LIBRO PARA EL MAESTRO

MATEMÁTICAS

CUARTO GRADO

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El Libro para el maestro. Matemáticas. Cuarto grado fue elaborado en la Dirección Generalde Materiales y Métodos Educativos de la Subsecretaría de Educación Básica y Normalde la Secretaría de Educación Pública

Coordinación generalElisa Bonilla RiusAlba Martínez OlivéRodolfo Ramírez Raymundo

RedacciónVíctor Manuel García Montes

AsesoríaHugo Balbuena Corro

ColaboraciónMaría de los Ángeles Olivera BustamanteIrma Griselda Pasos Orellana

Coordinación editorialElena Ortiz Hernán Pupareli

DiseñoMauro Calanchina Poncini

Cuidado de la ediciónJosé Agustín Escamilla Viveros

Supervisión técnicaAlejandro Portilla de Buen

FormaciónMartín Aguilar Gallegos

PortadaDiseño: Comisión Nacional de Libros de Texto Gratuitos,con la colaboración de Luis Almeida

Ilustración: Matemáticas. Cuarto grado, SEP, 1994.Presencia núm. III, Fernando García Ponce, acrílico sobre tela, 1972.Museo de Arte Moderno, México, D. F.Reproducción autorizada por el Instituto Nacional de Bellas Artes y Literatura

Primera edición, 1994Segunda edición, 2001Tercera edición, 2002Segunda reimpresión, 2004 (ciclo escolar 2004-2005)

D.R. © Secretaría de Educación Pública, 1994Argentina 28, Centro,06020, México, D.F.

ISBN 970-18-7719-5

Impreso en MéxicoDISTRIBUCIÓN GRATUITA-PROHIBIDA SU VENTA

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Índice

5 Presentación

7 Introducción

10 Recomendaciones didácticas generales

18 Recomendaciones didácticas por eje

51 Recomendaciones de evaluación

53 Sugerencias bibliográficas para el maestro

54 Bibliografía consultada y créditosde ilustración

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Presentación

En el año escolar 1993-1994 se aplicóla primera etapa de la reforma de losplanes y programas de estudio de laeducación primaria. En esa etapa elnuevo currículo entró en vigor en losgrados primero, tercero y quinto, y apartir del año escolar 1994-1995 seaplica también en los grados segundo,cuarto y sexto.

Al mismo tiempo que se reforma-ron los planes y programas de estudiose inició la renovación de los libros detexto gratuitos que el gobierno de laRepública entrega a todos los alum-nos de las escuelas primarias del país.

Con objeto de asegurar el conoci-miento preciso del nuevo currículo, seha enviado a todos los maestros ydirectivos escolares un ejemplar dellibro Plan y programas de estudio. Educa-ción básica. Primaria, en el que se des-criben los propósitos y contenidos dela enseñanza de cada asignatura y gra-do y del ciclo en su conjunto.

La reforma del currículo y los nue-vos libros de texto tiene como propó-sito que los niños mexicanos adquie-ran una formación cultural más sóliday desarrollen su capacidad para apren-der permanentemente y con indepen-dencia. Para que esta finalidad se cum-pla es indispensable que cada maestrolleve a la práctica las orientaciones del

plan y los programas y utilice los nue-vos materiales educativos en formasistemática, creativa y flexible.

Tradicionalmente la Secretaría deEducación Pública distribuye los li-bros para el maestro como un apoyoal trabajo profesional que se realizaen nuestras escuelas primarias. Laforma de organización y presentaciónde estos libros ha sido modificada. Enel pasado se integraban en un solovolumen las recomendaciones di-dácticas correspondientes a todas lasáreas o asignaturas de un grado. Apartir de esta etapa hay libros de me-nor volumen para cada asignatura deun grado o, excepcionalmente, parauna pareja de asignaturas interrela-cionadas estrechamente.

Esta nueva organización del Libropara el maestro tiene como propósitofacilitar su manejo, actualización ymejoramiento, así como proporcionarmaterial de estudio adecuado para losmaestros que deseen profundizar enla enseñanza de una asignatura, a lolargo de todo el ciclo de la educaciónprimaria.

La nueva presentación integra abun-dantes propuestas para la enseñanzade los contenidos y la utilización dellibro de texto y otros materiales edu-cativos de cada asignatura y grado

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Secretaría de Educación Pública

escolar. Adicionalmente, los maestrosrecibirán el Fichero. Actividades didác-ticas. Matemáticas. Cuarto grado y po-drán consultar el Avance programático.Cuarto grado. Educación básica. Prima-ria, recurso auxiliar para planear yorganizar la secuencia, dosificación yarticulación de contenidos y activida-des de enseñanza.

Este Libro para el maestro. Matemáti-cas. Cuarto grado no tiene una finali-dad directiva ni es su pretensión indi-car a los profesores, de manera rígidae inflexible, lo que tienen que hacer encada clase o en el desarrollo de cadatema. El contenido del libro y su pre-sentación parten de reconocer la crea-tividad del maestro y la existencia demúltiples métodos y estilos de traba-jo docente. Por esta razón, las propues-tas didácticas son abiertas y ofrecenamplias posibilidades de adaptacióna las formas de trabajo del maestro, alas condiciones específicas en las querealiza su labor y a los intereses, nece-sidades y dificultades de aprendizajede los niños.

El Libro para el maestro. Matemáticas.Cuarto grado, además de ser un recursopráctico para apoyar el trabajo en elaula, se ha concebido como un mediopara estimular y orientar el análisiscolectivo de los maestros sobre su ma-teria de trabajo, ya sea que se realice demanera informal o como actividad delConsejo Técnico. Igualmente, el libroserá material básico de actividades ycursos de actualización profesional.

Los planes y los programas de estu-dio, los libros de texto gratuitos y otrosmateriales didácticos, destinados a losmaestros y a los alumnos, son instru-mentos educativos que deben ser corre-gidos y mejorados con frecuencia ysistemáticamente, a la luz de los resulta-dos que se obtienen al utilizarlos en lapráctica. Es por ello que la Secretaría deEducación Pública reitera la atenta invi-tación hecha a los profesores de educa-ción primaria para que envíen a estadependencia sus opiniones y recomen-daciones relativas al mejoramiento delos instrumentos educativos menciona-dos y en particular del presente libro.

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Introducción

La formación matemática que permi-ta a cada miembro de la comunidadenfrentar y dar respuesta a los proble-mas matemáticos que se presentan enla vida moderna dependerá en granmedida de las habilidades y nocionesdesarrolladas durante la educación pri-maria, así como de los conocimientosconstruidos dentro y fuera de la escue-la. El tipo de experiencias que tenganlos niños durante el proceso de ense-ñanza, estudio y aprendizaje de lasmatemáticas en la educación prima-ria, determinará también las actitudesque asuman ante los problemas querequieran el uso de esta disciplina.

El Plan y programas de estudio. Educa-ción básica. Primaria plantea estudiaren las aulas una matemática que per-mita a los alumnos construir conoci-mientos a través de la resolución desituaciones problemáticas que despier-ten su interés y su deseo de búsquedade soluciones. Paralelamente, la pro-puesta pretende ofrecer a los alumnosla oportunidad de desarrollar habili-dades para estimar, medir, comunicar(de manera oral y escrita), operar (men-talmente y con los algoritmos usuales)para hacer inferencias y generaliza-ciones. Asimismo, se pretende que elalumno disfrute al hacer matemáti-cas, desarrollando su creatividad eimaginación.

La comprensión y uso de conceptosmatemáticos, el dominio de los algo-

ritmos usuales y la habilidad para re-solver diversos problemas se apoyafirmemente en la evolución de los co-nocimientos previos. La evolución deéstos se dará en la medida en que elmaestro proponga diversos retos a susalumnos. El papel del maestro es fun-damental como mediador entre lossaberes de los alumnos, las situacio-nes de aprendizaje y el conocimientomatemático que tiene rango social.

Por tanto, las situaciones de aprendi-zaje que los maestros pueden proponerconstituyen la materia prima necesariapara generar hipótesis, estrategias yprocedimientos por parte de los alum-nos. Dada la dificultad para diseñardiversas situaciones de aprendizaje, losmaestros de educación primaria cuen-tan con un repertorio importante en loslibros de texto gratuitos y en los fiche-ros de actividades didácticas.

Propósitos generalesdel grado

Con fundamento en este enfoque seespera que, a lo largo del cuarto grado,el alumno logre obtener experienciassignificativas en las que:

• Desarrolle la habilidad para leer, es-cribir, ordenar, ubicar en la rectanumérica y comparar números na-turales hasta de cinco cifras y núme-ros decimales hasta centésimos.

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• Adquiera, a través de la compara-ción de giros, la noción de ángulo yla capacidad para medirlos en frac-ciones de vuelta o en grados.

• Desarrolle la habilidad para elaborar einterpretar croquis y representar pun-tos y desplazamientos en el plano.

• Desarrolle la habilidad en el manejode diferentes instrumentos de geo-metría para trazar líneas paralelas yperpendiculares, figuras, ejes de si-metría y desarrollos planos de cuer-pos geométricos.

• Use las tablas de variación propor-cional directa en la resolución deproblemas.

• Desarrolle la capacidad de recolec-tar, organizar, comunicar e interpre-

• Desarrolle estrategias para estimar ycalcular mentalmente el resultadode problemas de suma, resta y mul-tiplicación.

• Desarrolle la capacidad para reco-nocer, plantear y resolver proble-mas que impliquen el algoritmo delas cuatro operaciones fundamenta-les. En el caso de la división, condivisores hasta de dos cifras.

• Resuelva problemas que impliquenel uso de fracciones en situacionesde reparto, medición, comparación,equivalencia u orden.

• Resuelva problemas que impliquenel uso y equivalencia de unidades delongitud, peso, superficie, capacidady tiempo para profundizar en el es-tudio del Sistema Métrico Decimal.

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tar información que provenga de en-cuestas, tablas, gráficas, pictogramas,etcétera.

• Adquiera la capacidad de estimarlos resultados de diferentes juegosde azar, utilizando los términos “másprobable que” y “menos probableque”, los registre y los organice entablas de frecuencias.

Organizaciónde los contenidos

Los contenidos de Matemáticas, a lolargo de la educación primaria, se hanorganizado alrededor de seis ejes:

• Los números, sus relaciones y susoperaciones

• Geometría

• Medición

• Tratamiento de la información

• Procesos de cambio

• La predicción y el azar

En cuarto grado se introducen con-tenidos correspondientes al eje “Pro-cesos de cambio”, los cuales se trata-rán con mayor profundidad en lossiguientes grados de la educación pri-maria.

La organización por ejes no signifi-ca que los contenidos de cada uno

deban tratarse de manera aislada oindependiente. Ha de buscarse siste-máticamente la interrelación entre loscontenidos correspondientes a cadauno de los diferentes ejes. Cabe seña-lar, por otra parte, que tal interrela-ción debe tratar de hacerse de mane-ra natural sin forzar la incorporaciónde otros contenidos.

Por ejemplo, en la actividad queconsiste en trazar figuras con igualperímetro, pero diferente área (véa-se la lección “Hilaza para el contor-no”, p. 42) se trabajan varios conteni-dos: la medición con el centímetrocuadrado, la multiplicación y el tra-zo y manejo de formas geométricas,entre otros.

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Para que las matemáticas puedandisfrutarse, su enseñanza debe incluirinformaciones y aplicaciones útiles einteresantes para el niño. Al enseñarmatemáticas no sólo se pretende pro-mover aprendizajes significativos, sinotambién fomentar el gusto por estaasignatura. Esta nueva presentaciónde la matemática está más cerca de losintereses infantiles; es una matemáti-ca atractiva y lúdica, pero también útily significativa.

Con base en esta idea se trabaja apartir de situaciones propias de lacultura infantil, presentando una ma-temática más cercana al niño. Los ani-males y las plantas, los juegos, la lec-tura, los libros y el periódico infantil–entre otros– son soporte y contextode los contenidos matemáticos. Por lomismo, se han incorporado noticiasperiodísticas, notas deportivas, sor-teos, anuncios, carteles, datos sobreanimales, plantas y fenómenos natu-rales. El objetivo es que, paralelamenteal aprendizaje de las matemáticas, losniños manejen información diversa yse interesen por indagar sobre temasde otras asignaturas o intereses per-sonales que apenas se tocan.

