %s d%s ad%s !*a#s m!d#" D &m #xa&$%s d# %"*!$d. 9a&# a %"*!$d d# $#// ad% &%" "a #s$!ma&!" d# #//%/.G$a.-

# d# &%s#"%s

1512=1512+ x2−2. x .151 .cosO

x=2.151 .cosO x (O)=302cosO

x (O 9 )=302cos (O 9)´ x (O)=−302senO x (O 9 )H x(O ) 9 ´ x (O ) x (0,530,05 )H x(0,53) 0,05.(−302 sen (0,53)) x (0,530,05 )H(260,537,63)#m


55/117

L.-%"!#"d% ,# # #&ad%/ #s " &P/&% &% /ad!% a/%x!mad% #s d# C000 m!as '" &á"$%#xd#/Pa a #&ad%/ " &P/&% &%a"a/ &%"&"$/!&% s! &ada "$% d# #s$# s# #"&#"$/a 2 !#s#/a d# #&ad%/Q 6s# d!#/#"&!a#s.G$a.-

A ( )=: 2

A ( +9)=: ( +9)2

´ A ( )=2:

A( +9)− A( )⏟

H 9 ´ A( )

A H2 Kies(2 : 4000mias)Obs:

-m!a=D20 !#s

A H9,51mias

R.-5#d&!/ "a /ma d# a/%x!ma&!" sa"d% d!#/#"&!a#s a/a &a&a/7√ a7+b d%"d# b

#s #,#1% &%ma/ad% &%" |a| ..-5%s ad%s d# " $/!á"*% m!d#" Wa W2a # á"*% &%m/#"d!d% #"$/# #%s L0K 9á #s ##//%/ %/"$a &%m#$!d% #" a m#d!da d# $#// ad%@ s! #" a m#d!da d# á"*% dad% Ba "#//%/ d# [0@JKQ

G$a.-

X 2=a2+(2a)2−2.a .2a .cos O

X ( O)=(5a2−4a2cosO)

1

2

X ( O+9 )=(5a2−4 a2cos (O+9))

1

2

´ X ( O)=1

2.

1

(5a2−4a2 cosO)1

2

.4a2sinO


56/117

X ( O 9)− X (O )H 9 . ´ X (O )

X H 0.9 . :

180 . 1

2.

1

(5a2−4 a2cos60 )1

2

.4a2.sin 60

X

X .100 H 9,068.10−3

J.-a m#d!da d# a /#s!s$#"&!a #&$/!&a d# " aamb/# #s/%%/&!%"a a a m#d!da d# s %"*!$d # !"H#/sam#"$#/%%/&!%"a a &ad/ad% d# a m#d!da d# s d!ám#$/%."*as# ,# a /#s!s$#"&!a d# " aamb/# d# %"*!$ddada@ s# &a&a a a/$!/ d# a m#d!da d# d!ám#$/%@ &%" "%s!b# #//%/ d# 2M. '"&%"$/a/ # %s!b# #//%/ %/"$a #"# Ha%/ &a&ad% d# a /#s!s$#"&!a.

G$a.-

D= PL D

2

5%"d# \ #s "a &%"s$a"$#

( D )= PL D−2

´ ( D )=−2 PL D−3

( D+9)− ( D ) H 9 ´ ( D ) H (0,02 D ) .(−2 PL D−3)

.100 H−4

20.-# &%"#&&!%"% "a &aa d# ad%s H#/$!&a#s bas#&ad/ada d# m%d% $a ,# a a$/a s#a #xa&$am#"$#!*a a d%b# d# a %"*!$d d# a bas#. ! a %"*!$dd# a bas# #s F@D *adas &%" " #//%/ %s!b# d#


57/117

[0@F *ada 9á #s # #//%/ %s!b# #" # H%m#"d# a &aaQG$a.-

V = L .L .2 L=2 L3

V ( L )=2 L3

L+9¿¿

V ( L+9)=2¿

V́ ( L )=6 L2

V ( L+9)−V ( L ) H 9. V́ ( L ) V =0,3 K& .6 .(3.5 K&g)2

V

V .100 H 0,262

2.-a a$/a d# " &%"% /#&$% &!/&a/ #s # d%b# d# /ad!% d# a bas#. 7 m#d!/s# s# #"&%"$/ ,#a a$/a #s d# 2 *adas &%" " %s!b# #//%/ d# 0@00D *adas. Taa/ # #//%/ a/%x!mad% #" #&á&% d# H%m#" d# &%"%. Taa/ # #//%/ /#a$!H% %/"$a.G$a.-

T=2G

V =1

3

2

:


58/117

V ( ( )= :

12 (

3

( 9¿¿

V ( ( 9 )= : 12

¿

V́ ( ( )=:

4 (

2

V ( ( 9 )−V ( ( )H 9 . V́ ( ( )

V H0,05.(:

4 (

2)

