LÍMITES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) LÍMITES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Para resolver límites que involucran funciones circulares directas, resulta conveniente conocer los límites de las siguientes funciones:

0 0lim 0 ; limcos 1x x

senx x→ →

= = Ahora considérese el siguiente límite:

0limx

senxx→

tansenx x x< <

1cos 1cos

senxsenx x xxsenx senx senx senx x

< < ⇒ < <

1 cossenx xx

> >

( )0 0

lim 1 1 limcosx x

x→ →

= =

0lim 1x

senxx→

∴ =

Con los tres límites, esto es:

0 0 0lim 0 ; limcos 1 ; lim 1x x x

senxsenx xx→ → →

= = =

es posible resolver muchos límites de funciones trigonométricas.

s x1r = t

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

2Ejemplo. Calcular el valor del siguiente límite:

0

tanlim5x

xx→

Ejemplo. Calcular el siguiente límite:

2

0limx

sen xx→

Ejemplo. Obtener el valor numérico del siguiente límite:

4

1 tanlimcosx

xsenx xπ

→

−−

Ejemplo. Calcular

2

20

2limsecx

sen xx x→


3Ejemplo. Determinar el valor de:

0

2lim3x

sen xsen x→

Ejemplo. Resolver el límite siguiente:

20

1 coslimx

xx→

−

Ejemplo. Calcular el valor del siguiente límite:

1

cos2lim

1x

x

x

π

→

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠−


4OTROS LÍMITES Un límite de gran importancia en matemáticas es aquel cuyo valor es el “famoso” número " "e y que se presentará después de recordar el desarrollo del binomio de Newton para el siguiente binomio, considerando a " "x como un valor real:

( ) ( )( )2 31 2 31 1 21 1 1 11 1 1 1 1

1! 2! 3!

xx x x xx x x x xx

x x x x− − −− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠1 1 1 1 1 1 21 1

1! 2! 3!

x x x xx x x x

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞+ = + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

1 1 1 1 1 1 21 1 1 1 11! 2! 3!

x

x x x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞+ = + + − + − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Ejemplo. Calcular el valor del siguiente límite:

1lim 1x

x x→∞

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

Ejemplo. Resolver el siguiente límite:

( )1

0lim 1 xx

x→

+


5Ejemplo. Resolver el límite:

21lim 1

x

x x→∞

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN Definición. Una función es continua si al dibujar su gráfica no hay necesidad de despegar del papel la punta del lápiz. Considérense las gráficas de las funciones de la siguiente figura:

x x

y y y

f

f

a

( )f a

a a

( )f a

f

( )( )

( )

existe

lim no existe

no es cont en x a

f a

f x

f x x a→

=

( )( )

no existe

no es cont en

f a

f x x a=

( )( )

( ) ( )( )

existe

lim existe

lim

no es cont en

x a

x a

f a

f x

f a f x

f x x a

→

→≠

=

x


6

Definición. Una función f es continua en x a= sí y solo si se cumplen las condiciones siguientes: ( )) Que existai f a ( )) Que lim exista

x aii f x

→

( ) ( )) Que limx a

iii f a f x→

=

Como se vio en la figura y en la definición, de no cumplirse una de las condiciones dadas, la función no es continua en x a= . Continuidad en un intervalo Definición. Una función f es continua en un intervalo cerrado ,a b⎡ ⎤⎣ ⎦ si cumplen las siguientes condiciones:

)a Que f sea continua en todos los puntos del intervalo abierto ( ),a b .

)b Que f sea continua por la derecha de " "a , lo que implica el cumplimiento de las siguientes condiciones: ( )) Que existai f a

( )) Que lim existax a

ii f x+→

( ) ( )) Que limx a

iii f a f x+→

=

)c Que f sea continua por la izquierda de " "b , lo que

implica el cumplimiento de las siguientes condiciones: ( )) Que existai f b

( )) Que lim existax b

ii f x−→

( ) ( )) Que limx b

iii f b f x−→

=

Ahora se enunciarán algunos teoremas que son de gran ayuda al estudiar la continuidad de una función, ya sea en un punto o en un intervalo.


