Limit Es
29
Límite de funciones. Cálculo Propiedades. Sean dos funciones f(x) y g(x), para las que existe límite en un punto o en el infinito. Entonces: En general calcular el límite de una función "normal", cuando x tiende a un número real, es fácil, basta aplicar las reglas de cálculo indicadas, sustituyendo la variable independiente por el valor real al que la x tiende. No obstante, en ocasiones, nos podemos encontrar con sorpresas, por ejemplo, que la función no esté definida para el valor en el que queremos calcular el límite . Esta situación, es habitual, cuando el límite lo queremos calcular cuando x tiende a infinito. Una función no está definida en un punto, siempre que al intentar calcularla en ese punto, resulte alguna de las formas siguientes: En cada caso, el límite en el punto en que la función no está determinada, dependerá de los valores que la función tome, en las proximidades de dicho punto. Veamos como tratar cada una de estas indeterminaciones. Los métodos que se indican sirven de guía en casos parecidos. La función no está determinada para x = 1, la razón es que el denominador se hace 0. Este tipo de indeterminaciones ocurre, cuando en el numerador y el denominador de la función, existe algún factor que se hace 0, este factor suele ser del tipo : x - valor para el que queremos calcular el límite. Si logramos eliminar, este factor del numerador y del denominador, se obtiene otra función , que toma los mismos valores en todos los puntos que no sean el punto en cuestión. En este caso concreto, el punto es : x = 1.
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Liacutemite de funciones Caacutelculo
Propiedades
Sean dos funciones f(x) y g(x) para las que existe liacutemite en un punto o en el infinito
Entonces
En general calcular el liacutemite de una funcioacuten normal cuando x tiende a un nuacutemero
real es faacutecil basta aplicar las reglas de caacutelculo indicadas sustituyendo la variable
independiente por el valor real al que la x tiende
No obstante en ocasiones nos podemos encontrar con sorpresas por ejemplo que la
funcioacuten no esteacute definida para el valor en el que queremos calcular el liacutemite Esta
situacioacuten es habitual cuando el liacutemite lo queremos calcular cuando x tiende a infinito
Una funcioacuten no estaacute definida en un punto siempre que al intentar calcularla en ese
punto resulte alguna de las formas siguientes
En cada caso el liacutemite en el punto en que la funcioacuten no estaacute determinada dependeraacute de
los valores que la funcioacuten tome en las proximidades de dicho punto
Veamos como tratar cada una de estas indeterminaciones Los meacutetodos que se indican
sirven de guiacutea en casos parecidos
La funcioacuten no estaacute determinada para x = 1 la razoacuten es que el denominador se hace 0
Este tipo de indeterminaciones ocurre cuando en el numerador y el denominador de la
funcioacuten existe alguacuten factor que se hace 0 este factor suele ser del tipo x - valor para
el que queremos calcular el liacutemite Si logramos eliminar este factor del numerador y
del denominador se obtiene otra funcioacuten que toma los mismos valores en todos los
puntos que no sean el punto en cuestioacuten
En este caso concreto el punto es x = 1
La nueva funcioacuten permite obtener los valores en las proximidades del punto de la
indeterminacioacuten que son los que permiten calcular el liacutemite En el caso concreto que
nos ocupa seriacutea
Cuando x crece indefinidamente esta funcioacuten es un cociente de dos cantidades que
crecen indefinidamente Se puede plantear la duda de que si al crecer x
indefinidamente tambieacuten lo haraacute
puesto que seriacutea la diferencia de dos cantidades que crecen indefinidamente que es una
indeterminacioacuten Sacando factor comuacuten se transforma esta expresioacuten en otra
equivalente
