Procesos de objetivación en el desarrollo del pensamiento probabilístico

por parte de estudiantes de décimo grado

Liliana Marcela González Carrillo

Maestría en Educación Énfasis en Educación Matemática

Facultad de Ciencias y Educación

Universidad Distrital Francisco José De Caldas

Bogotá, Mayo de 2016

Procesos de objetivación en el desarrollo del pensamiento probabilístico

por parte de estudiantes de décimo grado

Liliana Marcela González Carrillo

20142184014

Trabajo de investigación presentado como requisito parcial para optar al título de

Magíster en Educación con Énfasis en Educación Matemática

Director

Rodolfo Vergel Causado, Ph. D.

Maestría en Educación Énfasis en Educación Matemática

Facultad de Ciencias y Educación

Universidad Distrital Francisco José De Caldas

Bogotá, Mayo de 2016

DEDICATORIA

A Dios, por haberme dado la vida y las oportunidades para culminar mis estudios de

maestría

A mis padres, por ser mi ejemplo de vida, comprensión y amor infinito

A mis hermanas, por creer en mí y en mis sueños

A mis tías, por su apoyo incondicional

AGRADECIMIENTOS

A mi maestro Rodolfo Vergel por su acompañamiento y compromiso durante todo mi

proceso de formación, por compartir desinteresadamente su sabiduría y por alentarme

continuamente a seguir en el camino de la academia.

A mis queridos profesores de la Maestría por sus valiosas enseñanzas, aportes y

reflexiones.

Al rector y coordinadoras del colegio Álvaro Camargo De La Torre por todo el apoyo que

me brindaron en este reto profesional.

A los niños y niñas de grado 1002, por su disposición, participación y deseo de hacer

parte de esta investigación.

Tabla de Contenido

Introducción 1

Capítulo 1. Antecedentes y planteamiento del problema 5

1.1 Antecedentes 5

1.1.1 Perspectiva semiótica y la Teoría de la Objetivación (TO) 5

1.1.2 Pensamiento probabilístico 8

1.2 Campo problemático 11

1.2.1 Objetivos 15

Capítulo 2. Marco Teórico 16

2.1 Sobre la Teoría de la Objetivación – TO 16

2.1.1 Sobre los Medios Semióticos de Objetivación - MSO, los procesos de objetivación

(PO) y nodos semióticos 20

2.2 Sobre el pensamiento probabilístico 22

2.2.1 Sobre la emergencia de la probabilidad: algunos aportes históricos 22

2.2.2 Sobre la enseñanza y aprendizaje de la probabilidad 27

2.2.3 Sobre los significados de probabilidad 26

2.2.4 Algunas definiciones consideradas en el estudio 34

Capítulo 3. Metodología 36

3.1 Diseño metodológico 36

3.1.1 Fases del diseño 37

Capítulo 4. Análisis Multimodal 52

4.1 Descripción 52

4.2 Análisis de la actividad matemática 54

4.2.1 Tarea 1: Cara y sello 54

4.2.2 Tarea 2: ¿Quién llega primero? 77

4.2.3 Tarea 3: Blanco y negro 89

Capítulo 5. Conclusiones y resultados 97

Referencias Bibliográficas 104

Índice de figuras y tablas

Figura 1. General, particular y singular 19

Figura 2. Diseño metodológico 37

Figura 3. Tarea 1 y 2 41

Figura 4. Tarea 3 43

Figura 5. Proceso de recolección de la información 46

Figura 6. Ejemplo transcripción e identificación de MSO y PO 49

Figura 7. Interacción durante el juego 55

Figura 8. Representaciones tabulares tarea 1 56

Figura 9.Producción Julián y Edwin 57

Figura 10. Producción Esteban y Diego 58

Figura 11. Uso de símbolos matemáticos 60

Figura 12. Representaciones numéricas 71

Figura 13. Representaciones tabulares 78

Figura 14. Producción Juan, David y Edwin 80

Figura15. Producción Juliana, Alison y Daniel 81

Figura16 Modos de expresión semiótica del valor de probabilidad 82

Figura17. Algunos registros escritos. Socialización tarea cara y sello 83

Figura18. Concentración de significado. Lengua natural (palabras escritas) - Registro

numérico (fracciones) e icónico 84

Figura 19. Concentración de significado. Lengua natural (palabras escritas) - Registro

numérico (fracciones, decimales, porcentajes) 84

Figura 20. Concentración de significado. Cambio de representación numérica (Fracciones,

decimales, porcentajes) 85

Figura 21.Momento de trabajo individual 90

Tabla 1. Elementos que caracterizan los diferentes significados de probabilidad 33

Tabla 2. Categorías teóricas MSO – PO 38

Tabla 3. Elementos considerados para la adaptación de las tareas 40

Tabla 4. Criterios para la sistematización de la información de los episodios 49

Tabla 5. Ejemplo de sistematización de la información. Episodio 2 “Es lo mismo” 50

1

Introducción

Los Lineamientos Curriculares Colombianos en Matemáticas (MEN, 1998) presentaban ya

para finales de los 90’s, una clasificación sugerida para los cinco tipos de pensamiento

matemático (pensamiento numérico, pensamiento espacial, pensamiento métrico,

pensamiento aleatorio o probabilístico y pensamiento variacional) y sus correspondientes

sistemas conceptuales y simbólicos, producto del interés de investigadores en Educación

Matemática en Colombia por reflexionar y considerar orientaciones generales sobre el

currículo nacional para la educación básica y media en ésta área del conocimiento.

Continuando con el ejercicio reflexivo de repensar los fines de la Educación Matemática en

nuestro país y con el ánimo de responder a los requerimientos actuales de la sociedad, se

publican los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas Colombianos (MEN,

2006), en donde se ofrece una caracterización del conocimiento matemático en general y a

su vez distingue dos dimensiones del mismo

a) La dimensión práctica, que expresa condiciones sociales de relación de la persona

con su entorno, y contribuye a mejorar su calidad de vida y su desempeño como

ciudadano. b) La dimensión formal, constituida por los sistemas matemáticos y sus

justificaciones, la cual se expresa a través del lenguaje propio de las matemáticas en

sus diversos registros de representación. (MEN, 2006, p. 50)

Se precisa frente a la actividad matemática de los estudiantes lo esperado en términos

de competencias y habilidades para conceptualizar, comprender y transferir1 ideas y

1 Entendido como el uso de modelos matemáticos en otros dominios conceptuales dentro y fuera de las

matemáticas.

2

conocimientos propios de cada uno de los pensamientos a partir de la caracterización

de los procesos generales. 2

De igual manera, se desvela la complejidad inherente al aprendizaje de las matemáticas,

razón por la cual dichos estándares son presentados considerando una coherencia vertical

establecida por la relación de un estándar con los demás estándares del mismo pensamiento

en los otros conjuntos de grados, y una coherencia horizontal en términos de la relación

existente entre un estándar determinado con los estándares de los otros pensamientos dentro

del mismo conjunto de grados (MEN, 2006, p. 79). Esta organización, invita a concebir la

formación matemática de nuestros estudiantes como un proceso continuo toda vez que “Las

competencias matemáticas no se alcanzan por generación espontánea, sino que requieren

de ambientes de aprendizaje enriquecidos por situaciones problema significativas y

comprensivas, que posibiliten avanzar a niveles de competencia más y más complejos” 3

(MEN, 2006, p.49)

En particular, dichos documentos oficiales en referencia al campo del pensamiento

aleatorio, proponen el estudio de situaciones aleatorias desde los primeros grados de

escolaridad hasta la culminación de la educación media con grados de complejidad gradual.

Este reconocimiento en términos curriculares se debe en parte porque esta tipología de

pensamiento se sitúa en un área de las matemáticas que trata con situaciones que presentan

múltiples variables y resultados impredecibles, esto es, con situaciones no deterministas o

aleatorias (marcada característica que diferencia este pensamiento de los otros cuatro) y su

significativo alcance radica en el establecimiento de modelos matemáticos para el

2 Los cinco procesos generales que se contemplaron en los Lineamientos Curriculares de Matemáticas son:

formular y resolver problemas; modelar procesos y fenómenos de la realidad; comunicar; razonar, y formular

comparar y ejercitar procedimientos y algoritmos (MEN, 2006, p. 51). 3 Énfasis del original.

3

tratamiento de la incertidumbre los cuales están presentes en la ciencia, la vida cotidiana y

la cultura (MEN, 1998, p. 47), ofreciendo posibilidades de interpretación que facultarían a

los estudiantes para la toma de decisiones de manera consciente y razonada cuando no es

posible predecir lo que ocurrirá al familiarizarse de manera paulatina con la incertidumbre

presente en ellas.

Estas iniciativas y planteamientos armonizan con la emergencia del interés por el estudio de

la enseñanza-aprendizaje de la probabilidad en la escuela en el marco de la Educación

Estocástica (que incluye las disciplinas de probabilidad y estadística) en diferentes países,

encaminando esfuerzos hacia el aporte de elementos disciplinares, didácticos y

metodológicos entre otros.

Pues como cita Batanero (2001) “en la actualidad asistimos a un aumento notable de las

publicaciones, diseños curriculares e investigación relacionados con este tema” (p. 3); todo

ello con el fin de compartir y someter a juicio de la comunidad académica iniciativas

relacionadas con proyectos curriculares, materiales didácticos, software educativo,

investigaciones, revistas, reuniones y congresos sobre el pensamiento estocástico

(Batanero, 2005, p. 7). Las contribuciones al campo del pensamiento probabilístico de un

lado pretenden un refinamiento de las comprensiones asociadas a la enseñanza-aprendizaje

de la probabilidad y el mejoramiento de las prácticas de aula a través de la difusión de

resultados de investigación y de otro se busca concienciar al maestro frente a la

comprensión de las dificultades a las cuales se ven abocados los estudiantes cuando se

enfrentan a situaciones aleatorias y la manera en que progresivamente se instancia el

pensamiento probabilístico en las diferentes etapas de escolaridad.

Con el propósito de continuar en esta ruta de indagación en el dominio del pensamiento

probabilístico, proponemos estudiar la manera en que los estudiantes manifiestan ideas

4

matemáticas cuando abordan situaciones no deterministas4 en tareas vinculadas a la

asignación de probabilidad y como estas adquieren formas corpóreas y tangibles, en otras

palabras, inquirir acerca del rol que desempeñan el cuerpo, el discurso (oral y escrito), los

artefactos, los signos y la interacción social, como mediatizadores de la actividad

matemática de estudiantes de grado décimo en el contexto de lo aleatorio en tareas sobre

asignación de probabilidad.

Nos parece que una perspectiva sociocultural contemporánea de la Educación Matemática

como la Teoría de la Objetivación (TO), al presentar sensibilidad frente al objeto de estudio

que formulamos, ofrece un “lente teórico” para observar a través de él, cómo es que

emergen estas posibles formas de pensamiento probabilístico confiriéndonos los elementos

necesarios para su análisis e interpretación.

Consecuentemente, desarrollaremos la presentación del documento en cinco partes; en la

primera se abordan los componentes que delimitan la propuesta y la pregunta que da norte a

la investigación, la segunda parte corresponde a los fundamentos teóricos base tenidos en

cuenta respecto al pensamiento probabilístico, a la didáctica de la probabilidad y la Teoría

Cultural de la Objetivación. En la tercera damos cuenta de la metodología y las fases del

diseño, en la cuarta parte presentamos el análisis de los datos, y, finalmente, en la quinta

parte se presentan las conclusiones y observaciones finales.

4 Las situaciones aleatorias o no deterministas se caracterizan por tener la propiedad de ser no reversibles

(volver a los datos primitivos al deshacer la operación) […] ya que no podemos manipular estos fenómenos

para producir un resultado específico, ni devolver los objetos a su estado inicial deshaciendo la operación

(Batanero, 2013, p.2).

5

Capítulo 1

Antecedentes y planteamiento del problema

1.1 Antecedentes

En el presente capítulo exponemos algunas investigaciones centradas en el estudio de la

semiótica, la Teoría de la Objetivación y el pensamiento probabilístico, las cuales a nuestro

juicio presentaron un panorama prolijo que abonó el terreno para la proyección de la

pregunta orientadora y los objetivos que acotaron y fijaron el camino de indagación en

nuestra propuesta investigativa.

1.1.1 Perspectiva semiótica y la Teoría de la Objetivación (TO)

Investigadores en Educación Matemática y sus estudios sobre semiótica 5 (D’Amore, 2006,

D’ Amore, Fandiño y Iory, 2013; Duval, 1999; Vergel, 2013, 2014a, 2014b, 2015a, 2015b;

Rojas, 2010, 2012a, 2012b; Radford, 2004a, 2004b, 2006, 2010a; Batanero, 2005), han

mostrado que ésta línea de investigación en particular parece ofrecer posibilidades para

interpretar aspectos tales como la compleja actividad matemática de los estudiantes en la

sala de clase cuando se trabaja con ideas matemáticas, la elección y uso de diferentes

registros de representación, la plural composición de elementos que confluyen en la

comunicación y en el discurso utilizado por profesores y estudiantes, el recurso a diversos

medios de expresión para exteriorizar el pensamiento y el rol desempeñado por los

artefactos, entre otros.

5 La Semiótica hace referencia a la disciplina que estudia los signos en general, o mejor, que estudia los

sistemas de signos y está ligada a una intención comunicativa.

6

Sugerimos centrar la atención en la perspectiva Semiótica Cultural, que parece brindar un

amplio espectro para enriquecer nuestras comprensiones acerca de la actividad matemática

emergente en la sala de clase entre estudiantes y profesores.

Desde esta perspectiva, se pone de presente la importancia de concebir al ser dentro de su

entorno cultural ya que éste, lo condiciona con hábitos de discriminación (a nivel ético,

estético, político, etc.), de acuerdo con categorías y prácticas preestablecidas aceptadas y

compartidas culturalmente a través de la historia, supeditando así su forma de actuar y

pensar dentro del sistema a de referencia disponible. La praxis social aparece como la base

de la cognición (Radford, 2004a), entendida como una actividad humana, sensible,

concreta, mediada y cargada de significados. En consecuencia, el saber se origina en el

curso de la actividad humana mediatizada por objetos, instrumentos y signos, y el

conocimiento se encuentra en estrecha relación con la cultura en términos de “reflexión

cognitiva del mundo de acuerdo con formas culturales de significación”, 6 (Radford, 2004a,

p. 12).

Creemos que el acento puesto en la cultura y en la actividad humana como sensual y

concreta, suscita posibilidades alternativas y complementarias de indagación, interpretación

y conceptualización de la actividad matemática de los estudiantes desde el campo de la

semiótica.

Un ejemplo de ello es la Teoría de la Objetivación (TO), orilla teórica desde donde hemos

planteado este estudio. La TO se enmarca en las corrientes socioculturales contemporáneas

que, desde una perspectiva semiótica, concibe el proceso de enseñanza - aprendizaje como

un proceso histórico - cultural. Las investigaciones lideradas por Luis Radford y sus

colaboradores han focalizado sus esfuerzos en la caracterización de formas de pensamiento

6 Énfasis del original.

7

algebraico (Radford, 2008, 2010a, 2010b; Miranda, Radford, y Guzmán, 2007; Vergel

2013, 2015a, 2015b), donde la mediación semiótica juega un papel constitutivo del acto

cognitivo posicionando los objetos conceptuales en el plano social (Radford, 2006).

Así mismo, la TO resulta ser sensible a la convergencia de registros semióticos de

naturaleza diversa, la materialización del pensamiento a través del cuerpo, los procesos de

reflexión que llevan a la elaboración de significados y el acercamiento a la lógica cultural

de producción de los objetos matemáticos (como formas de producción de conocimiento y

formas de cooperación humana) (Radford, 2014a).

En el contexto colombiano estas ideas teóricas también han sido objeto de estudio gracias al

liderazgo de Rodolfo Vergel7 y Diana Jaramillo8 y con pesquisas en el campo del

pensamiento algebraico9 (Villanueva, 2012; Lasprilla y Camelo 2012; Lasprilla 2012, 2014;

González, 2012; Gómez, 2013; Vergel, 2014a, 2015a, 2015b; Moreno, 2014; Moreno 2015;

Cadavid y Quintero, 2011; Cadavid y Restrepo, 2011). En estos trabajos se pone de relieve

la inclusión del cuerpo en el acto de conocer, en un esfuerzo por comprender la producción

de saberes y de subjetividades en la actividad matemática de los estudiantes en el aula de

clase.

En particular contamos con dos producciones colombianas que incursionan en el campo de

pensamiento aditivo (Pantano, 2014) y el campo de pensamiento multiplicativo (Mojica,

2014) respectivamente, en donde se han propuesto vectores o componentes analíticos que

potencialmente podrían caracterizar formas de pensamiento culturalmente codificadas

asociadas a estos dominios conceptuales. Estos estudios muestran, que las formas estables

7 Universidad Distrital Francisco José De Caldas. 8 Universidad De Antioquia. 9 Tesis doctorales, artículos publicados en revistas indexadas y la dirección de trabajos de grado a nivel de

especialización y maestría.

8

de conciencia de los objetos conceptuales en los y las estudiantes, devienen de la

orientación de acciones intencionadas que desencadenan el despliegue de recursos

semióticos (como inscripciones, el lenguaje, los signos, la actividad perceptual etc.), esto

es, medios semióticos de objetivación utilizados por los estudiantes en un esfuerzo que es a

la vez elaboración de significados y toma de conciencia de los objetos conceptuales

(Radford, 2006). Estos recursos semióticos, se convierten en constituyentes del acto

cognitivo en donde signos e instrumentos desempeñan funciones diferentes en los procesos

de objetivación del conocimiento (Contracción e Iconicidad) usados por maestros y

estudiantes en el aula.

Es así, que los estudios de Pantano (2014) y Mojica (2014), al documentar la experiencia,

sugirieron extrapolar los elementos de la teoría a otros dominios conceptuales. Sus

hallazgos, de un lado, aportan información que robustece la TO y de otro abre nuevas

posibilidades de investigación.

1.1.2 Pensamiento probabilístico

Resulta relevante el interés investigativo suscitado acerca de la enseñanza - aprendizaje de

la estadística y la probabilidad dentro del campo de la Educación Matemática. Instituciones

y asociaciones como el Instituto Internacional de Estadística (ISI), Centros Internacionales

de Educación Estadística (ISEC), ICOTS (International Conference on Statistical

Education), ICME (International Congress of Mathematics Education), IASE (International

Association for Statistical Education) entre otros, son muestra de la preocupación

internacional por establecer espacios de debate en torno al pensamiento estocástico.

Por ejemplo, la IASE se ocupa de los avances, desarrollos y mejoras de la Educación

Estadística a nivel internacional. Sus miembros son profesionales interesados en este

9

dominio, que desde los diferentes niveles educativos reflexionan frente al desarrollo

curricular, tratamiento de temáticas en los libros de texto y materiales didácticos entre

otros. Como asociación, la IASE, asume la responsabilidad de organizar el ICOTS y las

Round Table Conference asociadas al ICME (Batanero, 2001).

Estos son apenas algunos de los muchos eventos que son desarrollados alrededor del

mundo con la intención de consolidar una incluyente comunidad académica mediante la

participación de docentes, investigadores en Educación Matemática y profesionales en

general (de otras áreas de conocimiento), inquietos por la formación de ciudadanos

alfabetizados y competentes en el campo de la estocástica.

Dentro de la literatura disponible, encontramos reflexiones en torno al panorama actual de

los estándares a nivel de estocástica en términos de las competencias que debe adquirir y

desarrollar un estudiante y que a su vez han de ser manejadas por los profesores dadas las

necesidades de la sociedad actual frente al tratamiento de la información (Cuevas, 2012;

Batanero y Serrano, 1995). También hallamos interesantes recorridos históricos acerca de

los orígenes de la teoría del azar y su evolución (Fernández, 2007; Mateos-Aparicio, 2001),

así como de los diferentes significados que han sido asignados a la probabilidad bajo una

caracterización específica a lo largo de la historia y que siguen vigentes en la actualidad

(Batanero, 2005). De igual modo, aparece una gran variedad de estudios sobre didáctica de

la estadística que intentan mostrar vías de desarrollo para potenciar el pensamiento

aleatorio desde la sugerencia de secuencias didácticas para el trabajo de aula (Batanero,

2001; 2013; Batanero y Sánchez, 2013; Sánchez y Valdez, 2013).

Las producciones académicas en mención, son apenas una muestra del fructífero terreno

investigativo en el ámbito de la probabilidad.

10

En Colombia recién en el año 2014 se consolida la Asociación Colombiana de Educación

Estocástica (ACEdEst). La ACEdEst lideró la realización del I Encuentro Colombiano de

Educación Estocástica (ECEE) con el interés de favorecer un espacio de discusión y

participación en asuntos relacionados con la estadística y probabilidad en nuestro país.

En el ámbito nacional se han realizado aportaciones al campo del pensamiento

probabilístico con la intención de procurar alternativas de trabajo en la sala de clase.