7Teoremas sobre continuidad )i La suma, resta, producto y cociente de dos funciones que

son continuas en un punto, también son funciones continuas en dicho punto (con tal de que la función del divisor no se anule en el punto). )ii Toda función polinomial es continua en su dominio, esto

es, para todo valor real de la variable independiente.

)iii Toda función algebraica o trascendente es continua en su dominio. A continuación se presentarán varios ejemplos que ilustran el concepto de continuidad en puntos e intervalos, así como una aplicación práctica. Ejemplo. Analizar la continuidad en el punto correspondiente a 3x = para la siguiente función y hacer un trazo aproximado de su gráfica:

( )1 2 3

14 15 3 6

3

si xxf xx si x

⎧ − < <⎪⎪ −= ⎨−⎪ ≤ ≤

⎪⎩


8 Ejemplo. Estudiar la continuidad de la siguiente función en

0x = y trazar su gráfica:

( ) 2

cos 01 0 2x si x

f xx si x

π− < ≤⎧= ⎨

+ < <⎩

Ejemplo. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:

( ) ( )3 2 3 23 cos 1 cos) ; )

4cos 2 1cos

sen x x x x x senxi f x ii f xx

senx

+ + += =

− ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Solución.

( )3 23 cos 1)

4cos 2sen x xi f x

x+ +

=−


9Esta función es continua en su dominio, por lo que solo experimenta discontinuidades en los puntos donde el denominador se hace cero, esto es, en los puntos que son raíces de la ecuación:

14cos 2 0 cos2

x x− = ⇒ =

por lo que la función es continua en todos los valores reales con excepción de los puntos donde la variable independiente " "x es igual a:

( )2 0, 1, 2,3

x n nπ π= ± + = ± ± …

( )3 2cos)

1cos

x x x senxii f x

senx

+=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Esta función es continua, al igual que la anterior, en su dominio, luego será continua en todos los reales excepto en los puntos donde el denominador se cancele, es decir, donde

1cos 0senx

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

y para ello, en primer término, para ( ), enterox k kπ= ,

0senx = que llevaría a una división entre cero que no existe.

Además, 1cos 0senx

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠ en los puntos en que

( ) ( )1 2 1 , entero2

p psenx

π= + , o sea en

( )2

2 1senx

n π=

+. Por lo

tanto, la función es continua en todos los reales con excepción de los puntos donde:

( ) ( )( )

212 1

, , 0, 1, 2,

nx k y x angsen np

k p n

π ππ

= = − ++

= ± ± …


10Ejemplo. Estudiar la continuidad de la siguiente función, tanto en puntos como en intervalos:

( )

2

3 5 2

3 4 2 0

cos 02

4 10 510 2

si x

x si x

f x x si x

x si x

π

π ππ

− < ≤ −⎧⎪

− − − < ≤⎪⎪

= ⎨ < ≤⎪⎪ − −⎪ < ≤

−⎩


11


12Ejemplo. Determinar el valor de las constantes " " " "c y k de tal forma que la función dada sea continua para todo valor real de " "x . Hacer un trazo aproximado de la gráfica de la función resultante.

( )1

1 42 4

x si xf x cx k si x

x si x

≤⎧⎪= + < <⎨⎪ − ≤⎩


13Ejemplo. Un ingeniero está trazando el perfil de un camino y hay un tramo de 24 m en línea recta, en el que deberán realizarse determinados trabajos por la presencia del cauce de un río cuyo ancho es de 10 m. Con respecto a un cierto sistema coordenado, este tramo de 24 m se sitúa de acuerdo con los puntos

( ) ( ) ( ) ( )125,500 ; 131,499.5 ; 141,499 ; 149,500A B C D de tal manera que el cauce del río está entre las abscisas 131 141y . ¿Cómo representaría el ingeniero dicho tramo a partir de una función, qué diría de su continuidad y cómo removería la discontinuidad, lo que en realidad sería hecho con un puente para cruzar el río? ¿Cómo quedaría la función con la discontinuidad removida? Solución. Lo primero que hace el ingeniero es una gráfica de la función, que representa el perfil del camino. Los tramos de

a de C DA B y a los toma como rectas por simplicidad. Así, la función y su gráfica serían:

Con la ecuación de la recta apoyada en dos puntos, esto es,

( )2 11 1

2 1

y yy y x xx x

−− = −

−

496

495

497

498

499

500

501

125 130 135 140 145 150

y

x

río

A

B C

D


14se obtienen las dos reglas de correspondencia correspondientes a los tramos de A a B y de C a D. Luego el ingeniero puede escribir la función como sigue:

( )6125 125 131

123851 141 1498

x si xf x

x si x

−⎧ ≤ ≤⎪⎪= ⎨+⎪ ≤ ≤

⎪⎩

Al analizar la continuidad, el ingeniero sabría que las dos reglas de correspondencia son rectas (funciones polinomiales), por lo que al ser continuas en los reales, lo son en sus respectivos intervalos. Además, sabe que la función, en cada intervalo, es continua, por la derecha de 125 141y y por la izquierda de 131 149y , lo que escribe como: Por la derecha de 125x = ( ) ( )) 125 500 cumplei f = ( ) ( )

125) lim 500 cumple

xii f x

+→=

( ) ( ) ( )125

) 125 lim cumplex

iii f f x+→

=

Por lo que ( )f x es continua por la derecha de 125x = Por la izquierda de 131x = ( ) ( )) 131 499.5 cumplei f = ( ) ( )

131) lim 499.5 cumple

xii f x

−→=

( ) ( ) ( )131

) 131 lim cumplex

iii f f x−→

=

Por lo que ( )f x es continua por la izquierda de 131x = Por la derecha de 141x = ( ) ( )) 141 499 cumplei f = ( ) ( )

141) lim 499 cumple

xii f x

+→=

( ) ( ) ( )141

) 141 lim cumplex

iii f f x+→

=

Por lo que ( )f x es continua por la derecha de 141x =


15Por la izquierda de 149x = ( ) ( )) 149 500 cumplei f = ( ) ( )

149) lim 500 cumple

xii f x

−→=

( ) ( ) ( )149

) 149 lim cumplex

iii f f x−→

=

Por lo que ( )f x es continua por la izquierda de 149x =

Al considerar el intervalo de 125x = a 149x = , concluye que la función ( )f x es continua en 125,131 141,149y⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ y discontinua en ( )131,141 . Para remover la discontinuidad, le basta con agregar a la definición una regla de correspondencia que representa al eje del perfil del puente que tendría que construir para salvar el obstáculo representado en este caso por el río. Si el ingeniero coloca una recta en el intervalo de discontinuidad, que representaría el puente, entonces la función quedaría como:

( )

6125 125 13112

1021 131 141203851 141 1498

x si x

xf x si x

x si x

−⎧ ≤ ≤⎪⎪⎪ −= < <⎨⎪⎪ +

≤ ≤⎪⎩

Y así la función del perfil del tramo de camino considerado es continua en el intervalo 125,149⎡ ⎤⎣ ⎦. Y la gráfica quedaría como:


16

Forma alternativa para estudiar la continuidad Definición. Si en una función la variable independiente " "x experimenta un cambio de 0" "x a " "x , su incremento será

0x x xΔ = − Y como la variable dependiente " "y está en función de la variable independiente " "x , entonces, al experimentar esta un incremento, es evidente que " "y tenga su correspondiente incremento, que se define como:

( ) ( )0y f x f xΔ = − y, como 0x x x= + Δ , entonces

( ) ( )0 0y f x x f xΔ = + Δ −

( )( )

1 1 12 1

2 2 2

;;

;x y f x

y y yx y f x

=Δ = −

=

Considérense al respecto los siguientes ejemplos:

496

495

497

498

499

500

501

125 130 135 140 145 150

y

x

río

A B

C

D puente


17Ejemplo. Dada la siguiente función, obtener su incremento:

3 22 5 1y x x x= − + − Ejemplo. Supóngase una esfera metálica de radio 25r cm= , la que, por efecto de variaciones de temperatura, aumenta su diámetro en 0.002 cm. ¿Cuál será la variación de su volumen y de su superficie?


18 Teorema (Continuidad por incrementos). Una función f es continua en un valor 0x x= si se cumple que

0lim 0x

yΔ →

Δ =

Prueba.

