1 MATEMTICAS II Ramn Reyes Carreto Flaviano Godnez Jaimes Francisco Julin Ariza Hernndez Febrero del 2009 -3 -2 -1 1 2 3-6-4-2246-1-0.500.51-1-0.500.51-1-0.500.51-1-0.500.51-1-0.500.51-1-0.500.51-1-0.500.5101234-1-0.500.51-3 -2 -1 1 2 3-1-0.50.51-1-0.500.51-1-0.500.51024.500.510 0.5 1 1.5 2 2.5 300.511.522.532 CONTENIDO 1.Sistema de Ecuaciones Lineales 1.1.Conceptos 1.2.Grfica de una ecuacin lineal con dos incgnitas 1.3.Grfica de sistemas de ecuaciones 1.4.Mtodo de solucin de sistemas lineales con dos incgnitas 1.5.Problemas que se modelan con sistemas de ecuaciones lineales 1.5.1. Determinante 2.Ecuaciones de Segundo Grado 2.1.Clasificacin 2.2.Problemas cuyo modelo es una ecuacin cuadrtica 2.3.Solucin de ecuaciones cuadrticas por mtodos algebraicos 2.4.Anlisis de la naturaleza de las races 2.5.Anlisis del discriminante 2.6.Grfica de una ecuacin cuadrticas 2.7.Ecuaciones de segundo grado con radicales 2.8.Resolucin de problemas que implican ecuaciones de segundo grado 3.Introduccin a las funciones 3.1.Los procesos de cambio 3.2.Variables dependientes e independientes 3.3.Definicin del concepto funcin 3.4.Dominio, contradominio y regla de correspondencia 3.5.Diferentes formas de representacin de una funcin 3.6.Clasificacin de las funciones de acuerdo a su representacin 3.7.Funciones algebraicas elementales 3.8.Funcin lineal 3.9.Funcin cuadrtica 3.10.Funcin cbica 3 Conceptos Ecuacin lineal Ecuacin polinmica de primer grado, es decir, ecuacin en la cual las incgnitas aparecen con grado 1: ax + by + cz + ... = k, en donde a, b, c, ..., k son nmeros reales y x, y, z, ... son las incgnitas. Grficamente: Dos variables representan una recta en el plano. Tres variables un plano en el espacio. Ms de tres variables un hiperplano. Una forma comn de ecuaciones lineales es y = mx + c, donde m representa la pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje Y ). Ecuacin no lineal Una ecuacin que no cumple los requisitos de la ecuacin lineal, es llamada ecuacin no lineal. Sistema de ecuaciones lineales Es un conjunto de ecuaciones donde todas las ecuaciones que lo forman son lineales. Sistema de ecuaciones no lineales Es un conjunto de ecuaciones donde las ecuaciones que lo forman son no lineales. Sistema de ecuaciones lineales con dos variables Es un conjunto de ecuaciones donde todas las ecuaciones que lo forman tienen dos variables. Sistema de ecuaciones lineales con tres variables Es un conjunto de ecuaciones donde todas las ecuaciones que lo forman tienen tres variables. Ejemplos de ecuaciones lineales Ejemplos de ecuaciones no lineales: Ejemplos de ecuaciones lineales Ejemplos de ecuaciones no lineales: y x x e Ejemplo de sistema de ecuaciones lineales con dos variables 4 Ejemplo de sistema de ecuaciones lineales con tres variables Grfica de una ecuacin lineal con dos incognitas Si es una funcin cuyo dominio es , su grfica es el conjunto de pares ordenados En otras palabras, la grfica de consiste en todos los puntos en el plano coordenado tales que y est en el dominio de . Para dibujar una grfica se le da valores a la variable independiente para que esta le asigne a la variable dependiente y genere un par de valores, los cuales se pueden ubicar en el plano y unir; con los puntos formados obtenemos la grfica deseada. Grfica de una ecuacin lineal con dos incgnitas Figura 1.Grfica de la ecuacin lineal En Mathematica En R Plot[1-2x, {x, -4, 4}, curve(1-2*x,-4,4,col="red") PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0]}]; abline(h=0,v=0,lty=3,col="blue") Figura 2.Grfica de la ecuacin lineal En Mathematica En R tt = {-(1/8)x-(1/2)};curve(-1/2-x/8,-10,4,col="blue") Plot[Evaluate[tt], {x, -10, 4}, abline(h=0,v=0,lty=3,col="gray") PlotStyle -> {RGBColor[0, 0, 1]}]; -10 -8 -6 -4 -2 2 4-1-0.75-0.5-0.250.250.50.75-4 -2 2 4-5-2.52.557.55 Figura 3. Grfica de la ecuacin lineal En MathematicaEn R Plot[8x+1, {x, -10, 10}, curve(8*x+1,-10,10,col=1) PlotStyle -> {RGBColor[0, 