que crece indefinidamente puesto que una cantidad que crece indefinidamente sigue
creciendo indefinidamente aunque le restemos una cantidad constante y el producto de
dos cantidades que crecen indefinidamente tambieacuten crece indefinidamente Lo mismo
ocurre con el denominador
Como al dividir numerador y denominador por una misma cantidad distinta de 0 el
valor de la fraccioacuten no cambia sigue que
Esta propiedad nos permite resolver este tipo de indeterminaciones Se divide
numerador y denominador por x elevado al mayor de los expontentes con los que
aparece en la funcioacuten
Hay un caso trivial que ya hemos visto sea
Es la diferencia de dos cantidades que crecen indefinidamente pero como
Y a una cantidad que crece indefinidamente le quitamos una cantidad constante y sigue
creciendo indefinidamente y el producto de dos cantidades que crece indefinidamente
crece indefinidamente estaacute claro que
Veamos ahora otra indeterminacioacuten de este tipo pero algo maacutes complicada
Como en este caso no se puede sacar factor comuacuten para eliminar la indeterminacioacuten
multiplicamos y dividimos la expresioacuten por su conjugado
El conjugado de una expresioacuten que es la diferencia de dos cantidades que crecen
indefinidamente es otra igual excepto que en lugar de una diferencia es una suma de
dos cantidades que crecen indefinidamente En este caso seraacute
Aparece este tipo de indeterminacioacuten cuando aparecen dos funciones tales que
caacutelculo de liacutemites
Calcular los siguientes l iacutemites
1
2
3
4 En los puntos x = -1
y x =1
En x = -1 los l iacutemites laterales son
Por la izquierda
Por la derecha
Como en ambos casos coinciden existe e l l iacutemite y
vale 1
En x = 1 los l iacutemites laterales son
Por la izquierda
Por la derecha
Como no coinciden los l iacutemites laterales no tiene
liacutemite en x = 1
5
6
7
Calcular los l iacutemites cuando x t iende a menos
inf in ito
1
2
3
No existe el liacutemite porque el radicando toma
valores negativos
4
Calcular los l iacutemites de funciones exponenciales
1
2
3
4
5
Calcular los l iacutemites de funciones logariacutetmicas
1
2
3
4
5
Calcular por comparacioacuten de inf in itos los
siguientes l iacutemites
1
El numerador t iene mayor grado que el
denominador
2
El denominador t iene mayor grado que el
numerador
3
Al tener el mismo grado el l iacutemite es el cociente
entre los coefic ientes de mayor grado
4
5
6
7
8
9
10
11
12
El numerador es un inf in ito de orden superior
13
El denominador es un inf in ito de orden superior
14
15
16
17
Hallar los siguientes l iacutemites
1
Como no coinciden los liacutemites laterales la
funcioacuten no tiene liacutemite cuando x -1
2
3
4
Calcular los l iacutemites
1
2
3
4
5
Al elevar e l binomio del numerador al cuadrado
obtenemos x4 y por tanto el grado del numerador es
mayor que el grado del denominador
6
Hallar los l iacutemites
1
2
3
4
5
Hallar los s iguientes l iacutemites
1
2
3
4
No tiene l iacutemite en x = -1
5
6
7
Calcular los siguientes l iacutemites
1
2
3
El denominador es un inf in ito de orden superior
Calcular
1
2
3
4
5
6
7
8
Hallar los siguientes l iacutemites
1
2
3
4 Resolver por dos meacutetodos
1e r Meacutetodo
2ordm Meacutetodo
La nueva funcioacuten permite obtener los valores en las proximidades del punto de la
indeterminacioacuten que son los que permiten calcular el liacutemite En el caso concreto que
nos ocupa seriacutea
Cuando x crece indefinidamente esta funcioacuten es un cociente de dos cantidades que
crecen indefinidamente Se puede plantear la duda de que si al crecer x
indefinidamente tambieacuten lo haraacute
puesto que seriacutea la diferencia de dos cantidades que crecen indefinidamente que es una
indeterminacioacuten Sacando factor comuacuten se transforma esta expresioacuten en otra
equivalente
que crece indefinidamente puesto que una cantidad que crece indefinidamente sigue
