ALUMNO: DIAZ GARCIA SAMUEL GRUPO: 2123Una breve historia de la computacinCaptulo 1 1.1 Primeras civilizacionesEs difcil pensar en la sociedad occidental hoy sin la tecnologa moderna. Las ltimas dcadas del siglo XX han sido testigos de una proliferacin de equipos de alta tecnologa, telfonos mviles, mensajes de texto, internet y la world wide web. Software ahora es omnipresente y es parte integral de automviles, aviones, televisiones y comunicaciones mviles. El ritmo del cambio como resultado de toda esta nueva tecnologa ha sido extraordinario. Hoy los consumidores pueden reservar ights en la world wide web, as como mantener el contacto con miembros de la familia en cualquier parte del mundo a travs de correo electrnico o telfono mvil. En generaciones anteriores, comunicacin a menudo involucrado escribiendo cartas que tard meses en llegar al destinatario. Comunicacin mejor con el telfono y los telegramas a finales del siglo XIX. Hoy en da la comunicacin es instantnea con mensajes de texto, telfonos mviles y correo electrnico, y la nueva generacin probablemente vistas al mundo de sus padres y abuelos como ser anticuado.Las nuevas tecnologas han llevado a importantes beneficios a la sociedad y a las mejoras en el nivel de vida para muchos ciudadanos en el mundo occidental. Tambin ha reducido la necesidad de que los seres humanos para llevar a cabo algunas de las tareas ms tediosas o peligrosas manuales, como muchos de estos ahora pueden ser automatizados por computadoras. El aumento de la productividad debido a las ms avanzadas tecnologas computarizadas ha permitido que los seres humanos, al menos en teora, la libertad de participar en las tareas ms creativas y gratificantes. Este captulo considera trabajo en clculo de civilizaciones antiguas, incluyendo el trabajo realizado por nuestros antepasados en proporcionando una base primitiva para lo que se ha convertido en Ciencias de la computacin. Primeras sociedades se discuten y se consideran sus contribuciones en el campo informtico. Hay una estrecha relacin entre la madurez tecnolgica o cmputo de una civilizacin y la sofisticacin de su lengua. Claramente, las sociedades que han evolucionado tcnicamente habr inventado palabras para reflexionar la tecnologa que usan a diario. Claramente, cazadores y recolectores o sociedades agrarias puramente tendr un vocabulario tcnico ms limitado que refleja que la tecnologa no es parte de su cultura da a evoluciona con el desarrollo de la civilizacin, y se introducen nuevas palabras para describir nuevas invenciones en la sociedad. Las comunidades que tienen una existencia inmutable muy estable (e.g., cazador recopilador o pastoral sociedades) no necesitamos introducir nombres para entidades de cientficos complejos, como estas palabras estn fuera de su experiencia cotidiana. El lenguaje de estas comunidades refleja los procesos de pensamiento de estas comunidades.

Primeras sociedades tenan un vocabulario limitado para contar: por ejemplo, "uno, dos, tres, muchos" se asocia con algunas de las sociedades primitivas e indica la capacidad de cmputo y cientficos primitiva. Sugiere que no haba necesidad de aritmtica ms sofisticado en la cultura primitiva como los problemas tratados con elementales. Estas primeras sociedades normalmente habra empleado sus dedos para contar y como los seres humanos tienen 5 dedos cada mano y cinco dedos en cada pie entonces las bases obvias habra sido 5, 10 y 20. Rastros del uso anterior del sistema 20 base son todava evidentes en lenguas modernas como el ingls y francs. Esto incluye frases tales como "tres puntuacin" en ingls y "4:20" en Frances.El sistema decimal (base 10) es familiar a la mayora en la sociedad occidental, y puede venir como una sorpresa que el uso de la base 60 era comn en computacin hacia el ao 1500 A.C.. Un ejemplo del uso de la base 60 hoy es todava evidente en la sub-divisin de horas en 60 minutos y la sub divisin de minutos en 60seconds.60 la basa(sistema sexagesimal) es heredado de los babilonios [Res: 84], y los babilonios eran capaces de representar arbitrariamente grandes nmeros o fracciones con slo dos smbolos. Otras bases de datos que se han utilizado en los tiempos modernos incluyen binario (base 2) y hexadecimal (base 16). Aritmtica binaria y hexadecimal juega un papel clave en la informtica, como las instrucciones de mquina que entienden las mquinas informticas en cdigo binario. Las antiguas sociedades consideradas en este captulo incluyen los babilonios, los egipcios y los griegos y romanos. Estas primeras civilizaciones estaban preocupadas con la solucin de problemas prcticos como conteo, Contabilidad bsica, la construccin de edificios, calendarios y astronoma elemental. Usaron matemticas apropiadas para asistirlos en computacin. Primeras sociedades tenan notas de moneda N como dlares o Euros, y de comercio entre comunidades fue realizado por trueque. Esto incluy el intercambio de bienes por otros bienes a una tasa de trueque negociada entre las partes. Esto requiri computacin elemental como el trueque de una vaca que requieren la capacidad de aceptar que una vaca vala tantos de otro animal, cosecha o bien, por ejemplo, las ovejas, maz y as sucesivamente. Una vez que este tipo de trueque se acord entonces las dos partes necesitan para verificar que el nmero correcto de mercancas fue recibido a cambio. Por lo tanto, la capacidad de contar fue fundamental.Los logros de algunas de estas sociedades antiguas fueron espectaculares. Los restos arqueolgicos del antiguo Egipto son muy impresionantes e incluyen las pirmides de Gizeh y los templos de Karnak, Luxor y Abu Simbal a orillas del lago Nasser. Estos monumentos proporcionan una indicacin de la ingeniera sofisticacin de la antigua civilizacin egipcia. Los objetos hallados en la tumba de Tutankamun ahora se exhiben en el Museo egipcio de el Cairo y demuestran la habilidad artstica de los egipcios. Los griegos hicieron importantes contribuciones a la civilizacin occidental, incluidas las contribuciones a las matemticas, filosofa, lgica, Drama, arquitectura, biologa y democracia. Los filsofos griegos consideran cuestiones fundamentales como la tica, la naturaleza del ser, cmo vivir una buena vida y la naturaleza de la justicia y la poltica. Los filsofos griegos incluyen Parmnides, Herclito, Scrates, Platn y Aristteles. Las obras de Platn y Aristteles siguen siendo importantes en la filosofa hoy y son ampliamente