1, 0]}];abline(h=0,v=0,lty=3,col="gray") Grfica de sistemas de ecuaciones Figura 4.En Mathematica En R Plot[{(1 - 3 x)/-2, (18 - 2 x)/3},curve((1-3*x)/-2,-10,10,col=2) {x, -15, 15}, PlotStyle -> {RGBColor[1,curve((18-2*x)/3,add=TRUE,col=4) 0, 0], RGBColor[0, 0, 1]}]abline(h=0,v=0,lty=3,col="gray") Figura 5. En MathematicaEn R Plot[{(2 x - 1)/3,-5 x,(8 x - 12)/3},curve((2*x-1)/3,-15,15,col=2) {x, -15, 15}, PlotStyle -> {RGBColor[1,curve((5*x),add=TRUE,col=4) 0, 0], RGBColor[0, 0, 1], RGBColor[0, 1, 0]}]curve((8*x-12)/-3,add=TRUE) abline(h=0,v=0,lty=3,col="gray") -10 -5 5 10-75-50-25255075-15 -10 -5 5 10 15-20-101020-15 -10 -5 5 10 15-60-40-202040606 1.4. Mtodo de solucin de sistemas lineales con dos incgnitas Mtodo Grfico Mtodo de sustitucin Mtodo de igualacin Mtodo de suma y resta Matrices Mtodo Grfico Al graficar dos (o ms) ecuaciones se pueden tener los siguientes casos: Las rectas se intersectan en un solo punto entonces el sistema de ecuaciones lineales tiene solucin nica. Las rectas se intersectan en un nmero infinito de puntos entonces el sistema de ecuaciones lineales tiene un nmero infinito de soluciones. Las rectas son paralelas entonces el sistema de ecuaciones lineales no tiene solucin. En el caso general, dos de las rectas son paralelas o se intersectan por pares. Ejemplo de un sistema con una solucin nica Ejercicio: Hacer la grfica en Mathematica y en R . Figura 6. Solucin nica Como se observa en la figura, las coordenadas del punto de interseccin de las dosrectas son (-1,6). La solucin del sistema de ecuaciones es Ejemplo de un sistema con un nmero infinito de soluciones Ejercicio: Hacer la grfica en Mathematica y en R. Figura 7. Infinitas soluciones Como se observa en la figura, las dos rectas coinciden, tienen un nmero infinito de puntos de interseccin. -6 -4 -2 2 4 62.557.51012.5-6 -4 -2 2 4 6-12-10-8-6-4-27 Ejemplo de un sistema sin solucin Ejercicio: Hacer la grfica en Mathematica y en R. Figura 8. Sin solucin Como se observa en la figura, las dos rectas son paralelas, sin puntos de interseccin. Mtodo de sustitucin Consideremos un sistema con dos variables Este mtodo consta de los siguientes pasos: 1.Se despeja en alguna de las dos ecuaciones para expresarla en funcin de . 2.Se reemplaza y en la otra ecuacin por su expresin en trminos de x. El resultado es una ecuacin con una incgnita. 3.Se sustituye el valor de encontrado mediante el paso anterior en la expresin obtenida en el paso 1, de esta manera se encuentra el valor de . 4.La posible solucin ser el par de valores encontrados. Ejemplo 1. Considere el siguiente sistema de ecuaciones: Solucin 1.Se despeja y 2.Se reemplaza 3.Sesustituyeelvalordexencontrado mediante el paso anterior 3.Sesustituyeelvalordexencontrado mediante el paso anterior y = 6 2(1) y = 6 2 y = 4 La solucin de este sistema es nica x = 1 y y = 4, lo cual se corrobora con el teorema 1a11a22 a12a21 0, 2(4) 1(1) 7 6 0 Mtodo de igualacin El mtodo de igualacin consta de los siguientes pasos: 1.Se escoge una incgnita y se despeja en ambas ecuaciones. 2.Se igualan las ecuaciones lineales encontradas en el paso anterior para obtener una ecuacin lineal con una incgnita. Cuando esta ecuacin es resuelta, se encuentra el valor de una incgnita. 3.Se sustituye el valor de la incgnita determinado mediante el paso anterior en alguna de las ecuaciones resultantes del primer paso; as se obtiene el valor de la otra incgnita. -1 -0.5 0.5 1-7.5-7-6.5-6-5.58 Ejemplo. Considere el siguiente sistema de ecuaciones: 2x + y = 6 x + 4y = 17 Solucin 1 Mtodo de suma y resta El mtodo de suma y resta consiste en realizar operaciones con las ecuaciones de un sistema para eliminar una de las variables, a fin de reducir el sistema a una ecuacin lineal con una incgnita. Ejemplo resolver el sistema o