creciendo indefinidamente aunque le restemos una cantidad constante y el producto de
dos cantidades que crecen indefinidamente tambieacuten crece indefinidamente Lo mismo
ocurre con el denominador
Como al dividir numerador y denominador por una misma cantidad distinta de 0 el
valor de la fraccioacuten no cambia sigue que
Esta propiedad nos permite resolver este tipo de indeterminaciones Se divide
numerador y denominador por x elevado al mayor de los expontentes con los que
aparece en la funcioacuten
Hay un caso trivial que ya hemos visto sea
Es la diferencia de dos cantidades que crecen indefinidamente pero como
Y a una cantidad que crece indefinidamente le quitamos una cantidad constante y sigue
creciendo indefinidamente y el producto de dos cantidades que crece indefinidamente
crece indefinidamente estaacute claro que
Veamos ahora otra indeterminacioacuten de este tipo pero algo maacutes complicada
Como en este caso no se puede sacar factor comuacuten para eliminar la indeterminacioacuten
multiplicamos y dividimos la expresioacuten por su conjugado
El conjugado de una expresioacuten que es la diferencia de dos cantidades que crecen
indefinidamente es otra igual excepto que en lugar de una diferencia es una suma de
dos cantidades que crecen indefinidamente En este caso seraacute
Aparece este tipo de indeterminacioacuten cuando aparecen dos funciones tales que
caacutelculo de liacutemites
Calcular los siguientes l iacutemites
1
2
3
4 En los puntos x = -1
y x =1
En x = -1 los l iacutemites laterales son
Por la izquierda
Por la derecha
Como en ambos casos coinciden existe e l l iacutemite y
vale 1
En x = 1 los l iacutemites laterales son
Por la izquierda
Por la derecha
Como no coinciden los l iacutemites laterales no tiene
liacutemite en x = 1
5
6
7
Calcular los l iacutemites cuando x t iende a menos
inf in ito
1
2
3
No existe el liacutemite porque el radicando toma
valores negativos
4
Calcular los l iacutemites de funciones exponenciales
1
2
3
4
5
Calcular los l iacutemites de funciones logariacutetmicas
1
2
3
4
5
Calcular por comparacioacuten de inf in itos los
siguientes l iacutemites
1
El numerador t iene mayor grado que el
denominador
2
El denominador t iene mayor grado que el
numerador
3
Al tener el mismo grado el l iacutemite es el cociente
entre los coefic ientes de mayor grado
4
5
6
7
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9
10
11
12
El numerador es un inf in ito de orden superior
13
El denominador es un inf in ito de orden superior
14
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17
Hallar los siguientes l iacutemites
1
Como no coinciden los liacutemites laterales la
funcioacuten no tiene liacutemite cuando x -1
2
3
4
Calcular los l iacutemites
1
2
3
4
5
Al elevar e l binomio del numerador al cuadrado
obtenemos x4 y por tanto el grado del numerador es
mayor que el grado del denominador
6
Hallar los l iacutemites
1
2
3
4
5
Hallar los s iguientes l iacutemites
1
2
3
4
No tiene l iacutemite en x = -1
5
6
7
Calcular los siguientes l iacutemites
1
2
3
El denominador es un inf in ito de orden superior
Calcular
1
2
3
4
5
6
7
8
Hallar los siguientes l iacutemites
1
2
3
4 Resolver por dos meacutetodos
1e r Meacutetodo
2ordm Meacutetodo
Esta propiedad nos permite resolver este tipo de indeterminaciones Se divide
numerador y denominador por x elevado al mayor de los expontentes con los que
aparece en la funcioacuten
Hay un caso trivial que ya hemos visto sea
Es la diferencia de dos cantidades que crecen indefinidamente pero como
Y a una cantidad que crece indefinidamente le quitamos una cantidad constante y sigue
creciendo indefinidamente y el producto de dos cantidades que crece indefinidamente
crece indefinidamente estaacute claro que
Veamos ahora otra indeterminacioacuten de este tipo pero algo maacutes complicada
