Lmites de FuncionesLmites de FuncionesLmites LateralesContinuidadRecta tangente a la CurvaLmites de FuncionesEn esta secci\on veremos el concepto de ``arbitrariamente proximo", idea que ya fue desarrollada en lmite de sucesiones, es decir, en funciones de , la diferencia en este estudio ser\a principalmente en el dominio, que en esta oportunidad es un subconjunto de . Recordemos que una vecindad de es de la forma , donde (en general una vecindad de es un abierto que contiene a ). Punto de Acumulaci\onSea y ( no necesariamente en ). Diremos que es un punto de acumulaci\on de si toda vecindad de , , contiene alg\un punto diferente de . En notaci\on m\as formal

\o

El conjunto derivado de , denotado por , es el conjunto de todos los puntos de acumulaci\on de , es decir,

Sea . Como toda vecindad de intersecta a se tiene que es un punto de acumulaci\on de (es decir, ). En forma f\acil se puede ver que . Sea . no es punto de acumulaci\on de pues existe vecindad de tal que . Una forma de visualizar los puntos de acumulaci\on, est\a dada en la siguiente proposici\on Sea no vaco si y solo si toda vecindad de contiene infinitos puntos de Demostraci\on: ( ) Trivial ( ) Si tomamos vecindades de la forma ( es decir, con ). Para existe y existe tal que . Para existe y existe tal que , etc. Por un proceso inductivo se puede garantizar la existencia de

todos puntos de . Sea no vaco

Esto se puede ver en la demostraci\on de la proposici\on anterior

Claramente se ve que , m\as a\un

Sea entonces , lo mismo ocurre con (i-rra-cionales), . Estos resultados se deben al hecho que todo intervalo tiene infinitos racionales, en el primer caso, o infinitos irracionales, en el segundo caso Sea . Claramente se ve que ning\un punto de es punto de acumulaci\on ya que tomando, , vecindad , ella s\olo tiene un punto en com\un con , y si siempre existe una vecindad que no contiene puntos de . Luego tenemos . Un punto en se dice aislado, si existe una vecindad de , , tal que En el ejemplo anterior est\a formado s\olo por puntos aislados, lo mismo ocurre con y con Observacin: Si , tenemos la certeza que arbitrariamente cerca de siempre hay elementos de , esto no ocurre si es un punto aislado de . Definicin de lmite de funcionesSean funci\on y Diremos que el lmite de es cuando tiende a si para toda vecindad de existe una vecindad de , tal que Note_1

es decir, los elementos arbitrariamente cercanos a (los puntos de la vencindad ), salvo el mismo , que son tomados por (ya que deben est\ar en ) tiene sus imagenes arbitrariamente cercanas a (ya que deben estar en ) Notaci\on:

La definici\on anterior es necesario escribirla en un lenguaje que nos permita operar con ella. Como las vecindades de son de la forma , la frase para ``toda vecindad de '' equivale a tomar cualquier \o ; lo mismo ocurre con las vecindades de , , en este caso el cuantificador en la definici\on es existe, Por lo anterior tenemos que

si y slo si

Figura

Ahora recordando que

se puede escribir: Definici\on Tradicional:

si y s\olo si

As, demostrar que consiste en: encontrar un para un dado (arbitrario) y que verifique la implicaci\on

Demostraci\on de Lmite .Sea . Demostrar que Soluci\on: Ya que para todo existe tal que

As,

?`Por qu\e tomamos ? Para que justamente se d\e la desigualdad y no otra desigualdad. Notemos que: El buscado debe satisfacer:

y como es creciente, debe satisfacer

o equivalentemente

de lo cual tenemos

As, para dado, buscado debe cumplir (cualquier positivo menor o igual que ) Observaci\on: En general se tiene que si con y y , entonces . En este caso basta tomar ya que . Si se tiene que . Sea , (Ver figura ms abajo). Demostrar que

Solucin: Notar que . El lmite es correcto ya que lo siguiente es verdadero: Para cada existe tal que: . La implicacin anterior es verdadera por la siguiente cadena:

Sea . Demostrar Soluci\on: Dado

es decir,

As, . La pregunta natural es: Para ?`Cu\al tomar (c\omo se obtiene un ) apropiado para que todo quede como la definici\on tradicional? La t\ecnica consiste en buscar una relaci\on entre , esta se consigue buscado una relaci\on entre

En el ejemplo se considera y ; Dado que , si queremos (esto equivale a ), necesitamos entonces tomar es decir, necesitamos tomar con . En el ejemplo se considera y . ?`C\omo est\a relacionado con la segunda expresi\on? Para contestar esto necesitamos trabajar con la segunda expresi\on

Por lo tanto, la segunda expresi\on es menor que si la primera tambi\en lo es, es decir, debe ser igual a . En el ejemplo los t\erminos a comparar son y . En este caso queremos que

Por lo tanto, , este \ultimo paso sugiere que debe ser tomando como , pero esto no es correcto ya que es un n\umero positivo y no una funci\on de . En este caso se acota superiormente y esa cota se hace menor que con alg\un apropiado. Note que si y

Por lo tanto y si y a la vez () se tiene

Por lo tanto

Esta t\ecnica se usa generalmente cuando aparece s\olo como un factor en y tal procedimiento es llamado acotamiento. Veamos ahora un caso m\as complicado para un estudiante que tenga pro-ble-mas con las desigualdades entre inversos. El ejemplo se ver\a diferente al anterior pero s\olo usaremos la t\ecnica de acotamiento. Demostrar . Notemos que si entonces Solucin: Dado , existe tal que

