Libro matemáticas 3º Santillana Capítulo 1

1se

cció

n i

1850

-193

0

Un teorema famososecc

ión

i18

50-1

930

Instrucciones:1. Camina 20 pasos hacia el este desde el viejo ombú.2. De allí camina 120 pasos hacia el sur.3. De allí, 200 pasos al este.4. Luego, 20 pasos al norte.5. Y, por último, 20 pasos hacia el este, y allí ubicarás el tesoro.

1) Ubica el tesoro en el mapa.2) Indica, en pasos, la distancia

que se debería recorrer para lle-gar al tesoro, según las instruc-ciones dadas.

3) Para ubicar el tesoro en el mapa, ¿se podrían haber dado solamente dos instrucciones, en las que cada una indicara la distancia en pasos y el punto cardinal?

4) Este último camino ¿sería más corto que el original?

5) Marca en el mapa la distancia más corta que lleva del ombú al tesoro y estima el valor de esta distancia en pasos.

Hola. Soy Pitágoras y nací en la isla de Samos. Allí escondí un tesoro que podrás encontrar si sigues las instrucciones que

se presentan a continuación.

©Sa

ntill

ana

S.A

. Pro

hibi

da s

u fo

toco

pia.

Ley

15.

913

1 cm

20 pasos

N

S

O E

figura 2

200

200 20 20

2020

100

P

TS

O

120

1 cm

20 pasos

figura 5

1

2

a cb

3

5

4

figura 3

B

C

8 1. Teorema de PitágorasEn la actividad anterior, para estimar la distancia en pasos entre el ombú y el teso-ro, seguramente hiciste uso de la escala, de los trazados que realizaste, y de una regla graduada. Pero, ¿será posible calcular exactamente esa distancia? ¿Cómo?Realiza la siguiente actividad y podrás deducir una importante propiedad mate-mática que te resultará útil para ello.

Al final del libro encontrarás impresa la siguiente figura, que fue creada por H.E. Dudeney (1857–1930). Recorta de allí las piezas 1, 2, 3, 4 y 5 y forma con ellas el cuadrado de lado c.

a. Clasifica el triángulo ABC según sus ángulos.

b. ¿Qué relación puedes establecer entre las áreas de los cuadrados cons-truidos sobre los catetos del triángulo ABC y el área del cuadrado construido sobre su hipotenusa?

c. Expresa el área de cada cuadrado en función de la medida de su lado y plantea una fórmula que relacione las tres áreas.

La relación que estableciste en la actividad anterior es conocida con el nombre de teorema de Pitágoras y se puede enunciar así:

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos.

En todo triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos, catetos.

Recuerdafi

gu

ra 4

cate

to

hipotenusa

cateto

A

Teorema... en griego . En mis tiempos significaba lo que se contempla, y no lo que se

entiende actualmente: lo que se demuestra.

200

200 20 20

2020

100

P

TS

O

120

1 cm

20 pasos

figura 5

9

Volvamos a la actividad inicial. Las posibles instrucciones que responden la parte 3) son: 240 pasos al este y 100 pasos al sur o 100 pasos al sur y 240 pasos al este. Los caminos correspondientes están representados en la siguiente figura y forman dos triángulos rectángulos de hipotenusa OT.

Cualquiera de estos dos triángulos será útil para aplicar el teorema de Pitágoras y calcular la distancia del ombú al tesoro (OT ), que fue la distancia estimada en la parte 5) de la actividad inicial.Trabajando en el triángulo rectángulo OPT, tenemos que:

OT OP PT2 2 2= +

Sustituyendo las medidas de los segmentos OP y PT, podemos escribir:

OT

OT

OT

2 2 2

2

2

240 100

57600 10000

67600

= +

= +

=

Buscamos un número positivo que elevado al cuadrado dé 67600. Este número lo obtenemos calculando la raíz cuadrada de 67600.

OT

OT

=

=

67600

260

a. ¿Coincide este valor con el que estimaste en la actividad inicial?

b. Si trabajamos en el triángulo rectángulo OST, ¿obtenemos el mismo resul-tado? ¿Por qué?

Pitágoras vivió en el

siglo VI a. de C.