Como en este caso no se puede sacar factor comuacuten para eliminar la indeterminacioacuten
multiplicamos y dividimos la expresioacuten por su conjugado
El conjugado de una expresioacuten que es la diferencia de dos cantidades que crecen
indefinidamente es otra igual excepto que en lugar de una diferencia es una suma de
dos cantidades que crecen indefinidamente En este caso seraacute
Aparece este tipo de indeterminacioacuten cuando aparecen dos funciones tales que
caacutelculo de liacutemites
Calcular los siguientes l iacutemites
1
2
3
4 En los puntos x = -1
y x =1
En x = -1 los l iacutemites laterales son
Por la izquierda
Por la derecha
Como en ambos casos coinciden existe e l l iacutemite y
vale 1
En x = 1 los l iacutemites laterales son
Por la izquierda
Por la derecha
Como no coinciden los l iacutemites laterales no tiene
liacutemite en x = 1
5
6
7
Calcular los l iacutemites cuando x t iende a menos
inf in ito
1
2
3
No existe el liacutemite porque el radicando toma
valores negativos
4
Calcular los l iacutemites de funciones exponenciales
1
2
3
4
5
Calcular los l iacutemites de funciones logariacutetmicas
1
2
3
4
5
Calcular por comparacioacuten de inf in itos los
siguientes l iacutemites
1
El numerador t iene mayor grado que el
denominador
2
El denominador t iene mayor grado que el
numerador
3
Al tener el mismo grado el l iacutemite es el cociente
entre los coefic ientes de mayor grado
4
5
6
7
8
9
10
11
12
El numerador es un inf in ito de orden superior
13
El denominador es un inf in ito de orden superior
14
15
16
17
Hallar los siguientes l iacutemites
1
Como no coinciden los liacutemites laterales la
funcioacuten no tiene liacutemite cuando x -1
2
3
4
Calcular los l iacutemites
1
2
3
4
5
Al elevar e l binomio del numerador al cuadrado
obtenemos x4 y por tanto el grado del numerador es
mayor que el grado del denominador
6
Hallar los l iacutemites
1
2
3
4
5
Hallar los s iguientes l iacutemites
1
2
3
4
No tiene l iacutemite en x = -1
5
6
7
Calcular los siguientes l iacutemites
1
2
3
El denominador es un inf in ito de orden superior
Calcular
1
2
3
4
5
6
7
8
Hallar los siguientes l iacutemites
1
2
3
4 Resolver por dos meacutetodos
1e r Meacutetodo
2ordm Meacutetodo
Aparece este tipo de indeterminacioacuten cuando aparecen dos funciones tales que
caacutelculo de liacutemites
Calcular los siguientes l iacutemites
1
2
3
4 En los puntos x = -1
y x =1
En x = -1 los l iacutemites laterales son
Por la izquierda
Por la derecha
Como en ambos casos coinciden existe e l l iacutemite y
vale 1
En x = 1 los l iacutemites laterales son
Por la izquierda
Por la derecha
Como no coinciden los l iacutemites laterales no tiene
liacutemite en x = 1
5
6
7
Calcular los l iacutemites cuando x t iende a menos
inf in ito
1
2
3
No existe el liacutemite porque el radicando toma
valores negativos
4
Calcular los l iacutemites de funciones exponenciales
1
2
3
4
5
Calcular los l iacutemites de funciones logariacutetmicas
1
2
3
4
5
Calcular por comparacioacuten de inf in itos los
siguientes l iacutemites
1
El numerador t iene mayor grado que el
denominador
2
El denominador t iene mayor grado que el
numerador
3
Al tener el mismo grado el l iacutemite es el cociente
entre los coefic ientes de mayor grado
4
5
6
7
8
9
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11
12
El numerador es un inf in ito de orden superior
13
El denominador es un inf in ito de orden superior
14
15
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17
Hallar los siguientes l iacutemites
1
Como no coinciden los liacutemites laterales la
funcioacuten no tiene liacutemite cuando x -1
2
3
4
Calcular los l iacutemites
1
2
3
4
5
Al elevar e l binomio del numerador al cuadrado
obtenemos x4 y por tanto el grado del numerador es
mayor que el grado del denominador
6
Hallar los l iacutemites
1
2
3
4
5
Hallar los s iguientes l iacutemites
1
2
3
4
No tiene l iacutemite en x = -1