Por lo tanto

Observaci\on: En general, se puede demostrar que si I) Demostrar que Determine si la siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas II) Dado , existe tal que

III) Dado , existe tal que

Solucin: I) Veamos como se encuentra en . Como

entonces debemos acotar por un nmero Si se tiene que:

Por lo tanto, dado tal que

Por lo tanto por y tenemos

II) Verdadero. Por lo anterior: Dado , existe tal que

y como entonces

III) Falso. Si tenemos

ahora si , existe pero pues

Demostrar que Solucin: Necesitamos buscar el trmino (factor) (o equi-va-len-temente el trmino ) en

Ya que

bastar acotar superiormente , por un nmero positivo , puesto que si

se tendra

as, bastara tomar y se obtendra

Veamos si es posible acotar superiormente para en una vecindad de .

As, si se tiene no es acotado superiormente. El problema en este caso es que la vecindad tomada en torno al incluye al valor quin anula a . La vecindad debe excluir a y cercano a l. Por ejemplo la vecindad dada por

luego si De esta forma, dado basta tomar ya que si se tiene

y adems

El acotamiento realizado en este problema consisti realmente en determinar en qu conjunto se encuentra el recorrido de la funcin para valores cercanos a . Analizando el grfico de , para una vecindad apropiada del se tiene naturalmente que ser acotada; si la vecindad es grande como para contener a no ser acotada superiormente ya que es infinitamente grande cerca de (ver figura )

Demuestre que

Solucin: Nuestro objetivo es buscar en . Como

tendremos que acotar en una vecindad del punto . Veamos esto grficamente en la figura que sigue

. donde Naturalmente que es acotado, tomando una vecindad de de radio es decir, se tiene por el gr\afico que

es decir, si , entonces se tiene que: y . De esta forma, dado , existe y tal que

As,

Por lo tanto

Teoremas Bsicos sobre LmitesA continuaci\on veremos un teorema que es utilizado para probar la no existencia de lmites, el teorema de unicidad de unicidad El lmite de una funci\on (en un punto) es \unico Sea funci\on . Si existe el lmite de f cuando entonces es \unico. Es decir,

Demostraci\on: Por el absurdo. Supongamos , entonces podemos tomar vecindades disjuntas y , es decir . Como , existe una vecindad de a, , tal que , por otra parte se tiene , entonces existe una vecindad de a, tal que . Es claro que (es imposible que sea vaca la intersecci\on ya que ambas son vecindades de y es un punto de acumulaci\on de

por lo tanto

pero contradici\on. As Note_2 Sea (por lo tanto ). Sea y . Si entonces . Reciprocamente. Si B contiene un intervalo abierto que contiene a se tiene que si entonces . Demostraci\on: La demostraci\on de la primera parte es basada en teora de conjunto. Si se tiene que para toda vecindad de existe una vecindad de tal que

por lo tanto tambi\en se tiene

ya que

luego

La otra parte del teorema realza el concepto de lmite en el sentido que basta analizar los puntos cercanos a . Claramente se ve que . Aqu se est\a pensando en la funci\on . El teorema anterior nos dice que cumple que

Sea , Probemos no existe (Por el absurdo). Supongamos que existe, es decir, . con luego, si con-si-de-ramos

entonces seg\un el teorema anterior.

pero claramente para todo y para todo . Por lo tanto

lo que contradice Por consiguiente no existe. En forma analoga se prueba la no existencia de , donde , Sea

ambos tienen a como punto de acumulaci\on Supongamos que , por lo tanto

Pero , y por lo tanto

Por otra parte, y como ,entonces

As de donde , lo que contradice Lmites LateralesEl lmite lateral derecho de en se entiende como el lmite siguiente y se anota .(si es punto de acumulaci\on de ) Note_3 An\alogamente se define lmite lateral izquierdo como y se denota como .(si es punto de acumulaci\on de Por teorema anterior se tiene que: Si est\a definida en un intervalo abierto que contiene a (no necesariamente definida en ) entonces Si existe y es igual a , entonces ambos lmites laterales existen y son iguales. Por consiguiente usando la equivalencia tenemos: Si los lmite laterales no existen o son diferente entonces no existe. (insistimo en que siempre que est\a definida en un intervalo abierto que contiene a ) Sea

Calculemos los lmites laterales en . Notemos que est\a definida en .

Por a) y b) se tiene luego no existe. Consideremos la funci\on Hemos visto en un ejemplo anterior que existe y su valor es . Sin embargo no podemos afirmar que ambos lmites laterales existan. En este caso, del , luego no esta definida en todo un intervalo abierto que contenga a . Observamos la demostraci\on del ejemplo es claro que

Sobre el lmite lateral izquierdo se tiene que la proposici\on

es verdadera para todo ya que no existe en que cumple . De esta forma aparentamente para todo Pero no es un punto de acumulaci\on de . Por lo tanto el lmite lateral izquierdo en no se puede calcular (no tiene sentido la expresi\on). Observaci\on: En t\erminos de la definici\on de lmite lateral derecho y lateral izquierdo es:

Ahora, supongamos que existen y son iguales los lmites laterales de una funci\on en , es decir,

Entonces podemos afirmar que existe y . En efecto: Dado que existen los lmites laterales entonces se tiene y . Sea y consideremos entonces se tiene

de donde:

