Libro Matematicas 4ESO Mat A

8/10/2019 Libro Matematicas 4ESO Mat A

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matemticas

IES CARPE DIEM

Opcin A


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MATEMTICAS A3

Antes de empezar.

1.Nmeros enteros .. pg. 3Representacin y ordenOperacionesProblemas

2.Fracciones y decimales ... pg. 5Fracciones equivalentes.

Expresin decimal. Clasificacin

3.Nmeros racionales ... pg. 7Representacin y ordenSuma y restaMultiplicacin y divisinPotencias de exponente entero.Operaciones con potencias.Problemas.

4.Notacin Cientfica pg. 11

DefinicinOperaciones

Ejercicios para practicar

Para saber ms

Resumen

Autoevaluacin

Objetivos

En esta quincena aprenders a:

Representar y ordenar nmerosenteros

Operar con nmeros enteros

Aplicar los conceptos relativosa los nmeros enteros enproblemas reales

Reconocer y representarnmero racionales

Operar con nmerosracionales

Expresar nmeros en notacincientfica y operar con ellos

Los nmeros enteros y racionales1


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4 MATEMTICAS A


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MATEMTICAS A5

Antes de empezar

Comienza con un juego de nmeros:

Y aqu tienes alguno ms para practicar:

Los nmeros enteros y racionales

Tienes que rellenar las casillas que estn enblanco, con nmeros del 1 al 9, con la nicacondicin de que sumen los nmeros blancosindicados y que no se pueden repetir en lamisma fila o columna.


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4 MATEMTICAS A

1. Nmeros enteros

Representacin y orden

El conjunto de los nmeros enterosZest formadopor:

Nmeros enteros positivos: 1,2,3,4....

Nmeros enteros negativos: -1,-2,-3,-4..

El nmero cero: 0

El opuesto de un nmero entero, op(a), es elnmero cambiado de signo: op(a)=-a, op(-a)=a

El valor absoluto de un nmero entero, |a|, es el

mismo nmero si es positivo y su opuesto si esnegativo.

Los nmeros enteros son un conjunto ordenado.

Los nmeros enteros se representan en la rectanumrica.

Suma y resta

Para sumar dos nmeros enteros, a+b

Si son del mismo signo se suman sus valoresabsolutos y se pone el mismo signo.

Si son de distinto signo se restan sus valoresabsolutos y se pone el signo del nmero de mayorvalor absoluto.

Para restardos nmeros enteros, a-b, se sumaal primero el puesto del segundo: a - b = a + (-b).

Producto y divisin

Para multiplicar dividirdos nmeros enteros, semultiplican se dividen sus valores absolutos. Elsigno ser positivo si los dos son del mismo signo ynegativo si son de signo contrario.

Regla de los signos:


Opuesto:op(-3)=3

op(8)=-8

Valor Absoluto:|7|=7

|-3|=3

Orden:-3


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MATEMTICAS A5


EJERCICIOS resueltos

1. Calcular el valor absoluto de -3, 5, 0

Sol:| 3 | 3 |5| 5 |0 | 0 = = =

2. Ordena de mayor a menor: -78, -12, -35

Sol: 12 35 78 > >

3. Calcula el opuesto de -3, 7, 0

Sol: op( 3) 3 op(7) 7 op(0) 0 = = =

4. Calcula: 4(1 9) 1 8(1 2) + +

Sol: 4(1 9) 1 8(1 2) 4( 8) 1 8(3) 32 1 24 9 + + = + = + =

5. Calcular: 8(7 3) :( 8) +

Sol: Dividiendo 8(7 3):( 8) 8(10) :( 8) 80 : 8 10 + = = = 5x 4 3+ =

6. Halla el m.c.m. (882,168)

Sol:2 2 3

3 2 2

882 23 7 168 2 37

mcm(882,168) 2 3 7 3528

= =

= =

7. Todos los pasteles que hemos fabricado hoy los hemos metido en cajas de 75 y189 pasteles y no ha sobrado ninguno. Cuntos pasteles como mnimo henosfabricado hoy?

Sol: Se han fabricado 4725 pasteles2 3

3 2

75 35 189 3 7

mcm(75,189) 3 5 7 4725

= =

= =

8. El pasillo de una casa tiene 1024 cm de largo por 192 cm de ancho. Se quierenponer baldosas cuadradas del mayor tamao posible. Halla las dimensiones que

deben tener las baldosas si no queremos cortar ninguna.

Sol: Las baldosas deben tener 64 cm de lado642)192,1024(mcd

32192210246

610

==

==

9. Cunto tiene que valer x para qu el nmero 9x7 sea divisible por 3?

Sol:9 x 7 16 x tiene que ser mltiplo de 3

x 2 x 5 x 8

+ + = +

= = =

10. Escribe un nmero mayor de 200 y menor 250 que sea mltiplo de 30

Sol: 210, 240


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6 MATEMTICAS A

2. Fracciones y decimales

Fracciones equivalentesUna fraccines una expresin de la forma:

ab

con a y b nmeros enteros y b#0, a se llamanumerador y b denominador.

Si m.c.d.(a,b)=1 la fraccin se dice irreducible.

Dos fraccionesa c

yb d

son equivalentes si ad=bc

Expresin decimal. Clasificacin

Para obtener la expresin decimal de una fraccin, sedivide el numerador entre el denominador.

Al hacer esta divisin el resultado puede ser:

Decimalexacto

Nmero finito decifras decimales

Los nicosdivisores deldenominador son2 o 5

Peridico

puro

La parte decimal

se repiteindefinidamente(periodo)

Los nmeros 2 o

5 no sondivisores deldenominador

Peridicomixto

La parte decimalesta formada poruna parte que nose repite (anteperiodo) seguidadel periodo

Los divisores deldenominador son2 o 5 y tieneadems otrosdivisores

Los decimales exactos y peridicos, puros o mixtos,

pueden expresarse ne forma de fraccin.

Fraccin irreducible

34

mcd(3,4) 1=

Fracciones equivalentes

3 64 8

38 4624 24

=

==

Decimal exacto:7

3'52

=

y al contrario:

2087

100435

35,4 ==

Peridico puro:1

0'3333.... 0 '33

= = )

y al contrario:

313

939

9443

3,4 ==

=)

Peridico mixto:)1

0'1666.... 0'166

= =

y al contrario:

300

1234

900

3702

900

4114113311,4 ==

=

)


El conjunto de los nmeros racionalesQesta formado por todos los nmeros quese pueden expresar en forma de fraccin


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MATEMTICAS A7



11. Escribe la fraccin irreducible de:

a)160800

Sol:1

se simplifica por 1605

b)128256

Sol:1


c)14448

Sol:1


12. Halla x para que las fracciones sean equivalentes:

a)25 75

yx 27

Sol: x 9=

b)25 75

y32 x

Sol: x 96=

c)x 88

y18 36

Sol: x 44=

13. Escribe la expresin decimal de las siguientes fracciones:

a)889

Sol: 7,9)

b)33199

Sol: 3,34

c)113

Sol: 6,3)

14. Escribe la fraccin generatriz de:

a) 3,332 Sol:3319990

b) 7,68 Sol:19225

c) 5,80 Sol:57599


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8 MATEMTICAS A

3. Nmeros racionales

Representacin y ordenLos nmeros racionales es un conjunto ordenado,para ordenar las fracciones se escriben fraccionesequivalentes a ellas con el mismo denominador(reducir a comn denominador) y se ordenan losnumeradores.

Los nmeros racionales se representan de maneraexacta en la recta numrica.

Suma y resta

Para sumar o restar las fracciones se reducen a

comn denominador y luego se suman o restan losnumeradores.

Multiplicacin y divisin

El producto de dos nmeros racionales es otronmero racional que tiene por numerador elproducto de los numeradores y por denominador elproducto de los denominadores.

Para dividirdos nmeros racionales se multiplica laprimera fraccin por la inversa de la segunda

Suma3 1 9 2 114 6 12 12 12

+ = + =

Resta3 1 9 2 74 6 12 12 12

= =

Producto3 1 31 3

4 5 45 20= =

Cociente

3 1 35 15:4 5 41 4

= =


Antes de representar una fraccinhay que saber entre que valoresest comprendido

9 12

4 4

9 41 2

= +

9

2 34

< <

Se divide el segmento deextremos 2 y 3 en cuatro partesiguales:

Operaciones connmeros peridicos

) 12 1 178 171'2 1'78

9 90

11 161 110 1619 90 90 90

271 3'0190

+ = + =

= + = + =

= =

)

)

Para sumar o restar los nmerosracionales se escriben en forma defraccin y luego se suman o restan lasfracciones.


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MATEMTICAS A9

En la vida cotidiana aparecensituaciones donde es necesariotrabajar con nmeros faccionarios.

Para resolver problemas confracciones debes seguir las mismas

pautas que con otros tipos deproblemas.

Lee atentamente elenunciado.

Reflexiona sobre la situacinque propone el problema,qu te pide, qu datostienes,...

Organiza la informacin quetienes, haz un esquema, undibujo...

Una vez que tengas la

solucin comprubala.

Potencias de exponente enteroSi a es un nmero real y n un nmero natural, se

tiene que:

n

n veces

a aa=14243

nn

n veces

1 1 1a

a aa = =

14243

Adems para cualquier valor de a distinto de 0, secumple:

0 1 1 1a 1 a a aa

= = =

Para elevar una fraccin a una potencia se elevan el

numerador y el denominador.

Operaciones con potencias

Si m y n son nmeros enteros cualesquiera secumple:

nmnm aaa +=

nmn

ma

a

a =

( ) nmnm aa = mmm )ba(ba =

m

m

m

ba

b

a

=

Resolucin de problemas

Si tres kilos y cuarto de manzanas cuestan 26 .Cunto costaran dos kilos y medio?

Calculamos el precio de un kg de manzanas. Para ello sedivide le precio pagado entre los kilogramos comprados:

1 26 13 1042'6 : 3 : 0'8 /kg

4 10 4 130

+ = = =

El precio de dos kilos y medio ser:

1 8 5 400'8 2 2

2 10 2 20

+ = = =

Un abuelo deja al morir 120000 para sus nietosJuan, Pedro y Ana. A Juan le toca 1/5, a Pedro 1/3 ya Ana el resto.Cunto le toca a cada uno?