estudiadas. Los griegos inventaron la democracia y su democracia fue radicalmente distinta al democracy.4 representante de hoy la sofisticacin de la escultura y la arquitectura griega es evidente del Partenn en la Acrpolis y los mrmoles de Elgin que se encuentran hoy en el British Museum de Londres. La poca helenstica comenz con Alejandro Magno y condujo a la difusin de la cultura griega a lo largo de Asia menor y en cuanto a Egipto. La ciudad de Alejandra fue fundada por Alejandro Magno, y se convirti en un centro de aprendizaje y el conocimiento durante el periodo helenstico. Entre los eruditos bien conocidos en Alejandra fue quien proporcion una base sistemtica para la geometra de Euclides. Trabajo de Euclides en la geometra es conocido como "Los elementos", y consta de trece libros. Los primeros libros se refieren a la construccin de figuras geomtricas, teora de nmeros y geometra slida.1.2 Los Babilonios.La civilizacin babilnica orecio en Mesopotamia (en el moderno Irak) entre el 2000 A.C. hasta alrededor del 300 A.C.. Varias tablillas cuneiformes de arcilla que contienen los textos matemticos fueron descubiertas y posteriormente descifradas por Grotefend y Rawlinson en el siglo XIX [Smi:23]. Estas incluyen las tablas de multiplicacin, divisin, cuadrados, cubos y races cuadradas; medida de rea y longitud; y la solucin de ecuaciones lineales y cuadrticas. El perodo babilonio tardo (300 a.c.) incluye el trabajo en astronoma. Los babilonios registraron sus matemticas en arcilla suave usando una cua en forma de instrumento para impresiones de forma de los nmeros cuneiformes. Las tabletas de arcilla fueron luego al horno en un horno o por el calor del sol. Emplearon dos smbolos (1 y 10) para representar nmeros y smbolos luego se combinaron para formar todos los dems nmeros. Se emple un nmero system8 posicional y utiliza el sistema de base de 60. El smbolo que representa tambin podra (dependiendo del contexto) representar 60, 602, 60 3, etc.. Tambin puede significar 1/60, 1/3600 y as sucesivamente. Hubo N cero empleada en el sistema hubo N decimales (punto "sexagesimal" N en sentido estricto), y por lo tanto el contexto era esencial.El ejemplo anterior ilustra la clasificacin cuneiforme y representa el nmero 60 + 10 + 1 = 71. Los babilonios utilizaban el sistema base de 60 para el cmputo y la base est todava en uso hoy en la divisin de horas a minutos y la divisin de minutos en segundos. Una posible explicacin para el uso de base 60 es la facilidad de dividir 60 en acciones como es divisible por 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 y 30. Eran capaces de representar nmeros grandes y pequeos y N dificultad en el trabajo con fracciones (en base 60) y en multiplicar fracciones. Mantuvieron las tablas de recprocos (es decir, 1/n, n = 1,...59 aparte de nmeros como 7, 11, etc., que no son de la forma 235 y no se puede escribir como una expansin sexagesimal limitado). Nmeros babilnicos se representan en la notacin sexagesimal ms moderna desarrollada por Neugebauer (quien tradujo muchos de los cuneiformes babilnicos) [Res: 84].la aproximacin es como sigue: 1; 24,51,10 representa el nmero 1 + 24/60 + 51/3600 + 10/216000 = 1 + 0,4 + 0.0141666 + 0.0000462 = 1.4142129 y es la representacin babilnica de la raz cuadrada de 2. Los babilonios realizaron multiplicacin como el siguiente clculo de (20) (1; 24,51,10) es decir, 20 sqrt (2) ilustra:Por lo tanto el producto 20 sqrt (2) = 8; 20; +; + 17; 0,3, 20 = 28; 17,3,20 los babilonios parecen haber sido consciente del Teorema de Pitgoras aproximadamente 1000 aos antes de la poca de Pitgoras. La tableta Plimpton 322 registra varios Pitgoras triples, es decir, triple de nmeros (a, b, c) donde a2 + b2 = c2 (Fig. 1.1). Data de aproximadamente 1700 AC. Desarrollaron lgebra para ayudar a resolver problemas y su lgebra permiti problemas que involucran longitud, anchura y rea para ser discutido y solucionado. No emplean puntuable para la representacin de los valores desconocidos (por ejemplo, que x ser la longitud y y la amplitud), y en su lugar utilizaron palabras como "largo" y "ancho". Ellos estaban familiarizados con y utilizaron races cuadradas en sus clculos, y mientras estaban familiarizados con las tcnicas para resolver ecuaciones cuadrticas. Estaban familiarizados con varias identidades matemticas tales como (a + b) 2 = (a2 + 2 ab + b2) como se ilustra en geomtricamente Fig.1.2.They tambin trabaj en problemas astronmicos, y tenan las teoras matemticas del cosmos para hacer predicciones cuando ocurriran eclipses y otros eventos astronmicos. Tambin estaban interesados en la astrologa, y varias deidades haban asociada a los astros como los planetas, as como el sol y la luna. Varios grupo de estrellas con asociados con criaturas conocidas como leones, cabras y as sucesivamente. La forma ms temprana de la cuenta por los babilonios se realiz utilizando los dedos. Mejoraron a sta mediante el desarrollo de tableros para ayudar contando y contando clculos simples. Una junta de escrutinio es una versin temprana del baco, y generalmente estaba hecha de madera o piedra. La Junta de escrutinio contiene ranuras que permiti perlas o piedras podran ser movidas a lo largo de la ranura. El baco se diferenci de recuento en placas que los granos en bacos contienen agujeros que permiti a colocarse en una barra particular del baco.1.3 Los EgipciosLa civilizacin egipcia desarroll a lo largo del Nilo entre el 4000 A.C. y dur hasta que los romanos. Los logros de la civilizacin egipcia son notables y sus ingenieros construyeron las gigantescas pirmides de Giza cerca de el Cairo cerca de 3000 AC. Los egipcios utilizaron las matemticas para resolver problemas prcticos. Esto incluy la medicin del tiempo, midiendo la anual Nilo , calcular el rea de tierra, resolucin de cocinar y hornear problemas, reserva mantener contabilidad y clculo de impuestos. Desarrollaron un calendario hacia el ao 4000 A.C.. Constaba de 12 meses, y cada mes tena 30 das. Haba entonces cinco extra fiesta das para dar los 365 das del ao. Escritos egipcios fueron grabadas en las paredes de templos y tumbas y tambin se registraron en una caa como pergamino denominado "papiro". Hay tres guiones egipcios conocidos a saber los jeroglficos conocidos escritura; la escritura hiertica; y la escritura demtica.El desciframiento de los jeroglficos egipcios fue realizado por Champollion con su trabajo sobre la piedra