En específico algunas de estas contribuciones refieren a propuestas de aula que toman en

cuenta aspectos tales como la inclusión de software y uso de TIC en el aula de clase

(Yañez, 2003, Jaimes, 2012; Gallo y Cisneros, 2011), sugerencias metodológicas y

propuestas de unidades didácticas (Acevedo, 2011; Acevedo, Jaramillo y Esteban, 2013;

Casas y González, (2001); Castaño, 2013; Garzón y García, 2009; Velásquez, 2014), los

juegos como estrategia didáctica y lúdica en el aula de clase (Morales y Restrepo, 2009),

entre otros.

En síntesis, observamos que hay una importante producción académica en torno al

pensamiento probabilístico y la Teoría de la Objetivación ciertamente inmersa en procesos

de investigación continuos.

Es así que con el ánimo de imbricar los elementos conceptuales y metodológicos de la TO

con los planteamientos vinculados al desarrollo del pensamiento probabilístico, nuestra

propuesta espera nutrir este campo de investigación, mediante el rastreo de rasgos

característicos de formas prototípicas de pensamiento histórica y culturalmente constituidas

de las maneras en que el saber probabilístico se instancia y se actualiza a través de la labor

conjunta en la sala de clase convirtiéndose en objeto de conciencia para los estudiantes,

entendiendo la probabilidad como “un patrón fijo de actividad reflexiva incrustado en el

mundo de cambio constante de práctica social mediada por artefactos” (Radford, 2006, p.

11

111), esto es, considerar la probabilidad como un objeto de la cultura, desplegando así

posibilidades de indagación al respecto.

1.2 Campo problemático

En las últimas tres décadas aproximadamente, investigadores en el campo de la Educación

Estocástica, se han preocupado por conducir estudios en torno al desarrollo de lo que se ha

denominado alfabetización cuantitativa en los ciudadanos (Ver por ejemplo, White, 1981;

Gal, 2002, 2003; Gal, Ginsburg, y Schau, 1997, Gal y Garfield, 1997; Garfield, 1994, 1995,

1999, 2002, 2003). Dicha alfabetización hace referencia a las disciplinas de probabilidad y

estadística como ciencias propias de los datos haciéndose necesario potenciar habilidades

para su tratamiento y análisis (Cuevas, 2012).

En palabras de Gal (1995, citado en Batanero 2005, p. 252), “una persona con cultura

probabilística sería capaz de comprender los enunciados de probabilidad en el contexto de

apuestas, votaciones o inversión en la bolsa, y tomar una decisión fundamentada en ellos”,

así pues la formación en probabilidades y manejo de la incertidumbre en diferentes

fenómenos aleatorios dotaría de herramientas matemáticas a los individuos para hacer

frente a estos sucesos que se presentan en la vida cotidiana.

Azcárate (2006) destaca la importancia de fortalecer la capacidad para el análisis,

interpretación y comunicación de la información en situaciones de la vida diaria cargadas

de incertidumbre (por ejemplo los juegos de azar, predicción del clima, inversiones

económicas), es decir situaciones inciertas que implican la toma de una decisión. En

contraste con este argumento, Bennet (1998, citado en Batanero, 2006, p. 1) aduce que “La

probabilidad es esencial para preparar a los estudiantes, puesto que el azar y los fenómenos

aleatorios impregnan nuestra vida y nuestro entorno”. De forma análoga, Sánchez (2009)

12

(citado en Insunza, 2011) plantea que el aprendizaje de la probabilidad en la escuela ayuda

a preparar a los estudiantes para la vida toda vez que los fenómenos azarosos y los eventos

aleatorios hacen parte de nuestro escenario cultural y permean nuestra vida personal y

profesional.

De acuerdo a lo anterior, parece ser que el abordar situaciones no deterministas en la sala

de clase no resulta ser un asunto menor, pues con y a través de ellas se procura propiciar la

toma decisiones, el planteamiento de conjeturas, la exposición de argumentos, etc.; en

ambientes donde los estudiantes tengan experiencias con la incertidumbre y el azar.

El acercamiento a este tipo de contextos en la escuela, abre posibilidades para el uso del

lenguaje, el reconocimiento del contexto de las situaciones, la capacidad para inquirir, la

interacción con otros individuos y con el entorno, los cuales parecen apoyarse en un

conjunto de creencias y actitudes culturalmente establecidas que influyen y subordinan la

interpretación de una situación particular de estudio.

Luego valdría la pena observar con atención las acciones que emprenden los estudiantes al

enfrentarse a situaciones no deterministas. Dado que en el dominio del pensamiento

probabilístico tratamos con entidades abstractas a diferencia de otros campos de las

matemáticas (Batanero, 2013), posiblemente puedan desencadenarse ciertas diferencias en

relación con la actividad matemática de los estudiantes en estos contextos.

Por ejemplo, en el campo del pensamiento numérico, sumar y restar se asumen como

operaciones inversas entre sí. Para iniciar el reconocimiento de estas operaciones (más allá

del algoritmo), puede utilizarse algún material concreto (botones, semillas, fichas) que

permita la experimentación de los estudiantes juntando o quitando unidades del material

utilizado. Al disponer de cierto número de botones, por ejemplo, podemos juntarlos para

13

determinar cuántos hay en total. Al deshacer la acción de “juntar” podemos regresar al

estado inicial.

Si esta operación (juntar – separar) se realiza repetidas veces bajo las mismas condiciones

el resultado sigue siendo el mismo.

En el contexto de lo aleatorio, estas ideas cambian. Por ejemplo, al lanzar una moneda al

aire si la primera vez cae cara no podemos asegurar que en el segundo lanzamiento caerá

de nuevo cara o que luego de una racha en donde se ha obtenido cara en lanzamientos

sucesivos, el lanzamiento justamente siguiente sea también cara; puesto que cada

lanzamiento corresponde a un evento único e irrepetible, y aunque el experimento sea

realizado bajo las mismas condiciones los resultados pueden ser diferentes cada vez.

El primer ejemplo presentado intenta ilustrar algunas características de las situaciones

deterministas como la reversibilidad y las respuestas únicas. El segundo ejemplo muestra

una situación no determinista o aleatoria, en donde la acción lanzar la moneda al aire es

presentada como evento único. Las características mencionadas (la reversibilidad y las

respuestas únicas), carecen de sentido en este tipo de situaciones, debido de un lado a la

imposibilidad de regresar al estado original del evento una vez iniciada la experiencia y de

otro debido a la ausencia de certeza predictiva del resultado.

Es justamente esta distinción entre situaciones deterministas y situaciones aleatorias o no

deterministas el punto de partida para el estudio de la probabilidad.

“Separar”

Descomponer

“Juntar”

Componer

14

Es así, que de acuerdo con las ideas expuestas líneas atrás, sentamos las bases para nuestra

investigación en el marco de los constructos teóricos de la Teoría de la Objetivación (TO) y

en aspectos conceptuales del pensamiento probabilístico, orientando la indagación hacia el

papel de la mediación semiótica (el cuerpo, el discurso, los artefactos, los signos y la

interacción social) en la actividad matemática de los y las estudiantes en ese proceso de

objetivación del saber en situaciones no deterministas. 10 Entendida la objetivación según lo

teorizado por Radford (2010, p. 44) como la relación con las “acciones encaminadas a

hacer evidente algo a alguien por ejemplo un cierto aspecto de un objeto concreto, como su

color, su tamaño o una propiedad matemática general , esto es, darse cuenta o ser

consciente de las relaciones matemáticas”. Mientras que los procesos de objetivación, se

constituyen en “procesos sociales a través de los cuales los individuos se familiarizan con

las formas culturales e históricamente constituidas de pensar” (Vergel, 2014a, p.59).

En suma, centramos la atención analítica en identificar, describir y analizar los medios

semióticos de objetivación a los cuales acuden los estudiantes así como los procesos de

objetivación desarrollados, en su labor conjunta, como una caracterización posible de

formas de pensamiento probabilístico al abordar tareas en torno a la asignación de

probabilidad de un evento. En consecuencia, buscamos responder la pregunta que da norte

al presente estudio:

¿Qué procesos de objetivación desarrollan estudiantes de grado décimo al abordar tareas

sobre asignación de probabilidad?

10 Las situaciones no deterministas o aleatorias son aquellas en las que no se puede saber con seguridad

absoluta lo que sucederá, es decir, son impredecibles (Batanero, 2013).

15

1.2.1 Objetivos

Con la intención de responder a la pregunta anterior, planteamos los siguientes objetivos

que de manera focalizada orientaron nuestras actuaciones:

Objetivo general

Describir y analizar los procesos de objetivación desarrollados por estudiantes de grado

décimo al abordar tareas referidas a asignación de probabilidad de un evento.

Objetivos específicos

• Describirlos medios semióticos de objetivación emergentes en la actividad matemática

de los estudiantes de grado décimo a partir de la implementación de una serie de tareas

en torno a la asignación de probabilidad de eventos.

• Caracterizar los medios semióticos de objetivación movilizados y analizar su evolución.

16

Capítulo 2

Marco teórico

A continuación presentamos los elementos teóricos que tuvimos en consideración para la

construcción y desarrollo de nuestra propuesta así como para la interpretación de la

actividad matemática de los estudiantes, atendiendo a la pregunta de investigación, los

constructos teóricos de la Teoría de la Objetivación y aspectos relacionados con el

pensamiento probabilístico.

2.1 Sobre la Teoría de la Objetivación - TO

La TO es una teoría de enseñanza – aprendizaje de las matemáticas que propone “la meta

de la Educación Matemática en términos de una dinámica política, social, histórica y

cultural encaminada a la creación dialéctica de sujetos éticos y reflexivos quienes se

posicionan críticamente en discursos y prácticas matemáticas histórica y culturalmente

constituidas siempre en evolución” (Radford, 2015a, p. 549). Esta mirada amplificada

intenta abarcar las dimensiones del ser humano que confluyen cuando se trabaja con ideas

matemáticas en la sala de clase en términos no cognitivistas esbozando una responsabilidad

formativa en la constitución del sujeto como miembro de una comunidad que subsume el

ámbito conceptual.

Esta postura se soporta en el materialismo dialéctico11 y trae a la base la idea de creación

dinámica y recíproca entre ser y cultura. Propone la idea de labor como “una forma social

de acción conjunta que incluye nociones de expresión del sujeto que labora” (Radford,

11 La Teoría de la Objetivación se inspira en la dialéctica de Georg Hegel, el materialismo histórico de Karl

Marx y de pensadores dialécticos como Lev S. Vygotski, Alexei N. Leontiev, Evald Ilyenkov y Theodor

Adorno (de Moura y Moretti, 2014, p. 36).

17

2014a, p. 137). Esta idea de labor es traída al centro de la TO como la categoría conceptual

fundamental, por cuanto es en la actividad conjunta que contactamos con los sistemas de

ideas culturales que regulan la manera en que percibimos el mundo y actuamos en él.

Estas ideas coinciden con lo expuesto por Hegel (2001) (citado en Radford, 2014a), quien

declaro, que es en la labor en donde acaece la recíproca formación del individuo y la

cultura. En efecto, se admite que es en la labor en donde se “aprende a estar con otros,

abrirse a la comprensión de otras voces y otras conciencias, en pocas palabras a Ser-con-

otros” (Radford, 2006, p.117), y nos topamos con el Otro, con su individualidad, de manera

que “en su sentido ontológico, la labor significa alteridad—el encuentro de eso que no soy

yo, y que al encontrarlo, me transforma” (Radford, 2014a, p. 138). Soy en tanto el Otro y su

presencia, me otorga existencia. Así, se determinan modos de relacionarnos en la clase de

matemáticas como una comunidad, reconociendo al Otro como parte constitutiva del Yo.

En la labor conjunta nos relacionamos con las dimensiones físicas (tangibles) y

conceptuales del mundo, de acuerdo con las formas de pensar y actuar asociadas a los

sistemas de ideas y a los significados que se encuentran a disposición en la cultura,

subyugados unos y otros al sentido histórico evolutivo de la traza demarcada por nuestros

antepasados. Para resumir, en palabras de Radford (2004a, p. 7) “las actividades que realiza

un individuo no son simplemente de él, pues dichas actividades han sido configuradas en el

curso de un proceso filogenético”, citando a Wartofsky (1979).

Desde esta perspectiva el pensamiento es concebido como una práctica social, como una

reflexión mediatizada del mundo que depende de la forma o modo de las actividades de los

individuos (Radford, 2006). Este argumento ya había sido esbozado por Davydov (1981,

citado en Vergel, 2014a, p.60) respecto a que “el pensamiento es el movimiento de formas

de actividad de la sociedad históricamente constituidas y apropiadas por aquél”.

18

Bajo estas premisas y en el marco de la concepción dialéctico materialista adoptada por la

TO, la enseñanza-aprendizaje integra un inseparable proceso, esto es, un “trabajo

conjunto12 sensible, material y conceptual de estudiantes y profesores encaminado a la

creación de sujetos reflexivos y éticos que se posicionan críticamente en prácticas

matemáticas histórico-culturalmente constituidas” (Radford, 2013b, pp. 6 - 7), que atiende

tanto a la dimensión del saber cómo a la dimensión del ser, al poner de presente la

importancia de ocuparse tanto del estudio de los conocimientos matemáticos como de la

formación del sujeto, que resultan inherentes a la actividad matemática de los participantes.

De ahí que para la TO el saber (knowledge) se constituya como la producción resultante de

la labor humana a través de generaciones como una “síntesis evolutiva culturalmente

codificada de maneras de hacer, pensar y relacionarse con otros y con el mundo” (Radford,

2015a, p. 549), que transita entre el general (como algo que puede ocurrir en términos de

potencialidad, posibilidad, formas conceptuales ideales) y el singular (como la ocurrencia

del hecho).

Dicho saber como potencialidad, como pura posibilidad y como entidad abstracta altamente

sofisticada y refinada a través del tiempo por la actividad humana y como legado

generacional del hacer, pensar y actuar de grupos sociales, solo puede llegar a ser objeto de

conciencia y pensamiento de las personas cuando es puesto en movimiento (cuando es

actualizado) a través la actividad conjunta sensual y material entendida como evento

irrepetible en el aula de clase de la que participan estudiantes y profesor, y que a su vez

media entre el general y el singular (Radford, 2015c).

12 Énfasis del original.

19

La actividad como particular, como mediación del general al singular, corresponde a un

proceso semiótico toda vez que estudiantes y profesores recurren a signos involucrándose

así en procesos de significación, lo que la dialéctica Hegeliana (Citado en Radford, 2013a,

p. 15) llamaría “la ascensión de lo abstracto a lo concreto”. Entonces, a través de la

actividad conjunta, el saber es actualizado (instanciado) dando lugar al conociendo

(knowing) como la concreción del contenido conceptual que aparece a través de la actividad

que media. Según Ilyenkov (1977 citado en Radford, 2013a, p. 17) el knowing “lleva el

sello de la actividad que media”, esto es, en palabras de Radford (2013a, 17) “el particular

es la actividad por la que el general aparece en el singular -o, en otras palabras, cómo el

saber es instanciado en el conociendo”. Pues el saber al ser actualizado a través de la

actividad conjunta, se convierte en objeto de conciencia y pensamiento en los estudiantes

(un sistema de ideas acerca de un objeto cultural).

De este modo, en la actividad de la sala de clase, las formas de colaboración humana

emergentes se basan en una ética comunitaria que fomenta modos de colaboración e

interacción que promueven el compromiso en el trabajo conjunto, el asumir la

responsabilidad hacia los demás miembros de la comunidad y el cuidado del otro (Radford,

2013b).

La labor que surge en el aula de clase se desarrolla en un espacio de acción conjunta entre

los participantes en donde concurren de forma coordinada el discurso, los gestos, los

Saber - Knowledge

Como pura posibilidad

(General)

Conociendo - Knowing Singular como

actualización del saber

(Singular)

Actividad

conjunta

(Particular)

Figura 1. General, particular y singular (Radford, 2015b)

20

artefactos y signos para pensar y actuar colectivamente. En este sentido, la TO teoriza la

ética comunitaria de la labor como togethering, que explica la manera ética en que los

individuos se comprometen, responden, y sintonizan el uno al otro, a pesar de sus

diferencias cognitivas, y emocionales (entre otras), en la búsqueda de una meta común, que

se fundamenta en la confianza y la responsabilidad (Radford, 2011).

2.1.1 Sobre los Medios Semióticos de Objetivación - MSO, los procesos de objetivación

(PO) y nodos semióticos

Para Charleton (1996, citado en Radford, 2003, p. 40),

El término objetivación tiene sus raíces en la palabra objeto cuyo origen deriva del

verbo en latín objetare que significa “lanzar algo en el camino, tirar antes”, y el sufijo

cacion que viene del verbo facere que significa “hacer” o “hacer para”.

La objetivación “es un proceso social que se lleva a cabo con otros” (Radford, 2015a. P.

551). Está vinculado con las acciones que conducen a arrojar algo delante de alguien, en

hacer visible o mostrar algo a alguien. Es así, que el proceso de objetivación del saber es

un proceso sensual y emocional de toma de conciencia de los objetos culturales, para lo

cual los sujetos nos valemos de diferentes recursos. Radford (2004b) teoriza estos recursos

como medios semióticos de objetivación, que corresponden a “objetos, artefactos, términos

lingüísticos, en general signos que se utilizan para hacer visible una intención y para llevar

a término una acción” (p. 19).

Dado que los procesos de producción de conocimiento, están incrustados en sistemas de

actividad que incluyen una amplia gama de medios físicos y sensuales de objetivación

(como las herramientas y el lenguaje), que dan forma corpórea y tangible al conocimiento,

el pensamiento adquiere un carácter mediatizado en el que los artefactos (objetos,

instrumentos, sistemas de signos, etc.), pasan a ser parte constitutiva y consustancial del

21

pensamiento. Estos, dan cuenta de la complejidad de los procesos de objetivación en

situaciones de enseñanza- aprendizaje.

La TO, sugiere que el pensamiento es producto de una práctica social. Para Radford, 2006,

p. 111) “los objetos son patrones fijos de actividad reflexiva incrustados en el mundo, en

cambio constante de la práctica social mediatizada por los artefactos”.13 En este sentido,

los objetos conceptuales se generan en el curso de la actividad matemática del sujeto, un

sujeto concreto y real permeado constantemente por las concepciones de otros sujetos, de

su cultura y su historia.

La vinculación de herramientas, signos, y dispositivos lingüísticos a través de los cuales

los sujetos organizan sus acciones en espacio y tiempo y que son utilizados

intencionalmente en el proceso de objetivación, en donde signo y pensamiento concurren

para dotar de sentido a los objetos conceptuales, no son simplemente elementos periféricos

de la actividad (Vergel, 2014b). En efecto, los signos al no reducirse a su mera

representación, nos conminan a inquirir acerca del tipo de actividad que ellos permiten

realizar (Vergel, 2014b).

En la TO, se distinguen dos procesos de objetivación a saber Iconicidad y Contracción. La

Iconicidad es caracterizada como una manera en que el sujeto nota rasgos similares de una

experiencia anterior y los aprovecha en una nueva situación para orientar sus acciones.

Paralelamente, Radford (2009a) llama Orquestación Icónica a la acción de los sujetos de

reformular un gesto de alguien más, con palabras, tonos e intenciones propias, es una

orquestación en el sentido de que es más que una copia que permite alcanzar la

comprensión de algo que es nuevo.

13 Cursivas del original

22

El proceso de objetivación Contracción Semiótica se refiere a las situaciones en las que los

estudiantes requieren resumir sus acciones, razonamientos o experiencias matemáticas. Este

proceso de objetivación lleva a discriminar entre lo que se considera relevante e irrelevante,

y conduce a una concentración de significado (es decir, a un menor recurso de palabras,

símbolos o a la utilización de términos más refinados y precisos), y a un nivel más

profundo de conciencia.

De esta manera, dado que la objetivación es ese proceso de dotar de sentido a los objetos

conceptuales de manera gradual, la Iconicidad y la Contracción son procesos que nos

permiten hacer la transición progresiva de falta de claridad, a una de esas capas más claras

de objetivación (Radford, 2008).

Hemos insistido que la actividad matemática, corresponde a una labor conjunta sensible y

material, razón por la cual es posible que los sujetos movilicen más de un medio semiótico

de objetivación de manera simultánea. Esto es, según Radford (2009a) “una parte de

actividad semiótica de los estudiantes donde la acción, gesto y palabra trabajan en conjunto

para lograr la objetivación del conocimiento” (p.7), emergiendo entonces la idea de nodo

semiótico

2.2. Sobre el pensamiento probabilístico

El MEN (2006) señala que “el pensamiento probabilístico o estocástico ayuda a tomar

decisiones en situaciones de incertidumbre, de azar, de riesgo o de ambigüedad por falta de

información confiable, en las que no es posible predecir con seguridad lo que va a pasar”

(p. 64). No nos resulta ajeno, que habitualmente empleamos este tipo de pensamiento en

diferentes escenarios y contextos tanto personales como profesionales (Por ejemplo, desde

la toma de decisiones del día a día como llevar o no consigo una sombrilla, tiempo de

23

espera para tomar el autobús, pronóstico del clima, realizar una inversión económica, etc).

Es decir, que hacemos uso del pensamiento probabilístico cuando nos encontramos frente a

situaciones de incertidumbre y nos permite prever o predecir hechos o comportamientos,

dentro de un rango de posibilidades, habilitándonos para tomar decisiones conscientes,

hacer inferencias o emitir juicios.