1 120000Juan 120000 24000

5 5

1 120000Pedro 120000 200003 2

Ana 120000 24000 96000

= =

= =

=


1174 333 =

34

73

3

3=

( ) 2874 33 = 5555 15)53(53 ==

32221

63

6

3 555

5

5==

=

=

2

2

2

3 3

3

3 3 3

3

0

1

3 33 9

1 1

3 93

2 2 83 273

2 3 3 273 2 82

3 1

13

3

= =

= =

= =

= = =

=

=


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10 MATEMTICAS A



15. Ordena de mayor a menor:a)

56 31y

5 2 Sol:

31 562 5

> b)10 33

y3 2

Sol:10 333 2

>

16. Calcula dando el resultado en forma de fraccin irreducible:

a)4

131239

129

469

21

4611

310

21

465

1310

21

4 ====

=

+

b)60209

6016

60175

6050

154

1235

65

154

125

765

3:54

32

41

725

31

=+=+=

=

c)98

2724

202720

24

2027

20

9

4

3

203

23

20

33

4

3

34

:51

23

5

2

4

13

4

3

===

+

=

=

17. Calcula dando el resultado en forma decimal:

a) 2,98+ 4,6)

Sol: 43,999934

9664

992298

==

+

b) 6,541 )

Sol: 641,536195

9556

41 )

==

c) 0,1 0,24 Sol: 132,0990131

9924

101

==

18. Calcula dando el resultado en forma decimal:

a)1

:2'72

)

Sol: 18,0509

925

:21

9227

:21

===

b)) 5

4'63

Sol: 7,727210

35

:942

35

9446 )

===

c) 6,15 : 0,5 Sol: 30,1299

121821

:99609

21

:99

6615===

19. Calcula las siguientes potencias:

a) 32

Sol: 81

2

13 = b)

253

Sol: 25

953

2

=

c) ( ) 43 Sol:811

)3(

14

=

d)3

21

Sol: 8)2( 3 =

20. Calcula:

a)3

2 14 8

Sol: ( ) ( ) 4222 23322 == b)34

23

:32

Sol:23

23

34

=

c)7

5

49

343 Sol: 77)7(

)7( 141572

53== d) (x3)5(x4)-3 Sol: x15-12=x3


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MATEMTICAS A11

4. Notacin cientficaDefinicin

Para escribir nmeros muy grandes o muy pequeosse emplea la notacin cientfica.

Los nmeros escritos en notacin cientfica son fcilesde comparar:

Los nmeros esSi k>0 el nmero de cifras

enteras es k+1. Si k


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12 MATEMTICAS A


21. Escribe en notacin cientfica:a) 0'0000038 Sol: 63'810

b) 1230000000 Sol: 91'2310

22. Escribe la expresin decimal de:

a)88'4410 Sol: 844000000

b)42'110 Sol: 0'00021

23. Cuntas cifras decimales tiene el nmero:

a)93'210 Sol: 10

b) 197'2710 Sol: 21

24. Cuntas cifras enteras tiene el nmero:

a)233'210 Sol: 24

b)541'23410 Sol: 55

25. Realiza las siguientes operaciones:

a) 23 223'210 1'510+

Sol: ( ) ( )23 22 1 23 23 233'210 1'510 3'2 1'510 10 3'2 0'15 10 3'3510+ = + = + =

b)12 114'110 1'510

Sol: ( ) ( )12 11 1 11 11 114'110 1'510 4'110 1'5 10 0'41 1'5 10 1'1910 = = =

c)12 324 '110 210

Sol: 12 32 434'110 2 10 8'210=

d)

23

22

6'210210

Sol:23

4522

6'2103'110

210 =

e)( )

2236'210

Sol: ( )223 46 476 '210 38'4410 3'84410= =



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MATEMTICAS A13

Parapracticar

1.Calcula:

a) 6 6(3 1)

b) 2 (3 5(2 5) 1) +

c) 3 3(4 4(3 7) 1) +

d) 6 (1 2( 3 1) 5) +

2.Calcula:a) 6 :2 2(3 1)

b) ( 16) :2 34

c) 30 :(5 5(2 3)) 1 +

d) 4(15:5 2) :2

3.Indica si los siguientes pares defracciones son equivalentes:

a) 3 6y5 10

b)4 8

y5 9

c)3 3

y5 5

4.Halla x para que las fracciones seanequivalentes:

a) 2 xy3 12

b)x 10

y3 15

c)2 8

yx 28

5.Escribe la expresin decimal:

a)

7

5 b)

5

3 c)

17

15

6.Escribe la fraccin generatriz:

a) 2,1)

b) 3,12

c) 23,2 )

d) 1,92

7.Indica qu tipo de nmero decimal es:

a)128625

b)22354

c)5127

8.Ordena de menor a mayor:

a) 7 67y4 20

b)5 3

y3 2

c)23 34

y2 3

9.Calcula y simplifica:

a)

7 2 1

4 3 5+

b)3 1

35 2

+

c)2 1

34 3

+

d)

+

+ 2

52

43

141

53

e)

+

+

51

141

131

1



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14 MATEMTICAS A


a) 7 2 6 4 3 5

b)7 2

:4 3

c)3 5 1

: :4 2 5


a)1 2 1

14 3 2

+ +

b)1 3 2

: 4 2 5

c)

2 2 13

5 3 223

+

d)

3

13

694


a) 1'5 3'7+) )

b) 2 '3 3'1) )

c) 3'5:1'7) )


a)3

32

b)3

23

c)3 2

3 2

2 5

d)2343

25

:25

52

14.Escribe en notacin cientfica:

a) 23'12034 b) 120'12310

15.Calcula y escribe el resultado ennotacin cientfica:

a) 17 182 '310 5 '610+

b) 8 96 '810 5 '610

c) 7 182'410 5 '210

d)7

81'24102'4810

16.Sonia bebe diariamente un litro deleche. Si la leche la compra en botellasde un cuarto de litro. Cuntas botellasdebe comprar para 14 das?

17.Si medio kilo de fruta cuesta 3.cuntocostarn tres kilos y medio?

18.Al morir Juan deja una fortuna de420.000. A su mujer le deja la mitad yel resto a sus tres hijos en partesiguales. Cunto le toca a cada uno?.

19.En un laboratorio se ha observado quela poblacin de un cultivo de bacteriasse multiplica por 5 cada hora. Si elnmero inicial era de 1,41016bacterias,cuntas habr al cabo de 5 horas?.

20.Un microorganismo mide 1,5 micras;sabiendo que una micra es lamillonsima parte de 1 m, expresa enmetros y en notacin cientfica lalongitud que ocupan 7 millones demicroorganismos puestos en fila.

21.Un embalse que abastece a unapoblacin tiene 107,8 dam3de agua. Siuna persona gasta por trmino medio770 litros de agua anuales. A qu

poblacin podr abastecer en un ao?.



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MATEMTICAS A15

Para saber ms

Algoritmo de Euclidespara hallar el m.c.d. de dos nmeros

El m.c.d. de dos nmeros sepuede calcular dividiendo losnmeros, luego se divide eldivisor entre el resto yas hasta que el resto escero. El ltimo cociente esel m.c.d.

Fjate en estos dosejemplos.

Sudokus

Al comienzo del tema se propona un juego con nmeros,este tipo de pasatiempos se ha hecho muy popular en losltimos aos. Posiblemente el ms famoso sea el "sudoku",que tiene verdaderos adeptos en todo el mundo. Suele ser uncuadrado 9x9, en el que hay que colocar las cifras del 1 al 9sin repetir en la misma fila o columna, ni en cada regin 3x3en que se divide el cuadrado grande.

Aqu tienes dos, tamao 4x4, para entrenarte, el de coloresest resuelto, completa el de nmeros, es muy fcil, qu tediviertas!.



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16 MATEMTICAS A

Recuerda

lo ms importante


Notacin cientfica

Nmeros enteros

Nmeros enteros positivos:+1,+2,+3,..Nmeros enteros negativos:-1,-2,-3,-4,..El nmero cero

Valor absoluto

|+a |=a |-a |=a |0|=0

OpuestoOp (-4)=4 Op (4)=4.

Potencia positiva de un nmeroentero

vecesnn a...aaaa =

Potencia positiva de una fraccin

n

nn

b

aba

=

Potencia negativa de un nmeroentero

nn

a

1a =

Potencia negativa de una fraccin

n

nn

a

bba

=

Nmeros Racionales

Son los que pueden expresarse enforma de fraccin.

Nmeros enterosPositivosNegativos

El ceroNmeros decimales

Exactos 1,23Peridicos

Puros 1'23Mixtos 1'23


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MATEMTICAS A17

Autoevaluacin

1. Calcular 5(8 7) 3 4( 9 3) + + :

2. Cul es el mayor valor que puede tener x para qu elnmero 3x6sea divisible por 3

3. Halla x para qu las fracciones40 80

yx 64

sean equivalentes

4. Encuentra el periodo de74399

5. Escribe en forma de fraccin irreducible el nmero 6'435

6. Calcular:)

8'667 4'8)

7. Calcular:3 2 2

98 5 3

+

8. Cuntas botellas de dos tercio de litro se pueden llenar con128 litros de agua?

9. Calcular: 5 46'310 6'610

10. Calcular:1 2

7 4

6 7



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18 MATEMTICAS A

Soluciones de los ejercicios para practicar

1. a) -6 b) 35c) -60 d) 18

2. a) -1 b) -20c) 4 d) 2

3. a) si b) no c) no

4. a) 8 b) 2 c) 7

5. a) 14 b))

1'6 c) 1'13)

6. a)119

b)10333

c)20990

d) 4825

7. a) decimal exactob) peridico mixtoc) peridico puro

8. a)7 674 20

<

b)5 33 2

<

c)34 233 2

<

9. a)

133

60 b)

31

30 c)

35

12

d)1021

e)6023

10. a)7

5

b)21

8

c)3

2

11. a)54

b)3110

c)512

12. a) 5'3)

b) 0'7 )

c) 2

13. a)278

b)278

c)2750

d)25

14. a) 11031203,2

b) 41023,1

15. a) 181083,5 b) 81024,6

c) 1010248,1 c) 16105

16. 56

17. 9

18. 210.000 y 70.000

19. 4,375 1019

20. 1,05 10 m

21. 1,4 106

No olvides enviar las actividades al tutor


SolucionesAUTOEVALUACIN1. -32

2. 9

3. 32

4. 50

5. 6371/990

6.)

3'778

7.7124

8. 282

9. 55'6410

10. 2649


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MATEMTICAS A19

Antes de empezar.

1. Los nmeros reales pg. 22Nmeros irracionalesNmeros realesAproximacionesRepresentacin grficaValor absolutoIntervalos

2. Radicalespg. 26Forma exponencialRadicales equivalentes

3. Propiedades de las races pg. 27Ordenacin de nmeros realesValor absoluto y distanciasIntervalos y semirrectas

4. Operaciones con races pg. 28

Introducir y extraer factoresCalcular racesSumas y restasProductosCocientes


Para saber ms

Resumen

Autoevaluacin

Objetivos


Clasificar los nmeros realesen racionales e irracionales.

Aproximar nmeros reales portruncamiento y redondeo.

Representar grficamentenmeros reales.

Comparar nmeros reales.

Realizar operaciones sencillascon radicales.

Nmeros reales2


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20 MATEMTICAS A


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MATEMTICAS A21

Antes de empezar

Investiga

Seguramente hayas realizado alguna vez algn clculo con el nmero pi; por ejemplo,calcular la longitud de alguna circunferencia o el rea de un crculo. En estos clculoshabrs utilizado valores como 3'14, 3'1416, 3'141592,... Tambin es posible que hayasledo en algn peridico que se ha descubierto otra cifra del nmero pi, o que ya se conocencon exactitud tantas cifras del nmero pi. Todo lo anterior resulta un poco confuso. Cul delas cantidades anteriores es el autntico nmero pi? Cmo es posible que llamemos pi atodas ellas si es obvio que son diferentes? Cmo es posible que se estn descubriendotodava cifras de pi si lo estamos usando desde hace un montn de aos?