V

V H 0,15 '//%/ /#a$!H%

V

V .100 H 15 #//%/ %/"$a

22.-' /ad!% #&a$%/!a d# a $!#//a #s a/%x!madam#"$# FJL0 m!as. "*as# ,# s# #"/%a d#ma"#/a s$a " &ab# a/#d#d%/ d# a $!#//a@ %/ # #&ad%/. 7/%x!madam#"$# &á"$% am#"$a a%"*!$d d# &ab# s! s# #Ha"$a #" $%d%s %s "$%s s%b/# %s$#s a 0 !#s d# a$/aQ

G$a.-

ab#m%s ,# G=FJL0 m!as

L=2: L( )=2 :

L( +9 )=2: ( +9)´ L( )=2 :

L( +9 )− L( ) H 9 . ´ L( ) L H10 Kies .(2: )

LH62,83 Kies

2P"-#a medida de la resistencia elctrica de un alamre es proporcional a lamedida de su lon!itud e in5ersamente proporcional al cuadrado de la medidade su diámetro" (upon!a 8ue la resistencia de un alamre de lon!itud dada secalcula apartir de la medida del diámetro con un posile error del 2j"Encontrar el posile error porcentual en el 5alor calculado de la resistencia"(olución7


59/117

. D2

L = P → =

PL

D2

( D)= LP

D2 = LP D−2

C ( D)= PL(−2) D−3

C ( D)=−2 PL D−3

D=0.02 D ( D+ x)= ( D)+ x C ( D ) ( D+ x)− ( D)= x C ( D )

+iden7d

.100=

0.02 DPL(−2) D−3

PL D−2 =−4

RAZON DE CAMBIO(e llama ra&ón de camio promedio o 5elocidad promedio de camio del 5alor

de una función '=% ( x) con respecto a su 5ariale x en el inter5alo x0, x

0+9 b a la e%presión7

#ambiodeo?denadas

#ambiode ab#isas =

'

x

RAZON DE CAMBIO INSTANTANEO

(e deTne7

lim9→ 0

% ( x0+9 )−% ( x0)9 = %

C ( x0 )= limx →0 ' x

E5EMP#%'

(e tiene un disco metálico con un oriTcioconcntrico circular, si el radio del oriTciocamia a ra&ón de 0,0Qpul!Ss con 8ue rapide&camiara el área del oriTcio al dilatarse el discocircular si su radio mide P2,4pul! ' es in5arialeen el instante en 8ue su radio mida la cuartaparte de su radio e%terior"(D#UWIDN

=32.4 K&g

#ambiodeo?denadas

#ambiode ab#isas =

'

x

lim9→ 0

%

( x

0+9

)−% ( x

0)9 =% C ( x0 )= lim

x →0 ' x


60/117

d

d" =−0.08 K&g /s

A=: ?2

dA

d" =

dA

d .

d

d" =2:

d

d"

dAd" =2:? (−0.08 ) K&g

sdA

d" =−2: (8.1)(0.08)

dA

d" =−4.071 K&g2/ s

E5EMP#% +

Un ciclista corre por una pista circular de a

metros de radio a ra&ón de mSs "(i un farocolocado en el centro pro'ecta la somra delciclista en una pared tan!ente a la pista en elpunto de partida Lcon 8ue 5elocidad se mue5ela somra del ciclista sore la pared en elinstante en 8ue este $a recorrido 1S12 de lapistak

E5EMP#%

+ara x>0 , sea % ( x )=− x−13 ";etermine la ra&on

instantanea de camio del area del

trian!ulo formado por el e


61/117

de 4 unidades por se!undo, donde , 0/ esla intersección de 3 con el e


62/117

P0mS$" = las Q7P0 $oras el se!undo arco cru&ala tra'ectoria del primero en el punto en 8ue elprimero $aía estado a las Q700 ";etermine

como está 5ariando la distancia entre los arcosa las 7P0 ' a las 10700l

VALORES EXTREMOS DE UNA FUNCION

"E0I/ICI4/Una función % tiene un má%imo relati5o o má%imo local en un punto %0 8ue

pertenece al dominio de la función, si e%iste un entorno de %0 tal 8ue f%/ f%0/, para todo % 8ue pertenece al entorno de %0 interceptado con el dominio

de la función"

"eniciónUna función % tiene un mínimo relati5o o mínimo local en un punto %0 8uepertenece al dominio de la función, si e%iste un entorno de %0 tal 8ue f%/

f%0/, para todo % 8ue pertenece al entorno de %0 interceptado con el dominiode la función"

"enición(e llaman 5alores e%tremos de una función % a todos sus má%imos '

mínimos relati5os"


63/117

"enición(i una función % cumple con las si!uientes características7

i f tiene un 5alor e%tremo en aii f está deTnido en un entorno de aiii E%iste fGa/

Entonces fGa/ 0

TEOREMA DEL VALOR MEDIO

T,6a ) R**(ea % una función continua sore el inter5alo a, b, con a ' deri5ale a,6 tal 8ue % (a) % (b) 0 entonces e%iste al menos/ un punto #∈ ⟨ a ,b ⟩

tal 8ue % (# )=0

fG 1c'( $ f G 1c+($ f G 1c( $ 3

TEOREMA DE LAGRANGE


64/117

;ada una función % tal 8ue71" % es continua en a, b con a 2" % es deri5ale sore el inter5alo a, 6 Entonces e%iste c ? a, 6 tal 8ue