Es así, que la distinción entre situaciones deterministas y situaciones aleatorias, constituyen

el punto de partida para el estudio de la probabilidad. Pues en palabras de Batanero lo

determinista siempre ocurre en la misma forma mientras que lo aleatorio resulta ser

impredecible (es aleatorio porque es impredecible) debido a que en ocasiones hay muchas

causas que actúan independientemente y no podemos saber lo que ocurrirá (Comunicación

personal, 22 de Octubre de 2014).

2.2.1 Sobre la emergencia de probabilidad: algunos apuntes históricos

Parece ser que la probabilidad desde sus inicios ha estado vinculada con los juegos de azar.

Según Wilhelmi (2004, p. I) la etimología de la palabra azar deriva de árabe az-zahr que

significa “el dado de jugar”. Los hallazgos de vestigios de culturas antiguas así como

descubrimientos arqueológicos muestran que culturas como la egipcia, griega y romana

participaron de la práctica de juegos de azar mediante el uso lúdico de huesos de astrágalo

(hueso del talón en los mamíferos), tabas (nombre vulgar del astrágalo), “dados” los cuales

derivan de las tabas que al desgastarse perdían su forma rectangular y se hacían cúbicas.

Según Mateos-Aparicio (2001) el azar en las civilizaciones antiguas tenía una connotación

divina. Posiblemente, como una manera de predecir el futuro, “los sacerdotes o pitonisas

utilizaban la combinación que resultaba de lanzar cuatro tabas […] en los templos de los

24

dioses como procedimiento mediante el cual la Fortuna, los Hados o el Destino podían

expresar sus deseos” (Mateos-Aparicio, 2001, p. 2).

Sin embargo, las ideas sobre el azar, vendrían a ser formalizadas mucho tiempo después

que el hombre tuviera experiencias con el azar. En el siglo XVI, Cardano escribe el primer

tratado relacionado con el mundo del azar, titulado Liber de Ludo Alae, publicado sólo

hasta 1663. En su obra, Cardano abordó la idea clásica de la probabilidad sin definirla

manera explícita mediante la relación entre el número total de resultados y el número de

resultados favorables e introdujo un rango para asignar un valor de probabilidad p entre 0 y

1, a un suceso cuyo resultado se desconoce con antelación (Fernández, 2007).

El inicio del estudio y formalización de la probabilidad parece señalarse en los albores del

siglo XVII, con las comunicaciones escritas entre Blas Pascal (1623-1662) y Pierre Fermat

(1601-1665). Pascal, matemático, físico y filósofo junto con Fermat, matemático y juez, se

dan a la tarea de resolver lógica y matemáticamente problemas relacionados con juegos de

azar, respecto a apuestas ventajosas en el lanzamiento de un dado y a métodos de reparto en

juegos inconclusos, planteados por el caballero de Meré quien era un experto jugador

perteneciente a la alta sociedad. Posteriormente, Huygens (1629-1695) entra en contacto

con Pascal y Fermat poniendo a su consideración su obra De Ratiocinis in Ludo Aleae

(1657). Así, Pascal, Fermat y Huygens se destacan por haber establecido los fundamentos

modernos de la teoría de la probabilidad desarrollada a lo largo del siglo XVIII.

Entre los intelectuales que realizaron aportaciones importantes al desarrollo conceptual del

campo de la probabilidad, se encuentra Jacques Bernoulli (1654-1705), quien estudió la

manera de calcular la probabilidad de un suceso. A continuación, estas ideas son retomadas

por Laplace (1749-1827) y desarrolla el modelo que actualmente conocemos como la

definición clásica de probabilidad, que más que una definición, ofrece un método para

25

cuantificar numéricamente el valor de probabilidad de un evento que cuenta con un número

finito de posibilidades. Durante los siglos siguientes matemáticos y estudiosos de la

probabilidad (Por ejemplo, Abraham De Moivre (1667-1754); Thomas Bayes (1702-

1761)), con sus aportes lograron que el campo se consolidara de manera definitiva.

Es claro entonces, que las ideas sobre azar y probabilidad son tan antiguos como la

civilización misma y su constitución teórica ha sido un proceso interesante donde paradojas

y situaciones de la vida real llevaron a celebres pensadores a interesarse por este dominio

conceptual. Al respecto Batanero (2006) aduce de manera concluyente que

La construcción de la teoría de la probabilidad no ha sido sencilla, y es sólo el esfuerzo

y el aprendizaje a partir del análisis de los propios errores, lo que llevó al progreso de la

misma (Batanero, Henry y Parzysz, 2005). Una mirada a la historia permite tomar

conciencia de que los objetos probabilísticos no son inmutables, sino fruto del ingenio y

la construcción humana para dar respuesta a situaciones problemáticas. (p. 2)

La cita anterior pone de presente la idea de saber probabilístico como una síntesis

histórica y cultural de actividad humana que ha sido refinada a través de

generaciones (Radford, 2013a).

Llegados a este punto, nos parece conveniente mencionar que nuestra intención con esta

breve revisión de la literatura, es hacer extensiva una invitación al lector a reflexionar en

torno a la emergencia histórica de la probabilidad (y sus aspectos conceptuales asociados),

su proceso evolutivo, la complejidad intrínseca y extrínseca que la ha acompañado y el

reconocimiento de su constitución como resultado del trabajo humano conjunto.

Los antecedentes históricos acerca de la génesis del pensamiento probabilístico, nos

conducen a pensar acerca de la relevancia de procurar escenarios para el estudio de la

probabilidad en la sala de clase. La experiencia empírica a través de la experimentación y

26

simulación (en concordancia con sus orígenes en los jugos de azar) se constituyen en una

oportunidad de aprendizaje, que brindan la oportunidad de llevar a los y las estudiantes a la

formalización y modelización matemática de fenómenos asociados con elementos

probabilísticos a través de un proceso gradual.

En efecto, creemos que favorecer contextos que ofrezcan la potencialidad de interacción

con juegos y/o con experiencias de la cotidianidad, contribuirán a que de manera

progresiva, los estudiantes se aproximen a una toma de conciencia de la incertidumbre, la

irreversibilidad y el azar presente en ellos. Es decir, notar la naturaleza no determinista de

las situaciones toda vez que no es posible concluir a priori acerca de un experimento,

aunque este, se repita muchas veces bajo las mismas condiciones dada la característica

aleatoria de los resultados.

Gal (2005, citado en Sánchez, 2009, p. 63) argumenta que “el aprendizaje de la

probabilidad permite acercar a los estudiantes a tener contacto y familiarizarse con eventos

aleatorios presentes en su cotidianidad, de allí su importancia en tanto utilidad para la

vida”. Así que resulta vital que los estudiantes se aventuren a hacer estimaciones (como

intuición inicial del azar)14, cualitativas o cuantitativas para la designación del valor de

probabilidad de eventos o sucesos. Esto es, tener la ocasión de manejar diferentes grados

de incertidumbre en una situación no determinista, que lo capaciten para la toma de

decisiones de manera razonada en este tipo de contextos, teniendo a su disposición

herramientas conceptuales y operativas.

14 Esto es, permiten hacer algunas asignaciones numéricas para medir las probabilidades de los eventos o

sucesos, así sean inicialmente un poco arbitrarias, que comienzan con asignar probabilidad 0 a la

imposibilidad o a la máxima improbabilidad de ocurrencia; asignar ½ a cualquiera de dos alternativas que se

consideran igualmente probables, y asignar 1 a la necesidad o a la máxima probabilidad de ocurrencia (MEN,

2006, p. 65).

27

Por tanto el aprendizaje de la probabilidad requiere por parte del maestro conocer y

comprender a profundidad los conceptos probabilísticos, las concepciones de sus

estudiantes acerca de ellos y explorar de manera crítica las aportaciones investigativas en el

campo a propósito de su enseñanza. En palabras de Agnelli (2009) “La Probabilidad es una

rama viva de la matemática y el avance en la construcción de su teoría amplía sus campos

de interés y sus interconexiones con otras ramas de la matemática” (p. 26).

2.2.2 Sobre la enseñanza y aprendizaje de la probabilidad

Estudios en el campo de la Educación Estocástica, particularmente los referidos a la

enseñanza y el aprendizaje en el dominio del pensamiento probabilístico, muestran que las

contribuciones académicas pueden ubicarse en tres estadios o períodos a partir de la

segunda mitad del siglo XX según Jones y Thornton (2005).

El primero de ellos, corresponde al estadio Piagetano (años 50’s y los 60´s). Piaget e

Inhelder desde una mirada psicológica, centraron sus investigaciones en el desarrollo de la

estructura cognitiva del pensamiento probabilístico en estudiantes jóvenes. Si bien, su

interés no estuvo dirigido hacia una visión curricular de la probabilidad en la escuela, puede

afirmarse que sus trabajos abrieron posibilidades de indagación y estimularon estudios

posteriores sobre el fenómeno de enseñanza-aprendizaje de esta disciplina.

El período comprendido en las décadas de los años 70´s y 80´s, se conoce como el estadio

Post-Piagetano. Continuando en la línea de trabajo a nivel psicológico trazada en el estadio

anterior, emergen en esta etapa, estudios acerca de la naturaleza de las concepciones e

intuiciones con Fischbein (1975), distinguiendo estas últimas entre intuiciones primarias

(emergentes de la experiencia individuales de los sujetos en relación con su experiencia) y

secundarias (Las intuiciones secundarias como aquellas que son adquiridas a través de la

28

instrucción en la escuela). Por su parte, Tversky y Kahneman (1974) adelantaron estudios

acerca de las estrategias y heurísticas a las que recurren las personas para manifestar juicios

probabilísticos en situaciones no deterministas. Green (1983), sugirió un test acerca de las

intuiciones probabilísticas en niños, determinando argumentos correctos e incorrectos para

determinar si una sucesión era aleatoria o no.

Estas investigaciones evidenciaron una necesidad latente y ambientaron transformaciones

curriculares a nivel mundial en términos de la inclusión de las disciplinas de estadística y

probabilidad en los planes de estudios, durante los años 90´s en adelante, lo cual se

corresponde al período contemporáneo.

En esta fase, las pesquisas fueron focalizadas específicamente en temas concernientes al

fenómeno de enseñanza-aprendizaje. Watson, Collis, y Moritz, (1997), trataron de desvelar

las creencias que los estudiantes han consolidado en su experiencia previo a la escuela.

Batanero y Serrano, (1999) y Jones, Langrall, Thornton y Mogill, (1999), realizaron

propuestas a nivel de didáctica y experimentos de enseñanza para abordar aspectos

conceptuales de la probabilidad en la sala de clase. Pratt (2000) presentó posibilidades de

trabajo probabilístico mediante la incorporación de la tecnología. También, Batanero,

Henry y Parzysz (2005) ampliaron la mirada clásica de la probabilidad al incluir en sus

estudios una perspectiva frecuencial y subjetiva. Gal (2002), postuló la idea de

alfabetización cuantitativa (numérica) haciendo alusión a la estadística y a probabilidad.

Empieza a acuñarse el término cultura estadística la cual tiene en cuenta elementos tales

como los conocimientos y destrezas, el razonamiento estadístico, las intuiciones y las

actitudes.

Podemos observar que en cada uno de los períodos esbozados anteriormente, se presentan

algunas evidencias de estudios llevados a cabo por la comunidad académica en diferentes,

29

movidos por el interés de inquirir en torno a aspectos asociados a la enseñanza-aprendizaje

de la probabilidad

en edad escolar.

Estas aportaciones han contribuido para que el campo de la Educación Estocástica se

consolide como una disciplina joven con problemas propios vinculados a la estadística y la

probabilidad.

2.2.3 Sobre los Significados de probabilidad

Siguiendo a Sánchez (2013, p. 41), la noción de probabilidad se manifiesta como el

resultado del “esfuerzo por cuantificar lo aleatorio, el azar o la incertidumbre”, el cual ha

seguido un complejo proceso de evolución, en términos de formalización, al parecer debido

a los enfoques emergentes cronológicamente hablando.

Para comenzar, creemos oportuno señalar que en congruencia con la evolución de los

aspectos conceptuales vinculados a la probabilidad, es posible distinguir sus significados

históricos asociados (intuitivo, clásico, frecuencial, subjetivo, axiomático), los cuales

siguen presentes en la actualidad.

El significado intuitivo de la probabilidad, corresponde a las ideas intuitivas primarias que

los niños y adultos forman a lo largo de su vida en ausencia del estudio propiamente dicho

de la probabilidad haciendo uso explícito de frases y expresiones para asignar la

probabilidad a situaciones de incertidumbre de la vida cotidiana y los juegos de azar.

Los estudiantes ante ciertas situaciones pueden comparar la verosimilitud de sucesos con

palabras del lenguaje cotidiano (seguro, más probable, menos probable, imposible), de

acuerdo a conocimiento previo sobre las condiciones de realización del experimento. Por

ejemplo, el capitán de un equipo de fútbol habitualmente escoge sello en el lanzamiento de

30

una moneda para elegir la cancha, porque en otras oportunidades ha ganado con esta

elección, luego él, tiene la creencia que cada vez que lo haga sucederá (como un evento de

ocurrencia segura). Es decir que la probabilidad es asignada de modo cualitativo con base

en creencias individuales y carece de formalismo matemático.

El significado Laplaciano o clásico, refiere a la cuantificación numérica de la probabilidad

de un evento que puede suceder un número finito de veces con igualdad de posibilidades de

ocurrencia, a partir de una fracción que liga al numerador el número de casos favorables y

al denominador el número de todos los casos posibles (conocida como regla de Laplace).

P (A) = 𝑁𝑜.𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝐹𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐴

𝑁𝑜. 𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠

Por ejemplo al lanzar de un dado cúbico de seis caras, la probabilidad del evento caer

número impar correspondería a tres casos favorables {1,3,5}, de seis casos posibles

{1,2,3,4,5,6}. Usando la regla de Laplace se obtendría:

P (Caer número impar) = 3

6

El significado frecuencial o empírico, hace uso de la idea de frecuencia relativa para la

asignación del valor de probabilidad de eventos. En este caso, se recurre a un número

considerable de ensayos de un experimento, de tal manera que se procure un acercamiento

a la probabilidad teórica, esto es, el límite al cual tiende la frecuencia relativa a estabilizarse

a un valor fijo. Esta propiedad se conoce como ley de los grandes números (establecida por

Jacob Bernouilli).

P(A) = lim𝑛→∞

𝑓

𝑛

f : número de veces que aparece A.

n : número de veces que se realiza

experimento

31

Por ejemplo podría sugerirse un experimento en el cual se lance una moneda al aire un

número grande de veces (100 o 1000 lanzamientos) bajo las mismas condiciones, para notar

que el número de caras y sellos obtenidos tenderá a estabilizarse al valor 0.5, esto es,

acercarse a la probabilidad teórica a través de la experimentación. Es decir, que si lanzamos

la moneda y obtenemos cara 529 veces, la probabilidad aproximada será de 0.529. Hoy en

día contamos con software que nos permite hacer estas simulaciones de manera rápida.

El Significado subjetivo, se apoya en la opinión personal de los sujetos, sus experiencias

previas o su intuición, y a partir de una evaluación de toda la información disponible se

asigna un valor de probabilidad al evento que se fundamenta en la creencia de posibilidad

de ocurrencia del mismo. Por ejemplo:

Consideremos […] la probabilidad de que un individuo particular viva más de 35

años. Es verdad que poseemos información estadística sobre sus posibilidades de

supervivencia a esta edad, pero hay muchas consideraciones que podrían influenciar

un cambio en esta probabilidad, si tuviésemos que estimarla. Por ejemplo, el hecho de

que el sujeto sufriera cierta enfermedad, como cáncer o sida, o que fuese piloto de

carreras. (Batanero, 1995, p. 5)

El Significado axiomático, atañe a modelos matemáticos que permiten realizar una

descripción e interpretación de los fenómenos aleatorios en la realidad, presentando un

amplio espectro de aplicación en diferentes esferas del conocimiento y campos de actividad

humana. El modelo matemático propuesto por Kolmogorov (siglo XX), fundamentado en la

teoría de conjuntos para establecer una axiomática con solidez matemática, fue aceptada

independiente al significado otorgado a la naturaleza de la probabilidad.

Definición axiomática (Canavos, 1988, p. 34):

32

Sea S cualquier espacio muestral de cierto experimento aleatorio y E cualquier evento

de éste. Se llamará función de probabilidad sobre el espacio muestral S a P (E) si

satisface los siguientes axiomas:

.

Este modelo sigue vigente en la actualidad, guardando el espacio para su tratamiento en

niveles universitarios.

En concordancia con los significados de la probabilidad y según lo argumentado por

Azcárate (2006), acerca de los distintos momentos históricos

Podemos suponer que para unas personas el azar y lo aleatorio será, por ejemplo, todo

aquello que tiene que ver con la "suerte" o el "destino" y por tanto incontrolable; para

otros simplemente el producto de nuestra ignorancia sobre ciertos fenómenos, sobre

las causas que los originan o sobre su funcionamiento, lo que conlleva su imposible

control; en algunos casos, la explicación considerada puede estar más en función de la

complejidad intrínseca de los fenómenos y por tanto, de la imposibilidad de una

predicción exacta de su resultado; etc. (p. 3.)

De este modo, resulta fundamental que el maestro tenga conocimiento acerca de los

significados históricos de la probabilidad para ser trabajados en la escuela, pues presentan,

en palabras de Batanero (Batanero, 2005, p.260) “el carácter multifacético de la

probabilidad de ahí que su enseñanza no puede limitarse a una de estas diferentes

perspectivas, en razón de que están ligadas dialécticamente”. Toda vez, que cada uno de los

significados pone de relieve variadas características asociadas a la probabilidad (ver tabla

1. P (E) 0.

2. P (S) = 1.

3. Si, para los eventos E1, E2, E3,…..,

Ei Ej = para toda i ≠ j, entonces

P(E1 P(E1) + P(E2) + P(E3) + ……

33

1) y esto a su vez determinaría sus campos de acción en términos de utilidad y pertinencia

de acuerdo al contexto.

Significado Campos de

problemas

Algoritmos y

procedimientos

Elementos

lingüísticos

Definiciones y

propiedades

Algunos

conceptos

relacionados

Intuitivo

Sorteo

Adivinación

Manipuladores de

generadores de azar: cartas,

dados…

Lenguaje ordinario Opinión impredecible,

creencia

Suerte

Destino

Clásica

Cálculo de

esperanzas o

riesgos en

juegos de azar

Combinatoria

Proporciones

Análisis a priori de la

estructura del

experimento

Listado de

sucesos

Formulas

combinatorias

Cociente de casos

favorables y

posibles

Equiprobabilidad

de sucesos simples

Esperanza

Equitatividad

Independencia

Frecuencial

Estimación de

parámetros en

poblaciones

Registros de datos

estadísticos a posteriori

Ajuste de curvas

matemáticas

Análisis matemático

Simulación

Tablas de

gráficos

estadísticos

Curvas de

densidad

Tablas de

números

aleatorios

Tablas de

distribuciones

Límite de las

frecuencias relativas

Carácter objetivo

basado en la

evidencia empírica

Frecuencia

relativa

Universo

Variable

aleatoria

Distribución de

probabilidad

Subjetiva

Mejora del

conocimiento

sobre sucesos

inciertos,

incluso no

repetibles

Teorema de Bayes

Asignación subjetiva de

probabilidades

Expresión de la

probabilidad

condicional

Carácter subjetivo

Revisable con la

experiencia

Probabilidad

condicional

Distribuciones a

priori y a

posteriori

Axiomática

Cuantificar la

incertidumbre

de resultados

en

experimentos

aleatorio

abstractos

Teoría de conjuntos

Álgebra de conjuntos

Teoría de la medida

Símbolos

conjuntistas

Función medible Espacio

muestral

Espacio de

probabilidad

Conjuntos de

Borel

Aunque presentamos el amplio espectro en torno a los significados históricos de la

probabilidad y sus principales elementos característicos documentados en la literatura, es de

mencionar que para efectos de nuestra propuesta nos concentramos en los significados de

probabilidad intuitivo y clásico para la adaptación de las tareas y análisis de la actividad

desplegada a propósito de las mismas. Tomamos esta decisión con el propósito de acotar

nuestro campo de indagación, considerando que estos fueron los primeros significados que

Tabla 1. Elementos que caracterizan los diferentes significados de probabilidad (Batanero 2005)

34

aparecieron en la historia de la probabilidad y además son los que con mayor fuerza se

trabajan en la escuela.

Destacamos además que nuestro foco analítico se constituye en observar con detenimiento

cuáles medios de expresión (verbales, escritos, gestuales, entre otros) son movilizados por

los estudiantes durante la actividad matemática, y cómo estos son empleados con un destino

de comunicación de ideas matemáticas asociadas a la probabilidad (azar, incertidumbre,

casos o chances, etc.), dando forma tangible y corpórea al pensamiento probabilístico en la

labor conjunta de estudiantes y profesor ambientada por las tareas. Nos interesa rastrear

cómo es que aparecen esas formas de pensar acerca del objeto probabilidad,

conceptualizado, desde la TO, como una síntesis de formas cultural e históricamente

codificadas de acción, reflexión y pensamiento que se encuentran a la base de situaciones

no deterministas.

