Limites de funciones

Analysis

Límites de Funciones

OpenUepc.com 1.1.4.4 Ver 01:03/02/2010

NOTA

La clasificación decimal de todos los temas de este manual tienen implícito el comienzo 1.1.3.6 correspondiente a

1 SCIENCE

1.1 MATHEMATICS

1.1.4 ANALYSIS

1.1.4.4 LIMITES DE FUNCIONES

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Miguel Pérez Fontenla [email protected]

INDICE AUTORES

Iniciado por: Miguel Pérez Fontenla

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22/11/2009

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TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 2

Historia.............................................................................................................................. 2

Aplicaciones ...................................................................................................................... 9

Objetivos Mínimos ............................................................................................................ 9

CONCEPTOS BÁSICOS .................................................................................................... 11

La idea de límite .............................................................................................................. 11

Limite de un función en el infinito ................................................................................... 13

Limite de un función en un punto .................................................................................... 14

Límites infinitos de una función en un punto ................................................................... 16

Límites infinitos de una función en el infinito .................................................................. 18

Propiedades de los limites de funciones ........................................................................... 19

Calculo de límites ............................................................................................................ 19

Indeterminaciones............................................................................................................ 19

Límites de funciones trigonométricas. .......................................................................... 23

FUNCIÓN CONTINUA ..................................................................................................... 25

Continuidad de las funciones elementales ........................................................................ 27

Tipos de discontinuidad ................................................................................................... 27

Asíntotas de una función .................................................................................................. 30

Operaciones con funciones continuas. .............................................................................. 32

Propiedades de las funciones continuas ............................................................................ 33

Teorema del signo ........................................................................................................ 33

Teorema de acotación .................................................................................................. 33

Teorema de Bolzano (o del valor medio) ...................................................................... 34

Idea intuitiva del Teorema de Bolzano ......................................................................... 34

Teorema de Weiestrass ó de los extremos absolutos (del supremo y el ínfimo) ............ 35

Idea intuitiva del Teorema de Weiestrass ..................................................................... 36

Teorema de Darboux o de los valores intermedios ........................................................ 36

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| INTRODUCCIÓN 2

INTRODUCCIÓN

El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo infinitesimal (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que el límite es el valor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un número determinado o al infinito.

En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.

En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Generalmente una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.

La continuidad de funciones es uno de los conceptos principales de la topología. El artículo describe principalmente la continuidad de funciones reales de una variable real.

Historia

El concepto de función tal y como hoy en día es conocido y desarrollado en los cursos básicos de matemática, surgió hasta el siglo XVIII, a diferencia del cálculo diferencial e integral que encontró su génesis un siglo antes, lo cual difiere de la forma clásica en como se presenta actualmente el cálculo, donde primero se enseñan funciones, luego límites y finalmente derivadas e integrales.

El primer mátemático que intenta dar una definición formal del concepto de función fue Leonhard Euler; al afirmar:

"Una función de cantidad variable es una expresión analítica formada de cualquier manera por esa cantidad variable y por números o cantidades constantes”

En la historia de las matemáticas se le da créditos al matemático suizo Leonhard Euler por precisar el concepto de función, así como por realizar un estudio sistemático de todas las funciones elementales, incluyendo sus derivadas e integrales; sin embargo, el concepto mismo de función nació con las primeras relaciones observadas entre dos variables, hecho que surgió desde los inicios de la matemática en la humanidad, con civilizaciones como la griega, la babilonica, la egipcia y la china.

La revolución científica iniciada en el siglo XVI se debió, en gran parte, a que los científicos se plantearon preguntas dentro de un ámbito experimental y, desarrollando sus investigaciones más en el ámbito de los problemas físicos que de los meta físicos, al contrario de lo ocurrido con la ciencia de la Edad Media. Cuando los científicos centraron su atención en los fenómenos de la naturaleza, lo hicieron poniendo énfasis en las relaciones que se desprendían entre las variables que determinaban dicho fenómeno y que podían ser expresadas en términos matemáticos. Era necesario comparar las variables, relacionarlas, expresarlas mediante números y representarlas en algún sistema geométrico adecuado (este

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| INTRODUCCIÓN 3

sistema sobrevino, con el sistema en coordenadas cartesianas conceptualizado por Descartes). La abstracción matemática hacía posible el descubrimiento de nuevas relaciones que los fenómenos no podían mostrar, obteniéndose de ésta forma, una notable aceleración del progreso científico.

Después del Discurso sobre el Método de Conducir Rectamente la Razón y Buscar la Verdad de las Ciencias , publicado por Descartes en el año de 1637, otros matemáticos y físicos tales como: Fermat, Newton, Leibniz, Galileo, Johann Bernoulli, Euler, Claireaut, D'alambert y más recientemente Gustav Dirichlet, contribuyeron decisivamente con el desarrollo del concepto de función, y más aún, con los fundamentos que dieron origen a otras áreas disciplinarias en el ámbito científico.

En particular Leibniz utiliza por primera vez en la historia, la palabra "función" . A pesar de que a los 26 años de su vida poco o nada sabía de matemática, éste hombre un genio de su época, emprendió el estudio de esta disciplina recibiendo clases particulares en los intervalos de tiempo libre que le dejaba su trabajo de diplomático. En 1676, año en que se puso al servicio del duque Brunswick, descubrió el llamado Teorema Fundamental del Cálculo . En 1677, 12 años después de que Newton descubriera la misma teoría (el cálculo), Europa conoció sus trabajos. En menos de cincuenta años el cálculo pasaría a ser, en el continente, una herramienta de gran utilidad en la matemática y en las ciencias aplicadas

Cuando Leibniz tenía alrededor de 31 años su descubrimiento del Cálculo Diferrencial e Integral lo había hecho famoso en toda Europa. En cambio para Newton (quien había desarrollado la misma teoría de forma independiente) debido a su aparente repugnancia, el Cálculo de la Fluxiones (como él mismo lo denominó) resultó ser en Inglaterra una simple curiosidad.

El concepto de función indiscutiblemente permitió profundizar en el conocimiento de los fenómenos de la naturaleza y al mismo tiempo dió origen a diversas disciplinas, sin las cuáles, no existirían en la actualidad campos tan diversos en ingeniería, matemática y física teórica.

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/Externos/fcuadraticas/paginas/historia2.htm

Historia del concepto de función

Si tratáramos hoy de contestar a la difícil pregunta '¿qué son las matemáticas?' muchas veces respondemos algo como 'El estudio de las relaciones entre conjuntos' o 'El estudio de las dependencias entre cantidades variables'. Si estas afirmaciones son cercanas a la verdad entonces sería lógico sugerir que el concepto de función debe haber aparecido desde las primeras etapas del desarrollo de las matemáticas. Ciertamente, si vemos las matemáticas babilónicas encontramos tablas de cuadrados de los números naturales, cubos de los números naturales y recíprocos de los números naturales. Estas tablas sin duda definen funciones de N sobre N o de N sobre R. E. T. Bell escribió en 1945:

Puede no ser demasiado generoso dar crédito a los antiguos babilonios de tener el instinto de función; ya que una función ha sido definida sucesivamente como una tabla o como una correspondencia.

Sin embargo esto seguramente viene de ver a los antiguos matemáticos a través de ojos modernos. Por lo tanto tenemos que rechazar la sugerencia de que el concepto de función estuviera presente en las matemáticas babilónicas aunque podamos ver que estudiaban funciones

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/Externos/fcuadraticas/paginas/historia2.htm

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específicas. Si avanzamos hasta las matemáticas griegas entonces llegamos al trabajo de Ptolomeo. Él computó cuerdas de un círculo lo que esencialmente quiere decir que computó funciones trigonométricas. Seguramente, uno podría pensar, que si estaba calculando funciones trigonométricas entonces Ptolomeo debe haber comprendido el concepto de función. Como escribió O Petersen en 1974 [22]:

Pero si concebimos una función no como una fórmula sino como una relación más general que asocia elementos de un conjunto con los elementos de otro conjunto, es obvio que las funciones en ese sentido abundan en el Almagesto.