% C (#1 )=% C (#2 )=% (b )− % (a)

b−a

TEOREMA DE CAUCHY

(e le llama tamin teorema !enerali&ado del 5alor medio, sean las funciones% ' g continuas en el inter5alo a, b con a ' deri5ales en el inter5alo

a, 6 tal 8ue g(a )6 g(b ) ' g G%/ C 0+ara todo % ? a, 6 entonces e%iste c ? a, 6 tal 8ue7

% (b )−% (a)g (b )−g(a)

= % (#)

gC (#)

% C (# )= % ( b )−% (a)b−a

% (b )− % (a)g (b )−g(a)

= % (#)

gC (#)


65/117


66/117

TEOREMA DE LA FUNCION CONSTANTE(i % es una función continua sore el inter5alo a , b con a ' % ( x )=0 >para todo % ? a> 6, entonces % es una función constante sore el inter5alo

a , b"

COROLARIO

(i % ( x ) ' g ( x ) son funciones continuas sore el inter5alo a, b ' deri5alessore ⟨ a ,b ⟩ ' si % ( x)=g ( x ) para todo % ? a> b entonces e%iste c 8uepertenece a los reales tal 8ue % ( x )=g ( x )+#

TEOREMA

(i % es continua a> b ' si % ( x )>¿ 0 sore a> b entonces % escreciente o estrictamente creciente / sore dic$o inter5alo"

TEOREMA

(i F es continua a> b ' si % ( x ) b entonces % es decrecienteo estrictamente decreciente/ sore dic$o inter5alo"

PUNTOS CRITICOS DE UNA FUNCION EN UN INTERVALO(i % esta deTnido sore un inter5alo I se llaman puntos críticos de % aa8uellos puntos c del inter5alo I tal 8ue7

1/%

(#

)=0

2/ % (# )=0 no e%iste

P/ c es uno de los e%tremos, si es 8ue estos estu5ieran considerados en elinter5alo"

CRITERIOS DE LA PRIMERA DERIVADA

(ea c un punto crítico de % , si e%iste un inter5alo a , b donde % escontinua tal 8ue c ? a, 6 entonces

1/ f G%/ 0 ∀ % ? a, c 6 ' fG%/ 0 ∀ % ? c, 6 6 f 1c( es un m@=imo relai>o

2/ fG%/ 0 ∀ % ? a, c 6 ' f G%/ 0 ∀ % ? c, 6

6 f1c( es un m)nimo relai>o

f G%/ 0 ∀ % ? a, c 6 ' fG%/ 0

fG%/ 0 ∀ % ? a, c 6 ' f G%/


67/117

P/ fG%/ 6 0 ∀ % ? a, c 6 ' fG%/ ¿ 0 ∀ % ? c, 6 $ f1c( no es ni m)nimo ni m@=imo relai>o

4/ fG%/ 0 ∀ % ? a , c6 ' fG%/ ¿ 0 ∀ % ? c, 6

$ f 1c( no es ni m)nimo ni m@=imo relai>o

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA(ea % una función deri5ale en un entorno de c, si fGc/0 ' si fGc/ e%isteentonces1/ fGc/ 0 6 fc/ es un má%imo relati5o

2/ fGc/ 60 6 f c/ es un mínimo relati5o

CONCAVIDAD1" Si ’‘(x) > !> ’(x) est" creciendo en el intervalo # a $ %> las pendientes est"n creciendo & en tal caso se tendr" un tipo dearca'iento lla'ado concavidad acia arri%a en dico intervalo

fG91=( 3

fG1=( es@ creciendo

fG%/ 6 0 ∀ % ? a, c 6 ' fG%/ ¿

fG%/ 0 ∀ % ? a , c6 ' fG%/ ¿ 0


68/117

f 1=( es cónca>a *acia arri&a

Q2 Si ’‘(x) # !> ’(x) est" decreciendo #a $ %> es decir las pendientes de las rectas tangentes va dis'inu&endo conor'e x avan*a de i*quierda a dereca en

dico intervalo"

fG91=( H3

fG1=( es@ decreciendo

f1=( es cónca>a *acia a&ajo

P" Wuando en el inter5alo a ,6 fG%/camia de si!no f pasa de un punto de conca5idad a otro/ entonces se dice8ue e%iste un punto de ine%ión" En forma práctica se reconoce un punto deine%ión cuando fG%/0"


69/117

REPRESENTACION PARAMETRICA DE UNA CURVA

;ada una cur5a esta se puede representar en trminos de un parámetro t detal manera 8ue %f t/, '! t/;onde t es el parámetro"E


70/117

t ∈ 0> :

2b

) t0/, O t0//) :

2/, O

:

2//

PUNTO MULTIPLEEs el punto en una cur5a 8ue es alcan&ado en dos o más instantes diferentes t1' t2"

E5EMP#%: El punto 0> 0/ es un punto m9ltiple de la cur5a W la cual tiene representaciónparamtrica"