Hemos demostrado de esta forma el siguiente teorema. Si los lmites laterales en existen (se pueden calcular) y ambos son iguales a entonces se tiene que existe y . Sea

Determinemos si existe . Como y entonces . Luego, por teorema anterior . Sea , verifiquemos que no tiene l mite en . Como y adem\as , se tiene que no existe. Determinemos el valor de verdad de las siguientes proposiciones . no existe. Si entonces el Solucin: Falso. Si entonces en una vecindad del cero, luego en por lo tanto

Falso. Por lo anterior, se tiene:

luego

Note que cambia de signo cerca del punto y al tomar tendiente a cero estamos tomando punto cerca de cero donde tiene el valor posivo. Verdadero. , luego . Verdadero. y luego los lmites laterales son iguales por lo tanto

Falso. . Calculando los lmites laterales tenemos y por la izquierda

Determine de modo que

Soluci\on: Notemos que si y si , luego calculemos los lmites laterales

Por otra parte

Luego existe si y s\olo si , es decir,

de donde . Por lo tanto, el lmite existe si y s\olo si . Calculemos

En este caso, notemos si `` tiende a cero'' el factor es positivo, luego para todo cerca de y

Luego . Algebra de LmitesSea y sean y tal que existan los lmites , entonces a) lmite de la suma tambi\en existe en y se tiene

b) lmite del producto existe en y se tiene

c) lmite del cuociente existe en cuando y se tiene

Demostraci\on: Usar resultado de algebra de lmites de sucesiones y teorema del enlace, que veremos posteriormente. Observaci\on: En particular de (b) se deduce que Si entonces . Observaci\on: Es importante enfatizar que para aplicar el algebra de lmites, debemos estar seguros de que se verifiquen las hip\otesis. Si no es as podemos obtener contradicciones como veremos a continuaci\on. Es claro que . Sin embargo, si escribimos

y aplicamos el algebra de lmites sin asegurarnos de que ambas l mites existan podemos decir equivocadamente que.

de donde lo que es una contradicci\on (y esto sucede porque no existe. Observaci\on: Si se tiene que

Tomando, en particular, se tiene que

Es decir, que f es acotada superiormente por en la vecindad y tambi\en acotada inferiormente por en el mismo conjunto. Acotamiento Sea . Sea una vecindad de tal que 1) se tiene: y adem\as 2) ,entonces

Demostracin: (ver figura anterior) Dado tenemos para y lo siguiente

pero ) y as,

se tiene

Por lo tanto,

Por lo tanto

Lo siguiente est relacionado con la figura . Cuando se define geomtricamente la funcin y se utiliza la circunferencia de radio como en la figura , es as que las coordenadas del punto son donde esta medido en radianes.

Figura

Por otra parte, pensando en la definici\on de las funciones trigonom\etricas usando un tri\an-gu-lo rect\angulo, se tiene que Note_4

De esta forma, las coordenadas del punto son Por el hecho que la circunferencia tiene radio y el \angulo est\a dado en radianes, se tiene que el arco de circunferencia de a es la longitud . Nota: en la figura el \angulo satisface , pero claramente se puede ver que si es negativo y mayor que , s\olo hay que tener cuidado con el signo en las relaciones que a continuaci\on damos para , .

Por lo tanto, para se tiene la desigualdad

Por lo anterior se tiene que . En efecto: Como

y . entonces por teorema del acotamiento se tiene

Tambin usando la figura se puede ver que cuando tiende al ngulo cero, la hipotenusa del tringulo , tiende al cateto adyacente , del mismo tringulo, pero como es siempre igual a y se tiene que

lmite que justificaremos de otra forma mas adelamte. Probemos que

Para resolver esto utilizaremos una relacin existente entre dos reas de la figura

Calculando cada rea Note_5 se tiene

Multiplicando esta \ultima desigualdad a ambos lados por el n\umero positivo obtenemos

Utilizando el hecho que es una funci\on par () y como , podemos fabricar la siguiente cadena apropiada para utilizar el teorema del acotamiento

desigualdad v\alida para y ( ya que la funci\on y son funciones impares y su cuociente es par). De esta forma por teorema y utilizando que cuando obtenemos

Calcular

Soluci\on:

Como

y

entonces por algebra de lmites . Calculemos donde . Solucin: Sabemos que

Multiplicando por la ecuacin obtenemos

As,

Como y entonces por teorema del acotamiento se tiene Este \ultimo caso se puede generalizar a funciones acotadas. Recordemos que una funci\on se dice acotada en si existe tal que:

Cero Aniquila Sea una funci\on acotada en una vecindad de (no necesariamente definida en ). Si entonces Demostraci\on: Como se tiene

es decir,

y por teorema de acotamiento se obtiene lo requerido. Demostrar

En efecto y la funci\on es acotada, luego por teorema cero aniquila, se tiene . Calcular

Soluci\on: . Como y es acotada, entonces por teorema cero aniquila . Demostrar usando el teorema anterior que

Soluci\on: Basta demostrar que . Usando la identidad trigono-m\e-tri-ca

y el hecho que es acotado y donde . Se tiene por teorema cero aniquilador que:

