Liceo Comercial Carahue

Depto. de Matemática

Prof. Cecilia B. Ávila Rodríguez

Estimar y aproximar

números irracionales.

Unidad 1 – OA1 Objetivo: Estimar y aproximar números irracionales.

Recordemos las Raíces Cuadradas

La raíz cuadrada (√𝑏) de un número natural b corresponde un único número positivo a que

cumple: 𝑎2 = 𝑏 y se representa como √𝑏 = 𝑎

√1 = 1 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 12 = 1 ∙ 1 = 1

√4 = 2 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 22 = 2 ∙ 2 = 4

√9 = 3 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 32 = 3 ∙ 3 = 9

√16 = 4 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 42 = 4 ∙ 4 = 16

√25 = 5 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 52 = 5 ∙ 5 = 25

√36 = 6 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 62 = 6 ∙ 6 = 36

√49 = 7 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 72 = 7 ∙ 7 = 49

√64 = 8 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 82 = 8 ∙ 8 = 64

√81 = 9 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 92 = 9 ∙ 9 = 81

√100 = 10 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 102 = 10 ∙ 10 = 100

√121 = 11 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 112 = 11 ∙ 11 = 121

√144 = 12 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 122 = 12 ∙ 12 = 144

√169 = 13 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 132 = 13 ∙ 13 = 169

√196 = 14 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 142 = 14 ∙ 14 = 196

√225 = 15 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 152 = 15 ∙ 15 = 225

√400 = 20 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 202 = 20 ∙ 20 = 400

√625 = 25 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 252 = 25 ∙ 25 = 625

√900 = 30 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 302 = 30 ∙ 30 = 900

√1600 = 40 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 402 = 40 ∙ 40 = 1600

√2500 = 50 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 502 = 50 ∙ 50 = 2500

Entonces, si me preguntan ¿Cuánto es la √49? (se lee: “la raíz cuadrada de 49”)

Para saber la respuesta basta con saber, ¿qué número multiplicado por sí mismo da como

resultado 49.

Entonces, empiezo a multiplicar en mi cabecita loca!!!

1 ∙ 1 = 1 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑒𝑙 1 𝑛𝑜 𝑒𝑠. 2 ∙ 2 = 4 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑒𝑙 2 𝑛𝑜 𝑒𝑠. 3 ∙ 3 = 9 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑒𝑙 3 𝑛𝑜 𝑒𝑠. 4 ∙ 4 = 16 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑒𝑙 4 𝑛𝑜 𝑒𝑠. 5 ∙ 5 = 25 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑒𝑙 5 𝑛𝑜 𝑒𝑠.

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6 ∙ 6 = 36 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑒𝑙 6 𝑛𝑜 𝑒𝑠. 7 ∙ 7 = 49 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑒𝑙 7 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜.

Por lo tanto, √49 = 7; como el resultado es un numero natural, se dice que la raíz cuadrada

de 49 es una raíz exacta.

Texto de Estudio 8° Básico, página N° 50

Cuaderno de Actividades 8° Básico, página N° 30

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Estimación de Raíces Cuadradas no exactas

¿Cuánto vale la √12?

Lo mismo, en mi cabecita loca empiezo a multiplicar;

1 ∙ 1 = 1 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑒𝑙 1 𝑛𝑜 𝑒𝑠. 2 ∙ 2 = 4 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑒𝑙 2 𝑛𝑜 𝑒𝑠. 3 ∙ 3 = 9 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑒𝑙 3 𝑛𝑜 𝑒𝑠. 4 ∙ 4 = 16 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑒𝑙 4 𝑛𝑜 𝑒𝑠.

Multiplico hasta el 4 por 4, que da como resultado 16 que es mayor que el 12, por lo tanto

la √12 esta entre la √9 y la √16.

Esto quiere decir que la √12, no es exacta; es decir, no da como resultado un número

natural exacto, si no que el resultado va a ser un número decimal infinito que además no

tiene periodo; por lo que lo vamos a tener que aproximar. (Buscar un valor que se acerque

muchísimo a su valor exacto)

¿Por qué no sigo multiplicando? Porque los resultados van a ser cada

vez números más grandes, así que si ya con el 4 por 4 es 16, es

imposible que multiplique otros números más grandes que el 4, por sí

mismo y me dé como resultado el 12.

Matemáticamente sería así:

√9 < √12 < √16

Como yo sé que √9 = 3 𝑦 √16 = 4, entonces,

3 < √12 < 4

Por lo tanto, √12 es un número que está entre el 3 y el 4; es decir, puede ser:

3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 ó 3.9

Por lo que tenemos ya la certeza que la √12 = a 3, … (tres como algo, ese algo puede ser el

1,2,3,4,5,6,7,8 ó 9)

Ahora, ¿cómo puedo saber el número que sigue después del 3,…?

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Pensemos.