% " 3−4 " ' " 2 -4 t ∈¿ dic$o punto es alcan&ado en losinstantes t-2 ' t2


71/117

+

E>EMPLO&raTcar x=" 2−4 , '=" 3−8 , t ∈

(olución7• Intercepto con los e0/

Con el eje y:

" 2−4=0=¿ (" −2 ) (" +2 )=0

t 2 5 t-2

0>0/ 0>-1/

• =síntotas $ori&ontaleslim

"→/

" 3−8

% " 2−4 { " →+/=¿ x→+/=¿ '→+/" →−/=¿ x→+/=¿ '→−/


72/117

• =síntotas *erticales

'→+/=¿ x→+/ '→−/=¿ x→+/

• =síntotas Dlicuas

m lim x → /

'

x= lim

"→/

" 3−8

" 2−4

= lim"→/

" 2+2 " +4

" +2 = /

d'

dx=

d'

d"

d"

dx=

d'

d"

d'

d"

3 " 2

2 " =

3

2t

d (d'

dx)

dx =

d (3 "

2 )

dx =

3

2 . 1

2 " = 3

4 "

t % O 'G 'GG- / ;0>¿ -4> +/>¿ - / ;−8>¿ - -0 -4 -Q 0 ∄0> +/>¿ -4> +/>¿ -Q> +/>¿ V V


73/117

EXISTEN CASOS NOTABLES COMO&

CICLOIDEEs el lu!ar !eomtrico descrito por cual8uier punto T


74/117

%&s.:

2$a.

a− 'a¿

cos−1 ¿

( √ 2a'− '2

EPICICLOIDEEs el lu!ar !eomtrico descrito por un punto T


75/117

=$ 1a8&( cosO−bcos (a+b

a )O

' aV/ sin O−b cos S' aV/ sinO−bcos(∅+O−90)

K$ 1a8&( sinO−b sin(a+b

b )O

(i r a

b, r ∈ =¿ Es una cur5a cerrada con r picos ' r arcos

Caso particular a 6 r1

hWardiode

=$ 1+a( cosO−a cos (2O)

K$ 1+a( sinO−b sin(2O)

H"3$"$*")Es el lu!ar !eomtrico de un punto T


76/117

K$ 1aL&( sinO−b sin(a−b

b )O

Caso Particular:

a

4 6 r

a

b=4

% 3

4/ a cosO+

a

4 cos (3O)

' 3

4/ a sinO−

a

4 sin (3O)

=$a

O

cos¿¿¿¿

K$a (sinO)3

h=stroide

COORDENADAS POLARESEn un sistema de coordenadas polares un punto + se representa por un par den9meros + r> O /, donde r es la distancia del ori!enllamado polo/ al puntodado ' O es el án!ulo de inclinación del radio 5ector D+ con respecto alsemie


77/117

θ

O x+('# %a/)(%%)

EXTENSION DE LA REPRESENTACION Ga% θ

r> O / + 1>θ/IrI ra'o O si r60IrI ra'o O V : si r0

D θ E O /r> O / r> O V2n : / -1>θ/ r> O / -r> O V : / r> O / -r> O V 2nV1/ : /

SIMETRIA EN EL PLANO=( C# ,13$2 a*


78/117

(## "%/ma)

(-/;θ)

(/;θ)

θ

(/;-θ)

( C# ,13$2 a* 3*# /#/#s#"$a &a"d% a #&a&!" %a/ "% Ha/Pa a /##maYa/

a) O %/ : −O∪

b) / %/ –/

(/;θ)

θ

(/;S+θ)

(-/;θ)

RECTAS TANGENTES EN EL POLO+ara calcular las rectas tan!entes en el polo cu'a ecuación !eneral es O=O@ >$acemos r0 en la ecuación polar"E


79/117

$ :?=2cos❑

¿3 :

2

INTERCEPTOS CON EL E>E PRINCIALWonsideremos =# e


80/117

raTcar7 r ¿2sin3O (olución7

a/ E%tensión|?|=|2sin3O|* 2

/ Interceptas con los e


81/117

:

18

O;1&/ ¿acosnO % / ¿a sinnO # $/a$a d# "a /%sa d#: W" B%as s! " #s !ma/

W2" B%as s! " #s a/

E


82/117


83/117

'-

S

x− J cos¿¿

S¿ S=−cot ¿

Jsin¿

'

Ssin¿¿ S

cos ¿¿¿2¿

S+ J ¿¿

S− J ¿sin¿

' sin S+ x cos S= Jr sin O sin S+? cosOcos S= J

r cos (O− S )= J

##m:

• : x-2+C=0

d(%@)= ¿0−2 (0 )+4∨ ¿

√ 5=

4

√ 5¿

x

√ 5−

2 '

√ 5=−4

√ 5

: (−1

√ 5¿ x+

2

√ 5 '=

4

√ 5

cos S=

−1

√ 5 sin S=

2

√ 5 J=

4

√ 5

: / cos (O− S )=−4

√ 5

DERIVADAS Y RECTAS TANGENTES EN COORDENADAS POLARES

+ea= F (O) la ecuación de una cur5a en coordenadas polares"