Por esta razón en el libro del alumnono aparecen definiciones formales;éstas son, en todo caso, la conclusión

de actividades realizadas a lo largo deuna o varias sesiones.

El papel del profesor en laenseñanza de las matemáticas

La participación del profesor es esen-cial para el éxito de esta propuesta. Esel organizador, el coordinador de lasactividades, el que orienta a los alum-nos en las dificultades, quien sugierefuentes de información y da apoyoadicional cuando es necesario.

Sin el apoyo del profesor en la lectu-ra, algunas páginas del libro de textoprobablemente resulten incomprensi-bles para el niño. Un ejemplo de estoson las lecciones dedicadas al algorit-mo de la multiplicación y al de la divi-sión (véase Matemáticas. Cuarto grado,pp. 34, 60, 104 y 108). Puede decirseque estas lecciones requieren especial-mente de la participación directa delprofesor. Con base en ellas puede,como mediador del diálogo con el li-bro, ayudar a los niños a entender losalgoritmos y otras nociones asociadasa la multiplicación y a la división.

La actividad central del maestro enla enseñanza de las matemáticas vamucho más allá de la transmisión deconocimientos, definiciones y algorit-mos matemáticos:

Recomendaciones didácticas generales

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• Selecciona problemas matemáticosque sean adecuados para propiciarel aprendizaje de los distintos conte-nidos.

• Elige actividades para favorecer quelos alumnos pongan en juego losconocimientos matemáticos que po-seen, graduándolas de acuerdo consu nivel.

• Propone situaciones que contradi-gan las hipótesis de los alumnos,favoreciendo la reflexión sobre losproblemas y la búsqueda de nuevasexplicaciones o procedimientos quelos aproximen hacia la formalizaciónde los conocimientos matemáticos.

• Promueve y coordina la discusiónsobre las ideas que tienen los alum-nos acerca de las situaciones que seplantean, mediante preguntas quepermitan conocer el porqué de susrespuestas.

Los conocimientos previosde los niños

La enseñanza de las matemáticas ba-sada en la resolución de problemas seapoya en la idea de que los niños tienen,además de los conocimientos aprendi-dos en la escuela, conocimientos ad-quiridos en la calle, en la casa, en losjuegos, etcétera, que les permiten so-lucionar problemas diversos.

Al resolver las situaciones que elmaestro les presenta, los niños utilizanlos conocimientos y concepciones cons-truidos previamente. Por ello, la ense-ñanza de las matemáticas se entiende

como la promoción y enriquecimientode las concepciones iniciales del alum-no, mediante un proceso que, a travésde la presentación de situaciones con-cretas, lo llevan a abandonar, modifi-car o enriquecer dichas concepciones,y a acercarse paulatinamente al len-guaje y los procedimientos propios delas matemáticas, sin olvidar que dichoproceso es largo y complejo.

Los conocimientos previos y los pro-cedimientos iniciales de los niños en laresolución de problemas deben ser, enel discurso y en los hechos, el punto departida para avanzar en la construc-ción de nuevos conocimientos.

La resolución de problemasy la adquisición

de conocimientos significativos

Con el propósito de que los alumnosaprendan matemáticas a través de laresolución de problemas, se pide alos niños que los resuelvan utilizan-do sus propias estrategias y recursos,sin imponerles restricciones ni indi-carles caminos precisos; como el al-goritmo convencional. Cuando losalumnos tienen libertad para buscarla manera de resolver un problema,utilizando las operaciones que cono-cen o con otros procedimientos (conmaterial, dibujos, cálculo mental,etcétera), por lo general encuentran,al menos, una forma de aproximarsea la solución. Dichas estrategias sedeberán dar a conocer al grupo paradeterminar cuáles llevaron a la solu-ción del problema y cuáles no. Com-parar las estrategias pertinentesfavorece que los alumnos observen

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que unas son más sencillas que otras,es decir, más económicas, y que éstasles permiten llegar con mayor facili-dad a la solución del problema. Demanera paulatina, a través del diálo-go entre los compañeros, el maestroy el libro de texto, los niños evoluciona-rán en sus procedimientos de solución,aproximándose a los procedimientosconvencionales. Posteriormente, elmaestro deberá proponer el procedi-miento convencional como una for-ma más económica para encontrar lasolución.

Es probable que después de que seles haya enseñado el procedimientousual, los alumnos continúen utili-zando sus estrategias con las que loshan resuelto. Es recomendable per-mitírselos y después recordarles quetambién pueden resolverse con el pro-cedimiento convencional enseñado.Poco a poco, en la medida en que losalumnos comprendan este últimoprocedimiento se apropiarán de él ylo utilizarán para resolver problemas.Mediante este proceso se espera quelas expresiones matemáticas y losalgoritmos de cálculo convenciona-les tengan sentido y sean de utilidadpara los niños.

De acuerdo con lo anterior, parallegar al procedimiento usual de cadauna de las operaciones aritméticas, losniños deben resolver primero diver-sos problemas mediante sus propiosrecursos; éstos implican la búsquedacreativa de variados caminos, ensayosy errores. Este acercamiento paulatinoa los algoritmos convencionales per-mitirá al alumno comprenderlos, cuan-do se enfrente a ellos. Por otra parte, la

posibilidad de resolver problemas consus propios recursos facilitará al estu-diante desarrollar su capacidad de ra-zonamiento.

Es importante señalar que al per-mitir a los niños usar sus propiasestrategias no sucede que cada unoutilice una estrategia diferente y que,por lo tanto, el maestro tenga queconciliar 30 o 40 procedimientos dis-tintos para cada problema. Los estu-dios realizados al respecto muestranuna regularidad en los recursos quelos niños utilizan. Es decir, no apare-cerán más que un número manejablede estrategias de resolución que obe-decen al momento de desarrollo con-ceptual en el cual los niños se en-cuentran.

Por otra parte, la discusión mismales permitirá adoptar aquellas estrate-

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gias utilizadas por sus compañerosque consideren mejores. Interrogantescomo: ¿qué forma de resolver esteproblema les gustó más? ¿Con cuálprocedimiento pueden resolver másrápido el problema?, son cuestiona-mientos clave que el maestro puedeformular para promover la compara-ción de estrategias y llevar a los niñosa seleccionar las que les parezcan máseconómicas.

Es recomendable que el maestroproponga también problemas que ten-gan diferentes respuestas correctas,con el propósito de que los alumnosno se acostumbren a resolver sólo pro-blemas con respuestas únicas (véase,por ejemplo, “El puesto de tortas”,libro de texto, p. 180).

Antes de presentar o redactar unproblema es importante que el maes-tro tenga claro qué propósito se persi-gue. Por otro lado, debe asegurarseque el problema cumpla con determi-nadas condiciones:

• Que responda a una necesidad o in-terés del niño.

• Que despierte el interés de búsque-da para resolverlo.

• Que pueda expresarse en varios len-guajes (aritmético, geométrico, grá-fico, etcétera) y que sea posible latraducción de uno a otro.

• Que su grado de dificultad no seatan alto como para desanimar a losalumnos.

• Que a veces los problemas tenganmás de una respuesta correcta.

Desde esta perspectiva la resolu-ción de problemas es fuente y criteriode verdad de los conocimientos parael niño. Se aprende al resolver proble-mas nuevos porque se construyen co-nocimientos para poder hacerlo; seaprende también cuando se aplicanlos conocimientos a situaciones diver-sas porque se abstrae y se generaliza el

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saber anteriormente construido. Es ahídonde se muestra la solidez y validezde los conocimientos.

El diálogo y la interacciónen la clase de matemáticas

Ésta es una propuesta para dialogarcon el compañero de banca, con loscompañeros de equipo, con el maestroy para interactuar con la informaciónescrita y con las ilustraciones del pro-pio libro o de otras fuentes. Se aprendemás y más rápidamente si se dialogacon los compañeros y con el maestro.Escuchar las opiniones de los demás,preguntar, refutar, comparar y argu-mentar redunda en beneficio de alum-nos y maestros. El grupo es una ins-tancia educadora, y el texto, materialfundamental con que se cuenta en lasescuelas, promueve desde sus pági-nas el diálogo, la confrontación y elaprendizaje en grupo.

En la construcción de conocimien-tos, la interacción entre compañeros yalumnos con el maestro juega un pa-pel fundamental. La confrontación deestrategias y respuestas ayuda a losniños a percatarse de que puede habermejores formas para solucionar unproblema determinado; también per-mite ayudar a los compañeros menosavanzados en el proceso de aprendi-zaje, así como a los más adelantados, averificar respuestas y enriquecer co-nocimientos. Se espera que en estediálogo el niño construya los conoci-mientos y desarrolle las habilidadesmatemáticas planteadas para el cuar-to grado.

El diálogo, la confrontación y el con-vencimiento deben prevalecer en elproceso educativo. Aprovechar losmomentos en los que los alumnos re-suelven alguna situación problemáti-ca con procedimientos propios y noconvencionales para comunicarlo alresto del grupo es una tarea que se de-be llevar a cabo todos los días. El hechode explicar los procedimientos permi-te que sea el propio niño quien con-venza a los otros de su validez, sin quedeba esperar una respuesta externaque apruebe sus acciones, lo que con-tribuye a fortalecer la seguridad delalumno. El maestro también debe te-ner en cuenta que no todas las res-puestas de los niños son correctas, porlo que es necesario analizar tanto losprocedimientos que llevan a una solu-ción acertada como los que no.

Es formativo, para clarificar la natu-raleza del error, que el alumno sepapor qué con determinados procedi-mientos no es posible resolver el pro-blema. Esto se puede lograr si el maes-tro propicia un clima para que losniños expliquen la lógica de sus estra-tegias, identifiquen sus errores y loscorrijan. Este proceso ayuda a dismi-nuir la frustración que genera el noresolver correctamente un problemamatemático.

El maestro, entonces, debe conside-rar que durante la enseñanza y elaprendizaje hay tres momentos en elplanteamiento de un problema o acti-vidad:

• Cuando el maestro organiza a sugrupo en equipos, en parejas o de

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manera individual y en el que seplantea la actividad.

• Cuando los niños se hacen cargo delproblema, es decir, en el momentoen que los alumnos realizan las ac-ciones que consideran pertinentespara resolverlo y en el que el maestroobserva cómo lo hacen.

• Cuando se discuten, se validan, sesocializan los procedimientos encon-trados por los alumnos y se analizansus ventajas y sus desventajas.

El uso del libro de textoy las fichas didácticas

Los materiales con los que el maestrocuenta para trabajar en el transcursodel año escolar son: el libro para elmaestro, el libro de texto, un fichero deactividades didácticas y el avanceprogramático.

El libro del alumno ayuda al profe-sor a organizar la clase porque contie-ne los elementos básicos para apoyarel proceso de construcción de cadaconcepto. Es decir, en cada lección sepresenta una situación problemática apartir de la cual se derivan activida-des, preguntas, discusiones, simboli-zaciones y ejercicios de aplicación que,en conjunto, permiten lograr los pro-pósitos del tema en cuestión.

Las ilustraciones del libro de textojuegan un papel fundamental para lasolución de ejercicios y problemas, porlo que el alumno deberá entender queno son únicamente decorativas y ten-drá que aprender a interpretarlas. Las

consignas incluidas en las lecciones,como “Compara tu procedimiento o turesultado con tus compañeros”, “Orga-nízate en equipo” o “Trabaja con uncompañero” se incorporan porque ladificultad o la novedad de la tarea hacennecesaria la ayuda mutua, el intercam-bio de puntos de vista y la conjunción deideas para promover el aprendizaje co-lectivo y la reflexión individual.

Las situaciones problemáticas quese plantean en el libro no presentanexplicaciones de cómo resolverlas odefiniciones conceptuales, pues supropósito es que los alumnos, de ma-nera individual, por grupos o en pare-jas, aborden las lecciones de acuerdocon las consignas señaladas, para quebusquen estrategias de solución, dis-cutan y reflexionen sobre sus procedi-mientos que, finalmente, los llevaránal conocimiento deseado.