Intenta dar una respuesta a estas preguntas. Si no lo consigues ahora vuelve a intentarlodespus de ver este tema en profundidad. Para finalizar la propuesta ah va otra pregunta:

Cul es o cul podra ser la ltima cifra del nmero pi?

Nmeros reales


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22 MATEMTICAS A

El nmero es irracional (ampliacin)

Cmo puede saberse si un nmero es irracional? No hay una tcnica general pero en algunos casos puedeusarse una tcnica de demostracin denominada r e d u c c i n a l a b s u r d o que consiste en suponer que lo quese quiere probar es falso y llegar, a partir de esa suposicin, a una contradiccin. Eso implica que el hechoinicial no puede ser falso.

Lo que queremos probar es que no es un nmero racional.Para ello empezaremos suponiendo que s lo es.

Por tanto puede escribirse en forma de fraccin que podemos convertir en irreducible simplificando todo lo quese pueda. As pues, existiran dos nmeros enteros, my n, sin factores primos comunes de forma que

Siendo p1, p2,,pr los factores primos de n y q1, q2,,qr los factores primos de m y todas las p son distintas

de todas las q. Elevando al cuadrado queda:

Y n2y m2siguen sin tener factores primos comunes. Por tanto, n2=2m2, de donde se deduce que n es divisiblepor 2 y por tanto puede escribirse como n=2t. As pues:

Y t y m no tienen factores primos comunes. Elevando de nuevo al cuadrado queda:

Por tanto, m tambin es divisible por 2. Partiendo de que n y m no tienen factores primos comunes hemos

llegado a la conclusin de que ambos son mltiplos de 2. Hemos llegado a una contradiccin. Por tanto la

suposicin de que este nmero es racional es falsa y deducimos de ello que es irracional.

1. Los nmeros reales

Nmeros irracionales

En la quincena anterior has visto que los nmerosracionales pueden escribirse en forma decimal,produciendo siempre un decimal exacto o peridico.Tambin hemos visto que todo decimal peridicopuede escribirse en forma de fraccin.

Es fcil comprobar que hay nmeros cuya expresindecimal no es peridica, por ejemplo:

0,1234567891011121314.....

Estos nmeros no se pueden escribir en forma defraccin: n o s o n r a c i o n a l e s .

Llamamos irracionales a los nmeros cuya partedecimal no es peridica.

Nmeros reales

REPRESENTACIN DENMEROS IRRACIONALES

El hecho de que los nmeros irracionalestengan infinitas cifras decimales que nose repiten de forma peridica plantea elproblema de cmo representar dichosnmeros de forma exacta.

Algunos de estos nmeros puedenrepresentarse de forma exacta. Porejemplo:

son representaciones exactas de losnmeros 1,41421356; 1,61803398;1,709975947 respectivamente (lospuntos suspensivos indican que no hayun final).

En cambio, otros nmeros irracionales

no pueden expresarse en forma exacta.Por ejemplo, el cociente entre lalongitud de una circunferencia y sudimetro es una cantidad constante quees irracional pero no puede ser descritoen una forma sencilla como los nmerosanteriores.

Para representar estos nmeros deforma exacta les ponemos un nombre.En este caso se trata del nmero pi: .Para hacer clculos con estos nmerosusamos un valor aproximado.


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MATEMTICAS A23

Un truncamiento siempre es unaaproximacin por defecto; elredondeo puede ser por defectoo por exceso.

Nmeros reales

El conjunto de los nmeros reales,denotado por la letra R con la forma queves a la izquierda, est formado por todoslos nmeros racionales y todos losnmeros irracionales. Es decir, todos los

nmeros que pueden escribirse en forma decimal, seasta exacta, peridica o no peridica.

Esto engloba a todos los tipos de nmeros queconocemos hasta el momento.

esIrracionaliosFraccionar

negativosEnterosCero

NaturalesN

EnterosZRacionalesQalesReR

Aproximaciones

Como has comprobado, los nmeros reales tieneninfinitas cifras decimales, por lo que, en general, noes posible dar su valor exacto. En algunos casos,como los racionales (con la fraccin generatriz) y losradicales, s es posible representarlos de formaexacta. Pero en infinidad de otros casos (como elnmero

) esto no es posible.

Cuando en un problema necesitamos usar un nmerocon infinitas cifras decimales, en la prctica usamosun valor aproximado que nos permita obtener unresultado aceptable aunque no sea exacto.

Una aproximacin es por defectosi es menor que elnmero exacto y por excesosi es mayor.

Cuando en un decimal nos quedamos con las nprimeras cifras decimales decimos que hemosrealizado un truncamiento con n cifrassignificativas.

Realizamos un redondeo con n cifrassignificativas, si truncamos con n cifras, dejandoigual la cifra n-sima si la siguiente es menor que5, y aumentando la ltima cifra en una unidad encaso contrario.

Observa los ejemplos de la izquierda donde se toman

distintas aproximaciones de 2 .

TRUNCAMIENTO REDONDEO1,4 1,41,41 1,411,414 1,4141,4142 1,41421,41421 1,414211,414213 1,4142141,4142135 1,41421361,41421356 1,41421356

Nmeros reales

4212411 ,,


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24 MATEMTICAS A

Representacin grfica de nmerosirracionales

En este tema hemos visto ya las dificultades derepresentar de forma exacta los nmeros irracionales,dificultades que se trasladan a su representacingrfica.

A la derecha puedes ver distintas tcnicas usadaspara la representacin en forma grfica de nmerosirracionales. En algn caso pueden usarse mtodosgeomtricos de gran exactitud, pero en la mayora delos casos slo podemos realizar una representacinaproximada, eso s, con el nivel de precisin quequeramos.

Estos mtodos garantizan que puede asociarse demanera nica un punto de la recta a cada nmeroreal y, recprocamente, un nmero real a cada puntode la recta. Por este motivo suele identificarse alconjunto Rde los nmeros reales con una recta, a laque se denomina recta real.

Valor absoluto

La equivalencia entre puntos y nmeros permite

aplicar conceptos geomtricos al clculo, en particularla idea de distancia mediante el valor absoluto de unnmero.

Llamamos valor absoluto de un nmero real, a, almayor de los nmeros ay -a. El valor absoluto dease representa as: |a|.

El valor absoluto de un nmero representa ladistancia del mismo al cero. Podemos generalizar esta

idea:

La distanciaentre dos nmeros reales, ay b, esel valor absoluto de su diferencia:

d(a,b)=|b-a|=|a-b|

= 3,141592353589793...

De esta forma podemos acotar entredos nmeros racionales, que yasabemos representar, y que estn cadavez ms prximos.

a=2,6828 |a|=2,6828

-a=-2,6828 |-a|=2,6828

Si a y b tienen el mismo signo ladistancia entre a y b es la resta de losvalores absolutos, y si el signo esdistinto la suma.

a=-4,2946 |a|=4,2946

b=2,5447 |b|=2,5447

d(a,b)=6,8393

a=3,0054 |a|=3,0054

b=4,2861 |b|=4,2461

d(a,b)=1,2807

Propiedades del valor absoluto

1) |a| 02) |a|=|-a|

3) |a+b||a|+|b|

4) |ab|=|a||b|

5)|b||a|

ba

=

Nmeros reales


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MATEMTICAS A25

EJERCICIOS resueltos1. Indicar el menor de los conjuntos numricos a los que pertenecen los nmeros:

16)f5)e26

)d32

)c310,6)b...97509,5)a )

a ) R (decimal no peridico) b ) Q (decimal peridico) c ) Q (fraccin no exacta)

d ) Z (fraccin exacta negativa) e ) R (radical no exacto) f ) N (radical exacto)

2. El radio de una circunferencia es de 4 m. Calcula su longitud

2.1.Truncando el resultado primero a cm y luego a m.

L = 2 r = 2 4 , 8 8 1 4 1 3 8 1 . ..m = 2 4 8 8 c m = 2 4 m

2.2.Redondeando el resultado primero a cm y luego a mL = 2 r = 2 4 , 8 8 1 4 1 3 8 1 . ..m = 2 4 8 8 c m = 2 5 m

3. Calcula el valor absoluto de los nmeros a=-3 y b=5, y la distancia entre ellos.

| a | = 3 , | b | = 5 , d is t ( a ,b ) = | b - a | = | 5 - ( - 3 ) | = | 8 | = 8

4. Calcula |a+b| |a-b| |ab| y |a/b|| a + b | = | - 3 + 5 | = | 2 | = 2 ; | a -b | = | - 3 - 5 | = | - 8 | = 8 ; | a b | = | - 3 5 | = | - 1 5 | = 1 5 ;

| a / b | = | - 3 / 5 | = 3 / 5

5. Indica qu puntos pertenecen al intervalo en cada caso:

5.1.Intervalo (-74,-52]. Puntos: a) 53 b) 74 c) 11 R e sp u e s t a : a

5.2.Intervalo (-,75]. Puntos: a) 32 b) 75 c) 76 R e sp u e s t a : a y b .

Intervalo cerrado:Los extremos pertenecen al intervalo.

[a,b]= }{ bxa/Rx

Intervalo abierto:Los extremos no pertenecen al intervalo.

(a,b)= }{ bxa/Rx


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26 MATEMTICAS A

2. Radicales

Forma exponencial

Llamamos raz n-sima de un nmero dado, a, alnmero bque elevado a nnos da a.

Un radical es equivalente a una potencia deexponente fraccionarioen la que el denominadorde la fraccin es el ndicedel radical y el numeradorde la fraccin es el exponente el radicando.

Radicales equivalentes

Dos o ms radicales se dicen equivalentes si lasfracciones de los exponentes de las potenciasasociadas son equivalentes.

Dado un radical se pueden obtener infinitos radicalessemejantes, multiplicando o dividiendo el

exponente del radicando y el ndice de la raz por unmismo nmero. Si se multiplica se llama amplificarysi se divide se llama simplificarel radical.

Radical irreducible, cuando la fraccin de la potenciaasociada es irreducible.

Nmeros reales

nn a b b a= =

pn p na a=

82serpor28 33 ==

31

3 55=

52

5 2 xx =

6 43 2 xx =

son equivalentes por ser:64

32

=

Amplificar: 6 423 223 2 xxx ==

Simplificar:3

226

246

4 xxx ==:

:

3 2x Irreducible por ser m.c.d.(3,2)=1


6. Escribe los siguientes radicales como potencia de exponente fraccionario:

a) 5 3 51

5 33= b) 5 3X 5 3X

7. Escribe las siguientes potencias como radicales:

a)127

127 7= b)

235

23 2 335 5 25= =

8. Escribe un radical equivalente, amplificando el dado:

a) 3 5 66 223 213 25555 === b) 5 4x 15 1235 345 4 xxx ==

9. Escribe un radical equivalente, simplificando el dado.

a)

6

49

32:6 2:26 26

77749 ===

b) 35 28x 5 47:35 7:2835 28 xxx ==


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MATEMTICAS A27

3. Propiedades de las races

Raz de un producto La raz n-sima de un producto es igual al productode las races n-simas de los factores.