Sin duda Petersen está en lo correcto al afirmar que hay funciones, en el sentido moderno, por todo el Almagesto. Ptolomeo lidió con las funciones pero es poco probable que comprendiera el concepto de función. Como escribe Thiele en la primera página de [2]:

De vez en cuando, comparaciones anacrónicas como la que se acaba de dar nos ayudan a elucidar hechos documentados pero no a interpretar su historia.

Habiendo sugerido que el concepto de función estaba ausente en estas antiguas obras matemáticas, permítanos sugerir, como lo hace Youschkevitch en [32], que Oresme se estaba acercando en 1350 cuando describió las leyes de la naturaleza como leyes que dan una dependencia entre una cantidad y otra. Youschkevich escribe [32]:

La noción de una función aparece por primera vez en una forma más general durante el siglo XIV en las escuelas de filosofía natural de Oxford y París.

Galileo estaba empezando a entender el concepto aún con mayor claridad. Sus estudios sobre el movimiento contienen la clara comprensión de una relación entre variables. De nuevo otra parte de sus matemáticas muestra que estaba empezando a captar el concepto de mapeo entre conjuntos. En 1638 estudió el problema de dos círculos concéntricos con centro O, el círculo mas grande A con diámetro del doble que el círculo más pequeño B. Pero al tomar cualquier punto P sobre el círculo A entonces PA corta al círculo B en un punto. Así Galileo había construido una función que mapeaba cada punto de A sobre un punto de B. De modo similar, si Q es un punto sobre B entonces el segmento OQ resultante corta al círculo A en exactamente un punto. De nuevo tiene una función, esta vez de los puntos en B hacia los puntos en A. Aunque la circunferencia de A sea el doble de la circunferencia de B, ambas tienen el mismo número de puntos. También produjo la correspondencia uno-a-uno estándar entre los enteros positivos y sus cuadrados, la cual (en términos modernos) daba una bisección entre N y un subconjunto propio. Casi al mismo tiempo que Galileo llegaba a estas ideas, Descartes introducía el álgebra a la geometría en La Géometrie (La geometría). Afirma que una curva puede dibujarse al permitir que un línea tome sucesivamente un número infinito de valores distintos. Esto de nuevo lleva el concepto de función a la construcción de una curva ya que Descartes está pensando en términos de la magnitud de una expresión algebraica que toma infinitos valores como en que la magnitud a partir de la cual se compone la expresión, toma un infinito número de valores Detengámonos por un momento antes de llegar a la primera vez que se usó la palabra 'función'. Es importante entender que el concepto se desarrolló con el paso del tiempo; su significado fue cambiando y también fue siendo definido con mayor precisión a través de los años. Ya hemos sugerido que una tabla de valores, aunque defina una función, no es pensada necesariamente por su creador como una función. Los primeros empleos de la palabra 'función' sí encapsulaban ideas

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| INTRODUCCIÓN 5

del concepto moderno pero de manera mucho más restrictiva. Como tantos términos matemáticos, la palabra función fue usada por primera vez con su significado no-matemático. Leibniz escribió en agosto de 1673 de:

[...] otros tipos de líneas que, dada una figura, llevan a cabo alguna función.

Johann Bernoulli, en una carta a Leibniz escrita el 2 de septiembre de 1694, describe una función como:

[...] una cantidad formada de alguna manera a partir de cantidades indeterminadas y constantes.

En un artículo de 1698 sobre problemas isoperimétricos, Johann Bernoulli escribe sobre 'funciones de ordenadas' (ver [32]). Leibniz le escribió a Bernoulli diciendo:

[...] Me agrada que use el termino función en el mismo sentido que yo.

Era un concepto cuya introducción sucedió en el momento ideal en lo que respecta a Johann Bernoulli ya que estaba estudiando problemas de cálculo de variaciones en cuyas soluciones aparecen funciones. Ver [28] para mayor información sobre cómo el autor considera que el cálculo de variaciones es la teoría matemática que se desarrolló más en conexión con el concepto de función. Se puede decir que en 1748 el concepto de función saltó a la fama en matemáticas. Esto se debió a Euler quien publicó Introductio in analysin infinitorum en el año en que hace central el concepto de función en su presentación del análisis. Euler definió una función en el libro como sigue:

Una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de cualquier manera a partir de la cantidad variable y de números o cantidades constantes.

Todo esto está muy bien pero Euler no da una definición de 'expresión analítica' sino que supone que el lector entenderá que significa expresiones formadas por las operaciones comunes de suma, multiplicación, potencias, raíces, etc. Divide sus funciones en distintos tipos tales como algebraicas y trascendentes. El tipo depende de la naturaleza de la expresión analítica; por ejemplo, las funciones trascendentes son las no-algebraicas como:

[...] exponeciales, logaritmos y otras de las que el cálculo integral nos provee en abundancia.

Euler permitió que las operaciones algebraicas de sus expresiones analíticas aparecieran un número infinito de veces, dando como resultado series infinitas, productos infinitos y fracciones continuas infinitas. Más adelante sugiere que una función trascendente debe ser estudiada expandiéndola en una serie de potencias. No afirma que todas las funciones trascendentes puedan ser expandidas de este modo pero sí que se debe probar en cada caso específico. Sin embargo, había una dificultad en el trabajo de Euler que generaría confusión ya que no logró distinguir entre una función y su representación. No obstante, Introductio in analysin infinitorum cambiaría la manera en que los matemáticos piensan sobre conceptos familiares. Jahnke escribe [2]:

Hasta Euler las cantidades trigonométricas seno, coseno, tangente, etc. se consideraban como líneas relacionadas con el círculo más que como funciones. [...] Fue Euler quien introdujo el acercamiento funcional.

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| INTRODUCCIÓN 6

El concepto de función había llevado a Euler a hacer muchos descubrimientos importantes antes de que escribiera Introductio in analysin infinitorum. Por ejemplo, había llegado a definir la función gamma y a resolver el problema que había derrotado a los matemáticos durante mucho tiempo: la suma de la serie 1/1

2 + 1/22 + 1/3

2 + 1/42 + ...

Demostró que la suma da π2/6 y publicó el resultado en 1740. Regresemos a los contenidos de Introductio in analysin infinitorum. Allí Euler presenta las funciones continuas, discontinuas y mixtas pero ya que solo los primeros dos de estos conceptos tienen significados modernos distintos, llamaremos las versiones de Euler E-continuas y E-discontinuas para evitar confusiones. Una función E-continua era aquella que se expresaba mediante una única expresión analítica, una función mixta se expresaba en términos de dos o más expresiones analíticas y una función E-discontinua incluía funciones mixtas pero era un concepto más general. Euler no indicó claramente qué quería decir por una función E-discontinua aunque es obvio que las consideraba más generales que las mixtas. Más adelante las definió como aquellas funciones que tenían curvas dibujadas arbitrariamente como sus gráficas (de modo más bien confuso, son esencialmente lo que llamamos hoy funciones continuas). En 1746 d'Alembert publicó una solución al problema de una cuerda tensa que vibra. La solución, por supuesto, depende de la forma inicial de la cuerda y d'Alembert insistió en su solución en que la función que describe las velocidades iniciales de cada punto de la cuerda tenía que ser E-continua, es decir, expresada mediante una sola expresión analítica. Euler publicó un artículo en 1749 en el que objetaba la restricción impuesta por d'Alembert, afirmando que, por razones físicas, expresiones más generales para la forma inicial tenían que permitirse. Youschkevitch escribe [32]:

d'Alembert no estaba de acuerdo con Euler. Así empezó la larga controversia sobre la naturaleza de las funciones que se permitían como condiciones iniciales y en las integrales de las ecuaciones diferenciales parciales, las cuales continuaba apareciendo en cantidades cada vez mayores en la teoría de la elasticidad, la hidrodinámica, la aerodinámica y la geometría diferencial.

