LÍMITES DEFUNCIONES

Prof. Carlos A. Blanco

LÍMITES DE FUNCIONES

En esta presentación trataremos los siguientes apartados:

• Idea intuitiva de límite• Límites laterales• Límites infinitos y límites en el infinito• Propiedades de los límites• Cálculo de límites• Indeterminaciones• Asíntotas y ramas infinitas• Continuidad

IDEA INTUITIVA DE LÍMITEEl límite de una función nos quiere dar una idea del

comportamiento de una función para valores de la variable independiente próximos a un cierto valor.

Si el valor al que se va a acercar la variable independiente es , entonces se estudiaran los valores de la variable dependiente para valores de la variable independiente próximos a dicho valor .

Si la función es y queremos calcular el límite de dicha función en , elaboraremos una tabla de valores con valores próximos a :

0,1 -0,1 0,01 -0,01 0,001 -0,001

0,47619 0,52631 0,49751 0,50251 0,49975 0,50025

Concluimos que el límite de dicha función en es

IDEA INTUITIVA DE LÍMITESi en la función anterior, por contra, queremos calcular el

límite en , tendremos las siguientes tablas de valores:

Cuando una función tenga límite lo escribiremos de la siguiente manera

-1,9 -1,99 -1,999 -1,9999 -1,99999

10 100 1000 10000 100000

-2,1 -2,01 -2,001 -2,0001 -2,00001

-10 -100 -1000 -10000 -100000

Debemos concluir que no existirá el límite de dicha función para .

IDEA INTUITIVA DE LÍMITECompleta la tabla para calcular , y deduce cuál debe ser el límite

Dada la función en la gráfica adjunta, ¿cuál crees que será el límite en ? ¿Podemos calcular el límite en ? ¿Y en ?

4,9 5,1 4,99 5,01 4,999 5,001

El límite debe ser 3.

4,9 5,1 4,99 5,01 4,999 5,001

3,068965 2,935483 3,006688 2,993355 3,000666 2,999333

El límite en es 2.El límite en es 3.No podemos calcular el límite

en porque no podemos acercarnos a dicho número

IDEA DE LÍMITE Y LÍMITES LATERALESAl calcular un límite en , nos importan los valores que va

tomando la función al acercarnos a dicho valor .No debemos tener en cuenta el valor que tome la función en ,

o si quiera si existe la función en dicho punto.Por ejemplo, antes intentamos calcular el límite de la función

en , y ahí, la función no estaba definida.Además, los valores que tomaba la función para valores

próximos a y mayores que (al acercarnos a por la derecha) eran cada vez mayores en valor absoluto y positivos.

Y los valores que tomaba la función para valores próximos a y menores que (al acercarnos a por la izquierda) eran cada vez mayores en valor absoluto y negativos.

Es el concepto de límites laterales:

lim𝑥→−2+¿ 1

𝑥+2=+∞¿

¿lim

𝑥→−2−

1𝑥+2=−∞

IDEA DE LÍMITE Y LÍMITES LATERALESSi existen los límites laterales en un punto y ambos coinciden,

entonces la función tiene límite en dicho punto y el valor del límite es el valor de los límites laterales.

lim𝑥→𝑎+¿ 𝑓 (𝑥 )=𝑙 ¿

¿

lim𝑥→𝑎−

𝑓 (𝑥 )=𝑙¿ }⇒ lim

𝑥→𝑎𝑓 (𝑥 )=𝑙

Si , vamos a observar los valores de la función para valores próximos a :

0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001

100 10000 1000000

-0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 -0,00001

100 10000 1000000

lim𝑥→ 0+¿ 1

𝑥2= lim

𝑥→0−

1𝑥2

= lim𝑥 →0

1𝑥2

=+∞¿

¿

LÍMITES INFINITOSDecimos que el límite de una función en es , si al

aproximarnos al valor , los valores de la función se hacen indefinidamente grandes; es decir, son mayores que un valor , sea cual sea dicho valor.

El límite de una función en es , si los valores de la función se hacen indefinidamente grandes en valor absoluto y negativos; es decir, son menores que un valor , sea cual sea.

Ejemplo: calculamos Al tomar valores próximos a 3 observamos que el numerador

se acerca a 4, mientras que el denominador se acerca a 0 (con valores positivos)

De este modo, el cociente se hace tan grande como se quiera y por tanto no se aproxima a ningún número:

lim𝑥→ 3

(𝑥−3 )2=0⟹lim𝑥→ 3

(𝑥+1 )=4 lim𝑥→3

𝑥+1(𝑥−3 )2

=∞

LÍMITES EN EL INFINITOConsisten en observar los valores de la función para valores

indefinidamente grandes de la variable independiente ().Ejemplo: calculamos A valores cada vez más grandes de se obtienen valores como

los de la tabla abajo.