2.2.4 Algunas definiciones consideradas en el estudio

Para efectos de la selección, adaptación de las tareas, y el análisis de la actividad

matemática de los estudiantes, hacemos explícito el significado de los siguientes términos

(Canavos, 1988; Batanero, 2003).

Matemáticamente, la probabilidad sería cualquier función medible normada de un algebra

de sucesos en el intervalo [0, 1].

Un evento, es un grupo de resultados contenidos en el espacio muestral, cuyos miembros

tiene una característica común.

Eventos mutuamente excluyentes, son eventos que no tiene resultados comunes, esto es que

no pueden aparecer simultáneamente.

Eventos simples, son los que están formados por un solo resultado del experimento.

35

Eventos compuestos, son los que están formados por dos o más resultados del experimento;

es decir, por dos o más sucesos elementales.

Evento seguro, es el que se verifica al realizar el experimento aleatorio. Está formado por

todos los resultados posibles del experimento y, por tanto, coincide con el espacio muestral.

Se asigna valor numérico 1.

Eventos posibles, son los que tienen posibilidad de suceder dentro de un rango específico.

Se asigna un valor numérico real entre 0 y 1.

Evento imposible, es el que nunca se verifica. Se asigna valor numérico 0.

Espacio muestral, corresponde al conjunto de todos los resultados posibles de un

experimento de tipo aleatorio. Este puede ser discreto (si su resultado puede ponerse en

correspondencia uno a uno con el conjunto de los enteros positivos) o continuo (si sus

resultados consisten en u intervalo de número reales).

Regla de Laplace: Corresponde al cociente entre el número de casos favorables del evento

observado en relación con el número de casos posible.

Eventos equiprobables: Cuando los eventos del espacio muestral tienen igualdad de

ocurrencia en el experimento, esto es, tienen la misma probabilidad. Esta no puede

separarse de la simetría estadística (confirmada desde la experiencia a través de registros

estadísticos)

36

Capítulo 3

Metodología

En el presente capítulo exponemos los referentes metodológicos considerados en el diseño,

planeación y puesta en marcha de nuestro estudio. Atendemos por un lado a la pregunta de

investigación y objetivos propuestos y de otro a los constructos teóricos presentados líneas

atrás.

3.1 Diseño metodológico

Proyectamos nuestro diseño metodológico fundamentado en un enfoque de investigación

cualitativa de carácter descriptivo e interpretativo. Este enfoque, nos permitió discriminar

elementos para la interpretación, descripción y análisis de los procesos de objetivación

desarrollados por estudiantes de grado décimo durante la actividad matemática manifiesta

al abordar tareas de tipo no determinista sobre asignación de probabilidad bajo los

principios de la TO.

De acuerdo con Ramírez, Arcila, Buriticá, y Castrillón (2004), el enfoque cualitativo

presenta procedimientos flexibles, orientados a la exploración y el descubrimiento. Así, a lo

largo de la investigación fue posible añadir o ajustar instrumentos y las formas en que

podrían ser recogidos los datos, de manera que aportaran información en procura de

establecer comprensiones acerca del fenómeno que nos propusimos observar.

De manera que ubicados en este enfoque de investigación, el diseño metodológico que

sugerimos, corresponde a la adaptación del modelo propuesto por Radford (2010a),

manteniendo su naturaleza cíclica, ajustada por supuesto, a nuestras necesidades (figura 2).

37

Figura 2. Diseño metodológico

Contemplamos dentro del diseño cuatro fases. Esta estructuración, nos permitió organizar y

planificar nuestras acciones en tiempo y espacio conducentes a la responder la pregunta

orientadora y a la consecución de los objetivos de investigación.

3.1.1 Fases del diseño

A continuación presentamos la descripción de cada una de las fases del diseño

metodológico propuesto.

Fase I: Revisión y análisis documental

Esta fase, en particular, resultó ser transversal a las demás pues mediante la revisión de la

literatura disponible logramos delimitar el campo de acción respecto a los antecedentes,

orientaciones teóricas y metodológicas que demandaba la investigación de acuerdo a como

avanzábamos en el proceso.

Dicha revisión, nos posibilitó establecer categorías analíticas a priori, esto es, categorías

teóricas (Tabla 2), que resultaron útiles para la selección y adaptación de las tareas (en

concordancia con las orientaciones teóricas) así como para el análisis de la labor conjunta

revelada en el momento de su implementación, con relación a los medios semióticos de

objetivación y su evolución (Radford 2006, 2008, 2010).

38

Nuestra unidad de análisis se constituyó en la actividad matemática de los estudiantes en

torno al despliegue de medios de expresión al encontrarse en el contexto de tareas no

deterministas en términos de asignación de probabilidad de eventos.

Fase II: Selección y adaptación de las tareas

Para explicitar los alcances de nuestra propuesta (como hemos mencionado en ciertos

apartados del escrito), nos ubicamos en los significados intuitivo y clásico de la

probabilidad. Teniendo como referente nuestros intereses investigativos, consideramos

tareas que resultaron susceptibles de ser adaptadas, enmarcadas en el escenario del juego

por la génesis histórica de la probabilidad, pues como señala Fernández (2007),

El término probabilidad es sumamente complejo debido al distinto uso que se hace de

él, tanto en el lenguaje común como en el de las ciencias, incluyendo los campos de

las matemáticas y la filosofía. El mismo concepto de probabilidad puede tener una

doble vertiente, epistemológica y aleatoria, pero ambas aparecen sugeridas por un

fenómeno muy antiguo: los juegos de azar. (p. 1)

CATEGORÍAS TEÓRICAS PRELIMINARES

Medios semióticos de

objetivación

(MSO)

Gesto

Conteo

Actividad perceptual

Lenguaje (escrito – oral)

Señalamientos

Inscripciones

Ritmicidad

Uso de artefactos

Nodo semiótico

Procesos de

Objetivación

(PO)

Contracción semiótica

Iconicidad

Figura 3. Categorías de análisis.

Figura #. Categorías de análisis

Tabla 2. Categorías teóricas MSO - PO

39

Posterior a la selección de cada tarea, procedimos a su adaptación y diseño de preguntas

enfocadas a la comparación cualitativa de las probabilidades propiciando un escenario

donde los estudiantes movilizaran contenido matemático que pudiera hacerse evidente

mediante la discusión, compartir argumentos, escuchar y ser escuchado, enunciación de

formas culturales prototípicas de expresar probabilidad (expresiones verbales, gestos,

símbolos numéricos entre otros).

Con el propósito de validar las tareas en términos de determinar su pertinencia a nivel

didáctico y disciplinar, las sometimos a juicio de experto15 (Conversación personal, mayo

26 de 2015). Para este fin contamos con los aportes y retroalimentación de un maestro

externo a la investigación. A continuación presentamos sus observaciones principales:

• Todas las tareas pueden ser realizadas con la población que se propone. Son claras y están

acorde a la edad de los estudiantes.

• Existe una organización y sistematización de los juegos.

• Determinar desde dónde se enfoca el razonamiento probabilístico en relación con los

resultados emergentes la intervención en aula de las tareas.

• Tener cuidado con el volumen de información que se recolecte pues podría dificultar el

análisis.

Finalmente, como producto de los aportes del experto se implementaron tres tareas que

giraron en torno a la asignación de probabilidad de eventos simples en situaciones de tipo

no determinista vinculado a generadores de azar (monedas, dados, urnas), las cuales

15 Para el juicio de experto contamos con la colaboración del Doctor Pedro Gerardo Rocha Salamanca,

experto en Educación Estadística y miembro del grupo de investigación CRISÁLIDA de la Universidad

Distrital Francisco José de Caldas, Bogotá – Colombia.

40

buscaban rastrear evidencias de ciertas formas de pensamiento cultural e históricamente

aceptadas en relación con los elementos relacionados en la tabla 3.

Orientamos nuestra búsqueda y selección de tareas relacionadas con juegos de azar, en

consonancia de un lado con los orígenes de carácter lúdico, empírico y social de la

probabilidad (Wilhelmi, 2004; Fernández, 2007) y de otro por su presencia en la

cotidianidad (Batanero, 2013). De este modo, las tareas “cara y sello” y “¿Quién llega

primero?” (figura 3), corresponden a una adaptación de Martin (2009). 16

Creimos pertinente que en las dos tareas se privilegiara la manipulación concreta de

generadores de azar (moneda y dado respectivamente), con la intención de originar

16 Maestra del equipo de contenido - Área Matemática en Portal Educativo de la ANEP "Uruguay Educa"

(www.uruguayeduca.edu.uy).

Adaptación de las tareas

Tareas

propuestas

Tarea 1: Cara y sello Tarea 2: ¿Quién llega primero? Tarea 3: Blanco y negro

Elementos

Teóricos

• Eventos de probabilidad simple.

• Experimentación, simulación,

formulación de predicciones y

conclusiones.

• Azar (no reversibilidad) y variabilidad.

• Tipos de suceso (seguro, posible e

imposible).

• Posibilidad, grado de creencia

(cualitativa – cuantitativa).

• Experimento aleatorio y suceso

(resultado) aleatorio.

• Regla de Laplace

• Actividad matemática de los estudiantes

en términos de labor conjunta.

• TO: MSO Y PO en tareas de asignación

de probabilidad (recurso a gestos,

palabras, artefactos,…).

• .

Figura 4. Ficha informativa de las tareas

Tabla 3. Elementos considerados para la adaptación de las tareas

41

secuencias de resultados aleatorios, que reflejaran la variación, la no reversibilidad y la

imposibilidad de predicción de los eventos presentes en ellas.

Para el acercamiento a las tareas a través del juego, brindamos de modo inicial a los

estudiantes las reglas y el material necesario con que se llevaría a cabo la experiencia y su

correspondiente registro. Posterior al juego, se propuso responder algunos interrogantes a

propósito de la experiencia, encaminando la movilización de contenido matemático en

torno al objeto probabilidad, de acuerdo a las maneras culturalmente aceptadas de pensar,

actuar y referir probabilidad y sus características asociadas, las cuales podrían expresarse

de modos variados. Con ello, procuramos que los y las jóvenes explicitaran sus acciones e

intenciones para establecer el valor de probabilidad de ocurrencia de los eventos, al permitir

su comparación cualitativa o cuantitativa bajo una dinámica de discusión argumentada

Figura 3. Tomado y adaptado de Martin, (2009).

42

Llegados a este punto, destacamos que si bien las tareas estuvieron pensadas con el fin de

responder la pregunta y dar cuenta de los objetivos de investigación, estas también

estuvieron preñadas de contenido matemático seleccionado a nuestro criterio.

Las tareas en mención, buscaban abordar situaciones no deterministas en relación con la

asignación del valor probabilidad a eventos. En la tarea “cara y sello”, se esperaba una

distinción de la equiprobabilidad presente y de la naturaleza mutuamente excluyente de los

eventos, toda vez que los resultados no podían ocurrir de manera simultánea. Mientras que

en la tarea ¿Quién llega primero?”, la equiprobabilidad estaba asociada a la caída de

cualquiera de las caras del dado, en donde los eventos resultaban ser mutuamente

excluyentes. Sin embargo, en esta tarea, aparece una designación de carriles con

especificaciones de avance para cada uno de ellos, en este caso, las probabilidades

asignadas a los carriles al no ser equiprobables permitían su comparación para tomar

decisiones en el juego.

En ambas tareas contemplamos la posibilidad de que los estudiantes con base en sus

conocimientos previos y en la experimentación, formularan predicciones acerca del tipo de

evento (seguro, posible e imposible), establecieran implícita o explícitamente el espacio

muestral y posiblemente el recurso a la regla de Laplace para expresar probabilidad sin

descartar otras posibilidades de expresión.

De acuerdo al tipo de tarea sugerido, esperábamos que en la actividad conjunta de los

estudiantes se suscitara la recogida organización y análisis de datos producto de la

experiencia empírica, identificación de la frecuencia absoluta de cada evento, distinción

entre casos favorables, casos no favorables y casos totales en cada tarea, entre otros.

43

Figura 4. Tarea 3 Tomado y adaptado de Sánchez, y Valdez, (2013).

La tercera tarea “Blanco y negro”, corresponde a la adaptación de una tarea propuesta por

Sánchez (2013), y las preguntas subsiguientes tuvieron la intención de inquirir a los

estudiantes frente a una situación no determinista en dónde a diferencia de las tareas

anteriores los jóvenes no manipularon material concreto y el análisis de la misma no resulto

ser producto de la experiencia ya que la tarea contaba con una representación icónica de la

situación. Esto con el fin de observar si los MSO movilizados presentaban diferencias

respecto a las tareas “cara y sello” y “¿Quién llega primero”.

La primera pregunta de la tarea, tenía la intención de rastrear si los estudiantes lograban

establecer el valor de verdad de la afirmación allí expuesta, a través de argumentos

(matemáticos y no matemáticos), mientras que en la segunda se buscaba establecer la

comparación de las probabilidades usando diferentes medios expresarla (representaciones

numéricas, palabras, dibujos).

44

De manera análoga a las tareas anteriores, en la tarea “Blanco y negro”, también queda

implícita la naturaleza mutuamente excluyente de los eventos allí dispuestos, y la idea de

equiprobabilidad hace referencia a la comparación de la probabilidad, como un rango de

posibilidad favorable vinculado a la ocurrencia del evento sacar ficha negra en la urna A y

B, en términos de equivalencia.

En síntesis, la selección y adaptación de las tareas, se constituyeron en acciones teóricas

pensada en el marco del significado intuitivo y clásico de la probabilidad (dado que fueron

los primeros significados emergentes en la historia de la probabilidad), con el fin de llevar a

cabo un estudio exploratorio que nos permitiera un primer acercamiento a esas formas de

pensar acerca de la probabilidad estableciendo así limites a nuestro campo de indagación.

Podemos afirmar que con y a través de las tareas, se procuró que en la actividad matemática

de los y las jóvenes, se reflexionara a partir de su interacción en términos de colaboración y

cooperación en ese esfuerzo conjunto de objetivación del saber (en nuestro caso asociado a

la probabilidad), que nos ayudara a encontrar evidencias de los MSO (representaciones

semióticos escritos, lingüísticos y corporales) a los que posiblemente recurrieran los

estudiantes al trabajar en aula con este tipo de situaciones y su posible convergencia en

términos de alimentar los PO.

Fase III: Implementación de las tareas y recolección de datos

Realizamos nuestro estudio con una población de 24 estudiantes de grado décimo (15-17

años), pertenecientes a una institución educativa de carácter privado con jornada única

ubicado en la ciudad de Bogotá (Colombia).

La institución educativa ubicada al sur de la ciudad ofrece servicio educativo desde kínder a

grado undécimo, en modalidad académica. Creemos pertinente mencionar, que grado

décimo es el primer grado de la educación media, razón por la cual este grupo de

45

estudiantes en otros momentos de su escolaridad ha tenido acercamientos al trabajo

probabilístico en el aula de clase, según lo contemplado en los planes de estudio

institucionales y lo dialogado con los maestros del área de matemáticas.

La intervención de aula (respecto a las tareas mencionadas en la fase II) con los estudiantes

la llevamos a cabo durante tres sesiones entre los meses de julio y agosto de 2015, cada una

con una duración de dos horas clase (equivalente a 100 minutos), las cuales fueron dirigidas

y acompañadas por la autora de este estudio. Posteriormente, a través de entrevistas

focalizadas basadas en las tareas,17 buscamos establecer claridades acerca de las maneras de

proceder (particularmente en las hojas de trabajo) de los y las jóvenes, los argumentos

utilizados y las justificaciones emergentes que desvelaran de algún modo las intenciones de

sus acciones.

Las tareas fueron planteadas para la totalidad de los estudiantes del curso (21 estudiantes),

debido a que no fue posible trabajar únicamente con un grupo reducido de estudiantes en un

espacio diferente al aula de clase.

Para cada sesión concebimos los tres momentos de la actividad del salón de clases

propuestos por Radford (2006) a saber: 1) Trabajo en pequeños grupos, en donde los

estudiantes se acercan a la tarea y responden de manera conjunta las preguntas propuestas

para la misma, 2) Intercambio entre pequeños grupos, a través de los cuales se reunieron

dos grupos para compartir las respuestas a los cuestionamientos de la tarea, 3) Discusión

general, donde organizados alrededor del salón (en media luna) compartimos resultados,

17 Las entrevistas basadas en tareas hacen posible enfocar la atención de la investigación de manera más

directa en los procesos de los sujetos que abordan las tareas de matemáticas, y no sólo en los patrones de

respuestas correctas e incorrectas en los resultados que producen (Goldin, 2000, p. 520).

46

toda vez que según los principios de la TO la importancia de la interacción social radica en

que esta resulta ser consustancial del aprendizaje.

Desarrollamos las sesiones dentro del aula que los estudiantes usualmente ocupan (el

colegio cuenta con salones fijos por curso) y fueron grabadas en video. Reiteramos que la

intervención de aula estuvo dirigida por la autora, ya que en ese momento era profesora

titular de matemáticas de grado décimo en la institución donde recolectamos los datos de

investigación.

Recolección de la información: En coherencia con lo anterior frente a la consecución de la

información tuvimos en cuenta la actividad matemática de los estudiantes desde diferentes

fuentes como producción escrita en las hojas de trabajo de los estudiantes, video grabación

de la sesión y entrevistas basadas en la tarea; ya que éstos permitieron recolectar

información variada del mismo fenómeno con el propósito de contar con información

suficiente y necesaria para nuestro estudio.

A continuación presentamos el esquema de recolección de la información (figura 5)

relacionado con nuestro interés de investigación siguiendo a Miranda et. al. (2007) (citado

por Vergel 2014a, p.53).

Figura 5. Proceso de recolección de la información

RECOLECCIÓN DE LA INFORMACIÓN

Grabación

en video

Hojas de

trabajo

Transcripción

de episodios

Análisis

47

Grabación en video: Producto de la implementación en aula de las tres tareas propuestas y

la entrevista se recolectaron cuatro videos (tres de las tareas y uno de entrevistas) los

cuales aportan evidencia del trabajo en pequeños grupos y de la socialización general. Las

entrevistas a las que hacemos mención estuvieron relacionadas con las tareas18.

Hojas de trabajo: Este insumo físico fue recogido por nosotros en cada sesión y

posteriormente escaneamos de ellas aquellas partes que aportaban información al estudio

como evidencia de los registros escritos.

Transcripción de episodios: Con el propósito de reducir y seleccionar la información

recolectada a través de videograbación, identificamos apartes del video en donde se

presentara movilización de MSO y ciertos indicios sobre el desarrollo del PO relacionados

con formas de acción y reflexión asociadas al pensamiento probabilístico.

Seleccionamos y transcribimos apartes o secciones del material capturado en video que a

nuestro juicio y en consideración de los elementos teóricos, resultaron relevantes de

acuerdo a nuestros objetivos de investigación (Radford y Sabena, 2015b). Los

denominamos “episodios”. Cada uno de ellos está conformado por la transcripción de

líneas discursivas denotadas por la letra L, un número que las acompaña para indicar el

orden de intervención de los sujetos en la conversación y el nombre de quien interviene.

En algunos casos se usan corchetes para describir las expresiones corporales movilizadas

las cuales aparecen en cursiva para diferenciarlas de las expresiones orales.

18 Según Goldin (2000), las entrevistas de este tipo tienen un doble propósito de: (a) observar el

comportamiento matemático, por lo general en un contexto de resolución de problemas, y (b) las inferencias

de las observaciones acerca de los procesos cognitivos del individuo que enfrenta la tarea, es decir, permiten

ir más allá de lo escrito en términos de facilitar la comprensión de lo realizado por los estudiantes.

48

También se anexan imágenes de apoyo como evidencia del rastreo de medios semióticos de

objetivación, procesos de objetivación y nodos semióticos, desde el componente perceptual

en contraste con las líneas discursivas.

Análisis: Aquí presentamos el análisis de la información suministrada por los instrumentos

utilizados en la investigación, rastreando aspectos de convergencia en coherencia con los

objetivos y pregunta de investigación en el marco de los principios de la TO y el

pensamiento probabilístico.

Constitución de datos: Para la constitución de los datos de investigación, contrastamos

diferentes fuentes de información cuya elección se constituyó en una acción teórica, toda

vez que el rastreo de formas de pensamiento probabilístico se fundamenta en los elementos

teóricos de la TO. En particular la actividad matemática de los y las jóvenes fue susceptible

de interpretación a partir de las categorías analíticas respecto a la movilización de MSO y al

desarrollo de los PO alrededor de tareas de tipo no determinista, identificada y analizada en

las transcripciones de los episodios seleccionados, en la actividad kinestésica y gestual, la

información contenida en las hojas de trabajo y en las entrevistas realizadas a los

estudiantes basadas en las tareas que fueron registradas en video.

Para ello, concentramos nuestra mirada en los grupos de trabajo y estudiantes que durante

la labor desplegaron variada actividad semiótica en procura de rastrear formas de

expresión, acción y reflexión relacionadas con desarrollo del pensamiento probabilístico.

Con el fin de condensar la información que considerábamos relevante optamos por

registrarla en una matriz (Tabla 4). A continuación presentamos los ítems dispuestos en

ella.