A los 18 años participó en los

Juegos Olímpicos. Ganó todas las competiciones de

pugilato.

200

200 20 20

20

20

100

P

TS

O

120

1 cm

20 pasos

figura 5

©Sa

ntill

ana

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. Pro

hibi

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toco

pia.

Ley

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10

Para ir de la esquina P a la esquina R de la plaza de la figura, ¿cuántos metros menos se caminan si en lugar de rodear la plaza, se la atraviesa por la diagonal?

Si caminamos de P a Q y de Q a R, recorremos 122,5 metros.Para calcular la diagonal PR aplicamos el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo PQR:

PR

PR

PR

2 2 2

2

2

52 5 70

2756 25 4900

7656 25

= +

= +

=

,

,

,

PR

PR

=

=

− =

7656 25

87 5

122 5 87 5 35

,

,

, ,

Si se atraviesa la plaza en forma diagonal, se caminan 35 metros menos.

Si bien la propiedad que estamos estudiando es atribuida a Pitágoras, ya era conocida muchos siglos antes, en la antigua Babilonia. El siguiente problema proviene de una tablilla de arcilla que data del 1800 a. de C. y actualmente se encuentra en el Museo Británico de Londres.

Una caña de 30 unidades de largo se apoya verticalmente contra un muro. Si la extremidad superior de la caña se coloca 6 unidades más abajo, ¿en cuántas unidades se desplazará el otro extremo de la caña?

Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo APB, tenemos que:

xxxxxx

2 2 2

2

2

2

24 30576 900900 576324324

18

+ =+ ===

==

–

El otro extremo se desplaza 18 unidades.

2. Aplicamos el teorema de Pitágoras

figura 7

xA

2430

6

P

B

Observa que lo que debes calcu-lar es la medida de un cateto.

figura p.

70 m

PLAZA

PLAZA

52,5 m

P

R

Q

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. Pro

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113. Aparecen nuevos números

11

¿Cuánto mide la altura de un triángulo equilátero de lado 2?

Hagamos una figura que nos ayude a pensar.

1

2

a cb

3

5

4

figura 1-3

figura 1-4

cateto

hipotenusa

cate

to

figura 1-8

h

1

1

2

2

A

M

B

C

figura 1-9figura 1-10

figura 1-7

y

xxA

2424

6

P

B

y

x

(0,4)

(1,1)

(3,5)

(4,2)

figura 1-11

y

x

C (-5,-2)

A (0,8)

B (6,-1)

figura 1-12

Apliquemos el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo BMC para calcular h:

2 14 14 13

3

2 2 2

2

2

2

= += +=

=

=

hh

hh

h

–

Con la ayuda de tu calculadora puedes obtener una aproximación del número 3.

¿Cuántas cifras decimales te muestra tu calculadora?

Este número tiene la peculiaridad de tener infinitas cifras decimales no periódi-cas. Los números que tienen esta característica se llaman números irracionales y hay infinitos de ellos.

3 = 1,7320508075688772935274463415059… Para responder la pregunta formulada inicialmente, contestamos que la altura

mide 3. Es usual responder que la altura mide aproximadamente 1,73. Con tu profesor o profesora acordarás qué cantidad de cifras decimales utilizarás para dar una aproximación de un número irracional.

Calcula la medida de la diagonal de un cubo de arista 3 cm.

1

2

a cb

3

5

4

figura 1-3

figura 1-4

cateto

hipotenusa

cate

to

figura 1-8

h

1

1

2

2

A

M

B

C


figura 1-7

y

xxA

2424

6

P

B

y

x

(0,4)

(1,1)

(3,5)

(4,2)

figura 1-11

y

x

C (-5,-2)

A (0,8)

B (6,-1)

figura 1-12

1

2

a cb

3

5

4

figura 1-3

figura 1-4

cateto

hipotenusa

cate

to

figura 1-8

h

1

1

2

2

A

M

B

C


figura 1-7

y

xxA

2424

6

P

B

y

x

(0,4)

(1,1)

(3,5)

(4,2)

figura 1-11

y

x

C (-5,-2)

A (0,8)

B (6,-1)

figura 1-12

Recuerda que en todo triángulo equilátero el pie de una altura es el punto medio del lado corres-pondiente.