Concluimos que el límite es .

10 100 1000 10000 100000

-2,02020 -2,00020 -2,000002 -2,00000001 -2,0000000002

PROPIEDADES DE LOS LÍMITESSi y , entonces se tiene que:

• , si

Las operaciones anteriores son ciertas siempre que tengan sentido.

CÁLCULO DE LÍMITESPara la mayor parte de funciones, calcular el límite de la

función se reducirá simplemente a sustituir la variable por el valor y operar:

El problema llega cuando al cambiar la variable por el valor se obtiene alguna operación que no tiene sentido. En ese caso hablaremos de indeterminaciones. Dichas indeterminaciones se irán resolviendo con diferentes técnicas.

lim𝑥→2

(5 𝑥−10 )=5 ·2−10=10−10=0

lim𝑥→ 2

(𝑥2−3𝑥+2 )=22−3 ·2+2=4−6+2=0

lim𝑥→ 2

(𝑥+3 )=2+3=5

lim𝑥→2 ( 𝑥

2−1𝑥 )=2

2−12

=4−12

=32

CÁLCULO DE LÍMITESCalcula los límites:

INDETERMINACIONESEn los ejemplos anteriores, obteníamos expresiones que

tenían sentido en . Se tenían límites determinados.Si obtuviéramos alguna expresión que no tiene sentido en ,

puede ser que el límite fuera o , o bien una indeterminación:

INDETERMINACIÓN Empecemos ahora resolviendo cada una de las

indeterminaciones anteriores. Comenzamos por las indeterminaciones tipo cociente, y entre ellas, por .

Cuando estas indeterminaciones vienen de un límite en el infinito de un cociente de polinomios, dividiremos todos los términos del límite por la potencia de mayor grado:

lim𝑥→∞

2 𝑥3+𝑥3𝑥+2

= lim𝑥→∞

2𝑥3

𝑥3+𝑥𝑥3

3 𝑥𝑥3

+ 2𝑥3

=lim𝑥→∞

2+ 1𝑥2

3𝑥2

+ 2𝑥3

=20=∞

lim𝑥→∞

2 𝑥2−13 𝑥2+2

= lim𝑥→∞

2𝑥2

𝑥2− 1𝑥2

3 𝑥2

𝑥2+ 2𝑥2

= lim𝑥→∞

2− 1𝑥2

3+ 2𝑥2

=23

lim𝑥→∞

2𝑥+13 𝑥2+2

= lim𝑥→∞

2 𝑥𝑥2

+1𝑥2

3𝑥2

𝑥2+ 2𝑥2

= lim𝑥→∞

2𝑥 +

1𝑥2

3+ 2𝑥2

=03=0

INDETERMINACIÓN Calcula los siguientes límites:

INDETERMINACIÓN La siguiente indeterminación es del tipo .En este caso, si el límite es el de un cociente de polinomios, el

hecho de que la indeterminación sea significa que el punto en el que estamos calculando el límite es una raíz tanto del numerador como del denominador. En ese caso, basta con descomponer dichos polinomios y simplificar:

lim𝑥→ 2

𝑥2−3 𝑥+2𝑥2−4

=lim𝑥→2

(𝑥−1 ) (𝑥−2 )(𝑥+2 ) (𝑥−2 )

=lim𝑥→2

𝑥−1𝑥+2

=14

lim𝑥→5

𝑥−5𝑥2−5 𝑥

= lim𝑥→2

𝑥−5𝑥 (𝑥−5 )

=lim𝑥→2

1𝑥=

15

INDETERMINACIÓN Calcula

INDETERMINACIÓN Realmente no es exactamente una indeterminación, puesto

que si en una división el denominador se va haciendo cada vez más pequeño, el cociente tiende a ser cada vez más grande, con lo que el resultado será .