de Rosetta. El ltimo fue descubierto durante la Campaa Napolenica en Egipto y est ahora en el Museo britnico en Londres. Contiene tres secuencias de comandos: jeroglficos, escritura demtica y griego. La clave para el desciframiento fue que la piedra de Rosetta contiene slo un nombre "Ptolomeo" en el texto griego, y esto era identican con los caracteres jeroglficos en la cartela de los jeroglficos. Haba slo un cartucho en la piedra de Rosetta, y Champollion haba deducido que el cartucho represent el nombre "Ptolomeo". Estaba familiarizado con otro objeto multilinge que contena dos nombres en el cartucho. Se ha reconocido como Ptolomeo y el otro que deduce el texto griego como "Cleopatra". Esto condujo a los avances en la traduccin de los jeroglficos [Res: 84]. Los egipcios la escritura sistema est basado en jeroglficos y data del 3000 A.C.. Jeroglficos son pequeos cuadros y se utilizan para representar palabras, caracteres alfabticos como slabas o sonidos.El Papiro Rhind es uno de los ms famosos papiros egipcios en matemticas. Fue comprado en 1858 por el egiptlogo escocs, Henry Rhind y est ahora en el Museo Britnico. El papiro es una copia y fue creado por un egipcio Escriba Ahmose.11 lo llamada era originalmente seis metros de longitud, y se cree que hasta la fecha a 1832 BC. Contiene ejemplos de todo tipo de problemas de aritmticos y geomtricos, y probablemente se pretende ser utilizado por los estudiantes como un libro de texto para desarrollar sus conocimientos matemticos. Dejaras este programa los estudiantes a participar en la construccin del Faran. Hay otro bien conocido papiro conocido como el papiro de Mosc. Los sacerdotes egipcios haban estaban familiarizados con la geometra, lgebra elemental y aritmtica. Tenan frmulas para encontrar soluciones a los problemas con uno o dos incgnitas. 10 sistema de numeracin se emple una bases separan con smbolos para uno, diez, cien, 1 mil, un 10 mil, 100 mil y pronto.

Los problemas en el papiro incluyen la determinacin del ngulo de la pendiente de la cara de la pirmide. Los egipcios estaban familiarizados con la trigonometra como seno, coseno, tangente y cotangente. Ellos saban cmo construir ngulos rectos en sus estructuras y utiliza la relacin 3:4:5. El Papiro Rhind tambin considera problemas prcticos tales como Cuntos panes pueden hornearse de una determinada cantidad de grano. Otros problemas incluidas calcular el nmero de ladrillos necesarios por parte de un proyecto de construccin. Los egipcios estaban familiarizados con la adicin, sustraccin, multiplicacin y divisin. Sin embargo, su multiplicacin y la divisin era as meas slo podran multiplicar y dividir por dos. Supongo que queran multiplicar un nmero n por 7. A continuacin, determine n n 7 2 + n n 2 + 2 + n. Del mismo modo, si queran dividir 27 por 7 observara que 7 2 + 7 = 21 y ese 2721 = 6 y que antes de que la respuesta haba 36/7.Las matemticas egipcias era algunos y la escritura de sus matemticas. Por ejemplo, escribieron un nmero 22 por 10 + 10 + 1 + 1. Los egipcios calculan el rea aproximada de un crculo calculando el rea de un cuadrado 8/9 del dimetro de un crculo. Es decir, en lugar de calcular el rea en trminos de nuestro familiar r2 su clculo aproximado rindi (2r 8/9) 2 = 256/81r2 o 3.16r2. Su aproximacin de fue 256/81 o 3.16. Eran capaces de calcular el rea de un tringulo y volmenes. El papiro de Mosc incluye un problema para calcular el volumen del tronco. La frmula para el volumen de una pirmide cuadrada 12 fue dado por V = 1 / 3h (b2 1 + b1b2 + b2 2) y cuando b2 es 0 y luego la conocida frmula para el volumen de un pirmide es dado: i.e.,1/3hb2 1.1.4 Los Griegos.Los griegos hicieron importantes contribuciones a la civilizacin occidental incluyendo matemticas, lgica, astronoma, filosofa, poltica, drama y arquitectura. El mundo griego del 500 A.C. consisti en varios Estados de ciudad independiente como Atenas y Esparta y varios Estados de ciudad de Asia menor. La polis griega(1) o ciudad estado tiende a ser muy pequea y consisti en la ciudad griega y una cierta cantidad de territorio por parte del estado de la ciudad. Cada ciudad-estado tena estructuras polticas donde sus ciudadanos y estas variadas de ciudad estado a estado de la ciudad. Algunos eran oligarcas donde se mantuvo poder poltico en manos de unos pocos individuos o familias aristocrticas. Otros fueron gobernados por tiranos (o solo gobernantes) que a veces tom el poder por la fuerza, pero que a menudo tenan un gran apoyo del pblico. Los tiranos incluyen a personas como Soln, Peisistratus y Cleisthenes en Atenas. Las reformas por Cleisthenes condujeron a la introduccin de la democracia ateniense. Esto era la democracia del mundo primero, y poder totalmente fue puesta en manos de los ciudadanos.Los ciudadanos eran los miembros masculinos de la poblacin, y las mujeres o esclavos no particip. La forma de la democracia en la antigua Atenas se diferenci de la democracia representativa que estamos familiarizados con hoy. Era una democracia sumamente liberal donde voto los ciudadanos hacer una cuestiones importante. A menudo, esto condujo a resultados desastrosos como oradores que eran expertos en la retrica podran ejercer inuencia importante en la toma de decisiones. Filsofos como Platn estaban en contra de la democracia como una forma de gobierno para el estado, y ms tarde pensamiento poltico de Platn abog por regla por reyes filosoficos.Estos gobernantes fueron requeridos para estudiar filosofa y matemticas durante muchos aos. El ascenso de Macedonia condujo a los Estados de ciudad griega ser conquistados por Philip de Macedonia. Esto fue seguido por las conquistas de Alejandro Magno, quien fue uno de los comandantes militares ms grandes en la historia. l derrot al imperio persa y extendi su imperio para incluir la mayor parte del mundo conocido. Sus conquistas extendidos como extremo Oriente como Afganistn y la India y tan lejano oeste como Egipto. Esto condujo a la poca helenstica, donde la lengua griega y la cultura difundir a travs de todo el mundo. La palabra deriva helenista "E(2) que significa griego. La ciudad de Alexandra fue fundada por Alexander, y se convirti en un importante centro de aprendizaje. Alejandro Magno recibi la matrcula del filsofo Aristteles. Sin embargo, el reinado de Alexander fue muy corto como muri a la edad de 33 en 323 BC. Matemticas griegas temprana comenzaron aproximadamente 500 600 A.C. con