Límite matemático

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LÍMITE MATEMÁTICO En matemática, describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. Este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros. Es un valor de una función evaluada en un punto muy cercano a un valor, pero sin llegar a él, es decir, en el límite. Se suele hacer cuando la función no está definida para una parte del dominio. INDETERMINACIÓN Una indeterminación no significa que el límite no exista o no se pueda determinar, sino que la aplicación de las propiedades de los límites tal como las hemos enunciadas no son válidas. En estos casos hay que efectuar operaciones particulares para resolver cada una de las indeterminaciones. Tipos de indeterminación 1. Infinito partido por infinito 2. Infinito menos infinito 3. Cero partido por cero 4. Cero por infinito 5. Cero elevado a cero 6. Infinito elevado a cero 7. Uno elevado a infinito

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Trabajo de Matemática con descripcioon detallada de las formas de cálculo de límite de funciones

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LÍMITE MATEMÁTICO

En matemática, describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. Este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.

Es un valor de una función evaluada en un punto muy cercano a un valor, pero sin llegar a él, es decir, en el límite. Se suele hacer cuando la función no está definida para una parte del dominio.

INDETERMINACIÓN

Una indeterminación no significa que el límite no exista o no se pueda determinar, sino que la aplicación de las propiedades de los límites tal como las hemos enunciadas no son válidas.

En estos casos hay que efectuar operaciones particulares para resolver cada una de las indeterminaciones.

Tipos de indeterminación

1. Infinito partido por infinito

2. Infinito menos infinito

3. Cero partido por cero

4. Cero por infinito

5. Cero elevado a cero

6. Infinito elevado a cero

7. Uno elevado a infinito

Veamos cómo tratar cada una de estas indeterminaciones. Los métodos que se indican sirven de guía en casos parecidos.

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La función no está determinada para x = 1, la razón es que el denominador se hace 0. Este tipo de indeterminaciones ocurre, cuando en el numerador y el denominador de la función, existe algún factor que se hace 0, este factor suele ser del tipo : x - valor para el que queremos calcular el límite. Si logramos eliminar, este factor del numerador y del denominador, se obtiene otra función, que toma los mismos valores en todos los puntos que no sean el punto en cuestión.

En este caso concreto, el punto es : x = 1.

La nueva función permite obtener los valores en las proximidades del punto de la indeterminación, que son los que permiten calcular el límite. En el caso concreto que nos ocupa, sería:

Cuando x crece indefinidamente, esta función es un cociente de dos cantidades que crecen indefinidamente. Se puede plantear la duda, de que si al crecer x indefinidamente, también lo hará:

Puesto que sería la diferencia de dos cantidades que crecen indefinidamente, que es una indeterminación. Sacando factor común se transforma esta expresión en otra equivalente:

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Que crece indefinidamente, puesto que una cantidad que crece indefinidamente sigue creciendo indefinidamente aunque le restemos una cantidad constante y el producto de dos cantidades que crecen indefinidamente, también crece indefinidamente. Lo mismo ocurre con el denominador.

Como, al dividir numerador y denominador por una misma cantidad, distinta de 0, el valor de la fracción no cambia, sigue que:

Esta propiedad nos permite resolver este tipo de indeterminaciones. Se divide numerador y denominador por x, elevado al mayor de los expontentes con los que aparece en la función :

Hay un caso trivial, que ya hemos visto, sea:

Es la diferencia de dos cantidades que crecen indefinidamente, pero como :

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Y a una cantidad que crece indefinidamente, le quitamos una cantidad constante y sigue creciendo indefinidamente y el producto de dos cantidades que crece indefinidamente, crece indefinidamente, está claro que:

Veamos ahora otra indeterminación de este tipo, pero algo más complicada:

Como en este caso no se puede sacar factor común, para eliminar la indeterminación, multiplicamos y dividimos la expresión por su conjugado.

El conjugado de una expresión, que es la diferencia de dos cantidades que crecen indefinidamente, es otra igual, excepto que en lugar de una diferencia, es una suma de dos cantidades que crecen indefinidamente. En este caso, será:

Aparece este tipo de indeterminación cuando aparecen dos funciones tales que:

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Límite de una función

La noción de límite de una función en un número (un punto de la recta real) se presentará mediante el siguiente ejemplo: Supongamos que se nos pide dibujar la gráfica de la función

Para todo punto x ≠ 1 podemos trazar la gráfica por los métodos conocidos por todos nosotros. Ahora, para tener idea del comportamiento de la gráfica de f cerca de x=1, usamos dos conjuntos de valores x, uno que se aproxime al 1 por la izquierda y otro por la derecha.

Con la finalidad de calcular los límites de funciones de una manera más fácil y eficaz, que aplicando la definición, son empleados los teoremas 1 al 10.

Teorema 1. Límite de una función lineal.

Sea donde m y b son dos números reales cualesquiera y, entonces

Ejemplo 2.

Teorema 2. Límite de una función constante.

Si c es una constante (un número real cualquiera), entonces

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Ejemplo 3.

Teorema 3. Límite de una función identidad.

Sea , entonces

Ejemplo 4.

Teorema 4. Límite de la suma y de la diferencia de funciones.

Si y , entonces

Ejemplo 5.

Sean, y entonces,

y

Teorema 5. Límite de la suma y de diferencia de n funciones.

Si entonces:

Teorema 6. Límite del producto de dos funciones.

Si y , entonces

Ejemplo 6.

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Sean, y entonces,

Teorema 7. Límite del producto de n funciones.

Si entonces

Teorema 8. Límite de la n-ésima potencia de una función.