Ejemplos y Ejercicios Del ejemplo 1: 2x + y = 6 x + 4y = 17 En Mathematica Solve[{2x + y == 6, x + 4y == 17},{x, y}] Sol.{{x -> 1, y -> 4}} En R eq1 {RGBColor[0, 1, 0], RGBColor[0,0,1],RGBColor[1,0,0]}]; Las races de las ecuaciones son: Solve[x^2 + 7x-8==0] Solve[x^2-49==0] Solve[x^2-12x==0] Como ejemplo veamos las grficas de los problemas planteados anteriormente. , ecuacin completa. (Hallar las dimensiones del cuadrado . . .) Races 1 y -8 , ecuacin incompleta. (Hallar dos nmeros. . . ) Races 7 y -7 , ecuacin incompleta mixta. (Hallar la edad. . . ) Races 0 y 12 Ecuaciones de segundo grado con radicales Una ecuacin de una o ms radicales que contienen la incgnita se llama una ecuacin con radicales. Slo consideramos aqu ecuaciones en las que entran races cuadradas y cuya resolucin dependa de ecuaciones lineales o cuadrticas. Son ejemplos de tales ecuaciones. Para resolver una ecuacin con radicales, debemos eliminar los radicales por racionalizacin. El procedimiento general es transformar la ecuacin dada de modo que un radical aparezca slo en un solo miembro de la ecuacin. Nota:Este mtodo, conocido como aislamiento de un radical, puede ser repetido para cada uno de los radicales restantes. Ejemplo 1: resolver Solucin. Primero aislaremos un radical, digamos , transponindolo al segundo miembro. As tenemos: o -15 -10 -5 5 10 15-505010015020021 Resolviendo por el mtodo de factorizacin Entonces: Resolucin de problemas que implican ecuaciones de segundo grado Ejercicios: El nmero de diagonales de un polgono de lados est dado por , encontrar el polgono que tiene diagonales. La suma de los cuadrados de tres enteros consecutivos es , cules son esos enteros? El producto de dos enteros pares consecutivos es , cules son esos enteros? La suma de los primeros nmeros naturales es SCuntos nmeros naturales consecutivos comenzando con el suman ? Solucin para el problema 1. El modelo es: Podemos resolver la ecuacin por el mtodo de completar el cuadrado o por frmula general. Resolviendo por la frmula general, el valor de Entonces tiene dos soluciones reales. Las dos soluciones reales son

Por tanto el polgono que tiene 54 diagonales, es un polgono de 12 lados. No podemos tomar , porque no puede haber un polgono de -9 lados. En Mathematica: tt = {x^2 - 3x-108}; pp = Plot[Evaluate[tt], {x, -15, 15},PlotStyle -> {RGBColor[0, 1, 0]}]; Las races de la ecuacin son: rr=Root[#^2-3#-108&,1], rr=Root[#^2-3#-108&,2] Solucin para el problema 2. El modelo es: . Luego la ecuacin cuadrtica tiene la forma completa. Podemos resolver la ecuacin por el mtodo de completar el cuadrado o por frmula general. Las dos soluciones reales son

Por tanto, los tres nmeros elevados al cuadrado y adems consecutivos cuya suma es 77, son: En Mathematica: tt = {x^2+2x-24}; pp = Plot[Evaluate[tt], {x, -10, 15},PlotStyle -> {RGBColor[0, 0, 1]}]; Las races de la ecuacin son: rr=Root[#^2+2#-24&,1], rr=Root[#^2+2#-24&,2] Solucin para el problema 3. El modelo es: Luego la ecuacin cuadrtica tiene la forma completa. Podemos resolver la ecuacin por el mtodo de completar el cuadrado o por frmula general. Las dos soluciones reales son

22 Por tanto los nmeros pares consecutivos cuyo producto es 288, son En Mathematica: tt = {x^2 + 2x-288}; pp = Plot[Evaluate[tt], {x, -25, 25},PlotStyle -> {RGBColor[1,0,0]}]; Las races de la ecuacin son: rr=Root[#^2+2#-288&,1], rr=Root[#^2+2#-288&,2] Solucin para el problema 4. El modelo es: Las dos soluciones reales son

Por tanto, los nmeros consecutivos cuya suma resulta 1275, son los primeros 50 numeros. En Mathematica: tt = {x^2+x-2550}; pp = Plot[Evaluate[tt], {x, -60, 65},PlotStyle -> {RGBColor[0, 1, 0]}]; Las races de la ecuacin son: rr=Root[#^2+#-2550&,1], rr=Root[#^2+#-2550&,2] 23 INTRODUCCIN A LAS FUNCIONES Los procesos de cambio Variables dependientes e independientes Definicin del concepto funcin Dominio, contradominio y regla de correspondencia Diferentes formas de representacin de una funcin Clasificacin de las funciones de acuerdo a su representacin Funciones algebraicas elementales Funcin lineal Funcin cuadrtica Funcin