Además, las actividades propuestasen las fichas didácticas son sugerenciascomplementarias que apoyan y enri-quecen la propuesta contenida en ellibro del alumno, mismas que el maes-tro podrá utilizar cuando lo considere

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necesario –porque hay que reforzaralgún tema o porque las actividadesincorporadas en el libro no son sufi-cientes– antes o después de tratar al-gún tema, adaptarlas y proponer otrasactividades que el propio maestro con-sidere pertinentes.

En el avance programático se sugie-re una forma de integrar las activida-des de ambos materiales; el maestrodebe tomar en cuenta que hay algunaslecciones que introducen al tema yotras que requieren de actividadesprevias, como las que se sugieren enlas fichas didácticas.

En cualquiera de los dos casos ellibro de texto contiene los puntos cla-ve del proceso de aprendizaje. Al maes-tro le corresponde iniciar, adaptar oampliar la secuencia propuesta en ellibro, utilizando las actividades y pro-blemas propuestos en las fichas.

Importancia del usode material concreto

Si bien el empleo de material concretoen los primeros grados es indispensa-ble, en cuarto grado también es muyimportante para continuar con la cons-trucción o el desarrollo de muchosconocimientos matemáticos.

Generalmente se asocia la palabraactividad a la manipulación de obje-tos. Si para resolver un problema elmaestro entrega el material a los alum-nos y les indica la manera en que de-ben utilizarlo aprenderán a seguir ins-trucciones, pero muy probablementeno podrán comprender por qué tuvie-

ron que realizar dichas acciones con elmaterial. En cambio, si plantea el pro-blema, les entrega el material y les dalibertad de usarlo como ellos conside-ren conveniente para encontrar la so-lución, los niños pondrán en juego susconocimientos sobre la situación plan-teada, echarán mano de experienciasanteriores y utilizarán el material comoun recurso que les ayude a resolver losproblemas.

En muchas de las actividades querealizan los niños de cuarto grado, elmaterial concreto es necesario. Algu-nas veces lo utilizan como un instru-mento que permite buscar, construir yllegar a la solución de un problema.Éste es el caso de las secuencias plan-teadas para la medición de longitudesusando fracciones, cuya comprensióny manejo sería prácticamente inaccesi-ble sin el apoyo del material concreto(véase, por ejemplo, “La tienda delpueblo”, p. 14).

En otras ocasiones el material es uninstrumento que permite verificar lashipótesis y soluciones anticipadas porlos niños, por ejemplo, cuando se uti-liza para comprobar si la estimacióndel resultado de un cálculo o una me-dición son o no correctos. En este sen-tido, el papel del material concreto esfundamental, dado que uno de lospropósitos de la educación primariaes que los alumnos desarrollen la habi-lidad para calcular, estimar y verificarsus resultados.

La mayor parte del material que seutiliza durante el año se ha incorporadoen el libro de texto. Éste está compuestopor 19 recortables y puede completarse

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con corcholatas de colores, semillas, et-cétera. De este modo, cuando el maes-tro lo necesite, tendrá el material sufi-ciente para desarrollar su curso. Sesugiere que el profesor solicite ayuda alos padres de familia cuando la tarea derecortar sea difícil para los niños. Tam-bién será conveniente guardar el mate-rial en un sobre o en una bolsa con elnombre de cada alumno. La intenciónes que se conserve todo el año y puedautilizarse cuantas veces sea necesario.

Otros materiales que el maestrodebe utilizar para el desarrollo de lostemas son: periódicos, revistas infan-tiles, los Libros del Rincón editadospor la Secretaría de Educación Públi-ca u otros, como fuentes de situacio-nes para el trabajo matemático. El usode estos materiales ayudará a que los

problemas sean más interesantes, rea-les y atractivos para los niños. Asi-mismo, permitirá relacionar la mate-mática con otras asignaturas del plande estudios.

Por ejemplo, pueden establecerserelaciones con Geografía a través dela lectura y la elaboración de croquisy mapas; con Historia, mediante elcálculo de los años que han transcu-rrido desde determinado aconteci-miento al elaborar la “línea del tiem-po”; con Ciencias Naturales, a partirde situaciones basadas en datos refe-rentes a los hábitos, la alimentación oel peso de algunos animales y ademásapoyará la lectura, actividad funda-mental en la formación de los niñospropia de Español y, desde luego, enel aprendizaje de las matemáticas.

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3 El dueño de la tienda dice que el clavo dibujado abajo mide 1 + de tira. Utiliza el procedimiento

de Rosa para encontrar la tira con la que se midió el clavo y táchala.

4 Según el dueño de la tienda, la broca mide 1 + de tira. ¿Cuál de las tres tiras usó para

medir?

5 Averigua cuánto miden el clavo, el tornillo y la broca, usando como unidad de medida la

siguiente tira.

¿Cuánto mide el clavo?

¿Cuánto mide el tornillo?

¿Cuánto mide la broca?

6 El dibujo de abajo es una tira dividida en partes iguales.

¿En cuántas partes está dividida?

Colorea de rojo de la tira, de azul de la tira, de verde de la tira y de amarillo

de la tira.

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UNIDAD DE MEDIDA

Tira A

Tira B

Tira C

Tira A

Tira B

Tira C

¿Qué parte de la tira quedó sin colorear?

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1 Don Rodolfo encargó unos clavos a su sobrino Juan, le dio dinero para comprarlos y una

tira de papel para medirlos.

La tira era de este tamaño:

El dueño de la tienda le mostró

clavos de varios tamaños para

que Juan escogiera.

Marca los clavos que debió escoger Juan.

2 Observa cómo algunos niños encontraron los clavos que debió escoger Juan.

Y tú, ¿cómo supiste cuáles clavos debió escoger Juan?

Comenta tu respuesta con otros compañeros y con tu maestro.

Yo marqué la longitud de la tiraen la orilla de una hoja de papel

y así pude medir los clavos.Yo nada más al tanteo

vi cuáles eran.

En la tienda Juan pidió clavos de tres tamaños:

de una tira

de media tira

de una tira más un medio de tira

En la tienda del pueblo hay de todo un poco, así,

las personas no tienen que ir tan lejos para comprar

lo que necesitan.

4. LA TIENDA DEL PUEBLO

Flor Rosa

Ramón

Yo hice una tira igual a laque está dibujada y ladoblé en cuatro partes

iguales para medir.

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Los números, sus relacionesy sus operaciones

Los números naturales

Este eje tiene como uno de sus objeti-vos centrales el estudio y uso del siste-ma de numeración decimal. El rangoque se trabaja en el cuarto grado es elde las decenas de millar. Para el traba-jo en esta dirección el maestro deberátener en cuenta que, con frecuencia,los niños conocen los números másallá de lo que han aprendido en laescuela, debido a que los utilizanfuncionalmente.

Se parte de la idea de que los alum-nos reconocen y usan los números enrangos mayores a los previstos en laescuela para resolver situaciones y pro-blemas que se les presentan en lasdiversas actividades que desarrollanen sus juegos y en sus compras.

Para iniciar el trabajo con la nume-ración se sugiere promover el recono-cimiento y uso de los números que losniños conocen, a través de preguntascomo: ¿qué números conoces? ¿Dón-de has visto números? ¿Qué númerossabes escribir? ¿Cuál es el número másgrande que conoces? ¿Cuál es el máspequeño? ¿Qué número va primero, el

mil o el dos mil? ¿Cuál va antes del ...?¿Cuál va después del...?

Las respuestas a preguntas comoéstas, así como su discusión, permitiráal maestro conocer el rango de núme-ros que sus alumnos manejan oral-mente o por escrito y, además, iniciarel trabajo con números a partir de susexperiencias y de sus conocimientos.

En esta etapa también es importantepromover que los alumnos identifi-quen números y reflexionen sobre los

Recomendaciones didácticas por eje

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que ven en los precios, los anuncios,los domicilios, el periódico, las placasde los autos, etcétera. Es decir, se tratade que manejen los números y reflexio-nen sobre ellos en situaciones en lasque son útiles.

Con base en esta idea, en los prime-ros bloques el trabajo sobre esta temá-tica se inicia con la lectura de númerosen situaciones que les den significado,por ejemplo, en “El sorteo” y “Cua-dros y números”, páginas 12 y 50.A partir de la lectura de los númerosque aparecen en precios, anuncios, et-cétera, se realiza un primer trabajo decomparación, ordenación, identifica-ción y descomposición de números.Paulatinamente se logrará una orde-nación más sistemática –y con rangosmás amplios– de la serie numérica.

La construcción de series numéricascortas, orales y escritas son tambiénactividades en las que se pueden hacerreflexiones interesantes. Por ejemplo:señalar como punto de partida el nú-mero 20 000 y solicitar a los niños es-cribir los 10 números que van antes ylos 10 números que van después; es-to los hará reflexionar sobre los princi-pios que subyacen a la escritura de di-chos números. La elaboración de seriescon intervalos amplios (como podría sercontar de 50 en 50, de 100 en 100, de 250en 250, de 500 en 500, de 1000 en 1000,etcétera) permitirá observar otras re-gularidades en la serie numérica.

En síntesis, se propone que a lo lar-go del año los niños manejen signifi-cativamente los números, hasta de cin-co cifras, sin necesidad de hacer seriesnuméricas largas y aburridas. Para

apoyar dicha tarea, a continuación seproporcionan al maestro algunas su-gerencias generales que pueden reali-zarse a lo largo del año escolar.

El uso del tablero

El tablero (véase la página 25 de estelibro) es un material que puede serelaborado por los alumnos; se sugiereutilizarlo para representar números,para conocer y estudiar la serie numé-rica y el valor posicional de las cifras,así como para desarrollar la habilidaddel cálculo mental en los alumnos.

El uso del tablero puede hacersemás interesante a medida que avanzael año escolar si las preguntas o con-signas a partir de las cuales se trabajase van haciendo cada vez más com-plejas.

En este grado las fichas para repre-sentar a los números en el tablero notienen color diferente como en los gra-dos anteriores; la intención es que elalumno se dé cuenta de que el valor delnúmero es por el lugar que ocupa y nopor el color que tiene; es probable queen el transcurso del año se abandone eluso de este material, pero será el avancey dominio del tema por parte de losalumnos lo que marcará la pauta paradejar a un lado estos materiales.

Representaciónde números mediante

monedas y billetes

El uso de material concreto para re-presentar cantidades favorece que los

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MATEMÁTICAS

alumnos entiendan la regla de cambio“diez por uno” del sistema de nume-ración decimal y, a la vez, favorece lacomprensión del valor relativo de lascifras contenidas en un número.

En la lección “Cajeros y clientes”,página 104, los alumnos trabajan di-versos aspectos que implican el apren-dizaje de los números, además de lasequivalencias propias y naturales quese trabajan en contextos de dinero.Dentro del sistema decimal de nume-ración se manejan diferentes manerasde representar el mismo número y secontinúa con la secuencia didáctica deactividades orientadas al estudio delalgoritmo de la división.

Estimación de resultadosy cálculo mental

La anticipación de resultados, así comoel cálculo mental son actividades quedeberán desarrollarse durante todo elaño, ligadas al desarrollo específico de

las lecciones y de la resolución de pro-blemas. Una vez que el niño ha com-prendido lo que se desea al plantearun problema, se le debe conducir ha-cia la estimación del resultado o pedir-le que haga el cálculo mental, sin olvi-dar que tanto la estimación como elcálculo mental sólo adquieren sentidosi el niño los compara con el resultadoexacto del problema planteado.

La frecuencia con la que se practi-que este tipo de cálculos permitirá,entre otras cosas, que el alumno discri-mine un resultado lógico de otro queno lo es y genere procedimientos pro-pios cuando lleve a cabo operacionespor vías distintas a los algoritmos con-vencionales.

Solicitar a los niños el cálculo men-tal aproximado de operaciones o pro-blemas y después verificar sus resulta-dos realizando cálculos escritos outilizando la calculadora puede seruna forma habitual de trabajar. Porejemplo, se pueden plantear algunas

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CUARTO GRADO

preguntas como las siguientes paraestimar el resultado de un problemaque implique multiplicar 12 × 8: ¿cuálcreen que será el resultado? ¿Será másde 100 o menos de 100? ¿Estará entre100 y 150, o entre 150 y 200?