Demostracin:1 1 1

n n nn n nab (ab) a b a b= = =

Raz de un cociente

La raz n-sima de un cociente es igual al cociente delas races n-simas del dividendo y del divisor.

Demostracin:

11nnn

n1 nn

a a a ab b b

b

= = =

Raz de una potencia

Para hallar la raz de una potencia, se calcula la razde la base y luego se eleva el resultado a la potenciadada.

Demostracin:

( )

pp 1 pn p nn na a a a

= = =

Raz de una raz

La raz n-simade la raz m-sima de un nmeroes igual a la raz nm-sima de dicho nmero.

Demostracin:

11 1n

n m nmm nma a a a

= = =

nn

n

a ab b

=

( )p

n p na a=

n m nma a=

n n nab a b=

33 325 2 5=

7 2 4 7 2 7 4a b a b=

55

5

2 23 3

=

54 45

3 5 3

a ab b

=

( )3

5 3 55 8 2 2= =

( )7

3 7 3x x=

5 3 152 2=

Nmeros reales


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28 MATEMTICAS A

4. Operaciones con races

Introduccin y Extraccin de factores

Para introducir un factor dentro de un radical seeleva el factor a la potencia que indica el ndice y seescribe dentro.

Si algn factor del radicando tiene por exponente unnmero mayor que el ndice, se puede extraerfueradel radical dividiendo el exponente del radicandoentre el ndice. El cociente es el exponente del factorque sale fuera y el resto es el exponente del factorque queda dentro.

Clculo de races

Para calcular la raz n-sima de un nmero primero sefactoriza y se escribe el nmero como producto depotencias, luego se extraen todos los factores.

Si todos los exponentes del radicando son mltiplosdel ndice, la raz es exacta.

Esta tcnica es muy til para hallar races exactas.Cuando la raz no es exacta esta tcnica transforma elradical en una expresin ms manejable.

Nmeros reales


10.Escribe con una sola raz:

a) 5 3 5 103 3=

b) 47 X x 7 144 8 97 X x x x x= =


a) 44 3 27 4 444 43 27 81 3 3= = =

b) 5 25 x x 5 52 35 x x x=


a)3

3

16

2

333

3

16 168 2

22 = = =

b)5 4

5 3

x

x

5 4 455

35 3

x xx

xx= =

Introducir

3 43 33 xxxxx ==

333 33 24383232 ===

Extraer:

5 325 13 xxx = 13 5

3 2

1728 2864 2432 2216 2108 254 227 39 33 3

1

3 6 33

2

1728 2 3

2 3 12

= =

= =


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MATEMTICAS A29

Sumas y Restas

Dos expresiones radicales son semejantes si tienenel mismo ndice y el mismo radicando. Por ejemplo:

Solo se pueden s u m a r o r e s t a r radicalessemejantes. Para ello se saca factor comn el radicalcorrespondiente y se suman o restan los coeficientes.

En ocasiones podemos sumar radicales no semejantesextrayendo algn factor que los convierta en

semejantes.

Productos

Dos expresiones radicales pueden multiplicarse slo sitienen el mismo ndice. En este caso el producto sehace de la siguiente manera:

comprobando al final si puede extraerse algn factordel radical.

Si los radicales no son del mismo ndice, primero sebuscan radicales semejantes que tengan el mismondice y luego se multiplican. Ejemplo:

Aqu solo veremos radicales cuadrticos.

CocientesDos expresiones radicales puedendividirse slo si tienen el mismondice. En este caso el cociente sehace como se ve en la imagen:

En la prctica no suelen dejarse radicales en eldenominador y en lugar de hacer as la divisin seutiliza otro mtodo llamado racionalizacin queconsiste en encontrar una fraccin equivalente que notenga radicales en el denominador.

En el cuadro adjunto describimos este mtodo para

radicales cuadrticos.

Nmeros reales


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30 MATEMTICAS A


13. Introduce los factores dentro del radical:

a) 4 32 444 44 483163232 ===

b) 7 32 xx 7 177 3147 3727 32 xxxx)x(xx ===

14. Extrae los factores del radical:

a)4 128

4 47 34 4128 2 2 2 2 8= = =

b) 7 30x 7 7 7 730 28 2 28 2 4 2x x x x x x+= = =

15. Calcular las siguientes races:

a) 5 1024 5 10 25 1024 2 2 4= = =

b) 7 84x 7 784 127 12 7 77x x (x ) x= = =

16. Indica que radicales son semejantes

a) 4 43;5 3 4 43 y 5 3 Son semajentes

b) 34 x; x 34 x y x No son semajentes,tienen distinto indice

17. Calcular la suma:

a) 40 90+ 40 90 410 910 2 10 3 10 5 10+ = + = + =

b) 2 32 8 5 3 22 32 8 2 2 2 22 2 2 2 8 2 2 2 6 2 = = = =

18. Calcular el producto:

a)

252

37

1476

252

37

1476

= 284273227322732723776 22322 ===

b) ( )45217535

( )452175

3

5

= 35507553

3

10753

3

105375

3

10 3222 ===

19. Calcular el cociente:

1084

2429

1084

2429

=823

96232

9632

108825929

1081088

108249

8108

249 2245=

=

=

==

Nmeros reales


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MATEMTICAS A31

Para practicar

1.Considerando 7,4833147735.... comoel valor exacto de 56 , escribe lasaproximaciones por defecto, por excesoy redondeos de orden primero ysegundo (dcimas y centsimas,respectivamente).

2.La cinta mtrica que aparece abajotiene unas divisiones hasta el medio cm.La utilizamos para medir una varilla yobtenemos el valor que se muestra en

ella. Entre qu valores exactos seencuentra la longitud real, suponiendoque ese valor es: a)por defecto; b) porexceso; c) redondeo a cm.

Las aproximaciones pueden utilizarsetambin con nmeros enteros. Parageneralizar esta idea usaremos el conceptode cifras significativas: Si un nmero N esun valor aproximado de otro nmero P,diremos que N tiene n cifras significativas silas primeras n cifras de N coinciden con las n

primeras cifras de P. (No se consideran cifrassignificativas los ceros cuya nica finalidad essituar la coma decimal). La definicinanterior es bastante intuitiva pero nosiempre es correcta del todo., por elloprecisamos un poco ms: Diremos que Ntiene n cifras significativas si el nmeroformado con las n primeras cifras de Ndifiere del nmero formado con las n

primeras cifras de P (eliminando las comasdecimales si las hubiera) en menos de 0,5.

3.Nos dicen que la poblacin de unaciudad es de 1579000 habitantes y quelas 4 primeras cifras de esta cantidadson significativas. Entre qu valores se

halla realmente su poblacin?

4.Determina los conjuntos AB, AUB, A-By -A en los casos siguientes:

1. A = [-11,-9] B = (-1,6)

2. A = [-5,5] B = (3,4)

3. A = [-2,7] B = (-2,6)

5.Escribe como potencia de exponentefraccionario:

a) 5 b) 3 2x c) 3a d) 5 3a

6.Escribe como un radical:

a)123 b)

325 c)

15x d)

53x

7.Extraer todos los factores posibles delos siguientes radicales

a) 18 b) 316

c) 39a d) 3 5 798a b c

8.Introducir dentro del radical todos losfactores posibles que se encuentrenfuera de l.

a) 3 5 b)2 a

c) 23a 2a d) 32 2ab a b

9.Suma los siguientes radicales indicados.

a) 45 125 20

b) 1267514775 +

c) 175 63 2 28+

d)1

20 45 2 1253

+ +

10.Realiza las operaciones siguientes:

a) ( )2 3 2 b) 32)3557( +

c) 24)25532( +

d) )35()35( +

11.Divide los siguientes radicales

a)6x

3x b)

2 375x y

5 3xy

Nmeros reales


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32 MATEMTICAS A

Cuestiones sobre pi

En la presentacin del tema se mencionaba que el valor de pi era 3'14, 3'1416, ... y seplanteaban una serie de preguntas al respecto:

Cul de las cantidades anteriores es el autntico nmero pi?

Segn has visto a lo largo del tema, en realidad ninguna de las anteriores cantidadesson el valor exacto de pi, se trata de aproximaciones al nmero y el poner ms o menosdecimales depende de la precisin que necesitemos en la medida.

Cmo es posible que llamemos pi a todas ellas si es obvio que son diferentes?

El hecho de que llamemos pi a cualquiera de las anteriores cantidades se debe a que esimposible utilizar el valor exacto de la mayora de los nmeros irracionales, por lo quenos tenemos que contentar con dar aproximaciones a ese valor. Como ya dijimos antesel nmero de cifras decimales con que se da este nmero depender de la precisin demedida deseada y el hecho de que, por ejemplo, la cuarta cifra decimal sea un 6 en3'1416 y un 5 en 3'14159 se debe a que la aproximacin se hace en cada caso porredondeo y, con cuatro cifras decimales, 3'1416 est ms prximo del valor exacto que3'1415.

Algunos nmeros irracionales como la raz cuadrada de 2 s pueden representarse enforma exacta, pero si esa cantidad la queremos medir en la prctica, no nos quedarms remedio que dar un valor aproximado con la precisin que deseemos.

Cmo es posible que se estn descubriendo todava cifras de pi si lo estamos usandodesde hace un montn de aos?

Los nmeros irracionales tienen infinitas cifras decimales que no se repiten de formaperidica. Para hallar estas cifras existen distintos procedimientos o algoritmos. Algunosde estos algoritmos son relativamente sencillos, como el que se utiliza para obtener lascifras decimales de la raz cuadrada de 2 (que antiguamente se enseaba en la escuelaprimaria); otros, en cambio, son tremendamente largos y complejos. El nmero pi est

en este segundo grupo. Actualmente los algoritmos para el clculo de cifras decimales depi se ejecutan con potentes ordenadores.

Cul es o cul podra ser la ltima cifra del nmero pi?

Como hemos dicho antes, los nmeros irracionales tienen infinitas cifras decimales, porlo tanto no existe la ltima cifra del nmero pi. Como adems sus cifras no se repiten deforma peridica no se puede predecir de antemano qu cifra ser la que ocupe undeterminado lugar hasta que se consiga calcular.

Para saber ms

Nmeros reales


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MATEMTICAS A33

Recuerdalo ms importante

Los nmeros reales

Los nmeros irracionales son losdecimales no peridicos. El conjunto Rdelos nmeros reales est formado portodos los nmeros racionales eirracionales.

Aproximaciones

Para representar decimales infinitosusamos aproximaciones por defecto y

por exceso, truncamientos yredondeos.

