Limite y Continuidad Calculo vectorial

Leccion 2: Funciones vectoriales: lmite y

continuidad. Diferenciabilidad de campos

vectoriales

1.1 Introduccion

En economa, frecuentemente, nos interesa explicar la variacion de unas magnitudes respecto de otras.

As, por ejemplo, si tenemos dos magnitudes como el coste y la produccion y queremos analizar las

variaciones de una respecto a la otra se puede utilizar el concepto de coste medio y de coste marginal. Para

el segundo concepto necesitamos los conceptos matematicos de lmite y derivada de una funcion.

1.2 Funciones vectoriales: lmites y continuidad

Definicion 1.2.1 Una funcion vectorial es una aplicacion f : D IRn IRm tal que a cada vector

x = (x1, x2, . . . , xn) le hace corresponder un vector y = (y1, y2, . . . , ym), es decir, y = f(x).

Utilizaremos la siguiente notacion:

y1 = f1(x1, x2, . . . , xn)

y2 = f2(x1, x2, . . . , xn)...

ym = fm(x1, x2, . . . , xn)

Con f = (f1, f2, . . . , fm). Cada fi son funciones escalares, fi : IRn IR y les llamaremos funciones

componentes o proyecciones de la funcion vectorial f .

1

Ejemplo 1.2.1 Sea f : D IR3 IR2, con f(x, y, z) = (ln(xz),y2 4). Las funciones componentes def son:

f1 : D1 IR3 IR; f1(x, y, z) = ln(xz)

f2 : D2 IR3 IR; f2(x, y, z) =y2 4

El estudio de las funciones vectoriales se realiza a traves de sus funciones componentes, as si queremos

hallar el dominio de definicion D de la funcion f , obtenemos los dominios de definicion de cada una de sus

funciones componentes y la interseccion de todos ellos nos dara el dominio buscado.

Ejemplo 1.2.2 Obtener el dominio de definicion de la funcion f : D IR3 IR2, f(x, y, z) = (ln(xz),y2 4).f1 : D1 IR3 IR; f1(x, y, z) = ln(xz)

Por tanto D1 = {(x, y, z) IR3/ xz > 0}

f2 : D2 IR3 IR; f2(x, y, z) =y2 4

Por tanto D2 = {(x, y, z) IR3/ y2 4 0}. Entonces el dominio de definicion de f es

D = D1 D2 = {(x, y, z) IR3/ xz > 0; y2 4 0}

Pasamos a definir el concepto de lmite de una funcion vectorial, como se puede intuir sera una adaptacion

del concepto de lmite de una funcion real de variable real a funcion vectorial.

Definicion 1.2.2 Sea f : D IRn IRm y sea c un punto de acumulacion de D, decimos que

limxc f(x) = l IR

m

si

> 0, > 0 tal que si ||x c|| < ||f(x) l|| <

Como hemos indicado el estudio del lmite de una funcion vectorial se realizara a traves del estudio de sus

componentes, de ah que enunciemos el siguiente teorema que nos da la base matematica para llevarlo a

cabo.

Teorema 1.2.1 Sea f : D IRn IRm y sea c un punto de acumulacion de D. Son equivalentes

1) limxc f(x) = l = (l1, l2, . . . , lm)

2

2) limxc fi(x) = li IR i = 1, 2, . . .m

Ejemplo 1.2.3 Sea f : IR3 IR2 definida por f(x, y, z) = (exyz, x2 + y + 2z). Esta claro que ambas

componentes existen en el conjunto de los numeros reales, por lo tanto el dominio de la funcion sera todo

IR3.

Por otra parte, si queremos calcular el lmite de la funcion cuando (x, y, z) tiende al origen (0, 0, 0),

aplicando el teorema anterior calcularamos los lmites en el origen de las funciones componentes, es decir

l1 = lim(x,y,z)(0,0,0)

f1(x, y, z) = lim(x,y,z)(0,0,0)

exyz = 1

l2 = lim(x,y,z)(0,0,0)

f2(x, y, z) = lim(x,y,z)(0,0,0)

(x2 + y + 2z) = 0

Por tanto el lmite buscado es l = (1, 0).

Nuestro siguiente paso sera definir cuando una funcion vectorial es continua en un punto, esta definicion es

analoga a la dada para funciones escalares.

Definicion 1.2.3 Sea f : D IRn IRm decimos que la funcion es continua en c D si limxc f(x) =

f(c).