En forma an\aloga se puede probar que

Sean , Demostrar que

Ayuda: Usar la siguiente propiedad de la parte entera

Soluci\on: Por propiedad anterior tenemos

multiplicando por con se tiene

o equivalentemente

puesto que entonces por teorema de acotamiento

Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. 1. . 1. . 1. . 1. . 1. . 1. No existe . 1. no existe. 1. Si existe y existe entonces existe. 1. Si existe y no existe entonces existe. Soluci\on: 1. Falso. Como y y es acotada entonces por teorema cero aniquila. 1. Verdadero. La funci\on es acotada en una vecindad del , es decir,

y luego por teorema cero aniquila

1. Verdadero. . 1. Falso. 1. Verdadero. 1. Verdadero. Supondremos que existe y su valor es . Dado que existe por algebra de lmites debe existir pero

y por algebra de lmites

lo cual es una contradicci\on por la unicidad del lmite. Por lo tanto el valor no existe. 1. Verdadero. Note_6 Sabemos por (1) que; existe (y su valor es cero) y no existe por (6) Luego

ya que de existir tambi\en debera existir (por lmite de la suma)

y esto \ultimo es falso por (6). 1. Falso. Sean existe y su valor es , adem\as existe y su valor es cero, pero no existe. 1. Falso. Sean y luego existe y su valor es cero, pero no existe y no existe. Lmite de funciones - sucesionesEl siguiente teorema nos permite usar los resultados obtenidos en sucesiones Sea , la funci\on identidad en . Se sabe que . Usemos el teorema anterior para probar que : a) . b) donde y c) , donde Solucin: a) Como se tiene

As, b) Esta se har usando induccin en . Para es cierto ya que Supondremos ahora que es vlido para y demostraremos que es vlido para

c) La tercera tambin se har por induccin en Para , se tiene . As por algebra se cumple para . Supongamos que el lmites es vlido para demostraremos que es vlido para . Usando algebra de lmites se tiene:

La existencia de este lmite se garantiza por la hiptesis inductiva

adems por ejercicio anterior

luego

Por consiguiente

. Calcular

Solucin: Como y , entonces por algebra de lmites (c)

Observaci\on: Notar que no se tuede aplicar el algebra de lmites. Si tiende a . En los siguientes e jercicios tampoco podemos usar el algebra de l mites directamente, pero eso no significa que el lmites no existe, como se vera a continuaci\on. Sabiendo que , si . Calcular

Solucin:

Dado que y .

entonces por algebra de lmites se tiene

Observaci\on: Se probar\a en la secci\on de continuidad que si entonces

Calcular

Solucin: Recordemos que .

Dado que y , entonces por algebra de lmites se tiene

Determinar de modo que exista donde

Solucin: Dado que . El lmite existira si slo si

Como , entonces por algebra de lmite se tiene

Por otra parte , luego existe si y slo si , de donde . Demuestre que; Si existe y no existe entonces no existe. Solucin: Por mtodo del absurdo

Supongamos que existe, luego por algebra de lmites, dado que existe entonces existe, pero lo que contradice la no existencia de . Demuestre que los siguientes lmites no existe. 1. 1. . Solucin: 1. Supongamos que existe y su valor valor es . Dado que existe, entonces por algebra de lmites, existe el lmite del producto, es decir, existe

Por otra parte

luego por unicidad del lmites se tiene que lo que es una contradiccin. 1. Como existe y no existe, entonces por ejercicio se tiene

Observaci\on: En general, se puede demostrar por el m\etodo del absurdo que: Si y entonces no existe. En este caso se dice que el lmite ``es de la forma '' Los siguientes lmites son de la ``forma ''

luego los lmites no existe. Consideremos la funci\on

Determinemos para qu\e valor de , el lmite existe. Dado que , entonces puede existir si Note_7 (si entonces no existe). Ahora;

Si entonces . Si entonces . Por lo tanto existe si . Mostrar que , si . Solucin: Si basta probar que pero

y

y ya que por teorema cero Aniquila

Teorema de Sustituci\onSustituci\on Sean y , funciones tales que . Supongamos que y que existe una vecindad de tal que . para todo . Si entonces . es decir;

Calculemos

Solucin: Consideremos la sustitucin o cambio de variable . Es claro que , es decir, si entonces , de donde en , luego por teorema de sustitucin (dado que ), se tiene

Calculemos

Solucin: Sea . Si entonces , (adems para en una vecindad del cero sin tomar el cero) entonces,

por teorema de sustitucin, as

Sean y , y . Sea entonces Demostraci\on: Sea

Para una vecindad de , puesto que , existe una vecindad de , tal que . Por otra parte, como para la vecindad existe una vecindad de tal que . Por lo tanto . As, para una vecindad , existe una vecindad de tal que , es decir,

Este teorema se utiliza en lo que se suele llamar cambio de variable o sustituci\on

puesto que: Si tomamos y y dado que y , entonces por el corolario anterior se tiene Sabiendo que . Probemos que si existe entonces

Solucin: Sea como y puesto que , entonces . As tenemos por ejemplo:

En efecto. Sea . Si entonces y

Luego

Para aplicar el teorema anterior, debemos asegurarnos que se cumplan la hip\otesis. De no hacerlo podemos obtener contradicciones. Sea

En efecto; Sabemos que no existe pues los lmites laterales son distintos

Sin embargo; dado que , entonces se tiene . Observaci\on: Notemos que. Si entonces Probar que si entonces . Solucin: Supongamos que entonces ademas y por teorema de acotamiento tenemos que . Calcular los siguientes lmites

Soluci\on: a)

b) Sea . Si entonces luego,

c)