Después de esta etapa de estima-ción puede indicarse a los alumnosque calculen mentalmente el resulta-do exacto. Por ejemplo, sin multiplicardirectamente por 8. Es conveniente,después del ejercicio, registrar las di-ferentes maneras que surgieron delgrupo y discutir la estrategia utilizadaen cada caso; este ejercicio es suma-mente interesante por los resultadosque arroja:

12 × 8 = 12 × 4 × 2

12 × 8 = 12 × 10 – 12 × 2

Por último, los alumnos deberánresolver la operación para verificarsus resultados.

Es conveniente proponer a los alum-nos la búsqueda de errores para poste-riormente discutirlos en clase, argu-mentando en qué consiste el error(véase la página 26 de este libro).

El conteode cantidades grandes

El conteo, y en particular el conteo decantidades grandes de objetos, es unaactividad importante para desarrollarla intuición sobre los números e ideasclaras acerca de su magnitud. Pedirlea los niños que cuenten la cantidad decorcholatas que hay en una caja, lacantidad de garbanzos que contieneun frasco, etcétera, les permitirá teneruna idea más precisa de lo que es unacentena, un millar, cinco mil, diez mil,etcétera. Los niños probablementeempezarán a contar “de uno en uno”,pero, a medida que avancen, se daráncuenta de que es mejor buscar otrasestrategias para contar, por ejemplo,hacer grupos y sumar la cantidad quetiene cada grupo.

La realización frecuente de activi-dades como las que se acaban de seña-lar permitirá al maestro llevar a susalumnos a la comprensión de la magni-tud de los números y del sistema deci-mal con el que los representamos. Elprofesor encontrará en el libro del niño(véase, por ejemplo, “Un montón delentejas”, p. 24) y en el fichero de acti-vidades algunas sugerencias para eldesarrollo de estas nociones.J

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MATEMÁTICAS

El uso de la calculadoraen la escuela primaria

El uso de la calculadora se ha res-tringido en la escuela primaria, en-tre otras razones por el temor de losmaestros y padres de familia de queeste instrumento evite que los niñosaprendan a efectuar (sin calculado-ra) las operaciones básicas. Sin em-bargo, numerosas experiencias enel ámbito de la investigación en di-dáctica de las matemáticas han po-dido constatar que el uso controladode la calculadora en ciertas actividadesespecíficas, lejos de obstaculizar elaprendizaje lo favorece. Por ejem-plo, permite:

• Plantear problemas cuya finalidades que los alumnos establezcan rela-ciones adecuadas entre los datos yseleccionen, de manera autónoma,la o las operaciones con las que pue-den resolverse.

• Verificar resultados obtenidos me-diante el cálculo mental o escrito.

• Inferir los procesos que sigue lacalculadora a partir del análisis delas teclas que se oprimen y de losresultados que arroja.

Resolver problemas que requierenefectuar muchas operaciones o cálcu-los numéricos engorrosos. Por lo ante-rior, en algunas lecciones del libro detexto (véanse las páginas 17, 35, 93 y181) y en las fichas 7, 12 y 40 del Fichero.Actividades didácticas. Matemáticas.Cuarto grado se incorporaron situacio-nes en las que se sugiere utilizar lacalculadora.

Algunas de las actividades del fi-chero permiten indagar los conoci-mientos previos de los alumnos acer-ca de los números, favorecen elaprendizaje de la serie numérica oraly escrita y de las operaciones de sumay resta. Otras propician el cálculo men-tal y la estimación de resultados, mis-mos que se verifican con el auxilio dela calculadora.

¿Cómo trabajar las actividadescon la calculadora?

Es conveniente que antes de aplicar lasactividades, el maestro las experimen-te usando diferentes tipos de calcula-doras, pues no todas funcionan de lamisma manera. Por ejemplo, con cual-quier calculadora es posible construirsucesiones numéricas de 1 en 1, de 2 en

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2, etcétera. Sin embargo, no siempre seprocede de la misma forma. Si tiene ala mano dos o tres calculadoras senci-llas de diferente modelo y marca, pro-bablemente encontrará distintos resul-tados al ejecutar, en cada una, lassiguientes instrucciones:

1. Encienda la calculadora (en lapantalla aparece el 0).

2. Oprima las teclas para realizar lasiguiente suma: 17 + 3 (en la pantallaaparece primero el 17 y luego el 3).

3. Oprima tantas veces como desee,la tecla = y observe cada vez el númeroque aparece en la pantalla.

Es probable que en alguna de lascalculadoras obtenga la siguiente su-cesión de números al oprimir repeti-

damente la tecla =: 20, 23, 26, 29, 32,35... En otra calculadora tal vez losresultados sean: 20, 37, 54, 71, 88, 105...otra quizás arroje los siguientes resul-tados: 20, 20, 20...

Puede observarse que en el primercaso (20, 23, 26, 29, 32, 35…), al oprimirconsecutivamente la tecla =, la calcu-ladora suma de manera constante elsegundo sumando que se introdujo(17 + 3). En el segundo caso (20, 37, 54, 71,88, 105…), se observa que la calculadoratoma como constante el primer suman-do (17 + 3) y en el tercer caso (20, 20, 20...),no se modifica el primer resultado.

Para construir sucesiones numéri-cas con estas últimas calculadoras, talvez se requiera oprimir dos veces se-guidas el signo + (17 ++ 3 = = = …).Saber cómo funcionan las calculado-

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MATEMÁTICAS

ras que usan los alumnos permitirá almaestro coordinar con éxito las activi-dades propuestas.

En algunas lecciones del libro Mate-máticas. Cuarto grado se propone quelos alumnos utilicen la calculadora paraverificar resultados. En tales casos esimportante que los alumnos resuel-van primero las actividades medianteel cálculo mental o con lápiz y papel ydespués usen la calculadora para verifi-car los resultados obtenidos.

Los juegoscomo apoyo didáctico

Cuando los alumnos practican porprimera vez un juego lo hacen sin te-

ner estrategias definidas con las queaseguren ganar. Para construir unaestrategia que les permita ganar siste-máticamente es necesario que jueguenvarias veces el mismo juego, que co-nozcan y dominen sus reglas y anali-cen las jugadas. De esta manera eljugador, frente al juego, tiende a serautónomo, ya que no aplica instruc-ciones dictadas por otro, sino que cons-truye sus propias estrategias en lainteracción con sus compañeros.

Sin embargo, no todos los juegosson interesantes para el alumno, des-de el punto de vista de las matemáti-cas que se aprenden ni todas las activi-dades que sirven para aprender sonrealmente juegos. El reto es entoncesdescubrir o construir actividades que

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4 Resuelve las multiplicaciones que se indican para encontrar el resultado de 56 × 24

56 × 24 =

5 Divide el rectángulo en cuatro partes como tú quieras y luego realiza los cálculos necesarios

para encontrar el resultado de 73 × 38

73 × 38 =

6 Termina de resolver las siguientes multiplicaciones:

Compara tus resultados con los de tus compañeros.

50 6

20

4

40

32

× 24

63

40 × 63

5 × 635

63

× 45

55

× 20

60

× 47

72

× 59

86

× 48

50 × 20 =

50 × 4 =

6 × 20 =

6 × 4 =

Total =

× =

× =

× =

× =

Total =

Practica: Usa tu calculadora para encontrar los resultados parciales y el resultado total

de cada multiplicación.

20

32

4

20 × 32

4 × 32

�34

14. EL VIVERO DE DON FERMÍN

¿Te acuerdas que en el vivero de

don Fermín hay diferentes plantas

frutales?

1 ¿Cuántas plantas hay en total en el vivero? Averígualo utilizando el procedimiento que quieras

y anótalo en tu cuaderno.

2 Resuelve las multiplicaciones de la derecha

para calcular el número de plantas que hay de

cada tipo. Observa el ejemplo:

20 × 10 = 200 aguacates

10 × 10 =

30 × 10 =

5 × l0 =

5 × l0 =

Total =

¿Cuántas plantas hay en total en el vivero?

3 El vecino de don Fermín dividió su terreno en cuatro parcelas. En cada una va a sembrar

árboles diferentes.

Observa el dibujo del terreno que está abajo y anota la multiplicación con la que se puede

calcular el total de plantas que va a sembrar el vecino de don Fermín: ×

Calcula la cantidad de árboles que se van a sembrar en cada parcela.

40 × 20 =

40 × 4 =

8 × 20 =

8 × 4 =

Total =

¿Cuántas plantas en total va a sembrar el vecino de don Fermín?

40 8

20

4

40 × 20 8 × 20

40 × 4 8 × 4

AGUACATES AGUACATES MAMEYES MANGOS

NARANJOS NARANJOS NARANJOS GUANÁBANOS

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CUARTO GRADO

Unidadesde millar Centenas Decenas Unidades

1

Valor

y posición

Unidadesde millar Centenas Decenas Unidades

A

Escribe con letra los números representados en el tablero.

¿Cuál es el sucesor de 7 899?

¿Y el sucesor de 3 150?¿Cuál es el antecesor de 7 899?

¿Y el antecesor de 3 150?En los números del tablero, ¿cuál es el valor del 7?

¿Y el del 5?Representa en el tablero el número de mayor valor que

puedas.

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26

MATEMÁTICAS

2

Estimación

sincera

B

Calcula mentalmente el resultado y anótalo.Compara tu resultado con los de tus compañeros.Explica tu procedimiento y escucha los de tus compañeros.¿Qué procedimiento les pareció mejor?¿Por qué?Inventa un problema que se resuelva con esa operación.

A

Une con una flecha la operación y el círculoen el que creas que se puede encontrar elresultado.

Está entre el200 y el 300

Está entre el100 y el 200

Es menorque 100

Es mayorque 30025 x 9=?25 x 9=?

35 x 8=?35 x 8=?

54 x 11=?54 x 11=?

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27

CUARTO GRADO

3

Un número

a la vez

A

¿Que número va en cada hueco?Compara tu respuesta con la de tus compañeros.

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

6 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

7 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

B

¿Todos escribieron los mismos números?

¿Cómo lograste descubrir los números que faltaban?

Inventa un problema que se resuelva con la operación que

completaste.

x 816072

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MATEMÁTICAS

sean realmente juegos para los niños yque, a la vez, propicien aprendizajesinteresantes de matemáticas (véase lapágina 27 de este libro).

En los libros Juega y aprende matemá-ticas y Los números y su representación,de la colección de Libros del Rincón(SEP) el maestro podrá encontrar, entreotros, algunos juegos que permiten alniño profundizar, afianzar o introdu-cir diversos aspectos del sistema denumeración decimal. Por ejemplo, enel juego “La pulga y las trampas” dellibro Juega y aprende matemáticas, losalumnos aplican los conocimientos queposeen sobre series con intervalos cons-tantes.

Operaciones y problemas

Las operaciones con números natura-les es un tema central en la educaciónprimaria. En este grado se utilizan lascuatro operaciones fundamentales. Lamultiplicación y la división se abor-dan con matices distintos a la adicióny la sustracción.

En relación con la adición y la sus-tracción se da énfasis a la resolución deproblemas que implican alguna deellas. Se deja de lado el trabajo relacio-nado con los algoritmos de esas opera-ciones, ya que desde el primer gradode primaria los alumnos realizan unamplio trabajo para comprenderlas yen tercer grado amplían sus conoci-mientos sobre el manejo de los algo-ritmos convencionales de la suma yde la resta. En cuarto grado, la com-plejidad del uso de la suma y la resta secentra en el tipo de problemas que se

plantean y no necesariamente en eltamaño de los números. Por ejemplo,en “La rueda de la fortuna”, página 16del libro de texto, se plantean proble-mas como los siguientes:

• A la rueda de la fortuna subieron 23personas, ¿cuántos lugares queda-ron vacíos? (En la ilustración se ob-serva que caben 32 personas en larueda.)

• Rosa dijo: cuando me subí al látigoíbamos 25 personas y quedaron 19lugares vacíos, ¿cuántas personas ca-ben en el látigo?