84/117

% F O ¿=cosO' F O¿=sinO

(on las ecuaciones paramtricas con paramtrica O .

d'

dx=

d'

dO .

dO

dx=

F (O)cosO+sinO F C (O)

F (O ) (−sinO )+cosO F C (O)

(ea T el an!ulo de inclinación de la recta tan!ente a la cur5a en un punto+r, O¿

d'

dx=tanT

+r, O¿ es el punto de tan!encia ' S sea le án!ulo 8ue forma el radio5ector =< ' la recta tan!ente presentándose los casos mostrados en las

T!uras"

tan S=tan (T −O )=tan(T +: −O)

tan S= tanT −tan O1+tanT tan S

% F O¿cosO ' F O¿ sinO

d'

dx=

d'

dO .

dO

dx=


F (O ) (−sinO )+cosO F C (O)

d'

dx=tanT


85/117

tan S=


F C (O)cosO−sinO

−sinO

cosO

1+ F (O)cosO+sinOF C (O) F C (O)cosO−sinOF (O)

= F (O) F C (O)

=

d

dO

= F C (O)

d

dO= cot S

#a deri5ada del radio 5ector r/ respecto al án!ulo polar O es i!ual alproducto del primero por la cotan!ente del án!ulo formado por el radio 5ector

' la recta tan!ente a la cur5a en el punto dado"

'#m:

\allar S ' T ' las ecuaciones cartesiana ' polar de la rectatan!ente a la cur5a"

r a1- cosO¿ , a60 en O=:

6

d

dO= cot S


86/117

(olución7O

1−cos ¿cot S¿

S=a¿O=? cot ¿d?

dO=a sin¿

tan S=1−cos Osin O

=2(sin

O

2)2

2sin O

2cos

O

2

=tan O

2

S=O

2=¿

:

12 T =

:

4

tanT =1= '− '0 x− x0

)r

O

1−cos ¿=√ 32

¿

1−√ 32

O¿

cos O=acos ¿

/

Or

O

1−√ 32

¿

1−cos ¿=a

2(¿¿)

O ¿O=a sin¿

sin ¿

%> '/ √ 32

a

1−√ 32

/> a2(1−√ 3

2 )¿


87/117

1 '−

a

2(1−√ 3

2 )

x−a(1−√ 3

2

)

#t7 %-'5−3√ 3

4¿

/a

dD, #t/ ¿5−3√ 3 a

4 ∨ ¿

√ 2=

4

√ 5¿

#ue!o x√ 2− '

√ 2=(5−3√ 34√ 2 )a

r (cos∅cosO+sin∅ sinO )=cos ∅ 1√ 2 sin∅=−1

√ 2∅=

7 :

4

#t7 r (O−¿

7 :

4 )=(3√ 3−54√ 2 )acos¿

INTERSECCION DE CURVAS EN COORDENADAS POLARES

Wuando se intersectan cur5as en coordenadaspolares e%isten puntos de intersección 8ue sedeen $allar con un análisis"

#a simple i!ualdad de las ecuaciones no essuTciente para determinar todos los puntos deintersección, se recomienda eso&ar una!ráTca"

'#m


88/117

:\allar los puntos de intersección de las !ráTcas de r2 cos2O ' r1

(olución7

2 cos2O=1cos2O=1

2

2O :

3 ;5 :

3 ;

7 :

3 ;

11:

3

O=:

6 ; 5:

6 ;

7 :

6 ; 11:

6

= 1> :

6/ : 1>

5 :

6/ W 1>

7 :

6/ ; 1>

11:

6/

r2 cos2O

(i r-12 cos2O=−1

2O 2 :

3 ; 4 :

3 ; 8 :

3 ; 10:

3

O :

3 ;2:

3 ; 4 :

3 ; 5 :

3

E -1> :

3/ F -1>

2 :

3/ -1>

4 :

3/ \ -1>

5 :

3/


89/117

%&s:(i rF O¿ es la ecuación de una cur5a de coordenadas polares entonces

dic$a ecuación tamin se puede e%presar de la si!uiente forma"

1L'( m $0 1 O 8m : ¿ 7 m ϵ

O;1&1" #a ecuación polar r cos (O−U )= J es e8ui5alente a la ecuación normal

cartesiana% cosU+ '#osU J "

2" Una ecuación en coordenadas polares de la recta 8ue pasa por dospuntos =r1> 1/ ': r2> 2/ es7

rr1(¿O1−O)

sin¿Vr r2

(¿O−O2)sin¿

r1 r2(¿O1−O2)

sin¿P" (i la recta pasa por el ori!en de coordenadas o polo su ecuación es

O=T T es constante/4" (i la recta es perpendicular del e


90/117

ECUACIÓN POLAR DE UNA CÓNICAWuando se ten!a una cónica E,+ o \ se uica de manera aritraria uscando

8ue coincida el foco ' el polo de manera 8ue la directri& se encuentra a unadistancia hd unidades"


91/117

C%#"$a

, ed

1+ecos(O−O0)