Es necesario recordar, para el c\alculo de lmite trigonom\etricos algunas identidades. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. Demostrar usando el teorema anterior que

Soluci\on: Basta demostrar que . Pero usando la identidad trigono-m\e-tri-ca

y el hecho que es acotado y donde . Se tiene por teorema cero aniquilador que:

En forma an\aloga se puede probar que

Usando algebra de lmite y identidades trigonom\etricas calcular el lmite de la siguiente funci\on en

Soluci\on:

Calcular, usando el teorema de cambio de variable, que

Soluci\on: En una vecindad de se tiene la identidad

Tomando , cuando tiende a tiende a

ya que . Calcular

Soluci\on: Sea . Si entonces (donde en ). Luego por teorema de sustituci\on

de donde

Observaci\on: En el c\alculo de lmites que involucre funciones tri-go-no-m\e-tri-cas, lo habitual es hacer el cambio de variable o . Calcular

Soluci\on:

Sea si entonces luego,

Calcular

Soluci\on: Sea si entonces luego,

Calcular (si existe) , . Si

Soluci\on: . Como est\a definida en una vecindad de , podemos calcular los lmites laterales. i)

Sea si entonces (pues )

ya que se tiene que lmite anterior es

ii) Por otra parte,

Por (i) y (ii) luego no existe . . est definida en una vecindad perforada del cero

Sea entonces Note_8 luego Si entonces As

Por lo tanto . Pruebe que

Solucin:

del Enlace Sea funci\on Entonces tenemos la siguiente equivalencia

Demostraci\on: () Sea sucesi\on con y . Por demostrar que . Basta tomar el conjunto . Como se tiene que y usando el teorema se tiene , es decir,

() Demostraci\on por el absurdo, es decir, supondremos que para todo que satisface la hip\otesis se tiene que y no se tiene . Por esto \ultimo, existe una vecindad de tal que para toda (esto es lo mismo que decir para todo ) se tiene que , es decir, para cada existe al menos un punto tal que . As, hemos fabricado una sucesi\on . Como , y adem\as (ya que est\a al menos lejos de puesto que ) lo que contradice el hecho ``toda sucesi\on" de las pedidas; luego . Calculemos

Consideremos y sea Si entonces y por teorema de enlace se tiene

Luego . Probar

Soluci\on:

Usando el hecho que . Calcular Soluci\on: Como y , usando teorema del enlace se tiene que donde Suponiendo que Calcule

Soluci\on: Si , usando teorema del enlace

Suponiendo que Calculemos

Soluci\on: Como obtenemos por teorema del enlace Del teorema anterior, se obtiene una herramienta muy \util para probar la no existencia de algunos lmites. Sea funci\on . Si existen dos sucesiones tales pero

o algunos de ellos no existe, entonces no existe. Demostraci\on: (aplicar ). Probemos que no existe. Consideremos . Claramente , donde . Sea Luego , y . Por lo tanto, por corolario anterior no existe. ContinuidadSea , diremos que es continua en el punto si para toda vecindad de existe una vecindad de tal que

Diremos que es continua en si f es continua en cada punto . es continua en puesto que: Una vecindad arbitraria de es del tipo :

Si para la vecindad anterior de , existiera una vecindad de esta debera cumplir

es decir,

pero como es creciente, tenemos

Por lo tanto, debe cumplir

Para dado, debe cumplir

es decir,

Por lo tanto, para la vecindad existe al menos una vecindad de ya que basta tomar (es decir, ) tal que . Ver figura anterior Sea

Determinar si es continua en . Soluci\on: Dada una vecindad de , debera existir una vecindad de , ( es decir, existe ) tal que Lo anterior es equivalente a

\o

As, debera ocurrir

pero para o menor es imposible obtener la inclusi\on anterior. Conclusi\on: Como para todo no es posible encontrar una vecindad de tal que se tiene que no es continua en . Se puede ver claramente que f es continua en los otros puntos Sea , (funci\on constante). Ella es continua en todos los reales. Soluci\on: Veamos la continuidad en un punto arbitrario . Notemos que:

As, ya que

Equivalencias de ContinuidadA continuaci\on daremos cuatro caracterizaciones de continuidad 1. Si es un punto de acumulaci\on de y . 1. Si es un punto de acumulaci\on de y contiene una vecindad de . 1. Si no es un punto de acumulaci\on y . 1. Caracterizaci\on por sucesiones. 1. Si es punto de acumulaci\on de y entonces es continua en si y s\olo si Esta \ultima igualdad dice que i) existe ii) El lmite anterior es igual a e implcitamente estamos diciendo que existe. 1. Si contiene una vecindad de (por lo tanto es un punto de acumulaci\on) tenemos lo siguiente: es continua en si y s\olo si a) existe

b) existe

c) los lmites anteriores son iguales a

Sea ?`Es continua en ? Soluci\on: Notemos que , y aqu viene naturalmente la equi-vo-ca-da conclusi\on `` no es continua en ya que no existe", como se exige en 2c. Observaci\on: No podemos usar la caracterizaci\on 2. pues no se cumple la hipot\esis de que contenga una vecindad de 1. En cambio, si podemos usar la caracterizaci\on 1, pues 1 es una punto de acumulaci\on de y , entonces dado que existe y . se tiene que es continua en . Probemos es continua en en t\erminos de vecindades. Tomemos una vecindad arbitraria de necesitamos encontrar una vecindad de , tal que ocurra:

Veamos qu\e condici\on debe cumplir para que esta \ultima inclusi\on sea v\alida. Como y f es creciente (ver figura)

se tiene que:

As, la inclusin en nos queda

Por lo tanto debe cumplir o equivalentemente . Resumiendo. Para toda vecindad existe una vecindad de (basta que sea menor que tal que

Luego es continua en . 1. Si no es un punto de acumulacin ( es un punto aislado) se tiene que f es continua en . Demostracin: Como no es un punto de acumulacin, existe una vecindad de (es decir, existe tal que

o equivalentemente

por lo tanto, La inclusi\on \ultima ocurre para todo ; de esta forma tenemos la siguiente afirmaci\on. Para toda vecindad de , existe una vecindad de (la tomada al inicio) tal que

Lo que quiere decir que es continua en . Todas las sucesiones son continuas, ya que todo punto de es punto de aislado. En la pr\actica, no se encuentran muchos dominios con puntos aislados, pero si aparecen en situaciones especiales y por ese motivo lo hemos desarrollado en detalle aqu, am\en que les facilitar\a el, entendimiento del concepto de continuidad en varias variables. 1. Definici\on tradicional. es continua en si

Note que y hablan de las vecindades de y respectivamente y la implicacion se refiere a la inclusi\on de conjuntos; la menci\on explcita de es para que tenga sentido la notaci\on . 1. Sea . es continua en si y s\olo si Para toda sucesi\on Note_10 , tal que converge a se tiene que la sucesi\on converge a . Este criterio es mas \util para probar la no continuidad en un punto que la conyinuidad. Lo anterior se puede escribir como

As, la negaci\on es: no es continua en si y s'olo si

Sea

?`Es continua en ? Soluci\on: Consideremos la sucesi\on con Claramente se ve que , pero

As, no converge a Conclusi\on: no es continua en ya que existe una sucesi\on con Tambi\en podemos decir que no es continua en pues no existe (ver ejemplo ). Comentarios1. Comentarios intuitivos Note_11 i) es continua en si las imagenes de puntos cercanos a est\an cercanos a y por muy exigente que se ponga para pedir estar cerca de , siempre hay un mont\on de puntos cerca de que est\an ``super cerca'' de . ii) Una funci\on continua en no puede tener un salto en , no puede estar cortada en . 1. Comentario Redundante i) Claramente no es continua en un punto si ii) De la frase ``Una funci\on es discontinua en un punto p" no se puede concluir que no tiene lmite ya que perfectamente la discontinuidad puede deberse a que a) o a que b) . , no existe pero . Esta funci\on constituye un ejemplo para el caso (a)

En esta funci\on se tiene .Esta funci\on constituye un ejemplo para el caso (b). iii) Si no existe, no es continua en . La no existencia del lmite se puede deber a varias casos, en el ejemplo tenemos el caso en que cada lmite lateral existe, pero

Como

Por lo tanto no es continua en 3 El siguiente teorema es el que sirve para mostrar con claridad las observaciones (co-men-ta-rios) anteriores i) Toda restricci\on de una funci\on continua es continua. Dicho de otra forma Sea continua en el punto . Si y entonces tambi\en es continua en ii) En el caso especial de que , con una vecindad de entonces la recproca se cumple. Dicho de otra forma. Sea continua en el punto (con entonces es continua en Esta \ultimo nos dice que la continuidad en el punto depende s\olo de los puntos que est\an cerca, y esto es lo que se suele llamar concepto local. As continuidad es un concepto ``local" al igual que lmite. Los siguientes teoremas son utiles por el hecho que nos sirven para fabricar nuevas funciones continuas o para visualizar que una funci\on es continua. Algebra de funciones continuas Sea continuas cada una en entonces i) son continuas en ii) Si entonces es continua en En el caso que sea un punto de acumulaci\on de , la demostraci\on se obtiene facilmente del algebra de lmites. En caso contrario es directa. Con este \ultimo teorema tenemos, por ejemplo, que los polinomios

son funciones continuas. Recordando los resultado de lmites tenemos que las siguientes funciones son continuas(en todo su dominio) 1. . 1. . 1. si . 1. . 1. . 1. . 1. . 1. . y muchas otras combinaciones de funciones trigonomtricas y polinomicas que sea operaciones algebraicas entre funciones bsicas como y . La compuesta de funciones continuas es continua Sean continua en , continua en tal que entonces es continua en Este teorema nos ayuda a mostrar que las siguientes funciones son continuas(en todo ). 1. ya que es la compuesta de y 1. ya que es la compuesta de y 1. compuesta de con 1. compuesta Consider la funci\on definida por

Estudie la continuidad de . Solucin: . Sea , entonces . Por composicin y producto de funciones continua, es continua en . . Sea , entonces por composicin y cuociente de funciones continua, es continua en . . Veamos la continuidad de en . Claramente y . Como es punto de acumulacin del , debemos ver si existe . Para esto, calculemos los lmites laterales

por cero aniquila.

es decir, existe adems

luego es continua en . Por consiguiente es continua en todo su dominio Funciones continuas sobre compactoSi es una funci\on continua en un intervalo cerrado y acotado (compacto) se debera tener que 1. En ningun punto de hay saltos, ya que si los hubiera salto los limites laterales son distintos figura de mas abajo

o bien el lmite de la funcin en el punto no coincide con el valor de la funcin en el punto ver la siguente figura