En 1755 Euler publicó otro libro muy importante, Institutiones calculi differentialis. En este libro definió una función de manera totalmente general, dando lo que podemos razonablemente afirmar que era una definición verdaderamente moderna de función:

Si algunas cantidades dependen de otras del tal modo que si estas últimas cambian también lo hacen las primeras, entonces las primeras cantidades se llaman funciones de las segundas. Esta definición se aplica de manera más bien amplia e incluye todas las formas en que una cantidad puede ser determinada por otra. Si, por lo tanto, x denota una cantidad variable, entonces todas las cantidades que dependen de x de cualquier modo, o que son determinadas por ella, son llamadas funciones de x.

Esto podría haber sido un gran logro pero, después de dar esta amplia definición, Euler dedicó el libro al desarrollo del cálculo diferencial usando solamente funciones analíticas. El primer problema con la definición de Euler de tipos de funciones fue señalada en 1780 cuando se demostró que una función mixta, dada por distintas fórmulas, a veces podía darse mediante una sola fórmula. El ejemplo más claro de una función así fue dado por Cauchy en 1844 cuando notó que la función

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| INTRODUCCIÓN 7

y = x para x≥0, y = -x para x < 0

podía expresarse mediante la fórmula y = √(x²). Por lo tanto dividir las funciones en E-continuas y mixtas no tenía sentido. Sin embargo, una objeción más seria vino del trabajo de Fourier quien afirmó en 1805 que Euler estaba equivocado. Fourier demostró que algunas funciones discontinuas podían representarse por lo que hoy llamamos una serie de Fourier. La diferencia entre funciones E-continuas y funciones E-discontinuas, por ende, no existía. El trabajo de Fourier no fue aceptado de inmediato y matemáticos prominentes como Lagrange no lo aceptaron en ese momento. Luzin señala en [17] y [18] que la confusión respecto a las funciones se había debido a una falta de comprensión de la diferencia entre 'función' y su representación; por ejemplo como una serie de senos y cosenos. EL trabajo de Fourier llevaría finalmente a clarificar el concepto de función cuando, en 1829, Dirichlet demostró algunos resultados concernientes a la convergencia de las series de Fourier, y aclarando así la diferencia entre una función y su representación. Otros matemáticos dieron sus propias versiones de la definición de función. Condorcet parece haber sido el primero en retomar la definición general de Euler de 1755 (ver [31] para más detalles). En 1778 Condorcet envío las primeras dos partes de un trabajo de cinco, Traité du calcul integral a la Academia de París. Nunca fue publicado pero muchos de los principales matemáticos franceses lo vieron. En esta obra, Condorcet distingue tres tipos de funciones: funciones explícitas, implícitas dadas solo por ecuaciones no resueltas y funciones que se definen a partir de consideraciones físicas tales como las que son solución de una ecuación diferencial. Lacroix, quien había leído el trabajo inconcluso de Condorcet, escribió en 1797:

Cada cantidad cuyo valor depende de una o más cantidades se llama una función de éstas últimas, se conozca o no qué operación es necesario usar para llegar de la última a la primera.

Cauchy, en 1821, dio una definición que hace de la dependencia entre variables el centro del concepto de función. Escribió en Cours d'analyse:

Si cantidades variables son unidas entre ellas de tal modo que el valor de una de ellas está dado, se puede llegar a los valores de todas las otras; uno ordinariamente concibe estas distintas cantidades como expresadas mediante una de ellas, la cual entonces toma el nombre de variable independiente; las otras cantidades expresadas mediante la variable independiente son aquellas a las que se llaman funciones de esta variable.

Nótese que a pesar de la generalidad de la definición de Cauchy, que está diseñada para cubrir tanto las funciones implícitas como las explícitas, aún piensa en una función en términos de una fórmula. De hecho, hace la distinción entre funciones implícitas y explícitas justo después de dar esta definición. También introduce conceptos que indican que todavía peinsa en términos de expresiones analíticas. Fourier, en Théorie analytique de la Chaleur en 1822, dio la siguiente definición:

En general, la función ƒ(x) representa una sucesión de valores u ordenadas cada uno de los cuales es arbitrario. Dados una infinidad de valores de la abscisa x, hay un número igual de ordenadas ƒ(x). Todas tienen valores numéricos, ya sean positivos, negativos o cero. No suponemos que estas ordenadas estén sujetas a una ley común; se siguen unas a otras de una forma cualquiera y cada una de ellas está dada como si fuera una cantidad sola.

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| INTRODUCCIÓN 8

Está claro que Fourier ha dado una definición que se aleja deliberadamente de las expresiones analíticas. Sin embargo, y a pesar de ello, cuando empieza a demostrar teoremas sobre expresar una función arbitraria como serie de Fourier, ¡entonces usa el hecho de que su función es continua en el sentido moderno! Dirichlet, en 1837, aceptó la definición de función de Fourier e inmediatamente de dar esta definición, definió una función continua (usando continuo en el sentido moderno). Dirichlet también dio un ejemplo de una función definida en el intervalo [0,1] que es discontinua en todos sus puntos; ésta es ƒ(x) definida como 0 si x es racional y 1 si x es irracional. En 1838, Lobachevsky dio una definición de una función general que todavía necesitaba que ésta fuera continua:

Una función de x es un número que está dado para cada x y que cambia gradualmente junto con x. El valor de la función puede estar dado mediante una expresión analítica o mediante una condición que ofrece una manera de probar todos los números y seleccionar uno de ellos o, finalmente, la dependencia puede existir pero ser desconocida.

Sin duda la función discontinua en todos los puntos de Dirichlet no sería una función bajo la definición de Lobachervsky. Hankel, en 1870, deploró la confusión que aún reinaba sobre el concepto de función:

Una persona define función esencialmente en el sentido de Euler, otra requiere que y debe cambiar con x según alguna ley, sin dar una explicación de este obscuro concepto; la tercder la define en la misma manera que Dirichlet, la cuarta sin más no la define. Sin embargo, todo el mundo deduce de su concepto conclusiones que no están contenidas en él.

Alrededor de esa época se construyeron muchas funciones patológicas. Cauchy dio un ejemplo temprano cuando notó que ƒ(x) = exp(-1/x²) para x≠0, ƒ(0) = 0, es una función continua cuyas derivadas en 0 son todas 0. Por lo tanto, tiene una serie de Taylor que converge en todos los puntos pero que solo es igual a la función en 0. En 1876 Paul du Bois-Reymond hizo la distinción entre una función cuya serie de Fourier diverge en un punto. En esta línea se avanzó en 1885 cuando Weierstrass demostró que cualquier función continua es el límite de una secuencia de polinomios que converge uniformente. Anteriormente, en 1872, Weierstrass había enviado un artículo a la Academia de Ciencias de Berlín dando un ejemplo de una función continua que no es diferenciable en ningún punto. Lützen escribe en [2]:

La función de Weierstrass contradecía la idea intuitiva de la mayor parte de sus contemporáneas que apuntaba a que las funciones contúnuas eran differenciables excepto en 'puntos especiales'. Fue una sensación y, de acuerdo con Hankel, incredulidad cuando du Bois-Reymond la publicó en 1875.