el trabajo realizado por Pitgoras y Thales. Pitgoras fue un filsofo del siglo sexto y matemtico que haba pasado tiempo en Egipto familiarizarse con las matemticas egipcias. No isla de Samoa y medicina una secta conocida como los pitagricos. Este los pitagricos eran una sociedad secreta e incluidos hombres y mujeres. Ellos crean en la transmigracin de las almas y crean que el nmero era el bloque de construccin fundamental de todas las cosas.Descubrieron que las matemticas para la armona en la msica por descubrir que la relacin entre notas musicales pudiera expresarse en cocientes numricos de nmeros enteros pequeos. Pitgoras se le atribuye el descubrimiento del Teorema de Pitgoras, aunque este teorema era conocido probablemente por los babilonios unos 1000 aos antes de Pitgoras. La sociedad pitagrica fue un fuerte golpe 13 por el descubrimiento de la inconmensurabilidad de la raz cuadrada de 2: es decir, hay no hay nmeros p, q tal that2 = p/q. Esto un fuerte golpe a su filosofa de que el nmero es la naturaleza del ser. Thales fue un filsofo del siglo sexto (BC) de Mileto, en Asia menor que hizo contribuciones a la filosofa, la geometra y la astronoma. Sus contribuciones a la filosofa son principalmente en el rea de la metafsica, y l fue referido con preguntas sobre la naturaleza del mundo. Su objetivo fue dar una explicacin natural o cientficos del cosmos, en lugar de basarse en la tradicional explicacin sobrenatural de la creacin en la mitologa griega. l crea que haba una sola sustancia que era el componente subyacente del mundo, y crea que esta sustancia era agua. Slo puede ser especulado por qu crea que agua que la sustancia subyacente pero algunas de las razones pueden ser que el agua es esencial para la vida; Cuando se comprime un slido generalmente se transforma en una sustancia lquida y as sucesivamente. Thales tambin contribuy a las matemticas y hay un conocido teorema en geometra Euclidiana llamada despus de l. Indica que si A, B y C son puntos en un crculo, y donde la lnea AC es un dimetro del crculo, entonces el ngulo < ABC es un ngulo recto.

Euclides vivi en en Alejandra durante el temprano perodo helenstico. Es considerado al padre de la geometra en que se dispuso un tratamiento sistemtico de la geometra a partir de axiomas, postulados y 23 definiciones para derivar y provea amplio conjunto de teoremas. Est ah antes de que el padre del mtodo axiomtico para las matemticas. Su cuenta sistemtica fue publicado en los trece libros de los elementos, y esto ha sido utilizado como un libro de texto de matemticas para ms de 2000 aos. Incluye el tratamiento de la geometra y teora de nmeros. Su mtodo de la prueba fue generalmente constructivo en as como demostrar la verdad de un teorema de que la prueba a menudo incluira la construccin de la entidad requerida. Sin embargo, que tambin estaba familiarizado con prueba indirecta como lo demuestra el argumento para demostrar que hay un nmero de infinito de los nmeros primos:1.-Supongamos que hay un limitado nmero primos (primos decir n).2. multiplique todos n primos juntos y aadir 1 a forma N. i. (N = p1 de p2... pn + 1) 3. N no es divisible por p1, p2,..., pn 4. por lo tanto, N debe ser principal o divisible por algunos otro prime que no figuraba en la lista. 5. por lo tanto, debe haber al menos n + 1 nmeros primos. 6. esto es una contradiccin, como se supona que haba un nmero limitado de n nmeros primos. 7. por lo tanto, es falsa la suposicin de que hay un nmero limitado de nmeros primos. 8. por lo tanto, hay un nmero de infinito de los nmeros primos.Geometra euclidiana incluyeron el postulado paralelo o postulado de Euclides. Este postulado generado inters como muchos matemticos crean que era innecesaria y podra ser probado como un teorema utilizando los otros axiomas y postulados. Se afirma:1.1 definicin (postulado paralelo) si un segmento de lnea se cruza con dos lneas rectas formando dos ngulos interiores del mismo lado suma al menos dos ngulos rectos, entonces las dos lneas, si extendido indefinidamente, conocer de ese lado en el que los ngulos suma a menos de dos ngulos rectos. Este postulado se comprob ms tarde ser independiente de los otros postulados. En el siglo XIX se desarrollaron otras geometras rechaz el postulado de como formuladas por Euclides. Estos incluyen la geometra hiperblica descubierta independientemente por Bolyai y Lobachevski y geometra elptica desarrollado por Riemann. El modelo estndar de la geometra de Riemann es la esfera donde las lneas son grandes crculos. Geometras no eucldeas lleg a ser importantes en el siglo XX con el trabajo realizado por Albert Einstein en la teora de la relatividad. Euclides y matemtico helenstico contemporneo para proporcionar soluciones constructivas a los problemas. Es decir, la prueba de la existencia fue acompaada generalmente por una construccin real de la solucin utilizando una regla sin marcas y comps.El material en los elementos de Euclides se presenta lgicamente y es un desarrollo sistemtico de la geometra partir del pequeo conjunto de axiomas, postulados y definiciones, y conduce a teoremas derivadas lgicamente de los axiomas y postulados. Mtodo deductivo de Euclides tiene influencia ms tarde los matemticos y cientficos. Hay algunos saltos en el razonamiento de los elementos, y Hilbert aadido extras axiomas de geometra euclidiana para hacerla ms completa en el siglo XIX.Los elementos contiene muchos resultados matemticos conocidos tales como:-Pythagoras'sTheorem-Teorema de Thales-suma de los ngulos de un tringulo-Prime Numbers - mayor comn Divisor y mnimo comn mltiple - Algoritmo euclidiano-reas y volmenes-tangentes a un punto de lgebraEl Algoritmo euclidiano es uno de los ms antiguos conocidos algoritmos y se emplea para producir el mximo comn divisor de dos nmeros. Que se presenta en los elementos pero era conocido antes de Euclides. La formulacin del algoritmo MCD de dos nmeros naturales a y b es la siguiente:1.- Verifique si b es cero. Si es as, entonces es el MCD.2.- De lo contrario, el MCD (a, b) est dada por MCD (b, un mod b). Tambin es posible determinar enteros p y q tal ese ap + bq = gcd(a,b). La prueba del Algoritmo euclidiano es como sigue. Supongo que a y b son dos nmeros positivos cuya gcd tiene que ser determinada y que r sea el resto cuando un est dividido por b.1. claramente un = qb + r donde q es el cociente de la divisin. 2. cualquier divisor comn de a y b es tambin un divisor o r (sincer = aqb). 