E 7 0e1+ 7 e1\ 7 e61

E7 (e llama e%centricidad> es la e%presión 8ue relaciona la distancia de unpunto + al foco respecto a la distancia de dic$o punto con respecto a una recta

llamada directri& de la cur5a"

DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA(i una función % es uni5alente o in'ecti5a entonces se puede construir otra

función llamada función in5ersa"

'= % ( x) x=% ¿( ' ) ;∀ x ϵ Dom%

, ed

1+ecos(O−O0)

'=% ( x) x=% ¿( ' ) ;∀ x ϵ Dom%


92/117

a/ % ¿ (% ( x ) )=% ¿ ( ' )= x ,∀ xϵ D% / % ( % ¿ ( x ) )= % ( ' )= ' ,∀ x∈ D%

TEOREMA(i % ¿ es una función deri5ale tal 8ue % ¿ ∃ entonces

;f '/ 1

D%o % ¿( ')

> si fG%/ 6 0

"emosración(e sae 8ue % o % ¿ 4

; % o % ¿ / ;I; % o

%

¿ /" D %

¿ 1

;f '/ 1

D%o % ¿

E5aluando en trminos de '

;f '/ 1

( D%o % ¿) ( ' )=

1

D% (% ¿( '))=¿

1

% C ( % ∗( ' ) )

= 1

% ( x )

= 1

D% ( x )

Es decir

+i '= % ( x ) 3x= % ¿ ( ' ) →D % ¿ ( ' )= 1

%

( x )

TEOREMA

(i % es una función continua ' monótona en el inter5alo a> b, si % esderi5ale dos 5eces en a>6 ' si % G%/C0 entonces la se!unda deri5ada es

% /GG' −% ( % ∗( ' ) )

[% C (% ∗( ' ) ) ]3 =

−% ( x )

( % C ( x ) )3

TEOREMA

(i '=% ( x) ' ∃ f sore el ;om f a>6

;f '/ 1

D%o % ¿( ') > si fG%/

6

+i '=% ( x ) 3x=% ¿ ( ' ) →D % ¿ ( ' )= 1

%

( x )

% /GG' −% ( % ∗( ' ) )

[% C (% ∗( ' ) ) ]3 =

−% ( x )

( % C ( x ) )3

^ ’’’

%

% C ( x)¿


93/117

(^)’’’() =

%

% C ( x)¿¿¿

3 (¿¿(3)2)−% C ( x) % ( x )(3)

¿¿

FUNCIONES TRASDENDENTALES

FUNCIONES LOGARITMO NATURAL


94/117

F%/ ln x

ln x={ A?ea baoa #&?7a '=1

x en"?e1 ' x si xQ 1

− A?eabao a#&?7a '=1

x en"?e1 ' x si x ln 1=∫1

" 1

" d" =0 >;% ln x=

1

x

(i F%/ ln x

;omF0>V />

{

x=1=¿ ln (1 )=0 x>1 ; ln x es Kosi"i7o

0


95/117

x→#+¿ F ( x )=−/lim¿¿

O;1&

x→#+¿ F ( x )=−/lim ¿

8(x)=ln∨ x∨¿


96/117

F+#$"%# Ex3##$"a*ln7 0>V />¿ 6- / ;+/>¿lne%p

#ne%p7 - / ;+/>¿ 6 ¿o ;+/>¿

'e%p%/ ¿ x∨¿= x

ln ¿

"E0I/ICI4/:

lim x →+/

e x=+/ lim

x →−/e

x=0

e x=exp ( x )


97/117

lim x→ 0

e x=1

%-S:;% e

F ( x )=e F ( x ) .F C ( x )

;% ln F ( x )= 1

F ( x ) . F

C

( x )

OBS&

=

Z=ax

_/a!&a/:F%/% ln x;omF ¿0 ;+/>¿F 1/0

x= lim x→ 0+¿

ln x

1

x

¿

x→0+¿ x ln¿ F ( x)=¿ lim

¿¿

x →0+¿¿lim¿¿

x→0+¿− x=0

x→0+¿

1

x

1

− x2

=lim¿¿

lim¿¿


98/117

lim x →+/

F ( x )= lim x →+/

x ln x=+/

;%F%/ ;% x ln x /%" 1

x +ln x=1+ln x

(i ;%F%/0 6 1+ln x=0=¿ ln x=−1

% 1

e

x

1+ln ¿¿

D2

x F ( x )= D x¿

la !raTca es cónca5o $acia arria ∄ puntos de

ine%ión"

% F%/ FG%/ F%/

0> 1

e

>¿

- V1

e- 1

e

0

¿1

e ;+/>¿ V V


99/117

FUNCIONES HIPERBOLICAS

;ada el sector de área (, con radio r, tal 8ue se $a producido un incrementoinTnitesimal pe8ueísimo de (/incremento casi despreciale/


100/117

( 1

2r2 O

d( 1

2 r2

dO

(ea el punto +%>'/ tal 8ue tanO= '

x

O=tan−1 '

x

d O= 1

?2 ( xd'− 'dx )

eempla&ando7 d( 1

2 r2 ( xd'− 'dx )