Poincaré estaba a disgusto con la dirección que había tomado la definición de función. En 1899 escribió:

Durante medio siblo hemos visto una masa de funciones extrañas que parecen forzadas a parecerse lo menos posible a las funciones honestas que sirven a algún propósito. [...] Antes, cuando se inventaba una nueva función era con una meta práctica. Hoy son inventadas a propósito para mostrar que el razonamiento de nuestros ancestros fallaba y nunca obtendremos más que eso de ellas. Si la lógica fuera la única guía del profesor, tendría que empezar por lo más general, es decir, las funciones más estrambóticas.

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| INTRODUCCIÓN 9

¿De dónde han tomado el concepto las definiciones más modernas? Goursat, en 1923, dio la definición que aparece en la mayoría de los libros de textos hoy en día:

Se dice que y es una función de x si a cada valor de x le corresponde un valor de y. Esta correspondencia se indica mediante la ecuación y = ƒ(x).

En caso de que ésta no sea lo suficientemente precisa y que involucra conceptos como 'valor' y 'correspondencia', véase la definición dada por Patrick Suples en 1960:

Definición. A es una relación ⇔ (∀x)(x ∈ A ⇒ (∃y)(∃z)(x = (y,z)). Se escribe y A z si (y,z) ∈ A.

Definición. ƒ es una función⇔ ƒ es una relación y (∀x) (∀y) (∀z)(x ƒ y y x ƒ z ⇒ y = z).

¿Qué hubiera pensado Poincaré de la definición de Suples?

Artículo de: J J O'Connor y E F Robertson

MacTutor History of Mathematics Archive

Fuente: http://ciencia.astroseti.org/matematicas/articulo_4379_historia_del_concepto_funcion.htm

Aplicaciones

La aplicaciones de los límites se quedan en el ámbitod el análisis matemático. Es un concepto necesario para definir continuidad y toda la teoría de funciones diferenciables y el cálculo integral, así como toda la matemática superior que se desarrolla a partir de aquí

Muy probablemente no te vas a encontrar el límite de ninguna función en tu vida cotidiana ni siquiera en tu vida profesional aunque seas ingeniero o arquitecto. El límite es una herramienta conceptual, pero eso si, de la máxima importancia .

La virtud que tiene su estudio es que en realidad, las funciones en su mayoría son continuas y tienen límite en todos sus puntos, luego lo que vas a estudiar aquí son los, llamémosles “casos raros”, es decir aquellos puntos de las funciones elementales que presentan dificultades. Este tema es pues un tema de excepciones

Objetivos Mínimos

Conocer los conceptos de límite de una función en un punto (tanto finito como infinito) y de límite en el ± .

Saber calcular límites de cocientes de polinomios. Saber determinar las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de una función. Conocer el concepto de límite lateral y su relación con el de límite. Conocer las propiedades algebraicas del cálculo de límites, los tipos principales de

indeterminación que pueden darse y las técnicas para resolverlas. Conocer el concepto de continuidad de una función en un punto, incluida la

continuidad lateral, y, como consecuencias elementales, la conservación del signo y la acotación de la función en un entorno del punto.

Saber donde son continuas las funciones elementales. Conocer los distintos comportamientos de discontinuidad que pueden aparecer y saber

reconocerlos usando los límites laterales. Saber determinar la continuidad de las funciones definidas a trozos.

http://ciencia.astroseti.org/matematicas/articulo_4379_historia_del_concepto_funcion.htm

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| INTRODUCCIÓN 10

Conocer el concepto de continuidad de una función en un intervalo y qué significa eso en los extremos del intervalo.

Conocer el teorema del valor intermedio de Bolzano y su aplicación a la localización de ceros de una función y al dibujo de gráficas de funciones que se cortan.

Conocer el teorema de existencia de extremos absolutos de Weierstrass y, como consecuencia, que toda función continua en un intervalo cerrado y acotado está acotada y alcanza sus extremos.

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| CONCEPTOS BÁSICOS 11

CONCEPTOS BÁSICOS

La idea de límite

En el estudio de sucesiones ya hemos considerado la idea de límite de una sucesión de números reales. Ahora tenemos que dar un avance más e introducir la misma idea pero con funciones. Vamos por tanto a establecer ciertas comparativas entre uno y otro límite para intentar comprender al menos su significado intuitivo

Primero, una sucesión es una correspondiencia entre los números naturales ℕ y los números

reales ℝ, de manera que , por ejemplo, la sucesión 2 1

n

nn

hace corresponder

Esta correspondencia, al tratarse de conjuntos numéricos, queda mejor expresada mediante el diagrama cartesiano donde los puntos “gordos” simbolizan los puntos de correspondencia

+


¿Qué ocurriría si el conjunto origen fuese ℝ en lugar de ℕ? Pues básicamente que la sucesión

sería 2 1

x

xx

(es la misma pero con un cambio de notación al tratarse ahora de ℝ) y que

el diagrama cartesiano sería

Es decir, la línea sería continua porque todos los elementos de ℝ tendrían su correspondiente imagen por f

Pues no hay más, ya estamos trabajando con funciones en lugar de sucesiones, solo cambia el

conjunto origen, el resto es igual. Cuando en sucesiones vimos que el 11limn

ne

n

,

ahora en funciones también se sigue verificando que 11limx

xe

x

+


Limite de un función en el infinito

Esta ejemplo anterior nos ilustra la siguiente definición

Definición: Límite de una función en +∞

Decimos que el límite de una función f cuando x tiende a +∞ es el número real l, y se escribe ( )lim

xf x l

, cuando para valores ‘suficientemente grandes‘ de x, los valores de la

función f(x)se aproximan a l.

La expresión ‘suficientemente grandes’ que, en principio, puede parecer una expresión matemáticamente inconcreta, queda definida de forma rigurosa con la siguiente equivalencia:

( ) 0 0; / ( )limx

f x l k k x k f x l

Definición: Límite de una función en -∞

Análogamente, decimos que el límite de una función f cuando x tiende a -∞ es el número real l, y se escribe ( )lim

xf x l

, cuando para valores ‘suficientemente pequeños‘ de x, los

valores de la función f(x)se aproximan a l.

Su expresión en notación matemática es:

( ) 0 0; / ( )limx

f x l k k x k f x l

Ejemplo

La función 1( ) 1x

f xx

es tal que 1( ) 1lim limx

x xf x e

x

pues vemos que es

posible aproximar e a f(x) tanto como queramos con hacer x lo suficientemente grande.

Definición: Asíntota horizontal

Cuando ( )limx

f x l

ó cuando ( )limx

f x l

la recta horizontal de ecuación y = l se denomina

asíntota horizontal de la función f(x).

+


Ejemplo

La recta y = e es una asíntota horizontal para la función 1( ) 1x

f xx

Limite de un función en un punto

Definición intuitiva de límite

Dada una función f , el límite de f cuando x tiende a x0 , que se denota por 0

( )limx x

f x

es el

valor al que se aproximan las imágenes f(x) de los puntos x cuando éstos tienden hacia x0 .

Esta definición es inconcreta, usa palabras como tiende, aproxima, que en las Matemáticas actuales no se admiten, aunque puedan servir para facilitarnos la comprensión. Por ello, es necesario introdución una definición rigurosa de este concepto, definición que vamos arrastrar en lo sucesivo en la casi totalidad de los concetos del calculo infinitesimal.