Nombre de la tarea: Corresponde al nombre asignado a la tarea en cuestión.

49

Evidencia - Tiempo: Corresponde a los segmentos del video que consideramos relevantes

que proporcionaron evidencia para ser analizada y reportada en el escrito.

MSO – PO: Medios semióticos de objetivación y procesos de objetivación emergentes

durante la actividad matemática de los estudiantes.

A continuación presentamos a manera de ejemplo (figura 6) parte de un ejercicio de

organización y sistematización de la información de uno de los episodios seleccionados:

Episodio 2: Es lo mismo [4:04-6:03]

Tarea Evidencia –

Tiempo

Codificación de MSO – PO

Cara y sello

Episodio 1 (Brujería)

[2:10 – 2:32]

Episodio 2 (Es lo mismo)

[ 4:04-6:04]

Episodio 3 (Usando

números)

[ 6:11-7:15]

MSO corporeizados, lengua natural Señalamientos con los dedos, con el lápiz - lengua natural (descripciones exhaustivas o poco claras) - gesto rostro - movimiento corporal.

MSO palabras clave, uso de deícticos Descripción uso de palabras clave, deícticos temporales y espaciales

MSO representaciones numérica Uso de porcentajes, fracciones, decimales

Nodo semiótico (NS) sincronía de varios registros

Aparición de varios MSO al mismo tiempo (unos se apoyan en otros)

Evocación de un MSO para usarlo de nuevo

Traer a la experiencia formas de actuar en situaciones pasadas

Concentración de significado

Economía de recursos, expresiones refinadas

Foto3

Figura 6. Ejemplo transcripción e identificación de MSO y PO

Tabla 4. Criterios para la sistematización de la información de los episodios.

50

Fase IV: Análisis e interpretación de la información

El análisis es producto de la triangulación de los datos (producción en las hojas de trabajo

de los estudiantes, video grabación, entrevistas basadas en las tareas) basada en una

interpretación de la teoría con el fin de establecer conclusiones respecto a la convergencia

de resultados. Los medios semióticos de objetivación se rastrearon y analizaron en los

fragmentos (video grabados e instrumentos) seleccionados durante el desarrollo de las

tareas.

Bisquerra (1989, citado en Arias, 2009), menciona que en la triangulación de datos se

recolectan los datos desde diversas fuentes de información para su contrastación,

considerando las dimensiones: temporal (se recogen los datos de distintos momentos o

fases para revisar la constancia de los resultados), espacial (se comparan datos recogidos en

diferentes lugares para confirmar los resultados) y personal (se recurre a distintos sujetos

para comprobar el sostenimiento y validez de los datos). Para el caso de esta investigación

tuvimos en cuenta la dimensión temporal y la dimensión personal, en tanto para la primera

se presentaron distintos momentos de recolección de datos, por ejemplo, producciones de

Ta

rea

1:

Ca

ra y

sel

lo

Evid

en

cia

: E

pis

od

io 2

“E

s lo

mis

mo”

[ 4:0

4-6

:04

]

Codificación de MSO – PO

MSO corporeizados, registro lengua natural: Movimiento de las manos y los dedos, registro lengua natural, Gesto

rostro, movimiento de la cabeza, contracción de los hombros, Intercambio de miradas

MSO palabras clave, uso de deícticos (espaciales, temporales): Frecuente, lo mismo, suerte, la misma probabilidad

de veces, nivelado, equilibrado, cualquiera puede ganar

MSO registro numérico (razones, porcentajes, decimales): No hay evidencia explícita

Nodo semiótico (NS) sincronía de varios registros: L5, L18, L20-21

Evocación de un MSO para usarlo de nuevo: Uso de tablas para registrar el resultado del juego (muestra de

evocación de organización de datos)

Concentración de significado : No hay evidencia

Tabla 5. Ejemplo de sistematización de la información. Episodio 2 “Es lo mismo”

51

los estudiantes en hojas de trabajo y posteriormente entrevistas basadas en las tareas. La

segunda dimensión la evidenciamos en las diferentes producciones matemáticas de distintos

estudiantes. Dado que el proceso de recolección de la información se llevó acabo en la sala

de clase, aunque en distintas condiciones, no consideramos la dimensión espacial en

términos de lo planteado por Bisquerra (1989).

52

Capítulo 4

Análisis multimodal

Como anunciamos en la metodología, nuestra unidad de análisis corresponde a la actividad

matemática de los estudiantes. Así que, una vez constituidos los datos de investigación,

procedimos a su análisis siguiendo la metodología propia de la TO en contraste con las

ideas matemáticas emergentes relacionadas con el pensamiento probabilístico.

Dotamos de sentido la información al diferenciar la información pertinente de la que no era,

en términos de la pregunta de investigación. En este sentido, y siguiendo ideas de Radford,

Edwards y Arzarello (2009), planteamos que en el acto de conocer se articulan recursos

cognitivos, físicos y perceptuales al abordar ideas matemáticas, desde la concepción

multimodal del pensamiento humano, como vehículo de comunicación de significados.

4.1. Descripción

Nuestros análisis siguieron la metodología propuesta desde la TO, denominada

“metodología multi-semiótica”, que considera, por un lado que el aprendizaje puede ser

definido como un proceso semiótico social en donde “acciones sensuales, perceptuales,

kinestésicas, gestuales, lingüísticas y simbólicas” (Radford, 2015d, p. 561), emergen en la

actividad siempre en movimiento. De otro lado, brinda una explicación psicológica de los

signos (que pueden ser escritos y orales, como también signos encarnados como los gestos

y la postura del cuerpo). Aquí se pone de relieve, cómo los signos significan y cómo se

constituyen en herramientas de reflexión que permiten a los individuos planificar sus

acciones (Radford y Sabena, 2015b) en tiempo y espacio.

53

De manera que rastreamos las señales que evidenciaban “procesos de significación en los

que se lanzan los estudiantes cuando tratan de comprender formas de razonamiento

matemático histórico y culturalmente constituido” (Radford, 2013c, p.13), en nuestro caso

particular, asociadas a tareas no deterministas.

Enfatizamos que nuestro propósito principal, se constituyó en el análisis de la articulación

de los recursos semióticos movilizados por los estudiantes durante la actividad matemática,

lo que en términos de Vergel (2014a, p.111) llamaríamos “un espectro de recursos

semióticos que se movilizan sincronizadamente o no”.

Es más, considerando la actividad matemática en términos de labor conjunta entre alumnos

y profesores como intersubjetiva, sensual y material, implica en palabras de Nemirovsky

(2003, citado en Arzarello, 2006, p. 282) que "la comprensión de un concepto matemático

en lugar de tener una esencia de definición, abarca diversas actividades sensorio motoras,

que se vuelven más o menos activo, dependiendo del contexto".

Cabe señalar que los episodios que seleccionamos fueron analizados bajo una concepción

micro genética siempre que observamos en detalle y en ciertos espacios de tiempo la

movilización de MSO (Radford, 2015b) (registro de lengua natural, gestos, expresiones

faciales, manipulación de herramientas, etc.). Rastreamos los recursos semióticos

desplegados en la labor conjunta de estudiantes y profesor que nutrieran a su vez los PO

desarrollados, en procura de aproximar una interpretación de lo ocurrido en contraste con la

TO y elementos del pensamiento probabilístico, frente a cómo se produce la emergencia de

estas formas de pensamiento en la labor.

54

De manera que tanto los elementos introducidos en el marco teórico y en el diseño

metodológico, así como las ideas que sustentan la pertinencia de un análisis de tipo

multisemiótico en nuestro estudio, nos facultan para presentar los análisis que siguen.

4.2 Análisis de la actividad matemática

4.2.1 Tarea 1: Cara y Sello

Presentamos a continuación el análisis del despliegue de recursos semióticos de estudiantes

de grado 10° asociados a la tarea,19 la cual concebimos desde el juego por la génesis

histórica de la probabilidad (Fernández, 2007).

A propósito de lo anterior, compartimos las ideas en relación con el juego de Huizinga

(1943) y Argemí (1991) (citados en Rocha, Vergel y León, 2006, p. 329) quienes asignan a

las conductas de juego un papel muy importante en la constitución de grupos sociales por

considerarlas generadoras de culturas, pues a partir del juego se promueven formas de

interacción como acción conjunta, en tanto se propician las condiciones para la emergencia

y seguimiento de reglas de acción social explicitas o no, que han de ser acordadas y

cumplidas (respetar el turno, ceder el turno) y de acción material como otra forma de

regular el comportamiento de los jugadores dentro del juego (manipulación de fichas,

monedas, entre otros. Figura 7), lo cual nos parece se encuentra en concordancia con los

planteamientos de la TO referidos a que la cultura suscita modos de acción y de reflexión

en el mundo pues “vivir en una cultura, crecer en ella, implica una práctica especial a través

de la cual sensibilidades perceptivas, manuales e intelectuales son desarrolladas” (Radford,

2004a, p.8).

19 La tarea trata de eventos mutuamente excluyentes e indaga por la idea de equiprobabilidad.

55

Dado que la tarea giró en torno a un juego de lanzamiento de monedas y su posterior

análisis, la actitud de los estudiantes hacia el mismo fue de compromiso, apertura y

confianza.

Con relación a los registros de juego de las partidas llevado por los estudiantes, pudimos

observar conteo sistemático, uso de representaciones tabulares y pictóricas, uso de

artefactos. En la figura 8 presentamos apartes del instrumento físico de algunos estudiantes

en los cuales aparecen inscripciones organizadas de forma tabular, estas fueron acordadas

por cada pareja evidenciando diversidad en la producción. En la foto 1 se hace uso de

palabras culturalmente asociadas a los juegos de azar “ganar y perder”. En las foto 2 y 3

aparece la misma idea del registro anterior sin embargo las inscripciones varían en ellas

ganar es asociado a la inscripción “chulo” y número “1” mientras que perder está asociado

a la inscripción “equis” y número “0”20.

Para Steinbring (1991, citado en Azcárate, 2006) son

Dos los elementos básicos para el desarrollo del pensamiento estocástico: los medios

de representación de los datos obtenidos en las situaciones y la actividad que con ellos

se realice. […] un elemento que refleja las posibles interacciones entre el modelo

20 Estas ideas e intenciones fueron corroboradas a través de entrevistas realizadas a los estudiantes en relación

con su producción en las hojas de trabajo.

Figura 7. Interacción durante el juego

56

matemático y el caso individual es su modelización mediante los diferentes medios de

representación, como tablas o gráficos. (p.5)

Así pues, las tablas parecen ser evocadas por los estudiantes como una manera de organizar

la información suministrada durante el juego. Esto es evidencia de un proceso de iconicidad

desarrollado por los estudiantes mediante la utilización de un esquema trabajado en otro

momento de su escolaridad que transfieren a esta nueva situación. En palabras de Radford

(2008, p. 94), la iconicidad “es el proceso a través del cual los estudiantes se basan en

experiencias previas para orientar sus acciones en una nueva situación”.

En la foto 4, a través del uso de artefactos culturales como el celular, los estudiantes

sistematizaron los resultados del juego en cada partida, posteriormente esta información

consignó en la hoja de trabajo a manera de registro escrito como forma de comunicación

pictórica respecto al jugador que ganó cada partida.

Creemos que tanto en el caso del uso del celular así como el recurso a organizaciones

tabulares resultan ser parte del conjunto de los recursos disponibles en el contexto de las

múltiples acciones semióticas (Radford, et al., 2009) que resultan coadyuvar en este caso en

un proceso de sistematización y conteo en el registro del juego.

Foto 1 Foto 2 Foto 3

Figura 8. Representaciones tabulares tarea 1

Foto 4

57

Esto es, según Radford (2006, 2012) que los artefactos vienen a ser parte de la manera en

que llegamos a pensar y conocer; pues los artefactos encarnan formas particulares de

cognición y comunicación. Los artefactos llevan consigo una inteligencia de la actividad

cognitiva de generaciones pasadas la cual solo puede ser reconocida a través de la actividad

conjunta.

De ahí que las acciones realizadas por los estudiantes en los registros del juego llevan

consigo una carga cultural en relación a la organización de datos como una manera de

acercarse a la experiencia. El objeto de la actividad parece revelarse progresivamente en su

conciencia manifestando ciertas características asociadas al pensamiento probabilístico

como las secuencias aleatorias producto de la manipulación del generador de azar, la

incertidumbre frente a la imposibilidad de predicción y a la toma de conciencia respecto a

la no reversibilidad en este caso del lanzamiento de la moneda.

Veamos ahora algunas producciones escritas de los estudiantes a propósito de las preguntas

a) y b) de la tarea:

La experiencia vivida por los estudiantes en el juego, fue descrita mediante del uso la

lengua natural. Su emergencia se dio al momento de responder los cuestionamientos en

relación con el juego. Las descripciones intentan desde el lenguaje natural justificar

argumentos asociados con el azar y la aleatoriedad.

Figura 9.Producción Julián y Edwin. a) con sello, pues era muy frecuente y a raíz de

ello fue mejor opción b) No, para los dos casos era la misma probabilidad de ganar, ya

que era independiente quien escojiera cara o sello (Transcripción literal del original).

58

Por ejemplo, Julián y Edwin (figura 9), utilizan la palabra “frecuente” vinculándola a la

caída de la moneda en uno de sus lados, dada la aparición reiterada de un resultado. Esto

hace parte del razonamiento inicial de los estudiantes acerca de la probabilidad basado en la

experiencia de la manipulación del generador de azar (moneda). Aquí la palabra frecuente

no está asociada con el significado de probabilidad frecuencial, sino más bien con cierto

tipo de racha que se produjo durante el experimento.

Los estudiantes reconocen que para efectos del juego no hay condicionamientos previos

cuando enuncian la frase clave “misma probabilidad”, esta parece vislumbrar una idea

primaria emergente de la experiencia en relación con la equiprobabilidad en términos del

significado clásico (Batanero, 2005), que para la situación en cuestión es aplicable a un

número finito de resultados. Además, cuando mencionan “era independiente quien

escogiera cara o sello”, muestran una idea de azar en el reconocimiento de la

incertidumbre presente en el juego respecto a la imposibilidad de predecir lo que sucederá

en cada lanzamiento como una característica asociada al azar. A su vez, desvela la idea de

independencia probabilística de eventos siempre que la ocurrencia de uno no influye en la

ocurrencia del otro.

Figura 10. Producción Esteban y Diego. a) mejor opción “cara”, porqué fue con la

qué se ganó más veces. b) uno nunca sabe quien va a ganar solo fue suerte, ambos

teníamos misma probabilidad de ganar (Transcripción literal del original).

.

59

En la producción de Esteban y Diego (figura 10) se deja entrever aspectos relacionados con

el azar en términos de suerte. Aquí el signo lingüístico “suerte” sugiere una aparente

imparcialidad respecto a lo que puede ocurrir como resultado del juego (ganar o no) lo cual

estaría en coherencia con el significado de probabilidad intuitivo (Batanero, 2005);

evidenciando por un lado la incertidumbre como una característica aleatoria del fenómeno y

asociando lo incierto con las intuiciones primarias de los estudiantes que han sido

adquiridas directamente con la experiencia en su entorno socio cultural y que tienen que ver

con la fortuna o el destino. De otro lado, esbozan el carácter incontrolable de los resultados

en el juego (Azcárate, 2006,) en tanto no se analiza que la experiencia resulta aleatoria,

puesto que “depende de una compleja interacción de causas y su resultado no puede ser

calculado previamente ya que son fenómenos que realizados en las mismas condiciones

pueden tener diferentes resultados” (Azcárate, 2006, p. 11), es decir que la no reversibilidad

del evento “lanzar la moneda” queda implícita.

Según Halliday (1982, p. 42):

el lenguaje sólo surge a la existencia cuando funciona en algún medio. No experimentamos

el lenguaje en el aislamiento, sino siempre en relación con algún escenario, con algún

antecedente de personas, actos y sucesos de los que derivan su significado las cosas que se

dicen.

Cuando Esteban y Diego mencionan que “ambos teníamos la misma probabilidad de

ganar”, se desvela la idea de equitatividad presente en el juego (igual número de jugadores,

igual número de chances en la moneda, igual número de casillas por carril). Esta podría

estar relacionada con nociones proto-probabilísticas sobre equiprobabilidad de sucesos

simples en tanto igualdad de posibilidades (semejante al caso anterior de Julián y Edwin).

En la producción que presentamos a continuación se movilizan símbolos numéricos.

60

En la figura 11 aparecen producciones de los estudiantes en las cuales se recurre a

proporciones, decimales y porcentajes, es decir, representaciones numéricas que soportan

formas de cuantificar la probabilidad al parecer en relación al significado clásico (Batanero,

2005), en un esfuerzo por vincular las frecuencias relativas en el contexto del juego y el

generador aleatorio, en consecuencia el procedimiento que utilizan para asignar valor de

probabilidad corresponde a argumentaciones estimativas de la probabilidad evocando la

regla de Laplace (proporción entre los casos favorables y desfavorables del fenómeno), en

un intento por encontrar un resultado numérico dando lugar a errores de significación de los

elementos presentes en la razón matemática (Por ejemplo, las expresiones 12/6 y 6/12 son

tomadas como equivalentes).

A continuación presentamos un aparte del material audiovisual de los episodios

considerados.

Figura 11. Uso de símbolos matemáticos

61

Episodio 1: Brujería [2:11–2:30]

En este episodio se muestra cómo Julián, a través del registro de la lengua natural (L2 y L4)

y el gesto indexical (ver Foto 3), presenta una idea de azar culturalmente codificada

(Radford, 2004a), es decir, una forma de pensar acerca del azar que hace parte de un

Sistema Semiótico Cultural de Significación, esto es, opiniones, creencias, significados etc.

dentro de un esquema cultural.

Cuando el estudiante dice en L2 “Pues Wiwí le hizo brujería”, desvela una significación del

azar asociada a “lo mágico”, en un intento por buscar una causa posible que dé cuenta de lo

L1. Profesora: Juli, ¿me explicas el registro por favor? [Señalando el registro escrito que llevaban

en el cuaderno, foto 2].

L2. Julián: Pues Wiwí le hizo brujería profe es en serio [Señalando con el dedo índice el listado

realizado, foto 3].

L3. Profesora: ¿Cómo?, ¿Qué pasó ahí?

L4. Julián: Pues profe, me ganó en todas yo creo que eso tiene más magnetismo hacia un lado que

hacia el otro

L5. Profesora: ¿Será?

L6. Julián: Pues yo creo porque…vea! solo gané una vez [acompaña lo dicho con un

señalamiento, foto 4]

L7. Profesora: ¿Quieren cambiar de moneda?

L8. Julián: ¡Me encantaría profe! porque…¡Wiwí usted le está haciendo brujería!

Foto 1 “El

registro”

Foto 3 Foto 2 Foto 4

62

ocurrido durante la experiencia. Estas concepciones culturales sugieren que la creencia en

fuerzas ocultas o supersticiones utilizadas para explicar fenómenos aleatorios se encuentran

ligadas al determinismo. En términos de Batanero:

La dificultad está en que hay que considerar no sólo el suceso que ha ocurrido

realmente o incluso el suceso de interés sino todos los sucesos que podrían ocurrir. En

la investigación del desarrollo del concepto de azar se ha mostrado que los niños,

como algunos adultos supersticiosos, están confinados estrechamente al determinismo:

creen en fuerzas ocultas que expliquen los fenómenos aleatorios. (Batanero, 2001, pp.

20-21)

Ahora bien, en consideración al argumento presentado en L4 “Pues profe, me ganó en

todas yo creo que eso tiene más magnetismo hacia un lado que hacia el otro”, continúa

proyectando una idea determinista frente a la causa del evento, pues muestra una

dependencia causal de lo incierto (contraste de los números a izquierda y derecha del

registro). Esta forma de significación acerca del azar, según Fischbein (citado en Batanero,

2013, p. 7), sugiere la búsqueda de “dependencias causales que reducen lo incierto, incluso

en situaciones donde no existen tales dependencias, por ejemplo “la mala suerte”, […]

influenciado por las tradiciones culturales y educativas de la sociedad moderna, que

orientan el pensamiento hacia explicaciones deterministas”.

Esta idea de azar en términos del significado intuitivo de la probabilidad es expresada por

Julián a través de la lengua natural apoyándose con el gesto indexical (señalamiento) que

como menciona Vergel (2013) interviene de manera preponderante en la expresión de sus

intencionalidades y en su proceso de conceptualización. Por tanto, aquí, el gesto no es un

mero ayudante de la palabra sino que trabaja con ella en términos de igualdad en la

actividad de comunicación y su uso tiene la intención de comunicar un significado

63

(Kendon, 2000, citado en Tabensky, 2004), para este caso, asociado al carácter azaroso de

la experiencia.

Así, en consideración a la simultaneidad presentada en la movilización de recursos

semióticos como el lenguaje natural–gesto indexical-actividad perceptual es muestra de la

constitución de un nodo semiótico (cuando elocuta “solamente gané una vez” y apunta con

el dedo, concentrando su mirada), es decir, un fragmento de la actividad semiótica de Julián

en donde la intención perceptiva, la lengua natural y el gesto indexical, en tanto medios

semióticos de objetivación, actúan sincronizadamente y se complementan para objetivar un

saber (Vergel, 2013), en este caso asociado al azar.