Hay que observar que en realidad esta definicion implica que

(1) f(c)

(2) limxc f(x) y sea finito

(3) limxc f(x) = f(c)

Pasamos a ver la continuidad de una funcion a traves de la continuidad de sus componentes.

Teorema 1.2.2 Una funcion vectorial es continua en un punto si y solo s sus funciones componentes son

continuas en dicho punto.

Definicion 1.2.4 Una funcion vectorial sera continua en un conjunto cuando sea continua en todos los

puntos de ese conjunto.

Ejemplo 1.2.4 Estudiar la continuidad de la funcion f : D IR2 IR2 definida por f(x, y) = (x2+ y,x+ 2).

Las funciones componentes son

f1(x, y) = x2 + y D1 = IR2

3

f2(x, y) =x 2 D2 = {(x, y) IR2/ x 2}

Por tanto D = D1 D2 = D2.

Por otra parte sabemos que f1 es continua en IR2 y que f2 es continua en D2, por lo tanto la funcion

vectorial f es continua en D2.

1.3 Diferencial de una funcion real de variable real

Recordemos que una funcion real de variable real es derivable en un punto c cuando existe y es finito el

siguiente lmite:

limh0

f(c+ h) f(c)h

A dicho lmite lo representamos por f (c).

En ese caso, la recta tangente a la funcion en el punto c tena la expresion:

y f(c) = f (c)(x c)

Si tenemos una funcion real de variable real y queremos estudiar su comportamiento local alrededor de un

punto c, tratamos de encontrar una funcion de naturaleza mas sencilla que la dada y que en un entorno del

punto aproxime a la funcion dada f . Parece logico adoptar la clase de las funciones lineales y = x para tal

aproximacion local. Usualmente se opta por comparar el cociente de la diferencia de ordenadas relativas a

f y a la funcion lineal aproximante con la variacion h de la abscisa, es decir el cociente:

f(c+ h) f(c) hh

de modo que el numerador sea despreciable frente al denominador.

En el caso de que la funcion sea derivable en c tomamos = f (c) y en realidad lo que hemos dicho se

resume matematicamente con la expresion:

limh0

f(c+ h) f(c) f (c)hh

= 0

La funcion aproximante f (c)h es una funcion lineal de IR en IR, y se le llama diferencial de la funcion f en

el punto c y se representa por Df(c). Damos, ahora, la definicion.

Definicion 1.3.1 Llamamos diferencial de la funcion f : I IR IR con I abierto en un punto c I,

a la aplicacion lineal Df(c) : IR IR tal que Df(c)(h) = f (c)h

4

Nota 1.3.1 Observar que la derivada de una funcion en un punto es un numero real, en cambio la

diferencial de una funcion en un punto es una aplicacion lineal.

Como el lmite expuesto previamente es cero, esto quiere decir que f(c+h) es aproximadamente igual

a f(c) + f (c)h en valores de h proximos a cero, esto es, cuando estamos proximos al punto c, la

funcion se aproxima por la recta tangente f(c) + f (c)h.

la diferencial de una funcion en un punto es una aplicacion lineal que existe si y solo s existe la

derivada en dicho punto.

Enunciamos un teorema que nos relaciona los conceptos de derivabilidad y diferenciabilidad de una funcion

en un punto.

Teorema 1.3.1 f : I IR IR con I abierto en un punto c I, se verifica:

fes derivable en c fes diferenciable en c

Ejemplo 1.3.1 Sea la funcion real de variable real f(x) = e2x2 que es derivable en todo IR, cuya funcion

derivada es f (x) = 2e2x2 y el valor de la derivada en c = 1 es f (1) = 2. La diferencial de la funcion en

c = 1 viene dada por Df(1)(h) = 2h.

Si queremos obtener, ahora, la diferencial de la funcion en c = 0, Df(0), calculamos f (0) = 2e2 y por

tanto Df(0)(h) = 2e2h.

1.4 Derivadas direccionales. Diferenciabilidad de funciones escalares

Si tenemos una funcion real de variable real y queremos acercarnos a un punto a traves de la funcion, solo

podemos hacerlo en la direccion de crecimiento del eje de abscisas (de menos a mas), pero si tenemos una

funcion escalar (definida de IRn en IR) hay infinitas direcciones para acercarnos a un punto. De ah nace el

concepto de derivada direccional.

Definicion 1.4.1 Sean f : D IRn IR con D abierto, c D, u un vector de IRn, tal que ||u|| = 1, y

IR suficientemente pequeno para que c+ u D. Llamamos derivada direccional de f en el punto c

y en direccion u al lmite.