Definición matemática de límite

Decimos que una función f tiene límite l cuando x tiende a x0 , y se escribe 0

( )limx x

f x l

, si

es posible conseguir ‘que f(x) esté tan próximo a l como se quiera’ al tomar x suficientemente próximo a x0, pero x≠x0

Esto que acabamos de decir, concretamente la frase “que f(x) esté tan próximo a l como se quiera” ó la expresió n equivalente "la variable x toma valores suficientemente próximos a x0" en lenguaje matemático equivale a decir que dependiendo de la proximidad de f(x) a l , así deberá estar más o menos próximo x a x0 para que se cumpla la hipótesis /f(x)- l/< , es decir , debe de existir un tal que /x-x0/<. Todo esto se escribe así:

00( ) 0 0 / ( )lim

x xf x l x x f x l

Esta definición no es fácil de asimilar, pero tendrás que hacerlo, si no en secundaria, pues en pre-universitario o en la universidad, pero no te queda más remedio que lograrlo si quieres cursar una carrera de ciencias. Tendrás que dibujar, las veces que sean necesarias, gráficos de funciones en un papel y dibujar puntos que se acerquen a x0 en el eje X y ver como la función f(x) se acerca a l en el eje Y, y esto para todo número ε lo pequeño que quieras.

Sin embargo, aunque lo anteriormente dicho es absolutamente correcto y válido, para introducir hoy en día el concepto de límite se hace mediante una doble definición que exponemos a continuación

Definición: límite por la izquierda en un punto.

Decimos que una función f tiene límite l cuando x tiende a x0 por la izquierda , y se escribe

0

( )limx x

f x l

, cuando para valores muy próximos pero menores que x0, los valores de la


+


0

0( ) 0 0 / ( )limx x

f x l x x f x l

Definición: límite por la derecha en un punto.

Decimos que una función f tiene límite l cuando x tiende a x0 por la derecha, y se escribe

0

( )limx x

f x l

, cuando para valores muy próximos pero mayores que x0, los valores de la


0

0( ) 0 0 / ( )limx x

f x l x x f x l

Definición: límite de una función en un punto.

Decimos que una función f tiene límite l cuando x tiende a x0, y se escribe 0

( )limx x

f x l

,

cuando coinciden el límite por la izquierda y el límite por la derecha y son iguales a l:

0 0 0

( ) ( ) ( )lim lim limx x x x x x

f x l f x f x l

Ejemplo

Vamos a ilustrar esta definición con un ejemplo. Tomaremos la parábola más simple, la f(x) = x2, y vamos a calcular su límite en x = 2 Hacemos una tabla de valores para ver el comportamiento de la parábola en puntos que se aproximen a x = 2 por la izquierda y por la derecha.

x⇾2- y = f(x) ⇾... 2.33333333 5.44444444 2.11111111 4.45679012 2.03703704 4.14951989 2.01234568 4.04953513 2.00411523 4.01647784

x⇾2+ y = f(x) ⇾... 1.66666667 2.77777778 1.88888889 3.56790123 1.96296296 3.85322359 1.98765432 3.9507697 1.99588477 3.98355603

Observamos que en ambos casios se tiene que , tanto por la derecha como por la izquierda los valores de f(x) se acercan cada vez más a 4. Esta idea se expresa así :

2

2lim 4x

x

(límite lateral por la izquierda) 2

2lim 4x

x

(límite lateral por la derecha)

Cuando el límite por la derecha y por la izquierda existen y son iguales se dice que existe límite en ese punto y es :

2 2 2

22 2lim lim lim 4

xx xx x x

Dibujamos un gráfico representativo de esta situación para que lo medites.

+


Límites infinitos de una función en un punto

Se dice que 0

lim ( )x x

f x

si para cualquier k positivo se puede encontrar un tal que f(x)>k

cuando /x-x0/< . Es decir

00lim ( ) 0 0 / ( )

x xf x k x x f x k

Se dice que 0

lim ( )x x

f x

si para cualquier k positivo se puede encontrar un tal que f(x)<-

k cuando /x-x0/< . Simbólicamente:

00lim ( ) 0 0 / ( )

x xf x k x x f x k

+


Definición: Inexistencia del límite

Si queremos calcular el límite de una función en un punto, es decir 0

( )limx x

f x

, y alguno de los

límites laterales no existe, o bien sí existen pero no coincidiesen, decimos que la función f(x) no tiene límite en ese punto x0.

Ejemplo

Sea la función 2( )f xx

cuya gráfica dibujamos a continuación. Se observa que en el

punto x0 = 0 los límites por la izquierda y por la derecha existen pues el 0

2limx x

y 0

2limx x

pero no coinciden y por tanto se dice que la función en el punto x0 = 0

no tiene límite.

+


Definición: Asíntota Vertical

Si existe un x0 tal que 0

lim ( )x x

f x

o

0

lim ( )x x

f x

decimos que la recta vertical de

ecuació x = x0 es una asíntota vertical para la función f(x)

Ejemplo

La línea vertical x = 0 es una asíntota para la fuinción 2( )f xx

del ejemplo anterior

Definición de límite basada en intervalos

0

* *0 0 0 0lim ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) / ( ) ( ) ( )

x xf x l l l l x x x x x f x l

Límites infinitos de una función en el infinito

Se dice que lim ( )x

f x

si para cualquier k positivo se puede encontrar un H positivo tal

que para todo x mayor que H se tiene que f(x)> k


f x


que para todo x mayor que H se tiene que f(x)<- k


f x


que para todo x menor que H se tiene que f(x)> k


f x


que para todo x menor que H se tiene que f(x)<- k

+


Si escribimos lim ( )x

f x

sobreentenderemos que el resultado es válido para lim ( )x

f x

y

lim ( )x

f x

.

Propiedades de los limites de funciones

Designaremos por lim ( )f x el límite de la función f(x) tanto si es un límite puntual 0

lim ( )x x

f x

como si es un límite en el infinito lim ( )x

f x

.

Se verifican entonces las siguientes propiedades:

1. El límite de una función en un punto si existe , es único y es igual a los límites laterales.

TEOREMA: Si existe el límite, éste es único. (Demostración inmediata).

2. Si una función f tiene límite distinto de cero en un punto entonces existe un entorno del punto en el que los valores que toma f tienen el mismo signo que el límite .

TEOREMA: Existe el límite si y solo si existen los limites laterales (por la derecha y por la izquierda) y ambos coinciden. (Demostración inmediata).

3. lim ( ) lim ( ) lim ( )f g x f x g x , siempre que no se de la indeterminación ∞-∞ 4. lim ( ) lim ( ) lim ( )f g x f x g x , siempre que no se de la indeterminación 0∙∞ 5. ; 0 lim ( ) lim ( )k k k f x k f x

6. Si g(x) ≠ 0 entonces lim ( )lim ( )lim ( )

f f xxg g x

, y siempre que no se den ninguna de las

indeterminaciones 0 ,0

7. ; 0 lim ( ) lim ( )ppp p f x f x

8. Si lim ( ) 0f x y lim ( ) 0g x entonces lim ( )( )lim ( ) lim ( ) g xg xf x f x , y siempre

que no se den ninguna de las indeterminaciones 0 0,0 ,1 9. lim ( ) lim ( )g f x g f x

Calculo de límites

Indeterminaciones

Como ya vimos en el estudio de las sucesiones de números reales, hay 7 indeterminaciones

en el cálculo de límites que se representan por 0 00 , ,0 , ,1 , ,00

+


Cuando se nos presente uno de estos casos, o bien empleamos una estrategia que resuelva la indeterminación, o bien, si no podemos, daremos el resultado por indeterminado.

Los métodos para resolver estas indeterminaciones son semejantes a los ya dados en límites de sucesiones. Veamos aquí algunos ejemplos adaptados al caso de funciones reales.