Episodio 2: Es lo mismo [4:04-6:03]

L1Jessica: [Leyendo la respuesta en relación con la primera pregunta] Nosotras respondimos que fue mejor

escoger sello, ya que la mayoría de veces ganó Laura que fueron cuatro veces.

L2. Profesora: ¿Cuál es el argumento para eso?

L3. Laura: Pues que la mayoría de veces ganó

L4. Profesora: ¿Ese es el argumento? ¿Haber ganado la mayoría de veces?…si hubiesen jugado no sé diez veces,

quince veces, veinte veces, ¿Habría pasado lo mismo? [En este momento Laura hace un gesto en rostro y con la

mano foto 1]

L5. Laura: ¿Quién sabe? [Al parecer en una actitud que desvela cierto grado de incertidumbre]

L6. Jessica: Pues depende

L7. Profesora. ¿De qué?

L8.Laura: Es que no sé… porque tenían como la misma probabilidad de veces, porque era una y una

L9. Profesora. Cuándo dices la misma probabilidad de veces, ¿A qué te refieres?

L10. Laura: Pues es que no sé cómo explicarlo.

L11. Profesora: Dame un ejemplo

L12: Laura: Pues que como había una cara y solo un sello era como lo mismo, o sea ¿Cómo se diría?…usted me

entiende [refiriéndose a Jessica, buscando complemento con su mirada foto 2] como…podría ganar cualquiera de

los dos o sea no habría una que tuviera digamos entre comillas más suerte que ganara uno que el otro

L13. Profesora: ¿Por qué?

L14. Laura: Porque era ¡la misma cantidad! solo había una cara y un sello [realiza signo en el aire, dedo índice-

cara / dedo corazón-sello. Foto 3]… ¿Si?

64

Aquí, el uso del registro de la lengua natural (L5) de la estudiante junto con sus expresiones

corporales (foto 1) dejan entrever una idea de azar, que al parecer estaría asociada con el

desconocimiento de las causas que determinan los eventos caer cara o caer sello. Esta idea

concuerda con el argumento de Batanero (1995) respecto a la imposibilidad de dominar la

incertidumbre en tanto correspondería a

[…] una primera fase histórica exploratoria en el desarrollo de la idea de aleatoriedad

que se extendería, según Bennet (1993) desde la antigüedad hasta el comienzo de la

Edad Media […] los dispositivos aleatorios como dados o huesos de astrágalo, se

usaron […] para tomar decisiones y en los juegos cuando se quería impedir dar ventaja a

alguna de las partes interesadas, puesto que se suponía que lo aleatorio no podía ser

controlado humanamente. (p. 16)

L15. Profesora: [refiriéndose a Jessica] ¿Le entendiste?

L16. Jessica: ¡Sí!

L17. Profesora: ¿Podrías explicármelo con tus palabras?

L18. Jessica: Pues que ella dice que…digamos en una moneda no hay algo que diga que siempre va a caer… va a

caer ¿Qué?…va caer sello sino que igualmente, cualquiera puede ganar [acompañando su discurso con el

movimiento de la cabeza y los hombros, foto 4] porque es como algo de suerte como…algo al azar [en este

momento Laura complementa el argumento de Jessica con el movimiento de la mano foto 5]

L19. Laura: O sea no habría uno como que siempre…no es que no sé cómo explicarlo, tengo la idea pero no sé

cómo decirlo

L20. Jessica: No habría [mira a Laura y complementa de la idea foto 6] algo como que pesara más como que…

L21. Laura: ¡Sí! Que uno siempre fuera digamos a ese [señalamiento con la mano foto 7] a caer ese como lo

mismo.

Foto 7 Foto 1 Foto 2 Foto 5 Foto 6

Foto 3 Foto 4

65

Ahora bien, la sincronía de MSO (el gesto en el rostro de Laura y el movimiento en la

mano) apoyan una intención comunicativa frente a lo incierto como característica del azar

que luego es reforzada de modo verbal con el interrogante “¿Quién sabe?”. Este segmento

de actividad semiótica constituye un nodo semiótico puesto que aparecen de manera

simultánea múltiples modalidades de expresión como la palabra, el gesto y el movimiento

corporal. Según Radford (2003), estas funciones modales son utilizadas intencionalmente y

actúan juntas para instaurar formas estables de conciencia, evidenciar sus intenciones y

orientar sus acciones en procura de alcanzar el objeto de la actividad.

Podemos observar, para este caso, el carácter no predictivo de la experiencia. Los datos

sugieren que la expresión semiótica de irreversibilidad queda implícita, en tanto no es

posible obtener los mismos resultados al repetir la experiencia bajo las mismas condiciones.

En la línea L17 la profesora, a través de la pregunta a Jessica “¿Podrías explicármelo con

tus palabras?”, extiende una invitación a la estudiante a interactuar en un espacio relacional

de labor conjunta (Radford, 2014a) emergente entre Laura, Jessica y la profesora.

De acuerdo con la lógica de producción dialéctico materialista que subraya la TO “el saber

es producido colectivamente21. La profesora y las estudiantes trabajan juntas con el fin de

adelantar posibles interpretaciones matemáticas y líneas de acción” (Radford, 2014b, p. 8).

En este caso, en torno a la tarea, pues dicha producción refiere a formas colectivas de hacer

y pensar.

En las líneas L8 y L12 del diálogo aparece un indicio de equiprobabilidad expresado desde

el registro semiótico de la lengua natural utilizando frases clave “era como lo mismo”

“porque era una y una”, dotándolas con un carácter de equivalencia e igualdad en términos

del reconocimiento de que los resultados del experimento son equiprobables en tanto los

21 Énfasis del original.

66

dos sucesos se encuentran bajo las mismas condiciones, así que la probabilidad de

ocurrencia de ellos resultaba ser la misma.

En la foto 2 se muestra la mirada de Laura hacia Jessica, gesto que es complementado por

la frase “usted me entiende” (L12), buscando apoyo en ella. Según Radford (2014b) el

sujeto necesita del otro para desarrollarse. Laura es en tanto la actuación de Jessica. Vergel

(2014b) sostiene que la intersubjetividad reside en la medida en que los interlocutores de

una situación comunicativa comparten una perspectiva. Según este autor

el énfasis en el sujeto como un ente social pone en cuestión el concepto mismo de

identidad, al introducir la categoría de la alteridad como parte constituyente del Yo,

como su antecedente obligado y referente necesario. Al sujeto se le concibe más allá

del eje egocéntrico, para ubicarlo en la red de relaciones dialógicas que establece

consigo mismo y con la alteridad (en realidad, con una multiplicidad de otros). ( p. 71)

De igual manera, la foto 6 sugiere un proceso social que se evidencia en tanto existe un

sujeto determinado por el discurso y por las actuaciones del Otro. Laura y Jessica son en

tanto lo que dice o lo que deja de decir una u otra. Entre L18 y L21 hay complementación

en las líneas discursivas de Laura y Jessica generando un solo argumento pero configurado

por expresiones lingüísticas y corporales de las dos estudiantes.

Por ejemplo, en L18 cuando Jessica dice “Pues que ella dice que…digamos en una moneda

no hay algo que diga que siempre va a caer… va a caer ¿Qué?…va caer sello sino que

igualmente cualquiera puede ganar porque es como algo de suerte como…algo al azar”,

Laura su vez con el movimiento de la mano (foto 5) complementa el argumento de Jessica.

A continuación, mientras Laura en L19 declara “O sea no habría uno como que

siempre…no es que no sé cómo explicarlo, tengo la idea pero no sé cómo decirlo”, es

Jessica en L20 al elocutar “No habría algo como que pesara más como que…”, quien

67

complementa lo dicho por Laura. En ese momento hay un cruce de miradas entre ellas y

mientras Jessica extiende la última frase (más como que…) parece hacer un llamado a

Laura a completar la idea. Vergel (en prensa-1) señala que hay que considerar la dimensión

lingüística como un aspecto clave en la producción matemática de los estudiantes durante

una interacción comunicativa. Observemos que las producciones lingüísticas de las dos

estudiantes, en el sentido de complementariedad, revelan una relación de intersubjetividad,

la cual, según Wertsch (1998, citado por Vergel, 2014b, p. 71),

El problema básico de la intersubjetividad humana se vuelve […] una cuestión que

tiene que ver con qué sentido y bajo qué condiciones dos personas que se involucran

en un diálogo pueden trascender sus mundos privados diferentes. Y la base lingüística

para esta empresa no es, según sostengo, un repertorio fijo de significados “literales”

compartidos, sino bosquejos muy generales y parcialmente negociados de contratos

concernientes a la clasificación y atribución inherente al lenguaje ordinario.

Lo anterior muestra que el proceso de objetivación es un proceso social y emocional que se

lleva a cabo con Otros. En el episodio, Laura y Jessica se constituyen como sujetos al

participar de la labor que “incluye nociones de expresión subjetivas, propias y de desarrollo

racional y de satisfacción estética” (Donham, 1999, citado en Radford, 2013b, p. 5). Es así,

que las estudiantes piensan, reflexionan, sufren, proceden, disfrutan, etc., en el marco de la

actividad conjunta de acuerdo con las configuraciones disponibles histórica y culturalmente

establecidas para actuar y relacionarse en la sala de clase (Radford, 2014a). En palabras de

Radford (Comunicación personal, octubre 18 de 2014) “Yo no puedo existir en mi

singularidad, para existir necesito al Otro”, reconociendo al Otro como parte constitutiva

del Yo, esto es, la idea de alteridad.

68

Con la enunciación de Laura en L14 “Porque era ¡la misma cantidad! solo había una cara

y un sello… ¿Si?”, el uso de los dedos (dedo índice-cara / dedo corazón-sello) y el

movimiento de la mano (foto 3) como un signo al aire que acompaña la frase “solo había

una cara y un sello”, conforman un nodo semiótico toda vez que aparecen simultáneamente

en esta pieza de la actividad semiótica de Laura con el propósito de apoyarse mutuamente

con la intención de comunicar una idea relacionada con la igualdad de posibilidades

(chances en la moneda) en la manipulación del generador de azar.

Laura en L14 moviliza los MSO mencionados líneas atrás para referir las caras de la

moneda, mientras que en L21 al declarar “¡Sí! Que uno siempre fuera digamos a ese, a

caer ese como lo mismo” y el movimiento de la mano (foto 7), hace referencia tanto a la

moneda como al experimento.

En estos dos momentos de la actividad matemática de Laura, a través de sus acciones

kinestésicas (movimientos corporales como signos encarnados en el cuerpo), hace uso de lo

que el psicólogo alemán Karl Bühler (1979/1963) llamó deixis am phantasma para denotar

el señalamiento a objetos no presentes en una situación discursiva. En los casos

presentados, dicha deixis refiere a la moneda en ausencia física de ella. Aquí consideramos

entonces la deixis realizada por Laura como un signo en el aire, concibiendo el signo según

lo propuesto por Eco (2000, p. 22) “como cualquier cosa que pueda considerarse como

substituto significante de cualquier otra cosa”, para el caso, en correspondencia a un objeto

material, dentro de un contexto social y cultural en el que tiene lugar la experiencia.

En síntesis y siguiendo a Vergel (2014b, p. 66),

Para comprender el significado de los signos, no los podemos reducir simplemente a

lo que ellos representan. Debemos comprender el tipo de actividad que ellos permiten

realizar. […] Por tanto, el signo cumple el papel de una operación significativa. Aún

69

más, los signos no se limitan únicamente a su función representativa, y la elección de

ellos no es neutra o independiente y dicha elección orienta el destino en el cual se

expresa el pensamiento, el destino de la comunicación.

En L18 y foto 4 aparece de nuevo un nodo semiótico al concurrir el movimiento corporal

de la cabeza y hombros de Jessica junto con el registro de la lengua natural. Acompañando

la frase “si no que igualmente cualquiera puede ganar”, el movimiento de la cabeza de la

estudiante y el movimiento de los hombros de Jessica (foto 5), apoya la comunicación de

una idea de equiprobabilidad según el significado clásico de probabilidad (Batanero, 2005)

en relación a lo que podríamos llamar probabilidad temprana, es decir, una cuantificación

de la probabilidad en un plano perceptual mediante el recurso a palabras y gestos. En este

segmento de la actividad de Jessica, la incertidumbre alcanza el nivel de enunciación.

También emerge una distinción implícita de eventos mutuamente excluyentes en tanto la

moneda caerá en una de las dos caras, sin embargo, no podría caer cara y sello

simultáneamente en su lanzamiento.

Por su parte, Jessica en L18 elocuta: “Pues que ella dice que…digamos en una moneda no

hay algo que diga que siempre va a caer… va a caer ¿Qué?…va caer sello sino que

igualmente, cualquiera puede ganar, porque es como algo de suerte como…algo al azar”.

Estos dos MSO unidos al movimiento de la mano de Laura (a través del cual indica con dos

de sus dedos las caras de la moneda (leve giro)), se complementan para tomar conciencia de

la imposibilidad de predicción presente en la tarea. Observemos en esta parte del episodio

que variados medios semióticos de objetivación, provenientes de estudiantes diferentes

(Jessica y Laura), juegan roles distintos en la idea de objetivar, como ya señalamos, la

imposibilidad de predicción. Denominamos a este segmento de la actividad semiótica

70

conjunta un nodo semiótico social.22 Aquí podemos vislumbrar como las distintas voces se

complementan en un esfuerzo de Jessica y Laura para dotar con un carácter aleatorio la

experiencia llevada a cabo en la labor conjunta.

Episodio 3: Números [6:11-7:08]

22La idea de nodo semiótico social que estamos proponiendo proviene del constructo nodo semiótico

elaborado por Radford (2003). El énfasis que queremos plantear en este análisis evidencia la conjugación de

dos actividades semióticas distintas (desplegadas por sujetos distintos).

L1. Juliana: Los casos favorables que son seis [señala con el lápiz y encierra con un trazo suave la

fracción numerador y denominador foto 1] con el total de los casos totales [encierra trazo suave los

números seis en la hoja de trabajo foto 2] si, entonces lo que hicimos fue dividirlo y sacamos el cincuenta

por ciento [encierra con un trazo suave sobre la hoja de trabajo el 50% foto 3], el cincuenta por ciento de

sello y el cincuenta por ciento de cara

L2. Alison: Las posibilidades de que caiga sello o que caiga cara [señalamiento con el dedo foto 4]

L3. Juliana: O sea seis veces puede caer sello y seis veces puede caer cara [señalamiento con el lápiz foto

5] y ya eso sería como…

L4. Alison: Ahí podemos decir que son iguales las probabilidades de que caigan [inaudible] porque acá

hay [señalamiento con el dedo foto 6] cincuenta y cincuenta

L5. Profe: ¿Para completar 100? Y ¿Cuál sería el 100?

L6. Juliana: El cien por ciento…doce [Juliana señala con el dedo, foto 7] o sea seis veces del sello y seis

veces de la cara [encerrando en un ovalo un número seis en la hoja de trabajo foto 7].

L7.Alison: Ella va a lanzar seis veces la moneda y yo seis veces entonces el total de las veces que

lanzamos van a ser doce que sería el total de lo que puede caer cara [Inclinación de las manos a la

izquierda foto 8] o puede caer sello [Inclinación de las manos a la derecha, foto 8].

Foto 2 Foto 1

71

En este episodio las estudiantes recurren a la utilización de representaciones numéricas

(figura 12) las cuales incluyen representación numérica decimal, representación numérica

porcentual y representación numérica fraccionaria.

Figura 12. Representaciones numéricas

Foto 7 Foto 8

Foto 6 Foto 5

Foto 3 Foto 4

72

Estas representaciones parecen mostrar por parte de las estudiantes una toma de conciencia

de la igualdad de condiciones frente a las opciones en el lanzamiento de la moneda, en

relación a la experiencia la cual aparece como independiente del jugador y de la escogencia

del lado de la moneda. Esa toma de conciencia, siguiendo a Radford (2014a, p. 142),

[…] es relación al mundo—relación concreta. Es esta la idea que Vygotsky expresa en

1925 cuando dice: “la conciencia debe ser vista como un caso particular de la

experiencia social” (Vygotsky, 1979). […] “la estructura de la conciencia es la

relación con el mundo externo”.

Alison y Juliana presentan las condiciones equitativas del juego a partir el uso de símbolos

numéricos como una manera de concentrar el significado de equiprobabilidad presente en la

experiencia, asociándolo con la regla de Laplace. Más específicamente, estas dos

estudiantes cuantifican la probabilidad de ocurrencia del evento: caer cara - caer sello, a

través del recurso a representaciones numéricas en el sentido clásico de probabilidad

(Batanero, 2005). Así, el método utilizado por las estudiantes para el cálculo de

probabilidades, sugiere una incertidumbre y una imposibilidad de predicción en un evento

simple que cuenta con un número finito de posibilidades y con condiciones simétricas. Se

deduce, entonces, que hay presencia de una aleatoriedad cuantitativa (al presentar un rango

numérico de la posibilidad en que puede ocurrir cada uno de los eventos: 6

12, 0.5, 50%,), que

se aleja de una percepción determinista de la probabilidad.

Dicha concentración de significado, según la TO, corresponde al proceso de objetivación

denominado Contracción semiótica, en donde Alison y Juliana hacen un esfuerzo por

discriminar la información que parece ser relevante del juego poniendo de relieve los

elementos centrales del mismo. Para el caso, la mencionada equiprobabilidad (como

73

igualdad de posibilidades de obtener cara o sello) conlleva a proponer una forma de pensar

acerca de la incertidumbre a través de la movilización de representaciones numéricas, es

decir, se hace una economía en los MSO movilizados por las estudiantes que desvelan un

nivel más profundo de conciencia (Radford, 2008).

En ese acto de toma de conciencia (objetivación), Alison y Juliana están volviendo aparente

lo potencial (Radford, 2004a). A través de la actividad matemática conjunta de las jóvenes,

el saber (como concepto, como objeto de la cultura) es puesto en movimiento. Para Radford

et al., (2014b), el saber es concebido como movimiento, como una secuencia de acciones

culturales e históricamente codificadas que son instanciadas continuamente en la práctica

social, en la labor conjunta. De acuerdo a la dialéctica materialista, los conceptos

corresponden a entidades sociales-histórico-culturales que como menciona Ilyenkov (2012,

citado en Radford, 2014b, p. 7) poseen “posibilidades de interpretación, unas que ya han

sido conocidas y otras que aún no han sido inventadas”, es decir el saber como pura

posibilidad. De hecho, en la epistemología Hegeliana, la noción abstracta o Saber es algo

que tiene que encontrar determinación en el evento de su actividad.

Según Radford (2004a), en palabras de Vygotsky:

El medio socio-cultural del niño ofrece a éste direcciones de desarrollo y formas de

apropiación del saber23 y de la experiencia humana. A través de los recursos

materiales y conceptuales del medio socio-cultural, el niño puede efectuar las

generalizaciones y las síntesis sobre las cuales reposa la formación de conceptos. (p. 7)

El episodio sugiere que la actividad matemática de Alison y Juliana es consustancial al

pensamiento, pues en este caso se encuentra claramente relacionado con las características

propias de los juegos de azar.

23 Énfasis del original.

74

Juliana, al presentar en L1 su argumento mediante la frase “los casos favorables que son

seis”, y al complementarla luego con la declaración “con el total de los casos totales”,

proyecta sus intenciones para actuar en consecuencia usando la regla de Laplace. Aquí,

Juliana realiza acciones sobre números. Sin embargo, estas acciones no son ingenuas pues

están cargadas de un destino comunicativo. Cuando Juliana dice “lo que hicimos fue

dividirlo y sacamos el cincuenta por ciento”, y concluye “el cincuenta por ciento de sello y

el cincuenta por ciento de cara“, esboza un esfuerzo por evidenciar el sustento matemático

al cual recurrió usando representaciones numéricas. Estas representaciones, se constituyen

en evidencia del proceso de objetivación Iconicidad desarrollado por Juliana como

resultado de evocar una regla de cuantificación del azar a partir de la simetría presente en el

juego. Podemos decir, entonces, que las expresiones matemáticas consignadas por Juliana y

Alison en su hoja de trabajo corresponden a inscripciones que tienen en sí determinaciones

sensibles de las estudiantes las cuales fueron decantadas en el transcurso de su labor

conjunta.

La verbalización mediante la movilización de la lengua natural, conjugado con la actividad

perceptual (punteo usando el lápiz y a la vez el encerramiento de algunas expresiones

numéricas consignadas en la hoja de trabajo - foto 1, 2 y 3), permiten que Juliana fije su

atención en los aspectos que considera notables de la experiencia para ofrecer una

explicación de la misma a la profesora. En este segmento de la actividad se evidencia un

nodo semiótico (Radford, 2008) en tanto aparece una coordinación de movimiento

corporal, palabras y símbolos donde el saber llega ser objetivado. Es decir, que emerge una

conjugación sincrónica de signos que indican el propósito que orienta la vía de acción de la

Juliana preñados por experiencias escolares previas enmarcadas en unas formas

culturalmente codificadas de actuar y reflexionar acerca del azar.