1. Tampoco la funcin puede ir a infinito en algn punto de , ver figura que sigue, ya que en ese caso lmite no existe

1. Tampoco puede oscilar en un punto (ver figura que sigue) ya que el lmite no existiria.

As tenemos (intuitivamente) que la gr\afica de una funci\on continua en un intervalo cerrado y acotado debe ser de tal forma que uno la puede graficar sin levantar el l\apiz empezando en y terminando en . En el fondo una funci\on continua en es s\olo una desformaci\on del intervalo , siendo su gr\afica solamente una cuerda no infinita que une los puntos y . Lo anterior nos permite creer los siguientes teoremas. del Valor Intermedio Sea continua. Si es un n\umero real que cumple entonces tiene al menos una preimagen en el intervalo . (es decir, tal que ) Como m\as se utiliza este teorema, es en la existencia de races de una funci\on. Existencia de Raices Sea tal que 1) (es decir, y tiene distintos signos) 2) f continua en un conjunto que incluya al intervalo entonces tiene una raiz en el intervalo (es decir, existe tal que ) La funci\on tiene una raz en el intervalo En efecto y luego . Adem\as es continua en luego por corolario anterior existe una raz en el intervalo . Pruebe que la ecuaci\on

tiene al menos una raz real en el intervalo . Soluci\on: Sea y luego Adem\as es una funci\on continua en en particular en , luego por el corolario anterior, existe tal que , es decir es una raz o soluci\on de la ecuaci\on. Sea f continua en un intervalo cerrado , entonces tambi\en es un intervalo cerrado. Sea continua en un intervalo cerrado y acotado , entonces es un intervalo cerrado y acotado, por lo tanto es acotada. Estudie la continuidad de a) b) Ayuda: Cuidado con los dominios. c) (parte entera) d) (parte entera) Estudie la continuidad de la funci\on en los puntos indicados. a) . b) y . c) y . Para qu\e valores de es continua en el punto indicado. a) b) c) Considere la siguiente funci\on

donde y son n\umeros reales 1) Calcule el lmite lateral derecho de en 2) Calcule el lmite lateral izquiedo de en 3) Encuetre los valores de y que hacen continua a en . 4) Determine para qu\e valor de existe el lmite lateral izquierdo de en Soluci\on: 1)

2)

3) ser\a continua en si luego , es decir,

As y 4.- Si entonces y Si entonces el limite no existe. En efecto; Supongamos que existe, es decir, entonces al calcular de dos formas distintas tenemos

luego esto es una contradicci\on. Determine si las siguiente afirmaciones son verdaderas o falsas. 1. La funcin es discontinua slo en 1. La funcin es discontinua en

1. Si es continua en y es continua en entonces es continua en . 1. Sean funciones definidas en una vecindad de , tal que es discontinua entonces es discontinua en . 1. Si y son discontinuas en entonces es discontinua en . Soluci\on: 1. Falso: la funcin en es discontinua ya que y luego el lmite no existe. 1. Falso: es continua en pues adems luego . adems es claro por la grafica (ver figura siguiente)

que es discontinua en . 1. Verdadero: Por algebra de lmites tenemos. Si , son continuas en entonces es continua en , es decir es continua en . 1. Falso: Exiten y funciones definidas en una vecindad de tal que f es discontinua en sin embargo es continua en . 1. : El mismo ejemplo. Considere la funcin

Es continua en ? En caso de no serlo redefinir si es posible, de modo que sea continua. Soluci\on: es un punto de acumulaci\on del luego ser\a continua en si y s\olo si 1) 2) existe. 3) . As: 1) Es claro que pues 2) Calculemos

Puesto que la funci\on logaritmo es continua en y

luego existe 3) luego no es continua en . Sin embargo, dado que existe entonces es posible redefinir de modo que sea continua en , de la siguiente forma:

Sea la funci\on definida por

?`Qu\e valor (si existe) debe asignarse a la constante para que sea continua en ? Soluci\on: ser\a continua en si

i)

Sea si entonces i)

por otra parte;

adem\as

Luego por algebra de limite

ii) Por (i) y (ii) y por se tiene

por lo tanto tenemos . Sea

a) ?`Es continua en ? b) ?`Es continua en ? c) Existe d) Existe Soluci\on: a) Calculemos los lmite laterales

pues y es acotada.

Luego Por lo tanto es continua en b) Sea para como es producto de funciones continuas en entonces (por algebra de funciones continuas) es continua. Por suma y composici\on de funciones, se tiene que es continua en . Adem\as por (a) es continua en , luego es continua en . c)

Luego existe . d)

pues es acotada y . Luego existe . Determine en de modo que sea continua en

Solucin: . . . existe si y slo si .

por lo tanto , adems , luego sera continua en si

Determinar en de modo que sea continua en .

Solucin: ser continua en si

Este lmite podra existir si ( en caso contrario el lmite sera de la forma y no existira). Ahora

i) Si se tiene que

por otra parte,

Luego y por lo tanto es continua en si , pues ii) Si , se tiene que

pero

luego

de donde no existe y por lo tanto no es continua en si . Recta tangente a la CurvaLa noci\on de lmite es fundamental para el estudio de muchos conceptos de las matem\aticas, de la fsica y otras ciencias. Para ilustrar esto estudiaremos el problema de encontrar la recta tangente a una curva en un punto dado. En la geometra plana, la recta tangente en un punto sobre una circun-fe-ren-cia se puede definir como la recta que tiene solamente el punto en comn con tal circunferenccia, como se ilustra en la figura

. Esta definicin no se puede aplicar a cualquier grfica, ya que una recta tangente en un punto puede cortar a una grfica varias veces como se muestre en la figura, grfico izquierdo). en el caso de la grfica de funcin valor absoluto . Cul es la tangente en ?