cbica 24 LOS PROCESOS DE CAMBIO Un tinaco se llena de agua a razn de 5 litros por minuto. Se quiere saber cuntos litros tiene el tinaco en cierto tiempo en la tabla se dan varios tiempos y los litros que hay en el tinaco en esos tiempos. Para encontrar la cantidad de litros se multiplica por 5 el nmero de minutos transcurridos. Nmero de litros = (5)(nmero de minutos) MinutosLitros 15 210 1050 1575 20100 25125 30150 Sea =nmero de litros, nmero de minutos Sivaraeltiempo,lacantidaddelitrosquecontieneeltinacotambincambia;esdecirlacantidaddelitrosdel tinaco depende del tiempo o la cantidad de litros est en funcin del tiempo. Por tanto en este ejemplo es la variable independiente y la variable dependiente. VARIABLES DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES Ejemplo Lafrmulaparacalcularelreadeuncrculoesuna funcin dondela variable independienteesel radio y la variable dependiente es el rea , es decir, el rea de un crculo depende del valor de su radio. DEFINICIN DEL CONCEPTO FUNCIN Una funcin es una regla de correspondencia entre dos conjuntos de tal manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y slo un elemento del segundo conjunto. Al primer conjunto (el conjunto D) se le da el nombre de dominio. Al segundo conjunto (el conjunto C) se le da el nombre de contra dominio o imagen. Una funcin se puede concebir tambin como un aparato de clculo. La entrada es el dominio, los clculos que haga el aparato con la entrada son en s la funcin y la salida es un valor del contra dominio. Esta forma de concebir la funcin facilita el encontrar su dominio. 25 Notacin: al nmero que entra a la mquina usualmente lo denotamos con una letra, digamos x o s, o cualquier otra. Al nmero que sale de la mquina lo denotamos con el smbolo f (x) f (s). Ejemplo Esta funcin es una regla de correspondencia que dice lo siguiente: A cada nmero en el dominio de f se le relaciona con el cuadrado de ese nmero ms el triple de ese nmero menos seis. Dominio contradominio y regla de correspondencia Recordando la definicin de funcin Una funcin f es una regla de correspondencia que asigna, a un elemento x de un conjunto A un y slo un elemento, f (x), de un conjunto B. Al conjunto A se le llama dominio de la funcin, que es el conjunto donde la funcin no se indetermina. El contradominio de f es el conjunto de todos los valores posibles de f (x) cuando x vara en el dominio, esto es, La regla de correspondencia nos indica el criterio con el cual se eligen las parejas de elementos del dominio y contradominio; es decir, que a cada elemento del dominio solamente le puede tocar un elemento del contradominio. Ejemplo 1 La funcin el dominio de es el conjunto de todos los nmeros reales El contradominio de est formado por todos los valores de esto es, todos los nmeros con la forma . Ejemplo 2 Define el dominio de la funcin Solucin Como no se permite la divisin entre cero, vemos que f (x) no est definida cuando o cuando ; por consiguiente el dominio de f es: Ejemplo 3 Define el dominio de Solucin Dado que la raz cuadrada de un nmero negativo no est definida (como nmero real), el dominio de consiste en todos los valores de tales que Resolveremos esta desigualdad factorizando. Como el producto cambia de signo cuando , o cuando, segn Por lo consiguiente, el dominio de h es ] 26 Regla de correspondencia: El rea de un crculo. La frmula para calcular el rea de un circulo es la regla de correspondencia es que nos indica que para obtener el rea de un circulo se debe multiplicar por el radio al cuadrado. Diferentes formas de representacin de una funcin a.Grfica b.Tabla de variacin c.Expresin algebraica d.Expresin verbal e.Diagrama Grficas de funciones Si es una funcin cuyo dominio es A, su grfica es el conjunto de pares ordenados En otras palabras, la grfica de consiste en todos los puntos en el plano coordenado tales que est en el dominio de . La grfica de una funcin f sirve para obtener una imagen til del