?2

d( 1

2 ( xd'− 'dx )

(ea un W7

x2+ '2


101/117

\acemos7 d W=2dsd W= xd'− 'dxd W= xd √ 1− x2−√ 1− x2dx

d W=( − x2

√ 1− x2−√ 1− x2)dx

∫d W=∫ −dx√ 1− x2

=cos−1 x

W=cos−1

x% cos W

(i traa


102/117


103/117

Es una función impar" ;omF

F%/e2 x−12e

x

2 e2 x

2e x =¿

F ( x )=¿ lim x→+/

e2 x−12e

x = lim

x →+/¿

lim x →+/

¿

V /

F ( x )=¿ lim x→−/

1

e−2 x

−1

2

e− x

lim x→−/

¿

0+¿

=−/−¿¿¿

FG%/

e

(¿¿− x)(−1)=1

2(e x+e− x )>0

1

2e

x−¿

FGG%/ 1

2

(e x+e− x (−1 ) )=1

2

(e x−e− x)

% F%/ FG%/ FGG%/ −/;0>¿ V -

0 0 0 ;+/>¿ V V


104/117

FUNCIÓN COSENO HIPERBOLICO

Es una función par" ;omF

F%/e2 x+12e

x

e x=¿

F ( x )=¿ lim x→+/

e2 x+1

2e x = lim

x→+/¿

lim x →+/

¿

V /

F ( x )=¿ lim x→−/

1

e−2 x

−1

2

e x

lim x→−/

¿

0+¿=+/

1¿

F'x( x=¿

e x+e− x

2cosh¿


105/117

FG%/

e¿e

(¿¿− x)(−1)¿1

2 ¿ FGG%/

1

2 (e x−e− x)=sinh x

(i ; cosh x 0 6 e

2 x−12e

x =0=¿ x=0

;2 cosh x e2 x+12e

x >0

% F%/ FG%/ FGG%/ −/;0>¿ - -

0 1 0 ;+/>¿ V V

O;1&Watenaria7 3amin se llama catenaria por ser la forma 8ue adopta un calepor ser e%ile ' uniforme 8ue cuel!a entre dos soportes para el tendido de loscales de alta tensión"

O;1&


106/117

• ; sen9 x=cosh x• ; cosh x=sen9 x• ; "an9x=(se#9x)2

• ;

x

#s#9¿

¿¿ x=−¿¿coth ¿

• ; se#9x=−se#9x tanh x

• ; x=−¿#s#9xcoth x

#s#9¿

FUNCION TANGENTE HIPERBÓLICA

;omF

F ( x )=¿ lim

x→+/

e2 x−1

e2 x+1

= lim x →+/

2e2 x

2e2 x=1

lim x →+/

¿

F ( x )=¿ lim x→−/

1e−2 x

−1

1

e−2 x+1

lim x→−/

¿

-1

an F-1>16

;%F%/;% tanh (se#9 x)2=( 2e x+e− x )

2

>0

;2F%/;2

x

tanh ¿=−2sinh x(cosh x)3

"an9x=−2(se#9x)2¿

-2 (e

x−e− x

2 ) "

1

(e

x+e− x

2 )

3

F'x( "an9x=e

x−e− x

e x+e− x


107/117

-Q

e

(¿¿ x+e− x)3

e x−e− x

¿

% F%/ FG%/ FGG%/ −/;0>¿ V V

0 0 0 ;+/>¿ V -

FUNCIÓN COTANGENTE HIPERBOLICA

;omF – J0K

F ( x )=¿ lim

x→+/

e2 x+1

e2 x−1

=1

lim x →+/

¿

x=¿ e

x+e− x

e x

−e− x

F ( x )=coth ¿


108/117

F ( x )=¿ lim x→−/

1

e−2 x

+1

1

e−2 x−1

lim x→−/

¿

-1

0+¿=+/+¿¿

x→0+¿ e 2 x+1

e2 x−1

=¿

F ( x)=¿ lim¿¿

x →0+¿¿

lim¿ ¿

0−¿=−/+¿¿

x→0−¿ e2 x+1

e2 x−1

=¿

F ( x )=¿ lim¿¿

x →0−¿¿lim¿¿

;%F%/;%

x

#s#9¿¿¿

x=−¿coth ¿

0

;2F%/;2 x

−#s#9x. coth ¿coth x=−2¿

2 (#s#9x )2 . e

2 x+1

e2 x−1

8e

2 x

(e2 x−1)2 . e

2 x+1e2 x−1

=8e

2 xe2 x+1

(e2 x−1)3

% F%/ FG%/ FGG%/


109/117

−/;0>¿ - -0 ∄

0 ;+/>¿ - V

FUNCIÓN SECANTEHIPERBOLICA

se#9x= 2e

x

e2 x+1

;om F

lim x →+/

se#9x=lim

x →+/2e

x

e2 x+1

=lim

x →+/2e

x

2e2 x =0

lim x →−/

se#9 x= lim x →−/

2

e x

1

e2 x+1

=0=¿ se#90=1

;%F%/; se#9x=−se#9x tanh x

F'x( se#9x= 2e

x+e− x


110/117

e

(¿¿ x+e− x )2

−2e

x+e− x . e

x−e− x

e x+e− x

=2(e x−e− x)