©Sa

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12 4. Trabajamos con coordenadas

Clasificamos triángulos

Clasifica los triángulos ABC y PQR según sus lados.

1

2

a cb

3

5

4

figura 1-3

figura 1-4

cateto

hipotenusa

cate

to

figura 1-8

h

1

1

2

2

A

M

B

C


figura 1-7

y

xxA

2424

6

P

B

y

x

(0,4)

(1,1)

(3,5)

(4,2)

figura 1-11

y

x

C (-5,-2)

A (0,8)

B (6,-1)

figura 1-12

b. P (1, 5); Q (4, 2); R (5, 6).

¿A qué es igual ( 10)2 ?

1

2

a cb

3

5

4

figura 1-3

figura 1-4

cateto

hipotenusa

cate

to

figura 1-8

h

1

1

2

2

A

M

B

C


figura 1-7

y

xxA

2424

6

P

B

y

x

(0,4)

(1,1)

(3,5)

(4,2)

figura 1-11

y

x

C (-5,-2)

A (0,8)

B (6,-1)

figura 1-12 a. Halla el área del cuadrado al menos de dos formas distintas, sin calcular la

medida del lado.

b. Calcula ahora la medida del lado.

c. Completa: ( )10 2 = …

Con la ayuda del cuadriculado identifica triángulos rectángulos convenientes que te permitan calcular la

medida de los lados de los triángulos dados.

a.

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135. De la relación entre los lados al ángulo rectoLos antiguos egipcios también conocían la relación entre la hipotenusa y los catetos de un triángulo rectángulo. Para construir sus pirámides el uso del ángulo recto era fundamental. Utilizaban una cuerda con doce nudos para obtener rectas perpendiculares sobre el terreno. Con la ayuda de estacas, colocadas en forma conveniente, formaban un triángulo de lados 3, 4 y 5 unidades, que resultaba ser rectángulo.

figura 13Observa que 32 + 42 = 52

Si a, b y c son tres números positivos y se cumple que a2 + b2 = c2, entonces el triángulo de lados a, b y c es rectángulo.

a. Investiga cuáles de los siguientes triángulos son rectángulos.

b. En los triángulos que son rectángulos señala la hipotenusa.