comportamiento, o la historia de una funcin. Ejemplo 1. Trazar la grfica de la funcin Hagamos . xY 05 29 17 -13 -21 -3-1 Texto a escribir en Mathematica tt = {2x + 5 }; pp = Plot[Evaluate[tt], {x, -8, 8}, PlotStyle -> {RGBColor[0, 1, 0]}] Grfica de Ejemplo 2. Trazar la grfica de la funcin Hagamos xY -1-24 18 26 30 4-4 50 618 Texto a escribir en Mathematica tt = {x^3 - 8x^2 + 15x }; pp = Plot[Evaluate[tt], {x, -8, 8}, PlotStyle -> {RGBColor[0, 0, 1]}]; -7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5-10-5510152027 Ejemplos de expresin verbal: Una panadera produce 300 pasteles al da. Cul es la produccin de pasteles en das. El corazn, en condiciones normales, late aproximadamente 72 veces por minuto. Cul es el nmero de veces que late el corazn en horas. Identifica en los diagramas cuales de estas son funciones: Cero de una funcin Cero de , es el valor de x que al evaluar en la funcin da como resultado cero. Es decir, x1 es un cero de si . Ejemplo 1 -1 es un cero de la funcin porque Ejemplo 2 0, 3 y 5 son los ceros reales de la funcin porque Grficamente los ceros reales de son las abscisas de los puntos en donde la grfica corta al eje Clasificacin de las funciones de acuerdo a su representacin Funciones polinomiales Una funcin f se llama funcin polinomial o polinomio de grado n, en donde n es un entero no negativo y los nmeros son constantes, llamadas coeficientes del polinomio con . El dominio de todo polinomio es Ejemplos de estas funciones son la funcin lineal, cuadrtica, cubica, etc. que se estudiaran ms adelante. Funciones Exponenciales Son aquellas funciones que tienen la forma , en donde la base a > 0.-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5-20-1010203028 tt = {2^x }; pp = Plot[Evaluate[tt], {x, -10, 10}, PlotStyle -> {RGBColor[0, 0, 1]}] Funciones Logartmicas Si y , la funcin exponencial es creciente o decreciente y, por consiguiente, es inyectiva. Entonces tiene una funcin inversa, que se llama funcin logartmica con base , y se representa mediante entonces As, si es el exponente al que se debe elevar la base para obtener Grfica de para , 3, 5, 10 Figura 13. Funciones Trigonomtricas: sen(x), cos(x), tan(x), csc(x), sec(x), cot(x) Figura 14. Grfica de Figura 15. Grfica de Figura 16. Grfica de Figura 17. Grfica de -10 -5 5 1050100150200250-10 -5 5 1050010001500200025003000-10 -5 5 105000100001500020000250000.5 1 1.5 2-12.5-10-7.5-5-2.50.5 1 1.5 2 2.5 3-6-4-21 2 3 4 5-6-4-22 4 6 8 10-4-222 4 6 8 10 12-1-0.50.512 4 6 8 10 12-1-0.50.512 4 6 8 10 12-30-20-101020302 4 6 8 10 12-30-20-1010203029 Funciones algebraicas elementales Funcin constante La funcin constante tiene a como dominio y su contradominio est formado nicamente por el nmero. Su grfica es una recta. Figura 20. Grfica de Funcin identidad Se denomina funcin identidad, ya que a cada nmero del eje de abscisas le corresponde el mismo nmero en el eje de ordenadas, es decir, que las dos coordenadas de cada punto son idnticas (1, 1), (2, 2), (3.5, 3.5), ... Figura 21. Grfica de Funcin potencia Una funcin de la forma , en donde es constante, se llama Funcin de potencia. Estudiemos varios casos: , entero positivo La forma general de depende si es par o impar. Si es par, es una funcin par y su grfica se parece a la parbola . Si es impar, es una funcin impar y su grfica es similar a la de La grfica de la funcin es una hiprbola equiltera para la cual los ejes coordenados son asntotas. , entero positivo La funcin = es una funcin raz. Para se trata de la funcin raz cuadrada, cuyo dominio es y cuya grfica es la mitad superior de la parbola. Grfica de cuando es entero positivo par. -7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.51234-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5-7.5-5-2.52.557.5-2 -1 1 20.511.522.5330 Figura 22. Grfica de Grfica de cuando es entero positivo impar. Figura 23. Grfica de Analicemos el comportamiento de la grfica cuando entero positivo impar.