Para identificar la recta tangente a la gr\afica de una funci\on en un punto , basta especificar la pendiente de L, ya que \esta y el punto determina completamente a la recta. Para encontrar , consideraremos las rectas , rectas secantes que pasa por . Sea la pendiente de . Cuando " tiende a " ( fijo) por la derecha figura que sigue

y por la izquierda figura

se observa que tiende a (pendiente de la recta ). Esto nos sugiere que si tiende a un valor fijo. cuando " tiende a " , entonces ese valor deberamos usar para definir la pendiente de la recta tangente en . Es claro que la pendiente de la recta secante es

ya que pasa por los puntos y . Con esta notaci\on podemos sustituir la frase `` tiende a " por `` tiende a ", as llegamos a la siguiente definici\on Sea una funcin definida en un intervalo abierto que contiene a . La pendiente de la recta tangente a la grfica de en el punto es

siempre y cuando el lmite exista.(Ver figura )

y en ese caso se dir que existe la recta tangente a la grfica de en el punto . Sea y un n\umero real. Encontraremos: a) La pendiente de la recta tangente a la gr\afica de en el punto . b) La ecuaci\on de la recta tangente a la gr\afica en el punto . c) La ecuaci\on de la recta normal (recta perpendicular a la recta tangente) a la gr\afica en el punto . Soluci\on: a)

As, la pendiente es

b) Ya que la pendiente de la recta tangente en el punto la podemos obtener como el caso especial en que , tenemos que . En general la ecuaci\on de la recta que pasa por y con pendiente es

En nuestro caso

o

c) Si es la pendiente de la recta tangente y la pendiente de la recta normal a la gr\afica de entonces se debe cumplir

As, la ecuaci\on de la recta normal a la gr\afica de en es,

Observe que si para alg\un punto entonces la recta tangente es horizontal, cuya ecuaci\on es , y en este caso la ecuaci\on de la recta normal es . a) Demostraremos que

y b) Determinemos la ecuaci\on de la recta tangente a en . Soluci\on: Sea , si entonces , luego, usando sustituci\on,

Calculando por separado los lmite tenemos

y

Luego por algebra de lmites

b) Como la pendiente de la recta tangente a la grfica de en cualquier punto est dada por

y por (a) tenemos que , reemplazando obtenemos que y as la recta tangente es;

Observe que la ecuaci\on de la normal en es . Determine la pendiente de la recta tangente a la par\abola en el punto Soluci\on:

Un equipo de ingenieros de caminos disea un tramo de carretera que debe conectar una autopista horizontal con otra de pendiente . El enlace debe, realizarse sobre una distancia horizontal de pies usando una curva parablica para unir los puntos y . Obtenga una ecuacin del tipo para la parbola respectiva y determine las coordenadas de . Soluci\on: Las coordenadas de son y los de son donde , adem\as como tambi\en pertenece a la par\abola, debe satisfacer la ecuaci\on de ella, as, de donde . por ejercicio anterior, obtuvimos que la pendiente de en es , luego en es y en es . Adem\as para conectar la autopista de pendiente con la par\abola, debe ocurrir que

y para conectar la autopista horizontal (de pendiente ) con la par\abola;

As, de y tenemos

En consecuencia . Por otra parte pertenece a la par\abola, luego satisface su ecuaci\on, es decir

Por lo tanto las coordenadas de son . Dada la funci\on

a) ?`Es una funci\on continua en ? b) ?`Existe la recta tangente a la curva en el punto ? c) ?`Existe la recta tangente a la grafica de en los puntos (4,2) y (-1,-2)? Soluci\on: a) Dado que est\a definida en una vecindad de , y se debe cumplir que:

Como

y el otro lmite lateral es

y ambos son iguales a se tiene que

y por lo tanto es continua en b) Dado que est\a definida en una vecindad de . Veamos si existe

Para poder calcular este lmite, lo haremos calculando los lmites laterales

por otra parte

Dado que los lmites laterales son distintos tenemos que no existe

luego no existe recta tangente a la curva en el punto . c) est\a definida en una vecindad de pues para y ; adem\as pertenece a la curva , pues . Como la pendiente buscada es

existe la recta tangente a la curva en , y sea ecuaci\on es:

En el caso del punto tenemos que \el no pertenece a la curva pues

luego no existe recta tangente a la curva en el punto . Usando algebra de lmite y identidades trigonometricas calcular el lmite de las siguientes funciones en 1. 1. 1. 1. 1. 1. Sea fun-cio-nes tales que y con muestre que existe una vecindad de tal que

Ayuda: Como se puede tomar y encontrar para ese la vecindad Sea . Muestre que tal que Ayuda: Usar resultado anterior Sea . Muestre que Ayuda: Usar teorema del apret\on a Sea y supongamos que existe entonces y tal que

(es decir, es acotada en una vecindad de ) Sea

Mostrar que y no existe si Ayuda: Para la segunda parte usar ejercicio y para la primera parte usar This document created by Scientific WorkPlace 4.0.