Duf(c) = f (c;u) = lim0

f(c+ u) f(c)

5

Ejemplo 1.4.1 Sea la funcion f : IR2 IR definida como f(x, y) = x2 + y2, sea c = (2, 3). Calcular las

derivadas direccionales de f en el punto c en las direcciones de los vectores u =(35 ,

45

)y v = (2, 1).

||u|| = 1;

f(c+ u) = f((2, 3) +

(35,45

))=(2 +

35

)2+(3 +

45

)2= 2 +

365+ 13

f(c) = f(2, 3) = 22 + 32 = 13

Por tanto


f(c+ u) f(c)

= lim0

2 +365

=

365

Para calcular la derivada direccional en la direccion del vector v, lo primero sera normalizar el vector, para

ello calculamos su norma: ||v|| = 22 + 1 = 5 Consideramos entonces el vector normalizado v =(

25, 1

5

).

f(c+ v) = f((2, 3) +

(25,15

))=(2 +

25

)2+(3 +

15

)2= 2 +

145+ 13

f(c) = f(2, 3) = 22 + 32 = 13

Por tanto

Dvf(c) = f (c; v) = lim0

f(c+ v) f(c)

= lim0

2 +145

=

145

Nota 1.4.1 Recordar que cuando se toman como direcciones los vectores de la base canonica de IRn las

derivadas direccionales pasan a llamarse derivadas parciales, y que la matriz columna formada por las

derivadas parciales de la funcion en un punto se le llama el vector gradiente de la funcion en el punto y

se representa f(x).

1.4.1 Diferenciabilidad de funciones escalares

Vamos a introducir el concepto de diferenciabilidad de una funcion escalar, que sera analogo al que hemos

desarrollado para funciones reales de variable real.

Definicion 1.4.2 Sean f : D IRn IR con D abierto, c D, decimos que la funcion es diferenciable

en c si existe una aplicacion lineal Df(c) : IRn IR tal que

limh

f(c+ h) f(c)Df(c)(h)||h|| = 0

Nota 1.4.2 Hay que observar que h IRn por lo tanto h = (h1, h2, . . . , hn), luego h tendera al vector nulo

y no a 0 como pasaba en IR. Ademas el denominador es la norma de h que es un numero real.

6

Teorema 1.4.1 (condicion necesaria de diferenciabilidad) Sea f : D IRn IR con D abierto, si f

es diferenciable en c D, entonces f es continua en c D

Nota 1.4.3 Este teorema nos indica que es condicion necesaria para que una funcion sea diferenciable en

un punto es que sea continua en dicho punto, por lo tanto si una funcion no es continua en un punto

no puede ser diferenciable en dicho punto.

Como se puede intuir de la definicion de diferenciabilidad en un punto c no es posible obtener mucha

informacion practica sobre la aplicacion lineal Df(c), el siguiente teorema nos abre el camino para obtener

la matriz que lleva asociada dicha aplicacion lineal.

Teorema 1.4.2 Sea f : D IRn IR con D abierto, si f es diferenciable en c D, entonces para cada

vector u IRn con u 6= existen todas las derivadas de f en el punto c y en la direccion u y ademas se

verifica que:

Duf(c) = Df(c)(u)

Consecuencia 1.4.1 1. Df(c) es una aplicacion lineal, por tanto tiene asociada una matriz respecto a la

base canonica {e1, e2, . . . , en} de IRn. Sea x IRn, entonces x es combinacion lineal de los vectores de

la base canonica, es decir, x = x1e1 + x2e2 + + xnen, por tanto:

Df(c)(x) = Df(c)(x1e1 + x2e2 + + xnen) = x1Df(c)(e1) + x2Df(c)(e2) + + xnDf(c)(en)

ya que la aplicacion es lineal. Aplicando el teorema anterior a cada uno de los sumandos tenemos:

Df(c)(e1) = De1f(c) =f(c)x1

= D1f(c)

Df(c)(e2) = De2f(c) =f(c)x2

= D2f(c)

...

Df(c)(en) = Denf(c) =f(c)xn

= Dnf(c)

Por lo tanto

Df(c)(x) = x1D1f(c) + x2D2f(c) + + xnDnf(c) =

= (D1f(c), D2f(c), . . . , Dnf(c))

x1

x2

...

xn

= tf(c)

x1

x2

...

xn

7

En resumen:

La matriz asociada a la aplicacion lineal Df(c) respecto a la base canonica es el gradiente

traspuesto de la funcion en c.