Ejemplos caso 1:

Ejemplo 1 3

3 4

44

34 4

2 12lim2 0lim lim 01 1 0lim1 lim

x

x x

x x

xx x x

x xx xxx x

Ejemplo 2 3

3 3

33

33 3

2lim 22 2 2lim lim 13 13 1 3 0 3lim 3 limx

x x

x x

xx x

xxxx x

Ejemplo 3

2

2 2

3 3 3

42 4 4

5lim 55 5 5lim lim

04 14 1 4 1 4 1 lim limlim lim

x

x x

x xx x

xx x

x x xx xx x x

Ejemplo 4 2

2 2

4 2 4 2

24 4

4lim 44 4 4lim lim 2

21 4 04 4 lim 4 lim

x

x x

x x

xx x

x x x xxx x

Ejemplo 5

2

2 2

2

1lim lim lim 1 lim 1x x x x

x xx x x xx

xx x xx

Ejemplos del caso 2:

Ejemplo 1

2

1 1 2lim lim lim 01 1 1 1 1x x x

x x x xx x xx x x x x

+


Ejemplo 2

2 22 2

2 2 2

1 1 11 2 1lim lim lim 01 1 1 1 1 1x x x

x x x xx x x xx x x x x x

Ejemplo 3

1 1 1 1lim 1 1 lim ...

1 1

1 1 2... lim lim 01 1 1 1

x x

x x

x x x xx x

x x

x xx x x x

Ejemplo 4

2 2

2

2

2 2

2 2

1 1lim 1 lim ...

1

1 1... lim lim 01 1

x x

x x

x x x xx x

x x

x x

x x x x

Ejemplo del caso 3: 1

1 12 2 2 2 42 2

142 2 1

4 2

1 1 1 1lim 1 lim 1 lim 1 1 ...2 1 2 1 2 1 2 1

1 1lim 1 1 lim (1 0)2 1 2 1

x x x

x x x

x

x x

x x x x

e ex x

Ejemplos del caso 4:

00

Este caso es el que presenta algún tipo de novedad con respecto a las indeterminaciones que aparecían en los límites de sucesiones, porque ahora, con límites de funciones, se puede dar el caso de que el límite sea puntual y sea 0. Veamos ejemplos:

Ejemplo 1

2

22 2 2

6 4 2 6 0 ( 2)( 3) ( 3) 2 3 5lim lim lim3 10 4 6 10 0 ( 2)( 5) ( 5) 2 5 7x x x

x x x x xx x x x x

Ejemplo 2

+


3 2

21 1 1

2 5 6 0 ( 1)( 2)( 3) ( 2)( 3) 3 4lim lim lim 24 5 0 ( 1)( 5) ( 5) 6x x x

x x x x x x x xx x x x x

Ejemplo 3

3

21 1

( 1)1 0lim lim1 0x x

xxx

2( 1)( 1)

x xx

2

1

( 1) 1 1 1 3lim( 1) 1 1 2( 1) x

x xxx

Ejemplo 4

0 0 0

1 10lim lim lim01 1 1 1 1 1x x x

x xx xx x x

x 1 xx

0

lim 1 1 2x

x

Ejemplos del caso 5: 0

Ejemplo 1

2

22 2

1 1lim 0 lim lim 1 1x x x

x xx xx x x

Ejemplo 2

2 3 2

2 3 2

1 1lim 0 lim lim 11 1x x x

x x x x xx x x x x

Ejemplos de los casos 5, 6 y 7

Las indeterminaciones del tipo 0 01 , ,0 se pueden resolver utilizando la propiedad ( ) ln ( )( )( ) g x f xg xf x e con lo que se reducirá a una de las indeterminaciones ya estudiadas .

En el caso concreto de 1 y que no sea aplicable una expresión en el número e se puede

emplear un resultado que dice que

0

0

( ) ( ) 1( )lim

lim( ) x x

g x f xg x

x xf x e

En algunos de estos casos puede ocurrir que aplicando lo dicho no podamos resolver la indeterminación. Estos casos, se resuelven en los temas sucesivos aplicando la Regla de L'Hôpital.

Ejemplo 1

2 2

2

1 ln1 ln1 1 lnln lim0

2

1lim 0 lim lim ......x

x xx x x x x

x x xe e e

x

Ejemplo 1

+


2 22 2

22 2 200

1 3 1 31 3 1 lim2 lim 11

20

1lim 11

xx

x xx xx x x x

x

x e ex

22 x

22

20

2(1 3 )lim1 21x

xx xe e

Límites de funciones trigonométricas.

Teorema

0

sin( )lim 1x

xx

Demostración

Partimos de que es cierta la inecuación trigonométrica sin(x) < x < tan(x) en el intervalo

(0,π/2). Si dividimos por sin(x), obtenemos que tan 11sin sin cos

x xx x x

Invirtiendo los términos de la inecuación: sincos 1xxx

Tomamos límites cuando x tiende a 0: 0 0 0 0

sin sincos 1 1 1lim lim lim limx x x x

x xxx x

Aplicando el Teorema del sándwich: 0

sin 1limx

xx

Teorema

0

tan( )lim 1x

xx

Demostración

Utilizando las propiedades de los límites y el valor obtenido en el límite anterior, tenemos:

0 0 0 0 0

tan sin sin 1 sin 1 1 1 1lim lim lim lim limcos cos cosx x x x x

x x x xx x x x x x x

Ejemplo - Ejercicio

Basándote en el anterior resultado calcula

+


0

sin(12 )limtan(4 )x

xx

0

1 cos( )lim 1x

xx

(Nota: Usa la fórmula del sen(x/2))

+

| FUNCIÓN CONTINUA 25

FUNCIÓN CONTINUA

Definición: Función continua.

Una función f se dice que es continua si su dibujo se puede realizar de un solo trazo.

Función continua Función discontinua

Esta definición dada en los primeros niveles de secundaria, aunque válida, es poco rigurosa, y no nos sirve de mucho a la hora de demostrar las propiedades de la continuidad ni desarrollar toda la teoría que sigue a partir de aquí, por eso es necesario formalizar este concepto de una manera mucho más rigurosa a partir del concepto de límite.

Observemos que la función no tiene por qué estar definida en x0 para tener límite en ese punto, incluso aunque esté definida no es necesario que sea igual al límite. No obstante si f(x)

sí está definida en x0 y f(x0) = l entonces surge la definición de continuidad

La función de la izquierda no está definida

en x0 = 0 y por lo tanto no existe el 20

1limx x

y

sin embargo tiene límites por la derecha

20

1limx x

y por la izquierda 20

1limx x

en ese punto. Es más, no solo tiene lçímites sino que incluso coinciden.