75

En las líneas discursivas L1a L4 las estudiantes se complementan discursivamente. Es decir

que a través de sus argumentos, se otorgan mutua existencia en términos de alteridad.

Juliana en la parte final de L1 con “el cincuenta por ciento de sello y el cincuenta por

ciento de cara” recibe apoyo por parte de Alison en L2 “las posibilidades de que caiga

sello o que caiga cara” quien también acompaña la expresión verbal elocutada con el

señalamiento de las inscripciones en la hoja de trabajo (dos flechas, una apunta a la palabra

cara y la otra a la palabra sello, foto 4). Continúa Juliana en L3 “o sea seis veces puede

caer sello y seis veces puede caer cara” y mientras señala con el lápiz emite la frase

inconclusa “y ya eso sería como…”, instando a Alison a participar activamente en la

reconstrucción verbal conjunta de los argumentos que sustentan lo escrito, quien luego en

L4 concluye “ahí podemos decir que son iguales las probabilidades de que

caigan”…”porque acá hay”…”cincuenta y cincuenta”.

Bajtín (1929/1992, citado en Vergel, 2014b) señala,

cómo desde la temprana adquisición del lenguaje y a lo largo de la vida, el hombre

se inicia como un ser social y se desarrolla como tal construyendo su individualidad

a partir del otro, de las acciones y del discurso del otro, para continuar con este una

íntima y compleja relación. El sujeto social se forma discursivamente, en el proceso

comunicativo de yo con el otro, es decir que el discurso propio se construye en

relación con el discurso ajeno, en el proceso de una íntima y constante interacción.

Así pues, en Bajtín el ser presenta un carácter intrínsecamente dialógico, “ser es ser

para otro y a través del otro para mí”. (p. 72)

A través de la actividad conjunta entre Alison y Juliana, se deja entrever la naturaleza

colectiva de producción del saber como pura posibilidad, en tanto posibilidades del

conociendo (knowing) y del volviéndose (becoming) de las estudiantes, en esa concurrencia

76

de subjetividades al suscitar la emergencia de la solidaridad y compromiso con el Otro

como parte de la ética comunitaria (Radford, 2014b) inherente a la labor. La sala de clase

aparece como un espacio público de encuentro de subjetividades de estudiantes y profesor

incrustadas en formas culturalmente evolucionadas de ser y ser con Otros.

Así, el saber que antes era pura posibilidad de interpretación de la aleatoriedad presente en

la experiencia del juego propuesta en la tarea en términos cualitativos o cuantitativos, es

actualizado a través de la labor conjunta de las estudiantes y presentado como una forma de

interpretación particular, en este caso asociada al significado clásico de probabilidad.

En L7 el gesto realizado por Alison (foto 8) muestra una intención comunicativa diferente

al realizar el movimiento con las manos, es decir que el signo en el aire de Alison

corresponde a una deixis am phantasma corporeizando la situación a través del uso de sus

manos, pues al inclinarlas a la derecha está indicando que la moneda cae en sello y cuando

las inclina a la izquierda indica que cae cara.

Estos gestos unidos al registro de la lengua natural reflejan el modo de pensar de Alison,

“gesto y discurso son parte de un mismo acto de representar, es decir que juntos constituyen

una misma unidad de significado” (Mc Neil, 2000, citado en Manghi, 2010, p. 44). Alison

hace tangible su pensamiento a partir del recurso tanto a gestos como al registro de la

lengua natural en términos de la igualdad de posibilidades. En esta caso, deja implícita la

idea de incertidumbre y no predictibilidad como sugiere su declaración “puede caer cara o

puede caer sello”, explicitando el espacio muestral {cara, sello} que consta de dos

elementos. Parece ser que aunque ambos resultados son posibles con una cuantificación del

valor de probabilidad de 50%, no es posible asegurar a priori el resultado que se obtendrá

cada vez.

77

4.2.2 Tarea 2: ¿Quién llega primero?

En la anterior tarea se puso de manifiesto algunos de los MSO a los cuales acudieron los

estudiantes y PO desarrollados para objetivar formas de pensamiento con relación al azar y

la probabilidad en una tarea en donde los resultados eran equiprobables. En esta nueva

tarea, propusimos mantener el criterio de experimentación a partir del juego, mediante la

manipulación de un generador aleatorio (un dado cúbico convencional de seis caras) con el

propósito de observar si en ese proceso de objetivación del saber los estudiantes

reproducían lo trabajado en la tarea 1 o si se incorporan nuevas estrategias. 24

El juego que involucra la tarea 2 corresponde a un evento mediado por las condiciones de

cada carril, por ejemplo: lanzar un dado y avanzar con número par, lanzar un dado y caer

mayor que uno.

Al iniciar la experiencia cada jugador se ve abocado a tomar decisiones respecto a la

elección del carril por donde ha de circular. Para ello, necesita determinar el valor de

probabilidad de que ocurra el suceso (valor de cada carril) y la consecuente comparación de

ellas para precisar el grado de posibilidad de ocurrencia del mismo (sucesos probables,

improbable, seguro, poco probables) y de esta manera ganar la carrera.

Durante las partidas, tuvieron la oportunidad de cambiar de carril o mantenerse en el

elegido y a continuación realizaron como grupo un análisis de la experiencia. De manera

análoga al juego anterior, los estudiantes llevaron un registro libre del juego (de las partidas

jugadas). En este caso, el generador aleatorio esgrime un espacio muestral {1, 2, 3, 4, 5, 6}

de seis elementos y las posibilidades de los jugadores están determinadas por el carril

escogido. Los estudiantes advirtieron que la elección del carril no resultaba ser neutra, pues

24 La tarea “¿Quién llega primero?” varió respecto a la tarea “Cara y Sello” manipulación de generadores de

azar y toma de decisiones en consideración del valor de probabilidad. La logística de trabajo fue la misma.

78

en el juego como experimento aleatorio no era posible conocer con antelación el resultado

al lanzar el dado.

Dadas las características de juego, el trabajo con Otros fue ineludible. Al procurar el

respeto de las reglas del juego, el consenso frente a cómo llevar el registro de las partidas,

la búsqueda de una explicación colectiva a los resultados obtenidos de la experiencia, etc.;

los estudiantes se involucran en un proceso de subjetivación “mediante los cuales

encuentran otras voces y perspectivas y llegan a ser sujetos culturales históricos únicos”

(Comunicación personal, octubre 18 de 2014), se reconocen y son reconocidos como

miembros de una comunidad, en nuestro caso, de la comunidad de la sala de clase.

Respecto a la sistematización del juego, el recurso a representaciones tabulares fue

utilizado en todos los grupos.

Figura 13. Representaciones tabulares tarea 2

79

La información de las partidas jugadas fue presentada mediante el uso discriminado de filas

y columnas facilitando la visualización y organización de los datos (figura 13). Esto es, que

las representaciones tabulares emanan como artefactos culturales que facultan a los

estudiantes a pensar en cierta dirección. Según Radford (2006),

El carácter mediatizado del pensamiento se refiere al papel, en el sentido de Vygotsky

(1981), que desempeñan los artefactos (objetos, instrumentos, sistemas de signos, etc.)

en la realización de la práctica social. Los artefactos son parte constitutiva y

consustancial del pensamiento, se piensa con y a través de los artefactos culturales. (p.

107)

De acuerdo con Vergel (en prensa-2), para Leontiev (1969) la herramienta es el producto de

la cultura material que posee, en la forma más evidente y material, los principales rasgos de

las creaciones humanas. La herramienta, en este caso la representación tabular, “es un

objeto social en el que se han concretado y fijado operaciones de trabajo históricamente

elaboradas”. (pp. 3 - 4)

De esta forma, las representaciones tabulares como artefactos culturales que median la

actividad conjunta de los estudiantes se constituyen en una fuente de adquisición del saber

en un plano material que lleva consigo la sabiduría histórica de la actividad cognitiva de las

generaciones pasadas (Radford, 2006).

Posiblemente el recurso a este artefacto cultural (representación tabular) corresponde a un

proceso de objetivación de Iconicidad colectivo toda vez que el registro fue consensuado en

el equipo de trabajo trayendo a esta situación remembranzas de experiencias pasadas25

(organización de la información en tablas). Sin embargo, aunque difieren de las utilizadas

25 Argumento corroborado a partir de las entrevistas basadas en la tarea.

80

en la tarea 1 debido a las características del juego en relación con el generador de azar y el

número de jugadores, mantienen la esencia e intención organizacional de la información.

A continuación presentamos algunas producciones de los estudiantes en sus hojas de

trabajo.

Frente a los ítems a) y b) de la tarea, emerge el uso de la lengua natural para sintetizar lo

observado durante el juego.

En la producción conjunta de Juan, David y Edwin (figura 14), al escribir “las casillas

tienen una gran importancia, dependiendo de cuál se escoge puede que haya mayor

probabilidad de moverse en una casilla”, se desvela una toma de conciencia respecto a una

no equiprobabilidad presente en el experimento que reside en la distinción del espacio

muestral con relación a las condiciones por carril.

Cuando los estudiantes escriben “mayor probabilidad de moverse” esbozan una

aproximación cualitativa al valor de probabilidad haciendo referencia a una idea vinculada

a la frecuencia relativa de las posibilidades de ocurrencia de cada evento. Al mencionar la

palabra clave “probabilidad”, parece ser que estudiantes realizan una comparación de las

posibilidades de obtener lo estipulado en cada carril a partir de la experiencia. Esto coincide

Figura 14. Producción Juan, David y Edwin

81

con las ideas de Fischbein (1987, citado en Batanero, 2013, p. 4) sobre las intuiciones como

“procesos cognitivos que intervienen directamente en las acciones prácticas o mentales”,

para el caso, respecto a la probabilidad de un evento al basarse en la experiencia empírica y

en juicios de valor subjetivos, ya que para ellos fue posible distinguir la mayor o menor

probabilidad de los eventos en el experimento aleatorio aun en ausencia de valores

numéricos.

Así mismo, la palabra clave “notamos” llama la atención en un aspecto que a juicio de los

estudiantes resultó ser relevante dentro de la práctica del juego y parece ser parte del

proceso de objetivación de una forma de pensamiento asociado a la probabilidad como

grado de incertidumbre frente a la ocurrencia de un evento capturando la idea de no

equiprobabilidad de los carriles. La condición asociada a los carriles hace que no haya

igualdad de posibilidad de ocurrencia y aunque no es posible controlar los resultados del

dado (predicción), sí se puede estimar rangos valorativos de obtener algunos valores.

A continuación, los estudiantes mencionan que “todos los probamos las diferentes casillas

para saber si la suerte era en nosotros, o la probabilidad realmente variaba dependiendo

de cada casilla de probabilidad”. Según lo expresado por ellos, aparece un significado

intuitivo de probabilidad (Batanero, 2005) con un matiz determinista que asocia a la

“suerte” la posibilidad de ocurrencia de cada evento dentro de la experiencia.

Figura15. Producción Juliana, Alison y Daniel.

82

Juliana, Alison y Daniel (figura 15) presentan en primer lugar una explicación verbal del

consenso al que llegaron declarando que “Hay más posibilidades de que saque en el dado

un número mayor que 1 porque hay cinco opciones diferentes”. A continuación aparece una

combinación de palabras y símbolos (=, números, flechas) que intentan plasmar la

experiencia atendiendo al espacio muestral que ofrece el dado y las condiciones que

presenta cada carril. La palabra “posibilidades” aparece en la producción relacionada con

los eventos (carril) y a su vez indica una breve explicación. La flecha sugiere un vínculo

entre las caras del dado que ofrecen favorabilidad para cada uno de los eventos. En la

producción escrita de los jóvenes, el proceso de objetivación frente a la designación del

valor de probabilidad de los eventos está mediatizado por la movilización de MSO como

números, palabras escritas y símbolos.

Estos signos plantean una determinación asociada a la incertidumbre. Juliana, Alison y

Daniel lograron identificar que el valor de probabilidad de los carriles no era equiprobable

en términos del número de caras favorables para cada evento a partir de su discriminación y

escogencia. Podemos observar que el registro escrito sugiere un indicio primario de espacio

muestral, como una forma de expresar una especie de proto-probabilidad a priori.

A continuación, identificamos el recurso a represenatciones escritas como MSO

ligeramente diferenciados para expresar el valor de probabilidad de cada carril.

Foto 1 Foto 3 Foto 2

Figura16 Modos de expresión semiótica del valor de probabilidad

83

En los tres registros presentados en la figura 16 es evidente el uso de la regla de Laplace

(1985/1914, citado en Batanero, 2005, p. 254) “como una fracción cuyo numerador es el

número de casos favorables y cuyo denominador el número de todos los casos posibles”,

para designar la probabilidad de cada carril. Las producciones de la foto 1 y 2 corresponden

a un proceso de objetivación de Iconicidad toda vez que traen a esta nueva experiencia

formas de representación de la probabilidad (figura 17) que emergió en el momento de la

socialización de la tarea “cara y sello” como una manera de cuantificar en términos

numéricos el valor de probabilidad. Sin embargo, aunque en la socialización en mención no

aparece la idea Laplaciana en todo el sentido de la palabra, si aparece la evocación de

referir probabilidad como una fracción que permite la comparación de dos elementos

presentes en la experiencia. En el juego ¿Quién llega primero? y de acuerdo a las

producciones podemos observar que los estudiantes usaron la regla de Laplace pues parece

ser que el espacio muestral del generador aleatorio (el dado) brindo la posibilidad de

recordar la relación casos favorables/casos totales vinculado a las condiciones por carril.

Figura17. Algunos registros escritos. Socialización tarea cara y sello.

84

Del mismo modo las tres producciones muestran una concentración de significado del valor

de probabilidad como un proceso de objetivación de Contracción semiótica que se dio entre

dos representaciones diferentes (figura 18 y 19) (Registro lengua natural (palabras escritas)

- Registro numérico (fracciones) e icónico; Registro lengua natural (palabras escritas) -

Registro numérico (fracciones, decimales, porcentajes), y dentro del mismo registro (figura

20) en términos de cambio de registro (Registro numérico (fracciones) - Registro numérico

(porcentajes) – Registro numérico (porcentajes)), en dónde se asigna significado

equivalente a las expresiones para designar el valor de probabilidad.

Figura18. Concentración de significado.

Lengua natural (palabras escritas) - Representación numérica (fracciones) e icónico

Figura 19. Concentración de significado.

Lengua natural (palabras escritas) - Representación numérica (fracciones, decimales, porcentajes)

85

En la producción de los estudiantes (figura 16), en la foto 1 aparece la designación del

carril a partir de su color y a continuación se relaciona con un cociente de la forma a/b en

donde a, b ϵ {1, 2, 3, 4, 5, 6} (a representa número de casos favorables y b representa el

número total de casos), a manera de definir la equiprobabilidad de ocurrencia de cualquiera

de las seis caras del dado y la no equiprobabilidad de los valores de probabilidad de los

carriles. Estas ideas están vinculadas al significado clásico de probabilidad (Batanero,

2005). El signo igual, que relaciona el color del carril con su expresión numérica (foto 1),

sugiere un significado como indicador de cierta conexión o correspondencia, esto es según

Molina, Castro, y Castro (2007, p. 9) un “significado impreciso del signo igual que refiere a

su uso entre objetos no matemáticos o de distinta naturaleza, como, por ejemplo […] entre

expresiones matemáticas y no matemáticas”.

En la foto 2 emerge en palabras la condición por carril, una representación icónica de dados

con las opciones posibles que parece desvelar una idea inicial de espacio muestral y una

fracción que parece establecer relación entre dichas opciones posibles con el total de caras

Figura 20. Concentración de significado. Cambio de registro numérico

(Fracciones, decimales, porcentajes)

86

del dado. Es decir que detrás de la representación gráfica queda implícita la designación del

espacio muestral.

En la fotografía 3 aparecen fracciones, decimales, porcentajes y palabras con la condición

de cada carril. En la producción de los estudiantes, el igual signo igual tiene preñado el

significado de Expresión de una equivalencia (Molina y Castro, 2006) al indicar que las

expresiones que se disponen a ambos lados del signo igual hacen referencia al mismo

objeto matemático. Este significado tiene tres acepciones diferentes según el tipo de

expresiones que compongan ambos miembros: Equivalencia estricta, simbólica y

numérica. Esta última es la que aparece en el escrito, pues presenta expresiones en ambos

miembros que tienen un mismo valor numérico, es decir, representan a un mismo número

(3

6= 0,5 ).

Estos hallazgos en el dominio del pensamiento probabilístico, creemos, se encuentran en

asonancia con lo sugerido por Radford (2013a), en tanto el saber (para nuestro caso de

estudio el saber asociado al no determinismo) ha sufrido prolongados procesos de

refinamiento y concreciones producto del ingenio y curiosidad humana a lo largo de la

historia que han quedado codificados en la memoria cultural y práctica con los que nos

topamos en espacios escolarizados y no escolarizados. El saber (Knowledge) se materializó

a través de la labor conjunta de los estudiantes de cada grupo, que dentro de un marco

cultural ya tiene impregnada unas formas de hacer, pensar y reflexionar acerca de los

objetos matemáticos puestos en juego. En las hojas de trabajo se muestra que este saber

asociado a situaciones aleatorias, como pura posibilidad, encontró formas de ser expresado

a través del registro de la lengua natural, registros numéricos, gráficos, que dieron cuenta

87

de MSO diferentes movilizados para dotar de sentido al objeto cultural valor de

probabilidad.

Episodio : Es más movido [1:30-1:45]

En L1, la intervención de la profesora a través de la pregunta “¿Ésta es la partida que están

jugando?”, centra la atención del grupo en la partida actual del juego, con el propósito de

establecer si los estudiantes mediante la experiencia llevada a cabo hasta ese momento

lograban establecer juicios a priori de las posibilidades por carril o por cuál carril resultaba

más conveniente circular en tanto se contaba con más opciones para ganar. La profesora se

involucra e involucra a los estudiantes en una mirada conjunta del juego. En L3 cuando la

maestra enuncia “Y acá, ¿quién ganó?”, es Juliana inicialmente quien acepta la invitación

de participar en la actividad y menciona en L4 “Daniel con número mayor que uno”. A

continuación, Alison se compromete con la labor que ha emergido y en L5 elocuta “Pues es

que mayor probabilidad de que pueda avanzar más rápido”, y acompaña su declaración

L1. Profesora: ¿Ésta es la partida que están jugando? [Refiriéndose al registro de juego

llevado por el grupo]

L2. Alison: sí, esta es

L3. Juliana: ¡Ésta! [Señala con el lápiz el registro actual de la partida]

L3. Profesora. Y acá, ¿quién ganó?

L4. Juliana: Daniel con número mayor que uno

L5. Alison: Pues es que mayor probabilidad de que pueda avanzar más rápido [señalando

en el tablero de juego con el dedo meñique el carril de color rosado foto 2]

L6. Profesora: ¿Será? ¿Por qué creen eso?

L7. Juliana: Pues…porque es más movido

Foto 1

88

con un movimiento corporal (foto 1). Continúa en L6 la Profesora “¿Será?, ¿Por qué creen

eso?, y Juliana en L7 concluye con la frase “Pues porque es más movido”.

Lo declarado por Alison (L5) y Juliana (L7) sugiere una percepción sensible de la

incertidumbre, en términos del movimiento – rapidez con que se mueve la ficha que circula

por el carril con la condición avanza con No. mayor que 1. La movilización de contenido

matemático es implícita y al parecer se relaciona con la frecuencia relativa del evento en

términos de apariciones de cierto tipo de caras en el dado, que para el caso favorecía a

Daniel. En términos microgenéticos, podemos observar en este pasaje de la labor conjunta,

cómo emergen rastros o características de un tipo de pensamiento, que no es el pensamiento

probabilístico en todo el sentido de la palabra, sino más bien un tipo de pensamiento

probabilístico temprano e intuitivo que surge de la experiencia (lanzar el dado y avanzar

según el criterio del carril) y propulsa en las jóvenes argumentaciones valorativas para

cuantificar la probabilidad como grado de creencia desde el uso del registro de la lengua natural

que se aleja de cálculos numéricos. Según García, Medina, y Sánchez (2014).

La probabilidad es una disciplina cuyo aprendizaje puede ayudar a desarrollar una

forma de pensamiento diferente de la que proporciona el aprendizaje de otras áreas de

la matemática (Fischbein y Snarch, 1997). En efecto, la probabilidad emergió de la

preocupación de resolver problemas asociados a situaciones de azar e incertidumbre

(Hacking, 1975; Batanero, Henry y Parzysz, 2005), conceptos que son ajenos a los

objetos de las demás ramas de la matemática. (p. 6)

De este modo, lo que emerge de la experiencia del juego es que la actividad en tanto evento

es consustancial al pensamiento, pues la manera como Juliana y Alison están pensando

probabilísticamente parece estar vinculada con las características del juego.

89

Lo anteriormente descrito muestra que la interacción discursiva, los gestos, las acciones,

etc., son desarrolladas en lo que Radford (2011, p. 6) denomina “un espacio de acción

conjunta en donde el pensamiento emerge como un fenómeno colectivo”. Este autor sugiere

la introducción de la categoría analítica togethering,

que da cuenta de la forma ética en la que los individuos se involucran, responden, y

sintonizar el uno al otro, a pesar de su desarrollo cognitivo, emocional y otras

diferencias. […] togethering no se refiere a cualquier forma en que los individuos se

reúnen para hacer algo, sino que captura la actividad práctica conjunta que tiene como

finalidad la realización de un objeto motivado colectivamente. (Radford, 2011, p. 236)

En este sentido, el saber asociado a la probabilidad se vuelve objeto de pensamiento a

través de la actividad.