La única cuestión es conocer el signo, y eso lo resolveremos con límites laterales:

lim𝑥→2

𝑥+2𝑥2−4

=40⟹ ¿

indica que el valor se acerca a cero con valores positivos y indica que el valor se acerca a cero con valores negativos

INDETERMINACIÓN Calcula

Calcula

Calcula

INDETERMINACIÓN TIPO COCIENTESi calculamos un límite en el que hay raíces cuadradas y la

indeterminación es , debemos tener en cuenta que el grado del radicando se divide entre dos y que el exponente de se multiplica por dos al entrar a la raíz:

Si calculamos un límite en el que hay raíces cuadradas y la indeterminación es , lo que haremos será multiplicar numerador y denominador por el conjugado de la expresión radical:

lim𝑥→∞ (√𝑥2+1𝑥+1 )= lim𝑥→∞ (√ 𝑥

2

𝑥2+ 1𝑥2

𝑥𝑥 + 1𝑥

)= lim𝑥→∞ ( √1+ 1𝑥21+ 1𝑥

)=1

¿ lim𝑥→ 2

4 𝑥+1−9(𝑥−2 ) (√ 4 𝑥+1+3 )

= lim𝑥→2

4 (𝑥−2 )(𝑥−2 ) (√4 𝑥+1+3 )

lim𝑥→ 2

√4 𝑥+1−3𝑥−2 =lim

𝑥→2

(√ 4 𝑥+1−3 ) (√ 4 𝑥+1+3 )(𝑥−2 ) (√4 𝑥+1+3 )

=¿

¿46

INDETERMINACIÓN TIPO COCIENTECalcula

Calcula

INDETERMINACIÓN En estos casos, intentaremos reducir la indeterminación a una

del tipo cociente observando que:

En la mayor parte de las situaciones, basta con operar para reducir la indeterminación a una del tipo cociente:

lim𝑥→∞

(𝑥+2 ) √ 4𝑥2+1

= lim𝑥→∞

2 (𝑥+2 )

√𝑥2+1=lim

𝑥→∞

2 𝑥𝑥 +

4𝑥

√ 𝑥2𝑥2+ 1𝑥2= lim

𝑥→∞

2+ 4𝑥

√1+ 1𝑥2=2

𝑓 (𝑥 ) ·𝑔 (𝑥 )= 𝑓 (𝑥 )1

𝑔 (𝑥 )

INDETERMINACIÓN Igual que en el caso anterior, hay que reducir esta

indeterminación a alguna de los tipos anteriores:

En la mayor parte de las situaciones, basta con operar:

Si en el límite hay raíces cuadradas, multiplicamos y dividimos por el conjugado de la expresión radical:

𝑓 (𝑥 )−𝑔 (𝑥 )= 𝑓 (𝑥 ) ·[1− 𝑔 (𝑥 )𝑓 (𝑥 ) ]= 𝑓 (𝑥 )

1

(1− 𝑔 (𝑥 )𝑓 (𝑥 ) )

lim𝑥→ 1 ( 1

𝑥−1 −𝑥

𝑥2−1 )=lim𝑥→ 1 𝑥+1−𝑥𝑥2−1

=lim𝑥→ 1

1𝑥2−1

⟹¿

lim𝑥→∞

(√𝑥+1−√𝑥 )= lim𝑥→∞

(√𝑥+1−√𝑥 ) (√𝑥+1+√𝑥 )(√𝑥+1+√𝑥 )

= lim𝑥→∞

𝑥+1−𝑥(√𝑥+1+√𝑥 )

=¿

¿ lim𝑥→∞

1(√𝑥+1+√𝑥 )

=1∞=0

INDETERMINACIÓN Calcula

Calcula

INDETERMINACIÓN TIPO POTENCIACasi todas las indeterminaciones tipo potencia se pueden

reducir a la indeterminación . Para resolverlas necesitaremos conocer un teorema:

Teorema: No damos la demostración del teorema, sino que simplemente

observaremos el comportamiento de la sucesión para algunos valores de :

1 10000 100000

2

10 100 1000

2,5937 2,71812,7048 2,7169 2,7182

Se observa que la sucesión es creciente y acotada. El valor del límite es el número

INDETERMINACIÓN TIPO POTENCIAComo consecuencia del teorema anterior, se tiene otro similar:Teorema: Si entonces De este modo, para resolver una indeterminación tipo

potencia, el objetivo es convertir la expresión inicial en una del tipo de este teorema:

lim𝑥→∞ ( 𝑥+1

𝑥−1 )2𝑥

= lim𝑥→∞ (1+ 𝑥+1

𝑥−1 −1)2𝑥

= lim𝑥→∞ (1+𝑥+1−𝑥+1

𝑥−1 )2𝑥

=¿

¿ lim𝑥→∞ (1+ 2

𝑥−1 )2𝑥

= lim𝑥→∞ (1+ 1

𝑥−12 )

2 𝑥= lim

𝑥→∞ (1+ 1𝑥−12 )

𝑥−12 · 2

𝑥− 1 · 2𝑥=¿

¿ lim𝑥→∞ ((1+ 1

𝑥−12 )

𝑥−12 )