5
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7
Calcular los siguientes l iacutemites
1
2
3
El denominador es un inf in ito de orden superior
Calcular
1
2
3
4
5
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7
8
Hallar los siguientes l iacutemites
1
2
3
4 Resolver por dos meacutetodos
1e r Meacutetodo
2ordm Meacutetodo
caacutelculo de liacutemites
Calcular los siguientes l iacutemites
1
2
3
4 En los puntos x = -1
y x =1
En x = -1 los l iacutemites laterales son
Por la izquierda
Por la derecha
Como en ambos casos coinciden existe e l l iacutemite y
vale 1
En x = 1 los l iacutemites laterales son
Por la izquierda
Por la derecha
Como no coinciden los l iacutemites laterales no tiene
liacutemite en x = 1
5
6
7
Calcular los l iacutemites cuando x t iende a menos
inf in ito
1
2
3
No existe el liacutemite porque el radicando toma
valores negativos
4
Calcular los l iacutemites de funciones exponenciales
1
2
3
4
5
Calcular los l iacutemites de funciones logariacutetmicas
1
2
3
4
5
Calcular por comparacioacuten de inf in itos los
siguientes l iacutemites
1
El numerador t iene mayor grado que el
denominador
2
El denominador t iene mayor grado que el
numerador
3
Al tener el mismo grado el l iacutemite es el cociente
entre los coefic ientes de mayor grado
4
5
6
7
8
9
10
11
12
El numerador es un inf in ito de orden superior
13
El denominador es un inf in ito de orden superior
14
15
16
17
Hallar los siguientes l iacutemites
1
Como no coinciden los liacutemites laterales la
funcioacuten no tiene liacutemite cuando x -1
2
3
4
Calcular los l iacutemites
1
2
3
4
5
Al elevar e l binomio del numerador al cuadrado
obtenemos x4 y por tanto el grado del numerador es
mayor que el grado del denominador
6
Hallar los l iacutemites
1
2
3
4
5
Hallar los s iguientes l iacutemites
1
2
3
4
No tiene l iacutemite en x = -1
5
6
7
Calcular los siguientes l iacutemites
1
2
3
El denominador es un inf in ito de orden superior
Calcular
1
2
3
4
5
6
7
8
Hallar los siguientes l iacutemites
1
2
3
4 Resolver por dos meacutetodos
1e r Meacutetodo
2ordm Meacutetodo
En x = 1 los l iacutemites laterales son
Por la izquierda
Por la derecha
Como no coinciden los l iacutemites laterales no tiene
liacutemite en x = 1
5
6
7
Calcular los l iacutemites cuando x t iende a menos
inf in ito
1
2
3
No existe el liacutemite porque el radicando toma
valores negativos
4
Calcular los l iacutemites de funciones exponenciales
1
2
3
4
5
Calcular los l iacutemites de funciones logariacutetmicas
1
2
3
4
5
Calcular por comparacioacuten de inf in itos los
siguientes l iacutemites
1
El numerador t iene mayor grado que el
denominador
2
El denominador t iene mayor grado que el
numerador
3
Al tener el mismo grado el l iacutemite es el cociente
entre los coefic ientes de mayor grado
4
5
6
7
8
9
10
11
12
El numerador es un inf in ito de orden superior
13
El denominador es un inf in ito de orden superior
14
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17
Hallar los siguientes l iacutemites
1
Como no coinciden los liacutemites laterales la
funcioacuten no tiene liacutemite cuando x -1
2
3
4
Calcular los l iacutemites
1
2
3
4
5
Al elevar e l binomio del numerador al cuadrado
obtenemos x4 y por tanto el grado del numerador es
mayor que el grado del denominador
6
Hallar los l iacutemites
1
2
3
4
5
Hallar los s iguientes l iacutemites
1
2
3
4
No tiene l iacutemite en x = -1
5
6
7
Calcular los siguientes l iacutemites
1
2
3
El denominador es un inf in ito de orden superior
Calcular
1
2
3
4
5
6
7
8
Hallar los siguientes l iacutemites
1
2
3
4 Resolver por dos meacutetodos
1e r Meacutetodo
2ordm Meacutetodo
Calcular los l iacutemites cuando x t iende a menos
inf in ito
1
2
3
No existe el liacutemite porque el radicando toma
valores negativos
4
Calcular los l iacutemites de funciones exponenciales
1
2
3
4
5