Si y n es cualquier número entero positivo, entonces

Ejemplo 7.

Sea, entonces,

Teorema 9. Límite del cociente de dos funciones.

Si y , entonces

Ejemplo 8.

Sean, y entonces,

Teorema 10. Límite de la raíz n-ésima de una función.

Si n es un número entero positivo y , entonces

con la restricción que si n es par, L > 0.

Ejemplo 9.

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Sea, entonces

Teorema 12. Límite del logaritmo de una función.

Sean: b un número real positivo y distinto de 1, y entonces

Ejemplo 10.

Calcule: aplicando el teorema 2.12.

Apliquemos el teorema exigido:

Sin aplicar el teorema:

Teorema 11. Unicidad del límite de una función.

Si y entonces,

Este teorema asegura que si el límite de una función existe éste es único.

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN.

Función continua en un número.

Una función f es continua en un número a si y sólo si se satisfacen las tres condiciones siguiente:

i. f (a) existe;

ii. existe;

iii.

Si por lo menos una de estas tres condiciones no se cumple en a, entonces se dice que la función f es discontinua en a.

Ejemplos 20.

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1) La función definida por es discontinua en 2, pues dicha función no está definida en el 2. Veamos como es su comportamiento gráficamente, mostrado en la figura 9.

La gráfica muestra un salto en el punto (2; 4), esto se debe a la discontinuidad de la función

en x= 2, por lo tanto, f(2) no existe. Observando la gráfica se sospecha que existe y es igual a 4.

Veamos si esto es cierto:

Cuando una función f presenta las características anteriores, es decir, no está definida en un

número a pero existe, se dice que f presenta una discontinuidad removible o

eliminable, porque si f es redefinida en a de manera que la nueva función es continua en a. Si una discontinuidad no es removible se dice que es una discontinuidad esencial.

La discontinuidad de la función es removible, porque si se redefine en 2, se obtiene la siguiente función:

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La función F es continua en 2, puesto que,

y

2) Sea g la función definida por La gráfica de la función es mostrada en la figura 10.

 

La gráfica de g se rompe en el punto donde pues la función no está definida en dicho

punto. Además, y luego, no existe. Por lo tanto,

i) no está definida.

ii) no existe.

Entonces, la función g es discontinua en y la discontinuidad es esencial porque no existe. La discontinuidad de éste ejemplo recibe el nombre de discontinuidad infinita.

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3) Sea h la función definida por

La gráfica de h es mostrada en la siguiente figura:

Veamos que sucede con las condiciones de continuidad de la función h en x = 2.

i) g(2) = 3

ii) y , por lo tanto, no existe.

Como la condición ii) no se cumple, h es discontinua en 2. La discontinuidad es infinita, y desde luego esencial.

LÍMITES NOTABLES.

En este apartado vamos a encontrar una serie de límites importantes que aparecen en un sinnúmero de ejemplos y problemas: los denominados límites notables.

Límites Algebraicos

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Por ejemplo, la sucesión es equivalente a la sucesión y por tanto la siguiente fórmula, conocida como la fórmula de Stirling, es válida:

Ejemplo 9.5   Calcular el límite

.

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Sea . Definamos . Entonces, como ,

pero

Límites de Funciones Trigonométricas

Límites que involucran funciones trigonométricas

Estudiaremos aquí los límites de las funciones seno y coseno, y algunos límites especiales que no pueden resolverse por los procedimientos ya estudiados.

Vamos a probar que:

a.  donde es un ángulo que se mide en radianes.

 

Recordemos que la medida en radianes de un ángulo se define por la igualdad siguiente:

, donde el la longitud del arco interceptado por el ángulo, sobre una circunferencia de radio , cuyo centro coincide con el vértice del ángulo, como se muestra en la siguiente figura:

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es la medida del arco es el radio del círculo

Consideramos ahora un círculo de radio uno y un ángulo agudo cuya medida en radianes es

 

En este caso como se tiene que por lo que

El triángulo es rectángulo y sus catetos miden respectivamente

(Note que ).

Por el teorema de Pitágoras se obtiene que:

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Como la longitud de es menor que la longitud del arco , es decir, es menor que , se tiene que:

Como los dos sumandos del primer miembro de la desigualdad anterior son positivos, entonces cada uno de ellos es menor que la suma de ambos, por lo que:

y como entonces:

de donde

Si es un número positivo, podemos tomar de tal forma que

siempre que .

De otra manera: siempre que por lo que , y

similarmente, siempre que por lo que

De esta forma hemos probado los dos límites.

b.

Vamos a probar ahora que

Observe que este límite no puede resolverse por los procedimientos ya estudiados de factorización, racionalización o cambio de variable, y que al evaluar directamente se

obtiene la forma .

Consideremos nuevamente un círculo unitario y designemos por el ángulo central

(siendo en radianes su medida), con , como se muestra en la figura siguiente:

 

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Puede observarse que: el área del el área del sector el área del (1). Además se tiene que:

el área del .

el área del sector

el área del

Sustituyendo en (1):

de donde

Como entonces , por lo que podemos dividir los términos de la desigualdad anterior por , sin alternar el sentido de la desigualdad, obteniendo entonces que:

por lo que

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Esta última desigualdad también es válida cuando pues

y además

Como y y , aplicando el teorema 11 se concluye que:

Ejemplos:

1.

2.

Observe que en este caso el argumento es , por lo que en el denominador se necesita también la expresión , de ahí que se lleve a cabo el siguiente procedimiento:

3. pues cuando

4.

5.

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Si a > 0

Si 0 < a < 1

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Límites de logaritmos

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