3. del mismo modo, cualquier divisor comn de b y r tambin se dividir un. 4. por lo tanto, el mximo comn divisor de a y b es la misma que el mximo comn divisor de b y r. 5. el numero r es menor que b y vamos a llegar a r = 0 finalmente en muchos pasos. 6. el proceso contina hasta r = 0.Comentario 1,1 algoritmos son fundamentales en la informtica como definir el procedimiento por el cual se resuelve un problema. Un programa de computadora implementa el algoritmo en un lenguaje de programacin. Eratstenes fue un matemtico helenstico y cientfico que trabaj como bibliotecario en la famosa biblioteca de Alejandra. l ide un sistema de latitud y longitud y se convirti en la primera persona para estimar el tamao de la circunferencia de la tierra. Su acercamiento al clculo era como sigue Arqumedes se creen haber descubierto el principio mientras estaba sentado en su bao que estaba tan abrumado con su descubrimiento que haba salido a las calles de Siracusa gritando "Eureka", pero olvid ponerse su ropa para anunciar el descubrimiento. El peso del lquido desplazado ser proporcional al volumen del lquido desplazado. Por lo tanto, si dos objetos tienen la misma masa, el que con mayor volumen (o menor densidad) tiene mayor flotabilidad. Un objeto flotara si su fuerza de flotabilidad (es decir, el peso del lquido desplazado) excede la fuerza hacia abajo de la gravedad (es decir, su peso). Si el objeto tiene exactamente la misma densidad que el lquido, entonces permanecer an, ni se hunde ni flota hacia arriba. Por ejemplo, una roca es generalmente un material muy denso y generalmente no desplazar su propio peso. Por lo tanto, una roca se hundir hasta el fondo como el peso descendente excede el peso de flotabilidad. Sin embargo, el peso del objeto es menor que el lquido sera desplazar luego flota a un nivel donde desplaza el mismo peso de lquido como el peso del objeto. Arqumedes tambin hizo buenas contribuciones a las matemticas como una buena aproximacin de , contribuciones al sistema de numeracin posicional, serie geomtrica y a la fsica matemtica.Tambin resolva varios problemas interesantes: por ejemplo, el clculo de la composicin del ganado en el rebao del Dios del sol mediante la resolucin de una serie de ecuaciones diofnticas simultneas. Consisti en la manada de toros y vacas con una parte de la manada consiste en blanco, segunda parte negro, manchado en tercer lugar y el cuarto marrn. Diversas restricciones fueron las ecuaciones diofnticas de nex planchen y el problema fue determinar la composicin precisa de la manada. Ecuaciones diofnticas se nombran despus de Diofanto trabajado que trabajaron sobre la teora del nmero en el tercer siglo. Arqumedes tambin trabaj en un otro problema interesante para determinar el nmero de granos de arena en el universo conocido. Desafi la opinin predominante que el nmero de granos de arena era demasiado grande para ser contada y con el fin de proporcionar un lmite superior que necesitaba para desarrollar un sistema de nomenclatura para los nmeros grandes. El mayor nmero de uso comn en la poca era una mirada (100 millones) y una mirada es 10.000.Sistema de numeracin Arqumedes sube a 81016 y tambin desarroll las leyes de exponentes: es decir, 10a10b = 10a + b. Su clculo del lmite superior incluye no slo los granos de arena en cada playa sino en la tierra llenados con arena y el universo llenados con arena. Su estimacin final del nmero de granos de arena en un universo llenados es un lmite superior de 1064 para el nmero de granos de arena en un universo llenados. Es es posible que l puede haber desarrollado el odmetro, y este instrumento poda calcular la distancia total recorrida en un viaje. Un odmetro es descrito por el ingeniero romano Vitruvius alrededor del ao 25 A.C.. Emple una rueda con un dimetro de 4 pies, y la rueda que gir 400 veces en everymile.16 el dispositivo incluye marchas y guijarros y una rueda dentada de 400 diente que se volvi una vez cada milla y provoc una piedra al caer en una caja. La distancia total recorrida se determin contando los guijarros en el cuadro. Aristteles naci en Macedonia y se convirti en un estudiante de Platn en Atenas. Platn haba fundado una escuela (conocida como la Academia de Platn) en Atenas en el siglo IV AC, y esta escuela permanecida abierta hasta 529 D.C. Aristteles se convirti en un famoso filosofo su propio derecho y fund su propia escuela (conocido como el Liceo) en Athens.He tambin fue maestro de Alejandro Magno. Aristteles hizo contribuciones a la fsica, biologa, lgica, poltica, tica y metafsica. La obra de Platn y Aristteles proporcion las bases para la filosofa occidental. Punto de partida de Aristteles a la adquisicin de conocimientos fue los sentidos.l crey que los sentidos son fundamentales para adquirir conocimientos. Esta posicin es el contrario de Platn quien argument que los sentidos engaan y no deben confiarse en. Las escrituras de Platn son principalmente en los dilogos que involucra a su ex mentor Scrates. La mayora de los escritos de Aristteles es en tratado formal aunque escribi algunos dilogos en principio de su carrera. Aquino, un telogo cristiano del siglo XIII y el filsofo, estaba profundamente influenciado por Aristteles y se refiri a l como el filsofo. Aquino fue un empirista (es decir, l crea que todo el conocimiento fue ganado por experiencia), y algunos de los argumentos de Aristteles sola para ofrecer cinco pruebas de la existencia de Dios. Estos argumentos incluyeron el argumento cosmolgico y la discusin del diseo. El argumento cosmolgico us ideas de Aristteles sobre el mtodo cientficos y causalidad. Acquius sostuvo que hubo una primera causa y dedujo que esta primera causa es Dios.1. cada efecto tiene una causa 2. Nada puede causar s mismo 3. No puede ser una cadena causal de longitud infinita 4. Por lo tanto debe haber una causa primeraAristteles hizo importantes contribuciones al razonamiento con su desarrollo de silogstico lgica formal y fundacional trabajaren en lgica modal. Sus obras completas en lgica se llaman Organon y fue utilizado en su formacin en lgica Athens. Syllogistic (tambin conocida como lgica del trmino) se compone de razonamiento con dos premisas y una conclusin. Cada premisa se compone de dos trminos y hay un trmino medio comn. La conclusin vincula los dos trminos no relacionados de las premisas. En este ejemplo el trmino medio comn es "Griego", y