Los problemas se pueden expresar,respectivamente, como se muestraen seguida:

23 + ___ = 32 25 + 19=___

En el primer problema identificar laresta como la operación que permiteencontrar el dato no es sencillo, ya quelos niños tendrán primero que haceruna inversión en el planteamiento ini-cial del problema:

23 + ___ = 32 — 32 – 23 = ___

Aunque este problema se resuelvecon una resta muy simple, la identifi-cación de la operación no es obvia parael alumno.

Ninguno de estos dos problemas essencillo para los niños que cursan cuar-to grado, no obstante que no se in-volucran datos de más de dos dígitos.Para ellos resulta más difícil resolverproblemas como éstos –aun teniendonúmeros pequeños– que resolver al-

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CUARTO GRADO

gunos problemas con números de cua-tro o cinco cifras, en los que la suma ola resta son identificadas fácilmente.Un ejemplo sería:

• En su trabajo Gerardo ganó $ 3 176 yle dio $ 1875 a Lalo, ¿cuánto dinero lequedó?

A pesar de que los datos de esteproblema involucran números de cua-tro cifras, por diversas razones es defácil resolución. La primera de ellas esque la palabra quedó anuncia a los ni-ños la resta; la segunda razón es que elproblema tiene la incógnita al final:

3 176 – 1875 = ______

Por lo anterior, a lo largo del progra-ma y en los materiales de apoyo se haestablecido una diferencia entre la di-ficultad en el uso del algoritmo y ladificultad en la resolución de proble-mas. En el primer problema de la rue-da de la fortuna la dificultad radica enla identificación de la resta como ope-ración que resuelve el problema, mien-tras que en el problema del dinero ladificultad se ubica en el dominio delalgoritmo. El maestro debe apoyarambos aspectos de las operaciones;teniendo la precaución de trabajar las“técnicas de cálculo” cuando éstas yatengan significado para los niños, esdecir, cuando las hayan identificadocomo instrumentos para resolver cier-to tipo de problemas.

La situación es diferente con la mul-tiplicación y la división. Probablemen-te los niños todavía no dominan am-bos algoritmos, por lo tanto, en este

grado deberán ser tratados por el pro-fesor de manera especial.

La multiplicación se inicia con unasíntesis del tratamiento que se hizo entercer grado, basado en la descompo-sición de arreglos rectangulares (véa-se, por ejemplo, “El vivero de donFermín”, p. 34).

Posteriormente, a partir de la mis-ma estrategia se amplía el rango denúmeros hasta que se presenta el pro-cedimiento usual para resolver multi-plicaciones. Se espera que la descom-posición de una multiplicación enarreglos rectangulares haga más com-prensible a los niños el algoritmo detal operación.

No solamente se maneja la multipli-cación con la idea de arreglos rectan-gulares, también se utiliza en proble-mas de variación proporcional directa(véase, por ejemplo, “El mercado”, p.10) y en problemas de combinatoria(véase, por ejemplo, “Combinaciones”,p. 168), la actividad consiste en combi-nar un número diferente de faldas yblusas para vestir a una muñeca. Elmaestro deberá hacer reflexionar a losalumnos sobre la relación entre el nú-mero de faldas, el de blusas y el totalde combinaciones. Una vez que losalumnos han resuelto la situación conmaterial concreto, se propone intro-ducir la representación gráfica, comose muestra en la misma lección, parallegar, posteriormente, a la represen-tación simbólica:

5 × 4 = 20

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MATEMÁTICAS

La división

Desde segundo grado los alumnos re-suelven problemas de reparto de obje-tos y en tercero se incluyen problemasde agrupamiento o tasativos, es decir,aquellos en los que se debe determinarcuántas veces cabe una cantidad enotra. Es importante continuar con estetipo de problemas en cuarto gradoporque ayuda al alumno a profundi-zar en los diferentes significados de ladivisión y se afianza la comprensióndel procedimiento usual para dividir.A continuación se dan algunos ejem-plos de problemas. El primero y eltercero son de agrupamiento o tasati-vos, y el segundo es de reparto.

• Catalina debe colocar 250 manzanasen cajas con 6. Tiene 40 cajas. Quieresaber si le alcanzan o le sobran cajas.

• A Yólotl, Carlos, Luis, César y Pame-la les regalaron una caja de chocola-tes. La caja tiene 3 pisos. Cada piso

tiene 4 filas y cada fila tiene 5 choco-lates. Deciden repartirlos en partesiguales. ¿Cuántos le tocan a cadaquien?

• Uriel, Paco y René quieren guardarsus dulces en bolsas. Deciden poner10 dulces en cada bolsa. Uriel tiene153 dulces; Paco 192 y René 214.¿Cuántas bolsas necesita cada niñopara guardar sus dulces? ¿Sobrarándulces? ¿Podrán hacer otra bolsa conlos dulces sobrantes?

Con los ejemplos anteriores quere-mos ilustrar el hecho de que los niñosno adquieren conocimientos en pe-queñas dosis mediante la informa-ción que reciben del maestro. Másbien, lo que les permite construir suconocimiento es el proceso de ponerconstantemente a prueba sus propiashipótesis en las situaciones que se lespresentan. Esta forma de trabajo cons-tituye uno de los propósitos más im-portantes de esta propuesta.

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CUARTO GRADO

La lectura de los diálogos que apa-recen en el libro del alumno tambiénpermitirá a los niños aclarar dudas ycorregir posibles errores. Esta activi-dad será un apoyo importante en laconstrucción y autoevaluación de lasestrategias de resolución de proble-mas y de cálculos.

En tercer grado los niños llegaron aconocer el procedimiento usual paradividir, pero es necesario un trabajomucho más amplio para que poco apoco adquieran dominio sobre estaoperación. La secuencia de situacio-nes que se plantea en el libro de cuar-to grado comienza con el uso de dis-tintos procedimientos para resolverproblemas de división (véase, porejemplo, “La huerta de don Fermín”,

y “Entre 10 y 100”, pp. 28 y 62). Entreuna lección y otra el maestro debeproponer otros problemas similarespara que los niños sistematicen y afir-men su conocimiento sobre la multi-plicación al resolver problemas dedivisión.

Anticipar el resultado de la divi-sión, situándolo entre 1 y 10, entre 10 y100, entre 100 y 1000 (véase, por ejem-plo, “Entre 10 y 100”, p. 62) hará que elalumno infiera si el resultado de lasoperaciones efectuadas es absurdo ológico. También es recomendable queantes de efectuar las divisiones losalumnos estimen el número de cifrasque tendrá el cociente y verifiquencada vez si su estimación fue o nocorrecta.

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MATEMÁTICAS

Fracciones

En cuarto grado se amplía el trabajocon las fracciones, enfatizando su usoen situaciones problemáticas en dife-rentes contextos, relacionados con lamedición de longitudes, el peso dealgunos objetos, la capacidad de algu-nos recipientes, así como en situacio-nes de reparto.

La diferencia entre los problemasque se plantean en tercer grado y losde cuarto es el nivel de complejidad delas actividades y el tipo de fraccionescon las que se trabaja. Además de tra-bajar con las fracciones cuyo denomi-nador es dos, cuatro u ocho; se inclu-yen también los tercios, los quintos ylas fracciones decimales.

Las fraccionesen situaciones de reparto

Más que memorizar los términos deuna fracción y saber distinguirlos esnecesario que los alumnos le den unsignificado al numerador y al denomi-nador. Este aspecto se aborda en lalección “Más galletas y más niños”,libro de texto, página 94, en la que setrabaja la noción de fracción como re-sultado de un reparto.

Una vez resueltos los puntos 1, 2, 3y 4 de la lección es conveniente que elmaestro propicie un análisis sobre larelación que existe entre los datos delreparto y la fracción que representa elresultado del reparto, de tal maneraque descubran que en el resultado de

�134

4. ANIMALES QUE SALTAN

La pulga, el conejo y el canguro se desplazan por

medio de saltos. El dibujo de abajo muestra que el

canguro avanza una unidad en cada salto.

Observa el dibujo de arriba y contesta las siguientes preguntas:

El canguro sale del 0 y salta 5 veces.

¿A qué número llega?

El canguro salió del 0 y llegó al número 9.

¿Cuántos saltos dio?

¿Cuántas veces tiene que saltar el conejo

para igualar un salto del canguro?

¿Cuánto avanza el conejo en cada salto?

El conejo salió de 0 y llegó a 1. ¿Cuántas veces saltó?

El conejo salió de y llegó a 1 + . ¿Cuántas veces saltó?

El conejo salió de 0 y saltó 15 veces. ¿A qué número llegó?

Lee lo que dicen Flor, Rosa y Carmen:

1

0

Saltos de conejo

Saltos de canguro

11+ 1+

2

2010

210

110

1010

910

810

710

610

510

410

310

210

110

310

210

¿Cuál de las tres niñas no tiene razón?

Comenta tu respuesta con tus compañeros y tu maestro.

Llegó a .1610

Llegó a .1510 Llegó a 1+ .5

10

�135

En el dibujo se muestra la relación entre los

saltos de los tres animales.

¿Cuántos saltos tiene que dar la pulga para

igualar un salto del conejo?

¿Cuántos saltos tiene que dar la pulga para

igualar un salto del canguro?

Completa lo que falta de acuerdo con lo que se

ve en el dibujo.

En cada salto el canguro avanza:

En cada salto el conejo avanza:

En cada salto la pulga avanza:

¿Cuántos saltos tiene que dar el conejo para

llegar a ?

¿Cuántos saltos tiene que dar la pulga para llegar

al mismo lugar?

Anota los números que corresponden a

los puntos señalados con letras.

A: , o bien, + D: , o bien, +

B: , o bien, + E: , o bien, 1+ + , o bien, 1+

C: , o bien,

110

0

0

1

110

210

310

410

Pulga

Conejo

Salto

del c

angu

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CUARTO GRADO

un reparto se pueden identificar el nú-mero de unidades que se repartieron yel número de elementos entre los quese hizo el reparto o que, mediante elanálisis de los datos del reparto sepuede anticipar el resultado.

Por ejemplo, si se reparte 5 pastelesentre 3 niños a cada niño le toca 1pastel + + de pastel, que es lo mismoque . En la fracción el numeradorindica el número de pasteles que serepartieron y el denominador indicael número de niños entre los que sehizo el reparto.

Estos significados permiten a los ni-ños hacer reflexiones como las si-guientes: es mayor que , porque enlos dos casos se reparten tres galletas,pero en hay cuatro niños, mientras

que en hay cinco, por lo que a estosúltimos les toca menos. Si el problemaes comparar con puede actuarseintuitivamente mediante la siguientereflexión: en tres medios hay más ga-lletas que niños, en tanto que en haymás niños que galletas, por lo tanto 1es mayor que . Cuando el caso es defracciones equivalentes a un entero,por ejemplo, y , el razonamiento esque hay igual número de galletas quede niños, por lo que les toca lo mismoen ambos casos.

Estas comparaciones a nivel intuiti-vo son más importantes que la intro-ducción prematura de cualquier algo-ritmo para comparar fracciones. Es poreso que en cuarto grado no se sugierenalgoritmos para estos temas.

Fracciones en situacionesde medición

La noción de fracción como resultadode la medición de longitudes se intro-duce a través de situaciones en lasque, para medir con más precisiónuna longitud es necesario fraccionaren partes iguales la unidad de medi-da, porque ésta no cabe un númeroexacto de veces en la longitud a me-dir. En estas situaciones se enfatiza elhecho de que la unidad de medidapuede ser una tira, un segmento ocualquier objeto alargado y tambiénse propicia el uso de fracciones connumerador mayor que uno y de losnúmeros mixtos.

En el transcurso del año escolar lassituaciones de reparto y de mediciónque involucran el uso de las fraccio-

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MATEMÁTICAS

nes se van haciendo más complejas,con el fin de que los procedimientosiniciales empleados por los niños evo-lucionen.