Propiedades de los radicales

Raz n-sima

Exponente fraccionario

La recta real

El valor absoluto de un n a, |a| es eln prescindiendo del signo.

Ladistanciaentre dos puntos ay bes elvalor absoluto de su diferencia |a-b|=|b-a|

Intervalos: segmentos y semirrectas

Intervalo cerrado [a,b]

Intervalo abierto (a,b)

Intervalo semiabierto (a,b] [a,b)

Intervalo no acotado como [a,+)(-

,a)

Todos los nmeros reales, tanto los racionalescomo los irracionales, se pueden representarmediante un punto de la recta y recprocamente,a cada punto de la recta le corresponde unnmero real.

Radicales equivalentes

Radicales semejantes

Son radicales con el mismo ndice y elmismo radicando, pudiendo diferir en sucoeficiente.

Nmeros reales


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34 MATEMTICAS A

Autoevaluacin

1. Indica el menor conjunto numrico al que pertenece elnmero

12, 80965

2. Una milla inglesa son 1609,34 m. Redondea a km 27 millas.

3. Con la calculadora, escribe un truncamiento y un redondeo alas milsimas de 21

4. Escribe el intervalo [-3, 5] (3, 8) .

5. Calcula la siguiente raz: 7 78125

6. Escribe en forma de exponente fraccionario: 10 3x

7. Introduce el factor en el radical: 46 5

8. Extrae los factores del radical: 4 243

9. Calcula: 18 98

10. Calcula y simplifica: 54910 yxyx

Nmeros reales


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MATEMTICAS A35


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36 MATEMTICAS A

Soluciones de los ejercicios para practicar

1. a) De primer orden:

Por defecto: 7,4Por exceso: 7,5

Redondeo: 7,5

b) De segundo orden:

Por defecto: 7,48

Por exceso: 7,49

Redondeo: 7,48

2. a) Entre 1,100 y 1,105 m

b) Entre 1,095 y 1,100 m

c) Entre 1,095 y 1,105 m

3. Entre 1578500 y 1579500 conuna cota de error de 500habitantes.

4. Caso 1

[ ] ( )[ ]

),9()11,(A)49,11ABA)3

6,19,11BA)2vacoBA)1

+=

==

=

=

Caso 2

[ ][ ] [ ]

),5()5,(A)45,43,5BA)3

5,5BA)2)4,3(BA)1

+=

=

=

=

Caso 3

[ ][ ]

),7()2,(A)47,6BA)3

7,2BA)2 )6,2[BA)1

+=

=

= =

5. a)125 b)

23x

c)32a d)

35a

6. a) 3 b) 35

c) 5 x d) 3 5x

7. a) 3 2 b) 32 2 c) 3a a d) 2 3 37ab c 2abc

8. a) 45 b) 4a c) 418a d) 3 5 7a b

9. a) 4 5 b) 11 3

c) 4 7 d) 15 5

10. a) 2 6

b) 14 5 30+

c) 8 6 4 10 20+ d) 2

11. a) 2 b) y x

No olvides enviar las actividades al tutor

Nmeros reales

SolucionesAUTOEVALUACIN

1.Q

(decimal peridico)2. 43 km

3. redon.: 4,583 trun.: 4,582

4. (3,5]

5. 5 (78125=57)

6.310x

7. 4 6480

8. 43 3

9. 4 2

10. x7y7


38/239

MATEMTICAS A37

Antes de empezar

1.Proporcionalidad directa e inversa pg. 40Proporcionalidad directaProporcionalidad inversaRepartos proporcionalesProporcionalidad compuesta

2.Porcentajes pg. 46PorcentajesAumentos y disminuciones

Porcentajes sucesivos

3.Inters simple y compuesto pg. 50Inters simpleInters compuestoTasa anual equivalenteCapitalizacinAmortizacin


Para saber ms

Resumen

Autoevaluacin

Objetivos


Recordar y profundizar sobreproporcionalidad directa einversa, proporcionalidadcompuesta y repartosproporcionales.

Recordar y profundizar sobreporcentajes y variacionesporcentuales.

Distinguir entre inters simplee inters compuesto.

Conocer el significado de laTasa anual equivalente enproductos financieros.

Calcular el capital final que seobtiene si depositamos

peridicamente dinero enalgunos productos decapitalizacin.

Calcular la cuota peridica quehay que pagar para amortizarun prstamo.

Problemas aritmticos3


39/239

38 MATEMTICAS A


40/239

MATEMTICAS A39

Antes de empezar

Preparar distintas cantidades de unadisolucin es una actividad de

proporcionalidad directa.

Calcular el nmero de obreros paraacabar a tiempo es una actividad de

proporcionalidad inversa.

Planificar la crianza de los animalesde una granja es una actividad de

proporcionalidad compuesta.

Repartir los beneficios de un negocioes una actividad de repartos

proporcionales.

La proporcin de alumnos, alumnas,matriculaciones, aprobados,

suspensos se expresan con %.

Los presupuestos de institucionespara un ao se calculan mediante

variaciones porcentuales.

Las variaciones del precio de lasacciones de una empresa seexpresan con porcentajes.

Qu interesa ms, depositar uncapital a un inters simple o a un

inters compuesto?

Al colocar un capital a un interscompuesto, qu periodo decapitalizacin interesa ms?

Qu significado tiene la Tasa anualequivalente (T.A.E.)?

Cunto dinero tendremos al acabarel periodo fijado para un plan de

pensiones?

Qu cuota tendremos que pagar enun prstamo personal o hipotecariocon unas condiciones determinadas?

Investiga: operaciones bancariasEn las operaciones bancarias, los bancos y cajas de ahorroofertan un inters segn unos ndices de referencia.

Cules son algunos de estos ndices? Cul es el msutilizado?

Problemas aritmticos


41/239

40 MATEMTICAS A

1. Proporcionalidad directa einversa

Proporcionalidad directa

Dos magnitudes son directamente proporcionalessi al multiplicar o dividir una de ellas por un nmero,la otra queda multiplicada o dividida por ese mismonmero.

Al dividir cualquier valor de la segunda magnitud porsu correspondiente valor de la primera magnitud, seobtiene siempre el mismo valor (constante). A estaconstante se le llama constante o razn deproporcionalidad directa.

PrimeraMagnitud 1 2 3 4 5 6

Segundamagnitud 7 14 21 28 35 42

Proporcionalidad inversa

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si almultiplicar o dividir una de ellas por un nmero, laotra queda dividida o multiplicada por ese mismonmero.

Al multiplicar cualquier valor de la primera magnitudpor su correspondiente valor de la segunda magnitud,

se obtiene siempre el mismo valor. A este valorconstante se le llama constante deproporcionalidad inversa.

PrimeraMagnitud 1 2 3 4 5 6

Segundamagnitud 120 60 40 30 24 20

Para resolver un ejercicio deproporcionalidad directa o

inversa se puede utilizar:

La razn de proporcionalidad. Una regla de tres. Reduccin a la unidad.


Constante de proporcionalidad directa

7 14 21 28 35 42= = = = = =7

1 2 3 4 5 6

He comprado 31 lpices por 8,68, cunto costarn 7 lpices?

Razn de proporcionalidad

8,68 x 8,687

= x = = 1,963131 7

Regla de tres8,687

x = = 1,9631

Reduccin a la unidad

1 magnitud 2 magnitudN lpices euros

31 ----------- 8,68: 31 : 311 ----------- 0,28x 7 x 77 ----------- 1,96

Solucin: 1,96 euros.

Constante de proporcionalidad inversa

1120 =260= 340= 430= 524= 620= 120

Un grupo de 18 alumnos haganado un premio por un trabajorealizado y han recibido 200 cada uno. Cunto recibiran sihubieranparticipado10alumnos?

Razn de proporcionalidad

18200

x = = 36010

18200=10x

Regla de tres18200

x = = 36010


1 magnitud 2 magnitudN alumnos euros

18 ----------- 200: 18 x 181 ----------- 3600x 10 : 1010 ----------- 360

Solucin: 360 euros.


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MATEMTICAS A41


1. Un automvil consume 56 litros de gasolina al recorrer 800 kilmetros, cuntoslitros de gasolina consumir al recorrer 500 kilmetros?

Regla de tres directa Reduccin a la unidad

1 magnitud 2 magnitudkilmetros litros de gasolina

800 ---------- 56

500 ---------- x

56 x 56500

= x = = 35800800 500

Solucin: 35 litros de gasolina.

1 magnitud 2 magnitudkilmetros litros de gasolina

800 --------- 56

: 800 : 800

1 --------- 0,07

x 500 x 500

500 --------- 35

Solucin: 35 litros de gasolina.

2. Un rectngulo tiene 25 cm de base y 18 cm de altura. Qu altura deber tener unrectngulo de 15 cm. de base para que tenga la misma superficie?

Regla de tres directa Reduccin a la unidad

1 magnitud 2 magnitudbase altura

25 ---------- 18

15 ---------- x

2518x = = 3015

2518=15x

Solucin: 30 cm.

1 magnitud 2 magnitudbase altura

25 --------- 18

: 25 x 25

1 ---------- 450

x 15 : 15

15 ---------- 30

Solucin: 30 cm.

3. Completar las siguientes tablas segn sean las magnitudes:

Directamente proporcionales Inversamente proporcionales

5 b 12 16 d 4 6 9 15 20

a 56 96 c 184 e f g 24 h

Constante de prop.: 96 = 812

Constante de prop.: 15 24 = 360

a

= 8 a= 85= 405

360

4e =360 e = = 904

56 56

= 8 b = =7b 8

360

6f =360 f = = 606

c

= 8 a= 816 =12816

360

9g=360 g= = 409

184 184

= 8 d= =23d 8

360

20h=360 h= =1820



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42 MATEMTICAS A

Repartos proporcionales

Directamente proporcionalesSe va a repartir una cantidad en varias partes conunas condiciones determinadas.

Cada una de las partes debe recibir una cantidaddirectamente proporcional a unos valores iniciales.

A mayor valor inicial de una parte le correspondermayor cantidad en el reparto.

1. Se suman los valores iniciales de cada una de laspartes.

2. Se divide la cantidad a repartir entre la sumaanterior.

3. Se multiplica el cociente obtenido por los valoresiniciales de cada una de las partes.

4. Comprobacin. La suma de todas las cantidadescoincide con la cantidad a repartir.

Inversamente proporcionales

Se va a repartir una cantidad en varias partes conunas condiciones determinadas.

Cada una de las partes debe recibir una cantidadinversamente proporcional a unos valores iniciales.

A mayor valor inicial de una parte le correspondermenor cantidad en el reparto.

Hacer un reparto inversamente proporcional a unosvalores iniciales es igual que hacer un repartodirectamente proporcional a los inversos de dichosvalores iniciales.

1. Se suman los inversos de los valores iniciales decada una de las partes.

2. Se divide la cantidad a repartir entre la sumaanterior.

3. Se multiplica el cociente obtenido por los inversosde los valores iniciales de cada una de las partes.

4. Comprobacin. La suma de todas las cantidadescoincide con la cantidad a repartir.


Un padre reparte entres sus doshijos 36 golosinas de formadirectamente proporcional a lasedades de cada uno que son 2 y7 aos. Cuntas golosinas le daa cada uno?