4.2.3 Tarea 3: Blanco y negro

Para el desarrollo de esta tarea los estudiantes no realizaron experiencia empírica dado que

se contó con una representación icónica de la situación. Con esta tarea pretendíamos

inquirir sobre el valor de probabilidad de manera implícita y su posterior comparación. La

implementación varió respecto a las anteriores, ya que en la primera parte los estudiantes

tuvieron la oportunidad de enfrentarse a la tarea de forma individual, en esta parte se invitó

a los estudiantes a no borrar sus escritos. Cabe resaltar que aquí se les insinuó responder de

acuerdo a lo que cada uno interpretaba en los ítems propuestos ya que uno de los propósitos

era precisamente que el docente interviniera lo menos posible, con el fin de no sesgar o

condicionar las respuestas. Durante el trabajo individual empezaron a ser evidentes medios

semióticos utilizados por los estudiantes como el punteo y señalamiento, uso de

representaciones gráficas, para explicar algún tipo de simetría.

90

Estos MSO fueron gestos movilizados por los estudiantes para ellos mismos, los cuales les

ayudaron a definir y organizar sus intenciones y acciones personales para abordar la

situación. El acercamiento inicial a la tarea y la aproximación cualitativa del valor de

probabilidad de las urnas pasa primero por la actividad perceptual de los jóvenes dando

forma sensible y corpórea al pensamiento. Según Radford (2010b, p. XXXVI) las palabras

o gestos, son signos en sí mismos, que se constituyen en determinaciones sensibles de los

sujetos,

[…] los signos son considerados en un sentido amplio, como algo que abarca lo

escrito, los términos lingüísticos orales, símbolos matemáticos, gestos, etc. (Arzarello,

2006; Ernest, 2008; Radford, 2002). […] los signos no son considerados como meros

indicadores de la actividad mental. […] los signos son considerados como partes

constitutivas de pensamiento. En términos más precisos, […] pensar es una actividad

sensual reflexiva mediada por signos encarnados en la corporeidad de la acción,

Figura 21.Momento de trabajo individual

91

gestos y artefactos […]. El pensamiento es una forma versátil y sofisticada de acción

sensual, dónde diversos sentidos colaboran en el curso de una experiencia

multisensorial del mundo (Radford, 2009b).

De este modo los signos dan forma tangible al pensamiento tanto para comunicar a otros como para

mí mismo.

Posterior al trabajo individual, los estudiantes se reunieron en grupos de cuatro personas

para compartir sus resultados, escuchar a otros, llegar a acuerdos, y generar una producción

colectiva de sus razonamientos a propósito de la situación planteada por la tarea.

A continuación presentamos el análisis de David y Alison quienes hacían parte del mismo

equipo de trabajo. Hemos dividido el episodio en dos partes que a nuestro juicio presenta

un importante valor en consideración a nuestro objeto de estudio.

Episodio: El contraste y mi complemento

L1 David: Bueno yo pienso que es la misma probabilidad

L2. Profesora: O sea ¿no importaría si se elige A o se elige B?

L3. David: No, porque digamos las fichas blancas limitan la probabilidad, digamos o sea acá hay un

total de 4 fichas [señalando la urna A foto 1] y aquí hay ocho fichas [señalando la urna B foto 2] […]

acá podemos decir que hay el doble de fichas [urna B foto 3] que acá [urna A foto 4]. Entonces yo

corroboro esto […] digamos mira como la urna A tiene un total de cuatro fichas tres son negras y una

blanca digamos ehhh la probabilidad sería el cien por ciento son las cuatro fichas entonces cien

dividido en cuatro que es el total de las fichas es veinticinco por ciento pues veinticinco por ciento es la

probabilidad de que cualquier ficha salga.

Foto 1 Foto 2 Foto 3 Foto 4

92

En esta primera parte del episodio, David hace referencia a objetos icónicos a través del uso

del deíctico espacial acá. Llama la atención sobre la urna a la cual está haciendo referencia

para apoyar sus argumentos. El movimiento kinestésico de las manos también apoya su

intención comunicativa y centra la mirada en lo que desea poner de relieve cada vez. Para

el caso su intención es argumentar número total de balotas presentes en cada urna,

estableciendo una relación parte – todo, esto es, balotas negras y total de balotas asignando

a éste último el valor de 100% y encuentra el valor de probabilidad de cada balota

(independiente del color) para luego calcular el valor de acuerdo al total de balotas negras

cuando elocuta “la probabilidad sería el cien por ciento son las cuatro fichas entonces cien

dividido en cuatro que es el total de las fichas es veinticinco por ciento pues veinticinco por

ciento es la probabilidad de que cualquier ficha salga”. Asocia al total de balotas por urna

como el cien por ciento, es decir que está considerando de modo implícito el considerar el

evento de escoger una u otra urna como mutuamente excluyentes pues aunque no lo

menciona cada urna tiene la misma probabilidad de ser escogida (50%). Cuando menciona

“acá podemos decir que hay el doble de fichas”, está estableciendo una relación de

equivalencia entre el número de balotas y el número de balotas blancas.

David recurre a su movimiento corporal y a la verbalización de uso de expresiones

numéricas posiblemente porque en palabras de Batanero (2006)

[…] la probabilidad no es una propiedad física tangible- por tanto objetiva de los

sucesos que nos afectan (como sería el peso, color, superficie, temperatura) sino una

percepción o grado de creencia en la verosimilitud de la persona que asigna la

probabilidad sobre la plausibilidad de ocurrencia del suceso (que ocurrirá o no). (p. 5)

93

De acuerdo a lo mencionado por David (L5) en contraste con su producción escrita,

claramente identifica una congruencia o verosimilitud de las probabilidades basándose en la

observación del número de balotas en cada una de ellas.

Sus argumentos reposan en respaldos porcentuales que sugieren simetría de posibilidades

en las urnas y a su vez esboza una perspectiva clásica de la probabilidad. Y finalmente

decide que resulta indiferente la urna elegida toda vez que su valor de probabilidad es

equivalente.

Foto 5. Producción de David

L4: Profesora: ¿En cuál urna?

L5. David: La A, digamos que salga una negra otra blanca una negra y así, veinticinco por ciento es la

probabilidad de cada ficha entonces como hay tres fichas negras, entonces sumé tres veces veinticinco que

sería setenta y cinco por ciento, setenta y cinco por ciento sería la probabilidad de que salgan fichas negras.

Y veinticinco sería solo la ficha blanca. Entonces este caso se me presenta digamos con la urna B digamos

la probabilidad de que saque cualquier ficha es doce punto cinco por ciento, el cien por ciento dividido en

ocho que es el total de las fichas entonces doce punto cinco es la probabilidad de cada ficha que salga

entonces otra vez lo sume seis veces que es el total de las negras y eso me dio el setenta y cinco por ciento

otra vez o sea setenta y cinco por ciento es la probabilidad de que salgan fichas negras y veinticinco [foto5]

94

En esta parte del episodio Alison recurre a la realización de señalamientos utilizando su

esfero. De manera análoga Alison hace uso de los señalamiento y el deíctico espacial acá

para focalizar la atención en los aspectos que ella considero relevantes. Alison

presuntamente observa que en la urna hay el doble de balotas de cada color respectoa a la

urna al decir “si acá hay cuatro […] acá hay ocho”. Estas acciones semióticas denotan

L6. Alison: Ehhhh pues para mí era como ya te había dicho hay las mismas probabilidades ya que en

la B [Señala con el esfero la urna B foto 1] aumentan como… las fichas, si acá hay cuatro [Desliza

horizontalmente el esfero la urna A foto 2] acá hay ocho [Señala con el esfero la urna B foto 3.]. Acá

hay una sola blanca [Señala con el esfero la balota blanca en la urna A foto 4 ] y entonces acá ya

aumenta la ficha blanca si [Señala con el esfero la balota blanca en la urna A foto 5 ]…lo mismo

pasa con las negras entonces pues como que de hecho acá [Señala con el esfero la expresión ¾ foto

6] o sea que en la A son tres negras de cuatro fichas totales y acá en la B son seis negras de ocho

totales [Señala con el esfero la expresión 6/8 foto 7]

Foto

2

Foto

1

Foto

4

Foto

5

Foto

3

Foto

7

Foto

6

95

determinaciones sensibles de Alison. El deíctico acá, está relacionado con la representación

icónica presente en la tarea. Aquí, el lenguaje natural sirve de apoyo a la comunicación del

pensamiento de Alison, lo cual sugiere que algunos elementos de este lenguaje (deícticos espaciales

y temporales, por ejemplo) quedan implícitos, atrapados, en el registro numérico (Vergel, En

prensa-2).

Los dos estudiantes llegaron a cuantificar el valor de probabilidad mediante

representaciones numéricas diferentes. Estas se complementan y enriquecen, cuestión que

se hace evidente cuando Alison dice “Entonces yo digo que es la misma probabilidad y

pues yo lo concreté con lo que él hizo y entonces llegamos a un acuerdo pues de que era

igual”.

Las expresiones numéricas utilizadas por Alison y David materializan o actualizan el saber

probabilístico, entendido como una síntesis histórica y culturalmente codificada de hacer y

L7. Profesora: ¿Qué significa la bolita que tienes dibujada al lado de cada número?

L8. Alison: Ehhhh acá las fichas negras [señala en la fracción la bolita negra] y acá que son de las

dos [Señala en la fracción la bolita pintada, mitad negro mutad blanco] blancas y negras. Entonces

yo digo que es la misma probabilidad y pues yo lo concreté con lo que él hizo [Refiriéndose a

David] y entonces llegamos a un acuerdo pues de que era igual

Foto 8. Producción de Alison

96

reflexionar sobre el azar en términos numéricos. Trabajando juntos, los estudiantes han

logrado capturar ciertos aspectos del pensamiento probabilístico que han empezado a ser

claros e incorporados en el background de los estudiantes. Esto es, siguiendo a Wartofsky

(1987, citado en Radford, 2015c, p. 2), “[…] la adquisición del saber es fundamentalmente

un modo de acción humana […] inseparable de la historicidad de estos modos, esto es, de

su cambio histórico y el desarrollo”.

97

Capítulo 5

Conclusiones y resultados

Para dar norte a nuestro estudio, propusimos la pregunta orientadora ¿Qué procesos de

objetivación desarrollan estudiantes de grado décimo al abordar tareas sobre asignación

de probabilidad?. Esta pregunta la operativizamos a través del objetivo general y los

objetivos específicos.

De acuerdo con el primer objetivo específico Describir los medios semióticos de

objetivación emergentes en la actividad matemática de los estudiantes de grado décimo a

partir de la implementación de una serie de tareas en torno a la asignación de

probabilidad de eventos, debemos mencionar que a partir de la revisión documental tanto

de la TO como de la literatura relacionada con el pensamiento probabilístico, adaptamos

tres tareas sobre asignación de valor de probabilidad y su validación se realizó al

someterlas a juicio de experto en términos disciplinares y didácticos. Las tareas fueron

implementadas en tres sesiones de clase (100 min. Aprox.).

Las tareas tuvieron un sentido lúdico que propició un ambiente de confianza para la

discusión, intercambio de argumentos, escuchar y ser escuchado, es decir, que facilitara una

participación activa de los estudiantes en la actividad conjunta.

Con la idea de juego de azar (en términos de la emergencia histórica del estudio de la

probabilidad), que se encontraba a la base de las tareas se evidenció la imposibilidad de

predicción de eventos aleatorios, y llevar un registro del juego facultó a los estudiantes a

aventurarse a generar y comprobar hipótesis.

98

En términos disciplinares, las tareas permitieron el recuento sistemático, la sistematización

de la información (recogida, organización y análisis de datos), la designación del valor

probabilidad de eventos a partir de la comparación cualitativa y cuantitativa de las

probabilidades de los sucesos en procura de llevar a los estudiantes a la movilización de

contenido matemático para la realización de comparaciones y comprobaciones a sus

conjeturas.

Con relación a los MSO emergentes en la actividad matemática de los estudiantes, podemos

afirmar que se establecieron categorías teóricas para su identificación (gestos, actividad

perceptual, señalamientos, inscripciones, uso de artefactos, ritmicidad, lenguaje). Contamos

con las categorías de Contracción semiótica e Iconicidad como procesos de objetivación

para analizar la evolución de los MSO que nutren estos procesos. Más específicamente, la

Contracción semiótica como concentración de significado en palabras clave o expresiones

numéricas y la Iconicidad como la evocación de un modo de reflexión que es traído a nueva

experiencia. También logramos identificar nodos semióticos al momento en el que los

estudiantes movilizaban en un segmento de la actividad semiótica de manera sincrónica

más de un recurso.

El gesto, los signos indexicales, las representaciones semióticas, entre otros, como MSO y

su inherente carácter mediatizador en contextos relacionados con el azar y la probabilidad

pueden ser interpretados desde la TO (Radford, 2005), como parte de los medios que

facultan a los estudiantes para percatarse de los aspectos conceptuales (en el caso aquí

presentado) del objeto valor de probabilidad, pues coadyuvaron a los estudiantes a advertir

las relaciones matemáticas, a materializar sus intenciones y planear sus acciones.

99

Respecto al segundo objetivo específico Caracterizar los medios semióticos de

objetivación movilizados y analizar su evolución, a continuación explicitamos los MSO

movilizados durante el desarrollo de las tareas:

Describir– (lengua natural), este MSO fue introducido por los estudiantes, en donde se

utilizó en sus escritos palabras del lenguaje cotidiano y palabras clave “a la suerte” “la

posibilidad de” “entonces era lo mismo”, “este tenía más posibilidades

Señalamiento - (Kinestésico -signo en el aire), este medio semiótico en especial fue

empleado para hacer visible algo. Funcionó como apoyo a la parte discursiva. Muestra de

actividad perceptual.

Representaciones tabulares - (Registro escrito), emergió como una forma de llevar el

registro de juego

Representaciones numéricas – (Registro escrito), se presentaron representaciones

numéricas en forma de fracción, porcentajes y decimales. Estas representaciones

funcionaron como un sustento matemático relacionando parte – parte, todo – parte y parte

- todo., este último como evocación de la regla de Laplace según el significado clásico de

probabilidad.

Deixis, uso de deícticos espaciales “digamos acá son”,” “por aquí se mueve más rápido” –

deixis en fantasma, en ausencia del objeto. La emergencia de los deícticos permitió a los

estudiantes planificar sus acciones en tiempo y espacio para el abordaje de las tareas en

términos de la cuantificación del azar presente en las experiencias.

Uso de artefactos, emergió el uso de artefactos culturales como la calculadora para la

transformación de representaciones numéricas (fracción – porcentajes – decimales) y el

celular para llevar un registro del juego.

100

Gestos, como signos portadores de significado aparecieron en la actividad matemática con

una intención comunicativa en apoyo a la parte discursiva.

A su vez encontramos los siguientes nodos semióticos, toda vez que se presentaron registros de

diferente naturaleza de manera sincrónica.

Discurso (lengua natural) – Movimiento corporal (kinestésico)- proveniente de un solo

estudiante, las explicaciones hechas de manera verbal (palabra hablada) se acompañaban de

movimiento de las manos o señalamientos con los dedos o el lápiz (signos en el aire).

Discurso (lengua natural) – Movimiento corporal (kinestésico), provenientes de estudiantes

diferentes, en la labor conjunta el discurso de un estudiante fue acompañado por el discurso y la

actividad perceptual de otro configurando un solo argumento.

De acuerdo al análisis multimodal de la actividad matemática de los estudiantes,

encontramos Procesos de Objetivación,

Contracción semiótica, Concentración de significado, en un esfuerzo por discriminar la

información que relevante del juego. Para el caso, la mencionada equiprobabilidad (como

igualdad de posibilidades de obtener cara o sello) conlleva a proponer una forma de pensar

acerca de la incertidumbre a través de la movilización de representaciones numéricas

Iconicidad, las tablas parecen ser evocadas por los estudiantes como una manera de

organizar la información suministrada durante el juego. Esto es evidencia de un proceso de

iconicidad desarrollado por los estudiantes mediante la utilización de un esquema trabajado

en otro momento de su escolaridad que transfieren a esta nueva situación.

También se presentó Iconicidad al evocar la regla de Laplace utilizada por otros estudiantes

durante la socialización de la tarea 1 y que fue utilizada por algunos de ellos en las tareas 2

y 3.

101

Creemos que los resultados encontrados vinculados al pensamiento probabilístico

ambientados por la tarea, propiciaron en los estudiantes la emergencia de múltiples modos

de materializar su pensamiento (uso de tablas, celulares, palabras, registros escritos) que

parecen desvelar formas de pensamiento apoyadas en ideas relacionadas con el azar e ideas

primarias de equiprobabilidad, que muestran ciertos grados de conciencia del objeto

conceptual.

En cuanto al análisis microgenético realizado, logramos inferir que los diversos recursos

semióticos MSO movilizados por los estudiantes en la tarea (los gestos, el habla, la mirada,

la escritura, y movimiento corporal) son portadores de significado y funcionan como

mediatizadores del pensamiento en la actividad de matemática en la sala de clase a

propósito de tareas no deterministas..

De esta manera, se dio cumplimiento al objetivo general Describir y analizar los procesos

de objetivación desarrollados por estudiantes de grado décimo al abordar tareas referidas

a asignación de probabilidad de un evento,

Según Elizarrarás (2014, p. 18), el “pensamiento probabilístico es la capacidad de todo

individuo (como ser social) para advertir la incertidumbre que suele presentarse en diversas

situaciones en su interacción con el entorno”, y la importancia de su estudio parece ser

validada por un lado en tanto su aplicabilidad en diferentes contextos y campos del saber y

de otro por aportar al fortalecimiento del pensamiento crítico y reflexivo en los individuos

(en términos de soluciones alternativas de problemas, toma de decisiones, entre otros)

fundamentado en argumentos matemáticos que le proveen de un cristal estructurado para

leer fenómenos reales.

102

Reflexionar sobre este complejo y a la vez útil pensamiento, nos conmina a considerar

algunos elementos que han sido objeto de estudio en Educación Estocástica desde la idea

de probabilidad como cuantificación del grado de creencia frente a la ocurrencia de un

evento en relación a su espacio muestral y la identificación de los elementos que lo

componen.

En consideración al análisis reportado de la actividad matemática de los estudiantes,

identificamos algunos vectores26 que a nuestro juicio revelan rasgos que, sin ser

exhaustivos, caracterizan el desarrollo del pensamiento probabilístico. Estos estarían

asociados a:

Irreversibilidad del fenómeno.

Incertidumbre frente a la imposibilidad de predicción.

Azar respecto a las secuencias aleatorias producto de la manipulación de generadores

de azar.

Creemos que estos vectores han estado presentes en la evolución histórica de este tipo de

pensamiento como un esfuerzo humano colectivo que ha sido refinado a través de la

historia y lleva consigo la huella de formas de reflexionar y actuar de generaciones pasadas.

Los hallazgos en este estudio respecto a los MSO movilizados durante la actividad

matemática de los estudiantes podrían imbricarse con los vectores mencionados líneas atrás

al sugerir un estudio mucho más minucioso y exhaustivo de los MSO, su evolución y una

posible caracterización de estratos de pensamiento probabilístico, lo cual nos permitiría

profundizar en la comprensión de estas formas de pensamiento, a su vez que tendríamos

luces acerca de la manera como emerge este tipo de pensamiento.

26 Estos vectores coinciden parcialmente con las Grandes Ideas propuestas por Gal, (2005).

103

Resaltamos que el presente estudio es un acercamiento inicial a observar como aparecen las

formas de pensamiento probabilístico en la sala de clase, abriendo posibilidades de

indagación a la luz de la TO. Es una invitación a fortalecer esta línea de investigación.

Sugerimos algunos cuestionamientos que quedan abiertos a propósito de este estudio,

Formular un estudio que analice la actividad matemática alrededor de tareas diseñadas

para cada uno de los significados de probabilidad.

Caracterizar estratos de generalidad, que puedan verse como formas de pensamiento

probabilístico que faciliten comprender la emergencia de este pensamiento en

estudiantes jóvenes.

Explorar a fondo las formas de expresión frente a los vectores señalados líneas atrás,

pues dada la naturaleza de los objetos conceptuales en el campo de la probabilidad, es

posible que las formas de pensamiento probabilístico esgriman unas características

particulares y diferenciadas respecto al pensamiento determinista.

Desde la posición ética de la TO en términos de considerar el proceso de objetivación

como un proceso emocional desde una perspectiva histórico cultural, valdría la pena

indagar en el campo del Dominio Afectivo en Matemática educativa en su componente

emocional, en particular acerca de las categorías de aburrimiento e interés en la clase de

probabilidad en torno a una serie de tareas sugeridas. Dado que este tema ha sido

ampliamente estudiado a nivel psicológico, sería interesante encontrar puntos de

convergencia con una postura sociocultural como la TO.

104

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