figura 1-14

10

8

62

3

2,5

32

11

10

67

7

55

1

A

B

C1

1

1 1

11

1

1

111

figura 1-16

figura 1-15

80 cm

215 cm

figura 1-17

100

64

x

figura 1-19

13

13

18

1313

24

figura 1-20

A

D

E

G

B

F

C

figura 1-23

15 32 31 34 13

20 22 27 26 30

36 29 25 21 14

17 24 23 28 33

37 18 19 16 35

813

1411

718

174

196

516

129

1015

5247

48

4549

53

5051

46

figura 1-22 figura 1-24

a

figura 1-25

x

figura 1-21

A P

15

12

B

CD

figura 1-18

5,6

3

47,8

figura 1-14

10

8

62

3

2,5

32

11

10

67

7

55

1

A

B

C1

1

1 1

11

1

1

111

figura 1-16

figura 1-15

80 cm

215 cm

figura 1-17

100

64

x

figura 1-19

13

13

18

1313

24

figura 1-20

A

D

E

G

B

F

C

figura 1-23

15 32 31 34 13

20 22 27 26 30

36 29 25 21 14

17 24 23 28 33

37 18 19 16 35

813

1411

718

174

196

516

129

1015

5247

48

4549

53

5051

46


a

figura 1-25

x

figura 1-21

A P

15

12

B

CD

figura 1-18

5,6

3

47,8

figura 1-14

10

8

62

3

2,5

32

11

10

67

7

55

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A

B

C1

1

1 1

11

1

1

111

figura 1-16

figura 1-15

80 cm

215 cm

figura 1-17

100

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x

figura 1-19

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figura 1-20

A

D

E

G

B

F

C

figura 1-23

15 32 31 34 13

20 22 27 26 30

36 29 25 21 14

17 24 23 28 33

37 18 19 16 35

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a

figura 1-25

x

figura 1-21

A P

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B

CD

figura 1-18

5,6

3

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figura 1-14

10

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1 1

11

1

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figura 1-16

figura 1-15

80 cm

215 cm

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15 32 31 34 13

20 22 27 26 30

36 29 25 21 14

17 24 23 28 33

37 18 19 16 35

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174

196

516

129

1015

5247

48

4549

53

5051

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a

figura 1-25

x

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A P

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B

CD

figura 1-18

5,6

3

47,8

figura 1-14

10

8

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3

2,5

32

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10

67

7

55

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A

B

C1

1

1 1

11

1

1

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figura 1-16

figura 1-15

80 cm

215 cm

figura 1-17

100

64

x

figura 1-19

13

13

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figura 1-20

A

D

E

G

B

F

C

figura 1-23

15 32 31 34 13

20 22 27 26 30

36 29 25 21 14

17 24 23 28 33

37 18 19 16 35

813

1411

718

174

196

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129

1015

5247

48

4549

53

5051

46


a

figura 1-25

x

figura 1-21

A P

15

12

B

CD

figura 1-18

5,6

3

47,8

a. Verifica que (9, 12, 13) es una terna pitagórica.

b. Multiplica cada componente de la terna por un mismo entero positivo. La nueva terna que obtuviste, ¿es pitagórica?

c. ¿Puedes obtener otras ternas pitagóricas a partir de (9, 12, 13)? ¿Cuántas?

d. Si (a, b, c) es una terna pitagórica, ¿qué puedes afir-mar de la terna (ma, mb, mc) con m entero positivo? ¿Por qué?

La diagonal de esta puerta es de 228 cm. ¿Es realmen-te rectangular?

figura 1-14

10

8

62

3

2,5

32

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10

67

7

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A

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C1

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11

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figura 1-16

figura 1-15

80 cm

215 cm

figura 1-17

100

64

x

figura 1-19

13

13

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24

figura 1-20

A

D

E

G

B

F

C

figura 1-23

15 32 31 34 13

20 22 27 26 30

36 29 25 21 14

17 24 23 28 33

37 18 19 16 35

813

1411

718

174

196

516

129

1015

5247

48

4549

53

5051

46


a

figura 1-25

x

figura 1-21

A P

15

12

B

CD

figura 1-18

5,6

3

47,8

Si a, b, c son tres números

enteros positivos y se cumple

que a2+b2=c2, entonces

(a, b, c) recibe el nombre de terna

pitagórica.

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723

14 Actividades del capítulo

1) Averigua la distancia aproximada, en metros, desde la plaza Cagancha a la Facultad de Arquitectura, sabiendo que:

• Por 18 de Julio, del Obelisco a la plaza Cagancha hay 24 cuadras.

• Por Bulevar Artigas, del Obelisco a la Facultad de Arquitectura hay 14 cuadras.

• Una cuadra mide, aproximadamente, 80 metros.

2) ABC es un triángulo rectángulo cuyos cate-tos miden 1. Calcula la medida de las hipo-tenusas de todos los restantes triángulos rectángulos que com-ponen la espiral de Teodoro de Cirene.

3) Las áreas de los cuadrados de las figuras son 100, 64 y x. Calcula x.

figura 1-14

10

8

62

3

2,5

32

11

10

67

7

55

1

A

B

C1

1

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11

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figura 1-16

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80 cm

215 cm

figura 1-17

100

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x

figura 1-19

13

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A

D

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figura 1-23

15 32 31 34 13

20 22 27 26 30

36 29 25 21 14

17 24 23 28 33

37 18 19 16 35

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a

figura 1-25

x

figura 1-21

A P

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figura 1-18

5,6

3

47,8

4) Una empresa de transporte no permite que los pasajeros lleven bultos que midan más de 3 metros de largo. Un señor tiene una caña de pescar que mide 4 metros de largo. ¿Cómo puede hacer el señor, que se irá de pesca, para viajar sin infringir la regla de la empresa de transporte?

5) Calcula el perímetro del cuadrilátero sabiendo que sus diagonales son per-pendiculares.

6) Halla el área de un triángulo isósceles rectángulo cuya hipotenusa mide 8.