En un principio se plantean proble-mas en los que se utilizan fraccionespara medir longitudes (véase, porejemplo, “La tienda del pueblo”,p. 14) o bien el problema de dividirun segmento en partes iguales (véase,por ejemplo, “En partes iguales sindoblar”, p. 18). En este tipo de situa-ciones se usan fracciones con nume-rador diferente a uno. Al principio,los niños utilizan hojas o tiras de pa-pel para realizar y verificar sus ejerci-cios y posteriormente pueden usar suregla graduada para encontrar las so-luciones.

Para medir el peso de algunos obje-tos, la capacidad de recipientes y lasuperficie de figuras se sugiere que losniños construyan o consigan algunasunidades de medida: el metro, el cen-tímetro, de kilogramo, kilogramo(véase la página 37 de este libro), eldecímetro y el centímetro cuadrado...,el litro, de litro, etcétera, para quelos usen en juegos o actividades queinvolucren contenidos del eje “Medi-ción”, así como contenidos del aspec-to de fracciones correspondiente aleje “Los números, sus relaciones ysus operaciones”.

Otro aspecto importante que se pres-ta para trabajar también con las frac-ciones es la medición de ángulos. Esteaspecto se introduce a partir de girosde una vuelta completa, media vuelta,un cuarto de vuelta o un tercio devuelta. Igualmente, se empieza a tra-

bajar la idea de fracción como parte deun todo formado por 360° (véase laficha 5, página 38 de este libro).

Equivalencia de fracciones

Uno de los aspectos más importantespara la comprensión de las fraccioneses la noción de equivalencia. Antes deabordar este tema se maneja en el librode texto la comparación de fraccionescon procedimientos informales (véase,por ejemplo, “Galletas redondas”,p. 82). A lo largo del curso se presentansituaciones que propician el uso de ex-presiones equivalentes que se puedenaprovechar para enfatizar dicha no-ción. Por ejemplo, en los problemas dereparto, dependiendo de las particio-nes que se hagan, pueden surgir distin-tas expresiones aditivas que represen-tan el mismo valor (véase, por ejemplo,“Más galletas y más niños”, p. 94).

Las situaciones de medición de lon-gitudes y de capacidades también pue-den aprovecharse para el uso de ex-presiones equivalentes. Es importantedestacar que en todas las situacionesdonde aparece la noción de equivalen-cia deben realizarse actividades paraverificar los resultados que obtienenlos niños. Si se trata de situaciones dereparto, al principio pueden usarsehojas de papel y, poco a poco, los niñosapoyarán sus razonamientos sobre laequivalencia de los repartos en suspropios dibujos.

En las situaciones de medición pue-de resultar de gran utilidad el uso deuna hoja rayada para dividir segmen-tos en partes iguales. No se pretende

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CUARTO GRADO

que los alumnos utilicen las expresio-nes formales o las reglas para encon-trar fracciones equivalentes.

La escritura formal de la suma y laresta de fracciones se trabaja en elbloque IV, en la lección “Esferas deplastilina”, página 136; sin embargo,hay otras situaciones a lo largo deltexto en las que se calculan sumas orestas sin necesidad de utilizar el algo-ritmo convencional. Si la equivalenciay el orden entre las fracciones se traba-ja detenidamente, los niños no ten-drán dificultad para inferir los resul-tados de las sumas o de las restas. Paraque los niños comprendan el signifi-cado de las fracciones que se trabajanes importante que éstas estén asocia-das a unidades de medida, por ejem-plo, de metro, litro, y no con frac-ciones en abstracto como y .

Fracciones y números decimales

El campo de los números fraccionariosse amplía en cuarto grado con la intro-ducción de las fracciones decimales.El primer tratamiento de estos núme-ros está en la lección “Adornos para elfestival”, página 102, en una situaciónen la que es necesario dividir unaunidad (pedazo de cuerda) en diezpartes iguales. Que los alumnos reali-cen este tipo de situaciones es funda-mental para darle a los decimales sucarácter genérico, supeditado exclu-sivamente a la unidad de que se trate(longitudes, superficies, capacidad,peso, dinero).

El propósito fundamental que seplantea en cuarto grado sobre los

números decimales es que los alumnoscomprendan su significado. Para ellose insiste en la necesidad de que inter-preten primero las cantidades escritascon punto decimal en términos denúmero de unidades + décimos + centési-mos. Por ejemplo, antes de que losniños logren interpretar 3.75 metroscomo 3 metros 75 centímetros es nece-sario que comprendan que 3.75 signi-fica 3 metros más 7 décimos de metro,más 5 centésimos de metro o 3 metrosmás 75 centésimos de metro.

Se insiste también en que los alum-nos representen, con fracciones, lasdescomposiciones aditivas de núme-ros representados con punto decimal.Por ejemplo:

3. 75 es igual a 3 + + .

El uso de la recta numérica es unrecurso gráfico de gran utilidad paratrabajar la partición de las unidades enpartes iguales, como se hace en algu-nos problemas de la lección “Anima-les que saltan”, página 134.

Los números decimales también sepueden trabajar mediante actividadesque impliquen el uso de dinero, litros,metros, etcétera (véase, por ejemplo,en “Particiones decimales”, p. 140); sepresentan situaciones en diversos con-textos que se resuelven utilizando losnúmeros decimales.

Asimismo, se pueden plantear pro-blemas mediante actividades queinvolucren el uso de publicidad im-presa, en donde los alumnos debeninvestigar los precios reales de dife-rentes objetos.

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MATEMÁTICAS

Medición

El trabajo que se desarrolla en este ejeestá relacionado con las unidades demedida de longitud, capacidad, peso,superficie, tiempo y medidas angulares.Para alcanzar los propósitos asociadosa esta temática, el maestro debe consi-derar que las nociones relacionadas conla medida se desarrollan precisamentehaciendo mediciones y reflexionandosobre el resultado de las mismas.

Desde el punto de vista didáctico, eluso de unidades arbitrarias de medidaes también de suma importancia, nosólo porque permite adquirir una no-ción más amplia acerca del conceptode unidad de medida, sino porquepermite apreciar mejor la utilidad delas medidas convencionales. Es enton-ces recomendable que el maestro pro-mueva el trabajo de medición con uni-dades arbitrarias, como antecedenteal uso de las unidades convencionales.

Peso, capacidad y longitud

En el caso de la medición de longitu-des se han diseñado actividades en lasque es necesario realizar medicionesusando unidades arbitrarias, por ejem-plo, las tiras de cartón que se utilizanen la lección “La paloma de la paz”,página 118, así como unidades con-vencionales como el centímetro y elmetro, que se utilizan en diferenteslecciones del texto (véanse, por ejem-plo, “Cuerdas resistentes” e “Hilazapara el contorno”, pp. 26 y 42).

Otro tipo de actividad que se sugie-re es el uso de un intermediario para

realizar mediciones. Tal actividad tie-ne sentido en situaciones en las queresulta difícil medir directamente, uti-lizando la regla graduada en centíme-tros o el metro rígido. En estos casosun cordón es un instrumento útil parahacer mediciones (véase, por ejemplo,“Cuerdas resistentes”, p. 26).

A lo largo del grado se planteansituaciones en las que es necesario eluso del kilogramo y del litro. Los ni-ños podrán apreciar mejor el significa-do de estas unidades de medida si sehace referencia a su experiencia coti-diana: por ejemplo, comprar “un kilode tortillas”, “un kilo de frijol” o “unlitro de petróleo”. La construcción deuna balanza (véase, por ejemplo, “Lasgolosinas”, p. 110) y el uso de paquetesde 1 kilogramo, o de kilogramocomo unidades de medida, también

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CUARTO GRADO4

Balance

perfecto

B

Compara tu respuesta con las de tus compañeros.¿Hubo una sola respuesta o varias?¿Cuántas respuestas correctas y diferentes resultaron?¿Cómo acomodarías todas las pesas en los platillos paraque queden bien equilibrados? Escribe por lo menos dosmaneras diferentes de hacerlo.

A

¿Qué pesas se pueden colocar en el

platillo vacío para nivelar la balanza?

1 Kg

Kg34 Kg

34 Kg

34 Kg

12 Kg

12 Kg

14 Kg

14 Kg

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Kg34

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MATEMÁTICAS

B

¿Qué fracción de giro hizo la flecha de la brújula si estabaen el N y llegó al E?Si después llegó al SE, ¿cuánto giró?Desde el SE giró lo mismo que del N al E. ¿A dónde llególa flecha?Si finalmente llegó otra vez al N, ¿cuánto giró?Expresa todos los giros anteriores en grados.

A

La aguja de esta brújula gira en el mismo sentido

que las manecillas del reloj

5

Újule con

la brújulaN

S

NO NE

SESO

O E

N

S

NO NE

SESO

O E

Yo digo que paradar una vuelta completaen cada brújulahay que girar 8

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CUARTO GRADO

permitirá a los alumnos aproximarsesignificativamente a la noción de peso.Si bien en el uso diario de algunasmagnitudes se emplea solamente elprefijo de algunos múltiplos de launidad, por ejemplo kilo, es conve-niente que el niño tenga la informa-ción de que tal forma de expresiónusada comúnmente está relacionadacon el kilogramo.

Algunos de los materiales necesa-rios para la construcción de estas uni-dades de medida aparecen en el mate-rial recortable o se sugiere, en el librode texto, cómo elaborarlos y muchosotros pueden adquirirse con facilidad.

Otro elemento que enriquecerá demanera significativa el trabajo en esteeje es el empleo de algunas unidadesde medida usadas en las diferentesregiones de nuestro país, así como lacomparación de esas medidas con lasunidades de medida convencionales(por ejemplo, el uso del “doble”, del“cuartillo” y la “maquila” en el estadode Guerrero).

Otro aspecto importante de la medi-ción que se debe desarrollar en estegrado consiste en ordenar y comparardos o más longitudes a partir del resul-tado de mediciones (véase, por ejem-plo, “Cuerdas resistentes”, p. 26).

En cuanto a las unidades de medidade capacidad y de peso es convenienteque el maestro presente a los niñosdistintos objetos pequeños, especial-mente aquellos en los que se utilicensubmúltiplos del litro o gramos comounidades de medida, por ejemplo: fras-cos de medicina, de especias, de perfu-

me, de cremas, etcétera. De esta mane-ra los alumnos pueden formarse unaidea acerca de la magnitud de las uni-dades pequeñas, como el mililitro y elgramo (véase, por ejemplo, “Jarabe parala tos” y “Las golosinas”, pp. 96 y 110).

Superficie

Respecto a la medición de superficies,se parte de formar figuras con igualperímetro y diferente área (véase, porejemplo, “Hilaza para el contorno”,p. 42), para posteriormente pasar a lamedición de la superficie del triángu-lo mediante el conteo de cuadrados(véase, por ejemplo, “La mitad de unrectángulo”, p. 154), y por último lle-gar a la deducción de la fórmula res-pectiva y su aplicación en el cálculo deáreas de cuadriláteros (véase, por ejem-

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plo, “Alfombras de flores”, p. 1 78). Deesta manera contarán con un procedi-miento general para obtener el área defiguras de lados rectos, a través de sudescomposición en triángulos, cuadra-dos y rectángulos, según convenga, yno estarán obligados a depender de lamemoria para recordar la fórmula paracada figura.

Tiempo

El tiempo, para los alumnos, es una delas nociones más difíciles de adquirir.Por ello es importante que durante elcurso realicen diferentes actividadesen las que se utilicen la hora y losminutos como unidades de medida.En la lección “El circo”, página 32, seplantean algunos problemas en los que

pueden reflexionar sobre el uso y lautilidad de estas unidades de mediday sobre los diferentes tipos de instru-mentos de medición del tiempo queconocen.

El calendario es otro recurso que elmaestro puede utilizar para plantearsituaciones en las que se mida el tiem-po transcurrido entre un suceso y otro,utilizando el día, la semana y el mescomo unidades de medida. Otro tipode actividades que permite trabajarcon esta noción es la elaboración de lalínea del tiempo, en la que los alumnosubiquen lustros, décadas o siglos du-rante los cuales se desarrollaron deter-minados sucesos históricos (véase, porejemplo, “La ONU”, p. 52). De esta ma-nera se relaciona este aspecto de lamedición con otras asignaturas.

