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Tabla de contenido Introduccon Enenas blancas Lmite de Chandrasekhar Bibliografa

Lmite de Chandrasekhar

Martin Hendrick

24 de mayo 2010


Introduccon

Enenas blancas


Bibliografa


Introduccon

Fsica estadistica = estudio de sistemas compuestos demuchas particulas

Muchas particulas imposiblilidad de determinar el estadomicroscopico del sistema

Fsica estadistica describe el sistema gracias a sus propiedadesmacroscopicas (presion, temperatura, densidad,...)

Un estdo macroscopico coresponde a un gran conjunto deestado microscopico posible

Postulado de la fsica estadisticaDado un sistema aislado en equilibrio, el sistema tiene la mismaprobabilidad de estar en cualquiera de los microestados accesibles


Introduccon

Estudiar las propiedades macroscopicas = deteminar cuantodiferentes estados microscopicos hay (para un conjunto decaracteristicas dadas, pe la energia)

En resumen hay que contar. Particulas identicas cuanticas (non interactuantes) imponen

una maniera bien definida de contar

Las particulas cuanticas son de dos tipos : bosones fermiones (funcion de onda antisimetrica principio de

exclusion de Pauli)

Un sistema de N particulas identicas es determinado por elconjunto de numero de ocupacion (n1, n2, ..., nj , ...)


Introduccon

Sea = (n1, n2, ..., nj , ...) el estado Entonces N =

j nj = numero total de particulas en el

estado

De la misma manera, si j es la energia de una particula en elestado j, E =

j jnj

Para un sistema de fermiones, debido al principio de exclusionde Pauli, nj = 0 o 1. La estadistica generada por esta manerade contar, aqui es la que nos interesa, se llama la estadisticade Fermi-Dirac

Dando el postulado de la fisica estdistica, queremos calcularN = j nj y E = j nj j


Introduccion

Con un poco de trabajo podemos caluclar nj Para los fermiones

nj = 1e(j) + 1

F (j)

= 1/kbT , el potencial quimico, F (j) funcion de Fermi

Ejemplo : gas de electrones non relativista en un potentialinfinito

Schrodinger j = (~k2/2m), con~k = (xnx + yny + znz)pi/L, L

3 = V

N =j

nj = 2

0

dnx

0

dny

0

dnzF [(k)]


Introduccion

Seguimos

N =j

nj = 2

0dnx

0

dny

0

dnzF [(k)]

= 2

0

0

0

[dkxdkydkz/(pi/L)3]F [(k)]

=

[2V

(2pi)3

]

dkxdkydkzF [(k)]

=

[2V

(2pi)3

] d~kF [(k)]


Introduccion

A T = 0 para < 0 F : F () = 1 para < F : F () = 0

N =[

2V

(2pi)3

] d~kF [(k)]

=

[2V

(2pi)3

]4pi

kF0

k2dk =2V

(2pi)3~34pi

3p3F

F = ~2

2m

(6pi2

2

)2/3~p = ~~k , = N /V


Enenas blancas

Diagrama de Hertzprung-Russell en el que se ve que laluminosidad de un estrella normal color

excepcion : gigante roja (anormalamente luminosa para su color roja) enenas blancas (luminosidad anormalmente debil para su color

blanca)


Masa de una enena blanca M, volumen V Alta temperatura, que viene de la estrella madre, emitida muy

despacio, debido a su pequena superficie

Pequena superficie una luminosidad debil Aqui, para simplificar vamos a considerar enenas blancas

compuestas solamente de helio

Estructura interna determinada para el equilibrio fuerza degravidad fuerza de preson (debido al principio de exclusionde Pauli)


Enenas blancas

Un modelo de enenas blancas puede ser contruido a partir deestes datos :

Densidad 107 g/cm3 107Masa 1033 g M

Temperatura en el centro 107 K T En resumen, una enena blanca es un sistema compuesta de

helio a una grande temperatura y a un compreson extrema.

107 K 1000 eV (energia termica) los atomos de helioestan completamente iozinados podemos ver la estrellacomo un gas de nucleus y electrones de helio


Enenas blancas

Consideremos el gas de electrones como un gas de Fermi idealde densidad 1030 electrones/cm3

Energia de Fermi asociada :

F ~2

2m

1

2/3 20 MeV

TF Fk 1011 K

TF >> T gas de electron = un gas de fermi de altadegeneracon

Modelo : N electrones a T=0. F dinamica relativista. LosN/2 nucleus de helio creen la atraccion gravitacionalsuficiente para mantener el sistema al equilibrio. No tenemosen cuenta las radiaciones y la preson debida a la energiacinetica de los nucleus.



Energia de un electron relativista de momento ~p (p = |~p|), despin s = 12 y de masa me :

~ps =

(pc)2 + (mec2)2

Energia del gas a T = 0 :

E0 = 2p



Hacemos el cambio de variable x = p/mec

E0N

=m4ec

5

pi2~3vf (xf )

dondef (xF ) =

xf0

dxx2

1 + x2

si xf > 1f (xf ) =

1

4x4F (1 +

1

x2F+ ...)



Sea mp la masa de un proton, M la masa de la estrella y R suradio, entonces

M = (me + 2mp)N 2mpN

R =

(3V

4pi

)1/3 Podemos reescribir xF

xF pFmec

M1/3

R

M =9pi

8

M

mp

R =R

~/mec



La presion del gas de Fermi es P0 = E0V En el caso no relativista (xF > 1) P0 K

(M

4/3

R4 M

2/3

R2

) donde

K =mec

2

12pi2

(mec~

)3



Condicion de equilibrio. energia que deberiamos ejercer si no haba energia de

interacion gravitatoria= energia de interaccion gravitatoria

trabajo para compresar el gas de fermion del un volumeninfinito hasta el radio R de la estrella

R

P04pir2dr = M

2

R

Diferenciando esta relacon obtenemos la condicion deequilibrio y utilizando las expreciones de M y R

P0 =

4pi

(8mp9pi

)2 (mec~

)4 M2R

4



Para un gas non reltivista

R 1M1/3

Valid para densidad debil M pequena y grande R Para un gas ultra-relativista

R M2/3

1 C (M/M0)2/3

Con M0 M. Esta formula esta valid para alta densidad (oR 0)


Enenas blancas

De la formula anterior podemos deducir que no hay enenasblancas con una masa > M0

Fsicamente se entiende facilamente. Si M > M0, la presonque viene del principio de exclusion de Pauli no esta suficientepara contrar el colapso gravitatorio.

Un calculo mas minusioso nos da que M0 = 1.4M. Esto es loque se llama la lmite de Chandrasekhar


Bibliografa

S. Chandrasekhar.On stars, their evolution and their stability.Nobel lecture, 1983.

K. Huang.Statistical mechanics.John Wiley & Sons, 1987.

D. Chandler.Introduction to modern statistical mechanics.Oxford University Press, 1987.

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