este trmino aparece en las dos premisas. Los dos no relacionadas con los trminos de las premisas son "Scrates" y "Mortal". La relacin entre los trminos de la primera premisa es la del universal: es decir, cualquier cosa o cualquier persona que es un griego es mortal. La relacin entre los trminos de la segunda premisa es la de la particular: es decir, Scrates es una persona que es un griego. La conclusin de las dos premisas es que Scrates es mortal: es decir, una relacin especial entre los dos trminos sin relacin "Scrates" y "Mortal". El ejemplo anterior es un ejemplo de un argumento vlido silogstico. Aristteles estudi los diversos argumentos silogstico posibles y los que fueron validos determinan los que se encontraban no vlido. Hay varias relaciones de candidatos que potencialmente puedan existir entre los trminos de una premisa. Trabajo de Aristteles fue muy apreciado en pocas clsicas y medievales y se crea que era un sistema totalmente elaborado. Kant crey que no haba nada que inventar en lgica despus de la obra de Aristteles. Hubo otro sistema de la competencia de lgica propuesta por los estoicos en Hellentistic veces: es decir, una forma temprana de lgica proposicional que se desarroll en el siglo III A.C. por Chrysippus. Trabajo posterior en el siglo XIX por George Boole llev a lgica proposicional y posterior trabajo por Frege y otros condujo al clculo del predicado. Lgica aristotlica es hoy principalmente de inters histrico. Los griegos inventaron una serie de dispositivos mecnicos para ayudar a resolver el problema y uno de los ms famoso de estos fue el Antikythera [Pri:59]. Este fue un antiguo dispositivo mecnico diseado para calcular posiciones astronmicas. Una antigua Antikythera fue descubierto en 1902 en una semana en la isla griega de Antikythera y data de alrededor de 80 AC. Es uno de los ms viejos dispositivos engranados conocidos, y se cree que fue utilizado para calcular la posicin del sol, la luna, estrellas y planetas para una fecha determinada entrada. El dispositivo es comparable en la complejidad de sus piezas y engranajes relojes en el siglo XVIII. Los romanos parecen haber sido consciente de un dispositivo similar a la de Antikythera, como un dispositivo que es capaz de calcular la posicin de los planetas es mencionado por Cicern. La isla de Antikythera era bien sabido en el perodo griego y romano por su muestra de la ingeniera mecnica. Un modelo de cmo podra funcionar el Anticitera est disponible, y segn ese modelo, el dial frontal muestra que el progreso anual del sol y la luna a travs del Zodiaco contra el calendario egipcio, con la otra parte trasera marca proporcionando informacin especializada. Es discutible en cuanto a qu tan preciso es el modelo en relacin con el dispositivo real. Otros modelos propuestos incluyen que el dispositivo actu como un planetario.1.5 Los Romanos.Roma se dice que alrededor del 750 A.C. fue fundada por Rmulo y Remo. Roma temprana cubre una pequea parte de Italia, pero se expandi gradualmente en tamao e importancia. Roma destruye Cartago en el 146 A.C. para convertirse en la mayor potencia en el Mediterrneo. Julius Caesar (Gaius Iulius Caesar) inicialmente conquist los galos en 58 AC. Los galos consistieron en varias tribus celtas que estaban desunidas. Vercingetorix era el lder de la tribu Arverni y logr en unir a los celtas. Sin embargo, Csar artesana derrot a Vercingetorix en el asedio de Alesia en 52 A.C.. Comerciantes romanos necesarios para desarrollar los sistemas de contabilidad para rastrear su comercio a travs del imperio romano. El mundo helenstico fue colonizado por los romanos, y los romanos se convirtieron en familiarizarse con las matemticas y la cultura griega. Los romanos introdujeron su propio sistema de numeracin donde letras romanas representaron nmeros: nmero romano A consta de una secuencia de letras romanas y haba reglas empleadas en la evaluacin. La reglas especificado que si un nmero sigue un nmero menor y el menor nmero se resta de la grande: por ejemplo, IX representa 9 y XL representa 40. Del mismo modo, si un menor nmero seguido de un nmero ms grande fueron generalmente agregadas: por ejemplo, MCC representa 1200. No tenan ningn cero en su sistema. Nmeros romanos son todava usada hoy pgina numeracin para booksoron las caras de los relojes.Clculos con nmeros romanos era engorroso, sobre todo las operaciones que involucra multiplicacin o divisin. En la prctica, un baco fue empleado a menudo para realizar el clculo. Un baco se compone de varias columnas en el cual se colocan piedras. Cada columna representa potencias de 10: es decir, 100, 10 1, 2 10, 10 3, etc.. La columna a la derecha representa uno; la columna a la izquierda 10; siguiente columna a la izquierda 100; y as sucesivamente. Piedras (clculos) se colocaron en las columnas para representar nmeros diferentes: por ejemplo, el nmero representado por un baco con 4 piedras en la extrema derecha; 2 piedras en la columna a la izquierda; y 3 piedras en la siguiente columna a la izquierda es de 324. Los clculos fueron realizados por mover piedras de columna. El operador del baco deba ser debidamente entrenados para ser eficaz. El mercader romano necesitado para realizar los clculos para realizar un seguimiento de comercio dentro del imperio romano. Introdujeron un sistema de pesas y medidas (incluyendo la libra para los pesos y el pes para longitudes). Los comerciantes tambin desarrollaron un sistema bancario temprano para ofrecer prstamos para los negocios. Comenz acuando monedas alrededor de 290 AC. Los romanos tambin hicieron contribuciones a calendarios y el calendario Julian fue introducido en el 45 A.C. por Julius Caesar. Tiene un ao normal de 365 das dividido en 12 meses y un da bisiesto se aade de febrero cada cuatro aos. Se coracin utilizar hasta el siglo XX, pero desde entonces ha sido reemplazado por el calendario gregoriano. El problema con el calendario Julian es que demasiados aos bisiestos se agregan con el tiempo. El calendario gregoriano fue primero introducido 1582. Los romanos emplearon las matemticas disponibles que se haban desarrollada por los griegos. Cifrado de Csar fue empleado por Csar en sus campaas militares con el fin de comunicar de forma segura mensajes importantes a sus generales. Es una de las tcnicas de encriptacin sencilla y ampliamente conocida y consiste en la sustitucin de cada letra en el texto sin formato (es decir, el