7) a. Verifica que las siguientes expresiones, obtenidas por Platón corresponden a una terna pitagórica.

2 1 12 2a a a a Z, a>1), , (− + ∈

b. ¿Para qué valor de a se obtiene la terna (8, 15, 17)?

8) ¿Cuál de los dos triángulos tiene mayor área?

figura 1-14

10

8

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2,5

32

11

10

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B

C1

1

1 1

11

1

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figura 1-16

figura 1-15

80 cm

215 cm

figura 1-17

100

64

x

figura 1-19

13

13

18

1313

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figura 1-20

A

D

E

G

B

F

C

figura 1-23

15 32 31 34 13

20 22 27 26 30

36 29 25 21 14

17 24 23 28 33

37 18 19 16 35

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B

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9) ABCD es un cuadrado de lado 9. Calcula la medida de los segmentos EF y DG.

10) ABCD es un rectángulo de diagonal 15. Calcula el área del triángulo DPC.

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20 22 27 26 30

36 29 25 21 14

17 24 23 28 33

37 18 19 16 35

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36 29 25 21 14

17 24 23 28 33

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11) Descubre la relación pitagórica escondi-da en los siguientes cuadrados mágicos.

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15 32 31 34 13

20 22 27 26 30

36 29 25 21 14

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37 18 19 16 35

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Extraído de la Revista do Professor de Matemática, n.° 51, Sociedade Brasileira de Matemática.

12) a. Expresa la medida de la diagonal de un cuadrado en función de la medida de su lado.

b. Expresa la medida de la altura de un triángulo equilátero en función de la medida de su lado.

13) Se han colocado dos escuadras como muestra la figura.

Calcula: AD CD BC AB, , , y

14) En cada caso, representa gráficamente el triángulo cuyos vértices se indican, y calcu-la su perímetro.

a. A (–1, –2), B (0, –3) y C (4, 1).

b. M (0, –2), N (3, 1) y Q (–1, 2).

15) Calcula la medida de la diagonal BH de este prisma recto de base rectangular.


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16) Calcula la medida de la altura de esta pirámide regular de base cuadrada.


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17) Cuando se habla del número de pulga-das de un televisor, se hace referencia a la medida, en pulgadas, de la diagonal de su pantalla. Esto quiere decir que en una televisión de 29 pulgadas la diagonal de su pantalla rectangular mide 29 pulgadas. La relación entre largo y ancho de las televisio-nes tradicionales no es cualquiera, sino que el cociente entre el ancho y el largo de la pantalla es igual a ¾. Con estos datos cal-cula las dimensiones de las pantallas de los televisores de 14, 17 y 20 pulgadas.

18) a. Construye 4 triángulos rectángulos PQR que tengan por hipotenusa el seg-mento PQ.


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figura 1-35

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b. ¿Podrías decir a qué figura pertenecen todos los vértices R?

19) A partir de la figura podemos observar que:

• Se puede expresar el área del cuadrado ABCD como ( )a b+ 2 .

• También se puede obtener el área de ABCD sumando el área de los cuatro triángulos y la del cuadrado más peque ño, esto es:

• De lo anterior podemos deducir que:

( ) ( )a bab

c+ = +2 242

En la expresión anterior, opera y reduce. Interpreta el resultado obtenido.©

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16

Si en vez de construir un cuadrado sobre cada uno de los lados de un triángulo rectángulo, construimos un triángulo equilátero, se cumple que el área del triángulo construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los triángulos construidos sobre los catetos.

¿Cómo lo verificarías?

Esta relación se cumple si construimos sobre cada uno de los lados de un triángulo rectán-gulo, figuras semejantes (tienen la misma forma, pero diferente tamaño).

Para pensar:• ¿Puedes construir sobre los lados de un triángulo rectángulo figuras no semejantes, de forma

que la suma de las áreas de dos de ellas sea igual al área de la tercera?

• Si en lugar de construir cuadrados o triángulos equiláteros, sobre los lados de un triángulo rectángulo, consideramos cubos, ¿se cumplirá que la suma de los volúmenes de dos de ellos sea igual al volumen del tercero?


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Libro matemáticas 3º Santillana Capítulo 1

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