+


Definición: Función continua en un punto

Se dice que la función f es continua en un punto x0∊ℝ si se verifican las tres condiciones:

1. La función f está definida en x0, es decir, existe f(x0)

2. Existe 0

lim ( )x x

f x

3. Se cumple que 0

0lim ( ) ( )x x

f x f x

La definición de continuidad esta pues totalmente ligada a la definición de límite hasta tal punto que podemos decir:

00 0 0 0f continua en x Existe lim ( ) ( ) 0 0 / ( ) ( )

x xf x f x x x f x f x

Es decir, que si fijamos un entorno de f(x0) de radio ε, que denotaremos E(f(x0), ε), podemos encontrar un entorno de x0 de radio δ, que depende de ε y llamaremos E(x0, δ), de modo que para cualquier valor de x que esté en el entorno E(x0, δ) exceptuando el propio x0, se tiene que su imagen f(x0) está en el entorno E(f(x0), ε)

Teorema

Si y = f(x) es continua en x0 entonces existe el 0

lim ( )x x

f x

(La demostración es inmediata)

Demostración

Es inmediata de la propia definición de continuidad Sin embargo, el teorema recíproco no es cierto en general. Como contraejemplo tenemos la

función 2 1( )

1xf xx

que en x0 = 1 verifica que 1

lim ( ) 2x

f x

y 1

lim ( ) 2x

f x

Ejemplo

Vamos a comprobar que 3

lim 2 6x

x

Tomamos = 0.1 , es decir , la distancia entre f(x) y el límite 6 es menor que 0.1, ǀf(x) - 6ǀ<0.1 ⇒ ǀ2x-6ǀ<0.1 ⇒ -0.1<2x-6<0.1 ⇒ 5.9<2x<6.1 ⇒ 2.95<x<3.05 ⇒... ... ⇒ 3-0.05<x<3+0.05 ⇒ ǀx-3ǀ<0.05 luego debemos tomar = 0.05 Para cualquier que tomemos todo lo pequeño que nosotros queramos , y siempre encontraremos un apropiado. En general para esta función : ǀf(x) - 6ǀ< ⇒ ǀ2x-6ǀ< ⇒ -<2x-6< ⇒ 6-<2x<6+ ⇒ 3-/2<x<3+/2 ⇒ ǀx-3ǀ</2 luego debemos tomar = /2. depende siempre del valor de que tomemos .

+


Definición: Continuidad en un intervalo

Una función f se dice que es continua en un intervalo (a,b) de la recta real si lo es en cada uno de sus puntos.

Definición: Discontinuidad en un punto

Si una función f no es continua en un punto x0∊ℝ se dice que f presenta una discontinuidad en x0.

Continuidad de las funciones elementales

Funciones polinómicas Son siempre continuas en todo ℝ Funciones exponenciales Son continuas en todo ℝ Funciones logarítmicas La función logarítmica no está definida para el intervalo (-∞,0 ] luego

ahí no es continua Funciones trigonométricas El seno y coseno son continuas

La tangente es discontinua para 2

x k k

Funciones racionales Una función racional es de la forma

( )( )( )

P xf xQ x

; con P(x) y Q(x)

dos polinomios. Esta función presenta discontinuidad si Q(x) =0

Funciones con radicales Las raíces pares de números negativos no exiasten en ℝ luego en este conjunto no son continuas.

Tipos de discontinuidad

Existen 3 tipos de discontinuidad

Discontinuidad evitable Discontinuidad de salto finito Discontinuidad de salto infinito

Caso 1: Discontinuidad evitable (1ª especie)

Este primer tipo de discontinuidad ocurre cuando la función no está definida en ese punto. Más concretamente:

1. O bien la función f no está definida en x0, es decir, no existe f(x0)

2. O bien no se cumple que 0

0( ) lim ( )x x

f x f x

que

Pero sí se cumple la segunda propiedad que

0 0 0

lim ( ) lim ( ) lim ( )x x x x x x

f x f x f x

Se llama evitable porque si redefinimos la función en x0 de

+


manera que 0

0( ) lim ( )x x

f x f x

la función sería continua

Ejemplo 1

La función 2

1 si x<0( )

x 1 si x>0x

f x

, no está definida para x0 = 0, luego no puede ser

continua en ese punto a pesar de que 0 0

lim ( ) lim ( ) 1x x x x

f x f x

.

Ejemplo 2

La función 2

1 si x<0( ) 0 si x=0

1 si x>0

xf x

x

, sí está definida para x0 = 0, y vale f(0) = 0, pero

no coincide con los límites laterales que valen 1: 0 0

lim ( ) lim ( ) 1 (0) 0x x x x

f x f x f

.

Caso 2: Discontinuidad inevitable de salto finito (2ª especie)

La discontinuidad de segunda especie o no inevitables ocurren cuando la función sí está definida en ese punto, pero presenta un salto en su traza, es decir, cuando f(a) existe pero no existe

0

lim ( )x x

f x

porque sus límites laterales, aunque existen, no

coincide el límite por la derecha 0

lim ( )x x

f x

con el límite por

la izquierda 0

lim ( )x x

f x

Ejemplo

La función 2

si x 0( )

x 1 si x>0x

f x

, si está definida

para x0 = 0, pues f(2) = 2, sin embargo 0

lim ( ) 0x x

f x

y

0

lim ( ) 1x x

f x

Caso 3: Discontinuidad inevitable asintótica

Esta discontinuidad es también inevitable ó de 2ª especie y se produce cuando alguno de los dos límites laterales, o bien

0

lim ( )x x

f x

, o bien 0

lim ( )x x

f x

, son infinitos.

Caso 4 Esencial

Cuando no existe alguno de los límites laterales (o ambos). Puede serlo por la derecha, por la izquierda o por ambos lados.

+


Definición: Valor Verdadero

Si una función f tiene una discontinuidad evitable en x0, llamaremos verdadero valor de la función en x0 al

0

lim ( )x x

f x

. Dicho valor es el que convierte a la función en continua.

Definición: Salto

Si una función f tiene una discontinuidad de salto en x0, llamaremos salto de la función en x0

al valor 0 0

lim ( ) lim ( )x x x x

f x f x

.

+


Asíntotas de una función

Definición: Ramas infinitas

Cuando en la gráfica de una función f encontremos un tramo en el que la función se aleja indefinidamente diremos que la función presenta una rama infinita.

Definición: Asíntota

Cuando una función f presenta una rama infinita que se aproxima indefinidamente a una recta, sin llegar a contactarla, se dice que esa recta es una asíntota de la función

Definición: Rama asintótica

Cuando una función f presenta una rama infinita que se aproxima a una asintóta se dice que la rama infinita es una rama asintótica.

Definición: Rama parabólica

Cuando una función f presenta una rama infinita que no es asintótica se denomina rama parabólica.

Definición: Asíntota horizontal

Cuando una función f verifique que ( )limx

f x l

ó que ( )limx

f x l

la recta horizontal de

ecuación y = l se denomina asíntota horizontal de la función f(x).

Definición: Asíntota Vertical

Si existe un x0 tal que 0

lim ( )x x

f x

o

0

lim ( )x x

f x

decimos que la recta

vertical de ecuació x = x0 es una asíntota vertical para la función f(x)

Definición: Asíntota oblícua

Cuando una función f verique que ( )lim

x

f x mx

y lim ( )x

f x mx b

diremos que la función f presenta una asíntota oblicua en la recta y = mx + b.

+


Ejemplo 1

Calcular y representar las asíntotas de la función 2 1( )

2x xf x

x

Ejemplo 2

Calcular y representar las asíntotas de la función 2

2( )1

x xf xx

Ejemplo 3

Calcular y representar las asíntotas de la función 3 2

2

3 2 5( )1

x xf xx

+


Operaciones con funciones continuas.

Sean f y g dos funciones continuas en x0, se tiene entonces que:

a) f g es continua en x0. b) f g es continua en x0.

c) fg

es continua en x0 si g(x0) ≠ 0

d) gf es continua en x0 suponiendo que f(x0) > 0 (para que tenga sentido la potencia).

Teorema

Si f es continua en x0 y g es continua en f(x0) entonces g ∘ f es continua en x0.

Demostración

Consideramos. , ( ) ( )f gx a b f x g f x

Dado ε>0

Por ser g continua en f(x0) entonces 0 00 / ( ) ( ) ( ) ( )f x f x g f x g f x

Por ser f continua en x0 dado el δ anterior 0 00/ ( ) ( )x x f x f x

De ambas desigualdades en conjunto se tiene que:

Dado ε>0 ⇒ 0 0 00 / ( ) ( ) ( ) ( )x x f x f x g f x g f x

+


Propiedades de las funciones continuas

Teorema del signo

Sea : ,f a b una función continua en todo (a,b) entonces si f(x0) 0, existe un entorno E(x0,) en que f tiene el mismo signo que f(x0).