Calcular los l iacutemites de funciones logariacutetmicas
1
2
3
4
5
Calcular por comparacioacuten de inf in itos los
siguientes l iacutemites
1
El numerador t iene mayor grado que el
denominador
2
El denominador t iene mayor grado que el
numerador
3
Al tener el mismo grado el l iacutemite es el cociente
entre los coefic ientes de mayor grado
4
5
6
7
8
9
10
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12
El numerador es un inf in ito de orden superior
13
El denominador es un inf in ito de orden superior
14
15
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17
Hallar los siguientes l iacutemites
1
Como no coinciden los liacutemites laterales la
funcioacuten no tiene liacutemite cuando x -1
2
3
4
Calcular los l iacutemites
1
2
3
4
5
Al elevar e l binomio del numerador al cuadrado
obtenemos x4 y por tanto el grado del numerador es
mayor que el grado del denominador
6
Hallar los l iacutemites
1
2
3
4
5
Hallar los s iguientes l iacutemites
1
2
3
4
No tiene l iacutemite en x = -1
5
6
7
Calcular los siguientes l iacutemites
1
2
3
El denominador es un inf in ito de orden superior
Calcular
1
2
3
4
5
6
7
8
Hallar los siguientes l iacutemites
1
2
3
4 Resolver por dos meacutetodos
1e r Meacutetodo
2ordm Meacutetodo
Calcular los l iacutemites de funciones exponenciales
1
2
3
4
5
Calcular los l iacutemites de funciones logariacutetmicas
1
2
3
4
5
Calcular por comparacioacuten de inf in itos los
siguientes l iacutemites
1
El numerador t iene mayor grado que el
denominador
2
El denominador t iene mayor grado que el
numerador
3
Al tener el mismo grado el l iacutemite es el cociente
entre los coefic ientes de mayor grado
4
5
6
7
8
9
10
11
12
El numerador es un inf in ito de orden superior
13
El denominador es un inf in ito de orden superior
14
15
16
17
Hallar los siguientes l iacutemites
1
Como no coinciden los liacutemites laterales la
funcioacuten no tiene liacutemite cuando x -1
2
3
4
Calcular los l iacutemites
1
2
3
4
5
Al elevar e l binomio del numerador al cuadrado
obtenemos x4 y por tanto el grado del numerador es
mayor que el grado del denominador
6
Hallar los l iacutemites
1
2
3
4
5
Hallar los s iguientes l iacutemites
1
2
3
4
No tiene l iacutemite en x = -1
5
6
7
Calcular los siguientes l iacutemites
1
2
3
El denominador es un inf in ito de orden superior
Calcular
1
2
3
4
5
6
7
8
Hallar los siguientes l iacutemites
1
2
3
4 Resolver por dos meacutetodos
1e r Meacutetodo
2ordm Meacutetodo
Calcular los l iacutemites de funciones logariacutetmicas
1
2
3
4
5
Calcular por comparacioacuten de inf in itos los
siguientes l iacutemites
1
El numerador t iene mayor grado que el
denominador
2
El denominador t iene mayor grado que el
numerador
3
Al tener el mismo grado el l iacutemite es el cociente
entre los coefic ientes de mayor grado
4
5
6
7
8
9
10
11
12
El numerador es un inf in ito de orden superior
13
El denominador es un inf in ito de orden superior
14
15
16
17
Hallar los siguientes l iacutemites
1
Como no coinciden los liacutemites laterales la
funcioacuten no tiene liacutemite cuando x -1
2
3
4
Calcular los l iacutemites
1
2
3
4
5
Al elevar e l binomio del numerador al cuadrado
obtenemos x4 y por tanto el grado del numerador es
mayor que el grado del denominador
6
Hallar los l iacutemites
1
2
3
4
5
Hallar los s iguientes l iacutemites
1
2
3
4
No tiene l iacutemite en x = -1
5
6
7
Calcular los siguientes l iacutemites
1
2
3
El denominador es un inf in ito de orden superior
Calcular
1
2
3
4
5
6
7
8
Hallar los siguientes l iacutemites
1
2
3
4 Resolver por dos meacutetodos
1e r Meacutetodo
2ordm Meacutetodo
Calcular por comparacioacuten de inf in itos los
siguientes l iacutemites
1
El numerador t iene mayor grado que el
denominador
2
El denominador t iene mayor grado que el
numerador
3
Al tener el mismo grado el l iacutemite es el cociente
entre los coefic ientes de mayor grado
4
5
6
7
8
9
10
11
12