2. Si f es diferenciable en c, entonces:

Duf(c) = Df(c)(u) = tf(c) u

3. Si no existe la derivada de f en alguna direccion u, entonces f no es diferenciable en c. En particular,

si no existe alguna derivada parcial de f en c tendremos que f no es diferenciable en c.

Enunciamos, ahora, un teorema que nos permitira estudiar la diferenciabilidad de una funcion escalar sin

necesidad de aplicar la definicion.

Teorema 1.4.3 (condicion suficiente de diferenciabilidad) Sea f : D IRn IR con D abierto, si

existen todas las derivadas parciales de f y son continuas en D, entonces f es diferenciable en cualquier

punto de D y se dice que f continuamente diferenciable en D.

Ejemplo 1.4.2 Estudiar la diferenciabilidad de la funcion f : IR2 IR dada por f(x, y) = 1x2 + y2

.

La funcion existe y es continua en el conjunto D = IR2 {(0, 0)}, por lo tanto estudiaremos la diferen-

ciabilidad en el conjunto D.

Calculamos las derivadas parciales

f

x= 2x

(x2 + y2)2;

f

y= 2y

(x2 + y2)2

Vemos que ambas son continuas en D, por lo tanto la funcion es diferenciable en D.

1.4.2 Aplicaciones de la diferenciabilidad

Dada una funcion real de variable real, sabemos que la ecuacion de la recta tangente a la funcion en

un punto viene expresada a traves de la derivada en dicho punto. De forma analoga se puede definir

la ecuacion del plano tangente a una superficie a traves de la definicion de diferencial. As, el plano

tangente a la funcion z = f(x, y) en el punto (a, b) es:

z = f(a, b) +tf(a, b)

x ay b

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Sea f : D IRn IR y sea c D. Queremos buscar cual es la direccion de maximo crecimiento

de la funcion a partir de c.

La funcion crecera mas rapido donde la derivada direccional sea maxima:

Duf(c) = tf(c) u = ||tf(c)|| ||u|| cos()

donde es el angulo formado por los vectores f(c) y u. Como ||u|| = 1 por ser una derivada

direccional, tendremos que:

Duf(c) = tf(c) u = ||tf(c)|| cos()

Como |cos()| 1, la expresion anterior obtendra el maximo valor cuando cos() = 1, es decir, cuando

= 0, lo que nos dice que la direccion de maximo crecimiento se obtiene cuando el vector u tenga la

misma direccion que el vector gradiente. Ademas como debe ser unitario, se toma:

u =f(c)||f(c)||

1.5 Matriz Jacobiana. Diferenciabilidad de funciones vectoriales

Como hemos visto con anterioridad cuando tenemos una funcion vectorial, el estudio de la existencia del

lmite y la continuidad de la funcion se reduce a analizar que ocurre con sus funciones componentes. La

diferenciabilidad no va a ser diferente, aun cuando demos la definicion formal, su estudio se realizara a traves

de sus funciones componentes.

Definicion 1.5.1 Sea f : D IRn IRm una funcion vectorial con D abierto, sea c D y u IRn con

||u|| = 1, definimos derivada direccional de f en c y en la direccion u como


f(c+ u) f(c)

=

= lim0

(f1(c+ u), f2(c+ u), . . . , fm(c+ u)) (f1(c), f2(c), . . . , fm(c))

=

=(lim0

f1(c+ u) f1(c)

, lim0

f2(c+ u) f2(c)

, , lim0

fm(c+ u) fm(c)

)=

= (Duf1(c), Duf2(c), . . . , Dufm(c))

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Es decir, la derivada direccional de una funcion vectorial, es un vector cuyas componentes son las derivadas

direccionales de las funciones componentes de la funcion. De aqu: para que exista Duf(c) deben existir

Dufi(c), i = 1, 2, . . . ,m.

Como sabemos que las derivadas parciales de una funcion escalar son un caso particular de las derivadas

direccionales de una funcion escalar, de la definicion anterior deducimos que las derivadas parciales de

una funcion vectorial son un caso particular de las derivadas direccionales de una funcion vectorial. Es

decir: para calcular las derivadas parciales de una funcion vectorial nos basta con calcular las

derivadas parciales de cada una de las funciones componentes.

Definicion 1.5.2 Definimos la matriz jacobiana de una funcion f : D IRn IRm, con D abierto, en

c D, como

Jf(c) =

D1f1(c) D2f1(c) Dnf1(c)

D1f2(c) D2f2(c) Dnf2(c)...

.... . .

...