1. Se suman los valoresiniciales:

2 + 7 = 9

2. Se divide 36 entre 9

36 : 9 = 43. Se multiplican los valoresiniciales por 4.

2 4 = 8 golosinas7 4 = 28 golosinas

Comprobacin:

8 + 28 = 36

Un padre reparte entres sus doshijos 36 golosinas de formainversamente proporcional a lasedades de cada uno que son 2 y7 aos. Cuntas golosinas le daa cada uno?

1. Se suman los inversos de losvalores iniciales:

1 1 7 2 9+ = + =

2 7 14 14 14

2. Se divide 36 entre 9/149 504

36: = =5614 9

3. Se multiplican los inversos delos valores iniciales por 56.

1 156 =28 56 = 8

2 7

Comprobacin:

28 + 8 = 36


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MATEMTICAS A43


4. Un padre reparte entre sus tres hijos 310 euros de forma directamenteproporcional al nmero de asignaturas aprobadas, que han sido 2, 3 y 5respectivamente. Cunto da a cada uno?

1. Se suman los valores iniciales: 2 + 3 + 5 = 10

2. Se divide 310 entre 10: 310 : 10 = 31

3. Se multiplican los valores iniciales por 120.

31 2 = 62 euros 31 3 = 93 euros 31 5 = 155 euros

5. Un padre reparte entre sus tres hijos 310 euros de forma inversamenteproporcional al nmero de asignaturas suspensas, que han sido 2, 3 y 5respectivamente. Cunto da a cada uno?

1. Se suman los inversos de los valores iniciales:1 1 1 31

+ + =2 3 5 30

2. Se divide 310 entre 31/30:31

310: =30030

3. Se multiplican los inversos de lo valores iniciales por 300.1 1 1

300 =150 300 =100 300 = 602 3 5

6. Cuatro socios pusieron en marcha un negocio aportando 3000 , 5000 , 9000 y 12000 respectivamente. El primer ao obtienen 5800 de beneficio, cmodeben repartrselos?

1. Se suman los valores iniciales: 3000 + 5000 + 9000 + 12000 = 29000

2. Se divide 5800 entre 29000: 5800 : 29000 = 0.2

3. Se multiplican los valores iniciales por 30.

0.2 3000 = 600 euros 0.2 9000 = 1800 euros

0.2 5000 = 1000 euros 0.2 12000 = 2400 euros

7. Cuatro amigos se reparten 35 pasteles de forma inversamente proporcional a suspesos, que son respectivamente 60 kg, 80 kg, 90 kg y 120 kg. Cuntos pastelescorresponde a cada uno?

1. Se suman los inversos de los valores iniciales: =1 1 1 1 35 7

+ + + =60 80 90 120 720 144

2. Se divide 35 entre 7/144:7

35: =720144

3. Se multiplican los inversos de los valores iniciales por 720.

1 1 1 1720 =12 720 = 9 720 = 8 720 = 660 80 90 120



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44 MATEMTICAS A

Proporcionalidad compuesta

Proporcionalidad compuesta

Una actividad de proporcionalidad compuestarelaciona ms de dos magnitudes que pueden serdirecta o inversamente proporcionales.

Para resolver una actividad de proporcionalidadcompuesta se hace de forma ordenada con elprocedimiento de reduccin a la unidad,relacionando dos magnitudes y dejando la otrainvariante.

Procedimiento de resolucin

Procedimiento de resolucin:En primer lugar se deja fija lasegunda magnitud y se relacionala primera con la tercera. Ensegundo lugar se deja fija laprimera magnitud y se relacionala segunda con la tercera.

Tambin se puede resolvermediante una regla de trescompuesta

La primera y la tercera magnitud soninversamente proporcionales. Mspersonas trabajando tardarn menosdas.

La segunda y la tercera magnitud sondirectamente proporcionales. Si el muroes ms grande se tardarn ms das enconstruirlo.

La primera y la tercera magnitud sondirectamente proporcionales. Ms metroscbicos de agua se llenarn en mstiempo.

La segunda y la tercera magnitud soninversamente proporcionales. Si hay msgrifos echando agua se tardar menostiempo en llenar la piscina.


Para vallar un terreno, 4 personas construyen un murode 120 m2 en 18 das.. Cuntos das tardarn 12personas en construir un muro de 800 m2?

1 magnitud 2 magnitud 3 magnitudpersonas metros cuadrados das

4 ------------ 120 ------------ 18: 4 x 4

1 ------------ 120 ------------ 72x 12 : 12

12 ------------ 120 ------------ 6 : 120 : 120

12 ------------ 1 ------------ 0.05 x 800 x 800

12 ------------ 800 ------------ 40

Solucin: 40 das.

Una piscina de 400 m3 se llena con 5 grifos en 30horas. Cuntas horas se tardar en llenar una piscinade 600 m3con 9 grifos?

1 magnitud 2 magnitud 3 magnitud

metros cbicos grifos horas400 ------------ 5 ------------ 30: 400 : 400

1 ------------ 5 ------------ 0.075x 600 x 600

600 ------------ 5 ------------ 45 : 5 x 5

600 ------------ 1 ------------ 225 x 9 : 9

600 ------------ 9 ------------ 25

Solucin: 25 horas.

1 mag. 2 mag. 3 mag.

4 ----- 120 ----- 18

12 ----- 800 ----- x

Regla de tres compuesta

184800x = = 40

12120

Solucin: 4 das.

1 mag. 2 mag. 3 mag.

400 ----- 5 ----- 30

600 ----- 9 ----- x


306005x = = 25

4009

Solucin: 25 horas.


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MATEMTICAS A45


8. En una cadena de produccin, 3 personas trabajando 4 horas diarias, fabrican240 piezas. Cuntas piezas fabricarn 9 personas trabajando 5 horas diarias?

La primera y la tercera magnitud son directamente proporcionales. Ms personasfabricarn ms piezas.

La segunda y la tercera magnitud son directamente proporcionales. Si se trabaja mstiempo se fabricarn ms piezas.


1 magnitud 2 magnitud 3 magnitudpersonas horas piezas

3 ------------ 4 ------------ 240

: 3 : 3

1 ------------ 4 ------------ 80

x 9 x 9

9 ------------ 4 ------------ 720

: 4 : 4

9 ------------ 1 ------------ 180

x 5 x 5

9 ------------ 5 ------------ 900


3 -------- 4 -------- 240

9 -------- 5 -------- x

24095x = = 900

34

Solucin: 900 piezas.

9. Para imprimir unos folletos publicitarios, 12 impresoras han funcionado 6 horas alda y han tardado 7 das. Cuntos das tardarn 3 impresoras funcionando 8horas diarias?

La primera y la tercera magnitud son inversamente proporcionales. Menos impresorastardarn ms dias.

La segunda y la tercera magnitud son inversamente proporcionales. Funcionando mshoras se tardar menos das.


1 magnitud 2 magnitud 3 magnitud

impresoras horas das12 ------------ 6 ------------ 7

: 12 x 12

1 ------------ 6 ------------ 84

x 3 : 3

3 ------------ 6 ------------ 28

: 6 x 6

3 ------------ 8 ------------ 128

x 5 : 8

3 ------------ 8 ------------ 21


12 -------- 6 -------- 7

3 -------- 8 -------- x

1267x = = 21

38

Solucin: 21 horas.



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46 MATEMTICAS A

2. Porcentajes

Tanto por ciento de una cantidad

Calcular un porcentaje r%de una cantidad C es igualque resolver la siguiente actividad de magnitudesdirectamente proporcionales:

100 ------- Cr ------- P

Por cualquiera de los mtodos estudiados, el valor deP (r% de C)es igual a:

Se puede calcular directamente el tanto por ciento deuna cantidad multiplicando dicha cantidad por r/100.

Tanto por ciento correspondiente a unaproporcin

Calcular el % que representa una cantidad P de untotal C equivale a resolver otra actividad demagnitudes directamente proporcionales:

100 ------- Cr ------- P

Ahora hay que calcular el valor de r.

Se puede calcular directamente el tanto por cientodividiendo la parte P por el total C y multiplicando elcociente obtenido por 100.

Clculo del tanto por ciento de unacantidad.

Clculo del tanto por cientocorrespondiente a una proporcin.

Clculo del total conociendo la parte

y el tanto por ciento.

Un depsito tiene una capacidadde 1150 litros, pero ahora tieneel 68% del total. Cuntos litrosde agua contiene?

11506868% de 1150 = =

100782

Tambin se puede hacer:

11500,68= 782

Solucin: 782 litros

Un depsito tiene una capacidadde 175 litros, pero ahora tiene

42 litros. Qu porcentaje deagua contiene?

42100=

17524 %

Solucin: 24 %

r =P

100 %C

rP=C

100

Un depsito contiene 348 litros,que representa el 12% del total.Cul es su capacidad?

En la frmula:

C 0,12 =348

Se puede despejar el total:

348C = =

0,122900

Solucin: 2900 litros



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MATEMTICAS A47


10. a) Calcular el 27 % de 450. b) a) Calcular el 85 % de 2360.

4502727% de 450 = = 4500,27 =121.5

100

2360 8585% de 2360 = = 2360 0,85 = 2006

100

11. a) Qu porcentaje representa 15 de un total de 120?b) Qu porcentaje representa 3120 de un total de 8000?

15 100 = 12.5%120

3120 100 = 39%8000

12. a) El 64 % de una cantidad es 112. Calcular dicha cantidad.b) El 3,5 % de una cantidad es 63. Calcular dicha cantidad.

112

C 0,64 = 112 C = = 1750,64

63

C 0,035 = 63 C = = 18000,035

13. En las vacaciones navideas un hotel ha tenido una ocupacin de un 96%. Si elhotel tiene 175 habitaciones, cuntas se han ocupado?

175 9696% de 175 = = 175 0,96 = 168 habitaciones

100

14. En mi clase hay 30 alumnos. De ellos, hay 18 que vienen al instituto desde otralocalidad utilizando el transporte. Qu porcentaje del total de alumnos utilizan

transporte?18

100 = 60%30

15. El 4,2% de los habitantes de mi pueblo son jvenes entre 14 y 18 aos. Si hay756 personas en este intervalo de edad, cuntos habitantes habr?

756

C 0,042 = 756 C = = 180000,042

habitantes



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48 MATEMTICAS A

Aumentos y disminuciones porcentuales

Para aumentar un r% a una cantidad inicial CI, hayque sumar CI el porcentaje correspondiente. Seobtiene as una cantidad final CF.

Para disminuir un r% a una cantidad inicial CI, hayque restar a CI el porcentaje correspondiente. Seobtiene as una cantidad final CF.

Si llamamos ndice de variacin a 1r/100, seobtiene la frmula:

Para calcular el aumento que corresponde a unacantidad inicial CI, bastar multiplicar CI por el ndicede variacin.