El numerador es un inf in ito de orden superior
13
El denominador es un inf in ito de orden superior
14
15
16
17
Hallar los siguientes l iacutemites
1
Como no coinciden los liacutemites laterales la
funcioacuten no tiene liacutemite cuando x -1
2
3
4
Calcular los l iacutemites
1
2
3
4
5
Al elevar e l binomio del numerador al cuadrado
obtenemos x4 y por tanto el grado del numerador es
mayor que el grado del denominador
6
Hallar los l iacutemites
1
2
3
4
5
Hallar los s iguientes l iacutemites
1
2
3
4
No tiene l iacutemite en x = -1
5
6
7
Calcular los siguientes l iacutemites
1
2
3
El denominador es un inf in ito de orden superior
Calcular
1
2
3
4
5
6
7
8
Hallar los siguientes l iacutemites
1
2
3
4 Resolver por dos meacutetodos
1e r Meacutetodo
2ordm Meacutetodo
5
6
7
8
9
10
11
12
El numerador es un inf in ito de orden superior
13
El denominador es un inf in ito de orden superior
14
15
16
17
Hallar los siguientes l iacutemites
1
Como no coinciden los liacutemites laterales la
funcioacuten no tiene liacutemite cuando x -1
2
3
4
Calcular los l iacutemites
1
2
3
4
5
Al elevar e l binomio del numerador al cuadrado
obtenemos x4 y por tanto el grado del numerador es
mayor que el grado del denominador
6
Hallar los l iacutemites
1
2
3
4
5
Hallar los s iguientes l iacutemites
1
2
3
4
No tiene l iacutemite en x = -1
5
6
7
Calcular los siguientes l iacutemites
1
2
3
El denominador es un inf in ito de orden superior
Calcular
1
2
3
4
5
6
7
8
Hallar los siguientes l iacutemites
1
2
3
4 Resolver por dos meacutetodos
1e r Meacutetodo
2ordm Meacutetodo
9
10
11
12
El numerador es un inf in ito de orden superior
13
El denominador es un inf in ito de orden superior
14
15
16
17
Hallar los siguientes l iacutemites
1
Como no coinciden los liacutemites laterales la
funcioacuten no tiene liacutemite cuando x -1
2
3
4
Calcular los l iacutemites
1
2
3
4
5
Al elevar e l binomio del numerador al cuadrado
obtenemos x4 y por tanto el grado del numerador es
mayor que el grado del denominador
6
Hallar los l iacutemites
1
2
3
4
5
Hallar los s iguientes l iacutemites
1
2
3
4
No tiene l iacutemite en x = -1
5
6
7
Calcular los siguientes l iacutemites
1
2
3
El denominador es un inf in ito de orden superior
Calcular
1
2
3
4
5
6
7
8
Hallar los siguientes l iacutemites
1
2
3
4 Resolver por dos meacutetodos
1e r Meacutetodo
2ordm Meacutetodo
El denominador es un inf in ito de orden superior
14
15
16
17
Hallar los siguientes l iacutemites
1
Como no coinciden los liacutemites laterales la
funcioacuten no tiene liacutemite cuando x -1
2
3
4
Calcular los l iacutemites
1
2
3
4
5
Al elevar e l binomio del numerador al cuadrado
obtenemos x4 y por tanto el grado del numerador es
mayor que el grado del denominador
6
Hallar los l iacutemites
1
2
3
4
5
Hallar los s iguientes l iacutemites
1
2
3
4
No tiene l iacutemite en x = -1
5
6
7
Calcular los siguientes l iacutemites
1
2
3
El denominador es un inf in ito de orden superior
Calcular
1
2
3
4
5
6
7
8
Hallar los siguientes l iacutemites
1
2
3
4 Resolver por dos meacutetodos
1e r Meacutetodo
2ordm Meacutetodo
Hallar los siguientes l iacutemites
1
Como no coinciden los liacutemites laterales la
funcioacuten no tiene liacutemite cuando x -1
2
3
4
Calcular los l iacutemites
1
2
3
4
5
Al elevar e l binomio del numerador al cuadrado
obtenemos x4 y por tanto el grado del numerador es
mayor que el grado del denominador
6
Hallar los l iacutemites
1
2
3
4
5
Hallar los s iguientes l iacutemites
1
2
3
4
No tiene l iacutemite en x = -1
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Calcular los siguientes l iacutemites
1
2
3
El denominador es un inf in ito de orden superior
Calcular
1
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3
4
5
6
7
8
Hallar los siguientes l iacutemites
1
2
3
4 Resolver por dos meacutetodos
1e r Meacutetodo
2ordm Meacutetodo
4
Calcular los l iacutemites
1
2
3
4
5