Demostración

Dicho en palabras se demostraría diciendo: “Sea f(x) una función continua en x0 siendo f(x0) distinto de 0, entonces existe un entorno de x0 en el que los valores de f(x) tienen el mismo signo que f(x0)”.

Haciendo con demostración rigurosa en notación matemática sería:

Supongamos que f(x0) > 0 (si fuese negativo, se razonaría de modo similar).

Dado 0( ) 02

f x , como f es continua en x0 se tiene que

0 00 / ( ) ( )x x f x f x

Es decir, si 0 00 0 0 0

( ) 3 ( ), ( ) ( ) , ( ) ,2 2

f x f xx x x f x f x f x

Por lo tanto: f(x) > 0. (c.q.d.)

Nota: Si x0 = b (respectivamente x0 = a) entonces existe un tal que f toma en (b-,b) (respectivamente (a,a+) el mismo signo que f(x0).

Teorema de acotación

Sea : ,f a b una función continua en [a,b] y x0(a,b) entonces existe > 0 tal que f es acotada en E(x0,).

Demostración Tomemos 1 0 . Por la continuidad de f(x) en x0 se tiene que:

0 0 0 0 0 00 / , ( ) ( ) , ( ) ( ) 1, ( ) 1x x x f x f x f x f x f x

de modo que 0 0( ) 1, ( ) 1f x f x es un intervalo acotado, por lo tanto f está acotada

en el entorno 0 0,x x .

+


Teorema de Bolzano (o del valor medio)

Sea : ,f a b una función continua en [a,b], tal que f toma valores de signos distintos en los extremos a y b del intervalo, es decir, sign f(a) sign f(b). Entonces existe c(a,b) tal que f(c) = 0.

Demostración Supongamos que f(a) < 0 y f(b) > 0 (Se razona de forma análoga si ocurre lo contrario).

Si 02

a bf

el teorema está demostrado. En caso contrario, la función tomará en

dicho punto un valor del mismo signo que f(a) o que f(b).

Sea I1=[a1,b1] el nuevo intervalo donde hay cambio de signo.

Si 1 1 02

a bf

el teorema está demostrado. En caso contrario, repetimos el

proceso anterior.

De esta manera se obtiene una sucesión de intervalos 1 2 3 ... ...nI I I I de intervalos encajados tales que cada uno es la mitad del anterior y la función toma valores opuestos en los extremos de cada intervalo.

Dicha sucesión define un número real c∊(a,b). Demostremos que f(c) = 0.

Supongamos que f(c) ≠ 0, entonces por el Teorema del Signo existirá un entorno de c donde se mantendrá el mismo signo que en c. Sin embargo, por la construcción anterior, dicho entorno contendrá uno al menos de los intervalos Ii , donde la función tomaba valores opuestos. Llegamos pues a una contradicción, lo que implica que necesariamente f(c) = 0.

Consecuencia: Si f es continua en [a,b] y k es un valor comprendido entre los valores de f(a) y f(b) (o al revés) entonces ∃c∊(a,b)/ f(c) = k. (Basta aplicar el Teorema de Bolzano a g(x) = f(x) - k)

Idea intuitiva del Teorema de Bolzano

Vamos a hacer la demostración de forma gráfica que, aunque no es una demostración formal, sirve para que entendamos la idea de fondo que subyace en este teorema.

Si f(a) y f(b) tienen signos distintos, entonces los puntos (a,f(a)) y (b,f(b)) estarán situados, uno por encima del eje X y otro por debajo.

Como por hipótesis la función f es continua, necesariamente su gráfica describirá una curva que una los dos puntos.

+


Entonces, necesariamente la curva en su trayecto del uno al otro punto tendrá necesariamente que cortar al eje X.

Ejemplo

En el dibujo adjunto, vemos una función que en los puntos 2 y 6 toma valores de signo contrario, en 2 es negativa y en 6 es positiva. Como la función es continua, partiendo de (2,f(2)) necesariamente en algún momento tendrá que cruzar el eje X en busca del (6,f(6)).

Teorema de Weiestrass ó de los extremos absolutos (del supremo y el ínfimo)

Si : ,f a b es una función continua en el intervalo [a,b], entonces f alcanza al menos una vez el máximo y el mínimo absolutos en dicho intervalo.

Demostración

f está acotada en [a,b].

Supongamos que no lo está, consideremos entonces el punto medio 0 2a bx

y los

subintervalos [a,x0] y [x0,b] y f no está acotada en uno de ellos al menos, al cual llamaremos I1.

Dividimos I1 en dos mitades y llamemos I2 a aquella mitad de las dos (al menos) en la que f no está acotada. Repetimos el proceso indefinidamente, obteniendo una sucesión

1 2 3 ... ...nI I I I de intervalos encajados, cada uno la mitad del anterior, donde f no está acotada.

Sea c el número real que define esta sucesión. Como f es continua en [a,b] se tiene que f es continua en c por lo que, aplicando el Teorema de Acotación, existirá un entorno de c en el que la función está acotada. Pero en dicho entorno y por construcción estarán incluidos a partir de uno todos los Ii donde la función no estaba acotada, por lo que llegamos a una contradicción.

Por lo tanto, f está acotada en [a,b].

f alcanza el máximo en [a,b]. (Análogamente se demuestra que alcanza el mínimo).

Si f está acotada en [a,b] entonces , , / ( )x a b m M m f x M

siendo m el ínfimo o extremo inferior y M el supremo o extremo superior.

Si en algún punto de [a,b] resulta que f(x) = M, el teorema estará demostrado.

+


Supongamos entonces que no, que , ( )x a b f x M

Sea 1( )

( )g x

M f x

una función que es continua en [a,b]. g necesariamente es

acotada en [a,b] ⇒ 1 1/ ( ) ,( )

k k f x M x a bM f x k

que f(x)

alcanza un máximo absoluto en [a,b]

Idea intuitiva del Teorema de Weiestrass

La interpretación de que este teorema es cierto es de una evidencia absoluta, no así su demostración rigurosa como acabamos de ver. Es decir, Weiestrass nos dice que si f es continua, entonces desde (a,f(a)) y (b,f(b)) tendrá que haber un trazo continuo, y es obvio deducir que en este camino f tendrá un máximo y un mínimo absoluto, si no los tuviera sería como pensar que la función crecería o decrecería hasta el infinito en algún momento de la traza, lo cual sería una contradicción con la afirmación de que f es continua

Teorema de Darboux o de los valores intermedios

Sea : ,f a b una función continua en el intervalo [a,b] , entonces f toma todos los valores intermedios comprendidos entre f(a) y f(b).

Demostración

Es inmediata a partir de la consecuencia del teorema de Bolzano y del teorema de Weierstrass.

Como vemos en el dibujo, en su traza desde (a,f(a)) hasta (b,f(b)) la función, al ser continua, verifica que todos los puntos del intervalo (f(2),f(6)) del eje Y son imagen de algún punto de [2,6].

Es decir, para cualquier punto m del intervalo m∊[f(a),f(b)] existe c∊[a,b] tal que f(c) = m.

+


Uℕℤℚ∊ℝℂℙℐΩ⇐⇒⇔⇏∊∉∈∅⇾≈≔⇎≡ℤ≤≥≲≳≴≵≮≯∀⇒∊≠∅⊂⟇·∃ A⨯Bεδδεε

·∅U∩∪∼∿⊂⊃⊆⊇⊄⋂⋃⊅∧∨U⤳≮≠|∂∆√±∞ǀǁƟƩǃξχ∘∙⊕⊗⊛⋅♯⨁⨂×

Limites de funciones

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