¿

(i ;%F%/ 0 6 %0

;2F%/-

x

tanh ¿ x .(se#9x)2−(¿¿2 se#9x)

se#9¿−2 (2+e x−e− x) (2−e x+e− x )

(e x+e− x)3

:uscando puntos de ine%ión7(i e x= -

2V&- 1

-

= -

2+2 -−1

--1 √ 2

e x=√ 2 -1 6 % ln (√ 2−1 )≅−0.881

3amin7

2-&V 1 -=− -2+2 -+1

--1 √ 2

e x=√ 2 V1 6 % ln (√ 2+1 )≅0.881

% F%/ FG%/ FGG%/

- / ;−0.881>¿ - V-0"QQ1 0"0

-0"QQ1>06 - -0 1

0>0"QQ16 V -0"QQ1 0"0

0"QQ1>V />¿ - V


111/117

FUNCIÓN COSECANTEHIPERBOLICA

;om F-J0K

lim x →+/

#s#9x=lim

x →+/2e

x

e2 x−1

=lim

x →+/1

e x =0

lim x →−/

#s#9x= lim x →−/

2

e− x

1

e−2 x+1

=0

;%F%/; se#9x=−#s#9xcoth xe(¿¿ x−e− x )

2


112/117

x 8(x) 8’(x) 8’’(x)

< −/;0>¿ - -0 ∄

< 0 ;+/>¿ - +

'GI'

E


113/117

+i limn→ /

+n=+ , (∃+ ϵ )a se?ie es#on7e?gen"e

+i limn→/

+n=/ , aseie esdi7egen"e

TEOREMA DE TAYLOR9!#/$as "&!%"#s s# #d#" #x/#sa/ #" $/m!"%s d# "a s#/!# #" " d#$#/m!"ad%

#"$%/"%@ #" %s s!*!#"$#s ##m%s s# %bs#/Ha senax , #osax , eax

, ln (a+ x)

senax=

ax−

(ax)3

3 8 +

(ax)5

5 8 −

(ax )7

7 8 …

+

(−1)n−1(ax)2n−1

(2n−1)8−1¿¿

¿n−1(ax)¿¿¿

#osax=1−(ax )2

28 +

(ax )4

4 8 −

(ax )6

6 8 …+¿

eax=1+ax+

(ax)2

28 +

(ax )3

38 +

(ax )4

4 8 …+

(ax )n−1

(n−1)8

ln (a+ x )= Lna+ xa−

x2

2a2+

x3

3 a3 …+

(−1)n−1 xn

n an

TEOREMA(ea '=% ( x) una función tal 8ue e%isten todas sus deri5adas inclusi5e las deorden nV1/, en cierto inter5alo en el cual x=a pertenece a dic$o inter5alo"\allamos un polinomio '=


114/117

(ea el polinomio donde #0 , #1 , B, #n son los coeTcientes 8ue uscamos/


115/117

f1/0, fG1/1, fGG1/-1, fGGG1/2 , fGGGG%/ -+or el polinomio de 3a'lor

<4 ( x )=0+( x−1 )−

( x−1)2

2 8 +

( x−1 )3

3 8 (2 )−

( x−1 )4

4 8 (6)


116/117

(i se deri5a Ft/

F C (" )=% C ( x )−% C (" )−

( x−" )1 8

% C C ( " )+

2 ( x−" )28

% C C C (" )−…

F C (" )=

−( x−" )n

n8 %

n+8 ( x )+( x−" )n

n8 >

(ea F%/0, Fa/0

=plicando el teorema de olle e%iste un t 8ue pertenece al inter5alo a, %6para el cual FGt/0

E5EMP#%7 ;esarrollar como una serie f%/ sen% alrededor de %0

% ( x )=senx

% C ( x)=#osx=sen( x+:

2 )

% C C ( x )=−senx=sen( x+2

:

2)

% C C C ( x )=−#osx=sen( x+3

:

2)

% n( x)=sen( x+n

:

2)

% n+1( x)=sen ( x+(n+1) :

2)

% (0 )=0, % C (0 )=1, % C C (0 )=0, % C C C (0 )=−1, % n (0)=sen(n :

2)

% n+1 (0 )=sen(ε+(n+1)

:

2)

senx= x− x

3

38+

x5

5 8−…+

xn

n8 senn

:

2+

xn+8

(n+1) 8 sen(ε+(n+1)

:

2)

Womo |sen(ε+(n+1): /2)|*1

→ limn→ / n ( x )=0

En el e


117/117

En el polinomio de 3a'lor $emos estudiado los casos para a0 8ue simpliTca laforma en la e%presión, estos fueron estudiados por =W#=UIN 14Q - 14/

recien el nomre de polinomios de =W#=UIN"+ara estimar el error e%isten muc$as tcnicas como la fórmula de #aran!e '

Wauc$'"

GO'37

Libro Matematica Basicas 1

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