D1fm(c) D2fm(c) Dnfm(c)

Nota 1.5.1 Observar que otra manera mas facil de escribir la matriz jacobiana es

Jf(c) =

tf1(c)

tf2(c)...

tfm(c)

Pasemos a definir el concepto de diferenciabilidad de una funcion vectorial en un punto que sera analogo al

de funcion escalar

Definicion 1.5.3 Sea f : D IRn IRm, con D abierto, en c D, decimos que la funcion es diferen-

ciable en c si existe una aplicacion lineal Df(c) : IRn IRm tal que

limh

||f(c+ h) f(c)Df(c)(h)||||h|| = 0

Enunciamos, ahora, una serie de teoremas que nos ayudaran en la aplicacion practica del concepto de

diferenciabilidad.

Teorema 1.5.1 (condicion necesaria y suficiente de diferenciabilidad) Sea f : D IRn IRm, con

D abierto, en c D, f es diferenciable en c si y solo si sus funciones componentes son diferenciables en c.

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Teorema 1.5.2 (condicion necesaria de diferenciabilidad) Sea f : D IRn IRm, con D abierto,

en c D, Si f es diferenciable en c entonces f es continua en c.

Teorema 1.5.3 Sea f : D IRn IRm, con D abierto, en c D, Si f es diferenciable en c entonces

existen las derivadas direccionales de f en c para cualquier vector unitario u IRn y ademas se verifica que:

Duf(c) = f (c;u) = Df(c)(u)

Como Df(c) : IRn IRm es una aplicacion lineal tendra asociada una matriz respecto a la base canonica.

Utilizando el teorema anterior y recordando que la diferencial de una funcion vectorial se descompone en

las diferenciales de cada una de sus funciones componentes y razonando de forma analoga a como hicimos

para las funciones escalares, podemos deducir que la matriz buscada es la matriz jacobiana y ademas

Df(c)(h) = Jf(c) h =

D1f1(c) D2f1(c) Dnf1(c)

D1f2(c) D2f2(c) Dnf2(c)...

.... . .

...

D1fm(c) D2fm(c) Dnfm(c)

h1

h2

...

hn

Ejemplo 1.5.1 Sea f : IR2 IR2 definida por: f(x, y) =

(x+ y,

1x+ y

)y el punto P (1, 2)

1. Determinar el conjunto en el que f es diferenciable.

2. Obtener la matriz jacobiana de f en un punto generico.

3. Calcular la diferencial de f en un punto generico y, si es posible, en el punto P .

Para resolver el primer punto lo primero sera analizar la funcion dada a traves de sus componentes (condicion

necesaria y suficiente de diferenciabilidad para funciones vectoriales). Una vez centrados en las funciones

componentes (que son funciones escalares) estudiamos donde van a ser continuas (recordar la condicion

necesaria de diferenciabilidad para funciones escalares). Por ultimo analizaremos la continuidad de las

derivadas parciales de dichas funciones componentes (recordar la condicion suficiente de diferenciabilidad

de las funciones escalares).

f1 : IR2 IR; f1(x, y) = x+ y f1 es continua en todo IR2

Calculamos sus derivadas parciales y vemos donde son continuas.

f1x

(x, y) = 1;f1y

(x, y) = 1

11

Ambas son continuas en IR2.

Por lo tanto f1 es diferenciable en todo IR2 y su vector gradiente en un punto generico es:

f1(x, y) =

11

f2 : IR2 IR; f2(x, y) = 1

x+ y f2 es continua en el conjunto A2 = {(x, y)/ x+ y 6= 0}

Calculamos sus derivadas parciales

f2x

(x, y) = 1(x+ y)2

;f2y

(x, y) = 1(x+ y)2

;

Ambas son continuas en el conjunto A2.

Por tanto f2 es diferenciable en A2 y su vector gradiente en un punto generico es

f2(x, y) =

1(x+ y)2

1(x+ y)2

En resumen, f sera diferenciable en la interseccion de los conjuntos en que sean diferenciables cada una de

sus componentes, en este caso f es diferenciable en A2 = {(x, y)/ x+ y 6= 0}.