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

0

0 0

0

0

0

0 0

0

lim 0

lim 0

lim lim

lim

x

x x

x x x x

x x

y

f x x f x

f x x x f x

f x f x

Δ →

→

→ →

→

Δ =

⎡ ⎤+ Δ − =⎣ ⎦

+ − =

=

Ejemplo. Dada la función ( ) 22 1y f x x= = − , determinar el incremento de la función cuando la variable independiente cambia de 0 0.5x = a 0.7x = . Estudiar también si la función es continua en 0 0.5x = a través del límite

0lim 0x

yΔ →

Δ = . Mostrar de manera explícita, con una tabla, cómo se cumple este límite, es decir, cómo al tender a cero el incremento de " "x , lo mismo le sucede al incremento yΔ de la función. Solución. El incremento de la variable independiente es:

00

0.7; 0.7 0.5 0.2

0.5x

x x x x xx=

Δ = − ⇒ Δ = − ∴ Δ ==

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )0

0 00

0.7 1.428;

0.5 1.732f x x f

y f x x f xf x f+ Δ = =

Δ = + Δ −= =

1.428 1.732 0.304y yΔ = − ∴ Δ = − Continuidad en 0 0.5x =

( ) ( )0 00 0lim 0 limx x

y f x x f xΔ → Δ →

⎡ ⎤Δ = ⇒ + Δ −⎣ ⎦

( )

( )

2 20 0

2 2

2 1 2 1

2 1 0.5 2 1 0.5

y x x x

y x

Δ = − + Δ − −

Δ = − + Δ − −


19

( )2 2

0 0lim lim 2 1 0.5 2 1 0.5x x

y xΔ → Δ →

⎡ ⎤Δ = − + Δ − −⎢ ⎥⎣ ⎦

2 2

0 0lim 2 1 0.5 2 1 0.5 ; lim 0x x

y yΔ → Δ →

Δ = − − − Δ =

( )f x∴ es continua en 0.5x = Finalmente, se construye una tabla para mostrar explícitamente, mediante un cálculo numérico, como yΔ tiende a cero conforme xΔ tiende a cero.

0x xΔ ( )0f x x+ Δ ( )0f x yΔ 0.5 0.2 1.428 1.732 0.304− 0.5 0.1 1.600 1.732 0.132− 0.5 0.01 1.720 1.732 0.012− 0.5 0.001 1.731 1.732 0.001− 0.5 0.0001 1.7319 1.732 0.0001− 0

↓ 0↓

Se observa que cuando xΔ se aproxima a cero, yΔ también se aproxima a cero, es decir, que

0lim 0x

yΔ →

Δ = y por

lo tanto la función ( ) 22 1f x x= − es continua en 0.5x = . ASÍNTOTAS Definición. Sea f una función algebraica cuyo límite no existe cuando la variable independiente " "x tiende a un cierto valor 0" "x , el cual anula el denominador de la función; entonces, esta tiene una asíntota vertical, cuya ecuación es

0x x= . Ejemplo. Determinar, si existen, las ecuaciones de las asíntotas verticales para las siguientes funciones:

( ) ( )3 2

25 1 6) ; ) ; )1 65 6

x x x xi f x ii y iii f xx xx x+ −

= = =− −− +


20 Las funciones “tangente” y “secante” tienen asíntotas verticales cuyas ecuaciones son:

( )2 1 ;2

x n nπ= − ∀ ∈

mientras que las funciones “cotangente” y “cosecante” tienen asíntotas verticales de ecuaciones:

;x n nπ= ∀ ∈ Definición. Sea f una función algebraica cuyo límite sí existe cuando la variable independiente " "x tiende a ∞ ; entonces, la función tiene una asíntota horizontal, cuya ecuación es:

( )limx

y f x→+∞

= o bien ( )limx

y f x→−∞

=


21Ejemplo. Determinar, si existen, las ecuaciones de las asíntotas horizontales para las siguientes funciones:

( ) ( )2 4

2 24 1 4 2 4) ; ) ; )

22 5 6x xi y ii f x iii y

x xx x x+ +

= = =−+ − −

Ejemplo. Determinar, si existen, las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de la siguiente función y hacer un trazo aproximado de su gráfica en la cual se señalen las asíntotas.

( )2

21

2xf x

x x−

=+ −

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