mensaje original) mediante una carta gira varias posiciones abajo en el alfabeto. Por ejemplo, un cambio de 3 posiciones causan la letra B ser reemplazado por la E, la letra C de F y as sucesivamente. El cifrado Csar se rompe fcilmente, como la distribucin de frecuencias de las letras pueden ser empleada para determinar la asignacin. Sin embargo, dado que Csar era esencialmente tratar con tribus de galos que eran principalmente analfabeta, y ciertamente que carecan de conocimientos de la criptologa y la distribucin de frecuencias de las letras en el alfabeto, es probable que han proporcionado buena seguridad. La traduccin del romano Letras por el cifrado Csar (con la tecla shift de 3) pueden verse en la siguiente tabla. Muestra cada letra del alfabeto y el correspondiente smbolo de cifrado que se asigna a: el proceso de codificar un mensaje (por ejemplo, texto) implica simplemente mirando cada letra en el texto y escribiendo la letra correspondiente de cifrado. Por ejemplo, la ocultacin del mensaje de texto "solsticio de verano" consiste en lo siguiente: el emperador Augustus emple un cifrado por sustitucin similar (con la tecla shift de 1). El cifrado Csar todava estaba en uso hasta el siglo XX. Sin embargo, por entonces frecuencia tcnicas de anlisis estaban disponibles para romper el cifrado. El Vign'erecipheruses un cifrado Csar con un cambio diferente una posicin de ensear en el texto. El valor del cambio que se utilizarn con cada letra del texto es delimitado mediante la palabra clave repetida. La famosa biblioteca de Alejandra fue la biblioteca ms grande del mundo. Fue construir durante la poca helenstica en el tercer siglo A.C.. Campaa del Csar en pronto 48 BC caus dao a la biblioteca y la biblioteca fue destruida por el fuego en el ao 391 D.C. artesana La nueva biblioteca de Alejandra fue inaugurada en el ao 2003 en el sitio de la antigua biblioteca.1.6 islmica inuencia Matemticas islmico se refiere a las matemticas desarrolladas en el mundo islmico desde el nacimiento del Islam en el siglo VII hasta el siglo XVII. El mundo islmico comenz con Mohammed en la Meca y extendido por todo el Medio Oriente, frica del norte y Espaa. Los eruditos islmicos tradujeron las obras de los griegos al rabe, y esto condujo a la preservacin de los textos griegos durante la oscuridad edades en Europa. Adems, los eruditos islmicos desarrollaron las matemticas existentes an ms. El aporte islmico llenados al vaco que sigui al fin del imperio romano en el siglo sexto D.C. Los moros invadieron Espaa en el siglo VIII D.C. y gobernaron gran parte de la Pennsula Ibrica durante varios siglos. El pramo es inuencia en Espaa continuada hasta la poca de los Reyes Catlicos en el siglo 15. Fernando e Isabel Reino Espaa, derrotaron a los moros y los expuls de Espaa. Los matemticos islmicos y eruditos se basaron en varios pases como Irn, Irak, Turqua, norte de frica y Espaa. Trabajo temprano comenz en Bagdad, y los matemticos fueron influenciados por el trabajo de los matemticos hindes que haban introducido el sistema decimal y nmeros decimales. Haba un renacimiento en Europa un aprendizaje e inters en las matemticas en el siglo 17, y los textos islmicos desempearon un papel clave en el renacimiento. Muchos califas (gobernantes musulmanes) fueron iluminados y alentaron a beca en matemticas y Ciencias. El trabajo inicial fue la traduccin de los textos griegos existentes, y esto condujo a un centro de traduccin e investigacin en Bagdad. Las traducciones se realizaron como parte del esfuerzo de investigacin e incluyeron las obras de Euclides, Arqumedes, Apolonio y Diofanto. Al-Khwarizmi hecho contribuciones al lgebra clsica temprana, y el lgebra de la palabra viene de la palabra rabe "al jabr" que aparece en un texto por Al-Khwarizmi. Primeros trabajos en lgebra tenan hecho por los babilonios, egipcios y griegos. Los babilonios tenan un procedimiento general para resolver ecuaciones cuadrticas pero hubo uso limitado de smbolos para las incgnitas. Los griegos representan cantidades como magnitudes geomtricas. Ms tarde los matemticos griegos como Diofanto desarrollaron lgebra para resolver ecuaciones diofnticas. Esto incluye resolucin de ecuaciones en varias incgnitas. El aporte islmico al lgebra fue un adelanto de los logros de los griegos. Desarrollaron una teora ms amplia que consideran objetos algebraicos nmeros racionales e irracionales y alejado el concepto griego de las matemticas como siendo esencialmente geometra. Ms tarde los eruditos islmicos construccin sobre el trabajo Al-Khwarizmi y aplicacin lgebra, aritmtica y geometra. Esto incluy contribuciones para reducir problemas geomtricos tales como duplicar el cubo a problemas algebraicos. Esto desemboc en el uso de smbolos en el siglo 15 tales como: xm xn = xm + n.El poeta Omar Khayyam tambin era un matemtico. Trabaj en la clasicacin de ecuaciones cbicas con las soluciones geomtricas. Otros tambin aplicacin el lgebra a la geometra y destinadas a estudiar las curvas utilizando ecuaciones. Otros eruditos hizo contribuciones a la teora del Teorema de numbers:e.g.,a que permite a pares de nmeros amigables para encontrarse. Nmeros amistosos son dos nmeros tales que cada uno es la suma de los divisores adecuadas del otro. Eran conscientes de la teora de Wilson en se divide nmero theory:i.e.,for p primethen p (p1). +1.This resultado fue probado formalmente por el siglo Lagrangein el siglo XVIII. Espaa musulmana se convirti en un centro de aprendizaje, y esto condujo a eruditos islmicos y otros a venir a estudiar en las universidades de Espaa. Esto incluye a los eruditos tales como Averroes y Avicenna quien proporcion comentarios sobre la obra de Aristteles. Muchos textos sobre Matemticas islmicas fueron traducidos del rabe en latn, y esto ayud a iniciar el renacimiento en el aprendizaje y las matemticas en Europa.1.7 chino e indio matemticas El desarrollo de las matemticas en China fue independiente de los acontecimientos en otros pases. Esto era debido a la posicin geogrfica de China y su capacidad para absorber otras culturas en su propio sin propio. El desarrollo las matemticas en China se iniciaron alrededor de 1000 AC. El enfoque chino a las matemticas diferenciaron de los griegos, en que su foco estaba en problemas en lugar de realizacin de pruebas formales. Matemticas helenstica emplean un enfoque axiomtico con axiomas y reglas de deduccin. Las matemticas chinas fue