Libro Ucv Capitulo II (Limites)

MATEMATICA IFACULTAD DE INGENIERÍA

CAPITULO II:

LIMITE DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

Introducción:

La teoría de límites de una función es indispensable conocer, puesto que es la base sobre la cual se dan los conceptos fundamentales del Cálculo Diferencial e Integral, por ello es importante comprender correctamente lo que es un límite para poder entender con mayor facilidad las definiciones de derivada e integral de una función.

Recomendaciones: Al estudiar el límite de una función, se debe tener en cuenta lo siguiente:

1. Cuando se trata de calcular límites, el cuál es un valor numérico, el estudiante deberá usar correctamente tanto el álgebra elemental como la trigonometría, sobre todo lo concerniente a las factorizaciones, las racionalizaciones y las identidades trigonométricas.

2. En cambio, cuando se pide demostrar la existencia del límite de una función, entonces acudiremos al análisis usando las definiciones correctamente.

Límite de una Función

Analicemos algunos ejemplos para ayudar a comprender la idea de límite de una función:Dada la función , ¿Cómo se comportará esta función cuando x está próximo a 2, pero no exactamente a 2?

y

3

2 x -1

x 1.8 1.95 1.99 1.999 2 2.001 2.01 2.05 2.1f(x) 2.240 2.825 2.9601 2.996 3 3.004 3.041 3.202 3.410

De esta tabla se puede rescatar lo siguiente:

Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz

Para determinar esto, nos vamos a acercar tanto por derecha como por izquierda al número 2. De lo cual se observa, que , mientras más nos acercamos a 2, más se acerca a 3, de lo cual decimos que:


Sean y funciones definidas como:

y

o

x

- existe

-

y

1

x

-

- no existe

- Análisis de la función en :Se observa que no existe, sin embargo el comportamiento de esta función alrededor de 1 (en una vecindad de 1), excluyendo el punto 1, es exactamente el mismo, y podemos describirlo del siguiente modo:Para valores de próximos al punto , con , el valor de se aproxima a

; cuando esto ocurre, se dice que 1 es el límite de , cuando tiende a 1:

- Análisis de la función en En este caso se pude observar que , es decir si existe, sin embargo el comportamiento de la función en una vecindad de es distinto, ya que cuando nos acercamos a 0 por la derecha la función se acerca a 1, pero cuando nos acercamos por la izquierda, la función se acerca a 0, por lo tanto podemos decir que el límite de , cuando tiende a 0 no existe.

no existe

Definición.- El número “ ” se dice que es el límite de la función en , sí y solo sí, para todo , existe un , tal que, , siempre que esté en el dominio de y Simbólicamente:Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz


Observaciones:

-) y representan números positivos pequeños que se acercan a 0, se expresa en función de .-) Las desigualdades y representan intervalos abiertos:

i.

ii.

-) El intervalo se llama vecindad de , de centro en y radio .

< I > L

-) El intervalo se llama vecindad de , de centro en y radio .

< I >

INTERPRETACION GEOMÉTRICA DEL LÍMITE

Veamos la definición de límite geométricamente:

y

L



x

Para efectos de los ejercicios prácticos, debemos recordar la siguiente definición:

Definición.- Sea , , se dice que es acotada sobre el conjunto , , si existe un número real tal que:

Ejemplos explicativos:

1. Demostrar que

Solución:Se tiene que ……..(1)Luego se acota:

……..(2)Se elige , entonces

, además Entonces , es decir ……..(3)

Reemplazando (1) y (3) en (2) se tiene

, de donde

2. Demostrar que

3. Demostrar que

4. Demostrar que

5. Demostrar que

Ejemplos para el aula:

1. Demostrar que

2. Demostrar que



3. Demostrar que el

4. Demostrar que el

5. Demostrar que el

Teorema. (Unicidad del Límite), El límite de una función cuando existe, es único, es decir:

Sea constante, además dos funciones tales que:

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

Ejemplos explicativos:Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz


Calcular los siguientes límites

1.- 4.-

2.- 5.-

3.-

Solución:

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

Ejemplos para el aula

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

Solución

1.-



2.-

3.-

TECNICAS DE SOLUCION DE LÍMITES

Límites Indeterminados:

Cuando se nos presenta límites indeterminados se deben tener en cuenta los siguientes casos:

i) Si y, y son polinomios, entonces la indeterminación

se elimina factorizando y y anulando el término que provoca la indeterminación.

ii) Si y, ó son radicales, entonces la indeterminación se

levanta tan solo racionalizando ó .

iii) Si , debemos efectuar la sustracción para salvar la

indeterminación.