Porcentajes sucesivos

Para aplicar varios porcentajes sucesivos a unacantidad inicial CI:

Se aplica el primer porcentaje a la cantidad inicialobteniendo as una segunda cantidad C2.

Se aplica el siguiente porcentaje a la cantidadobtenida obteniendo una tercera cantidad C3.

Se contina con este procedimiento para cadaporcentaje. En el caso de dos porcentajes se tiene:

Mi padre cobraba 1200 al mes

y este ao le han subido elsueldo un 2%. Cunto cobraahora?

Paso a paso:

1224 euros

120022% de 1200 = = 24

100

1200+24=

Directamente:

1224 euros

2I.V. =1+ = 1+ 0,02 = 1,02

100

12001,02=

Solucin: 1224 euros

Hemos comprado a mis padresun regalo que vala 65 . Alpagarlo nos han hecho undescuento del 4%. Cunto nosha costado?

Paso a paso:

62,40 euros

654

4% de 65= =2,60100

65-2,60=

Directamente:

62,40 euros

4I.V.= 1- = 1- 0,04 = 0,96

100

650,96=

Solucin: 62,40 euros

Aplicar a 2500 un aumento del 24%y a la cantidad resultante unadisminucin del 15 %.

24IV1 =1+ =1+ 0,24 =1,24

100

15IV2 =1- =1- 0,15 = 0,85

100

CF = CI IV1 IV2

2500 1,24 0,85 = 2535

r rCF =CI +CI =CI 1+

100 100

CF = CI IV

r rCF =CI -CI =CI 1-

100 100

CF = CI IV1 IV2



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MATEMTICAS A49


16. Despus del aumento de este ao de un 14%, el sueldo de mi madre es ahora de1938 euros. Cunto cobraba antes?

ndice de variacin:14

I.V.=1+ =1+0,14=1,14100

1938

CIIV =CF CI1,14=1938 CI= =1700euros1,14

17. Mi padre cobraba al mes 1600 euros y despus de la subida de este ao cobraahora 1792 euros. Qu tanto por ciento le han subido?

1792 12

CIIV =CF 1600IV =1792 IV = =1,12=1+ 12%1001600

18. Despus de hacernos un 8% de descuento en la compra de un regalo, hemospagado 156,40 euros. Cul era el precio inicial?

ndice de variacin:8

I.V.=1- =1- 0,08 = 0,92100

156,40

CIIV =CF CI0,92=156,40 CI= =170euros0,92

19. Hemos comprado un regalo que vala 80 euros, pero despus de hacernos un

descuento hemos pagado 71,20 euros. Qu porcentaje nos han descontado?

71,20 11

CIIV =CF 80IV =71,20 IV = =0,89=1- 11%10080

20. El precio de un objeto en una tienda de regalos es de 208 euros. En primer lugaraumenta el precio un 45% y posteriormente vuelve a aumentar un 66%. Cul esel precio final?

Aumento del 46%: ndice de variacin:45

IV1=1+ =1+0,45 =1,45100


IV2 =1+ =1+0,66 =1,66100

CF = CI IV1 IV2 = 208 1,45 1,66 = 500,66euros

21. El precio de un objeto en una tienda de regalos es de 180 euros. En primer lugarreduce el precio un 12% y posteriormente aumenta un 27%. Cul es el preciofinal?

Disminucin del 12%: ndice de variacin:12

IV1=1- =1- 0,12 =0,88100


IV2 =1+ =1+0,27 =1,27

100

CF = CI IV1 IV2 = 180 0,88 1,27 = 201,17euros



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50 MATEMTICAS A

3. Inters simple y compuesto

Inters simple

Si depositamos un capital C en un banco durante unao, el banco nos dar una cantidad I, llamadainters, que se obtiene aplicando un porcentaje r%,llamado rdito, a la cantidad C.

Si depositamos el capital durante t aos, el inters secalcular con la frmula:

Si depositamos el capital durante t meses, el rdito,que se expresa en tanto por ciento anual, hay quedividirlo entre 12 meses para calcular el rdito quecorresponde a un mes. El inters se calcular con lafrmula:

Si depositamos el capital durante t das, el rdito, quese expresa en tanto por ciento anual, hay quedividirlo entre 360 das para calcular el rdito quecorresponde a un da. El inters se calcular con lafrmula:

Al finalizar el periodo de tiempo el banco nosdevolver nuestro capital inicial ms el intersproducido.


Calcular el inters que produceun capital de 16000 euroscolocado a un inters simple del3,25% durante 4 aos.

CrtI=

100

160003,254I= =2080

100

Solucin: 2080

Capital final:

16000 +2080 =18080

C r tI=

100

C r tI=

1200

C r tI=

36000

Calcular el inters que produceun capital de 22800 euroscolocado a un inters simple del4,5% durante 21 meses.

CrtI=

1200

228004,521I= =1795,50

1200

Solucin: 1795,50

Capital final:

22800+795,50=24595,50

Calcular el inters que produceun capital de 26500 euros

colocado a un inters simple del2% durante 329 das.

CrtI =

36000

265002329I= = 484,36

36000

Solucin: 484,36

Capital final:

26500 +484,36 =26984,36


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MATEMTICAS A51


22. Calcular el capital que hay que colocar durante 3 aos a un rdito del 4% paraque produzca un inters de 5640 euros.

Crt I100 5640100

I= C= = = 47000100 r t 43

euros

23. Calcular el rdito al que hay que colocar un capital de 28500 euros durante 2aos para que produzca un inters de 5150 euros.

Crt I100 5150100

I= r = = =9,04%100 Ct 285002

24. Cuntos aos hay que tener un capital de 8500 euros a un rdito del 3,75%para que produzca un inters de 2868,75 euros?

Crt I100 2868,75100

I= t = = =9 aos100 Cr 85003,75

25. Calcular el capital que hay que colocar durante 10 meses a un rdito del 5% paraque produzca un inters de 2956 euros.

Crt I1200 29561200I= C= = =709441200 rt 510 euros

26. Calcular el rdito al que hay que colocar un capital de 29500 euros durante 8meses para que produzca un inters de 1710 euros.

Crt I1200 17101200

I= r = = =8,69%1200 Ct 295008

27. Calcular el inters que produce un capital de 10400 euros colocado a un interssimple del 1,5% durante 163 das.

1,5Crt 10400 163I= = =70,63 euros

36000 36000

28. Cuntos das hay que tener un capital de 40950 euros a un rdito del 2% paraque produzca un inters de 182 euros?

Crt I36000 18236000

I= t = = =8036000 Cr 409502

das



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52 MATEMTICAS A

Inters compuesto

Otro tipo de inters es el llamado interscompuesto, en el que cada cierto tiempo, llamadoperiodo de capitalizacin, los intereses generadospor el capital inicial se aaden al capital y generanms intereses.

Si llamamos al capital inicial CI, al rdito r y al tiempoen aos t, el capital final CF es igual a:

Si el periodo de capitalizacin es mensual, en un aohabr 12 periodos de capitalizacin; si es trimestral,habr 4 periodos de capitalizacin; si es semestralhabr 2 periodos. Si k es el nmero de periodos decapitalizacin en un ao, la frmula queda:

Tasa anual equivalente (T.A.E.)

Cuando ingresamos una cantidad de dinero en unbanco a un inters compuesto del r% anual, losintereses que produce se van aadiendo al capitalcada periodo de capitalizacin. La cantidad final querecibimos ser mayor cuanto ms pequeo sea esteperiodo, como se puede comprobar en la tabla de laderecha.

La TAE indica el % de crecimiento real delcapital durante un ao. Es una cantidad algosuperior al r%. Se calcula mediante la frmula:

Se deposita un capital de 16000 a un inters compuesto del3,25% durante 4 aos. Calcularel capital final si el periodo decapitalizacin es anual.

tr

CF = CI 1+100

=

43,25

CF =16000 1+

100CF 18183,61 euros

Solucin: 18183,61

( )r

CF= CI 1+100

t

( )rCF= CI 1+k100kt

( ) r

TAE=100 1+ 1k100

kt

Se deposita un capital de 16000 a un inters compuesto del3,25% durante 4 aos. Calcularel capital final si el periodo de

capitalizacin es mensual.

12tr

CF = CI 1+12100

=

1243,25

CF =16000 1+12100

CF 18208,05 euros

Solucin: 18208,05

Capital final que se obtiene aldepositar durante 1 ao un capitalde 1 euro, para distintos interesesy distintos periodos decapitalizacin.

% 1 mes 3meses

4meses

12meses

1% 1,0100 1,0100 1,0100 1,0100

2% 1,0202 1,0202 1,0201 1,0200

3% 1,0304 1,0303 1,0302 1,0300

4% 1,0407 1,0406 1,0404 1,0400

5% 1,0512 1,0509 1,0506 1,0500



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MATEMTICAS A53


29. Se deposita un capital de 8200 euros a un inters compuesto del 5,5% durante 6aos. Calcular el capital final si el periodo de capitalizacin es anual.

=

t 6r 5,5

CF = CI 1+ = 8200 1+ 11306,51 euros100 100

30. Se deposita un capital de 29000 euros a un inters compuesto del 1,75% durante7 aos. Calcular el capital final si el periodo de capitalizacin es trimestral.

Si la capitalizacin es trimestral, en un ao habr 4 periodos de capitalizacin.

=

4t 47r 1,75

CF = CI 1+ =29000 1+ 32770,50 euros4100 4100

31. Se deposita un capital de 17600 euros a un inters compuesto del 4,5% durante5 aos. Calcular el capital final si el periodo de capitalizacin es semestral.

Si la capitalizacin es semestral, en un ao habr 2 periodos de capitalizacin.

=

2t 25r 4,5

CF = CI 1+ =17600 1+ 21985,98 euros2100 2100

32. Se coloca un capital de 1000 euros a un inters del 1%. Calcular el capital finalobtenido desde 1 hasta 5 aos distinguiendo los tipos de inters simple ycompuesto.

AosInterssimple

Interscompuesto

Diferencia

1 1010,00 1010,00 02 1020,00 1020,10 0,103 1030,00 1030,30 0,304 1040,00 1040,60 0,605 1050,00 1051,01 1,01

33. Calcular la tasa anual equivalente (TAE) correspondiente a un 2,5% anual concapitalizacin mensual.

k 12r 2,5TAE=100 1+ -1 =100 1+ -1 =2,53%

k100 12100

34. Calcular la tasa anual equivalente (TAE) correspondiente a un 4,75% anual concapitalizacin trimestral.

k 4r 4,75TAE=100 1+ -1 =100 1+ -1 = 4,84%

k100 4100



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54 MATEMTICAS A

Capitalizacin

Las operaciones de capitalizacinson operacionesbancarias en las que se ingresa una cantidad fija cadaperiodo de tiempo. Esta cantidad se aade a lacantidad existente y a los intereses generados hastaese momento y forman una nueva cantidad, a la quehay que aplicar el inters correspondiente.