4 𝑥𝑥−1=𝑒

lim𝑥→∞

4𝑥𝑥− 1=𝑒4

INDETERMINACIÓN TIPO POTENCIADe la construcción anterior, se deduce que para resolver una

indeterminación tipo potencia, podemos usar la siguiente fórmula:

lim𝑥→∞ ( 𝑥+1

𝑥−1 )2𝑥

=𝑒lim𝑥→∞ ( 𝑥+1

𝑥−1−1)· 2𝑥

=𝑒lim𝑥 →∞ (𝑥+1−𝑥+1

𝑥−1 ) ·2𝑥=¿

¿𝑒lim𝑥→∞

( 2𝑥−1 )· 2𝑥=𝑒

lim𝑥→∞

( 4 𝑥𝑥−1 )=𝑒lim𝑥→∞ (

4𝑥𝑥

𝑥𝑥− 1𝑥)=𝑒

lim𝑥→∞( 4

1− 1𝑥 )=𝑒4

Si

INDETERMINACIÓN TIPO POTENCIACalcula

ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITASUna rama infinita de una función es cualquier porción

continua de su gráfica que tenga longitud infinita. Las ramas infinitas aparecen cuando las variables se hacen o

Una asíntota es una recta hacia la que se aproxima una rama infinita de una función.• Si la recta es vertical hablamos de asíntotas verticales• Si la recta es horizontal hablamos de asíntotas horizontales• Si la recta es oblicua hablamos de asíntotas oblicuas.

CÁLCULO DE LAS ASÍNTOTASAsíntotas verticales: Las asíntotas verticales se encuentra en

puntos que no se encuentran en el dominio de la función. Más concretamente, en la frontera de su dominio.

Para que una función tenga una asíntota vertical en un punto , debe suceder que:

Ejemplos: Busca las AV de y

CÁLCULO DE LAS ASÍNTOTASAsíntotas horizontales: Para que una función tenga una

asíntota horizontal, debe suceder que:

Ejemplos: Busca las AH de y

CÁLCULO DE LAS ASÍNTOTASAsíntotas oblicuas: Las asíntotas oblicuas son rectas oblicuas

que se aproximan a una de las ramas infinitas de la función.La ecuación de dichas rectas será de la forma , con lo que basta

calcular la pendiente y la ordenada de dicha recta.Para ello se usan las siguientes fórmulas:

Obviamente, ambos límites deben existir y ser números reales.Ejemplo: Busca la AO de la función

La asíntota oblicua es

CÁLCULO DE LAS ASÍNTOTASCalcula las asíntotas de

• AV: El denominador se anula en y en . Probamos: no AV en

y Luego hay AV en • AH: Calculamos el límite en

Hay AH: • AO: Como hay AH no puede haber AO.Las asíntotas de la función son y .

CÁLCULO DE LAS ASÍNTOTASCalcula las asíntotas de

• AV: El denominador se anula en . Probamos: y hay AV en

• AH: Calculamos el límite en no hay AH

• AO: Como no hay AH puede haber AO. hay AO

Las asíntotas de la función son y .

CONTINUIDADSe tiene que una función es continua si se puede dibujar

“continuamente” sin levantar el lápiz del papel.Esto se formaliza, a través de las nociones de límites

estudiadas hasta ahora, en que una función es continua en un punto , si cumple:

Observamos que deben cumplirse tres condiciones:• La función debe estar definida en el punto (debe existir )• Debe existir el límite de la función en dicho punto.• Ambos valores deben coincidir.

Si alguna de estas condiciones no se cumple, decimos que la función presenta algún tipo de discontinuidad en el punto.

lim𝑥→𝑎

𝑓 (𝑥 )= 𝑓 (𝑎 )

CONTINUIDADObservamos los siguientes ejemplos:

Esta función es continua en todos sus puntos, porque para todos ellos se tiene que:

Esta función presenta una discontinuidad evitable en , puesto que

CONTINUIDADMás ejemplos:

Esta función presenta una discontinuidad de salto infinito en , puesto que

La función no tiene límite en , siendo los límites laterales infinitos.

Esta función presenta una discontinuidad de salto finito en , puesto que

La función no tiene límite en , siendo los límites laterales finitos.

CONTINUIDADEstudia la continuidad de la función

Estudia la continuidad de la función

Puesto que es una función racional cuyo denominador se anula en , la función no está definida en dicho punto y por tanto será discontinua. Estudiamos el tipo de discontinuidad calculando el límite:

y La discontinuidad es de salto infinito.

Se trata de una función a trozos, siendo cada trozo una función polinómica, y por tanto continuas en sus dominios de definición.El único punto en el que se debe estudiar la continuidad es donde se unen dichos trozos:

La función tiene una discontinuidad de salto finito en .