Ejemplos Explicativos

Hallar los siguientes límites:

1.- 5.-

2.- 6.-

3.- 7.-

4.- 8.-

9.- 10.-

11.- 12.-




Calcular:

1.- 8.-

2.- 9.-

3.- 10.-

4.-

5.-

6.-

7.-

LÍMITES TRIGONOMETRICOS

Se basan en los siguientes límites:

Además se requiere de las siguientes identidades trigonométricas:


Hallar los siguientes límites:



1.-

2.-

3.-

4.-

LÍMITES LATERALES

Y y L2 L L1

x x x0 x0

y y

Nota:

Definiciones:

i)

ii)

Ejemplos explicativos:

1) Hallar , si

2) Calcular

3) Hallar , si


1) Hallar , si

2) Hallar , si



3) Hallar , si

LÍMITES INFINITOS Y AL INFINITO

Sea la función

y

2

x 2

Del gráfico podemos observar:

y


1.- 6.-

2.- 7.-

3.- 8.-

4.- 9.-



5.- 10.-

11.- 12.-

13.- 14.-

15.- 16.-


1.- 6.-

2.- 7.-

3.- 8.-

4.- 9.-

5.- 10.-

ASINTOTAS DE UNA CURVA

Definición: La recta es una asíntota vertical de si cumple:

Gráficamente:

y y

x x a a



Definición: La recta es asíntota horizontal de si:

Gráficamente: y y

k k

x x

Definición: La recta es asíntota oblicua de si:

¿Cómo hallamos los valores de m y b?

Gráficamente:

y y

x x

Ejemplos explicativos

Hallar las asíntotas de las siguientes funciones:



1.- 4.-

2.- 5.-

3.-

Ejemplos para el aulaHallar las asíntotas de las siguientes funciones:

1.- 4.-

2.- 5.-

3.-

CONTINUIDAD DE FUNCIONESIdea Intuitiva:

Si y son dos funciones definidas en un mismo intervalo cuyas gráficas se muestran a continuación:

Y y x x x0 x0

Las funciones tienen un comportamiento distinto en el punto , se puede decir que la función es continua en (es ininterrumpida, no presenta saltos), mientras que la función es discontinua en el punto (ya que presenta un salto en ).

Definición: (Función Continua en un punto)

Sea , es continua en , si y solo si, cumple:

1) Existe



2) Existe

3)

Propiedades sobre continuidad

Consideremos dos funciones y contínuas en , entonces:1) es continua en 2) es continua en , 3) es continua en

Ejemplos explicativos

4) Dada

Analizar la continuidad de la función en

5) Si, Hallar y de tal modo que sea continua en y

6) Si

Analizar la continuidad en

Ejemplos para el aula:

1) Si Analizar la continuidad de las función en y

2) Dada,

Estudiar la continuidad de la función en el punto

3) Si

Determinar el valor de A, para que la función sea continua en HOJA DE PRÁCTICA 4

I.- Calcular los siguientes límites

1.- 9.-

2.- 10.-



3.- 11.-

4.- 12.-

5.- 13.-

6.- 14.-

7.- 15.-

8.- 16.-

II.- Calcular los siguientes límites:

1) , si

2) y , si

3) , si

4) y , si

5) , si

III.- Hallar los siguientes límites:

1) 11)

2) 12)

3) 13)

4) 14)

5) 15)



6) 16)

7) 17)

8) 18)

9) 19)

10) 20)

IV.- Hallar las asíntotas de las siguientes funciones:

1) 8)

2) 9)

3) 10)

4) 11)

5) 12)

6) 13)

HOJA DE PRÁCTICA 5

I.- Analizar la continuidad de las siguientes funciones, en los puntos dados:

1.- , en

2.- , en

3.- , en y en

4.- , en

5.- , en



6.- , en

7.- , en

8.- , en y , en

9.- , en

10.- , en

II. Determinar los valores de A y/o B para que las funciones sean continuas en los puntos dados:

1) , en y, en

2) , en

3) , en y, en

4) , en

5) , en y, en



HOJA DE PRÁCTICA 4 (SOLUCIONARIO) limites indeterminados

I.- Calcular los siguientes límites

1.-

Solución

2.-

Solución

3.-

Solución

4.-

Solución

5.-

Solución

6.-

Solución



7.-

Solución

8.-

Solución

9.-

Solución

10.-

Solución

11.-

Solución

12.-

Solución



13.-

Solución

14.-

Solución

15.-

Solución

16.-

Solución

17.-

Solución

18.-



Solución

19.-

Solución

20.-

Solución

21.-

Solución

22.-

Solución

23.-

Solución



24.-

Solución

25.-

Solución

26.-

Solución

27.-

Solución



28.-

Solución

29.-

Solución

30.-

Solución

31.-

Solución



32.-

Solución

33.-

Solución

34.-

Solución

35.-

Solución

36.-

Solución

37.-

Solución



38.-

Solución

39.-

Solución

40.-

Solución

41.-

Solución

42.- ; a > 0

Solución



43.-

Solución

44.-

Solución

45-

Solución

46.-

Solución

47.-

Solución

48.-

Solución



49.-

Solución

50.-

Solución

51.-

Solución



52.-

Solución

53.-

Solución

54.-

Solución



55.-

Solución

56.-

Solución



57.-

Solución

58.-

Solución

59.-

Solución

60.-

Solución

II.- Calcular los siguientes límites: (solucionario limites laterales)

1.- , si

Solución



2.- y , si

Solución

3.- , si

Solución

4.- , si

Solución



Limites al infinito (solucionario)

1.-

Solución

2.-

Solución



3.-

Solución

4.-

Solución

5.-

Solución



6.-

Solución

7.-

Solución



8.-

Solución

9.-

Solución

10.-

Solución


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