Pasemos, ahora, al segundo punto de nuestro ejercicio: la jacobiana de f en un punto generico (x, y) A2es

Jf(x, y) =

tf1(x, y)tf2(x, y)

= 1 1 1

(x+ y)2 1(x+ y)2

Por ultimo, obtengamos la diferencial en un punto generico y en el punto P . Debemos recordar que

Df(c)(h) = Jf(c) h

En nuestro caso consideramos primero c = (x, y)

Df(x, y)(h) = Jf(x, y) h =

1 1 1(x+ y)2

1(x+ y)2

h1

h2

En el punto dado, c = (1, 2) A2 y tenemos que

Df(1, 2)(h) = Jf(1, 2) h =

1 119

19

h1

h2

12

1.6 Regla de la cadena

1.6.1 Introduccion

Antes de enunciar el teorema de la regla de la cadena que nos va a permitir obtener, cuando sea posible, la

diferencial de una funcion compuesta, es importante recordar algunos conceptos basicos en IR.

1. Sean f : A IR IR y g : B IR IR, con f(A) B, definimos g f : A IR IR como

(g f)(x) = g (f(x))

Ejemplo 1.6.1 Sean f(x) = x2 + 1; g(x) = 34x, entonces

(g f)(x) = g (f(x)) = g(x2 + 1) = 34(x2 + 1)

Analogamente

(f g)(x) = f (g(x)) = f( 34x) = ( 3

4x)2 + 1 = 3

16x2 + 1

2. (Regla de la cadena para funciones reales de variable real) Sean f : A IR IR y g : B IR

IR, con A y B abiertos y f(A) B, sean c A y f(c) B, entonces si f es diferenciable en c y g es

diferenciable en f(c) tendremos que g f : A IR IR es diferenciable en c y ademas se verifica que

(g f)(c) = g [f(c)] f (c)

Ejemplo 1.6.2 Considerando las funciones del ejemplo anterior

(g f)(x) =(

3

4(x2 + 1)

)=

13(4x2 + 4)

23 8x

1.6.2 Regla de la cadena para funciones vectoriales

Teorema 1.6.1 Sean f : A IRn IRm y g : B IRm IRp, con A y B abiertos y f(A) B, sean

c A y f(c) B, si f es diferenciable en c y g es diferenciable en f(c) tendremos que g f : A IRn IRp

es diferenciable en c y ademas se verifica que D(g f)(c) = Dg [f(c)] Df(c), por tanto:

J(g f)(c) = Jg [f(c)] Jf(c)

Ejemplo 1.6.3 Sean f : A IR2 IR3, f(x, y) = (ex+y, x y, x2) y sea g : B IR3 IR2, g(u, v, w) =

(uw, sen(v + w)). Probar que g f es diferenciable en (0, 0) y calcular J(g f)(0, 0).

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Empezamos estudiando la diferenciabilidad de f a traves de sus funciones componentes:

f1(x, y) = ex+y es continua en todo IR2

f1x

(x, y) = ex+y;f1y

(x, y) = ex+y son continuas en todo IR2

Por tanto f1 es diferenciable en todo IR2 y en particular en (0, 0).

f2(x, y) = x y es continua en todo IR2

f2x

(x, y) = 1;f2y

(x, y) = 1 son continuas en todo IR2


f3(x, y) = x2 es continua en todo IR2

f3x

(x, y) = 2x;f3y

(x, y) = 0 son continuas en todo IR2


Por tanto f es diferenciable en todo IR2 y en particular en (0, 0). Ademas:

Jf(x, y) =

ex+y ex+y

1 1

2x 0

Jf(0, 0) =

1 1

1 1

0 0

Estudiamos, ahora, la diferenciabilidad de g a traves de sus funciones componentes:

g1(u, v, w) = uw es continua en B1 = {(u, v, w)/ u > 0}

g1u

(u, v, w) = wuw1;g1v

(u, v, w) = 0;g1w

(u, v, w) = uwln(u) son continuas en B1

Por tanto g1 es diferenciable en B1 y en particular en f(0, 0) = (1, 0, 0).

g2(u, v, w) = sen(v + w) es continua en todo IR3

g2u

(u, v, w) = 0;g2v

(u, v, w) = cos(u+ w);g2w

(u, v, w) = cos(v + w) son continuas en todo IR3

Por tanto g2 es diferenciable en todo IR3 y en particular en f(0, 0) = (1, 0, 0).

14

Por tanto g es diferenciable en B1 y en particular en f(0, 0) = (1, 0, 0). Ademas:

Jg(u, v, w) =

wuw1 0 uwln(u)0 cos(v + w) cos(v + w)

Jg(1, 0, 0) =

0 0 00 1 1

A continuacion aplicamos la regla de la cadena en el punto (0, 0):

J(g f)(0, 0) = Jg(1, 0, 0) Jf(0, 0) =

0 0 00 1 1

1 1

1 1

0 0

= 0 0

1 1

15

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