√9 < √10 < √11 < √12 < √13 < √14 < √15 < √16

3 < √10 < √11 < √12 < √13 < √14 < √15 < 4

Si se fijan bien, la √12 a simple vista se ve que está más cerca del 3, que del 4;

Por lo que podemos pensar que puede estar entre el 3 y el 3,5 (que es la mitad)

3 < √10 < √11 < √12 < √13 < √14 < √15 < 4

3 < √12 < 3,5

Ahora, los números que están entre el 3 y el 3,5; son el 3,1 3,2 3,3 y 3,4

Para saber cuál de los cuatro es hay que multiplicar cada uno por sí mismo, y el resultado

más cercano al 12, ese será el resultado.

3,1 ∙ 3,1 = 9,61

3,2 ∙ 3,2 = 10,24

3,3 ∙ 3,3 = 10,89

3,4 ∙ 3,4 = 11,56

Como aun no paso el 12, así que intento con 3,5

3,5 ∙ 3,5 = 12,25

Esto quiere decir que √12 pude ser 3,4 ó 3,5

Para saber cuál de los dos es la mejor aproximación, debo saber quién está más cerca del

12; el 11, 56 ó el 12,25. El 12, 25; es fácil saber que está a 25 unidades del, y el 11,56 es un

poquito más difícil, debo pensar cuánto le falta al 56 para llegar al 100 (100 – 56 = 44), me

faltan 44 unidades, por lo tanto el 12,25 está más cerca del 12 que el 11,56; por lo tanto la

mejor estimación de √12 es 3,5

Por lo tanto, √12 ≈ 3,5

Este método de estimación de raíces cuadradas no exactas, también es conocido con el

nombre de “método de aproximación por acotación sucesiva”

Veamos otro ejemplo: Estima el valor de √23

√16 < √22 < √25

4 < √22 < 5

√22 ≈ 4, …

Este símbolo matemático

significa aproximadamente,

esto quiere decir que no es el

valor exacto, pero se acerca

muchísimo.

3 4 La mitad

3,5

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√16 < √17 < √18 < √19 < √20 < √21 < √22 < √23 < √24 < √25

Entonces, √22 ≈{4,6 – 4,7 – 4,8 ó 4,9

4,6 ∙ 4,6 = 21,16

4,7 ∙ 4,7 = 22,09

Por lo tanto, √22 ≈ 4,7

Texto de Estudio 2° Medio, página N° 26

Voy a desarrollar la 2f, como ejemplo de cómo ordenar en forma ascendente números

reales:

Lo primero, ordenar en forma ascendente es ordenar de menor a mayor; y a simple vista no

es fácil saberlo, por lo que cada uno de los números dados los vamos a transformar a

número decimal.

4 5 La mitad

4,5

El 22,09 está más cerca

del 22, que el 21,16

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Empecemos;

2√8 = 2 ∙ √8

= 2 ∙ 2,82842712474 …

= 5,65685424948 …

√15 = 3,8729833462 … 22

5= 22 ÷ 5 = 4,4

4,08̅ = 4,08888888888 …

Ordenamos los números decimales:

2√8 = 5 , 6 5 6 8… → Este es el más grande(4)

√15 = 3 , 8 7 2 9… → Este es el más pequeño (1) 22

5 = 4 , 4 0 0 0… → Tercero (3)

4,08̅ = 4 , 0 8 8 8… → Segundo (2)

Por lo tanto,

√15 < 4,08̅ <22

5< 2√8

Descomposición de raíces cuadradas: Ordena de forma descendente los siguientes números reales:

√72, 2√18, 3√8, 6√2 Calculamos cada una de las raíces:

√72 = 8,48528137423 …

2√18 = 8,48528137423 …

3√8 = 8,48528137423 …

6√2 = 8,48528137423 …

Todas valen lo mismo, es decir todas son iguales:

√72 = 2√18 = 3√8 = 6√2

En realidad lo que se hizo fue DESCOMPONER la √72 en factores

¿Cómo se hace?

√72 =

72 : 2

36 : 2

18 : 2

9 : 3

3 : 3

1

√72 = 2 ∙ 3 ∙ √2 = 6√2

Por cada pareja de números iguales,

se anota uno afuera de la raíz, y los

que quedan sin pareja se quedan

dentro de la raíz

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Pero en realidad lo que sucede es esto:

√72 = √2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3

√72 = √22 ∙ 2 ∙ 32

√72 = √22 ∙ √2 ∙ √32

√72 = 2 ∙ √2 ∙ 3

√72 = 2 ∙ 3 ∙ √2

√72 = 6√2

Otro ejemplo: Descomponer √540

540 : 2

270 : 2

135 : 3

45 : 3

15 : 3

5 : 5

1

√540 = 2 ∙ 3 ∙ √3 ∙ 5 = 6√15

Por lo tanto, √540 = 6√15

Vamos con otro ejemplo: Descomponer √32

32 : 2

16 : 2

8 : 2

4 : 2

2 : 2

1

√32 = 2 ∙ 2 ∙ √2 = 4√2

Texto de Estudio 2° Medio, página N° 32

Eso es todo!!!...

Por esta semana.