Analicemos el comportamiento de la grfica cuando entero positivo par.

Grfica de entero positivo. Figura 26. Grfica de

Funcin lineal Esta funcin es de la forma: constantes Su grfica es una recta. Al coeficiente le llamamos pendiente. La inclinacin de la recta depende del valor de la pendiente, a pendiente positiva inclinacin hacia la derecha pendiente negativa inclinacin hacia la izquierda -2 -1 1 2-0.04-0.020.020.04-2 -1 1 2-80000-60000-40000-20000200004000060000-0.2 -0.1 0.1 0.2250005000075000100000125000150000175000-0.2 -0.1 0.1 0.2510811091.51092109-0.2 -0.1 0.1 0.22.51012510127.51012110131.2510131.510131.751013-0.2 -0.1 0.1 0.211016210163101641016510162 4 6 8 100.511.522.532 4 6 8 100.511.522 4 6 8 100.250.50.7511.251.51.752 4 6 8 100.250.50.7511.251.531 Ejemplos de funcin lineal (pendiente positiva) (pendiente negativa) Grfica de penuiente Funcin cuadrtica son constantes reales, Su grfica es una parbola. Teorema 2 La funcin cuadrtica ,, se representa grficamente por medio de la parbola , cuyo eje es paralelo (o coincide con) al eje Y, y cuyo vrtice es el punto . Si , la parbola se abre hacia arriba y su vrtice es un punto mnimo, teniendo la funcin cuadrtica un valor mnimo igual a para Si , la parbola se abre hacia abajo y su vrtice es un punto mximo, teniendo la funcin cuadrtica un valor mximo igual a para Identifica aplicando el teorema anterior hacia donde abren las parbolas siguientes: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Grfica de: uiica ue

-2 -1 1 2-4-224-2 -1 1 2-6-4-2246-4 -2 2 4-2246-4 -2 2 4-2246-10 -5 5 1020406080100-10 -5 5 1020406080-10 -5 5 102004006008001000-10 -5 5 1020040060080032 Teorema 3 La funcin cuadrtica , , en donde , y son constantes reales, tiene un valor mximo o mnimo igual a cuando . Este valor es un mnimo cuando y es mximo cuando . Ejemplo 1. Calcular el valor mximo o mnimo de la funcin cuadrtica Comprobar el resultado grficamente. Solucin Ya que el coeficiente de es negativo, la funcin tiene un mximo que puede obtenerse por sustitucin directa en las frmulas del Teorema 2. As, para , el valor mximo es para La grfica de la funcin muestra el punto mximo y los ceros Mximo Ejemplo 2 Hallar dos nmeros tales que la suma de sus recprocos sea 5, y que la diferencia de sus recprocos sea 1. Solucin Sea nmero menor y nmero mayor La suma y la diferencia de sus recprocos son, respectivamente, Esto no es un sistema lineal pero puede ser tratado como tal utilizando como incgnitas . As sumando las dos ecuaciones tenemos de donde y Restando la segunda ecuacin de la primera, obtenemos de dondey Por tanto, los dos nmeros son . Funcin cbica constantes reales, Grfica de -20 -10 10 20100200300400-20 -10 10 20-400-300-200-100-4 -2 2 4-20-15-10-5533 Bibliografa Lehmann, Ch. (2001). lgebra . Mxico. Editorial Limusa. Stewart, James.(2000).Clculo, Trascendentes tempranas. Mxico. Editorial Thomson. Grossman Stanley I. lgebra lineal. Mxico. Editorial McGraw-Hill. Aurelio Baldor.lgebra Grupo editorial Patria. http://www.vitutor.com/algebra/sistemas %20I/p_e.html http://docentes.uacj.mx http://www.cedmm.org/matematicas1/con4.htm http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/3.4.html http://www.portalplanetasedna.com.ar/Ec2Grado.htm -1 -0.5 0.5 1-0.02-0.010.010.02