Al elevar e l binomio del numerador al cuadrado
obtenemos x4 y por tanto el grado del numerador es
mayor que el grado del denominador
6
Hallar los l iacutemites
1
2
3
4
5
Hallar los s iguientes l iacutemites
1
2
3
4
No tiene l iacutemite en x = -1
5
6
7
Calcular los siguientes l iacutemites
1
2
3
El denominador es un inf in ito de orden superior
Calcular
1
2
3
4
5
6
7
8
Hallar los siguientes l iacutemites
1
2
3
4 Resolver por dos meacutetodos
1e r Meacutetodo
2ordm Meacutetodo
2
3
4
5
Al elevar e l binomio del numerador al cuadrado
obtenemos x4 y por tanto el grado del numerador es
mayor que el grado del denominador
6
Hallar los l iacutemites
1
2
3
4
5
Hallar los s iguientes l iacutemites
1
2
3
4
No tiene l iacutemite en x = -1
5
6
7
Calcular los siguientes l iacutemites
1
2
3
El denominador es un inf in ito de orden superior
Calcular
1
2
3
4
5
6
7
8
Hallar los siguientes l iacutemites
1
2
3
4 Resolver por dos meacutetodos
1e r Meacutetodo
2ordm Meacutetodo
Al elevar e l binomio del numerador al cuadrado
obtenemos x4 y por tanto el grado del numerador es
mayor que el grado del denominador
6
Hallar los l iacutemites
1
2
3
4
5
Hallar los s iguientes l iacutemites
1
2
3
4
No tiene l iacutemite en x = -1
5
6
7
Calcular los siguientes l iacutemites
1
2
3
El denominador es un inf in ito de orden superior
Calcular
1
2
3
4
5
6
7
8
Hallar los siguientes l iacutemites
1
2
3
4 Resolver por dos meacutetodos
1e r Meacutetodo
2ordm Meacutetodo
Hallar los l iacutemites
1
2
3
4
5
Hallar los s iguientes l iacutemites
1
2
3
4
No tiene l iacutemite en x = -1
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Calcular los siguientes l iacutemites
1
2
3
El denominador es un inf in ito de orden superior
Calcular
1
2
3
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Hallar los siguientes l iacutemites
1
2
3
4 Resolver por dos meacutetodos
1e r Meacutetodo
2ordm Meacutetodo
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Hallar los s iguientes l iacutemites
1
2
3
4
No tiene l iacutemite en x = -1
5
6
7
Calcular los siguientes l iacutemites
1
2
3
El denominador es un inf in ito de orden superior
Calcular
1
2
3
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8
Hallar los siguientes l iacutemites
1
2
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4 Resolver por dos meacutetodos
1e r Meacutetodo
2ordm Meacutetodo
Hallar los s iguientes l iacutemites
1
2
3
4
No tiene l iacutemite en x = -1
5
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7
Calcular los siguientes l iacutemites
1
2
3
El denominador es un inf in ito de orden superior
Calcular
1
2
3
4
5
6
7
8
Hallar los siguientes l iacutemites
1
2
3
4 Resolver por dos meacutetodos
1e r Meacutetodo
2ordm Meacutetodo
No tiene l iacutemite en x = -1
5
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Calcular los siguientes l iacutemites
1
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3
El denominador es un inf in ito de orden superior
Calcular
1
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1
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3
4 Resolver por dos meacutetodos
1e r Meacutetodo
2ordm Meacutetodo
Calcular los siguientes l iacutemites
1
2
3
El denominador es un inf in ito de orden superior
Calcular
1
2
3
4
5
6
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8
Hallar los siguientes l iacutemites
1
2
3
4 Resolver por dos meacutetodos
1e r Meacutetodo
2ordm Meacutetodo
Calcular
1
2
3
4
5
6
7
8
Hallar los siguientes l iacutemites
1
2
3
4 Resolver por dos meacutetodos
1e r Meacutetodo
2ordm Meacutetodo
5
6
7
8
Hallar los siguientes l iacutemites
1
2
3
4 Resolver por dos meacutetodos
1e r Meacutetodo
2ordm Meacutetodo
Hallar los siguientes l iacutemites
1
2
3
4 Resolver por dos meacutetodos
1e r Meacutetodo
2ordm Meacutetodo
4 Resolver por dos meacutetodos
1e r Meacutetodo
2ordm Meacutetodo
2ordm Meacutetodo