El capital final CF que se obtiene al ingresar unacantidad c, durante t periodos, a un inters del r% encada periodo, se puede calcular mediante la frmula:

siendo iel inters en cada periodo de capitalizacin:r

i=k100

Amortizacin

Al solicitar un prstamo la cantidad recibida CI sedevuelve (amortiza) al banco mediante cantidadesfijas c, llamadas mensualidades o anualidades deamortizacin, cada cierto periodo de tiempo t,meses, aos, ...

Esta cantidad fija que debemos amortizar se puedecalcular con la frmula.

siendo iel inters en cada periodo de capitalizacin:r

i=k100

Una persona abre un plan depensiones a lo 33 aos. Cadames ingresa 100 . El banco leda un inters del 5% anual.Qu cantidad tendr a los 67aos?

67-33=34 aos

( ) ( ) t+1c 1+i - 1+i

iCF =

( ) ( ) 3412+1

100 1+0,0042 - 1+0,0042

CF =0,0042

Solucin: 107357,02

( ) ( )

t+1c 1+i - 1+i

iCF =

( )

( )

CI i 1+i

1+i 1c =

t

t

Una persona abre una cuenta deahorro vivienda durante 4 aos,con una cuota anual de 600 yun inters del 2,75% aual. Dequ cantidad dspondr cuandoretire el dinero?

( ) ( ) t+1c 1+i - 1+i

iCF =

( ) ( ) 4+1

600 1+0,0275 - 1+0,0275

CF =0,0275

Solucin: 2569,60

Un comerciante solicita unprstamo de 90000 a un intersdel 5,5% anual y a devolver en 16aos. Qu cantidad tendr quepagar cada trimestre?

( )

( )

CI i 1+i

1+i 1c =

t

t

( )

( )

900000,0138 1+0,0138

1+0,0138 1=

164

164

Solucin: 2123,65



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MATEMTICAS A55


35. Una persona abre un plan de pensiones a lo 22 aos. Cada ao ingresa 1000 . Elbanco le da un inters del 5,25% anual. Qu cantidad tendr a los 65 aos? Qcantidad de dinero corresponde a sus cuotas?

El plan de pensiones est abierto 65-22=43 aos.

( ) ( )

43+1

t+15,25 5,25

1000 1+ - 1+c 1+i - 1+i 100 100

=160925,18 euros5,25i100

CF = =

Ha pagado de cuotas: 43 1000 = 43000 euros.

36. Una persona tiene una cuenta de ahorro vivienda durante 8 aos, con una cuotamensual de 150 euros y un inters del 2,5% anual De qu cantidad dispondrcuando retire el dinero?

( ) ( )

128+1

t+12,5 2,5

150 1+ - 1+c 1+i - 1+i 12100 12100

=15955,88 euros2,5i12100

CF = =

37. Una persona tiene un deposita cada trimestre en un banco 400 euros, durante 10aos. El banco le da un inters del 5%. Qu cantidad de dinero tendr a los 5aos?

( ) ( )

410+1t+1

5 5400 1+ - 1+

c 1+i - 1+i 4100 4100=20853,27 euros5i

4100

CF = =

38. Una persona tiene un prstamo personal de 120000 a un inters del 5% anual y adevolver en 20 aos. Qu cantidad tendr que pagar cada ao? Cunto pagar en total?

( )

( )

20

t

t 20

5 5120000 1+

CIi 1+i 100 100= 9629,11 euros

1+i -1 51+ -1

100

c= =

En total pagar: 9629,11 20 = 192582,20 euros.

39. Una persona tiene un prstamo hipotecario de 70000 a un inters del 4,5% anual y adevolver en 15 aos. Qu cantidad tendr que pagar cada mes? Qu cantidad de dineropagar en total?

( )

( )

1215

t

t 1215

4,5 4,570000 1+

CIi 1+i 12100 12100=535,50 euros

1+i -1 4,51+ -1

12100

c= =

En total pagar: 535,50 12 15 = 96390 euros.



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56 MATEMTICAS A

Para practicar

1.Una disolucin contiene 176 gr. de uncompuesto qumico por cada 0,8 litrosde agua. Si se han utilizado 0,5 litrosde agua, cuntos gramos delcompuesto qumico habr que aadir?

2.Si 10 albailes realizan un trabajo en30 das, cuntos se necesitarn paraacabar el trabajo en 25 das?

3.Un grupo de 43 alumnos realizan unviaje de estudios. Tienen que pagar elautobs entre todos, pagando cada

uno 90 . Por otra parte los gastostotales de alojamiento son 12427 .Cul sera el precio total y el precioindividual si fuesen 46 personas?

4.Para alimentar a 11 pollos durante 16das hacen falta 88 kilos de pienso.Cuntos kilos de pienso harn faltapara alimentar a 18 pollos en 8 das?

5.Si 10 obreros trabajando 9 horasdiarias tardan en hacer un trabajo 7

das, cuntos das tardarn en hacerel mismo trabajo 5 obreros trabajando6 horas diarias?

6.Tres socios abren un negocioaportando 20000, 35000 y 50000 respectivamente. Al finalizar el aoobtienen unos beneficios de 4200 .Cmo deben repartirlos?

7.Tres camareros de un bar se reparten238 de las propinas de un mes de

forma inversamente proporcional alnmero de das que han faltado, queha sido 1, 4 y 6 das respectivamente.Cunto corresponde a cada uno?

8.En mi instituto hay 450 estudiantes.El nmero de alumnas representa el52% del total. Cuntas alumnas hay?

9.El 28 % de los alumnos de uninstituto ha aprobado todas lasasignaturas. Sabiendo que hanaprobado 196 personas. Cuntosalumnos hay en el instituto?

10.Este ao el presupuesto de unalocalidad ha sido de 1868500 . Parael prximo ao se va a incrementarun 1.7 %. Cul ser el presupuesto?

11.La poblacin de una localidad costeraha pasado de 44500 a 61410habitantes. Qu % ha aumentado?

12.Un bosque tiene 30900 rboles. En unincendio ha ardido el 18 % de losrboles. Cuntos rboles quedan?

13.Despus de repartir el 90 % de lasbotellas que levaba, un lecheroregresa a su almacn con 27 botellas.Con cuntas botellas sali?

14.Dos hermanos colocan un mismocapital de 22100 a un rdito del 9%durante 6 aos. Uno lo hace a interssimple y otro a inters compuesto concapitalizacin anual. Qu diferenciahay entre los intereses que recibecada uno?

15.Una persona coloca un capital de18000 durante 1 ao a un interscompuesto del 4,2% con capitalizacinmensual. Calcula la TAE quecorresponde y calcula el capital que seobtendra con los mismos datos a uninters simple igual a la TAE.

16.Una persona abre un plan depensiones a la edad de 28 aos. Cadames ingresa 120 . El banco le da un

inters del 1,5 %. Cunto dinerotendr cuando se jubile a los 67 aos?Cunto dinero habr ingresadodurante la vigencia del plan?

17.Hemos solicitado un prstamohipotecario de 148000 a pagar en18 aos y a un inters del 9,1 %anual. Cundo tendremos que pagarcada mes? Cul ser el importe totaldel prstamo?



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MATEMTICAS A57

Para saber ms

IPC. ndice de Precios al Consumo.

El IPC es una medida estadstica que indica la evolucin de los precios de los bienes yservicios que consumen las familias en Espaa.

Se expresa en % y entre sus aplicaciones econmicas est la ser un indicador de la inflaciny la de servir de referencia para la revisin de los salarios de los trabajadores.

Eurbor. Tipo europeo de oferta interbancaria.

El eurbor es la media aritmtica de lostipos de inters al que los principalesbancos de la zona euro se prestan dinerounos a otros.

Se expresa en % y se actualiza a diario. Suvalor a un ao es el que se usa de

referencia para el inters de los prstamoshipotecarios.

Algunas entidades financieras utilizancomo ndice el IRPH(ndice de referenciade prstamos hipotecarios).

El Banco Central Europeo y el precio del dinero.

El Banco Central Europeo (BCE)

se fund el 1 de junio de 1988.Tiene su sede en Francfort(Alemania). Es la entidadresponsable de la polticamonetaria de la Unin europea.

La funcin principal del BCE esmantener el poder adquisitivo deleuro. Se encarga de fijar los tiposde inters (precio del dinero).

El euro se adopt como monedanica el 1 de enero de 1999.



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58 MATEMTICAS A

Recuerdalo ms importante

1. Proporcionalidad directa e inversa.Magnitudes directamente proporcionales.Si se multiplica o divide una de ellas porun nmero, la otra queda multiplicada odividida por el mismo nmero.

Magnitudes inversamente proporcionales.Si se multiplica o divide una de ellas porun nmero, la otra queda dividida omultiplicada por el mismo nmero.

Proporcionalidad compuesta.

La proporcionalidad compuesta consiste enrelacionar tres o ms magnitudes.

Al resolver una actividad deproporcionalidad compuesta se relacionanlas magnitudes de dos en dos y semantienen constantes las dems.

Tambin se puede resolver mediante unaregla de tres compuesta

Repartos proporcionales.

Directamente. Repartir una cantidad entre

varias partes de forma que cada una deellas reciba una cantidad directamenteproporcional a un valor inicial de cadaparte.

Inversamente. Se hace el reparto de formadirectamente proporcional a los inversosde los valores iniciales de cada una de laspartes.

2. Porcentajes.

Para aplicar un porcentaje r% a unacantidad C:

Cr rr% de C= =C100 100

Variaciones porcentuales.

Se llama ndice de variacina la variacinque experimenta una unidad.

Para un aumento:r

I.V.=1+100

Para una disminucin:r

I.V.=1-100

Para una cantidad CI cualquiera lacantidad final se calcula con: CF = CI IV

3. Inters simple y compuesto.Inters simple. Si depositamos un capitalC en un banco, durante un tiempo t a unrdito r%, se obtiene un inters I dadopor:

Cr tI=

100

Cr tI=

1200

Cr tI=

36000

segn t se exprese en aos, meses o das.

Inters compuesto. Si cada cierto periodode tiempo, los intereses generados se

aaden al capital, stos producirn msintereses.

A estos periodos de tiempo (aos, meses,) se les llama periodos de capitalizacin.

Si k es el nmero de periodos decapitalizacin que hay en un ao, el capitalfinal es igual a:

ktr

CF = CI 1+k100

Tasa anual equivalente (TAE).

Expresa el crecimiento real de un capitaldurante un ao. Se calcula con la formula:

kr

1+ - 1k 100

TAE = 100

siendo k el nmero de periodos decapitalizacin.

Capitalizacin.

El capital final que se obtiene al ingresaruna cantidad c, durante t periodos a un

inters del r% en cada periodo es:

( ) t+1

r

k100

c 1+i - (1+i)CF = i =

i

Amortizacin.

Si tenemos un prstamo de una cantidadCI, a un inters del r%, a devolver en tcuotas peridicas, cada cuota es igual a:

( )

( )

t

t

r

k100

CI i c = i =

1+i

1+i -1



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MATEMTICAS A59

Autoevaluacin

1. Un automvi

Libro Matematicas 4ESO Mat A

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