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CUARTO GRADO

Ángulos

La noción de ángulo y su medida es unaspecto que por primera vez se intro-duce en el libro de texto de cuarto gra-do. La idea que se maneja en éste es quelos ángulos se describen cuando se rea-lizan giros. La mayor parte de la se-cuencia de situaciones se desarrolla enel contexto de viajes a diferentes países.

La medición se inicia considerandogiros menores de una vuelta. Cadagiro se describe entre una línea desalida y una de llegada. En la lección“La vuelta al mundo”, página 78, seinicia el trabajo con los ángulos y sesugiere el uso de material recortableque consiste en un círculo dividido enoctavos. Se pide a los niños que tratende reproducirlo en papel transparenteo plástico para que lo puedan usar

como instrumento para medir ángu-los. Posteriormente, en “El cazador”,página 132, aparecen los ángulos de 1de vuelta, es decir, los que miden 30° oun número múltiplo de 30. En estenivel se utiliza la palabra grado másque su símbolo.

En “La vuelta al mundo en 360 gra-dos”, página 112, aparece el gradocomo unidad de medida, y se ilustra laamplitud que tiene un ángulo de ungrado. En esta lección se propicia lareflexión en el sentido de que la medi-da de los ángulos es independiente dela longitud de los lados que lo forman.

En el punto 10, de la misma lección,ante la pregunta: “¿Cuál de los siguien-tes ángulos mide más?”, seguramentemuchos niños pensarán que mide másel que tiene los lados más largos. Esnecesario que el maestro propicie ladiscusión sobre este aspecto y haganotar que los dos ángulos miden lomismo porque ambos se generan conun giro de de vuelta. Los ángulos sepresentan en otras lecciones del textocomo una de las características de lasfiguras. Esa es la idea de ángulo en suforma estática, misma que el maestropuede complementar propiciandoque los niños distingan los ángulos enalgunos objetos que estén a la vista.

Geometría

Tradicionalmente, la enseñanza de lageometría partía de las definicionesde punto, recta y plano. A partir deestos conceptos se definían rectas per-pendiculares, paralelas, ángulos, fi-guras y luego cuerpos. Investigacio-J

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nes realizadas en torno del aprendi-zaje infantil han mostrado que el pro-ceso es inverso; en otras palabras, esnecesario partir de lo sólido para lle-gar a lo más abstracto: las líneas y lospuntos.

Sólidos geométricos

Con el estudio que se hace en el librode texto sobre los sólidos geométricosse pretende que los niños identifiquenqué figuras forman las caras de unsólido (véase, por ejemplo, “Casas dediferentes países”, p. 74) y que esta-blezcan la relación entre el dibujo en elplano y el sólido en tres dimensiones,es decir: se abordan dos aspectos.

• Un sólido puede representarse en elplano, intentando plasmar sus tresdimensiones.

• A partir del plano puede construirseun sólido (con tres dimensiones). Deahí derivan lecciones como “Cubosy construcciones” y ”Construimospoliedros”, páginas 146 y 182.

En las lecciones del libro se diferen-cian los sólidos que son poliedros delos que no lo son, y se solicita perma-

nentemente la anticipación de formasy espacios, con lo cual se espera quelos alumnos desarrollen su imagina-ción espacial e identifiquen relacionespara saber si con determinada planti-lla se puede o no construir un poliedro;por ejemplo, el número de caras, lasmedidas de las aristas, los lados adya-centes, etcétera. Asimismo, descubri-rán que para elaborar un sólido deter-minado pueden construir más de unaplantilla.

Trazos y reproducciónde figuras

Un aspecto importante del eje “Geo-metría” es el que se refiere a las carac-terísticas de las figuras y su trazo. Sesugiere utilizar diversos recursos comoel doblado de papel, el dibujo, losmensajes, etcétera, para que los niñosreproduzcan figuras.

La reproducción de figuras es unaactividad motivante para los niños sise plantea adecuadamente. Se propo-ne que el maestro dé libertad a losniños para que busquen estrategiasque les permitan reproducirlas. Conello, además de desarrollar destrezasen el trazo se estará promoviendo elanálisis de las figuras y de sus propie-dades geométricas. Una situación im-portante que se presenta en algunaslecciones de geometría consiste en re-producir, a partir de un mensaje, unafigura o construir un sólido (véase,por ejemplo, “Dibujos y medidas” y“Forma y tamaño exactos”, pp. 54 y120, entre otras lecciones). En dichasituación tener las figuras a la mano yobservar sus características geomé-

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CUARTO GRADO

tricas es fundamental para poder rea-lizar la actividad.

El paralelismo, la perpendicula-ridad, la simetría, el tamaño de loslados y de los ángulos son característi-cas geométricas importantes en las quese basa la construcción y el análisis defiguras en este grado. Se pretende quelos niños se apoyen en tales aspectoscuando se les pide la reproducción y elanálisis de figuras. Es importante des-tacar que en ningún caso se pretendeque los niños hagan un análisis riguro-so y exhaustivo de las figuras o de lossólidos. Únicamente se pretende quedesarrollen la capacidad de análisis yde observación, que encuentren simi-litudes y diferencias, y que las utilicencomo criterios para hacer descripcio-nes y clasificaciones, así como paracrear y construir formas diversas.

El tipo de figuras que se reproducenpodrá hacerse progresivamente máscomplejo a lo largo del curso.

Figuras simétricas

En tercer grado, la simetría se iniciócon un tratamiento intuitivo, median-te la simulación de formas reflejadasen el agua como si ésta fuera un granespejo, o a través del dibujo de lasfiguras “reflejadas en el espejo”. En unprimer momento se recomienda quelos alumnos de cuarto grado utiliceneste recurso para reproducir figurassimétricas. Posteriormente, se realizanactividades que permiten profundi-zar un poco más acerca de la simetríay algunas de sus características, en“Artesanías”, página 36, se propone eluso de papel cuadriculado para que

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los niños dibujen o completen figurassimétricas. En “Bordados y simetría”,página 130, se aplica el reconocimien-to y trazo de los ejes de simetría, peroya sin apoyo de la cuadrícula, sin em-bargo, para el desarrollo de este temael maestro también podrá sugerir jue-gos o dejar a los alumnos que explorendiversas posibilidades, utilizando ho-jas cuadriculadas hasta que se sientancon la suficiente confianza para aban-donarlas.

Otras actividades que el maestropuede sugerir con el mismo propósitoson las de papiroflexia (doblado depapel). Con el apoyo de este recurso sehará más atractiva la clase de geome-tría y más accesibles algunos conteni-dos de este aspecto del programa.

Mediante las actividades de papi-roflexia se promueve el desarrollo dela imaginación espacial y la capacidadde construir hipótesis, ya que permi-ten al niño anticipar las formas que seobtendrán doblando de determinadamanera un pedazo de papel.

Ubicación espacial

El trabajo en el eje de “Geometría” in-cluye situaciones que inducen al niñoa buscar diferentes maneras de ubicar-se en su entorno y a experimentarformas de expresar y registrar tal ubi-cación. Las actividades incluidas enlas fichas y en el libro de texto tienentambién como finalidad que los niñoshagan sus propias representacionesdel entorno inmediato y familiar. Entodos los casos es necesario que seliguen las situaciones planteadas en el

texto y en las fichas con el entorno delos niños.

El trabajo en este aspecto se ha orien-tado básicamente a construir un siste-ma elemental (no formal) de ubicaciónde puntos en el plano. Es por ello quelas actividades, en su mayoría, estándirigidas a la interpretación y cons-trucción de planos urbanos, es decir, ala lectura y trazo de planos que tienencalles y avenidas. Sin embargo, la ta-rea de interpretar un plano no es fácilpara los niños; por ello el trabajo seinicia con la ubicación de puntos ydescripción de trayectos en un pueblosencillo, donde las casas no han perdi-do sus características más evidentes(véase, por ejemplo, “Camino al mer-cado”, p. 8).

En un segundo momento se propo-ne la elaboración de planos a partir defotografías aéreas más complejas. Seespera que, de esta manera, cuandolos niños se enfrenten a un plano comoel que aparece en “Las calles de laciudad”, página 38, las líneas que re-presentan las calles tengan significadopara ellos.

Una vez realizado este trabajo, quepodríamos llamar “lectura compren-siva del plano”, se inicia la tarea espe-cífica de ubicar puntos tomando comoreferencia los ejes de coordenadas quese representan con dos calles principa-les. El propósito fundamental del cur-so es llegar a manejar un lenguaje sim-plificado como (2,4) en lugar de decir“dos calles a la derecha y cuatro calleshacia arriba”. El uso de este lenguajeimplica un proceso en el que se usenexpresiones que los niños construyan.

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CUARTO GRADO

Procesos de cambio

Las actividades correspondientes aleje “Procesos de cambio” introducen alos alumnos de cuarto grado al análi-sis de situaciones que implican varia-ción proporcional directa.

La elaboración de tablas y el análisisde la información propicia que losalumnos descubran las relaciones dedobles, triples y mitades entre los da-tos de un problema, por ejemplo, en lalección “El mercado”, página 10, seplantean varios problemas que impli-can la relación proporcional entre loskilogramos de frutas y verduras quese venden, y el dinero que se obtieneen cada caso. Para completar cuántocuestan 8 kg de jitomate, el alumnocalculará el doble de los $12 que co-rresponden a 4 kg, es decir, tendrá queconcluir que el doble de 4 kg es 8 kg yel doble de $12 es $24.

En ocasiones las relaciones de do-bles, triples, etcétera, no alcanzan paracompletar dichas tablas y es necesariorecurrir al valor unitario. En el caso delos jitomates se sabe que 1 kg cuesta $3y a partir de este dato puede calcular-se, por ejemplo, el precio para 5 kg.Para completar en la misma lección latabla del precio de la sandía es necesa-rio averiguar cuánto cuesta 1 kg (va-lor unitario), y a partir de este datocalcular los que faltan, donde las rela-ciones de dobles, triples, etcétera, noson tan evidentes (véase la página 49de este libro).

El propósito es que el maestro ayude alos alumnos a desarrollar procedimien-tos intuitivos de proporcionalidad, como

son las relaciones entre los datos. El maes-tro podrá reforzar estas ideas plantean-do problemas que impliquen una com-paración multiplicativa. Por ejemplo: “SiJuanito tiene 10 años y Pedro tiene eldoble, ¿cuántos años tiene Pedro?”.

Con este tipo de problemas, ademásde profundizar en el significado de lamultiplicación, como se puede obser-var en las últimas tablas de la lección“El mercado”, página 10, se prepara alalumno para identificar relaciones pro-porcionales sin hacerlo explícito.

Otras actividades, como analizarrecetas de diferentes comidas para dis-tinta cantidad de comensales, favore-cen que el alumno empiece a trabajaren este tema. En “Hacemos recetas”,página 122, se pretende que el alumnocomprenda que es necesario duplicarla cantidad de cada uno de los ingre-dientes, si se quiere preparar gelatinapara 12 personas, dado que la recetaestá hecha para seis.

Cabe destacar que la noción de va-riación proporcional directa es com-pleja; por tanto se propone que losalumnos completen tablas a partir delas nociones intuitivas que tienen so-bre la proporcionalidad, por supuestosin llegar a mecanizar reglas ni a repe-tir definiciones.

El objetivo es que los niños se aproxi-men a la noción de proporcionalidaddirecta en términos cualitativos, a tra-vés del análisis de diferentes tablas devariación proporcional para que losalumnos puedan ver la manera enque una cantidad varía en función dela otra.

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MATEMÁTICAS

Situaciones de variaciónligadas a la geometría

Es importante que además de presen-tar a los alumnos situaciones numéri-cas de variación se les planteen situa-ciones de geometría. Por ejemplo, elperímetro de un cuadrado está en fun-ción de la medida de sus lados. Si seaumenta al doble la medida de suslados el perímetro aumenta tambiénal doble, y si disminuye a la mitad elperímetro disminuirá en la misma pro-porción. Éste es un caso de variaciónproporcional directa.

Tratamientode la información

El objetivo de los contenidos incluidosen este eje es, como su nombre lo in-dica, desarrollar la capacidad de losalumnos para obtener, analizar y utili-zar información numérica en distintoscontextos.