pragmtica y estaba preocupada por encontrar la solucin a problemas prcticos como el calendario, la prediccin de las posiciones de los cuerpos celestes, medida de la tierra, llevando a cabo el comercio y el clculo de los impuestos. Los chinos emplearon tableros contando como ayudas mecnicas para el clculo del cuarto siglo A.C.. Tablas de contar son similares a los bacos y generalmente estn hechos de madera o metal, y surcos tallados contenidos entre cual perlas, piedras o discos de metal fueron trasladados. El baco es un dispositivo, generalmente de madera que tiene una estructura que sostiene las barras con los granos libremente-desplazamiento montados en ellos. Se utiliza como una herramienta para ayudar a clculo, y es til para realizar un seguimiento de las sumas, los carrys, y as sucesivamente de los clculos. Matemtica China temprana fue escrito sobre las tiras de bamb e incluye trabajo en aritmtica y astronoma. El mtodo chino de aprendizaje y clculo en matemticas estaba aprendiendo por analoga. Se trata de una persona adquiriendo conocimientos de observacin de cmo se resuelve un problema y luego aplicar este conocimiento para resolver problemas de tipo similar de problemas. Los chinos tenan su versin del Teorema de Pitgoras y lo aplicacin a problemas prcticos. Un libro matemtico chino pozo-conocido es el Tratado matemtico en nueve secciones. Esto data del siglo XIII y fue utilizado como un libro de texto para varios cientos de aos. Incluy el teorema chino del resto, la frmula para encontrar el rea de un tringulo, as como mostrando cmo polinmicas ecuaciones (hasta degreeten) podra resolverse. Otros matemticos chinos mostraron problemas geomtricos cmo podran resolverse mediante lgebra, como races de polinomios podran ser solucionadas, cuadrticas y simultneas las ecuaciones poda ser resuelto, y cmo podra calcularse el rea de varias formas geomtricas como rectngulos, trapecios y crculos. Los matemticos chinos estaban familiarizados con la frmula para calcular el volumen de una esfera. La mejor aproximacin que los chinos tenan de fue 3.14159, y esto fue obtenida por Hui por aproximaciones de inscribir polgonos regulares con 3 2n lados en un crculo .Huiseems haberse familiarizado con la idea de un lmite, como su aproximacin a se logra utilizando un enfoque iterativo con cada iteracin logrando un ms cercano. Los chinos hicieron contribuciones a la teora del nmero incluyendo la adicin de serie aritmtica y congruencias simultneas de problemas. El teorema chino del resto ocupa de encontrar las soluciones a un conjunto de congruencias simultneas en aritmtica modular. Astrnomos chinos hicieron observaciones exactas que fueron utilizadas para producir un nuevo calendario en el siglo sexto. Esto era conocido como el calendario de doma y se basa en un ciclo de 391 aos. Los matemticos indios han hecho importantes contribuciones al desarrollo de las matemticas. Una contribucin clave de matemticos indios es el desarrollo de la notacin decimal para los nmeros que se utilizan ahora a travs de todo el mundo. El sistema decimal fue desarrollado en la India en algn momento entre 400 A.C. y 400 D.C.. Los matemticos indios tambin inventaron el cero y nmeros negativos y tambin hizo trabajo temprano en las funciones trigonomtricas seno y coseno el conocimiento de los nmeros decimales llegado a Europa a travs de los matemticos rabes, y el sistema resultante se conoce como la hind-rabe sistema de numeracin. El Sulva Sutras es un texto hind que documenta las matemticas indias y data de alrededor del 400 A.C.. Los matemticos indios estaban familiarizados con la declaracin y la prueba del Teorema de Pitgoras y estaban familiarizados con los nmeros racionales, ecuaciones cuadrticas, as como el clculo de la taiz cuadrada de 2 con cinco decimales. Panini fue un siglo de 15 BC. Matemtico indio y lingista que hizo trabajo pionero en fontica y morfologa de la lengua de Sanskrit. Su trabajo sobre gramtica permiti condenas a formarse a partir de un conjunto de reglas y es la obra ms temprana conocida en lingstica y gramticas formales.1.9 Resumen Las ltimas dcadas del siglo XX han sido testigos de una proliferacin de equipos de alta tecnologa, telfonos mviles y tecnologa de la informacin. Software ahora es omnipresente y est incluida en los automviles, aviones, televisiones y comunicaciones mviles. Es slo en las ltimas dcadas que tecnologa habia convertido en parte integral del mundo occidental, y el ritmo de cambio ha sido extraordinario. Se ha llevado a aumentos en la productividad industrial y potencialmente permite que los seres humanos la libertad de participar en las tareas ms creativas y gratificantes. Este captulo considera las contribuciones de las civilizaciones tempranas en proporcionando una base primitiva para qu convertirse en ciencia de computadoras. Incluye una discusin sobre los babilonios, los egipcios, los griegos y los romanos, as como las contribuciones de los eruditos islmicos. La civilizacin babilnica florecio entre el 2000 A.C. y producen comprimidos que contienen textos matemticos. Estos incluyeron las tablas de multiplicacin, divisin, plazas y races cuadradas as como el clculo del rea y la solucin de lineal y ecuaciones cuadrticas. La civilizacin egipcia desarroll a lo largo del Nilo entre el 4000 A.C. y dur hasta el imperio romano. Utilizaron las matemticas para resolver problemas prcticos, y esto incluye la medicin del tiempo, medir el anual del Nilo, calcular el rea de la tierra, resolviendo problemas para hornear. El uso de las matemticas era esencial en la construccin de las pirmides. Los griegos hicieron importantes contribuciones a la civilizacin occidental incluyendo matemticas, lgica, filosofa, poltica, drama y arquitectura. Euclides desarrollaron un tratamiento sistemtico de la geometra a partir de un pequeo espacio de axiomas, postulados y definiciones derivar y demostrar un amplio conjunto de teoremas. Los elementos de Euclides ha sido utilizado como un libro de texto para ms de 2000 aos. Los romanos repartieron obstruyan algn sistema de numeracin que todava hoy se utiliza en los relojes. Tambin desarrollaron el calendario Julian y empleados claves simples para asegurar que la informacin comunicada se mantuvo lnea. El aporte islmico ayud a preservar la obra anterior de los griegos, y tambin desarrollaron las matemticas y lgebra ms. Los eruditos islmicos ms tarde aplican lgebra aritmtica y geometra.