Es conveniente resaltar dos aspec-tos de este eje, el registro y el análisisde datos:

• En cuanto a los contenidos referidosa la elaboración e interpretación deregistros, se debe enfatizar la lecturade gráficas de barras e introducirpictogramas a los que se les asignanvalores de 1 000, 5 000 o 10 000 pararepresentar números grandes (véan-se, por ejemplo, “Naciones poco po-bladas” y “El censo de población”,pp. 70 y 128). Los valores de lospictogramas pueden modificarse de-pendiendo de las cantidades que semanejen y, además, dicho valor pue-de ser modificado.

• Para el estudio de los contenidosreferidos al análisis de la informa-ción se debe promover, durante elaño escolar, la reflexión sobre losdatos que son útiles para resolver unproblema, los que no lo son y los quefaltan (véase, por ejemplo, “¿Se pue-de responder?”, p. 20).

El tratamiento didáctico en este ejedebe iniciarse con situaciones cerca-nas a los intereses de los niños deeste nivel, por ejemplo, los animales,los juegos o las materias escolaresque les gustan. Los fenómenos me-teorológicos pueden ser otra fuentede situaciones interesantes para losalumnos.

Además de las situaciones sugeridasen el libro de texto y en las fichas deactividades didácticas, el maestro pue-de aprovechar otras situaciones escola-res que sean de interés para los niños,como el registro diario de la puntuali-dad, el aseo, las ventas de la coopera-tiva o la organización de algún actocívico, entre otros.

3 x 2 = 6

3

B

A

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CUARTO GRADO

Lo primero que debe hacer el niñopara resolver un problema es organi-zar y analizar la información que se lepresenta. Esta información puede seroral, escrita o presentarse en ilustra-ciones e imágenes. Esto quiere decirque ayudar a los niños a obtener yanalizar información es una tarea fun-damental para contribuir al mejora-miento de su capacidad para planteary resolver problemas.

Las lecciones del libro de texto favo-recen el análisis de la informacióndurante el curso. Para su resoluciónlos niños deben, en la mayoría de loscasos, seleccionar y analizar la infor-mación que se proporciona en unailustración o en un documento y hacerpreguntas con las que pueda obtenermás información o información másrelevante. Por ejemplo, en “Estadios ynúmeros”, página 90, deben analizarla información contenida en el cuadropara contestar las preguntas.

El maestro deberá aprovechar to-dos los temas del programa para tra-bajar el tratamiento de la informacióncomo un aspecto colateral del conteni-do; con ello promoverá a la vez lacapacidad de reflexión y de resoluciónde problemas. Dicha tarea podría apo-yarse en actividades como las que sedescriben a continuación.

• Planteamiento de preguntas y pro-blemas a partir de la informaciónque puedan obtener de ilustracionesy documentos.

• Identificación de preguntas que pue-den o no responderse, a partir de lainformación contenida en un texto.

Un ejemplo de esta actividad es lalección “¿Se puede responder?”, li-bro de texto, página 20.

La prediccióny el azar

El estudio de este eje se inicia en tercergrado. El tratamiento didáctico que sele ha dado es meramente intuitivo ymediante situaciones de juego (véase,por ejemplo, “Águila o sol”, p. 22). Elregistro de las diferentes posibilida-des en un juego de azar y la compara-ción de los registros y respuestas entrelos compañeros es importante paraque el alumno intuya la posibilidad depredecir o instrumentar alguna estra-tegia para ganar el juego (véanse, porejemplo, “Los colores del dado” y “Ca-nicas de colores”, pp. 76 y 114).

Se pretende introducir a los niñosen la reflexión de situaciones en lasque se sabe lo que va a pasar y enotras en las cuales no es posible sa-berlo. Esto sin precisar que, en algu-nos casos, el no saber puede debersea la falta de información, mientrasque en otros no es posible obtener lainformación porque se está, precisa-mente, en situaciones de azar. Porejemplo, al lanzar una moneda al ai-re no se sabe con certeza sobre quécara caerá (véase, por ejemplo, “Águi-la o sol”, p. 22).

Es conveniente que durante el desa-rrollo de estas actividades el maestroayude a los niños a entender las reglasde los distintos juegos, cuando éstassean difíciles, y a anticipar lo que creenque sucederá.

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MATEMÁTICAS

En este grado se empieza a manejara través de las actividades de “Canicasde colores”, página 114, la noción demayor o menor probabilidad de queocurra un evento, al analizar la posibi-lidad de sacar de una caja una canicade algún color determinado (véase lapágina 50 de este libro).

En un primer momento los niñospueden asociar el término azar a lapalabra suerte que ellos manejan. Sinembargo, hay que promover gradual-mente su significado correcto. Tam-bién deben aprender que existe unagran variedad de juegos en los que elazar no interviene. En éstos siemprehay una estrategia para ganar, comoen el ajedrez o como en el juego “Ca-

rrera a veinte”, del libro Juega y apren-de matemáticas, página 57.

Se sugiere al maestro permitir unaamplia flexibilidad en lo que se refierea las caracterizaciones que hagan losniños de los juegos, dada la dificultadpara establecer afirmaciones riguro-sas respecto al concepto de azar, sobretodo en este nivel.

Es recomendable también que elmaestro utilice los juegos practicadosen su región o localidad para el trabajosobre la predicción y el azar. Una tareapuede consistir, precisamente, en in-dagar cuáles son los juegos propiosdel lugar y, entre ellos, distinguir losque son de azar.

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CUARTO GRADO

A

Cada lancha lleva 8 personas.Completa la tabla¿Cuántas personas pueden navegar en 10 lanchas?¿Cuántas en 15 lanchas?¿Cómo puedes calcular el número de personasque viaja en 35 lanchas?Compara tus respuestas con las de tus compañeros.

6

Navegando

Lanchas 1 2 3 4 5 1410 12

Personas 8 16 24

15

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MATEMÁTICAS

7

Ruleta

ecológica

B

¿Qué es más probable?Regar o aflojar la tierra.

Sembrar o regar.¿Qué es menos probable?Abonar o regar.Aflojar la tierra o sembrar.

Sembrar

Regar

Abonar

Aflojartierra

A

Si un niño lanza un dardo hacia el disco, ¿quéactividad es más probable que señale?¿Cuál crees que sea la actividad que salga menos?¿Por qué?

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La evaluación es uno de los aspectosde mayor complejidad en la enseñan-za, pues no consiste solamente en otor-gar una calificación a los alumnos,sino en la apreciación permanente desu aprendizaje. Muchas veces la eva-luación no se considera como parte delproceso de aprendizaje, sino como elmomento en el que se miden conoci-mientos terminales a partir de la califi-cación de un examen.

En el caso de las matemáticas, elmaestro debe tener presente que losconceptos se construyen paulatina-mente, por lo que su adquisición debe-rá ser valorada a lo largo de todo el añoescolar, a partir del desempeño delalumno en las diferentes actividadesde aprendizaje. La evaluación, desdeeste punto de vista, no corresponde auna sesión específica o a un examencada mes.

Generalmente, los errores que co-meten los niños son muestra del gradode comprensión que han alcanzado deun concepto. En este sentido, los erro-res no constituyen un elemento paraetiquetar a los que saben y a los que nosaben, sino que son una fuente muyimportante para que los niños bus-quen nuevos procedimientos para re-solver problemas y para que el maes-tro sepa cómo piensan sus alumnos,

las dificultades que enfrentan y lasactividades que conviene que realicenpara superarlas.

• La estimación y el cálculo mentalque realizan los alumnos al dar unarespuesta aproximada a determina-das situaciones son también habili-dades que deben considerarse y va-lorarse mediante la observación, larevisión de los trabajos y la partici-pación individual y en grupo.

• Las destrezas y habilidades quemuestran los niños en el manejo delos instrumentos geométricos, porsencillos que éstos sean, son indica-dores del grado de comprensión quetienen sobre diferentes conceptos oprocedimientos matemáticos asocia-dos a ellos.

Por esta razón, el maestro deberávalorar el avance de los alumnos alobservar la forma en que manejan losinstrumentos geométricos, así comosu habilidad para realizar los trazos.

• También es importante considerarsi los alumnos logran analizar la in-formación contenida en diferentesdocumentos e ilustraciones, así comoplantear preguntas y problemas re-lacionados con dicha información,sin olvidar que deben tener la capa-

Recomendaciones de evaluación

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MATEMÁTICAS

cidad para relacionar y “escoger” laoperación u operaciones adecuadaspara resolver el problema.

• Respecto a la medición, es conve-niente que el maestro observe el de-sarrollo paulatino de la habilidad desus alumnos para utilizar los instru-mentos y las unidades de medidaconvencionales (de longitud, super-ficie, medidas angulares, capacidad,peso y tiempo), no sólo en la resolu-ción de problemas escritos, sino fun-damentalmente en su uso práctico yen la decisión del niño para seleccio-nar la unidad adecuada para cadacontexto.

• Es conveniente elaborar un expedien-te individual de los alumnos que con-tenga diferentes documentos (prue-

bas, registros, observaciones, anéc-dotas, etcétera), con la finalidad deobservar la evolución de la aplicaciónde las operaciones y diferentes estra-tegias en la resolución de problemas,además de los avances en los trazos yanálisis de figuras geométricas. Di-cho expediente puede servir tambiénpara el registro de actividades y avan-ces que presenten en cualquiera delas otras asignaturas.

En síntesis, la evaluación en Mate-máticas debe realizarse desde el pri-mer día de clases, con el propósito deobtener información acerca de los co-nocimientos y avances de los niños.Esta información sirve al maestro paraajustar las actividades de enseñanza alas necesidades y momentos particu-lares de aprendizaje de los alumnos.

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Sugerencias bibliográficaspara el maestro

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Baldor, Aurelio, Aritmética teórico práctica,8a ed., México, Publicaciones Cultural,1993.

—, Geometría plana y del espacio y trigono-metría, 2a ed., España, Vasco America-na, 1967.

Block, David, Irma Fuenlabrada, HugoBalbuena y J. Leove Ortega, Lo que cuen-tan las cuentas de multiplicar y dividir,México, SEP, 1993 (Libros del Rincón).

—, Irma Fuenlabrada, Alicia Carvajal yPatricia Martínez, Los números y su re-presentación, México, SEP, 1991 (Librosdel Rincón).

—, Fuenlabrada, Irma, Hugo Balbuena yAlicia Carvajal, Juega y aprende matemá-ticas, México, SEP, 1991 (Libros del Rin-cón).

—, Fuenlabrada, Irma, David Block, Pa-tricia Martínez y Alicia Carvajal, Lo quecuentan las cuentas de sumar y de restar,México, SEP, 1994 (Libros del Rincón).

Godino, J., Azar y probabilidad, Madrid,Síntesis, 1987.

SEP, Guía para el maestro. Tercer grado, Méxi-co, 1992.

—, Pelos y plumas, México, SEP, 1992 (Librosdel Rincón).

—, Papirolas 1, México, SEP/Petra Edicio-nes, 1992 (Libros del Rincón).

Tison, Annette y Talus Taylor, Grandes ypequeños, México, SEP, 1992 (Libros delRincón).

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Bibliografía consultada y créditos de ilustración

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Ducel, Yves y Marie-Lise Peltier, Approchede la geometrie par le dessin geometrique auCM2, Francia, IREM de Rouen, 1986.

Ermel, Apprentissages numériques et résolu-tion de problémes, París, Hatier, 1991.

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—, “Un, deux... beaucoup, passionnément!Les enfants et les nombres”, en Rencon-tres Pédagogiques (21), París, 1988.

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Peltier, Marie-Lise y Claudette Clavié,Objetif calcul. CE1, París, Hatier, 1992.

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SEP, Matemáticas. Tercer grado, México, 1993.

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Vergnaud, Gerard “Psychologie dudeveloppement cognitif et didactiquedes mathématiques”, en Grand N (38),Francia, IREM/CRDP, 1986.

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Libro para el maestro.Matemáticas. Cuarto grado,

se imprimió por encargo de laComisión Nacional de los Libros de Texto Gratuitos,

en los talleres de ,con domicilio en ,

el mes de de 200 .El tiraje fue de ejemplaresmás sobrantes para reposición.

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